l ö sungenzua 13 - RWTH
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LÖSUNGEN ZU A 13 GRUNDPOPULATION: Länge der weißen Bohnen 1.Aufgabe Häufigkeitsverteilung mit b = 1 mm x(i) mm 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00 21.00 22.00 23.00 24.00 25.00 26.00 27.00 Summe: x= s= f F F% 1 3 15 45 74 11 173 201 204 110 59 24 8 1 Σ( f )=1029 Σ( f ) = n 1 4 19 64 138 249 422 623 827 937 996 1020 1028 1029 0.1 0.4 1.8 6.2 13.4 24.2 41.0 60.5 80.4 91.1 96.8 99.1 99.9 100.0 fx f x² 14.00 196.00 45.00 675.00 240.00 3840.00 765.00 13005.00 1332.00 23976.00 2109.00 40071.00 3460.00 69200.00 4221.00 88641.00 4488.00 98736.00 2530.00 58190.00 1416.00 33984.00 600.00 15000.00 208.00 5408.00 27.00 729.00 Σ( fx )=21455.00 Σ( fx² )=451651 Σ (fx) = 20.8503mm Σ( f) 1 Σ ( fx) * Σ (fx) 1 4.603178 * Σ (fx2 ) − = * 451651 − = Σ (f) - 1 Σ (f) 1028 1029 4.18966 = 2.04686 mm 2.Aufgabe Medianklasse: 20.50 - 21.50 mm b = 1 mm n / 2 - FU 514.5 − 422 ~ ~=U µ + b = 20.5 + 1 * = 20.9602 mm f Median 201 ~ herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 1 LÖSUNGEN ZU A 14 ( 1. Seite) GRUNDPOPULATION: Länge der weißen Bohnen 1.Aufgabe z 2.Aufgabe Modalwert = 22 mm 4.Aufgabe ~ läßt sich bei F% = 50% ermitteln: Der Medianwert µ ~ = 20.96mm µ 6.Aufgabe Bei F% = 16% läßt sich µ - σ ermitteln: µ - σ = 18.75mm Bei F% = 84% läßt sich µ + σ ermitteln: µ + σ = 22.75mm µ= 1 σ - Bereich 18. 75 + 22. 75 = 20. 75mm 2 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 2 LÖSUNGEN ZU A 14 ( 2. Seite) 3.Aufgabe herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 3 LÖSUNGEN ZU A 15 ( 1. Seite) Fragen zur Normalverteilung und z-Verteilung 1.Aufgabe empirisch: 64 Bohnen sind kleiner als 17.5 mm (F der Klasse 16.5 - 17.5 mm) 2.Aufgabe empirisch: Summe der Bohnen in den Klassen zwischen 18.5 mm und 23.5 mm: 111 + 173 + 201 + 204 + 110 = 799 1029 Bohnen = 100% 799 Bohnen = x% x= 799 *100 = 77. 65% 1029 3.Aufgabe µ = 20.85 mm ; σ = 2.047 x −µ Transformation in z: z = σ 19.75 - 20.85 z (19.75) = = − 0.537 = 0.537 2.047 22.25 - 20.85 z (22.25) = = 0.684 2.047 B-Tabelle: z = 0.54 → p = 0.2946, d.h. 29.46 % der Bohnen sind kleiner als 19.75 mm z = 0.68 → p = 0.2483, d.h. 24.83 % der Bohnen sind größer als 22.25 mm Prozent der Bohnen zwischen 19.75 und 22.25 mm: p = 100 - 29.46 - 24.83 = 45.71 % 4.Aufgabe Transformation in z: z = x −µ σ 22.2 − 20.85 = 0.66 2.047 B-Tabelle: z = 0.66 → p = 0.2546, d.h. 25.46 % der Bohnen sind länger als 22.2 mm z ( 22.2) = 24.7 - 20.85 = 188 . 2.047 B-Tabelle: z = 1.88 → p = 0.0301, d.h. 3.01 % der Bohnen sind länger als 24.7 mm z ( 24.7) = 5.Aufgabe 68 % der Bohnen mittlerer Länge liegen in dem Bereich zwischen (µ+σ) und (µ-σ): µ = 20.85 mm σ = 2.047 mm µ + σ = 22.897 mm µ - σ = 18.803 mm 68 % der Bohnen mittlerer Länge liegen zwischen 18.803 und 22.897 mm. 6.Aufgabe herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 4 siehe A 14/1 LÖSUNGEN ZU A 15 ( 2. Seite) 7.Aufgabe siehe A 14/3 8.Aufgabe 1z = σ = 2.047 mm 1z entspricht einer Standardabweichung. 9.Aufgabe siehe 5.Aufgabe 68 % der Bohnen liegen zwischen 18.803 und 22.897 mm. 10.Aufgabe A-Tabelle: für p = 0.5 ist z = 0.674 50% der Bohnen mittlerer Länge liegen im Bereich zwischen z = -0.674 und z = +0.674. 11.Aufgabe Transformation in z: z = z (17.5) = x −µ σ 17.5 - 20.85 = − 1.637 = 1.637 2.047 B-Tabelle: z = 1.637 → p = 0.505, d.h. 5.05 % der Bohnen sind kleiner als 17.5 mm. z (24.0) = 24.0 - 20.85 = 1539 . 2.047 B-Tabelle: z = 1.539 → p = 0.0618, d.h. 6.18 % der Bohnen sind größer als 24.0 mm. p für Bohnen außerhalb des Bereichs von 17.5 bis 24.0 mm: p = 0.0618 + 0.0505 = 0.1123 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 5 LÖSUNGEN ZU A 16 ( 1. Seite) Fragen zur Normalverteilung und z-Verteilung 1.Aufgabe siehe A 14.3 (gestrichelte Linie) 2.Aufgabe Transformation in z: z = x −µ σ 18.7 - 20.85 = −1. 05 = 1. 05 2.047 B-Tabelle: z = 1.05 → p = 0.1469, d.h. 14.7 % der Bohnen sind kürzer als 18.7 mm. z(18.7) = 3.Aufgabe x −µ σ 18.77 - 20.85 z(18.77) = = −1. 02 = 1. 02 2.047 22.86 - 20.85 z(22.86) = = 0. 98 2.047 B-Tabelle: z = 1.02 → p = 0.1562, d.h. 15.62 % der Bohnen sind kleiner als 18.77 mm. B-Tabelle: z = 0.98 → p = 0.1635, d.h. 16.35 % der Bohnen sind größer als 22.86 mm. Transformation in z: z = Prozent der Bohnen zwischen 18.77 und 22.86 mm: 100 - 15.62 - 16.35 = 68.03 % 4.Aufgabe B-Tabelle: p = 0.3 → z = 0.524 da x < µ, muß z negativ sein: z = -0.524 x −µ z= x=z*σ+µ σ x = -0.524 * 2.047 + 20.85 x = 19.78 mm Die größte der 30 % der kleinsten Bohnen ist 19.78 mm. 6.Aufgabe 1029 Bohnen = x Bohnen = 1029 * y x= 100 z.B. 2.Aufgabe: 100% y% 1029 *14.69 = 151 100 x = 151 Bohnen x= 7.Aufgabe x −µ σ 24.91- 20.85 z(24.91) = = 1. 98 2.047 B-Tabelle: z = 1.98 → p = 0.039 Transformation in z: z = herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 6 Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Bohne größer oder gleich 24.91 mm ist, beträgt 2.39 %. LÖSUNGEN ZU A 16 ( 2. Seite) 8.Aufgabe Für zwei zufällig gezogene Bohnen gilt der Multiplikationssatz: p = p(24.91) * p(24.91) = 0.0239 * 0.0239 = 5.71 * 10-4 Die Wahrscheinlichkeit, daß zwei zufällig gezogene Bohnen beide größer als 24.91 mm sind, beträgt 0.057 %. 9.Aufgabe NV herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 7 LÖSUNGEN ZU A 17 Stichprobenverteilung der Mittelwerte für die Stichproben n = 10 (Länge der weißen Bohnen) 1.Aufgabe Häufigkeitsverteilung mit b = 0.2 mm x( i )mm 19.00 19.20 19.40 19.60 19.80 20.00 20.20 20.40 20.60 20.80 21.00 21.20 21.40 21.60 21.80 22.00 22.20 22.40 22.60 f 1 2 0 5 4 5 7 13 15 15 15 10 12 12 9 2 0 0 1 Σ( f )=128 Summe: x= s= F 1 3 3 8 12 17 24 37 52 67 82 92 104 116 125 127 127 127 128 F% 0.8 2.3 2.3 6.3 9.4 13.3 18.8 28.9 40.6 52.3 64.1 71.9 81.3 90.6 97.7 99.2 99.2 99.2 100.0 fx 19.00 38.40 0.00 98.00 79.20 100.00 141.40 265.20 309.00 312.00 315.00 212.00 256.80 259.20 196.20 44.00 0.00 0.00 22.60 Σ( fx )=2668.00 f x² 361.00 737.28 0.00 1920.80 1568.16 2000.00 2856.28 5410.08 6365.40 6489.60 6615.00 4494.40 5495.52 5598.72 4277.16 968.00 0.00 0.00 510.76 Σ( fx² )=55668.20 Σ ( fx) = 20. 8438mm Σ( f ) 1 Σ ( fx) * Σ (fx) 1 7..118 * 106 2 * Σ (fx ) − = 0.449127 = 0.67038 mm = 127 * 55668.2 − Σ (f) - 1 Σ (f) 128 2.Aufgabe Medianwertberechnung: Medianklasse: 20.70 - 20.90mm b = 0.2 mm n / 2 - FU 64 − 52 ~ ~=U µ + b = 20.7 + 0.2 * = 20.86 mm fMedian 15 ~ herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 8 LÖSUNGEN ZU A 18 Stichprobenverteilung der Mittelwerte für die Stichproben n = 40 (Länge der weißen Bohnen) 1.Aufgabe Häufigkeitsverteilung mit b = 0.2 mm x( i ) mm 20.20 20.40 20.60 20.80 21.00 21.20 21.40 21.60 Summe: x= s= f 9 13 19 32 35 13 6 1 Σ( f )=128 F 9 22 41 73 108 121 127 128 F% 7.0 17.2 32.0 57.0 84.4 94.5 99.2 100.0 fx 181.80 265.20 391.40 665.60 735.00 275.60 128.40 21.60 Σ( fx )=2664.60 f x² 3672.36 5410.08 8062.84 13844.50 15435.00 5842.72 2747.76 466.56 Σ( fx² )=55481.80 Σ ( fx) = 20. 8172 mm Σ( f ) 1 Σ ( fx) * Σ (fx) 1 7..100 * 106 2 * Σ (fx ) − . − = = 127 * 554818 Σ (f) - 1 Σ (f) 128 0.0970251 = 0.311489mm 2.Aufgabe Medianwertberechnung: Medianklasse: 20.70 - 20.90mm b = 0.2mm n / 2 - FU 64 − 41 ~ ~=U µ + b = 20.7 + 0.2 * = 20.84mm fMedian 32 ~ herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 9 LÖSUNGEN ZU A 21 Erläuterungen zum ZENTRALEN GRENZWERTSATZ, empirische Ableitung und theoretische Berechnung 1.Aufgabe individuell 2.Aufgabe µx = µ = 20. 85mm (s. A 13) σ 2. 047 σx = = = 0. 647 n 10 3.Aufgabe µx = µ = 20. 85mm (s. A 13) σ 2. 047 σx = = = 0. 324 n 40 4.Aufgabe µx% = 20.96mm (s. A 13) 1. 25 * σ 1. 25 * 2. 047 σx% = = = 0. 405 n 40 5.Aufgabe Zusammenfassung der berechneten und der theoretischen Werte 6.Aufgabe µ = 20.85 mm n = 20 σ = 2.047 mm z (68%) = 1 σx = σ 2. 047 = = 0. 458 n 20 Der gesuchte Mittelwert liegt im Bereich µ± z * σx . x(1) = µ − z * σx = 20.85 − 0. 458 = 20. 392 x(2) = µ+ z * σx = 20. 85 + 0. 485 = 21. 308 Der Mittelwert x einer Stichprobe liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% in dem Bereich von 20.392 bis 21.308 mm. herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 10 LÖSUNGEN ZU A 22 ( 1. Seite) Stichprobenverteilungen (Länge der weißen Bohnen), Standardfehler und Vertrauensbereich 1.Aufgabe µ = 20.85 mm n = 20 σ = 2.047 mm σx = 0.458 mm z(90%) = 1.645 (A-Tabelle) Der gesuchte Mittelwert liegt im Bereich µ± z * σx . x(1) = µ − z * σx = 20.85 − 1. 645 * 0. 458 = 20.10 x(2) = µ+ z * σx = 20. 85 + 1. 645 * 0. 485 = 21. 60 Der Mittelwert x einer Stichprobe liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % in dem Bereich von 20.10 bis 21.60 mm. 2.Aufgabe µ = 20.85 mm n = 20 σ = 2.047 mm σx = 0.458 mm z (99%) = 2.576 (A-Tabelle) Der gesuchte Mittelwert liegt im Bereich µ± z * σx . x(1) = µ − z * σx = 20.85 − 2.576 * 0. 458 = 19. 67 x(2) = µ+ z * σx = 20. 85 + 2. 576 * 0. 485 = 22. 03 Der Mittelwert x einer Stichprobe liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % in dem Bereich von 19.67 bis 22.03 mm. 3.Aufgabe µ = 20.85 mm n = 20 σ = 2.047 mm σx = 0.458 mm x - µ 21. 4 − 20. 85 = = 1. 2 σx 0. 458 B-Tabelle: z = 1.2 → p = 0.115, d.h. die Wahrscheinlichkeit beträgt 11.5 %. z= 4.Aufgabe µ = 20.85 mm σ = 2.047 mm x - µ= 0.2mm z(90%) = 1.645 (A-Tabelle) herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 11 x - µ ( x - µ) * n = σ/ n σ z * σ 1. 645 * 2. 047 n= = = 16.84 x-µ 0. 2 n = 284 z= LÖSUNGEN ZU A 22 ( 2. Seite) 5.Aufgabe n = 10 s sx = n Berechnung individuell 6.Aufgabe n = 40 s sx = n Berechnung individuell 7.Aufgabe z(68%) = 1 VB = x ± z * sx Berechnung individuell 8.Aufgabe individuell 9.Aufgabe z(90%) = 1.645 1. 25 * s sx% = n VB = x% ± z * sx% Berechnung individuell 10.Aufgabe z(50%) = 0.674 s ss = 2n VB = s ± z * ss Berechnung individuell 11.Aufgabe individuell herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 12 LÖSUNGEN ZU A 23 ( 1. Seite) Vergleich der Mittelwerte einer Stichprobe mit dem Mittelwert der Grundgesamtheit (z-Test und t-Test) 1.Aufgabe Parameter der Stichprobe: n = 60 x = 20.37 mm s = 1.99 mm Parameter der Grundgesamtheit: µ= 20. 85mm σ = 2. 047 mm 1.) H0: µ1 = µ, Bohnen gehören der Grundgesamtheit an HA : µ1 ≠ µ, Bohnen gehören nicht der Grundgesamtheit an 2.) α = 0.05; zweiseitige Fragestellung 3.) metrische Werte, normalverteilt, Parameter der Grundgesamtheit bekannt, monovariabel, 1 Stichprobe, n groß 4.) z-Test 5.) z krit = 1. 96 6.) z ber = x-µ 20.37 − 20.85 = = − 182 . = 182 . σ/ n 2.047 / 60 7.) zber < zkrit ⇒ H0 wird beibehalten; d.h. die Stichprobe gehört mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % zur Grundgesamtheit. 2.Aufgabe Parameter der Stichprobe: n = 10 x = 857 h ( berechnet ) s = 67.5 h (berechnet) Parameter der Grundgesamtheit: µ = 900 h 1.) H0: µ1 ≥ µ HA : µ1 < µ 2.) α = 0.05; einseitige Fragestellung 3.) metrische Werte, normalverteilt, µ bekannt, σ unbekannt, muß durch s geschätzt werden, monovariabel, 1 Stichprobe, n klein 4.) z-Test 5.) z krit = 1. 645 6.) zber = x - µ 857 − 900 = = − 2.01 = 2.01 s / n 67.5 / 10 7.) zber > zkrit ⇒ H0 wird abgelehnt, HA wird angenommen, d.h. die Behauptung des Fabrikanten kann auf dem 5 %-Niveau als unrichtig betrachtet werden. herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 13 Dieser Test ist hier fragwürdig, da n sehr klein ist und σ durch s geschätzt werden muß. Der Fehler, der gemacht wird, bleibt nur bei einem großen n gering. LÖSUNGEN ZU A 23 ( 2. Seite) 3.Aufgabe Parameter der Grundgesamtheit: 1.Art: µ1 = 2.24 mm σ1 = 0.41mm 2.Art: µ2 = 2.73 mm σ2 = 0.39 mm Parameter der Stichproben: A) x = 2.36mm s = 0.35mm n = 25 B) x = 2.63mm s = 0.97 mm n = 49 I. Überprüfung, ob die im ersten Moor gefundenen Samen zur 1.Art gehören 1.) H0: µ = µ1 HA: µ ≠ µ1 2.) α = 0.05, zweiseitig 3.) metrische Werte, normalverteilt, µ und σ bekannt, monovariabel, 1 Stichprobe n klein 4.) z-Test 5.) z krit = 1. 96 6.) z akt = x - µ 2. 36 − 2. 24 = = 1. 46 σ/ n 0. 41 / 25 7.) z akt < z krit ⇒ H0 wird beibehalten Die Samen gehören mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % zur 1.Art. II. Beim z-Test zur Überprüfung, ob die Samen der zweiten Stichprobe zur 2. Art gehören, ergibt sich, daß sie zu dieser Art gehören können. Je nach Fragestellung kann auch überprüft werden, ob die Standardabweichung (s = 0.97mm) zu einer Grundgesamtheit mit σ = 0.39 mm gehören kann; dann ergibt sich ein anderes Bild bezüglich der Zugehörigkeit: 1.) H0: σ2 = σ HA : σ2 ≠ σ 2.) α = 0.05, zweiseitig 3.) metrische Werte, normalverteilt, σ bekannt, monovariabel, 1 Stichprobe, n groß 4.) z-Test (der Standardabweichung) 5.) z krit = 1. 96 6.) z akt = s- σ s-σ 0. 97 − 0. 39 = = = 14. 7 σs σ / 2n 0. 39 / 2 * 49 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 14 7.) z akt >> z ber ⇒ H0 wird abgelehnt, HA wird angenommen, d.h. die Samen aus dem 2. Moor gehören mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % nicht zur 2. Art. Bei einem Test auf Zugehörigkeit zur 1. Art kam entsprechendes heraus. LÖSUNGEN ZU A 23 ( 3. Seite) 4.Aufgabe Berechnung und Zeichnung der Teststärkefunktion des z-Testes für: µ = 20.0 mm σ = 2.5 mm n = 25 α = 0.05 α-Fehler: β-Fehler: Fehler 1.Art; H0 wird abgelehnt, obwohl die Aussage in Wirklichkeit richtig ist bei α = 0.05 wird in 5 von 100 Fällen H0 abgelehnt, obwohl H0 zutrifft Fehler 2.Art; H0 wird beibehalten, obwohl die Aussage falsch ist, d.h. die Stichprobe gehört in Wirklichkeit zu einer fremden Grundgesamtheit Die Wahrscheinlichkeit, daß sie zur bekannten Grundgesamtheit gehört, ist jedoch größer als unsere vorgewählte Irrtumswahrscheinlichkeit, also wird sie zur bekannten Grundgesamtheit gerechnet. β ist abhängig von unserem vorgewählten α und von der "Entfernung" von µ und µA. bei µA = x krit ist z = 0 ⇒ β = 0,5 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 15 LÖSUNGEN z= ZU A 23 ( 4. Seite) µA − x krit x krit − µ0 = σx σx Beispiel: z (0.05) = 1.645 σ 2. 5 σx = = = 0.5mm n 25 xkrit = µ+ z * σx = 20. 0 + 1. 645 * 0.5 = 20. 82 mm µA [mm] 21.8 21.6 21.4 21.2 21.0 20.82 = xkrit 20.6 20.4 20.2 20.0 z -1.96 -1.56 -1.16 -0.76 -0.36 0 0.44 0.84 1.24 1.64 β 0.025 0.059 0.123 0.224 0.36 0.5 0.67 0.8 0.89 0.95 β β β β β β β β β β = Wert aus B-Tabelle = Wert aus B-Tabelle = Wert aus B-Tabelle = Wert aus B-Tabelle = Wert aus B-Tabelle = Wert aus B-Tabelle = 1 - Wert aus B-Tabelle = 1 - Wert aus B-Tabelle = 1 - Wert aus B-Tabelle = 1 - Wert aus B-Tabelle herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 16 5.Aufgabe größeres n der Stichprobe, kleineres α LÖSUNGEN ZU A 23 ( 5. Seite) 6.Aufgabe 1.) siehe Aufgabe A 23.1 2.) siehe Aufgabe A 23.1 3.) siehe Aufgabe A 23.1 4.) t-Test 5.) Fhg = n - 1 = 59 t krit = 2. 0008 (interpoliert) 6.) t ber = x - µ 20.37 − 20.85 = = − 187 . = 187 . s/ n 1.99 / 60 7.) t ber < t krit ⇒ H0 wird beibehalten Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% gehört die Stichprobe zur bekannten Grundgesamtheit. Das Ergebnis unterscheidet sich nicht von dem des z-Testes. 7.Aufgabe 1.) siehe A 23.2 2.) siehe A 23.2 3.) siehe A 23.2 4.) t-Test 5.) Fhg = n-1 = 9 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 17 t krit = 1.833 6.) t ber = x - µ 857 − 900 = = − 2.01 = 2.01 s / n 67.5 / 10 7.) t ber > t krit ⇒ H0 wird abgelehnt, HA wird angenommen Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% kann die Aussage des Fabrikanten als unrichtig betrachtet werden. Das Ergebnis unterscheidet sich nicht von dem des z-Testes. 8.Aufgabe metrische Werte normalverteilte Werte σ bekannt, s bekannt, µ bekannt wenn nur s bekannt, muß n groß sein monovariabel n > 25 9.Aufgabe metrische Werte normalverteilte Werte s bekannt µ bekannt monovariabel 10.Aufgabe Man kann statt eines z-Testes immer einen t-Test durchführen, da die t-Verteilung mit steigendem n in die Normalverteilung übergeht. LÖSUNGEN ZU A 24 ( 1. Seite) Vergleich der Kenngrößen einer Stichprobe mit denen der Grundgesamtheit 1. Aufgabe n = 120; 24 Reifen mangelhaft p= 24 = 0.2 => 20 % 120 q = 1- p = 0.8 => 80 % σ unbekannt; σP durch sP geschätzt werden σP ≈ sP = p * (1 − p ) = n 0.2 * 0.8 120 95 % Vertrauensbereich ( z - Verteilung ): 95% VB = p ± z * σp = 0.2 ± 1.96 * 0.0365 = 0.1285 bis 0.2715 = 0.0365 ⇒ 3.65 % z = 1.96 ⇒ VB (95 %) = 12.85 ↔ 27.15 % herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 18 Der 95 % Vertrauensbereich für den Prozentanteil mangelhafter Reifen dieser Fabrikationsserie liegt zwischen 12.85 und 27.15 %. 2. Aufgabe n = 100 Anteil verschimmelter Nüsse: p = 15 = 0.15 ⇒ 15 % 100 Standardfehler: σP ≈ sP = p * (1 − p ) = n 0.15 * 0.85 100 = 0.0357 ⇒ 3.57 % 3.Aufgabe π = 0.24 ( ≡ 24 % ) n = 40 p= 22 = 0.55 40 LÖSUNGEN Kontinuitätskorrektur: Fehler! ZU A 24 ( 2. Seite) Prozentanteiltest 1.) Ho: π A ≤ π H ( p ≤ π ) Anteil der Studentinnen in der Biologie ist kleiner oder gleich dem der Studentinnen an der RWTH HA: π A > π H ( p > π ) Anteil der Studentinnen in der Biologie ist größer als an der gesamten RWTH 2.) α = 0.05 ; einseitig 3.) nominale Daten, monovariabel, Binomialverteilung, 1 Stichprobe, n*p*q > 9 4.) Prozentanteiltest 5.) zkrit = 1.645 6.) zber = p −π 0.5375 − 0.24 = = 4.4 0.0675 π∗ (1 − π) n herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 19 7.) zber > zkrit 4.Aufgabe π h = 0.6 p= ⇒ H0 wird abgelehnt; HA wird angenommen ( auch beim zweiseitigenTest) d.h. der Anteil der Studentinnen bei den Biologen liegt signifikant höher. n = 60 29 = 0.483 60 Kontinuitätskorrektur: p = 29 + 0.5 = 0.492 60 a) 1.) H0: π = π h der Anteil der Raucher bei den Studenten ist gleich dem Raucheranteil bei der männlichen Bevölkerung HA : π ≠ π h der Anteil der Raucher bei den Studenten ist nicht gleich dem Raucheranteil bei der männlichen Bevölkerung 2.) α = 0.05 ; zweiseitig 3.) π bekannt, nominale Daten, monovariabel, Binomialverteilung, 1 Stichprobe, n*p*q > 9 4.) z-Test von Prozentanteilen 5.) zkrit = 1.96 p −π 0.492 − 0.6 = = − 1708 . = 1708 . 0.063 π * (1 − π) n 7.) zber < zkrit ⇒ H0 wird angenommen Der Anteil der Raucher ist bei den Studenten nicht signifikant unterschiedlich. 6.) zber = LÖSUNGEN ZU A 24 ( 3. Seite) b) 1). Ho : π ≥ π h der Anteil der Raucher bei den Studenten ist größer oder gleich dem Raucheranteil bei männlichen Bevölkerung HA : π < π h der Anteil der Raucher bei den Studenten ist kleiner als der Raucheranteil bei der männli chen Bevölkerung der 2). α = 0.05 ; einseitig 3). π bekannt, nominale Daten, monovariabel, Binomialverteilung, 1 Stichprobe, n*p*q > 9 4). z-Test von Prozentanteilen 5). zkrit = 1.645 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 20 6). zber = p−π 0. 48 − 0. 6 = = −1. 708 = 1. 708 π*(1 − π) 0. 063 n 7). zber > zkrit ⇒ H0 wird abgelehnt Der Anteil der Raucher ist bei den Studenten signifikant geringer. Ergebnis für 30 Raucher in der Stichprobe von 60 Studenten: π h = 0.6 p= n = 60 30 = 0.50 60 zber = Kontinuitätskorrektur: p = 30 + 0.5 = 0.508 60 p−π 0.508 − 0. 6 = = −1.455 = 1. 455 π*(1 − π) 0. 063 n ⇒ H0 wird in beiden Fällen angenommen, da zber < zkrit 5.Aufgabe Daten zu dichotomisieren ist die einfachste Form der Gruppenbildung, da die Daten nur in zwei Klassen eingeteilt werden: männlich/ weiblich; Raucher/ Nichtraucher; A / nicht A usw. Oft kommt es bei einer solchen Einteilung zu Informationsverlusten. LÖSUNGEN ZU A 24 ( 4. Seite) 6.Aufgabe durchschnittliche Brenndauer (behauptet): 900 Std. ( + : länger als 900 Std.; - kürzer als 900 Std.) herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 21 Stunden 774 793 802 812 825 860 883 915 926 980 Vorzeichen + + + Bei einer symmetrischen Verteilung um den Mittelwert von 900 Std. wäre die Zahl der positiven Abweichungen gleich der Zahl negativer Abweichungen. Anteil positiver Abweichungen: p = 0.3 Anteil negativer Abweichungen: q = 0.7 Test: Prozentanteiltest auf die Anzahl positiver Abweichungen 1.) Ho : π ≥ π h der Anteil positiver Abweichungen ist größer oder gleich dem negativer Abweichungen HA : π < π h der Anteil positiver Abweichungen ist kleiner als der negativer Abweichungen 2.) α = 0.05 ; einseitig 3.) nominale Daten, monovariabel, Binomialverteilung, 1 Stichprobe, n*p*q = 10*0,3*0,7 < 9 4.) Binomialtest, Prüfgröße p(x) 5.) pkrit = α = 0.05 6.) n 10 p( x ) = ∗ p x ∗ (1 − p) n − x = * 0.33 * 0.7 7 = 0.267 x 3 n n! = x ( n − x )!* x! 7.) pber > α ⇒ H0 wird beibehalten. Es ist keine signifikante Abweichung der Lebensdauer fest- LÖSUNGEN ZU zustellen. A 24 ( 5. Seite) 7.Aufgabe Wilcoxon-Test herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 22 Bestimmung der Rangsummen ( die geringste Abweichung erhält Rang 1) xi 915 883 926 860 825 980 812 802 793 774 xi - x 15 -17 26 -40 -75 80 -88 -98 -107 -126 Rang +1 Rang -2 +3 -4 -5 +6 V+ = 10 -7 -8 -9 -10 V = 45 1.) H0 : µ1 ≥ µ0 ; die durchschnittliche Brenndauer ist größer oder gleich dem angegebenen Wert HA : µ1< µ0 ; die durchschnittliche Brenndauer ist kleiner als der angegebene Wert 2.) α = 0.05 ; einseitig 3.) metrische Daten in ordinale überführt; nicht normalverteilt, monovariabel, 1 Stichprobe, n klein 4.) Wilcoxon-Test 5.) Vkrit = 10 6.) Vber = min (V+, V- ) = 10 7.) Vber = Vkrit ⇒ H0 wird abgelehnt; d.h. die durchschnittliche Brenndauer ist signifikant kleiner der angegebene Wert. als 8.Aufgabe • z-Test ist eigentlich nicht durchführbar ( Stichwort: Verteilungstyp nicht bekannt) • Vorzeichentest ist ebenfalls nicht geeignet ( n zu klein) • t-Test ist stärker als Wilcoxon-Test ( aber nicht gravierend) ⇒ t-Test ist der stärkste Test • Vorzeichentest verwendet die wenigsten Informationen ⇒ schwächster Test LÖSUNGEN individuell! LÖSUNGEN ZU A 25 ZU A 26 ( 1. Seite) Vergleich der Stichproben der Länge von weißen und roten Bohnen / Test für zwei Stichproben herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 23 1.Aufgabe: individuell 2.Aufgabe Formel: s∆x = s x1 − x 2 = s1 2 s2 2 + n1 n2 3.Aufgabe 1.) H0: σ1 = σ2 HA : σ1 ≠ σ2 2.) α = 0.05; zweiseitig 3.) metrische Daten, normalverteilt, monovariabel, 2 Stichproben, n groß 4.) F-Test 5.) Fkrit = 1.705 (interpoliert!) s2 2 s1 2 6.) Fber = FG1 = n1-1 = 39 FG2 = n2-1 = 39 mit s2 > s1 s1 und s2 individuell 7.) Fber < Fkrit ⇒ H0 wird beibehalten Fber > Fkrit ⇒ H0 wird verworfen 4.Aufgabe VB68% = ( x1 - x2) ± z * s∆x ; z = 1 s∆x = siehe A 26.2 5.Aufgabe VB90% = ( x1 - x2) ± z * s∆x ; z = 1.645 s∆x = siehe A.26.2 LÖSUNGEN ZU A 26 ( 2. Seite) herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 24 6.Aufgabe 1.) H0: µ1 = µ2 HA : µ1 ≠ µ2 2.) α = 0.05; zweiseitig 3.) metrische Daten, normalverteilt, monovariabel, 2 Stichproben, n groß 4.) z-Test 5.) zkrit = 1.96 6.) zber = x1 − x2 s1 2 s2 2 + n1 n 2 Werte individuell! ⇒ H0 wird verworfen 7.) zber > zkrit zber < zkrit ⇒ H0 wird beibehalten 7.Aufgabe 1.) siehe A 25.6 2.) " 3.) " 4.) T-Test 5.) tkrit = 1.9908 (interpoliert!) 6.) tber = x1 − x2 s1 2 s2 2 + n1 n 2 7.) tber > t krit tber < t krit Fhg = n1 + n2 - 2 = 78 Werte individuell! ⇒ H0 wird verworfen ⇒ H0 wird beibehalten 8.Aufgabe: individuell! 9.Aufgabe Frauen: 132 davon 12 Unfallbeteiligte Männer: 160 davon 20 Unfallbeteiligte p1 = 12 = 0. 09 132 p2 = 20 = 0.125 160 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 25 LÖSUNGEN ZU A 26 ( 3. Seite) Frage: Besteht ein signifikanter Unterschied in der Unfallhäufigkeit von Männern und Frauen? 1.) H0: π 1 = π 2 HA : π 1 ≠ π 2 2.) α = 0.05; zweiseitig 3.) nominale Daten, Binomialverteilung, monovariabel, 2 Stichproben, n*p*q > 9 4.) Prozentanteiltest über z-Verteilung 5.) zkrit = 1.96 p1 − p2 6.) zber = p * (1 − p ) * ( p= 1 1 + ) n 1 n2 = 0. 09 − 0.125 = 0. 9529 0.1096 * 0.8904 * 0. 0138 32 = 0.1096 292 7.) zber < zkrit ⇒ H0 wird beibehalten, d.h. es besteht kein signifikanter Unterschied in der Unfallhäufigkeit von Männern und Frauen. 10.Aufgabe 1. Stichprobe: 2.Stichprobe: n =20 n =30 x1 = 29.8 mm x2 = 27.2 mm s1 = 4.3 mm s2 = 7.2 mm Frage: Unterscheiden sich die Stichproben bezüglich ihrer Variabilität der Bohnen signifikant? 1.) H0: s1 = s2 HA : s1 ≠ s2 2.) α = 0.05; zweiseitig 3.) metrische Daten, normalverteilt, monovariabel, 2 Stichproben, n groß 4.) F-Test 5.) Fkrit = 2,077 (interpoliert!) 6.) Fber = ν 1 = 19 ν 2 = 29 s2 2 7 , 2 2 = = 2, 8037 s1 2 4, 32 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 26 7.) Fber > Fkrit ⇒ H0 wird verworfen, d.h. die Stichproben unterscheiden sich bezüglich ihrer Variabilität LÖSUNGEN ZU A 27 ( 1. Seite) Statistische Testverfahren für den Vergleich zweier Stichproben Studentinnen 160 1 163 2 165 3 Studenten 167 170 173 4 5 6 175 177 180 182 185 190 R1 = 17 7 8 9 10 11 12 R2 = 61 1.) H0: R1 = R2 ,d.h. es besteht kein signifikanter Unterschied in der Körpergröße HA : R1 ≠ R2 ,d.h. es besteht ein signifikanter Unterschied in der Körpergröße 2.) α = 0.05; zweiseitig 3.) metrische Daten in ordinale überführt, Verteilung unbekannt, monovariabel, 2 Stichproben, n zwei kleine 4.) U-Test 5.) Ukrit = 5 6.) für n1 = 5 n2 = 7 U = R1 − n1 * ( n1 + 1) 30 = 17 − =2 2 2 U ′ = R2 − n 2 * ( n 2 + 1) 56 = 61 − = 33 2 2 Uakt = min ( U;U´ )= 2 7.) Ukrit > Uakt ⇒ H0 wird abgelehnt, d.h. es besteht ein signifikanter Unterschied. Frage: Können Sie auch einen anderen Test anwenden? Welchen und weshalb? herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 27 Man könnte auch einen t-Test durchführen, wenn die Größen normalverteilt sind. LÖSUNGEN ZU A 27 ( 2. Seite) 2.Aufgabe Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Befund 15 17 18 21 22 27 Erwartung 20 20 20 20 20 20 ( B-E) -5 -3 -2 +1 +2 +7 (B-E)2 25 9 4 1 4 49 (B-E)2/E 1.25 0.45 0.20 0.05 0.20 2.45 2 χ = 4.60 1.) H0: Wahrscheinlichkeit p für jede Augenzahl ist p = 1/6 HA : Wahrscheinlichkeit p für jede Augenzahl ist p ≠ 1/6 2.) α = 0.05 ; zweiseitig 3.) nominale Daten, monovariabel, Binomialverteilung, 1 Stichprobe, n groß 4.) χ2-Anpassungstest für k Stufen 5.) χ2krit = 11.07 6.) χ2ber = für α = 0.05 und Fhg = k-1 = 6-1 = 5 (b − e )2 ∑ e = 4. 60 7.) χ2ber < χ2krit ⇒ H0 wird beibehalten, d.h. die Abweichungen sind zufällig. 3.Aufgabe Mendel-Theorie für die F2: Verhältnis 9:3:3:1 erwartet gelb/glatt gelb/kantig grün/glatt grün/kantig Befund Erwartung B-E ( B-E )2 ( B-E )2 / E 315 108 101 31 312.2 104.1 104.1 34.7 2.8 3.9 -3.1 -3.7 7.84 15.21 9.61 13.69 0.025 0.146 0.092 0.395 χ2 = 0.658 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 28 1.) H0: Es ergibt sich das Verhältnis 9:3:3:1. HA : Es ergibt sich kein Verhältnis von 9:3:3:1. 2.) α = 0.05 ; zweiseitig 3.) nominale Daten, monovariabel, mehrfach gestuft, Binomialverteilung, 1 Stichprobe, n groß LÖSUNGEN ZU A 27 ( 3. Seite) 4.) χ2-Anpassungstest für k Stufen 5.) χ2krit = 7.81 6.) χ2ber = für α = 0.05 und Fhg = k-1 = 4-1 = 3 (b − e )2 ∑ e = 0. 658 7.) χ2ber < χ2krit ⇒ H0 wird beibehalten, d.h. es ergibt sich ein Verhältnis von 9:3:3:1. p (0.658) ≈ 0.90 (χ2-Tabelle) ⇒ Der gefundene Wert liegt so nahe am theoretischen Wert, daß 90 % p (0.584) = 0.90 aller Experimente weiter vom theoretischen Wert entfernt sind. p (1.00) = 0.80 Nur 10 % aller Experimente werden die Theorie mit einem so guten (interpoliert p(0.658) = 0.88) Ergebnis bestätigen. 4.Aufgabe Anteil Studentinnen Anteil Biologiestudenten Studentinnen Studenten 24% 55% p = 22/40 = 0.55 Befund Erwartung B-E ( B-E )2 ( B-E )2 / E 22 18 9.6 30.4 12.4 -12.4 153.76 153.76 16.02 5.06 χ2 = 21.08 1.) H0: Es gibt bei den Biologen nicht mehr Frauen als an der übrigen TH. HA : Es gibt bei den Biologen mehr Frauen als an der übrigen TH. 2.) α = 0.05 ; zweiseitig 3.) nominale Daten, monovariabel, Binomialverteilung, 1 Stichprobe, n groß 4.) χ2-Anpassungstest für k Stufen 5.) χ2krit = 3.84 6.) χ2ber = für α = 0.05 und Fhg = k-1 = 2-1 = 1 (b − e ) 2 ∑ e = 21. 08 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 29 7.) χ2ber > χ2krit ⇒ H0 wird abgelehnt, d.h. bei den Biologen gibt es signifikant mehr Frauen als an der übrigen TH. Die Ergebnisse beider Tests stimmen überein. herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 30 LÖSUNGEN ZU A 27 ( 4. Seite ) 5.Aufgabe Unfall kein Unfall 12 20 32 120 140 260 Frauen Männer 132 160 n =292 1.) H0: Es besteht kein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Unfallhäufigkeit. HA : Es besteht ein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Unfallhäufigkeit. 2.) α = 0.05 ; zweiseitig 3.) nominale Daten, n groß, monovariabel, Binomialverteilung, 2 Stichproben (auch möglich: 1 Stichprobe, bivariabel (Geschlecht, Unfallhäufigkeit)) 4.) χ2-Vierfeldertest 5.) χ2krit = 3.84 6.) für α = 0.05 und Fhg = 1 ( a * d − b * c) 2 * n (12 * 140 − 120 * 20 ) 2 * 292 = = 0.86 ber = ( a + b) * ( c + d ) * (a + c ) * (b + d ) (12 + 120 ) * ( 20 + 140) * (12 + 20) * (120 + 140 ) χ2 7.) χ2ber < χ2krit ⇒ H0 wird beibehalten, d.h. es besteht kein signifikanter Zusammenhang zwischen Geschlecht und Unfallhäufigkeit. 6.Aufgabe gut geholfen Kontrollgruppe Versuchsgruppe 25 25 50 mäßig geholfen nicht geholfen 50 40 90 76 34 110 151 99 n = 250 1.) H0: keine Wirkung des Kopfschmerzmittels - homogene Verteilung HA : Kopfschmerzmittel hat Wirkung - inhomogene Verteilung 2.) α = 0.05 ; zweiseitig 3.) nominale Daten, n groß, monovariabel (3-fach gestuft), 2 Stichproben (oder: bivariabel, 1 Stichprobe) 4.) χ2-Kontingenztafel ⇒ Prüfung auf Homogenität 5.) χ2krit = 5.99 6.) für α = 0.05 und Fhg = ( r-1 ) * ( c-1 ) = 2 r c nij 2 252 50 2 76 2 252 40 2 34 2 χ2ber = n * ∑ ∑ − 1 = + + + + + − 1 * 250 = 6 .6 i = 1 j = 1 n i.*n j. 151 * 50 151 * 90 151 * 110 99 * 50 99 * 90 99 * 110 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 31 7.) χ2ber > χ2krit ⇒ H0 wird abgelehnt, d.h. das Schmerzmittel übt eine signifikante Wirkung aus. LÖSUNGEN ZU A 28 ( 1. Seite) Zusammenhänge zwischen zwei Merkmalen (Korrelationen) und Varianzanalyse 1.Aufgabe Teich A B C sehr klein 20 25 30 75 klein 36 30 24 90 mittel 44 20 16 80 groß 38 12 10 60 138 87 80 n = 305 1.) H0: homogene Verteilung,d.h. kein Zusammenhang zwischen Höhenlage und Entwicklungsstand HA : inhomogene Verteilung,d.h. Zusammenhang zwischen Höhenlage und Entwicklungsstand 2.) α = 0.05 ; zweiseitig 3.) nominale Daten, bivariabel, 1 Stichprobe, n groß 4.) χ2-Kontingenztafel ⇒ Prüfung auf Homogenität 5.) χ2krit = 12.59 für α = 0.05 und Fhg = ( r-1 ) * ( c-1 ) = ( 3-1 ) * ( 4-1 ) = 6 2 2 r c 6.) χ2 ber = n * ∑ ∑ n ij − 1 = 20 i = 1 j = 1 n i.*n j . 138 * 75 + 362 138 * 90 + 44 2 138 * 80 + 38 2 138 * 60 + +...−1 * 305 = 24 .21 87 * 75 252 7.) χ2ber > χ2krit ⇒ H0 wird abgelehnt, d.h. es besteht ein signifikanter Zusammenhang zwischen der Höhenlage und dem Entwicklungsstand der Kaulquappen. 2.Aufgabe Kontingenzkoeffizient ckorr ckorr = c= c c max χ2 = χ2 + n ckorr = (liegt immer zwischen 0 und 1!) c c max = 24. 21 = 0. 271 24. 21 + 305 c max = r −1 3−1 = = 0.816 mit r < c r 3 0. 271 = 0. 33 0. 816 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 32 3.Aufgabe Grundprinzip der Varianzanalyse: siehe Vorlesung! LÖSUNGEN ZU A 28 ( 2. Seite) 4.Aufgabe SAQ (zwischen) = 1220 SAQ (innerhalb) = 4400 k=4 N = ∑ ni = 48 1.) H0: keine Beeinflussung des Wachstums durch die Substanz HA : Beeinflussung des Wachstums durch die Substanz 2.) α = 0.05 ; einseitig 3.) metrische Daten, monovariabel, 4 Stichproben, n klein 4.) Varianzanalyse 5.) Fkrit = 2.824 (interpoliert!) MQ ( zwischen ) = 6.) MQ ( innerhalb) = Fber = ν 1 = k-1 = 3 ν 2 = N-k = 44 SAQ ( zwischen ) 1220 = = 406. 7 k −1 3 SAQ ( innerhalb) 4400 = = 100 N−k 48 − 4 MQ ( zwischen ) 406.7 = = 4.07 MQ ( innerhalb) 100 7.) Fber > Fkrit ⇒ H0 wird abgelehnt, d.h. die Substanz beeinflußt das Wachstum. 5. - 10.Aufgabe: individuell ! LÖSUNGEN ZU A 29 U N D A 30 individuell ! herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 33 LÖSUNGEN ZU A 31 ( 1. Seite) Wiederholung verschiedener Verfahren 1.Aufgabe: siehe Vorlesung 2.Aufgabe: siehe Vorlesung 3.Aufgabe See A: x = 34 mm s = 8 mm n = 12 See B: x = 28 mm s = 9 mm n = 15 1.) H0: µA = µB HA : µA ≠ µB 2.) α = 0.05; zweiseitig 3.) metrische Daten, normalverteilt, monovariabel, 2 Stichproben, n klein 4.) T-Test für zwei Stichproben ( F-Test nicht nötig, da sA und sB nahe beieinander liegen) 5.) tkrit = 2.06 6.) tber = Fhg = n1 + n2 - 2 = 25 x1 − x2 34 − 28 = = 1.8314 2 2 64 81 s1 s 2 + + n1 n 2 12 15 7.) tber < t krit ⇒ H0 wird beibehalten, d.h. die Zahnkarpfenpopulationen unterscheiden sich auf dem 5%-Niveau nicht bezüglich ihrer Länge. 4.Aufgabe Grundgesamtheit Stichprobe pkorr = blau 0.66 0.75 violett 0.34 0.25 90 − 0. 5 = 0. 746 120 1.) H0: π = π 0 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 34 HA : π ≠ π 0 2.) α = 0.05; zweiseitig 3.) nominale Daten, Binomialverteilung, monovariabel, 1 Stichprobe, σ bekannt, n*p*q > 9 4.)Prozentanteiltest 5.) zkrit = 1.96 LÖSUNGEN 6.) zber = ZU A 31 ( 2. Seite) pkorr − π0 0. 746 − 0. 66 = = 1. 989 0. 0432 π0 *(1 − π0 ) / n 7.) zber > zkrit ⇒ H0 wird abgelehnt, d.h. die beiden Populationen unterscheiden sich bezüglich der Verhältnisse ihrer Farbformen. 5.Aufgabe Wein A B C D E F G H Prüfer 1 2 1 5 3 4 7 8 6 Prüfer 2 2 3 4 1 5 7 6 8 d 0 2 1 2 1 0 2 2 d2 0 4 1 4 1 0 4 4 2 Σd = 18 Frage: Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Bewertungen der beiden Prüfer? 1.) H0: Prüfer bewerten zufällig HA : Prüfer bewerten nicht zufällig 2.) α = 0.05; zweiseitig 3.) Rangskala, 1 Stichprobe, bivariabel (Weinsorte, Bewertungszahl) 4.) Rangkorrelation nach Speermann 5.) kritischer Wert: α = 0.05 6.) aktueller Wert: p für Σd2 = 18 und n =8 ⇒ p = 0.014 ( aus T8) 7.) pΣd 2 < α ⇒ H0 wird abgelehnt, d.h. die beiden Prüfer bewerten nicht zufällig. Es besteht ein Zusammenhang. herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 35 LÖSUNGEN ZU A 31 ( 3. Seite) 6.Aufgabe 1.Gruppe Rang 1.9 2.5 2.6 6.5 2.8 2.9 3.0 3.1 3.3 9 10 11.5 13 14 3.6 2.Gruppe 1.7 1.9 2.1 2.3 2.6 2.7 Rang 1 2.5 4 5 6.5 8 3.0 11.5 3.4 15 16 R1 = 82.5 R2 = 53.5 1.) H0: Lungenvolumen unabhängig vom Sport HA : Lungenvolumen abhängig vom Sport 2.) α = 0.05; zweiseitig 3.) metrische Daten in ordinale überführt, keine Normalverteilung, monovariabel, 2 Stichproben, beide n klein 4.) U-Test (Wilcoxon-Mann-Whitney-Test) 5.) Ukrit = 13 6.) U = R1 − für n1 = 8 und n2 = 8 n1 * ( n1 + 1) 8 *9 = 82. 5 − = 46.5 2 2 herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 36 U ′ = R2 − n 2 *( n 2 + 1) 8 *9 = 53.5 − = 17. 5 2 2 Ua k t = min ( U, U´ ) = 17.5 7.) Ukrit < Ua k t ⇒ H0 wird beibehalten, d.h. es besteht kein signifikanter Unterschied. herausgegeben von H.T. Ratte und Mitarbeitern, Lehrstuhl für Biologie V, RWTH Aachen 37