Anhang A Beispiele in MAPLE

Anhang A
Beispiele in MAPLE
Auf der Webseite zur Vorlesung finden sich Maple-Programme in einer Archivdatei
sowie eine kurze Anleitung zum Start der Programme.
Wir präsentieren im folgenden die entsprechenden Maple-Worksheets und separat die
zugehörigen Graphiken.
1
Exponential- und Cosinusreihe
Es gilt
exp(x) =
∞
�
xk
k=0
und
cos(x) =
∞
�
k!
(−1)k
k=0
x2k
(2k)!
für alle x ∈ R, siehe Definition II.7.8 und Satz III.5.4. Die Sätze II.7.12 und III.5.5
liefern Restgliedabschätzungen, d.h. Abschätzungen der Form
|f (x) − pn (x)| ≤ gn (x)
für n ∈ N und gewisse x ∈ R mit den Partialsummen
pn (x) =
n
�
xk
k=0
im Fall f = exp und
pn (x) =
n
�
(−1)k
k=0
im Fall f = cos.
k!
131
x2k
(2k)!
A.1. Exponential- und Cosinusreihe
132
> restart; read("satz_II.7.12");
>
> n := 5;
>
> p := sum(x^k/k!,k=0..n);
>
> g := 2 * abs(x)^(n+1) / (n+1)!;
>
> b := 1 + n/2;
> a := -b;
>
> plot([p,p+g,p-g],x=a..b);
Abbildung A.1: Maple-Worksheet zur Exponentialreihe
Abbildung A.2: Partialsumme pn sowie pn ± gn für n = 5 zur Exponentialreihe
A.1. Exponential- und Cosinusreihe
> restart;read("satz_III.5.5");
>
> n := 5;
>
> p := sum((-1)^k*x^(2*k)/(2*k)!,k=0..n);
>
> g := abs(x)^(2*n+2) / (2*n+2)!;
>
> c := 7;
> b := min(2*n+3,c);
> a := 0;
>
> plot([p,p+g,p-g],x=a..b);
>
> F := h -> max(min(h,1),-1);
>
> plot([F(p),F(p+g),F(p-g)],x=a..b);
Abbildung A.3: Maple-Worksheet zur Cosinusreihe
Abbildung A.4: Partialsumme pn sowie pn ± gn für n = 5 zur Cosinusreihe
133
A.2. Lokale Approximation der Exponentialfunktion
134
Abbildung A.5: Partialsumme pn sowie pn ± gn für n = 5, beschränkt auf [−1, 1], zur
Cosinusreihe
2
Lokale Approximation der Exponentialfunktion
Wir illustrieren Bemerkung IV.1.4 für f = exp und x = 0. Die Tangente h an den
Graphen der Exponentialfunktion in (0, 1) ist gegeben durch h(y) = 1 + y für y ∈ R,
und die Bemerkung zeigt: Für ε > 0 existiert δ > 0, so daß
| exp(y) − h(y)| ≤ ε|y|
für alle y ∈ ]−δ, δ[.
A.2. Lokale Approximation der Exponentialfunktion
135
> restart; read("bem_IV.1.4");
>
> f := exp(y);
> h := 1 + y;
>
> plot([f,h],y=-3..3);
>
> limit((f-h)/y,y=0);
0
>
> epsilon := 0.4;
>
> a := 1;
> plot([f-h,epsilon*y,-epsilon*y],y=-a..a);
> plot([f,h+epsilon*y,h-epsilon*y],y=-a..a);
>
> r := y^2/2;
>
> limit((f-h)/r,y=0);
1
>
> a := 0.2;
> plot([f-h,r],y=-a..a);
>
Abbildung A.6: Maple-Worksheet zur lokalen Approximation der Exponentialfunktion
A.2. Lokale Approximation der Exponentialfunktion
Abbildung A.7: Exponentialfunktion und Tangente h
Abbildung A.8: exp −h sowie Geraden mit Steigung ±2/5
136
A.2. Lokale Approximation der Exponentialfunktion
Abbildung A.9: exp sowie Geraden mit Steigung 1 ± 2/5
Abbildung A.10: Ein Ausblick auf Korollar ??.??.??
137
A.3. Monotonie und Konvexität
3
138
Monotonie und Konvexität
Für α > 0 und x ≥ 0 sei
f (x) = exp(−x) · xα .
Wir untersuchen die Monotonie und Konvexität dieser Funktion, siehe Beispiele IV.2.2
und IV.2.4. Beachte, daß


0, falls α > 1,
�
lim f (x) = 1, falls α = 1,
x→0


∞, falls 0 < α < 1,
sowie
��
lim f (x) =
x→0

0,






2,
falls α > 2,
falls α = 2,
∞,
falls 1 < α < 2,




−2, falls α = 1,



−∞, falls 0 < α < 1.
A.3. Monotonie und Konvexität
139
> restart; read("bsp_IV.2.2");
>
> f := x^alpha * exp(-x);
>
> limit(f,x=infinity);
0
>
> g := diff(f,x);
> h := diff(g,x);
>
> g := simplify(factor(g));
> h := simplify(factor(h));
>
> solve(g=0,x);
> solve(h=0,x);
>
> alpha := 4;
> plot([f,g,h],x=0..15);
>
> alpha := 1;
> plot([f,g,h],x=0..4);
>
> alpha := 0.95;
> plot(f,x=0..5);
> plot([f,g,h],x=0..5);
Abbildung A.11: Maple-Worksheet zur Monotonie und Konvexität
A.3. Monotonie und Konvexität
Abbildung A.12: f , f � und f �� im Fall α = 4
Abbildung A.13: f , f � und f �� im Fall α = 1
140
A.3. Monotonie und Konvexität
Abbildung A.14: f im Fall α = 0.95
Abbildung A.15: f , f � und f �� im Fall α = 0.95
141
A.4. Uneigentliche Integration
4
142
Uneigentliche Integration
Sei D ⊆ R ein abgeschlossenes Intervall. (Uneigentlich) integrierbare Funktionen
f : D → [0, ∞[
mit1
�
f (t) dt = 1
D
werden in der Stochastik als Dichten bezeichnet. Liegt einem Zufallsexperiment die
Dichte f zugrunde, und ist A ⊆ D ein abgeschlossenes Intervall, ist
�
f (t) dt
P (A) =
A
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Zufallsexperiment einen Wert in A liefert.
Sind auch id ·f sowie id2 ·f (uneigentlich) integrierbar, heißen
�
t · f (t) dt
m=
D
und
2
σ =
�
D
(t − m)2 f (t) dt
der zugehörige Erwartungswert bzw. die zugehörige Varianz.
Seien λ > 0 und t ≥ 0. Die durch
f (t) = λ · exp(−λt)
definierte Funktion f : [0, ∞[ → R ist die Dichte der Exponentialverteilung zum
Parameter λ. In Beispiel V.3.3 wurde die uneigentliche Integrierbarkeit von f sowie
� ∞
f (t) dt = 1
0
gezeigt. Ferner sind auch id ·f und id2 ·f uneigentlich integrierbar, und es gilt
� ∞
t · f (t) dt = 1/λ
0
sowie
�
∞
0
(t − 1/λ)2 · f (t) dt = 1/λ2 .
Für 0 < a < b gilt
�b
� b−a
f (t) dt
P ([a, b] ∩ [a, ∞[)
a
= �∞
f (t) dt = P ([0, b − a]).
= 1 − exp(−λ(b − a)) =
P ([a, ∞[)
f (t) dt
0
a
Die linke Seite ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Zufallsexperiment unter der
Bedingung einen Wert in [a, ∞[ zu liefern einen Wert in [a, b] liefert.
1
Die Schreibweise
�
D
steht je nach der Form von D für
�∞
�b �∞ �b
, a , −∞ oder −∞ .
a
A.4. Uneigentliche Integration
143
> restart; read("bsp_V.3.3");
> with(plots):
>
> f := lambda * exp(-lambda*t);
>
> F := int(f,t=0..x);
>
> assume(lambda>0);
> int(f,t=0..infinity);
1
>
> lambda := 3/2;
>
>
>
>
>
p1 := plot(f,t=0..3,y=0..lambda,color=blue):
p2 := plot(F,x=0..3,y=0..1,color=red):
p3 := plot(1,x=0..3,color=green,linestyle=dash):
display([p1,p2,p3]);
>
> lambda := 'lambda';
>
> int(t*f,t=0..x);
> int(t^2*f,t=0..x);
>
> assume(lambda>0);
> m := int(t*f,t=0..infinity);
> int((t-m)^2*f,t=0..infinity);
1
>
Abbildung A.16: Maple-Worksheet zur uneigentlichen Integration
A.4. Uneigentliche Integration
144
Abbildung A.17: Dichte der Exponentialfunktion mit einer Stammfunktion im Fall
λ = 3/2