Einführung in die Algebraische Geometrie II

Skript zur Vorlesung
Einführung in die Algebraische
Geometrie II
Sommersemester 2008
Frankfurt am Main
Prof. Dr. Annette Werner
Inhaltsverzeichnis
8 Eigenschaften von Schemata und ihren Morphismen
1
9 Dimension
15
10 Faserprodukte
30
11 Separierte und eigentliche Morphismen
48
12 Reguläre und glatte Schemata
61
13 Algebraische Kurven
69
8 Eigenschaften von Schemata und ihren Morphismen
Definition 8.1 Ein Schema X heißt reduziert, falls für alle x ∈ X der Halm OX, x ein
reduzierter Ring ist.
Lemma 8.2
i) Ein affines Schema X ' Spec A ist genau dann reduziert, wenn A
reduziert ist.
ii) Ein Schema X ist genau dann reduziert, wenn für alle offenen Teilmengen
U ⊂ X der Ring OX (U ) reduziert ist.
Beweis : Ein Ring A ist genau dann reduziert, wenn das Nilradikal
Nil A =
√
0 = {f ∈ A : f n = 0 für ein n = 0}
gleich Null ist.
i) Für jede multiplikative Teilmenge S ⊂ A gilt Nil (S −1 A) = S −1 Nil (A)
(Übungsaufgabe). Ist A ein reduzierter Ring, so ist somit für jedes Primideal
p ∈ Spec A auch Ap reduziert. Also ist definitionsgemäß Spec A reduziert. Umgekehrt nehmen wir an, dass X ' Spec A reduziert ist, d.h. alle Halme OX, x
sind reduziert. Ist s ∈ A ' OX (X) ein nilpotentes Element, so ist also für alle
x ∈ X der Keim sx = 0. Daraus folgt s = 0, d.h. A ist reduziert.
ii) Dasselbe Argument wie in i) zeigt, dass in einem reduzierten Schema X alle
Ringe OX (U ) reduziert sind. Wir nehmen umgekehrt an, alle OX (U ) sind reduS
ziert. Es sei X = Ui mit Ui ' Spec Ai eine offene affine Überdeckung von X.
i
Dann ist Ai ' OX (Ui ) reduziert, also ist nach i) Ui ein reduziertes Schema. Da
für alle x ∈ Ui gilt OX, x = OUi , x , ist X ein reduziertes Schema.
Satz 8.3
i) Ist X ein beliebiges Schema, so gibt es ein eindeutig bestimmtes abgeschlossenes Unterschema
i : X red → X
Seite 1
von X, das denselben unterliegenden topologischen Raum hat.
Ist f : Y → X ein Morphismus von einem reduzierten Schema Y nach X, so
gibt es genau einen Morphismus
g : Y → X red ,
so dass das Diagramm
f
/X
Y D
DD
z=
z
DD
zz
D
zz i
g DD
z
!
z
X red
kommutativ ist.
ii) Für jede abgeschlossene Teilmenge Z von X gibt es genau eine Strukturgarbe,
die Z zu einem reduzierten abgeschlossenen Unterschema von X macht.
Beweis :
i) Wir definieren für alle U ⊂ X offen
N (U ) = {s ∈ OX (U ) : sx ∈ Nil (OX, x ) für alle x ∈ U }.
N (U ) ist ein Ideal in OX (U ). Man prüft leicht nach, dass N eine Untergarbe
von OX ist. Die Quotientengarbe OX /N ist eine Garbe von Ringen auf X. Es sei
X red der lokal geringte Raum (X, OX /N ). Ist U ' Spec A ⊂ X eine offene affine
Teilmenge, so sei i : Spec A/Nil (A) → Spec A die abgeschlossene Immersion
zur Quotientenabbildung A → A/Nil (A) (siehe Lemma 6.18). Für jedes g ∈ A
ist
Kern i] (D(g)) = Nil (A)g = N (D(g)),
wie man leicht nachprüft (Übungsaufgabe). Daraus folgt Kern i] = N |U . Also
ist (U, OU /(N |U )) ' Spec (A/Nil (A)) ein affines Schema. Somit hat X red eine
offene Überdeckung aus reduzierten affinen Schemata, es ist also ein reduziertes Schema.
Wir definieren i : X red → X durch die Identität auf dem topologischen Raum
X und die kanonische Garbenabbildung
i] : OX → OX /N.
Die universelle Eigenschaft von X red prüft man nun auf einer offenen affinen
Überdeckung nach (Übungsaufgabe).
Seite 2
ii) Es sei Z ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge. Wir prüfen zunächst die Eindeutigkeit einer reduzierten abgeschlossenen Unterschemastruktur (Z, OZ ) auf Z
nach. Ist U ' Spec A ⊂ X offen affin, so ist (U ∩ Z, O|U ∩Z ) ein abgeschlossenes Unterschema von U = Spec A. Nach Proposition 8.4 ist dieses isomorph zu
Spec A/a für ein Ideal a ⊂ A, und es gilt V (a) = U ∩ Z. Da (Z, OZ ) reduziert ist,
ist
OZ (U ∩ Z) = A/a
√
ein reduzierter Ring. Also folgt a =
a. Somit ist a durch V (a) = U ∩ Z
eindeutig bestimmt nach Satz 4.7. Also ist auch (Z, OZ ) eindeutig bestimmt.
Nun zeigen wir für Z ⊂ X abgeschlossen noch die Existenz einer reduzierS
ten abgeschlossenen Unterschemastruktur. Es sei Ui = X eine offene afi
fine Überdeckung. Für alle i ist Z ∩ Ui eine abgeschlosssene Teilmenge von
Ui ' Spec Ai , also von der Form Z ∩ Ui ' V (ai ) für ein Ideal ai ⊂ Ai .
√
Das reduzierte affine Schema Spec A/ ai hat als unterliegenden topologischen
√
Raum gerade V ( ai ) = V (ai ) ' Z ∩ Ui . Also liefert OSpec A/√ai eine Garbe OZ∩Ui auf Z ∩ Ui , die Z ∩ Ui zu einem reduzierten abgeschlossenen Unterschema von Ui macht. Aufgrund der gerade gezeigten Eindeutigkeit gilt
OZ∩Ui |Z∩Ui ∩Uj = OZ∩Uj |Z∩Ui ∩Uj . Also können wir die Garbe OZ∩Ui zu einer
Garbe OZ verkleben, die Z zu einem reduzierten abgeschlossenen Unterschema
von X macht.
Nun müssen wir noch das folgende Resultat nachtragen:
Proposition 8.4 Es sei X = Spec A ein affines Schema und i : Z ,→ X ein abgeschlossenes Unterschema. Dann gibt es ein Ideal a ⊂ A und einen Isomorphismus
Z ' Spec A/a, so dass das Diagramm
Z?
??
??
?
i ??
/ Spec A/a
vv
vv
v
vv
vz v ĩ
∼
X
kommutiert. Hier ist ĩ die natürliche Abbildung aus Lemma 6.18. Insbesondere ist
jedes abgeschlossene Unterschema eines affinen Schemas selbst affin.
Seite 3
Wir benötigen für den Beweis von Proposition 8.4 folgendes Lemma, das wir in den
Übungen beweisen:
Lemma: Sei X ein Schema und f ∈ OX (X). Mit Xf bezeichnen wir die Menge aller
×
x ∈ X, so dass fx ∈ OX,
x gilt. Wir nehmen an, X erfüllt folgende Bedingung:


 X lässt sich durch endlich viele offene affine Ui , i = 1, ..., n,
(∗)
überdecken, so dass alle Ui ∩ Uj ebenfalls eine endliche offene


affine Überdeckung besitzen.
Dann ist Xf eine offene Teilmenge von X, und die Einschränkungsabbildung
resX Xf : OX (X) → OX (Xf ) induziert einen Isomorphismus
OX (X)f ' OX (Xf ).
Beweis von 8.4 : Wir prüfen zunächst nach, dass Z die Bedingung (∗) aus dem
Lemma erfüllt. Da i : Z → X ein Homöomorphismus auf eine abgeschlossene
Teilmenge ist, finden wir offene Teilmengen (Uj )j∈J von X, so dass (i−1 (Uj ))j∈J
eine offene affine Überdeckung von Z ist. Jedes Uj ist Vereinigung von offenen
Basismengen der Form D(fjk ) für fjk ∈ A. Ist i−1 (Uj ) = Spec Bj , so erfüllt die
Abbildung i|i−1 Uj : Spec Bj → Spec A die Bedingung i−1 (D(fjk )) = D(ϕ(fjk )),
wobei ϕ : A → Bj der zugehörige Ringhomomorphismus ist (siehe Übungsaufgabe). Also sind alle i−1 (D(fjk )) offen und affin in Z. Nun ist X nach Lemma
4.16 quasi-kompakt. Also ist auch jede abgeschlossene Teilmenge von X und damit auch Z quasi-kompakt. Daher hat die offene Überdeckung i−1 (D(fjk )) von
Z eine endliche Teilüberdeckung der Form i−1 (D(fl )), l = 1, ..., r. Nun ist
i−1 (D(fl )) ∩ i−1 (D(fm )) = i−1 (D(fl ) ∩ D(fm )) = i−1 (D(fl fm )) eine offene affine
Teilmenge von Z, wie wir oben gesehen haben. Also ist in der Tat die Bedingung (∗)
erfüllt.
Die Abbildung i : Z → X hat als abgeschlossene Immersion die Eigenschaft, dass
i] : OX → i∗ OZ
surjektiv ist. Es sei I = Kern i] . Das ist eine Garbe von Idealen in OX . Es gilt
OX, x /Ix ' (i∗ OZ )x für alle x ∈ X. Nun ist (i∗ OZ )x = 0 genau dann, wenn x 6∈ i(Z)
ist. Also ist Ix 6= OX, x genau dann, wenn x ∈ i(Z) gilt. Somit können wir die abgeschlossene Teilmenge i(Z) von X = Spec A beschreiben als
i(Z) = {x ∈ X : Ix 6= OX, x }.
Seite 4
Wir betrachten nun den Ringhomomorphismus ϕ = i]X : A → OZ (Z) zu i : Z → X.
ϕ
Sein Kern ist das Ideal I := I(X) ⊂ A. Also ist 0 → I → A → OZ (Z) exakt. Für jedes
g ∈ A ist dann auch 0 → Ig → Ag → OZ (Z)ϕ(g) exakt, da Lokalisieren mit Kern
bilden verträglich ist. (Das zeigen wir in den Übungen.)
Nach dem obigen Lemma ist OZ (Z)ϕ(g) ' OZ (Zϕ(g) ) = (i∗ OZ )(D(g)), da
i−1 (D(g)) = {z ∈ Z : ϕ(g)z 6∈ mz } = Zϕ(g) gilt.
i]D(g)
Also ist Ig = Kern (OX (D(g))) → (i∗ OZ )(D(g)) = I(D(g)). Wir betrachten nun für
das Ideal I die abgeschlossene Immersion
ĩ : Spec A/I → Spec A = X,
die wir in Lemma 6.18 beschrieben haben. Die Garbenabbildung ĩ] ist surjektiv, und
ĩ]D(g) : O(D(g)) = Ag → OSpec A/I (D(g)) = Ag /Ig
ist einfach die Quotientenabbildung mit Kern Ig = I(D(g)).
Da die Mengen der Form D(g) eine Basis der Topologie bilden, folgt
Kern ĩ] = I.
Es ist
i(Z)
=
{x ∈ X : Ix 6= OX, x }
=
{x ∈ X : (Kern ĩ] )x 6= OX, x }
=
V (I) = ĩ(Spec A/I).
Das liefert einen Homöomorphismus f = ĩ−1 ◦ i : Z → Spec A/I. Für jede offene Teilmenge U = ĩ−1 (V ) ⊂ Spec (A/I) ist OSpec A/I (U ) = OX /Kern ĩ] (V ) = OX /I (V ) =
OZ (i(V )). Somit ist f in der Tat ein Isomorphismus von Z nach Spec A/I.
Definition 8.5 Ein Schema X heißt integer, wenn für alle offenen Teilmengen U ⊂ X
der Ring OX (U ) nullteilerfrei ist.
Lemma 8.6 Ein affines Schema X ' Spec A ist genau dann integer, wenn A ein Integritätsring ist.
Beweis : Ist X ' Spec A integer, so ist A ' OX (X) nullteilerfrei, d.h. ein Integritätsring. Ist umgekehrt A ein Integritätsring, so sei U 6= ∅ eine beliebige offene Teilmenge
von X = Spec A. Ferner seien s, t ∈ OX (U ) gegeben mit
st = 0
Seite 5
in O(U ). Da A ein Integritätsring ist, ist (0) ein Primideal in A. Es sei η ∈ Spec A
der zugehörige Punkt. Dann ist η ∈ U . Wir betrachten die Keime sη und tη in
OX, η ' A(0) = Quot A. Es ist sη tη = 0, also sη = 0 oder tη = 0. Nach Lemma 6.7
ist OX (U ) → OX, η injektiv, woraus s = 0 oder t = 0 folgt. Daher ist OX (U ) nullteilerfrei.
Vorsicht: Ist X ein integres Schema, dann sind alle OX, x Integritätsringe. Die Umkehrung gilt aber nicht. (Übungsaufgabe)
Proposition 8.7 Ein Schema X ist genau dann integer, wenn X reduziert und irreduzibel ist.
Beweis : Falls X integer ist, so sind alle OX (U ) Integritätsringe, also insbesondere
reduziert. Daher ist X reduziert.
Angenommen X = X1 ∪ X2 für abgeschlossene Teilmengen X1 und X2 von X. Dann
sind die offenen Teilmengen U1 = X \ X1 und U2 = X \ X2 disjunkt. Also ist nach
den Garbenaxiomen die Abbildung
OX (U1 ∪ U2 ) →
f
OX (U1 ) × OX (U2 )
7→ (f |U1 , f |U2 )
ein Isomorphismus. Da OX (U1 ∪ U2 ) keine Nullteiler besitzt, folgt U1 = ∅ oder
U2 = ∅, also X1 = X oder X2 = X. Daher ist X irreduzibel.
Wir nehmen nun an, X ist irreduzibel und reduziert. Es sei U ⊂ X offen und f, g ∈ OX (U ) mit f g = 0. Wir betrachten Yf = {x ∈ U : fx ∈ mx } und
Yg = {x ∈ U : gx ∈ mx }. Diese Teilmengen sind abgeschlossen in U (Übungsaufgabe). Da für alle x ∈ U gilt fx gx = 0 ∈ mx , folgt U = Yf ∪ Yg . Da X irreduzibel ist, ist
nach Lemma 4.9 auch U irreduzibel. Also ist U = Yf oder U = Yg . Wir können ohne
Einschränkung U = Yf annehmen. Es sei V ⊂ U eine beliebige offene affine Teilmenge. Aus D(f |V ) = V ∩ (U \ Yf ) = ∅ folgt, dass f |V nilpotent ist. Nun ist OX (V )
reduziert, also ist f |V = 0. Also ist die Einschränkung von f auf alle offenen affinen
Teilmengen von U trivial. Daraus folgt f = 0.
Lemma 8.8 Sei X ein irreduzibles Schema. Dann gibt es einen Punkt η ∈ X, der in
jeder nicht-leeren offenen Teilmenge U ⊂ X enthalten ist. Es gilt X = {η}, wobei {η}
der Abschluss der Einpunktmenge {η} ist. Der Punkt η heißt generischer Punkt von
X.
Seite 6
Beweis : Sei ∅ 6= U = Spec A ⊂ X eine offene affine Teilmenge. Dann ist U nach
Lemma 4.9 irreduzibel. Nach Proposition 4.10 gilt also Spec A = V (p) = {p} für ein
Primideal p von A. Sei η der zugehörige Punkt in X. Es ist X = {η}∪(X/U ), also folgt
{η} = X aus der Irreduzibilität von X. Aus {η} = {ξ} = X folgt η = ξ (Übungsaufgabe), also ist η unabhänging von der Wahl von U . Da jede nicht-leere offene Teilmenge
von X eine offene affine Teilmenge von X enthält, folgt die Behauptung.
Jetzt zeigen wir eine Verallegemeinerung von Lemma 6.7.
Proposition 8.9 Sei X ein integres Schema mit generischem Punkt η.
i) Der lokale Ring OX, η ist ein Körper und stimmt also mit dem Restklassenkörper
κ(η) überein. Er heißt Funktionenkörper von X.
ii) Für jede offene affine Teilmenge Spec A ' U ⊂ X gilt Quot A = κ(η).
iii) Für jede offene Teilmenge U ⊂ X und alle x ∈ U ist die Halmabbildung
O(U ) → OX, x injektiv. Ferner haben wir einen natürlichen injektiven Homomorphismus OX, x → OX, η .
iv) Alle Restriktionsabbildungen in X sind injektiv.
T
v) In κ(η) gilt OX (U ) =
OX, x für jede offene Teilmenge U ⊂ X.
x∈U
Beweis : Es sei ∅ 6= V ' Spec A eine offene affine Teilmenge von X. Dann ist A
ein Integritätsring. Nach Lemma 8.8 liegt η in V . Also ist V der Abschluss von η
in V . Daher entspricht η dem minimalen Primideal (0) ⊂ A. Nach Lemma 6.7 ist
OV, η ' Quot A, und die Restriktionsabbildungen auf V sind injektiv.
Da OX, η ' OV, η ist, folgen i) und ii).
iii) Sei f ∈ OX (U ) mit fx = 0. Dann existiert eine offene affine Umgebung W von
x mit f |W = 0. Ist ∅ 6= V ⊂ U eine beliebige offene affine Teilmenge, so ist
η ∈ V ∩ W , also V ∩ W 6= ∅. Daher folgt aus f |V ∩W = 0 nach der Vorbemerkung
f |V = 0. Somit ist f = 0. Also ist OX (U ) → OX, x injektiv für alle x ∈ U .
Wählen wir x = η, so ist also OX (U ) → OX, η injektiv für alle offenen Teilmengen U von X. Die universelle Eigenschaft des direkten Limes liefert einen
Homomorphismus OX, x = lim OX (U ) → OX, η , der ebenfalls injektiv ist.
−→
x∈U
iv) folgt aus iii)
Seite 7
T
v) Aus iii) folgt OX (U ) ⊂
OX, x . Ist U ' Spec A offen, affin in X, so ist
x∈U
T
T
T
OX,x '
Ap . Zu f ∈
Ap definieren wir das Ideal
x∈U
p∈Spec A
p∈Spec A
a = {g ∈ A : f g ∈ A}.
Angenommen a ist einem Primideal p von A enthalten. Da f ∈ Ap ist, ist f = ab
mit a, b ∈ A und b 6∈ p. Nun ist b f = a ∈ A, also ist b ∈ a ⊂ p. Das ist ein
Widerspruch. Daher ist a in keinem Primideal enthalten, also folgt a = A. Somit
T
ist 1 ∈ a, also gilt f ∈ A. Daher folgt OX (U ) ⊃
OX, x , falls U affin ist. Der
x∈U
allgemeine Fall folgt durch Betrachten einer offenen affinen Überdeckung.
i) Ein Schema X heißt noethersch, falls X eine endliche offene
n
S
Ui besitzt, so dass OX (Ui ) für alle i ∈ {1, ..., n} ein
affine Überdeckung X =
Definition 8.10
i=1
noetherscher Ring ist.
ii) Ein Schema X heißt lokal noethersch, wenn jeder Punkt eine offene affine Umgebung U besitzt, so dass OX (U ) noethersch ist.
Beispiel:
i) Ist A ein noetherscher Ring, so ist Spec A ein noethersches Schema.
ii) Für jeden noetherschen Ring A ist der projektive Raum PnA ein noethersches
Schema.
Wir haben hier die Eigenschaft noethersch jeweils nur für eine spezielle offene affine Überdeckung gefordert. Mit dieser Definition ist nicht a priori klar, dass für ein
noethersches affines Schema Spec A der Ring A noethersch sein muss. Dies folgt aber
aus dem nächsten Lemma.
Lemma 8.11 Ein Schema X ist genau dann lokal noethersch, wenn für jede offene
affine Teilmenge U ⊂ X der Ring OX (U ) noethersch ist.
Beweis : Sei U ' Spec A eine offene affine Teilmenge von X. Da X eine Überdeckung
durch Spektren noetherscher Ringe besitzt und Lokalisierungen noetherscher Ringe
Seite 8
noethersch sind, besitzt X eine Basis der Topologie bestehend aus Spektren noetherS
scher Ringe. Somit ist U = Ui mit Ui ' Spec Bi für geeignete noethersche Ringe Bi .
i
Wir wählen fi ∈ A ' OX (U ) mit D(fi ) ⊂ Ui . Wir betrachten die Restriktionsabbildungen
/ OX (Ui )
/ OX (D(fi ))
OX (U )
o
o
o
A
/ Bi
/ Afi
Es sei gi = fi |Bi . Da das Bild von gi unter resUi D(fi ) : Bi → Afi eine Einheit ist,
können wir diesen Homomorphismus nach Lemma 6.2 zu einem Homomorphismus
(Bi )gi → Afi fortsetzen. Dieser ist surjektiv, wie man sich anhand des obigen Diagramms leicht überlegt. Also ist auch Afi ein noetherscher Ring.
Wir können daher annehmen, dass die Überdeckung (Ui )i von der Form Ui = D(fi )
ist. Da U ' Spec A quasi-kompakt ist, können wir nach Übergang zu einer endlichen
n
S
D(fi ) mit noetherschen Ringen Afi annehmen.
Teilüberdeckung sogar U =
i=1
Es sei a ⊂ A ' OX (U ) ein Ideal. Dann ist für alle i das zugehörige Ideal aAfi in der
Lokalisierung Afi endlich erzeugt. Gilt
ai1
air
aAfi =
, ..., nr
fin1
fi
für ai1 , ..., air ∈ a und r = r(i), so betrachten wir das Ideal b ⊂ a, das von allen
aij (i = 1, ..., n, j = 1, ..., r(i)) erzeugt wird. Da nur endlich viele Indizes im Spiel
sind, ist b endlich erzeugt. Ferner gilt
bAfi = aAfi
für
i = 1, ..., n.
Sei g ein beliebiges Element von a. Es gibt ein m = 0 mit fim g ∈ b für alle i. Aus
n
S
U =
D(fi ) folgt (f1 , ..., fn ) = A. Daher ist 1 = c1 f1 + ... + cn fn für geeignete
i=1
c1 , ..., cn ∈ A.
Für N = nm kommt in jedem Summanden der ausmultiplizierten Summe
(c1 f1 + ... + cn fn )N ein fim vor. Also ist g = 1 g = (c1 f1 + ... + cn fn )N g ∈ b, woraus
a = b folgt. Also ist a endlich erzeugt, und A ist noethersch.
Definition 8.12 Es sei A ein Ring und B eine A-Algebra, d.h. wir haben einen Ringhomomorphismus A → B gegeben. Dann heißt B von endlichem Typ über A, falls
B als A-Algebra endlich erzeugt ist, d.h. falls es einen surjektiven Homomorphismus
von A-Algebren
ψ : A[x1 , ..., xn ] → B
Seite 9
gibt. Ist zusätzlich der Kern von ψ ein endlich erzeugtes Ideal in A[x1 , ..., xn ], so heißt
B von endlicher Präsentation über A.
Ist A noethersch, so ist nach dem Hilbertschen Basissatz auch A[x1 , ..., xn ]
noethersch. In diesem Fall sind die beiden Begriffe von endlichem Typ und von endlicher Präsentation also äquivalent.
Lemma 8.13
i) Sind A → B → C Ringhomomorphismen und ist B als A-Algebra
von endlichem Typ sowie C als B-Algebra von endlichem Typ, so ist auch C als
A-Algebra von endlichem Typ.
ii) Eine analoge Aussage wie in i) gilt für „von endlicher Präsentation“.
iii) Ist A ein Ring und g ∈ A, so ist die Lokalisierung Ag eine A-Algebra von endlichem Typ.
iv) Ist A → B ein surjektiver Ringhomomorphismus, so ist B eine A-Algebra von
endlichem Typ.
Beweis : In den Übungen.
Definition 8.14
i) Ein Morphismus f : X → Y von Schemata heißt lokal von
endlichem Typ, falls es eine Überdeckung von Y durch offene affine Teilmengen Ui ' Spec Ai gibt, so dass für alle i das Urbild f −1 (Ui ) ⊂ X eine offene
S
affine Überdeckung f −1 (Ui ) = Spec Bij besitzt, für die für alle i und j der
j
zugehörige Ringhomomorphismus Ai → Bij den Ring Bij zu einer Ai -Algebra
von endlichem Typ macht.
ii) f : X → Y heißt von endlichem Typ, falls Y eine offene affine Überdeckung
durch Ui ' Spec Ai hat, so dass für alle i das Urbild f −1 (Ui ) ⊂ X eine endliche
r
S
offene affine Überdeckung f −1 (Ui ) =
Spec Bij besitzt, für die für alle i und
j=1
j der Ringhomomorphismus Ai → Bij den Ring Bij zu einer Ai -Algebra von
endlichem Typ macht.
Definition 8.15
i) ein Morphismus f : X → Y heißt lokal von endlicher Präsentation, wenn die Bedingung aus Definition 8.14 i) mit „von endlicher Präsentation“ statt „von endlichem Typ“ erfüllt ist.
Seite 10
ii) Entsprechend heißt f : X → Y von endlicher Präsentation, wenn die Bedingung aus Definition 8.14 ii) mit „von endlicher Präsentation“ statt „von endlichem Typ“ erfüllt ist.
Wir wollen jetzt zeigen, dass diese Definitionen unabhängig von der Wahl der Überdeckungen sind. Ist B eine A-Algebra von endlichem Typ, so erwarten wir, dass der
zugehörige Morphismus
f : Spec B → Spec A
von endlichem Typ ist. Dies ist nach Definition 8.13 nicht a priori klar, folgt aber aus
den nächsten Resultaten.
Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata und U ⊂ Y eine offene Menge. Mit (∗)
bezeichnen wir folgende Eigenschaft von U :

−1

 Das Urbild f (U ) ist Vereinigung von offenen affinen Teilmengen
(∗)
Vj ' Spec Bj , so dass jedes Bj eine OY (U )-Algebra von endlichem


Typ ist.
Können wir in (∗) die Überdeckung (Vj )j von f −1 (U ) als endliche Überdeckung wählen, so sagen wir, U erfüllt (∗)fin .
Lemma 8.16 Es sei f : X → Y ein Morphismus und U ' Spec A eine offene affine
Teilmenge von Y , die (∗) bzw. (∗)fin erfüllt. Dann erfüllt für jedes g ∈ A auch die
offene Menge D(g) die Bedingung (∗) bzw. (∗)fin .
Beweis : Erfüllt U die Bedingung (∗), so ist f −1 (U ) =
S
Vj mit Vj ' Spec Bj , so dass
j
für alle j der Ringhomomorphismus ϕj : A → Bj zu f |Vj : Vj → U den Ring Bj zu
einer A-Algebra von endlichem Typ macht. Es sei gj = ϕj (g) ∈ Bj . Dann gilt
f −1 (D(g)) ∩ Vj = (f |Vj )−1 (D(g)) = D(gj ).
Nach Lemma 8.13 ist OX (D(gj )) ' (Bj )gj von endlichem Typ über Bj , also auch
über A. Somit ist OX (D(gj )) erst recht von endlichem Typ über Ag ' OY (D(g)). Also
erfüllt D(g) die Bedingung (∗).
S
Gilt für U sogar (∗)fin , so können wir die Überdeckung f −1 (U ) = Vj endlich wähj
len. Dann ist aber auch die Überdeckung (f −1 (D(g))∩Vj )j endlich, so dass auch D(g)
die Bedingung (∗)fin erfüllt.
Seite 11
Proposition 8.17
i) Ist f : X → Y ein Morphismus lokal von endlichem Typ, so
erfüllt jede offene affine Teilmenge U ⊂ Y die Bedingung (∗).
ii) Ist f : X → Y ein Morphismus von endlichem Typ, so erfüllt jede offene affine
Teilmenge U ⊂ Y die Bedingung (∗)fin .
Beweis :
i) Sei U ' Spec A ⊂ Y eine beliebige offene affine Teilmenge. Ferner sei
(Ui ' Spec Ai )i∈I eine offene affine Überdeckung von Y , so dass alle Ui die
Bedingung (∗) erfüllen.
Jede offene Teilmenge U ∩ Ui ⊂ Ui können wir durch offene Menge der Form
D(g) mit g ∈ OX (Ui ) überdecken. Nach Lemma 8.16 erfüllen diese D(g) ebenfalls (∗). Wir können also nach Übergang zu einer verfeinerten Überdeckung
S
annehmen, dass U = Ui gilt, wobei alle Ui ' Spec Ai die Bedingung (∗) eri
füllen.
Jede Ui ist affin, also quasi-kompakt. Daher lässt es sich durch endlich viele offene Standardmengen D(hik ) für hik ∈ A überdecken. Die Inklusion α : Ui ,→ U
entspricht einem Ringhomomorphismus ϕ = resU Ui : A → Ai . Es gilt
D(hik ) = α−1 (D(hik )) = D(ϕ(hik )), woraus Ahik ' (Ai )ϕ(hik ) folgt.
S
Da Ui die Bedingung (∗) erfüllt, existiert eine Überdeckung f −1 (Ui ) =
Vj
j
mit Vj ' Spec Bij , so dass der Ringhomomorphismus ψ : Ai → Bij zu
f |Vj : Vj ' Spec Bij → Spec Ai ' Ui den Ring Bij zu einer Ai -Algebra von
endlichem Typ macht. Es gilt f −1 (D(hik )) ∩ Vj = f −1 D(ϕ(hik )) ∩ Vj =
(f |Vj )−1 (D(ϕ(hik ))) = D(ψ ◦ ϕ(hik )) ' Spec (Bij )ψ◦ϕ(hik ) . Nun ist (Bij )ψ◦ϕ(hik )
von endlichem Typ über (Ai )ϕ(hik ) ' Ahik , also nach Lemma 8.13 auch von
endlichem Typ über A. Versehen wir f −1 (U ) mit der Überdeckung, die aus allen f −1 (D(hik )) ∩ Vj besteht, so sehen wir, dass U (∗) erfüllt.
ii) Angenommen, die Überdeckung (Ui )i von Y erfüllt sogar (∗)fin . Dann können
wir wie in i) mit Lemma 8.16 annehmen, dass U von solchen Ui überdeckt wird.
Da U affin ist, reichen endlich viele Ui aus. Jedes Ui wird ferner durch endlich
S
viele D(hik ) überdeckt. Die Überdeckungen f −1 (Ui ) = Vj können wir endlich
j
wählen, also ist auch (f −1 (D(hik )) ∩ Vj )i,j,k eine endliche Überdeckung von
f −1 (U ). Somit erfüllt U die Bedingung (∗)fin .
Seite 12
Ein analoges Resultat gilt auch für „von endlicher Präsentation“ statt für „von endlichem Typ“.
Proposition 8.18
i) Ein Morphismus f : Spec B → Spec A ist genau dann von
endlichem Typ, wenn der zugehörige Ringhomomorphismus A → B aus B
eine A-Algebra von endlichem Typ macht.
ii) Ein Morphismus f : X → Y von Schemata ist genau dann lokal von endlichem
Typ, wenn für jede offene affine Teilmenge U ' Spec A ⊂ Y und jede offene
affine Teilmenge V ' Spec B ⊂ f −1 (U ) der Ringhomomorphismus A → B zu
f |V : V → U den Ring B zu einer A-Algebra von endlichem Typ macht.
Beweis :
i) Ist A → B von endlichem Typ, so ist definitionsgemäß auch
f : Spec B → Spec A von endlichem Typ.
Wir nehmen umgekehrt an, der Schemamorphismus f : Spec B → Spec A
ist von endlichem Typ. Nach Proposition 8.17 existiert eine offene affine
S
Überdeckung Spec B = Vj mit Vj ' Spec Bj , so dass alle Bj als A-Algebren
j
von endlichem Typ sind. Ist g ∈ B und D(g) ⊂ Spec Bj , so betrachten wir
die Inklusion i : Spec Bj → Spec B. Dazu gehört ein Ringhomomorphismus
ϕ = resSpec B Spec Bj : B → Bj .
Es gilt wie im Beweis von Proposition 8.17 Spec Bg ' D(g) = i−1 (D(g)) =
D(ϕ(g)) ' Spec (Bj )ϕ(g) , also Bg ' (Bj )ϕ(g) . Daher ist Bg nach Lemma 8.13
eine Bj -Algebra von endlichem Typ, also auch eine A-Algebra von endlichem
Typ. Wir können somit nach Verfeinern der Überdeckung annehmen, dass alle
Vj offene Standardmengen der Form Vj = D(gj ) für gj ∈ B sind. Da Spec B
quasi-kompakt ist, reichen endlich viele Vj aus, um Spec B zu überdecken.
Für alle j aus der endlichen Indexmenge J wählen wir Erzeuger
n (j)
(j)
n (j)
(j)
b1 /gj 1 , ..., br /gj r der A-Algebra Bgj aus (mit r = r(j)).
Für b ∈ B und ein j betrachten wir nun b/1 ∈ Bgj . Nach Voraussetzung lässt
n (j)
(j)
n (j)
(j)
sich dieses Element als Polynom in b1 /gj 1 , ..., br /gj r mit Koeffizienten
in A schreiben. Daher gibt es nach Multiplikation mit einem geeignetem gjn
(j)
(j)
ein Polynom in b1 , ..., br , gj mit Koeffizienten in A, das gleich gjn b ist. Da
nur endlich viele j auftauchen, können wir n unabhängig von j wählen. Nun
S
P n
ist D(gj ) = D(gjn ). Aus Spec B =
D(gjn ) folgt
(gj ) = B. Also existieren
j∈J
j∈J
P
Elemente hj ∈ B mit
hj gjn = 1.
j∈J
Seite 13
Somit ist b =
P
j∈J
(j)
hj gjn b ein Polynom in allen bi , gj und hj mit Koeffizienten in
A. Da dies insgesamt endlich viele Elemente sind, ist B als A-Algebra endlich
erzeugt.
ii) Ist f : X → Y lokal von endlichem Typ und U ' Spec A ⊂ Y offen affin,
S
so erfüllt U die Bedingung (∗) nach Proposition 8.17. Also ist f −1 (U ) = Vj
j
mit Spec Bj ' Vj , so dass alle Bj als A-Algebra von endlichem Typ sind.
Für jedes g ∈ Bj ist dann Vj ⊃ D(g) ' Spec (Bj )g . Nach Lemma 8.13 ist
(Bj )g ebenfalls als A-Algebra von endlichem Typ. Die offene affine Menge
V ⊂ f −1 (U ) lässt sich durch endlich viele Mengen dieser Gestalt überdecken.
Also ist f |V : Spec B ' V → U ' Spec A von endlichem Typ, woraus nach i)
folgt, dass B eine A-Algebra von endlichem Typ ist.
Lemma 8.19
i) Offene Immersionen sind lokal von endlichem Typ.
ii) Abgeschlossene Immersionen sind von endlichem Typ.
iii) Sind f : X → Y und g : Y → Z Morphismen lokal von endlichem Typ bzw. von
endlichem Typ, so ist auch die Komposition g ◦ f : X → Z lokal von endlichem
Typ bzw. von endlichem Typ.
Beweis : In den Übungen.
Definition 8.20 Es sei k ein Körper. Ein k-Schema X heißt algebraisch, falls der
Strukturmorphismus X → Spec k von endlichem Typ ist.
Beispiel:
i) Für jedes Ideal a ⊂ k[x1 , ..., xn ] ist X = Spec k[x1 , ..., xn ]/a ein (affines) algebraisches k-Schema.
ii) Für jedes homogene Ideal b ⊂ k[x0 , ..., xn ] ist Proj (k[x0 , ..., xn ]/b) als abgeschlossenes Unterschema des Pnk ein algebraisches k-Schema.
Seite 14
Proposition 8.21 Es sei X ein algebraisches k-Schema. Ein Punkt x ∈ X ist genau
dann abgeschlossen (d.h. {x} ist abgeschlossen), wenn der Restklassenkörper κ(x)
eine endliche Körpererweiterung von k ist.
Beweis : Nach Voraussetzung hat X eine endliche offene affine Überdeckung
n
S
X=
Vj mit Vj ' Spec Bj , so dass die Bj als k-Algebren von endlichem Typ sind.
j=1
Falls alle Vj die Behauptung erfüllen, so auch X. Wir können also annehmen, dass
X ' Spec B affin ist. Ein Punkt x ∈ X ist genau dann abgeschlossen, wenn das zugehörige Ideal in B maximal ist. Ist x abgeschlossen mit zugehörigem maximalen Ideal
mx ⊂ B, so gilt
κ(x) ' Bmx /mx Bmx = B/mx .
Nach Lemma 8.13 ist mit B auch der Quotient κ(x) ' B/mx eine k-Algebra von
endlichem Typ. Nach Satz 3.12 ist κ(x)/k eine endliche Körpererweiterung.
Ist umgekehrt κ(x)/k eine endliche Körpererweiterung, so sei px ⊂ B das Primideal
zu x. Da
k ⊂ B/px ⊂ Quot (B/px ) = Bpx /px Bpx ' κ(x)
gilt, ist dann κ(x) erst recht als B/px -Modul endlich erzeugt. Nach Lemma 3.9 ist
B/px also ein Körper, d.h. px ist ein maximales Ideal.
9 Dimension
Es sei X zunächst ganz allgemein ein topologischer Raum.
Definition 9.1
i) Für einen topologischen Raum X definieren wir die Dimension
von X wie folgt:
dim X = sup{ n : es gibt eine Kette irreduzibler abgeschlossener
Teilmengen ∅ =
6 Z0 & Z1 & ... & Zn in X}.
ii) Ist X ein noetherscher topologischer Raum, so heißt X rein von der Dimension
n, falls alle irreduziblen Komponenten von X die Dimension n haben.
Die Dimension von X ist nach dieser Definition entweder eine natürliche Zahl = 0
oder gleich ∞.
Trägt X die diskrete Topologie (d.h. jede Teilmenge von X ist offen), so gilt
dim X = 0, da die einzigen irreduziblen Teilmengen von X dann Einpunktmengen
Seite 15
sind. Angewandt auf die topologischen Räume R und C ergibt sich ebenfalls in beiden Fällen die Dimension 0. Dieser Dimensionsbegriff ist auf Schemata zugeschnitten, wie wir gleich sehen werden.
Proposition 9.2 Es sei X ein topologischer Raum
i) Für jede Teilmenge Y ⊂ X
dim Y 5 dim X.
(versehen mit der Relativtopologie) gilt
ii) Es sei X irreduzibel von endlicher Dimension. Für eine abgeschlossene Teilmenge Y ⊂ X ist dim Y = dim X genau dann, wenn Y = X ist.
iii) Ist X =
n
S
Xi Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen irreduziblen
i=1
Teilmengen Xi , so gilt dim X = sup dim Xi .
i
Beweis :
i) Sind Y1 & Y2 abgeschlossene irreduzible Teilmengen in Y , so seien X1 = Y1
und X2 = Y2 die Abschlüsse dieser Teilmengen in X. Nach Lemma 4.9
sind X1 und X2 irreduzibel. Natürlich gilt X1 ⊂ X2 . Aus X1 = X2 folgte
Y1 = X1 ∩ Y = X2 ∩ Y = Y2 , was ausgeschlossen ist. Also gilt X1 & X2 . Jede
Kette irreduzibler abgeschlossener Teilmengen in Y induziert also eine Kette
irreduzibler abgeschlossener Teilmengen in X. Definitionsgemäß folgt daraus
dim Y 5 dim X.
ii) Ist Y ⊂ X abgeschlossen mit dim Y = dim X = n, so gibt es eine Kette irreduzibler abgeschlossener Teilmengen
Z0 & Z1 & ... & Zn ⊂ Y.
Wäre Y 6= X, so könnte man diese in X mit Zn+1 = X um ein Element verlängern, was dim X = n widerspräche.
iii) Nach i) ist dim Xi 5 dim X für alle i, also folgt auch sup dim Xi 5 dim X. Jede
i
irreduzible abgeschlossene Teilmenge Z von X ist in einem der Xi enthalten,
n
S
denn es gilt Z =
(Z ∩ Xi ). Also ist jede Kette irreduzibler abgeschlossener
i=1
Teilmengen von X in einem Xi enthalten, woraus dim X 5 sup dim Xi folgt.
i
Seite 16
Definition 9.3
i) Ist A ein Ring und p ein Primideal in A, so ist die Höhe von p
definiert als
ht (p) = sup{ n : p0 & p1 & ... & pn = p ist eine Kette von Primidealen in A}.
ii) Für einen Ring A ist die Krulldimension dim A definiert als Supremum über
alle n, so dass eine Primidealkette p0 & p1 & ... & pn in A existiert.
Nach dieser Definition gilt also
dim A =
sup
ht (p).
p∈Spec A
Beispiel:
i) Ist k ein Körper, so ist dim k = 0.
ii) dim Z = 1.
iii) Ist p ∈ Spec A, so gilt ht (p) = dim Ap .
Dieser ringtheoretische Dimensionsbegriff ist eng verwandt mit obiger Dimension
für topologischer Räume. Es gilt nämlich:
Proposition 9.4 Sei A ein Ring. Dann gilt
i) dim Spec A = dim A = dim Ared , wobei Ared = A/Nil (A) ist.
ii) dim A = sup{ dim Am : m ⊂ A maximales Ideal}.
Beweis :
i) Nach Proposition 4.10 liefert p 7→ V (p) eine inklusionsumkehrende bijektive
Korrespondenz zwischen den Primidealen in A und den irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen von Spec A. Also entsprechen die Ketten von Primidealen in A bijektiv den Ketten irreduzibler abgeschlossener Teilmengen in Spec A,
woraus definitionsgemäß dimSpec A = dim A folgt. Da Nil (A) der Schnitt aller
Primideale in A ist, entsprechen die Primideale in A bijektiv und inklusionserhaltend den Primidealen in Ared , woraus dim A = dim Ared folgt.
ii) Die Primideale in Am entsprechen bijektiv und inklusionserhaltend den Primidealen in A, die in m enthalten sind. Daraus folgt sofort die Behauptung.
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Beispiel: Jeder Hauptidealring, der kein Körper ist, hat Dimension 1. Also gilt etwa
dim k[T ] = dim A1k = 1 für jeden Körper k.
Definition 9.5 Es sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Dann definieren wir die
Dimension von X in x als
dimx X = inf { dim U : U ⊂ X offene Umgebung von x}.
Lemma 9.6 Es gilt dim X = sup dimx X.
x∈X
Beweis : Nach Proposition 9.2 i) gilt für alle x ∈ X die Ungleichung dimx X 5 dim X,
also folgt sup dimx X 5 dim X.
x∈X
Sei Z0 & Z1 & ... & Zn ⊂ X eine Kette irreduzibler abgeschlossener Teilmengen in
X. Für alle x ∈ Z0 und jede offene Umgebung U um x ist dann
Z0 ∩ U ⊂ Z1 ∩ U ⊂ ... ⊂ Zn ∩ U ⊂ U
eine Kette irreduzibler abgeschlossener Teilmengen von U . Aus Zi ∩ U = Zi+1 ∩ U
folgt Zi+1 = Zi ∪ (Zi+1 \ U ), woraus wegen der Irreduzibilität von Zi+1 und wegen
Zi & Zi+1 bereits Zi+1 = Zi+1 \ U folgt. Dies ist aber wegen x ∈ Z0 ⊂ Zi+1 ∩ U
unmöglich. Also gilt Zi ∩ U 6= Zi+1 ∩ U , woraus dim U = n folgt. Da U eine beliebige
offene Umgebung von x ist, folgt dimx X = n. Also ist sup dimx X = n, und damit
x∈X
sup dimx X = dim X.
x∈X
Ein weiterer wichtiger Begriff ist die Kodimension einer irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge.
Definition 9.7
i) Es sei X ein topologischer Raum und Y ⊂ X eine irreduzible
abgeschlossene Teilmenge. Dann definieren wir die Kodimension von Y in X
als
codim(Y, X) = sup { n : Y ⊂ Z0 & Z1 & ... & Zn ⊂ X
Zi irreduzibel, abgeschlossen}.
ii) Ist X ein noetherscher topologischer Raum, so definieren wir für jede nichtleere
abgeschlossene Teilmenge Z von X mit irreduziblen Komponenten Z1 , ..., Zr
Seite 18
die Kodimension von Z in X als
codim (Z, X) =
sup
codim (Zi , X).
i=1, ..., r
Die Kodimension hat folgende ringtheoretische Bedeutung:
Proposition 9.8 Es sei A ein Ring und p ⊂ A ein Primideal. Dann gilt
ht (p) = dim (Ap ) = codim (V (p), Spec A).
Beweis : Die irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen von Spec A, die V (p) enthalten, entsprechen bijektiv und inklusionserhaltend den Primidealen q ⊂ p. Also gilt
codim (V (p), Spec A) = ht (p).
Die Primideale in Ap entsprechen bijektiv und inklusionserhaltend den Primidealen
in A, die in p liegen. Also ist dim Ap = ht (p).
Offenbar gilt für jede irreduzible abgeschlossene Teilmenge Y ⊂ X, dass
dim Y + codim (Y, X) 5 dim X ist. Hier gilt im Allgemeinen nicht die Gleichheit.
Um die Definition einiger Schemata ausrechnen zu können, brauchen wir noch ein
paar ringtheoretische Vorbereitungen.
Definition 9.9 Ein Ring A heißt Artinsch, falls jede absteigende Kette von Idealen
a1 ⊃ a2 ⊃ ... ⊃ an ⊃ an+1 ⊃ ...
in A stationär wird, d.h. falls es ein n0 ∈ N gibt mit an = an0 für alle n = n0 .
Beispiele:
i) Z ist nicht Artinsch, denn für alle a = 2 ist
(a) ⊃ (a2 ) ⊃ (a3 ) ⊃ ... ⊃ (an ) ⊃ ...
eine unendliche echt absteigende Kette von Idealen.
ii) Jeder Körper ist ein Artinscher Ring.
Seite 19
iii) Z/m Z ist ein Artinscher Ring für alle m = 2, denn Z/m Z enthält nur die endlich vielen Ideale d Z/m Z für d|m.
Lemma 9.10 Ist A ein Noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m, so sind
folgende Aussagen äquivalent:
i) m = Nil (A)
ii) es gibt ein k = 1 mit mk = 0
iii) A ist Artin’sch
iv) dim A = 0.
Beweis :
i) ⇒ ii): Da A noethersch ist, ist m endlich erzeugt, d.h. m = (a1 , ..., an ) für
geeignete a1 , ..., an ∈ A. Da m = Nil (A) ist, gibt es ein m = 1 mit am
i = 0 für
alle i = 1, ..., n. Multipliziert man mn beliebige Elemente aus m miteinander,
mn
so enthält jeder Summand einen Faktor am
= 0.
i . Also ist m
ii) ⇒ i): Die Inklusion Nil (A) ⊂ m ist klar. Aus mk = 0 folgt andererseits m ⊂
√
Nil (A) = 0.
ii) ⇒ iii): Es sei mk = 0 und
a1 ⊃ a2 ⊃ ... ⊃ an ⊃ ...
eine absteigende Kette von Idealen in A. Wir fixieren ein r ∈ {0, ..., k − 1}. Die
Multiplikationsabbildung
A × mr → mr
(mit m0 = A) induziert eine skalare Multiplikation
A/m × mr /mr+1 → mr /mr+1 .
Also ist mr /mr+1 ein Vektorraum über dem Körper k = A/m. Ist mr =
(b1 , ..., bn ) mit n = n(r), so bilden b1 + mr+1 , ..., bn + mr+1 ein Erzeugendensystem von mr /mr+1 über k. Dieser k-Vektorraum ist somit endlich-dimensional.
Für jedes Ideal b ⊂ mr ist b/b ∩ mr+1 ein k-Untervektorraum von mr /mr+1 .
Somit induziert die Idealkette (an )n=1 eine absteigende Folge von Untervektorräumen
(an ∩ mr /an ∩ mr+1 )n=1
Seite 20
in dem k-Vektorraum mr /mr+1 .
Da dieser endlich-dimensional ist, wird die Kette stationär. Es existiert also ein
n0 mit
an0 ∩ mr /an0 ∩ mr+1 = an ∩ mr /an ∩ mr+1
für alle n = n0 . Da nur endlich viele r im Spiel sind, können wir n0 unabhänging
von r wählen. Somit gilt für alle n = n0 und alle r 5 k − 1
an ∩ mr ⊂ an+1 + (an ∩ mr+1 ).
Lassen wir hier r von 0 bis k − 1 laufen, so folgt an ⊂ an+1 + (an ∩ m) ⊂ an+1 +
(an ∩ m2 ) ⊂ ... ⊂ an+1 + (an ∩ mk ) = an+1 . Also folgt an = an+1 für n = n0 , d.h.
die Idealkette wird stationär.
iii) ⇒ ii): Die absteigende Idealkette
m ⊃ m2 ⊃ ...
wird stationär. Also existiert ein k = 1 mit mk = mk+1 . Nach dem Lemma von
Nakayama (Lemma 3.8) folgt mk = 0.
i) ⇒ iv): Aus m = Nil (A) folgt mit Proposition 9.4
dim A = dim A/Nil (A) = dim A/m = 0.
iv) ⇒ ii): Aus dim A = 0 folgt, dass m das einzige Primideal in dem lokalen
Ring A ist. Daher ist m = Nil (A).
Satz 9.11 Sei A ein noetherscher Ring, a & A ein Ideal und M ein endlich erzeugter
A-Modul. Dann gilt:
\
an M = {x ∈ M : es gibt ein a ∈ a mit (1 + a) x = 0}.
n=0
Beweis : In den Übungen.
Korollar 9.12 Ist A ein noetherscher Integritätsring und a & A ein Ideal, so gilt
T r+n
a
= 0 für alle r = 0 .
n=0
Seite 21
Beweis : Nach Satz 9.11 ist
\
\
ar+n ⊂
an =
n=0
{x ∈ A : es gibt ein a ∈ a mit (1 + a)x = 0}
n=0
=
0,
da A nach Voraussetzung nullteilerfrei ist und für alle a ∈ a das Element 1+a ungleich
Null ist.
Satz 9.13 (Krulls Hauptidealsatz)
Sei A ein noetherscher Ring und f ∈ A. Ist p ein minimales Primideal, das f enthält,
so gilt ht (p) 5 1. Hier nennen wir p ein minimales Primideal mit f ∈ p, falls für jedes
Primideal q mit f ∈ q und q ⊂ p bereits q = p gilt.
Beweis : Wir können A durch Ap und p durch pAp ersetzen und annehmen, dass
A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal p ist. Gibt es kein Primideal q mit q & p,
so ist ht (p) = 0 und die Behauptung bewiesen. Also können wir annehmen, es gibt
ein Primideal q & p. Insbesondere ist f 6= 0. Wir müssen zeigen, dass q bereits ein
minimales Primideal ist, d.h. kein echt kleineres Primideal enthält. Dazu können wir
A durch A/q und p durch das Bild von p in A/q ersetzen und somit annehmen, dass
A ein Integritätsring ist. Zu zeigen ist also q = 0.
Da p einerseits maximal ist und andererseits keine echten Primideale q mit f ∈ q
enthält, ist p A/(f ) das einzige Primideal in A/(f ). Also folgt
dim A/(f ) = 0,
und somit ist A/(f ) nach Lemma 9.10 ein Artinscher Ring. Die absteigende Idealkette
qn = qn Af ∩ A in A induziert also eine absteigende Idealkette qn A/(f ) in A/(f ), die
stationär wird. Es gibt also ein n0 , so dass für alle n = n0 gilt qn A/(f ) = qn+1 A/(f ).
Es sei n = n0 und x ∈ qn . Dann gibt es ein y ∈ A mit x − f y = z ∈ qn+1 ⊂ qn . Somit
ist f y ∈ qn . Wäre f ∈ qn = qn Af ∩ A, so folgte f /1 = q/f k in Af für ein q ∈ qn ⊂ q,
also auch f k+1 = q ∈ q und somit f ∈ q. Dies ist aber wegen der Minimalitätsvoraussetzung an p unmöglich. Daher gilt y ∈ qn und somit x = z + f y ∈ qn+1 + f qn . Also
ist qn ⊂ qn+1 + pqn .
Somit gilt in dem lokalen Ring A/qn+1 mit maximalem Ideal p A/qn+1 die Gleichung
qn /qn+1 = (p A/qn+1 )qn /qn+1 . Daher folgt aus dem Lemma von Nakayama (Lemma
3.8) für endlich erzeugte Moduln die Gleichung qn = qn+1 .
Seite 22
Nun ist qn Af = qn Af , also
q n 0 Af =
\
q n Af = 0
n=n0
nach Korollar 9.12, angewandt auf Af . Nun folgt leicht q = 0.
Lemma 9.14 Es sei A ein noetherscher Ring und f ∈ A. Ist
p0 & ... & pn
eine Kette von Primidealen in A mit n = 1 und f ∈ pn , so existiert eine Kette von
Primidealen q1 & ... & qn in A mit pn = qn und f ∈ q1 .
Beweis : (mit Induktion nach n). Für n = 1 ist nichts zu zeigen.
Also nehmen wir n = 2 an. Falls f ∈ pn−1 ist, so folgt die Behauptung nach der
Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die Kette p0 & ... & pn−1 . Also können
wir f 6∈ pn−1 annehmen. Wir betrachten alle Primideale q in A mit
pn−2 + (f ) ⊂ q ⊂ pn .
Nach dem Zorn’schen Lemma existiert unter ihnen ein minimales Primideal qn−1 .
Jetzt wenden wir die Induktionsvoraussetzung auf die Idealkette
p0 & p1 & ... & pn−2 & qn−1
an und erhalten eine Primidealkette q1 & ... & qn−1 in A mit f ∈ q1 . Da das Primideal qn−1 /pn−2 nach Konstruktion ein minimales Primideal in A/pn−2 ist, das f enthält,
ist die Höhe von qn−1 /pn−2 in A/pn−2 nach Satz 9.13 kleiner oder gleich 1. Andererseits zeigt die Idealkette pn−2 & pn−1 & pn , dass die Höhe von pn /pn−2 in A/pn−2
mindestens 2 beträgt. Somit ist qn−1 6= pn . Also ist
q1 & ... & qn−1 & pn
eine Kette der gewünschten Gestalt.
Korollar 9.15 Es sei A ein noetherscher Ring und a & A ein Ideal, das von r Elementen erzeugt wird.
Seite 23
i) Ist p ein Primideal in A, das minimal unter allen Primidealen ist, die a enthalten,
so gilt
ht (p) 5 r.
ii) Falls A lokal ist mit maximalem Ideal m, so gilt
dim A 5 dimA/m m/m2 .
Insbesondere ist dim A endlich.
Beweis :
i) (mit Induktion nach r). Ist r = 1, also a = (f ), so gilt nach Satz 9.13 ht (p) 5 1.
Wir nehmen r = 2 an. Sei a = (f1 , ..., fr ). Dann ist das Ideal a/(fr ) in A/(fr )
von r − 1 Elementen erzeugt. Ferner ist p/(fr ) ein Primideal, das minimal unter
allen Primidealen von A/(fr ) ist, die a/(fr ) enthalten. Nach Induktionsvoraussetzung gilt also
ht (p/(fr )) 5 r − 1.
Nun sei p0 & ... & pn = p eine Kette von Primidealen der Länge n in p. Nach
Lemma 9.14 existiert eine Kette von Primidealen q1 & ... & qn = p in A mit
fr ∈ q1 . Diese induziert eine Kette von Primidealen
q1 /(fr ) & q2 /(fr ) & ... & qn /(fr ) = p/(fr )
in A/(fr ). Daraus folgt n − 1 5 ht (p/(fr )), also n 5 r. Daher gilt in der Tat
ht (p) 5 r.
ii) Da A noethersch ist, ist m endlich erzeugt. Die Restklassen eines Erzeugendensystems modulo m2 erzeugen m/m2 als A/m-Vektorraum. Also ist
dimA/m m/m2 ≤ ∞. Sei d = dimA/m m/m2 .
Wir zeigen, dass m von d Elementen erzeugt ist. Dazu wählen wir beliebige
Urbilder a1 , ..., ad ∈ m einer A/m-Basis von m/m2 und betrachten das Ideal
a := (a1 , ..., ad ) ⊂ m. Dann ist m = a + m2 .
Wir betrachten den endlich erzeugten A-Modul m/a. Es gilt m(m/a) = (m2 +
a)/a = m/a, woraus nach dem Lemma von Nakayama 3.8 für endlich erzeugte
Moduln in der Tat a = m folgt. Somit erhalten wir mit i)
dim A = ht (m) 5 d = dimA/m m/m2 .
Seite 24
Definition 9.16 Ein noetherscher lokaler Ring A mit maximalem Ideal m, der dimA =
dimA/m m/m2 erfüllt, heißt regulär.
Satz 9.17 Sei A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Für jedes f ∈ m
gilt dann
dim(A/(f )) = dim A − 1.
Hier gilt sogar Gleichheit, wenn f in keinem minimalen Primideal von A enthalten
ist.
Beweis : Ohne Einschränkung ist dim A = 1. Es sei p0 & ... & pn = m eine Kette
von Primidealen in A und n = 1. Nach Lemma 9.14 existiert eine Kette von Primidealen q1 & ... & qn = m in A mit f ∈ q1 . Die Bilder dieser Primideale unter
der Quotientenabbildung A → A/(f ) bilden eine Primidealkette in A/(f ), woraus
dim A/(f ) = n − 1 folgt. Also ist dim A/(f ) = dim A − 1. Ist f nicht in einem minimalen Primideal von A enthalten, so hat jedes Primideal p mit f ∈ p, das minimal bezüglich dieser Eigenschaft ist, die Höhe = 1. Nach Satz 9.13 folgt andererseits
ht (p) 5 1, also gilt ht (p) = 1. Ist nun q0 & ... & qm eine nicht verlängerbare Kette
von Primidealen in A/(f ), so betrachten wir die Urbilder p0 & ... & pm unter der
Quotientenabbildung A → A/(f ). Dann ist p0 ein Primideal, das minimal bezüglich
der Eigenschaft f ∈ p0 ist. Also ist wie gerade gezeigt, ht (p0 ) = 1, woraus
dim A = m + 1
folgt. Es gilt also dim A = dim A/(f ) + 1, woraus dim A = dim A/(f ) + 1 folgt.
Lemma 9.18 Es sei A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Dann
gilt für jedes maximale Ideal n des Polynomrings A[x], das n ∩ A = m erfüllt,
ht (n) = dim A + 1.
Beweis : Für jedes Primideal p ⊂ A ist p A[x] = {
n
P
ai xi : ai ∈ p} ein Primideal in
i=0
A[x] mit p A[x] ∩ A = p.
Es sei p0 & ... & pn = m eine Kette von Primidealen in A. Dann ist p0 A[x] & p1 A[x] &
... & pn A[x] = m A[x] eine Kette von Primidealen in A[x], die in n enthalten ist. Da
A[x]/m A[x] kein Körper ist (x ist nicht invertierbar), gilt m A[x] & n. Daher folgt
Seite 25
ht (n) = n + 1, d.h. es gilt ht (n) = dim A + 1. Wir zeigen nun die andere Ungleichung
ht (n) 5 dim A + 1 durch Induktion nach dim A. Ist dim A = 0, so gilt nach Lemma
5.6 m = Nil (A). Also ist k = A/Nil (A) ein Körper. Da k[x] ein Hauptidealring ist, hat
jedes maximale Ideal in k[x] die Höhe 1. Nun ist die Höhe von n in A[x] gleich der
Höhe von n/Nil (A) in A/Nil (A)[x] = k[x], denn Nil (A) ist in jedem Primideal von
A[x] enthalten. Also folgt ht (n) = 1 = dim A + 1.
Für den Induktionsschluss nehmen wir an, die Behauptung gilt für alle noetherschen
lokalen Ringe der Dimension 5 n−1 und betrachten einen noetherschen lokalen Ring
A der Dimension n = 1. Der topologische Raum Spec A ist noethersch, besteht also
aus endlich vielen irreduziblen Komponenten V (p1 ), ..., V (pr ), wobei p1 , ..., pr die
minimalen Primideale von A sind (alte Übungsaufgabe).
Nun ist ht (m) = dim A = n = 1, also ist m kein minimales Primideal in A. Aus m 6⊂ pi
für i = 1, ..., r folgt
m 6⊂ p1 ∪ ... ∪ pr
(neue Übungsaufgabe).
Also existiert ein f ∈ m mit f ∈
/ pi für alle i = 1, ..., r. Wir betrachten B = A/(f ) und
das Bild n0 ⊂ B[x] des Ideals n ⊂ A[x] unter der Quotientenabbildung A[x] → B[x].
Dann gilt für die Lokalisierung A[x]n :
9.17
ht (n) = dim A[x]n
5
dim A[x]n /(f ) + 1
=
dim B[x]n0 + 1,
da Quotientenbildung mit Lokalisieren vertauscht.
Nun ist nach Satz 9.17 dim B = dim A − 1. Wir können die Induktionsvoraussetzung
also auf den lokalen Ring B mit maximalen Ideal n0 ∩ B anwenden und erhalten
ht n0 = dim B + 1. Daraus folgt
ht (n) 5 dim B[x]n0 + 1
= ht (n0 ) + 1
= dim B + 2
= dim A + 1
Korollar 9.19 Sei A ein noetherscher Ring. Dann gilt dim A[x1 , ..., xn ] = dim A + n.
Seite 26
Beweis : (mit Induktion nach n).
Für n = 1 müssen wir dim A[x] = dim A + 1 zeigen. Sei p0 & ... & pn eine Kette
von Primidealen in A. Dann sind die Ideale pi A[x] Primideale in A[x]. Es sei n ein
maximales Ideal in A[x], das (x) + pn A[x] enthält. Da x ∈
/ pn A[x] gilt, haben wir eine
Primidealkette
p0 A[x] & ... & pn A[x] & n
der Länge n + 1 in A[x]. Also gilt dim A[x] = dim A + 1. Umgekehrt betrachten wir
eine Primidealkette
q0 & ... & qm = n
in A[x], so dass n ein maximales Ideal von A[x] mit ht (n) = m ist.
Das Ideal p = n ∩ A ist ein Primideal in A. Wir betrachten den Polynomring Ap [x]
über der Lokalisierung Ap . Die Primidealkette q0 & ... & qm = n in A[x] induziert
eine Primidealkette q0 Ap [x] & ... & qm Ap [x] in Ap [x], die in dem maximalen Ideal
n0 := qm Ap [x] = n Ap [x] endet. Also gilt ht n0 = m. Mit Lemma 9.18 folgt ferner
m 5 ht n0 = dim Ap + 1 5 dim A + 1.
Also gilt dim A[x] 5 dim A + 1. Damit ist der Induktionsanfang gezeigt.
In Induktionsschluss ist nun sehr einfach. Nach dem Hilbertschen Basissatz ist mit A
auch der Polynomring A[x1 , ..., xn−1 ] noethersch. Nach dem Induktionsanfang folgt
also
dim A[x1 , ..., xn ] = dim A[x1 , ..., xn−1 ] + 1,
woraus nach Induktionsvoraussetzung
dim A[x1 , ..., xn ] = (n − 1) + 1 = n
folgt.
Korollar 9.20 Ist k ein beliebiger Körper, so ist dimAnk = n.
Jetzt können wir für einen beliebigen Körper k die Dimension von integren algebraischen k-Schemata berechnen. Dazu benötigen wir noch folgenden Begriff:
Definition 9.21 Es sei k ein Körper und K/k eine Körpererweiterung. Falls es einen
Zwischenkörper F von K/k gibt, so dass
i) F ' k(x1 , ..., xd ) und
Seite 27
ii) K/F algebraisch
ist, so heißt K/k von endlichem Transzendenzgrad. Die Zahl d = trdeg (K/k) wird
als Transzendenzgrad von K/k bezeichnet.
Man kann zeigen, dass jede Körpererweiterung K/k, so dass K eine k-Algebra von
endlichem Typ ist, einen endlichen Transzendenzgrad besitzt. Dieser ist außerdem
wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl des Zwischenkörpers F .
Satz 9.22 Es sei k ein Körper und X ein integres algebraisches k-Schema mit generischem Punkt η und Funktionenkörper κ(η) (siehe Proposition 8.9). Dann ist
dim X = trdegk (κ(η)/k) < ∞. Für jede offene nicht-leere Teilmenge U ⊂ X gilt
ferner dim U = dim X.
Beweis : Nash Proposition 8.9 ist κ(η) = OX,η . Der generische Punkt η ist nach
Lemma 8.8 in jeder offenen nicht-leeren Teilmenge U ⊂ X enthalten. Wir betrachten zunächst eine offene affine Teilmenge U ' Spec A ⊂ X. Da X von
endlichem Typ über k ist, ist A eine k-Algebra von endlichem Typ nach Proposition 8.18. Ferner ist A nach Voraussetzung ein Integritätsring. Nach dem Satz
von der Noether-Normalisierung (Satz 3.11) gibt es algebraisch unabhängige Elemente y1 , ..., yd in A, so dass A ein endlich erzeugter k[y1 , ..., yd ]-Modul ist.
Dann ist dim A = dim k[y1 , ..., yd ] (Übungsaufgabe), woraus mit Korollar 9.20
dim U = dim A = dim k[y1 , ..., yd ] = d folgt. Nun ist Quot (A) eine Körpererweiterung von Quot (k[y1 , ..., yd ]). Da (y1 , ..., yd ) algebraisch unabhängig über k sind,
gilt Quot (k[y1 , ..., yd ]) ' k(x1 , ..., xd ). Weil A ein endlich erzeugter k[y1 , ..., yd ]Modul ist, ist die Ringerweiterung k[y1 , ..., yd ] ⊂ A nach Lemma 3.7 ganz. Somit ist jedes Element aus A erst recht algebraisch über Quot (k[y1 , ..., yd ]). Da die
Teilmenge der Elemente aus Quot A, die algebraisch über Quot (k[y1 , ..., yd ]) sind,
einen Teilkörper bilden, muss Quot (A) eine algebraische Körpererweiterung von
Quot (k[y1 , ..., yd ]) sein. Demnach gilt trdegk (Quot (A)/k) = d. Nach Proposition 8.9
gilt κ(η) = Quot (A), also haben wir dim U = trdegk (κ(η)/k) gezeigt. Laut Lemma 9.6
ist dim X = sup dimx X mit dimx X = inf{dim U : U ⊂ X offene Umgebung von x}.
x∈X
Da jede offene Umgebung von x eine offene affine Umgebung von x enthält und die
Dimension bei Übergang zu einer Teilmenge höchstens kleiner wird, gilt
dimx X
=
inf{dim U : U ⊂ X offene affine Umgebung von x in X}
=
trdegk (κ(η)/k).
Seite 28
Also folgt dim X = trdegk (κ(η)/k).
Für jede offene Teilmenge U ⊂ X betrachten wir schließlich noch eine offene affine
Menge V ⊂ U . Dann gilt nach dem bisher Gezeigten
trdegk (κ(η)/k) = dim V 5 dim U 5 dim X = trdegk (κ(η)/k),
woraus dim U = dim X folgt. Damit ist die Behauptung vollständig bewiesen.
Beispiel: dimSpec k[x, y]/(y 2 − x3 − ax − b) = 1, denn der Funktionenkörper dieses affinen Schemas ist Quot(k[x, y]/(y 2 − x3 − ax − b)). Dies ist eine algebraische
Körpererweiterung von k(x).
Proposition 9.23 Es sei k ein Körper und B =
L
Bd eine graduierte k-Algebra von
d=0
endlichem Typ. Dann gilt
dim Spec B = dim Proj B + 1.
Beweis : Es seien p1 , ..., pr die minimalen Primideale von B. Dann besteht Spec B aus den irreduziblen Komponenten V (p1 ), ..., V (pr ) und es gilt
dim Spec B = max{dim V (p1 ), ..., dim V (pr )} nach Proposition 9.2.
L
Zu pi können wir das homogene Primideal phi =
(pi ∩ Bd ) betrachten. Da
d=0
phi ⊂ pi und pi minimal ist, sind alle pi homogen. Somit sind die irreduziblen
Komponenten von Proj B die Mengen V+ (p1 ), ..., V+ (pr ) und mit Proposition 9.2
gilt dim Proj B = max{dim V+ (p1 ), ..., V+ (pr )}. Hier bezeichnen wir mit V+ (pi ) die
Zariski-abgeschlossene Teilmenge
V+ (pi ) = {q ∈ Proj B : pi ⊂ q}
von Proj B.
Nun ist V (pi ) ' Spec B/pi und V+ (pi ) ' Proj (B/pi ). Wir können also B durch B/pi
ersetzen und annehmen, dass B ein Integritätsring ist.
Es sei f ∈ B+ ein beliebiges homogenes Element vom Grad e > 0. Wir betrachten den
B(f ) -Algebra-Homomorphismus
α : B(f ) [X, Y ] → Bf ,
Seite 29
der durch X 7→ f und Y 7→ 1/f definiert ist. Man rechnet leicht nach, dass Kern α =
(XY −1) gilt. Ist a ein homogenes Element in B vom Grad d, so ist ae /f d ∈ B(f ) . Somit
liegt ae im Bild von α. Daher ist a ganz über B(f ) [X, Y ]/(XY − 1). Dies zeigt, dass
Bf ganz über dem Unterring B(f ) [XY ]/(XY − 1) ist. Somit folgt (Übungsaufgabe)
dim Bf = dim B(f ) [XY ]/(XY − 1). Nun ist (Übungsaufgabe)
dim B(f ) [XY ]/(XY − 1)
=
9.19
=
dim B(f ) [X, Y ] − 1
dim B(f ) + 1
Nach Satz 9.22 ist dim Spec B = dim D(f ) und dimProj B = dim D+ (f ). Da D(f ) '
Spec Bf und D+ (f ) ' Spec B(f ) gilt, folgt die Behauptung.
Korollar 9.24 Es gilt dimPnk = n.
Beweis : Da Pnk = Proj k[x0 , ..., xn ] ist, folgt dies sofort aus Proposition 9.23.
10 Faserprodukte
Wir wollen nun das richtige Produkt in der Kategorie der Schemata kennenlernen.
Dazu müssen wir erst einige Tatsachen über das Tensorprodukte wiederholen.
Proposition 10.1 Es seien M und N Moduln über dem Ring A. Dann gibt es ein Paar
(T, g) bestehend aus einem A-Modul T und einer A-bilinearen Abbildung
g : M × N → T,
so dass gilt:
Für jeden A-Modul P und jede A-bilineare Abbildung f : M × N → P gibt es genau
einen A-Modulhomomorphismus (also eine lineare Abbildung) ϕ : T → P , so dass
folgendes Diagramm kommutiert:
w; T
ww
w
w
ww
ww
ϕ
M ×N
GG
GG f
GG
GG
G# P
g
Seite 30
Sind (T, g) und (T 0 , g 0 ) zwei Paare mit dieser Eigenschaft, so existiert genau ein Isomorphismus j : T → T 0 mit j ◦ g = g 0 .
Beweis : Die Eindeutigkeitsaussage folgt leicht aus der universellen Eigenschaft.
Um die Existenz zu zeigen, betrachten wir den freien A-Modul
M
A.
C=
(x,y)∈M ×N
P
Die Elemente von C sind Linearkombinationen der Form
axy e(x,y) , wobei
(x,y)∈M ×N
L
e(x,y) die kanonische Basis des freien A-Moduls
A ist.
(x, y)∈M ×N
Es sei D der Untermodul von C, der von allen Elementen der folgenden Form für
(x, y) ∈ M und a ∈ A erzeugt wird:
e(x+x0 ,y)
− e(x,y) − e(x0 ,y)
e(x,y+y0 )
− e(x,y) − e(x,y0 )
e(ax,y)
− a e(x,y)
e(x,ay)
− a e(x,y)
Wir setzen T = C/D und bezeichnen mit x ⊗ y das Bild von e(x,y) ∈ C im Quotienten
T . Dann wird T als A-Modul von den Elementen der Form x⊗y für x ∈ M und y ∈ N
erzeugt. Es gilt ferner in T
(x + x0 ) ⊗ y = x ⊗ y + x0 ⊗ y,
x ⊗ (y + y 0 ) = x ⊗ y + x ⊗ y 0 ,
(a x) ⊗ y = a(x ⊗ y) = x ⊗ (a y).
Daher ist die Abbildung
g : M × N → T,
definiert durch g(x, y) = x ⊗ y, bilinear. Ist f : M × N → P eine beliebige bilineare Abbildung in einen A-Modul P , so können wir durch e(x,y) 7→ f (x, y) einen
A-Modulhomomorphismus ϕ̃ : C → P definieren. Da f bilinear ist, verschwindet
ϕ̃ auf D. Also erhalten wir einen A-Modulhomomorphismus ϕ : T → P . Es ist
ϕ(x ⊗ y) = ϕ̃(e(x,y) ) = f (x, y). Also gilt ϕ ◦ g = f . Da T durch die Elemente der
Form x ⊗ y erzeugt ist, ist ϕ durch diese Bedingung eindeutig bestimmt.
Wir nennen T das Tensorprodukt von M und N und bezeichnen es als T = M ⊗A N
oder M ⊗ N . Als A-Modul ist M ⊗A N von allen Elementen der Form
Seite 31
x ⊗ y (mit x ∈ M und y ∈ N ) erzeugt. Diese werden auch als reine Tensoren ben
P
ai xi ⊗ yi mit
zeichnet. Ein beliebiges Element in M ⊗A N hat also die Form
i=1
ai ∈ A, xi ∈ M und yi ∈ N .
Proposition 10.2
i) Sind M1 , ..., Mr A-Moduln, so gibt es ein Paar (T, g)
bestehend aus einem A-Modul T und einer multilinearen Abbildung
g : M1 × ... × Mr → T , so dass gilt:
Für jeden A-Modul P und jede multilineare Abbildung f : M1 × ... × Mr → P
existiert genau ein A-Modulhomomorphismus ϕ : T → P mit ϕ ◦ g = f .
ii) Sind M, N und P drei A-Moduln, so gibt es eindeutig bestimmte Isomorphismen
a) M ⊗A N → N ⊗A M
b) (M ⊗A N ) ⊗A P → M ⊗A (N ⊗A P ) → M ⊗A N ⊗A P
c) (M ⊕ N ) ⊗A P → (M ⊗A P ) ⊕ (N ⊗A P )
d) A ⊗A M → M,
so dass jeweils folgende Bedingungen erfüllt sind:
a) x ⊗ y 7→ y ⊗ x
b) (x ⊗ y) ⊗ z 7→ x ⊗ (y ⊗ z) 7→ x ⊗ y ⊗ z
c) (x, y) ⊗ z 7→ (x ⊗ z, y ⊗ z)
d) a ⊗ x 7→ a x
Beweis : Man definiert die gewünschten Isomorphismen und ihre Umkehrabbildungen durch die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts.
Nun betrachten wir einen Ring A und zwei A-Algebren B und C. Dann sind B und
C insbesondere A-Moduln, also existiert das Tensorprodukt B ⊗A C =: D. Wir betrachten die Abbildung
B×C ×B×C
0
→ B ⊗A C = D
0
(b, c, b , c ) 7→ bb0 ⊗ cc0
Diese ist A-linear in jedem Faktor und induziert daher nach Proposition 10.2 einen
A-Modulhomomorphismus
B ⊗A C ⊗A B ⊗A C → D.
Seite 32
Nach 10.2 ist B ⊗A C ⊗A B ⊗A C ' (B ⊗A C) ⊗A (B ⊗A C) = D ⊗A D. Also erhalten
wir einen A-Modulhomomorphismus µ : D ⊗A D → D mit der Eigenschaft µ(b ⊗
c, b0 ⊗ c0 ) = bb0 ⊗ cc0 . Damit haben wir auf dem Tensorprodukt D = B ⊗A C eine
Multiplikation definiert, die D zu einem kommutativen Ring mit Einselement 1B ⊗1C
macht. Über den Ringhomomorphismus
A →
D = B ⊗A C
a 7→
a 1B ⊗ a 1C
wird D zu einer A-Algebra.
Ferner haben wir A-Algebrenhomomorphismen
B
b
→ D = B ⊗A C
7→ b ⊗ 1C
und
C
→ D = B ⊗A C
c 7→ 1B ⊗ c.
Proposition 10.3 Die A-Algebra B ⊗A C hat folgende universelle Eigenschaft. Ist E
eine beliebige A-Algebra zusammen mit A-Algebrenhomomorphismen
β:B→E
und
γ : C → E,
so existiert genau ein A-Algebrenhomomorphismus ϕ : B ⊗A C → E, so dass das
Diagramm
v B ???
vv
??β
v
v
??
vv
v
?
{v
ϕ
/E
B ⊗A C
cHH
?
HH


HH

HH
H  γ
C
kommutiert.
Beweis : Wir betrachten die bilineare Abbildung
B ⊗A C
→ E
(b, c) 7→ β(b)γ(c).
Seite 33
Man rechnet nach, dass der A-Modulhomomorphismus ϕ : B⊗A C → E zu (β, γ), der
nach der universellen Eigenschaft 10.1 existiert, mit den Ringstrukturen verträglich
ist.
Nun wollen wir Faserprodukte von Schemata definieren. Für affine Schemata werden
wir diese später mit Hilfe des Tensorprodukts konstruieren.
Definition 10.4 Es sei S ein Basisschema. Sind X und Y S-Schemata, so heißt ein
S-Schema Z zusammen mit zwei S-Morphismen p : Z → X und q : Z → Y Faserprodukt von X und Y über S, falls gilt:
Für jedes S-Schema T zusammen mit S-Morphismen T → X und T → Y gibt es
genau einen S-Morphismus T → Z, so dass folgendes Diagramm kommutiert:
X
~>
~
~
~~
~~
T @
@@
@@
@@
Y
`AA
AA p
AA
AA
/ Z.
}
}
}}
}} q
~}}
Falls das Faserprodukt Z von X und Y über S existiert, so ist es durch die universelle Eigenschaft bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmt. Wir
bezeichnen es mit Z = X ×S Y und nennen die Abbildungen p : X ×S Y → X und
q : X ×S Y → Y die Projektionen.
Zur Erinnerung: Ein S-Schema ist ein Schema X zusammen mit einem Morphismus
f : X → S. Sind (X, f : X → S) und (Y, g : Y → S) zwei S-Schemata, so ist ein
S-Morphismus von X nach Y ein Morphismus h : X → Y , so dass das Diagramm
X@
@@
@@
f @@
h
S
/Y


g


kommutativ ist.
Proposition 10.5 Ist S = Spec A affin und sind X = Spec B und Y = Spec C affine
S-Schemata, so ist Z = Spec (B ⊗A C) zusammen mit den Morphismen Z → X und
Z → Y , die von den Ringhomomorphismen B → B ⊗A C und C → B ⊗A C induziert
werden, das Faserprodukt von X und Y über S.
Seite 34
Beweis : Zu den Schemamorphismen X → S und Y → S gehören Ringhomomorphismen A → B und A → C. Diese machen B und C zu A-Algebren. Wir prüfen die
universelle Eigenschaft von Z = Spec (B ⊗A C) nach. Es sei T ein S-Schema zusammen mit S-Morphismen T → X = Spec B und T → Y = Spec C. Nach Proposition
6.22 ist für jedes affine Schema Spec D die Abbildung
Mor (T, Spec D) → HomRinge (D, OT (T ))
bijektiv. Also gibt es Ringhomomorphismen A → OT (T ), B → OT (T ) und
C → OT (T ), so dass die Diagramme
/B
A EE
EE
EE
EE
E" OT (T )
/C
A EE
EE
EE
EE
E" OT (T )
und
kommutativ sind. Also sind B → OT (T ) und C → OT (T ) A-Algebrenhomomorphismen. Nach Proposition 10.3 existiert genau ein A-Algebrahomomorphismus
ϕ : B ⊗A C → OT (T ),
so dass das Diagramm
BF
FF
ww
w
FF
w
w
FF
ww
F"
w
w{
/
OT (T )
B ⊗A C
cGG
x<
GG
x
x
GG
x
x
GG
x
G xxx
C
kommutiert.
Also
gibt
es
genau
T → Z = Spec (B ⊗A C), so dass das Diagramm
einen
S-Schemamorphismus
Spec B
bFF
<
FF
xx
x
FF
x
FF
xx
x
F
x
x
/Z
T FF
FF
xx
x
FF
xx
FF
xx
F"
|xx
Spec C
kommutiert.
Seite 35
Lemma 10.6 Es seien X und Y S-Schemata, so dass das Faserprodukt X ×S Y existiert. Mit p : X ×S Y → X bezeichnen wir die Projektion nach X. Für jedes offene
Unterschema U von X ist dann das offene Unterschema p−1 (U ) ⊂ X ×S Y das Faserprodukt von U und Y über S.
Beweis : Wir prüfen nach, dass p−1 (U ) zusammen mit den auf p−1 (U ) eingeschränkte
Projektionen die universelle Eigenschaft des Faserproduktes U ×S Y erfüllt. Sei T ein
S-Schema zusammen mit S-Morphismen T → U und T → Y . Dann betrachten wir
T → U ,→ X und erhalten aufgrund der universellen Eigenschaft des Faserprodukts
genau einen Morphismus
f : T → X ×S Y,
der das Diagramm
X
~> Z555
~
~
55
~~
55
/ ~~
55p
U
55
?


55


55


f
/ X ×S Y
T OOO
OOO
v
vv
OOO
v
v
OOO
v
OO' {vvv
Y
kommutativ macht.
Also liegt p ◦ f (T ) in der offenen Teilmenge U von X. Somit ist f (T ) ⊂ p−1 (U ). Daher
gibt es genau einen S-Morphismus f : T → p−1 (U ), der das Diagramm
? U cFFF
FF
FF
FF
/ p−1 (U )
T >
>>
x
>>
xx
xx
>>
x
> {xxx
Y
kommutativ macht.
Lemma 10.7 Es seien X und Y S-Schemata und {Xi }i∈I eine offene Überdeckung
von X. Existieren dann alle Faserprodukte Xi ×S Y , so existiert auch das Faserpro-
Seite 36
dukt X ×S Y . Analog gilt für eine offene Überdeckung {Yi }i∈I von Y : Existieren alle
Faserprodukte X ×S Yi , so existiert auch X ×S Y .
Beweis : Es sei pi : Xi ×S Y → Xi die Projektion nach Xi . Wir setzen für alle i, j ∈ I
Uij = p−1
i (Xi ∩ Xj ) ⊂ Xi ×S Y.
Dann ist Uij nach Lemma 10.6 das Faserprodukt von Xi ∩ Xj mit Y über S. Aufgrund der Eindeutigkeitsaussage in Definition 10.4 existiert ein eindeutig bestimmter
Isomorphismus
ϕij : Uij → Uji .
Offenbar ist Uii = Xi und ϕii = idXi sowie ϕij = ϕ−1
ji .
Ferner ist
Uij ∩ Uik
=
−1
p−1
i (Xi ∩ Xj ) ∩ pi (Xi ∩ Xk )
=
p−1
i (Xi ∩ Xj ∩ Xk ).
Somit ist Uij ∩ Uik = (Xi ∩ Xj ∩ Xk ) ×S Y nach Lemma 10.6.
Da
Xi ∩ Xj
cHH
v;
HH pj
pi vvv
HH
HH
vv
v
H
vv
/ Uji
Uij
ϕ
ij
kommutativ ist, gilt
ϕij (Uij ∩ Uik )
= p−1
j (Xi ∩ Xj ∩ Xk )
−1
= p−1
j (Xj ∩ Xi ) ∩ pj (Xj ∩ Xk )
= Uji ∩ Ujk .
Also sind alle Voraussetzungen für den Verklebungssatz Lemma 6.23 erfüllt. Es gibt
daher ein S-Schema X ×S Y und offene Immersionen ϕi : Xi ×S Y → X ×S Y , so
S
dass X ×S Y = ϕi (Xi ×S Y ) und ϕi (Uij ) = ϕi (Xi ) ∩ ϕj (Xj ) sowie ϕj ◦ ϕij = ϕi
i
gilt. Die Projektionen
pi : Xi ×S Y → Xi
und
qi : Xi ×S Y → Y
erfüllen pj ◦ ϕij = pi und qj ◦ ϕij = qj . Also können wir sie zu Projektionen
p : X ×S Y → X und q : X ×S Y → Y zusammenkleben.
Seite 37
a
b
Sei nun T ein S-Schema mit S-Morphismen T → X und T → Y . Wir setzen
Ti = a−1 (Xi ) ⊂ T . Dann existiert für jedes i ∈ I genau ein S-Morphismus
fi : Ti → Xi ×S Y , der das Diagramm
Xi dI
II
}>
}
IIpi
II
}}
}
II
}
}
fi
/
Ti A
Xi ×S Y
u
AA
uu
AA
u
u
A
u
b AA
uu q
zuu
Y
a
kommutativ macht.
Aufgrund der Eindeutigkeit ist ϕij ◦ fi = fj auf Ti ∩ Tj . Also verkleben sich die fi
zu einem S-Morphismus f : T → X ×S Y . Dieser ist eindeutig bestimmt, da seine
Einschränkung auf alle Ti eindeutig bestimmt ist. Die analoge Aussage für Y zeigt
man genauso.
Lemma 10.8 Es sei U ⊂ S ein offenes Unterschema. Es seien u : X → S und v : Y →
S zwei S-Schemata, so dass u : X → S als
X@
@@
@@
u @@
ũ
S
/U
 oO





faktorisiert.
Falls das Faserprodukt X ×U v −1 (U ) existiert, so ist X ×U v −1 (U ) auch das Faserprodukt von X und Y über S, d.h. es gilt
X ×U v −1 (U ) ' X ×S Y.
Beweis : Es sei T ein S-Schema mit S-Morphismen a : T → X und b : T → Y . Da
T ?
??
??
??
a
S
/X
~
~
~
~~
~
~
Seite 38
kommutiert, faktorisiert der Strukturmorphismus T → S über U . Nun kommutiert
das Diagramm
b
/Y
T @
@@
@@
@@
v
U@
@@
@@
@@
S
also gilt b(T ) ⊂ v −1 (U ). Es existiert also genau ein Morphismus
T → X ×U v −1 (U ),
so dass
X jUUUUU
UUUU
?

UUUU
a 
UUUU

UUU


/ X ×U v −1 (U )
T.
..
pp
ppp
..
p
p
p
..
xppp
..
−1
v (U )
b .
..
x
x
..
xx
x
. xxx
{x
Y
kommutiert. Daraus folgt die Behauptung.
Satz 10.9 Es sei S ein beliebiges Schema und X und Y seien zwei S-Schemata. Dann
existiert das Faserprodukt X ×S Y .
Beweis : Es seien u : X → S und v : Y → S die Strukturmorphismen. Wir wählen
eine offene affine Überdeckung (Si )i∈I von S und betrachten die offenen affinen Unterschemata Xi = u−1 (Si ) ⊂ X und Yi = v −1 (Si ) ⊂ Y . Jetzt wählen wir offene affine
Überdeckungen (Uij )j∈J und (Vik )k∈K von Xi bzw. von Yi . Dann existieren nach Proposition 10.5 alle Faserprodukte Uij ×Si Uik . Wir halten i ∈ I und k ∈ K fest. Dann
können wir die (Uij ×Si Vik )j∈J nach Lemma 10.7 zu dem Faserprodukt Xi ×Si Vik
verkleben. Wir wenden Lemma 10.7 erneut an und verkleben die (Xi ×Si Vik )k∈K zu
dem Faserprodukt Xi ×Si Yi . Nach Lemma 10.8 gilt Xi ×Si Yi = Xi ×S Y . Jetzt wenden
wir wieder Lemma 10.7 auf die offene Überdeckung {Xi }i∈I von X an und verkleben
die Xi ×S Y zu X ×S Y .
Seite 39
Proposition 10.10 Es seien X, Y und Z S-Schemata für ein beliebiges Basisschema
S. Dann gilt:
i) Es gibt kanonische Isomorphismen
X ×S S
' X
X ×S Y
' Y ×S X und
(X ×S Y ) ×S Z
' X ×S (Y ×S Z)
ii) Es sei a : Z → Y ein Y -Schema, das wir via Z → Y → S als S-Schema
betrachten. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus von S-Schemata
(X ×S Y ) ×Y Z ' X ×S Z, wobei wir X ×S Y über die Projektion X ×S Y → Y
als Y -Schema auffassen.
iii) Sind f : X → X 0 und g : Y → Y 0 Morphismen von S-Schemata, so existiert
genau ein Morphismus
f × g : X ×S Y → X 0 ×S Y 0 ,
der das folgende Diagramm kommutativ macht:
XO
f
p0
p
X ×S Y
f ×g
/ X 0 ×S Y 0
q0
q
Y
/ X0
O
g
/ Y0
iv) Es seien i : U ,→ X und j : V ,→ Y offene Unterschemata. Dann induziert der
Morphismus
i × j : U ×S V → X ×S Y
einen Isomorphismus von U ×S V auf das offene Unterschema p−1 (U ) ∩ q −1 (V )
von X ×S Y .
Beweis :
Seite 40
i) Ist a : T → S ein beliebiges S-Schema, so gibt es nur einen S-Morphismus
T → S, also einen Morphismus, der
T ?
??
??
??
S
/S


id


kommutativ macht, nämlich den Strukturmorphismus a selbst.
Sind somit S-Morphismen f : T → X und g : T → S vorgegeben, so ist g = a,
und es existiert genau ein Morphismus T → X, nämlich f , der das Diagramm
> X `AA
AAid
~~
~
AA
~~
A
~
~
f
/X
T @
@@
}
}
@@
}}
a @@@
}}
}
~}
S
f
kommutativ ist. X erfüllt also die universelle Eigenschaft des Faserprodukts
von X mit S über S. Daher gibt es wegen der Eindeutigkeit des Faserproduktes
genau einen Isomorphismus
X ×S S → X,
so dass das Diagramm
;X
vv `@@@@ id
v
@@
vv
@@
vv
vv
/X
X ×S HS
~
HH
~
HH
~
~~
q HHH
H# ~~~~
S
p
kommutiert. Diesen nennt man kanonisch.
Analog zeigt man die anderen beiden Isomorphismen.
ii) Wir zeigen, dass das S-Schema (X ×S Y ) ×Y Z zusammen mit den Projektionen
proj
proj
proj
(X ×S Y ) ×Y Z −→ X ×S Y −→ X und (X ×S Y ) ×Y Z −→ Z die universelle Eigenschaft des Faserproduktes X ×S Z erfüllt. Sei T ein S-Schema mit
S-Morphismen T → X und T → Z. Dann definieren wir einen S-Morphismus
T → Y als Komposition
a
T → Z → Y.
Seite 41
Nach der universellen Eigenschaft von X ×S Y gibt es einen eindeutig bestimmten S-Morphismus T → X ×S Y , der das folgende Diagramm kommutativ macht
o7 X cHH
HH
ooo
o
HH
o
oo
HH
o
o
H
o
o
o
o
/ X ×S Y
T ?
??
??
??
?
Z@
@@
@@
@@ Y
Betrachten wir X ×S Y über die Projektion als Y -Schema, so ist T → X ×S Y
ein Morphismus von Y -Schemata. Nach Konstruktion ist auch T → Z
ein Morphismus von Y -Schemata. Also gibt es genau einen Y -Morphismus
T → (X ×S Y ) ×Y Z, der das folgende Diagramm kommutativ macht:
X; ×S YgP
PPP
xx
PPP
x
x
PPP
x
x
PP
x
xx
/
(X ×S Y ) ×Y Z
T GG
GG
nnn
GG
n
nn
GG
n
n
n
GG
# vnnnn
Z
Dann kommutiert auch das Diagramm
X
G cHHH
HH
HH
HH
X ×S YgP
PPP
PPP
PPP
PP
/
(X ×S Y ) ×Y Z
T ?
??
hhh
h
h
??
h
h
??
hhhh
hhhh
?
h
h
h
thhh
Z
Seite 42
Also erfüllt (X ×S Y ) ×Y Z in der Tat die universelle Eigenschaft von X ×S Z.
Daher gibt es einen eindeutig bestimmten (kanonischen) Isomorphismus
∼
(X ×S Y ) ×Y Z → X ×S Z,
der mit den Projektionen verträglich ist.
iii) und iv): in den Übungen.
Definition 10.11 Es sei S ein Basisschema und a : X → S ein Morphismus, der X zu
einem S-Schema macht. Für jedes S-Schema S 0 nennen wir das Faserprodukt X ×S S 0
zusammen mit der Projektion
a 0 : X ×S S 0 → S 0
den Basiswechsel von a vermöge S 0 → S. Ist f : X → Y ein Morphismus von SSchemata, so heißt der S-Morphismus
fS 0 = f ×idS0 : X ×S S 0 → Y ×S S 0
der Basiswechsel von f .
Beispiel: Sei A ein Ring und X = Spec A[x1 , ..., xn ]/(P1 , ..., Pm ) für Polynome
P1 , ..., Pm ∈ A [x1 , ..., xn ]. Es sei ϕ : A → B ein Ringhomomorphismus und
Spec B → Spec A der zugehörige Schemamorphismus. Dann ist
X ×Spec A Spec B = Spec B[x1 , ..., xn ]/(ϕ(P1 ), ..., ϕ(Pm ))
der Basiswechsel des A-Schemas X mit Spec B. Hier ist ϕ(Pi ) das Bild von Pi
unter der Fortsetzung von ϕ zu einem Ringhomomorphismus A [x1 , ..., xn ] →
B [x1 , ..., xn ].
Definition 10.12 Es sei f : X → Y ein beliebiger Morphismus von Schemata. Für
jedes y ∈ Y betrachten wir den Restklassenkörper κ(y). Es existiert ein natürlicher
Morphismus
Spec κ(y) → Y,
der den einzigen Punkt in Spec κ(y) auf y abbildet. Der Basiswechsel von f mit dem
Y -Schema κ(y)
fy : Xy = X ×Y Spec κ(y) → Spec κ(y)
heißt Faser von f im Punkt y.
Seite 43
Beispiel: Sei 0 6= m ∈ Z und X = Spec Z[x, y]/(xy − m) mit dem natürlichen Morphismus X → Spec Z. Dann ist die Faser von X über (0) ∈ Spec Z das Q-Schema
XQ = Spec Q[x, y]/(xy − m) ' Spec Q[x, 1/x].
Für jede Primzahl p ist die Faser von X über (p) ∈ Spec Z das Fp -Schema
XFp = Spec Fp [x, y]/(xy − m). Es ist XFp ' Spec Fp [x, 1/x], falls p - m, und
XFp ' Spec Fp [x, y]/(xy), falls p|m. Im zweiten Fall zerfällt XFp in zwei irreduzible
Komponenten.
Proposition 10.13 Es sei f : X → Y ein Schemamorphismus. Für jedes y ∈ Y induziert dann die erste Projektion
p : Xy = X ×Y Spec κ(y) → X
einen Homöomorphismus des Schemas Xy auf die Faser f −1 (y) ⊂ X, ausgestattet
mit der Relativtopologie.
Beweis : Wir können nach Übergang zu einer offenen affinen Umgebung U ' Spec A
um y annehmen, dass Y affin ist. Sei p das Primideal in A zu y.
Ferner sei V ⊂ X eine offene affine Teilmenge. Nach Lemma 10.6 ist
p−1 (V ) ' V ×Y Spec κ(y). Also genügt es, die Behauptung für alle offenen affinen
Teilmengen von X zu zeigen. Wir können daher X ' Spec B affin annehmen. Sei
ϕ : A → B der Ringhomomorphismus zu f : X → Y . Nach Proposition 10.5 ist
Xy ' Spec (B ⊗A κ(y)) und p : Xy → X gehört zu dem natürlichen Ringhomomorphismus B → B ⊗A κ(y) = B ⊗A Ap /pAp . Wir zerlegen diesen Homomorphismus in
zwei Teile:
f
g
B → B ⊗A Ap → B ⊗A (Ap /pAp ).
Es sei S = ϕ(A \ p). Dann ist die Abbildung
S −1 B
→ B ⊗ A Ap
b/ϕ(a) 7→
b ⊗ 1/a
ein Isomorphismus. (Das Tensorprodukt vertauscht nämlich mit Lokalisierungen,
siehe Übungen.)
Also vermittelt f eine Bijektion von Spec (B ⊗A Ap ) auf die Menge der Primideale in
B, die disjunkt zu ϕ(A \ p) sind.
Ferner
prüft
man
nach,
dass
g
einen
Isomorphismus
∼
−1
−1
S B/ϕ(p)S B → B ⊗A (Ap /pAp ) induziert, denn die linke Seite besitzt die
Seite 44
universelle Eigenschaft des Tensorproduktes rechts. Also vermittelt g eine Bijektion
von Spec (B ⊗A (Ap /pAp )) auf die Menge der Primideale in S −1 B, die über ϕ(p)S −1 B
liegen.
Daher induziert die Komposition g ◦ f eine Bijektion von Spec (B ⊗A (Ap /pAp )) auf
die Menge aller Primideale in B, die über ϕ(p)B liegen und disjunkt zu ϕ(A \ p) sind.
Das sind genau die Primideale q ⊂ B mit ϕ−1 (q) = p. Daraus folgt die Behauptung.
Definition 10.14 Es sei P eine Eigenschaft eines Morphismus von Schemata. Wir sagen, P ist stabil unter Basiswechsel, falls gilt:
Erfüllt f : X → Y die Eigenschaft P , so erfüllt für jeden Morphismus Y 0 → Y auch
der Basiswechsel
f Y 0 : X ×Y Y 0 → Y 0
die Eigenschaft P .
Proposition 10.15 Offene und abgeschlossene Immersionen sind stabil unter Basiswechsel.
Beweis : Den Fall der offenen Immersionen zeigen wir in den Übungen.
Ist f : X → Y eine abgeschlossene Immersion, so sei g : Y 0 → Y ein beliebiger
Morphismus. Sei Spec A ' U ⊂ Y eine offene affine Teilmenge. Dann ist f −1 (U ) ⊂ X
offen und
f |f −1 (U ) : f −1 (U ) → U
ebenfalls eine abgeschlossene Immersion. Nach Proposition 8.4 ist also f −1 (U ) affin
mit f −1 (U ) ' Spec A/a für ein Ideal a ⊂ A. Ist nun Spec B ' V ⊂ Y 0 eine offene
affine Teilmenge mit V ⊂ g −1 (U ), so gilt nach Lemma 10.6 fY−10 (V ) ' X ×Y V . Dies
ist isomorph zu f −1 (U ) ×U V nach Lemma 10.8. also folgt mit Proposition 10.5
fY−10 (V ) ' Spec (A/a ⊗A B) ' Spec (B/aB),
und die Projektion
fY 0 : Spec (B/aB) ' fY−10 (V ) → V ' Spec B
entspricht gerade der Quotientenabbildung B → B/aB. Also ist die Einschränkung
von fY 0 auf die offene Teilmenge fY−10 (V ) eine abgeschlossene Immersion. Indem wir
Y 0 durch solche offenen Teilmengen V überdecken, folgt die Behauptung.
Seite 45
Proposition 10.16 Die Eigenschaften (lokal) von endlichem Typ und (lokal) von endlicher Präsentation sind stabil unter Basiswechsel.
Beweis : Wir zeigen die Behauptung nur für von endlichem Typ und lokal von endlichem Typ. Ist f : X → Y lokal von endlichem Typ und ist g : Y 0 → Y ein beliebiger
S
Morphismus, so gibt es offene affine Überdeckungen Y =
Ui mit Ui ' Spec Ai
i∈I
S
und f −1 (Ui ) = Vij mit Vij ' Spec Bij , so dass alle Bij von endlichem Typ über Ai
j
S
sind. Nun sei g −1 (Ui ) = Wik mit Wik ' Spec Cik eine offene affine Überdeckung
k
von g −1 (Ui ) ⊂ Y 0 . Dann gilt wie im Beweis von Proposition 10.15:
fY−10 (Wik ) ' X ×Y Wik ' g −1 (Ui ) ×Ui Wik .
Diese offene Teilmenge von X ×Y Y 0 lässt sich nach Lemma 10.7 überdecken durch
die offenen affinen Teilmengen
Vij ×Ui Wik ' Spec (Bij ⊗Ai Cik ).
Die Projektion Vij ×Ui Wik → Wik entspricht hier dem kanonischen Homomorphismus
Cik → Bij ⊗Ai Cik .
Nun gibt es nach Voraussetzung eine surjektive Abbildung
Ai [x1 , ..., xn ] → Bij .
Durch Tensorieren mit Cij erhalten wir eine Abbildung
Cik [x1 , ..., xn ] ' Ai [x1 , ..., xn ] ⊗Ai Cik → Bij ⊗Ai Cik .
Diese ist ebenfalls surjektiv, wie man leicht auf reinen Tensoren nachprüft. Also ist
Bij ⊗Ai Cik eine Cik -Algebra von endlichem Typ. Somit ist in der Tat fY 0 lokal von
endlichem Typ. Ist fY 0 sogar von endlichem Typ, so kann die Überdeckung g −1 (Ui ) =
S
Vij endlich gewählt werden. Dann ist aber auch die Überdeckung (Vij ×Ui Wik )j
j
von fY−10 (Wik ) endlich. Also ist fY 0 ebenfalls von endlichem Typ.
Proposition 10.17 Es sei P eine Eigenschaft von Schemamorphismen, die stabil unter
Basiswechsel und Komposition ist. Erfüllen f : X → S und g : Y → S die Eigenschaft
P , so erfüllt auch
f × g : X ×S Y → S ×S S ' S
die Eigenschaft P .
Seite 46
Beweis : Wir können f × g als Komposition
f× Y
g
id
X ×S Y −→
S ×S Y ' Y → S
f× Y
id
schreiben. Der Morphismus X ×S Y −→
S ×S Y ' Y ist die Projektion auf Y , also
der Basiswechsel von f mit Y → S.
Proposition 10.18 Sei P eine Eigenschaft von Schemamorphismen, die stabil unter
Basiswechsel ist. Sind X und Y S-Schemata und f : X → Y ein S-Morphismus, der
P erfüllt, so erfüllt für jedes S-Schema Z auch
f × idZ : X ×S Z → Y ×S Z
die Eigenschaft P .
Beweis : Da
wechsel X ×Y
X ×S Z ' X ×Y
X ×S Z ' X ×Y
P
(Y
(Y
(Y
stabil unter Basiswechsel ist, erfüllt auch der Basis×S Z) → Y ×S Z von f die Eigenschaft P . Nun ist
×S Z) nach Proposition 10.10, und die Abbildung
×S Z) → Y ×S Z macht das Diagramm
XO
f
/ Y ×S Z
X ×S Z
Z
/Y
O
idZ
/Z
kommutativ. Sie stimmt also mit f × idZ überein.
Definition 10.19 Es sei S ein beliebiges Schema. Dann gibt es nach Proposition 6.22 einen eindeutigen Morphismus S → Spec Z. Das Schema
AnS = AnSpec Z ×Spec Z S = Spec Z[x1 , ..., xn ] ×Spec Z S heißt n-dimensionaler affiner Raum über S.
Das Schema PnS = PnSpec Z ×Spec Z S = Proj Z[x0 , ..., xn ] ×Spec Z S heißt n-dimensionaler
projektiver Raum über S.
Da AnSpec A ' Spec A[x1 , ..., xn ] und PnSpec A ' Proj A[x0 , ..., xn ] (siehe Übungen) ist,
passt dies mit unseren früheren Definitionen zusammen.
Seite 47
Definition 10.20 Ein Morphismus f : X → S heißt projektiv, falls es eine abgeschlossene Immersion i : X ,→ PnS für ein n = 0 gibt, so dass

X?
??
??
??
?
i
S
/ PnS
~~
~~
~
~ ~
kommutiert, d.h. so dass i ein S-Morphismus ist.
Beispiele:
i) Für jedes S ist die Projektion
p : PnS → S
projektiv.
ii) Jede abgeschlossene Immersion f : X → S ist projektiv, die Bedingung ist dann
für P01 = S erfüllt.
iii) Für jeses homogene Ideal a ⊂ A[x0 , ..., xn ] ist der Morphismus
Proj A[x0 , ..., xn ]/a → Spec A
nach Proposition 7.19 projektiv.
11 Separierte und eigentliche Morphismen
Wir betrachten zunächst einen topologischen Raum T . Der Raum T ist genau dann
Hausdorffsch, wenn das Bild der Diagonalabbildung
4:T
→
T ×T
x 7→
(x, x)
eine abgeschlossene Teilmenge von T × T ist. Eine ähnliche Bedingung kann man für
Schemata formulieren.
Definition 11.1 Es sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata.
i) Die Diagonalabbildung zu f ist definiert als der eindeutige Morphismus
4f : X → X ×Y X,
Seite 48
der folgendes Diagramm kommutativ macht:
X
~> dHHHH
~~
HH
~
HH
~~
H
~~
4f
/ X ×Y X
X@
@@
v
@@
vv
vv
@@
v
id
@ zvvv
X
id
Die Existenz von 4f folgt natürlich aus der universellen Eigenschaft des Faserproduktes.
ii) Der Morphismus f heißt separiert, falls 4f eine abgeschlossene Immersion ist.
In diesem Fall sagen wir auch einfach, X ist separiert über Y .
iii) Ein Schema X heißt separiert, falls der eindeutig bestimmte Morphismus
X → Spec Z separiert ist.
Nun sind Schemata nur in trivialen Fällen Hausdorffsch als topologische Räume.
Trotzdem ist separiert eine sinnvolle Eigenschaft. Ein separiertes Schema muss nämlich nicht Hausdorffsch als topologischer Raum sein. Das liegt daran, dass der topologische Raum des Schemas X ×Spec Z X im allgemeinen nicht das Produkt des
topologischen Raumes zu X mit sich selbst ist (siehe Übungen).
Proposition 11.2 Ist f : Spec B → Spec A ein Morphismus zwischen affinen Schemata, so ist f separiert. Insbesondere ist jedes affine Schema separiert.
Beweis : f entspricht einem Ringhomomorphismus ϕ : A → B. Die Diagonalabbildung 4f : Spec B → Spec B ×Spec A Spec B ' Spec B ⊗A B wird von dem Ringhomomorphismus
ψ : B ⊗A B → B,
X
X
ai (bi ⊗ ci ) 7→
ϕ(ai )bi ci
i
i
induziert. Dieser Ringhomomorphismus ψ definiert nämlich einen Schemamorphismus Spec B → Spec (B ⊗A B), der das definierende Diagramm zu 4f kommutativ
macht. Da ψ surjektiv ist, ist 4f eine abgeschlossene Immersion.
Beispiel: Es sei k ein Körper und X1 = A1k sowie X2 = A1k . Wir betrachten die offenen
Teilmengen U1 = A1k \ {0} ⊂ X1 und U2 = A1k \ {0} ⊂ X2 . Sei ϕ = id : U1 →
Seite 49
U2 . Entlang dieser Abbildung verkleben wir X1 und X2 nach Lemma 6.23 zu einem
Schema X. Wir erhalten eine affine Gerade A1k mit doppeltem Nullpunkt:
Das Faserprodukt A1k ×Spec k A1k ist dann die affine Ebene A2k mit verdoppelten Koordinatenachsen und vierfachem Nullpunkt. Das Bild der Diagonalabbildung enthält
aber nur zwei dieser Nullpunkte. Es ist also nicht abgeschlossen (Übungsaufgabe).
Proposition 11.3 Ein Morphismus f : X → Y ist genau dann separiert, wenn das
Bild von 4f (als stetige Abbildung topologischer Räume betrachtet) eine abgeschlossene Teilmenge von X ×Y X ist.
Beweis : Ist f separiert, so ist 4f eine abgeschlossene Immersion. Insbesondere ist
also das Bild von 4f eine abgeschlossene Teilmenge. Wir nehmen umgekehrt an,
dass das Bild von 4f eine abgeschlossene Teilmenge von X ×Y X ist und schreiben 4 = 4f . Wir müssen zeigen, dass dann 4 : X → X ×Y X ein Homöomorphismus auf Bild(4) mit surjektiver Garbenabbildung OX×Y X → 4∗ OX ist. Für
die erste Projektion p : X ×Y X → X gilt definitionsgemäß idX = p ◦ 4. Also ist die stetige Abbildung 4 injektiv. Ist U ⊂ X eine offene Teilmenge, so folgt
U = p ◦ 4(U ). Daher ist 4(U ) = p−1 (U ) ∩ Bild(4). Also ist 4 wirklich ein Homöomorphismus auf Bild(4). Für jedes x ∈ X wählen wir nun eine offene affine Umgebung V ⊂ Y um f (x) und eine offene affine Umgebung U um x mit U ⊂ f −1 (V ).
−1
Dann ist U ×V U = p−1
1 (U ) ∩ p2 (U ) (mit den Projektionen p1 : X ×Y X → X und
p2 : X ×Y X → X) eine offene Umgebung von 4(x). Nach Proposition 11.2 ist
f |U : U → V separiert. Also ist 4|U : U → U ×V U eine abgeschlossene Immersion, d.h. OU ×V U → (4|U )∗ OU ist surjektiv. Daher ist OX×Y X → 4∗ OX surjektiv in
einer offenen Umgebung von 4(x). Daraus folgt die Behauptung.
Lemma 11.4
i) Offene und abgeschlossene Immersionen sind separiert.
ii) Separiertheit ist stabil unter Komposition.
iii) Separiertheit ist stabil unter Basiswechsel.
Beweis :
∼
i) Ist i : U ,→ X eine offene Immersion, so ist U ×X U ' U ×U U → U nach Prop1
position 10.8 und Proposition 10.10. Die Diagonalabbildung 4i : U → U ×X U
Seite 50
ist also ein Isomorphismus. Ist i : Y ,→ X eine abgeschlossene Immersion, so
sei Spec A ' U ⊂ X eine offene affine Teilmenge. Dann ist
i|i−1 (U ) : i−1 (U ) → U ' Spec A
eine abgeschlossene Immersion. Nach Proposition 8.4 ist i−1 (U ) ' Spec A/a
für ein Ideal a ⊂ A. Nun ist i−1 (U ) ×Y X ' i−1 (U ) ×U i−1 (U ) eine offene Teilmenge von X ×Y X. Ferner ist 4i |i−1 (U ) gerade die Diagonalabbildung Spec A/a ' i−1 (U ) → i−1 (U ) ×U i−1 (U ) ' Spec (A/a ⊗A A/a), und
p1 : Spec (A/a ⊗A A/a) → Spec A/a ist ein Isomorphismus, denn
A/a
a+a
→ A/a ⊗A A/a
7→ (a + a) ⊗ 1
ist ein Isomorphismus. Also ist 4i auf i−1 (U ) ' Spec A/a ein Isomorphismus.
Daher ist 4i ein Isomorphismus und insbesondere eine abgeschlossene Immersion.
ii) Es seien f : X → Y und g : Y → Z separiert, das heißt 4f : X → X ×Y X und
4g : Y → Y ×Z Y sind abgeschlossene Immersionen.
Die
Diagonalabbildung
4g◦f : X → X ×Z X
ist
die
Komposition von 4f : X → X ×Y X ' X ×Y Y ×Y X mit dem Morphismus
idX × 4g × idX : X ×Y Y ×Y X → X ×Y (Y ×Z Y ) ×Y X ' X ×Z X,
denn diese Komposition macht das verlangte Diagramm kommutativ. (Wir
benutzen hier Proposition 10.10.)
Nun sind abgeschlossene Immersionen nach Proposition 10.15 stabil unter
Basiswechsel, also ist nach Proposition 10.18 auch idX × 4g × idX eine
abgeschlossene Immersion. Da abgeschlossene Immersionen stabil unter
Komposition sind (Übungsaufgabe), folgt die Behauptung.
iii) Es sei f : X → Y separiert und g : Y 0 → Y ein beliebiger Morphismus. Es sei
X 0 = X ×Y Y 0 . Wir wollen zeigen, dass die Projektion f 0 : X 0 = X ×Y Y 0 → Y 0
separiert ist. Der Morphismus
4f × idY 0 : X 0 = X ×Y Y 0
→ X ×Y X ×Y Y 0
'
(X ×Y Y 0 ) ×Y 0 (X ×Y Y 0 )
'
X 0 ×Y 0 X 0
Seite 51
macht das Diagramm
0
X Je J
|>
JJJ
id |||
JJJ
|
|
JJ
|
|
/
0
X 0 ×Y 0 X 0
X B
BB
t
BB
ttt
t
BB
t
t
id
B
yttt
0
X
kommutativ, er stimmt also mit 4f 0 überein. Da abgeschlossene Immersionen
stabil unter Basiswechsel sind, ist nach Proposition 10.18 mit 4f auch 4f ×idY 0
eine abgeschlossene Immersion. Also ist 4f 0 eine abgeschlossene Immersion,
d.h. f 0 ist separiert.
Proposition 11.5 Für ein Schema X sind äquivalent:
i) X separiert, d.h. X → Spec Z separiert.
ii) Für alle offenen affinen Teilmengen U, V ⊂ X ist U ∩ V affin und der Homomorphismus
OX (U ) ⊗Z OX (V ) → OX (U ∩ V )
der durch resU U ∩V und resV U ∩V induziert wird (universelle Eigenschaft des
Tensorprodukts), ist surjektiv.
S
iii) Es gibt eine offene affine Überdeckung X =
Ui , so dass für alle i, j ∈ I die
i∈I
Teilmenge Ui ∩ Uj affin ist und
OX (Ui ) ⊗Z OX (Uj ) → OX (Ui ∩ Uj )
surjektiv ist.
Beweis : Sei 4 : X → X ×Spec Z X die Diagonalabbildung. Es seien U, V ⊂ X offene
affine Teilmengen, für die U ∩ V ebenfalls affin ist. Es ist 4−1 (U ×Spec Z V ) = U ∩ V .
Die Einschränkung
4|U ∩V : U ∩ V → U ×Spec Z V
Seite 52
ist dann ein Morphismus zwischen affinen Schemata. Der zugehörige Ringhomomorphismus ϕ : OX (U ) ⊗Z OX (V ) → OX (U ∩ V ) macht das Diagramm
nnn
nnn
n
n
n
v nn
n
OX (U ) ⊗Z OX (V )
hPPP
PPP
PPP
PPP
OX (U )
MMM
MMres
MMM
MM&
ϕ
/ OX (U ∩ V )
8
qqq
q
q
qqres
qqq
OX (V )
kommutativ, also ist ϕ der kanonische Homomorphismus, der durch die universelle
Eigenschaft des Tensorprodukts gegeben ist.
i) ⇒ ii): Ist X separiert, so ist 4 eine abgeschlossene Immersion. Also ist auch
4|U ∩V : U ∩ V → U ×Spec Z V eine abgeschlossene Immersion. Mit U und V ist
nach Proposition 10.5 auch U ×Spec Z V affin, nach Proposition 8.4 ist also auch
U ∩ V affin und der zugehörige Ringhomomorphismus ϕ ist surjektiv.
ii) ⇒ iii): ist klar.
iii) ⇒ i): Gilt iii), so ist für alle i, j ∈ I nach Voraussetzung
4|Ui ∩Uj : Ui ∩ Uj = 4−1 (Ui ×Spec Z Uj ) → Ui ×Spec Z Uj
eine abgeschlossene Immersion. Da (Ui ×Spec Z Uj )i,j∈I eine offene Überdeckung
von X ×Spec Z X ist, ist 4 eine abgeschlossene Immersion.
Definition 11.6
i) Ein Morphismus f : X → Y von Schemata heißt abgeschlossen, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Teilmenge von X abgeschlossen in Y
ist.
ii) f : X → Y heißt universell abgeschlossen, falls für jedes Y -Schema Y 0 der
Basiswechsel fY 0 : X ×Y Y 0 → Y 0 abgeschlossen ist.
Analog definiert man die Eigenschaften offen und universell offen für Morphismen
von Schemata.
Definition 11.7 Ein Morphismus f : X → Y von Schemata heißt eigentlich, falls f
von endlichem Typ, separiert und universell abgeschlossen ist.
Seite 53
Proposition 11.8
i) Abgeschlossene Immersionen sind eigentlich.
ii) Eigentliche Morphismen sind stabil unter Komposition und Basiswechsel.
Beweis :
i) Nach Lemma 8.19 und Lemma 11.4 sind abgeschlossene Immersionen von endlichem Typ und separiert. Da abgeschlossene Immersionen abgeschlossen sind
und das Basiswechsel einer abgeschlossenen Immersion nach Proposition 10.15
wieder eine abgeschlossene Immersion ist, sind abgeschlossene Immersionen
auch universell abgeschlossen.
ii) Die Eigenschaften von endlichem Typ, separiert und universell abgeschlossen
sind stabil unter Komposition (Übungsaufgabe bzw. Lemma 11.4). Nach Proposition 10.16 und Lemma 11.4 sind die Eigenschaften von endlichem Typ und
separiert stabil unter Basiswechsel. Die Eigenschaft universell abgeschlossen ist
definitiongemäß stabil unter Basiswechsel.
Beispiel: Sei k ein Körper. Das Schema A1k ist nicht eigentlich über Spec k. A1k ist zwar
von endlichem Typ über k und als affines Schema auch separiert über k, aber nicht
universell abgeschlossen. Um das einzusehen, betrachten wir den Basiswechsel
p2 : A2k ' A1k ×Spec k A1k → A1k
von
A1k → Spec k.
Der zugehörige Ringhomomorphismus ist die Einbettung
ϕ : k[y] → k[x, y].
Wir betrachten die Zariski-abgeschlossene Teilmenge V ((xy − 1)) in A2k . Dann
ist für jedes b 6= 0 in k das Ideal (x − b−1 , y − b) ∈ V ((xy − 1)), und es gilt
(y − b) = ϕ−1 ((x − b−1 , y − b)). Also ist das Primideal (y − b) ⊂ k[y] im Bild
p2 (V ((xy − 1))). Andererseits gibt es kein Primideal p ⊂ k[x, y] mit (xy − 1) ⊂ p und
y ∈ ϕ−1 (p), denn ein solches Primideal würde y und xy − 1, also 1 enthalten. Daher
ist das Primideal (y) nicht in p2 (V ((xy − 1))). Nun sind die Zariski-abgeschlossenen
Teilmengen von A1k gerade die endlichen Mengen abgeschlossener Punkte sowie ∅
und A1k . Daher kann für einen unendlichen Körper k die Menge p2 (V ((xy − 1))) nicht
abgeschlossen sein. Also ist A1k → Spec k für unendliche Körper nicht abgeschlossen.
Seite 54
Ist k ein endlicher Körper, so ist A1k → Spec k(x) also nicht universell abgeschlossen.
Ein fundamentales Beispiel für einen eigentlichen Morphismus ist ein projektiver
Morphismus.
Proposition 11.9 Projektive Morphismen sind eigentlich.
Beweis : Sei f : X → S ein projektiver Morphismus. Dann gibt es eine abgeschlossene
Immersion i : X ,→ PnS , so dass das folgende Diagramm kommutiert:

X@
@@
@@
@
f @@
i
S.
/ PnS
}
}
}}
}
~}}
Nach Proposition 11.8 ist i eigentlich, und eigentliche Morphismen sind stabil unter Komposition. Also genügt es zu zeigen, dass die Projektion PnS → S eigentlich
ist. Nach 11.8 sind eigentliche Morphismen stabil unter Komposition, also müssen
wir nur zeigen, dass PnZ → Spec Z eigentlich ist. Nun ist PnZ von endlichem Typ und
separiert über Spec Z (Übungsaufgabe, die Separiertheit folgt aus Propositon 11.5).
Also genügt es zu zeigen, dass PnZ → Spec Z universell abgeschlossen ist. Daher
müssen wir also für jedes Schema S nachweisen, dass π : PnS → S abgeschlossene
S
Teilmengen auf abgeschlossene Teilmengen abbildet. Ist S = Si eine offene affine
i
S
Überdeckung von S, so ist PnS = PnSi eine offene Überdeckung. Wir können Abgei
schlossenheit einer Menge durch Schneiden mit allen Mitgliedern einer offenen Überdeckung testen. Also können wir ohne Einschränkung annehmen, dass S = Spec A
affin ist. Dann ist PnS = PnA , jede abgeschlossene Teilmenge ist also von der Form V (a)
für ein homogenes Ideal a ⊂ A[x0 , ..., xn ]. Wir müssen zeigen, dass die Abbildung
π : PnA → Spec A = S die Menge V (a) auf eine abgeschlossene Teilmenge von S abbildet. Dazu genügt es zu zeigen, dass S \ π(V (a)) offen ist. Für ein s ∈ S betrachten
wir die Faser von π in s, also PnA ×S Spec κ(s) ' Pnκ(s) (Übungsaufgabe).
Nach Proposition 10.12 induziert die natürliche Abbildung p : Pnκ(s) → PnA einen Homöomorphismus von Pnκ(s) auf π −1 (s). Also ist
p−1 (V (a) ∩ π −1 (s))
= p−1 (V (a))
= V (as ),
wobei as ⊂ κ(s)[x0 , ..., xn ] das von a ⊂ A[x0 , ..., xn ] induzierte Ideal ist.
Nun ist s genau dann in S\π(V (a)) enthalten, wenn V (a)∩π −1 (s) leer ist. Das ist äqui-
Seite 55
√
valent zu V (as ) = ∅ = V ((x0 , ..., xn )) also nach Lemma 7.10 zu (x0 , ..., xn ) ⊂ as .
√
Nun ist (x0 , ..., xn ) ⊂ as genau dann, wenn es ein d = 0 gilt mit xd0 , ..., xdn ∈ as ,
und dies ist äquivalent zu der Tatsache, dass für einen geeigneten Grad m = 0 jedes
homomogene Polynom vom Grad m in κ(s)[x0 , ..., xn ] in as enthalten ist.
Wir schreiben kurz B = A [x0 , ..., xn ]. Mit Bm , am , κ(s)[x0 , ..., xn ]m , (as )m bezeichnen wir jeweils den homogenen Anteil vom Grad m bezüglich der Graduierung. Offenbar ist (B/a)m = Bm /am . Es ist (as )m das Bild von am unter der natürlichen Abbildung
B = A[x0 , ..., xn ] → κ(s)[x0 , ..., xn ].
Nun ist (as )m = am ⊗A κ(s) (Übungsaufgabe). Wir haben oben gezeigt, dass s genau
dann in S \ π(V (a)) enthalten ist, wenn
κ(s)[x0 , ..., xn ]m = (as )m
gilt, also genau dann, wenn
Bm ⊗A κ(s) = am ⊗A κ(s)
gilt. Nach dem Lemma von Nakayama 3.8, angewandt auf (B/a)m ⊗A OS, s , ist also
(B/am ) ⊗A OS, s = 0. Dies ist die Lokalisierung von (B/a)m nach allen Elementen
aus A, die nicht im zu s gehörigen Primideal liegen. Da (B/a)m als A-Modul endlich
erzeugt ist, finden wir ein f in der Nennermenge mit f (B/a)m = 0. Dann ist s ∈ D(f ).
Jedes Primideal p ∈ D(f ) ⊂ Spec A = S erfüllt (B/a)m ⊗A Ap = 0, also gilt auch
(B/a)m ⊗A κ(p) = 0. Nach den obigen Überlegungen folgt daraus p ∈ S \ π(V (a)).
Also ist S \ π(V (a)) in der Tat offen.
Nun wollen wir eine nützliche Eigenschaft eigentlicher Morphismen zeigen, für die
wir den Begriff des Bewertungsringes brauchen.
Definition 11.10 Es sei k ein Körper. Eine Bewertung auf k ist eine Abbildung
ν : k × → Γ von k × = k \ {0} in eine total geordnete abelsche Gruppe Γ, so dass gilt
i) ν(αβ) = ν(α) + ν(β), d.h. ν ist ein Gruppenhomomorphismus, und
ii) ν(α + β) = min{ν(α), ν(β)}.
Ist Bild (ν) ' Z, so heißt ν diskrete Bewertung. Ist ν : k × → Γ eine Bewertung, so
setzen wir ergänzend ν(0) = ∞. Die Menge
Oν = {α ∈ k : ν(α) = 0}
ist wegen i) abgeschlossen unter der Multiplikation und wegen ii) auch abgeschlossen
unter der Addition.
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Da ν ein Gruppenhomomorphismus ist, ist ν(1) = 0, also 1 ∈ Oν . Man berechnet aus
i) leicht ν(−1) = 0, also enthält Oν mit a auch −a. Daher ist Oν ein Unterring von k.
Er heißt Bewertungsring zu ν. Falls klar ist, um welche Bewertung es sich handelt,
schreiben wir auch Ok statt Oν .
Die Teilmenge
mν = {α ∈ k : ν(α) > 0}
ist ein Ideal in Oν . Ist α ∈ Oν \ mν , d.h. gilt ν(α) = 0, so ist nach i) auch ν(α−1 ) = 0.
Also ist auch α−1 in Oν enthalten, d.h. α ∈ Oν× . Daher ist jedes echte Ideal von Oν in
mν enthalten. Also ist Oν ein lokaler Ring mit maximalem Ideal mν .
Definition 11.11 Ein Integritätsring A heißt diskreter Bewertungsring, falls es eine
diskrete Bewertung ν auf Quot A gibt mit A = Oν . Das maximale Ideal mν ⊂ A heißt
dann Bewertungsideal. Sind A ⊂ B lokale Ringe mit maximalen Idealen mA und mB ,
so sagen wir, B dominiert A, falls die Inklusion A ,→ B ein lokaler Morphismus ist,
d.h. falls mB ∩ A = mA ist.
Lemma 11.12 Es sei Ok ein Bewertungsring mit Quotientenkörper k und A ein lokaler Unterring von k, der Ok dominiert. Dann ist A = Ok .
Beweis : Sei ν : k × → Γ die Bewertung auf k und mA ⊂ A das maximale Ideal. Ist
a ∈ A \ Ok , so muss ν(a) < 0, also ν(a−1 ) = −ν(a) > 0 sein. Also ist a−1 ∈ mν ⊂ mA .
Daraus folgt 1 = aa−1 ∈ mA , was ein Widerspruch ist.
Satz 11.13
i) Ist X separiert über dem Bewertungsring Ok und k = Quot Ok , so
ist für Xk = X ×Spec Ok Spec k die natürliche Abbildung
MorSpec Ok (Spec Ok , X) = X(Ok ) → Xk (k) = MorSpec k (Spec k, Xk )
f
7→ f ×Spec Ok idSpec k
injektiv.
ii) Ist X eigentlich über dem Bewertungsring Ok , so ist die natürliche Abbildung
X(Ok ) → Xk (k)
bijektiv.
Beweis :
Seite 57
i) Es seien f, g : Spec Ok → X zwei Spec Ok -Morphismen, so dass fk = gk gilt.
Dann sind also folgende Diagramme kommutativ:
/
jjj5 X gOOOOO
j
j
j
OOO
jjj
OOO
jjjj
j
j
OO
j
jj
fk =gk
/
Spec k ' Spec k
X ×Spec Ok Spec k
TTTT
oo
TTTT
ooo
TTTT
o
o
o
TTTT
id
wooo
)
Spec k
f
Spec Ok
O
Spec Ok ×Spec Ok
und
9/ X gOOO
OOO
tt
t
OOO
tt
t
OOO
tt
t
O
t
fk =gk
/ X ×Spec Ok Spec k
Spec k
JJ
o
JJ
ooo
JJ
o
o
JJ
oo
id
J%
wooo
Spec k
Spec Ok
O
g
Wir wollen f = g zeigen. Dazu betrachten wir die Abbildung h, die folgendes
Diagramm kommutativ macht:
X eKK
w;
KK
ww
KK
w
w
KK
w
w
KK
w
w
h
/ X ×Spec Ok X
Spec Ok
GG
ss
GG
ss
GG
ss
g GG
s
s
G#
yss
X
f
h
Nun ist das Bild von Spec k → Spec Ok → X ×SpecOk X nach Voraussetzung in
4(X) ⊂ X ×Spec Ok X enthalten. Da X → Spec Ok separiert ist, ist das Bild 4(X)
der Diagonalabbildung abgeschlossen. Also ist h−1 (4(X)) eine abgeschlossene Teilmenge von Spec Ok , die den generischen Punkt enthält. Daraus folgt
h−1 (4(X)) = Spec Ok , woraus f (x) = g(x) für alle x ∈ Spec Ok folgt. Ist s der
Punkt in Spec Ok zum Bewertungsideal, so können wir eine offene affine Umgebung von f (s) in X wählen. Diese enthält die Menge f (Spec Ok ) = g(Spec Ok ).
Daher können wir annehmen, dass X = Spec A affin ist. Seien
ϕ : A → Ok
und
ψ : A → Ok
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die Ok -linearen Ringhomomorphismen zu f und g. Nach Voraussetzung stimmen die zugehörigen Homomorphismen
ϕ k : A ⊗O k k
→
Ok ⊗Ok k ' k und
ψk : A ⊗Ok k
→
Ok ⊗Ok k ' k
überein. Da die natürlichen Diagramme
A
ϕ
/ Ok
_
A
ψ
/ Ok
_
und
A ⊗O k k
ϕk
A ⊗O k k
/k
ψk
/k
kommutieren, folgt ϕ = ψ.
ii) Nun nehmen wir an, X → Spec Ok ist eigentlich. Dann ist X insbesondere separiert über k, d.h. die Abbidung
X(Ok ) → Xk (k)
ist injektiv. Wir müssen noch die Surjektivität zeigen.
Es sei η der generische Punkt von Spec Ok und s ∈ Spec Ok der abgeschlossene
Punkt, der durch das Bewertungsideal gegeben ist.
Gegeben sei ein k-Morphismus g : Spec k → Xk . Dieser liefert nach Verknüpfen mit der Projektion p : Xk → X den Morphismus p ◦ g : Spec k → X. Wir
setzen x = p ◦ g(η) ∈ X und betrachten den Abschluss Z = {x} ⊂ X. Diese abgeschlossene Teilmenge können wir nach Satz 8.3 mit der Struktur eines
reduzierten abgeschlossenen Unterschemas von X ausstatten. Dann ist Z ein
integres Schema und Z ,→ X eine abgeschlossene Immersion. Nach Proposition 11.8 ist Z also eigentlich über Ok . Nun ist x ∈ Z definitionsgemäß das Bild
von
g
/ Xk
Spec k
II
x
II
x
II
xx
II
xx
x
I$
|x
Spec k
Da Xk von endlichem Typ über k ist, ist κ(x) = k, und x ist ein abgeschlossener
Punkt in Xk (Übungsaufgabe). Also ist Zk = {x}.
Seite 59
Da Z eigentlich über Ok ist, ist das Bild von Z → Spec Ok eine abgeschlossene
Teilmenge von Spec Ok . Da diese den generischen Punkt enthält, ist das Bild des
Strukturmorphismus Z → Spec Ok gleich Spec Ok . Also existiert ein t ∈ Z, das
auf s abgebildet wird. Dann ist OZ, t ein lokaler Ring, der Ok dominiert. Da Z integer ist mit generischem Punkt x, gilt nach Proposition 8.9 Quot OZ, t = OZ, x ,
und OZ, x ist der Restklassenkörper von x in Z. Die kanonische Abbildung
liefert das Diagramm
Zk
/Z
Spec k
/ Spec Ok
κZk (x) o
? _ κZ (x)
O
?
k
k
der Restklassenkörper. Also ist OZ, x = k. Mit Lemma 11.12 folgt nun OZ, t =
Ok . Der Morphismus
∼
f : Spec Ok → SpecOZ,t → Z ,→ X
erfüllt fk = g.
Korollar 11.14
i) Sei f : X → Y ein separierter Morphismus. Dann ist für jedes
Y -Schema Spec Ok , wobei Ok ein Bewertungsring mit Quotientenkörper k ist,
die kanonische Abbildung
MorY (Spec Ok , X) → MorY (Spec k, X)
injektiv.
ii) Sei f : X → Y ein eigentlicher Morphismus. Dann ist für jedes Y -Schema Ok ,
wobei Ok ein Bewertungsring mit Quotientenkörper k ist, die kanonische Abbildung
MorY (Spec Ok , X) → MorY (Spec k, X)
bijektiv.
Seite 60
Beweis : Für ein Y -Schema Ok setzen wir Z = X ×Y Spec Ok . Es sei p : Z → X die
Projektion. Nach der universellen Eigenschaft des Faserproduktes ist die Abbildung
MorSpec Ok (Spec Ok , Z) = Z(Ok ) → MorY (Spec Ok , X)
f
7→ p ◦ f
bijektiv. Analog ist die Abbildung
MorSpec k (Spec k, Zk ) → MorY (Spec k, X)
bijektiv, da Zk = Z ×Spec Ok Spec k ' X ×Y Spec k ist. Also folgt die Behauptung aus
Satz 11.13.
Es gilt sogar die Umkehrring von Korollar 11.14: Ein Morphismus f : X → Y ist
genau dann separiert (bzw. eigentlich), wenn für jedes Y -Schema Spec Ok die Abbildung
MorY (Spec Ok , X) → MorY (Spec k, X)
injektiv (bzw. bijektiv) ist. Diese Eigenschaft nennt man auch Bewertungskriterium
für separierte bzw. eigentliche Morphismen.
12 Reguläre und glatte Schemata
Definition 12.1 Es sei X ein Schema. Für jedes x ∈ X bezeichnen wir mit mx das
maximale Ideal im lokalen Ring OX, x und mit κ(x) = OX, x /mx wie immer den Restklassenkörper. Dann ist mx /m2x ein κ(x)-Vektorraum (Übungsaufgabe). Seinen Dualraum
TX, x = (mx /m2x )∨ = Homκ(x) (mx /m2x , κ(x))
nennen wir den Tangentialraum von X in x.
Ist f : X → Y ein Schemamorphismus mit f (x) = y, so induziert der lokale Homomorphismus
f : OY, y → OX, x
eine Abbildung TX, x = (mx /m2x )∨ → (my /m2y )∨ = TY, y . Diese induziert eine κ(x)lineare Abbildung
Tf, x : TX, x → TY, y ⊗κ(y) κ(x),
die wir Tangentialabbildung zu f in x nennen.
Seite 61
Proposition 12.2
i) Ist X ein lokal noethersches Schema, so gilt für alle x ∈ X
dimκ(x) TX, x = dim OX, x .
ii) Sind f : X → Y und g : Y → Z Schemamorphismen, so gilt für f (x) = y und
g(y) = z:
Tg◦f, x = (Tg, y ⊗κ(y) idκ(x) ) ◦ Tf, x .
Beweis :
i) Nach Korollar 9.15 gilt dim OX, x 5 dimκ(x) mx /m2x = dim TX, x .
ii) Das folgt direkt aus den Definitionen.
Lemma 12.3 Ist A ein Ring und m ⊂ A ein maximales Ideal, so vermittelt die kanonische Abbildung A → Am einen Isomorphismus.
m/m2 → m Am /m2 Am .
∼
Beweis : Es ist A/m → Am /m Am (Übungen). Daraus folgt die Behauptung.
Es sei k ein Körper und y ∈ Ank (k). Mit E bezeichnen wir den k-Vektorraum k n , mit
E ∨ seinen Dualraum. Wir schreiben die Elemente aus E = k n als Zeilenvektoren.
Wir definieren die Abbildung
Dy : k [x1 , ..., xn ] → E ∨
f
durch
7→ Dy f,
wobei Dy f : E → k die Abbildung (t1 , ..., tn ) 7→
n
P
i=1
∂f
∂xi (y)ti
ist.
Die Linearform Dy f auf E heißt auch Differential von f in y. Es gilt
Dy (f g) = f (y)Dy (g) + g(y)Dy g nach der Produktregel.
Proposition 12.4 Sei y ∈ Ank (k) und m das zugehörige maximale Ideal in
k [x1 , ..., xn ].
i) Die Einschränkung von Dy auf m induziert einen Isomorphismus
m/m2 ' E ∨ .
Seite 62
ii) Es gibt einen kanonischen Isomorphismus
TAk , y ' E.
Beweis : Es ist m = (x1 − λ1 , ..., xn − λn ) für (λ1 , ..., λn ) ∈ k n , wobei der Punkt
y ∈ Ank (k) = k n die Koordinaten (λ1 , ..., λn ) hat.
i) Wir entwickeln f ∈ m in eine Taylorreihe um (λ1 , ..., λn ). Dann ist
f (x) =
n
X
∂f
(xi − λi )
(λ1 , ..., λn ) + Terme höherer Ordnung,
∂xi
i=1
denn f (λ1 , ..., λn ) = 0. Die Terme höherer Ordnung liegen in m2 , daraus folgt
die Behauptung.
ii) Es sei my das maximale Ideal im lokalen Ring OAnk , y . Nach Lemma 12.3 gilt
∼
m/m2 → my /m2y .
Daraus folgt
TAnk ,y = (my /m2y )∨ ' (m/m2 )∨ ' E ∨
nach i).
Für jeden k-Untervektorraum F ⊂ E sei F ⊥ = {ϕ ∈ E ∨ : ϕ(v) = 0
Dann haben wir eine kanonische exakte Sequenz
für alle v ∈ F }.
0 → F ⊥ → E ∨ → F ∨ → 0.
Proposition 12.5 Es sei X = Spec k [x1 , ..., xn ]/a und f : X ,→ Ank die kanonische abgeschlossene Immersion. Für jedes x ∈ X(k) induziert dann die Tangentialabbildung
(12.4)
Tf, x : TX, x → TAnk , x ' E
einen Isomorphismus von TX, x auf (Dx a)⊥ ⊂ E. Der Tangentialraum TX, x ist also
isomorph zu
n
X
∂f
(x)ti = 0 für alle f ∈ a}.
{(t1 , ..., tn ) ∈ E :
∂x
i
i=1
Dies ist analog zur klassischen Definition des Tangentialraums in der Analysis.
Seite 63
Beweis : Es sei m ⊂ k [x1 , ..., xn ] das maximale Ideal zu f (x) ∈ Ank (k). Dann entspricht der Punkt x ∈ X(k) dem maximalen Ideal n = m/a ⊂ k [x1 , ..., xn ]/a. Wir
haben eine natürliche exakte Sequenz von k- Vektorräumen
0 → a/a ∩ m2 → m/m2 → n/n2 → 0.
Die Abbildung
Df, x : TX, x = (n/n2 )∨ → (m/m2 )∨ = TAnk , f (x)
entsteht durch Dualisieren der Surjektion m/m2 → n/n2 , ist also injektiv. Nach Proposition 12.4 ist
∼
Dx : m/m2 → E ∨
ein Isomorphismus. Der Unterraum a/a ∩ m2 wird dabei auf Dx (a) abgebildet. Also
ist 0 → Dx (a) → E ∨ → n/n2 → 0 exakt. Der Übergang zu den Dualräumen liefert die
exakte Sequenz
(n/n2 )∨
|o
0 → TX, x
→ (m/m2 )∨
|o
→ E → Dx (a)∨ → 0,
woraus TX, x ' Dx (a)⊥ = {(t1 , ..., tn ) ∈ E : ϕ(t1 , ..., tn ) = 0 für alle ϕ ∈ Dx (a)} =
n
P
∂f
{(t1 , ..., tn ) ∈ E :
∂xi (x)ti = 0 für alle f ∈ a} folgt.
i=1
Beispiel: Wir betrachten X = Spec k [x, y]/(x2 −y 3 ) und den Punkt a = (0, 0) ∈ X(k),
der zum maximalen Ideal (x, y) gehört. Es ist
∂(x2 − y 3 )
= 2x
∂x
und
∂(x2 − y 3 )
= −3y 2 .
∂y
Also ist TX, a ' k 2 nach Proposition 12.5.
Ist b 6= a in X(k) mit zugehörigem maximalen Ideal (x − b1 , y − b2 ), wobei b21 = b32
gilt, so ist
TX, b = {(t1 , t2 ) ∈ k 2 : 2b1 t1 = 3b22 t2 }
eindimensional.
Man sieht an folgender graphischer Darstellung von X(k), dass der Punkt (0, 0) zwei
Tangentialrichtungen zulässt, alle anderen Punkte hingegen nur eine.
Nach Definition 9.16 heißt ein noetherscher lokaler Ring A mit maximalem Ideal m
und Restklassenkörper k = A/m regulär, falls dim A = dimk m/m2 gilt.
Lemma 12.6 Ein regulärer noetherscher lokaler Ring A ist ein Integritätsring.
Seite 64
Beweis : Wir führen eine Induktion nach d = dim A.
Ist d = 0, so ist m/m2 = 0, also m = m2 . Daraus folgt mit Lemma 9.10 m = 0, d.h. A ist
sogar ein Körper.
Wir nehmen nun d = 1 an. Die Behauptung gelte nach Induktionsvoraussetzung für
d − 1. Es sei k = A/m und s ∈ Spec A der einzige abgeschlossene Punkt. Ferner sei
f ∈ m \ m2 und Y = Spec A/(f ). Dann gilt nach Satz 9.17 und Proposition 9.12
9.17
9.12
d − 1 5 dim (A/(f )) 5 dimk TY, s .
Nach Voraussetzung ist dimk TSpec A, s = d. Da die Restklasse von f in m/m2 nicht
trivial ist, folgt dimk TY, s 5 dim TX, s − 1 = d − 1. Also ist A/(f ) ein regulärer Ring
der Dimension d − 1. Es sei p ⊂ A ein minimales Primideal und B = A/p. Dann ist
dim B = dim A. Sei g das Bild von f unter der Quotientenabbildung A → B. Es gilt
nun für Z = Spec B/(g) wie oben
9.17
9.12
d − 1 5 dim B/(g) 5 dimk TZ, s .
Ferner ist dim TZ, s 5 dimk TY, s = d − 1, da Z ,→ Y eine abgeschlossene Immersion
ist. Daher ist auch B/(g) ein regulärer Ring der Dimension d−1. Nach Induktionsvoraussetzung sind A/(f ) und B/(g) ' A/p + (f ) Integritätsringe derselben Dimension.
Also sind (f ) und p+(f ) Primideale. Aus Dimensionsgründen kann p+(f ) nicht echt
größer sein kann als (f ), d.h. (f ) = p + (f ). Daher gilt p ⊂ (f ). Für jedes u ∈ p gibt es
somit ein v ∈ A mit u = f v. Es gilt f 6∈ p, denn d − 1 = dim A/(f ) < dim A/p = d.
Also folgt v ∈ p. Wir erhalten
p ⊂ f p ⊂ mp,
woraus nach dem Lemma von Nakayama, angewandt auf den A-Modul p bereits
p = 0 folgt. Somit ist A in der Tat ein Integritätsring.
Korollar 12.7 Ist A ein regulärer noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m,
so ist für jedes f ∈ m \ {0} der Ring A/f A genau dann regulär, wenn f 6∈ m2 ist.
Seite 65
Beweis : Da A nach Lemma 12.6 ein Integritätsring ist, gilt dim A/f A = dim A − 1
mit Satz 9.17. Es sei k = A/m. Das maximale Ideal in A/(f ) ist n = m/(f ). Definitionsgemäß ist A/(f ) genau dann regulär, wenn dimk n/n2 = dimk m/m2 − 1 gilt, also
genau dann, wenn f 6∈ m2 ist.
Betrachten wir eindimensionale lokale Ringe, so gilt folgender wichtiger Satz:
Satz 12.8 Für einen lokalen noetherschen Integritätsring A der Dimension 1 sind folgende Aussagen äquivalent:
i) A ist ein diskreter Bewertungsring
ii) A ist ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper Quot (A), d.h. jedes
x ∈ Quot (A), das ganz über A ist (siehe auch Lemma 3.7), liegt bereits in A.
iii) Das maximale Ideal m ⊂ A ist ein Hauptideal.
iv) A ist regulär.
Beweis : Ist 0 6= a ⊂ A ein beliebiges Ideal, so ist dim A/a < dim Spec A = 1,
da A ein Integritätsring ist. Also ist dim A/a = 0. Nach Lemma 9.10 folgt daher
√
Nil (A/a) = m/a, d.h. m ⊂ a. Da m endlich erzeugt ist, folgt mr ⊂ a für ein r = 0.
Außerdem ist mn = mn+1 für alle n = 0, sonst müßte A nämlich nach Lemma 9.10
und dem Satz von Nakayama nulldimensional sein.
i) ⇒ ii): Sei ν : Quot (A) → Z die diskrete Bewertung mit
A = {x ∈ Quot (A) : ν(x) = 0}.
Erfüllt x ∈ Quot (A) eine Ganzheitsgleichung der Form
xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0 mit a0 , ..., an−1 ∈ A, so ist
nν(x)
= ν(x)n
= ν(an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 )
=
=
min
{ν(ai ) + i ν(x)}
min
{i ν(x)}.
i=1, ..., n−1
i=1, ..., n−1
Daraus folgt ν(x) = 0, also x ∈ A.
Seite 66
ii) ⇒ iii): Es sei a 6= 0 ein Element in m. Ist m = (a), so sind wir fertig. Also nehmen
wir m 6= (a) an. Nach der Vorbemerkung gibt es ein r = 0 mit mr ⊂ (a). Da m 6= (a)
ist, können wir r so wählen, dass mr−1 6⊂ (a) ist.
Nun sei b ∈ mr−1 mit b ∈
/ (a). Wir betrachten x = a/b ∈ Quot(A).
−1
Dann ist x ∈
/ A, denn sonst wäre b ∈ (a). Also ist x−1 nicht ganz über A. Es gilt
−1
x m ⊂ A, denn nach Konstruktion ist bm ⊂ mr ⊂ (a). Wäre x−1 m ⊂ m, so wäre m
ein endlich erzeugter A[x−1 ]-Modul. Dann wäre x−1 ganz über A (Übungsaufgabe),
was ausgeschlossen ist. Also gilt x−1 m 6⊂ m, woraus x−1 m = A folgt. Wir erhalten
also m = (x).
iii) ⇒ iv): Nach Korollar 9.15 ist dimk m/m2 = dim A = 1. Da m = (x) ein Hauptideal
ist, wird m/m2 von einem Element erzeugt. Also gilt dimk m/m2 = 1 = dim A.
iv) ⇒ i): Sei x ∈ m ein Element, dessen Restklasse mod m2 den eindimensionalen kVektorraum m/m2 erzeugt. Wie im Beweis von Korollar 9.15 ii) zeigt man m = (x).
Da mn 6= mn+1 ist, gilt (xn ) 6= (xn+1 ). Für jedes 0 6= a ∈ (xn ) sei ν(a) = max {n =
0 : a ∈ (xn )}, wobei natürlich (x0 ) = A ist. Wir setzen diese Funktion durch ν(a/b) =
ν(a)−ν(b) auf Quot A fort. Das definiert eine diskrete Bewertung mit Bewertungsring
A.
Lemma 12.9 Ist A ein regulärer lokaler Ring, dann ist für jedes Primideal p ⊂ A auch
Ap regulär.
Beweis : Übungsaufgabe.
Jetzt können wir den Regularitätsbegriff auf Schemata übertragen.
Definition 12.10 Sei X ein lokal noethersches Schema und x ∈ X. Dann heißt X
regulär in x, falls der lokale Ring OX, x regulär ist. Das Schema X heißt regulär, falls
es regulär in allen Punkten x ∈ X ist.
Ein Punkt x ∈ X, in dem X nicht regulär ist, wird auch singulärer Punkt genannt.
Definitionsgemäß ist X genau dann regulär in x ∈ X, wenn dim OX, x = dim TX, x
gilt. Nach Lemma 12.9 ist X genau dann regulär, wenn es in allen abgeschlossenen
Punkten regulär ist.
Beispiel: Ist k ein Körper, so ist für alle n = 0 der affine Raum Ank und der projektive
Raum Pnk ein reguläres Schema.
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Satz 12.11 (Jacobikriterium) Es sei k ein Körper und X = Spec k [x1 , ..., xn ]/a für ein
Ideal a ⊂ k [x1 , ..., xn ]. Wir betrachten für ein x ∈ X(k) und ein Erzeugendensystem
a = (f1 , ..., fr ) von a die (Jacobi-)Matrix
∂fi
Jx =
(x)
∂xj
i=1, ..., r
j=1, ..., n
Dann ist X genau dann regulär in x, wenn der Rang von Jx gleich n − dim OX, x ist.
Beweis : Nach Proposition 12.5 ist dim TX, x = dim (Dx a)⊥ = n − dim Dx a. Nun ist
Dx (a) als k-Vektorraum erzeugt durch die Vektoren
∂fi
∂fi
(x), ...,
(x) ,
∂x1
∂xn
aufgefasst als Linearformen auf k n . Das sind aber gerade die Zeilen der Matrix Jx .
Also gilt dim Dx (a) = rang Jx , woraus dim TX, x = n−rang Jx folgt. Daher gilt genau
dann dim TX, x = dim OX, x , wenn rang Jx = n − dim OX, x gilt.
Definition 12.12 Ein Schema X, das lokal von endlichem Typ über einem Körper k
ist, heißt glatt über k, falls für einen (und damit jeden) algebraischen Abschluss k von
k das Basiswechselschema
Xk = X ×Spec k Spec k
regulär ist. (Man sagt auch, X ist geometrisch regulär über k).
Man kann zeigen, dass aus Xk regulär auch X regulär folgt. Ferner gilt: Ist k
ein vollkommener Körper, d.h. ist jede endliche algebraische Erweiterung von k
separabel, so ist X glatt über k, falls X regulär ist.
Beispiel: Ank und Pnk sind glatt über k.
Um allgemein zu erklären, wann ein Morphismus glatt ist, brauchen wir noch einen
weiteren Begriff.
Definition 12.13 Sei A ein kommutativer Ring. Ein A-Modul M heißt flach, falls für
jede injektive Abbildung
i : N0 → N
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von A-Moduln auch die induzierte Abbildung
i ⊗ M : N 0 ⊗A M → N ⊗A M
injektiv ist.
Es gilt dann sogar, dass für jede exakte Sequenz 0 → N 0 → N → N 00 → 0 von AModuln die induzierte Sequenz 0 → N 0 ⊗A M → N ⊗A M → N 00 ⊗A M → 0 exakt
ist.
Definition 12.14 Es sei Y ein lokal Noethersches Schema und f : X → Y ein Morphismus lokal von endlichem Typ. Dann heißt f glatt, falls
i) für jedes x ∈ X der Homomorphismus fx? : OY, f (x) → OX, x den lokalen Ring
OX, x zu einem flachen OY, f (y) -Modul macht, und falls
ii) für jedes y ∈ Y die Faser
Xy = X ×Y Spec κ(y) → Spec κ(y)
glatt ist, d.h. falls
Xy = X ×Y Spec κ(y)
ein reguläres Schema ist.
Ein Morphismus in der obigen Situation ist also genau dann glatt, wenn er flach ist
und geometrisch reguläre Fasern besitzt.
13 Algebraische Kurven
Es sei k ein vollkommener Körper, also etwa ein Körper der Charakteristik 0 oder ein
endlicher Körper.
Definition 13.1 Ein Schema von endlichem Typ über k, dessen irreduzible Komponenten alle eindimensional sind, heißt algebraische Kurve über k.
Da k vollkommen ist, ist ein k-Schema genau dann glatt über k, wenn es regulär ist.
Ist C eine irreduzible reguläre Kurve über k, so sind definitionsgemäß alle lokalen
Ringe OC, x für x ∈ C regulär. Nach Lemma 12.6 sind sie damit Integritätsringe,
insbesondere also reduziert. Daher ist C ein integres Schema. Es sei η ∈ C der generische Punkt. Nach Propostion 8.9 ist OC, η = k(C) ein Körper. Mit Satz 9.22 gilt
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trgrdk k(C) = 1. Ist x ∈ C ein Punkt mit x 6= η, so sei x ∈ Spec A ⊂ C eine offene
affine Umgebung. Da dim A = 1 gilt und η dem Nullideal von A entspricht, muss x
zu einem maximalen Ideal von A gehören. Der Ring OC, x ist ein regulärer, Noetherscher, lokaler und eindimensionaler Integritätsring. Nach Satz 12.8 ist OC, x also ein
diskreter Bewertungsring.
Lemma 13.2 Es sei C eine irreduzible reguläre Kurve über k und Y ein eigentliches
k-Schema, so dass es eine offene Teilmenge ∅ =
6 U ⊂ C von C und ein Morphismus
f◦ : U → Y
gibt. Dann lässt sich f auf eindeutige Weise zu einem Morphismus
f :C→Y
fortsetzen.
Beweis : Da U den generischen Punkt η enthält, liefert f ◦ einen Morphismus
Spec k(C) → Y.
Für jedes x 6∈ U ist der lokale Ring OC, x ein diskreter Bewegungsring mit
Quot OC, x = k(C) ist. Also existiert nach Korollar 11.14 ein Morphismus
fx : Spec OC,x → Y,
so dass
6/ Y
nnn
n
n
nnn
nnnfx
n
n
n
Spec k(C)
Spec OC, x
kommutiert. Wir definieren f (x) als das Bild des maximalen Ideals in Spec OC, x unter
fx .
Nun ist Y von endlichem Typ über k, also existiert eine offene affine Umgebung V '
Spec B ⊂ Y um f (x) mit B ' k[x1 , ..., xn ]/a. Ist p das Primideal zu f (x) in B, so
haben wir einen Homomorphismus
fx? : Bp = (k[x1 , ..., xn ]/a)p → OC, x .
Es sei U ' Spec A eine offene Umgebung von x. Dann ist OC, x ' Amx . Wir betrachten
die induzierte Abbildung k[x1 , ..., xn ]/a → OC, x ∼
= Amx . Indem man alle Nenner
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einfängt, die in den Bildern der Algebraerzeugern x1 , ..., xn auftreten, erhält man
einen Homomorphismus
B → Af
für ein geeignetes f ∈ A \ m, der nach Lokalisieren fx? induziert.
Daher erhalten wir einen Morphismus
C ⊃ Spec Af ,→ U ,→ Y,
der fx fortsetzt. Ist y ∈ Spec Af ein beliebiger abgeschlossener Punkt, so ist OC, y ein
diskreter Bewertungsring. Da C separiert über k ist, ist die Abbildung
Spec OC,y → Spec Af ,→ U ,→ Y
als Fortsetzung von Spec k(C) → Y eindeutig bestimmt. Wir erhalten also eine offene
S
Überdeckung C = Vi sowie Morphismen fi : Vi → Y , so dass für alle x ∈ Vi ∩ Vj
das Diagramm
V
u: i ??
uu
?? fi
u
??
uu
??
uu
u
u
Spec OC, x
?Y
II
II
II
II
fj
II
$
Vj
kommutiert. Insbesondere gilt fi (x) = fj (x). Wir überdecken Vi ∩ Vj mit offenen
affinen Schemata Spec A, so dass die Menge fi (Spec A) = fj (Spec A) in einer offenen
affinen Teilmenge Spec B ⊂ Y enthalten ist. Dann liefern fi : Spec A → Spec B und
fj : Spec A → Spec B Ringhomomorphismen ϕi : B → A bzw. ϕj : B → A, die
nach Komposition mit A ,→ Quot (A) = k(C) übereinstimmen. Also gilt ϕi = ϕj , d.h.
fi = fj , und wir können die fi zu einem Morphismus f : C → Y verkleben.
Proposition 13.3 Es sei f : C1 → C2 ein Morphismus zwischen irreduziblen eigentlichen Kurven. Dann ist entweder f (C1 ) = {x} für einen abgeschlossenen Punkt
x ∈ C2 oder f ist surjektiv.
In zweiten Fall wird der generische Punkt η1 von C1 auf den generischen Punkt η2
von C2 abgebildet, und die zugehörige Abbildung k(C2 ) = OC2 , η2 → OC1 , η1 = k(C1 )
macht k(C1 ) zu einer endlichen Körpererweiterung von k(C2 ).
Beweis : Als Morphismus zwischen eigentlichen k-Schemata ist auch f eigentlich
(Übungsaufgabe). Also ist f abgeschlossen, d.h. f (C1 ) ist eine abgeschlossene Teilmenge von C2 . Da C1 irreduzibel ist, ist auch f (C1 ) irreduzibel. Enthält nun f (C1 )
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nicht den generischen Punkt η2 von C2 , so besteht f (C1 ) nur aus abgeschlossenen
Punkten von C2 . Dann ist wegen der Irreduzibilität f (C1 ) = {x} für einen abgeschlossenen Punkt x ∈ C2 .
Enthält f (C1 ) aber den generischen Punkt η2 von C2 , so ist f (C1 ) = C2 , da f (C1 )
abgeschlossen ist. Nun kann η2 nicht das Bild eines abgeschlossenen Punktes von C1
sein, denn dieses müsste selbst abgeschlossen sein. Also ist f (η1 ) = η2 . Der zugehörige k-Algebrenhomomorphismus
k(C2 ) = OC2 , η2 → OC1 , η1 = k(C1 )
ist als Körperhomomorphismus injektiv. Da beide Seiten den Transzendenzgrad 1
über k haben, ist diese Körpererweiterung eindlich algebraisch.
Definition 13.4 Ein Morphismus f : X → Y von Schemata heißt dominant, falls
f (X) eine dichte Teilmenge von Y ist, d.h. falls der Abschluss von f (X) der ganze
Raum Y ist.
Lemma 13.5 Ein Morphismus f : C1 → C2 zwischen eigentlichen Kurven ist genau
dann dominant, wenn er surjektiv ist.
Beweis : Da f eigentlich ist, ist f (C1 ) abgeschlossen in C2 . Also ist f (C1 ) genau dann
dicht in C2 , wenn f (C1 ) = C2 gilt.
Satz 13.6 Es seien C1 und C2 irreduzible, reguläre, eigentliche Kurven über k. Dann
vermittelt jeder dominante Morphismus f : C1 → C2 einen k-Homomorphismus
k(C2 ) → k(C1 ). Diese Zuordnung
Mork, dominant (C1 , C2 ) → Homk (k(C2 ), k(C1 ))
ist bijektiv.
Beweis : Sei ϕ : k(C2 ) → k(C1 ) ein k-Algebrenhomomorphismus. Wir wählen offene
affine Teilmengen ∅ =
6 U ' Spec A in C2 und ∅ =
6 V ' Spec B ⊂ C1 . Dann ist
Quot A = k(C2 ) und Quot B = k(C1 ). Ferner ist A = k[x1 , ..., xn ]/a für ein Ideal
a ⊂ k[x1 , ..., xn ]. Wir betrachten den Homomorphismus
ϕ
A ,→ k(C2 ) → k(C1 ) = Quot B.
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Indem wir die endlich vielen Nenner der Bilder der Algebrenerzeuger x1 , ..., xn aufsammeln, erhalten wir einen Homomorphismus
ψ : A → Bf
für geeignetes f ∈ B. Das liefert einen Schemamorphismus
f ◦ : C1 ⊃ Spec Bf → Spec A ⊂ C2 ,
so dass die zugehörige Abbildung der lokalen Ringe im generischen Punkt gerade
ϕ ist. Nach Lemma 13.2 hat f ◦ eine eindeutige Fortsetzung f : C1 → C2 . Das zeigt
die Surjektivität. Ist f : C1 → C2 ein dominanter Morphismus, so ist nach Korollar
11.14 durch k(C2 ) ,→ k(C1 ) für jeden abgeschlossenen Punkt x ∈ C1 die Abbildung
f
Spec OC1 , x ,→ C1 → C2 eindeutig bestimmt.
Wie am Ende des Beweises von 13.2 schließt man daraus, dass die Abbildung f durch
k(C2 ) ,→ k(C1 ) eindeutig bestimmt ist.
Man kann außerdem zeigen, dass jeder über k endlich erzeugte Körper Ω mit
trgrdk (Ω) = 1 der Funktionenkörper einer geeigneten regulären, eigentlichen Kurve
ist. Zusammen mit Satz 13.6 erhält man so eine Kategorienäquivalenz C 7→ k(C) zwischen der Kategorie der regulären projektiven Kurven über k mit dominanten Morphismen und der Kategorie der endlich erzeugten Körpererweiterungen Ω/k vom
Transzendenzgrad 1.
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