“Dynamische Systeme und Operatoralgebren” ¨Ubungsblatt 10 Sei

Dr. T. Timmermann
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“Dynamische Systeme und Operatoralgebren”
Übungsblatt 10
Besprechung am 04.01.2011
Sei X kompakt, T : X → X ein Homöomorphismus und µ ∈ M (X, T ).
Aufgabe 1. Es gelte für µ-f.a. x ∈ X:
n−1
1X
n→∞
δT k (x) −−−−−→ µ,
schwach-∗
n k=0
also
Snf (x)
Z
f dµ für alle f ∈ C(X).
→
X
Zeige schrittweise:
(a) Für jedes B ∈ B(X) gilt
n→∞
R
X
Snf χB dµ −−−→ µ(B)
R
X
f dµ.
(b) Für jedes A, B ∈ B(X) gilt
n−1
1X
n→∞
µ(T −k (A) ∩ B) −−−→ µ(A)µ(B).
{z
}
n k=0 | R
=
B (χA ◦T
k )·χ
B dµ
(Hinweis: Approximiere χA durch ein f ∈ C(X) bezüglich der L2 -Norm.)
(c) µ ist ergodisch.
Q
7 (xn+1 )n und µp
Aufgabe 2. Sei X = Z {1, . . . , k}, T der Links-Shift (xn )n →
das einem stochastischen Vektor p = (p1 , . . . , pk ) zugeordnete Maß,
µp ({y ∈ X : yn = x0 , . . . , yn+s = xs }) = px0 · · · pxs
|
{z
}
=: Un;x0 ,...,xs
für alle n, s ∈ N, x0 , . . . , xs ∈ {1, . . . , k}. Zeige:
(a) Ist (Vn )n∈N eine Basis der Topologie, A ∈ B(X) und > 0, so existieren
n1 , . . . , nl ∈ N mit µ((Vn1 ∪ · · · ∪ Vnl )4A) < . (Hinweis: Approximiere A
durch offene und kompakte Mengen.)
(b) Für alle n, m, s, t ∈ N und x0 , . . . , xs , y0 , . . . , yt ∈ {1, . . . , k} gilt:
lim µp (T −l (Un;x0 ,...,xs ) ∩ Um;y0 ,...,yt ) = µp (Un;x0 ,...,xs )µp (Um;y0 ,...,yt ).
l→∞
(c) Das Maß µp in (b) ist mischend.
1