Einführung in die Supersymmetrie

Einführung in die Supersymmetrie
WS 07/08
Jens Honer
Universität Stuttgart
Seminar Gruppen in der Physik
Vortrag vom 14. Februar 2008
Version 11. März 2008
Seek and ye shall find, they say; but they don’t say what you’ll find.
– Cheshire Cat.
[email protected]
Einführung in die Supersymmtie
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
1
2 Einführung
2.1 Coleman-Mandula-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Graduierte Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
3 Supersymmetrie-Algebra
3.1 Lorentz-Gruppe . . . . . .
3.2 Supersymmetrie-Algebra .
3.3 Masselose Supermultiplets
3.4 Massive Supermultiplets .
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6
6
6
12
14
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Superfeldern
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18
18
20
24
28
5 Spontane Brechung der Supersymmetrie in
Tree-Approximation
5.1 Allgemeines Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 F-Term Symmetriebrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
35
6 Supersymmetrische Eichtheorie
6.1 Abelsch U (1)-Eichtheorie und deren Supersymmetrische Erweiterung . . . . . . . .
6.2 D-Term Supersymmetrie-Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
38
44
A Grassmann-Zahlen
47
B Majorana-Spinoren
48
C Crashkurs Eichtheorie
49
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4 Supersymmetrische Feldtheorie
4.1 Der Superraum . . . . . . . . . . . .
4.2 Allgemeine Superfelder . . . . . . . .
4.3 Chirale und lineare Superfelder . . .
4.4 Renormierbare Theorien von chiralen
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Einführung in die Supersymmetrie
1
Vorwort
Vorwort
Unter dem Begriff Supersymmetrie versteht man eine Verallgemeinerung der Raumzeitsymmetrien,
namentlich der Poincaresymmetrie. Dass es eine derartige, nichttriviale Erweiterung der Poincaresymmetrie überhaupt gibt war zu Anfang recht überraschend. Im Jahre 1967 haben Coleman und
Mandula bewisen, dass dies nicht möglich ist. Durch aufweichen einer der Voraussetzungen gelang
es Haap, Lopuszanski und Sohnius 1973 das Coleman-Mandula-Theorem zu umgehen. Wie dies
genau geschieht, werde ich im Abschnitt 3 behandeln.
Speziell schafft die Supersymmetrie eine Verbindung zwischen Bosonen und Fermionen. Dies
ist in sofern erstaunlich, da diese sich jeweils komplett anders verhalten. Während Bosonen gerne
zusammenklumpen (Bose-Einstein-Kondensation), stossen sich Fermionen voneinander ab (Pauliprnzip)1 . Etwas präziser formuliert haben Bosonen und Fermionen jeweils andere Statistiken.
Die Verbindung zwischen den beiden Teilchensorten äussert sich nun dadurch, dass jedes Teilchen
mindestens einen so genannten Superpartner bekommt, also ein Teilchen mit entgegengesetzter
Statistik.
Diese Partnerteilchen wurde bis jetzt noch nicht beobachtet. Wenn es also Supersymmetrie gibt,
so ist sie definitiv gebrochen. Hierzu gibt es einige Theorien, wobei aufgrund der fehlenden Daten
eine Bewertung dieser schwer fällt. Das minimale supersymmetrische Standardmodel (MSSM) ist
ein Modell ohne Gravitation, welches die Symmetrie explizit bricht. Die Symmetriebrechenden
Terme werden also von Hand eingefügt, was zu 124 freien Parametern führt (das Standardmodell
der Teilchenphysik besitzt 18), was für eine fundamentale Theorie absolut nicht befriedigend ist.
Jedoch gibt es auch Vorschläge von Thorien, die mit nur 5 Parametern auskommen. Bei diesen
muss man allerdings die Gravitation mitnehmen, was an sich schon zu Problemen führt.
Spin 0
Spin 1/2
Gluon / Gluino
SU (3)C
SU (2)T
U (1)Y
g
8
0
0
W
 W2 
W2
1
+1
0
−1
0
B
1
0
0
3
+ 21
− 12
+ 16
g̃
1


W̃
 W̃ 2 
W̃ 3
W Boson / Wino
B Boson / Bino
B̃
Quarks / Squarks
Leptonen / Sleptonen
Spin 1
ũ
d˜
L
u
d

1

L
ũR
uR
3
0
− 23
d˜R
ν̃
ẽ L
dR
ν
e L
3̄
0
+ 13
1
+ 21
− 12
− 12
eR
1
0
+1
1
+ 21
− 12
− 12
1
+ 21
− 12
+ 21
ẽR
Higgs / Shiggs
h0d
h−
d
h+
d
h0d
h̃0d
h̃−
d
h̃+
d
h̃+
d
Tabelle 1.1: Teilchenspektrum des MSSM. Die Indices R und L beiden Squarks und Sleptonen
bezeichnen natürlich keine Händigkeit. Sie sollen aber an die zugehörigen links- bzw. rechtshändigen
Superpartner erinnern. Die Indices u und d beziehen sich auf die Quarks, denen sie über YukawaKopplung Masse geben. Aus den 4 Higgs-Duplets 5 physikalische Higgs-Teilchen, drei neutrale
sowie zwei geladene.
1 Das
ist natürlich sehr bildlich gesprochen. Die Wahrheit ist, wie so oft, deutlich komplexer.
1
Einführung in die Supersymmetrie
Vorwort
Die Frage, die sich natürlich stellt, ist natürlich: Warum sollte diese (gebrochene) Symmetrie
überhaupt existieren?
Die Gründe hierfür basieren, wie üblich wenn eine neue Theorie gefordert wird, darauf, dass die
jetzige Theorie, also das Standardmodell (SM) der Teilchenphysik, Phänomene nicht erklären kann,
sowie gewisse Eigenschaften relativ willkürlich erscheinen. Im folgenden möchte ich drei Gründe
aufzählen, warum es Supersymmetrie geben sollte. Dies sind bei weitem nicht die einzigen Gründe,
und die Supersymmetrie ist auch nicht die einzige Theorie, welche diese Probleme löst.
Der erste ist das sogenannte Hirarchie-Problem. Das in einem der vorigen Vorträge kurz angesprochene Higgs-Teilchen wurde im Experiment noch nicht beobachtet. Von der theoretischen Seite
lässt sich seine Masse auf ungefähr 174 GeV vorhersagen. Hierbei werden allerdings Strahlungskorrekturen von Fermionen nicht berücksichtigt. Mit diesen divergiert die Masse quadratisch, was zu
einer Renormierung der Masse des Higgs-Teilchens führt. Das nun auftretende Problem ist, dass
dabei zwei sehr grosse Zahlen sehr exakt aufeinander abgestimmt sein müssen. Dieses fine-tuning
ist von physikalischer Seite her nicht zu verstehen.
Im SM werden alle Wechselwirkungendurch Eichtheorien beschrieben, deren Eichkopplungen
von der betrachteten Energieskala abhängen. Man erwartet nur, dass diese sich im Bereich von
∼ 1016 GeV treffen. Da es derer drei gibt, ist das ein nichttriviales Problem, und funktioniert im
Rahmen des SM auch tatsächlich nicht. Unter Berücksichtigung der Supersymmetrie treffen sich
die Kopplungskonstanten in einem Punkt. Natürlich bleibt auch hier die Frage, warum sich die
Kopplungskonstanten überhaupt treffen sollten.
Der dritte Grund ist die Existenz von dunkler Materie, für welche die Supersymmetrie einen
passenden Kandidaten bereitstellt. Das Problem ist, dass die Materie, welche wir im Universum
sehen, bei weitem nicht ausreicht, dieses zu erklären. Es muss also noch weitere, andersartige
Materie geben. Bis auf wenige Eigenschaften ist von dieser Materie nicht viel bekannt. Nahezu
ausgeschlossen ist jedoch, dass es sich um Teilchen aus dem SM handelt. Es ist natürlich verlockend,
diese unbekannten Teilchen mit einem supersymmetrischen Teilchen zu erklären, genauer dem
Lightes Supersymmetric Particle (LSP), welches in gewissen supersymmetrischen Theorien stabil
ist.
An dieser Stelle sollte man allerdings anmerken, dass die Supersymmetrie nicht die einzige
Theorie ist, welche diese Probleme löst.
Ein weiterer, eher ideologischer Grund für die Existenz von Supersymmetrie ist, dass sie theortisch möglich ist. Fast alle theoretisch möglichen Symmetrien sind auch in der Natur realisiert,
warum dann nicht auch die Supersymmetrie?
Oder frei nach Dirac:
It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one’s equations, and if one has really a sound insight, one is on a sure line of progress.
2
Einführung in die Supersymmetrie
2
Einführung
Einführung
2.1
Coleman-Mandula-Theorem
Das Coleman-Mandula-Theorem ist das Letzte einer Reihe von No-Go-Theoremen, welche die
Symmetrien wechselwirkender Quantenfeldtheorien beschränken.
Genauer beschäftigt es sich mit den internen Symmetrien der S-Matrix. Hierfür werde ich etwas
elementare Streutheorie wiederholen/einführen.
Der Hilbertraum der Streutheorie, H, ist die (unendliche) direkte Summe von n-Telchen Unterräumen
H = H (1) ⊕ H (2) ⊕ · · ·
(2.1)
wobei H (n) den Unterraum von Einteilchen-Hilberträumen beschreibe. Die S-Matrix ist nun ein
unitärer Operator, welcher alle möglichen Streuprozesse in einer gegebenen Theorie beschreibt. Er
lässt sich schreiben als
t→+∞
Sβα = Ψt→−∞
,
Ψ
α
β
t → ±∞ soll hierbei bedeuten, dass der Zustand in unendlicher Zeit vor bzw. nach der Streuung
betrachtet wird. Zu diesen Zeiten sollen freie Teilchen vorliegen. Die Streuung, also die Wechselwirkung der Teilchen ist damit auf ein enges Gebiet beschränkt. Eine Symmetrietransformation
der S-Matrix wird nun durch einen unitären Operator U beschrieben, welcher auf H wirkt, und
den folgernden Eigenschaften genügt
i. Einteilchen-Zustände werden auf Einteilchen-Zustände abgebildet.
ii. U wirkt auf Vielteilchen-Zustände über die Produktdarstellung von Eintelchen-Zuständen
iii. U kommutiert mit S.
Als interne Symmetrien der S-Matrix bezeichnet man Symmetrien, welche nicht auf Raumzeitkoordinatne wirken. Als Beispiel seien hier die Eichsymmetrien SU (3)T × SU (2)T × U (1)Y
genannt. Unter Berücksichtigung der allgemeinen Relativitätstheorie muss die Symmetriegruppe
mindestens die Poincaregruppe enthalten. Die Frage, die sich nun stellt, ist, ob die Poincaregruppe
in nichttrivialer Weise mit internen Symmetrien der S-Matrix vereint werden kann.
Im folgenden werde ich mich auf Theorien beschränken, in denen alle Streuzustände positive
Massen besitzen (was sicherlich Physikalisch sinnvoll ist). Weiterhin soll es für jede endliche Masse
M nur eine endliche Anzahl von Teilchenarten mit kleinerer Masse als M geben.
Theorem 1 (Coleman-Mandula-Theorem). Sei nun G eine Lie-Gruppe und Symmetrie-Gruppe
der S-Matrix, welche die Poincaregruppe P enthält, und eine endliche Anzahl an Teilchen zu einem
(Super-)Multiplet zusammenfasst. Weiterhin gelte
i. Die (elastischen) Streuamplituden seien analytische Funktionen in Abhängigkeit der Schwerpunktsenergie s = (p + q)2 und des Energieübertrags t = (p − p0 )2 (Siehe Abbildung 2.1).
ii. T |p, qi =
6 0 für fast alle s.
Dann ist G (lokal) isomorph zu einem direkten Produkt einer inneren Symmetrie-Gruppe und der
Poincaregruppe.
Beweis:
Sei D der Unterraum der Einteilchenzustände deren Wellenfunktionen im Impulsraum
Testfunktionen sind. Betrachte zwei Zweiteilchenzustände φ1 ⊗ φ2 und ψ1 ⊗ ψ2 in D ⊗ D. Die
Variation ihres Skalarproduktes unter infinitesimaler G-Transformation ist dann
(ψ1 , Aφ1 ) + (ψ2 , Aφ2 )
(2.2)
wobei A ein infinitesimaler Generator von G ist. Die Invarianz der S-Matrix unter der Wirkung
von G ist dann äquivalent zu
(Sψ1 ⊗ ψ2 , ASφ1 ⊗ φ2 ) = (ψ1 ⊗ ψ2 , Aφ1 ⊗ φ2 )
3
(2.3)
Einführung in die Supersymmetrie
Einführung
p
p!
q
q!
Abbildung 2.1: Streuung von zwei Teilchen mit Impuls p und q zu Teilchen mit Impuls p0 und q 0 .
Für eine gegebene Testfunktion f mit Träger im Gebiet Ω, welches nicht den Ursprung (des Impulsraums!) enthält, betrachten wir die Distribution
Z
f · A := d4 aU † (1, a)AU (1, a)f˜(a),
(2.4)
wobei f˜(a) die Fourier-Transformierte von f (p) ist. Da
U (1, a)|pi = e−ipa |pi
(2.5)
ist, besitzt f · A Matrixelemente der Form
f · A(p0 , p) = f (p − p0 )A(p0 − p)
(2.6)
Nun folgt aus der Annahme, dass das Teilchenspektrum endlich ist, dass wenn Ω hinreichend
klein gewählt ist, es Gebiete Ui in einem gegebenen Massenhyperboloid gibt, so dass für p ∈ Ui
und k ∈ Ω, die Summe p + k nicht mehr in irgendeinem Massenhyperboloid liegt. Daher wird
dieser Zustand von f · A vernichtet. Wir wählen nun p als Komplement zu diesen Gebieten und
q, p0 , q 0 ∈ ∪i Ui so dass
p + q = p0 + q 0
(2.7)
Die Schwerpunktsenergie und der invariante Impulsübertrag werden wie üblich definiert über
a = (p + q)2 und t = (p − p0 )2 .
(2.8)
Weiterhin wählen wir diese Energien unterhalb der Grenze für Paarerzeugung. Nach Gl. (2.3)
Müssen die S-Matrixelemente für diese Zustände verschwinden. Unter Verwendung der Analytizität
von s und t verschwinden die S-Matrixelemente dann im gesamten Gebiet, in dem wir Analytizität
fordern. Wiederholt man das Argument für Mehrteilchenstreuprozesse, so ergibt sich als Ergebnis
Lemma 2. Der Träger von A(p, p0 ) ist auf p = p0 begrenzt.
Lemma 3 (O’Raifeartaigh’s Theorem). A kann keine Zustände auf verschiedenen Massenhyperboloiden mit verschiedenen Massen verknüpfen.
Wir machen nun die (technische) Annahme, dass A eine Matrixwertige Distribution ist. Es
folgt, dass A(p) ein Polynom in den Differentialoperatoren auf dem Massenhyperboloid ist.
∇µ =
∂
pµ pν ∂
−
∂pµ
m2 ∂pν
(2.9)
In anderen Worten
A=
N
X
A(n) (p)µ1 ,...,µn
n=0
∂
∂
···
∂pµ1
∂pµn
(2.10)
mit [A, pµ pµ ] = 0, welches auf beliebige Zustände in D wirkt. Ohne Beweis sei nun noch folgendes
Lemma angegeben
4
Einführung in die Supersymmetrie
Einführung
Lemma 4. Sei B eine Untergruppe von G, welche mit Raumzeit-Translationen vertauscht. Dann
gilt für B(p) ∈ B
B(p) = aµ pµ + b,
(2.11)
wobei aµ ein konstanter Vierervektor (keine internen Indices) und b eine konstante hermitesche
Matrix ohne irgendwelche Spin-Indeices ist.
Hierbei wird angenommen, dass eine Lie-Multiplikation [·, ·] für die Generatoren von B existiert.
Insbesondere gilt dieses Ergebnis nicht für antikommutierende Generatoren! Jetzt verwenden wir
den N -fachen Kopmmutator von A mit pµ :
(N )
[pµ1 , [pµ2 , . . . , A] . . . ] = Aµ1 ,··· ,µN (p)
(2.12)
und erhalten ein Objekt, welches in B lebt, und daher Lemma 2 genügt. Es folgt
(N )
Aµ1 ,··· ,µN (p) = aλ;µ1 ,···µN pλ + bµ1 ,··· ,µN .
(2.13)
µ
Wegen Gl. (2.10) und den Symmetrieeigenschaften des N -fachen Kommutators mit p folgt
bµ1 ,··· ,µN = 0.
(2.14)
(Ausser natürlich N = 0.) Genauso folgt aλ;µ1 ,···µN = 0, ausser N = 0 oder N = 1. Für N = 0
haben wir dann gezeigt, dass A die Summe aus einer Translation und einer internen Symmetrietransformation ist, und für N = 1 folgt aus der Antisymmetrie von aλ;µ , dass A gerade eine
infinitesimale Lorentztransformation ist. Damit ist alles bewiesen.
2.2
Graduierte Lie-Algebren
Während normale Lie-Algeren aus linear unabhängigen Symmetriegeneratoren ta bestehen, welche
c
die (Kommutator-)Relationen [ta , tb ] = iCab
tc erfüllen, werden in einer graduierten Lie-Algebra
auch Antikommutatoren zugelassen. Die obige Relation sieht bei einer graduierten Lie-Algebra wie
folgt aus
c
[ta , tb } := ta tb − (−1)ηa ηb tb ta = iCab
tc .
(2.15)
Die Faktoren η bezeichnen hierbei die Graduierung, und können die Werte 0 und +1 annehmen.
Generatoren ta mit ηa = +1 werden als fermionisch, Generatoren mit ηa = 0 als bosonisch bezeichnet. Es ist offensichtlich, dass die bosonischen Generatoren für sich wieder eine Lie-Algebra
bilden.
Nach Gl. (2.15) müssen die Strukturkonstanten die Bedingung
c
c
Cba
= −(−1)ηa ηb Cab
(2.16)
erfüllen. Das Produkt aus zwei bosonischen bzw. fermionischen Operatoren ist bosonisch, das Produkt aus einem bosonischen und einem fermionischen ist fermionisch. Genauso ist das hermitesch
adjungierte eines bosonischen bzw. fermionishen Operators wieder bosonisch bzw. fermionisch. Weiterhin gilt für hermitesche Generatoren ta , dass die Strukturkonstanten eine Realitätsbedingung
der Form
c ∗
c
Cab
= −Cab
(2.17)
erfüllen müssen.
Die Strukturkonstanten erfüllen weiterhin eine nicht-lineare Bedingung, welche aus der verallgemeinerten Jacobiidentität
(−1)ηc ηa [[ta , tb }tc } + (−1)ηa ηb [[tb , tc }ta } + (−1)ηb ηc [[tc , ta }tb } = 0
(2.18)
folgt. Fügt man nun Gl. (2.15) in die obige Gleichung ein, so ergibt sich
d
e
d
e
d
e
(−1)ηc ηa Cab
Cdc
+ (−1)ηa ηb Cbc
Cda
+ (−1)ηb ηc Cca
Cdb
=0
Natürlich erhält man im Fall bosnischer Operatoren wieder die übliche Jacobiidentität.
5
(2.19)
Einführung in die Supersymmetrie
3
Supersymmetrie-Algebra
Supersymmetrie-Algebra
3.1
Lorentz-Gruppe
Die Lorentz-Algebra, welche im Vortrag von Herr Keller behandelt wurde, ist auszugsweise gegeben
durch
[Ji , Jj ] = iεijk Jk , [Ji , Kj ] = iεijk Kk , [Ki , Kk ] = −iεijk Jk
J und K sind hier die (hermiteschen) Generatoren der Rotationen und Boosts. Wir gehen nun von
diesen zu den Linearkombinationen A und B über, welche wie folgt definiert sind:
A :=
1
1
(J + iK) , B := (J − iK)
2
2
A und B selbst erfüllen die Relationen
X
X
[Ai , Aj ] =
εijk Ak , [Bi , Bj ] =
εijk Bk , [Ai , Bj ] = 0
k
(3.1)
(3.2)
k
i, j, k laufen hierbei über die Werte 1, 2, 3. εijk ist der total antisymmetrische Tensor mit ε123 = 1.
Die Darstellung der Lorentzgruppe auf einem Satz von Operatoren kann über deren Kommutatorrelationen mit den Generatoren A und B charakterisiert werden. Die Darstellungen der homogenen
Lorentzgruppe können damit wie zwei unabhängige Spins bezeichnet werden.
3.2
Supersymmetrie-Algebra
Wir betrachten nun eine graduierte Lie-Algebra aus Symmetriegeneratoren, welche mit der SMatrix kommutieren. Sei Q irgendein fermionischer Symmetriegenerator aus einer graduierten LieAlgebra Q, dann ist auch U −1 (Λ)QU (Λ) ∈ Q einer, wobei U (Λ) der quantenmechanische Operator
zu einer beliebigen homogenen Lorentz-Transformation ist. U −1 (Λ)QU (Λ) muss weiterhin eine
Linearkombination aus einem vollständigen Satz von fermionsichen Symmetriegeneratoren sein,
welcher eine Darstellung der homogenen Lorentzgruppe bilden.
Wie im vorigen Abschnitt bemerkt, können die irreduziblen Darstellungen wie Zustände mit
zwei unabhängigen Spins bezeichnet werden. Genauer gibt es einen Satz von (2A + 1)(2B + 1) fermionischen Operatoren QAB
ab (a = −A, . . . , A und b = −B, . . . , B), welche eine (A, B)-Darstellung
der homogenen Lorentzgruppe bilden, und die folgenden Kommutator-Relationen erfüllen
X (A)
X (B)
A, QAB
=−
B, QAB
=−
Jaa0 QAB
Jbb0 QAB
ab
a0 b ,
ab
ab0
(3.3)
a0
a0
Hierbei bezeichne J (j) die Spinmatrizen mit
p
(j)
(j)
(j)
(J1 ± iJ2 )σ0 σ = δσ0 ,σ±1 (j ∓ σ)(j ± σ + 1), (J3 )σ0 σ = δσ0 ,σ σ.
(3.4)
Daraus folgt direkt die Relation
0
−(J (j) )∗σ0 ,σ = (−1)σ −σ (J (j) )−σ0 ,−σ .
(3.5)
Wenn also Qjσ ein Satz von Operatoren2 ist, welche sich nach der Spin j-Darstellung der Drehgruppe
transformieren, so auch (−1)j−σ Qj∗
−σ .
Weiterhin sieht man direkt aus Gl. (3.1), dass A∗ = B gilt. Mit dem hermitesch konjugierten
von Gl. (3.3) folgt
X
X
0
0
(A)
(B)
B, QAB∗
(−1)a −a Jaa0 QAB∗
A, QAB∗
(−1)b −b Jbb0 QAB∗
−a0 ,−b ,
−a,−b0 =
−a,−b0
−a,−b =
(3.6)
a0
2 Der
a0
zweite Index wurde hierbei unterdrückt
6
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
sieht man, dass der hermitesch konjugierte Operator QAB∗
einer Darstellung, welche sich nach der
ab
(A, B)-Darstellung der homogenen Lorentzgruppe transormiert, über eine Ähnlichkeitstransformation mit dem Operator Q̄BA
ba , welcher sich nach einer (B, A)-Darstellung transformiert, verknüpft
ist.
QAB∗
= (−1)A−a (−1)B−b Q̄BA
ab
−b,−a
(3.7)
Mit diesen Vorbetrachtungen können wir das wichtigste Theorem dieses Abschnittes beweisen,
das Haag-Luposzanski-Sohnius-Theorem. Dieses stellt eine Erweiterung des Coleman-MandulaTheorems dar, und wird uns die Supersymmetrie-Algebra und damit das Teilchenspektrum liefern.
Haag-Luposzanski-Sohnius-Theorem Das Haag-Luposzanski-Sohnius-Theorem besagt, dass
die fermionischen Symmetrie-Generatoren nur zu Darstellungen der Form (0, 1/2) sowie (1/2, 0)
gehören können.
Damit lassen sich die Q’s in zwei Familien aufspalten. Zum einen in die (0, 1/2)-Generatoren
Qar und zum anderen ihre (1/2, 0) hermitesch adjungierten Q∗ar , wobei a ein Spinor-Index ist,
welcher über die Werte ±1/2 läuft, und r dazu dient, verschiedene zweikomponentige Spinoren mit
gleichen Transformationseigenschaften zu unterscheiden. Es gilt
µ
{Qar , Q∗bs } = 2δrs σab
Pµ
(3.8)
{Qar , Qbs } = eab Zrs
(3.9)
Hierbei bezeichne Pµ den Viererimpulsoperator, die Zrs = −Zsr (bosonische) Symmetriegeneratoren, und die σµ und e 2 × 2-Matrizen.
0 1
0 −i
1 0
σ1 =
, σ2 =
, σ3 =
,
1 0
i 0
0 −1
(3.10)
1 0
0 1
σ0 =
,
e=
0 1
−1 0
Weiterhin gilt
[Pµ , Qar ] = [Pµ , Q∗bs ] = 0
(3.11)
sowie
∗
0 = [Zrs , Qat ] = [Zrs , Q∗at ] = [Zrs , Ttu ] = [Zrs , Ztu
]
(3.12)
∗
∗
∗
= [Zrs
, Qat ] = [Zrs
, Q∗at ] = [Zrs , Ztu
].
∗
Die Zrs und die Zrs
sind als ein Satz von Zentralelementen der Algebra.
Proof. Seien QAB
ab fermionische Symmetriegeneratoren, welche zur irreduziblen (A, B)-Darstellung
der homogenen Lorentzgruppe gehören. a laufe hierbei von −A bis A, b von −B bis B. Nach Gl.
(3.7) ist die Hermitesch adjungierte mit der (B, A)-Darstellung über eine Ähnlichkeitstransformation verknüpft. Der Antikommutator muss daher also wie folgt aussehen
0
AB∗
A−a0
QAB
(−1)B−b
ab , Qa0 ,b0 = (−1)
A+B
X
A+B
X
C
D
X
X
(3.13)
C=|A−B| D=|A−B| c=−C d=−D
CD
× CAB (C, c; a, −b0 )CAB (D, d; −a0 , b)Xcd
Hierbei bezeichne CAB (j, σ; a, b) die Clebsch-Gordan-Koeffizienten für die Kopplung zweier Spins
CD
A und B zu einem Spin j, sowie Xcd
die (c, d)-Komponente eines (noch nicht weiter spezifizierten)
Operators, welcher sich nach der (C, D)-Darstellung der homogenen Lorentzgruppe transformiert.
Über die Orthogonalitätseigenschaften der Clebsch-Gordan-Koeffizienten lässt sich die Gleichung
CD
invertieren. Wir erhalten also für Xcd
, ausgedrückt durch den Antikommutator
CD
Xcd
=
A
B
X
X
A
X
B
X
0
0
(−1)A−a (−1)B−b
(3.14)
a=−A b=−B a0 =−A b0 =−B
0
0
× CAB (C, c; a, −b )CAB (D, d; −a
7
CD
, b)Xcd
AB∗
QAB
ab , Qa0 ,b0
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
Nicht alle dieser Operatoren sind notwendigerweise ungleich Null. Allerdings sind die einzigen
nicht-verschwindenden Clebsch-Gordan-Koeffizienten CAB (j, σ; a, b) für j = σ = A + B und j =
−σ = A + B die, mit a = A, b = B sowie a = −A, b = −B. All diese haben den Wert Eins. Wir
wählen also in Gl. (3.14) C = D = c = −d = A + B, und erhalten
A+B,A+B
AB∗
(3.15)
XA+B,−A−B
= (−1)2B QAB
A,−B , QA,−B
A+B,A+B
(−1)2B , kann auch −1 sein, da B ∈ N/2. Weiterhin kann XA+B,−A−B
nicht Null sein, ausser
AB
natürlich für QAB
=
0.
Das
würde
aber
bedeuten,
dass
alle
Q
Null
sind,
da diese durch die
A,−B
ab
Leiteroperatoren A1 − iA2 bzw. B1 − iB2 erzeugt werden können. Wenn es irgendwelche nichtverschwindenden fermionischen Generatoren gibt, die sich nach der (A, B)-Darstellung transformieren,
so müssen die Antikommutatoren mit ihren Adjungierten bosonische Operatoren enthalten, welche
sich nach der (A + B, A + B)-Darstellung transformieren.
Letztere sind jedoch beschränkt durch das Coleman-Mandula-Theorem: Die bosonischen Symmetriegeneratoren bestehen aus den (1/2, 1/2)-Generatoren Pµ der Translation, den (1, 0) ⊕ (0, 1)Generatoren Jµν der eigentlichen Lorentztransformation, so wie irgendwelche (0, 0)-Generatoren
TA , in die ich alle restlichen inneren Symmetrien schiebe. Für die fermionischen (A, B) Symmetriegeneratoren muss damit gelten A + B ≤ 1/2. Skalare (0, 0)-Operatoren können wir ausschliessen,
da die Q’s Bosonen in Fermionen transformieren (und natürlich auch umgekehrt). Damit bleiben
nur die Darstellungen (1/2, 0) so wie (0, 1/2), was zu zeigen war.
Im folgenden werde ich die Labels A und B weglassen, und den Q’s per Definition die Darstellung (0, 1/2) zuweisen. Die (1/2, 0)-Darstellung lässt sich über den adjungierten Operator erreichen.
Der Index a = ±1/2 bleibt erhalten. Neu hinzu kommt ein 2. Index r, welcher unterschiedliche
Operatoren zur gleichen Darstellung unterscheidet.
Wir gehen nun zurück zum Antikommutator {Qar , Q∗bs }. Dieser transformiert sich nach der
(0, 1/2) ⊗ (1/2, 0) = (1/2, 1/2)-Darstellung, und muss damit proportional zu (1/2, 1/2) bosonischen Symmetriegeneratoren sein. Der einzige (1/2, 1/2)-Generator ist der der Translation, also
der Viererimpulsoperator Pµ . Die Lorentz-Invarianz legt damit die Form des Antikommutators
folgendermassen fest:
µ
{Qar , Q∗bs } = 2Nrs σab
Pµ
(3.16)
Nrs bezeichne hierbei einen reinen Zahlenfaktor, global gesehen also eine Matrix.
Um dies zu verstehen verwenden wir den Isomorphismus der Lorentzgruppe, genauer ihrer universellen Überlagerungsgruppe, mit der SL(2, C) der zweidimensionalen unimodularen komplexen
Matrizen λ. Eine Lorentztransformation Λ auf einen der fermionischen (0, 1/2)-Operatoren lässt
sich damit schreiben als
X
U −1 (Λ)Qar U (λ) =
λab Qbr
(3.17)
b
Die Lorentztransformation Λ ist dabei wie folgt mit λ verknüpft.
λσµ λ† = Λν µ σν
(3.18)
Die Gl. (3.18) lässt sich leicht für (0, 1/2)-Operatoren überprüfen, indem man infinitesimale Lorentztransformationen Λµ ν = δ µ ν + ω µ ν mit ωµν = −ωνµ betrachtet. Gl. (3.18) ist erfüllt für
1 1
iεijk ωij + ωk0 σk
(3.19)
λ=1+
2 2
während
1
1
U (Λ) = 1 + iωµν J µν =: 1 + iεijk ωij Jk − iωi0 Ki
2
2
Dabei bezeichnen die Jk die Rotationen, und die Ki die Boosts. Es folgt
1 X
1X
σ ab Qb [K, Qa ] = − i
σ ab Qb
[J, Qa ] = −
2
2
b
b
8
(3.20)
(3.21)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
bzw., ausgedrückt durch A bzw. B
[B, Qa ] = −
1X
σ ab Qb
2
[A, Qa ] = 0
(3.22)
b
Dies zeigt direkt, dass ein Operator, der Gl. (3.18) erfüllt, zur (0, 1/2)-Darstellung gehört. Nun
stellen die σµ einen kompletten Satz von 2 × 2-Matrizen dar, so dass wir den Antikommutator
µ
{Qar , Q∗bs } in der Form Nrs
(σµ )ab darstellen können, wobei N µ irgendeine Matrix von Operatoren
ist. Gl. (3.18) und Gl. (3.19) zeigen, dass diese Operatoren Vierervektoren in dem Sinne sind, dass
U −1 (Λ)N µ U (λ) = λµ ν N ν . Nach Coleman-Mandula ist dieser proportional zu P µ . Setzt man nun
µ
Nrs
= 2Pµ Nrs ergibt sich Gl. (3.16).
Nun wollen wir natürlich diesen Faktor Nrs irgendwie wegbekommen, was uns durch eine lineare
Transformation der Qar gelingen wird. Zuvor müssen wir jedoch nachweisen, dass N positiv definit
ist. Dass N hermitesch ist, folgt direkt, wenn man das hermitesch adjungierte von Gl. (3.16) nimmt.
Für die positive Definitheit bemerken
wir, dass die Qar linear unabhängig sind, und es damit
P
für jede Linearkombination Q := r da cr Qar einen Zustand |Ψi geben muss, so dass Q|Ψi 6= 0
gilt. Wir berechnen nun den Erwartungswert von Gl. (3.16) mit eben diesem Zustand, und erhalten
X µ
X
2hΨ|
σab Pµ da d∗b |Ψi
cr c∗s Nrs = hΨ|{Q, Q∗ }|Ψi > 0
(3.23)
ab
rs
Es folgt, dass rs cr c∗s Nrs für beliebige cr nicht Null sein darf, wobei die cr natürlich
nicht
P selbst
µ
alle verschwinden dürfen. Damit ist Nrs entweder positiv oder negativ definit. Da ab σab
Pµ da d∗b
jedoch positiv im Raum der physikalischen Zustände mit −P µ Pµ ≥ 0 und P 0 > 0 ist, muss Nrs
positiv definit sein3 . Wir können nun neue fermionische Generatoren in der Form
X
−1/2
Q0ar :=
Nrs
Qas
(3.24)
P
s
definieren, so dass der Antikommutator die Form
µ
{Q0ar , Q0∗
bs } = 2δrs σab Pµ
(3.25)
annimmt. Im folgenden werde ich die Primes wieder weglassen, so dass wir die Form (3.8) erhalten.
Als nächstes werde ich beweisen, dass die Qar ’s mit den Viererimpulsoperatoren kommutieren.
Der Kommutator eines (1/2, 1/2)-Operators wie Pµ mit einem (0, 1/2)-Operator wir Qar kann nur
ein (1/2, 0)-Operator oder ein (1, 1/2)-Operator sein. Letzterer existiert nach Coleman-Mandula
nicht, womit nur noch der (1/2, 0)-Operator, also Q∗ar bleibt. Wieder unter Berücksichtigung der
Lorentzinvarianz folgt die Form
X
[Mab , Qcr ] =
eac Krs Q∗bs
(3.26)
s
wobei Krs wieder einen numerischen Faktor, und M einen Matrix-Operator der Form
M = σµ P µ
(3.27)
darstellt. eac ist weiterhin der Clebsch-Gordan-Koeffizient, welcher zwei Spin 1/2 zu Null koppelt.
Eine direkte Rechnung zeigt, dass die folgende Relation gilt.
h
n
oii
h
= −4M− 21 ,− 12 (KK † )rs
(3.28)
M− 12 ,− 21 , M− 12 ,− 21 , Q01 r , Q0∗
1
s
2
2
Unter Berücksichtigung von Gl. (3.8) ergibt sich die linke Seite zu einer Linearkombination von
[Pµ , [Pν , Pλ ]], die natürlich Null ergibt. Auf der rechten Seite ist M− 21 ,− 12 für gewöhnliche Impulse
ungleich Null, womit KK † = 0 und damit K = 0 sein muss. Es folgt direkt aus Gl. (3.26), dass
damit [Pµ , Qar ] = 0 ist.
3 Das Argument kann man auch herumdrehen: Nimmt man an, dass N
0
rs positiv definit ist, folgt dass P > 0 für
alle Zustände gilt.
9
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
Betrachten wir nun den Antikommutator zweiter Q’s. Der Antikommutator zweier (0, 1/2)Operatoren muss eine Linearkombination von (0, 1)- und (0, 0)-Symmetriegeneratoren sein. nach
Coleman-Mandula sind die einzigen (0, 1)-Symmetriegeneratoren Linearkombinationen von Jνλ
der eigentlichen Lorentztransformationen. Aber da die Q’s mit den Pµ kommutieren, muss dies
ebenfalls für deren Antikommutatoren gelten. Wie man zeigen kann [] gibt es keine Linearkombination von Jνλ welche mit den Pµ kommutiert. Es bleiben also nur die skalaren Operatoren der
(0, 0)-Darstellung. Aus der Lorenzinvarianz folgt dann die Form (3.9). Die internen Symmetriegeneratoren Zrs sind antisymmetrisch in r und s, da der gesamte Ausdruck symmetrisch unter
Vertauschung von r und a mit s und b, und die Matrix eab antisymmetrisch in a und b ist.
Es bleibt zu beweisen, dass es sich bei den Z’s wirklich um das Zentrum handelt. Aus Gl. (3.9)
und Gl. (3.11) folgt, dass
[ Pµ , Zrs ] = 0
(3.29)
Als nächstes betrachten wir die verallgemeinerte Jabobiidentität Gl. (2.18) mit zwei Q’s und einem
Q∗ .
0 = [{Qar , Qbs }, Q∗ct ] + [{Qbs , Q∗ct }, Q∗ar ] + [{Q∗ct , Qar }, Q∗bs ]
(3.30)
Aus Gl. (3.8) und Gl. (3.11) folgt, dass der zweite und dritte Term verschwinden, und damit
[ Zrs , Q∗ct ] = 0
(3.31)
Zuletzt betrachten wir die verallgemeinerte Jacobiidentität mit einem Z, einem Q und einem Q∗
0 = [Zrs {Qat , Q∗bu }] + {Q∗bu , [Zrs , Qat ]} − {Qat , [Q∗bu , Zrs ]}
(3.32)
Der erste und dritte Term verschwinden wieder aufgrund von Gl. (3.29) und Gl. (3.31), so das der
zweite als einziger übrig bleibt.
{Q∗bu , [Zrs , Qat ]} = 0
(3.33)
Jetzt gilt, dass [Zrs , Qat ] ein (0,1/2) Generator ist, und damit eine Linearkombination aus Q’s sein
muss
[Zrs , Qat ] = Mrstu Qau
(3.34)
µ
σab
Pµ Mrstu = 0
(3.35)
Aus Gl. (3.33) wird damit
µ
Diese Gleichung muss für alle a, b, r, s, t und u erfüllt sein. Da der Operator σab
Pµ ungleich Null
ist, folgern wir, dass Mrstu = 0 sein muss, so dass
[Zrs , Qat ] = 0
(3.36)
Mit den Antikommutatorrelationen (3.9) zusammen mit den Kommutatoren (3.31) und (3.36) und
ihren Adjungierten ergibt sich dann direkt
∗
∗
∗
[Zrs , Ztu ] = [Zrs , Ztu
] = [Zrs
, Ztu
]=0
(3.37)
Damit wäre alles gezeigt.
Zahl der bosonischen und fermionischen Zustände Eine interessante Konsequenz der Algebra ist, dass es gleich viele bosonische wie fermionische Zustände gibt. Dies gilt weiterhin nicht
nur für exakte, sondern auch für gebrochene Supersymmetrie.
10
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
Proof. Ich definiere einen Operator in der Form
|bosoni = +1 · |bosoni, |fermioni = −1 · |fermioni
(3.38)
Offensichtlich gilt
Qar = −Qar (3.39)
Wir betrachten im folgenden eine endlichdimensionale Darstellung der Algebra. Dann gilt
tr [{Qar , Q∗bs }] = tr [−Qar Q∗bs + Q∗bs Qar ]
= tr [−Qar Q∗bs + Qar Q∗bs ] = 0
(3.40)
Statt dem Antikommutator auf der linken Seite könne wir Gl. (3.8) verwenden, und erhalten damit
µ
2σab
δrs tr [Pµ ] = 0
(3.41)
Nun wählen wir auf dem gesamten Supermultipelt einen festen Impuls Pµ . Dadurch dürfen wir
diesen aus der Super herausziehen, und erhalten
tr [] = 0
(3.42)
Da nur Eigenwerte ±1 besitzt und die Spur die Summe der eigenwerte ist, führt dies direkt zu
nB − nF = 0, wobei nB die Zahl der Bosonen, und nF die Zahl der Fermionen beschreibt.
R-Symmetrie Besitzt die Supersymmetriealgebra kein Zentrum, so ist diese invariant unter der
internen Symmetriegruppe U (n) in der Form
X
Qar →
Vrs Qar
(3.43)
s
Vrs beschreibt hierbei eine N ×N unitäre Matrix. Diese Symmetrie bezeichnet man als R-Symmetrie.
Eine direkte Rechnung zeigt die Invarianz.
n
o X
X
∗
∗
Q̃ar , Q̃∗bs =
{Vrt Qat , Vsu
Q∗bu } =
Vrt Vsu
{Qat , Q∗bu }
t,u
=
X
t,u
µ
∗
Vrt Vsu
2δtu σab
Pµ
=
t,u
X
µ
µ
Vrt Vst∗ 2σab
Pµ = 2δrs σab
Pµ
(3.44)
t,u
Einfache und erweiterte Supersymmetrie Eine Supersymmetrie-Algebra bei der die r, s etc.
N > 1 Werte annehmen wird als erweiterte (extended ) Supersymmetrie bezeichnet.
Gibt es dagegen nur einen Wert für r , spricht man von einfacher (simple) Supersymmetrie. Es
folgt direkt, dass in einfacher Supersymmetrie die Antikommutatorrelationnen deutlich einfacher
werden
µ
{Qa , Q∗b } = 2σab
Pµ
(3.45)
{Qa , Qb } = 0
(3.46)
Den zweiten Index (r, s, . . . ) werde ich im Fall der einfachen Supersymmetrie unterdrücken. Weiterhin degeneriert die R-Symmetrie zu einer reinen Phasentransformation.
Qa → eiφ Qa
mit reeler Phase φ.
11
(3.47)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
Dirac-Notation Es ist oft sinnvoll, die (0, 1/2) Operatoren zusammen mit den (1/2, 0) Operatoren in Form eines Majorana-Spinors Qαr zu schreiben.
eQ∗r
Qr :=
(3.48)
Q
bzw. explizit
Q1r = Q∗− 1 r ,
2
Q2r = −Q∗1 r ,
Q3r = Q 12 r ,
2
Q4r = Q− 21 r
(3.49)
Majorana-Spinor bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Relation Qr = −βεγ5 Q∗r gilt. In
dieser Darstellung lassen sich die fundamentalen Anitkommutatorrelationen schreiben als
0
−e(σµ P µ )T e
{Q, Q̄} = 2
= −2iPµ γ µ
(3.50)
σµ P µ
0
mit
0
γ = −iβ = −i
0
σ0
σ0
0
,
i
γ = −i
σi
0
0
−σ i
,
γ5 =
I
0
0
−I
,
(3.51)
und eσ T e = σ, eσ0 e = −σ0 , Q̄ := Q† β. Bemerkungen:
i. Die obige Betrachtung gilt für die Relationen ohne Zentrum. Berücksichtigt man dieses, so
erhält man
1 + γ5
1 − γ5
µ
∗
{Q, Q̄} = −2iPµ γ +
Zsr +
Zrs
(3.52)
2
2
ii. Die gesamten bisherigen Betrachtungen wurden für 4 (flache) Raum-Zeit-Dimensionen durchgeführt. In Theorien mit mehreren Dimensionen oder gekrümmten Räumen muss man die
obigen Relationen gegebenenfalls erweitern (String-Theorie).
3.3
Masselose Supermultiplets
Wir betrachten einen einzelnes, masseloses Teilchen aus irgendeinem Supermultiplet. Die anderen
Zustände erhält man, indem man die Operatoren Qar und/oder Q∗ar auf diesen Zustand wirken
lässt. Da die Qar ’s und Q∗ar ’s mit den Pµ kommutieren, haben alle diese Zustände den gleichen
Impuls. Wir wählen also ein Lorentz-System, in dem der Viererimpuls gegeben ist durch
p1 = p2 = 0,
p3 = p 0 = E
(3.53)
Es folgt
µ
σµ P = E(σ0 + σ3 ) = 2E
1
0
0
0
0
0
(3.54)
und damit
{Qar , Q∗bs } = 2Eδrs
1
0
(3.55)
Wie man direkt sehen kann, verschwinden die Operatoren Q− 21 r und Q∗− 1 r auf dem gesamten
2
Multiplet4 .
Den Kommutator der fermionischen Generatoren mit dem Drehimpuls, genauer dessen 3Komponente, welcher im Beweis des Haag-Lopuszanski-Sohnius-Theorems auftauchte, möchte ich
4 Man bildet den Erwartungswert von {Q , Q∗ }, welcher Null ergeben muss, da die rechte Seite für die gewählten
ar
bs
Indices Null ist. Mit der Forderung nach einer (semi-)positiven Norm folgt, dass Qar |i = Q∗ar |i = 0.
12
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
an dieser Stelle etwas kompakter schreiben. Wie sich leicht nachprüfen lässt, kann man diesen wie
folgt schreiben:
[J3 , Qar ] = −aQar
(3.56)
Dies ist auch Gleichzeitig die Rechtfertigung für die etwas ungewohnte, halbzahlige, Indizierung.
Aus dieser Relation folgt, dass die Operatoren Q− 21 r und Q∗− 1 r die Helizität5 um 1/2 erniedrigen
2
bzw. erhöhen.
Einfache Supersymmetrie Wir betrachten ein Supermultiplet mit maximaler Helizität λmax .
|λmax i bezeichne irgendein Einteilchenzustand mit dieser Helizität und Viererimpuls pµ . Dann gilt
Q∗1 |λmax i = 0
2
(3.57)
Q 21 |λmax i = (4E)1/2 |λmax − 1/2i
Die Anktikommutatorrelation zeigt, dass dieser Zstand normiert ist, und insbesondere nicht
verschwindet. Allerdings folgt aus Q21 = 0, dass Q 21 |λmax − 1/2i verschwindet.
2
Q 12 |λmax − 1/2i ∝ Q21 |λmax i = 0
(3.58)
2
Wirkt man auf diesen Zustand mit Q∗1 , so ergibt sich wieder der Ausgangszustand
2
Q∗1 |λmax − 1/2i = (4E)−1/2 Q∗1 Q 12 |λmax i = (4E)−1/2 {Q∗1 , Q 21 }|λmax i
2
2
(3.59)
2
Das Supermultiplet besteht damit aus zwei Zuständen, welche die Helizitäten λmax und λmax −1/2
tragen. In der Basis der beiden Zustände lassen sich die fermionischen Operatoren schreiben als
√
√
0 0
0 1
q 21 = 4E
,
q †1 = 4E
1 0
0 0
2
(3.60)
†
q− 12 = 0,
q− 1 = 0
2
Beachte: Bei einfacher Supersymmetrie gibt es keine Teilchen ohne/mit mehr als einem Superpartner!
Erweiterte Supersymmetrie Betrachten wir nun die erweiterte Supersymmetrie mit N Generatoren. Zuerst sei bemerkt, dass alle Q(−1/2)r Null ergeben, wenn sie auf ein Supermultiplet
wirken (Auch Zustände, welche durch die Wirkung eines Q(1/2)r auf einen Zustand des Multiplets erzeugt wurden). Damit müssen auch die Elemente des Zentrums jeden Zustand des Multiplets vernichten, da sie per Definition mit den Q(−1/2)r kommutieren. Daher antikommutieren die
Supersymmtrie-Generatoren Q(1/2)r alle miteinander, wenn sie auf ein masseloses Supermultiplet
wirken. Es ergeben sich so N !/n!(N − n)! Einteilchenzustände mit dem selben Viererimpuls pµ
und Helizität λmax − n/2. Das n steht für die n Q(1/2)r ’s, welche auf den Ausgangszustand mit
maximaler Helizität λmax gewirkt haben. Der maximale Wert, den n annehmen kann, ist n = N .
Damit ist die minimale Helizität des Supermultiplets gegeben durch
λmin = λmax − N/2
(3.61)
Wenn wir masselose Teilchen mit Helizität λ und |λ| > 2 aus der Theorie ausschliessen wollen6 ,
dann muss λmax − λmin ≤ 4 gelten, womit nur erweiterte Supersymmetrien mit N ≤ 8 erlaubt
sind.
5 Bei den wie hier definierten Teilchen, welche sich in die 3-Richtung bewegen, kann man die Helizität gleich dem
Drehimpuls in 3-Richtung setzten.
6 Für diese gibt es keine sinnvollen Kopplungen an andere Felder. Weiterhin wurden sie bisher auch keine derartigen Teilchen entdeckt, was uns in diesem Rahmen jedoch weniger stören sollte.
13
Einführung in die Supersymmetrie
Helizitäten
Zustände
-2
1
Supersymmetrie-Algebra
-3/2
8
-1
28
-1/2
56
0
70
1/2
56
1
28
3/2
8
2
1
Tabelle 3.2: N = 8 Supergravity Multiplet
Helizitäten
Zustände
-1
1
-1/2
4
0
6
1/2
4
1
1
Tabelle 3.3: N = 4 Yang-Mills Supermultiplet
Helizitäten
λmax = 1/2 Chiral Supermultiplet
Zustände
λmax = 1 Eich-Supermultiplet
Zustände
λmax = 2 Simple Sugra Multiplet
Zustände
-2
-3/2
-1
-1/2
0
1/2
1
3/2
2
0
0
0
1
1+1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Tabelle 3.4: Simple Supersymmetry
Es ist problematisch, supersymmetrische Theorien mit N > 1 zu konstruieren. Bis auf einen Fall
liegen die Fermionen mit Helizität +1/2 im gleichen Supermultiplet wie die Eichbosonen mit Helizität +1. Da sich letztere aber nach der adjungierten Darstellung der Eichgruppe transformieren,
müssen sich die Fermionen mit Helizität +1/2 ebenfalls nach dieser Darstellung transformieren,
sofern man annimmt, dass die Supersymmetriegeneratoren invariant unter der Eichgruppe sind.
Da die adjungierte Darstellung jedoch reell ist, widerspricht das der Tatsache, dass alle bekannten
Quarks und Leptonen sich nach einer chiralen Darstellung transformieren, also einer, bei der die
Fermionen mit Helizität +1/2 zu einer komplexen Darstellung gehören. Diese ändert sich natürlich,
wenn man zu den CPT-konjugierten Fermionen mit Helizität −1/2 übergeht.
Die einzige Ausnahme hiervon ist das N = 2 Supermultiplet. Hier sind die Fermionen mit
Helizität +1/2 in einem anderen Supermultiplett als die Eichbosonen. In diesem Fall jedoch liegen
sowohl die Fermionen mit Helizität +1/2 als auch −1/2 in einem Supermultiplet, und müssen
sich daher nach der gleichen Darstellung wie die Eichgruppe transformieren. Diese kann natürlich
komplex sein, allerdings transformieren sich die CPT-konjugierten nach der komplex-konjugierten
Darstellung. Die Fermionen der jeweiligen Helizität gehören dann zur Summe dieser beiden Darstellungen, welche reell ist. Dies widerspricht wieder der chiralen Natur der bekannten Quarks und
Leptonen.
Im Gegensatz hierzu besitzt ein Supermultiplet bei einfacher Supersymmetrie nur Zustände
mit Helizität +1/2 und Null. Diese können sich nach einer komplexe Darstellung der Eichgruppe
transformieren, welche sich von der ihrer CPT-konjugierten unterscheidet. Es gibt also keinen Konflikt mit der Chiralität. Aus diesem Grund beziehen sich die meisten Betrachtungen zu masselosen
Supermultiplets auf einfache Supersymmetrie.
3.4
Massive Supermultiplets
Im Gegensatz zum masselosen Fall können wir bei massiven Teilchen ein Ruhesystem wählen, in
dem pi = 0 für i = 1, 2, 3 sowie p0 = M gilt. Es folgt
1 0
µ
σµ p = M σ 0 = M
(3.62)
0 1
14
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
und somit
{Qar , Q∗bs } = 2M δab δrs
(3.63)
Keine Komponente von Qar oder Q∗bs kann auf dem gesamten Supermultiplet verschwinden. Die
Q(1/2)r und Q∗(−1/2)s erniedrigen die Spin-3-Komponente um 1/2, während Q(−1/2)r und Q∗(1/2)s
diese erhöhen.
Einfache Supersymmetrie Ich möchte hier die gleiche Vorgehensweise verwenden, wie bei den
masselosen Supermultiplets. Dazu benötige ich einen Zustand |j, σi, welcher die Bedingung
Qa |j, σi = 0
(3.64)
erfüllt. Dass ein solcher Zustand existiert, werde ich mit folgender Überlegung zeigen. Sei |ψi ein
beliebiger, nichtverschwindender Zustand in einem Supermultiplet. Dann sind die Zustände
(
(2M )−1/2 Q1/2 |ψi Q1/2 |ψi =
6 0
0
(3.65)
|ψ i :=
|ψi
Q1/2 |ψi = 0
und
(
(2M )−1/2 Q−1/2 |ψ 0 i Q−1/2 |ψi0 6= 0
|ψ i :=
|ψ 0 i
Q−1/2 |ψ 0 i = 0
00
(3.66)
ebenfalls nicht-verschwindende Zustände des Supermultiplets. Aufgrund der Antikommutatorrelationen {Qa , Q∗b } = 2M δab gilt
Q1/2 |ψ 0 i = 0,
Qa |ψ 00 i = 0
(3.67)
Wenn jeder Zustand |ψ 00 i die Bedingung Qa |ψ 00 i = 0 erfüllt, dann auch U (R)|ψ 00 i, wobei U (R) den
unitären Operator einer Raumdrehung darstellt. Damit können die Zustände in einen Satz von
Spin Multiplets |j, σi zerlegt werden, welche alle die Bedingung (3.67) erfüllen.
Wir betrachten nun irgendeinen dieser Zustände, welcher die obige Bedingung erfüllt und normiert ist, so dass
hj, σ 0 |j, σi = δσ0 σ .
(3.68)
Wirkt man nun mit Q∗a auf einen Zustand mit j > 0, so lassen sich Zustände mit j ± 1/2 erzeugen.
|j ± 1/2, σi = √
1 X
C 12 j (j ± 1/2, σ; a, σ − a) Q∗a |j, σ − ai
2M a
(3.69)
Cj,j 0 (j 00 , σ 00 ; σ, σ 0 ) bezeichnet den üblichen Clebsch-Gordan-Coeffizient für die Kopplung zweier
Spins j und j 0 mit 3-Komponenten σ und σ 0 zu einem Spin j 00 mit 3-Komponente σ 00 . Aus den
obigen Relationen und der Orthonormalität der Clebsch-Gordan-Coeffizienten folgt direkt, dass
diese Zustände orthonormal sind. Wieder kann keiner dieser Zustände verschwinden.
hj ± 1/2, σ|j ± 1/2, σ 0 i = δσ0 σ , hj ± 1/2, σ|j ∓ 1/2, σ 0 i = 0.
(3.70)
Die einzige Ausnahme hierbei ist der Fall j = 0, bei dem natürlich kein Zustand |j − 1/2, σi
existiert.
Weiterhin können wir andere Zustände konstruieren, indem wir mit zwei Q∗ ’s auf |j, σi wirken.
Da jedes Q∗a mit sich selbst antikommutiert, gibt es nur einen nicht-verschwindenden Zustand,
welcher durch den Operator Q∗1/2 Q∗−1/2 = −Q∗−1/2 Q∗1/2 gebildet wird. Dieser Operator lässt sich
als 1/2 · eab Q∗a Q∗b schreiben, was deutlich die Rotationsinvarianz zeigt. Es ergibt sich damit ein
zweites Spinmultiplet mit Spin j:
|j, σi[ :=
1 ∗
Q Q∗ |j, σi,
2M 1/2 −1/2
15
(3.71)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
Dieses unterscheidet sich von |j, σi dadurch, dass statt Gl. (3.64) die folgende Relation gilt
Q∗a |j, σi[ = 0
(3.72)
Wieder mit Gln. (3.63), (3.64) und (3.68) folgt die Orthonormalität
[
hj, σ 0 |j, σ 0 i[ = δσ0 σ , hj, σ 0 |j, σ 0 i[ = 0.
(3.73)
Man sieht, dass dieser Satz von Zuständen eine vollständige Darstellung der SupersymmetryAlgebra ist. Mit den Orthonormalitätsrelationen der Clebsch-Gordan-Koeffizienten kann man die
Gl. (3.64) umschreiben in
√
Q∗a |j, σi = 2M σ± C1/2j (j ± 1/2, σ + a; a, σ) |j ± 1/2, σ + ai
(3.74)
Weiterhin folgt aus Gl. (3.63), dass für jeden Zustand | i im Supermultiplet gilt
h
i
X
Qa , Q∗1/2 Q∗−1/2 | i = 2M
eab Q∗b | i
(3.75)
b
Die Gln. (3.71) und (3.64) ergeben dann die folgende Relation:
X
X
√
eab σ± C1/2j (j ± 1/2, σ + b; b, σ) |j ± 1/2, σ + bi
eab Q∗b |j, σi = 2M
Qa |j, σi[ =
(3.76)
b
b
Aus den Gln. (3.63) und (3.69) erhalten wir
√
Qa |j ± 1/2, σi = 2M C1/2,j (j ± 1/2, σ; aσ − a) |j, σ − ai,
(3.77)
während die Gln. (3.69), (3.72) und (3.71) die Relation
X
√
Q∗a |j ± 1/2, σi = 2M
eab C1/2,j (j ± 1/2, σ; bσ − b) |j, σ − bi[ ,
(3.78)
b
liefern. Die Gleichungen (3.64), (3.72), (3.74) und (3.76) - (3.78) definieren die Wirkung der Qs
und Q∗ s auf alle Zustände eines Supermultiplets.
Für j = 0 erhalten wir ein so genanntes collapsed Supermultiplet. Die Gleichungen (3.64), (3.72),
(3.74) und (3.76) - (3.78) werden zu
Qa |0, 0i = 0,
√
Q∗a |0, 0i = 2M |1/2, ai,
Qa |1/2, bi =
√
2M δab |0, 0i,
Q∗a |0, 0i[ = 0,
X
√
Qa |0, 0i[ = 2M
eab |1/2, bi,
Q∗a |1/2, bi =
√
(3.79)
b
2M eab |0, 0i[ .
Erweiterte Supersymmetrie Wir betrachten nun kurz den Fall der erweiterten Supersymmtrie
mit N Generatoren. Wie schon im vorigen Abschnitt bemerkt, gibt es keine masselosen Teilchen mit
nichtverschwindenden Eigenwerten für die Elemente des Zentrums. Wir können nun zeigen, dass
die Eigenwerte der Elemente des Zentrums eine untere Grenze für die Masse jedes Supermultiplets
definieren.
Da das Zentrum per Definition mit allen Symmetriegeneratoren kommutiert, können die Einteilchenzustände als Eigenzustände sowohl des Zentrums als auch der Pµ und der Q’s sowie Q∗’s
gewählt werden. Daraus folgt, dass alle Zustände in einem Supermultiplet die selben Eigenwerte
bezüglich der Elemente des Zentrums haben.
Um nun eine Ungleichung für die Masse M eines Supermultiplets und den Eigenwerten der Z’s
aufzubauen, verwenden wir die Antikommutatorrelationen (3.8) und (3.9). Es folgt
(
!
!)
X
X
X
∗
∗
∗
eab Urs Qbs , Qar −
Qar −
eac Urt Qct
= 8N P 0 − 2Tr ZU † + U Z †
(3.80)
ar
bs
ct
16
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrie-Algebra
Hierbei ist Urs eine beliebige unitäre N × N -Matrix. Die linke Seite der Gleichung ist ein positiv
definiter Operator. Lässt man diesen auf einen Ruhezustand des Supermultiplets wirken, so erhält
man
M≥
1
Tr ZU † + U Z † .
4N
(3.81)
Zrs bezeichnet hierbei die Werte der Elemente des Zentrums für ein Supermultiplet der Masse
M . Das Theorem der Polarzerlegung sagt nun aus, dass jede quadratische Matrix Z geschrieben
werden kann als HV , wobei H eine positiv definite hermitesche Matrix und V eine unitäre Matrix
ist. Setzt man nun U = V , so erhält man
M≥
√
1
1
TrH =
Tr Z † Z,
2N
2N
und damit eine untere Schranke für die auftretenden Massen.
17
(3.82)
Einführung in die Supersymmetrie
4
Supersymmetrische Feldtheorie
Supersymmetrische Feldtheorie
Supersymmetrische Lagrange-Dichten lassen sich direkt über die Algebra der Kommutatoren aufbauen. Deutlich weniger aufwändig7 ist es jedoch mit dem Formalismus von Salam und Strathdee,
welcher im folgenden besprochen werden soll. Zuvor werde ich auf den so genannten Superraum
eingehen, welcher eine natürliche Erweiterung des Minkowskiraums darstellt. Im folgenden werde
ich mich ausschliesslich auf N = 1 einfache Supersymmetrie beschränken.
4.1
Der Superraum
So wie die Operatoren Pµ als Generatoren der Translation der Raumzeitkoordinaten gesehen werden können, kann man die Supersymmetriegeneratoren Qa bzw. Q∗a als Generatoren einer Translation von vier fermionischen c-Zahlen, so genannten Superraumkoordinaten sehen. Formal lässt
sich dieser Raum wie der Minkowskiraum über Nebenklassenräume definieren.
Nebenklassenräume Sei g ein beliebiges Element einer Gruppe G und H eine Untergruppe von
G. Wir definieren nun eine Äquivalenzrelation in der Form
g −1 ∼ g 0 ⇔ g −1 g 0 ∈ H
(4.1)
Dies sind die (Rechts-)Nebenklassen bezüglich H. Der Satz aller Nebenklassen stellt eine Mannigfaltigkeit dar, welche mit G/H bezeichnet wird.
Ein Satz von Gruppenelementen L(x) parametrisieren die Mannigfaltigkeit wenn jede Nebenklasse genau eines der L’s enthält. Mit einer fest gewählten Parametrisierung L(x) kann jedes
Gruppenelement eindeutig zerlgt werden in ein Produkt
g = L(x)h
(4.2)
wobei L der Repräsentant der zu g gehörigen Nebenklasse ist. Ein Produkt von g mit einem beliebigen anderen Gruppenelement, insbesondere mit einem L(x), wird ein anderes L und h ergeben.
gL(x) = L(x0 )h
(4.3)
x0 und h sind im allgemeinen Funktionen von sowohl x als auch g.
Warum Grassmann-Variablen? Wir betrachten nun die Supersymmetrie-Algebra, und stolpern sofort über ein Problem: Es ist keine Liealgebra, da wir auch Antikommutatoren haben! Wir
müssen aber die Algebra zu einer Gruppe exponentieren, und zwar in der Form, dass das Produkt
zweiter Gruppenelemente wieder ein Gruppenelement ist.
eiθQ eiζ
∗
Q∗
= e(irgendwas)
(4.4)
Im Fall nichtkommutierender Objekte ist dies durch die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel (BCH)
beschrieben.
)
(∞
X 1
A B
Cn (A, B)
(4.5)
e e = exp
n!
n=1
Die Koeffizienten Cn (A, B) sind (vielfache) Kommutatoren; keine Antikommutatoren. In keiner
Ordnung tauchen Antikommutatoren auf, wir haben also ein Problem.
Dem Gebot der Einfachheit folgend definieren wir uns Objekte, die das Problem beheben:
Grassmann-Zahlen, also antikommutierende Zahlen. Wir verpassen also jeder Grassmann-Zahl eine
Graduierung η = 1 (vergleiche 2.2), so dass beim Vertauschen mit fermionischen Grössen ein
Faktor −1 erscheint. Unter Verwendung von grassmannwertigen Parametern lässt sich aus einem
Kommutator ein Antikommutator bauen.
[ θQ, Q∗ ζ ∗ ] = θQQ∗ ζ ∗ − Q∗ ζ ∗ θQ = θQQ∗ ζ ∗ + θQ∗ Qζ ∗ = θ{Q, Q∗ }ζ ∗
Damit gilt BCH, und Gl. (4.4) lässt sich einfach definieren.
7 Zumindest
für allgemeinere Theorien.
18
(4.6)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
Superraum Mit den obigen Betrachtungen lässt sich die Algebra zu einer Gruppe erweitern, der
sogenannten Superpoincaregruppe S mit Elementen
g = exp {i(aµ Pµ + ζa Qa + Q∗a ζa∗ + λµν Mµν /2)}
(4.7)
Der Superraum ist nun der Nebenklassenraum der Superpoincaregruppe über der homogenen Lorentzgruppe S/hLG. Als Parametrisierung wählen wir
L(a, ζ, ζ ∗ ) = exp {i(aµ Pµ + ζa Qa + Q∗a ζa∗ )} .
(4.8)
Die Multiplikation lässt sich nun über BCH auswerten. Da {Q, Q∗ } ∝ P ist, können wir die
vereinfachte Form der BCH-Formel nutzen.
eA eB = eA+B+[A,B]/2
(4.9)
Es folgt also
eiaµ P
µ
∗
µ
∗ ∗
+iζa Qa +iQ∗
b ζb ibµ P +iξa Qa +iQb ξb
e
e
=
∗
∗
µ
∗ ∗
µ
∗ ∗
i(aµ +bµ )P µ +i(ζa +ξa )Qa +iQ∗
b (ζb +ξb )−[aµ P +ζa Qa +Qb ζb ,bµ P +ξa Qa +Qb ξb ]/2
(4.10)
Der Kommutator ergibt sich zu
[aµ P µ + ζa Qa + Q∗b ζb∗ , bµ P µ + ξa Qa + Q∗b ξb∗ ] = [ζa Qa , Q∗b ξb∗ ] + [Q∗b ζb∗ , ξa Qa ]
µ
µ
= 2ζa σab
Pµ ξb∗ − 2ξa σab
Pµ ζb∗
(4.11)
Dar Kommutatur ist proportional zum Impulsoperator. Das bedeutet, dass zwei Supersymmetrietransformationen einen Translationsanteil besitzen. Insgesamt ergibt sich
eiaµ P
µ
∗
µ
∗ ∗
+iζa Qa +iQ∗
b ζb ibµ P +iξa Qa +iQb ξb
e
µ
= ei(a
µ ∗
µ ∗
∗
∗
+bµ +iζa σab
ξb −iξa σab
ζb )Pµ +i(ζa +ξa )Qa +iQ∗
b (ζb +ξb )
(4.12)
bzw. abstrakter
µ ∗
µ ∗
L(a, ζ, ζ ∗ )L(b, ξ, ξ ∗ ) = L(aµ + bµ + iζa σab
ξb − iξa σab
ζb , ζ + ξ, ζ ∗ + ξ ∗ )
(4.13)
Darstellung auf dem Superraum Ein Superfeld S ist nun eine Funktion auf dem Superraum, welche analog zu einer Funktion auf dem Minkowskiraum definiert ist. Es folgt analog zum
Minkowskiraum das Transformationsverhalten
S 0 = LSL−1
(4.14)
Um die Wirkung von L zu erhalten, nutzen wir aus, dass jeder Punkt des Superraumes durch eine
Translation aus dem Ursprung erreicht werden kann. Wir können also das Superfeld S(x, θ, θ∗ )
schreiben als
S(x, θ, θ∗ ) = L(x, θ, θ∗ )S(0, 0, 0)L−1 (x, θ, θ∗ ).
(4.15)
Die Wirkung von L(a, ζ, ζ ∗ ) auf S(x, θ, θ∗ ) ergibt sich nun auf natürliche weise durch das Gruppenprodukt, also über Gl. (4.13).
L(a, ζ, ζ ∗ )S(x, θ, θ∗ )L−1 (a, ζ, ζ ∗ )
= L(a, ζ, ζ ∗ )L(x, θ, θ∗ )S(0, 0, 0)L−1 (x, θ, θ∗ )L−1 (a, ζ, ζ ∗ )
µ ∗
µ ∗
= L(aµ + xµ + iζa σab
θb − iθa σab
ζb , ζ + θ, ζ ∗ + θ∗ )S(0, 0, 0)
µ ∗
µ ∗
(a + x + iζa σab
θb − iθa σab
ζb , ζ + θ, ζ ∗
µ
µ
xµ + iζa σab θb∗ − iθa σab ζb∗ , ζ + θ, ζ ∗ + θ∗ )
−1
×L
µ
= S(a +
µ
µ
19
∗
+θ )
(4.16)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
Für eine Darstellung entwickeln wir das so erhaltene S um die ursprünglichen Koordinaten, wobei
ich den Parameter der Translation a = 0 setzte8 .
µ ∗
µ ∗
S(xµ + iζa σab
θb − iθa σab
ζb , ζ + θ, ζ ∗ + θ∗ )
X 1 n
µ ∗
µ ∗
i (ζa σab
θb − θa σab
ζb ) ∂µ + ζa ∂θa + ζa∗ ∂θa∗ S(xµ , θ, θ∗ )
=
n!
n
µ
µ
∗
∗
(4.17)
∗
= ei(ζa σab θb −θa σab ζb )∂µ +ζa ∂θa +ζa ∂θa∗ S(xµ , θ, θ∗ )
Die Generatoren der Darstellung ergeben sich damit zu
Da :=
∂
∂
∂
µ
µ ∗ ∂
)
+ i(σab
θb ) , Db∗ := ∗ − i(θa σab
∂θa
∂µ
∂θb
∂µ
(4.18)
Wir wollen nun infinitessimale Transformationen betrachten. Die Entwicklung in Gl. (4.7) genügt
daher bereits in 1. Ordnung, und wir erhalten
δζ S(x, θ, θ∗ ) := L(a, ζ, ζ ∗ )S(x, θ, θ∗ )L−1 (a, ζ, ζ ∗ ) − S(x, θ, θ∗ )
= (1 + i(ζa Qa + Q∗b ζb∗ ) S(x, θ, θ∗ ) (1 − i(ζa Qa + Q∗b ζb∗ ) − S(x, θ, θ∗ ) + o(ζ 2 ) (4.19)
= i[ζa Qa + Q∗b ζb∗ , S(x, θ, θ∗ )] = (ζa Da + Db∗ ζb∗ )S(x, θ, θ∗ )
Das letzte Gleichheitszeichen stammt aus der Entwicklung von Gl. (4.17) ebenfalls in erster Ordnung.
4.2
Allgemeine Superfelder
Um in Analogie zu Weinberg’s Notation zu bleiben werde ich nun zur Dirac-Notation übergehen.
Aus Gl. (4.19) wird damit
δᾱ S = i[ᾱQ, S] = (ᾱD)S
(4.20)
mit
∂
∂
+ γµθ µ
∂x
∂ θ̄
(4.21)
X
X
∂
∂
µ
(γ5 ε)αγ
+
γαγ
θγ µ
∂θ
∂x
γ
γ
γ
(4.22)
D := −
oder Komponentenweise
Dα :=
Genauso lässt sich ein D̄β definieren als
D̄β =
X
γ
Dγ (γ5 ε)γβ =
X
∂
∂
(γ5 εγ µ )βγ θγ µ
−
∂θβ
∂x
γ
(4.23)
Die Antikommutatorrelation (3.8) wird mit dieser Definition zu
µ
{Dα , D̄β } = 2γαβ
∂
∂xµ
(4.24)
Wir werden nun eine infinitesimale Transformation eines Superfeldes S explizit in der unten
angegeben Form berechnen
∂S
∂S
δS = (ᾱD)S = − ᾱ
+ (ᾱγ µ θ) µ
(4.25)
∂x
∂ θ̄
ändert.
8 Die
Darstellung der Translation kenne wir bereits, von daher ist diese nur unnötiger Ballast.
20
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
Zuvor betrachten wir, wie man eine Funktion in Grassmannvariablen am besten handhabt. Die
Komponenten von θ antikommutieren, welshalb diese verschwinden, sobald zwei gleiche in einem
Produkt auftauchen. Weiterhin hat θ nur vier Komponenten. Damit lässt sich jede Funktion in θ
als endliche Reihe schreiben, welche nach der 4. Ordnung abbricht. Weiterhin ist jedes Produkt
von zwei θ’s proportional zu einer Linearkombination von (θ̄θ), (θ̄γµ γ5 θ) und (θ̄γ5 θ); Ein Produkt
von drei θ’s zu (θ̄γ5 θ)θ; und ein Produkt von vier θ’s ist proportional zu (θ̄γ5 θ)2 . Die allgemeinste
Funktion in xµ und θ lässt sich so schreben als
1
i
i
S(x, θ) =C(x) − i(θ̄γ5 ω(x)) − (θ̄γ5 θ)M (x) − (θ̄θ)N (x) + (θ̄γ5 γµ θ)V µ (x)
2
2
2
1
1
1
2
− i(θ̄γ5 θ)θ λ(x) + ∂/µ ω(x) − (θ̄γ5 θ) D(x) + C(x)
2
4
2
(4.26)
Sei nun S(x, θ) ein Skalarfeld. Dann müssen die Felder C(x), M (x), N (x) und D(x) ebenfalls skalar
(oder pseudoskalar) sein, V µ (x) ein Vektorfeld, sowie ω(x) und λ(x) vierkomponentige SpinorFelder. Weiterhin kann man aus der Forderung der Realität von S(x, θ) mit den Gln. aus Appendix
B ableiten, dass C(x), M (x), N (x), D(x) und V µ (x) alle reell sind, und ω(x) und λ(x) MajoranaSpnoren, welche die Beziehung s∗ = −βεγ5 s erfüllen.
Nun benötigen wir die Supersymmetrietransformationen der Komponentenfelder. Über die Gln.
(4.25) und (A.6) erhält man aus Gl. (4.26)
δS = (ᾱγ µ θ)
∂C
∂xµ
∂ω
+ i(ᾱγ5 ω) − i(ᾱγ θ) θ̄γr µ
∂x
i
∂M
+ i(ᾱγ5 θ)M − (ᾱγ µ θ)(ᾱγ5 θ) µ
2
∂x
∂N
1
+ (ᾱθ)N − (ᾱγ µ θ)(θ̄θ) µ
2
∂x
i
∂V ν
− i(ᾱγ5 γν θ)V ν + (ᾱγ µ θ)(θ̄γ5 γν θ) µ
2 ∂x
1
1
/ + i(θ̄γ5 θ)ᾱ λ + ∂ω
/
+ 2i(ᾱγ5 θ)θ̄ λ + ∂ω
2
2
1
1
/
− i(ᾱγ µ θ)(θ̄γ5 θ) θ̄∂µ λ + ∂ω
+ (θ̄γ5 θ)(ᾱγ µ θ) D + C
2
2
µ
Ordnet man nun die Terme nach ihrer θ-Abhängigkeit, so erhält man
/ + iγ5 M + N − iγ5 V/ ]θ
δS = i(ᾱγ5 ω) + ᾱ[∂C
i
i
/
/
− (θ̄θ) ᾱγ5 [λ + ∂ω]
+ (θ̄γ5 θ) ᾱ[λ + ∂ω]
2
2
i
i
+ (θ̄γ5 γ µ θ)(ᾱγµ λ) + (θ̄γ5 γ ν θ)(ᾱ∂ν ω)
2
2
1
1
/ − γ5 ∂N
/ − i∂/V/ + γ5 D + C
+ (θ̄γ5 θ) ᾱ −i∂M
θ
2
2
i
1
/ + ω
− (θ̄γ5 θ)2 ᾱγ5 ∂λ
4
2
21
(4.27)
(4.28)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
bzw. mit Gl. (B.14)
/ + iγ5 M + N − iγ5 V/ ]α
δS = i(ᾱγ5 ω) + θ̄[−∂C
i
i
/
/
+ (θ̄γ5 θ ᾱ[λ + ∂ω]
− (θ̄θ) ᾱγ5 [λ + ∂ω]
2
2
i
i
µ
+ (θ̄γ5 γ θ)(ᾱγµ λ) + (θ̄γ5 γ ν θ)(ᾱ∂ν ω)
2
2
1
1
/ − γ5 ∂N
/ − i∂/V/ + γ5 D + C
+ (θ̄γ5 θ) θ̄ i∂M
α
2
2
1
i
/ + ω
− (θ̄γ5 θ)2 ᾱγ5 ∂λ
4
2
(4.29)
Vergleicht man nun dies bis zur zweiten Ordnung in θ mit Gl. (4.26), so ergeben sich die Transformationen
δC = i(ᾱγ5 ω)
(4.30)
/ + iγ5 M + N − iγ5 V/ α
δω = −∂C
/
δM = ᾱ[λ + ∂ω]
/
δN = i ᾱγ5 [λ + ∂ω]
(4.31)
δVµ = (ᾱγµ λ) + (ᾱ∂ν ω)
(4.34)
und die Terme dritter und vierter Ordnung gergeben
1
1
/ − γ5 ∂N
/ − i∂/V/ + γ5 D + C
/ =
i∂M
α
δ[λ + 1/2∂ω]
2
2
1
/ + ω
δ[D + 1/2C] = i ᾱγ5 ∂λ
2
(4.32)
(4.33)
(4.35)
(4.36)
Kombiniert man die obigen beiden Transformationen mit Gl. (4.30) und (4.31) für C und ω, so
erhält man deutlich einfachere Terme für λ und D:
1
∂ V/ , γ µ + iγ5 D α
(4.37)
δλ =
2
/
δD = i ᾱγ5 ∂λ
(4.38)
/ und 1/2C von λ und D getrennt wurden.
Dies ist auch der Grund dafür, dass die Terme 1/2∂ω
Erzeugen neuer Superfelder Nachdem wir nun die Transformationsregeln für allgemeine Superfelder S hergeleitet haben, wollen wir im weiteren aus diesem elementaren Superfeld neue konstruieren.
i. Seien nun zwei Superfelder S1 und S2 gegeben, welche beide die Transformation (4.25)
erfüllen. Dann erfüllt ihr Produkt S := S1 S2
δS = [(ᾱQ), S1 S2 ] = (δS1 )S2 + S1 (δS2 ) = ((ᾱD)S1 ) S2 + S1 ((ᾱD)) S2 = (ᾱD)S
(4.39)
und ist damit ein Superfeld. Eine direkte Rechnung mit den Relationen aus Appndix B ergibt
22
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
die Komponentenfelder.
C = C1 C2
(4.40)
ω = C1 ω2 + C2 ω1
(4.41)
i
M = C1 M2 + C2 M1 + (ω̄1 γ5 ω2 )
2
1
N = C1 N2 + C2 N1 − (ω̄1 ω2 )
2
i
µ
µ
µ
V = C1 V2 + C2 V1 − (ω̄1 γ5 γ µ ω2 )
2
1 µ
1
i
i
λ = C1 λ2 + C2 λ1 − γ ω1 ∂µ C2 − γ µ ω2 ∂µ C1 + V/ 1 γ5 ω2 + V/ 2 γ5 ω1
2
2
2
2
1
1
+ (N1 − iγ5 M1 )ω2 + (N2 − iγ5 M2 )ω1
2
2
1
µ
/ 2
D = −∂µ C1 ∂ C2 + C1 D2 + C2 D1 + M1 M2 + N1 N2 − ω̄1 λ2 + ∂ω
2
1
/ 1
− ω̄2 λ1 + ∂ω
− V1µ V2µ .
2
(4.42)
(4.43)
(4.44)
(4.45)
(4.46)
ii. Trivialerweise sind linearkombinationen von Superfeldern ebenfalls wieder Superfelder.
iii. Multiplikation mit θ bzw einer Funktion in θ ergibt kein Superfeld, genauso wie eine Ableitung
bezüglich θ.
Es gibt aber die Möglichkeit, ein Superfeld nach θ zu differnzieren, und danach mit θ zu
multiplizieren, was wieder ein Superfeld ergibt.
iv. Betrachte nun den Operator Dα definiert als
∂
∂
− γµθ µ
∂x
∂ θ̄
(4.47)
X
∂ X µ
∂
(γ5 ε)αγ
γαγ θγ µ
∂θ
∂x
γ γ
γ
(4.48)
D := −
oder Komponentenweise
Dα :=
Der einzige Unterschied zwischen D und D ist das Vorzeichen des zweiten Terms. Eine direkte
Konsequenz davon ist, dass der Antikommutator verschwindet.
{Dβ , Dα } = 0
(4.49)
Da weiterhin α eine fermionische Zahl ist, kommutiert ᾱD mit Dβ . Sei S ein Superfeld, dann
gilt
δDβ S = −i[(ᾱQ), Dβ S] = −iDβ [(ᾱQ), S] = Dβ (ᾱD)S = (ᾱD)Dβ S,
(4.50)
Dβ S ist damit ebenfalls ein Superfeld.
Weiterhin folgt direkt aus
µ
{Dα , Dβ } = −2γαβ
∂µ ,
dass auch Raumzeitableitungen von Superfeldern wieder Superfelder sind.
23
(4.51)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
Supersymmetrische Lagrangedichten Es gibt keine supersymmetrischen Lagrange-Dichten!
Aber auch wenn die Lagragnge-Dichte L nicht supersymmetrisch ist, Rändert dies nichts an
der Physik, da die einzig wichtige physikalische Grösse die Wirkung S = d4 L ist. Ist δL eine
Divergenz, so trägt diese (Gauss) nichts zur Wirkung bei.
Betrachten man die Transformationen (4.30 - 4.38), so ist die einzige Komponente, deren Variation eine Divergenz ist, die D-Komponente. Weiterhin muss, damit die D-Komponente ein Skalar
ist, das Superfeld selbst skalar sein.
Damit bleibt als einzige Möglichkeit (sofern man nicht noch weitere Bedingungen an das Superfeld stellt) für eine Supersymmetrische Wirkung eines Skalaren Superfeldes S
Z
I = d4 x[S]D
(4.52)
Natürlich ist keine Wirkung dieser Art physikalisch befriedigend, sofern man keine Bedingungen
an das zu Grunde liegende Superfeld stellt. Für ein beliebiges Superfeld S ist die einzige Art einer
supersymmetrischen kinematischen Wirkung I0 , welche bilinear in S und S ∗ ist, und nicht mehr
als zwei Ableitungen der Komponentenfelder enthält, von der Form
Z
I0 ∝ d4 x[S ∗ S]D
(4.53)
An Gl. (4.46) sehen wir, dass der D-Term von S ∗ S wie folgt aussieht:
1
1
(ω̄γ µ ∂µ ω) + ((∂µ ω̄)γ µ ω)
2
2
+ C ∗ D + D∗ C − (ω̄λ) − (λ̄ω)
[S ∗ S]D = −∂µ C ∗ ∂ µ C −
(4.54)
+ M ∗ M + N ∗ N − Vµ∗ V µ
Dies sieht vielversprechend aus. Betrachtet man jedoch die Bewegungsgleichungen, beispielsweise
für D∗ , so zeigen die Terme in der zweiten Zeile ihre katastrophale Wirkung.
∂µ
∂L
∂L
∂[S ∗ S]D
∂[S ∗ S]D
∂[S ∗ S]D
−
= ∂µ
−
=−
= −C = 0
∗
∗
∗
∗
∂(∂µ D ) ∂D
∂(∂µ D )
∂D
∂D∗
Gleiches glit für λ, woraus ω = 0 folgt. Die Bewegungsgleichungen lauten damit
Ξ = 0,
(4.55)
wobei Ξ für jedes auftretende Feld steht!
4.3
Chirale und lineare Superfelder
Chirale Superfelder Die obige Lagrangedichte sah an sich nicht all zu schlecht aus. Als Ansatzpunkt können wir die verheerende Wirkung der Felder D und λ verwenden. Wir betrachten
dazu
λ = D = 0.
(4.56)
Nun stellt sich sofort die Frage, ob das so funktioniert. Natürlich löst das das auftretende Problem.
Allerdings nur, solange diese Terme auch Null bleiben, was unter einer Spersymmetrietransformation nicht unbedingt gegeben sein muss. Wir betrachten dazu noch einmal die Transformationen
für λ und D.
1
1
∂ V/ , γ µ + iγ5 D α =
∂µ V/ , γ µ α 6= 0
δλ =
(4.57)
2
2
/ =0
δD = i ᾱγ5 ∂λ
(4.58)
Die Transformation von D macht keine Probleme, jedoch selbige von λ. Damit λ auch immer Null
bleibt, müssen wir zusätzlich fordern, dass ∂µ Vν − ∂ν Vµ = 0 gilt, also V eine reine Eichung ist.
Vµ (x) = ∂µ Z(x)
24
(4.59)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
Damit sind die Bedingungen erfüllt, und auch invariant unter Supersymmetrietransformation.
Wir sind nun zu einem reduzierten Superfeld gelangt, welches sich folgendermasen transformiert.
δC = i(ᾱγ5 ω)
(4.60)
/ α
/ + iγ5 M + N + ∂Z
δω = −∂C
/
δM = ᾱ∂ω
/
δN = i ᾱγ5 ∂ω
(4.61)
δZ = (ᾱω)
(4.62)
(4.63)
(4.64)
Hierbei wurden die Transformationsregeln (4.30 - 4.34 ) verwendet, und λ = D = 0 sowie V µ = ∂ µ Z
eingesetzt. Ein derartiges Superfeld wird als chiral bezeichnet. Unter Benutzung der Gln. (4.56),
(4.59) und in Gl. (4.26) folgt mit den Ersetzungen von oben die allgemeine Form eines chiralen
Superfeldes X.
1
i
i
X(x, θ) =C(x) − i(θ̄ω(x)) − (θ̄γ5 θ)M (x) + (θ̄θ)N (x) + (θ̄γ5 γµ θ)∂ µ Z(x)
2
2
2
1
1
/
− (θ̄γ5 θ)2 C(x)
+ (θ̄γ5 θ)θ̄γ5 ∂ω(x)
2
8
Dieses chirale Superfeld kann weiter zerlegt werden. X lässt sich schreiben als
i
1 h
X(x, θ) = √ Ψ(x, θ) + Ψ̃(x, θ)
2
(4.65)
(4.66)
mit
√
1 + γ5
1
2 θ̄ψL (x) + F(x) θ̄
θ̄γ5 γµ θ ∂ µ φ(x)
θ +
2
2
1
2
1
/ L (x) −
− √ θ̄γ5 θ θ̄∂ψ
θ̄γ5 θ φ(x),
8
2
√
1 − γ5
1
˜
Φ̃(x, θ) =φ̃(x) − 2 θ̄ψR (x) + F̃(x) θ̄
θ −
θ̄γ5 γµ θ ∂ µ φ(x)
2
2
2
1
1
/ R (x) −
+ √ θ̄γ5 θ θ̄∂ψ
θ̄γ5 θ φ̃(x),
8
2
Φ(x, θ) =φ(x) −
(4.67)
(4.68)
und den Komponentenfeldern
C + iZ
√
,
2
C − iZ
φ̃ := √
,
2
φ :=
1 + γ5
N − iM
√
ω, F :=
2
2
1 − γ5
N + iM
√
ψR :=
ω, F̃ :=
2
2
ψL :=
(4.69)
Die Komponentenfelder Φ und Φ̃ sind jeweils eine Darstellung der Supersymmetriealgebra.
√
√
√
√
δψL = 2∂µ φγ µ αL + 2FαL , δψR = 2∂µ φ̃γ µ αR + 2F̃αL
√
√
/ L ,
/ R
(4.70)
δF = 2 α¯L ∂ψ
δ F̃ = 2 α¯R ∂ψ
√
√
δφ = 2 (α¯R ψL ) ,
δ φ̃ = 2 (α¯L ψR )
αL und αR sind hierbei wie ψL bzw ψR die Projektionen auf die links- bzw. rechtshändigen Komponenten der Spinoren.
1 + γ5
1 − γ5
αL :=
α, αR :=
α
(4.71)
2
2
Ein Superfeld der Form (4.67) oder (4.68) wird als links- bzw. rechtschiral bezeichnet. Für den
Spezialfall eines reellen Superfeldes X(x, θ) sind dessen links- und rechtschiralen Anteile zueinander
25
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
hermitesch konjugiert, so dass φ̃ = φ∗ , F̃ = F ∗ , und ψ ein Majoranafeld ist. Im allgemeinen Fall
sind die einzelnen Felder voneinander vollkommen unabhängig, was auch die Transformationen
zeigen (z.b. könnte Φ beliebig sein, und Φ̃ verschwinden ).
Mit Gl. (B.10), Gl. (B.9) und Gl. (B.13) lassen sich die Felder noch etwas weiter umschreiben.
√
T
T
εψL (x+ ) + F(x+ ) θ̄L
εθL ,
(4.72)
Φ(x, θ) = φ(x+ ) − 2 θ̄L
√
T
T
(4.73)
Φ̃(x, θ) = φ̃(x− ) + 2 θ̄R εψR (x− ) − F̃(x− ) θ̄R εθR
mit so genannten chiralen Koordinaten x± , welche wie folgt definiert sind. Dies zeigt deutlich, wie
diese von den fermionischen Variablen θL sowie θR abhängen.
xµ± := xµ ±
1
T
θ̄γ5 γ µ θ = xµ ± θR
εγ µ θL
2
(4.74)
Die Entwicklung von φ(x+ ) bzw. φ̃(x− ) in eine Reihe um xµ verschwindet nach der 2. Ordnung,
für ψL,R (x± ) 1. Ordnung, und der Ausdruck für F(x+ ) bzw. F̃(x− ) schon nach 0. Ordnung, weil
alle höheren Ordnungen drei oder mehr Faktoren θL oder θR enthalten.
Aus dem gleichen Grund sieht man leicht, dass jedes Superfeld das nur von θL und xµ+ abhängt,
aber nicht von θR , von der Form (4.72) sein muss, und jedes Superfeld das nur von θR und xµ− ,
aber nicht von θL abhängt, von der Form (4.73) sein muss.
Ob ein Superfeld rechts- oder linkschiral ist, liegt also allein an dessen Abhängigkeit von den
chiralen Koordinaten. Es folgt direkt, dass jede funktion von linkschiralen Superfeldern (bzw.
rechtschiralen Superfeldern), aber nicht ihren hermitesch konjugierten oder Raumzeitableitungen,
wieder ein linkschirales (rechtschirales) Superfeld ist.
Dies möchte ich auch etwas formaler betrachten. DRα x+ = DLα x− = 0 Eine direkte Rechnung
zeigt, dass
DRα xµ+ = DLα xµ− = 0
(4.75)
gilt, wobei DR und DL die links- bzw. rechtshändigen Anteile der Superableitung darstellen.
X
∂
∂
1 − γ5
D =−
εαβ
(4.76)
− (γ µ θL )α µ ,
DRα =
2
∂Rβ
∂x
α
β
X
1 + γ5
∂
∂
εαβ
(4.77)
DLα =
D =+
− (γ µ θR )α µ
2
∂Lβ
∂x
α
β
Da Φ(x, θ) nur durch x+ von θR abhängt, und Φ̃(x, θ) nur durch x− von θL , erfüllen diese die
Bedingungen
DRα Φ = DLα Φ̃ = 0
(4.78)
Andererseits, wenn ein Superfeld Φ die Relation DR Φ = 0 erfüllt, ist es linkschiral, und für DL Φ = 0
rechtschiral. Jede Funktion f (Φ) von Superfeldern Φn welche alle DR Φn = 0 oder alle DL Φn = 0
(alle Superfelder müssen eine der beiden Relationen erfüllen! Nicht das eine die erste, und das
andere die zweite) erfüllen auch DR f (Φ) = 0 bzw. DL f (Φ) = 0, und sind daher links- bzw.
rechtschiral. Eine Funktion, welche sowohl von links- als auch von rechtschiralen Feldern abhängt,
hat im allgemeinen keine definierte chiralität.
Mit der Darstellung (4.72) für linkschirale Superfelder ist es leicht, ihre Multiplikationseigenschaften zu berechnen. Seien z.b. Φ1 und Φ2 zwei linkschirale Superfelder, dann ist ihr Produkt
Φ = Φ1 Φ2 ebenfalls linkschiral, mit Komponenten
φ = φ1 φ2
(4.79)
ψL = φ1 ψ2L + φ2 ψ1L
F = φ1 F 2 + φ2 F 1 −
(4.80)
T
ψ1L
εψ2L
.
(4.81)
In einer Theorie mit chiralen Superfeldern ergeben sich neue Möglichkeiten eine supersymmetrische Wirkung zu konstruieren. Betrachtet man die Transformationseigenschaft (4.70), so sieht
26
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
man, dass es sich hierbei um einen Divergenzterm handelt, welcher nach Gauss in der Wirkung
keinen Beitrag liefert. Wir können also F-Terme (und ihre konjugierten) in die Lagrangedichte
aufnehmen, ohne unter Supersymmetrietransformation die Invarianz der Wirkung zu verlieren.
Unsre allgemeine supersymmetrische Lagrangedichte lautet damit
Z
Z
Z
1
4
4
∗
d4 x[K]D
(4.82)
I = d x[f ]F + d x[f ]F +
2
wobei f und K Funktionen chiraler Superfelder sind.
Superpotenial f sei hierbei eine Funktion von nur linkschiralen Feldern, und damit selbst linkschiral9 , so dass sich die F-Terme wie eine Divergenz transformieren.
Allerdings lassen sich nicht beliebig Superableitungen in f aufnehmen. Wir betrachten ein
beliebiges Superfeld S, und wirken mit zwei rechtshändigen Superableitungen darauf. Das
Feld ist dann linkschiral, da es nur zwei unabhängige rechtshändige Superableiungen gibt,
und diese antikommutieren.
DRα (DRβ DRγ S) = 0
(4.83)
Wird f auf diese Weise konstruiert, so ergibt der F-Term den gleichen Beitrag wie ein DTerm eines anderen Superfeldes. Dies lässt sich wie folgt sehen: Da die D’s antikommutieren,
lässt sich das allgemeinste linkschirale Superfeld aus einem allgemeinen Superfeld S durch
(DTR εDR )S konstruieren. Ein derartiger Term im Superpotential lässt sich damit schreiben
als f = (DTR εDR )h für irgendein Superfeld h. Nun gilt aber
T
(DTR εD)(θR
εθ) = −4.
(4.84)
T
εθR )/4 in h. Abgesehen natürlich von
Damit ist also (DTR εD)h der Koeffizient von −(θR
Raumzeitableitungen welche wir wie immer vernachlässigen, da sie nicht zur Wirkung beiT
tragen. Weiterhin gilt, dass [f ]F der Koeffizient von (θL
εθL ) in f ist. Damit ist [(DTR εD)h]F
T
T
gleich dem Koeffizient von −(θL εθL )(θR εθR )/4 = −(θ̄γ5 θ)2 /4 inh. Es folgt
Z
Z
d4 x (DTR εD)h F = 2 d4 x[h]D
(4.85)
Also werden wir keine Terme der Form DRβ DRγ S in f aufnehmen, da diese schon in den
D-Termen berücksichtigt werden.
Wenn f auf diese Weise konstruiert ist, also als Funktion die nur von elementaren linkschiralen Superfeldern und nicht irgendwelchen Super- oder Raumzeitableitungen abhängt, dann
bezeichnen wir es als Superpotential - und nur dann!
Kähler-Potential Im Gegensatz dazu ist K eine reelle skalare Funktion10 , welche sowohl von
linkschiralen Superfeldern Φn als auch ihren (rechtschiralen) hermitsch konjugierten Φ∗n sowie deren Super- und Raumzeitableitungen abhängen kann. Diese wird in der Literatur als
Kähler-Potential.
Weiterhin muss das Kähler-Potential von der Form
K(Φ∗ , Φ))
(4.86)
sein. Dies kann man dadurch einsehen, da ein Polynom von Feldern definierter Chiralität
(also links- oder rechtschiral) keinen D-Term haben, und somit für die Wirkung unerheblich
sind. Φ∗ Φ besitzt jedoch im allgemeinen keine definierte Chiralität, und somit einen D-Term.
Als Anmerkung sei an dieser Stelle gesagt, dass nicht alle K’s unterschiedliche Wirkungen
liefern. Beispielsweise haben chirale Superfelder keine D-Terme. Damit werden zwei K’s,
welche sich nur durch ein chirales Superfeld unterscheiden, die selbe Wirkung haben.
9 Das ist an dieser Stelle reine Konvention. Wir hätten auch nur rechtschirale Felder zulassen, und deren hermitesch
konjugierte durch [f ]∗ aufnehmen können.
10 Die Wirkung soll einen reellen Wert haben!
27
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
Lineare Superfelder Es gibt noch weitere Arten, Superfelder einzuschränken, um andere, sinnvolle Lagrangedichten zu erhalten. Als weitere Möglichkeit werde ich hier das so genannte lineare
Superfeld ansprechen.
Wir betrachten hierzu, dass wir aus einem beliebigen Superfeld S ein chirales machen können,
indem wir mit den Superableitungen wie folgt darauf wirken.
S0 =
1
1
1
D̄D S =
D̄L DL S +
D̄R DR S
4
4
4
(4.87)
Das zweite Gleichheitszeichen zeigt direkt, dass dem so ist. Die Komponenten von S 0 , ausgedrückt
in den Komponenten von S sind damit leicht zu berechnen. es ergibt sich
C0 = N
(4.88)
0
/
ω = λ + ∂ω
(4.89)
M 0 = −∂µ V µ
(4.90)
0
N = D + C
(4.91)
Vµ0
0
= −∂µ M
(4.92)
0
(4.93)
λ =D =0
Ein Superfeld S bezeichnet man nun als linear, wenn das wie oben definierte S 0 verschwindet, also
S0 =
1
D̄D S = 0
4
(4.94)
Ausgedrückt in Komponenten bedeutet dies
N = M = ∂µ V µ = 0,
/
λ = −∂ω,
D = −C
(4.95)
Das lässt nun vier unabhängige bosonische, und vier fermionische Felder übrig. Namentlich sind
dies C, sowie die drei noch freien Komponenten von Vµ (Letztere müssen die Bedingung ∂µ V µ = 0
erfüllen), sowie die beiden Majorana Viererspinoren ω.
Weitere Superfelder Es gibt noch weitere Arten, Superfelder einzuschränken, um andere,
sinnvolle, Lagrangedichten zu erhalten. Darunter fallen beispielsweise die so genannten VektorSuperfelder, welche die Bedingung V = V † erfüllen. Diese spielen eine wichtige Rolle in supersymmetrischen Eichtheorien, und werden aus diesem Grund erst in (6) eingeführt.
4.4
Renormierbare Theorien von chiralen Superfeldern
Dimensionsanalyse Wir werden nun allgemeine renormierbare Theorien von Skalaren chiralen
Superfeldern betrachten. Dies wird die genauen Wirkungsweisen der supersymmetrischen Erweiterungen zeigen, sowie die Basis für das supersymmetrische Standardmodel bilden.
Aus der Renormalisierungstheorie [WB2] folgt, dass die Lagrangedichte einer renormierbare
Theorie nur Operatoren mit Dimension (Potenzen der Massen bei ~ = c = 1) vier oder weniger
enthalten kann. Aus Gl. (4.24) folgt weiterhin, dass Dα und damit ∂/∂θα die Dimension 1/2
besitzt. Damit hat Dα die Dimension 1/2, und θα die Dimension -1/2. Die F− und D-Terme eines
Superfeldes S sind die Koeffizienten von zwei bzw. vier Faktoren θ. Hat das Superfeld die Dimension
d(S), dann haben die F- und D-Terme die Dimension d(F S ) = d(S) + 1 bzw. d(DS ) = d(S) + 2.
Damit können die Funktionen f und K in Gl. (4.82) nur aus Operatoren der maximalen Dimension
drei bzw. zwei bestehen.
Die Dimension eines elementaren skalaren Superfeldes Φn ist gleich der eines elementaren skalaren Feldes, also +1. Damit jeder Term in f die maximale Dimension drei oder wengiger hat, kann
es maximal drei Faktoren von Φn und/oder Raumzeitableitungen und/oder paare von Superableitungen Dα enthalten.
Wie im vorigen Abschnitt besprochen, kann jeder linkschirale Term in f , welcher Superableitungen enthält, durch einene entsprechenden Term in K erstetzt werden. Damit können wir Superableitungen von f ignorieren. Gl. (4.51) zeigt, dass Raumzeitableitungen durch Superableitungen
28
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
ausgedrückt werden können, weshalb wir diese ebenfalls weglassen. Insgesamt zeigen diese Betrachtungen, dass f (Φ) ein maximal kubisches Polynom in Φn ohne Super- oder Raumzeitableitungen
sein kann.
Eine analoge Betrachtung für K zeigt, dass dieses maximal eine quadratische Funktion in Φn
und Φ∗n ohne Ableitungen sein kann. Weiterhin muss K(φ∗ , Φ) = K(Φ∗ Φ) gelten, da ein Term
der Form ΦΦ eine definierte Chiralität hätte, und damit D = 0. Das allgemeinste renormierbare
Kählerpotential ist dann gegeben durch
X
K(Φ, Φ∗ ) =
gnm Φ∗n Φm ,
(4.96)
nm
gnm bezeichne hierbei eine positiv definite hermitesche Matrix darstellt, also eine Art Metrik des
(siehe [PA], [WB3]).
Berechnung der Lagrange-Dichte Wir müssen nun die F- und D-Komponenten von f (Φ)
sowie K(ΦΦ∗ ) berechnen. Für die D-Komponenten von K(ΦΦ∗ ) bemerken wir, dass der Term
vierter Ordnung in θ von Φ∗n Φm wie folgt aussieht.
1
[Φ∗n Φm ]θ4 = − (θ̄γ5 θ)2 [φ∗n φm + (φ∗m )φn ]
8
+ (θ̄γ5 θ) (ψnL θ)(θ̄γ µ ∂µ ψmL ) + ((∂µ ψnL )γ µ θ)(θ̄ψmL )
1
+ Fn∗ F θ̄(1 − γ5 )θ θ̄(1 + γ5 )θ
4
1 µ ∗ ν
− ∂ φn ∂ φm θ̄γ5 γν θ) θ̄γ5 γν θ
4
(4.97)
Mit Gl. (B.10) und Gl. (B.12) können wir die θ-Abhängigkeit der obigen Gleichung in einen globalen
Faktor (θ̄γ5 θ)2 überführen.
"
1
1
∗
2 1 ∗
[Φn Φm ]θ4 = − (θ̄γ5 θ)
φ φm + (φ∗m )φn − (ψnL γ µ ∂µ ψmL ) + ((∂µ ψnL )γ µ ψmL )
4
2 n
2
#
(4.98)
+ 2Fn∗ F − ∂ µ φ∗n ∂µ φm
Der D-Term eines Superfeldes ist der Koeffizient von −1/4 · (θ̄γ5 θ)2 abzüglich der skalaren Komponente unter der Wirkung von 1/2 · , welcher für Φ∗n Φm φ∗n φm ist. Damit gilt
X
1
1
1
[K(Φ, Φ∗ )]D =
gnm −∂ µ φ∗n ∂µ φm + Fn∗ F − (ψnL γ µ ∂µ ψmL ) + ((∂µ ψnL )γ µ ψmL ) (4.99)
2
2
2
nm
Durch eine lineare Transformation von Φn der Form
X
Φ=
Nnm Φ0m
(4.100)
m
0
lässt sich das Kählerpotential formal wie in Gl. (4.96) schreiben, wobei die Metrik gnm in gnm
=
(N † gN )nm übergeht. Damit die kinematischen Terme für die Skalar- und Spinorfelder Vorzeichen
haben, die konsistent mit den Vertauschungs- und Antivertauschungsrelationen der Quantenmechanik sind, muss die Matrix gnm notwendigerweise positiv definit sein. Das bedeutet, dass es ein
N gibt, so dass gnm = δnm gilt, und wir in der obigen Gleichung eine der Summen ausführen
könnten (wobei wir den 0 wieder weglassen). Es ergibt sich damit
X
1
1
1
[K(Φ, Φ∗ )]D =
−∂ µ φ∗n ∂µ φn + Fn∗ Fn − (ψnL γ µ ∂µ ψmL ) + ((∂µ ψnL )γ µ ψmL )
(4.101)
2
2
2
n
Zu bemerken ist, dass wir immernoch die Freiheit einer unitären Transformation haben, ohne die
Form von Gl. (4.101) zu ändern. Dies werden wir später noch ausnützen.
29
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
Um die F-Terme von f (Φ) zu berechnen ist es am einfachsten, die Darstellung (4.72) zu verwenden. Die Terme zweiter Ordnung in θL sind
[f (Φ)]θ2 =
X
T
T
θL
εψnL (x) θL
εψmL (x)
L
nm
+
X
n
∂ 2 f (φ(x))
∂φn (x)∂φm (x)
∂f (φ(x)) T
θL εθL .
Fn (x)
∂φn (x)
(4.102)
Die θ-Abhängigkeit der ersten beiden Terme auf der rechten Seite kann man unter Verwendung
von Gl. (B.7) in die Standardform bringen:
T
1 + γ5
1 + γ5
T
T
T
θL εψnL θL εψmL = ψnL ε
θ
θ ε
ψmL
2
2
(4.103)
T
1
= − ψ̄nL ψmL θL
εθL .
2
T
Der F-Term jedes linkschiralen Superfeldes ist der Koeffizient von θL
εθL . Es folgt für diesen Fall
[f (Φ)]F = −
X
∂f (φ(x))
1 X ∂ 2 f (φ(x))
ψ̄nL ψmL +
.
Fn (x)
2 nm ∂φn (x)∂φm (x)
∂φn (x)
n
(4.104)
Die gesamte Lagrangedichte ist die Summe der Anteile (4.101), (4.104) und dem hermitesch
konjugierten von (4.104).
X
1
1
µ ∗
∗
µ
µ
L=
−∂ φn ∂µ φn + Fn Fn − (ψnL γ ∂µ ψmL ) + ((∂µ ψnL )γ ψmL )
2
2
n
1 X ∂ 2 f (φ) ∗
∗
1 X ∂ 2 f (φ)
−
ψ̄nL ψmL −
ψ̄nL ψmL
(4.105)
2 nm ∂φn ∂φm
2 nm ∂φn ∂φm
∗
X
∂f (φ) X ∗ ∂f (φ)
+
Fn
+
Fn
∂φn
∂φn
n
n
Die Hilfsfelder Fn tragen quadratisch zur Wirkung bei, mit konstanten Koeffizienten in zweiter
Ordnung. Sie besitzen keinerlei Dynamik, und damit rein algebraische Bewegungsgleichungen. Man
kann sie somit eliminieren, indem man die Fn gleich den Werten setzt, bei denen die Lagrangedichte
stationär wird.
∗
∂f (φ)
Fn = −
(4.106)
∂φn
Wieder in Gl. (4.105) eingesetzt ergibt dies
X
1
1
µ ∗ ν
µ
µ
L=
−∂ φn ∂ φn − (θ̄γ ∂µ ψn ) + ((∂µ ψ̄n )γ ψnL )
2
2
n
2
∗
2
X
X
1
∗
1
∂ f (φ)
∂ f (φ)
−
ψ̄nL ψmL −
ψ̄nL ψmL
2 nm ∂φn ∂φm
2 nm ∂φn ∂φm
X ∂f (φ) ∗ ∂f (φ)
−
∂φn
∂φn
n
(4.107)
Man sieht, dass der letzte Term der obigen Gleichung nur von den skalaren Feldern φ abhängt,
also eine Art skalares Potential V der Form
X ∂f (φ) 2
V (φ) =
(4.108)
∂φn n
30
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
bildet.
Ohne die Hilfsfelder ist die Wirkung aber nicht mehr invariant unter Supersymmetrietransformationen der übrigen Felder! Dies sieht man, wenn man die Transformationen explizit berechnet:
∗
√
√
∂f (φ)
αL
(4.109)
δΦnL = 2∂µ φn γ µ αR − 2
∂φn
√
δφn = 2 (ᾱR ψnL ) .
(4.110)
Beide infinitesimalen Transformationen erhalten Terme, die sich nicht nach einer Divergenz transformieren. Der Grund hierfür
√ liegt darin, dass der Ausdruck (4.106) nicht die Transformationsregel
/ nL , sondern statt dessen
für Fn befolgt, also δFn = 2(ᾱL ∂)ψ
∗
X ∂ 2 f (φ) ∗
√ X ∂ 2 f (φ) ∗
∂f (φ)
=−
δφ∗m = − 2
(ᾱL ψmR ) .
(4.111)
δ
∂φn
∂φn ∂φm
∂φn ∂φm
m
m
Aus dem selben Grund sind die Kommutatoren der Supersymmetrietransformationen von φn und
ψnL nicht mehr durch die Supersymmetrie-Antikommutatortelationen gegeben, und bilden auch
keine geschlossene Algebra mehr.
Dies ist jedoch trotz allem konsistent mit der Existenz von Operatoren Qα , welche die Antikommutatortelationen erfüllen. Diese erzeugen dei Supersymmetrietransformationen in dem Sinn
dass die Kommutatoren von −i(ᾱQ) mit jedem (Heisenberg-Bild) Quantenfeld φn oder ψnL gleich
einer infinitessimalen Änderung mit Parameter α des jeweiligen Feldes unter Supersymmetrietransformation sind.
Im Heisenbergbild erfüllt ψnL die Feldgleichung, welche aus dem Lagrangedichte (4.107) abgeleitet wird.
X ∂ 2 f (φ) ∗
/ nL = −
ψmR .
(4.112)
∂ψ
∂φn ∂φm
m
Setzt man dies in Gl. (4.111) ein, so ergibt sich die Transformation von Fn zu
!
∗
X ∂ 2 f (φ) ∗
√
√
∂f (φ)
/ nL
δFn = δ
= − 2ᾱL
ψmR = 2ᾱL ∂ψ
∂φn
∂φn ∂φm
m
(4.113)
Die Supersymmetrietransormationen der Quantenfelder φn und ψnL bilden also eine geschlossene
Lie-Algebra, wenn die Feldgleichungen berücksichtigt werden. Diese Algebras werden auch oft als
on-shell bezeichnet11 .
Harmonische Näherung Wenn wir die Erwartungswerte der skalaren Felder φ bestimmen wollen, so werden diese am Minimum des effektiven Potentials liegen. Das effektive skalare Potential
V ist positiv definit. Es folgt direkt, dass V = 0 ein globales Minimum darstellt, was auf die
Bedingung
∂f (φ) =0
(4.114)
∂φn φ=hφi
führt. Natürlich setzten wir an dieser Stelle voraus, dass eine derartige Lösung existiert. Wie wir
im Abschnitt 5 sehen werden, wird dies auch gleichzeitig die Bedingung für spontane Symmetriebrechung sein. Im Moment möchte ich aber annehmen, dass Gl. (4.114) eine Lösung besitzt, und auf
den gegenteiligen Fall erst in 5 zurückkommen. Die Gln. (4.114) werde ich als Vakuumgleichungen
bezeichnen.
Gl. (4.114) habe also eine Lösung hφi. Dann können wir die die skalaren Felder φ um eben diese
Erwartungswerte translieren:
φn = hφn i + ϕn
(4.115)
Nun betrachten wir kleine Auslenkungen der Felder und entwickeln diese nach Ordnungen in ϕn .
Die Massen der Teilchen ergeben sich als Entwicklungskoeffizienten12 zweiter Ordnung in ϕ und
11 Die Bezeichnung stammt aus der Quantenfeldtheorie. Hier tauchen virtuelle Teilchen auf, welche die EnergieImpulsbezeihung nicht erfüllen, sich also nicht auf der Massenschale befinden.
12 Genauer deren diagonalisierte Form.
31
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
ψ:
L0 =
X
1
1
−∂ µ ϕ∗n ∂µ ϕn − (ψnL γ µ ∂µ ψnL ) + ((∂µ ψnL )γ µ ψnL )
2
2
n
X
X
1
∗
1
−
Mnm ψ̄nL ψmL −
M†
ψ̄nL ψmL
2 nm
2 nm nm
X
−
M† M nm ϕ∗m ϕn
(4.116)
nm
An dieser Stelle verwende ich die symmetrische (Massen-)Matrix13 M, welche wie folgt definiert
ist:
2
∂ f (φ)
Mmn :=
(4.117)
∂φn ∂φm φ=hφi
Nun verwenden wir, dass wir noch die Freiheit einer unitären Transformation der Felder haben. Eine
symmetrische Matrix lässt sich immer durch eine Ähnlichkeitstransformation mit einer unitären
diagonalisieren, was uns auf folgende neue Felder führt:
X
X
0
ϕn =
Unm ϕ0m , ψnL =
Unm ψmL
(4.118)
m
m
Die Lagrangedichte L0 behält ihre Form, wobei jedoch M durch M0 = U † MU 0 ersetzt werden
muss. Bezeichnet man die Eigenwerte von M mit mn > 014 , und lassen die 0 weg, so erhalten wir
den harmonischen Anteil der Lagrangedichte
X
1
1
µ
µ
µ ∗ ν
L0 =
−∂ φn ∂ φn − (ψnL γ ∂µ ψnL ) + ((∂µ ψnL )γ ψnL )
2
2
n
1X
∗
1X
mn ψ̄nL ψnL −
mn ψ̄nL ψnL
−
(4.119)
2 n
2 n
X
−
m2n ϕ∗n ϕn ,
n
Um die Massenterme für die Fermionfelder in eine etwas andere (bekanntere) Form zu bringen,
fassen wir die Weylspinoren ψnL zu Majoranaspinoren ψn zusammen, wobei wir Gl. (B.14) verwenden.
1 + γ5
1 + γ5
µ
µ
µ
µ
−(ψnL γ ∂µ ψnL ) + ((∂µ ψnL )γ ψnL ) = − ψn γ
∂µ ψn + (∂µ ψn )γ
ψn
2
2
1 + γ5
1 − γ5
µ
µ
= − ψn γ
∂µ ψn − ψn γ
∂µ ψn
2
2
= − ψn γ µ ∂µ ψn
(4.120)
Weiterhin ergibt Gl. (B.15)
1 + γ5
(ψ̄nL ψnL ) + (ψ̄nL ψnL )∗ = 2< ψn
ψn = (ψn ψn )
2
(4.121)
`
´
Verwendung von M† M nm ϕ∗m ϕn als Entwicklung in zweiter Ordnung von |∂f /∂φn |2 basiert darauf, dass
∂f /∂φn |φ=hφi = 0 gilt. Bei gebrochener Supersymmetrie ist dies nicht möglich. Die bosonischen Massen müssen
also direkt aus |∂f /∂φn |2 berechnet werden (Dies wird in (5) explizit an einem Beispiel geschehen). Die Ersetzung
hat aber den Vorteil, dass man explizit an der Lagrangedichte sehen kann, dass die Bosonen und Fermionen die
gleiche Masse haben.
14 Wir entwickeln um ein Minimum.
13 Die
32
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
Damit erhalten wir die harmonische Näherung der Lagrangedichte mit Majoranaspinoren als
"
#
X
X
mn
1
µ ∗ ν
2 ∗
µ
(ψn ψn ) .
L0 =
−∂ φn ∂ φn −
mn ϕn ϕn −
ψn γ ∂µ ψn −
(4.122)
2
2
n
n
Der Faktor 1/2 in den Fermion-Termen begründet sich dadruch, dass es sich hierbei um Majoranafelder handelt. Man sieht auch direkt, dass die Spin 0- und die Spin 1/2-Teilchen gleiche Massen
haben, wie von ungebrochener Supersymmetrie verlangt (siehe (3)).
Wechselwirkungen Der Wechselwirkungsanteil L0 der Lagrangedichte ist gegeben durch die
Terme höherer Ordnung in ϕn und ψn in Gl. (4.107). Da das Superpotential f (hφi+ϕ) als kubisches
Polynom angenommen wurde, welches stationär in ϕn = 0 ist, können wir das f schreiben als
f (hφi + ϕ) =
1X 2 2 1X
mn ϕn +
fnml ϕn ϕm ϕl .
2 n
6
(4.123)
nml
Hierbei wurde schon die diagonalisierte Form des Superpotentials verwendet. Eingesetzt in Gl.
(4.107) ergibt sich die Wechselwirkung
1 + γ5
1X ∗
1 − γ5
1X
fnml ϕn ψm γ µ
fnml ϕ∗n ψm γ µ
∂µ ψl −
∂µ ψl
L0 = −
2
2
2
2
nml
nml
X
X
1
1
∗
−
mn fnml ϕ∗n ϕm ϕl −
mn fnml
ϕn ϕ∗m ϕ∗l
(4.124)
2
2
nml
nml
1 X
∗
∗
∗
−
fnml fnm
0 l0 ϕm ϕl ϕm0 ϕl0
4
0 0
nmlm l
Bei den ersten beiden Termen handelt es sich um Stromkopplungen der fermionischen Felder ψ
mit den skalaren φ. Die letzten drei Terme geben die Selbstwechselwirkungen der skalaren Felder
in dritter und in vierter Ordnung an.
Wir sehen, dass das Wissen über die Massen mn und die Yukawa-Kopplung fnml der Skalarund Fermionenfelder ausreicht, um alle kubischen und quartischen Selbstwechselwirkungen der
skalaren Felder zu bestimmen.
Als Beispiel betrachten wir den Fall eines einzelnen linkschiralen Superfeldes. Aus historischen
Gründen werde ich den einzelnen Koeffizient f in Gl. (4.123) schreiben als
√
(4.125)
f := 2 2eiα λ
wobei λ reell sei, und α eine ebenfalls reelle Phase darstellt. Weiterhin werde ich ein Paar spinloser
reeller Felder A(x) und B(x) einführen, indem ich das komplexe Feld ϕ aufspalte in
A + iB
√
ϕ := e−iα
(4.126)
2
Es folgt die gesamte Lagrangedichte als Summe der Gleichungen (4.122) und (4.124).
1
1
1
LW Z = − ∂µ A∂ µ A − ∂µ B∂ µ B − m2 (A2 + B 2 )
2
2
2
1
1
µ
− (ψ̄γ ∂µ ψ) − m(ψ̄ψ)
2
2
− λA(ψ̄ψ) − iλB(ψ̄γ5 ψ)
1
− mλA(A2 + B 2 ) − λ2 (A2 + B 2 )2
2
(4.127)
Diese Lagrangedichte wurde ursprünglich von Wess und Zumino gefunden wurde, und stellt eine
der ersten Arbeiten über Supersymmetrie dar [?, WZ]
33
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Feldtheorie
Es ist zu bemerken, dass in diesem einfachen Fall die Lagrangedichte invariant unter Rauminversion ist.
A(x) → A(ΛP x),
B(x) → −B(ΛP x),
ψ(x) → iβψ(ΛP x)
(4.128)
Das ist um so erstaunlicher, da wir an keiner Stelle eine Paritätserhaltung angenommen haben!
Diese accidental Symmetry ist eine bekannte Eigenschaft von renormierbaren Eichtheorien (siehe
[WB2]), allerdings nicht von Theorien mit spinlosen Feldern. Letzteres ist eine spezielle Eigenschaft
der Supersymmetrie.
34
Spontane Brechung der Supersymmetrie in
Tree-Approximation
Einführung in die Supersymmetrie
5
Spontane Brechung der Supersymmetrie in
Tree-Approximation
5.1
Allgemeines Konzept
Spontan gebrochene Supersymmetrie bedeutet, dass der physikalische Vakuumzustand |0i nicht invariant unter einer Supersymmetrietransformation ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass |0i
nicht durch alle Generatoren vernichtet wird.
∃ Q : Q|0i =
6 0
(5.1)
Der Ordnungsparameter für die Symmetriebrechung ist interessanterweise der Energieerwartungsµ
wert des Vakuums. Betrachten wir hierzu die fundamentale Antikommutatorrelation 2σab
Pµ =
∗
µ
0
i
{Qa , Qb }, wobei wir diese nach Pµ umformen. Daraus folgt mit σ̄ = (σ , −σ )
ν µ
ν µ
ν
2σ̄ba
σab Pµ = 2 tr(σ̄ba
σab )Pµ = 4η νµ Pµ = σ̄ba
{Qa , Q∗b }
(5.2)
bzw. für den Hamilton-Operator
H = P0 =
1
1 0
Q 12 Q∗1 + Q∗1 Q 21 + Q− 21 Q∗− 1 + Q∗− 1 Q− 12
σba {Qa , Q∗b } =
2
2
2
2
4
4
(5.3)
Betrachten wir den Energieerwartungswert des Vakuums, so ergibt sich
h0|H|0i =
1 ∗
||Q 1 |0i||2 + ||Q 21 |0i||2 + ||Q∗− 1 |0i||2 + ||Q− 21 |0i||2
2
2
4
(5.4)
Man sieht direkt dass H positiv definit ist, und nur dann ungleich Null, wenn Gl. (5.1) erfüllt ist.
Damit gilt
SUSY ungebrochen ⇔ Vakuum-Erwartungswert ist Null
SUSY gebrochen ⇔ Vakuum-Erwartungswert ungleich Null
Zu beachten ist
i. Gibt es einen lokales supersymmetrisches Minimum des effektiven Potentials, dann ist dieses
auch ein globales Minimum.
ii. Wenn es mehrere supersymmetrische Minima gibt, so sind diese entartet (Energie gleich
Null).
iii. Die Brechung der Supersymmetrie ist unabhängig von der Brechung anderer Symmetrien,
insbesondere Eichsymmetrien.
5.2
F-Term Symmetriebrechung
Um eine Theorie mit gebrochnerer Supersymmetrie aufzubauen, ist es notwendig, dass das effektive Potential V = |∂f /∂φn |2 = |Fn |2 kein supersymmetrisches Minimum besitzt. Bei globaler15
Supersymmetrie mit chiralen Superfeldern lässt sich dies über nicht-verschwindende Vakuumerwartungsverte (VEV) der Hilfsfelder Fn erreichen. Speziell, jedes Superpotential, welches keine
linearen Terme enthält, wird nie eine spontane Symmetrie-Brechnung erzeugen, da sich die Vakuumgleichungen
Fn∗ = −
∂f
∂φn
(5.5)
immer lösen lassen, in dem man φn = 0 setzt.
15 Ich werde in dieser Einführung ausschliesslich globale Supersymmetrie und ihre Brechung betrachten. Lokale
Supersymmetrie würde sofort auf eine Theorie der Gravitation führen, welche ich hier aussen vor lassen will.
35
Spontane Brechung der Supersymmetrie in
Tree-Approximation
Einführung in die Supersymmetrie
Betrachten wir beispielsweise das Wess-Zumino-Modell mit Superpotential
f (Φ) =
1
1
mΦ2 + λΦ3
2
3
(5.6)
Für dieses gibt es zwei supersymmetrische Minima, eines bei φ = 0, das andere bei φ = m/λ.
Für generische Wahl der Koeffizienten kann man eine Lösung der Vakuumgleichungen erwarten,
da diese genau so viele Gleichungen wie Variablen gibt.
O’Raifeartaigh-Modelle Wir werden nun eine Reihe von Modellen untersuchen, welche auf
O’Raifeartaigh zurückgehen. Betrachte hierzu ein Superpotential der Form
X
f (Y, X) =
Yi fi (Xn ),
(5.7)
i
wobei Yi und Xn chirale Superfelder darstellen. Die Vakuumgleichungen und damit die Bedingungen für spontane Symmetriebrechung ergeben sich zu
∂f
= fi (xn )
∂yi
X ∂fi (xm )
∂f
0=
=
yi
∂xn
∂xn
i
0=
(5.8)
(5.9)
Gl. (5.9) lässt sich immer lösen, im dem man alle yi = 0 setzt. Die Lösungen für Gl. (5.8) werden
dadurch nicht eingeschränkt. Ist jedoch die Zahl der Superfelder Xn kleiner als die Zahl der Superfelder Yi , so besitzt Gl. (5.8) mehr Bedingungen als freie Variablen, und wir können im allgemeinen
keine Lösung erwarten. Dies führt explizit zu einer spontanen Symmetriebrechung. Das effektive
Potential V nimmt für ein derart konstruiertes Superpotential die folgende Form an.
2
X
X X ∂fi (xm ) 2
(5.10)
yi
V =
|fi (xn )| +
∂xn i
n
i
Um nun explizit die dynamische Generation von Massen zu sehen, möchte ich ein Beispiel durchrechnen. Das einfachste derartige Modell ohne supersymmetrisches Minimum ist eines bestehend
aus drei chrialen Feldern Y1 , Y2 und X3 . Das Superpotential wähle ich in der Form
f = λY1 (X32 − M 2 ) + µY2 X3 .
(5.11)
Berechnet man daraus die Vakuumgleichungen, so erhält man
∂f
= λ(x23 − M 2 ) = −Fy∗1
∂y1
∂f
= µx3 = −Fy∗2
∂y2
∂f
= 2λy1 x3 + µy2 = −Fx∗3
∂x
(5.12)
(5.13)
(5.14)
Es lässt sich leicht prüfen, dass die F nicht alle gleichzeitig Null sein können16 . Damit ist die
Supersymmetrie spontan gebrochen. Für M 2 < µ2 /2λ2 ergibt sich das absolute Minimum des
effektiven Potentials
V = λ2 |x23 − M 2 |2 + µ2 |x3 |2 + |µy2 + 2λy1 x3 |2
(5.15)
durch hy2 i = hx3 i = 0 und ein beliebiges hy1 i. Weiterhin gilt
Fy∗1 = λM 2 , Fx∗3 = Fy∗2 = 0,
16 Für
V = λ2 M 4 > 0
(5.16)
die zweite Gleichung muss beispielsweise x3 = 0 sein, was nicht kompatibel mit der ersten Gleichung ist.
36
Spontane Brechung der Supersymmetrie in
Tree-Approximation
Einführung in die Supersymmetrie
Spin-1/2 Felder Die fermionischen Massen ergeben

2
0
∂ f (φ)
= 0
Mmn :=
∂φn ∂φm VEV
2λx3


0 0
0

µ
= 0 0
0 µ 2λhy1 i
sich aus der Masse-Matrix M, also

0 2λx3
0
µ 
µ 2λy1 hy i=hx i=0,hy i
2
3
1
(5.17)
Eingesetzt in die Lagrangedichte erhält man daraus den fermionischen Masseterm LF
M:
1X
Mmn ψ̄nL ψmL + h.c.
2 nm
1
= − µ ψ̄2L ψ3L + ψ̄3L ψ2L + 2λhy1 iψ̄3L ψ3L + h.c.
2
LF
M =−
(5.18)
Das ψ1 -Felt ist masselos. Dies ist analog zur klassischen globalen Symmetriebrechung, bei der nach
dem Goldstone-Theorem ein masseloses Goldstone-Boson entsteht. ψ1 wird als Goldstone-Fermion
oder Goldstino bezeichnet. Weiterhin gibt es zwei Kombinationen von massiven Fermionen ψ2 und
ψ3 . Zu beachten ist, dass die Massen der Fermionen nicht durch lineare Terme des Superpotentials
beeinflusst werden.
Spin-0 Felder Die bosonischen Massen lassen sich, nach einer Translation der komplexen skalaren Felder um deren jeweilige
Vakuumerwartungswerte, aus der harmonischen Näherung des
P
effektiven Potentials V = n |Fn |2 ableiten. Die Translation der Vakuumerwartungswerte können
wir in diesem Beispiel auch einfacher gestalten, indem wir hy1 i = 0 setzen. Die anderen beiden
Vakuumerwartungswerte sind bereits Null. Es folgt
X
2
LB
Fn∗ Fn = λ2 M 2 (x∗3 ) + x23 − µ2 (x∗3 x3 + y2∗ y2 )
(5.19)
M =−
n
Um nun die Massenaufspaltung genauer zu sehen, definieren wir reelle skalare Felder a3 und b3 der
Form
1
x3 =: √ (a3 + ib3 )
2
(5.20)
Gl. (5.19) wird damit zu
LB
M =−
2
µ2
µ
− λ2 M 2 a23 −
+ λ2 M 2 b23 − µ2 y2∗ y2
2
2
(5.21)
Das komplexe skalare Feld y1 masselos. Das komplexe skalare Feld y2 besitzt die Masse µ, und die
beiden reellen skalaren Felder a3 und b3 besitzten Massen
m2a3 = µ2 − 2λ2 M 2 ,
m2b3 = µ2 + 2λ2 M 2
(5.22)
Dies bedeutet, dass y1 und y2 immer noch mit ihren fermionischen Partnern ψ1 und ψ2 entartet
sind, trotz Supersymmetriebrechung. Allerdings manifestiert sich die Brechung der Symmetrie in
den Feldern a3 und b3 , deren Massen sich von der ihres Superpartners ψ3 mit Masse µ unterscheiden.
Der Grund für dieses Ergebnis ist, dass nur das Superfeld X3 mit dem Superfeld Y1 koppelt,
welches das Goldstone-Fermion enthält.
37
Einführung in die Supersymmetrie
6
Supersymmetrische Eichtheorie
Supersymmetrische Eichtheorie
6.1
Abelsch U (1)-Eichtheorie und deren Supersymmetrische Erweiterung
Klassische Eichtheorie auf supersymmetrischen Feldern Wir betrachten hier nur den abelschen Fall, wobei die Erweiterung auf den nichtabelschen keine grossen Schwierigkeiten mit sich
bringen wird.
Motiviert durch die Elektrodynamik betrachten wir Transformationen der Superfelder der folgenden Form
Φ → Φ0 = eiqΛ(x) Φ
(6.1)
∗
Φ∗ → Φ0∗ = Φ∗ e−iqΛ
(x)
(6.2)
Λ(x) bezeichne hierbei eine beliebige, allerdings hinreichend gutartige, Funktion im Minkowskiraum, also noch kein Superfeld. Man sieht direkt, dass die F-Terme hiervon nicht beeinflusst werden. Wir können unsre Betrachtungen damit auf die D-Terme beschränken, welche nur Superfelder
der Form Φ∗ Φ beinhalten. Diese transformieren sich nach
∗
Φ∗ Φ → Φ∗ 0 Φ0 = Φ∗ e−iq(Λ
−Λ)
Φ
(6.3)
Das x in Λ wird hier und im folgenden unterdrückt. Offensichtlich ist dieser Term nicht invariant.
Dem Prinzip der Einfachheit folgend führen wir eine Gauge Connection 17 Γ ein, von welcher wir
fordern, dass diese sich wie folgt transformiere:
∗
Γ → Γ0 = eiqΛ Γe−iqΛ
(6.4)
Damit ist Φ∗ ΓΦ invariant. Zu bemerken ist, dass Γ nicht eindeutig ist. Betrachtet man beispielsweise ein linkschirales Feld Υ, welches sich nach
Υ → Υ0 = eiqΛ Υe−iqΛ
(6.5)
transformiert, so erfüllt die neue Gauge Connection Θ := ΓΥ ebenfalls die Bedingung Gl. (6.1).
Um eine eindeutige Gauge Connection zu haben, werden wir fordern, dass diese Hermitesch ist.
Sollte der hermitesche Anteil gerade verschwinden, so wählen wir den antihermiteschen.
Eine mögliche Wahl für Γ stellt die folgende dar:
Γ = e−2qV ,
(6.6)
V bezeichne hierbei ein Vektorfeld, welches sich unter Eichtransformation nach V → V 0 = V +
i/2(Λ − Λ∗ ) transformiere, und damit die Bedingung (6.4) erfüllt.
Supersymmetrische Eichtheorie Wir werden jetzt in Verallgemeinerung der klassischen Eichtheorien auf supersymmetrischen Feldern zu supersymmetrischen Eichtheorien übergehen. Dazu sei
V nun ein Vektorsuperfeld mit V ∗ = V , und wir gehen vom skalaren Feld Λ zu einem chiralen
Superfeld Ω über. V soll sich dabei wie folgt transformieren
V →V +
i
(Ω − Ω∗ )
2
(6.7)
Die Transformation sieht zwar formal fast gleich aus wie im vorigen Abschnitt, jedoch handelt es
sich um völlig andere Objekte. Anstatt mit einem einzelnen Eichfeld zu arbeiten haben, wir hier
ein komplettes Eichsupermultiplet! Eine Motivation hierfür, ausgehend von er U (1)-Eichtheorie der
Elektrodynamik, stellen die folgenden Überlegungen dar. Wir betrachten die Komponentenfelder
17 Ich
verwende hier den Englischen Ausdruck, da ich keine Übersetzung gefunden habe.
38
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Eichtheorie
von V , Ω und Ω∗ .
i
1
i
V =C(x) − i(θ̄γ5 ω(x)) − (θ̄γ5 θ)M (x) − θ̄θN (x) + (θγ5 γ µ θ)Vµ (x)
2
2
2
1
1
1
2
/
− i(θ̄γ5 θ) θ̄ λ(x) + ∂ω(x)
− (θ̄γ5 θ) D(x) + C(x)
(6.8)
2
4
2
√
1 + γ5 )
1 + γ5 )
1
Ω =W (x) − 2 θ̄
w(x) + θ̄
θ W(x) + (θγ5 γ µ θ)∂µ W (x)
2
2
2
1
1 + γ5 )
1
/
− √ (θ̄γ5 θ) θ̄∂
w(x) − (θ̄γ5 θ)2 W (x)
(6.9)
2
8
2
√
1 − γ5 )
1 − γ5 )
1
w(x) + θ̄
θ W ∗ (x) − (θγ5 γ µ θ)∂µ W ∗ (x)
Ω∗ =W ∗ (x) − 2 θ̄
2
2
2
1
1
1 − γ5 )
/
− √ (θ̄γ5 θ) θ̄∂
w(x) − (θ̄γ5 θ)2 W ∗ (x)
(6.10)
2
8
2
Die Eichransformation von V ist gegeben durch V → V + i/2 (Ω − Ω∗ ). Speziell trasformiert sich
das Vektorkomponentenfeld Vµ nach
Vµ → Vµ +
1
(∂µ W (x) + ∂µ W ∗ (x)) = Vµ + ∂µ <W (x),
2
(6.11)
wie wie es von einem klassischen Eichfeld erwarten würden. Die Transformationseigenschaften der
anderen Komponentenfelder sind
δΩ C = −=W
1
δΩ ω = √ w
2
δΩ Vµ = ∂µ <W
(6.12)
δΩ M = −<W
δΩ N = =W
δΩ λ = δΩ D = 0
Mit einer geeigneten Eichtransformation können wir die Komponentenfelder C, ω, M sowie N
auf Null setzten. Diese spezielle Eichung bezeichnet man als Wess-Zumino-Eichung. Es folgt das
vereinfachte Vektormultiplet
V =
1
i
(θγ5 γ µ θ)Vµ (x) − i(θ̄γ5 θ) θ̄λ(x) − (θ̄γ5 θ)2 D(x),
2
4
(6.13)
sowie die verbleibenden Freiheiten in Ω (und daraus abgeleitet die in Ω∗ ).
1
1
Ω = W (x) + (θγ5 γ µ θ)∂µ W (x) − (θ̄γ5 θ)2 W (x)
2
8
(6.14)
Es bleibt nun noch, den D-Term von Φ∗ ΓΦ zu berechnen, also die Dynamik des eichinvarianten
Materiefeldes. Die Rechnung beinhaltet keine Schwierigkeiten, ist jedoch etwas aufwändig, weshalb
hier nur das Ergebnis angegeben ist.
i
1 h
1
1 ∗
[Φ ΓΦ] = − [(Dµ φ)∗ Dµ φ] −
ψL γ µ Dµ ψL +
Dµ ψL )γ µ ψL + [F ∗ F]
2
2
2
(6.15)
√ − i 2q ψL λ φ − φ∗ λ̄ψL − qD(φ∗ φ),
Dµ bezeichnet die kovarianten Ableitungen stehen, gegeben durch
Dµ ψL := ∂µ ψL − iqVµ ψL ,
Dµ φ := ∂µ φ − iqVµ φ
Auch an dieser stelle sieht man die Verbindung zu den klassischen Eichtheorien.
39
(6.16)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Eichtheorie
Dynamik des Eichfeldes Wir wollen nun dem hinzugekommenen Eichfeld V eine Dynamik
geben. Dazu müssen wir einen kinematischen Term der Lagrangedichte konstruieren, welche invariant unter Supersymmetrie- sowie Eichtransformation ist. Der einfachste Weg hierfür ist, wieder
motiviert durch die Elektrodynamik, das Feld fµν := ∂µ Vν − ∂ν Vµ zu betrachten. Davon ausgehend
berechnen wir nun das Verhalten unter Supersymmetrietransformation:
δfµν = (ᾱ (∂µ γν − ∂ν γµ ) λ)
1
µ
ν
→ δλ = − fµν [γ , γ ] + iγ5 D α
4
/
→ δD = i ᾱγ5 ∂λ
(6.17)
fµν , λ und D bilden einen (irreduziblen) Unterraum der Supersymmetrie-Algebra. Die einzigen
lorentzinvarianten, paritätserhaltenden und eichinvarianten Funktionen dieser Felder mit Dimen/ und D2 . Damit lässt sich ein ein kinematischer Lagrangian LGauge der
sion vier sind fµν f µν , λ̄∂λ
Form
/ + aD D2
LGauge = af fµν f µν + aλ λ̄∂λ
(6.18)
konstruieren. Wählen wir nun den kanonischen Koeffizienten −1/4 für af , so folgen aus den
Supersymmetrie-Transformationen die beiden anderen Koeffizienten zu aλ = −aD = −1/2.
Diese Lagrangedichte lässt sich auch dadurch gewinnen, wenn man sich überlegt, welche Art
von Superfeld die Komponentenfelder fµν , λ und D besitzt. Überraschenderweise handelt es sich
hierbei um ein Spinorfeld Wα (x), mit den Komponentenfeldern nach Gl. (4.26)
C(α) (x) = λα (x)
1
ω(α)β (x) = i (γ µ γ ν ε)αβ fµν (x) + (γ5 ε)αβ D(x)
2
V(α)µ (x) = −i∂µ (γ5 λ(x))α
/ 5 λ(x) α
M(α) (x) = −i ∂γ
/
N(α) (x) = − ∂λ(x)
α
(6.19)
λ(α)β (x) = D(α) (x) = 0
(Der Index α wurde in klammern gesetzt, um anzudeuten, dass dieser sich auf das gesamte Superfeld
als Spinor bezieht.) Eine direkte Rechnung mit Gl. (6.17) zeigt, dass sich diese Komponentenfelder
sich wie (4.30 - 4.38) transformieren. Unter Verwendung von Gl. (4.26) und Gl. (B.13) ergibt sich
das dazu gehörige Superfeld Wα zu
"
1
1 T Wα (x, θ) = λ(x) + γ µ γ ν θfµν (x) − iγ5 θD(x) −
θ εθ
2
2
1 T
1 T µ /
+
θ εγ5 θ ∂λ(x)
+
θ εγ θ γ5 ∂µ λ(x)
2
2
(6.20)
1 T −
θ εθ γ5 γ µ γ ν γ σ θ∂σ fµν (x)
4
#
i T σ
1 T 2
+
θ εθ γ θ∂σ D(x) −
θ εθ λ(x)
2
8
α
Ein Superfeld ohne λ- und D-Term ist per Definition chiral, und kann damit als Summe eines linksund eines rechtschiralen Feldes geschrieben werden.
W (x, θ) = WL (x, θ) + WR (x, θ)
(6.21)
Die links- und rechtschiralen Felder sind hierbei einfach die Projektionen von W auf die Unterräume
40
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Eichtheorie
mit γ5 = +1 bzw. γ5 = −1:
1
(1 + γ5 ) W (x, θ)
2
1
T
/ R (x+ ) + iθL D(x+ )
εθL ∂λ
= λL (x+ ) + γ µ γ ν θL fµν (x+ ) + θL
2
1
WL (x, θ) = (1 − γ5 ) W (x, θ)
2
1
T
/ L (x− ) − iθR D(x− )
= λR (x− ) + γ µ γ ν θL fµν (x− ) − θR
εθR ∂λ
2
WL (x, θ) =
(6.22)
(6.23)
mit x± aus Gl. (4.74).
Wie in Abschnitt 4 gezeigt kann man eine geeignete Lagrangedichte aus den F-Termen einer
beliebigen skalaren funktion von linkschiralen Superfeldern zusammen mit ihrem hermitesch
konjuP
gierten konstruieren. Die einfachste derartige Funktion aus Superfeldern (6.22) ist αβ εαβ WLα WLβ .
Um nun den F-Term zu berechnen, bemerken wir, dass der Term zweiter Ordnung in θL gegeben
ist durch


X
T
/ R (x) + D2 (x)
−
εαβ WLα WLβ  = θL
εθL −2 λTL (x)ε∂λ
αβ
(6.24)
2
θL
1
θL [γ µ , γ ν ] [γ ρ , γ σ ] θL fµν (x)Fρσ (x)
+
16
(x+ kann hier durch x ersetzt werden, da die Entwicklung von x+ um x Terme höherer Ordnung
in θL enthält.) Lorentzinvarianz zusammen mit der Tatsache, dass (s[γµ , γν ]s) und (s[γµ , γν ]γ5 s)
für jeden Majoranaspinor s verschwinden ergibt, dass die Biliniearform θL [γ µ , γ ν ] [γ ρ , γ σ ] θL
proportional zu einer Linearkombination aus (θL θL )(η µρ η νσ − η µσ η νρ ) und (θL θL )εµνρσ sein muss.
Die passenden Koeffizienten finden wir, indem wir für µνρσ die Werte 1212 oder 1230 einsetzten,
was zu
θL [γ µ , γ ν ] [γ ρ , γ σ ] θL = 4(θL θL )(−η µρ η νσ + η µσ η νρ + iεµνρσ )
(6.25)
führt. Der F-Term ist der Koeffizient von (θL θL ), also


X
1
i
/ R − fµν f µν + εµνρσ fνµ fρσ + D2
−
εαβ WLα WLβ  = −2 λR ∂λ
2
4
αβ
(6.26)
F
/ reell ist, während λ ∂γ
/ 5 λ imaginär ist. Damit ist der reelle Anteil von
Gl. (B.15) zeigt, dass λ ∂λ
Gl. (6.26) gleich der Lagrangedichte Gl. (6.18) für die Eichbosonen und deren Superpartner.


X
1
1
1
1
/ R − fµν f µν + D2
− <
εαβ WLα WLβ  = − λR ∂λ
(6.27)
2
2
4
2
αβ
F
Eine etwas allgemeinere Möglichkeit zur Konstruktion kinematischer Lagrangedichten für Eichfelder verwendet die Superableitung D. Diese ist insbesondere hilfreich, wenn man mit nichtabelschen Eichtheorien arbeitet. Eine direkte Rechnung zeigt, dass das eichinvariante Superfeld in Gl.
(6.20) durch ein Feld der Art (6.8) ausgedrückt werden kann.
Wα (x, θ) =
i
DT εD Dα V (x, θ)
4
(6.28)
Natürlich ist Gl. (6.28) ein Superfeld, da es durch die Anwendung von Superableitungen auf ein
Superfeld gewonnen wurde. Weiterhin folgt aus den Antikommutatorrelationen der D’s dass das
Produkt aus drei oder mehr DL ’s oder drei oder mehr DR ’s verschwindet, so dass
(DT εD)D = (DTL εDL )DR + (DTR εDR )DL
41
(6.29)
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Eichtheorie
Aus DL (DTL εDL ) = DR (DTR εDR ) = 0 folgt, dass Gl. (6.28) ein chirales Superfeld beschreibt, mit
WLα (x, θ) =
i
DTR εDR DLα V (x, θ),
4
WRα (x, θ) =
i
DTL εDL DRα V (x, θ)
4
(6.30)
Weiterhin können wir zeigen, dass Gl. (6.28) invariant unter einer allgemeinen Eichtransformation
ist, wobei sich V in der Form
V (x, θ) → V (x, θ) +
i
(Ω(x, θ) − Ω∗ (x, θ))
2
(6.31)
transformiert. Ω beschreibe wie vorhin ein beliebiges linkschirales Superfeld. Aufgrund von DL Ω∗ =
0 ist die Änderung in WLα proportional zu (DTR εDR )DL Ω. Allerdings gilt
T
/ R α,
(DR εDR ), DL = −2 (1 + γ5 )∂D
(6.32)
was zusammen mit DR Ω = 0 zum verschwinden der Änderung in WLα führt. Die gleiche Argumentation zeigt auch, dass WRα eichinvariant ist.
Die chiralen Superfelder Gl. (6.22) und Gl. (6.23) sind offensichtlich nicht die allgemeinsten
links- und rechtschiralen Felder. Um die Bedingungen, die diese Felder erfüllen, in eine supersymmetrische Form zu bringen, verwenden wir die Antikommutatorrelation Gl. (4.51).
εαβ DLα DTR εDR DLβ = −2DRα DLβ ε(1 + γ5 )∂/ βα + DTR εDR DTL εDL
(6.33)
= εαβ DRα DTL εDL DRβ
Es folgt aus Gl. (6.30), dass WL und WR durch die Bedingung
εαβ DLα WLβ = εαβ DRα WRβ
(6.34)
miteinander verknüpft sind. Eine direkte Rechnung zeigt nun, dass die allgemeinsten chiralen
Spinorsuperfelder, welche die Bedingung Gl. (6.34) erfüllen, von der Form Gl. (6.22) und Gl.
(6.23) sind, wobei die fµν die Bianchi -Identität εµνρσ ∂σ fµν = 0 erfüllen.
Supersymmetrische Quantenelektrodynamik Setzten wir nun die gesamten Lagrangedichten zusammen, so erhalten wir die Lagrangedichte LsQED für eine supersymmetrische (Quanten)Elektrodynamik:
42
Einführung in die Supersymmetrie
LsQED = −
X
+
X
[(Dnµ φn )∗ Dnµ φn ] −
n
Supersymmetrische Eichtheorie
i
1 X h
1 X
ψnL γ µ Dnµ ψnL +
Dnµ ψnL )γ µ ψnL
2 n
2 n
[Fn∗ Fn ]
n
√ X −i 2
qn ψnL λ φn − φ∗n λ̄ψnL
n
1 X ∂ 2 f (φ) ∗
∗
1 X ∂ 2 f (φ)
−
ψ̄nL ψmL −
ψ̄nL ψmL
2 nm ∂φn ∂φm
2 nm ∂φn ∂φm
∗ X
X
∂f (φ) X ∗ ∂f (φ)
−
qn D(φ∗n φn )
+
Fn
+
Fn
∂φ
∂φ
n
n
n
n
n
1
1
1
/ + D2
− fµν f µν − λ̄∂λ
4
2
2
i
X
1 X h
1 X
∗ µ
=−
[(Dnµ φn ) Dn φn ] −
ψnL γ µ Dnµ ψnL +
Dnµ ψnL )γ µ ψnL
2 n
2 n
n
√ X −i 2
qn ψnL λ φn − φ∗n λ̄ψnL
n
1 X ∂ 2 f (φ) ∗
∗
1 X ∂ 2 f (φ)
−
ψ̄nL ψmL −
ψ̄nL ψmL
2 nm ∂φn ∂φm
2 nm ∂φn ∂φm
X ∂f (φ) 2 X
−
qn φ∗n φn
∂φn −
n
n
1
1
/
− fµν f µν − λ̄∂λ
4
2
(6.35)
Ich möchte nun einige der Terme und deren Konsequenzen dieser Lagrangedichte beschreiben.
Zuerst sieht man, dass sowohl die Spinorfelder ψ als auch die skalaren Felder φ die Ladung q tragen.
Weiterhin wird, im Gegensatz zur klassischen Elektrodynamik das (bosonische) Eichfeld von einem
fermionischen Anteil λ begleitet. Letzteres wechselwirkt mit den Feldern ψ und φ, und führt zu
Übergängen zwischen diesen Feldern (siehe Abbildung 6.1(e) und Abbildung 6.1(f)). Weiterhin
ist zu beachten, dass die einzige Freiheit in den Kopplungen in der Ladung q liegt. Auch sind
die Massen der jeweiligen Superpartner entartet, was bei ungebrochener Supersymmetrie auch zu
erwarten war.
43
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Eichtheorie
γ
γ
φ
ψ
(a) Fermion-Photon-Streuung.
(b) Boson-Photon-Streuung
einem Photon.
φ
mit
φ
γ
(c) Boson-Photon-Streuung
zwei Photonen.
φ
mit
(d) Boson-Boson-Streuung.
λ
λ
ψ
φ
φ
ψ
(e) Fermion-Boson-Umwandlung
über Photino.
(f) Boson-Fermion-Umwandlung
über Photino.
Abbildung 6.1: Prozesse in niedrigster Ordnung der Lagrangedichte von Gl. (6.35).
6.2
D-Term Supersymmetrie-Brechung
Der D-Term der supersymmetrischen Lagrangedichte ist invariant unter Supersymmetrie- und
Eichtransformation. Dies sieht man direkt an dessen Transformationsverhalten, wobei hier das δ
für Supersymmetrie und δΩ für die Eichsymmetrie steht.
/ , δΩ D = 0
δD = i ᾱγ5 ∂λ
(6.36)
Damit können wir einen Term proportional zu D in die Lagrangedichte aufnehmen, ohne deren
Invarianz zu gefährden. Als Proportionalitätsfaktor wählen wir die komplexe Zahl −ξ.
LF I = −ξD
(6.37)
Der Index FI steht für Fayet und Iliopoulos, welche diese Art der Symmetriebrechung konstruiert
haben. Durch diesen neuen Term ändern sich offensichtlich die Bewegungsgleichungen für das
Hilfsfeld D. Es ergibt sich, bezogen auf die Lagrangedichte Gl. (6.35)
X
D=ξ+
qn φ∗n φn
(6.38)
n
44
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Eichtheorie
und damit ein skalares Potential der Form
LD
1
=−
2
!2
ξ+
X
qn φ∗n φn
(6.39)
n
Ohne FI-Term (ξ = 0) trägt dieser Teil erst in vierter Ordnung bei, und ergibt die Selbstwechselwirkungen des skalaren Feldes, wie in Gl. (6.35) zu sehen. In der obigen Form jedoch ergeben sich
auch Terme zweiter Ordnung, also Massen.
Im folgenden werde ich diese Massen explizit berechnen. Der Übersicht halber sei an dieser
Stelle noch einmal die Lagrangedichte mit FI-Term angegeben.
i
X
1 X h
1 X
ψnL γ µ Dnµ ψnL +
Dnµ ψnL )γ µ ψnL
LsQED = −
[(Dnµ φn )∗ Dnµ φn ] −
2 n
2 n
n
X
+
[Fn∗ Fn ]
n
√ X qn ψnL λ φn − φ∗n λ̄ψnL
−i 2
n
∗
1 X ∂ 2 f (φ) ∗
1 X ∂ 2 f (φ)
−
ψ̄nL ψmL
ψ̄nL ψmL −
2 nm ∂φn ∂φm
2 nm ∂φn ∂φm
∗ X
X
X
∂f (φ)
∂f (φ)
∗
+
Fn
+
−
Fn
qn D(φ∗n φn )
∂φ
∂φ
n
n
n
n
n
1
1
1
/ + D2 − ξD
− fµν f µν − λ̄∂λ
4
2
2
i
X
1 X h
1 X
∗ µ
=−
[(Dnµ φn ) Dn φn ] −
ψnL γ µ Dnµ ψnL +
Dnµ ψnL )γ µ ψnL
2 n
2 n
n
√ X −i 2
qn ψnL λ φn − φ∗n λ̄ψnL
n
1 X ∂ 2 f (φ) ∗
∗
1 X ∂ 2 f (φ)
ψ̄nL ψmL −
−
ψ̄nL ψmL
2 nm ∂φn ∂φm
2 nm ∂φn ∂φm
!2
X
X ∂f (φ) 2 1
2 ∗
−
qn φn φn
∂φn − 2 ξ +
n
n
1
1
/
− fµν f µν − λ̄∂λ
4
2
(6.40)
Spin-0 Felder Wir berechnen das skalare Potential für die Felder φ und entwickeln diese um
ihren Erwartungswert hφi. Mit der Notation von vorhin gilt φ = hφi + ϕ.
!2
X ∂f (φ) 2 1
X
(0)
∗
VB = −
q n φn φn
∂φn − 2 ξ +
n
n
(
!∗
!
2
X X ∂ 2 f (φ) ∂
f
(φ)
2. Ordnung
=
−
ϕm
ϕk
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
n
m
n
k
φ=hφi
φ=hφi
n
km
!∗
!
X
∂ 3 f (φ) ∂f (φ) (6.41)
+
ϕm ϕk
∂φn ∂φm ∂φk φ=hφi
∂φn φ=hφi
km
!∗
!)
3
X ∂f (φ) ∂
f
(φ)
+
ϕk ϕm
∂φn φ=hφi
∂φn ∂φk ∂φm φ=hφi
km
1 X 2
−
qn 2ξ|ϕn |2 qn + 2|ϕn |2 |hφn i|2 qn2 + (ϕ∗n )2 hφn i2 qn2 + (ϕn )2 hφ∗n i2 qn2
2 n
45
Einführung in die Supersymmetrie
Supersymmetrische Eichtheorie
Das 2. Ordnung bezieht sich hierbei auf ϕ. Will heissen wir betrachten nur die Masseterme.
Spin-1/2 Felder Eine gleiche Betrachtung wie bei den Bosonen ergibt einen fermionischen Massenterm der Form
(1/2)
VF
√ X
1 X ∂ 2 f (φ)
qn ψnL λ φn −
ψ̄nL ψmL + h.c.
= −i 2
2 nm ∂φn ∂φm
n
X
√
1 X ∂ 2 f (φ) 2. Ordnung
ψ̄nL ψmL + h.c.
qn ψnL λ hφn i −
=
−i 2
2
∂φ
∂φ
n
m φ=hφi
n
nm
(6.42)
Spin-1 Felder Für die Spin-1 Vektorbosonen ergeben sich Masseterme aus dem kinetischen Term
des skalaren Feldes.
X
(1)
∗
VB =
(Vµ qn φn ) (Vµ qn φn )
n
2. Ordnung
=
X
hφ∗n ihφn iqn2 Vµ V µ
(6.43)
n
Man sieht hieran direkt, dass das Eichfeld eine Masse bekommt, wenn das skalare Feld einen
nichtverschwindenden Erwartungswert annimmt.
46
Einführung in die Supersymmetrie
A
Grassmann-Zahlen
Grassmann-Zahlen
Bei Grassmann-Zahlen handelt es sich um Zahlen, welche per Definition anikommutieren.
ξη = −ηξ,
(A.1)
Insbesondere gilt η 2 = 0. Jede Funktion in Grassman-Zahlen kann man in eine Reihe entwickeln,
welche nach der ersten Ordnung abbricht. Damit ergibt sich die allgemeinste Funktion zu
f (η) = a + bη,
a, b ∈ C.
(A.2)
Wir können natürlich auch Spinoren in Grassmann-Zahlen bauen, also beispielsweise vier GrassmanZahlen zu einem Majoranaspinor zusammensetzten. Dies lässt eine sehr kompakte Schreibweise für
die Supersymmetrische Feldtheorie zu.
Die Differentiation läuft ähnlich wie bei normalen Zahlen ab, wobei wir als Konvention festlegen,
dass die zu differenzierende Variable immer rechts stehen muss. Es gilt also
∂
θ = 1,
∂θ
∂
1=0
∂θ
(A.3)
bzw. bei Spinoren
∂
θδ = δγδ
∂θγ
(A.4)
Dies reicht aus, um alle Funktionen in Grassmanvariablen zu differenzieren, da sich jede Funktion
in eine Reihe entwickeln lässt, welche nach der 1. Ordnung abbricht.
Es gilt weiterhin die übliche Kettenregel. Sei also θ = M ϑ für eine beliebige Matrix M , dann
ist (∂/∂θ) = M −T (∂/∂ϑ). Da weiterhin die Majorana-Bedingung für θ gilt, also θ̄ = −θT C = Cθ,
folgt
∂
∂
= Cγδ
∂θδ
∂ θ̄γ
(A.5)
∂
(θ̄M θ) = 2M θ,
∂ θ̄
(A.6)
Daraus ergibt sich die nützliche Identität
wobei M eine beliebige Linearkombination der Matrizen 1, γ5 und γ5 γ µ ist (Dies sind auch die
einzigen Matrizen, für die (θ̄M θ) nicht identisch verschwindet).
Auf weitere Themen wie Integration oder Deltadistributionen möchte ich an dieser Stelle nicht
eingehen. Für den interessierten kann ich die Bücher von [WB2], [PW] und [JG] empfehlen.
47
Einführung in die Supersymmetrie
B
Majorana-Spinoren
Majorana-Spinoren
In diesem Appendix möchte ich die verwendete Notation und eine Reihe Relationen von Majoranaspinoren betrachten.
Wir betrachten einen vierkomponentigen fermionischen Majoranaspinor s, welcher wie Q oder
θ in der Form
∗ eζ
s=
(B.1)
ζ
geschrieben werden kann. ζ ist hierbei irgendein zweikomponetiger (Weyl-)Spinor, und e eine 2 × 2
Matrix
0 1
e=
= iσ2
(B.2)
−1 0
Ein derartiger Spinor erfüllt die folgende Relation bezüglich seines Komplex konjugierten (Majoranabedingung)
0 e
∗
s =
s = −βγ5 εs
(B.3)
−e 0
mit den 4 × 4-Matrizen
ε=
e
0
0
e
,
γ5 =
1
0
0
−1
,
β=
0
1
1
0
.
(B.4)
Hierbei sind 0 und 1 als 2 × 2-Blöcke zu verstehen. Multipliziert man die transponierte Gl. (B.3)
von rechts mit β, so ergibt sich
s̄ = s† β = sT εγ5
(B.5)
Da die Spinoren antikommutieren, ist die Zahl der kovarianten Grössen, welche aus ihnen aufgebaut
werden können, beschränkt. Weiterhin lässt sich jeder Spinor s in einen rechts- und einen linkshändige Anteil zerlegen.
s = sL + sR ,
sL =
1 + γ5
s,
2
sR =
1 − γ5
s
2
(B.6)
Im folgenden möchte ich, ohne Beweis, einige Relationen für Majoranaspinoren geben. Die
Herleitungen findet man zum Teil in [WB3].
4(ss̄) = −(s̄s) + γ5 γµ (s̄γ5 γ µ s) − γ5 (s̄γ5 s)
(B.7)
s(s̄s) = −(γ5 s)(s̄γ5 s)
(B.8)
s(s̄γ5 γµ s) = −(γµ s)(s̄γ5 s)
(B.9)
2
(s̄s) = −(s̄γ5 s)
2
(B.10)
2
(s̄γ5 γµ s)(s̄γ5 γν s) = −ηµν (s̄γ5 s)
1
(s̄γ5 s)ss̄ = − γ5 (s̄γ5 s)2
4
Für eine Matrix M = 1, γ5 , γµ , γ5 γµ , [γµ , γν ] gelten die folgenden Relationen.
(
+(−εγ5 )M (−εγ5 )−1 , M = 1, γ5 γµ , γ5
T
M =
−(−εγ5 )M (−εγ5 )−1 , M = γµ , [γµ , γν ]
(
+(s̄2 M s1 ), M = 1, γ5 γµ , γ5
(s̄1 M s2 ) =
−(s̄2 M s1 ), M = γµ , [γµ , γν ]
(
+(s̄1 M s2 ), M = 1, γµ , [γµ , γν ]
(s̄1 M s2 )∗ =
−(s̄1 M s2 ), M = γµ γ5 , γ5
48
(B.11)
(B.12)
(B.13)
(B.14)
(B.15)
Einführung in die Supersymmetrie
C
Crashkurs Eichtheorie
Crashkurs Eichtheorie
Dies soll, wie der Name schon sagt, nur eine Einführung in die lokale Eichtheorie sein. Ich werde in diesem Rahmen eher Wert auf Verständlichkeit legen, als auf eine saubere mathematische
Formulierung. Allein über Eichtheorien liesse sich ein ganzer Vortrag halten.
Ich werde die Eichtheorien am Beispiel der Dirac-Gleichung zeigen, wobei ich mich auf die abelsche Eichtheorie beschränken möchte. Andere Gleichungen, wie etwa die Klein-Gordan-Gleichung,
lassen sich analog behandeln. Die Lagrangedichte der Dirac-Gleichung ist gegeben durch
L = ψ̄(∂/ + m)ψ
(C.1)
Man sieht direkt, dass eine Phasentransformation der Form
ψ → ψ 0 = eiqΛ ψ
(C.2)
die Lagrangedichte invariant lässt. Dies bezeichnet man als globale Eichsymmetrie, da sie global,
an jedem Raumzeitpunkt gleichzeitig18 erfolgt. Insbesondere ändert man damit die Phasen schneller als eigentlich möglich, denn auch eine Phase muss sich der Relativitätstheorie beugen. Aus
dieser Überlegung heraus sollte es eigentlich möglich sein, die Phase der Wellenfunktion an jedem
Raumzeitpunkt lokal frei zu wählen, da, aufgrund der Kausalität, die einzelnen Punkte nichts voneinander wissen sollten. Wir betrachten also eine lokale Phasentransformation, deren Λ vom Ort
abhängt. Um dies zu verdeutlichen, werde ich explizit Λ(x) schreiben. Eine kurze Rechnung zeigt
/
L0 = ψ̄ 0 (∂/ + m)ψ 0 = ψ̄e−iqΛ(x) (∂/ + m)eiqΛ(x) ψ = ψ̄(∂/ + m)ψ + ψ̄(∂Λ(x))ψ
6= L
(C.3)
Es entsteht ein Zusatzterm, welcher die Eichinvaranz zerstört. Offensichtlich liegt der Grund hierfür
darin, dass die Raumzeitableitung nicht mit der Phase kommutiert. Letzteres können wir als Bedingung nehmen, um die Eichinvarianz wieder herzustellen, in der Form, dass wir eine neue Ableitung
Dµ einführen, welche folgende Eigenschaft erfüllt
Dµ0 ψ 0 = Dµ0 eiqΛ(x) ψ = eiqΛ(x) Dµ ψ
(C.4)
Dies lässt sich erreichen, in dem man die normale Raumzeitableitung mit einem Eichfeld austattet,
welches sich ebenfalls nichttrivial unter einer Eichung transformiert
Dµ = ∂µ + iqAµ (x)
(C.5)
Betrachten wir also die neue Ableitung angewandt auf einen umgeeichten Zustand ψ.
Dµ ψ 0 = (∂µ + iqAµ (x)) eiqΛ(x) ψ = eiqΛ(x) (∂µ + iq(∂µ Λ(x)) + iqAµ (x)) ψ
(C.6)
Mit der Forderung, dass das Eichfeld sich gemäss
Aµ → A0µ = Aµ − ∂µ Λ(x)
(C.7)
transformiert, wäre Gl. (C.4) erfüllt, und damit die Lagrangedichte wieder eichinvariant.
Um nun einen Schritt weiter zu gehen, geben wir dem Eichfeld eine physikalische Bedeutung in
Form einer Dynamik. Wir wollen also einen kinetischen Term konstruieren, welcher den folgenden
Bedingungen genügt.
i. Bilinear in den Feldableitungen.
ii. Eichinvariant.
iii. Lorentzinvariant.
18 Man
entschuldige die Verwendung dieses Wortes.
49
Einführung in die Supersymmetrie
Crashkurs Eichtheorie
Die einzige Möglichkeit hierfür ist ein Term der Form
Fµν F µν ,
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(C.8)
Als Definition wählen wir dann für den kinetischen Term
1
LF = − Fµν F µν
4
(C.9)
Berechnet man nun die Bewegungsgleichungen für dieses neue Feld, so ergeben sich, zusammen
mit den Definitionsgleichungen, die bekannten Maxwellgleichungen.
Bemerkung: Aus der Forderung der Eichinvarianz folgt direkt, dass ein Term der Form m2 Aµ Aν
nicht Eichinvariant ist. Eichfelder sind damit per Definition masselos!
50
Einführung in die Supersymmetrie
LITERATUR
Literatur
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Steven Weinberg – The Quantum Theory of Fields, Volume II, Cambridge University
Press, 2005
[WB3]
Steven Weinberg – The Quantum Theory of Fields, Volume III, Cambridge University
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Matrin Sohnius – Introducing Supersymmetry, Physics Reports 128, 1985
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S. James Gates, Jr., et al. – Superspace or 1001 lessons in Supersymmetry, Pasadena,
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Harald Kalka, Gerhard Soff – Supersymmetrie, Teubner Verlag, 2001
[SM]
Stephen Martin – A Supersymmetry Primer, Northern Illinois University, 2006
[PA]
Philip C. Argyres – An Introduction to Global Supersymmetry, Cornell University,
2001
51

Zugehörige Unterlagen

Einführung in die Theoretische Informatik: Errata

Einführung in die Supersymmetrie

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