BLATT 11

Logik für Informatiker
WS 2016/17
Dozent: PD Dr. Markus Junker
Assistent: Andreas Claessens
BLATT 11
(09.01.2017)
Aufgabe 1
Sei L eine Sprache, M eine L-Struktur und n ∈ N. Eine Teilmenge D ⊆ M n heißt L-definierbar,
falls es eine L-Formel φ(v1 , . . . , vn ) gibt mit
D = φM = {(m1 , . . . , mn ) ∈ M n | M |= φ[m1 , . . . , mn ]}
Zeigen Sie, dass die L-definierbaren Teilmengen von M n eine Boole’sche Unteralgebra der Potenzmengenalgebra von M n bilden.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass die Formeln φ und ψ aus den Aufgabenteilen (a) und (b) jeweils erfüllbar sind,
aber kein endliches Modell haben.
(a) L1 besteht aus dem einstelligen Funktionszeichen f und φ ist die L1 -Formel, die aus der
Konjunktion der folgenden Formeln besteht:
.
∃v0 ∀v1 ¬f v1 = v0
.
.
∀v0 ∀v1 (f v0 = f v1 → v0 = v1 )
(b) L2 besteht aus dem zweistelligen Relationszeichen < und ψ ist die L2 -Formel, die aus der
Konjunktion der folgenden Formeln besteht:
∀v0 ¬v0 < v0
.
∀v0 ∀v1 (v0 < v1 ∨ v0 = v1 ∨ v1 < v0 )
∀v0 ∀v1 ∀v2 ((v0 < v1 ∧ v1 < v2 ) → v0 < v2 )
.
∃v0 ∃v1 ¬v0 = v1
∀v0 ∀v2 (v0 < v2 → ∃v1 (v0 < v1 ∧ v1 < v2 ))
Aufgabe 3
Sei L eine Sprache, die keine Funktionszeichen und Konstantenzeichen enthält und nur einstellige
Relationszeichen. Es sollen in dieser Aufgabe nur Formeln betrachtet werden, in denen das
Gleichheitszeichen nicht vorkommt.
(a) Zeigen Sie, dass jede solche L-Formel äquivalent zu einer Formel der Form
_^
(¬)(∃vij )((¬)P1ij vij ∧ · · · ∧ (¬)Pnijij vij )
i
j
ist, wobei die vij Individuenvariablen und die Pkij Prädikate in L sind.
Logik für Informatiker
WS 2016/17
Dozent: PD Dr. Markus Junker
Assistent: Andreas Claessens
(b) Leiten Sie daraus her, dass jede erfüllbare L-Aussage (ohne Gleichheitszeichen) ein endliches Modell hat.
Hinweis zu (a): Induktion über den Aufbau der Formeln. Arbeiten Sie mit dem vollständigen
Junktoren-Quantoren-System {¬, ∨, ∃}. Benutzen Sie folgende Ergebnisse:
• Falls vi in χ nicht vorkommt, ist ∃vi (ψ ∧ χ) ∼ (∃vi ψ ∧ χ)
• Es gilt ∃vi ∃vi φ ∼ ∃vi φ.
• Blatt 10, Aufgabe 4
• wegen der aussagenlogischen
ist jede Formel der Form
W Distributivgesetze
V
äquivalent zu einer Formel j∈J i∈I φij für ein geeignetes J.
V
i∈I
W
j∈Ji
φij
Bemerkung: Teil (b) gilt auch, wenn das Gleichhheitszeichen und Konstanten zugelassen sind.
Aufgabe 4
Sei L eine Sprache, seien χ(v0 , v1 ) und φ(v0 ) L-Formeln und ψ eine L-Aussage. Geben Sie im
Hilbert-Kalkül aus der Vorlesung Beweise für folgende Aussagen an:
(∃v0 ∃v1 χ → ∃v1 ∃v0 χ)
(∃v0 (φ ∧ ψ) → (∃v0 φ ∧ ψ))
Hinweis: Abgeleitete Axiome und Regeln aus der Vorlesung dürfen benutzt werden.
Abgabe bis Montag 16.01.2017, 10 Uhr,
im Briefkasten in Gebäude 51 (siehe Briefkastenaufschrift)
Auf die Abgaben gehören die Namen der Abgebenden und die Gruppennummer!!!