Lineare Algebra IIb

Lineare Algebra IIb
- 10.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
162 Mengen der Ecken, Kanten und Seitenflächen von P operiert. D.h. für alle zwei Ecken,
den
bzw. Kanten oder Seitenflächen von P gibt es ein g 2 Sym+ (P ), die die erste Ecke, bzw.
Kante oder Seitenfläche in die zweite überführt. In diesem Sinne sind Platonische Körper
mit Hilfe ihrer Symmetrie definieren: ein Polytop ist ein Platonischer Körper genau dann
also Polytope mit maximaler
Symmetrie.
+
Isometrien
von Vektorräumen
wenn die Gruppe Sym15.1.
(P ) der
orientierungserhaltenden
Symmetrien von P transitiv auf
den Mengen der Ecken, Kanten und Seitenflächen von P operiert. D.h. für alle zwei Ecken,
+
bzw.
Kanten
oder
Seitenfl
ächen
von
P
gibt
es
ein
g
2
Sym
(P ), die die erste Ecke, bzw.
15 Isometrien
Kante oder Seitenfläche in die zweite überführt. In diesem Sinne sind Platonische Körper
also Polytope
mit maximaler Symmetrie.
Definition
15.1.
(1) Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) bestehend aus einer nicht-leeren Menge X
zusammen mit einer Metrik d : X ⇥ X ! R 0 , vgl. Definition 8.25.
15
Isometrien
(2) Eine
Isometrie von (X, d) ist eine bijektive Abbildung f : X ! X, die die Metrik
erhält:
Definition 15.1.
d(f (x), f (y)) = d(x, y) 8 x, y 2 X .
(1) Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) bestehend aus einer nicht-leeren Menge X
zusammen
mitSei
einer
: X ⇥ X !Raum.
R 0 , vgl.
Definition
8.25. aller Isometrien
Proposition
15.2.
(X,Metrik
d) eindmetrischer
Dann
ist die Menge
(2)(X,
Eine
Isometrie
von (X, d) ist eine bijektive Abbildung f : X ! X, die die Metrik
von
d) eine
Untergruppe
erhält:
Isom(X, d) ✓ Bij(X)
d(f (x), f (y)) = d(x, y) 8 x, y 2 X .
der Gruppe der bijketiven Abbildungen X ! X.
Proposition 15.2. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann ist die Menge aller Isometrien
1
Beweis.
Seien
f,
g
2
Isom(X,
d).
Da
g
bijektiv
ist,
gibt
es
eine
Umkehrfunktion
g
, und es
von (X, d) eine Untergruppe
gilt für alle x, y 2 X
Isom(X, d) ✓ Bij(X)
g 1 (x),Abbildungen
f g 1 (y)) X !=X.
der Gruppe derd(f
bijketiven
d(f (g 1 (x)), f (g 1 (y)))
f 2Isom(X,d)
1
= ist, gibt
d(g es1 (x),
(y)
Beweis. Seien f, g 2 Isom(X, d). Da g bijektiv
einegUmkehrfunktion
g 1 , und es
g2Isom(X,d)
gilt für alle x, y 2 X
=
d(x, y) .
1
1
1
1
d(f
g
(y))
=
d(f
(g
(x)),
f
(g
(y)))
1g (x), f
Also ist auch f g 2 Isom(X, d). Daraus folgt, dass Isom(X, d) eine
Untergruppe von
f 2Isom(X,d)
Bij(X) ist.
=
d(g 1 (x), g 1 (y)
g2Isom(X,d)
=
1
d(x, y) .
15. Isometrien
d2 (f (x + y), f (x) + f (y))
=
kf (x + y) f (x)
f (y)k2
15.1Isometrien
Isometrien
von
Vektorr
äumen
15.1 15.1
Isometrien
von Vektorr
äumen
von
Vektorr
äumen
=
kf (x + y)k2 + kf (x)k2 + 2 kf (y)k2
Sei
) ein R-Vektorraum
mit Skalarprodukt
. Nach Bemerkung
8.26 dann
definiert dann
Sei (V,Sei) (V,
ein (V,
R-Vektorraum
mit Skalarprodukt
Nach
8.26
2 . (f
(x +Bemerkung
y), f (x))
2 definiert
(f (x
+ definiert
y), f (y))dann
) ein R-Vektorraum
mit Skalarprodukt
. Nach
Bemerkung
8.26
p
pkvk+2
p (f (x),
:=
(v,Vv)f (y))
, v2V
kvk
:=
(v,
v)
,
v
2
(v,
v) , v2 2 V 2 2
Norm
f erhältkvk :=
2
=
kx + yk + kxk + kyk
2 (x + y, x)
eine
Norm,
und
eine Norm,
und und
eine Norm,
+ , y,v,y)
d(v, w)p
:=2kv (xwk
w+
2 2V (x, y)
Metrik d(v, w) := p
kv:= wkkv, v, w
2, Vv, w 2 V
15 Isometrien
163
d(v,
w)
wk
=
0
.
eine Metrik auf V . (V, d) ist also ein metrischer Raum. Im folgenden werden wir die Isometrien
eine Metrik
auf V . auf
(V, V
d). ist
einalso
metrischer
Raum. Raum.
Im folgenden
werden wir die Isometrien
eine von
Metrik
(V,also
d) ist
metrischer
wir die
Isometrien
(V, d) diskutieren.
(Wennein
d nicht
angegeben ist,Im
sofolgenden
ist immerwerden
die Metrik
gemeint,
die in
vonDa
(V,
d)
diskutieren.
(Wenn
d
nicht
angegeben
ist,
so
ist
immer
die
Metrik
gemeint,
die
in
(V, obiger
d) ein
metrischer
Raum
ist,Euklidischer
folgt
von
(V,
d) diskutieren.
(Wenn
nicht angegeben
ist, so Dann
ist immer
Metrik gemeint,
die in
Weise
dem
hervorgeht.)
Proposition
15.3. aus
Sei (V,
)Skalarprodukt
ein d
Vektorraum.
ist diedie
Untergruppe
der
obigerobiger
Weise Weise
aus dem
Skalarprodukt
hervorgeht.)
aus
dem
Skalarprodukt
hervorgeht.)
Isometrien auf V , die 0 auf 0 abbilden gerade
O(V, ):
f (x + y) = f (x) + f (y) ,
Isom(V ) ◆ {f 2 Isom(V ) | f (0) = 0} = O(V, ) .
f ist also linear.
Beweis.
auf 0 abbilden
einevon
Untergruppe
164 Zunächst ist klar, dass die Isometrien von V , die 0 15.1
Isometrien
Vektorräumen
von Isom(V ) bilden.
Definition
15.4.
Sei)V| f ein
Vektorraum
beliebigen
KörperAbbildungen
K.
Dass {f 2
Isom(V
(0) =
0} ◆ O(V, über
) isteinem
klar, denn
orthogonale
erhalten das
undist
sind
daher
auch kompatibel mit der Metrik d auf V . Ausserdem
(1) Skalarprodukt
Eine Translation
eine
Abbildung
sind sie linear und bilden daher 0 auf 0 ab.
V !
V ✓ O(V, ). Dazu bemerkt man
Zeige nun die Inklusion {f 2 Isom(V T) a| f: (0)
= 0}
zunächst, dass sich das Skalarprodukt durch die
v Metrik
7! v +d aausdrücken läßt: für x, y 2 V
gilt
für a 2 V .
2
(2)2 Eine
f : (y,
V !
affin
falls
Ta f
(x, y)Abbildung
= (x, x) +
y) V heißt
(x y,
x linear,
y) = d2 (x,
0) es
+ dein
(y,a0)2 Vd2gibt,
(x, y)sodass
.
linear ist, d.h. Ta f 2 End(V ).
Sei nun f 2 Isom(V ) mit f (0) = 0. Dann folgt
Proposition 15.5. Sei V ein K-Vektorraum. Es gilt:
(1) Die
T=a , a 2 dV2 (fsind
bijektive
Abbildungen,
und
der Translationsvektor
2 (fTranslationen
(x), f (y))
(x), 0)
+ d2 (f (y),
0) d2 (f (x),
f (y))
a 2 V ist durch a f=(0)=0
Ta (0) eindeutig
bestimmt.
2
2
2
=
d
(f
(x),
f
(0))
+
d
(f
(y),
f
(0))
d
(f (x), f (y))
15. Isometrien
(2) Die Translationen bilden eine abelsche Untergruppe
(Ta , g) ⇤ (Ta0 , g 0 ) = (Ta+g(a0 ) , g g 0 ) .
Im nächsten Satz werden wir sehen, dass diese Gruppe isomorph zur Isometrieg
V ist.
Satz 15.8. Sei (V, ) Euklidischer Vektorraum.
(1) Für alle a 2 V gilt Ta 2 Isom(V ).
(2) Für f 2 Isom(V ) ist g := T f (0) f 2 O(V, ), und
f = Tf (0) g = g Tg
1
f (0)
.
(3) Die Abbildung
' : Trans(V ) o O(V, ) ! Isom(V )
(Ta , g) 7! Ta g
ist ein Gruppenisomorphismus mit Umkehrabbildung
: Isom(V ) ! Trans(V ) o O(V, )
f 7! (Tf (0) , T f (0) f )
Beweis. (1) Seien a, v, w 2 V . Dann gilt
d2 (Ta (v), Ta (w)) = kTa (v)
Ta (w)k2 = k(a + v)
(a + w)k2 = kv
wk2 = d2 (
Also ist Ta 2 Isom(V ).
(2) Sei f 2 Isom(V ), und g := T f (0) f . Da T f (0) und f Isometrien sind, gilt die
g. Aber g(0) = f (0)+f (0) = 0. Nach Proposition 15.3 folgt also g15.
2 Isometrien
O(V, ). O↵
v 2 V \ {0}, die mit sv bezeichnet werden. Es gilt
d↵ d = d↵+ , d↵ sv
d
↵
= sd↵ (v) , d↵ sv = sd ↵ (v) = sv
2
d
↵
, sv
sw = d2^(v,w) ,
15.2. Isometrien der Euklidischen Ebene
wobei
cos(^(v, w)) = p
(v, w)
(v, v) (w, w)
,
der Winkel zwischen v und w ist.
Definition 15.11. Sei (V, ) ein 2-dimensionaler Euklidischer Vektorraum, und f 2 Isom(V )
eine Isometrie.
(1) f ist eine Drehung (um den Winkel ↵ um Punkt a 2 V ), falls f = Ta d↵ T a . Wir
schreiben dann f = d↵,a .
(2) f ist eine Spiegelung an einer affinen Geraden L = a + R v, falls f = Ta sv T a .
Wir schreiben f = sL .
(3) f ist eine Gleitspiegelung, an einer affinen Geraden L = a + R v mit Verschiebungsvektor 0 6= w 2 R v, falls f = Tw sL . Wir schreiben f = gL,w .
Satz 15.12. Sei (V, ) ein 2-dimensionaler Euklidischer Vektorraum, und f 2 Isom(V ).
Dann hat f entweder keine Fixpunkte, oder die Fixpunktmenge V f besteht aus einem Punkt,
oder V f ist eine affine Gerade, oder V f ist ganz V . Die Isometrie f ist folgendermaßen durch
die Fixpunktmenge bestimmt:
Vf =V
)
V f = a + R v =: L )
V f = {a}
)
Vf =;
f
f
f
8
< f
= idV
= sL
= d↵,a für ein ↵ 2 (0, 2⇡)
= Ta für ein 0 6= a 2 V
oder
)
:
f = gL,v mit L = b + R v und b, v 2 V \ {0}
15. Isometrien
(1) f ist eine Drehung (um den Winkel ↵ um Punkt a 2 V ), falls f = Ta d↵ T a . Wir
schreiben dann f = d↵,a .
(2) f ist eine Spiegelung an einer affinen Geraden L = a + R v, falls f = Ta sv T a .
Wir schreiben f = sL .
(3) f ist eine Gleitspiegelung, an einer affinen Geraden L = a + R v mit Verschiebungsvektor 0 6= w 2 R v, falls f = Tw sL . Wir schreiben f = gL,w .
Satz 15.12. Sei (V, ) ein 2-dimensionaler Euklidischer Vektorraum, und f 2 Isom(V ).
Dann hat f entweder keine Fixpunkte, oder die Fixpunktmenge V f besteht aus einem Punkt,
oder V f ist eine affine Gerade, oder V f ist ganz V . Die Isometrie f ist folgendermaßen durch
die Fixpunktmenge bestimmt:
Vf =V
)
V f = a + R v =: L )
V f = {a}
)
Vf =;
f
f
f
8
< f
= idV
= sL
= d↵,a für ein ↵ 2 (0, 2⇡)
= Ta für ein 0 6= a 2 V
oder
)
:
f = gL,v mit L = b + R v und b, v 2 V \ {0}
Beweis. Sei f 2 Isom(V ) eine Isometrie mit einem Fixpunkt a 2 V f . Dann ist g := T a
f Ta eine Isometrie mit Fixpunkt 0. Nach Proposition 15.3 ist also g 2 O(V, ). Es gibt die
folgenden Fälle
g = idV
) f = idV
Vf =V
g = d↵ mit ↵ 2 (0, 2⇡) ) f = d↵,a
V f = {a}
g = sv mit 0 6= v 2 V ) f = sa+R v V f = a + R v
Es verbleibt zu zeigen, dass f entweder eine Translation oder eine Gleitspiegelung ist, falls f
keinen Fixpunkt hat. Nach Satz 15.8 gilt f = Ta g für ein a = f (0) 2 V und ein15.
g 2Isometrien
O(V, ).
In diesem Kapitel ist (V, ) stets ein 3-dimensionaler Euklidischer Raum. Wir hatten gesehen,
dass Elemente in O(V, ) entweder Drehungen dv,↵ um Winkel ↵ um orientierte Drehachsen
R v (die Orientierung ist durch die Spezifikation von v 2 R v bestimmt) sind, oder Drehdes 3-dim.
Raums an der zu v
spiegelungen sv,↵ ,15.3.
diese Isometrien
entsprechen Drehungen
dv,↵ Euklidischen
gefolgt von Spiegelungen
orthogonalen Ebene v ? . Für ↵ = 0 sind dies die Spiegelungen sv := sv,0 .
Definition 15.13. Sei (V, ) ein 3-dimensionaler Euklidischer Vektorraum, und f 2 Isom(V )
eine Isometrie.
(1) f ist eine Drehung, falls f = Ta dv,↵ T a für ein a 2 V und eine Drehung dv,↵ 2
SO(V, ). Dann ist f eine Drehung um die affine orientierte Drehachse L = a + R v.
Wir schreiben f = da+R v,↵ .
(2) f ist eine Schraubung, falls f = Tw da+R v,↵ für ein w 2 R v.
(3) f ist eine Spiegelung, falls es ein 0 6= v 2 V gibt, und ein a 2 V , sodass f =
Ta sv T a . Dann ist f eine Spiegelung an der affinen Ebene a + v ? . Wir schreiben
f = sa+v? .
15 Isometrien
169
(4) f ist eine Gleitspiegelung, falls es eine affine Ebene E gibt, und ein 0 6= a 2 E E
mit f = Ta sE .
(5) f ist eine Drehspiegelung, falls es eine affine Ebene E gibt, und ein affine Gerade
a + R v ? E, sodass f = da+R v,↵ sE .
Satz 15.14. Sei (V, ) ein Euklidischer Vektorraum der Dimension 3, und sei f 2 Isom(V ).
(1) Hat f Fixpunkte, d.h. V f 6= ;, so gibt es die folgenden Möglichkeiten
Vf =V
ganz V
) f = idV
V =E
affine Ebene ) f = sE
V = a + R v affine Gerade ) f⇢ = da+R v,↵
f = db+R v,↵ sE
V = {a}
Punkt
)
mit {a} = b + R v \ E
Identität
Spiegelung
Drehung
Drehspiegelung
(2) Ist V f = ;, so ist f eine Translation, eine Gleitspiegelung oder eine Schraubung.
f
f
15. Isometrien
15 Isometrien
169
(5) f ist eine Drehspiegelung, falls es eine affine Ebene E gibt, und ein affine Gerade
a + R v ? E, sodass f = da+R v,↵ sE .
Satz 15.14. Sei (V, ) ein Euklidischer Vektorraum der Dimension 3, und sei f 2 Isom(V ).
(1) Hat f Fixpunkte, d.h. V f 6= ;, so gibt es die folgenden Möglichkeiten
Vf =V
ganz V
) f = idV
V =E
affine Ebene ) f = sE
V = a + R v affine Gerade ) f⇢ = da+R v,↵
f = db+R v,↵ sE
V = {a}
Punkt
)
mit {a} = b + R v \ E
Identität
Spiegelung
Drehung
Drehspiegelung
(2) Ist V f = ;, so ist f eine Translation, eine Gleitspiegelung oder eine Schraubung.
Beweis. (1) Sei f 2 Isom(V, f ) mit V f 6= ; und a 2 V f ein Fixpunkt. Dann ist nach
Proposition 15.3 g := T a f Ta 2 O(V, ), und also entweder die Identität (V g ist ganz
V ) oder eine Spiegelung (V g ist die Spiegelebene), oder eine echte Drehung (V g ist die
Drehachse), oder eine Drehspiegelung (V g ist der Nullpunkt). Dann gilt
Vf =a+Vg,
und f ist die Identität, eine Spiegelung, eine Drehung oder eine Drehspiegelung.
(2) O↵enbar haben Translationen, Schraubungen und Gleitspiegelungen keine Fixpunkte. Es
bleibt zu zeigen, dass dies die einzigen solchen Transformationen sind. Der Beweis geht analog
zum 2-dimensionalen Fall, Satz 15.12. Sei f 2 Isom(V ). Nach Satz 15.8 kann f geschrieben
werden als f = Ta g mit a 2 V und g 2 O(V, ). Nun ist p 2 V Fixpunkt von f genau
15. Isometrien