Testat 5 - Fachrichtung Mathematik
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UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Fachrichtung 6.1 - Mathematik Prof. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen Christian Bopp Testat 5 - Mathematik für Naturwissenschaftler II Vorname: Name: 18.07.2017 Matrikelnummer: Unter den folgenden Aussagen sind einige richtig und einige falsch. Kreuzen Sie die richtigen Antworten an (Mehrfachnennungen sind möglich)! Aufgabe 1. Seien f : Rn → Rn und g : Rn → Rn zwei stetig differenzierbare Funktionen. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? 7 In jedem Punkt p ∈ Rn gilt für die Jacobi-Matrix D(f ◦ g) von f ◦ g die Identität: D(f ◦ g)(p) = Df (g(p)) · Dg(p). Für jeden Punkt p ∈ Rn ist die Jacobi-Matrix invertierbar. Ist f (x) = x für alle x ∈ Rn so ist die Jacobi-Matrix von f in jedem Punkt p ∈ Rn 1 ... 1 .. genau die Matrix ... . 1 ... 1 Aufgabe 2. Sei f : Rn → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und sei p ∈ Rn ein Punkt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? 7 Die Hesse-Matrix von f im Punkt p ist symmetrisch. Ist ∇(f )(p) = 0, so hat f in p ein lokales Extremum, wobei ∇(f ) den Gradienten bezeichnet. 7 Ist die Hesse-Matrix von f im Punkt p indefinit, so hat f in p kein lokales Extremum. Aufgabe 3. Sei γ : [a, b] → Rn ein Weg im Rn . Welche der folgenden Aussagen sind richtig? 7 Die Länge des Weges γ ändert sich durch eine C 1 -Umparametrisierung des Weges nicht. 7 Die Kurve γ : [0, 2π] → R2 , t 7→ cos(t) hat Länge 2π. sin(t) 7 Die Länge vom γ ist gleich der Länge des Weges −γ : [a, b] → Rn , t 7→ −γ(t). Aufgabe 4. Sei γ : [a, b] → Rn ein Weg im Rn und sei F : Rn → Rn ein Vektorfeld. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? 7 Das Wegintegral von F entlang des Weges γ ist gegeben durch Z b hF (γ(t)), γ 0 (t)idt a 7 Das Wegintegral von F entlang des Weges γ bleibt bei einer glatten orientierungstreuen C 1 -Umparametrisierung von γ gleich. Das Wegintegral von F entlang des Weges γ hängt immer nur von Anfangs- und Endpunkt des Weges γ ab. 1
