Übungsaufgaben zur Vorlesung Stochastik (Teil 2)

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Stochastik (Teil 2)
SS 2015 - Blatt 8
Abgabe: Dienstag, 19.05.2015 vor Beginn der Vorlesung
Bitte vermerken Sie auf jedem Lösungsblatt Ihren Namen.
Aufgabe 29 (4Punkte)
Ein fairer Würfel wird n = 300 mal geworfen.
(a) Schätzen Sie mit Hilfe der Chebyshev-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit
dafür ab, dass weniger als a = 20 oder mehr als b = 80 mal eine „Drei“ fällt.
(b) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit in (a) mit Hilfe der Bernstein-Ungleichung
ab.
(c) Bearbeiten Sie erneut die Teile (a) und (b) für n = 3000, a = 200, b = 800.
Was fällt Ihnen dabei auf?
Aufgabe 30 (4Punkte)
Es sei X eine Zufallsvariable mit endlichem Wertebereich {x1 , . . . , xn }, n ∈ N.
Die Verteilung von X sei gegeben durch die Zähldichte pi := P (X = xi ) > 0,
i ∈ {1, . . . , n}. Zeigen Sie folgende Eigenschaften der Entropie H(X):
P
P
(a) Sind q1 , . . . , qn ∈ (0, 1] mit ni=1 qi ≤ 1, so gilt H(X) ≤ − ni=1 pi log2 (qi ).
Die Gleichheit gilt genau dann, wenn qi = pi für alle i ∈ {1, . . . , n}.
(b) Es gilt 0 ≤ H(X) ≤ log2 (n). Dabei ist H(X) = log2 (n) genau dann, wenn X
Laplace-verteilt ist und H(X) = 0 genau dann, wenn X fast sicher konstant
ist, d.h. es existiert ein i ∈ {1, . . . , n} mit pi = 1.
Hinweis: für alle t > 0 gilt ln(t) ≤ t − 1, und die Gleichheit gilt nur für t = 1.
Aufgabe 31 (4Punkte)
Die negative Binomialverteilung mit Parametern n ∈ N und p ∈ (0, 1) ist definiert
durch die Zähldichte
n+k−1 n
f (k) :=
p (1 − p)k , k ∈ N0 .
k
Zeigen Sie, dass die erzeugende Funktion dieser Verteilung gleich
n
p
Gn,p (s) =
1 − (1 − p)s
ist und bestimme mit Hilfe dieser Funktion den Erwartungswert und die Varianz
der negativen Binomialverteilung.
Hinweis: Betrachten Sie die Differenzen n+k−1
− n+k−2
und zeige
k
k−1
Gn,p (s) = Gn−1,p (s) · p/(1 − (1 − p)s).
Bitte wenden
Aufgabe 32 (4Punkte)
Seien X1 , . . . , Xn stochastisch unabhängige,
zum Parameter p geometrisch verP
teilte Zufallsvariablen und Sn := ni=1 Xi . Weiter sei Y negativ binomialverteilt
zu den Parametern n, p. Man zeige mit Hilfe erzeugender Funktionen, dass Sn
und Y + n identisch verteilt sind:
P Sn = P Y +n .
Die Übungsaufgaben sowie weitere Informationen zur Vorlesung finden Sie auf der Internetseite:
http://www.stochastik.uni-freiburg.de/Vorlesungen/vvSS2015/VorStoch-II/