Formelsammlung Statistik II SS 2006

Formelsammlung Statistik II SS 2006
Allgemeine Formeln
V AR (x) = E x2 − E 2 (x) ,
1
n
P
x2i −
1
n
P 2
x
V AR (x2 − x1 ) = V AR (x1 ) + V AR (x2 ) − 2 · COV (x2 − x1 )
σ̂ 2 =
n
n−1
· s2 =
SAQ
n−1
σ̂x =
√σ̂
n
Abstand der Erwartungswerte in Standardeinheiten: d′ = z0 − z1
Faires Kriterium: z1 (x0 ) = −z2 (x0 ) , x0 =
σx
Konfidenzintervall: x±z(1−α/2) ·b
x1 ·σx2 +x2 ·σx1
σx1 +σx2
(für Pop-Parm)
µ±z(1−α/2) ·b
σx
(für Mittelwert)
z-Test für unabhängige Stichproben, n1 + n2 ≥ 50, homogene Varianzen
(X 1 −X 2 )−(µ1 −µ2 )
2
ist standardnormalverteilt, es gilt σ∆X
=
r
n1 s21 +n2 s22
1
1
Aus Stichproben: σ
b∆X =
n1 +n2 −2 · n1 + n2
z=
σ
b∆X
σ12
n1
+
σ22
n2
t-Test für unabhängige Stichproben, n1 + n2 < 50, homogene Varianzen, Merkmal normalverteilt
t=
(X 1 −X 2 )−(µ1 −µ2 )
σ
b∆X
σ
b∆X =
q
ist t-verteilt mit df = n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden
n1 s21 +n2 s22
n1 +n2 −2
· ( n11 +
1
n2 )
t-Test für abhängige Stichproben (N < 30), Merkmal normalverteilt
d ist die Differenz der Meßwertpaare; d ist das arithm. Mittel der Differenzen
d
ist t-verteilt mit df = n − 1 (Anzahl Paare) Freiheitsgraden
t = d−µ
σ
b
d
σ
bd =
σ
bd
√
n
σ
bd =
qP
(di −d)2
n−1
=
q
n·s2d
n−1
Einzelne: σ
bd =
q
Kritische z-Werte der Standardnormalverteilung
z0
1.64
1.96
2.33
2.58
F (z ≤ z0 )
0.95
0.975
0.99
0.995
1
n
2
n−1 (s1
+ s22 − 2 · cov(x1 , x2 ))
Mehrstichprobentests für unabhängige Gruppen homogener Varianz, normalverteiltem Merkmal und unabhängigen Fehlerkomponenten
Einfaktorielle Varianzanalye: xij = µ + αj + eij
P P
dftot = n · p − 1
QStot = ni=1 pj=1 (xij − G)2
P
QStreat = n · pj=1 (X̄j − Ḡ)2
dftreat = p − 1
P P
QSf ehler = ni=1 pj=1 (xij − xj )2
dff ehler = (n − 1) · p
F =
2
σ̂treat
2
σ̂f ehler
ist F-verteilt mit p-1 Zähler- und p(n-1) Nennerfreiheitsgraden
A-priori-Kontraste
t=
D
σ̂∆X̄ ,
D=
2
σ̂∆
X̄
ist t-verteilt mit p(n-1) Freiheitsgraden
P
P
cj · X j ,
cj = 0
P
= n1 · cj 2 · σ̂f2 ehler
t2 = F(1;dff ehler ) ⇐⇒ F =
(Kontrastbedingung)
D2
2
σ̂∆
X̄
A-posteriori-Test, (Scheffé-Test)
r
Dcrit =
2·(p−1)·σ̂f2 ehler ·F(dftreat ;dff ehler ;1−α)
n
zweifaktorielle Varianzanalyse
xijk = µ + αi + βj + αβij + eijk
P P
P
QStot = pi=1 qj=1 nk=1 (xijk − G)2
QSA = n · q ·
QSB = n · p ·
QSA×B = n ·
additiv
AB ij
QSf ehler
Pp
i=1
Pq
j=1
Pp
i=1
Ai − G
2
Bj − G
Pq
j=1
dftot = n · p · q − 1
2
dfA = p − 1
dfB = q − 1
additiv 2
AB ij − AB ij
= Ai + B j − G
P P
P
= pi=1 qj=1 nk=1 (xijk − AB ij )2
, dfA×B = (p − 1) · (q − 1)
dff ehler = (n − 1) · p · q
2
2 )
Prüfvarianz (σ̂test
A fest
B fest
σ̂f2 ehler
σ̂f2 ehler
σ̂f2 ehler
zu prüfende Varianz
2
σ̂A
2
σ̂B
2
σ̂AxB
A fest
B zufällig
2
σ̂AxB
σ̂f2 ehler
σ̂f2 ehler
A zufällig
B zufällig
2
σ̂AxB
2
σ̂AxB
σ̂f2 ehler
A-priori-Kontraste
Pp
ci ·Ai )2
Pi=1
, FA
p
2
i=1 ci
2
σ̂D(A)
=
n·q·(
2
σ̂D(B)
=
n·p·(
2
σ̂D(A)
=
Pq
cj ·B j )2
Pj=1
, FB
q
2
j=1 cj
2
σ̂test
=
, dfzähler = 1, dfnenner = dfσ̂test
2
2
σ̂D(B)
2
σ̂test
, dfzähler = 1, dfnenner = dfσ̂test
2
Bedingte Einzelvergleiche:
2
σi(j)
=
«2
„
P
ci(j) ·AB ij
n·
i
P
i
n·
2
σj(i)
=
P
j
c2i
cj(i) ·AB ij
P
j
c2j
!2
,F =
2
σi(j)
2
σ̂F ehler
, Si(j) = [(p − 1) + (p − 1) (q − 1)]·F(dfA +dfA×B ,dfF ehler,1−α )
,F =
2
σj(i)
2
σ̂F ehler
, Sj(i) = [(q − 1) + (p − 1) (q − 1)]·F(dfB +dfA×B ,dfF ehler,1−α )
Der F − Wert ist mit dem S− Wert zu vergleichen.
A-posteriori-Einzelvergleiche (Scheffé-Test)
Dif fcrit (A) =
Dif fcrit (B) =
r
r
Dif fcrit (AB) =
2
2·dftreat(A) ·σ̂test
·F(df
treat(A) ;df (test);1−α)
n·q
2
2·dftreat(B) ·σ̂test
·F(df
r
treat(B) ;df (test);1−α)
n·p
2·(p·q−1)·σ̂f2 ehler ·F(p·q−1;dff ehler ;1−α)
n
Varianzanalyse mit Meßwiederholung, einfaktoriell, q− Messwiederholungen
QS-Zerlegung und Freiheitsgrade:
QStot = QSzwV P n + QSinV P n
QSinV P n = QStreat + QSres
3
QdV
zwVPn
inVPn
treat
res
tot
df
(n − 1)
n · (q − 1)
(q − 1)
(q − 1) · (n − 1)
q·n−1
2 .
Testung des Effekts und der apriori-Kontraste an der σres
Aposteriori (Scheffe):
Dif fcrit =
s
2 ·F
2 · (q − 1) · σ̂res
(dftreat ,dfres ,1−α)
n
Test auf Gleichverteilung von Häufigkeiten
P
(oi −ei )2
ist χ2 -verteilt mit (m-1) Freiheitsgraden
χ2 = m
i=1
ei
Test auf Unabhängigkeit bei nominalskalierten Daten
P Pn (oij −eij )2
ist χ2 -verteilt mit (m-1)·(n-1) Freiheitsgraden
χ2 = m
i=1
j=1
eij
eij =
Zeilensumme(i)×Spaltensumme(j)
n
ist auch Test der Signifikanz der P hi-Korrelation rφ aus
+
-
A
C
+
B
D
r
χ2
rφ = p
=
N
(A + B) (C + D) (A + C) (B + D)
r
rφ
ps qt
,
rmax =
·
mit pt ≥ qt
rcorr =
rmax
qs pt
B·C −A·D
U - Test
Bringe Messobjekte aus zwei unabhängigen Gruppen mit Umfängen n1 und n2 in eine
gemeinsame Rangreihe. Bilde Rangsummen T1 und T2 . Berechne U − Wert und bilde zTeststatistik:
q
n1 ·(n1 +1)
n1 ·n2 (n1 +n2 +1)
n1 ·n2
u
z = U σ−µ
;
U
=
n
·
n
+
−
T
;
µ
=
;
σ
=
1
2
1
U
U
2
2
12
U
Correction for ties:
σU,Korr =
r
v
u
k
u n3 − n X
t3i − ti
n1 · n2
·t
−
n · (n − 1)
12
12
i=1
4
mit n = n1 + n2 , ti = Personen, die sich Rang i teilen (Länge der Rangbindung) und k =
Anzahl der Rangbindungen (Gruppen mit gleichen Rängen). Ferner gilt
U + U ′ = n1 · n2
wobei U ′ der Wert für Gruppe 2 ist. Für n1 , n2 < 20 nutze gesonderte Tabelle kritischer
U - Werte (für den kleineren der Werte U, U ′ . Für U ′ gilt n′1 = n2 , n′2 = n1 ).
Wilcoxon - Test
Bilde Differenzen di von Messwerten für vorher - nachher Messungen. Weise den Beträgen
|di | Rangplätze zu. Ignoriere 0- Differenzen (n wird um die Anzahl der 0- Differenzen reduziert). Bilde Rangsumme für die Abweichungen mit dem selteneren Vorzeichen, T .
Berechne normalverteilte Teststatistik z (für Anzahl Messpaare n ≤ 25 gesonderte Tabelle).
s
z=
T −µT
σT
; µT =
n·(n+1)
;
4
n·(n+1)·(2·n+1)−
k
P
i=1
σT,Korr =
24
t3 −ti
i
2
Vorzeichen - Test
Bestimme für eine Reihe von n Messwerten, die Anzahl k der Fälle, die kleiner als ein vorher gesetzter Normwert, x0 sind. Betrachte das Problem als Wurf einer fairen Münze und
bestimme die Wahrscheinlichkeit P (j ≤ k|n) in der Binomialverteilung mit der Grundwahrscheinlichkeit p = 0.5.
Binomialverteilung und Approximation durch die Normalverteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion
n
· pk · q n−k ;
Dichte: P (k |n ) =
k
k X
n
· pj · q n−j
höchstens k mal: P (j ≤ k |n ) =
j
j=0
mindestens k+1 mal:
n
X
n
· pj · q n−j
P (j ≥ k + 1 |n ) =
j
j=k+1
wobei P (j ≥ k + 1 |n ) = 1 − P (j ≤ k |n ) gilt und q = 1 − p ist.
Für die Binomialverteilung B [n; p] gilt:
µ=n·p
σ2 = n · p · q
Gilt ferner n · p · q ≥ 9, so gilt die Approximation durch die NV
B [n; p] ∼ N [µ; σ]
5
Testen von Varianzunterschieden
σ̂ 2
F = σ̂12 ist F-verteilt mit (n1 -1) Zähler- und (n2 -1) Nennerfreiheitsgraden. Die grössere
2
Varianz ist in den Zähler zu stellen.
Bartlett - Test
prüft Varianzhomogenität aus p− Stichproben des Umfangs ni mit χ2 − Statistik bei
df = p − 1.
!
!
X
X
2.303
2
2
2
·
(ni − 1) · log10 σ̂F ehler −
(ni − 1) · log10 σ̂F ehler(i)
χ =
C
i
i
mit
C =1+

1
·
3 · (p − 1)
X
i

1
1

−P
ni − 1
(ni − 1)
i
Wahrscheinlichkeit
Typ
disjunkte
allgemeine Addition
Unabhängigkeit
Unabhängigkeit
bedingte WK
totale WK
Bayes
Formel
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A|B) = P (A) P (B|A) = P (B)
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
P (A ∩ B)
P (A|B) =
P P (B)
P (B) = P (B|Ai ) P (Ai )
P (B|Ai ) P (Ai )
P (Ai |B) = P
P (B|Ai ) P (Ai )
Kombinatorik
(n- Elemente, k - ”Plätze”), Def.: 0! = 1.
mit Wiederholung
nk
Reihenfolge wichtig
Reihenfolge egal
n+k−1
(n + k − 1)!
=
k
k! (n − 1)!
6
ohne Wiederholung — nicht alle verschieden
n!
n!
n1 !n2 ! . . . nk !
(n − k)!
n
n!
=
k
k! (n − k)!