Algebra und Zahlentheorie II, Blatt 2, Aufgaben 2c, 3c

Algebra und Zahlentheorie II, Blatt 2, Aufgaben 2c, 3c
Aufgabe 2 (Komposita quadratischer Erweiterungen)
Es sei wieder K ein Körper der Charakteristik , 2. Ferner seien d1 , d2 , . . . , dn ∈ K × Elemente, deren Nebenklassen dk (K × )2 (1 ≤ k ≤ n) ein minimales Erzeugendensystem (eine Basis) der von ihnen erzeugten Untergruppe
von K × /(K × )2 bilden. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion nach n:
√
√ a) Der Körper Ln = K d1 , . . . , dn ist eine Erweiterung von K vom Grad (Ln |K) = 2n mit der Basis
ba :=
n p
Y
dk ak
(a ∈ {0, 1}n ) .
k=1
b) Ln |K ist eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe Gn erzeugt wird von den K-linearen Selbstabbildungen
σi (1 ≤ i ≤ n) von Ln , welche gegeben sind durch
p p
σi dk = (−1)δik dk (1 ≤ k ≤ n) .
c) Das Element dn+1 ist kein Quadrat in Ln . Hinweis: Zu je zwei verschiedenen a, a0 ∈ {0, 1}n existiert ein
σ ∈ Gn mit σ(ba )/ba , σ(ba0 )/ba0 .
Lösung zu Aufgabe 2c von Blatt 10 (von Stephan Schmitz)
Induktionsverankerung (n = 1): Das Element d2 ist kein Quadrat in L1 . Sonst wäre nach Aufgabe 2b von Blatt 1
d2 ∈ d1 (K × )2 im Widerspruch dazu, dass d2 (K × )2 und d1 (K × )2 eine Basis der von ihnen erzeugten Untergruppe
von K × /(K × )2 bilden.
Induktionsschluss (n 7→ n + 1): Zu zeigen ist, dass das Element dn+2 kein Quadrat in Ln+1 ist. Dazu wird
zunächst untersucht, welche Eigenschaften Elemente des Grundkörpers haben, die Quadrate in Ln+1 sind, um
hernach festzustellen, dass dn+2 diese Eigenschaften nicht hat.
Sei also x ∈ K × mit x = y2 für ein y ∈ Ln+1 . Wegen x ∈ K ist σ(x) = x für alle K-Automorphismen σ, also für
alle σ ∈ Gn+1 . Es ist also σ(y2 ) = y2 für alle σ ∈ Gn+1 , das heißt
σ(y) = ±y für alle σ ∈ Gn+1 .
y ∈ Ln+1 hat eine eindeutige K-Basis-Darstellung der Form
X
y=
ya ba mit ya ∈ K für alle a ∈ {0, 1}n+1 .
a∈{0,1}n+1
Daher gilt für jedes σ ∈ Gn+1 (K-Automorphismen), dass
X
σ(y) =
ya σ(ba ).
a∈{0,1}n+1
Hieraus ist abzulesen, dass σ(y) = ±y nur dann erfüllt sein kann, wenn
σ(ba ) = ba für alle a ∈ {0, 1}n+1 mit ya , 0 oder
σ(ba ) = −ba für alle a ∈ {0, 1}n+1 mit ya , 0.
Da es aber zu verschiedenen a, a0 ∈ {0, 1}n+1 auch ein σ ∈ Gn+1 gibt mit σ(ba )/ba , σ(ba0 )/ba0 (Beweis selbst),
bedeutet dies, dass wenn σ(y) = ±y gilt, dann höchstens ein ya von Null verschieden sein kann. Im vorliegenden
Fall ist also y = ya ba für genau ein a ∈ {0, 1}n+1 . Mithin ist x = y2 = y2a b2a . Nach Definition von ba ist b2a ein
Produkt der d1 , . . . , dn+1 .Wegen x , 0 ist ya , 0 und daher y2a ∈ (K × )2 . Dies bedeutet, dass
D
E
x = y2 = b2a y2a ∈ d1 (K × )2 , . . . , dn+1 (K × )2 ≤ K × /(K × )2 .
1
Wäre also dn+ 2 ein Quadrat in Ln+1 , so läge dn+2 (K × )2 in der von d1 (K × )2 , . . . , dn+1 (K × )2 erzeugten Untergruppe von K × /(K × )2 im Widerspruch zu den in der Aufgabenstellung gemachten Voraussetzungen. Mithin ist dn+2
kein Quadrat in Ln+1 . Mit vollständiger Induktion folgt dann die Behauptung der Aufgabenstellung.
Aufgabe 3c: Hier noch eine Aufstellung aller Untergruppen der Galoisgruppe und der korrespondierenden Zwischenkörper. Nach dem Haupstaz der Galoistheorie sind dies alle Zwischenkörper, denn die hier untersuchte
Körpererweiterung ist galoisch nach Aufgabe 2.
Gruppenordnung
1
2
Körpergrad
8
4
4
2
8
1
Untergruppe
{1}
σ
1
σ
2
σ
3 σ σ
1 2
σ σ
1 3
σ σ
2 3 σ1 σ2 σ3
σ1 , σ2
σ ,σ
1 3
σ ,σ
2 3 σ σ ,σ
1 2 3
σ σ ,σ
1 3 2
σ σ ,σ
2 3 1 σ σ ,σ σ
1 2 2 3
σ1 , σ2 , σ3
Fixkörper
Q(ζ)
√ √
Q( √3, √−1)
Q( √2, √−1)
Q( √2, √3)
Q( √6, √
−1)
Q( √−2, √3)
Q( √−3,√ 2)
Q( 6, −3)
√
Q( √−1)
Q( √3)
Q( √2)
Q( √6)
Q( √−2)
Q( √−3)
Q( −6)
Q
2