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MATHEMATIK 3:
EINFÜHRUNG IN DIE STOCHASTIK
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Programm für heute
Organisatorisches
Kurzer Überblick: Was ist Stochastik? / Unterschied Wahrscheinlichkeitstheorie – Statistik
Kapitel 1: Wahrscheinlichkeitsräume
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ORGANISATORISCHES
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Termine
Dienstag 11.45 – 14.00 Uhr (maximal)
Mittwoch 08.15 – 09.45 Uhr
Mittwoch, 8. Februar fällt aus!!!!
Bei Bedarf: Zusatztermin zur Klausurvorbereitung DI 14. oder MI 15. Februar nachmittags
Individuelle Sprechstunde nach vorheriger Anmeldung (Raum 2413):
Dienstag Nachmittag
Mittwoch 10 – 12 Uhr
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Folien
Die neuen Folien werden spätestens Montag Nachmittag im Mathe 3 – Ordner bereitgestellt.
Die Folien enthalten nicht die vollständige Vorlesung: Beweise oft an der Tafel!
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Fragen???
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EINFÜHRUNG IN DIE STOCHASTIK:
WAS IST STOCHASTIK?
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Einführung
Die Wissenschaft vom Zufall wird als „Stochastik“ bezeichnet.
Der Name ist vom griechischen „ στοχαστικὴ τέχνη“ (stochastike techne) abgeleitet.
Das bedeutet so viel wie „die Kunst des Vermutens“.
Die Stochastik untergliedert sich in
• Wahrscheinlichkeitstheorie
• Statistik
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Wahrscheinlichkeitstheorie 1
• Analyse zufälliger Ereignisse
• Theoretische Untersuchung von charakteristischen „Wahrscheinlichkeits-Verteilungen“
(am bekanntesten: Normalverteilung)
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Wahrscheinlichkeitstheorie 2
• Für ein Ereignis werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen möglichen Ausgänge berechnet.
• Dabei wird eine Modellannahme getroffen.
Beispiel:
• Ein Würfel wird geworfen.
• Annahme: Jede Zahl hat die gleiche Chance.
• Jede Zahl hat die Wahrscheinlichkeit 1/6.
Es wird bestimmt, wie die Verteilung der Ausgänge aussehen müßte.
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Statistik 1
• Analyse empirischer Daten (Umfrage, Messdaten….)
• Stammen Daten aus einer bestimmten Verteilung?
• Mehrere Stichproben: Stammen beide aus gleicher Verteilung?
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Statistik 2
Beispiel:
Betrachte die Ergebnisse von 50 Würfen.
Manche Zahlen kommen deutlich häufiger vor als andere.
Frage: Ist der Würfel fair?
Die Statistik entwickelt Methoden, um dies zu testen!
Die Statistik testet, ob
• unter einer bestimmten Modellannahme
• die beobachteten Ergebnisse zu diesem Modell passen
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Statistik 3
Weiteres Beispiel:
Bei der Körpergröße wird meist davon ausgegangen, dass sie einer Normalverteilung entspricht.
Durchschnittliche Körpergröße in Deutschland (Statistisches Bundesamt 2013):
Männer 1,78 m
Frauen 1,65 m
Frage: Entspricht Größenverteilung einer
bestimmten Gruppe der Verteilung
In der Gesamtbevölkerung?
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Wahrscheinlichkeitstheorie: Historische Anfänge
29. Juli 1654: Blaise Pascal beschreibt in einem Brief an Pierre de Fermat zwei Probleme,
die ihm von seinem Freund Antoine Gombaud, Chevalier de Méré zugetragen wurden:
Pascal
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Fermat
Chevalier de Méré
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De Méré‘sches Problem
Aufteilungsparadoxon
Zwei Spieler (A und B) spielen ein gerechtes (= jeder Spieler hat gleiche Gewinnchance) Spiel auf sechs
Gewinnsätze. Es muss beim Stande von fünf (A) zu drei (B) Gewinnsätzen abgebrochen werden. Wie teilt
man den Siegespreis gerecht auf?
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Anfänge der Statistik
Volkszählungen schon in der Antike
Es begab sich aber zu der Zeit, dass ein Gebot von
dem Kaiser Augustus ausging, dass alle Welt
geschätzt würde. Und diese Schätzung war die
allererste und geschah zur Zeit, da Quirinius
Statthalter in Syrien war.
Lukas 2,1-2
Pieter Bruegel d. Ä.: Volkszählung zu Bethlehem (1566)
Moderne schließende Statistik: Anfänge Ende 18. Jahrhundert
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Gliederung der Vorlesung
1 Wahrscheinlichkeitsräume
10.01.
2 Kombinatorik
11.01./17.01.
3 Zufallsvariablen (diskreter Fall) und diskrete Verteilungen
18.01./24.01.
4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Stochastische Unabhängigkeit
25.01./31.01.
5 Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen
01.02.
6 Deskriptive Statistik
07.02.
7 Schätzen und Testen
14.02./15.02.
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Literatur
Grundlage:
Henze, Norbert: Stochastik für Einsteiger, Vieweg+Teubner 2013 (10. Auflage).
Als elektronische Ressource in Bibliothek verfügbar!
Ergänzung für Statistik – Teil:
Fahrmeir, Ludwig; Heumann, Christian; Künstler, Rita; Pigeot, Iris; Tutz, Gerhard:
Statistik. Der Weg zur Datenanalyse, Springer Spektrum 2016 (8. Auflage).
Als elektronische Ressource in Bibliothek verfügbar!
Für besonders Interessierte (mathematisch anspruchsvoller):
Behrends, Erhard: Elementare Stochastik, Springer Spektrum 2013,
Kapitel 1-8. Als elektronische Ressource in Bibliothek verfügbar!
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KAPITEL 1
WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME
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Einführung
Mathematik verwendet oft idealisierte Modelle zur Beschreibung von Sachverhalten.
D. h.: Diese Modelle sind so in der realen Welt nicht zu finden. Sie eignen sich aber trotzdem gut
zur Beschreibung realer Sachverhalte.
Beispiele:
1) In der Natur gibt es keine exakten Kreise, aber trotzdem gibt es in der Mathematik Formeln
zur Berechnung von Fläche und Umfang von exakten Kreisen.
2) „Die Länge eines Tisches ist irrational.“: Mathematisch sinnvolle Aussage, aber ohne
Anwendungsbezug (da in Praxis Messen auf mehrere Nachkommastellen nicht möglich).
Wahrscheinlichkeitsräume sind idealisierte Modelle zur Beschreibung von zufälligen
Phänomenen.
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Anwendungsgebiete
Gewinnaussichten bei Glücksspielen
Risikoberechnungen bei Banken und Versicherungen
Wahlprognosen
Wetterprognosen (Niederschlagswahrscheinlichkeit)
Qualitätskontrolle
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Zufallssituationen im Alltag
Würfeln
Kartenspiele
Warteschlangen
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Merkmale der Anwendungssituationen
1. Es wird ein „Zufallsexperiment“ durchgeführt. (Würfeln, Spielkarten verteilen, Analyse von
Wartezeiten, Bestimmung der Anzahl mangelhafter Produkte)
2. Man kennt nicht das genaue Ergebnis, aber die Menge der möglichen Ergebnisse.
3. Manchmal interessiert das genaue Ergebnis, in anderen Fällen ist ausreichend zu wissen, ob das
Ergebnis in einer bestimmten Teilmenge liegt (z. B. bei Qualitätskontrolle Anteil unterhalb einer
Oberschranke).
4. Bei häufiger Durchführung zeichnet sich eine Tendenz ab. (Jede Zahl etwa gleich häufig. / Jede/r
Spieler/in hat manchmal gute und manchmal schlechte Karten. / Durchschnittliche Bedienzeit pro
Kunde bzw. durchschnittliche Fehlerrate stabilisieren sich.)
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Mathematische Formulierung 1: Ereignisse
Ω sei die Menge der Ergebnisse eines Zufallsexperiments (Ergebnisraum).
Die Teilmengen von Ω nennen wir Ereignisse. Die einelementigen Teilmengen ω ∈ Ω sind die
Elementarereignisse.
Sei A ein Ereignis.
(1) A = Ω ist das sichere Ereignis.
(2) A = ∅ ist das unmögliche Ereignis.
Für Ereignisse A und B können mittels mengentheoretischer Operationen neue
Ereignisse konstruiert werden.
Hausaufgabe: Wiederholen Sie die Rechenregeln für Mengen (s. etwa Henze
Kapitel 2)!
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Übung 1
Bestimmen Sie jeweils die Ergebnisräume:
1) Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen.
2) Ein roter Würfel wird zweimal hintereinander geworfen.
3) Zwei rote Würfel werden gleichzeitig geworfen.
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Mathematische Formulierung 2: Endliche W.-Räume
Die Frage nach den Fundamenten der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie
konnte erst 1933 durch die Axiome von A. N. Kolmogorov zufriedenstellend gelöst
werden.
Definition endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (kurz: W-Raum):
Sei Ω ≠ ∅ eine endliche Menge und sei P eine auf den Teilmengen von Ω definierte
reellwertige Funktion mit den Eigenschaften
(a) P(A) ≥ 0 für alle A ⊂ Ω
Nicht-Negativität
(b) P(Ω) = 1
Normiertheit
(c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B), falls A ∩ B = ∅. Additivität
Dann ist (Ω, P) ein endlicher W-Raum mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung (oder dem
Wahrscheinlichkeitsmaß) P.
P(A) heißt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.
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Folgerungen aus den Axiomen
Sei (Ω,P ) ein endlicher W–Raum und A,B,A1,A2, . . . ,An (n ≥ 2) seien Ereignisse. Dann gilt:
a) P(∅) = 0
b) P(∑
Aj) = ∑
P Aj falls A1,A2, . . . ,An paarweise disjunkt sind
endliche Additivität
c) 0 ≤ P(A) ≤ 1
d) P(A) = 1 - P(A)
e) Aus A ⊂ B folgt P(A) ≤ P(B)
f) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
g) P(∪ Aj) ≤ ∑
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P(Aj)
Subadditivität
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Folgerung aus der Additivitätseigenschaft
Wegen der Additivitätseigenschaft der Wahrscheinlichkeit ist es ausreichend, die Wahrscheinlichkeit für
Elementarereignisse zu definieren.
Sei ω ein Elementarereignis. Dann: p(ω) := P({ω}).
Wegen der Additivitätseigenschaft von P gilt dann für die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen
Ereignisses A:
P(A) = ∑ω∈Ω:ω∈A p(ω).
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Anschauliche Darstellung von Wahrscheinlichkeiten
Quelle: Henze, S. 43
Kreisumfang = 1
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Diskrete W-Räume
Bisher: Ω endliche Menge.
Erweiterung: Ω abzählbar => diskrete W-Räume
Definition diskreter Wahrscheinlichkeitsraum:
Sei Ω ≠ ∅ eine abzählbare Menge und sei P eine auf den Teilmengen von Ω definierte
reellwertige Funktion mit den Eigenschaften
(a) P(A) ≥ 0 für alle A ⊂ Ω
Nicht-Negativität
(b) P(Ω) = 1
Normiertheit
(c) P(∑ Aj) = ∑ P Aj , falls A1, A2, . . paarweise disjunkte Ereignisse sind.
σ– Additivität
Dann ist (Ω, P) ein diskreter W-Raum mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung (oder dem
Wahrscheinlichkeitsmaß) P.
P(A) heißt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.
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Beispiele für diskrete unendliche Wahrscheinlichkeitsräume
• Folge von Münzwürfen, die dann beendet wird, wenn das erste Mal Zahl fällt
• Folge von gewürfelten Zahlen, die beendet wird, wenn das erste Mal eine Sechs fällt
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Bemerkungen
I) Die Regeln für Wahrscheinlichkeitsmaße in endlichen W-Räumen gelten auch für
Wahrscheinlichkeitsmaße in diskreten W-Räumen.
Additivität ist schwächere Eigenschaft als σ– Additivität.
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Bemerkungen
II) In vielen Mathematikbüchern findet man folgende allgemeine Definition eines W-Raumes (s.
ausführlicher in Behrens 1.2):
Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Ԑ, P) besteht aus drei Dingen:
(i) Einer nichtleeren Menge Ω, der Menge der Elementarereignisse.
(ii) Einer σ-Algebra Ԑ auf Ω, der σ-Algebra der Ereignisse.
(iii) Einem Wahrscheinlichkeitsmaß P : Ԑ →[ 0, 1 ].
Eine σ-Algebra Ԑ auf Ω ist ein Mengensystem (= Menge, die Mengen als Elemente
enthält) mit den Eigenschaften
(i) Ω und die leere Menge sind Elemente von Ԑ.
(ii) Für jedes Element E von Ԑ ist Ω \ E (Komplementärmenge von E in Ω) Element von Ԑ.
(iii) Die abzählbare Vereinigung von Mengen aus Ԑ ist in Ԑ enthalten.
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Ω ist eine Abbildung P : Ԑ → [ 0, 1 ] mit P(Ω) = 1, die σ– additiv ist.
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Laplace‘sche W-Räume
Sei Ω = {ω1,ω2, . . . ,ωs} eine s-elementige Menge von Elementarereignissen und gelte p(ω) = 1/s für
alle ω ∈ Ω. Dann nennen wir (Ω,P) einen Laplace‘schen W-Raum.
Aufgrund der Additivität der Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt dann für ein Ereignis A: P(A) = |A| / s.
P heißt die diskrete Gleichverteilung auf Ω.
Beispiele:
• Ein Würfel wird geworfen: Ω = {1,2, . . . ,6}, p(ω) = 1/6 für ω = 1, 2, …, 6
• Eine Münze wird geworfen: Ω = {W, Z}, p(W) = p(Z) = 1/2
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Literatur
Henze Kapitel 1 + 2 (Ereignisse / Wiederholung Mengenregeln)
6.1/6.2 + 7.1/7.2 (Wahrscheinlichkeitsräume); Optional 7.3-7.5 (weitere Beispiele)
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Übung 2
1) In einer Schachtel liegen vier mit 1 bis 4 nummerierte Kugeln. Wie lautet die Ergebnismenge,
wenn zwei Kugeln mit einem Griff gezogen werden?
2) Geben Sie jeweils eine geeignete Ergebnismenge für folgende stochastischen Vorgänge
an:
a) Drei nicht unterscheidbare 1-Euro-Münzen werden gleichzeitig geworfen.
b) Eine 1-Euro-Münze wird dreimal hintereinander geworfen.
c) Eine 1-Cent-Münze und eine 1-Euro-Münze werden gleichzeitig geworfen.
d) Eine 1-Cent-Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Zahl erscheint, jedoch
höchstens sechsmal.
e) Ein Würfel wird so lange geworfen, bis jede Augenzahl mindestens einmal aufgetreten
ist. Es interessiere dabei nur die Anzahl der benötigten Würfe. (D. h.: Ereignis = Anzahl
der Würfe)
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