Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler

Einführung in die Statistik für
Wirtschaftswissenschaftler
für Betriebswirtschaft und Internationales Management
Sommersemester 2013
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Intervall-Schätzung
Für einen unbekannten Verteilungsparameter ϑ soll auf Basis einer
Stichprobe ein Intervall geschätzt werden.
Verwendung der Stichprobenfunktionen Vu , Vo , so
dass Vu 5 Vo und
P(Vu 5 ϑ 5 Vo ) = 1 − α
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
stets gelten.
[Vu ; Vo ] heißt Konfidenzintervall (KI) für ϑ zum
Konfidenzniveau 1 − α.
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Tabellen
Quellen
Beachte: Das Schätzintervall [vu ; vo ] ist Realisierung der
Zufallsvariablen (!) Vu , Vo .
à Irrtumswahrscheinlichkeit α (klein, i.d.R. α 5 0,1)
Frage: Welche Konfidenzintervalle sind zur Schätzung geeignet?
à Hängt von Verteilung von G sowie vom unbekannten Parameter
(µ, σ2 ) ab!
Im Folgenden: Einfache
Stichprobe X1 , . . . , Xn mit E(Xi ) = µ, Var(Xi ) = σ2
148
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Intervall-Schätzung
Wichtiger Spezialfall: Symmetrische Konfidenzintervalle
Symmetrisch heißt nicht, dass die Dichte symmetrisch ist, sondern
1. Einführung
übereinstimmende Wahrscheinlichkeiten für Über-/Unterschreiten
des Konfidenzintervalls, d.h.
P(Vu > ϑ) = P(Vo < ϑ) =
α
2
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
f(x)
Tabellen
Quellen
0,1
0,05
x
1
10
14
Wichtig: Eine Verkleinerung von α bewirkt eine Vergrößerung des
Konfidenzintervalls.
149
Konfidenzintervall für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ2
Vorgehensweise:
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
1
2
3
4
5
Festlegen des Konfidenzniveaus 1 − α
α
-Fraktils c der N(0, 1)-Verteilung
Bestimmung des 1 −
2
Berechnen des Stichprobenmittels x̄
σc
Berechnen des Wertes √
n
Ergebnis der Intervall-Schätzung:
σc
x̄ − √ ;
n
σc
x̄ + √
n
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Tabellen
Quellen
150
Intervallschätzung: Beispiel
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Beispiel
Normalverteilung mit σ = 2,4
(x1 , . . . , x9 ) = (184.2, 182.6, 185.3, 184.5, 186.2, 183.9, 185.0, 187.1,
184.4)
Gesucht: Konfidenzintervall für µ zum Konfidenzniveau
1 − α = 0,99
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
1. 1 − α = 0,99
Tabellen
2. N(0; 1): c = x1− α2 = x1− 0,01 = x0,995 = 2,576 (Tab. 3;
2
Interpolation)
3. x̄ =
4.
σc
√
n
1
9
=
Quellen
(184,2 + · · · + 184,4) = 184,8
2,4·2,576
√
9
= 2,06
5. KI = [184,8 − 2,06; 184,8 + 2,06] = [182,74; 186,86]
Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit
ist µ ∈ [182,74; 186,86].
151
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Wichtige Fraktilswerte
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
Wichtige N(0; 1)-Fraktilswerte:
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
α
xα
0,9
1,281552
0,95
1,644854
0,975 1,959964
0,99
2,326348
0,995 2,575829
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Tabellen
Quellen
(I.d.R. genügen drei Nachkommastellen.)
152
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Intervalllänge
Im Fall 13.1.1 gilt offenkundig
2σc
L = Vo − Vu = √
n
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
Welcher Stichprobenumfang n sichert eine vorgegebene
(Maximal-)Länge L? ⇒
Nach n auflösen!
⇒
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
n=
2σc
L
2
Signifikanztests
Tabellen
Quellen
Eine Halbierung von L erfordert eine Vervierfachung von n!
Angewendet auf letztes Beispiel:
L = 4 ⇒n =
L = 2 ⇒n =
2·2,4·2,576 2
4
2·2,4·2,576 2
2
= 9,556 ⇒ n = 10
= 38,222 ⇒ n = 39
153
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Konfidenzintervall
Konfidenzintervall für µ bei Normalverteilung mit
unbekanntem σ2
2. Deskriptive Statistik
Vorgehensweise:
1
2
3
4
5
1. Einführung
3. W-Theorie
Festlegen des Konfidenzniveaus
1−α
α
-Fraktils c der t(n − 1)-Verteilung
Bestimmung des 1 −
2
Berechnen des Stichprobenmittels x̄ und der
Stichproben-Standardabweichung s
sc
Berechnen des Wertes √
n
Ergebnis der Intervall-Schätzung:
sc
x̄ − √ ;
n
sc
x̄ + √
n
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Tabellen
Quellen
Zu Schritt 2: Falls n − 1 > 30 wird die N(0; 1)-Verteilung
verwendet.
154
x = c(180,0,0,220,150,240,280,380,350,
120,200,120,100,360,600,600,483,119.4,
120,160,60,480,600,360,300,240,349,346,
50,480,220,240,180,480,600,0,150,
225,250,540,180,360,30,240,
440,480,480,360,1220,300,600)
280
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
600
200
360 1220
163.2796358 320.7603642
235.9522368 417.8877632
237.6206289 499.8193711
254.3522214 408.5477786
224.393334 407.406666
204.0506833 468.5493167
148.8444756 311.7555244
155.1072453 306.3327547
191.771288 373.428712
166.9283462 426.6116538
230.53089 481.36911
[1] 86.40257609 634.79742391
[1] 165.6975129 538.3024871
[1] 259.6789596 544.7210404
[1] 120.4789738 633.5210262
[1] 35.72754801 552.27245199
[1] 219.3433736 616.2566264
[1] -36.8446877 468.8446877
[1] -60.85713544 1020.85713544
[1] 77.07861682 565.32138318
[10] -314.1336561 946.1336561
[1] 187.2046956 576.7953044
[1] -81.88739662 997.88739662
[1] 36.9425869 407.0574131
[1] 323.7436842 630.6563158
[1] 211.8828035 464.1171965
[1] 50.80519538 377.19480462
[1] -18.25476504 266.25476504
[1] 156.8953388 247.1046612
[1] 55.64810981 521.55189019
[20] 199.3579091 448.6420909
[1] -17.00013806 331.40013806
[1] 51.40401004 524.59598996
[1] -76.2797561 1044.0397561
[1] 161.392 344.608
[1] 232.4768 611.1232
[1] 20.55132497 667.44867503
[1] 177.1975723 370.8024277
[1] 240.1491821 663.8508179
[1] -9.715222856 529.715222856
[30] -19.22216291 427.22216291
[1] -49.79294559 1041.79294559
[1] 76.20421202 355.79578798
[1] -54.96803126 630.96803126
[1] -95.08591508 443.08591508
[1] 105.817232 1056.182768
[1] 88.64648521 574.95351479
[1] -50.23998793 554.23998793
[1] -71.00392879 535.00392879
[1] 118.752 385.248
[40] -18.61361644 530.61361644
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Konfidenzintervalllänge
Beispiel:
Wie das letzte Beispiel, jedoch σ unbekannt.
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
1
1 − α = 0,99
2
t(8): c = x1− α2 = x1− 0,01 = x0,995 = 3,355 (Tab. 4)
Grundlagen
2
s=
4
sc
√
n
=
5
KI = [184,8 − 1,47; 184,8 + 1,47] = [183,33; 186,27]
x̄ =
1,31·3,355
√
9
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
1
9 (184,2 + · · · + 184,4) = 184,8
q
1
2
2
8 [(184,2 + · · · + 184,4 ) − 9
3
Punkt-Schätzung
Tabellen
· 184,82 ] = 1,31
Quellen
= 1,47
Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit
ist µ ∈ [183,33; 186,27].
155
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
R Beispiel
1. Einführung
R-Code
>
>
>
>
>
>
>
# require(MASS)
# require(RColorBrewer)
# palette(brewer.pal(11,"RdYlGn"))
# par(oma=c(0,0,0,0))
# par(cex=3, cex.axis=3, cex.names=3)
x <- c(184.2, 182.6, 185.3, 184.5, 186.2, 183.9, 185.0, 187.1, 184.4)
t.test(x,conf.level=.99)
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
One Sample t-test
data: x
t = 422.1129, df = 8, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
99 percent confidence interval:
183.331 186.269
sample estimates:
mean of x
184.8
Tabellen
Quellen
156
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung
Voraussetzung: n > 30, bzw. falls G dichotom: 5 5
n
P
xi 5 n − 5
i=1
Vorgehensweise:
1
2
3
4
5
Festlegen des Konfidenzniveaus
1−α
Bestimmung des 1 − α2 -Fraktils c der
Standardnormalverteilung N(0; 1)
Berechnung des Stichprobenmittels x̄ sowe eines Schätzwertes
σ̂ für die Standardabweichung σ der GG mittels


σ,
falls σ bekannt
p
σ̂ =
x̄(1 − x̄), falls GG dichotom


s,
sonst
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Tabellen
Quellen
σ̂c
Berechnung von √
n
Ergebnis der Intervallschätzung:
σ̂c
σ̂c
x̄ − √ ; x̄ + √
n
n
Zu Schritt 3: Manchmal kann anderer Schätzwert σ̂ sinnvoller sein.
157
Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung
Beispiel:
Poisson-Verteilung mit λ (= µ = σ2 ) unbekannt.
(x1 , . . . , x40 ) = (3; 8; . . . ; 6)
Gesucht: KI für λ zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,9
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
1
2
Intervall-Schätzung
1 − α = 0,9
Signifikanztests
N(0; 1) : c = x1− α2 = x1− 0,1 = x0,95 = 1,645
2
3
4
5
Tabellen
Quellen
1
x̄ =
(3 + 8 + · · · + 6) = 6,5
40
√
√
σ̂ = x̄ = 6,5 = 2,55 (da σ2 = λ)
σ̂c
2,55 · 1,645
√ =
√
= 0,66
n
40
KI = [6,5 − 0,66; 6,5 + 0,66] = [5,84; 7,16]
158
Konfidenzintervall für σ2 bei Normalverteilung
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
f(x)
0,1
0,05
Vorgehensweise
x
1
1
2
3
Bestimmung der α
2 - bzw. (1 −
χ2 (n − 1)-Verteilung
1. Einführung
3. W-Theorie
α
2 )-Fraktile
(c1 bzw. c2 ) der
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Aus der Stichprobe: Berechnung der Größe
n
X
14
2. Deskriptive Statistik
Festlegen eines Konfidenzniveaus 1 − a
(n − 1)s2 =
2
(xi − x̄) =
i=1
4
10
n
X
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Tabellen
x2i − nx̄2 v
Quellen
i=1
Berechnung des Konfidenzintervalls
(n − 1)s2 (n − 1)s2
;
c2
c1
159
280
600
200
360 1220
KI für σ2 bei Normalverteilung
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Beispiel:
G ∼ N(µ; σ);
1. Einführung
(x1 , . . . , x5 ) = (1, 1.5, 2.5, 3, 2)
2. Deskriptive Statistik
Gesucht: KI für σ2 zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,99
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
1
2
Intervall-Schätzung
1 − α = 0,99
2
χ (5 − 1) : c1 = x
Signifikanztests
α
2
c2 = x1− α2
3
4
= x0,005 = 0,21
Tabellen
Quellen
= x0,995 = 14,86
x̄ = 15 (1 + 1,5 + 2,5 + 3 + 2) = 2
5
P
x2i − 5 · x̄2 = 12 + 1,52 + 2,52 + 32 + 22 − 5 · 22 = 2,5
i=1
2,5 2,5
= 0,17; 11,9
KI =
;
14,86 0,21
(Extrem groß, da n klein.)
160
Signifikanztests
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Vorliegen einer Hypothese über die Verteilung(en) der
Grundgesamtheit(en).
1. Einführung
Beispiele:
„Der Würfel ist fair.“
„Die Brenndauern zweier unterschiedlicher Glühbirnensorten sind
gleich.“
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Hypothese soll anhand einer Stichprobe überprüft werden.
Prinzip:
Hypothese verwerfen, wenn „signifikanter“ Widerspruch zur Stichprobe.
Ansonsten: Hypothese nicht verwerfen.
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Tabellen
Quellen
Eine verworfene Hypothese gilt als statistisch widerlegt.
Nicht-Verwerfung ist dagegen ein „Freispruch aus Mangel an
Beweisen“.
Zu Beachten:
Nicht-Verwerfung ist kein „statistischer Beweis“, dass Hypothese wahr ist!
(„Trick“: Hypothese falsch ⇐⇒ Gegenhypothese wahr!)
161
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Einstichproben-Gaußtest
Zunächst:
G ∼ N(µ; σ) mit σ bekannt
Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn
(Null-)Hypothese H0 : µ = µ0
Beispiel:
X1 , . . . , X25 mit Xi = Füllmenge der i-ten Flasche ∼ N(µ; 1,5)
Nullhypothese H0 : µ = 500, d.h. µ0 = 500
Je nach Interessenlage sind unterschiedliche Gegenhypothesen
möglich:
a) H1 : µ 6= µ0
b) H1 : µ < µ0
c) H1 : µ > µ0
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Tabellen
Quellen
Entscheidung:
H0 : µ
a) H1 : µ
b) H1 : µ
c) H1 : µ
=
6
=
<
>
µ0
µ0 ,
µ0 ,
µ0 ,
wird abgelehnt gegenüber
wenn |x̄ − µ0 | „sehr groß“ ist
wenn x̄ „weit kleiner“ als µ0 ist
wenn x̄ „weit größer“ als µ0 ist
162
Statistik Einführung
Stefan Etschberger
Einstichproben-Gaußtest
Mögliche Fehlentscheidungen
Alternatives Kriterium:
x̄ − µ0 √
n
v=
σ
Vorteil: Verteilung bekannt: N(0; 1)
Ablehnung von H0 , obwohl H0
richtig ist: Fehler 1. Art
Nicht-Ablehnung von H0 , obwohl
H0 falsch ist: Fehler 2. Art
Dann:
H0 : µ = µ0
1. Einführung
2. Deskriptive Statistik
3. W-Theorie
4. Induktive Statistik
Grundlagen
wird abgelehnt gegenüber
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
a) H1 : µ 6= µ0 , wenn |v| „sehr groß“
ist
b) H1 : µ < µ0 , wenn v „sehr negativ“ ist
c) H1 : µ > µ0 , wenn v „sehr positiv“ ist
Signifikanztests
Tabellen
n
alte
H0 beibeh
H0 r
Quellen
ichtig
H0 ablehn
en
n
H0 f
alsch
alte
H0 beibeh
H0 ablehn
en
Signifikanzniveau α: Maximal erlaubte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.
163