TU Dresden · Fachrichtung Mathematik · Institut für Numerische

TU Dresden · Fachrichtung Mathematik · Institut für Numerische Mathematik
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0. Übung Ma I (Grundlagen der Mathematik) 9. - 13. 10. 2017
Aufgabe 1
Zeichnen Sie in den folgenden Teilaufgaben jeweils die Mengen A und B auf einem Zahlenstrahl. Bestimmen Sie jeweils A ∩ B, A ∪ B, A \ B und B \ A.
(a) A = (0, 3], B = [1, 5]
(b) A = [−2, 1), B = {x ∈ IR| |x| ≤ 1}
Aufgabe 2
Gegeben seien die Mengen A = {(x, y) ∈ IR2 | x2 +y 2 ≤ 4} und B = {(x, y) ∈ IR2 | (x− 32 )2 +y 2 ≤
1}.
(a) Skizzieren Sie A und B im Koordinatensystem.
(b) Skizzieren Sie A ∩ B, A ∪ B, A \ B und B \ A im Koordinatensystem.
Aufgabe 3
Ermitteln Sie in den folgenden Teilaufgaben jeweils alle reellen Zahlen x, welche die Gleichung
lösen.
(a) |2x − 9| + 8x + 4 = 0
3
− 3x = 5
(c)
9x + 7
√
(e) 16x − 31 − 2x + 2 = 0
(b) |3x + 1| = |9x + 9| − 10
1−x
1
(d) 2
− =0
x − 4x + 3 5
√
(f) 4x + 7 + 2x + 2 = 0
Aufgabe 4
Bestimmen Sie in den folgenden Teilaufgaben jeweils alle reellen Zahlen x, welche die Ungleichung lösen.
(a) x2 + 4x ≤ 0
(c) |5x + 1| ≥ 7
5
(e)
≤x−3
x+1
(b) (x − 1)2 > 4x − 7
(d) |7x + 6| ≤ |5x − 5| + 4
9
(f)
+ 9x + 1 > 0
9x + 7
Aufgabe 5
Skizzieren Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen im Koordinatensystem.
(a) y ≥ 1 − x
(d) x2 + (y + 2)2 ≥ 4
(b) 3x − 2y > 4
(e) xy ≥ 1
(c) y ≤ 2 − x2
(f) |x| − |y| ≤ 0
Aufgabe 6
In dieser Aufgabe geht es um elementare Termumformungen.
(a) Vereinfachen Sie die folgenden Terme unter Verwendung binomischer Formeln.
(4x + y)(16x2 − 8xy + y 2 )
(a1)
16x2 − y 2
√
√
( x − 2)(x + 4 x + 4)
(a2)
x−4
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(b) Schreiben Sie die folgenden Terme als Potenz von x, also in der Form xp .
(b1) xa+4 · x3a−2
(b5)
√
7
x5
(b2)
x2a+4
x3a−1
1
(b6) √
3
x2
16
(b3) (x7 )− 21
(b7) x5 ·
√
5
x3
1
x2
p
√
4
x2 · 6 x
(b8) p
√
7
x2 · x
(b4)
(c) Berechnen Sie folgende Logarithmen.
(c1) ln(e)
1√
e
(c5) ln
e
√
(c9) log4 ( 2)
4
(c2) ln(e )
(c6) log2 (32)
1
(c10) log16
2
(c3) ln(1)
1
(c7) log2
4
√
√
(d) Weisen Sie nach, dass ln( 2 − 1) + ln( 2 + 1) = 0 gilt.
1
(c4) ln 3
e
√
(c8) log2 ( 8)
2