Klausur 3 fuer PHYS1100 Grundkurs I

Klausur 3
PHYS1100 Grundkurs I (Physik,
Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)
Othmar Marti, ([email protected])
Prüfungstermin 29. 4. 2006, 09:00 bis 11:00
Name
Vorname
Matrikel-Nummer
Kennwort
Die Prüfungsresultate werden voraussichtlich ab 04. 05. 2006, 14:00 am Anschlagbrett der Abteilung Experimentelle Physik im Treppenhaus N25 Niveau 5
bekanntgegeben. Sie können Ihre Klausur ab dann im Sekretariat Experimentelle
Physik (N25/540) einsehen. Damit Ihr Resultat, sobald vorhanden, per Aushang
vor dem Sekretariat bekanntgegeben werden kann, müssen Sie ein Kennwort (leserlich) angeben.
Aufgabe
Punkte
1
Vom Korrektor auszufüllen:
3
4
5
6
7
2
9
10
11
Prüfer:
IV
ERS
ITÄT
U
L
M
DO
CENDO
·
29. 4. 2006 3. Klausur
·
C
UR
· SCIENDO
ANDO · U
N
Note:
8
Universität Ulm
1
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
Σ
2
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
1
Hinweise zur Bearbeitung der Klausur
Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam
durch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.
1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug, Taschenrechner und 3 Blätter (sechs Seiten, Grösse A4) mit eigener Hand in Handschrift verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack aufbewahrt werden!
2. Die Klausur umfasst:
(a) 1 Deckblatt bestehend aus einer Titelseite und dieser Hinweisseite.
(b) 13 Blätter (13 Seiten) zum Lösen der Aufgaben 1 bis 11.
(c) 4 Blätter (4 Seiten) mit den Aufgaben 2 bis 11.
3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit Name, Vorname und Matrikelnummer in leserlicher Druckschrift aus.
4. Jede Aufgabe ergibt zwischen 2 und 10 Punkten.
5. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der
Aufgabenstellung, soweit angegeben.
6. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen, Ihren Vornamen und
Ihre Matrikelnummer sowie allenfalls eine Seitennummer. Schönschrift
beim Schreiben erleichtert die Korrektur. Unleserliche Teile der
Klausur werden nicht gewertet.
7. Lösen Sie alle Aufgaben auf den Aufgabenblättern. Bei Aufgabe 1 schreiben
Sie bitte in die dafür vorgesehenen Felder.
8. Verwenden Sie die beiliegenden mit den Aufgabennummern versehenen
Blätter zum Lösen der Aufgaben 1 bis 11. Sollte der Platz nicht reichen,
fügen Sie bitte zusätzliche Blätter an, die sie klar und eindeutig beschriften.
Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf dieses Blatt.
Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch.
Viel Erfolg!
29. 4. 2006 3. Klausur
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c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
2
Matrikelnummer
3
Aufgabenblätter
Aufg.: 1 Bitte geben Sie die Resultate dieser Aufgabe auf dem Aufgabenblatt an. Gewertet werden nur die Antworten in den Antwortfeldern. Bei Aufgaben mit
0.5 Punkten müssen jeweils alle Antworten richtig sein um die 0.5 Punkte
zu erhalten.
(a) Die Hauptträgheitsmomente eines Körpers seien Ixx = 5m2 kg, Iyy =
8m2 kg und Izz = 4m2 kg. Ist ein Körper mit diesen Hauptträgheitsmomenten physikalisch realisierbar?
¤ ja
(0.5 Punkte)
¤ nein
(b) Das System aus Erde und Mond
¤
¤
¤
dreht sich um den Massenmittelpunkt der Erde
dreht sich um den Massenmittelpunkt der Venus
dreht sich um den gemeinsamen Massenmittelpunkt von
Erde und Mond
¤ dreht sich um den gemeinsamen Massenmittelpunkt von
Mond und Venus
(0.5 Punkte)
(c) Welche Aussagen sind für Bahnen in drei Dimensionen richtig?
¤
¤
¤
(0.5
Geschwindigkeiten stehen immer normal zur Bahn
Geschwindigkeiten stehen immer tangential zur Bahn
Geschwindigkeiten stehen beliebig zur Bahn
Punkte)
(d) Welche Aussagen sind für Bahnen in drei Dimensionen richtig?
¤
¤
¤
(0.5
Beschleunigungen stehen immer normal zur Bahn
Beschleunigungen stehen immer tangential zur Bahn
Beschleunigungen stehen beliebig zur Bahn
Punkte)
(e) Ein Kraftfeld F (x) sei konservativ. Geben Sie die Definition der potentiellen Energie des Punktes x bezogen auf den Punkt x0 an.
(0.5 Punkte)
29. 4. 2006 3. Klausur
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4
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
(f) Ein Kamin mit einem kreisförmigen, konstanten Querschnitt aus Ziegelsteinen mit morschem Mörtel fällt.
¤ Der Kamin bricht überhaupt nicht.
¤ Der Kamin bricht bei 1/3 von unten.
¤ Der Kamin bricht bei 1/2 von unten.
¤ Der Kamin bricht bei 2/3 von unten.
(0.5 Punkte)
(g) Eine Punktmasse werde mit einer konstanten Kraft beschleunigt. Mit
welcher Potenz nimmt die relativistische kinetische Energie für grosse
Zeiten zu?
¤ null
¤ eins
¤ zwei
¤ drei
(0.5 Punkte)
(h) Drei Drillinge sind, da durch Kaiserschnitt geboren, exakt gleich alt.
Anton bleibt zuhause. Beat reist die Strecke von 0.5 Lichtjahren in
Richtung des Nordpols der Ekliptik, bleibt ein Jahr dort und reist
dann zurück. Carlo reist die Strecke von 0.5 Lichtjahren in Richtung
des Südpols der Ekliptik, bleibt ein Jahr dort und reist dann zurück.
Die Beschleunigungsphasen sowohl für Beat als auch für Carlo werden
vernachlässigt. Beat und Carlo haben identische Raumschiffe, d.h. der
Betrag ihrer Reisegeschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt gleich. Ordnen Sie die drei nach dem Lebensalter in ansteigender Reihe. Vergessen
Sie die Relationszeichen nicht!
Antwort:
...
...
(0.5 Punkte)
(i) Ein mathematisches Pendel (Punktmasse m = 100g, Fadenlänge ` =
1m werde auf verschiedenen Planeten und an verschiedenen Orten mit
sehr kleiner Amplitude zum Schwingen gebracht. Ordnen Sie die folgenden Orte nach der Schwingungsfrequenz, mit der niedrigsten Frequenz zuerst.
i. Erde am Strand des Pfuhler Baggersees.
ii. In einem U2-R Spionageflugzeug, das die am Strand des Pfuhler Baggersees liegende Studentengruppe in 20000m Höhe über
Grund überfliegt.
iii. Auf der Oberfläche der Sonne.
iv. Oberfläche des Mondes.
v. Am Massenmittelpunkt des Jupiter
Antwort:
<
<
<
<
(0.5 Punkte)
29. 4. 2006 3. Klausur
4
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°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
5
(j) CO2 ist ein lineares Molekül, mit den beiden O aussen. O2 ist auch
ein lineares Molekül. Wir betrachten eine Rotation um eine Drehachse
durch den Massenmittelpunkt der jeweiligen Moleküle. Die Drehachse sei senkrecht zur Verbindungslinie der beiden Sauerstoffatome. Die
Bindungslängen O = C und O = O seien gleich. Welche mathematische Relation ( <“, =“, >“) muss zwischen die beiden Trägheits”
”
”
momenten geschrieben werden?
Antwort:
ICO2
(0.5 Punkte)
IO2
(k) Jeweils identische Feder-Masse-Systeme (Federkonstante k, Masse m)
werden auf der Erdoberfläche (in Tegucigalpa ) und auf dem Mars (auf
der Spitze des Olympus Mons) so aufgehängt, dass die Masse über die
Feder mit dem Aufhängepunkt verbunden ist. Zusätzlich wird ein weiteres identisches Feder-Masse-System an einer Raumstation befestigt.
Ordnen Sie die drei Befestigungsorte Erde, Mars und Raumstation nach der Schwingungsfrequenz der dort befestigten Feder-MasseSysteme. Vergessen Sie die Relationszeichen nicht!
Antwort:
...
...
(0.5 Punkte)
(l) Wir betrachten einen getriebenen harmonischen Oszillator mit der Resonanzfrequenz ω0 des ungedämpften Systems und der Güte Q < 12 .
Beantworten Sie die beiden Fragen:
Die Phase zwischen Anregung und Oszillator bei ω0 ist
Die Steigung der Phase bei ω0 ist
(0.5 Punkte)
Σ : 6 Punkte
g
10ms−2
G 6.67 · 10−11 m3 kg −1 s−2
c
300M m/s
29. 4. 2006 3. Klausur
5
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
6
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
Aufg.: 2
29. 4. 2006 3. Klausur
6
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University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
7
Aufg.: 3
29. 4. 2006 3. Klausur
7
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°2005
University Ulm, Othmar Marti
8
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
Aufg.: 4
29. 4. 2006 3. Klausur
8
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°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
9
Aufg.: 5
29. 4. 2006 3. Klausur
9
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
10
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
Aufg.: 6
29. 4. 2006 3. Klausur
10
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
11
Aufg.: 7
29. 4. 2006 3. Klausur
11
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University Ulm, Othmar Marti
12
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
Aufg.: 8
29. 4. 2006 3. Klausur
12
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
13
Aufg.: 9
29. 4. 2006 3. Klausur
13
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University Ulm, Othmar Marti
14
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
Aufg.: 10
29. 4. 2006 3. Klausur
14
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°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
15
Aufg.: 11
29. 4. 2006 3. Klausur
15
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University Ulm, Othmar Marti
16
3. Klausur Name:
3
Aufgabentexte
Matrikelnummer
2. Eine Mücke (modelliert als Zylinder mit der Länge ` = 5mm und dem
Durchmesser D = 2mm, mit der Dichte ρ = 1200kg/m3 ) kann zum Beschleunigen aus der Ruhelage eine Kraft von F = 400µN aufbringen. Wie
gross sind die anfänglichen Beschleunigungen horizontal und vertikal?
Σ : 2 Punkte
3. In der Relativitätstheorie kann eine eindimensionale Bewegung mit einem
x − ct-Diagramm dargestellt werden. Welche Winkel zur ct-Achse haben die
Weltlinien eines Fahrrades mit 5m/s, eines Autos mit 120km/h und eines
Protons mit 0.5c?
Σ : 2 Punkte
4. Ein leerer ICE 1 mit einer Gesamtmasse von m = 795000kg und einer
Antriebsleistung von zwei mal 3400kW fährt die Geislinger Steige hoch.
Diese Bahnstrecke hat eine Steigung von 2.25%.
(a) Wie schnell kann der ICE maximal die Geislinger Steige hochfahren?
(2 Punkte)
(b) Ein vollbesetzter ICE 1 befördert 700 Passagiere jeweils mit einer angenommenen Masse von 80kg. Wie hoch ist jetzt die Maximalgeschwindigkeit? (1 Punkt)
Σ : 3 Punkte
5. Sie spielen mit einer Rassel (Rahmen der Masse M und entlang des Drahtes
frei bewegliche Masse m) und schütteln sie entlang der z-Achse.
Sie beschleunigen mit der Kraft F (zusätzlich
zur Gravitationskraft FG ) die Rassel nach oben
(+z) und nach unten. Wie gross ist dann jeweils
die Anfangsbeschleunigung aus der Ruhe für die
Bewegung nach oben oder unten? Der Feldvektor der Gravitation sei g und zeige in die −zRichtung.
Σ : 3 Punkte
29. 4. 2006 3. Klausur
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University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
17
6. Ein Schiff wird mit einem unzerreissbaren, masselosen und beliebig biegbaren Tau an einem Poller befestigt.
Das Tau wird in 4 Windungen (Windung an Windung mit einem kleinen Zwischenraum,ohne Überkreuzungen) um den Poller mit r = 20cm
gelegt. Der Haftreibungskoeffizient zwischen dem Tau und dem Poller sei
µHR = 0.2. Das Schiff zieht mit F = 100kN am Tau. Wie gross ist die
Kraft, die ein Matrose am anderen Ende des Taus aufbringen muss, damit
das Schiff in Ruhe gehalten werden kann?
Σ : 6 Punkte
7. Bei einem Kollergang wird ein Rad der Masse m im Kreis um eine zentrale
Befestigung geführt und rollt in der Horizontalebene, wobei die Radachse
(masselos) in 0 gelenkig und reibungsfrei gelagert sei. Berechne den Normaldruck als Funktion der Winkelgeschwindigkeit ω der Radumdrehung.
Σ : 6 Punkte
8. An einem Rahmen ohne Dicke mit der Linienmassendichte λ (mit der Einheit kg/m) ist oben in der Mitte am Punkt B an einer masselosen Schnur
29. 4. 2006 3. Klausur
17
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University Ulm, Othmar Marti
18
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
der Länge ` < a/2 die Masse m befestigt. Der Rahmen habe die Breite a
und die Höhe h. Der Rahmen wird nun um die Kante beim Punkt A um
den Winkel α gekippt.
(a) Berechnen Sie die Höhe des Schwerpunktes des Systems aus Rahmen
und Pendel in Abhängigkeit von α. (3 Punkte)
(b) Berechnen Sie den horizontalen
Abstand des Schwerpunktes des
Systems aus Rahmen und Pendel
von der Kante im Punkt A in
Abhängigkeit von α. (2 Punkte)
(c) Berechnen Sie den Winkel αK , bei
dem der Rahmen zu kippen beginnt. (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
9. Wir betrachten die Bewegung eines Massenpunktes m auf der Erdoberfläche
in einem mitgeführten lokalen Koordinatensystem x0 , y 0 , z 0 . z 0 zeigt radial
vom Erdmittelpunkt weg, x0 zeigt nach Osten, y 0 zeigt nach Norden. Dieser
Massenpunkt bewege sich mit der Geschwindigkeit v 0 auf der Oberfläche
nach Norden.
(a) Der Massenpunkt sei in der geographischen Breite ϑ (mit der Beziehung θ = π/2 − ϑ). Die Erdrotation hat eine Komponente senkrecht
zur Tangentialebene. Wie gross ist der Betrag dieser Winkelgeschwindigkeit? (1 Punkt)
(b) Wie gross ist an diesem Punkt der Betrag der Corioliskraft-Komponente
in der x0 y 0 -Ebene? (1 Punkt)
(c) Wie gross ist die Bahnkrümmung in der x0 y 0 -Ebene bedingt durch die
Corioliskraft-Komponente in dieser Ebene? (2 Punkte)
(d) Wie gross ist die Bahnkrümmung in einer geographischen Breite von
π/4, wenn v 0 = 20m/s ist? (1 Punkt)
0
(e) Die Geschwindigkeit vO
zeige nun nach Osten (x0 -Richtung). Wie gross
ist an diesem Punkt der Betrag der Corioliskraft-Komponente in der
x0 y 0 -Ebene? (2 Punkte)
(f) Wie gross ist die daraus resultierende Bahnkrümmung in der x0 y 0 0
= 20m/s ist?
Ebene in der geographischen Breite von π/4, wenn vO
(1 Punkt)
29. 4. 2006 3. Klausur
18
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
19
Σ : 8 Punkte
10. Wir modellieren die Raumstation ISS als eine Linie der Länge ` mit der
konstanten Linienmassendichte λ. Die ISS sei um den Winkel α gegen die
Verbindungslinie zwischen Schwerpunkt und Erdmittelpunkt geneigt. Die
Erde habe den Erdradius RE und die Masse mE , der Schwerpunkt der
ISS sei im Abstand r von der Oberfläche der als perfekte homogene Kugel
angenommenen Erde. Es sei ` ¿ r.
(a) Linearisieren Sie das Kraftgesetz um den Abstand r. (1 Punkt)
(b) Berechnen Sie die Kraft auf den Massenmittelpunkt. (2 Punkte)
(c) Berechnen Sie das resultierende Drehmoment bezüglich des Massenmittelpunktes der ISS. (3 Punkte)
(d) In welchem Abstand liegt der Schwerpunkt vom Massenmittelpunkt?
(2 Punkte)
Σ : 8 Punkte
11. Ein massiver Torbogen aus Uran (Linienmassendichte λ) werde durch einen
Halbkreis mit infinitesimal kleiner Ausdehnung senkrecht zum Torbogen
(Kreissegment) modelliert.
(a) Berechnen sie die x-Komponente des Feldvektors der Gravitation entlang der xAchse. (5 Punkte)
(b) Berechnen Sie die y-Komponente des Feldvektors der Gravitation entlang der xAchse. (1 Punkt)
(c) Berechnen Sie die z-Komponente des Feldvektors der Gravitation entlang der xAchse. (4 Punkte)
Σ : 10 Punkte
Gesamt-Σ: 60 Punkte. Zum Bestehen werden 20 Punkte benötigt.
29. 4. 2006 3. Klausur
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°2005
University Ulm, Othmar Marti
20
3. Klausur Name:
4
Lösungen
Matrikelnummer
1. Bitte geben Sie die Resultate dieser Aufgabe auf dem Aufgabenblatt an. Gewertet werden nur die Antworten in den Antwortfeldern. Bei Aufgaben mit
0.5 Punkten müssen jeweils alle Antworten richtig sein um die 0.5 Punkte
zu erhalten.
(a) Die Hauptträgheitsmomente eines Körpers seien Ixx = 5m2 kg, Iyy =
8m2 kg und Izz = 4m2 kg. Ist ein Körper mit diesen Hauptträgheitsmomenten physikalisch realisierbar?
£ ja
(0.5 Punkte)
¤ nein
(b) Das System aus Erde und Mond
¤ dreht sich um den Massenmittelpunkt der Erde
¤ dreht sich um den Massenmittelpunkt der Venus
£ dreht sich um den gemeinsamen Massenmittelpunkt von
Erde und Mond
¤ dreht sich um den gemeinsamen Massenmittelpunkt von
Mond und Venus
(0.5 Punkte)
(c) Welche Aussagen sind für Bahnen in drei Dimensionen richtig?
¤
£
¤
(0.5
Geschwindigkeiten stehen immer normal zur Bahn
Geschwindigkeiten stehen immer tangential zur Bahn
Geschwindigkeiten stehen beliebig zur Bahn
Punkte)
(d) Welche Aussagen sind für Bahnen in drei Dimensionen richtig?
¤
¤
£
(0.5
Beschleunigungen stehen immer normal zur Bahn
Beschleunigungen stehen immer tangential zur Bahn
Beschleunigungen stehen beliebig zur Bahn
Punkte)
(e) Ein Kraftfeld F (x) sei konservativ. Geben Sie die Definition der potentiellen Energie des Punktes x bezogen auf den Punkt x0 an.
Epot = −
Rx
x0 , Bahn s
F (x̂(s)) · t(x̂(s))ds mit t der Tangentenvektor
(0.5 Punkte)
29. 4. 2006 3. Klausur
20
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
21
(f) Ein Kamin mit einem kreisförmigen, konstanten Querschnitt aus Ziegelsteinen mit morschem Mörtel fällt.
¤ Der Kamin bricht überhaupt nicht.
£ Der Kamin bricht bei 1/3 von unten.
¤ Der Kamin bricht bei 1/2 von unten.
¤ Der Kamin bricht bei 2/3 von unten.
(0.5 Punkte)
(g) Eine Punktmasse werde mit einer konstanten Kraft beschleunigt. Mit
welcher Potenz nimmt die relativistische kinetische Energie für grosse
Zeiten zu?
¤ null
£ eins
¤ zwei
¤ drei
(0.5 Punkte)
(h) Drei Drillinge sind, da durch Kaiserschnitt geboren, exakt gleich alt.
Anton bleibt zuhause. Beat reist die Strecke von 0.5 Lichtjahren in
Richtung des Nordpols der Ekliptik, bleibt ein Jahr dort und reist
dann zurück. Carlo reist die Strecke von 0.5 Lichtjahren in Richtung
des Südpols der Ekliptik, bleibt ein Jahr dort und reist dann zurück.
Die Beschleunigungsphasen sowohl für Beat als auch für Carlo werden
vernachlässigt. Beat und Carlo haben identische Raumschiffe, d.h. der
Betrag ihrer Reisegeschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt gleich. Ordnen Sie die drei nach dem Lebensalter in ansteigender Reihe. Vergessen
Sie die Relationszeichen nicht!
Antwort:
Beat = Carlo < Anton
oder
Antwort:
Carlo = Beat < Anton
(0.5 Punkte)
(i) Ein mathematisches Pendel (Punktmasse m = 100g, Fadenlänge ` =
1m werde auf verschiedenen Planeten und an verschiedenen Orten mit
sehr kleiner Amplitude zum Schwingen gebracht. Ordnen Sie die folgenden Orte nach der Schwingungsfrequenz, mit der niedrigsten Frequenz zuerst.
i. Erde am Strand des Pfuhler Baggersees.
ii. In einem U2-R Spionageflugzeug, das die am Strand des Pfuhler Baggersees liegende Studentengruppe in 20000m Höhe über
Grund überfliegt.
iii. Auf der Oberfläche der Sonne.
iv. Oberfläche des Mondes.
v. Am Massenmittelpunkt des Jupiter
29. 4. 2006 3. Klausur
21
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
22
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
Antwort:
(v) < (iv) < (ii) < (i) < (iii)
(0.5 Punkte)
(j) CO2 ist ein lineares Molekül, mit den beiden O aussen. O2 ist auch
ein lineares Molekül. Wir betrachten eine Rotation um eine Drehachse
durch den Massenmittelpunkt der jeweiligen Moleküle. Die Drehachse sei senkrecht zur Verbindungslinie der beiden Sauerstoffatome. Die
Bindungslängen O = C und O = O seien gleich. Welche mathematische Relation ( <“, =“, >“) muss zwischen die beiden Trägheits”
”
”
momente geschrieben werden?
Antwort:
ICO2
>
(0.5 Punkte)
IO2
(k) Jeweils identische Feder-Masse-Systeme (Federkonstante k, Masse m,
Feder masselos) werden auf der Erdoberfläche (in Tegucigalpa ) und
auf dem Mars (auf der Spitze des Olympus Mons) so aufgehängt,
dass die Masse über die Feder mit dem Aufhängepunkt verbunden
ist. Zusätzlich wird ein weiteres identisches Feder-Masse-System an
einer Raumstation befestigt. Ordnen Sie die drei Befestigungsorte Erde, Mars und Raumstation nach der Schwingungsfrequenz der dort
befestigten Feder-Masse-Systeme. Vergessen Sie die Relationszeichen
nicht!
Antwort:
Erde = M ars = Raumstation
(0.5 Punkte)
(l) Wir betrachten einen getriebenen harmonischen Oszillator mit der Resonanzfrequenz ω0 des ungedämpften Systems und der Güte Q < 12 .
Beantworten Sie die beiden Fragen:
Die Phase zwischen Anregung und Oszilla- π/2
tor bei ω0 ist
Die Steigung der Phase bei ω0 ist
2Q/ω0
(0.5 Punkte)
Σ : 6 Punkte
29. 4. 2006 3. Klausur
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c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
23
2. Die Masse der Mücke ist
mM = ρ V = ρ `
π 2
D = 18.85 · 10−6 kg
4
(0.5 Punkte)
Also ist horizontal
aH =
F
m
F
=
π 2 = 21.22 2
mM
ρ ` 4D
s
(0.5 Punkte)
Vertikal haben wir
aV =
F − FG
mM
(0.5 Punkte)
=
F − ρ ` π4 D2 g
m
= aH − g = 11.22 2
π 2
ρ ` 4D
s
(0.5 Punkte)
Σ : 2 Punkte
3.
v
c
0 ≤ α ≤ 45◦
tan α =
(0.5 Punkte)
- Fahrrad:v = 5 ms
- Auto:
v = 33,3 ms
- Proton: v = 0.5c
te
α = 9,55 · 10−7
α = 6,37 · 10−6
α = 26.56 ◦
◦
◦
(0.5 Punkte)
(0.5 Punkte)
(0.5 Punkte)
Σ : 2 Punk-
4. (a) Bei einer Steigung von S wird (im Grenzfall kleiner Steigung) mit der
zurückgelegten Strecke x die Höhe
h=S·x
(0.5 Punkte)
gewonnen. Dies entspricht einer Zunahme der potentiellen Energie von
Epot = m g h = m g S x
(0.5 Punkte) und einer Leistung von
P =mgSv
29. 4. 2006 3. Klausur
23
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
24
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
(0.5 Punkte) Also
v=
P
2 · 3400kW
=
= 38m/s
mgS
795000kg · 10N/kg · 0.0225
(0.5 Punkte)
(b) Die Masse nimmt um
∆m = 700 · 80kg = 56000kg
(0.5 Punkte)
zu. Nun ist
v=
P
2 · 3400kW
=
= 35.5m/s
mgS
(795000kg + 56000kg) · 10N/kg · 0.0225
(0.5 Punkte)
Σ : 3 Punkte
5. 2 Situationen
• Bewegung nach oben , Masse m + M wird beschleunigt
(0.5 Punkte)
• Bewegung nach unten , Masse M wird beschleunigt, bei m müssen
Trägheitskräfte verwendet werden. (0.5 Punkte)
nach oben:
→ Trägheitskraft (m + M ) · a (0.5 Punkte)
Gegenkraft: Gravitation (m + M )g
Fg + F = (m + M ) (a + g)
F
aoben =
m+M
(0.5 Punkte)
nach unten: (Die Kugel kann sich nach oben bewegen)
• Trägheitskraft des Rahmens −M · a
• Gegenkraft der Gravitation (m + M )g (0.5 Punkte)
29. 4. 2006 3. Klausur
24
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
25
• Trägheitskraft auf Kugel: 0 (da frei)
FG − F = −Ma + (m + M )g
F
⇒ aunten =
M
(0.5 Punkte)
Σ : 3 Punkte
6. Wir betrachten ein kurzes Stück des Seiles mit der infinitesimalen Bogenlänge rdφ. Da das Seil in Ruhe ist, müssen die Kräfte nach links und
die Kräfte nach rechts gleich sein. (0.5 Punkte)
(1.5 Punkte)
Da wir eine infinitesimale Bogenlänge betrachten, können wir auf der rechten Seite die Reibungskraft und die verbleibende Seilspannung zusammenzählen.
F (φ) + [−F (φ + dφ) − FR ] = 0 ⇒ dF (φ) = F (φ + dφ) − F (φ) = −FR
(0.5 Punkte)
Die Normalkraft ist (ähnliche Dreiecke, kleine Winkel)
FN = F dφ
(0.5 Punkte)
Damit ist
FR = µHR FN = µHR F dφ
(0.5 Punkte)
Die Änderung der Kraft entlang des Seiles für die Bogenlänge rdφ ist dann
dF (φ) = −FR = −µHR F dφ
(0.5 Punkte)
oder
dF
= −µHR dφ
F
(0.5 Punkte)
Die Lösung ist
ZF
F0
29. 4. 2006 3. Klausur
dF̂
F̂
µ
= ln
F
F0
¶
Zφ
dφ̂ = −µHR φ
= −µHR
0
25
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
26
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
(0.5 Punkte)
oder
F (φ) = F0 e−µHR φ
(0.5 Punkte)
In unserer Aufgabe ist φ = 8π und µHR = 0.2 Eingesetzt bekommt man
F (4π) = 100000N e−0.2·8π = 100000N e−1.6π = 656N
(0.5 Punkte)
Σ : 6 Punkte
7.
• Das Rad legt den Weg 2πa zurück und dreht sich dabei
Also ist ω = ar Ω. (1 Punkt)
2πa
2πr
= a/r mal.
• Wenn ω nach rechts zeigt, muss Ω nach unten zeigen.
• ω + Ω zeigt auf den Mittelpunkt der Auflagelinie. ω + Ω ist die momentane Drehachse. (1 Punkt)
• Der Drehimpuls des Rades zeigt nach rechts.
• M=
dL
dt
(1 Punkt)
• Die Drehimpulsänderung durch Ω bewirkt ein Drehmoment. In der
Zeit dt ändert sich L = IRad ω um dL = LΩdt = IRad ωΩdt (1 Punkt)
• Also ist M = IRad ωΩ = IRad Ω2 ar = 12 mr2 Ω2 ar =
ar
mΩ2 .
2
(1 Punkt)
• Die resultierende Normalkraft minus die Gewichtskraft ist das DrehmΩ2 und damit
moment und gleich a(N − mg) = ar
2
¤
£
• N = mg + 2r mΩ2 = m g + 2r Ω2 (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
29. 4. 2006 3. Klausur
26
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
27
8. Wir verwenden ein rechtshändiges Koordinatensystem mit dem Nullpunkt
in A, einer horizontalen x-Achse und einer nach oben zeigenden z-Achse.
Der Schwerpunkt des Rahmens ist bei (a/2, h/2). Im gedrehten Falle liegt
der Schwerpunkt des Rahmens bei
µ a
¶
h
cos
α
−
sin
α
2
2
r s, Rahmen =
a
sin α + h2 cos α
2
(0.5 Punkte)
Die Masse des Rahmens ist
mRahmen = (2a + 2h)λ = 2λ(a + h)
Die Masse m liegt ` unter B. Die Koordinaten von B sind (a/2, h). B liegt
im gedrehten Falle bei
µ a
¶
cos α − h sin α
2
xB =
a
sin α + h cos α
2
m liegt bei
µ
xm =
a
2
cos α − h sin α
a
sin α + h cos α − `
2
¶
(0.5 Punkte)
(a) Zur Berechnung des Schwerpunktes müssen die Koordinaten gewichtet
mit den Massen zusammengezählt werden.
zs, gesamt =
(1 Punkt)
£
zs, gesamt
mRahmen
m
zs, Rahmen +
zm
m + mRahmen
m + mRahmen
¢
¡
¢¤
sin α + h2 cos α + m a2 sin α + h cos α − `
=
m + 2λ(a + h)
¡
¢
(λh(a + h) + mh) cos α + λa(a + h) + am
sin α − m`
2
=
m + 2λ(a + h)
2λ(a + h)
¡a
2
(1 Punkt)
(b) Analog wie vorhin
xs, gesamt =
29. 4. 2006 3. Klausur
m
mRahmen
xs, Rahmen +
xm
m + mRahmen
m + mRahmen
27
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
28
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
(1 Punkt)
£
xs, gesamt
¡a
¢
¡
¢¤
cos α − h2 sin α + m a2 cos α − h sin α
=
m + 2λ(a + h)
¡
¢
am
λa(a + h) + 2 cos α − (λh(a + h) + hm) sin α
=
m + 2λ(a + h)
2λ(a + h)
2
(1 Punkt)
(c) Die Bedingung ist, dass xs, gesamt = 0 ist.
¡
am
2
¢
cos αk − (λh(a + h) + hm) sin αk
m + 2λ(a + h)
³
am ´
cos αk − (λh(a + h) + hm) sin αk
0 = λa(a + h) +
2 ´
³
am
(λh(a + h) + hm) sin αk = λa(a + h) +
cos αk
2
λa(a + h) + am
sin α
2
tan αk =
=
cos α
λh(a + h) + hm
·
¸
λa(a + h) + am
2
αk = arctan
λh(a + h) + hm
0=
λa(a + h) +
(1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
9. (a) Winkelgeschindigkeit der Erde: ωErde
ω⊥
= sin ϑ
ωErde
ω⊥ = ωErde · sin ϑ
(1 Punkt)
(b) Corioliskraft: (hier zeigt die Corioliskraft in die x0 -Richtung)
29. 4. 2006 3. Klausur
28
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
29
|Fc | = m · 2 |v 0 × ω| = 2mv 0 ωErde sin ϑ
(1 Punkt)
(c) Zentripetalkraft
Fz = m
v 02
rBahn
(1 Punkt)
|Fz | = |Fc |
v 02
⇒ 2mv 0 ωErde · sin ϑ = m
rBahn
v0
rBahn =
2ωErde sin ϑ
(1 Punkt)
(d)
rBahn =
20 ms
10m · 86400
√
= 194468m
π =
1
2 · 2 · π · 86400s · sin 4
π 2
(1 Punkt)
(e) v 0 nach Osten ⇒ ω Erde ⊥ v 0 und zeigt weg von der Drehachse
(1 Punkt)
⇒ |Fc | = 2mv 0 ωErde
(1 Punkt)
(f)
rBahn =
20 ms
v0
10 · 86400
=
m = 137510m
=
1
2ωErde
2π
2 · 2 · π 86400s
(1 Punkt)
Σ : 8 Punkte
10. (a) Das Kraftgesetz lautet
F (r̂) = −G
29. 4. 2006 3. Klausur
29
mE m
r̂2
c
°2005
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30
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
Hier ist r̂ = RE + r + z, wobei z ¿ r ist. (0.5 Punkte)
Also ist
F (RE +r+z) = F (RE +r)+
dF (RE + r + z)
mE m
mE m
z = −G
+2G
z
2
dz
(RE + r)
(RE + r)3
(0.5 Punkte)
(b) Wir verwenden das folgende Koordinatensystem:
z = x cos α
dm = λdx
mE dm
mE dm
+ 2G
x cos α
2
(RE + r)
(RE + r)3
mE λ
mE λ
= −G
dx + 2G
x cos αdx
2
(RE + r)
(RE + r)3
dF (x) = −G
Kraft auf den Massenmittelpunkt (Der Massenmittelpunkt ist in der Mitte!)
Z`/2 ·
FM M =
−`/2
¸
mE λ
mE λ
−G
+ 2G
x cos α dx
(RE + r)2
(RE + r)3
(1 Punkt)
FM M
mE λ
= −G
(RE + r)2
Z`/2 ·
−`/2
¸
2x
1−
cos α dx
RE + r
·
¸`/2
mE λ
x2
= −G
x−
cos α
dx
(RE + r)2
(RE + r)
−`/2
= −G
mE m
mE λ`
= −G
2
(RE + r)
(RE + r)2
mit m = λ`. (1 Punkt)
(c) Das Drehmoment bezogen auf den Massenmittelpunkt von dm ist
dT (x) = x sin αdF (x)
29. 4. 2006 3. Klausur
30
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
¸
mE λ
mE λ
dT (x) = x sin α −G
+ 2G
x cos α dx
(RE + r)2
(RE + r)3
·
¸
mE λ
2x
= −G
x sin α 1 −
cos α dx
(RE + r)2
RE + r
¸
Z`/2 ·
mE λ
2x2
TM M = −G
sin α
x−
cos α dx
(RE + r)2
RE + r
31
·
(1 Punkt)
−`/2
· 2
¸`/2
x
mE λ
2x3
sin α
= −G
−
cos α
(RE + r)2
2
3(RE + r)
−`/2
TM M
(1 Punkt)
·
¸
mE λ
2`3
2(−`)3
= −G
sin α −
cos α +
cos α
(RE + r)2
24(RE + r)
24(RE + r)
mE λ
`3
=G
sin
α
cos α
(RE + r)2
6(RE + r)
mE λ`3
sin α cos α
=G
6(RE + r)3
mE λ`3
=G
sin(2α)
(1 Punkt)
12(RE + r)3
(d) Hier benötigen wir die Definition des Schwerpunktes (Richtungen müssen
wir nicht berücksichtigen, da wir linearisiert rechnen.) Der Massenmittelpunkt ist bei 0.
`/2
R
x · dF (x)
xS =
−`/2
`/2
R
dF (x)
−`/2
λ`
(1 Punkt) Den Nenner kennen wir: −G (RmEE+r)
2 . Der Zähler ergibt
Z`/2 ·
Z`/2
x · F (x)dx =
−`/2
29. 4. 2006 3. Klausur
−`/2
¸
mE λ
mE λ
2
x + 2G
x cos α dx
−G
(RE + r)2
(RE + r)3
· 2
¸`/2
mE λ
x
2x3
= −G
−
cos α
(RE + r)2 2
3(RE + r)
−`/2
·
¸
3
3
mE λ
`
(−`)
=G
−
cos α
(RE + r)2 12(RE + r) 12(RE + r)
mE λ`3
cos α
=G
6(RE + r)3
31
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
32
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
Also ist
3
xS =
mE λ`
G 6(R
3 cos α
E +r)
λ`
−G (RmEE+r)
2
=−
`2 cos α
6(RE + r)
(1 Punkt)
Σ : 8 Punkte
11. Der Bogen wird durch
yB = r sin ϕ
zB = r cos ϕ
mit ϕ = − π2 ... π2 beschrieben.
(a) x-Komponente
x
cos α
` 2 = x2 + r 2
`=
(1 Punkt)
Gλds
Gλds
dgx = dg · cos α = − 2 cos α = − 2 cos α
`
`
Z
Z
Gλ cos α
ds
gx =
dgx = −
`2
Bogen
Gλ cos αr
=−
`2
Zπ/2
dφ = −
Gπrλ cos α
`2
−π/2
(2 Punkte)
nun ist
cos α =
x
x
=√
`
x2 + r 2
(1 Punkt)
also
gx = −Gπrλ
x
3
(x2 + r2 ) 2
(1 Punkt)
(b) Der Torbogen ist symmetrisch gegen Spiegelungen an der xz-Ebene
also ist gy auf der x-Achse 0
29. 4. 2006 3. Klausur
32
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
3. Klausur Name:
Matrikelnummer
33
gy (x) = 0
(1 Punkt)
(c) z-Komponente
dgz = dg · cos ϕ · sin α
Z
gz =
dgz
Bogen
Gλ sin α
=
l2
Z
cos ϕds
Vorzeichen und Richtung beachten!
(1 Punkt)
mit
s = rϕ
ds = rdϕ
ist
(1 Punkt)
π
Gλ sin α
gz =
`2
=
cos ϕrdϕ
− π2
2Gλr sin α
`2 s
2Gλr
= 2
x + r2
2Gλr
= 2
x + r2
¯π
¯2
Gλr sin α
¯
=
·
(sin
ϕ)
¯ π
`2
−
Z2
1−
r
2
2Gλr sin α
x2 + r 2
r
2Gλr
x2
= 2
1
−
x + r2
x2 + r 2
=
µ
x
√
2
x + r2
r2
x2 + r 2
¶2
=
2Gλr2
(x2 + r2 )3/2
(2 Punkte)
Σ : 10 Punkte
29. 4. 2006 3. Klausur
33
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti
34
3. Klausur Name:
5
Notenskala
Matrikelnummer
Punkte
Note
0-19.5
5
20-22.5
4
23-24.5
3.7
25-27.5
3.3
28-29.5
3
30-31.5
2.7
32-33.5
2.3
34-35.5
2
36-37.5
1.7
38-39.5
1,3
40-60
1
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Σ
29. 4. 2006 3. Klausur
Anzahl
Punkte
6
2
2
3
3
6
6
6
8
8
10
60
34
c
°2005
University Ulm, Othmar Marti