Vorkurs für Naturwissenschaftler - Ruhr

Dr. J. P. Schröder
SS 2015
Vorkurs für Naturwissenschaftler
Aufgaben zur Übung am Mittwoch, 23.9.
Hausaufgabe
Die Aufgabe sollte vor der Uebung bearbeitet werden und in der Uebung diskutiert werden.
Hausaufgabe 1. Sei
Z
x
Φ(x) :=
−∞
exp(−t2 /2)
√
dt
2π
die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, d.h. fuer X ∼ N (0, 1) ist
P (a ≤ X ≤ b) = Φ(b) − Φ(a).
(a) Zeigen Sie mittels Substitution, dass fuer Y ∼ N (µ, σ 2 )
def.
Z
P (a ≤ Y ≤ b) =
a
b
2
)
exp(− 12 t−µ
b−µ
a−µ
σ
√
dt = Φ
−Φ
.
σ
σ
σ 2π
(b) Zeigen Sie unter Verwendung von Φ(∞) = 1, dass die Verteilungsfunktion Φ folgende
Symmetrie aufweist:
Φ(−x) = 1 − Φ(x).
(c) Unter
http://www.vwi.tu-dresden.de/~treiber/statistikFormelnTabellen/erf_quantile.pdf
finden Sie die Tabelle “Quantile zα der Standardnormalverteilung N (0, 1)”. Hier sind
Werte
zα ∈ R
mit
Φ(zα ) = α,
d.h.
zα = Φ−1 (α)
angegeben. Nutzen Sie diese Werte um fuer Y ∼ N (3/2 , 1/4) approximativ folgende
Wahrscheinlichkeit zu berechnen:
P (Y ≤ −3) = ?
1
Aufgaben zur Bearbeitung in den Übungen
Aufgabe 1. Seien X1 , X2 , ...Xn : Ω → {0, 1} uiv Bernoulli(p)-verteilt. Auf Grundlage einer
StichprobeP
x = (x1 , ..., xn ) mit xi ∈ {0, 1} hatten wir das k-te Moment mk = E(X1k ) durch
1
Tk (x) = n ni=1 xki geschaetzt.
(a) Begruenden Sie, dass im Fall von Bernoulli(p)-verteilten ZV Tk = T1 fuer alle k ≥ 1.
(b) Bestimmen Sie einen Schaetzer fuer die Varianz Var(X1 ) und schreiben Sie ihn in Termen von xn . Wie lautet die Schaetzung fuer EX1 und Var X1 , wenn von n = 1000
Experimenten 361 Experimente das Ergebnis 1 liefern?
Aufgabe 2. Seien X1 , X2 , ...Xn : Ω → {0, 1} uiv Bernoulli(p)-verteilt. Wir ersetzen im
Zentralen Grenzwertsatz (ZGS) die Varianz Var(X1 ) durch den Schaetzer X n (1 − X n ) fuer
die Varianz Var(X1 ). Man kann zeigen, dass weiterhin fuer alle a ≤ b


Z b
√ X n − EX1
exp(−x2 /2)


√
≤b =
dx.
lim P a ≤ n q
n→∞
2π
a
X n (1 − X n )
Nutzen Sie dies, um ein asymptotisches 95%-Konfidenzintervall fuer p = EX1 zu finden.
Welches Intervall finden Sie fuer den Fall, dass von n = 1000 Experimenten 423 mit 1 und
der Rest mit 0 ausgehen?
Zur Erinnerung: Ein Intervall [a(X), b(X)], welches von der Zufallsgroesse X = (X1 , ..., Xn )
abhaengt, heisst asymptotisches 95%-Konfidenzintervall, falls
lim P p ∈ [a(X), b(X)] ≥ 0, 95.
n→∞
2