Transporteigenschaften von Elektronen in Siliziumkarbid

Transporteigenschaften
von Elektronen in Siliziumkarbid
bei tiefen Temperaturen
und im Kanal von
Metall-Oxid-Halbleiter-Transistoren
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+
Michael Krieger
A
+
Transporteigenschaften
von Elektronen in Siliziumkarbid
bei tiefen Temperaturen
und im Kanal von
Metall-Oxid-Halbleiter-Transistoren
Den Naturwissenschaftlichen Fakultäten
der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
zur
Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von
Michael Krieger
aus Erkelenz
Als Dissertation genehmigt von den Naturwissenschaftlichen Fakultäten
der Universität Erlangen-Nürnberg
Tag der mündlichen Prüfung:
18. Juli 2005
Vorsitzender der Promotionskommission:
Prof. Dr. D.-P. Häder
Erstberichterstatter:
Prof. Dr. H. B. Weber
Zweitberichterstatter:
Prof. Dr. W. J. Choyke
Drittberichterstatter:
Prof. Dr. M. Stutzmann
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Summary
Silicon carbide is a wide bandgap semiconductor with outstanding material properties [Pen05]. The overlap of its necessary device processing with the wellestablished silicon technology contributes to its increasing success. Today two
inch and three inch 4H-SiC and 6H-SiC wafers are commercially available with
high crystalline quality [SiC05, Cre05]. SiC Schottky diodes with a blocking voltage of 600 V and a forward current of 12 A are produced by Infineon [Inf01].
In the nineties the research activities were mainly focused on n-type SiC
for unipolar devices due to the higher mobility of electrons. Today there is an
increasing interest in p-type SiC, because it is necessary for the next generation of
devices, probably consisting of n-channel metal oxide semiconductor field effect
transistors (MOSFETs) and bipolar devices. The thesis in hand encloses two
special cases of the electronic conductivity in p-type SiC:
• impurity conduction at low temperatures and
• electronic conduction at the interface 3C-SiC/SiO2 .
This work provides a systematic investigation of the thermally activated impurity conduction in p-type SiC. In-situ aluminum (Al-) doped 6H-SiC crystals as
well as Al-implanted 4H-SiC epitaxial layers are investigated. The dependence of
impurity conduction on the doping concentration is analysed using temperature
dependent resistivity, Hall effect and admittance spectroscopy measurements.
Regarding the electronic conduction at the interface SiC/SiO2 , MOSFETs
fabricated on cubic silicon carbide (3C-SiC) are investigated. The devices are
produced by ACREO, Sweden, and analysed in the framework of this thesis. The
Hall effect measurements are conducted in the channel of 3C-SiC MOSFETs for
the first time. This method allows the direct and independent determination of
the areal density of inversion electrons ninv as well as its Hall mobility µH . From
these results the density of interface traps Dit at the interface can be derived.
The results are important for the optimization of the design and processing of
the MOSFETs.
Both topics require resistivity and Hall effect measurements with extremely
high sensitivity regarding current and voltage. Therefore a new Hall effect setup
is designed and built-up within the framework of this thesis. With this equipment
i
ii
Summary
it is possible to source and measure currents in the range of (10−13 − 0.1) A and
voltages in the range of (10−5 − 200) V.
The following results are obtained:
Impurity conduction in Al-doped p-type SiC
• Thermally activated impurity conduction in p-type SiC is dominating even
for temperatures T up to 200 K.
• The temperature dependent course of the resistivity of the investigated
samples can be divided into three parts with different mechanisms of electronic conductivity: propagation in the valence band, nearest neighbor hopping and variable range hopping.
• The resistivity of p-type SiC in the regime of nearest neighbor hopping can
be described with the percolation model by Efros et al. [Efr72]
ǫ3
ρ(T ) = Γ3 T exp
kB T
with
Γ3 = Γ03 exp
1.73
1/3
NA a
!
.
The linear dependence on the temperature T in front the exponential term
cannot be neglected in the case of SiC as is usually done for most of the
semiconductors.
• The activation energy ǫ3 ranges between 12.7 meV and 27 meV depen1/3
ding on the doping concentration NA . ǫ3 is proportional to NA within the classical approximation comparable to the simulation results by
Nguyen van Lien et al. [Lie79]. The classical approximation is valid for
NA < Nm ≈ 3 · 1019 cm−3 in p-type SiC.
• Variable range hopping is observed at low temperatures T < (28 − 70) K
depending on the doping concentration. The measurement points can be
represented with Mott’s law as well as with the model by Efros et al.,
which takes into consideration the existence of the coulomb gap.
• A method for an estimation of the transition temperature from nearest
neighbor hopping to variable range hopping is developed.
• Hall effect investigations at low temperatures reveal a sign reversal: the sign
of the Hall coefficient in the regime of impurity conduction is negative.
Summary
iii
• The Hall coefficient in the whole accessible temperature range can be described with the help of the two-band model, in which the propagation of
holes in the valence band as well as the hopping conduction in the impurity band are considered. For high concentrations NA > Nm , a three-band
model is required, which also takes into account the electronic conduction
in the upper Hubbard band (activation energy ǫ2 ).
• A model is developed and discussed, which explains the additional hopping
peaks in admittance spectra obtained at low temperatures. The Arrhenius
plot T −1 7→ ln(τ ) of the maxima of the normalized conductance corresponds
to the temperature dependent course of the resistivity T −1 7→ ln(ρ). A comparison of the activation energies ǫ3 obtained from admittance spectroscopy
and resistivity measurements, respectively, supports this model.
Electronic properties of 3C-SiC MOSFETs
Lightly doped drain (LDD) MOSFET:
• The gate oxide of the LDD MOSFET withstands electrical fields up to at
least 5 MV/cm. The threshold voltage UT = 13.8 V is obtained from the
transfer characteristic.
• The Hall mobility at room temperature is µH ≈ 71 cm2 /Vs; the maximum
value µH,max = 75 cm2 /Vs is reached at T ≈ 325 K.
• The mobility of inversion electrons is underestimated by the effective mobility µeff as well as the field effect mobility µFE by about 40%. The reason
is the neglect of charges in the oxide and at the interface.
• The density of interface traps close to the conduction band edge is determined by two ways: 1. Hall effect results, 2. shift of the threshold voltage
UT . Both ways result in Dit ≈ (3 − 4) · 1013 cm−2 eV−1 . It is shown that
the second method reveals an energy position of the interface traps in the
bandgap, which is about 200 meV too low.
• The neutrality energy En . 2.28 eV is estimated from the dependence of
the total fixed charge Qtot (ΦS ) on the surface potential ΦS . The dependence
of En on the unknown oxide charge is discussed.
Vertical double-implanted (VD) MOSFET:
• The threshold voltage of the advanced VD MOSFET at T = RT is reduced
to UT = 2.7 V in comparison to the LDD MOSFET.
• The reverse characteristic of the p-n junctions between the p-well and source
or drain is improved. In the analyzed drain voltage range of UD ≤ 10 V no
leakage current is measured (i. e. ID < 1013 A).
iv
Summary
• The effective mobility µeff is comparable to the corresponding quantity of
the LDD MOSFETs. The field effect mobility is increased by about 20% to
50%.
• The density of interface traps Dit close to the conduction band edge is
reduced by a factor of 2 to 3: Dit = 1.7 · 1013 cm−2 eV−1 .
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
2.1 Mott-Anderson-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Mott-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Anderson-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern . .
2.2.1 Zustandsdichte im Störband . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Aktivierungsenergie für (Nearest Neighbor) Hopping . .
2.2.3 Variable Range Hopping (VRH) . . . . . . . . . . . . . .
.
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.
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.
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3
5
5
7
7
10
13
27
3 Elektrische Charakterisierung von MOS Feldeffekttransistoren
3.1 Strom-Spannungs-Charakteristiken . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Elektronenbeweglichkeit im Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Effektive Beweglichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Feldeffekt-Beweglichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Streumechanismen im Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Inversionsladungsträgerdichte und Grenzflächenzustandsdichte . .
3.3.1 Berechnung der gesamten Ladung im Halbleiter . . . . . .
3.3.2 Charge-Sheet-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Zusammenhang zwischen Oberflächenpotential und GateSpannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Verfahren zur Bestimmung der Grenzflächenzustandsdichte
aus Hall-Effekt-Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
32
34
35
35
36
37
37
40
4 Experimentelle Verfahren
4.1 Verwendete Messmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Hall-Effekt- und Leitfähigkeitsmessungen . . . . .
4.1.2 Kapazitäts-Spannungs-Messung (CV) . . . . . . .
4.1.3 Admittanz-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Tieftemperatur-Photolumineszenz (TTPL) . . . .
4.2 Probenpräparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Proben für die Untersuchung der Störbandleitung
43
43
43
54
55
56
58
58
v
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.
40
41
vi
Inhaltsverzeichnis
4.2.2
MOSFET-Strukturen für Hall-Effekt-Messungen . . . . . .
62
5 Experimentelle Ergebnisse
5.1 Charakterisierung Al-dotierter 6H-SiC Volumenkristalle . . . . . .
5.1.1 Tieftemperatur-Photolumineszenz (TTPL) . . . . . . . . .
5.1.2 Laterales Dotierprofil (CV-Messung) . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Admittanzspektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Hall-Effekt- und Widerstandsmessungen . . . . . . . . . .
5.2 Charakterisierung Al-implantierter 4H-SiC Epitaxieschichten . . .
5.2.1 Hall-Effekt- und Widerstandsmessungen an van-der-PauwStrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Widerstandsmessungen an Stäbchen-Strukturen . . . . . .
5.3 Elektrische Charakterisierung von 3C-SiC MOSFETs . . . . . . .
5.3.1 Kennlinienfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Temperaturabhängige Hall-Effekt-Messungen an 3C-SiC
LDD-MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
67
70
73
77
82
6 Diskussion
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Nearest Neighbor Hopping . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Variable-Range-Hopping bei tiefen Temperaturen . . . . .
6.1.3 Einfluss der Störbandleitung auf Hall-Effekt-Messungen . .
6.1.4 Vorzeichen-Anomalie des Hall-Effekts . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Bestimmung der Hopping-Aktivierungsenergie ǫ3 aus
Admittanzspektroskopie-Untersuchungen . . . . . . . . . .
6.2 Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs . . . . . . . .
6.2.1 Elektronenbeweglichkeit im Kanal von 3C-SiC MOSFETs .
6.2.2 Grenzflächenzustandsdichte in 3C-SiC MOSFETs . . . . .
103
103
104
118
128
138
7 Zusammenfassung
179
8 Ausblick
183
A Berechnung der Übergangstemperatur von NNH nach VRH
185
83
88
90
90
98
141
162
163
166
B Vollständige Admittanzspektren
187
B.1 Probe SK55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.2 Probe SK57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
C Probenverzeichnis
193
C.1 Proben zur Untersuchung der Störbandleitung . . . . . . . . . . . 193
C.2 3C-SiC n-Kanal MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Inhaltsverzeichnis
D Materialparameter und
D.1 3C-SiC . . . . . . . .
D.2 4H-SiC . . . . . . . .
D.3 6H-SiC . . . . . . . .
D.4 Naturkonstanten . .
vii
Naturkonstanten
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
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.
195
195
195
196
197
E Symbolverzeichnis
199
Literaturverzeichnis
205
Kapitel 1
Einleitung
Siliziumkarbid ist einer der prominentesten Halbleiter mit großer Bandlücke. Seine herausragenden Materialparameter [Pen05] und der weitgehende Überlapp der
notwendigen Prozesstechnologie mit der verbreiteten und bewährten SiliziumTechnologie haben zu seiner Erfolgsgeschichte beigetragen. Kommerziell sind heute 2“ und 3“ 4H-SiC und 6H-SiC Wafer mit hoher kristalliner Qualität erhältlich [SiC05, Cre05]. SiC-Schottky-Dioden mit hoher Sperrspannung (600 V) und
hohem Durchlassstrom (12 A) werden von Infineon produziert und vertrieben
[Inf01].
In den 90er Jahren war mit Blick auf unipolare Bauelemente die Forschung
auf n-Typ SiC fokussiert, da die Elektronenbeweglichkeit höher ist als die Löcherbeweglichkeit. In neuester Zeit steigt das Interesse an p-Typ SiC, da dieses
für die nächste bzw. übernächste Bauelementegeneration — n-Kanal MetallOxid-Halbleiter-Feldeffekttransistoren (MOSFET) bzw. bipolare Bauelemente —
benötigt wird. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit zwei Spezialfällen der elektronischen Leitung in p-Typ SiC:
• Störbandleitung bei tiefen Temperaturen;
• Elektronische Leitung an der 3C-SiC/SiO2 -Grenzfläche.
Störbandleitung dominiert die Leitfähigkeit, wenn bei tiefen Temperaturen die
freien Ladungsträger im Valenz- bzw. Leitungsband ausgefroren sind. Die elektrische Leitung erfolgt dann bei nicht allzu hoher Dotierkonzentration durch
Hüpfen“ der Ladungsträger zwischen lokalisierten Störstellenzuständen. In die”
ser Arbeit wird erstmals eine systematische Untersuchung der p-Typ Störbandleitung in SiC präsentiert. Die Charakterisierung wurde mittels temperaturabhängigen Widerstandsmessungen, Hall-Effekt-Untersuchungen und Admittanzspektroskopie durchgeführt.
3C-SiC ist der kubische Polytyp von Siliziumkarbid und verspricht eine Reihe technologisch interessanter Vorteile für die Herstellung von MOSFETs (siehe
Abschnitt 6.2). Seit der Entwicklung eines speziellen Züchtungsverfahrens 2001
1
2
Kapitel 1: Einleitung
[Nag03] ist 3C-SiC für Forschungszwecke in ausreichender Größe und Menge
verfügbar. In dieser Arbeit werden erstmals Hall-Effekt-Messungen im Kanal von
3C-SiC MOSFETs gezeigt. Die MOSFETs wurden bei der Firma ACREO, Schweden, gefertigt und im Rahmen dieser Arbeit mit Schwerpunkt auf ElektronenBeweglichkeit und Grenzflächenzustandsdichte analysiert.
Die vorliegende Arbeit ist wie folgt gegliedert:
• In Kapitel 2 wird ein Überblick über den Leitungsmechanismus der
Störbandleitung gegeben. Es werden verschiedene Modelle und Methoden
zur theoretischen Fassung der Störbandleitung, die in der Literatur existieren, vorgestellt.
• In Kapitel 3 werden Methoden zur elektrischen Charakterisierung von
MOSFETs skizziert, die im Rahmen dieser Arbeit zum Einsatz kamen.
• Die eingesetzten Messmethoden und Apparaturen sowie die Prozessierung
der untersuchten Proben werden in Kapitel 4 beschrieben.
• Die Ergebnisse der durchgeführten Messungen sind in Kapitel 5 dargestellt.
• In Kapitel 6 werden die experimentellen Ergebnisse diskutiert. Im ersten
Abschnitt wird detailliert die Störbandleitung in p-Typ SiC analysiert. Für
die Interpretation der Admittanzspektroskopie-Ergebnisse wird ein neues
Modell vorgeschlagen. Im zweiten Abschnitt werden die Messungen an den
3C-SiC MOSFETs bezüglich Beweglichkeit und Grenzflächenzustandsdichte ausgewertet. Die Unterschiede zwischen Hall-Effekt-Ergebnissen und Ergebnissen aus Standard-Kennlinienfeldern werden diskutiert.
• Eine Zusammenfassung der Ergebnisse dieser Arbeit ist in Kapitel 7 zu
finden.
• Vorschläge für weiterführende Forschungsarbeiten werden in Kapitel 8 gegeben.
Kapitel 2
Störbandleitung in niedrig
dotierten kristallinen Halbleitern
Die elektrische Leitfähigkeit σ bzw. der spezifische Widerstand ρ = 1/σ eines
Halbleiters wird durch verschiedene Leitungsmechanismen bestimmt; welcher Leitungsmechanismus dominiert, hängt von der Konzentration der Donatoren ND
(n-Typ Halbleiter) bzw. der Akzeptoren NA (p-Typ Halbleiter), dem Kompensationsgrad K und der Temperatur T ab. Abb. 2.1 gibt einen schematischen
Überblick.
Für die Entstehung der gezeigten Leitungsmechanismen bei niedrigen Temperaturen bzw. hoher Störstellenkonzentration ist die Wechselwirkung der Störstel−1/3
len untereinander von Bedeutung, die vom mittleren Abstand hri = ND/A zwischen den Störstellen abhängt. Dabei wird unterschieden zwischen
• klassischer Wechselwirkung (Coulomb-Wechselwirkung geladener Störstellen) und
• quantenmechanischer Wechselwirkung (Überlapp der Wellenfunktionen).
In beiden Fällen führt die Wechselwirkung zu einer Streuung der Energieniveaus
innerhalb eines Energiebands“ (Störband), obwohl es sich nur im quantenme”
chanischen Fall um ein echtes“ Band mit delokalisierten Zuständen handelt; im
”
klassischen Fall sind die Elektronenwellenfunktionen an den Störstellen lokalisiert.
Bei ausreichendem Überlapp der Wellenfunktionen, d. h. für hohe Konzentrationen ND/A größer als eine kritische Mott-Anderson-Konzentration NM (siehe Abschnitt 2.1), sind die Zustände delokalisiert. Dies führt zu einer quasi-metallischen
Leitung, d. h. nicht verschwindende Leitfähigkeit σ bei T = 0.
Bei kleineren Konzentrationen ND/A < NM sind die Zustände im Störband
lokalisiert; die Störbandleitung erfolgt durch thermisch angeregtes Hüpfen von
einer besetzten zu einer unbesetzten Störstelle (Phonon-unterstütztes Tunneln;
siehe Abschnitt 2.2). Die Existenz von teilweise besetzten Störstellen setzt einen
nicht verschwindenden Kompensationsgrad K > 0 voraus.
3
4
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
nur für K < 0.2: ln(r) ~ e2/kT
ND/A
quasi-metallisch (r » const)
NM
variable
range
hopping
(VRH)
ln(r) ~ T
nearest
neighbor
hopping
-p
ln(r) ~ e3/kT
"normale"
Leitung
im Leitungs-/
Valenzband
ln(r) ~ e1/kT
intrinsische
Leitung
T
Abb. 2.1: Überblick über die verschiedenen Leitungsmechanismen in einem dotierten
kristallinen Halbleiter in Abhängigkeit von Dotierkonzentration ND bzw. NA und Temperatur T . Die gesamte Leitfähigkeit σ = ρ−1 setzt sich in den exponentiell von 1/T
abhängigen Bereichen additiv zusammen: σ = σ1 exp(−ǫ1 /kB T ) + σ2 exp(−ǫ2 /kB T ) +
σ3 exp(−ǫ3 /kB T ) [Mot61].
Die beiden Fälle lokalisierter bzw. delokalisierter Zustände werden üblicherweise durch die Begriffe niedrig“ bzw. hoch“ dotierter Halbleiter unterschieden;
”
”
der Übergang wird als Mott-Anderson-Übergang bezeichnet, der in Abschnitt 2.1
behandelt wird.
Die Struktur des Störbands für Konzentrationen ND/A < NM wird in Abschnitt 2.2.1 diskutiert. Abhängig von der Temperatur sind verschiedene Bereiche des Störbands für die elektrische Leitung verantwortlich. Bei extrem niedrigen Temperaturen spielen im Bereich des Variable Range Hoppings (VRH) nur
Zustände nahe des Fermi-Niveaus EF eine Rolle; der spezifische Widerstand ρ
hat eine T −p Abhängigkeit mit 0 < p < 1 (siehe Abschnitt 2.2.3). Mit steigender
Temperatur können mehr Zustände umgeladen werden, was zu einer thermisch
aktivierten Nearest Neighbar Hopping-Leitung mit konstanter Aktivierungsenergie ǫ3 führt (siehe Abschnitt 2.2.2).
Für Dotierkonzentrationen ND/A knapp unter dem Mott-Anderson-Übergang
und mäßigem Kompensationsgrad K < 0.2 wird die so genannte ǫ3 -Leitung überdeckt von der elektrischen Leitung durch Ladungsträger im oberen Hubbard-Band,
die aus dem Störband mit einer Aktivierungsenergie ǫ2 angeregt werden (siehe
Abschnitt 2.2).
Bei weiterer Erhöhung der Temperatur können Elektronen bzw. Löcher aus
den Donator- bzw. Akzeptor-Niveaus thermisch ins Leitungs- bzw. Valenzband
angeregt werden (Ionisierungsenergie ∆ED bzw. ∆EA ). Die elektrische Leitfähigkeit σ wird in diesem Fall durch die freie Elektronen- bzw. Löcherkonzentration
(n bzw. p) und die Ladungsträgerbeweglichkeit (µe bzw. µh ) bestimmt.
σ = e (nµe + pµh )
(2.1)
2.1 Mott-Anderson-Übergang
5
Wenn man berücksichtigt, dass n bzw. p exponentiell mit ∆ED /kT bzw. ∆EA /kT
ansteigen und die Beweglichkeiten µe bzw. µh nur eine schwache Temperaturabhängigkeit aufweisen (Potenzgesetz), so wächst σ ebenfalls exponentiell mit
∆ED /kT bzw. ∆EA /kT an. Häufig wird in diesem Zusammenhang von einer
Aktivierungsenergie ǫ1 = ∆ED bzw. ǫ1 = ∆EA gesprochen.
Bei sehr hohen Temperaturen schließlich, bei denen Ladungsträger aus dem
Valenzband thermisch ins Leitungsband aktiviert werden können, dominiert die
intrinsische Leitung. Bei dem in dieser Arbeit untersuchten Halbleiter Siliziumkarbid wird intrinsische Leitung aufgrund der großen Bandlücke im experimentell
zugänglichen Temperaturbereich (T ≤ 800 K) allerdings nicht beobachtet.
2.1
Mott-Anderson-Übergang
Der Übergang zwischen thermisch aktivierter Hopping-Leitung und metallischer
Leitung in einem dotierten kristallinen Halbleiter mit Störstellenkonzentration
N wird als Mott-Anderson-Übergang bezeichnet [Shk84, S. 36] und ist eine
Kombination des Mott- und des Anderson-Übergangs, die beide den MetallIsolator-Übergang mit unterschiedlichen Modellen beschreiben. Während Mott
eine periodische Anordnung von identischen Störstellen zugrunde legt und dabei die Elektron-Elektron-Wechselwirkung berücksichtigt [Mot74], beschreibt das
Anderson-Modell periodisch angeordnete Potentialtöpfe mit zufälliger Tiefe innerhalb eines Energieintervalls ∆E in Ein-Elektron-Näherung. Da die qualitativen Ergebnisse beider Modelle für die weitere Betrachtung der Störbandleitung
notwendig sind, werden sie in den folgenden Abschnitten kurz beschrieben.
Der Mott-Anderson-Übergang, häufig auch als Mott-Übergang in dotierten
kristallinen Halbleitern bezeichnet, tritt bei Störstellenkonzentrationen NM auf,
die folgende Bedingung erfüllen:
NM a3B ≈ 0.02,
(2.2)
wobei aB der Bohr’sche Radius der Störstellenwellenfunktion ist.
2.1.1
Mott-Übergang
Mott’s Modell stützt sich auf die Annahme, dass in einem regulären Kristallgitter
(Gitterabstand a) identische Störstellenatome periodisch im Abstand d angeordnet sind; dabei wird d ≫ a vorausgesetzt, die Position des j. Störstellenatoms im
Kristall wird mit rj bezeichnet. Falls der Überlapp der Störstellenwellenfunktionen klein ist, setzt sich die Gesamtwellenfunktion Ψ durch Superposition aus den
Störstellenwellenfunktionen Φ zusammen:
X
X
Ψ(r) =
cj Φ(r − rj ),
(2.3)
mit
c2j = 1.
j
j
6
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
Durch die Periodizität erhält man mit Hilfe des Bloch-Theorems Ψ(r + rj ) =
Ψ(r)eik·rj die Energieeigenwerte des Systems.
X
(2.4)
E=
I(ri − rj )eik·(ri −rj )
i6=j
Dabei ist I(r) das Überlappintegral der Wellenfunktionen Φ. Da I(r) mit steigendem r exponentiell abnimmt, kann man sich bei der Summation auf die nächsten
Nachbarn beschränken. Mit k-Werten der ersten Brillouin-Zone erhält man näherungsweise aus Gl. (2.4) ein Energieband der Breite
W = 2Z|I(d)|,
(2.5)
wobei Z die Anzahl der nächsten Nachbarn ist. In der bisherigen Betrachtung
wurde die Elektron-Elektron-Wechselwirkung noch nicht berücksichtigt. Als Ergebnis erhält man ein Energieband der Breite W , das halb gefüllt ist, da jedes
Störstellenatom (Donator bzw. Akzeptor) nur einen Ladungsträger beisteuert,
das Band aber zweifach Spin-entartet ist. Folglich hätte man bereits bei niedrigen Störstellenkonzentrationen metallische Leitung. Da das Überlappintegral I(d)
und damit die Bandbreite W mit steigendem d (also sinkender Störstellenkonzentration) exponentiell abnimmt, ist die Elektron-Elektron-Wechselwirkungsenergie
Eee nicht vernachlässigbar und hebt die Bandentartung auf; im Extremfall, für
d → ∞, schrumpft das Band auf zwei Zustände E0 und E0 + Eee zusammen. Bei
endlichen Werten von d entstehen aus diesen beiden Zuständen das obere und
untere Hubbard-Band, die durch eine Energielücke getrennt sind. Unterschreitet d einen gewissen Abstand dM , so überlappen beide Bänder und das System
wird metallisch; dies wird als Mott-Übergang bezeichnet [Shk84, S. 29] (siehe
Abb. 2.2).
E
E0+Eee
oberes Hubbard-Band
E0
unteres Hubbard-Band
dM
1/d
Abb. 2.2: Breite der Hubbard-Bänder in Abhängigkeit vom reziproken Störstellenabstand 1/d; bei Abständen d < dM liegt metallische Leitung aufgrund des Bänderüberlapps vor.
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
2.1.2
7
Anderson-Übergang
Im Modell von Anderson sind wie bei Mott Störstellenatome periodisch in einem
Kristallgitter angeordnet, die Energieniveaus sind jedoch unterschiedlich und in
einem Intervall ∆E statistisch verteilt.
Der Mott-Übergang in Ein-Elektron-Näherung ergibt sich als Spezialfall für
∆E = 0; die Folge ist metallische Leitung (siehe Abschnitt 2.1.1). In diesem Fall
gäbe es ein Energieband, dessen Breite in der Größenordnung des Überlappintegrals I liegt. Da die Energieniveaus im Anderson-Modell zufällig verteilt in einem
Intervall ∆E liegen, ist die Ausbildung eines Energiebands mit delokalisierten
Zuständen abhängig vom Verhältnis I/∆E.
Ist ∆E ≫ I, so sind die Zustände i. Allg. lokalisiert; es können jedoch zwei
oder mehr Zustände energetisch und räumlich benachbart sein, so dass sich ein
Cluster bildet, innerhalb dessen Delokalisierung auftritt, d. h. die Wellenfunktion
ist innerhalb des Clusters betragsmäßig konstant und fällt am Rand des Clusters stark ab. Je kleiner ∆E/I wird, desto mehr bzw. größere Cluster bilden
sich. Aus der Perkolations-Theorie folgt, dass es einen kritischen Wert (∆E/I)c
gibt, bei dem sich ein unendlich ausgedehntes Cluster bildet; für diesen Fall wird
das System metallisch (Anderson-Übergang). Typische Werte für (∆E/I)c sind 8
(Diamand-Struktur) bzw. 15 (einfach-kubisch). Das unendlich ausgedehnte Cluster bildet energetisch ein Band innerhalb des Energieintervalls ∆E, in dem alle
Zustände verteilt sind. Innerhalb bzw. außerhalb des Bands sind die Zustände
delokalisiert bzw. lokalisiert. Da die Beweglichkeit von Ladungsträgern über delokalisierte Zustände wesentlich größer ist als bei Hopping-Leitung über lokalisierte Zustände, werden die Kanten des durch das unendlich ausgedehnte Cluster
gebildeten Bands Beweglichkeitskanten genannt.
2.2
Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
In einem niedrig dotierten kristallinen Halbleiter sind die Elektronenwellenfunktionen unterhalb des Mott-Anderson-Übergangs an den Störstellen lokalisiert. In
diesem Fall kann die Leitfähigkeit des Kristalls durch folgenden Zusammenhang
dargestellt werden:
ǫ1
ǫ2
ǫ3
σ = σ1 exp −
+ σ2 exp −
+ σ3 exp −
(2.6)
kB T
kB T
kB T
mit σ1 ≫ σ2 ≫ σ3 und ǫ1 > ǫ2 > ǫ3
Mit dem ersten Summanden wird die thermische Anregung von Elektronen bzw.
Löchern aus dem Störstellenniveau in das Leitungs- bzw. Valenzband berücksicht;
die Energie ǫ1 entspricht dabei bis auf die Temperaturabhängigkeit der Beweg-
8
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
Leitungsband
EC
D--Band
e2
Beweglichkeitskanten
e1
EF » ED
Abb. 2.3: ǫ1 - und ǫ2 -Leitung im Bänderschema; ǫ2 ist der energetische Abstand von
der Fermi-Energie EF , die im Donator-Störband liegt, zur unteren Beweglichkeitskante
des D− -Bands. ǫ1 ist der energetische Abstand von der Fermi-Energie EF zur Leitungsbandkante EC .
lichkeit der Ionisierungsenergie ∆ED des Donators bzw. ∆EA des Akzeptors (vgl.
Gl. (2.1)).
Der zweite Term wird nur bei Halbleitern mit Störstellenkonzentrationen nahe
des Mott-Anderson-Übergangs und niedriger Kompensation (K < 0.2) beobachtet (z. B. [Yam65]). Der Mechanismus ist nicht vollständig geklärt; in der Literatur
wird die ǫ2 -Leitung in einem n-Typ Halbleiter i. Allg. interpretiert als Bewegung
von Elektronen über einfach gefüllte (neutrale) Donatoren (D0 ). Die dadurch
entstehenden D− -Zustände haben eine große räumliche Ausdehnung und überlappen bereits stark bei Konzentrationen unterhalb des Mott-Anderson-Übergangs.
Die Folge ist ein D− -Band, das dem in Abschnitt 2.1.1 beschriebenen oberen
Hubbard-Band entspricht, mit dem Unterschied, dass die Störstellen statistisch
verteilt sind. Die Zustände können daher lokalisiert oder delokalisiert sein, getrennt durch die Beweglichkeitskante (siehe Abschnitt 2.1.2). Da einerseits die
Beweglichkeit im D− -Band wesentlich höher ist als im Störband (alle Zustände
sind lokalisiert unterhalb des Mott-Anderson-Übergangs) und andererseits der
energetische Abstand vom Ferminiveau zur Beweglichkeitskante des D− -Bands
(ǫ2 ) kleiner ist als zum Leitungs- bzw. Valenzband (ǫ1 ), kann die ǫ2 -Leitung (vgl.
Abb. 2.3) nur in einem kleinen Temperaturfenster die Leitfähigkeit dominieren.
Der dritte Term beschreibt die thermisch angeregte Hopping-Leitung im
Störband; damit ist das Phonon-unterstützte Tunneln eines Ladungsträgers von
einer besetzten zu einer unbesetzten Störstelle gemeint. Zur sprachlichen Vereinfachung wird im Folgenden stets ein n-Typ Halbleiter vorausgesetzt; alle Ergebnisse
können aber auf p-Typ Halbleiter übertragen werden.
In einem n-Typ Halbleiter wird das Störband durch Donatorzustände gebildet.
Bei T = 0 sind alle Donatoren neutral, d. h. mit einem Elektron besetzt. Damit
Störbandleitung auftreten kann, müssen einige Donatoren unbesetzt sein; dies ist
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
e1
Anregung von
Elektronen ins
Leitungsband
e3
9
EC
EF
Hüpfleitung
zwischen
Donatorzuständen
EV
Abb. 2.4: ǫ1 - und ǫ3 -Leitung im Bänderschema; unbesetzte (positiv geladene) Donatorzustände bei T = 0 werden durch die Anwesenheit einer Kompensation durch Akzeptoren gebildet. Elektronen werden thermisch mit der Energie ǫ1 ins Leitungsband
angeregt oder hüpfen thermisch aktiviert mit der Energie ǫ3 von einem besetzten auf
einen unbesetzten Donatorzustand; häufig ist die Beschreibung im Löcherbild günstiger,
wie mit dem Pfeil angedeutet wird (siehe Abschnitt 2.2.2).
der Fall, wenn der Halbleiter teilweise kompensiert ist, d. h. wenn Akzeptoren im
Kristall eingebaut sind, die je ein Elektron eines Donators aufnehmen können
(siehe Abb. 2.4). Die Konzentration der Donatoren bzw. der Akzeptoren sei ND
bzw. NA . Man definiert den Kompensationsgrad K als K = NA /ND . Bei T = 0
liegen also ionisierte Donatoren D+ und ionisierte Akzeptoren A− in gleicher
Konzentration NA sowie neutrale Donatoren in der Konzentration ND − NA vor.
Das Coulombpotential aller räumlich zufällig angeordneten geladenen Störstellen
führt zu einer Streuung der Donatorionisierungsenergien; der Energiegewinn des
i. Donators aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung ist
!
Akzeptoren
Donatoren
X
X
e2
1
1 − nk
Ei =
.
(2.7)
−
4πǫr ǫ0
|r
|r
−
r
|
−
r
|
i
j
i
k
j
k6=i
Mit ri ist der Ort des i. Donators bzw. Akzeptors im Kristall bezeichnet. nk ist
die Besetzungszahl des k. Donators:
0; Donator ist unbesetzt (D+ )
(2.8)
nk =
1; Donator ist mit Elektron besetzt (D0 ).
Die thermisch aktivierte Störbandleitung, die aus dieser Energieverteilung der Donatorenergien hervorgeht, wird in den folgenden Abschnitten behandelt. Zunächst
wird in Abschnitt 2.2.1 die Zustandsdichte im Störband anhand von Ergebnissen aus Computersimulationen diskutiert. Aus den dort gewonnenen Ergebnissen kann mit Hilfe unterschiedlicher Modelle die Aktivierungsenergie ǫ3 (vgl.
Gl. (2.6)) bestimmt werden (Abschnitt 2.2.2). Ein Sonderfall der Störbandleitung
10
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
für tiefe Temperaturen (Variable Range Hopping) wird im letzten Abschnitt 2.2.3
diskutiert.
2.2.1
Zustandsdichte im Störband
Analytische Methoden zur Berechnung der Zustandsdichte g(E) im Störband
existieren nur für die Grenzfälle K → 0 und K → 1 [Shk84, S. 55]. Durch Computersimulationen kann im gesamten Kompensationsbereich die Zustandsdichte
in guter Näherung bestimmt werden. Im Folgenden wird der Algorithmus beschrieben, den Baranovskii et al. [Bar79] bzw. Efros et al. [Efr79a] vorgeschlagen
haben.
Ein würfelförmiger Halbleiterkristall mit Kantenlänge L enthalte N Donatoren und K · N Akzeptoren (Kompensation); die Donatorkonzentration ist
ND = N/L3 . Die räumliche Position der Störstellen werde mit ri und die Besetzungszahl der Donatoren mit ni bezeichnet (s. o.); die Besetzungszahlen werden
zufällig mit 0 oder 1 vorbelegt, so dass KN Donatoren ionisiert und (1 − K)N
Donatoren mit einem Elektron besetzt sind. Die potentiellen Energien Ei aller
Störstellen werden gemäß Gl. (2.7) berechnet. Die Gesamtenergie des Systems
ist:
H=
Donatoren
X
i
Akzeptoren
(1 − ni )Ei +
X
Ej .
(2.9)
j
Aufgrund der zufälligen Verteilung von Elektronen auf die Donatoren ist das
System nicht im Gleichgewicht (siehe Abb. 2.5a). Durch folgenden Algorithmus
Abb. 2.5: Donatorniveaus (durchgezogene Linien) im Coulomb-Feld von geladenen
Störstellen; mit Elektronen besetzte Zustände werden durch gefüllte Kreise symbolisiert. Simulation mit N = 10, K = 0.5 und ND = 1 × 1018 cm−3 für 4H-SiC. (a)
zufällige Verteilung von Elektronen auf die Zustände; (b) Gleichgewichtszustand bei
T = 0, es hat sich ein Fermi-Niveau EF gebildet; (c) System nach Minimierung der
Gesamtenergie H.
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
11
(sog. µ-Subroutine) wird erreicht, dass alle Zustände unterhalb einer (Fermi-)
Energie EF besetzt und darüber unbesetzt sind.
1. Bestimmung der Energien Ep bzw. Eq des höchsten besetzten bzw. niedrigsten unbesetzten Zustands.
2. Wenn Ep > Eq : Vertauschung der Besetzungszahlen von Zustand p und
Zustand q.
3. Neuberechnung aller Energien Ei und Wiederholung der Prozedur bis Ep <
Eq ; die Fermi-Energie (bezogen auf die Ionisierungsenergie ED des isolierten
Donators) ist dann EF = (Ep + Eq )/2 (siehe Abb. 2.5b).
Im nächsten Schritt wird geprüft, ob das System bereits im Grundzustand ist,
d. h. ob die Gesamtenergie H minimal ist. Dazu wird für jedes Paar (i, j) aus
besetztem Donator i und unbesetztem Donator j geprüft, ob H bei Vertauschung
der Besetzungszahlen verkleinert werden kann; die Energieänderung ist
∆ji = Ej − Ei −
e2
.
4πǫr ǫ0 rij
(2.10)
Ist dies möglich (∆ji < 0), so wird mit der neuen Besetzung die µ-Subroutine
erneut aufgerufen, um das Gleichgewicht wiederherzustellen.
Ist H minimiert, so ist der Grundzustand gefunden; das Ergebnis ist ein Satz
von Energien Ei und Besetzungszahlen ni (siehe Abb. 2.5c). Das Histogramm
der Energien Ei ist die Zustandsdichte g(E). Simulationsbedingte Fehler bzw.
Ungenauigkeiten sind:
:-9
809
7
6
5/4
32
2.1
/0.
,-
IF BCF & R#SD T
; < * =)
A!& BCD E!F G H#A!I
J$ < )K) * LM N& OP
J<Q***
; < * =>
; < * =+
; < * =?
; < * =@
#) * *
#+ *
*
! " # " $ %& ' (
+*
Abb. 2.6: Simulierte Zustandsdichte g(E) im Donator-Störband für unterschiedliche
Kompensationsgrade K; die Energie E − ED = 0 entspricht der Ionisierungsenergie
eines isolierten Donators. Das Coulomb-Gap ist mit einem offenen Kreis markiert.
12
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
• Bei der Minimierung von H wird stets zu einem bestimmten Zeitpunkt
nur ein Ladungsträger übertragen. H könnte möglicherweise weiter minimiert werden durch simultane Übertragung von zwei oder mehr Elektronen; der gefundene Grundzustand ist somit ein Pseudogrundzustand. Efros
et al. [Efr79a] haben jedoch gezeigt, dass der Pseudogrundzustand vom
Grundzustand um nicht mehr als 10% abweicht; für kleines N kann der
Grundzustand durch ausreichende Statistik ermittelt werden.
• Das im Vergleich zum realen Halbleiter geringe Simulationsvolumen wirkt
sich systematisch auf die Ergebnisse aus; der Volumeneffekt ist besonders
stark für K ≥ 0.9. Extrapolation für N → ∞ liefert ein exakteres Ergebnis
[Efr79a].
Abb. 2.6 zeigt die im Rahmen dieser Arbeit für 4H-SiC simulierte Zustandsdichte g(E) für verschiedene Kompensationsgrade K (Simulationsparameter:
ND = 1 × 1018 cm−3 , N = 2000). Die besetzten und unbesetzten Zustände werden durch eine verschwindende Zustandsdichte am Fermi-Niveau (g(EF ) = 0)
getrennt; diese Energielücke wird als Coulomb-Gap bezeichnet. Der Ursprung
des Coulomb-Gaps liegt in Gl. (2.10), die für ein System im Grundzustand (H
minimal) stets positiv ist. Daraus folgt für einen besetzten Zustand i und einen
unbesetzten Zustand j nahe der Fermi-Energie µ, dass ihr Abstand mindestens
rij >
e2
4πǫr ǫ0 (Ej − Ei )
(2.11)
beträgt, d. h. die Konzentration n(∆E) solcher Zustände mit energetischem Ab3
stand ∆E = Ej − Ei ist nach oben beschränkt durch 1/rij
und damit folgt
sfr
r
qip
o
nhm
klg
kj
hig
ef
ˆ ^U \ U‰aŠ
tZ_uvwx ZyV
z{\tZ|
}] ~ bbc€‚_ƒ„
… ~ c†‡
} ~ ‡ccc
\bc
c
bc
UVWXYZW [ \ [] ^_W`a
dc
Abb. 2.7: Ausschnitt aus der im Donator-Störband für die in der Abbildung angegebenen Parameter simulierten Zustandsdichte g(E); bei der Fermi-Energie EF ≈ 4 meV
verschwindet die Zustandsdichte quadratisch mit der Energie E (Coulomb-Gap).
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
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Abb. 2.8: Fermienergie EF als Funktion des Kompensationsgrads K bestimmt durch
Simulation. Das theoretische Limit für K → 0 ist EF (K → 0) ≈ 14.5 meV.
n(∆E) ∼ ∆E 3 . Die Zustandsdichte g(∆E) = dn(∆E)/d∆E verschwindet daher
quadratisch für ∆E → 0 (Abb. 2.7).
Eine weitere wichtige Folgerung kann den Simulationsergebnissen (Abb. 2.6)
entnommen werden: die Fermi-Energie µ bezogen auf die Ionisierungsenergie ED
des isolierten Donators ist eine Funktion des Kompensationsgrads K; µ ist für
K < 0.5 positiv und fällt für K > 0.5 steil ab (Abb. 2.6 und 2.8). Für K →
0 erreicht EF ein Limit, das in [Efr72] durch numerische Rechnung mit einer
Genauigkeit von 1% zu
EF (K → 0) = 0.61ǫD
(2.12)
bestimmt wurde; ǫD ist die Coulomb-Wechselwirkung zwischen Donatoren im
−1/3
(siehe dazu auch Abschnitt 6.1.1.2).
mittleren Abstand rD = 43 πND
2.2.2
Aktivierungsenergie für (Nearest Neighbor) Hopping
Thermisch aktivierte Hopping-Leitung wird in der elektrischen Leitfähigkeit σ
eines Halbleiters in Form des additiven Terms
ǫ3
σ3 exp −
(2.13)
kB T
berücksichtigt (vgl. Gl. (2.6)). Die Parameter sind σ3 und ǫ3 ; diese hängen von
der Donatorkonzentration ND , dem Kompensationsgrad K, dem charakteristischen Radius a und der Form der Störstellenwellenfunktion sowie der räumlichen
Verteilung der Störstellen ab. Eine geschlossene Beschreibung für den gesamten
14
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
Parameterraum existiert nicht. Unterschiedliche Ansätze wurden insbesondere
für die Grenzfälle K → 0 und K → 1 aufgestellt; sie werden in den folgenden
Abschnitten kurz umrissen. Im Anschluss wird eine Simulationsmethode im Rahmen der Perkolationstheorie vorgestellt, die auf den Simulationsergebnissen aus
Abschnitt 2.2.1 basiert. Mit dieser Methode können auch mittlere Kompensationsgrade berücksichtigt werden.
2.2.2.1
Einfaches Modell für K → 0 nach Mott [Mot56]
In einem n-Typ Halbleiter mit niedriger Kompensation K → 0 ist bei T = 0
die Konzentration der ionisierten (kompensierten) Donatoren ND+ gleich der Akzeptorkonzentration NA und damit wesentlich kleiner als die Konzentration der
neutralen Donatoren.
ND+ = NA ≪ ND0
(2.14)
Daher ist es günstiger die Bewegung von Ladungsträgern im Löcherbild zu beschreiben; ein Loch kann von einem ionisierten zu einem neutralen Donator
hüpfen. Als Loch“ wird hier ein Donatorzustand bezeichnet, bei dem ein Elek”
tron fehlt; es ist kein im Valenzband frei beweglicher Ladungsträger.
Bei tiefer Temperatur T = 0 sind alle Löcher in ihrem energetisch niedrigsten Zustand, d. h. möglichst nahe einem negativ geladenen Akzeptor. Damit ein
Ladungsträgertransport möglich ist, muss eine Aktivierungsenergie
E=
e2
4πǫr ǫ0 hrAD i
(2.15)
aufgebracht werden; hrAD i ist der gemittelte Nächste-Nachbar-Abstand zwischen
Akzeptor und Donator. Unter Annahme einer Poisson-Verteilung ergibt sich
E ≈ 1.46
e2
1/3
N .
4πǫr ǫ0 D
(2.16)
Durch Minimierung der freien Energie der Löcher und der Annahme, dass nur
ein Loch an einen Akzeptor mit einer konstanten Bindungsenergie E gebunden
ist, kann die Konzentration p der freien“, d. h. nicht mehr an einen Akzeptor
”
gebundenen, Löcher berechnet werden.
p
E
p = ND NA exp −
(2.17)
2kB T
Da die Leitfähigkeit und p über die schwach temperaturabhängige Beweglichkeit
gekoppelt sind, liefert Gl. (2.17) die Aktivierungsenergie ǫ3 .
ǫ3 =
e2
E
1/3
= 0.73
ND
2
4πǫr ǫ0
(2.18)
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
15
Gl. (2.17) kann physikalisch wie folgt interpretiert werden: Setzt man NA =
ND+ und ND ≈ ND0 , so hat Gl. (2.17) die Form der Gleichung für die intrinsische Ladungsträgerkonzentration in einem Halbleiter mit effektiver Zustandsdichte ND+ im Leitungsband und ND0 im Valenzband sowie Bandabstand 2ǫ3 .
Störbandleitung erfolgt in diesem Modell durch thermische Anregung von Ladungsträgern aus dem D0 -Band in das D+ -Band. Allerdings sind die Zustände
in diesen Bändern“ lokalisiert, so dass die Ladungsträger nach thermischer Ak”
tivierung nicht wirklich frei sind. Die Aktiverungsenergie für das Hüpfen eines
freien“ Ladungsträgers ist deutlich kleiner als die Aktivierungsenergie ǫ3 , da
”
sich in nächster Nachbarschaft kein negativ geladener Akzeptor befindet. Die in
diesem Absatz eingeführte Bandlücke“ ist nicht mit dem Coulomb-Gap (vgl. Ab”
schnitt 2.2.1) gleichzusetzen, obwohl Letzteres im gleichen Energiebereich liegt.
Vielmehr hat die Zustandsdichte des Störstellenbands für K → 0 ein scharfes
Maximum, das aus neutralen Donatorzuständen besteht und im Abstand ǫ3 zum
Ferminiveau liegt. In der Nähe des Ferminiveaus befinden sich die (wenigen) positiv geladenen Donatorzustände (vgl. Abschnitt 2.2.2.4).
2.2.2.2
Verbessertes Modell für K → 0 nach Price [Pri57]
Das Modell von Price unterscheidet sich vom einfachen Modell von Mott nur
in der Berechnung der Bindungsenergie E eines Lochs an einem negativ geladenen Akzeptor (Gl. (2.16)). Während Mott diejenige Energie berechnet, die
benötigt wird, um ein Loch von einem ionisierten Akzeptor unendlich weit zu
entfernen, verwendet Price eine Entfernung, bei der ein Loch effektiv außerhalb
des Coulomb-Feldes des entsprechenden Akzeptors ist. Price erhält für die Bindungsenergie
e2 1/3
1/3
E∼
ND − 2NA .
4πǫr ǫ0
2.2.2.3
(2.19)
Widerstandsnetzwerk nach Miller und Abrahams [Mil60]
Miller und Abrahams zeigten 1960, dass das Problem der Berechnung der
Störbandleitung auf die Berechnung eines Netzwerks aus elektrischen Widerständen Rij , die je zwei zufällig angeordnete Donatoren i und j miteinander verbinden, reduziert werden kann (Abb. 2.9). Der Strom Iij , der zwischen
zwei Donatoren fließt, entspricht der Hüpfrate der Ladungsträger zwischen diesen Störstellen mit den lokalen Potentialen Vi bzw. Vj . Die Lösung des Problems
besteht aus zwei Teilschritten:
1. Bestimmung der Widerstände Rij
2. Berechnung des Gesamtwiderstands des zufälligen Widerstandsnetzwerks
16
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
Donator
Rij
i
j
elektr. Widerstand
Abb. 2.9: Zufälliges Widerstandsnetzwerk nach Miller und Abrahams [Mil60]; Widerstände Rij verbinden je zwei zufällig angeordnete Donatoren i und j.
Dieses Berechnungsschema wird auch zur Berechnung der Störbandleitung
mittels Perkolationstheorie angewendet (vgl. Abschnitte 2.2.2.4 und 2.2.2.5).
Für die Berechnung eines Widerstands Rij bestimmten Miller und Abrahams
zunächst die Übergangswahrscheinlichkeit γij eines Ladungsträgers vom Donator
i zum Donator j mit Abstand rij ohne äußeres elektrisches Feld. Unter der Annahme einer wasserstoffartigen Wellenfunktion mit Radius a, und dass die Energie Ej − Ei für den Übergang von langwelligen akustischen Phononen (isotropes
Spektrum) bezogen wird, erhält man:
−1
Ej − Ei
2rij
exp
−1
γij =
exp −
a
kB T
2 2 "
2 #−4
2
2
r
Φ
(E
−
E
)
2e
(E
−
E
)a
j
i
j
i
ij
γij0 =
1+
πdc5 ~4
12πǫr ǫ0 a
a2
2~c
γij0
mit:
(2.20)
(2.21)
Φ Deformationspotential
d Kristalldichte
c Schallgeschwindigkeit.
Für die weitere Berechnung der Übergangsrate Γij (pro Zeiteinheit) führten Miller
und Abrahams folgende Vereinfachung ein: die Besetzungszahlen ni und Energien
Ei der Donatoren fluktuieren nicht mit der Zeit, sondern werden als konstant
betrachtet, wobei ihre Zeit-gemittelten Werte (mit gleichem Formelsymbol bezeichnet) genommen werden. Es folgt
Γij = hγij ni (1 − nj )i ≈ γij ni (1 − nj )
(2.22)
und für den elektrischen Strom zwischen Donator i und j
Iij = −e (Γij − Γji ) .
(2.23)
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
17
Ohne äußeres elektrisches Feld werden die Besetzungszahlen ni durch die Fermiverteilung mit zweifacher Spinentartung bestimmt; im thermischen Gleichgewicht liegt damit ein detailliertes Gleichgewicht vor, d. h. Γij = Γji =: Γ0ij und
damit Iij = 0. Der Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes F kann als Störung
des detaillierten Gleichgewichts betrachtet werden.
ni = n0i + δni
Ei = Ei0 + δEi
(2.24)
(2.25)
Da die Besetzungszahlen ni durch die Fermiverteilung bestimmt sind, können die
Störungen δni als Störungen δEF,i der Fermienergie EF aufgefasst werden. Durch
die geänderte Besetzung der Störstellen ändert sich die Coulombwechselwirkung;
die Abweichung vom Gleichgewicht sowie das vom elektrischen Feld F erzeugte
Potential werden in den Störungen δEi berücksichtigt.
Für ein kleines elektrisches Feld mit δEF,i , δEi ≪ kB T kann Γij als Potenzreihe
nach den Störgrößen entwickelt werden; es folgt
−1
Iij = Rij
· Uij
(2.26)
mit
kB T
e2 Γ0ij
= Vi − Vj = (−δEF,i − δEi ) − (−δEF,j − δEj ) .
Rij =
(2.27)
Uij
(2.28)
Vi wird als lokales, elektrochemisches Potential am Ort des Donators i betrachtet; Uij wird als Spannungsabfall zwischen Donator i und j interpretiert. Rij ist
der gesuchte elektrische Widerstand des Übergangs i → j. Üblicherweise separiert man in Rij alle Exponentialterme von den schwächeren Potenztermen. Für
niedrige Temperaturen kB T ≪ Eij mit
Eij =
1
(|Ei − Ej | + |Ei − EF | + |Ej − EF |)
2
(2.29)
erhält man
0
exp(ξij )
Rij = Rij
(2.30)
mit
2rij
Eij
+
,
a
kB T
kB T
= 2 0.
e γij
ξij =
0
Rij
(2.31)
(2.32)
Im zweiten Teilschritt der Berechnung von σ3 und ǫ3 wird die Leitfähigkeit
des gesamten Widerstandsnetzwerks berechnet. Die Schwierigkeit besteht in der
18
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
extrem inhomogenen Verteilung der Widerstandswerte, die bis zu 10 Größenordnungen auseinander liegen können. Miller und Abrahams nahmen vereinfachend
an, dass zwei Flächen (elektrische Kontakte) eines Kristalls durch einfache Widerstandsketten, d. h. Reihenschaltungen von Einzelwiderständen Rij , verbunden
sind, die insgesamt parallel verschaltet sind. Aufgrund der zufälligen räumlichen
Verteilung der Donatoren enthält jede einzelne Kette einen großen Widerstand,
der viel größer ist als ein Widerstand, der von einem mittleren Donatorabstand
stammt; diese großen Widerstände dominieren den Gesamtwiderstand einer Kette. Unter der Annahme von Poisson-verteilten großen Widerständen erhielten
Miller und Abrahams für K ≪ 1
r 3/2 D
0
−1
ρ3 = σ3 = ρ3 exp 1.09
(2.33)
a
wobei
ǫ3 = ǫD 1 − 1.35K 1/3 ,
rD =
4
πND
3
−1/3
(2.34)
(2.35)
der mittlere Donatorabstand und ǫD die Coulombwechselwirkung zweier Störstellen im Abstand rD ist. Der Vorfaktor ρ03 enthält alle schwächeren Potenzabhängigkeiten von rD , a, T , c, d und Φ.
Die Berechnung des Widerstandsnetzwerks nach Miller und Abrahams basiert
auf der unrealistischen Annahme, dass die Widerstandsketten nur an ihren Enden
parallel verschaltet sind und der Widerstand einer Kette durch Poisson-verteilte
große Widerstände bestimmt wird. Es kann aber gezeigt werden, dass die für
den Gesamtwiderstand des Kristalls maßgebenden großen Widerstände nur ein
infinitesimal kleines Volumen belegen; daher gibt es immer einen Bypass, der
den Hauptanteil des Stroms um einen solchen großen Widerstand herumführt, so
dass der Strom durch große Widerstände verschwindend klein ist. Die Bedeutung
großer Widerstände wird daher überbetont.
2.2.2.4
Perkolationsmodell nach Efros et al. [Efr72]
Die Entwicklung der Perkolationstheorie1 durch Broadbent und Hammersley
[Bro57] lieferte eine Methode für die korrekte Berechnung des Miller-AbrahamsWiderstandsnetzwerks. Broadbent und Hammersley untersuchten eine neue Klasse mathematischer Probleme, die sich mit Durchsickern von Flüssigkeiten durch
ein zufälliges Labyrinth beschäftigen. Dieses Problem ist der Berechnung eines
zufälligen Widerstandsnetzwerks sehr ähnlich; in letzterem Fall sickert“ elektri”
scher Strom durch ein Labyrinth aus Widerständen.
1
to percolate (Englisch): durchsickern
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
A
19
B
Abb. 2.10: Bindungsproblem der Perkolationstheorie am Beispiel eines 2-dimensionalen
quadratischen Gitters. Beim Befeuchten von Platz A kann die Flüssigkeit zu allen dunkelgrauen Plätzen durchsickern; es wird ein endliches Gebiet befeuchtet, während im
Fall von Platz B (möglicherweise) ein unendlich großes Gebiet befeuchtet werden kann.
Die Perkolationstheorie beruht auf der Bestimmung von Perkolationsschwellen
und kritischen Exponenten für eine gegebene räumliche Symmetrie. Zur Verdeutlichung ist in Abb. 2.10 ein Ausschnitt eines unendlich ausgedehnten quadratischen Gitters gezeigt, dessen Gitterplätze teilweise durch Verknüpfungen verbunden sind; der Anteil der geschlossenen Verknüpfungen sei x; dieser Anteil kann
auch als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, dass eine Verknüpfung geschlossen ist (Verknüpfungskriterium). Es ist die obere Grenze xc zu bestimmen, bei
der bei zufälliger Wahl eines Startplatzes nur endlich große Gebiete miteinander
verbunden sind (vgl. Abb. 2.10 Platz A), d. h. bei der die Wahrscheinlichkeit P (x)
für das Auftreten eines unendlich großen verbundenen Gebiets 0 ist. Für Werte
x > xc nahe dieser Perkolationsschwelle steigt P (x) gemäß
P (x) ∼ (x − xc )β
(2.36)
mit kritischem Exponent β an. Für das hier gezeigte 2-dimensionale Problem
ist xc = 0.5 [Syk63] und β ≈ 0.14 [Syk76]. Für andere Geometrien existieren
zahlreiche Veröffentlichungen.
Im Falle der Störbandleitung in einem dotierten kristallinen Halbleiter sind
die Störstellenatome natürlich nicht regelmäßig angeordnet, sondern statistisch
über den Kristall verteilt. Pike und Seager [Pik74] erweiterten die Perkolationstheorie auf sog. Random Site Problems. Als Maß für die Nähe“ zweier Plätze
”
i und j wurde eine vom Abstand rij abhängige Funktion ξij definiert; das Verknüpfungskriterium für diese Plätze ist ξij ≤ ξ.
Die einfachste Funktion ξij ist ξij = rij ; d. h. zwei Plätze sind miteinander
verbunden, wenn ihr Abstand kleiner als eine vorgegebene Grenze r ist. Bei einer kritischen Grenze rc (Perkolationsschwelle) werden erstmals unendlich viele
Plätze miteinander verbunden. rc kann als Radius von Sphären interpretiert werden. Zwei Plätze sind miteinander verbunden, wenn jeweils ein Platz innnerhalb
der Sphäre des anderen Platzes liegt. rc ist proportional zum mittleren Abstand
20
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
N −1/3 der Plätze, wobei N die Anzahl der Plätze pro Volumen N (Konzentration)
ist. In der Literatur wird statt rc häufig das dimensionslose Sphärenvolumen
4
Bc = πN rc3
3
(2.37)
betrachtet. Bc kann durch numerische Verfahren bzw. Monte-Carlo-Simulationen
berechnet werden und ist
Bc = (2.7 ± 0.3) [Shk84, S. 114].
(2.38)
Die Schwankungsbreite gibt die Streuung der Literaturwerte wieder. Mit Hilfe dieses Wertes kann das Miller-Abrahams-Netzwerk ausgehend von den Widerständen aus Gln. (2.30) und (2.31) berechnet werden. Als Verknüpfungskriterium wird
ξij =
2rij
Eij
+
≤ξ
a
kB T
(2.39)
0
gewählt, d. h. alle Widerstände Rij = Rij
exp(ξij ) mit ξij ≤ ξ werden als eingeschaltet, Widerstände mit ξij > ξ als ausgeschaltet (sehr hochohmig) betrachtet. Aus der Perkolationstheorie folgt, dass es bei systematischer Erhöhung der
Schwelle ξ eine Perkolationsschwelle ξc gibt, bei der ein Strom durch den gesamten Kristall über eingeschaltete Widerstände fließt. Der Gesamtwiderstand des
Kristalls nahe der Perkolationsschwelle wird bestimmt durch die größten zuletzt
eingeschalteten Widerstände, deren ξij nahe ξc ist. Mit Gl. (2.30) folgt für den
spezifischen Widerstand des Kristalls
ρ3 = ρ03 exp(ξc ).
(2.40)
Für die Bestimmung der Donatorkonzentrationsabhängigkeit von ρ3 wird der
Energieterm in Gl. (2.39) zunächst vernachlässigt, d. h. ξij0 = 2rij /a (die Kennzeichnung 0 vermerkt diese Vernachlässigung). Dazu wird angenommen, dass die
Temperatur T zunächst so groß sei, dass der Energieterm als kleine Störung des
Abstandsterms aufgefasst werden kann. Physikalisch bedeutet dies, dass Ladungsträgersprünge über kurze räumliche Abstände rij zu nah benachbarten Störstellen2 unabhängig von der dafür benötigten Energie Eij ausgeführt werden3 (für
2
daher der Begriff Nächste-Nachbar-Hüpfleitung“ (engl.: nearest neighbor hopping) im Ge”
gensatz zu variable-range hopping (Abschnitt 2.2.3)
3
Abschätzung für n-Typ 4H-SiC mit ND = 1 × 1018 cm−3 , ED = 100 meV, K → 0: für
rij wird der mittlere Donatorabstand rD = 62Å, für Eij der Abstand von Fermi-Energie zum
Maximum der Zustandsdichte (vgl. Abb. 2.11) ∆E ≈ EF − ED = 15 meV eingesetzt; mit
a = √2m~∗ E = 14Å folgt
D
2rij
Eij
≫
,
a
kB T
falls
T ≫ 20 K.
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
21
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äåÇæÃ
çèÉáÇé
ñ
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õ
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Ï
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ÑÏ
Abb. 2.11: Simulierte Zustandsdichte g(E) im Donator-Störband für K = 0.001. Nahe
der Energie E −ED = 0 des isolierten Donators befindet sich ein scharfes Maximum der
Zustandsdichte, dessen Breite vernachlässigbar ist gegen den Abstand zur Fermienergie
EF .
den Fall niedriger Temperatur T siehe Abschnitt 2.2.3). Das Verknüpfungskriterium Gl. (2.39) wird mit dieser Vereinfachung zu
rij ≤ r
mit r =
aξ 0
2
(2.41)
reduziert und entspricht dem oben diskutierten Sphärenproblem, dessen Lösung
mit Gl. (2.38)
−1/3
rc = 0.865ND
bzw.
ξc0 =
1.73
1/3
ND a
(2.42)
ist. Unter Verwendung von Gl. (2.40) erhält man
ρ3 = ρ03 exp
1.73
1/3
ND a
!
.
(2.43)
Für die Bestimmung der Temperaturabhängigkeit von ρ3 wird der vernachlässigte Energieterm in Gl. (2.39) als Störung des bereits gelösten Perkolationsproblems mit Verknüpfungskriterium ξij0 ≤ ξ 0 betrachtet.
ξij0 + ∆ξij ≤ ξ
mit ∆ξij =
Eij
kB T
(2.44)
Analytisch lassen sich die beiden Grenzfälle K → 0 und K → 1 berechnen.
22
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
Niedrige Kompensation: K → 0
Für den Fall K → 0 vereinfachtet sich die Wechselwirkungsenergie Eij (vgl.
Gl. (2.29)) zu
Eij = EF ,
(2.45)
da die Energien Ei nahezu aller (bis auf KND → 0) Donatorzustände nahe der
Ionisierungsenergie E−ED = 0 des isolierten Donators liegen und damit gegen EF
vernachlässigt werden können (siehe simulierte Zustandsdichte g(E) in Abb. 2.11
bzw. [Efr72]). ∆ξij ist damit unabhängig von den Indizes i und j. Durch Umstellung der Störung auf die rechte Gleichungsseite erhält man das ungestörte
Verknüpfungskriterium
ξij0 ≤ ξ −
EF
,
kB T
(2.46)
dessen Lösung ξc0 bereits bestimmt wurde (siehe Gl. (2.42)). Die Lösung des
gestörten Problems und damit ρ3 folgt aus Gl. (2.46) mit Gl. (2.40):
EF
0
0
(2.47)
ρ3 = ρ3 exp(ξc ) exp
kB T
Für K → 0 wurde EF = 0.61ǫD bestimmt (vgl. Abschnitt 2.2.1). Somit ist die
thermische Aktivierungsenergie im Fall
K → 0: ǫ3 = EF = 0.61ǫD = 0.61
e2
1/3
4
πND
3
4πǫr ǫ0
.
(2.48)
Die physikalische Interpretation dieses Ergebnisses geht analog zu Mott’s einfachem Modell (Abschnitt 2.2.2.1). Löcher von den wenigen, ionisierten Donatoren nahe der Fermienergie können thermisch auf einen neutralen Donatorzustand
(nahe der Ionisierungsenergie des isolierten Donators) angeregt werden und sich
mit geringerer thermischer Aktivierung im D0 -Band bewegen.
Die Fermienergie EF = 0.61ǫD wurde ohne Berücksichtigung der langreichweitigen Wechselwirkung geladener Störstellenkomplexe berechnet (K ≈ 0). Geladene Störstellenkomplexe sind räumlich isolierte geladene Akzeptoren oder zwei
geladene Donatoren, die sich in unmittelbarer Nähe eines geladenen Akzeptors
befinden. Das Auftreten geladener Störstellenkomplexe hängt von der zufälligen
räumlichen Verteilung der Störstellen ab. Efros et al. [Efr72] haben festgestellt,
dass die von dieser Wechselwirkung stammende langreichweitige Potentialschwankung klein gegen EF ist und bestimmten diese für K ≪ 5 · 10−4 ; mit dieser
Korrektur erhält man für
K ≪ 5 · 10−4 : ǫ3 = EF = 0.61ǫD 1 − 0.29K 1/4 .
(2.49)
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
23
EC + VC
EC(r) = EC + V(r)
DED = EC - ED = const
ED + VC
e3
e1
ED(r) = ED + V(r)
EF
Abb. 2.12: Ausschnitt eines Bänderschemas für einen hochkompensierten Halbleiter
K → 1. Die Leitungsbandkante EC (dicke durchgezogene Kurve) und das Donatorniveau ED (dünne durchgezogene Kurve) werden vom Potential der langreichweitigen
Wechselwirkung geladener Störstellen-Komplexe V (r) moduliert; der energetische Abstand ∆ED = EC −ED bleibt konstant. Die Aktivierungsenergien ǫ1 bzw. ǫ3 entsprechen
dem Abstand vom Ferminiveau EF zu den Perkolationsschwellen EC + Vc bzw. ED + Vc
(gestrichelte Linien).
Hohe Kompensation: K → 1
Im Falle K → 1 erfolgt die Herleitung von ǫ3 analog dem oben beschriebenen Fall niedriger Kompensation; die langreichweitige Wechselwirkung geladener Störstellen-Komplexe ist aufgrund der hohen Anzahl geladener Störstellen
(NA− ≈ ND+ ≫ ND0 für K → 1) allerdings nicht mehr vernachlässigbar. Das
daraus resultierende ortsabhängige Potential V (r) moduliert sowohl die energetische Lage der Bandkanten als auch der Störstellenniveaus (siehe Abb. 2.12).
Shklovskii und Efros [Shk84] haben gezeigt, dass sich V (r) langsam mit dem
Ort r im Vergleich zum mittleren Abstand benachbarter Störstellen ändert. Das
Potential V (r) am Ort zweier benachbarter Störstellen i und j kann daher näherungsweise als konstant angesehen werden. Bei Temperaturen T oberhalb des
VRH-Bereichs (vgl. Abschnitt 2.2.3) sind hauptsächlich räumlich benachbarte
Störstellen an der Hopping-Leitung beteiligt, da der Energieterm in Gl. (2.31)
klein gegen den Abstandsterm ist. Bis auf (1 − K)ND → 0 Störstellen liegen
— wie im Fall niedriger Kompensation — alle Zustände nahe der Energie des
isolierten Donators E − ED = 0; die Fermienergie EF ist allerdings negativ (vgl.
Abb. 2.8). Unter Berücksichtigung von V (r) ergibt sich
Ei = Ej = V (r)
(2.50)
und mit den Gln. (2.46) und (2.40) folgt für den ortsabhängigen spezifischen
Widerstand
V (r) − EF
0
0
;
(2.51)
ρ3 (r) = ρ3 exp(ξc ) exp
kB T
24
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
dieser ändert sich wie V (r) und ist somit ebenfalls in makroskopischen Bereichen näherungsweise konstant. Um den gesamten ortsunabhängigen spezifischen
Widerstand ρ3 zu berechnen, wird ein zweites Mal die Perkolationstheorie auf
diese makroskopischen Bereiche mit gleichem Widerstand angewendet. Mit der
gleichen Argumentation wie im mikroskopischen Bereich folgt die Existenz einer
kritischen Perkolationsschwelle Vc (vgl. Abb. 2.12), so dass für ρ3 folgt:
Vc − EF
0
0
ρ3 = ρ3 exp(ξc ) exp
.
(2.52)
kB T
Eine Abschätzung [Shk84] der Aktivierungsenergie ǫ3 = Vc − EF liefert für
K → 1: ǫ3 = C
ǫD
,
(1 − K)1/3
(2.53)
wobei C eine positive Konstante von der Größenordnung 1 ist. Eine genauere
Bestimmung von ǫ3 erfolgt mittels Computersimulation (siehe nächsten Abschnitt
2.2.2.5).
Da sich das Potential V (r) auch auf die energetische Lage der Leitungsbandkante auswirkt, wird die Aktivierungsenergie ǫ1 für Anregung von Elektronen aus
Donatorzuständen ins Leitungsband in gleichem Maße wie ǫ3 modifiziert (siehe
Abb. 2.12). Zwischen ǫ1 und ǫ3 besteht folgender Zusammenhang:
ǫ1 = ∆ED + ǫ3 .
(2.54)
Eine detaillierte Diskussion von ǫ1 in Abhängigkeit von Dotierkonzentration und
Kompensation ist z. B. in [Sch94, Sch95, Shk84] zu finden.
2.2.2.5
Computersimulation der Perkolation nach Nguyen Van Lien
et al. [Lie79]
Im Abschnitt 2.2.1 wurde eine Methode zur Simulation der Zustandsdichte des
Störbands vorgestellt; das Ergebnis dieser Simulation ist ein Satz von Besetzungszahlen {ni } und Energien {Ei } zu einer gegebenen zufälligen räumlichen
Verteilung {ri } von Donatoren und Akzeptoren. Mit diesen Daten und dem Verknüpfungskriterium (vgl. Gl. (2.39))
Eij
2rij
+
≤ξ
a
kB T
(2.55)
kann die Perkolationsschwelle ξ = ξc bestimmt werden. Dazu wird ξ schrittweise
erhöht und die Perkolation jeweils wie folgt durch Simulation überprüft:
1. Im quaderförmigen Simulationsvolumen werden zwei gegenüberliegende Seitenflächen x = 0 bzw. x = L ausgezeichnet; sie entsprechen den elektrischen
Kontakten, über die der elektrische Strom durch die reale Probe fließt. Alle Donatoren in einer dünnen Schicht 0 ≤ x ≤ qrc werden als mit der
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
25
Kontaktfläche x = 0 leitend verbunden betrachtet, wobei rc der kritische
Sphärenradius aus den Gln. (2.37) und (2.38) und q ein numerischer Koeffizient (häufig q = 1) ist; diese Donatoren werden als bereits verwendet“
”
markiert. Im Folgenden wird ein Perkolationspfad durch das Quadervolumen zur gegenüberliegenden Fläche x = L gesucht.
2. Das Verknüpfungskriterium Gl. (2.55) wird für alle Donatorpaare bestehend
aus einem bereits markierten und einem noch nicht verwendeten Donator
überprüft. Ist das Verknüpfungskriterium erfüllt, so wird das Donatorpaar
als elektrisch verbunden betrachtet und der unbenutzte Donator als bereits
”
verwendet“ markiert.
3. Diese Überprüfung wird so lange fortgesetzt, bis entweder keine neuen Donatoren das Verknüpfungskriterium mehr erfüllen (keine Perkolation; ξ war
zu klein) oder ein Donator in der Schicht L − qrc < x ≤ L gefunden wird;
dieser ist mit der gegenüberliegenden Kontaktfläche verbunden, und damit
wurde eine Perkolation gefunden. Das kleinste ξ, für das eine Perkolation
gefunden wird, ist die Perkolationsschwelle ξc .
Durch Bestimmung der Werte ξc in Abhängigkeit der Temperatur T als Parameter, kann die Temperaturabhängigkeit von ξc ermittelt werden. Für T → ∞
-
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>ý=ü?@ýùù ÷ =0 A >ý-B
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,
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ö÷øùúûüý÷ þ÷ÿú÷û û Abb. 2.13: Perkolationsschwelle ∆ξc (rechte y-Achse) und Aktivierungsenergie ǫ3 (linke y-Achse) als Funktion der reziproken Temperatur für zwei verschiedene Kompensationsgrade: K = 0.5 (durchgezogene Kurve), K = 0.3 (gestrichelte Kurve). Für die
Simulation wurde n-Typ 4H-SiC angenommen und mit 1600 bzw. 800 Donatoren (Donatorkonzentration ND = 1 × 1018 cm−3 ) gerechnet.
26
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
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e
cd
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[a
^]
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bà
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G
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M
z
Q
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QRS
QRT
QRU
QRV
WRQ
CDEFGHIJKLDHIMNJO P
Abb. 2.14: Aktivierungsenergie ǫ3 als Funktion des Kompensationsgrads K für n-Typ
4H-SiC mit einer Donatorkonzentration von ND = 1 × 1018 cm−3 , bestimmt aus folgenden Modellen: (a) Mott [Mot56], (b) Price [Pri57], (c) Miller und Abrahams [Mil60],
(d) und (e) Efros et al. (Annahme für K → 1: C = 0.5) [Efr72], (f) und (g) Nguyen
Van Lien et al. [Lie79] nicht-adiabatisch für (f) bzw. adiabatisch für (g).
verschwindet der temperaturabhängige Term in Gl. (2.55); man erhält ξc (T →
∞). Der temperaturabhängige Anteil der Perkolationsschwelle ist somit
∆ξc (T −1 ) = ξc (T −1 ) − ξc (T → ∞).
(2.56)
Für n-Typ 4H-SiC mit einer Donatorkonzentration ND = 1 × 1018 cm−3 ist
in Abb. 2.13 die Perkolationsschwelle ∆ξc in Abhängigkeit von der reziproken
Temperatur aufgetragen (rechte y-Achse); aus der Steigung erhält man die Aktivierungsenergie ǫ3 (vgl. Gl. (2.40)), die bezüglich der linken y-Achse in Abhängigkeit der reziproken Temperatur aufgetragen ist. Bei niedrigen Temperaturen
T < 100K ist die Aktivierungsenergie näherungsweise konstant; dies entspricht
der üblichen experimentellen Beobachtung. Der Anstieg von ǫ3 zu hohen Temperaturen hin kann experimentell i. d. R. nicht beobachtet werden, da er vom
Einsetzen der Bandleitung überdeckt wird.
Abb. 2.14 stellt die Simulationsergebnisse von Nguyen Van Lien et al. für
die Aktivierungsenergie ǫ3 in Abhängigkeit des Kompensationsgrads dar (Kurve
(f)); die ursprünglich dimensionslosen Größen in [Lie79] wurden in physikalische
Größen für n-Typ 4H-SiC mit ND = 1 × 1018 cm−3 umgerechnet. Für K < 0.7 ist
ǫ3 nur schwach abhängig vom Kompensationsgrad K. Für K > 0.7 schiebt das
Fermi-Niveau rasch in Richtung Bandgap-Mitte (vgl. Abb. 2.8), als Folge steigt
ǫ3 stark an.
Nguyen Van Lien et al. erweiterten die Simulation auf den sog. adiabatischen
Fall, bei dem berücksichtigt wird, dass nach dem Sprung eines Ladungsträgers
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
27
weitere Ladungsträger im neuen Potential relaxieren (Kurve (g)). Die dadurch
bestimmten Energiewerte ǫ3 sind ca. 30% niedriger als im nicht-adiabatischen
Fall.
2.2.2.6
Zusammenfassung der Modelle
In Abb. 2.14 sind zusätzlich zu den Simulationsergebnissen (Kurven (f) und (g))
mit den Kurven (a) bis (e) die Ergebnisse der vorangegangenen Abschnitte 2.2.2.1
bis 2.2.2.4 eingezeichnet. Bei den frühen Arbeiten von Mott, Price bzw. Miller
und Abrahams ergeben sich teils große Abweichungen (bis zu 70%) von den Simulationskurven, während die Ergebnisse der analytischen Behandlung der Perkolationstheorie in den beiden Grenzfällen K → 0 (Kurve (d)) bzw. K → 1 (Kurve
(e)) in Übereinstimmung mit den Simulationsergebnissen sind.
2.2.3
Variable Range Hopping (VRH)
In Abschnitt 2.2.2.3 wurde gezeigt, dass die elektrische Verbindung“zweier belie”
biger Donatoren durch das Ohmsche Gesetz beschrieben wird. In diesem Modell
sind je zwei Donatoren i und j verbunden durch einen Widerstand der Größe
0
Rij = Rij
exp(ξij )
mit
ξij =
Eij
2rij
+
.
a
kB T
(2.57)
Bei den vorangegangenen Herleitungen von ǫ3 wurde stets der Fall hoher“ Tem”
peratur T betrachtet, so dass der Energieterm von ξij als kleine Störung des
Abstandsterms aufgefasst werden konnte. Mit sinkender Temperatur T wächst
der Betrag des Energieterms von ξij an. Sprünge mit großen Energien Eij werden
unwahrscheinlicher zugunsten Sprüngen mit kleiner Energie und notfalls großem
räumlichen Abstand. Man kann daher ein Band EF ± ∆E(T ) um das FermiNiveau definieren, innerhalb dessen Sprünge bei einer gegebenen Temperatur T
möglich sind und das mit abnehmender Temperatur schmaler wird (Abb. 2.15).
E
EF+DE(T)
EF
EF-DE(T)
Abb. 2.15: Schematischer Ausschnitt des Störbands; bei niedriger Temperatur können
nur Sprünge innerhalb des schmalen Bands EF ± ∆E von besetzten (neutrale Donatoren) zu unbesetzten Zuständen (positiv geladene Donatoren) erfolgen.
28
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
Unter Annahme einer konstanten Zustandsdichte4 g(E) in der Nähe der FermiEnergie EF ist die Konzentration an Zuständen innerhalb dieses schmalen Bandes
gegeben durch
N (∆E) = 2∆E · g(EF ).
(2.58)
Der Abstand rij bzw. die Energiedifferenz Eij zweier Donatoren mit Energiezuständen innerhalb des Bandes EF ± ∆E können mit dem mittleren Abstand
−1/3
4π
bzw. der mittleren Energiedifferenz ∆E abgeschätzt werden. Mit
N (∆E)
3
Gl. (2.57) folgt
#
"
1/3
∆E
3
+
.
(2.59)
ρ = ρ0 exp
π∆Eg(EF )a3
kB T
Durch Minimierung des Exponenten in Gl. (2.59) bzgl. ∆E erhält man eine optimale Breite
1/4
(kB T )3
.
(2.60)
∆E =
9πg(EF )a3
Wird ∆E in Gl. (2.59) eingesetzt, so erhält man
Mott’s Law:
ρ(T ) = ρ0 exp
"
T0
T
1/4 #
(2.61)
mit
T0 =
β
,
kB g(EF )a3
(2.62)
wobei β eine Konstante ist. β kann durch numerische Verfahren abgeschätzt werden; Literaturwerte schwanken zwischen β = 8 . . . 28 [Shk84]. Skal et al. [Ska71]
bestimmten β im Rahmen einer perkolationstheoretischen Betrachtung durch
Monte Carlo Simulation für ein endliches System (1500 Störstellen) und erhielten
nach Extrapolation für ein unendliches System β = 21.2 ± 1.2.
Die Aktivierungsenergie ǫ3 für den spezifischen Widerstand ρ ist bestimmt
durch die Ableitung von ln(ρ) nach (kB T )−1 :
ǫ3 (T ) =
∂ ln(ρ)
kB 1/4 3/4
=
T ·T
∼ ∆E.
−1
∂(kB T )
4 0
(2.63)
Aus der Proportionalität von ǫ3 und ∆E ist zu erkennen, dass die Aktivierungsenergie bis auf eine Konstante durch die Breite des Energiebands EF ± ∆E, in
dem Hopping-Leitung erfolgen kann, bestimmt ist. ǫ3 ist im Bereich des VRH
2.2 Thermisch aktivierte Leitung in niedrig dotierten Halbleitern
29
eine Funktion der Temperatur T und nimmt mit sinkender Temperatur gemäß
T 3/4 ab.
Die Annahme von Mott, dass die Störband-Zustandsdichte g(E) in der Nähe
der Fermi-Energie EF näherungsweise konstant ist, ist unhaltbar, da die Zustandsdichte bei EF quadratisch mit E verschwindet (Coulomb-Gap). Hamilton [Ham72]
zeigte, dass man für eine Zustandsdichteverteilung der Form
g(E) ∼ |E − EF |n
mit
n>0
(2.64)
eine Temperaturabhängigkeit für den spezifischen Widerstand von
ρ(T ) = ρn exp
Tn
T
p mit
p=
n+1
n+4
(2.65)
erhält. Für n = 0, d. h. konstante Zustandsdichte, erhält man Mott’s Law mit
p = 41 . Im realen kristallinen Halbleiter fällt die Zustandsdichte im Coulomb-Gap
quadratisch mit der Energie ab, d. h. n = 2; daher gilt in diesem Fall Gl. (2.65)
mit
p=
1
2
(2.66)
4
Diese Annahme wurde von Mott 1968 bei der ersten Ableitung von VRH gemacht [Mot68];
zu diesem Zeitpunkt wurde die Existenz des Coulomb-Gaps noch nicht vermutet.
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 €¡¢£}
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¦§ ¡¤¥
Š
ˆ
ˆ
‰ˆ
Šˆ
‹ˆ
Œˆ
ˆ
Žˆ
|}~}€‚ƒ€ „ …†‡
Abb. 2.16: Aktivierungsenergie ǫ3 für Störbandleitung als Funktion der Temperatur
für n-Typ 4H-SiC mit ND = 1 × 1018 cm−3 und K = 0.5 im Bereich des VariableRange-Hoppings und des Nearest-Neighbor-Hoppings; ǫ3 wurde unter Verwendung der
Simulationsergebnisse aus [Efr79b, Lie79] berechnet.
30
Kapitel 2: Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern
und für die Aktivierungsenergie ergibt sich
ǫ3 (T ) =
mit
T2 =
kB p
T2 · T
2
β1 e2
.
4πǫr ǫ0 kB a
(2.67)
(2.68)
Efros et al. [Efr79b] bestimmten den numerischen Faktor β1 = 2.8 mittels des in
Abschnitt 2.2.2.5 vorgestellten Simulationsverfahrens im Bereich tiefer Temperaturen.
Für n-Typ 4H-SiC ergibt sich mit dem in Fußnote 3 auf Seite 20 bestimmten
Radius der Störstellenwellenfunktion a = 14Å für T1 :
T2 = 3400 K.
(2.69)
Die Aktivierungsenergie ǫ3 (T ) in Abhängigkeit der Temperatur T ist für dieses
Beispiel in Abb. 2.16 dargestellt.
Kapitel 3
Elektrische Charakterisierung
von MOS Feldeffekttransistoren
Der Metall-Oxid-Halbleiter-Feldeffekttransistor (MOSFET) ist ein unipolarer
elektronischer Schalter, bei dem der Strom über ein elektrisches Feld gesteuert wird (Feldeffekt). Das Bauelement besteht aus einem MOS-Kondensator mit
Gate-Elektrode und zwei daran angrenzenden hoch dotierten Gebieten mit umgekehrtem Leitungstyp (Source und Drain; siehe Abb. 3.1). Zur sprachlichen Vereinfachung sei im Folgenden stets ein n-Kanal MOSFET, wie in Abb. 3.1 abgebildet,
vorausgesetzt. Die pn-Übergänge von Source bzw. Drain zum Volumenmaterial
(Body) liegen in Reihe, wobei sie jeweils umgekehrt gepolt sind; daher fließt ohne ein geeignetes Gate-Potential — bis auf Dioden-Leckströme — kein Strom
zwischen Source und Drain. Üblicherweise ist jedoch der Rückseitenkontakt mit
Source verbunden, so dass nur noch ein pn-Übergang wirksam ist; diese Diode
wird Body-Diode genannt.1
Wird der MOS-Kondensator durch ein positives Gate-Potential in Inversion
gebracht, so existiert im Halbleiter an der Grenzfläche eine dünne Inversionsschicht mit freien Elektronen, die den elektrischen Kontakt zwischen Source und
Drain herstellen. Der sog. On-Widerstand Ron , d. h. der elektrische Widerstand
zwischen Source und Drain im eingeschalteten Zustand, soll dabei zur Vermeidung
von Verlusten (Verlustleistung Plost = Ron · ID2 ; ID ist der Source-Drain-Strom)
und langsamen Schaltzeiten (RC-Glieder) möglichst klein sein. Ron setzt sich zusammen aus dem Kontaktwiderstand des Source- bzw. Drain-Kontaktes und dem
Kanalwiderstand, der außer von den Kanalabmessungen (Breite W , Länge L) von
folgenden physikalischen Größen abhängt:
• Inversionsladungsträgerdichte ninv ,
• Elektronenbeweglichkeit µe im Kanal,
1
Die Body-Diode wird häufig als eingebaute“ Freilaufdiode zum Kurzschließen von Induk”
tionsspannungsspitzen bei induktiven Lasten benutzt.
31
32
Kapitel 3: Elektrische Charakterisierung von MOS Feldeffekttransistoren
gate
source
n
Oxid
+
Kanal
(Inversionsschicht)
p
drain
n
+
-
Rückseite
MOS-Kondensator
Abb. 3.1: Schematische Darstellung eines lateralen n-Kanal MOSFETs.
In den folgenden Abschnitten werden diese Größen bezüglich der experimentellen
Zugänglichkeit diskutiert. Eine ausführlichere Darstellung des Aufbaus und der
Funktionsweise eines MOSFETs ist in [Lau04] oder in der Fachliteratur (z. B.
[Dim00, Sze81, Tsi87]) zu finden.
3.1
Strom-Spannungs-Charakteristiken
Ausgangspunkt für die Bestimmung elektrischer Kenngrößen eines MOSFETs
sind i. d. R. die Transfercharakteristik ID − UG und das Ausgangskennlinienfeld
ID − UD (Beispiel siehe Abb. 3.2). Die Transfercharakteristik zeigt den Zusammenhang zwischen Drain-Strom ID und Gate-Spannung UG bei einer vorgegebenen Drain-Spannung UD ; das Ausgangskennlinienfeld stellt die IV-Charakteristik
der Source-Drain-Strecke in Abhängigkeit von der Gate-Spannung UG dar. Die
Transfercharakteristik kann in drei Bereiche eingeteilt werden:
• Sub-Threshold-Bereich für UG < UT ; der MOSFET ist gesperrt bzw. befindet sich in schwacher Inversion. Der Drain-Strom ID ist ein Diffusionsstrom;
man erhält — analog zum bipolaren Bauelement — einen exponentiellen
Strom-Spannungs-Zusammenhang [Dim00].
• Linearer Bereich für UG > UT ; oberhalb der Schwellenspannung UT befindet
sich der MOSFET in starker Inversion; dieser Bereich wird in Abschnitt 3.2
genauer dargestellt.
• Bei sehr großen Gate-Spannungen UG wird experimentell häufig ein Abknicken der Kennlinie beobachtet; dies ist auf eine Abnahme der Elektro-
3.1 Strom-Spannungs-Charakteristiken
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Abb. 3.2: (a) Transfercharakteristik ID − UG und (b) Ausgangskennlinienfeld ID − UD
eines 3C-SiC n-Kanal VD-MOSFETs mit Kanallänge L = 2 µm und Kanalbreite W =
97 µm; in (a) wurde der lineare Bereich zur Bestimmung der Schwellenspannung UT
extrapoliert (gestrichelte Linie).
nenbeweglichkeit aufgrund des zunehmenden Einflusses der Streuung durch
Grenzflächenrauigkeit zurückzuführen [Jeo89].
Die Schwellenspannung UT ist die Gate-Spannung, bei der starke Inversion einsetzt. Im idealen MOSFET sind für UG < UT keine freien Elektronen im Kanal
vorhanden, der MOSFET ist im Off-Zustand; für UG > UT steigt die Inversionsladung linear mit der Gate-Spannung UG an (Proportionalitätskonstante ist die
Oxidkapazität Cox ). Experimentell wird UT aus der Transferkennlinie ermittelt;
dafür gibt es in der Literatur mindestens 11 unterschiedliche Verfahren, die in
[Ort02] zusammengefasst sind. Das häufigste und einfachste Verfahren wurde im
Beispiel in Abb. 3.2 angewendet: der lineare Bereich der Transferkennlinie, gemessen bei kleiner Drain-Spannung UD , wird extrapoliert; der Schnittpunkt mit
ID = 0 ist die Schwellenspannung, im Beispiel UT = 2.7 V.
Die Ausgangscharakteristik unterteilt sich in
• den linearen Bereich (Triode) für kleine Drain-Spannungen UD (siehe Abschnitt 3.2) und
• den Sättigungsbereich für Drainspannungen UD > UD,sat , wobei UD,sat =
UD,sat (UG ) die Sättigungsspannung ist. Die häufigste Ursache für die Sättigung des Drain-Stroms ID ist die graduelle Änderung des Oberflächenpotentials zwischen Source und Drain aufgrund der Drain-Spannung; dies führt zu
einer Abnahme der Inversionsladungsträgerdichte ninv in Richtung DrainGebiet; bei großem UD verschwindet ninv am sog. Pinch-off-Punkt, die ef-
34
Kapitel 3: Elektrische Charakterisierung von MOS Feldeffekttransistoren
fektive Kanallänge wird reduziert auf den Abstand zwischen Source und
Pinch-off-Punkt [Dim00].
3.2
Elektronenbeweglichkeit im Kanal
In einem stark invertierten MOSFET mit langem Kanal kann ID (UD ) genähert
werden durch
W
eµe ninv UD ;
(3.1)
ID =
L
dabei sind L bzw. W die Kanallänge bzw. -breite, µe bzw. ninv die Elektronenbeweglichkeit bzw. -dichte im Kanal. ninv kann entweder durch eine separate Messung (Hall-Effekt, split C-V) oder durch numerische oder analytische Ansätze
bestimmt werden [Ban96]. Der einfachste und häufigste Ansatz ist die Annahme eines linearen Zusammenhangs zwischen Inversionsladung Qinv = eninv und
Gate-Spannung UG (Plattenkondensator mit Kapazität pro Fläche Cox ) [Dim00]
Qinv = eninv ≈ Cox (UG − UT ) .
(3.2)
Die Schwellenspannung UT ist die Spannung, die benötigt wird, um den MOSFET
in starke Inversion zu bringen. UT setzt sich zusammen aus dem Spannungsabfall über der Raumladungszone und über dem Oxid beim Einsetzen der starken
Inversion. Sind die Austrittsarbeiten von Metall und Halbleiter unterschiedlich,
wird diese Differenz in der sog. Flachbandspannung UFB berücksichtigt. Für einen
langen n-Kanal-MOSFET mit UD ≪ UG − UT ergibt sich in der sog. graduellen
Kanalnäherung [Sze81]
√
4ǫr ǫ0 eNA ΦB
UT = UFB + 2ΦB +
;
(3.3)
Cox
dabei sind ΦB das Fermi-Potential im Volumen, ǫr die relative Dielektrizitätskonstante des Halbleiters und NA die Akzeptorkonzentration im Halbleiter (p-Typ).
Bei dieser Näherung werden allerdings keine Trap-Zustände an der Grenzfläche
berücksichtigt, so dass die Inversionsladungsträgerdichte ninv überschätzt wird.2
Aus Gl. (3.1) erhält man mit Gl. (3.2)
ID =
W
µe Cox (UG − UT ) UD .
L
(3.4)
ID hängt linear sowohl von UD als auch von UG ab; Gl. (3.4) beschreibt die linearen Bereiche der Transfercharakteristik und des Ausgangskennlinienfelds. Daraus
können zwei in der Literatur häufig verwendete Beweglichkeitsgrößen abgeleitet
werden.
2
Im Falle eines Silizium-MOSFETs ist der Fehler aufgrund der niedrigen Grenzflächenzustandsdichte Dit ≈ 1010 cm−2 eV−1 klein; die in dieser Arbeit untersuchten SiC-MOSFETs
weisen eine um 2 bis 3 Größenordnungen höhere Grenzflächenzustandsdichte auf.
3.2 Elektronenbeweglichkeit im Kanal
3.2.1
35
Effektive Beweglichkeit
Die effektive Beweglichkeit wird der Ausgangscharakteristik entnommen. Für
konstante Gate-Spannung UG wird die Steigung ∂ID /∂UD im linearen Bereich
bestimmt; aus Gl. (3.4) ergibt sich durch Ableitung nach UD und Auflösen nach
µe die effektive Beweglichkeit
µeff := µe =
∂ID
L/W
.
Cox (UG − UT ) ∂UD
(3.5)
Wegen der Nichtbeachtung von Grenzflächenzuständen und der daraus resultierenden Überschätzung von ninv ist die effektive Beweglichkeit µeff stets kleiner als
die reale Elektronenbeweglichkeit, die z. B. durch Hall-Effekt im Kanal bestimmt
werden kann. Eine Schwierigkeit ist die Bestimmung der Schwellenspannung UT ,
wenn die Grenzflächenzustandsdichte Dit nicht vernachlässigbar ist; aufgrund der
daraus resultierenden runden“ Form der Transfercharakteristik, ist UT nicht ein”
deutig zu definieren [Lau04, Sak03, Ort02].
3.2.2
Feldeffekt-Beweglichkeit
Im Gegensatz zur effektiven Beweglichkeit µeff wird die Feldeffekt-Beweglichkeit
µFE aus dem linearen Bereich der Transfercharakteristik für eine kleine konstante
Drainspannung UD bestimmt. Aus Gl. (3.4) ergibt sich durch Ableitung nach UG
und Auflösen nach µe die Definition der Feldeffektbeweglichkeit
µFE := µe =
L/W ∂ID
.
Cox UD ∂UG
(3.6)
µFE ist unabhängig von der Schwellenspannung UT und wird daher nicht durch
den Fehler bei der experimentellen Bestimmung von UT beeinflusst. Da die Ableitung nach dem Parameter UG des Kanalwiderstands erfolgt, handelt es sich bei
µFE um eine differenzielle“ Beweglichkeit, d. h. µFE (UG ) ist die Beweglichkeit der
”
Inversionselektronen δninv (UG ), die bei Erhöhung der Gatespannung von UG nach
UG + δUG hinzukommen. Um die Feldeffekt-Beweglichkeit µFE mit einer (absoluten) experimentell bestimmten Beweglichkeit µ (z. B. effektive Beweglichkeit µeff
oder Hall-Beweglichkeit µH ) vergleichen zu können, muss µ in eine differenzielle
Beweglichkeit µdiff umgerechnet werden:
Z UD
1
µ(UG + δUG )ninv (UG + δUG ) − µ(UG )ninv (UG )
µdiff =
dUD .
(3.7)
UD 0
ninv (UG + δUG ) − ninv (UG )
Die integrale Mittelung über UD ist in der Praxis überflüssig, wenn sie bei der
Bestimmung von µ im linearen Bereich der Ausgangscharakteristik schon berücksichtigt wurde. Mit µ = µeff erhält man aus Gl. (3.7) unter Berücksichtigung der
Gln. (3.1) und (3.2) wieder die Feldeffektbeweglichkeit µFE = µdiff .
36
Kapitel 3: Elektrische Charakterisierung von MOS Feldeffekttransistoren
3.2.3
Streumechanismen im Kanal
Aus der Palette an Streumechanismen für Elektronen dominieren im Inversionskanal aufgrund der Oberflächennähe und der hohen elektrischen Feldstärken
(Größenordnung 107 V/m) [Jeo89]
• die Coulomb-Streuung (Beweglichkeit µC ),
• die Streuung an Phononen (Beweglichkeit µph ) und
• die Streuung an der (rauen) Oberfläche (Beweglichkeit µsr ).
Gemäß der Mathiesen-Regel ergibt sich die Gesamtbeweglichkeit aus der reziproken Addition der einzelnen Beweglichkeiten.
1
1
1
1
=
+
+
(3.8)
µe
µC µph µsr
Theoretische Modelle für die einzelnen Beweglichkeitsbeiträge sind in der Literatur auf tiefe Temperaturen beschränkt, da bei hohen Temperaturen der
Elektronentransport in mehreren Subbändern erfolgt, die durch die quasi-2Dimensionalität der Inversionsschicht entstehen (Potentialtopf senkrecht zur
Oxid/Halbleiter-Grenzfläche) [And82]. Für hohe Temperaturen wurden daher
einfachere semi-empirische Modelle mit Anpassungsparametern entwickelt. Jeon
und Burk [Jeo89] geben folgende Abhängigkeiten der Beweglichkeitskomponenten
an:
T
(3.9)
µC = c 1
Qscat
−1/c4
µph = c2 T −c3 Eeff
−2
µsr = c5 Eeff
.
(3.10)
(3.11)
c1 bis c5 sind empirisch zu bestimmende Anpassungsparameter, wobei c3 =
1 . . . 1.5 und c4 = 3 . . . 6 ist. Die durch Coulomb-Streuung limitierte Beweglichkeit µC nimmt mit steigender Zahl an Coulomb-Streuzentren Qscat /e ab und mit
steigender Temperatur T zu, da die Streuwahrscheinlichkeit durch die höhere
thermische Geschwindigkeit herabgesetzt ist.
µph und µsr hängen vom effektiven elektrischen Feld Eeff im Kanal ab, das
durch die Inversionsladung Qinv und die Ladung Qdep in der Raumladungszone
des Halbleiters gegeben ist (Gauß’scher Satz) [Jeo89].
1
1
(3.12)
Qinv + Qdep
Eeff =
ǫr ǫ0 2
Da µph und µsr mit zunehmendem effektiven elektrischen Feld Eeff abnehmen,
werden diese Streumechanismen vor allem bei hohen Gate-Spannungen UG dominant. Die Exponenten c3 und c4 hängen davon ab, wie viele Subbänder zum
Stromtransport beitragen. Die Streuung an Oberflächenrauigkeiten ist temperaturunabhängig.
3.3 Inversionsladungsträgerdichte und Grenzflächenzustandsdichte
3.3
37
Inversionsladungsträgerdichte und Grenzflächenzustandsdichte
Mit Gl. (3.2) wurde eine einfache Abschätzung der Inversionsladungsträgerdichte
unter der Voraussetzung gegeben, dass starke Inversion vorliegt und keine festen
und mobilen Ladungen (im Oxid oder an der Grenzfläche) vorliegen. Die gesamte
Ladung Qit der Grenzflächenzustände hängt aufgrund ihrer kontinuierlichen Verteilung in der Bandlücke (für SiC siehe z. B. [Afa97a]) vom Oberflächenpotential
ΦS = (EF − Ei )/e ab (EF ist das Fermi-Niveau und Ei das intrinsische Niveau an
der Oberfläche3 , vgl. Abb. 3.3).
Qit = −
Z
eΦS +Ei
Dit (E)dE
(3.14)
En
En ist die Neutralitätsenergie, die akzeptorartige und donatorartige Grenzflächenzustände trennt; oberhalb von En sind alle Traps akzeptorartig, unterhalb donatorartig [Bas00]. Um die Grenzflächenladung Qit (ΦS ) zu berücksichtigen, ist die
Kenntnis von ΦS notwendig. Dazu muss zunächst die gesamte Ladung im Halbleiter als Funktion von ΦS bestimmt werden (Abschnitt 3.3.1); daraus kann mit Hilfe
des Charge-Sheet-Modells [Arn99] die Inversionsladungsträgerdichte ninv (ΦS ) als
Funktion des Oberflächenpotentials ΦS bestimmt werden (Abschnitt 3.3.2); ninv
hängt nur von ΦS ab, die festen Oxidladungen sowie die Grenzflächenladungen
sind als zusätzlicher Spannungsabfall bei der Bestimmung von UG als Funktion
von ΦS zu berücksichtigen (Abschnitt 3.3.3). Im letzten Abschnitt 3.3.4 wird ein
Verfahren zur Bestimmung der Grenzflächenzustandsdichte Dit aus den Ergebnissen einer Hall-Effekt-Messung im Kanal eines MOSFETs vorgestellt.
3.3.1
Berechnung der gesamten Ladung im Halbleiter
In Abb. 3.3 ist die Raumladungszone eines invertierten MOS-Kondensators im
thermischen Gleichgewicht dargestellt. Die energetischen Niveaus EC , EV , Ei ,
ED und EA werden durch das ortsabhängige elektrostatische Potential Ψ(x)
gleichmäßig verbogen. Thermisches Gleichgewicht liegt in einem MOSFET nur
vor, wenn UD = 0; für kleine Drain-Spannungen UD ist die Störung jedoch so
klein, dass näherungsweise thermisches Gleichgewicht angenommen werden kann,
insbesondere bei MOSFETs mit großer Kanallänge L, da das elektrische Feld pa3
Das intrinsische Niveau Ei im Volumen wird nach [See92] berechnet durch
Ei =
Egap
3
+ kB T ln
2
4
mh,ds
me,ds
.
(3.13)
Durch die Bandverbiegung Ψ(x) wird das intrinsische Niveau in der Raumladungszone der
MOS-Struktur ortsabhängig: Ei (x) = Ei + eΨ(x).
38
Kapitel 3: Elektrische Charakterisierung von MOS Feldeffekttransistoren
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Abb. 3.3: Bandverbiegung in der Raumladungszone des Halbleiters einer MOS-Struktur
senkrecht zur Isolator/Halbleiter-Grenzfläche; EC bzw. EV sind die Leitungsband- bzw.
Valenzbandkante, ED bzw. EA das Donator- bzw. Akzeptorniveau, Ei ist das intrinsische Niveau, EF das Fermi-Niveau, ΦS bzw. ΦB sind das Fermi-Potential an der
Oberfläche bzw. im Volumen.
rallel zum Kanal klein ist [Lau04]. Der Zusammenhang zwischen dem Potential
Ψ(x) und der Ladungsdichte ρ(x) wird durch die Poisson-Gleichung
ρ
∂ 2Ψ
=−
2
∂x
ǫr ǫ0
(3.15)
beschrieben. Die Ladungsdichte ρ setzt sich aus den Konzentrationen der ionisierten Donatoren ND+ und Akzeptoren NA− sowie der freien Elektronen n und
der freien Löcher p zusammen.
ρ = e (ND+ + p − NA− − n)
(3.16)
Die Konzentrationen ND+ , NA− , n und p hängen wiederum von der Lage der
Fermi-Energie EF bzw. vom ortsabhängigen Fermi-Potential Φ(x) = (EF −
Ei (x))/e ab.
ND+ (Φ(x)) =
ND
D
1 + gD exp EFk−E
BT
NA
F
1 + gA exp EAkB−E
T
EF − EC
n(Φ(x)) = NC (T )F 1
2
kB T
EV − EF
p(Φ(x)) = NV (T )F 1
2
kB T
NA− (Φ(x)) =
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
3.3 Inversionsladungsträgerdichte und Grenzflächenzustandsdichte
39
ND , gD bzw. NA , gA sind die Konzentration und der Entartungsfaktor der Donatoren bzw. Akzeptoren; NC bzw. NV sind die effektiven Zustandsdichten im
Leitungsband bzw. Valenzband, und Fj (η) ist das Fermi-Dirac-Integral [Bla87].
In Gl. (3.17) und Gl. (3.18) wurde berücksichtigt, dass Donatoren bzw. Akzeptoren unvollständig ionisiert sein können. Für Halbleiter mit kleiner Bandlücke wie
z. B. Silizium wird die Poisson-Gleichung i. d. R. unter Annahme der vollständigen
Störstellenionisation gelöst. Im Falle des Wide-Bandgap-Halbleiters SiC ist diese Annahme nicht haltbar, da die Ionisierungsenergie insbesondere des flachsten
bekannten Akzeptors (∆E(Al) ≈ 200 meV) zu groß ist [Lau04].
Einmalige Integration von Gl. (3.15) von der Oberfläche x = 0 bis ins Volumen
x = ∞ liefert über den Gauß’schen Satz die Flächendichte der gesamten Ladung
im Halbleiter
Qsc =
Z
∞
ρ(x)dx =
0
p
2kB T ǫr ǫ0 (G1 (ΦS ) + G2 (ΦS ))
(3.21)
mit
G1 (ΦS ) = ND · D(ΦS ) − NA · A(ΦS ) −
eΦB − EC + Ei
EV − Ei − eΦB
− NV F 3
− NC F 3
2
2
kB T
kB T
eΦS − EC + Ei
EV − Ei − eΦS
G2 (ΦS ) = NC F 3
+ NV F 3
2
2
kB T
kB T


i −eΦS
1 + g1D exp ED −E
kB T

D(ΦS ) = ln 
ED −Ei −eΦB
1
1 + gD exp
kB T

A(ΦS ) = ln 
1+
1
gA
1+
1
gA
exp
exp
eΦB −EA +Ei
kB T
eΦS −EA +Ei
kB T

.
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Der Rechenweg ist ausführlich in [Lau04] dargestellt. Die Funktion G1 (ΦS ) liefert
den Beitrag der Raumladungszone; G2 (ΦS ) enthält den Beitrag der freien Elektronen im Leitungsband bzw. der freien Löcher im Valenzband. Wird G2 (ΦS )
in Gl. (3.21) ignoriert, so erhält man die Flächendichte Qdep der Ladung in der
Raumladungszone des Halbleiters ohne die Beiträge von freien Elektronen und
Löchern [Arn99].
Qdep =
Z
0
∞
ρ(x)dx =
p
2kB T ǫr ǫ0 G1 (ΦS )
(3.26)
40
Kapitel 3: Elektrische Charakterisierung von MOS Feldeffekttransistoren
3.3.2
Charge-Sheet-Modell
Um auf der Basis der vorangegangenen Ergebnisse die gesuchte Abhängigkeit
der Inversionsladungsdichte Qinv vom Oberflächenpotential ΦS zu bestimmen,
muss die Konzentration der freien Elektronen n in der Inversionsschicht integriert
werden.
Z xi
Qinv (ΦS ) = e
n(Φ(x))dx
(3.27)
0
Die Integration läuft dabei von der Oberfläche x = 0 bis zum Schnittpunkt des
Fermi-Niveaus EF mit dem intrinsischen Niveau Ei bei x = xi (vgl. Abb. 3.3);
an diesem Ort ist per Definition n(xi ) = p(xi ), d. h. die Inversion ist aufgehoben. Das Integral in Gl. (3.27) ist i. Allg. nicht analytisch lösbar. Da die Dicke
der Inversionsschicht (Größenordnung 1 nm) klein gegenüber der Raumladungszonentiefe (Größenordnung 1 µm) ist, hat Brews 1978 [Bre78] bzw. Arnold 1999
für SiC [Arn99] das Charge-Sheet-Modell vorgeschlagen, bei dem die Ausdehnung der Inversionsschicht senkrecht zur Grenzfläche vollständig vernachlässigt
wird; alle Inversionselektronen befinden sich folglich in einer infinitesimal dünnen
Schicht an der Grenzfläche, und das Oberflächenpotential fällt vollständig über
der Raumladungszone ab. Die Inversionsladung Qinv (ΦS ) ergibt sich aus der Differenz der gesamten Ladungsdichte Qsc (ΦS ) im Halbleiter und der Ladungsdichte
der Ionenrümpfe Qdep (ΦS ) in der Raumladungszone.
Qinv (ΦS ) = Qsc (ΦS ) − Qdep (ΦS )
(3.28)
Die Abweichung der Inversionsladungsdichte bestimmt nach Gl. (3.28), bezogen
auf den durch Integration bestimmten Wert nach Gl. (3.27), ist kleiner als 3%
[Lau04].
3.3.3
Zusammenhang zwischen Oberflächenpotential und
Gate-Spannung
In den Abschnitten 3.3.1 und 3.3.2 wurde der Zusammenhang zwischen der Inversionsladungsdichte Qinv und dem Oberflächenpotential ΦS ermittelt. Das Oberflächenpotential ist experimentell nicht direkt zugänglich, ist aber mit der GateSpannung UG verknüpft. Die Gate-Spannung UG ist die Summe aller auftretenden
Potentialdifferenzen zwischen dem Gate-Kontakt und dem Halbleitervolumen:
• Die Potentialdifferenz im Halbleiter ist
ΨS (ΦS ) = ΦS − ΦB .
(3.29)
• Die Potentialdifferenz Ψox über dem Oxid hängt über die Oxidkapazität
Cox mit der Ladung QG auf dem Gate-Kontakt zusammen. Aufgrund der
3.3 Inversionsladungsträgerdichte und Grenzflächenzustandsdichte
41
Neutralität der Gesamtstruktur muss QG alle Ladungen im Halbleiter an
der Grenzfläche und im Oxid kompensieren. Die gesamte Ladung im Halbleiter Qsc (ΦS ) ist durch Gl. (3.21), die Grenzflächenladung Qit (ΦS ) durch
Gl. (3.14) bestimmt. Ladungen Qox im Oxid können nicht umgeladen werden und sind daher unabhängig vom Oberflächenpotential ΦS [Nic82]. Es
ergibt sich insgesamt
QG (ΦS ) = − [Qsc (ΦS ) + Qit (ΦS ) + Qox ]
(3.30)
und damit
Ψox (ΦS ) =
Qsc (ΦS ) + Qit (ΦS ) + Qox
QG (ΦS )
=−
.
Cox
Cox
(3.31)
• In der Realität haben Halbleiter bzw. Metall unterschiedliche Austrittsarbeiten (eφS bzw. eφM ); daher stellt sich im thermischen Gleichgewicht ohne
äußere angelegte Spannung eine Bandverbiegung ein. Um den Flachbandfall
wiederherzustellen“ muss eine externe Spannung, die Flachbandspannung
”
UFB , an die MOS-Struktur angelegt werden, die den Unterschied der Austrittsarbeiten φMS kompensiert.
UFB = φMS
Egap
= φM − φS = φM − χ +
− ΦB
2e
(3.32)
χ bzw. Egap sind die Elektronenaffinität bzw. die Breite der Bandlücke des
Halbleiters.
Aus den Einzelbeiträgen ergibt sich die Gate-Spannung über der gesamten MOSStruktur zu
UG (ΦS ) = UFB + ΨS (ΦS ) + Ψox (ΦS ) =
gap
it (ΦS )+Qox
= φM − χ − E2e
.
+ ΦS − Qsc (ΦS )+Q
Cox
(3.33)
Im Allgemeinen kann Gl. (3.33) nicht analytisch nach ΦS aufgelöst werden.
3.3.4
Verfahren zur Bestimmung der Grenzflächenzustandsdichte aus Hall-Effekt-Daten
Durch eine Hall-Effekt-Messung (Beschreibung der Messmethode in Abschnitt
4.1.1.4) werden Dichte ninv = Qinv /e und Hall-Beweglichkeit µH der Inversionsladungsträger unabhängig voneinander und direkt bestimmt. Unter Verwendung
der Ergebnisse der Abschnitte 3.3.1 bis 3.3.3 kann aus den experimentellen Wertepaaren (UG , ninv ) die Grenzflächenzustandsdichte Dit als Funktion der energetischen Position E − EV in der Bandlücke bestimmt werden.
42
Kapitel 3: Elektrische Charakterisierung von MOS Feldeffekttransistoren
Zunächst wird für jeden gemessenen Wert ninv der Inversionsladungsträgerdichte das Oberflächenpotential ΦS bestimmt; dazu wird mit Gl. (3.2) die Funktion
f (ΦS ) := eninv − Qsc (ΦS ) + Qdep (ΦS )
(3.34)
definiert und numerisch die Nullstelle f (ΦS ) = 0 ermittelt. Mit dem so bestimmten Wert ΦS des Oberflächenpotentials kann über Gl. (3.33) unter Vernachlässigung der Grenzflächen- und Oxidladungen eine ideale“ Gate-Spannung UG,ideal
”
berechnet werden.
UG,ideal (ΦS ) = φM − χ −
Qsc (ΦS )
Egap
+ ΦS −
2e
Cox
(3.35)
Unter der Voraussetzung, dass die gemessene Gate-Spannung UG durch Gl. (3.33)
beschrieben wird, folgt aus der Differenz UG,ideal − UG die totale feste Ladung
Qtot (ΦS ) := Qit (ΦS ) + Qox = Cox (UG,ideal − UG ) ,
(3.36)
d. h. die Summe der Ladungen an der Grenzfläche und im Oxid. Dieses Vorgehen
wird für jeden Messpunkt (UG , ninv ) wiederholt; man erhält einen Satz Wertepaare
(ΦS , Qtot ). Unter der Voraussetzung, dass Oxidladungen nicht umgeladen werden,
d. h. Qox = const [Nic82], wird die Grenzflächenzustandsdichte durch Ableitung
der totalen festen Ladung Qtot nach dem Oberflächenpotential ΦS bestimmt.
Dit (ΦS ) =
1 ∂Qtot
1 ∂Qit
= 2
2
e ∂ΦS
e ∂ΦS
(3.37)
Die energetische Lage der Grenzflächenzustandsdichte Dit (ΦS ) in der Bandlücke
ist durch ΦS gegeben und kann über
E − EV = eΦS + Ei
(3.38)
in den energetischen Abstand zur Valenzbandkante EV umgerechnet werden.
Kapitel 4
Experimentelle Verfahren
In diesem Kapitel wird zunächst in Abschnitt 4.1 ein Überblick über die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten Messmethoden gegeben. Im zweiten Abschnitt
4.2 wird die Züchtung und Prozessierung der Kristalle für die Untersuchung der
Störbandleitung sowie die Herstellung der untersuchten MOSFETs beschrieben.
4.1
4.1.1
Verwendete Messmethoden
Hall-Effekt- und Leitfähigkeitsmessungen
Hall-Effekt-Messungen dienen der Bestimmung des Leitungstyps und der Konzentration n (n-Typ) bzw. p (p-Typ) der Majoritätsladungsträger eines Halbleiters;
üblicherweise wird eine Hall-Effekt-Messung durch die Messung der Leitfähigkeit
σ ergänzt, so dass über
µH = |RH | · σ
(4.1)
die Hall-Beweglichkeit µH der Majoritätsladungsträger bestimmt werden kann
(RH ist die Hall-Konstante). Werden die Messungen als Funktion der Temperatur durchgeführt, so erhält man aus dem Verlauf der Ladungsträgerkonzentration
durch Anpassung der Neutralitätsgleichung Informationen über die Ionisierungsenergie und Konzentration der Dotierstoffe sowie die Konzentration der Kompensation (siehe Abschnitt 4.1.1.3). Ein Überblick über die Messmethode und Diskussion der Neutralitätsgleichung wird in [Kri00] gegeben; Theorie und praktische
Durchführung sind ausführlich in zahlreichen Büchern publiziert [Blo92, See92].
Je nach Typ und Geometrie der zu messenden Probe wurden im Rahmen
dieser Arbeit unterschiedliche Verfahren zur Messung der Hall-Spannung UH und
der Leitfähigkeit σ angewendet.
43
44
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
U12
1
B
1'
4
Probendicke: d
2
W
3
U23
l
I
L
Abb. 4.1: Stäbchenanordnung zur Messung der Leitfähigkeit und des Hall-Effekts. An
den Enden einer langen stäbchenförmigen Probe wird ein Strom I aufgeprägt; zwischen den Kontakten 2 und 3 wird der Spannungsabfall U23 , zwischen den Kontakten
1 und 2 (bzw. 1′ und 2, falls nur 3 Kontakte vorhanden sind) wird bei eingeschaltetem
Magnetfeld B die Hall-Spannung U12 gemessen.
4.1.1.1
Stäbchenanordnung
Bei Strukturen mit Stäbchengeometrie (siehe Abb. 4.1) werden an den Stirnflächen eines langen Stäbchens (Länge L, Breite W , Dicke d) zwei Kontakte
angebracht, durch die ein konstanter Strom I fließt. An zwei gegenüberliegenden
Seitenflächen sind — je nach Prozessierung — 3 oder 4 weitere Kontakte angebracht (in der Abb. von 1 bzw. 1′ bis 4 numeriert). Der Spannungsabfall für die
Leitfähigkeitsbestimmung wird an zwei längs angeordneten Kontakten 2 und 3
(alternativ: 1 und 4) im Abstand ℓ gemessen. Um thermische und geometrische
Offsetspannungen zu eliminieren, wird die Messung zusätzlich mit umgekehrter
Stromrichtung durchgeführt. Man erhält zwei Widerstandswerte
+I
=
R23
+I
U23
I
und
−I
=
R23
−I
U23
.
−I
(4.2)
Daraus folgt der spezifische Widerstand ρ bzw. die Leitfähigkeit σ der Probe
ρ = σ −1 =
+I
−I
W d R23
+ R23
·
.
ℓ
2
(4.3)
Aus technologischer Sicht ist es gebräuchlich statt des spezifischen Widerstands
ρ den Schichtwiderstand RS in der Einheit [RS ] = 1 Ω/2 anzugeben; er ergibt
sich durch Integration von ρ über die Dicke d der Schicht.
RS =
+I
−I
+ R23
W R23
·
ℓ
2
(4.4)
4.1 Verwendete Messmethoden
45
Zur Messung des Hall-Effekts wird senkrecht zur Stromrichtung und Verbindungslinie der Kontakte 1 und 2 ein Magnetfeld B angelegt. Die Hall-Spannung U12
wird an den Kontakten 1 bzw. 1′ und 2 (alternativ: 3 und 4) abgegriffen. Zur
Eliminierung von thermischen und geometrischen Offsetspannungen wird neben
der Stromrichtung auch das Magnetfeld B umgepolt. Man erhält dadurch vier
Widerstandswerte (Anmerkung: die Werte können auch negativ sein)
+I,+B
R12
=
+I,+B
U12
,
I
−I,+B
R12
=
−I,+B
U12
,
−I
+I,−B
R12
+I,−B
U12
I
−I,−B
R12
−I,−B
U12
.
−I
=
und
=
(4.5)
Die Hall-Konstante RH ergibt sich zu
−I,−B
−I,+B
+I,−B
+I,+B
d R12
− R12
+ R12
− R12
RH = ·
.
B
4
(4.6)
Im Rahmen dieser Arbeit wurde im Messprogramm zur Verringerung des statistischen Fehlers ein weiterer Messmodus hinzugefügt. In diesem Modus werden die
Widerstände in den Gln. (4.2) und (4.5) nicht für jeden aufgeprägten Stromwert
separat bestimmt, sondern es wird eine komplette statische IV-Kennlinie aufgenommen und der Widerstandswert der Steigung entnommen. Dieser Messmodus
erlaubt durch die Darstellung der IV-Kennlinie und die Berechnung der Standardabweichung der Messpunkte von der Fit-Geraden online“ eine Bewertung
”
der Güte der Messung durch den Experimentator. Mit diesem Verfahren lassen
sich die Gln. (4.2) bis (4.6) schreiben als
R23 =
dU23
,
dI
ρ = σ −1 =
(4.7)
Wd
· R23 ,
ℓ
W
· R23 ,
ℓ
+B
−B
dU12
dU12
−B
=
,
R12
=
,
dI
dI
+B
−B
− R12
d R12
·
.
=
B
2
RS =
+B
R12
RH
4.1.1.2
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
van-der-Pauw-Anordnung
1958 zeigte van der Pauw, dass eine Hall-Effekt-Messung an Proben beliebiger
Geometrie möglich ist, sofern folgende Voraussetzungen erfüllt sind [Pau58]:
• die Probendicke d ist konstant und klein gegen die lateralen Abmessungen
der Probe,
• die Probe ist homogen und isotrop,
46
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
Leitfähigkeitsmessung
3
3
2
2
Probendicke: d
Probendicke: d
4
Hall-Effekt-Messung
4
1
1
B
U43
I
U24
I
Abb. 4.2: Anordnung nach L. van der Pauw [Pau58] zur Messung der Leitfähigkeit (linke Abb.) und des Hall-Effekts (rechte Abb.). Die Leitfähigkeit wird ohne Magnetfeld an
parallel angeordneten Kontaktpaaren (hier Strom I12 durch Kontakte 1 und 2, Spannungsmessung U43 an Kontakten 3 und 4), die Hall-Spannung wird mit Magnetfeld B
an gekreuzten Kontaktpaaren (hier Strom I13 durch Kontakte 1 und 3, Spannungsmessung U23 an Kontakten 2 und 4) abgegriffen.
• die Probe stellt ein einfach zusammenhängendes Gebiet dar,
• die Kontakte sind ohmsch, punktförmig und befinden sich am Rand.
Der Vorteil der van-der-Pauw-Anordnung ist die vereinfachte Probenpräparation,
da geringe Anforderungen an die Probengeometrie gestellt werden und nur 4
Kontakte auf einer Probenfläche präpariert werden müssen. In der Praxis werden
häufig quadratische Proben mit Viertelkreisförmigen Kontakten an den Ecken
verwendet (Abb. 4.2). Die Kontaktgrößen werden so gewählt, dass sie gegen die
lateralen Probenabmessungen klein sind; Korrekturfaktoren für endliche Kontaktgrößen sind in [Blo92, Loo89] zu finden; für die im Rahmen dieser Arbeit
angefertigten Proben sind die Korrekturfaktoren kleiner als 10% und werden daher vernachlässigt.
Für die Leitfähigkeitsmessung wird zunächst durch die Kontakte 1 und 2 ein
konstanter Strom I12 = I aufgeprägt; der Spannungsabfall U43 wird an den gegenüberliegenden Kontakten 3 und 4 gemessen. Um thermische und geometrische
Offsetspannungen zu eliminieren, wird die Messung zusätzlich mit umgekehrter
Stromrichtung durchgeführt. Anschließend wird die Messung mit um 90◦ gedrehter Kontaktanordnung (Strom I23 = I durch Kontakte 2 und 3, Spannungsmessung U14 an Kontakten 1 und 4) wiederholt. Man erhält vier Widerstandswerte
−I
+I
−I
+I
U43
U14
U14
U43
−I
+I
−I
, R1243 =
, R2314 =
und R2314 =
.
(4.12)
=
I12
−I12
I23
−I23
Daraus folgt der spezifische Widerstand ρ bzw. die Leitfähigkeit σ der Probe
+I
−I +I
−I
+I
−I
πd R1243
R1243 + R1243
+ R1243
+ R2314
+ R2314
−1
(4.13)
ρ=σ =
·
f
+I
−I
ln 2
4
R2314
+ R2314
+I
R1243
4.1 Verwendete Messmethoden
47
bzw. der Schichtwiderstand
−I
+I
−I
+I
π R1243
+ R2314
+ R2314
+ R1243
RS =
·
f
ln 2
4
−I
+I
+ R1243
R1243
+I
−I
R2314
+ R2314
;
(4.14)
f (x) ist der van-der-Pauw-Faktor1 , durch den eine evtl. asymmetrische Kontaktanordnung berücksichtigt wird; das Argument x wird Symmetriefaktor genannt.
Bei einer homogenen quadratischen Probe ist x = 1 und f (x) = 1.
Zur Messung des Hall-Effekts wird senkrecht zur Probenoberfläche ein Magnetfeld B angelegt. Der Strom I13 = I wird an den zwei diagonal gegenüberliegenden Kontakten 1 und 3 (alternativ: 2 und 4) aufgeprägt, die Hall-Spannung
U24 wird an den übrigen Kontakten 2 und 4 (alternativ: 1 und 3) abgegriffen. Zur
Eliminierung von thermischen und geometrischen Offsetspannungen wird neben
der Stromrichtung auch das Magnetfeld B umgepolt. Man erhält dadurch vier
Widerstandswerte (Anmerkung: die Werte können auch negativ sein)
+I,+B
R1324
=
+I,+B
U24
,
I13
−I,+B
R1324
=
−I,+B
U24
,
−I13
+I,−B
R1324
+I,−B
U24
I13
−I,−B
R1324
−I,−B
U24
.
−I13
=
und
=
(4.16)
Die Hall-Konstante RH ergibt sich zu
+I,+B
+I,−B
−I,+B
−I,−B
− R1324
+ R1324
− R1324
d R1324
·
.
(4.17)
B
4
Auch in van-der-Pauw-Anordnung kann der in Abschnitt 4.1.1.1 eingeführte
IV-Kennlinien-Messmodus verwendet werden.
RH =
4.1.1.3
Auswertung von Hall-Effekt-Messungen
Das Ergebnis einer temperaturabhängigen Hall-Effekt- und Leitfähigkeitsmessung ist ein Satz von Werte-Triplets (T, RH , ρ). Über
µH (T ) =
|RH (T )|
ρ(T )
(4.18)
wird die temperaturabhängige Hall-Beweglichkeit µH ermittelt.
Die Hall-Konstante hängt in einem n-Typ- bzw. p-Typ-Halbleiter über
RH (T ) = −
rH (T )
en(T )
bzw.
RH (T ) =
rH (T )
ep(T )
(4.19)
mit der Konzentration der freien Elektronen n bzw. der freien Löcher p zusammen;
rH ist der Hall-Streufaktor. Für n-Typ SiC liegt rH in einem engen Bereich um 1
1
Der van-der-Pauw-Faktor ist implizit gegeben durch
1
ln 2
x − 1 ln 2
·
= exp
.
cosh
x+1 f
2
f
(4.15)
48
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
[Rut98]; es wird daher i. d. R. rH = 1 gesetzt. Der Hall-Streufaktor für p-Typ SiC
variiert zwischen 0.5 und 1.4 und wurde für 4H-SiC und 6H-SiC temperaturabhängig von Schmid et al. [Sch03] bestimmt.
Information über Ionisierungsenergien ∆ED,j bzw. ∆EA,i und Konzentrationen ND,j bzw. NA,i der beteiligten Dotierstoffe sowie Konzentration der Kompensation NK wird durch Anpassung der Neutralitätsgleichung
X
X
n+
NA− ,i = p +
ND+ ,j
(4.20)
i
j
an die Wertepaare (T, n) bzw. (T, p) gewonnen. Unter Berücksichtung der
vollständigen Ionisation der Kompensation, Vernachlässigung der Minoritätsladungsträger und Ausnutzung der Boltzmann-Näherung erhält man
n + NK =
1+
X
1+
j
p + NK =
ND,j
X
i
gD,j n
NC
exp
NA,i
gA,i p
NV
exp
∆ED,j
kB T
∆EA,i
kB T
(n-Typ),
(4.21)
(p-Typ);
(4.22)
dabei sind gD,j bzw. gA,i die Entartungsfaktoren des j. Donators bzw. i. Akzeptors
und NC bzw. NV die effektiven Zustandsdichten im Leitungs- bzw. Valenzband;
für NC bzw. NV gilt
3/2
2πme,ds kB T
NC = 2MC
,
(4.23)
h2
3/2
2πmh,ds kB T
,
(4.24)
NV = 2MV
h2
wobei MC bzw. MV die Anzahl der Leitungsbandminima bzw. Valenzbandmaxima ist und me,ds bzw. mh,ds die effektiven Zustandsdichtemassen der Elektronen
im Leitungsband bzw. der Löcher im Valenzband sind. Aufgrund der Nichtparabolizität der Leitungs- bzw. Valenzbänder in SiC sind me,ds und mh,ds temperaturabhängig [Wel97]. Die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten Materialparameter
von SiC sind im Anhang D angegeben.
4.1.1.4
Hall-Effekt im Kanal von MOSFETs
Hall-Effekt-Messungen im Kanal eines MOSFETs erlauben die direkte und getrennte Bestimmung von Dichte ninv (UG , T ) und Hall-Beweglichkeit µH (UG , T )
der Inversionsladungsträger als Funktion der Gate-Spannung UG und der Temperatur T . Daraus kann — wie in Kapitel 3.3.4 beschrieben — die Grenzflächenzustandsdichte Dit (E) als Funktion der energetischen Position in der Bandlücke
bestimmt werden.
4.1 Verwendete Messmethoden
49
L
4
1
Kanal
S
G
2
D
W
3
l
Abb. 4.3: Schematische Darstellung einer MOSFET-Struktur zur Hall-Effekt-Messung
im Kanal in Stäbchenanordnung. Bei einem n-Kanal MOSFET sind die Regionen für
Source (S), Drain (D) und die Potentialsonden (1 bis 4) hoch n-dotiert; der Kanal ist pdotiert, über dem Kanal befindet sich das Gate-Oxid und der metallische Gate-Kontakt
(graue Fläche).
Für eine Hall-Effekt-Messung an einem MOSFET ist eine spezielle Struktur
notwendig, die eine Potentialmessung im Kanal erlaubt. Eine häufig verwendete Struktur ist die in Abb. 4.3 dargestellte Stäbchenanordnung (in Analogie zu
Abschnitt 4.1.1.1); am langen Kanal (Länge L) befinden sich im Abstand ℓ zwei
symmetrisch angeordnete Potentialsonden-Paare (1 bis 4), über die im 4-SondenPrinzip sowohl der Spannungsabfall U23 bzw. U14 in Kanalrichtung (Leitfähigkeitsmessung) als auch senkrecht dazu U12 bzw. U43 (Hall-Effekt-Messung) abgegriffen werden können; während der Hall-Effekt-Messung wird senkrecht zur
Grenzfläche ein Magnetfeld B angelegt. Um die Störung der Potentialverhältnisse im Kanal durch die Sonden klein zu halten, muss das Verhältnis Kanallänge
zu Breite L/W ≥ 4 und der Potentialsonden-Abstand vom Source- bzw. DrainKontakt mindestens L/4 sein [Loo89]. Beide Voraussetzungen sind bei den im
Rahmen dieser Arbeit untersuchten MOSFETs gut erfüllt (siehe Abschnitt 4.2.2).
Die Bestimmung des Schichtwiderstands RS und der Hall-Konstante RH erfolgt analog zur Stäbchenanordnung für Volumenmaterial (vgl. Abschnitt 4.1.1.1)
mit dem neuen IV-Kennlinien-Messmodus (Gln. (4.7) bis (4.11)), allerdings wird
die räumliche Ausdehnung d der Inversionsschicht senkrecht zur Grenzfläche außer acht gelassen, die Inversionsschicht also als 2-dimensionales freies Elektronengas betrachtet. Dadurch ergibt sich entsprechend den Gln. (4.9) und (4.11) für
den Schichtwiderstand
W
· R23
(4.25)
RS =
ℓ
in der Einheit [RS ] = 1 Ω/2 und für die Hall-Konstante
RH =
+B
−B
− R12
1 R12
·
B
2
(4.26)
50
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
in der Einheit [RH ] = 1 cm2 /As. Die Hall-Beweglichkeit der Inversionsladungsträger ergibt sich analog Gl. (4.18) zu
µH =
|RH |
.
RS
(4.27)
Um die Homogenität des Kanals zu gewährleisten, werden Leitfähigkeitsund Hall-Effektmessungen im linearen Bereich der MOSFET-Ausgangskennlinie
durchgeführt; im Idealfall sollte UD ≪ UG −UT sein. Demgegenüber steht das Problem, dass mit kleinen Spannungen UD bzw. Strömen ID die experimentelle Bestimmung der Messgrößen durch die Empfindlichkeit der Geräte bzw. Leckströme
begrenzt ist. Diese Kriterien begrenzen den Bereich der wählbaren Drainströme
ID (abhängig von der Probe).
Hall-Effekt-Messungen an MOSFETs wurden im Rahmen dieser Arbeit stets
ergänzt durch die Aufnahme der Transfercharakteristik und des Ausgangskennlinienfelds im 2-Sonden-Messmodus. Die Potentialsonden im Kanal wurden dabei
offen gelassen.
4.1.1.5
Verwendete Apparaturen
Am Lehrstuhl für Angewandte Physik (LAP) existieren zwei Apparaturen zur
Durchführung von Hall-Effekt- und Leitfähigkeitsmessungen. Die alte“ Appara”
tur (Abb. 4.4) wurde im Rahmen von Diplom- und Doktorarbeiten [Gei80, Sch82,
Zha86, Sch89] aufgebaut und im Rahmen dieser Arbeit bzgl. der elektronischen
Komponenten und der Software modernisiert; ein neues Probenhalterkonzept für
beide Apparaturen unter Verwendung von Al2 O3 -Chip-Trägern (siehe Abb. 4.7)
wurde von M. Laube entwickelt [Lau04, Sch01a]. Die alte“ Apparatur besteht
”
aus einem Tieftemperaturkryostaten (Temperaturbereich 20 K−300 K) und einer
Hochtemperaturprobenkammer (Temperaturbereich 300 K − 700 K) mit jeweils
eigenem Elektromagneten (magnetische Flussdichte B = 0.4 T). Ersetzt wurde
die ursprüngliche Relais-Umschalteinheit durch zwei 8 × 4 Matrix-Karten (Typ
34904A/34970A) von Agilent sowie das eingebaute Multimeter durch ein Elektrometer Keithley 617. Die Temperaturmessung erfolgt über einen Kanal des neuen
Agilent Multiplexer/DMM-Moduls Typ 34901A/34970A; den Konstantstrom für
den Temperatursensor (PT1000 oder Lakeshore Silizium-Diode DT-470-SD-13)
liefert eine umschaltbare Konstantstromquelle CCS10/CCS100 von HighFinesse. Die schematische Verschaltung der Komponenten ist in Abb. 4.4 dargestellt.
Die Messablaufsteuerung erfolgt über eine neu geschriebene Software (Programmiersprache CEC Testpoint 3.3 für Windows); lediglich die Temperatursteuerung
(über Leybold LTC 60 am Tieftemperaturkryostaten bzw. regelbares Netzgerät
für Heizung am Hochtemperaturkryostaten) ist per Hand vorzunehmen.
Die neue“ Hall-Effekt-Apparatur wurde von V. Schmitt [Sch00] aufgebaut
”
und im Rahmen dieser Arbeit umgebaut und erweitert. Sie besteht aus einem
Verdampferkryostaten der Firma CryoVac (Messbereich 25 K − 800 K) und einem
4.1 Verwendete Messmethoden
Temp.sensor
Temp.sensor
Probe
Probe
Temp.sensor 2
Temperatursteuerung*
Hochtemp.kammer
Magnet
Magnetsteuerung
Magnet
Tieftemp.kryostat
51
Heizung
Magnetsteuerung
Heizungssteuerung*
Flüssiges He
Heizung
Stromquelle
Stromquelle
Matrix
Elektrometer
DMM
Abb. 4.4: Schematischer Aufbau der alten“ Hallapparatur; die Messung kann wahlwei”
se im Tieftemperaturkryostaten oder in der Hochtemperaturprobenkammer erfolgen.
Die Temperatur- bzw. Heizungssteuerung (jeweils mit ∗ markiert) werden manuell bedient; alle übrigen Komponenten sind PC-gesteuert.
Magneten der Firma Bruker; bei Messungen an Volumenkristallen bzw. Epitaxieschichten wird eine magnetische Flussdichte von B = 0.36 T eingestellt; für
Hall-Effekt-Messungen im Kanal von MOSFETs wird B = 0.66 T gewählt; die
Bestimmung der magnetischen Flussdichte erfolgt mit einem digitalen Teslameter
FM 210 der Firma Projekt Elektronik. Der für die Hall-Effekt-Messung nötige
Konstantstrom wird von einer Source-Measure-Unit (SMU) Keithley 6430 geliefert; das Gerät kann sowohl als Stromquelle als auch als Spannungsquelle mit
gleichzeitiger Messung beider Größen eingesetzt werden. Die Messung der HallSpannung bzw. des Spannungsabfalls bei 4-Punkt-Widerstandsmessungen wird
mit Hilfe zweier Elektrometer Keithley 6517A durchgeführt; die zu messenden
Potentiale werden gegen die gemeinsame Masse aller Messgeräte gemessen und
die Differenz gebildet. Das hat den Vorteil, dass nur die hochwertig (hohe Impedanz > 100 TΩ, geringes Rauschen, Guarding) ausgelegten High-Anschlüsse
als Messsonden verwendet werden. Dieses Messprinzip wurde im Rahmen der Diplomarbeit von D. Kirmse [Kir04] zur Leitfähigkeitsmessung von semiisolierenden
Kristallen entwickelt. Für die Versorgung und Charakterisierung eines MOSFETGates steht eine weitere SMU Keithley 2400 zur Verfügung.
Alle Messgeräte können über die PC-gesteuerte Matrix-Schaltung (Agilent
34904A/34970A) mit jedem beliebigen Probenkontakt verbunden werden. Zur
52
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
Kryostat
Stromquelle
Probe
Hall-Sonde
Magnetsteuerung
Magnet
Temp.sensor
Multiplexer
DMM
Flüssiges He
Temperatursteuerung
Heizung
(Kontakte 1-4, Rückseite, Source, Drain)
(Gate)
Matrix
SMU
für Gate
SMU
Elektrometer
"high"
Elektrometer
"low"
gemeinsame Masse
Abb. 4.5: Schematischer Aufbau der neuen“ Hallapparatur, die auch für Hall-Effekt”
Messungen an MOSFETs und Leitfähigkeitsmessungen an semiisolierenden Kristallen
[Kir04] konstruiert ist. Alle Komponenten werden über einen PC kontrolliert. Für Messungen mit höchster Empfindlichkeit wird der Matrix-Switcher entfernt und die Probe
über Triax-Kabel direkt mit den Messgeräten verbunden (siehe Abb. 4.6).
Verbesserung der Empfindlichkeit der Apparatur, können die Messgeräte auch
direkt über triaxiale Steckverbindungen mit einem speziell für diesen Zweck konstruierten Probenhalter verbunden werden. Dabei wird die Guard-Technologie
der Keithley-Messgeräte ausgenutzt; die mittlere Abschirmung eines triaxialen
Kabels wird auf dem gleichen Potential gehalten wie die innere Signal-Leitung
(siehe Abb. 4.6). Dadurch werden Leckströme zwischen den High- und GuardAnschlüssen durch die fehlende Potentialdifferenz vermieden; Leckströme zwischen Guard und Low werden durch die Spannungsfolgerschaltung im Messgerät
gepuffert [Kei98]. Auf diese Weise können noch Ströme im Bereich 10−13 A zuverlässig gemessen werden.
Die im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Software (Programmiersprache CEC
Testpoint 3.3 für Windows) zur Steuerung der neuen“ Hall-Apparatur un”
terstützt folgende Messmodi:
• 2-Punkt- und 4-Punkt-IV-Messung (Kontakttest, Test eines pn-Übergangs),
4.1 Verwendete Messmethoden
SMU /
Elektrometer
Guard
High
Low
53
Triax-Kabel
Probe
Abb. 4.6: Triaxiale Verbindung von Messgerät und Probe; die mittlere Abschirmung
wird zur Vermeidung von Leckströmen zwischen High“ und Low“ mit dem Guard”
”
Anschluss der Source-Measure-Unit (SMU) bzw. des Elektrometers verbunden.
Al2O3-Träger
Cu-Bondfläche
Probe
Al-Bonddraht
Abb. 4.7: Schematische Darstellung der verwendeten Chip-Träger; beispielhaft ist das
Anschlussschema eines Hall-MOSFETs gezeigt.
• Standard-Hall-Effekt-Messung, temperaturabhängig (optional mit VollAutomatik),
• Leitfähigkeitsmessung an semiisolierenden Kristallen [Kir04],
• MOSFET: Transfercharakteristik und Ausgangskennlinienfeld,
• MOSFET: Hall-Effekt- und Leitfähigkeitsmessung im Kanal.
Die Probenhalter und Messkästchen beider Hall-Effekt-Apparaturen sind für
die Aufnahme von Chip-Trägern — wie in Abb. 4.7 dargestellt — vorgesehen. Die
zu untersuchende Probe wird auf die Kupfergrundplatte eines Chip-Trägers geklebt2 . Die elektrische Verbindung zwischen Probenkontakten und Kupferflächen
wird mittels Ultraschallbonden von Al-Drähten (∅ = 25 µm) hergestellt (siehe
2
Je nach Probentyp muss die Klebeverbindung elektrisch leitend oder isolierend sein; dafür
wurden folgende Materialien verwendet:
• elektrisch isolierend: doppelseitig klebendes Kaptonband oder Epo-Tek 377 (Epoxykleber)
• elektrisch leitend: doppelseitig klebendes Graphitband oder Epo-Tek P1011 (Epoxykleber mit Silberanteil)
54
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
Abb. 4.7). Der Chip-Träger wird mit Kupferfingern im Probenhalter bzw. im
Messkästchen befestigt.
Die Temperaturmessung erfolgt je nach Temperaturbereich mit einem Platinwiderstand PT1000 (70 K−800 K; konstanter Messstrom I = 100 µA) bzw. mit einer Lakeshore Silizium-Diode DT-470-SD-13 (10 K−500 K; konstanter Messstrom
I = 10 µA). Der thermische Kontakt zwischen Kühlung/Heizung und Probe wird
durch He-Gas (Druck p = 1 mbar) hergestellt.
4.1.2
Kapazitäts-Spannungs-Messung (CV)
Kapazitäts-Spannungs-Messung (CV) an Schottky-Kontakten (Metall-HalbleiterÜbergänge) ist eine Standard-Messmethode zur Bestimmung des Leitungstyps
und der Netto-Dotierung NA,netto = ND/A − NK , wobei ND/A die Donator- bzw.
Akzeptorkonzentration und NK die Konzentration der Kompensation ist.
4.1.2.1
Messverfahren und Auswertung
An einem Metall-Halbleiter-Übergang (relative Dielektrizitätskonstante des Halbleiters ǫr ) hängt die Tiefe der Raumladungszone xr von der Netto-Dotierung
NA,netto , der Diffusionsspannung UD und der von außen angelegten Spannung
(Sperrrichtung) Ua ab; es gilt [Sze81]
xr =
s
2ǫr ǫ0
eNA,netto
kB T
UD + Ua +
.
e
(4.28)
Die differenzielle Kapazität CHF des Schottky-Kontakts (Fläche A) bei Verwendung einer hochfrequenten Messwechselspannung (nur flache Störstellen werden
umgeladen), ist näherungsweise gegeben durch [Blo92]
CHF = ǫr ǫ0
A
.
xr
(4.29)
−2
Durch Kombination der Gln. (4.28) und (4.29) ergibt sich bei Auftragung von CHF
über Ua bei homogener Dotierung des Halbleiters ein linearer Zusammenhang; aus
der Steigung der Geraden erhält man die Netto-Dotierung
NA,netto
2
=
ǫr ǫ0 eA2
−2
dCHF
dUa
−1
.
(4.30)
Ist der Halbleiter inhomogen dotiert, so kann durch Variation der Sperrspannung
Ua das Dotierprofil NA,netto (xr ) mit Hilfe der Gln. (4.28) und (4.30) bestimmt
werden. Ausführlichere Darstellungen des Messverfahrens sind in [Kri00, Blo92]
zu finden.
4.1 Verwendete Messmethoden
4.1.2.2
55
Verwendete Apparaturen
CV-Messungen können am LAP entweder an einer der drei vorhandenen DLTSApparaturen [Sto84, Hoe85, Sut87, Sut91, Lan93, Kle02] mit einer BoontonMessbrücke (Typ 72B bzw. 7200) bei konstanter Messspannungsfrequenz von
1 MHz oder an der Admittanz-Apparatur [Bas00] mit dem LCR-Meter HP 4284A
(variable Messspannungsfrequenz von 20 Hz bis 1 MHz) durchgeführt werden. Die
zu untersuchende Probe liegt mit dem Rückseitenkontakt auf einer Aluminiumplatte des Probenhalters oder Messkästchens und ist mit dem Low-Anschluss der
Messbrücke verbunden; eine Messspitze (High-Anschluss) wird auf den SchottkyKontakt gedrückt. Die CV-Messkurve wird in einem vorgegebenen Spannungsbereich PC-gesteuert erfasst.
4.1.3
Admittanz-Spektroskopie
Admittanzspektroskopie ist eine elektrische Messmethode zur spektroskopischen
Untersuchung von Störstellen in der Raumladungszone z. B. eines SchottkyKontaktes.
4.1.3.1
Messverfahren und Auswertung
Die Admittanz Y ist definiert als
Y :=
dI
= G + iωC,
dU
(4.31)
wobei I(t) = I0 + IW exp(iωt + φ) bzw. U (t) = U0 + UW exp(iωt) der komplexe
Messwechselstrom bzw. die komplexe Messwechselspannung (DC-Anteil I0 bzw.
U0 , AC-Amplitude IW bzw. UW , Frequenz ω, Phasenverschiebung φ) ist; Y kann
komplex dargestellt werden durch die Summe von Leitwert G und Kapazität C.
An einem Schottky-Kontakt gilt für den temperaturabhängigen normierten
Leitwert bei Umladung einer Störstelle [Los75]
G(T )
∆Cωτ
=
,
ω
1 + (ωτ )2
(4.32)
wobei der Kapazitätshub ∆C zwischen Niederfrequenzkapazität und Hochfrequenzkapazität ein Maß für die Konzentration der betrachteten Störstelle ist; τ ist
die Umladezeitkonstante der Störstelle (Ionisierungsenergie ∆ET ), die sich unter
Annahme des detaillierten Gleichgewichts aus der Schottky-Read-Hall-Statistik
[Sho52, Hal52] ergibt:
g±
∆ET
n-Typ Halbleiter: τ =
exp
,
(4.33)
2NC σ hvth i
kB T
∆ET
1
.
(4.34)
exp
p-Typ Halbleiter: τ =
2NV g± σ hvth i
kB T
56
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
g± ist das Verhältnis der Entartungsfaktoren vom positiveren zum negativeren
Ladungszustand, NC bzw. NV ist die effektive Zustandsdichte im Leitungs- bzw.
Valenzband, σ ist der elektrische Einfangquerschnitt und hvth i die mittlere thermische Geschwindigkeit der beteiligten Ladungsträger. G(T )/ω wird bei T = Tmax
maximal; es gilt
τ (Tmax ) =
1
.
ω
(4.35)
Die Wertepaare (Tmax , τ = 1/ω) für die verwendeten Messfrequenzen ω werden in
einem Arrheniusplot aufgetragen. Aus diesem wird durch lineare Regression die
Ionisierungsenergie ∆ET sowie der elektrische Einfangquerschnitt σ ermittelt. Die
Temperaturabhängigkeit von σ ist i. d. R. nicht bekannt, so dass durch Annahme
verschiedener Modelle (Kaskadeneinfang, Multiphononprozess) eine Unsicherheit
der bestimmten Ionisierungsenergie bleibt.
4.1.3.2
Verwendete Apparatur
Die Admittanzspektroskopie-Apparatur am Lehrstuhl für Angewandte Physik
wurde von M. Bassler [Bas00] aufgebaut. Kernstück ist das LCR-Meter HP
4284A zur Messung der Admittanz mittels Vier-Draht-Methode; der maximale Bias-Spannungsbereich beträgt U0 = ±40 V, die Messfrequenz f = ω/2π kann
zwischen 20 Hz und 1 MHz mit einer Amplitude zwischen 5 mV und 2 V gewählt
werden. Die zu untersuchende Probe liegt in einem Probenhalter mit dem Rückseitenkontakt auf einer Aluminiumgrundplatte; eine Platin-Kugel (∅ = 0.5 mm)
wird auf den Schottky-Kontakt gedrückt. Der Probenhalter befindet sich in HeGas (Kontaktgas, p = (1 − 10) mbar) in einem Verdampfer-Kryostat (CryoVac),
in dem die Temperatur zwischen 30 K und 800 K variiert werden kann (Kühlmittel: flüssiges He, Heizung: ThermoCoax-Widerstandsheizung). Die Probentemperatur wird je nach Temperaturbereich mit einem PT1000 oder einer Lakeshore Silizium-Diode (vgl. Hall-Effekt-Apparatur, Abschnitt 4.1.1.5) gemessen. Alle
Geräte sowie die Temperaturregelung werden über einen PC mit einer auf der
Programmiersprache Testpoint basierenden Software kontrolliert.
4.1.4
Tieftemperatur-Photolumineszenz (TTPL)
Tieftemperatur-Photolumineszenz ist eine optische Messmethode zur Bestimmung des Polytyps, Untersuchung der Kristallqualität sowie Identifikation bekannter Störstellen.
4.1.4.1
Messverfahren
Im Halbleiter werden durch optische Anregung mit Licht (Laser, hν > Egap )
Elektron-Loch-Paare (Exzitonen) generiert. Ein Teil der Exzitonen rekombiniert
unter Aussendung eines Photons (in indirekten Halbleitern wie SiC rekombinieren
4.1 Verwendete Messmethoden
se
de
ter
Fil
57
r
se
La
Lin
n
Ble
Probe
Monochromator
Photomultiplier
Linse Filter
Abb. 4.8: Schematischer Aufbau der TTPL-Apparatur. Als Laser kommt wahlweise ein
HeCd- bzw. ein SHG Ar-Ionen-Laser zum Einsatz; die Probe befindet sich im He-Bad
bei T = 1.9 K.
die meisten Exzitonen strahlungslos; der Quantenwirkungsgrad für SiC ist ≈ 10−4
[Hof82]). Die Lumineszenz wird mit einem Monochromator spektral aufgelöst und
die Intensität mit einem Detektor erfasst. Die beobachtete Emission lässt sich auf
folgende Mechanismen zurückführen:
• Rekombination freier Exzitonen, i. d. R. mit Beteiligung von Phononen;
diese Rekombination ist nur in hochreinen Halbleitern zu beobachten, da
das freie Exziton sonst mit hoher Wahrscheinlichkeit während der Lebensdauer an eine Störstelle gebunden wird. Die emittierte Photonenenergie
ist hν = Egx − ~Ω, wobei Egx das exzitonische Bandgap (Bandgap Egap
abzüglich Bindungsenergie des freien Exzitons) und ~Ω die Energie des
evtl. beteiligten Phonons ist.
• Rekombination gebundener Exzitonen, z. T. mit Beteiligung von Phononen. Die emittierte Photonenenergie ist hν = Egx − Ebx − ~Ω. Ebx ist die
Exzitonenbindungsenergie an die neutrale Störstelle; diese hängt über die
empirische Haynes’sche Regel [Hay60, Pep99, Fra02] mit der Ionisierungsenergie ∆ET der Störstelle zusammen.
• Donator-Akzeptor-Paarrekombination (DAP); ein neutraler Donator und
neutraler Akzeptor tauschen ein Elektron aus und sind anschließend ionisiert. Die Neutralität der Störstellen (vor allem der als Kompensation
eingebauten Spezies) wird durch freie Elektronen bzw. Löcher nach optischer Anregung hergestellt. Die Photonenenergie der Paarrekombination
hängt außer vom energetischen Abstand (ED − EA ) zwischen Donator- und
Akzeptorzustand und der Energie ~Ω evtl. beteiligter Phononen auch vom
Abstand rAD der Störstellen ab (Coulomb-Wechselwirkung, van-der-WaalsWechselwirkung, Multipolkorrektur). Die kurzwelligste DAP-Linie entsteht
durch Ladungsaustausch zwischen Donator und Akzeptor im kleinstmögli-
58
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
chen Abstand rAD,min ; mit größer werdendem Abstand liegen die einzelnen
Abstandswerte immer dichter zusammen, so dass das resultierende DAPSpektrum quasi-kontinuierlich wird.
• Übergänge zwischen Störstellen und Bändern (in SiC bislang kaum beobachtet [Pep99]).
• Übergänge zwischen zwei Energieniveaus einer Störstelle (z. B. bei N, P und
Übergangsmetallen).
4.1.4.2
Verwendete Apparatur
Die TTPL-Apparatur am LAP wurde im Rahmen von Doktorarbeiten aufbzw. ausgebaut [Hab93, Pep99]. Zur Anregung bei Messungen an SiC-Proben
wird wahlweise ein Helium-Cadmium- (HeCd-)Laser mit einer Wellenlänge von
325 nm (Omnichrome Modell 3074, 40 mW) oder ein frequenzverdoppelter (SHG)
Argon-Ionen-Laser mit einer Wellenlänge von 257 nm (Lexel Modell 95 SHG,
(20 . . . 200) mW) verwendet; dadurch kann je nach Polytyp die Eindringtiefe
zwischen 1 µm und 10 µm variiert werden [Pep99]. Photolumineszenzmessungen
können in einem Temperaturbereich von 1.9 K (abgepumptes flüssiges Helium) bis
Raumtemperatur durchgeführt werden; die Probe befindet sich in einem Badkryostaten (Konstruktion siehe [Pep99]). Aus dem Licht des Lasers werden zunächst
mit einem optischen Filter evtl. vorhandene Plasma-Linien ausgeblendet (siehe Abb. 4.8). Der Laserstrahl wird mit einer Linse durch eine Lochblende auf
die Probe fokussiert; der Spot-Durchmesser beträgt ca. 0.2 mm. Das Lumineszenzlicht der Probe wird mit einer Linse gesammelt, auf den Monochromator
(Spex 1700-III) fokussiert und mit einem Photomultiplier (Hamamatsu R562) im
Photoncounting-Mode detektiert; Laserreflexe werden durch einen optischen Filter vor dem Monochromator ausgeblendet. Die Aufnahme des Spektrums (Steuerung des Monochromators) erfolgt vollautomatisch mit einem PC.
4.2
4.2.1
Probenpräparation
Proben für die Untersuchung der Störbandleitung
Für die experimentellen Untersuchungen zur Störbandleitung in SiC-Kristallen
wurden im Rahmen dieser Arbeit Messungen an Al-dotierten Substratproben
sowie Al-implantierten Epitaxieschichten durchgeführt. Im Folgenden wird ein
Überblick über die dabei angewandten Präparations- und Prozessierungstechniken gegeben.
4.2 Probenpräparation
4.2.1.1
59
Al-dotierte Volumenkristalle
Züchtung der Kristalle und Präparation der Proben Die untersuchten Al-dotierten 6H-SiC Kristalle wurden von K. Semmelroth am Lehrstuhl
für Angewandte Physik (LAP) nach dem modifizierten Lely Verfahren [Bar91]
nahe am thermischen Gleichgewicht [Sch01b] gezüchtet. Das SiC-Quellmaterial
wurde mit 10% Silizium angereichert. Aufgrund des hohen Dampfdrucks von
Aluminium, wurde die Aluminiumquelle (Al4 C3 ) nicht dem SiC-Quellmaterial
(TQuelle ≈ 21500 C) beigemischt, sondern in ein separates mit dem Züchtungsraum verbundenes Reservoir bei niedrigerer Temperatur TAl ≈ (1800 − 1900)0 C
gegeben. Als Saatkristall wurde ein 6H-SiC Lely-Platelet verwendet; die Züchtung
erfolgte auf der Si-Fläche.
Der gewachsene Kristall wurde mittels Innenlochsäge mit Diamant-bestücktem Sägeblatt senkrecht zur c-Achse in Wafer zerteilt. Mit einer DiamantDrahtsäge wurden Proben aus dem Wafer geschnitten und mit Diamantpaste
(feinste Körnung: 0.25 µm) poliert.
Reinigung Alle Proben wurden vor und zwischen einzelnen Prozessschritten
mit folgendem Verfahren gereinigt (Standardreinigung):
1. Entfernen organischer Adsorbate mit Aceton im Ultraschallbad (ca. 3 min)
2. Spülen in deionisiertem Wasser
3. Oxidation metallischer Verunreinigungen auf der Probenoberfläche in einer
1 : 1-Mischung aus Salzsäure (HCL, 37%) und Salpetersäure (HNO3 , 100%)
(ca. 5 min)
4. Spülen in deionisiertem Wasser
5. Entfernen der Oxide mit Flusssäure (HF, 50%) (ca. 2 min)
6. Spülen in deionisiertem Wasser
7. evtl. Wiederholung der Schritte 3 − 6
8. Trocknen der Probe durch Anblasen mit Stickstoff (Reinheit 5.0)
Kontaktpräparation Für die Präparation von Kontakten steht am LAP eine
Sputteranlage Leybold Z 400 zur Verfügung. Die Anlage hält gleichzeitig drei
Metalle (Aluminium, Titan und Nickel) als Targetmaterialien bereit. Der SputterProzess wird bei einer Kathodenspannung von ca. 300 V im DC-Modus unter ArAthmosphäre (Ar-Reinheit 6.0, p ≈ 4·10−3 mbar) durchgeführt; die Aufdampfrate
beträgt mit diesen Parametern ca. 8 Å/s für Aluminium und Nickel bzw. 3 Å/s
für Titan. Die Probe wird auf einer Molybdän-Lochmaske befestigt (KaptonKlebeband), durch die das Kontaktmuster vorgegeben wird.
60
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
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Abb. 4.9: Implantierte Aluminiumkonzentration [Al]impl. als Funktion des Abstands x
von der Probenoberfläche für die 4 verschiedenen Implantationsprofile (a) bis (d). Die
Profile wurden mit dem Programm ICECREM for Windows (Version 4.3) simuliert. Das
grau eingezeichnete 30 nm dicke Streuoxid verhindert Channeling bei der Implantation.
Für Schottky-Kontakte wurde der Rezipient vor dem Sputterprozess auf einen
Restgasdruck von 2 · 10−6 mbar abgepumpt (Turbomolekularpumpe und Kühlfalle); als Kontakt wurde ein Schichtsystem aus 500Å Titan und 1500Å Aluminium
verwendet.
Für die Präparation von ohmschen Kontakten genügt ein Restgasdruck von
2 · 10−5 mbar. Als Kontaktmaterial auf n-Typ SiC wurde Nickel, auf p-Typ SiC
Aluminium gewählt. Die Kontakte wurden anschließend bei 10000 C / 5 min
(Nickel-Kontakte) bzw. bei 6700 C / 2 min plus 9500 C / 3 min in einer Rapid
Isothermal Annealing (RIA) Anlage einlegiert. Eine detaillierte Beschreibung der
RIA-Anlage ist in [Neu86] zu finden.
4.2.1.2
Al-Implantierte Epitaxieschichten
Die Al-implantierten Teststrukturen wurden von M. Rambach am Lehrstuhl für
Elektronische Bauelemente hergestellt. Als Ausgangsmaterial wurde ein n-Typ
4H-SiC Wafer mit n-Typ Epitaxieschicht der Firma Cree3 verwendet. Folgende
Prozessschritte wurden durchgeführt:
1. Thermische Oxidation eines 30 nm dicken Streuoxids zur Vermeidung von
Channeling bei der Ionenimplantation
3
Cree, Inc., 4600 Silicon Drive Durham, NC 27703, USA, Internet: www.cree.com
4.2 Probenpräparation
61
19
Al-Implantation [Al]impl. = (0.5 - 5) x 10 cm
Schichtdicke: d = 210 nm
-3
.
Kontakt-Implantation
.
Al-Kontakt
80 µm
290 µm
100 µm
500 µm
Abb. 4.10: Schematische Darstellung der untersuchten van-der-Pauw-Struktur (links)
bzw. der Stäbchen-Struktur (rechts). Hellgraue Flächen repräsentieren die zu untersuchende implantierte Schicht mit mittleren Implantationskonzentrationen von
5 · 1018 cm−3 , 1 · 1019 cm−3 , 2 · 1019 cm−3 bzw. 5 · 1019 cm−3 . Die Metallisierung der
Kontakte ist dunkelgrau dargestellt. Vor der Kontaktierung wurde eine oberflächennahe Kontaktimplantation (mittelgrau) durchgeführt.
2. Selektive Ionenimplantation von Al+ bei Raumtemperatur in den Kontaktregionen zur Verbesserung der ohmschen Charakteristik und Senkung des
Kontaktwiderstands. Implantationsenergie: E(Al+ ) = (25 − 90) keV, Dosis:
D(Al+ ) = 1.5 · 1014 cm−2
3. Selektive Ionenimplantation von Al+ bei Raumtemperatur. Durch 4-fache
Implantation mit Ionenenergien zwischen 30 keV − 180 keV wurde ein Boxprofil mit einer Tiefe von d ≈ 210 nm erzeugt (siehe Abb. 4.9). Die mittlere
implantierte Konzentration wurde zwischen 5 · 1018 cm−3 und 5 · 1019 cm−3
variiert.
4. Entfernung des Streuoxids mit BOE (buffered oxide etch)
5. Temperung bei 17000 C für 30 min in Argon-Atmosphäre in einem widerstandsbeheizten Vertikalofen zum Ausheilen des Implantationsschadens und
zur Aktivierung der Al-Akzeptoren. Dem Inert-Gas wurde Silan beigemischt, um ein Graphitisieren der SiC-Oberfläche durch Abdampfen von
Silizium zu vermeiden.
6. Oberflächenpassivierung durch thermische Oxidation
7. Selektives Entfernen des Passivierungsoxids in den Kontaktregionen
62
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
8. Aufdampfen von 200 nm Aluminium für die Kontakte; Lithographische
Strukturierung mit Lift-Off-Prozess
9. Aufdampfen des großflächigen Rückseitenkontakts
10. Einlegieren der Al-Kontakte durch Temperung bei 6700 C/2 min und
9500 C/3 min
Durch die Al-Implantation wird die n-Typ Epitaxieschicht umdotiert. Der dabei
entstehende pn-Übergang sperrt die zu untersuchende p-Typ Schicht elektrisch
vom n-Typ Substrat ab.
Es wurden zwei verschiedene Teststrukturen hergestellt (siehe Abb. 4.10). Die
van-der-Pauw-Strukturen (links) wurden für Hall-Effekt- und Widerstandsmessungen, die Stäbchen-Strukturen (rechts) für Widerstandsmessungen bei tiefen
Temperaturen 14 K < T < 300 K verwendet.
4.2.2
MOSFET-Strukturen für Hall-Effekt-Messungen
Im Rahmen dieser Arbeit wurden 3C-SiC n-Kanal MOSFETs mit einer speziellen Struktur für Hall-Effekt-Messungen (siehe Abb. 4.11(a) und vgl. Abschnitt
4.1.1.4) untersucht. Die MOSFETs wurden von A. Schöner (ACREO, Schweden)
hergestellt. Es wurden zwei verschiedene MOSFET-Typen untersucht:
• lightly doped drain (LDD) MOSFET (Abb. 4.11(a)),
• vertical double-implanted (VD) MOSFET (Abb. 4.11(b)).
Der VD-MOSFET ist eine Weiterentwicklung des LDD-MOSFETs unter
Berücksichtigung der Erkenntnisse, die u. a. durch die Messungen am LDDMOSFET gewonnen wurden. Leider hat sich bei den Hall-Strukturen der VDMOSFETs ein Designfehler eingeschlichen, so dass die Strukturen nicht messbar
waren. Daher wurden stattdessen normale“ 3-polige Standard-VD-MOSFETs
”
verwendet.
Als Substratmaterial für die Herstellung der MOSFETs wurde 3C-SiC der Firma HAST4 verwendet. Die Herstellung der 3C-SiC Kristalle erfolgt nach einem
von H. Nagasawa entwickelten Verfahren [Nag03] durch Abscheidung von SiC
aus der Gasphase (LP-CVD) auf Silizium-Wafer. In die Wafer wurden zuvor mit
Diamantpaste in [110]-Richtung Riefen gekratzt; diese Riefen führen beim SiCWachstum zur paarweisen Auslöschung von Zwillingsversetzungen, die in [111]und [111]-Richtung aufgrund der heterogenen Keimbildung auf Silizium wachsen.
Nach Abscheidung einer ca. 200 µm dicken 3C-SiC Schicht wird die Züchtung beendet, das Silizium-Substrat nass-chemisch selektiv entfernt und der freistehende
4
Hoya Advanced Semiconductor Technologies (HAST), 1-17-16 Tanashioda, Sagamihara-shi,
Kanagawa, 229-1125, Japan, Internet: www.hast.co.jp
4.2 Probenpräparation
63
(a) LDD-MOSFET (Hall-Struktur)
(b) VD-MOSFET (Standard)
Querschnitt
Source
Querschnitt
Drain
Gate
SiO2Passivierung
n++-impl.
n+-impl. Gate-Oxid
p-Epischicht
Gate
Source
n++-impl.
p-impl.
n--Epischicht
SiO2Isolation
Gate-Oxid
n-Substrat
n-Substrat
Drain
Aufsicht
Aufsicht
r1
L
4
1
S
Kanal
D
Kanal
S
G
3
2
G
W
d
L
l
Abb. 4.11: Schematischer, nicht maßstabsgetreuer Querschnitt durch bzw. Aufsicht auf
die untersuchten MOSFET-Strukturen: (a) LDD-MOSFET (Hall-Struktur), (b) VDMOSFET (Standard-MOSFET). In der Aufsicht sind Source (S), Drain (D), Gate (G)
sowie bei der Hall-Struktur 4 Potentialsonden (1, 2, 3, 4) eingezeichnet.
(a)
1
S
G
(b)
4
D
2
3
100µm
S
G
100µm
Abb. 4.12: Licht-mikroskopische Aufnahmen der verwendeten MOSFET-Strukturen:
(a) LDD-MOSFET mit Hall-Struktur, (b) VD-MOSFET (Standard-MOSFET). Die
Beschriftungen der Kontakte wurden nachträglich in die Bilder eingefügt.
64
Kapitel 4: Experimentelle Verfahren
SiC-Wafer poliert. Die 3C-SiC Substrate sind n-Typ mit einer Stickstoffkonzentration von typischerweise [N] ≈ 1016 cm−3 .
Folgende Prozessschritte wurden für die Herstellung der beiden MOSFETTypen durchgeführt:
LDD-MOSFET
1. Abscheidung der p-Typ Epitaxieschicht (d = 2 µm, [Al] ≈ 7 · 1016 cm−3 )
2. Stickstoff-Implantation der n+ -dotierten Source- / Drain- / Potentialsondenregionen bei T = 5000 C ([N] ≈ 1 · 1018 cm−3 )
3. Stickstoff-Implantation der n++ -dotierten Source- / Drain- / Potentialsondenregionen bei T = 5000 C ([N] ≈ 1 · 1020 cm−3 )
4. Temperung bei 16000 C für 10 min zum Ausheilen des Implantationsschadens
5. Herstellung des Gate-Oxids durch thermische Oxidation bei T = 11000 C
für 90 min in trockenem Sauerstoff
6. post-oxidation anneal (POA) bei 9500 C für 3 h in feuchter Oxidationsumgebung
7. Abscheidung der SiO2 Oberflächenpassivierung
8. Aufdampfen der zweischichtigen Kontakte (140 nm Nickel + Gold)
9. post-processing anneal bei 4000 C für 30 min
VD-MOSFET
1. Abscheidung der n-Typ Epitaxieschicht (d = (11 − 12) µm, [N] ≈ (5 − 8) ·
1015 cm−3 )
2. Aluminium-Implantation der p-dotierten Wanne bei T = 5000 C ([Al] ≈
1 · 1018 cm−3 , in Oberflächennähe (200 nm) [Al] ≈ 3 · 1017 cm−3 )
3. Phosphor-Implantation der n++ -dotierten Source- / Drain-Regionen bei
T = 5000 C ([P] ≈ 5 · 1019 cm−3 )
4. Temperung bei 16000 C für 10 min zum Ausheilen des Implantationsschadens
5. Herstellung des Gate-Oxids durch thermische Oxidation bei T = 11000 C
für 90 min in trockenem Sauerstoff
4.2 Probenpräparation
65
6. post-oxidation anneal (POA) bei 9500 C für 3 h in feuchter Oxidationsumgebung
7. Aufdampfen des Gate-Kontakts (Aluminium)
8. Abscheidung der SiO2 Isolationsschicht
9. Aufdampfen des Source-Kontakts (Titan/Wolfram)
10. Aufdampfen des Rückseitenkontakts (Titan/Wolfram)
Mit diesen Prozessbedingungen wurde eine Oxiddicke von dox ≈ 60 nm (LDDMOSFET) bzw. dox ≈ 55 nm (VD-MOSFET) erzielt. Die Kanallänge der LDDMOSFET Hall-Strukturen ist L = 500 µm, die Breite W = 80 µm. Der Abstand
der Potentialsonden ist ℓ = 100 µm (vgl. Abb. 4.11(a)).
Die vertikalen VD-MOSFETs haben einen ringförmigen Kanal, der um den
quadratischen Source-Kontakt verläuft. Die Ecken des Quadrates wurden abgerundet, um Feldspitzen zu vermeiden und eine homogenere Verteilung der Äquipotentiallinien im Kanal zu erreichen (siehe Abb. 4.11(b)). Der Kanal hat eine
Länge von L = 2 µm. Die Breite des Kanals wird durch den Umfang der Kanalmitte W1/2 , d. h. den Mittelwert des inneren und des äußeren Kanalumfangs
(ui = 91 µm, ua = 103 µm), abgeschätzt5 : W = W1/2 = 97 µm. Abb. 4.12 zeigt
Licht-mikroskopische Aufnahmen der MOSFET-Strukturen.
Für die elektrischen Messungen an MOSFET-Strukturen wurden die Chips
auf Keramik-Chipträger geklebt. Für LDD-MOSFETs wurde ein elektrisch isolierender Epoxy-Kleber verwendet, der bis ca. 5000 C temperaturfest ist; VDMOSFETs wurden mit einem elektrisch leitfähigen Epoxy-Kleber befestigt. Die
Kontaktpads der MOSFET-Strukturen wurden durch Ultraschall-Bonden mit
Aluminium-Draht mit den Kupferpads der Chip-Träger verbunden.
5
In einem ringförmigen Kanal ist die Feldverteilung i. Allg. nicht homogen [Giv98]. Um einen
solchen MOSFET analytisch wie einen lateralen MOSFET mit rechteckigem Kanal behandeln
zu können, wird das effektive Verhältnis von Kanalbreite zu Kanallänge eingeführt: (W/L)eff ,
in dem diese Inhomogenitäten berücksichtigt werden. Der in dieser Arbeit untersuchte VDMOSFET hat eine quadratische Struktur mit abgerundeten Ecken (Kantenlänge des inneren
Quadrats: d = 24 µm, Radius der gerundeten Ecken: r1 = 3 µm). Der gesamte MOSFET
kann im Rahmen des 2-Transistor-Modells zerlegt werden in einen runden MOSFET (Radius
r1 = 3 µm), bestehend aus den 4 gerundeten Ecken, und 4 lateralen MOSFETs mit einer
Kanalbreite von 24 µm−2·3 µm = 18 µm. Für den lateralen Teil-MOSFET ist (W/L)eff = W/L.
Für den runden Teil-MOSFET gilt [Giv98]:
W
L
eff
W1/2
=δ·
L
mit
δ=
1 r1
+
2
L
L
· ln 1 +
r1
−1
.
(4.36)
Für den in dieser Arbeit untersuchten VD-MOSFET ist δ = 0.98 ≈ 1. Daher ist kein Korrekturfaktor notwendig, wenn für die Kanalbreite der Umfang der Kanalmitte W1/2 verwendet
wird.
Kapitel 5
Experimentelle Ergebnisse
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Experimente vorgestellt. Zur Untersuchung der Störbandleitung in SiC
wurden sowohl in-situ Al-dotierte Volumenkristalle (Abschnitt 5.1) als auch Alimplantierte Expitaxieschichten (Abschnitt 5.2) verwendet. Die Ergebnisse der
Untersuchungen an 3C-SiC MOS Feldeffekttransistoren werden in Abschnitt 5.3
beschrieben.
5.1
Charakterisierung Al-dotierter 6H-SiC Volumenkristalle
Die untersuchten 6H-SiC Kristalle SK55 und SK57 wurden von K. Semmelroth
am Lehrstuhl für Angewandte Physik (LAP) gezüchtet. Ein Überblick über das
Züchtungsverfahren sowie die Prozessierung findet sich in Abschnitt 4.2.1.1. Die
Probe SK55 wurde zunächst bezüglich ihrer Tieftemperatur-Photolumineszenz
(TTPL) zur Klärung des Polytyps untersucht (Abschnitt 5.1.1). Da Probe SK57
unter identischen Bedingungen gezüchtet wurde, kann davon ausgegangen werden, dass der gleiche Polytyp gewachsen ist.
Für beide Proben SK55 und SK57 wurde das laterale Dotierprofil mittels
Kapazitäts-Spannungs- (CV-) Messung an Schottky-Kontakten bestimmt (Abschnitt 5.1.2). An ausgewählten Kontakten wurden Admittanzspektren aufgenommen (Abschnitt 5.1.3). Abschließend wurden quadratische Proben für HallEffekt- und Widerstandsuntersuchungen präpariert (Abschnitt 5.1.4).
5.1.1
Tieftemperatur-Photolumineszenz (TTPL)
Abb. 5.1 zeigt die Photolumineszenzspektren (PL-Spektren) von Probe SK55 an
ausgewählten Messpunkten P1, P2 und P3. Die Messpunkte sind durch Kreise
auf der Photographie der Probe im Inset markiert. Die Färbung der Probe an
den Punkten P1, P2 bzw. P3 ist transparent, blau bzw. schwarz-blau.
67
68
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
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Abb. 5.1: Photolumineszenzspektren von Probe SK55 an den Punkten P1, P2 und P3,
die auf der Photographie der Probe im Inset mit Kreisen markiert sind. Die gestrichelten
Linien markieren die Peakpositionen der breiten Emissionsmaxima. Die bandkantennahen Photolumineszenzspektren im gestrichelten Kasten sind in Abb. 5.2 vergrößert
dargestellt.
Alle PL-Spektren weisen für λ & 440 nm ein breites Kontinuumsspektrum auf,
das dem Donator-Akzeptor-Paarrekombinationsspektrum (DAP) von 6H-SiC für
Stickstoff und Aluminium entspricht [Gor67, Hag73, Ike80]. Die Peakpositionen
der breiten DAP-Maxima sind durch gestrichelte Linien B0 , C0 , BLO und CLO
markiert und in Tab. 5.1 aufgelistet. Sie stimmen im Rahmen der Messgenauigkeit
mit den von Gorban et al. [Gor67] angegebenen Werten überein. B0 und C0 sind
die DAP-Seriengrenzen; die Tatsache, dass es zwei Seriengrenzen gibt, beruht
auf den unterschiedlichen Ionisierungsenergien von Stickstoff auf kubischem und
hexagonalem Gitterplatz. BLO bzw. CLO sind Phononrepliken von B0 bzw. C0
[Ike80].
Das Verschwinden der Peaks B0 und BLO in den Spektren der Messpunkte P2 und insbesondere P3 wird auf eine hohe Al-Dotierkonzentration zurückgeführt [Hag73, Ike80]. Die Färbung der Probe SK55 und die durchgeführten
CV-Messungen zur Bestimmung der Dotierkonzentration stützen dieses Ergebnis.
Abb. 5.2 zeigt die bandkantennahe Photolumineszenz an den Messpunkten P1
5.1 Charakterisierung Al-dotierter 6H-SiC Volumenkristalle
69
bis P3 der Probe SK55. Im Spektrum P1 sind die Peaks R0 und S0 zu finden, die
durch Rekombination eines am neutralen Stickstoffdonator gebundenen Exzitons
ohne Phononenbeteiligung entstehen. Der dritte Stiffstoff-Peak P0 kann nicht
aufgelöst werden, da die Wahrscheinlichkeit für eine direkte Rekombination ohne
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Abb. 5.2: Bandkantennahe PL-Spektren von Probe SK55 an den Punkten P1, P2 und
P3. Bekannte PL-Linien sind entsprechend bezeichnet.
Tab. 5.1: Wellenlänge, Energie, Zuordnung und Literaturwerte der in den TTPLSpektren beobachteten PL-Linien bzw. breitbandigen DAP-Maxima.
Peak
λ (nm)
hν (eV)
Zuordnung
hνLiteratur ( eV)
B0
444.1
2.792
DAP
2.79 [Gor67]
C0
451.9
2.744
DAP
2.74 [Gor67]
BLO
463.5
2.675
DAP
2.67 [Gor67]
CLO
469.5
2.641
DAP
2.63 [Gor67]
R0
414.4
2.992
Stickstoff (geb. Exz.)
2.993 [Cho62]
S0
414.6
2.990
Stickstoff (geb. Exz.)
2.991 [Cho62]
70
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
Phononenbeteiligung aufgrund der geringeren Exzitonenbindungsenergie geringer
als bei R0 und S0 ist [Cho62].
Die Linien oberhalb λ > 418 nm werden dem DAP-Spektrum zugeordnet
und sind bzgl. Position und Intensitätsverteilung typisch für ein 6H-SiC DAPSpektrum [Hag73]. Mit steigender Al-Dotierkonzentration an den Messpunkten
P2 und P3 nimmt die Intensität der Lumineszenz ab und die Linien werden
verbreitert.
Aus den TTPL-Spektren folgt, dass der gewachsene Polytyp 6H-SiC ist.
Das beobachtete DAP-Spektrum wird durch Aluminium-Akzeptoren und
Stickstoff-Donatoren hervorgerufen. Der Kristall ist lateral inhomogen
dotiert.
5.1.2
Laterales Dotierprofil (CV-Messung)
Zur Bestimmung des lateralen Dotierprofils der Proben SK55 und SK57 wurden Titan/Alumnium Schottky-Kontakte mit einem Durchmesser von 0.4 mm auf
der Probenoberfläche präpariert und mittels Strom-Spannungs- (IV-) und Kapazitäts-Spannungs- (CV-) Messungen charakterisiert. Die Kontaktanordnungen für
SK55 bzw. SK57 sind in Abb. 5.3(b) bzw. Abb. 5.5(b) dargestellt. Zum Vergleich
ist in Abb. 5.3(a) bzw. Abb. 5.5(a) jeweils die Photographie der entsprechenden
(a)
(b)
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
5 mm
1016
1017
1018
1019
Netto-Dotierkonzentration NA - ND (cm-3)
Abb. 5.3: (a) Photographie und (b) Mapping der Netto-Akzeptorkonzentration von Probe SK55. Die Kreise symbolisieren die Lage der Schottky-Kontakte. Die Graufärbung
unter den Kontakten entspricht einer Akzeptorkonzentration entsprechend der angegebenen Skala. Weiße Flächen kennzeichnen Kontakte, die entweder nicht messbar waren
oder n-Dotierung ergaben.
5.1 Charakterisierung Al-dotierter 6H-SiC Volumenkristalle
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Abb. 5.4: (a) Strom-Spannungs- (IV-) und (b) Kapazitäts-Spannungs- (CV-) Kennlinien der Probe SK55 an zwei verschiedenen Kontakten 64 bzw. 52.
Tab. 5.2: Netto-Dotierkonzentration NA,netto bestimmt durch CV-Messung an allen
Kontakten xy in p-dotierten Bereichen von Probe SK55.
Nr.
NA,netto (cm−3 )
Nr.
NA,netto (cm−3 )
Nr.
NA,netto (cm−3 )
11
1.7 · 1018
35
9.3 · 1017
52
3.0 · 1018
1.0 · 1019
42
7.0 · 1018
54
4.3 · 1018
44
6.1 · 1018
61
7.0 · 1018
46
1.3 · 1016
63
21
22
23
31
32
33
34
4.3 · 1018
41
9.3 · 1018
43
5.9 · 1018
45
4.6 · 1018
51
6.6 · 1018
53
7.0 · 1018
55
3.4 · 1018
62
2.4 · 1018
64
2.9 · 1018
2.4 · 1018
4.3 · 1017
2.1 · 1017
1.0 · 1018
6.0 · 1017
1.0 · 1017
Probe abgebildet. Im Folgenden werden Kontakte stets mit einer zweistelligen
Zahl xy bezeichnet; die Ziffer x gibt die Spaltennummer, y die Zeilennummer an.
Abb. 5.4(a) zeigt beispielhaft IV-Kennlinien gemessen an den Kontakten 52
und 64. Aus den Kennlinien können folgende Ergebnisse gewonnen werden:
• Beide Kennlinien sind asymmetrisch und weisen eine Durchlass- (U < 0)
und eine Sperrrichtung (U > 0) auf. Der Leitungstyp von SK55 an den
untersuchten Kontakten ist p-Typ.
• In Sperrrichtung fließt insbesondere an Kontakt 52 schon bei kleinen Span-
72
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
(a)
(b)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5 mm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
1016
1017
1018
1019
Netto-Dotierkonzentration NA - ND (cm-3)
Abb. 5.5: (a) Photographie und (b) Mapping der Netto-Akzeptorkonzentration von Probe SK57. Die Kreise symbolisieren die Lage der Schottky-Kontakte. Die Graufärbung
unter den Kontakten entspricht einer Akzeptorkonzentration entsprechend der angegebenen Skala. Weiße Flächen kennzeichnen Kontakte, die entweder nicht messbar waren
oder n-Dotierung ergaben.
nungen U < 2 V ein Leckstrom von bis zu 10 µA.
• Offensichtlich unterscheidet sich die Dotierung unter den Kontakten 52 und
64 deutlich, da der Strom durch Kontakt 52 mehrere Größenordnungen
größer ist als durch Kontakt 64.
Zur Bestimmung der Akzeptorkonzentration wurden CV-Kennlinien an den
Schottky-Kontakten aufgenommen. Abb. 5.4(b) zeigt beispielhaft an den Kontakten 52 und 64 die C −2 (U )-Abhängigkeit für jeweils zwei verschiedene Messfrequenzen. Die Messpunkte der Kennlinien liegen auf Geraden. Aus der Steigung
wird mittels Gl. (4.30)
−2 −1
dCHF
2
(5.1)
NA,netto =
2
ǫr ǫ0 eA
dUa
die Netto-Akzeptorkonzentration NA,netto = NA − ND bestimmt:
NA,netto (64, 1 kHz) = NA,netto (64, 100 kHz) = 1.0 · 1017 cm−3 ,
NA,netto (52, 1 kHz) = NA,netto (52, 100 kHz) = 3.0 · 1018 cm−3 .
Die Dotierkonzentrationen für die Kontakte von Probe SK55 sind in Tab. 5.2
aufgelistet und als Grauwert kodiert im Mapping Abb. 5.3(b) eingetragen. Weiße
Flächen entsprechen Kontakten, die entweder nicht messbar waren oder n-Typ
Leitung zeigten. Es ergeben sich folgende Ergebnisse:
5.1 Charakterisierung Al-dotierter 6H-SiC Volumenkristalle
73
Tab. 5.3: Netto-Dotierkonzentration NA,netto bestimmt durch CV-Messung an Kontakten xy in p-dotierten Bereichen von Probe SK57.
Nr.
NA,netto (cm−3 )
Nr.
NA,netto (cm−3 )
Nr.
NA,netto (cm−3 )
37
3.6 · 1017
58
2.2 · 1018
74
1.4 · 1018
7.2 · 1017
62
4.2 · 1017
76
9.4 · 1017
64
1.2 · 1018
78
4.1 · 1017
66
1.9 · 1018
84
1.4 · 1018
68
2.8 · 1018
86
2.2 · 1018
73
44
45
46
47
48
53
54
55
56
57
4.1 · 1017
59
1.8 · 1017
63
1.3 · 1018
65
7.2 · 1017
67
9.7 · 1017
72
7.4 · 1017
75
9.7 · 1017
77
2.0 · 1018
83
3.4 · 1018
85
1.8 · 1017
95
7.2 · 1017
2.7 · 1018
2.0 · 1018
1.1 · 1018
2.8 · 1017
3.8 · 1016
4.6 · 1017
1.4 · 1018
1.1 · 1018
5.1 · 1016
• Die Probe ist lateral inhomogen dotiert.
• Die Randbereiche, die in der Photographie weiß erscheinen, sind n-leitend.
• Die niedrigste Netto-Dotierkonzentration im p-dotierten Bereich ergibt sich
zu NA,netto (46) = 1.3 · 1016 cm−3 .
• Die höchste Dotierkonzentration liegt im Bereich des dunklen Flecks von
Photographie Abb. 5.3(a): NA,netto (22) = 1.0 · 1019 cm−3 .
Für Probe SK57 wurde ebenfalls ein Dotierungsmapping aufgenommen (siehe
Tab. 5.3 und Abb. 5.5(b)). Die obigen Beobachtungen gelten auch für SK57. Die
niedrigste bzw. höchste gemessene Netto-Akzeptorkonzentration ist:
NA,netto (83) = 3.8 · 1016 cm−3
NA,netto (67) = 3.4 · 1018 cm−3 .
5.1.3
bzw.
Admittanzspektroskopie
Admittanzspektroskopie-Untersuchungen wurden an 4 verschiedenen Kontakten
von Probe SK55 im Temperaturbereich T = (20 − 400) K bzw. 8 verschiedenen
Kontakten von Probe SK57 im Temperaturbereich T = (20−310) K durchgeführt.
74
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
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Abb. 5.6: Kapazität (linke Abb.) bzw. normierter Leitwert (rechte Abb.) als Funktion
der Temperatur gemessen an Probe SK55 bei verschiedenen Messfrequenzen 1 kHz ≤
f ≤ 1 MHz.
(a) Kontakt 42: NA,netto = 7.0 · 1018 cm−3
(b) Kontakt 52: NA,netto = 3.0 · 1018 cm−3
(c) Kontakt 64: NA,netto = 1.0 · 1017 cm−3
In Abb. 5.6 bzw. Abb. 5.7 sind Admittanzspektren abgebildet, die an jeweils 3
ausgewählten Kontakten gemessen wurden1 . Dabei fällt die Dotierkonzentration
der untersuchten Halbleitervolumina jeweils von (a) nach (c) ab. Im linken bzw.
rechten Teilbild ist die Kapazität C bzw. der normierte Leitwert G/ω des Schottkykontakts als Funktion der Temperatur T aufgetragen. Die Messfrequenz wurde
zwischen 1 kHz und 1 MHz (Probe SK55) bzw. 100 Hz und 1 MHz (Probe SK57)
in dekadischen Schritten variiert. Die folgenden Ergebnisse gelten gleichermaßen
für Probe SK55 (Abb. 5.6) wie auch für Probe SK57 (Abb. 5.7).
In den G/ω(T )-Auftragungen sind zwei Peakserien zu erkennen (mit h bzw.
Al gekennzeichnet), die auf folgenden Beobachtungen basieren:
• Bei niedrigen Frequenzen f sind die Peaks schmal; die Maximumpositionen
liegen bei Temperaturen T < 100 K.
1
Die vollständigen Admittanzspektren sind im Anhang B abgebildet.
5.1 Charakterisierung Al-dotierter 6H-SiC Volumenkristalle
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Abb. 5.7: Kapazität (linke Abb.) bzw. normierter Leitwert (rechte Abb.) als Funktion
der Temperatur gemessen an Probe SK57 bei verschiedenen Messfrequenzen 100 Hz ≤
f ≤ 1 MHz.
(a) Kontakt 67: NA,netto = 3.4 · 1018 cm−3
(b) Kontakt 54: NA,netto = 7.2 · 1017 cm−3
(c) Kontakt 46: NA,netto = 1.8 · 1017 cm−3
• Je größer die Frequenz f wird, desto breiter wird die rechte Schulter des
Peaks. Es gibt schließlich eine Übergangsfrequenz, bei der ein Doppelpeak
bei T ≈ 100 K beobachtet wird.
• Bei hohen Frequenzen f wird der Peak wieder schmäler.
• Offensichtlich verschwindet mit steigender Temperatur und Frequenz der
h-Peak zugunsten des Al-Peaks.
Weitere Erkenntnisse aus den Leitwertspektren (a) und (b):
• Die Peakhöhen der h-Serie und der Al-Serie sind vergleichbar.
• Die steil ansteigenden G/ω-Werte zu hohen Temperaturen insbesondere
bei kleinen Frequenzen sind auf Leckströme der Schottkykontakte zurückzuführen.
76
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
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Abb. 5.8: Arrhenius-Plot der Leitwert-Peaks gemessen an verschiedenen Kontakten der
Probe SK55.
Die Spektren in den Teilabbildungen (c), aufgenommen an Kontakten mit
einer Netto-Dotierung NA,netto < 2 · 1017 cm−3 , zeigen nur eine Peakserie (mit
Al bezeichnet) ohne verbreiterte Schultern bzw. Doppelpeakstrukturen. Untersuchungen an vielen Kontakten (Spektren siehe Anhang B) haben gezeigt, dass
die Schwelle für das Auftreten bzw. Verschwinden einer zweiten Peakserie bei
Netto-Akzeptorkonzentrationen zwischen 4.1 · 1017 cm−3 und 7.2 · 1017 cm−3 liegt.
In Abb. 5.8 bzw. Abb. 5.9 sind die Arrhenius-Plots, d. h. die logarithmische
Auftragung der reziproken Messfrequenz
1
1
τ= =
(5.2)
ω
2πf
über der reziproken Temperaturposition 1000/T jedes Peakmaximums, für verschiedene Kontakte auf den Proben SK55 bzw. SK57 dargestellt. Die zugehörigen
Admittanzspektren sind im Anhang B abgebildet. Die Arrheniusplots bestätigen
die oben beschriebenen Beobachtungen.
• Probe SK55: An den Kontakten 53, 52 und 42 mit NA,netto ≥ 2.9 · 1018 cm−3
werden zwei Steigungen gefunden, die zwei verschiedenen Peakserien zuzuordnen sind. Die flache bzw. steile Steigung ist den mit h bzw. Al markierten Peaks zuzuordnen. Der Arrhenius-Plot der Messung an Kontakt 64
(NA,netto = 1 · 1017 cm−3 ) zeigt lediglich eine Steigung.
• Probe SK57: An den Kontakten 44, 54, 56, 64, 65, 57 und 67 mit NA,netto ≥
7.2·1017 cm−3 werden zwei Steigungen gefunden, die analog zur Probe SK55
5.1 Charakterisierung Al-dotierter 6H-SiC Volumenkristalle
77
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Abb. 5.9: Arrhenius-Plot der Leitwert-Peaks gemessen an verschiedenen Kontakten der
Probe SK57.
der h- bzw. Al-Peakserie zugeordnet werden. Die Arrhenius-Plots der Messungen an den Kontakten 46 und 44 (NA,netto ≤ 4.1 · 1017 cm−3 ) zeigen
lediglich eine Steigung (bis auf das leichte Abknicken bei kleinen Messfrequenzen f < 1 kHz).
Der Ursprung der beiden Peakserien wird ausführlich in Abschnitt 6.1.5 diskutiert.
Kapazität C und Leitwert G sind über die Kramers-Kronig-Relation miteinander verknüpft. Ein Leitwert-Peak entspricht einer Kapazitätsstufe an derselben
Temperaturposition. Daher ergeben die Wendepunkte der C-Stufen in den linken
Teilabbildungen von Abb. 5.6 und Abb. 5.7 die gleichen Arrhenius-Plots.
5.1.4
Hall-Effekt- und Widerstandsmessungen
Für die Hall-Effekt- und Widerstandsmessungen wurde je eine quadratische Probe aus den Kristallen SK55 und SK57 gesägt. Dabei wurde ein Bereich hoher
Dotierung — wie in Abb. 5.10 dargestellt — ausgewählt. Die Probe SK55 hat
die Kantenlänge a = 2.5 mm und die Dicke d = 0.3 mm. Es hat sich bei der
Hall-Effekt-Messung herausgestellt, dass das Probenvolumen aufgrund der lateralen und axialen Inhomogenität der Dotierung zu groß gewählt wurde. Die Folge
waren stark streuende und im Vorzeichen wechselnde Messwerte bei tiefen Temperaturen. Daher wurde eine zweite Probe aus Kristall SK57 mit einer verkürzten
78
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
SK55
SK57
2.5 mm
5 mm
1.1 mm
5 mm
Abb. 5.10: Photographien der Proben SK55 und SK57. Die Schnittkanten der Proben für Hall-Effekt- und Widerstandsmessungen sowie die Kontakte sind schematisch
eingezeichnet.
Kantenlänge a = 1.1 mm gesägt und von der Rückseite auf eine Dicke d = 100 µm
gedünnt.
Mittels eines Sputterprozesses wurden auf die Proben jeweils vier AluminiumKontakte aufgebracht und anschließend bei 6700 C für 2 min und 9000 C für 3 min
einlegiert. Die ohmsche Charakteristik wurde jeweils vor der Messung überprüft.
Die Kontakte wurden so in den vier Ecken der Proben positioniert, dass sie direkt
am Rand liegen und klein gegen die lateralen Abmessungen der Proben sind. Die
Korrekturfaktoren [Blo92, Loo89] für die präparierten Kontakte liegen unter 10%
und werden im Folgenden vernachlässigt.
5.1.4.1
Hall-Konstante
In Abb. 5.11(a) ist die gemessene Hall-Konstante RH als Funktion der reziproken
Temperatur aufgetragen. Die Messwerte von Probe SK55 bzw. SK57 sind durch
quadratische bzw. runde Symbole dargestellt. Offene Symbole kennzeichnen positive RH -Werte, gefüllte Symbole negative RH -Werte. Für Probe SK55 konnten
aufgrund der Dotierinhomogenitäten im Probenvolumen nur für T > 150 K sinnvolle, reproduzierbare Messwerte aufgenommen werden. Bei der kleineren Probe SK57 war dies bis T = 28 K möglich. Die Messwerte beider Proben liegen
im gemeinsam gemessenen Temperaturintervall nahezu übereinander; dies deutet
auf eine vergleichbare Dotierung hin (siehe Abschnitt 5.1.4.2). Der temperaturabhängige Verlauf der Hall-Konstanten lässt sich in 3 Abschnitte unterteilen:
• Beginnend bei T = 800 K steigt RH mit fallender Temperatur aufgrund des
Ausfrierens der freien Ladungsträger an. Bei T ≈ 170 K hat RH ein lokales
Maximum. RH ist positiv; die Majoritätsladungsträger sind daher Löcher.
5.1 Charakterisierung Al-dotierter 6H-SiC Volumenkristalle
79
• Bei weiterem Absenken der Temperatur fällt RH wieder ab.
• Bei T ≈ 75 K ändert sich das Vorzeichen von RH . Für T < 75 K ist RH
negativ und steigt betragsmäßig mit fallender Temperatur an.
Die beiden letztgenannten Punkte werden dem zunehmenden Einfluss der
Störbandleitung zugeschrieben und in den Abschnitten 6.1.3 und 6.1.4 diskutiert.
5.1.4.2
Konzentration freier Löcher
Im Einbandmodell wird die Hall-Konstante für Löcherleitung durch
rH
(5.3)
RH =
ep
beschrieben. rH ist der Hall-Streufaktor für Löcher. Dieser wurde von Schmid
et al. [Sch03] empirisch bestimmt. e bzw. p sind die Elementarladung bzw. die
Konzentration freier Löcher im Valenzband. Das Einbandmodell ist in den vorliegenden Messungen im Temperaturbereich T ≫ 170 K gültig, da der Einfluss
der Störbandleitung bei hohen Temperaturen vernachlässigbar klein ist.
Abb. 5.11(b) zeigt die durch Gl. (5.3) aus den Messdaten berechnete Konzentration p freier Löcher als Funktion der reziproken Temperatur für T ≥ 125 K. Im
Rahmen einer Standardauswertung wurde — wie in Abschnitt 4.1.1.3 beschrieben
— die Neutralitätsgleichung
NA
p + NK =
(5.4)
A
1 + gNAVp exp ∆E
kB T
für einen Akzeptor (Ionisierungsenergie ∆EA , Konzentration NA ) und Kompensation NK an die Messdaten angepasst. M. Laube [Lau04] hat in seiner Dissertation gezeigt, dass Gl. (5.4), die auf der Boltzmannnäherung basiert, auch noch für
Dotierkonzentrationen bis ca. 5·1019 cm−3 gültig ist. Die verwendeten Materialparameter sind in Anhang D angegeben. Die Anpassungsparameter sind in Tab. 5.4
aufgelistet. Die leicht höhere Akzeptorkonzentration NA für Probe SK57 im Vergleich zu SK55 spiegelt den geringfügig niedrigeren spezifischen Widerstand ρ im
Bereich der Störbandleitung (Bereiche II und III in Abb. 5.11(d)) wider; dies ist
auch in Übereinstimmung mit der starken Konzentrationsabhängigkeit des Vorfaktors ρ3 im Störbandterm (siehe Diskussion in Abschnitt 6.1.1). Daraus folgt,
dass SK57 mit K = 0.35 etwas stärker kompensiert ist als SK55 (K=0.20). Der
Wert ∆EA ist in guter Übereinstimmung mit der von Schöner et al. [Sch95] gefundenen Konzentrationsabhängigkeit der Akzeptor-Ionisierungsenergie.
Die durchgezogene bzw. gestrichelte Kurve in Abb. 5.11(b) ist die mit den Parametern aus Tab. 5.4 simulierte Konzentration freier Elektronen für SK55 bzw.
SK57. Die Messpunkte werden für T > 200 K im Rahmen der Messgenauigkeit
gut durch die Simulation wiedergegeben. Für T < 200 K gewinnt die Störbandleitung an Bedeutung und das Einbandmodell ist nicht mehr gültig. In Abschnitt
6.1.3 wird ein Modell vorgestellt, das die Störbandleitung berücksichtigt.
80
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
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Abb. 5.11: Ergebnisse der Hall-Effekt- und Widerstands-Messungen an den Proben
SK55 (quadratische Symbole) und SK57 (runde Symbole).
(a) Hall-Konstante RH als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T . Positive
bzw. negative Werte sind durch offene bzw. gefüllte Symbole dargestellt.
(b) Löcherkonzentration p als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T . Die
durchgezogene und die gestrichelte Kurve entsprechen Simulationen unter Verwendung der Neutralitätsgleichung.
(c) Löcher-Hall-Beweglichkeit µH als Funktion der Temperatur T . Die durchgezogenen Geraden sind lineare Anpassungen an die Messpunkte; die Temperaturabhängigkeit ist jeweils angegeben.
(d) Spezifischer Widerstand ρ als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T .
Der Kurvenverlauf ist in drei Bereiche I, II und III gegliedert.
5.1 Charakterisierung Al-dotierter 6H-SiC Volumenkristalle
81
Tab. 5.4: Defektparameter bestimmt durch Fit der Neutralitätsgleichung Gl. (5.4) an
die Messdaten von Probe SK55 und SK57: Akzeptor-Ionisierungsenergie ∆EA , Akzeptorkonzentration NA , Konzentration der Kompensation NK und Kompensationsgrad
K.
Probe
∆EA (meV)
NA (cm−3 )
NK (cm−3 )
K = NK /NA
SK55
130
130
6 · 1018
0.20
SK57
3 · 1019
5.1.4.3
4 · 1019
1.4 · 1019
0.35
Löcher-Hall-Beweglichkeit
Die Hall-Beweglichkeit wird aus dem Quotienten, gebildet aus Hall-Konstante RH
und spezifischem Widerstand ρ, berechnet.
µH (T ) =
|RH (T )|
ρ(T )
(5.5)
Abb. 5.11(c) zeigt die Löcher-Hall-Beweglichkeit µH als Funktion der Temperatur
T . Die Messwerte von Probe SK55 (Quadrate) und SK57 (Kreise) unterscheiden
sich nicht im Rahmen der Messgenauigkeit. Der temperaturabhängige Verlauf
von µH hat bei T ≈ 270 K ein Maximum mit einer Beweglichkeit von
µH,max = 16 cm2 /Vs.
Für T > 270 K folgen die Messwerte einer T −3/2 -Abhängigkeit, die auf eine
Dominanz der Streuung an akustischen Phononen hinweist. Dies ist in diesem
Temperaturintervall zu erwarten [Sch97].
Für T < 270 K fällt die gemessene Löcher-Hall-Beweglichkeit steil mit einer
5.3
T -Abhängigkeit ab. Unterhalb von T ≈ 75 K steigt die Beweglichkeit bis auf
etwa (10 − 20) cm2 /Vs an. Diese Beweglichkeitswerte resultieren aus den negativen Werten der Hall-Konstante RH . Welche Bedeutung diese Beweglichkeit im
Rahmen der Störbandleitung hat, wird in Abschnitt 6.1.3 diskutiert.
5.1.4.4
Spezifischer Widerstand
Der spezifische Widerstand ρ ist in Abb. 5.11(d) als Funktion der reziproken Temperatur dargestellt. Er überstreicht im Temperaturintervall 20 K ≤ T ≤ 800 K
ca. sieben Größenordnungen. Der Temperaturverlauf von ρ kann offensichtlich
aufgrund unterschiedlicher Temperaturabhängigkeiten in drei Bereiche I, II und
III unterteilt werden.
• Im Bereich I sind die Messwerte von SK55 und SK57 vergleichbar. Mit
Ausnahme des Hochtemperatur-Endes der Messkurve liegen die Messwerte
in diesem Bereich in der gewählten Auftragung auf einer Geraden.
82
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
• Bei T ≈ 170 K knickt die Messkurve im Bereich II ab. Die Steigung wird
flacher. Für T < 170 K liegen die Messwerte von SK55 etwa 50% über denen
von SK57.
• Für T < 36 K wird die Messkurve im Bereich III nochmals flacher.
Die dominierenden Leitungsmechanismen der drei Bereiche sowie die quantitative
Temperaturabhängigkeit von ρ werden ausführlich in den Abschnitten 6.1.1 bis
6.1.2 diskutiert.
5.2
Charakterisierung Al-implantierter 4H-SiC
Epitaxieschichten
Ergänzend zu den Hall-Effekt- und Widerstandsmessungen an 6H-SiC Volumenkristallen, die während der Züchtung mit Al dotiert wurden, wurden Alimplantierte Epitaxieschichten untersucht. Die Al-Dotierung wird durch die Implantation lateral homogen eingestellt. Durch Mehrfachimplantation mit unterschiedlichen Ionenenergien wird senkrecht zur Probenoberfläche ebenfalls eine
weitgehend homogene Dotierung bis in eine Tiefe dimpl. erzielt (Rechteckprofil). Es
wurden zwei verschiedene Probengeometrien, nämlich van-der-Pauw- (Abschnitt
5.2.1) bzw. Stäbchen-Struktur (Abschnitt 5.2.2), mit je vier unterschiedlichen AlDotierungen hergestellt. Die Prozessierung der Proben erfolgte durch M. Rambach vom Lehrstuhl für Elektronische Bauelemente und ist in Abschnitt 4.2.1.2
skizziert. Eine Übersicht über die untersuchten Proben ist in Tab. 5.5 zu finden.
Tab. 5.5: Untersuchte Al-implantierte 4H-SiC Proben mit Angabe der mittleren implantierten Al-Konzentration [Al]impl. , der Dicke des implantierten Al-Rechteckprofils
dimpl. und der Probenstruktur.
Probe
[Al]impl. (cm−3 )
dimpl. (nm)
Struktur
RamC3
5 · 1018
210
van der Pauw
18
5 · 10
210
Stäbchen
1 · 1019
210
van der Pauw
1 · 1019
210
Stäbchen
19
2 · 10
210
van der Pauw
2 · 1019
210
Stäbchen
5 · 1019
210
van der Pauw
19
210
Stäbchen
RamD3
RamG3
RamF3
RamG7
RamF7
RamC7
RamD7
5 · 10
5.2 Charakterisierung Al-implantierter 4H-SiC Epitaxieschichten
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Abb. 5.12: IV-Charakteristik des implantierten pn-Übergangs von Probe RamC7 gemessen bei T = 142 K, T = 295 K und T = 666 K. Der Sperrstrom liegt mindestens
eine Größenordnung unter dem aufgeprägten Messstrom für Hall-Effekt- und Widerstandsmessungen in der implantierten Schicht bei der jeweiligen Temperatur.
Die Al+ -Ionen wurden in eine hochqualitative n-Typ 4H-SiC Epitaxieschicht
implantiert. Der dabei entstehende pn-Übergang sperrt den Messstrom gegen die
n-Typ Epitaxieschicht. Vor jeder Messung wurde eine IV-Kennlinie aufgenommen, um das Sperrverhalten des pn-Übergangs zu überprüfen. Die Spannung
wurde zwischen dem großflächigen Rückseitenkontakt und der Parallelschaltung
der Kontakte der Teststruktur auf der Vorderseite angelegt. Es wurden Sperrströme bis maximal 10% des bei der Hall-Effekt- bzw. Widerstandsmessung aufgeprägten Messstroms akzeptiert. Abb. 5.12 zeigt typische IV-Charakteristiken
des pn-Übergangs von Probe RamC7 bei drei verschiedenen Temperaturen. Zum
Vergleich ist jeweils der bei der Hall-Effekt- bzw. Widerstandsmessung aufgeprägte Messstrom eingezeichnet.
5.2.1
Hall-Effekt- und Widerstandsmessungen an vander-Pauw-Strukturen
5.2.1.1
Hall-Konstante
In Abb. 5.13(a) ist die gemessene Hall-Konstante RH als Funktion der reziproken
Temperatur 1000/T aufgetragen. Die Messwerte der Proben RamC7, RamG7,
RamG3 bzw. RamC3 sind durch Kreise, Dreiecke, Quadrate bzw. Rauten symbolisiert. Positive Werte von RH sind durch offene Symbole, negative Werte durch
gefüllte Symbole dargestellt. Es wurden folgende experimentelle Fakten beobachtet:
• Für T > 125 K ist RH > 0 bei allen untersuchten Proben dieser Serie; die
84
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
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Abb. 5.13: Ergebnisse der Hall-Effekt- und Widerstands-Messungen an den Proben
mit van-der-Pauw-Strukturen RamC7 (Kreise), RamG7 (Dreiecke), RamG3 (Quadrate)
und RamC3 (Rauten).
(a) Hall-Konstante RH als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T . Positive
bzw. negative Werte sind durch offene bzw. gefüllte Symbole dargestellt.
(b) Löcherkonzentration p als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T . Die
durchgezogenen Kurven sind Simulationen unter Verwendung der Neutralitätsgleichung mit an die Messpunkte angepassten Defektparametern (Tab. 5.6).
5.2 Charakterisierung Al-implantierter 4H-SiC Epitaxieschichten
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Abb. 5.14: Ergebnisse der Hall-Effekt- und Widerstands-Messungen an den Proben
mit van-der-Pauw-Strukturen RamC7 (Kreise), RamG7 (Dreiecke), RamG3 (Quadrate)
und RamC3 (Rauten).
(a) Löcher-Hall-Beweglichkeit µH als Funktion der Temperatur T . Die durchgezogenen Geraden sind lineare Anpassungen an die Messpunkte; die Temperaturabhängigkeit ist angegeben.
(b) Spezifischer Widerstand ρ als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T .
Der Kurvenverlauf ist in zwei Bereiche I und II gegliedert.
86
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
Majoritätsladungsträger sind daher Löcher.
• Mit Ausnahme der niedrig dotierten Probe RamC3 ([Al]impl. = 5 ·
1018 cm−3 ) zeigt der Kurvenverlauf der Proben einen Sättigungsbereich, der
— abhängig von der Dotierung — zwischen 125 K und 200 K einsetzt.
• Probe RamC3 zeigt im untersuchten Temperaturbereich T > 140 K keine
Sättigung. Messwerte unterhalb T ≈ 140 K konnten aufgrund des hohen
Probenwiderstands nicht erfasst werden.
• Bei ca. 140 K schlägt das Vorzeichen von RH bei den Proben RamG3,
RamG7 und RamC7 um. ln(RH ) hat im Bereich des Vorzeichenwechsels
eine negative Polstelle. Bei Probe RamG3 ist die Polstelle offensichtlich so
schmal, dass die Polstelle zwischen zwei Messpunkten liegt und das Absinken der RH -Werte nicht gemessen wurde.
• Der Temperaturverlauf von RH bei Probe RamC7 ist vergleichbar mit
RH (1/T ) von Probe SK57 (vgl. Abschnitt 5.3).
Das Maximum von RH beim Einsetzen der Störbandleitung und der Vorzeichenwechsel werden in den Abschnitten 6.1.3 und 6.1.4 diskutiert.
5.2.1.2
Konzentration freier Löcher
Aus dem temperaturabhängigen Verlauf der positiven Hall-Konstante RH , die
durch freie Löcher im Valenzband bestimmt ist, wurde analog Abschnitt 5.1.4.2
die temperaturabhängige Konzentration p freier Löcher bestimmt. Dabei wurde
vorausgesetzt, dass nur ein Band (Valenzband) zur elektrischen Leitung beiträgt.
Tab. 5.6: Defektparameter, die durch Fit der Neutralitätsgleichung Gl. (5.6) an
die Messdaten von Probe RamC3, RamG3, RamG7 und RamC7 bestimmt wurden: Akzeptor-Ionisierungsenergie ∆EA , Akzeptorkonzentration NA , Konzentration der
Kompensation NK und Kompensationsgrad K.
Probe
∆EA (meV)
RamC3
161
RamG3
155
RamG7
140
RamC7
120
NA (cm−3 )
18
5.0 · 10
1.0 · 1019
2.0 · 1019
19
5.0 · 10
NK (cm−3 )
K = NK /NA
18
0.42
3.5 · 1018
0.35
2.1 · 10
6.0 · 1018
19
2.0 · 10
0.30
0.40
5.2 Charakterisierung Al-implantierter 4H-SiC Epitaxieschichten
87
Abb. 5.13(b) zeigt die aus den Messdaten berechnete Konzentration p freier
Löcher als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T für T > 120 K. Im Rahmen der Standardauswertung wurde — wie in Abschnitt 4.1.1.3 beschrieben —
die Neutralitätsgleichung
p + NK =
NA
1+
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∆EA
kB T
(5.6)
für einen Akzeptor mit Kompensation NK an die Messdaten angepasst. Die verwendeten Materialparameter sind in Anhang D angegeben. Die durch Fit bestimmten Defektparameter sind in Tab. 5.6 aufgelistet. Die durch Fit ermittelte
Al-Akzeptorkonzentration stimmt in allen untersuchten 4H-SiC Proben mit der
implantierten Al-Konzentration überein; d. h. die implantierten Al-Atome wurden
zu 100% als Al-Akzeptoren beim Ausheilschritt aktiviert. Die Werte für die AlIonisierungsenergie ∆EA stimmen mit der von Schöner et al. [Sch95] gefundenen
Konzentrationsabhängigkeit der Ionisierungsenergie des Al-Akzeptors überein.
Der Kompensationsgrad K ändert sich für alle implantierten Al-Konzentrationen
nur schwach; er liegt zwischen 0.30 und 0.42.
Die durchgezogenen Kurven in Abb. 5.13(b) wurden mit den in Tab. 5.6 angegebenen Defektparametern simuliert. Die Messpunkte werden auf der Hochtemperaturseite im Rahmen der Messgenauigkeit durch die Simulation gut wiedergegeben. Für kleine Temperaturen gewinnt die Störbandleitung an Bedeutung
und das Einbandmodell ist nicht mehr gültig. In Abschnitt 6.1.3 wird ein Modell
vorgestellt, das die Störbandleitung berücksichtigt.
5.2.1.3
Löcher-Hall-Beweglichkeit
Die Hall-Beweglichkeit der Löcher, berechnet aus dem Quotienten von HallKonstante RH und spezifischen Widerstand ρ
µH (T ) =
|RH (T )|
,
ρ(T )
(5.7)
ist als Funktion der Temperatur T in Abb. 5.14(a) für die vier Proben RamC7
(Kreise), RamG7 (Dreiecke), RamG3 (Quadrate) und RamC3 (Rauten) dargestellt. Die Messwerte unterscheiden sich für hohe Temperaturen T > 300K insbesondere für die Proben RamG7, RamG3 und RamC3 nur unwesentlich. Der
Kurvenverlauf hat in diesem Bereich bei allen Proben eine T −2.3 Abhängigkeit.
Dies deutet auf eine Dominanz der Streuung an non-polar optischen Phononen hin
[Sch05]. Die maximal erreichten Hall-Beweglichkeiten sowie die Temperaturpositionen der Maxima der Löcher-Hall-Beweglichkeit sind in Tab. 5.7 aufgeführt.
µH,max nimmt mit steigender implantierter Al-Konzentration [Al]impl. ab; dabei
verschiebt sich die Maximumsposition zu höheren Temperaturen. Dieser Trend
ist auf den steigenden Einfluss von Streuung an geladenen Störstellen und auf die
Beweglichkeit im Störband zurückzuführen.
88
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
Tab. 5.7: Maximale Hall-Beweglichkeit µH,max und Temperaturposition Tmax des Maximums der Löcher-Hall-Beweglichkeit für die Proben RamC3, RamG3, RamG7 und
RamC7.
Probe
µH,max (cm2 /Vs)
Tmax (K)
RamC3
80
170
RamG3
66
170
RamG7
48
200
RamC7
21
250
Für Temperaturen unterhalb der Beweglichkeits-Maxima fällt die gemessene
Hall-Beweglichkeit bei allen Proben steil ab. Bei T ≈ 120 K kehrt sich das Vorzeichen von RH um. Die Beweglichkeit steigt bei weiter fallender Temperatur bis
auf etwa 300 cm2 /Vs an. Diese Beweglichkeitswerte resultieren aus den negativen Werten der Hall-Konstante RH . Welche Bedeutung diese Beweglichkeit im
Rahmen der Störbandleitung hat, wird in Abschnitt 6.1.3 diskutiert.
5.2.1.4
Spezifischer Widerstand
Der spezifische Widerstand ρ, gemessen an den Proben mit van-der-PauwStruktur, ist in Abb. 5.14(b) als Funktion der reziproken Temperatur dargestellt.
Der zugängliche Temperaturbereich wurde durch die Messempfindlichkeit der
Apparatur begrenzt. Im Hall-Effekt-Messmodus mit dem Standard-Hall-EffektProbenhalter liegt die Messgrenze bei der gegebenen Probengeometrie bei ca.
5 · 104 Ωcm. Daher wurden die Ergebnisse ergänzt durch Messungen an identisch
prozessierten Proben mit Stäbchen-Struktur im High-Resistivity“-Messmodus
”
unter Verwendung eines speziell geschirmten Probenhalters (siehe nächster Abschnitt 5.2.2).
5.2.2
Widerstandsmessungen an Stäbchen-Strukturen
Abbildung 5.15 zeigt die Ergebnisse der temperaturabhängigen WiderstandsMessungen an den van-der-Pauw-Proben RamC7, RamG7, RamG3 bzw. RamC3
(graue Symbole) sowie an den Stäbchen-Proben RamD7, RamF7, RamF3 bzw.
RamD3 (offene Symbole). Proben mit identischer Prozessierung sind jeweils durch
das gleiche Symbol (Kreis, Dreieck, Quadrat bzw. Raute) dargestellt. Durch Verwendung der Stäbchen-Struktur, besonderer Abschirmvorkehrungen des Probenhalters und Umgehung der Matrixbeschaltung der Apparatur konnte die Messgrenze für den spezifischen Widerstand der untersuchten Proben auf etwa 107 Ωcm
angehoben werden. Dies wird besonders deutlich für die Messwerte der Proben
5.2 Charakterisierung Al-implantierter 4H-SiC Epitaxieschichten
89
RamF3 und RamG3 (Quadrate) im Temperaturbereich 50 K < T < 100 K. Die
verwendete Apparatur ist in Abschnitt 4.1.1 beschrieben.
Der Temperaturverlauf von ρ kann — wie bei den Volumenkristallen (Abschnitt 5.1.4.4) — aufgrund unterschiedlicher Temperaturabhängigkeiten in drei
Bereiche I, II und III unterteilt werden.
• Im Bereich I ist der Temperaturverlauf der Messwerte für die untersuchten Proben vergleichbar. Mit Ausnahme des Hochtemperatur-Endes der
Messkurven liegen die Messwerte in diesem Bereich in der gewählten Auftragung auf einer Geraden. Die kleinen Unterschiede in den Steigungen
resultieren aus der konzentrationsabhängigen Ionisierungsenergie des AlAkzeptors.
• Zwischen T ≈ 100 K und T ≈ 130 K knicken die Messkurven im Bereich
II ab. Die Steigung wird flacher. Der spezifische Widerstand ist im Bereich
II stark abhängig von der Dotierkonzentration (etwa 1 Größenordnung pro
Faktor 2 in der Dotierung).
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Abb. 5.15: Ergebnisse der temperaturabhängigen Widerstands-Messungen an den Proben RamC7 (graue Kreise), RamD7 (offene Kreise), RamG7 (graue Dreiecke), RamF7
(offene Dreiecke), RamG3 (graue Quadrate), RamF3 (offene Quadrate), RamC3 (graue
Rauten) und RamD3 (offene Rauten). Gleiche Symbolformen entsprechen Proben mit
identischer implantierter Al-Konzentration [Al]impl. ; Proben mit van-der-Pauw- bzw.
Stäbchen-Strukturen sind durch graue bzw. weiße Symbole gekennzeichnet. Der Kurvenverlauf ist jeweils in drei Bereiche I, II und III gegliedert.
90
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
• Bei sehr kleinen Temperaturen werden die Messkurven im Bereich III nochmals flacher. Dieser Effekt tritt besonders deutlich bei der am höchsten
dotierten Probe RamC7 in Erscheinung.
Die dominierenden Leitungsmechanismen der drei Bereiche sowie die quantitative
Temperaturabhängigkeit von ρ werden ausführlich in den Abschnitten 6.1.1 bis
6.1.2 diskutiert.
5.3
Elektrische Charakterisierung von 3C-SiC
MOSFETs
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der elektrischen Untersuchungen an
3C-SiC MOSFETs dargestellt. Die MOSFETs wurden von Adolf Schöner et al.
bei ACREO in Schweden hergestellt. Die Prozessierung wird in Abschnitt 4.2.2
dargestellt. Im Rahmen dieser Arbeit wurden erstmals 3C-SiC MOSFETs mittels Hall-Effekt im Kanal untersucht. Die Ergebnisse dieser Arbeit dienen daher sowohl dem wissenschaftlichen Interesse am Materialsystem 3C-SiC/SiO2 als
auch der Weiterentwicklung und Optimierung der einzelnen Prozessschritte durch
ACREO. Von den entwickelten MOSFET-Strukturen werden die Ergebnisse der
LDD-MOSFETs (lightly doped drain) und der weiterentwickelten VD-MOSFETs
(vertical double-implanted) vorgestellt und in Abschnitt 6.2 diskutiert.
5.3.1
Kennlinienfelder
Kennlinienfelder werden mittels 2-Punkt-Messung aufgenommen. Dazu werden
Source und Drain mit dem Sourcemeter der Messapparatur verbunden. Die Spannung wird durch das Sourcemeter vorgegeben und der Strom gemessen. Die Spannung für das Gate wird von einem zweiten Sourcemeter geliefert. Die gemeinsame
Bezugsmasse wird mit dem Source-Anschluss verbunden. Eventuell vorhandene
Potentialsonden im Kanal werden nicht beschaltet.
5.3.1.1
Lightly doped drain (LDD) MOSFET
Abb. 5.16(a) zeigt die Ausgangscharakteristik ID − UD von MOSFET I11vr gemessen bei Raumtemperatur für Gate-Spannungen UG zwischen 0 V und 20 V.
Die Kennlinien verlaufen für UD < 0.5 V linear und knicken bei größeren DrainSpannungen in die Sättigung ab. In Abb. 5.16(b) ist die ID − UD -Kennlinie für
UG = 0 V nochmals vergrößert dargestellt. Es wird für UD < 0.3 V ein kleiner Anstieg des Drain-Stroms ID um ca. 0.4 nA beobachtet. Ab ca. 0.6 V steigt ID exponentiell mit steigender Drain-Spannung UD an. Dieser Strom fließt aufgrund der
schlechten Sperrcharakteristik der pn-Übergänge zwischen Source- bzw. DrainGebiet und dem p-dotierten Kanal. Für die folgenden Betrachtungen ist dieser
5.3 Elektrische Charakterisierung von 3C-SiC MOSFETs
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Abb. 5.16: (a) Ausgangscharakteristik ID −UD von MOSFET I11vr gemessen bei Raumtemperatur für verschiedene Gate-Spannungen UG . Die Kennlinie für UG = 0 V ist in
Abb. (b) nochmals vergrößert dargestellt.
Leckstrom allerdings unbedeutend, da die elektrischen Untersuchungen im linearen Bereich UD < 0.5 V durchgeführt werden, in dem der MOSFET als ohmscher
Widerstand betrachtet werden kann. Aus der Steigung kann mit den bekannten geometrischen Parametern (Länge L = 500 µm bzw. Breite W = 80 µm des
Kanals) der Schichtwiderstand RS bestimmt werden:
−1
W ∂ID
(2-Punkt-Messung).
(5.8)
RS =
L ∂UD
Abb. 5.17 zeigt den auf diese Weise berechneten Schichtwiderstand RS von
MOSFET I11vr als Funktion der Gate-Spannung UG (weiße Symbole). Zusätzlich zur Raumtemperaturmessung wurden die Ergebnisse der Messungen bei
T = 2000 C, T = 2500 C, T = 3250 C sowie T = 4000 C eingezeichnet. Die grauen Messpunkte wurden durch 4-Punkt-Widerstandsmessung im Kanal ermittelt.
Das Verfahren wird im Abschnitt 5.3.2 beschrieben. Folgende Ergebnisse sind
festzuhalten:
• Der Schichtwiderstand RS nimmt mit steigender Gate-Spannung UG ab. Bei
Raumtemperatur fällt RS zwischen UG = −2 V und UG = 25 V um ca. 5
Größenordnungen ab.
• Mit steigender Temperatur T wird RS kleiner. Je kleiner die Gate-Spannung
UG ist, desto stärker ist die Temperaturabhängigkeit. Bei UG = 5 V beträgt die Widerstandsänderung zwischen T = 200 K und T = 400 K ca. 2.5
Größenordnungen; bei UG = 25V ändert sich der Widerstand nur noch um
den Faktor 2.
92
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
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Abb. 5.17: Schichtwiderstand RS von MOSFET I11vr als Funktion der Gate-Spannung
UG gemessen bei unterschiedlichen Temperaturen. Die weißen Messpunkte wurden mittels 2-Punkt-Messung, die grauen Messpunkte mittels 4-Punkt-Messung aufgenommen.
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Abb. 5.18: Transfercharakteristik ID − UG gemessen im linearen Bereich der Ausgangscharakteristik (UD = 0.2 V) bei Raumtemperatur. An den linearen Bereich bei
UG ≈ 30 V wurde eine Regressionsgerade angepasst. Aus dem Schnittpunkt mit ID = 0
(b)
wurde (a)
die Schwellenspannung UT = 13.8 V bestimmt.
5.3 Elektrische Charakterisierung von 3C-SiC MOSFETs
93
• Die Schichtwiderstände RS , bestimmt durch 4-Punkt-Messung, liegen ca.
um den Faktor (2−5) unterhalb der Widerstände, bestimmt durch 2-PunktMessung. Während durch die 4-Punkt-Messung exakt der Kanalwiderstand
gemessen wird, fließen in das Ergebnis der 2-Punkt-Messung Kontaktwiderstände, Kabelwiderstände, Widerstand der n-Gebiete von Source und
Drain sowie Widerstand der Barriere zwischen n-dotiertem Source- bzw.
Drain-Gebiet und invertiertem Kanal mit ein. Der Unterschied zwischen
2-Punkt- und 4-Punkt-Messung wird mit zunehmender Gate-Spannung UG
kleiner.
In Abb. 5.18 ist die Transfercharakteristik ID − UG gemessen bei Raumtemperatur dargestellt. Die Kennlinie wurde im linearen Bereich der Ausgangscharakteristik (UD = 0.2 V) gemessen. Die Transfercharakteristik liefert folgende
Informationen:
• Der Anstieg des Drain-Stroms ID verläuft sehr sanft“. Eine definierte Span”
nung, bei der die Inversion des Kanals und damit der Stromfluss einsetzt,
ist nicht vorhanden.
• Bei UG ≈ 30 V steigt ID proportional mit UG an.
Die Schwellenspannung UT wird nach dem in Abschnitt 3.1 dargestellten Verfahren bestimmt. Für T = RT werden
UT = 13.8 V
ermittelt. Die elektrische Feldstärke F im Oxid (Dicke dox = 60 nm) bei der
maximal angelegten Gate-Spannung UG = 30 V beträgt
F (UG = 30 V) = 5 MV/cm.
Tab. 5.8: Schwellenspannung UT und maximale Transkonduktanz gm,max in Abhängigkeit der Messtemperatur T für LDD-MOSFET I11vr.
T (K)
UT (V)
gm,max (Ω−1 )
200
16.7
250
14.1
≈ 8 · 10−8
295
12.3 (13.8)∗
325
11.1
400
8.2
∗
8.0 · 10−8
8.0 · 10−8
(8.7 · 10−8 )∗
8.0 · 10−8
7.8 · 10−8
unter Berücksichtigung der größeren Steigung bei UG = 30 V
94
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
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Abb. 5.19: (a), (b) Transfercharakteristik ID − UG gemessen im linearen Bereich der
Ausgangscharakteristik (UD = 0.2 V) für verschiedene Temperaturen. (c) Transkonduktanz gm = ∂ID /∂UG als Funktion der Gatespannung UG gemessen bei unterschiedlichen
Temperaturen.
Abb. 5.19(a) bzw. Abb. 5.19(b) zeigen die Transfercharakteristik gemessen bei
verschiedenen Temperaturen zwischen 200 K und 400 K auf einer linearen bzw.
logarithmischen Skala. Der Drain-Strom ID wächst mit steigender Temperatur
an, während die Schwellenspannung UT sinkt. In Tab. 5.8 sind die ermittelten
Schwellenspannungen UT für die untersuchten Temperaturen aufgelistet. Da die
Transferkennlinien bei hohen Gate-Spannungen nicht — wie üblich — abflachen2 ,
ist die größte Steigung bei der höchsten verwendeten Gate-Spannung noch nicht
2
Das Abflachen einer Transferkennlinie beruht auf der Abnahme der Elektronenbeweglichkeit
aufgrund des zunehmenden Einflusses der Streuung durch Grenzflächenrauigkeit [Jeo89].
5.3 Elektrische Charakterisierung von 3C-SiC MOSFETs
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Abb. 5.20: (a) Ausgangscharakteristik ID − UD von MOSFET VD2D3 gemessen bei
Raumtemperatur für verschiedene Gate-Spannungen UG . Die Kennlinie für UG = 0 V
ist in Abb. (b) nochmals vergrößert dargestellt.
erreicht. Dadurch wird die Schwellenspannung um ca. (1 − 2) V unterschätzt. Die
maximalen Steigungen gm = ∂ID /∂UG (Transkonduktanz) im Messbereich (UG ≤
25 V) sind in Tab. 5.8 aufgeführt. Die maximale Gate-Spannung UG wurde auf
25 V begrenzt, um einen vorzeitigen Durchbruch des Gate-Oxids zu verhindern.
Lediglich bei Raumtemperatur wurde bis UG = 30 V gemessen.
5.3.1.2
Vertical double-implanted (VD) MOSFET
Die VD-MOSFET-Serie ist die Weiterentwicklung der LDD-MOSFET-Serie. Auf
den Chips existieren ebenfalls Hall-Strukturen mit zusätzlichen Kontakten zur
4-Punkt-Widerstandsmessung und Hall-Effekt-Untersuchung. Leider enthielt das
Layout einen Designfehler, so dass die Hall-Strukturen nicht funktionsfähig waren. Daher konnten nur 2-Punkt-Widerstandsmessungen an normalen“ dreipo”
ligen MOSFETs durchgeführt werden.
Abb. 5.20(a) zeigt die Ausgangscharakterisitik ID −UD von MOSFET VD2D3
gemessen bei Raumtemperatur für Gate-Spannungen UG zwischen 0 V und 15 V.
Die Kennlinien verlaufen für UD < 1 V linear und knicken bei größeren DrainSpannungen in die Sättigung ab. In Abb. 5.20(b) ist die ID − UD -Kennlinie für
UG = 0 V nochmals vergrößert dargestellt. Bis UD ≈ 1.5 V steigt der Strom auf
ID ≈ 90 nA an und fällt bei weiterer Erhöhung von UD langsam ab. Der Abfall ist auf das Erhöhen des Drain-Potentials gegenüber Source und damit auch
gegenüber Gate zurückzuführen. Dadurch wird die mittlere Gate-Spannung abgesenkt. Obwohl bei MOSFET VD2D3 die maximale Drain-Spannung im Vergleich
zum LDD-MOSFET verdoppelt wurde, ist kein Leckstrom der pn-Übergänge zu
(b)
96
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
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øùúûüýþùÿÿ ÿ Abb. 5.21: Schichtwiderstand RS von MOSFET VD2D3 als Funktion der GateSpannung UG gemessen bei unterschiedlichen Temperaturen.
Tab. 5.9: Schwellenspannung UT und maximale Transkonduktanz gm,max in Abhängigkeit der Messtemperatur T für VD-MOSFET VD2D3. In der Spalte gm,max ist in Klammern jeweils die Gate-Spannung UG des Maximums angegeben.
T (K)
UT (V)
150
3.6
200
3.6
250
3.2
295
2.7
325
2.0
400
1.3
gm,max (Ω−1 )
1.1 · 10−5
(UG = 5.7 V)
1.9 · 10−5
(UG = 6.7 V)
1.9 · 10−5
(UG = 6.8 V)
−5
1.7 · 10
(UG = 6.1 V)
−5
(UG = 5.3 V)
1.5 · 10−5
(UG = 3.8 V)
1.5 · 10
erkennen. Vielmehr befinden sich bereits bei UG = 0 V freie Elektronen im Kanal (Sub-Threshold-Bereich). Zum vollständigen Abschalten des Transistors muss
ein negatives Gate-Bias angelegt werden (siehe weiter unten: Ergebnisse Transferkennlinie).
Abb. 5.21 zeigt den Schichtwiderstand RS von MOSFET VD2D3 als Funktion der Gate-Spannung UG gemessen bei unterschiedlichen Temperaturen zwischen T = 1500 C und T = 4000 C. Der Schichtwiderstand wurde — wie oben
beschrieben — aus der Steigung des linearen Bereichs der Ausgangscharakteristik bei kleinem UD bestimmt. Für die Kanallänge wurde L = 2 µm, für die Breite
5.3 Elektrische Charakterisierung von 3C-SiC MOSFETs
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3C-SiC n-channel VD-MOSFET
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Abb. 5.22: (a), (b) Transfercharakteristik ID − UG gemessen im linearen Bereich der
Ausgangscharakteristik (UD = 0.1 V) für verschiedene Temperaturen. (c) Transkonduktanz gm = ∂ID /∂UG als Funktion der Gatespannung UG gemessen bei unterschiedlichen
Temperaturen.
W = 97 µm verwendet. Qualitativ sind die Ergebnisse des LDD-MOSFETs auf
den VD-MOSFET übertragbar:
• Der Schichtwiderstand RS nimmt mit steigender Gate-Spannung UG ab.
Bei Raumtemperatur fällt RS zwischen UG = 0 V und UG = 15 V um ca. 4
Größenordnungen ab.
• Mit steigender Temperatur T wird RS kleiner und saturiert für UG > 10 V
temperaturunabhängig bei RS ≈ 3 · 104 Ω/2.
98
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
• Für UG < 10 V ist RS temperaturabhängig. Bei UG = 5 V beträgt die
Variation ca. 1 Größenordnung; bei UG = 0 V mehr als 6 Größenordnungen.
• Bei T = 3500 C und T = 4000 C werden nahezu identische Schichtwiderstände gemessen.
In Abb. 5.22 sind die Transfercharakteristiken ID − UG gemessen bei unterschiedlichen Temperaturen 150 K ≤ T ≤ 400 K dargestellt. Die Kennlinien wurden im linearen Bereich der Ausgangscharakteristik (UD = 0.1 V) gemessen. Aus
der linearen Auftragung (Abb. 5.22(a)) ist zu erkennen, dass der Drain-Strom
für UG > (1 − 4) V nahezu linear ansteigt. Bei großen Gate-Spannungen flachen
die Messkurven aufgrund der herabgesetzten Elektronenbeweglichkeit durch den
zunehmenden Einfluss der Streuung durch Grenzflächenrauigkeit ab [Jeo89]. Im
Subthreshold-Bereich ist der Drain-Strom exponentiell abhängig von der GateSpannung (siehe Abb. 5.22(b)). Zum vollständigen Abschalten des MOSFETs
muss eine negative Gate-Spannung UG angelegt werden. Bei T = RT ist der
Drain-Strom ID für UG ≤ −3.5 V unter der Messgrenze 10−13 A.
Die für T = RT entsprechend dem in Abschnitt 3.1 dargestellten Verfahren
bestimmte Schwellenspannung UT beträgt
UT = 2.7 V.
In Tab. 5.9 sind die ermittelten Schwellenspannungen UT sowie die maximalen
Steigungen (Transkonduktanz) für die untersuchten Temperaturen aufgelistet.
Die Schwellenspannung UT nimmt mit sinkender Temperatur zu. Die maximale
Transkonduktanz wird — abhängig von der Messtemperatur — zwischen UG =
2 V und UG = 7 V gemessen. Die größte Transkonduktanz wird bei T = 250 K
ermittelt: gm,max = 1.9 · 10−5 Ω−1 .
5.3.2
Temperaturabhängige Hall-Effekt-Messungen
3C-SiC LDD-MOSFETs
an
Für Hall-Effekt- und Kanalleitfähigkeits-Messungen wurden IV-Kennlinien in
4-Punkt-Anordnung aufgenommen. Dazu wurde der Source-Drain-Strom ID in
äquidistanten Schritten zwischen 0 und ID,max vorgegeben. Die Potentiale im Kanal längs bzw. quer zur Stromrichtung (= Kanalrichtung) wurden an den dafür
vorgesehenen Kontaktpads mit jeweils einem Elektrometer abgegriffen. Um sicherzustellen, dass die Messungen im linearen Bereich der Ausgangscharakteristik
durchgeführt wurden, wurde der maximale Drain-Strom ID,max so gewählt, dass
die maximale Source-Drain-Spannung UD,max ≈ 0.2 V ist. Für jeden vorgegebenen
Drain-Strom ID wurde die Spannung
• U23 längs zur Stromrichtung,
+B
• U12
quer zur Stromrichtung mit positivem Magnetfeld +B sowie
5.3 Elektrische Charakterisierung von 3C-SiC MOSFETs
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Abb. 5.23: (a) Durch 4-Punkt-Messung ermittelte IV-Kennlinie zur Bestimmung des
Kanal-Schichtwiderstands RS aus der Steigung für UG = 0 V bei T = RT. (b) Hall+B
−B
Spannung UH = [U12
−U12
]/2 als Funktion des Source-Drain-Stroms ID für UG = 0V
bei T = RT.
−B
• U12
quer zur Stromrichtung mit negativem Magnetfeld −B
gemessen. Je nach Messtemperatur T und Gate-Spannung UG sind die dabei auftretenden Ströme bzw. abgegriffenen Spannungen sehr klein. Als Beispiel ist in
Abb. 5.23(a) die Spannung U23 zwischen den Kontaktpads 2 und 3 als Funktion
des Drain-Stroms ID für UG = 0 V bei T = RT aufgetragen. Die Linearitätsbedingung UD ≤ 0.2 V fordert einen kleinen Messstrom ID ≤ 160 pA. Die gemessene
Spannung U23 ist kleiner als 12 mV. Aus der Steigung wird der Schichtwiderstand
bestimmt:
−1
W ∂ID
(4-Punkt-Messung).
(5.9)
RS =
ℓ ∂U23
In diesem Beispiel ist RS = 5.6·107 Ω/2 mit einer Standardabweichung von unter
1%.
Abb. 5.23(b) zeigt die Hall-Spannung UH als Funktion von ID gemessen unter
identischen Bedingungen. Die Hall-Spannung wird aus
UH =
+B
−B
U12
− U12
2
(5.10)
+B
−B
ermittelt, wobei U12
bzw. U12
die zwischen den Kontaktpads 1 und 2 gemessene
Spannung senkrecht zur Stromrichtung ID bei anliegendem positiven bzw. negativen Magnetfeld ist. Im dargestellten Beispiel ist der Betrag der resultierenden
100
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
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Abb. 5.24: Betrag der Hall-Konstante |RH | als Funktion der Gate-Spannung UG gemessen bei unterschiedlichen Temperaturen.
Hall-Spannung |UH | < 150 µV. Aus der Steigung von UH als Funktion von ID
(b)
wird die Hall-Konstante
RH =
1 ∂UH
·
B ∂ID
(5.11)
(a)
berechnet. Aus der in Abb. 5.23(b) gezeigten Messkurve wird durch lineare Regression ein Wert von RH = −7 · 109 cm2 /As ermittelt. Der relative Fehler ist ca.
28%. Dieser Fehler ist für eine Hall-Effekt-Messung akzeptabel, da die Genauigkeit der Hall-Auswertung durch andere Unsicherheiten in der gleichen Größenordnung limitiert ist (z. B. die Annahme für den Hallstreufaktor rH = 1).
Die kleinen Messströme und Spannungen stellen hohe Anforderungen an das
Konzept des Messsystems. Daher war es notwendig für diese Untersuchungen die
Hall-Effekt-Apparatur komplett zu überarbeiten. Die durchgeführten Änderungen sowie das Probenhalterkonzept sind in Abschnitt 4.1.1.5 beschrieben. Die
Messungen wurden mit 200 ms Integrationszeit und mit mindestens 10 Mittelungen pro Messpunkt durchgeführt. Vor der Aufnahme eines Messwerts wurde
zunächst gewartet, bis die RC-Glieder des Aufbaus umgeladen und die Messwerte
stabil waren.
Nach dem oben beschriebenen Verfahren wurde für Temperaturen zwischen
T = (200 − 400) K und für Gate-Spannungen bis UG = 25 V die Hall-Konstante
RH bestimmt. Die Gate-Spannung wurde sicherheitshalber nicht weiter erhöht,
um einem vorzeitigen Gateoxid-Durchbruch vorzubeugen. In Abb. 5.24 ist der
Betrag der Hall-Konstante |RH | als Funktion der Gate-Spannung UG dargestellt;
RH (UG ) wurde bei unterschiedlichen Temperaturen bestimmt. Das Vorzeichen
von RH ist stets negativ. Der Verlauf von RH ist mit RS vergleichbar. Die Messwer-
5.3 Elektrische Charakterisierung von 3C-SiC MOSFETs
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Abb. 5.25: (a) Elektronen-Flächendichte ninv bzw. (b) Hall-Beweglichkeit µH als Funktion der Gate-Spannung UG gemessen bei unterschiedlichen Temperaturen.
Tab. 5.10: Schichtwiderstand RS , Elektronen-Flächendichte ninv und Hall-Beweglichkeit
µH für unterschiedliche Temperaturen gemessen bei UG = 25 V an MOSFET I11vr.
T (K)
RS (Ω/2)
ninv (cm−2 )
µH (cm2 /Vs)
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2.3 · 104
400
2.7 · 1012
2.9 · 1012
70
74
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73
3.5 · 1012
76
3.2 · 10
te fallen monoton mit steigender Gate-Spannung bzw. mit steigender Temperatur. Bei niedriger Gate-Spannung ist eine starke Temperaturabhängigkeit (2.5
Größenordnungen) vorhanden, während bei hoher Gate-Spannung nahezu temperaturunabhängige Messwerte ermittelt werden.
Aus der Hall-Konstanten RH und dem Schichtwiderstand RS wird die
Elektronen-Flächendichte ninv und die Hall-Beweglichkeit µH im Inversionskanal
bestimmt:
ninv =
rH
,
e|RH |
(5.12)
102
Kapitel 5: Experimentelle Ergebnisse
µH =
|RH |
.
RS
(5.13)
Der Hallstreufaktor rH für Inversionselektronen ist nicht bekannt. Für Elektronen
in SiC Volumenmaterial ist rH ≈ 1 und nur schwach temperaturabhängig [Rut98].
Da in Silizium der Hallstreufaktor für Elektronen im Volumen bzw. im Inversionskanal ähnlich ist, wird für SiC im Folgenden auch für Inversionselektronen rH = 1
angenommen [Lau04].
Abb. 5.25(a) zeigt die Elektronen-Flächendichte ninv als Funktion der GateSpannung UG für unterschiedliche Temperaturen. ninv steigt oberhalb einer
Schwelle, die je nach Messtemperatur zwischen 5 V und 15 V liegt, nahezu linear mit UG an. Die maximalen Elektronen-Flächendichten bei UG = 25 V sind
in Tab. 5.10 angegeben.
Die Hall-Beweglichkeit µH ist in Abb. 5.25(b) als Funktion der Gate-Spannung
UG aufgetragen. µH ist weitgehend unabhängig von UG und nur schwach temperaturabhängig. Nur bei kleiner Gate-Spannung UG , insbesondere bei niedriger Messtemperatur T , steigt die Hall-Beweglichkeit an. Gleichzeitig streuen die
Messwerte stark, da bei kleiner Gate-Spannung — wie oben gezeigt — winzige
Messströme und kleine Hall-Spannungen auftreten und den statistischen Messfehler vergrößern. Die Hall-Beweglichkeiten µH erreichen bei hoher Gate-Spannung
Werte zwischen 62 cm2 /Vs und 76 cm2 /Vs. Die Werte sind in Tab. 5.10 aufgelistet.
Kapitel 6
Diskussion
6.1
Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
Obwohl Siliziumkarbid der erste Halbleiter war, an dem Störbandleitung experimentell beobachtet wurde (Busch und Labhart [Bus46]), gibt es bis heute nur wenige Arbeiten über Störbandleitung in SiC. Evwaraye et al. [Evw96] untersuchten
n-Typ 4H-SiC mittels temperaturabhängiger Widerstandsmessungen und Admittanzspektroskopie. Sie fanden Aktivierungsenergien von ǫ3 ≈ (2.3 − 5.0) meV.
Untersuchungen an p-Typ SiC konnten in der Literatur nicht gefunden werden. Sie sind Bestandteil dieser Arbeit. In diesem Kapitel werden die experimentellen Ergebnisse aus Abschnitt 5.1 und 5.2 diskutiert. Zunächst werden
in Abschnitt 6.1.1 und 6.1.2 die Ergebnisse der temperaturabhängigen Widerstandsmessungen an Volumenkristallen und implantierten Schichten analysiert
und die relevanten Parameter für Störbandleitung bestimmt. Der erste Abschnitt
beschäftigt sich dabei mit dem Nearest-Neighbor-Hopping“ bei höheren Tempe”
raturen (Bereich II in Abb. 5.11(d) und Abb. 5.15), während im zweiten Abschnitt
die Tieftemperatur-Messpunkte (Bereich III) diskutiert werden.
In den Abschnitten 6.1.3 und 6.1.4 werden Auswirkungen der Störbandleitung
auf den Hall-Effekt diskutiert. In Abschnitt 6.1.3 wird ein Modell zur Simulation
der Hall-Konstante RH vorgestellt.
Ein zweiter Zugang zur Aktivierungsenergie ǫ3 der Störbandleitung wird in
Abschnitt 6.1.5 anhand der Ergebnisse der Admittanzspektroskopiemessungen
diskutiert.
Eine Zusammenfassung der Ergebnisse ist in Kapitel 7 zu finden.
103
104
Kapitel 6: Diskussion
6.1.1
Nearest Neighbor Hopping
6.1.1.1
Bestimmung der Hopping-Aktivierungsenergie ǫ3
Der spezifische Widerstand eines niedrig dotierten kristallinen Halbleiters wird
üblicherweise durch
ǫ2
ǫ3
ǫ1
−1
−1
−1
−1
+ ρ2 exp −
+ ρ3 exp −
(6.1)
ρ(T ) = ρ1 exp −
kB T
kB T
kB T
dargestellt, wobei
ǫ1 > ǫ2 > ǫ3
ρ1 ≪ ρ 2 ≪ ρ3
und
ist. Der zweite Term, der die Störbandleitung im oberen Hubbard-Band beschreibt, kann für die Auswertung der untersuchten Proben vernachlässigt werden. Dieser Term dominiert den Widerstand nur bei Dotierkonzentrationen nahe
dem Mott-Anderson-Übergang und für Kompensationsgrade K < 0.2. Aus dem
Mott-Kriterium
NM a3B ≈ 0.02
(6.2)
folgt für Al-dotiertes p-Typ Siliziumkarbid eine kritische Konzentration
NM ≈ (1 − 2) · 1020 cm−3
(6.3)
für den Mott-Anderson-Übergang. Alle untersuchten Proben weisen jedoch eine
Al-Konzentration [Al] ≤ 5·1019 cm−3 auf; die Kompensation der Proben ist mind.
Tab. 6.1: Parameter ρ1 und ǫ1 der linearen Anpassung an die Messpunkte im angegebenen Temperaturbereich. Zum Vergleich ist die Akzeptor-Ionisierungsenergie ∆EA
angegeben.
Probe
Fitbereich (K)
ρ1 (Ωcm)
ǫ1 (meV)
∆EA (meV)
RamC3/D3
120 − 310
1.2 · 10−3
185
161
RamF3/G3
RamF7/G7
RamC7/D7
SK55
SK57
125 − 300
8.1 · 10−4
180
155
−4
171
140
190 − 275
3.9 · 10−3
130
120
154
130
190 − 435
−3
145
130
135 − 275
190 − 445
6.5 · 10
2.0 · 10−3
3.6 · 10
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
\]s
{
v
f x ^g x
tu w t
u
uyz
\]r
Š‡ ˆ‡ ‹Œ 
z
105
|}~{^ €
|}~^ ‚
n
m
l
k
j
i
|}~ƒ^ ‚ƒ
|}~{ƒ^ €ƒ
\]q
y
\]p
y
a„„
a„
…
‡} ˆ‡ˆ  ‰
z†
z
\] c
\]o
\]b c
e
f
g
h
\]
\]]]^ _ `ab cd
Abb. 6.1: Spezifischer Widerstand ρ als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T
für die Al-implantierten Proben (offene Symbole) RamC7/D7 (Kreise), RamF7/G7
(Dreieck, Spitze oben), RamF3/G3 (Quadrat) und RamC3/D3 (Raute) sowie die Volumenkristalle (ausgefüllte Symbole) SK55 (Dreieck, Spitze unten) und SK57 (Sechseck).
Die durchgezogenen Kurven sind lineare Anpassungen an die Messpunkte im relevanten
Temperaturbereich (fett gedruckt).
20%. Für den Bohr’schen Radius aB in Gl. (6.2) wurde der Radius einer isotropen
Störstellenwellenfunktion (Abfall der Wellenfunktion auf 1/e) [Shk84, S. 140]
a= √
~
2m∗ ∆EA
(6.4)
eingesetzt. Darin wurden die mittels Hall-Effekt bestimmten Ionisierungsenergien für Al-Akzeptoren (Tab. 5.4 und Tab. 5.6) verwendet. Für m∗ wurde 1 · me
angenommen [Sch97].
Der erste Term in Gl. (6.1) berücksichtigt die thermische Emission von
Löchern aus Al-Akzeptoren ins Valenzband. Die Aktivierungsenergie ǫ1 hängt
über ρ−1 = epµh und die Neutralitätsgleichung eng mit der Ionisierungsenergie
∆EA der Al-Akzeptoren zusammen. Abweichungen ergeben sich durch die Temperaturabhängigkeit der Löcherbeweglichkeit µh (Potenzgesetz) sowie den Einfluss der Kompensation auf die Steigung des p(1/T )-Verlaufs. Abb. 6.1 zeigt den
gemessenen spezifischen Widerstand ρ als Funktion der reziproken Temperatur
1000/T der untersuchten Proben im für die ǫ1 -Leitung relevanten Temperaturbereich I. Die Parameter der Fitgeraden sind in Tab. 6.1 zusammengefasst. Angepasst wurde an den linearen Bereich der Messpunkte (fett gedruckte Symbole).
Die Abweichungen der Messpunkte von den Fitgeraden bei hohen Temperaturen
resultieren aus der Abnahme der Beweglichkeit aufgrund der Streuung an akustischen bzw. non-polar optischen Phononen (vgl. Abschnitt 5.1.4.3 und 5.2.1.3).
106
Kapitel 6: Diskussion
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Ž¦
±²³°´ µ´
°
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Abb. 6.2: Spezifischer Widerstand ρ als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T
für die Al-implantierten Proben (offene Symbole) RamC7/D7 (Kreise), RamF7/G7
(Dreieck, Spitze oben), RamF3/G3 (Quadrat) und RamC3/D3 (Raute) sowie die Volumenkristalle (ausgefüllte Symbole) SK55 (Dreieck, Spitze unten) und SK57 (Sechseck).
Messpunkte im Bereich der Nearest-Neighbor-Hopping-Leitung sind durch Fettdruck
hervorgehoben; die durchgezogenen Kurven sind lineare Anpassungen an diese Messpunkte.
Tab. 6.2: Parameter ρ3 und ǫ3 der linearen Anpassung an die Messpunkte im angegebenen Temperaturbereich.
Probe
RamC3/D3
RamF3/G3
RamF7/G7
RamC7/D7
SK55
SK57
Fitbereich (K)
ρ3 (Ωcm)
5
ǫ3 (meV)
37 − 67
3.3 · 10
24 − 50
4.3 · 102
18.2
15
18.7
43 − 131
26
19.9
23
17.9
19 − 37
33 − 94
40 − 137
4.5 · 103
8.2
15.2
Sowohl ǫ1 als auch ρ1 sind nur schwach von der Akzeptorkonzentration NA und
der Kompensation K abhängig; daher liegen die Messpunkte und Fitgeraden sehr
dicht zusammen. Mit zunehmender Akzeptorkonzentration werden die Werte von
ǫ1 und ∆EA kleiner. Dies ist auf den zunehmenden Einfluss des von den geladenen
Störstellen erzeugten Potentials auf die Verteilung der Zustände im Störband und
auf die Valenzbandkante zurückzuführen [Sch95].
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
107
Charakteristisch für das Einsetzen der Störbandleitung mit abnehmender
Temperatur ist das Abknicken der Messkurve ρ(T −1 ). Abb. 6.2 zeigt den spezifischen Widerstand ρ der untersuchten Proben als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T im Temperaturbereich (18−250) K. Fett gedruckte Messpunkte sind
der Nearest-Neighbor-Hopping- (NNH-) Leitung zuzuordnen. Auf der Hochtemperaturseite ist der steile Anstieg der ǫ1 -dominierten Leitung zu erkennen.
Aus dem linearen Verlauf der Messpunkte im NNH-Bereich wurde durch lineare Regression die Aktivierungsenergie ǫ3 sowie der Vorfaktor ρ3 für HoppingLeitung bestimmt. Diese Fitparameter sind in Tab. 6.2 aufgeführt. Die Fitgeraden sind in Abb. 6.2 eingezeichnet. Die ermittelten Aktivierungsenergien ǫ3 liegen
zwischen (8.2 − 19.9) meV. ρ3 hängt stark von der Dotierkonzentration ab und
variiert zwischen 15 Ωcm und 3.3 · 105 Ωcm.
6.1.1.2
Sättigung der Störbandleitung
Bei den Proben RamC3/D3, RamF3/G3 und RamF7/G7 weichen die Messpunkte auf der Hochtemperaturseite des NNH-Bereichs von den Fitgeraden ab; die
Steigung wird flacher. Ein solcher Verlauf von ρ wurde auch bei anderen Halbleitern beobachtet, u. a. in Germanium [Fri60] bzw. Indiumphosphit (InP) [Ben90].
Shklovskii und Yanchev [Shk72] entwickelten ein Modell zur Beschreibung des
Sättigungseffekts der NNH-Leitung bei niedrigen Kompensationsgraden in einem
n-Typ Halbleiter. Es basiert auf dem Modell von Efros et al. [Efr72] zur Berechnung der Fermi-Energie EF im Störband für K → 0. Im Folgenden werden diese
Modelle auf einen p-Typ Halbleiter übertragen.
Dazu wird eine zufällige räumliche Verteilung von NA Akzeptoren und ND =
K · NA Donatoren angenommen mit K ≪ 1. Die Donatoren kompensieren einen
Teil der Akzeptoren durch Abgabe eines Elektrons. Dadurch bleiben positiv geladene Donatorrümpfe übrig. Bei T = 0 K werden diese zusätzlichen Elektonen
aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung auf Akzeptoren sitzen, die sich räumlich
in der Nähe eines Donators befinden. Eine solche Kombination eines positiv geladenen Donators D+ und eines benachbarten negativ geladenen Akzeptoren A−
wird als Komplex“ bezeichnet. Man kann zeigen [Efr72], dass energetisch nur 0”
Komplexe (einzelner D+ ), 1-Komplexe (1 D+ und 1 A− ) und 2-Komplexe (1 D+
und 2 A− ) möglich sind. Liegt in der Nähe eines 2-Komplexes ein weiterer Akzeptor, so erfährt ein zusätzliches Elektron auf diesem eine repulsive Wechselwirkung
mit dem Coulomb-Potential des 2-Komplexes.
Abb. 6.3 zeigt eine zufällige räumliche Anordnung von Akzeptoren und Donatoren und die Bildung von 0-, 1- und 2-Komplexen. Die Coulomb-Wechselwirkung
eines geladenen Donators D+ mit einem benachbarten Akzeptor führt zur energetischen Absenkung des entsprechenden Akzeptorzustands. Da diese Zustände
mit einem Elektron besetzt sind, liegt bei T = 0 K die Fermi-Energie EF oberhalb
dieser Zustände. Durch die Fermi-Energie EF ist also festgelegt, ob ein positiv
geladener Donator mit den Akzeptoren in seiner Umgebung einen 0-, 1- oder
108
Kapitel 6: Diskussion
0
D
A
+
D
+
-
A
-
A
0
A
DE » e3
0
A
DE « e3
0
-
A
D
A
+
D
+
0
A
-
A
0-Komplex
1-Komplex
D
-
+
A
2-Komplex
Abb. 6.3: Zufällige räumliche Anordnung von ionisierten bzw. neutralen Akzeptoren
A− bzw. A0 und ionisierten Donatoren D+ in einem Kristallgitter (nicht eingezeichnet). Bei T = 0 K liegen die ionisierten Donatoren D+ und Akzeptoren A− in direkter
Nachbarschaft; es kommt zur Komplexbildung. Zum Entfernen eines Elektrons aus einem Komplex wird die Energie ǫ3 benötigt. Das Weiterhüpfen“ eines in diesem Sinne
”
freien“ Elektrons ist mit einer kleineren Energie ∆E ≪ ǫ3 möglich.
”
2-Komplex bilden kann. Für die Konzentrationen N0 (EF ) der 0-Komplexe bzw.
N2 (EF ) der 2-Komplexe gilt [Efr72]:
"
3 #
e2
4πNA
,
(6.5)
N0 (EF ) = ND exp −
3
4πǫr ǫ0 EF
"
2 #
6 2
4πN
e
A
.
(6.6)
N2 (EF ) = 7.14 · 10−4 ND
4πǫr ǫ0 EF
3
Da die Neutralität des gesamten Kristallvolumens erhalten bleiben muss, ist
N0 (EF ) = N2 (EF ).
(6.7)
Diese Gleichung kann numerisch gelöst werden; es folgt [Efr72]:
EF = 0.61ǫD .
(6.8)
ǫD ist die Coulomb-Wechselwirkung zwischen Akzeptoren mit mittlerem Abstand
−1/3
rD = 34 πNA
. Wie in Kapitel 2.2.2.4 gezeigt wurde, folgt aus dem Perkolationsmodell nach Efros et al. [Efr72] für die Aktivierungsenergie der NNH-Leitung
ǫ 3 = EF .
(6.9)
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
109
Durch die Energie ǫ3 wird ein Elektron, das in einem 1- oder 2-Komplex gebunden
ist, aus diesem entfernt und auf einen neutralen, unbesetzten Akzeptor übertragen, in dessen Nachbarschaft kein Donator vorhanden ist (siehe Abb. 6.3). Von
dort aus kann das Elektron mit einer wesentlich kleineren Aktivierungsenergie
∆E ≪ ǫ3 auf einen dritten neutralen Akzeptor weiterhüpfen.
In den bisherigen Überlegungen wurde stets vorausgesetzt, dass die Konzentrationen N0 , N1 bzw. N2 nicht wesentlich durch die thermische Aktivierung von
Elektronen beeinflusst werden (in Abb. 6.3 wird der 1-Komplex oben links durch
Abgabe des Elektrons in einen 0-Komplex umgewandelt). Da die Konzentrationen N0 , N1 und N2 proportional zur Donatorkonzentration ND (Kompensation)
sind, muss Gl. (6.7) im Fall kleiner Kompensation erweitert werden [Shk72]:
EF (T )
N0 (EF (T )) = N2 (EF (T )) + NA exp −
.
(6.10)
kB T
Der hinzugefügte Term gibt die Konzentration von Elektronen an, die aus einem Komplex entfernt wurden und dadurch isolierte negativ geladene Akzeptoren A− bilden. Diese müssen in der Ladungsbilanz berücksichtigt werden. Das
Gleichgewicht zwischen N0 und N2 wird dadurch mit steigender Temperatur zu
N0 verschoben. Gl. (6.10) kann temperaturabhängig für verschiedene Kompensationsgrade gelöst werden. Man erhält
ǫ3 (T ) = EF (T ) = ǫD · f (T, K),
(6.11)
wobei f (T, K) eine dimensionslose Funktion der Temperatur T mit Parameter K
ist. Im (theoretischen) Grenzfall eines unendlichen Vorrats an Donatoren (Kompensation), also K → ∞, gilt f (T ) = 0.61 = const (vgl. Gl. (6.8)).
Abb. 6.4 zeigt den spezifischen Widerstand ρ im gleichen Temperaturbereich wie Abb. 6.2 für die Proben RamC3/D3, RamF3/G3 und RamF7/G7. Die
Messkurven zeigen an der Hochtemperaturseite ein Abflachen. Es wurde versucht,
obiges Modell von Shklovskii et al. an die Messpunkte anzupassen. Die Parameter der Anpassung sind in Tab. 6.3 angegeben. Um den Sättigungsverlauf der
Tab. 6.3: Parameter K, ρ3 und ǫD der Anpassung von Gl. (6.10) an die Messpunkte.
In der letzten Spalte sind die für T → 0 extrapolierten Werte ǫ3 (T → 0) = 0.61ǫD
aufgelistet.
Probe
K
ρ3 (Ωcm)
ǫD (meV)
ǫ3 (T → 0) (meV)
RamC3/D3
K = 0.01
23.5
14.3
RamF3/G3
K = 0.01
8.3 · 103
30.7
18.7
RamF7/G7
K = 0.01
5.1
40.6
24.8
4.7 · 102
110
Kapitel 6: Diskussion
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Ú ÛÜ Ý Ú Ì Þ Ûß àá
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ÅÆ ÇÈÉ
Abb. 6.4: Spezifischer Widerstand ρ als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T
für die Al-implantierten Proben RamF7/G7 (Dreieck), RamF3/G3 (Quadrat) und
RamC3/D3 (Raute) im Temperaturbereich der NNH-Leitung. Die durchgezogenen
(K=0.01) bzw. gestrichelten Kurven (K=0.05) sind Anpassungen von Gl. (6.10) an
die Messpunkte. Die gepunktete Kurve ist ein linearer Fit an die Tieftemperaturmesspunkte.
Messpunkte zu simulieren, musste ein Kompensationsgrad K = 0.01 angenommen werden (durchgezogene Kurven). Eine Simulation mit K = 0.05 (gestrichelte
Kurve) führt bei RamF3/G3 und RamF7/G7 bereits zu deutlichen Abweichungen. Zum Vergleich sind die linearen Anpassungen aus Abb. 6.2 als gepunktete
Kurven nochmals eingezeichnet.
Die Annahme eines Kompensationsgrades von 0.01 bei implantierten Proben
ist jedoch unrealistisch. Hall-Effekt-Messungen an den gleichen Proben lieferten
außerdem Werte K = (0.30 − 0.42). Die Anpassung an die Hochtemperaturmesspunkte resultiert in einer deutlichen Abweichung bzgl. der Tieftemperaturmesspunkte (z. B. Probe RamF7/G7 für T < 28 K). Dies wird auch aus den für T → 0
extrapolierten Werten für ǫ3 deutlich, die für alle 3 Proben um (25 − 75)% über
den Werten aus Tab. 6.2 liegen.
Diese Unstimmigkeiten können umgangen werden, indem die abweichenden
Messpunkte bereits dem Variable-Range-Hopping- (VRH-) Bereich zugeschrieben
werden (siehe Abschnitt 6.1.2). Zusammenfassend gilt:
Das Modell von Shklovskii et al., das die Sättigung der Störbandleitung
berücksichtigt, kann den gemessenen Verlauf der Messpunkte wiedergeben. Die Anpassung liefert aber einen unrealistischen Kompensationsgrad
(K = 0.01).
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
6.1.1.3
111
Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit von ρ3
Der spezifische Widerstand im NNH-Bereich wird durch
ǫ3
ρNNH (T ) = ρ3 exp
kB T
(6.12)
beschrieben (vgl. Gl. (6.1)). ρ3 wird in der Literatur in der Regel als temperaturunabhängige Konstante betrachtet. Für ρ3 gilt jedoch nach Abschnitt 2.2.2.4
und [Shk84, S. 222]
!
1.73
ρ3 (T ) = ρ03 (T ) exp
,
(6.13)
1/3
NA a
wobei der Faktor 1.73 aus der Lösung des Sphärenproblems im Rahmen der
Perkolationstheorie kommt. NA bzw. a ist die Akzeptorkonzentration bzw. der
Störstellenradius. Für ρ03 folgt aus dem perkolationstheoretischen Random Site
”
Problem“ [Shk84, S. 222] für die von Miller und Abrahams hergeleiteten Einzelwiderstände (vgl. Abschnitt 2.2.2.3 Gln. (2.20) und (2.31))
1−ν k T
η ǫ a 2 4 9πa3 dc5 ~4 (4πǫr ǫ0 )2
B
2 3
1/3
0
(6.14)
N
a
1
+
ρ3 (T ) = η1
A
4Φ2 e6
2~c
ǫ3
mit:
Φ Deformationspotential
d Kristalldichte
c Schallgeschwindigkeit.
η1 und η2 sind unbekannte numerische Koeffizienten von der Größenordnung 1.
ν ist der kritische Exponent des Korrelationsradius. Numerische Berechnungen
verschiedener Autoren [Kur74, Lev75, She75, Dun75] mit unterschiedlichen Verfahren liefern ν = (0.82 − 0.94); der Mittelwert dieser Werte liegt bei ν ≈ 0.85.
Die lineare Temperaturabhängigkeit von ρ03 in Gl. (6.14) stammt aus der Potenzreihenentwicklung der Fermiverteilung für die Besetzungszahlen der Akzeptoren.
Wird die Temperaturabhängigkeit des Vorfaktors ρ3 herausgezogen, so wird
aus Gl. (6.12)
ǫ3
(6.15)
ρNNH (T ) = Γ3 T exp
kB T
mit der temperaturunabhängigen Konstanten Γ3 = ρ3 /T . Durch Logarithmierung
und Ableitung nach T −1 folgt:
d ln ρNNH
ǫ3
= −T + .
−1
dT
kB
(6.16)
Daraus ist sofort zu erkennen, dass eine Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit von ρ3 nur dann möglich ist, wenn im gesamten NNHTemperaturbereich gilt: ǫ3 ≫ kB T .
112
Kapitel 6: Diskussion
÷ ø
÷ ø
÷ ø
÷ ø
÷ ø
÷ ø
ù ù!
"
ù#
" ù# ü
ü
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$% & '& ' " (
÷ ø þ
÷ ø
) & '& * + ,,
÷ ø ýþ
÷ ø
ø
÷ ø ø ø ùú
ø
ø
ø
û ü ýþ ÿ
Abb. 6.5: Normierter spezifischer Widerstand ρ/T als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T für die Al-implantierten Proben (offene Symbole) RamC7/D7 (Kreise),
RamF7/G7 (Dreieck, Spitze oben), RamF3/G3 (Quadrat) und RamC3/D3 (Raute) sowie die Volumenkristalle (ausgefüllte Symbole) SK55 (Dreieck, Spitze unten) und SK57
(Sechseck). Messpunkte im Bereich der Nearest-Neighbor-Hopping-Leitung sind durch
Fettdruck hervorgehoben. Die durchgezogenen Kurven sind lineare Anpassungen an die
Messpunkte.
Tab. 6.4: Parameter Γ3 und ǫ3 bestimmt durch Anpassung von Gl. (6.15) an die Messpunkte im angegebenen Temperaturbereich.
Probe
Fitbereich (K)
RamC3/D3
RamF3/G3
RamF7/G7
RamC7/D7
SK55
SK57
Γ3 (Ωcm/K)
3
ǫ3 (meV)
39 − 82
2.3 · 10
12.7
24 − 100
4.8
21.0
19 − 96
97
−2
16.6
33 − 98
8.9 · 10
23.6
0.12
27.0
46 − 139
0.11
24.4
52 − 137
Für die untersuchten SiC-Proben ergibt sich daraus mit den ǫ3 -Werten aus
Tab. 6.2 die Bedingung:
T ≪ (95 − 230) K.
(6.17)
Die Temperaturen im Bereich der NNH-Leitung in SiC liegen größenordnungsmäßig im gleichen Temperaturbereich, so dass diese Bedingung i. Allg. nicht
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
113
erfüllt wird und Gl. (6.15) zur Anpassung an die Messpunkte benutzt werden
muss.
Für die Darstellung der Messwerte in Abb. 6.5 wurde durch Normierung die
lineare Temperaturabhängigkeit im Vorfaktor ρ3 eliminiert. Die normierten spezifischen Widerstände ρ/T sind über der reziproken Temperatur 1000/T aufgetragen. Folgende Beobachtungen sind festzuhalten:
• Es ist kein Abflachen der Messkurve bei hohen Temperaturen im NNHBereich mehr zu beobachten. Alle Messwerte einer Probe innerhalb des
NNH-Bereichs (fett gedruckte Messpunkte) liegen auf je einer Geraden
(durchgezogene Kurven).
• Die Messpunkte der höher dotierten Proben (RamC7/D7, SK55, SK57) liegen wie schon in Abb. 6.2 (mit ρ3 = const) auf einer Geraden. Der Grund
ist, dass für diese Proben die ermittelten ǫ3 -Werte etwa doppelt so groß
sind wie bei der am niedrigsten dotierten Probe RamC3/D3. Daher kann
die lineare Temperaturabhängigkeit von ρ3 über einen größeren Temperaturbereich vernachlässigt werden und beide Ansätze führen zu einem zufriedenstellenden Ergebnis.
Die Parameter der linearen Anpassungen sind in Tab. 6.4 aufgelistet. Die
Werte für ǫ3 sind etwa (10 − 55)% größer als die ohne Berücksichtigung der T Abhängigkeit von ρ3 ermittelten Werte (vgl. Tab. 6.2).
6.1.1.4
Vergleich mit Perkolationsmodell
In Kapitel 2 wurden die theoretischen Grundlagen sowie Modelle zur Beschreibung der Störbandleitung in niedrig dotierten kristallinen Halbleitern vorgestellt.
Das Perkolationsmodell nach Efros et al. [Efr72] (vgl. Abschnitt 2.2.2.4) liefert:
!
1.73
0
,
(6.18)
ρ3 = ρ3 exp
1/3
NA a
ǫ3 (K → 0) = 0.61ǫD .
(6.19)
ρ03 ist — wie im vorangegangenen Abschnitt erläutert — eine Funktion der Temperatur T ; es gilt:
ρ3 = Γ3 · T .
(6.20)
In Abb. 6.6 sind die gemessenen Γ3 -Werte für die untersuchten Proben logarith1/3
misch über dem Produkt (NA a)−1 aufgetragen. NA ist die mittels Hall-Effekt
ermittelte Akzeptorkonzentration und a ist der Radius der Wellenfunktion gemäß
Gl. (6.4); die berechneten Werte für a sind in Tab. 6.5 aufgelistet. An die Messpunkte wurde eine Gerade angepasst. Für die Steigung wurde
αexp = 1.75
(6.21)
114
Kapitel 6: Diskussion
89G
3
TUVW T 5 XU 6 XUNYK
89F
Z[ T\]YJ\^_\``\ a\]_\
`Y^\I]\] QY_
892
C
B
A
@
?
>
=
;<
HIJKS3 MS
89
D
HIJQS3RS
HIJQL3RL
89
0
NOPL
89E
NOPP
89
/0
HIJKL3 ML
89
/D
5
6
7
89
8:
85
12 3 4
./ 0
1/3
Abb. 6.6: Γ3 als Funktion von (NA a)−1 . Die durchgezogene Kurve ist ein linearer Fit
an die Messpunkte.
ermittelt1 . Dieser Wert ist in guter Übereinstimmung mit dem theoretischen
Wert, der sich aus der Lösung des Sphärenproblems in der Perkolationstheorie zu
αtheo = 1.73 ergibt.
Zur theoretischen Berechnung von ǫ3 im Rahmen des Perkolationsmodells
nach [Efr72] wird zunächst die Coloumbenergie ǫD zweier Akzeptoren im mittleren
Abstand rD bestimmt.
1/3
e2 4π
NA
e2
3
=
(6.23)
ǫD =
4πǫr ǫ0 rD
4πǫr ǫ0
Für vernachlässigbare Kompensation K → 0 gilt Gl. (6.19). Die Abhängigkeit von
ǫ3 vom Kompensationsgrad K wurde durch Simulation der Perkolation in einem
virtuellen Kristall untersucht (vgl. Abschnitt 2.2.2.5 und [Lie79]). Das Verhältnis
der aus der Simulation erhaltenen Aktivierungsenergie ǫ3,sim (K) für einen gegebenen Kompensationsgrad K und der Aktivierungsenergie ǫ03 = ǫ3,sim (K → 0) für
verschwindende Kompensation wird durch die Funktion
γ(K) =
ǫ3,sim (K)
ǫ03
(6.24)
beschrieben. In Abb. 6.7 ist das Ergebnis γ(K) der Simulation (adiabatische
Näherung, siehe Abschnitt 2.2.2.5) als Funktion des Kompensationsgrads K dargestellt (durchgezogene Kurve).
1
Die Funktion der angepassten Gerade ist
ln(Γ3 ) = −11.5 +
1.75
1/3
NA a
.
(6.22)
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
115
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 o}ƒx
Ž
wx
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p
p
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‡
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{~‚ƒ€„ …
Abb. 6.7: Aktivierungsenergie ǫ3 normiert auf ǫ03 = 0.61ǫD als Funktion des Kompensationsgrads K. Die durchgezogene Kurve ist eine Simulation (adiabatische Näherung)
nach Nguyen Van Lien et al. [Lie79].
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 º
À
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À
À
³ ¶· ¸ ¹º» ¼½¾ ¿
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µ
à Á
À
¬ º
À
1/3
Abb. 6.8: Für K → 0 extrapolierte Aktivierungsenergie ǫ3 als Funktion von NA . Die
gestrichelte Kurve dient als eye guide“ und folgt dem Verlauf der Messpunkte. Die
”
durchgezogene Kurve ist eine Simulation (adiabatischer Typ) nach Nguyen Van Lien
et al. [Lie79].
116
Kapitel 6: Diskussion
Tab. 6.5: Zusammenfassung aller gemessenen und berechneten Größen für die Temperaturbereiche der Valenzband-dominierten bzw. NNH-dominierten Leitung.
Experiment
Hall-Effekt
Probe
Theorie
Widerstandsmessung
∆EA (meV)
ǫ1 (meV)
ǫ3 (meV)
NA (cm−3 )
ρ1 (Ωcm) Γ3 (Ωcm/K)
a (Å) ǫD (meV)
γ
K
ǫ3 (meV)
161
RamC3/D3
18
155
180
19
2.3 · 10
0.716
24.7
16.6
5.0
51.0
97
0.705
31.1
17.7
140
171
21.0
5.2
64.3
2 · 1019
6.5 · 10−4
4.8
0.704
39.2
120
130
23.6
5.6
87.3
5 · 1019
3.9 · 10−3
8.9 · 10−2
0.711
53.2
130
154
27.0
5.4
73.6
3 · 1019
2.0 · 10−3
0.12
0.718
44.9
130
145
24.4
5.4
81.0
4 · 1019
3.6 · 10−3
0.11
0.705
49.4
0.20
SK57
40.5
8.1 · 10
0.40
SK55
−4
4.9
3
1 · 10
0.30
RamC7/D7
12.7
−3
1.2 · 10
0.35
RamF7/G7
185
5 · 10
0.42
RamF3/G3
ǫ03 (meV)
0.35
21.9
27.6
37.8
32.2
34.8
In Abb. 6.8 sind die experimentell bestimmten Aktivierungsenergien der un1/3
tersuchten Proben über NA aufgetragen. Bis zu einer Akzeptorkonzentration von
NA ≤ Nm = 3 · 1019 cm−3 wird ein linearer Anstieg beobachtet, der dem Verlauf
der theoretischen Voraussage Gl. (6.19) (durchgezogene Kurve) folgt. Die Absolutwerte liegen jedoch ca. 30% unterhalb der Simulation. Eine Überschätzung von
ǫ3 durch die Theorie wird in der Literatur auch für InP (> 25%) [Ben90] und Ge
(≈ 15%) berichtet [Shk84].
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
117
Für NA > 3 · 1019 cm−3 nehmen die gemessenen Aktivierungsenergien ǫ3
mit steigender Akzeptorkonzentration wieder ab. Dieser Effekt ist auf einen
verstärkten Überlapp der Löcher-Wellenfunktionen zurückzuführen [Shk84, S.
183]. Shklovskii und Efros begründen dies mit der experimentellen Beobachtung,
dass die Maximumskonzentration Nm mit zunehmendem Radius a der Wellenfunktion abnimmt. In Abb. 6.8 wird für SiC das Maximum der Aktivierungsenergie ǫ3 für
Nm = 3 · 1019 cm−3
(6.25)
erreicht. Aufgrund der großen Akzeptor-Ionisierungsenergie für Al in SiC (∆EA ≈
200 meV) ist der Radius der Löcher-Wellenfunktion (aAl(SiC) ≈ 5 Å) wesentlich
kleiner als z. B. für den Gallium-Akzeptor in Germanium (aGa(Ge) ≈ 32 Å). Für
Ga-dotiertes Germanium gilt Nm ≈ 2 · 1016 cm−3 . Die für SiC ermittelte Maximumskonzentration Nm = 3 · 1019 cm−3 ist daher in Übereinstimmung mit der
oben beschriebenen Erklärung von Shklovskii und Efros.
In Abb. 6.7 sind zusätzlich zur Simulation auch die Messpunkte der Proben
RamC3/D3, RamF3/G3, RamF7/G7 und SK55 eingezeichnet. Die experimentell
bestimmten Aktivierungsenergien wurden ebenfalls auf ǫ03 normiert. Die Messpunkte der Proben RamC7/D7 und SK57 mit NA > Nm = 3 · 1019 cm−3 wurden
weggelassen, da für diese Proben die klassische Näherung nicht gültig ist (starker Überlapp der Wellenfunktionen wie oben beschrieben). Die Absolutwerte der
Messpunkte liegen wie in Abb. 6.8 ca. 30% unter der Simulation. Qualitativ ist
der Verlauf der Messpunkte jedoch vergleichbar mit der Simulation. Allerdings
liegen im untersuchten Kompensationsbereich von 0.20 ≤ K ≤ 0.42 die Werte
der Aktivierungsenergie in einem breiten Minimum und ändern sich nicht signifikant. Um die Abhängigkeit ǫ3 (K) zu überprüfen, müssten vor allem Proben mit
K < 0.2 bzw. K > 0.5 zur Verfügung stehen.
Zusammenfassung:
In p-Typ 4H- und 6H-SiC wurde Nearest-Neighbor-Hopping“-Leitung
”
beobachtet. Für die quantitative Analyse muss für SiC die lineare
Temperaturabhängigkeit im Vorfaktor ρ3 berücksichtigt werden. Die
Hopping-Aktivierungsenergien ǫ3 der untersuchten Proben liegen zwischen 12.7 meV und 27 meV. Die experimentell bestimmten Werte werden mit guter Genauigkeit durch die Theorie von Shklovskii, Efros und
Nguyen Van Lien bestätigt. Die Grenze der klassischen Näherung liegt
für Al-dotiertes SiC bei Nm ≈ 3 · 1019 cm−3 .
118
6.1.2
Kapitel 6: Diskussion
Variable-Range-Hopping bei tiefen Temperaturen
Im vorangegangenen Abschnitt wurde der lineare NNH-Bereich des temperaturabhängigen spezifischen Widerstands diskutiert. Bei kleineren Temperaturen liegen die Messpunkte unter der Vorhersage des Modells für NNH (vgl. Abb. 6.5).
Aufgrund der niedrigen zur Verfügung stehenden thermischen Energie werden
in diesem Temperaturbereich nächste-Nachbar-Sprünge unwahrscheinlicher, so
dass Sprünge zwischen weiter entfernten Akzeptoren favorisiert werden, sofern deren energetischer Abstand im Störband klein genug ist (Variable-Range-Hopping
(VRH), siehe Abschnitt 2.2.3).
VRH wird nach Gl. (2.65) beschrieben durch
p n+1
Tn
.
(6.26)
mit
p=
ρ(T ) = ρn exp
T
n+4
n gibt dabei die Potenz der Energieabhängigkeit der Zustandsdichte nahe der
Fermi-Energie an:
g(E) ∼ |E − EF |n .
(6.27)
ρ0 enthält — wie auch ρ3 im vorangegangenen Abschnitt — eine schwache Temperaturabhängigkeit:
ρn (T ) = Γn · T 2p .
(6.28)
In der Literatur werden zwei Fälle diskutiert: n = 0 bzw. n = 2. Dem ursprünglichen Modell von Mott [Mot68] liegt die Annahme einer konstanten Zustandsdichte bei E = EF zugrunde (n = 0). Daraus resultiert mit den Gln. (6.26)
und (6.28) das Gesetz von Mott
" #
1/4
T0
ρ(T ) = Γ0 T 1/2 exp
.
(6.29)
T
Efros et al. [Efr75] zeigten, dass durch langreichweitige Coulomb-Wechselwirkung
ein Coulomb-Gap existieren kann. Die Zustandsdichte g(E) verschwindet bei der
Fermi-Energie EF quadratisch mit der Energie E − EF (Gl. (6.27) mit n = 2).
Aus den Gln. (6.26) und (6.28) folgt damit:
" #
1/2
T2
.
(6.30)
ρ(T ) = Γ2 T exp
T
Efros et al. zeigten jedoch ebenfalls, dass das Coulomb-Gap durch Abschirmeffekte, insb. bei hohen Störstellenkonzentrationen, ausgeschmiert“ wird, d. h. dass
”
die Zustandsdichte g(E) bei E = EF nicht auf 0 abfällt; die Temperaturabhängigkeit von ρ nähert sich dem Gesetz von Mott an.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
119
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êëîí
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â ã äåæ çèã äåæé
Abb. 6.9: Normierter spezifischer Widerstand ρT −1/2 als Funktion von T −1/4 für die
Al-implantierten Proben (offene Symbole) RamC7/D7 (Kreise), RamF7/G7 (Dreieck,
Spitze oben), RamF3/G3 (Quadrat) und RamC3/D3 (Raute) sowie die Volumenkristalle (ausgefüllte Symbole) SK55 (Dreieck, Spitze unten) und SK57 (Sechseck). Messpunkte im Bereich der Variable-Range-Hopping-Leitung sind durch Fettdruck hervorgehoben. Die durchgezogenen Kurven sind lineare Anpassungen an die Messpunkte.
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32
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0
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.
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E F G J H @K H
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MCN O F PO P J CQ
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Abb. 6.10: Normierter spezifischer Widerstand ρ/T als Funktion von T −1/2 für die
Al-implantierten Proben (offene Symbole) RamC7/D7 (Kreise), RamF7/G7 (Dreieck,
Spitze oben), RamF3/G3 (Quadrat) und RamC3/D3 (Raute) sowie die Volumenkristalle (ausgefüllte Symbole) SK55 (Dreieck, Spitze unten) und SK57 (Sechseck). Messpunkte im Bereich der Variable-Range-Hopping-Leitung sind durch Fettdruck hervorgehoben. Die durchgezogenen Kurven sind lineare Anpassungen an die Messpunkte.
120
Kapitel 6: Diskussion
Tab. 6.6: Parameter Γn bzw. Tn bestimmt durch Anpassung von Gl. (6.26) an die
Messpunkte im angegebenen Temperaturbereich für n = 0 und n = 2.
Probe
n
p
Fitbereich (K)
Γn (ΩcmK−2p)
Tn (K)
RamC3/D3
0
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
24 − 70
25
4.0 · 105
2
RamF3/G3
0
2
RamF7/G7
0
2
RamC7/D7
0
2
SK55
0
2
SK57
0
2
2.0 · 102
24 − 90
1500
19 − 28
1.0 · 10
2.7 · 107
19 − 32
3.3 · 10−10
3.7 · 107
14 − 33
−10
2.1 · 10
2.6 · 107
20 − 58
9.4 · 10−7
7.7 · 106
−6
5.2 · 106
−8
1.7 · 10−2
19 − 34
2.0 · 10−3
20 − 46
2.0 · 10−4
14 − 60
2.5 · 10−3
20 − 150
20 − 66
3.4 · 10
2.9 · 10−3
20 − 150
6800
7700
6800
4900
4200
In Abb. 6.9 bzw. Abb. 6.10 sind die auf T 1/2 bzw. T normierten spezifischen
Widerstände für beide Fälle n = 0 bzw. n = 2 aufgetragen. An die Messpunkte
bei tiefen Temperaturen können mit den Parametern aus Tab. 6.6 im Rahmen
der Messgenauigkeit sowohl für p = 14 als auch für p = 12 Geraden angepasst
werden. Die Existenz des Coulomb-Gaps kann daher aufgrund der in dieser Arbeit
untersuchten Proben weder bestätigt noch widerlegt werden.
In den beiden folgenden Abschnitten 6.1.2.1 und 6.1.2.2 werden die empirisch gewonnenen Parameter aus Tab. 6.6 mit theoretisch berechneten Werten
verglichen.
6.1.2.1
Diskussion der Anpassung mit p =
1
4
(Mott’s Gesetz)
Für den Parameter T0 gilt nach Abschnitt 2.2.3
β
T0 =
.
(6.31)
kB g(EF )a3
Für die Konstante β sind in der Literatur unterschiedliche Werte abhängig vom
numerischen Ansatz zu finden. Folgende Werte werden in aktuellen Reviews verwendet:
β = 21.2 [Shk84],
β = 49
[Man88].
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
121
Die konstante Zustandsdichte g(E) kann wie folgt grob abgeschätzt werden.
Die Energie ǫD (Tab. 6.5) entspricht ungefähr der halben Breite des Störbands
[Shk84]. Somit ist
g(E) ≈
NA
.
2ǫD
(6.32)
Mit den Werten für NA , ǫD und a aus Tab. 6.5 sowie β = 49 folgt:
1 · 107 K . T0 . 8 · 107 K.
(6.33)
Die untere bzw. obere Grenze wurde jeweils für die größte bzw. kleinste Konzentration NA berechnet. Bis auf Probe RamC3/D3 sind alle experimentell bestimmten T0 -Werte (Tab. 6.6) in der gleichen Größenordnung wie die abgeschätzten Werte in Gl. (6.33). T0 (RamC3/D3) ist mehr als eine Größenordnung kleiner
im Vergleich zu den anderen Proben und zur Theorie. Bei dieser Probe sind die
Messwerte mit einem großen Fehlerbalken behaftet, da die Messung nahe der
Messgrenze der Apparatur (≈ 1013 Ω) durchgeführt wurde. Diese Probe wird daher in der folgenden Diskussion nicht berücksichtigt.
Aus Gl. (6.31) in Verbindung mit den Gln. (6.32) und (6.23) ist zu er−2/3
warten, dass T0 ∼ NA
ist. Experimentell wurde für T0 jedoch keine systematische Abhängigkeit von der Akzeptorkonzentration gefunden (vgl. Werte in
Tab. 6.6). Auffällig ist, dass sich die Werte der implantierten Epitaxieschichten
(T0 ≈ 3 · 107 K) deutlich von den Werten der Substratproben (T0 ≈ 6 · 106 ) unterscheiden. Der Ursprung für diesen Unterschied ist unklar. Möglicherweise wirkt
sich die unterschiedliche Kristallqualität auf die VRH-Leitung verstärkt aus, da
im Gegensatz zur NNH-Leitung, bei der im Wesentlichen nur nächste-NachbarSprünge durchgeführt werden, bei VRH-Leitung größere Strecken2 übersprungen
(durchtunnelt) werden.
Für die Auftragung der Widerstands-Messwerte in Abb. 6.9 wurde in Analogie zur NNH-Leitung die Temperaturabhängigkeit des Vorfaktors ρ0 = Γ0 · T 1/2
berücksichtigt, obwohl in der Literatur in der Regel ρ0 = const angenommen
wird. Folgende Abschätzung zeigt, dass diese Annahme für SiC nicht korrekt ist:
Aus Gl. (6.29) folgt durch Logarithmusbildung und Ableitung nach T −1/4 für
die Steigung
d ln ρ
1/4
= −2T 1/4 + T0 .
−1/4
dT
2
(6.34)
Abschätzung der Sprungdistanz bei T = 10 K, NA = 1 · 1019 , ǫD = 51 meV:
∆x ≈ N (kB T )−1/3 = (2g(EF )kB T )−1/3 = (2
NA
kB T )−1/3 ≈ 180 Å
2ǫD
N (kB T ) ist die Konzentration von Zuständen, die im Intervall [EF − kB T ; EF + kB T ] um die
Fermi-Energie EF liegen.
122
Kapitel 6: Diskussion
Fordert man, dass der Fehler ∆T0 von T0 bei Vernachlässigung des ersten Terms
−2T 1/4 in Gl. (6.34) kleiner als 10% sein soll, so muss
T0
4 · 107
T ≪
(6.35)
sein3 . Mit den Werten für T0 aus Tab. 6.6 ist diese Bedingung nur für T ≪
(0.13−0.93) K erfüllt. VRH-Leitung in SiC wird jedoch schon bei deutlich höheren
Temperaturen T ≈ (20 − 70) K beobachtet.
6.1.2.2
Diskussion der Anpassung mit p =
1
2
(Coulomb-Gap)
Unter Annahme der Existenz des Coulomb-Gaps mit einer Zustandsdichte [Shk84,
S. 232]
g(E) =
3(4πǫr ǫ0 )3
(E − EF )2
πe6
(6.37)
gilt für den Parameter T2 in Gl. (6.30) [Efr79b]
2.8e2
T2 =
.
4πǫr ǫ0 kB a
(6.38)
Mit den Werten aus Tab. 6.5 für den Störstellenradius a für Al-Akzeptoren folgt:
8530 K ≤ T2 ≤ 9740 K.
Die untere bzw. obere Grenze wurde jeweils für den größten bzw. kleinsten Wert
für a berechnet. Aus dem Vergleich mit den experimentell bestimmten Werten
aus Tab. 6.6 werden folgende Schlüsse gezogen:
• Für Probe RamC3/D3 wurde ein zu kleiner Wert für T2 bestimmt, der nicht
zu den Werten der übrigen Proben passt und fast eine Größenordnung vom
theoretisch vorhergesagten Wert abweicht.
3
Weniger als 10% Fehler bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit von ρ0 , d. h.
T0
10
4 4
d ln ρ
d ln(ρT −1/2 )
−
=
dT −1/4
dT −1/4
4 4
3
d ln ρ
d ln ρ
d ln ρ
3/4
1/4
1/4
+ 2T
−
≥ 8T
≈ 8T 1/4 T0 .
dT −1/4
dT −1/4
dT −1/4
≫
∆T0 =
=
Dabei wurde die Bernoulli’sche Ungleichung (1 + x)n ≥ 1 + nx und
Es folgt:
T ≪
T0
T0
≈
.
4
·8
4 · 107
104
d ln ρ
dT −1/4
4
≈ T0 verwendet.
(6.36)
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
123
• Die Werte für die implantierten Epitaxieschichten (T2 ≈ 7000 K) sind deutlich größer als die der Substratproben (T2 ≈ 4500 K). Als Begründung kann
die gleiche Argumentation wie im vorangegangenen Abschnitt angeführt
werden.
• Insgesamt liegen alle experimentell bestimmten Werte für T2 ca. 30% bis
50% unter den Werten der Theorie. Wahrscheinlich wurden die Radien a
der Al-Akzeptor-Wellenfunktionen unterschätzt. Die Berechnung von a erfolgt mit Hilfe der Effektiven-Massen-Theorie. In SiC ist streng genommen kein Effektives-Massen-Zentrum als Akzeptor bekannt. Für den AlAkzeptor wurden Bohrsche Radien von ca. 5 Å bestimmt. Dieser Wert liegt
im Bereich der Gitterkonstanten, d. h. das von der Wellenfunktion abge”
tastete“ Volumen kann nicht als effektives Medium mit relativer Dielektrizitätszahl ǫr aufgefasst werden. Daher kann die Effektive-Massen-Theorie
nur eine sehr grobe Abschätzung für a liefern. Aus den gemessenen Werten
für T2 folgt über Gl. (6.38) a = (6 − 11) Å. Diese Werte sind ca. 22% bis
96% größer als die Bohrschen Radien.
Für die Auftragung in Abb. 6.10 wurde — wie bei NNH-Leitung — die Temperaturabhängigkeit von ρ2 = Γ2 · T berücksichtigt. Analog zur Rechnung in Fußnote
3 (S. 122) folgt für einen Fehler von weniger als 10% in T2 , dass
T ≪
T2
≈ (3 − 5) K
1600
sein muss. Dies ist für SiC nicht erfüllt.
6.1.2.3
Temperatur des Übergangs NNH ↔ VRH
Die Grenztemperaturen für den NNH- bzw. VRH-Bereich sind experimentell gegeben durch die Temperaturgrenzen der verwendeten Fitbereiche, innerhalb derer
Geraden an die Messpunkte angepasst werden können (Tab. 6.5 und Tab. 6.6).
Die relevanten Werte sind in Tab. 6.7 zusammengefasst und in Abb. 6.11 als
1/3
Funktion von NA aufgetragen.
Die NNH- bzw. VRH-Grenztemperaturen steigen für die implantierten Epitaxieschichten mit Ausnahme der Probe RamC3/D3 mit zunehmender Akzeptorkonzentration an. Die Grenztemperaturen der Substratproben liegen deutlich
höher als die der Epitaxieschichten. Dies ist eine Folge der flacheren Steigung
der Messkurve im VRH-Bereich. Insbesondere kann für die Substratproben der
komplette der Hopping-Leitung zugeordnete Temperaturbereich durch Gl. (6.30)
angepasst werden (vgl. Abb. 6.10). Ein entsprechender Temperaturbereich der
Hopping-Leitung wurde auch für Zn-dotiertes InP beobachtet [Ben90]. Offensichtlich führt die Kombination von NNH nach Gl. (6.15) und VRH nach Mott
(Gl. (6.29)) in einem begrenzten Temperaturbereich zu einem Verlauf, der im
Rahmen der Messgenauigkeit durch Gl. (6.30) beschrieben werden kann.
124
Kapitel 6: Diskussion
Tab. 6.7: Grenztemperaturen Tmax für NNH bzw. Tmin für VRH. Die Tc -Werte nach
[Shk84] bzw. [Pol80] sind als Tmax -Werte für p = 1/4 aufzufassen.
Probe
Modell
RamC3/D3
Experiment
RamF3/G3
RamF7/G7
RamC7/D7
SK55
SK57
NNH
VRH (p = 41 )
VRH (p = 21 )
Tmin (K)
Tmax (K)
Tmax (K)
39
70
90
[Shk84]
4.3
[Pol80]
64
Gl. (6.44)
17
17
28
34
Experiment
19
[Shk84]
7.3
[Pol80]
110
Gl. (6.44)
27
27
32
46
Experiment
24
[Shk84]
12
[Pol80]
180
Gl. (6.44)
43
45
33
60
Experiment
33
[Shk84]
20
[Pol80]
300
Gl. (6.44)
83
90
58
150
Experiment
52
[Shk84]
18
[Pol80]
280
Gl. (6.44)
59
63
66
150
Experiment
46
[Shk84]
18
[Pol80]
280
Gl. (6.44)
68
74
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
125
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q
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Abb. 6.11: Grenztemperatur der Temperaturbereiche mit Dominanz von NNH (Dreieck mit Spitze oben) bzw. VRH mit p = 14 (offenes Dreieck mit Spitze unten) bzw.
p = 21 (ausgefülltes Dreieck mit Spitze unten). Die Kurven sind Simulationen der Übergangstemperatur VRH ↔ NNH unter Verwendung der in der Legende angegebenen
Modelle.
Für die kritische Temperatur Tc des Übergangs von NNH zu VRH gibt es in
der Literatur unterschiedliche Ansätze. In [Shk84] wird die obere Temperaturgrenze Tc , bis zu der Mott’s Gesetz gültig ist, angegeben mit
1/3
TcShklovskii = 0.35ǫ3 NA akB .
(6.39)
Pollak [Pol80] berechnet eine Grenztemperatur
1/3
TcPollak = 5.3ǫ3 NA akB ,
(6.40)
die mehr als eine Größenordnung über TcShklovskii liegt. Die berechneten Grenztemperaturen für die untersuchten Proben sind in Tab. 6.7 aufgelistet und in
Abb. 6.11 als gepunktete (Pollak) bzw. strichpunktierte (Shklovskii) Kurve eingezeichnet. Die in dieser Arbeit experimentell bestimmten Tmax -Werte sind ca.
(2 − 4)× größer als die entsprechenden TcShklovskii -Werte bzw. (4 − 10)× kleiner als
die TcPollak -Werte. Die berechneten Grenztemperaturen nach [Pol80] sind so hoch,
dass bei den stärker dotierten Proben mit NA ≥ 3 · 1019 cm−3 kein NNH-Bereich
auftreten, sondern der VRH-Bereich direkt in die Valenzbandleitung übergehen
würde.
Im Folgenden wird noch ein weiterer Ansatz zur Abschätzung der Übergangstemperatur zwischen NNH und VRH vorgeschlagen. Die differenzielle Aktivierungsenergie für Hopping-Leitung
ǫ3 (T ) =
d ln ρ
dT −1
(6.41)
126
Kapitel 6: Diskussion
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Abb. 6.12: Differenzielle Hopping-Aktivierungsenergie ǫ3 (T ) als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T . Die NNH- bzw. VRH-Kurven wurden simuliert mit Hilfe der
Gln. (6.15) bzw. (6.26) mit p = 14 bzw. p = 12 . Die Temperaturen der Schnittpunkte der
VRH-Kurven mit der NNH-Kurve sind durch gepunktete vertikale Geraden markiert
(linke Gerade: p = 12 , rechte Gerade: p = 41 ).
steigt im VRH-Bereich mit wachsender Temperatur an und erreicht bei einer
bestimmten Temperatur Tc die bei tiefen Temperaturen (nahezu) konstante Aktivierungsenergie ǫ3 des NNH-Regimes (siehe punktierte vertikale Geraden (linke
Gerade: p = 21 , rechte Gerade: p = 41 ) für Probe RamF7/G7 in Abb. 6.12). Mit
ρNNH (T ) (Gl. (6.12)) bzw. ρVRH (T ) (Gln. (6.26) und (6.28)) folgt:
d ln ρNNH
d ln ρVRH
=
−1
dT
dT −1
ǫ3
= −2pT + pTnp T 1−p
⇒ −T +
kB
ǫ3
= 0.
pTnp T 1−p + (1 − 2p)T −
kB
⇒
Für den Fall p =
relevante Lösung:
Tc =
1
2
(6.42)
(6.43)
(6.44)
(VRH mit Existenz des Coulomb-Gaps) ist die physikalisch
4ǫ23
.
kB2 T2
(6.45)
Mit den Gln. (6.19), (6.23) und (6.24) für ǫ3 sowie Gl. (6.38) für T2 ergibt sich:
2/3
e2 NA a
.
Tc = 1.4γ(K)
4πǫr ǫ0 kB
2
(6.46)
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
127
Für Mott’s Gesetz (p = 14 ) ergibt Gl. (6.44) eine Gleichung 4. Grades:
Tc4
−
8ǫ3 T0
+
kB
16
Tc3
ǫ23 2
ǫ33
16ǫ43
+ 24 2 Tc − 32 3 Tc + 4 = 0.
kB
kB
kB
(6.47)
Die physikalisch relevante analytische Lösung ist in Anhang A angegeben. Die
mit den Probenparametern berechneten Ergebnisse sind in Tab. 6.7 eingetragen
und in Abb. 6.11 eingezeichnet (p = 41 : durchgezogene Kurve; p = 12 : gestrichelte
Kurve). Die aus Gl. (6.44) berechneten Werte beschreiben die Messergebnisse
besser als die entsprechenden Werte berechnet nach [Shk84] bzw. [Pol80].
6.1.2.4
Zusammenfassung der Ergebnisse der Widerstandsmessungen
Es wurde gezeigt, dass der spezifische Widerstand der untersuchten Volumenkristalle und implantierten Epitaxieschichten von drei verschiedenen Leitungsmechanismen bestimmt wird (Bereiche I, II und III in Abb. 6.13). Bei hohen Temperaturen dominiert die freie Bewegung von Löchern im Valenzband
(Bereich I). Mit sinkender Temperatur nimmt die Konzentration p der freien
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îïð ñ òïóôïõö÷øõ ùúúúû ü ýþÿ Abb. 6.13: Spezifischer Widerstand ρ als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T
für die Al-implantierten Proben (weiße Symbole) RamC7/D7 (Kreise), RamF7/G7
(Dreieck, Spitze oben), RamF3/G3 (Quadrat) und RamC3/D3 (Raute) sowie die Volumenkristalle (graue Symbole) SK55 (Dreieck, Spitze unten) und SK57 (Sechseck).
Die durchgezogenen Kurven sind Simulationsrechnungen mit den aus den Messkurven
ermittelten Parametern.
128
Kapitel 6: Diskussion
Löcher exponentiell ab, so dass unterhalb einer Schwelle Hopping-Leitfähigkeit
im Al-Akzeptor-Störband dominiert. Solange die Temperatur oberhalb der Grenztemperatur Tc ist, werden im wesentlichen nächste-Nachbar-Sprünge ausgeführt
(Nearest-Neighbor-Hopping; Bereich II). Bei sehr kleinen Temperaturen dominiert das sog. Variable-Range-Hopping (VRH; Bereich III). Für VRH existieren
zwei Modelle: Mott’s Gesetz (konstante Störband-Zustandsdichte) [Mot68] bzw.
das Modell von Efros et al. (Berücksichtigung des Coulomb-Gaps) [Efr75]. Aufgrund der vorliegenden Messergebnisse kann keines der beiden Modelle ausgeschlossen werden.
Die Leitfähigkeiten der Valenzband- und der Hopping-Leitung setzen sich additiv zusammen. Der Übergang von NNH nach VRH wurde in Abschnitt 6.1.2.3
diskutiert. Für die Simulation der Leitfähigkeit mit den Parametern aus Tab. 6.5
und Tab. 6.6, die in den vorangegangenen Abschnitten bestimmt wurden, erfolgt
der Übergang von NNH nach VRH abrupt bei derjenigen Temperatur Tc , bei der
die differenziellen Aktivierungsenergien identisch sind: ǫNNH
(Tc ) = ǫVRH
(Tc ). Für
3
3
den gesamten spezifischen Widerstand ρ gilt:

ǫ3

−1 −1

für T ≥ Tc
Γ T exp −


 3
kB T
ǫ
1
(6.48)
ρ(T )−1 = ρ−1
+
1 exp −
p 
kB T

Tn

−2p

für T < Tc
exp −
 Γ−1
n T
T
n+1
, wobei n der Exponent der Energieabhängigkeit der Störbandmit p = n+4
Zustandsdichte g(E) in der Umgebung der Fermi-Energie EF ist (Mott’s Gesetz:
n = 0, p = 41 ; Coulomb-Gap-Existenz (Efros): n = 2, p = 12 ).
Die Simulationsergebnisse sind in Abb. 6.13 als durchgezogene Kurven eingezeichnet; für diese Berechnungen wurde p = 41 angenommen. Die Simulationskurven für p = 12 mit den entsprechenden Parametern geben jedoch ebenfalls den
Verlauf der Messwerte wieder (vgl. Abschnitt 6.1.2).
6.1.3
Einfluss der
Messungen
Störbandleitung
auf
Hall-Effekt-
6.1.3.1
Entwicklung von Modellen zum Verständnis des Hall-Effekts
in ungeordneten Systemen
Seit der Entdeckung der Störbandleitung [Bus46] war bis 1961 sowohl aus experimenteller als auch aus theoretischer Sicht unklar, ob ein nicht-verschwindender
Hall-Effekt im Temperaturbereich der Hopping-Leitung im niedrig dotierten
Halbleiter existiert [Mot61]. Die experimentelle Messung der Hall-Konstante ist
aufgrund der geringen Leitfähigkeit im Hopping-Regime und den damit verbundenen kleinen Messströmen schwierig. Hinzu kommt, dass die transversale Leitfähigkeit zwischen den Hall-Kontakten nochmals um ca. 6 Größenordnungen herabge-
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
(a)
129
(b)
2
L
I
B
UH
B
2'
A
UBC ~ B
1
C
I-source
Abb. 6.14: (a) Perkolationspfade in einer Probe zur Messung des Hall-Effekts. Das Magnetfeld B steht senkrecht zur gezeigten Probenoberfläche. Die Hall-Spannungen entstehen an den Schnittpunkten von Perkolationspfaden (siehe Lupe“). (b) Vergrößerung
”
eines Schnittpunkts von Perkolationspfaden. Der Schnittpunkt besteht aus einem Tripel Nächste-Nachbar-Störstellen. Durch Interferenz der Übergangswahrscheinlichkeiten
für 1-fach- und 2-fach-Sprünge (z. B. A → C bzw. A → B → C) in Anwesenheit eines
Magnetfelds und eines lateralen, externen elektrischen Felds mit induziertem Strom I
bildet sich eine Hall-Spannung UBC aus.
setzt ist [Hol61]. Somit sind hohe Anforderungen an den experimentellen Aufbau
gestellt, die damals nicht zu erfüllen waren.
Das erste theoretische Modell wurde von Holstein [Hol61] entwickelt. Er zeigte, dass die übliche Betrachtung der Leitfähigkeit als Hopping eines Ladungsträgers zwischen zwei Nächste-Nachbar-Störstellen bei Anwesenheit eines Magnetfelds aus Symmetriegründen zu einem verschwindenden Hall-Effekt führt (2site-hopping). Daher müssen in die Betrachtung mindestens 3 Nächste-NachbarStörstellen einbezogen werden (3-site-hopping).
Abb. 6.14(a) zeigt das Modell einer Probe zur Messung des Hall-Effekts. Entlang der eingezeichneten Perkolationspfade wird der Strom durch 2-site-hopping
Prozesse transportiert. Die Hall-Spannung wird an den Verknüpfungspunkten von
Perkolationspfaden aufgebaut. Ein solcher Verknüpfungspunkt (Vergrößerung in
Abb. 6.14(b)) besteht aus 3 Nächste-Nachbar-Störstellen. Die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Elektron von Platz A auf den unbesetzten Platz C hüpft, wird durch
einen dem angelegten Magnetfeld proportionalen Beitrag verändert. Dieser Beitrag entsteht durch Interferenz der Amplituden des direkten Übergangs A → C
sowie des indirekten Übergangs A → B → C mit dem Zwischenzustand B.
Dieser Effekt führt zu einem Strom zwischen den 3 Störstellen, der als diamagnetischer Strom aufgrund des äußeren Magnetfelds interpretiert werden kann
[Boe77a, Boe77b]. Unter Berücksichtigung des Miller-Abrahams-Widerstands
RBC führt dies zur Bildung einer Hall-Spannung UBC (in etwa) senkrecht zur
Richtung des aufgeprägten Stroms I (vgl. Abb. 6.14).
Das totale transversale elektrische Feld (Hall-Feld) EH ohne elektrische Last
130
Kapitel 6: Diskussion
im externen Stromkreis (open-circuit) erhält man durch Mittelung aller mikroskopischen Hall-Felder UBC /L über alle Konfigurationen. L ist dabei der mittlere
Korrelationsabstand zwischen zwei Perkolationspfadknoten.
Das hier skizzierte Modell wird in den meisten Veröffentlichungen zur Berechnung des Hall-Effekts im Bereich der Störbandleitung verwendet. Die zugrunde gelegten Ansätze und Näherungsverfahren sind jedoch mit der Zeit verfeinert
worden, z. B. AC-Hall-Effekt [Hol61], DC-Hall-Effekt [Boe77a, Boe77b], DC-HallEffekt mit Nutzung der Perkolationstheorie [Fri78], Hall-Effekt im VRH-Regime
[Fri81], Einfluss langreichweitiger zufälliger Potentiale (long-range random potentials) [Ove00]. Aufgrund der Analogie wurden die Ergebnisse teilweise von
Untersuchungen der Transporteigenschaften in amorphen Kristallen (insb. a-Si)
sowie kleiner Polaronen (small polarons) in geordneten Kristallen übernommen.
Ein umfassender Überblick über die Theorie der Hopping-Leitung wird in den
Büchern von Böttger und Bryksin [Boe85] sowie Overhof und Thomas [Ove89]
gegeben.
6.1.3.2
Mehrband-Modell zur Beschreibung des Hall-Effekts in SiC
Abb. 6.15 zeigt die Hall-Konstante RH gemessen an Probe RamG7 als Funktion
der reziproken Temperatur 1000/T zwischen 1000/T = 4 K−1 und 1000/T =
20 K−1 (T = 250 K bis T = 50 K). Beginnend bei hohen Temperaturen steigt RH
mit sinkender Temperatur bis zu einem Maximum bei ca. 140 K an. Für T <
140 K fällt RH wieder. Bei T ≈ 125 K ist eine negative Polstelle; das Vorzeichen
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Abb. 6.15: Hall-Konstante RH als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T gemessen an Probe RamG7. Offene bzw. ausgefüllte Symbole repräsentieren positive bzw.
negative Werte von RH . Die durchgezogenen Kurven wurden mit Hilfe des Zwei-BandModells berechnet. Dabei wurden die in der Legende angegebenen Hall-Beweglichkeiten
im Hopping-Regime verwendet.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
131
von RH wechselt von plus nach minus. Dieser Vorzeichenwechsel wird in Abschnitt
6.1.4 diskutiert. Bei Temperaturen T < 125 K steigt |RH | wieder an.
Der Temperaturverlauf lässt vermuten, dass die Hall-Konstante RH durch
zwei unabhängige Leitungsmechanismen bestimmt wird, die in unterschiedlichen
Temperaturbereichen dominant sind. Der Übergang zwischen beiden Leitungsmechanismen findet im Bereich des Maximums von RH statt. Die Temperaturposition des Maximums Tmax ≈ 140 K stimmt mit der Temperatur überein, bei
welcher der spezifische Widerstand ρ von Valenzbandleitung in Störbandleitung
abknickt (vgl. Abb. 5.15). Daher wird zur Beschreibung von RH (T −1 ) das ZweiBand-Modell vorgeschlagen [Shk84, S. 81].
RH =
R1 σ12 + R3 σ32
(σ1 + σ3 )2
(6.49)
R1 bzw. R3 sind die Hall-Konstanten des Hall-Effekts für freie Löcher im Valenzband bzw. für Hopping-Leitung im Störband. σ1 bzw. σ3 sind die dazugehörigen
Leitfähigkeiten, die im Abschnitt 6.1.1 diskutiert wurden.
ǫ1
−1
(6.50)
σ1 (T ) = ρ1 exp −
kB T
ǫ3
−1 −1
σ3 (T ) = Γ3 T exp −
(6.51)
kB T
Für R1 gilt
rH
R1 = ,
ep
(6.52)
wobei p(T −1 ) mit Hilfe der Neutralitätsgleichung unter Verwendung der in Abschnitt 5.2.1 experimentell bestimmten Parameter berechnet werden kann.
Unter der Annahme, dass die Hall-Beweglichkeit für Hopping-Leitung µH,3 =
R3 σ3 im Vergleich zur Löcherbeweglichkeit im Valenzband sehr klein ist, kann der
zweite Summand im Zähler von Gl. (6.49) vernachlässigt werden. Diese Annahme
beruht auf der niedrigen Driftbeweglichkeit µ3 der Hopping-Leitung [Shk84, S.
81]4 . Es folgt aus Gl. (6.49)
RH = R1
σ12
.
(σ1 + σ3 )2
(6.55)
4
Für eine grobe Abschätzung der Driftbeweglichkeit µ3 wird angenommen, dass bei Temperaturen knapp unter der Übergangstemperatur von Valenzband- und Hoppingleitung alle zur
Verfügung stehenden Elektronen auf Akzeptoren zur Störbandleitung beitragen, d. h.
n ≈ ND .
(6.53)
Am Beispiel von Probe RamG7 folgt mit dem spezifischen Widerstand ρ(T = 100 K) ≈
6000 Ωcm für die Driftbeweglichkeit in Hopping-Leitung
µ3 = (enρ)
−1
≈ 2 · 10−4 cm2 /Vs.
(6.54)
Mit µ3 = eτ /m∗ und der mittleren Elektronengeschwindigkeit v ≈ π~/m∗ a erhält man für die
132
Kapitel 6: Diskussion
Die auf diese Weise berechnete temperaturabhängige Hall-Konstante ist in
Abb. 6.15 als strich-doppeltpunktierte Kurve eingezeichnet. Diese Kurve beschreibt qualitativ Lage und Höhe des Maximums von RH . Das Maximum der
Simulation ist jedoch zu kleineren Temperaturen verschoben und der Verlauf
weicht rechts vom Maximum im Hopping-Regime deutlich von den Messpunkten ab. Offensichtlich kann der zweite Term im Zähler von Gl. (6.49) doch nicht
vernachlässigt werden. Daher wird als weiterer Anpassparameter die HoppingHall-Beweglichkeit µH,3 = −R3 σ3 eingeführt. Der Einfachheit halber wird µH,3
als konstant angenommen5 . Abb. 6.15 zeigt Simulationsergebnisse für drei verschiedene Beweglichkeitswerte µH,3 (5 cm2 /Vs, 20 cm2 /Vs, 80 cm2 /Vs). Die beste
Übereinstimmung mit der Messung sowohl bzgl. der Lage des Maximums und der
Polstelle als auch bzgl. der Absolutbeträge der Hall-Konstante erhält man für
µRamG7
= 20 cm2 /Vs.
H,3
Dieser Wert ist um mehrere Größenordnungen größer als der abgeschätzte
Wert für die Driftbeweglichkeit µ3 (vgl. Fußnote 4 auf S. 131). Damit folgt, dass
der Hall-Streufaktor
µH,3
rH,3 =
≫1
(6.56)
µ3
ist. Im Gegensatz dazu liegt rH für Valenzbandleitung i. d. R. zwischen 0.5 und
2. Diese Beobachtung wurde durch theoretische Rechnungen bestätigt [Hol61,
Boe85]. Holstein hat für Phosphor-dotiertes Silizium einen Wert von rH,3 = 191
berechnet.
Der temperaturabhängige Verlauf der Hall-Konstante RH gemessen an Probe RamG3 kann analog mit Hilfe des Zwei-Band-Modells angepasst werden.
Abb. 6.16 zeigt die Messpunkte und drei Simulationskurven für µH,3 = 50 cm2 /Vs
(gestrichelte Kurve), 200 cm2 /Vs (durchgezogene Kurve) und 800 cm2 /Vs (strichpunktierte Kurve). Die beste Anpassung an die Messpunkte wird durch
µRamG3
= 200 cm2 /Vs
H,3
Relaxationszeit bzw. die mittlere freie Weglänge:
τ
≈ 1 · 1019 s,
ℓ ≈ 7 · 10−4 Å.
Die Werte für τ bzw. ℓ sind physikalisch nicht sinnvoll. Die mittlere freie Weglänge ℓ ist ca. 4
Größenordnungen kleiner als der mittlere Atomabstand.
5
In der Literatur publizierte theoretische Modelle liefern bei schwacher Elektron-PhononKopplung eine temperaturunabhängige Hall-Beweglichkeit µH,3 . Bei starker Elektron-PhononKopplung ist µH,3 thermisch aktiviert. Die Aktivierungsenergie beträgt ≈ ǫ3 /3 [Boe85, S. 271].
Bei den in dieser Arbeit untersuchten Proben entspricht dies (4 − 9) meV. Im Rahmen der
Messfehler kann diese vergleichsweise schwache Temperaturabhängigkeit vernachlässigt werden.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
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Abb. 6.16: Hall-Konstante RH als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T gemessen an Probe RamG3. Offene bzw. ausgefüllte Symbole repräsentieren positive bzw.
negative Werte von RH . Die durchgezogenen Kurven wurden mit Hilfe des Zwei-BandModells berechnet. Dabei wurden die in der Legende angegebenen Hall-Beweglichkeiten
im Hopping-Regime verwendet.
erzielt. Die Simulation weist — wie erforderlich — eine sehr schmale Polstelle
bei T ≈ 140 K auf. Gleichzeitig mit der Lage der Polstelle wird durch die Wahl
von µRamG3
auch der Absolutwert von RH (T −1 ) für T < 140 K festgelegt. Beide
H,3
Eigenschaften stimmen im Rahmen der Messgenauigkeit mit den Messwerten
überein. Allerdings ist µRamG3
= 10 · µRamG7
.
H,3
H,3
Die Messpunkte der beiden höchst-dotierten Proben RamC7 und SK57
können nicht mit Hilfe des Zwei-Band-Modells angepasst werden. Ein Versuch
scheitert an folgenden Punkten:
• Durch Variation von µH,3 kann nicht gleichzeitig die Lage der Polstelle und
der Absolutbetrag der Hall-Konstante im Hopping-Regime angepasst werden. Abb. 6.17 und Abb. 6.18 zeigen die Messpunkte der Proben und jeweils
eine Anpassung bzgl. der Lage der Polstelle (strich-punktierte Kurve) bzw.
der Größenordnung der Absolutwerte von RH im Hopping-Regime (gestrichelte Kurve).
• Der Absolutbetrag der Hall-Konstante RH im Maximum wird durch das
Zweibandmodell stets überschätzt.
Im Folgenden wird gezeigt, dass die Messpunkte durch ein Drei-Band-Modell
simuliert werden können.
R1 σ12 + R2 σ22 + R3 σ32
RH =
(σ1 + σ2 + σ3 )2
(6.57)
134
Kapitel 6: Diskussion
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Abb. 6.17: Hall-Konstante RH als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T gemessen an Probe RamC7. Offene bzw. ausgefüllte Symbole repräsentieren positive bzw.
negative Werte von RH . Die gestrichelte bzw. strichpunktierte Kurve wurde mit Hilfe des Zwei-Band-Modells berechnet. Dabei wurden die in der Legende angegebenen
Hall-Beweglichkeiten im Hopping-Regime verwendet. Die durchgezogene Kurve ist das
Simulationsergebnis des Drei-Band-Modells mit Berücksichtigung der ǫ2 -Leitung.
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Abb. 6.18: Hall-Konstante RH als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T gemessen an Probe SK57. Offene bzw. ausgefüllte Symbole repräsentieren positive bzw.
negative Werte von RH . Die gestrichelte bzw. strichpunktierte Kurve wurde mit Hilfe des Zwei-Band-Modells berechnet. Dabei wurden die in der Legende angegebenen
Hall-Beweglichkeiten im Hopping-Regime verwendet. Die durchgezogene Kurve ist das
Simulationsergebnis des Drei-Band-Modells mit Berücksichtigung der ǫ2 -Leitung.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
135
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Abb. 6.19: Spezifischer Widerstand ρ als Funktion der reziproken Temperatur 1000/T .
Kreise entsprechen Messpunkten; die durchgezogene Kurve ist eine Anpassung an die
Messpunkte unter Berücksichtigung der Beiträge σ1 , σ2 und σ3 (gestrichelte Kurven).
Tab. 6.8: Parameter der Anpassung von Gl. (6.58) an die Messpunkte von Probe RamC7
bzw. SK57.
Probe
RamC7
SK57
ǫ1 (meV)
ǫ2 (meV)
ǫ3 (meV)
ρ1 (Ωcm)
ρ2 (Ωcm)
Γ3 (Ωcm/K)
160
57.0
23.6
1.5 · 10−3
1.8
0.11
178
42.0
24.4
1.0 · 10−3
20
0.11
Als zusätzlicher“ Leitungsmechanismus wird die ǫ2 -Leitung (Band-Leitung im
”
oberen Hubbard-Band; vgl. Abschnitte 2.2 und 6.1.1) eingeführt. Für ρ gilt dann
nach den Gln. (6.1) und (6.15):
ǫ1
ǫ2
ǫ3
−1
−1
−1
−1
ρ = ρ1 exp −
+ ρ2 exp −
+ (Γ3 T ) exp −
(6.58)
kB T
kB T
kB T
Dies ist sinnvoll, da die Dotierkonzentrationen der Proben RamC7 und SK57 nahe
am Mott-Anderson-Übergang NM ≈ 1020 cm−3 sind. Da der Kompensationsgrad
der Proben jedoch über 20% liegt, tritt die ǫ2 -Leitung im ρ(T −1 )-Verlauf visuell
nicht in Erscheinung, kann aber durch Neuanpassung aller Parameter im Kurvenverlauf berücksichtigt werden. Abb. 6.19 zeigt den spezifischen Widerstand von
136
Kapitel 6: Diskussion
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Abb. 6.20: Hall-Beweglichkeit µH als Funktion der Temperatur T gemessen an Probe
RamG7 (Dreiecke), RamG3 (Quadrate) bzw. SK57 (Kreise). Offene bzw. ausgefüllte
Symbole repräsentieren positive bzw. negative Werte von RH .
Probe RamC7 als Funktion der reziproken Temperatur. Die entsprechenden in
Abschnitt 6.1.1.3 bestimmten Parameter ǫ1 , ρ1 , ǫ3 und Γ3 (Tab. 6.4) wurden so
angepasst, dass ein möglichst hoher Anteil der ǫ2 -Leitung berücksichtigt wird. Die
Parameter sind in Tab. 6.8 zusammengefasst. Die einzelnen Widerstandsbeiträge
sind in Abb. 6.19 als gestrichelte Kurven, die (inverse) Summe aller Beiträge als
durchgezogene Kurve eingezeichnet.
Die Aktivierungsenergien ǫ2 entsprechen einem Bruchteil von 0.32 − 0.48 der
Aluminiumakzeptor-Ionisierungsenergie ∆EA . In Germanium ist ǫ2 /∆EA ≈ 0.33
[Shk84, S. 80].
Für die Simulation von RH (T −1 ) wurden die Hall-Konstanten in Gl. (6.57)
wie folgt gewählt:
rH
mit p(T −1 ) aus Neutralitätsgleichung,
ep
µH,2
,
=
σ2
µH,3
= −
.
σ3
R1 =
(6.59)
R2
(6.60)
R3
(6.61)
Die Leitfähigkeiten σ1,2,3 werden mit den Parametern aus Tab. 6.8 berechnet. µH,2
und µH,3 werden als temperaturunabhängig angenommen. Da die elektronische
Leitung im oberen Hubbard-Band über delokalisierte Zustände erfolgt, ist eine
Beweglichkeit µH,2 in der Größenordnung der Beweglichkeit im Valenzband zu
erwarten.
In Abb. 6.17 bzw. Abb. 6.18 ist das Ergebnis der Simulation mittels DreiBand-Modell als durchgezogene Kurve eingezeichnet. Die verwendeten Parameter
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
137
Tab. 6.9: Hall-Beweglichkeiten µH,2 und µH,3 bestimmt durch Anpassung von Gl. (6.57)
an die Messpunkte der angegebenen Proben.
Probe
µH,2 (cm2 /Vs)
µH,3 (cm2 /Vs)
RamG3
-
200
RamG7
-
20
RamC7
8.0
3.5
SK57
12
0.50
sind in Tab. 6.9 angegeben. Die Simulation stimmt auf der Hochtemperaturseite
(RH > 0) mit den Messpunkten im Rahmen der Messgenauigkeit überein. Insbesondere werden Lage und Höhe des Maximums sowie Lage der Polstelle genau
wiedergegeben.
Bei den Tieftemperaturwerten (RH < 0) treten nach wie vor Abweichungen auf. Möglicherweise gibt es aufgrund der hohen Akzeptorkonzentration und
dem damit verbundenen stärkeren Überlapp der Wellenfunktionen bereits Cluster
mit delokalisierten Zuständen, so dass die Hall-Beweglichkeit im Hopping-Regime
nicht durch eine Konstante beschrieben werden darf.
Weiterhin ist die Abhängigkeit der Hopping-Hall-Beweglichkeit µH,3 von der
Dotierkonzentration nicht konform mit den theoretischen Modellen in der Literatur. Nach Böttger und Bryksin nimmt die Beweglichkeit mit steigender Konzentration gemäß
−1/3
µH,3 ≈ µ0H,3 · exp −0.865NA /a
(6.62)
zu [Boe77b]. Die Ergebnisse dieser Arbeit weisen einen umgekehrten Verlauf auf:
mit steigender Konzentration NA nimmt µH,3 ab (vgl. Messwerte in Abb. 6.20
und Tab. 6.9). Es ist jedoch zu beachten, dass mit vier Proben keine ausreichende
statistische Relevanz erreicht wird.
Zusammenfassung:
Der Temperaturverlauf der Hall-Konstante RH (T −1 ) in Al-dotierten SiC
wird für Akzeptorkonzentrationen NA ≤ 2 · 1019 cm−3 und Kompensationsgrad K ≈ (0.2 − 0.4) durch ein Zwei-Band-Modell beschrieben. Bei
hohen Temperaturen wird die Hall-Konstante dominiert vom Hall-Effekt
freier Löcher im Valenzband. Bei tiefen Temperaturen dominiert der HallEffekt der Hopping-Leitung. Die Hall-Beweglichkeit µH,3 im HoppingRegime ist anormal hoch im Vergleich zur (abgeschätzten) Driftbeweglichkeit µ3 . Der Hall-Streufaktor rH,3 ist um 3 bis 6 Größenordnungen
größer als beim normalen“ Hall-Effekt.
”
138
Kapitel 6: Diskussion
Bei Akzeptorkonzentrationen NA ≥ 4 · 1019 cm−3 beschreibt ein DreiBand-Modell den Verlauf RH (T −1 ). Als dritter Leitungsmechanismus bei
mittleren Temperaturen wird die ǫ2 -Leitung im oberen Hubbard-Band
berücksichtigt.
6.1.4
Vorzeichen-Anomalie des Hall-Effekts
Im vorangegangenen Abschnitt wurde der Temperaturverlauf der Hall-Konstante
RH diskutiert. Dabei hat sich gezeigt, dass bei allen untersuchten SiC-Proben
das Vorzeichen von RH im Hopping-Regime negativ ist. Bei Annahme eines
Hall-Effekts für freie Ladungsträger würde dies bedeuten, dass die Leitfähigkeit
durch Elektronen bestimmt wird. Der Vorzeichenwechsel der Hall-Konstante in
einem p-Typ Halbleiter im Hopping-Regime wurde erstmals von Yonemitsu et al.
[Yon60] in Gallium-dotiertem Germanium beobachtet.
Die experimentellen Fakten widersprechen jedoch ersten theoretischen Überlegungen von Mott und Twose [Mot61], wonach der Stromfluss in Hopping-Leitung
immer durch Majoritätsladungsträger bestimmt wird und damit das Vorzeichen
des Hall-Effekts im Vergleich zur Bandleitung nicht geändert wird. Mott und
Twose argumentierten, dass sich Störband-Löcher nicht wie Valenzband-Löcher
verhalten. Ein Valenzband-Loch, also ein echter“ Ladungsträger mit positiver
”
Ladung und effektiver Masse, wird im elektrischen und magnetischen Feld in die
gleiche Richtung abgelenkt wie ein Elektron. Ein Störband-Loch ist lediglich ein
fehlender Majoritätsladungsträger. Eine solche Fehlstelle wandert“ stets entge”
gengesetzt zur Bewegung der Majoritätsladungsträger (siehe Abb. 6.21).
Dieses einfache Modell basiert jedoch auf der Annahme, dass sich die Ladungsträger wie freie Teilchen im Magnetfeld verhalten, auf die die Lorentzkraft wirkt.
Diese Annahme ist unrealistisch. In Abschnitt 6.1.3 wurde bereits gezeigt, dass
der Hall-Effekt in Hopping-Leitung durch ringförmige Ströme über mindestens
drei Störstellenatome entsteht. Emin [Emi77] hat gezeigt, dass das Vorzeichen
der Hall-Konstante von folgenden Faktoren abhängt:
• vom Vorzeichen der Ladung q des Ladungsträgers (Elektron: q < 0,
Valenzband-Loch: q > 0, Störband-Loch: q < 0),
• von der lokalen Symmetrie, d. h. der Anzahl n der Störstellenatome, über
die Ringströme fließen,
• von der Art und Ausrichtung der überlappenden Orbitale (s-artig, p-artig
bzw. bindend, antibindend). Elektronen bewegen sich dabei über antibindende Orbitale, während Löcher über bindende Orbitale laufen. Im kristallinen Halbleiter werden Störstellen häufig Wasserstoff-ähnlich behandelt;
daher sind die beteiligten Orbitale i. d. R. s-artig.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
139
Das Vorzeichen von RH ist unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften gegeben
durch:
!
n
Y
sgn(RH ) = sgn ǫn+1 · (−q)(−1)n+1
(6.63)
Ji,i+1 .
i=1
Dabei ist ǫ = 1 für die Bewegung eines echten“ Ladungsträgers im Störband
”
bzw. ǫ = −1 für die Bewegung eines Störband-Lochs. Ji,i+1 ist das feldfreie Übergangsintegral zwischen Störstellenatomen i und i + 1, definiert durch
Ji,i+1 = hΨi |H0 | Ψi+1 i ,
(6.64)
wobei H0 der Hamiltonoperator ohne Anwesenheit von elektrischen und magnetischen Feldern ist.
Für Störbandleitung in kristallinen Halbleitern nimmt Emin an, dass die
Störstellenatome Wasserstoff-ähnlich und die überlappenden Orbitale s-artig und
gleichphasig sind. Weiterhin werde der Hall-Effekt durch 3-atomige Ringstrukturen (n = 3) bestimmt. Gl. (6.63) kann damit reduziert werden zu:
!
n
Y
Ji,i+1 .
sgn(RH ) = sgn −q
(6.65)
i=1
Aus der Gleichphasigkeit der Orbitale folgt, dass die Übergangsintegrale negativ
sind. Es gibt daher zwei Fälle:
1. n-Typ Halbleiter: die Majoritätsladungsträger sind Elektronen mit q < 0.
Es folgt RH < 0.
2. p-Typ Halbleiter: die Majoritätsladungsträger sind Valenzband-Löcher mit
q > 0. Es folgt RH > 0.
Prinzipiell wird damit das Ergebnis des einfachen (freien Ladungsträger) Modells
von Mott und Twose bestätigt, d. h. kein Vorzeichenwechsel des Hall-Effekts beim
Übergang zur Störbandleitung.
Obwohl es experimentelle Arbeiten gibt, die dieses Modell bestätigen (z. B.
Hall-Effekt in Zn-doped InP [Ben90]), stehen die Ergebnisse von z. B. [Yon60]
ValenzbandLoch
+
Elektron
-
StörbandLoch
F
B
Abb. 6.21: Bewegung eines (Valenzband-)Lochs, Elektrons bzw. (Störband-)Lochs (fehlendes Elektron) in Anwesenheit eines elektrischen Felds F und magnetischen Felds B.
140
Kapitel 6: Diskussion
Tab. 6.10: Vorzeichen der Hall-Konstante RH in p- bzw. n-dotierten Proben unter
verschiedenen Annahmen nach [Emi77, Gru81].
Annahme
p-Typ
n-Typ
gleichphasige s-Orbitale, ungeradzahlige Ringe
+1
verschiedenphasige Orbitale, ungeradzahlige Ringe
−1
−1
verschiedenphasige Orbitale, geradzahlige Ringe
+1
3-fach koordinierte Atome
+1
4-fach (tetraedrisch) koordinierte Atome
−1
+1
−1
+1
+1
und dieser Arbeit dazu im Widerspruch. Mit der Theorie von Emin kann der
Vorzeichenwechsel dann erklärt werden, wenn mindestens eine der Voraussetzungen geändert wird: Gleichphasigkeit der Orbitale oder Anzahl n der am Ringstrom
beteiligten Störstellenatome. Diese Fälle werden von Emin im Kontext amorpher
Festkörper (insb. a-Si) diskutiert, für die aufgrund der zufälligen Anordnung der
Atome eine Analogie zur Störbandleitung in kristallinen Halbleitern besteht. Es
folgt für gerades n ein normaler Hall-Effekt, d. h. unverändertes Vorzeichen, und
für ungerades n eine doppelte Vorzeichen-Anomalie, d. h. für n- bzw. p-dotiertes
Material wird ein p- bzw. n-Typ Hall-Effekt gemessen.
Grünewald et al. [Gru81] erweiterten diese Theorie und untersuchten anstelle
von Ringströmen die Abhängigkeit von sgn(RH ) von der Anzahl der Bindungen, die von einem Atom bzw. einer Störstelle ausgehen. Sie fanden, dass für
3-fach koordinierte Atome der Hall-Effekt unabhängig von der Dotierung positiv
ist und für 4-fach (tetraedrisch) koordinierte Atome eine doppelte VorzeichenAnomalie auftritt. Letzteres wurde von Holender und Morgan [Hol92] durch eine
Computer-Simulation bestätigt. Die Ergebnisse von Emin und Grünewald et al.
sind nochmals in Tab. 6.10 zusammengefasst.
Zusammenfassung:
Das Vorzeichen der Hall-Konstante im Hopping-Regime kristalliner Halbleiter hängt außer von der Art der Majoritätsladungsträger von der lokalen Struktur sowie der Art und Phase der überlappenden Orbitale ab.
Je nach Modell wird theoretisch ein normaler Hall-Effekt, eine einfache
oder doppelte Vorzeichen-Anomalie bestimmt. Alle Varianten sind in der
experimentellen Landschaft zu finden. Für den speziellen Fall der im
Rahmen dieser Arbeit untersuchten p-Typ SiC-Proben wurde ein Vorzeichenwechsel gefunden.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
6.1.5
141
Bestimmung der Hopping-Aktivierungsenergie ǫ3
aus Admittanzspektroskopie-Untersuchungen
Am gleichen Wafer, aus dem die Hall-Proben SK55 und SK57 präpariert wurden, sind Admittanzmessungen durchgeführt worden. Präparation der SchottkyKontakte bzw. Darstellung der Messergebnisse ist in Abschnitt 4.2.1.1 bzw. 5.1.3
zu finden.
Es wurde festgestellt, dass in den Leitwert-Spektren gemessen an Kontakten
mit NA,netto ≥ 7.2 · 1017 cm−3 in der Raumladungszone zwei Peakserien auftreten, die mit steigender bzw. fallender Temperatur ineinander übergehen (vgl.
Abb. 5.6, Abb. 5.7 bzw. Abb. 6.23). Der Arrhenius-Plot der Leitwert-Peaks weist
einen deutlichen Knick mit zwei linearen Bereichen auf. Die aus der größeren
Steigung ermittelte Aktivierungsenergie entspricht der Aktivierungsenergie ǫ1 für
elektrische Leitung im Valenzband. Die flachere Steigung liefert die Aktivierungsenergie ǫ3 für Hopping-Leitung im Akzeptor-Störband.
Diese Zuordnung wurde bereits von Evwaraye et al. [Evw96] bzw. Hickmott
[Hic91] bei der Untersuchung der Störbandleitung in n-Typ 4H-SiC bzw.
Be-dotiertem GaAs verwendet. Hickmott hat das Ausfrieren der freien Ladungsträger mittels Admittanzspektroskopie untersucht und zur Beschreibung der Admittanz das Modell von Aymeloglu und Zemel [Aym76] verwendet. Basierend auf
der Steigung des Arrhenius-Plots konnte Hickmott seine Proben in zwei Klassen
mit großer bzw. ungewöhnlich kleiner Aktivierungsenergie einteilen. Er folgerte, dass die kleine Aktivierungsenergie der thermischen Aktivierungsenergie für
Hopping-Leitung im Störband entspricht.
Es konnte jedoch keine Veröffentlichung gefunden werden, in der auf den physikalischen Hintergrund der Leitwert-Peaks der Hopping-Leitung eingegangen wird.
Insbesondere ist ungeklärt,
• warum die der Hopping-Leitung zugeschriebenen Leitwert-Peaks schmal
sind, obwohl die beteiligten Zustände energetisch quasi-kontinuierlich über
das Störband verteilt sind;
• warum die Störband-Peaks unterhalb einer bestimmten Netto-Dotierung
nicht mehr beobachtet werden können;
• in welchem Zusammenhang die Aktivierungsenergien aus dem ArrheniusPlot zu den Aktivierungsenergien ǫ1 bzw. ǫ3 stehen, die aus temperaturabhängigen Widerstandsmessungen bestimmt werden.
Diese Fragen sollen im Folgenden beantwortet werden. Dazu wird ein Modell —
basierend auf [Aym76] — vorgeschlagen und diskutiert.
142
6.1.5.1
Kapitel 6: Diskussion
Modell zur Beschreibung der Admittanz unter Berücksichtigung der Hopping-Leitung
Eine tiefe Störstelle in der Raumladungszone eines Schottky-Kontakts erzeugt
einen Leitwert-Peak bzw. eine Kapazitätsstufe aufgrund der Resonanz der angelegten Messwechselspannung mit der Frequenz ω = 2πf und der Umladezeitkonstante τSRH für Einfang und Emission eines Ladungsträgers im detaillierten Gleichgewicht. τSRH ist bestimmt durch die Shockley-Read-Hall-Statistik
[Sho52, Hal52] . Dies setzt voraus, dass die Zeitkonstante τRC , die durch die
RC-Glieder der Verschaltung und der Probe gegeben ist, klein gegen τSRH ist.
Beim Ausfrieren der Grunddotierung steigt der Probenwiderstand Rbulk exponentiell an und damit auch die Zeitkonstante τProbe = Rbulk Cdep . Cdep ist die
Kapazität der Raumladungszone. Der letzte Peak des normierten Leitwerts G/ω
bzw. die letzte Stufe der Kapazität C bei fallender Probentemperatur entsteht
daher als Folge des Ausfrierens der Grunddotierung und nicht durch Resonanz
der Shockley-Read-Hall-Umladezeitkonstante τSRH der flachen Dotierung mit der
Messwechselspannung [Aym76].
Abbildung 6.22(a) zeigt die Bandverbiegung in der Raumladungszone eines pTyp Schottky-Kontakts. Das Akzeptor-Energieniveau ist aufgrund der CoulombWechselwirkung geladener Störstellen zu einem Störband (grau) verbreitert und
aufgrund der Kompensation bzw. thermischen Anregung teilweise mit Elektronen
(gefüllte Kreise) bzw. Löchern (offene Kreise) gefüllt. Durch Variation der von
außen angelegten Spannung werden Akzeptoren am Ende der Raumladungszone
umgeladen. Zwei Umlade-Mechanismen sind möglich:
• Einfang bzw. Emission eines Lochs aus dem bzw. in das Valenzband mit
der Umladezeitkonstante τSRH aus der Shockley-Read-Hall-Statistik;
• Transfer eines Ladungsträgers von einem Akzeptor zu einem unbesetzten
Akzeptor innerhalb des Störbands mit der Hopping-Zeitkonstante τhop .
In Abb. 6.22(b) ist das Ersatzschaltbild für den Schottky-Kontakt gezeigt. Die
Raumladungszone wird durch die Kapazität Cdep wiedergegeben. Das Halbleitervolumen wird ersetzt durch die Parallelschaltung der Widerstände R1 und
R3 sowie des Kondensators Cbulk . R1 bzw. R3 repräsentieren die unterschiedlichen Leitfähigkeitskanäle im Valenzband bzw. Störband. Mit R = ρ · Ad und den
Gln. (6.1) und (6.15) ist
ǫ1
d
ǫ1
0
= ρ1 exp
,
(6.66)
R1 (T ) = R1 exp
kB T
A
kB T
ǫ3
ǫ3
d
0
R3 (T ) = Θ3 T exp
= Γ3 T exp
.
(6.67)
kB T
A
kB T
d bzw. A sind die Dicke der Probe bzw. die Fläche des Schottkykontakts. Näherungsweise wird angenommen, dass im Halbleiter nur das Zylindervolumen unterhalb des kreisförmigen Schottkykontakts zur Leitfähigkeit beiträgt.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
(a)
143
E
Akzeptor-Störband (lokalisierte Zustände)
EF
thop
DEA
tSRH
EV
x
xr
(b)
R1
Cdep
R3
Cbulk
Abb. 6.22: (a) Raumladungszone eines p-Typ Schottky-Kontakts. Das AkzeptorStörband ist grau dargestellt. Der Abstand von der Fermi-Energie EF im Volumen
zur Valenzbandkante EV entspricht der Akzeptor-Ionisierungsenergie ∆EA . Elektronen bzw. Löcher sind durch gefüllte bzw. offene Kreise dargestellt. Umladung erfolgt
am Ende der Raumladungszone x = xr zwischen Akzeptoren und Valenzband mit der
Zeitkonstante τSRH bzw. im Störband mit τhop .
(b) Ersatzschaltbild des Schottky-Kontakts. Die Raumladungszone wird durch die Kapazität Cdep wiedergegeben. Das Halbleitervolumen wird ersetzt durch die Parallelschaltung der Widerstände R1 und R3 sowie des Kondensators Cbulk .
Cbulk kann wie ein Plattenkondensator mit Plattenabstand d behandelt werden [Aym76]. Aufgrund der großen Probendicke d ≈ 0.3 mm ist Cbulk ≈ 40 fF6
vernachlässigbar klein. Daher wird Cbulk im Folgenden nicht weiter berücksichtigt.
Cdep wird näherungsweise als konstant betrachtet. Dies setzt voraus, dass bei
jeder Temperatur alle Störstellen umgeladen werden können. Die Diskussion der
Zeitkonstanten erfolgt in Abschnitt 6.1.5.2.
Die gesamte Admittanz Y , also der inverse Wechselspannungswiderstand Z,
des Ersatzschaltbilds ist:
"
−1 #−1
1
1
1
+
+
.
(6.68)
Y = Z −1 =
iωCdep
R1 R3
Ferner ist Y = G + iωC, wobei G bzw. C der Leitwert bzw. die Kapazität ist,
6
Material: 6H-SiC, Kontaktdurchmesser: 0.4 mm
144
Kapitel 6: Diskussion
die durch die Kapazitätsmessbrücke gemessen werden können. Durch Berechnung
von Real- und Imaginärteil und Normierung auf ω erhält man:
2
ωR1 R3 Cdep
(R1 + R3 )
,
(ωR1 R3 Cdep )2 + (R1 + R3 )2
Cdep (R1 + R3 )2
.
C =
(ωR1 R3 Cdep )2 + (R1 + R3 )2
G/ω =
(6.69)
(6.70)
Die Funktion G(ω)/ω verschwindet für ω = 0 bzw. ω → ∞ und hat bei
ω −1 = Cdep
R1 R3
=: τ
R1 + R3
ein Maximum mit
Cdep
G/ω|ω=1/τ =
=: Gmax .
2
(6.71)
(6.72)
C(ω) ist eine Stufenfunktion mit C(ω = 0) = Cmax = Cdep und C(ω → ∞) = 0.
Für ω = τ −1 hat C(ω) einen Wendepunkt mit
C|ω=1/τ =
Cdep
.
2
(6.73)
Normiert auf den Maximalwert folgt aus Gl. (6.69)
2ωR1 R3 Cdep (R1 + R3 )
,
(ωR1 R3 Cdep )2 + (R1 + R3 )2
(R1 + R3 )2
=
.
(ωR1 R3 Cdep )2 + (R1 + R3 )2
G/Gmax =
(6.74)
C/Cmax
(6.75)
Die Zeitkonstante τ aus Gl. (6.71) entspricht gerade der Zeitkonstanten Rbulk ·
R3
der Gesamtwiderstand des
Cdep des RC-Glieds der Probe, wobei Rbulk = RR11+R
3
Probenvolumens unter dem Schottkykontakt ist. Daher liefert der Arrhenius-Plot
d
+ ln (ρ(1/T ))
(6.76)
1/T 7→ ln (τ (1/T )) = ln Cdep
A
bis auf eine additive Konstante den Logarithmus des temperaturabhängigen spezifischen Widerstands ρ(1/T ).
Abb. 6.23(b) bzw. (c) zeigt beispielhaft die an Probe SK57 Kontakt 54 gemessene Kapazität bzw. den Leitwert normiert auf die jeweiligen Maximalwerte als Funktion der Temperatur (Punkte). In Abb. 6.23(a) ist der dazugehörige
Arrhenius-Plot der Leitwert-Maxima dargestellt (Quadrate). Aus dem ArrheniusPlot wurden zunächst durch Anpassung von Gl. (6.71) unter Berücksichtigung der
Gln. (6.66) und (6.67) die Parameter ǫ1 , R10 , ǫ3 und Θ03 bestimmt. Die Werte sind
im Diagramm angegeben; die angepasste Funktion ist als durchgezogene Kurve eingezeichnet. Die Raumladungszonen-Kapazität Cdep = 270 pF wurde dem
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
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Abb. 6.23: Ergebnisse der temperaturabhängigen Admittanzmessung an Kontakt 54
von Probe SK57.
(a) Arrhenius-Plot der Leitwert-Peaks. Die Parameter der Anpassung (durchgezogene Kurve) an die Messpunkte (offene Quadrate) sind in der Graphik angegeben.
(b) Kapazität C/Cmax normiert auf die maximale Kapazität Cmax = C(T → ∞)
als Funktion der Temperatur T . Messwerte sind durch kleine Punkte dargestellt; die durchgezogene Kurve ist eine Simulation mit Hilfe des vorgestellten
Modells.
(c) Leitwert G/Gmax normiert auf den maximalen Leitwert Gmax als Funktion der
Temperatur T . Messwerte sind durch kleine Punkte dargestellt; die durchgezogene Kurve ist eine Simulation mit Hilfe des vorgestellten Modells.
146
Kapitel 6: Diskussion
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Abb. 6.24: Ergebnisse der temperaturabhängigen Admittanzmessung an Kontakt 67
von Probe SK57.
(a) Arrhenius-Plot der Leitwert-Peaks. Die Parameter der Anpassung (durchgezogene Kurve) an die Messpunkte (offene Quadrate) sind in der Graphik angegeben.
(b) Kapazität C/Cmax normiert auf die maximale Kapazität Cmax = C(T → ∞)
als Funktion der Temperatur T . Messwerte sind durch kleine Punkte dargestellt; die durchgezogene Kurve ist eine Simulation mit Hilfe des vorgestellten
Modells.
(c) Leitwert G/Gmax normiert auf den maximalen Leitwert Gmax als Funktion der
Temperatur T . Messwerte sind durch kleine Punkte dargestellt; die durchgezogene Kurve ist eine Simulation mit Hilfe des vorgestellten Modells.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
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Abb. 6.25: Ergebnisse der temperaturabhängigen Admittanzmessung an Kontakt 46
von Probe SK57.
(a) Arrhenius-Plot der Leitwert-Peaks. Die Parameter der Anpassung (durchgezogene Kurve) an die Messpunkte (offene Quadrate) sind in der Graphik angegeben.
(b) Kapazität C/Cmax normiert auf die maximale Kapazität Cmax = C(T → ∞)
als Funktion der Temperatur T . Messwerte sind durch kleine Punkte dargestellt; die durchgezogene Kurve ist eine Simulation mit Hilfe des vorgestellten
Modells.
(c) Leitwert G/Gmax normiert auf den maximalen Leitwert Gmax als Funktion der
Temperatur T . Messwerte sind durch kleine Punkte dargestellt; die durchgezogene Kurve ist eine Simulation mit Hilfe des vorgestellten Modells.
148
Kapitel 6: Diskussion
C(T )-Spektrum für T → ∞ entnommen (vgl. Abb. 5.7). Mit diesen Parametern
wurde die temperaturabhängige Admittanz unter Verwendung der Gln. (6.74)
und (6.75) simuliert. Der berechnete Verlauf für jede Messfrequenz ist als durchgezogene Kurve in Abb. 6.23(b) bzw. (c) eingezeichnet.
Der experimentell bestimmte Temperaturverlauf des normierten Leitwerts
G/Gmax (Abb. 6.23) wird durch die Simulation gut wiedergegeben. Alle wesentlichen Merkmale wie Peakpositionen, asymmetrische Flanken und Doppelpeakstruktur werden durch das Modell beschrieben.
Beim Temperaturverlauf der normierten Kapazität C/Cmax gibt es jeweils auf
der Hochtemperaturseite der Kapazitätsstufen Abweichungen von bis zu 25%.
Während die Simulation in einer steilen Stufe den Wert Cmax erreicht, steigt
die gemessene Kapazität zunächst ebenfalls steil auf ca. 80% von Cmax an und
nähert sich über einen großen Temperaturbereich (≈ 200 K) der Simulation an.
Mögliche Ursache für diese Abweichung ist die Annahme, dass Cdep über den
gesamten Temperaturbereich konstant ist. Die Temperaturabhängigkeit von Cdep
wird weiter unten in Abschnitt 6.1.5.3 diskutiert.
In Abb. 6.24 bzw. Abb. 6.25 sind die Admittanzspektren sowie der zugehörige Arrheniusplot für zwei weitere Kontakte mit höherer bzw. niedrigerer NettoDotierkonzentration in der Raumladungszone gezeigt. In beiden Fällen wurden
ebenfalls zunächst aus dem Arrhenius-Plot (Teilabb. (a)) die Parameter ǫ1 , R10 ,
ǫ3 sowie Θ03 bestimmt. Anschließend wurde mit Hilfe der Gln. (6.74) und (6.75)
der Leitwert bzw. die Kapazität als Funktion der Temperatur T mit Parameter
ω bestimmt. Für Kontakt 67 (Abb. 6.24) gelten hinsichtlich der Simulationsergebnisse dieselben Bemerkungen wie für Kontakt 54 (siehe oben). Im Arrheniusplot Abb. 6.25(a) von Kontakt 46 ist im Gegensatz zu den Kontakten 54
bzw. 67 nur eine Steigung zu erkennen. Lediglich die Punkte bei Temperaturen T < 150 K weichen leicht von der Regressionsgeraden ab. Konsequenterweise
fehlt auch in den Leitwert- bzw. Kapazitätsspektren die zweite Peak- bzw. Stufenserie bei tiefen Temperaturen. Die Simulationen von G/Gmax bzw. C/Cmax
für Frequenzen f ≥ 100 kHz beschreiben die Messwerte sowohl bzgl. der Lage
des Peaks / der Stufe als auch der Amplitude sehr gut. Bei kleineren Frequenzen,
insb. für f = 100 Hz, gibt es erhebliche Abweichungen. Die gemessenen Peaks sind
stark verbreitert und zu kleinen Temperaturen verschoben. Diese Abweichungen
zwischen Messung und Simulation sind auf die Vernachlässigung der zweiten Steigung im Arrhenius-Plot und damit auf die Vernachlässigung des Widerstands R3
im Ersatzschaltbild zurückzuführen.
Bevor die aus den Arrhenius-Plots bestimmten Leitfähigkeitsparameter der
untersuchten Kontakte der Proben SK55 und SK57 diskutiert werden, werden in
den folgenden beiden Abschnitten zwei wichtige offene Fragen diskutiert.
1. Wie lange dauert das Hüpfen eines Ladungsträgers zwischen 2 Störstellen?
2. Wie viele Störstellen werden im Hopping-Regime am Ende der Raumladungszone umgeladen?
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
149
Als Antwort auf Frage 1 wird eine kurze Zeitkonstante erwartet, die viel kleiner als
die Periodenlänge der Messwechselspannung ist. Dies ist eine Voraussetzung für
das vorgestellte Modell, in dem die Admittanz vom RC-Glied der Probe abhängt.
Frage 2 führt auf die Höhe von Cdep bei tiefen Temperaturen.
6.1.5.2
Diskussion der Hopping-Zeitkonstante τhop
(i,j)
Im thermischen Gleichgewicht ist die Hopping-Zeitkonstante τhop für einen Ladungsträger-Transfer zwischen den Störstellen i und j im Abstand rij durch den
Kehrwert der Hopping-Frequenz Γ0ij gegeben. Diese wurde von Miller und Abrahams [Mil60] bestimmt (vgl. Abschnitt 2.2.2.3):
−1
−1
(i,j)
exp (ξij ) ,
(6.77)
τhop = Γ0ij
= γij0
wobei
γij0
Φ2 (Ej − Ei )
=
πdc5 ~4
ξij =
Eij
2rij
+
.
a
kB T
2e2
12πǫr ǫ0 a
2
"
2 #−4
2
rij
(Ej − Ei )a
,
1+
a2
2~c
(6.78)
(6.79)
Φ ist das Deformationspotential, d die Kristalldichte und c die Schallgeschwindigkeit im Kristall. Eij ist die Energie, die für den Übertrag des Ladungsträgers
benötigt wird. Dabei wurde bereits die Fermi-Dirac-Statistik für die Besetzung
der Zustände berücksichtigt:
1
Eij = (|Ei − Ej | + |Ei − EF | + |Ej − EF |).
2
(6.80)
Die Energien Ei bzw. Ej der Störstellen i bzw. j sowie deren Abstand rij können
durch Simulation eines virtuellen Kristalls — wie in Abschnitt 2.2.1 beschrieben
— bestimmt werden. In Abb. 6.26 ist die mit N = 2000 Akzeptoren simulierte
Zustandsdichte im Störband für NA = 1.3 · 1019 cm−3 und K = 0.3 gezeigt. Die
Kantenlänge des würfelförmigen virtuellen Kristalls L = 12.6 µm ist etwa 20-mal
größer als der mittlere Abstand rD = 0.62 µm der Akzeptoren. Da bei den betrachteten Temperaturen vorwiegend Nearest-Neighbor-Hopping (NNH) auftritt,
ist der virtuelle Kristall ausreichend groß. Die gewählten Simulationsparameter
entsprechen denen, die durch Auswertung der Admittanzmessung an Kontakt 54
von Probe SK57 bestimmt wurden (vgl. Abschnitt 6.1.5.4).
Mit den Werten der Simulation können für alle Akzeptor-Paare die HoppingZeitkonstanten nach Gl. (6.77) berechnet werden7 . Aufgrund des exp(ξij )-Terms
(ij)
hängt τhop exponentiell vom Abstand rij und der Energie Eij ab. Dadurch überdecken die Zeitkonstanten einen Bereich von mehreren 100 Größenordnungen. In
7
Die verwendeten Materialparameter sind im Anhang D aufgelistet
150
Kapitel 6: Diskussion
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f g
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f
<p
=CDE
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ZE
YE
E
=CEE
=DE
DE
CEE
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Abb. 6.26: Simulierte Zustandsdichte g(E) im Akzeptor-Störband für NA = 1.3 ·
1019 cm−3 und K = 0.3. Die Energie E − EA = 0 entspricht der Ionisierungsenergie eines isolierten Akzeptors. Die gestrichelte Linie markiert die Position der Fermi-Energie
EF .
Abb. 6.27 ist ein Histogramm der berechneten Zeitkonstanten zwischen 1 ps und
1 s dargestellt. Aufgetragen ist die mittlere Anzahl von Nachbarn einer Störstelle
mit einer Hopping-Zeitkonstante τhop in einem Zeitintervall, das durch die Säulenbreite gegeben ist. Die Simulation wurde für T = 10 K (durchgezogene Kurve),
T = 30 K (gestrichelte Kurve) bzw. T = 100 K (gepunktete Kurve) durchgeführt.
In den grauen Kurven sind alle Nachbarn unabhängig von ihrer Entfernung zum
Hopping-Partner berücksichtigt. Zusätzlich ist mit den schwarzen Kurven die
Verteilung der Zeitkonstanten für Nächste-Nachbar-Sprünge aufgetragen, d. h.
für Paare mit rij < rD . rD ist der mittlere Akzeptorabstand (vgl. Gl. (2.35)).
Folgende Schlüsse können aus der Simulation gezogen werden:
• Selbst bei niedrigen Temperaturen T ≈ 10 K gibt es noch Akzeptor-Paare,
die der Messfrequenz (zwischen 100 Hz bis 1 MHz) folgen können.
• Die kürzesten Zeitkonstanten haben Paare, die zueinander einen kleinen
räumlichen Abstand haben. Für T = 100 K sind nahezu alle NächsteNachbar-Paare mit r < rD schneller als 1 µs.
• Mit abnehmender Temperatur können immer weniger Akzeptor-Paare der
Messwechselspannungsfrequenz folgen. Dies führt zu einer Erniedrigung der
differenziellen Kapazität Cdep .
Für eine detaillierte Betrachtung wurde temperaturabhängig der relative Anteil aktiver“ Störstellen bestimmt. Als aktiv“ wird eine Störstelle i bezeich”
”
(i)
net, deren totale Hopping-Rate 1/τhop zu benachbarten Störstellen größer als die
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
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Abb. 6.27: Histogramm der Hopping-Zeitkonstante τhop bestimmt aus der Simulation
eines virtuellen Kristalls nach dem in Abschnitt 2.2.1 dargestellten Verfahren. Aufgetragen ist die mittlere Anzahl Nachbarn einer Störstelle mit einer Hopping-Zeitkonstante
τhop im Zeitintervall gegeben durch die Säulenbreite. Die Simulation wurde für T = 10 K
(durchgezogene Kurve), T = 30 K (gestrichelte Kurve) bzw. T = 100 K (gepunktete
Kurve) durchgeführt. In den dicken schwarzen Kurven wurden nur nächste Nachbarn
mit r < rD berücksichtigt.
Messfrequenz ω = 2πf ist. Dabei wird angenommen, dass sich die einzelnen
(ij)
Hopping-Raten 1/τhop addieren.
Das Umladen der Störstellen als Folge der Messwechselspannung erfolgt am
Ende der Raumladungszone xr eines Schottky-Kontakts, da dort freie“ Ladungs”
träger im Störband zur Verfügung stehen (vgl. Abb. 6.22). Dabei werden jeweils
während einer halben Periodenlänge die Ladungsträger von der Raumladungszone ins Volumen befördert und umgekehrt. Daher werden für die Berechnung der
totalen Hopping-Rate 1/τhop (i) nur solche Sprünge berücksichtigt, die bzgl. der
x-Koordinate (senkrecht zur Kristalloberfläche) in die gleiche Richtung gerichtet
sind. Es ergibt sich:
X 1
1
=
.
(6.81)
(i)
(ij)
τhop
τhop
i6=j
xi <xj
Der relative Anteil aktiver“ Störstellen ist damit:
”
(i)
NA (τhop ≤ ω −1 )
.
Xaktiv (T, ω) =
NA
(6.82)
Xaktiv (T, ω) ist in Abb. 6.28 als Funktion der Temperatur für die Messfrequenzen f = 100 Hz (gestrichelt) und f = 1 MHz (durchgezogen) dargestellt. Die
152
Kapitel 6: Diskussion
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Abb. 6.28: Relativer Anteil aktiver“ Störstellen, die innerhalb der halben Perioden”
dauer der Messwechselspannung einen Ladungsträger an eine andere Störstelle durch
Hopping abgeben können, als Funktion der Temperatur T .
verwendeten Simulationsparameter sind in der Legende angegeben. Bei T = 0
gibt es erwartungsgemäß keine Störstellen, die einen Hopping-Partner mit passender Frequenz haben, da die erforderliche thermische Aktivierungsenergie fehlt.
Mit steigender Temperatur wächst Xaktiv steil an. Bei T = 25 K sind bereits ca.
(i)
80% aller Störstellen aktiv“. Ab ca. 100 K ist die totale Hopping-Rate 1/τhop
”
nahezu jeder Störstelle größer als die maximale Messfrequenz 1 MHz der am LAP
zur Verfügung stehenden Apparatur.
Die Abschätzung der Hopping-Zeitkonstanten durch Simulation eines
virtuellen Kristalls zeigt, dass die Zeitkonstanten für Nächste-NachbarSprünge bei nicht zu tiefen Temperaturen T ≥ 30 K klein gegen die
Periodenlänge der verwendeten Messwechselspannung sind. Nahezu alle
Störstellen am Ende der Raumladungszone sind aufgrund ihrer hohen
Hopping-Raten an der Umladung beteiligt und tragen zur differenziellen
Kapazität Cdep bei.
6.1.5.3
Kapazität der Raumladungszone Cdep
Die differenzielle Kapazität der Raumladungszone ist definiert als Quotient
Cdep =
dQ
.
dU
(6.83)
dQ ist die Änderung der Ladung in der Raumladungszone bei Änderung der
angelegten Spannung um dU . dQ ist proportional zur Konzentration umladbarer
Störstellen.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
,
,
+
*
(
)
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(a)
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153
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(b)
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ýþÿ þ Abb. 6.29: Normierte Kapazität C/Cmax (a) bzw. normierter Leitwert G/Gmax (b) als
Funktion der Temperatur T . Messwerte sind durch kleine Punkte dargestellt; die durchgezogenen Kurven sind Simulationen unter Berücksichtigung der Kapaziätsabnahme bei
Temperaturen im Hopping-Regime.
Sind bei hohen Temperaturen ausreichend viele freie Löcher im Valenzband
vorhanden, so ist dQ ∼ NA,netto = NA − ND = (1 − K)NA . Bei Temperaturen im
Hopping-Regime und für Kompensationsgrade K < 0.5 sind KNA Akzeptoren
mit einem Elektron besetzt, während der größere Anteil (1 − K)NA unbesetzt
ist. Es ist daher günstig ins Elektronenbild zu wechseln, d. h. es gibt KNA freie“
”
Elektronen im Störband. Mit dem oben eingeführten relativen Anteil Xaktiv ak”
tiver“ Störstellen folgt
dQ ∼ KNA · Xaktiv ≈ KNA ,
(6.84)
da bei den relevanten Temperaturen (T > 50 K) Xaktiv ≈ 1 ist. Beim Übergang von Valenzband- zu Hopping-Leitung, d. h. wenn die Shockley-Read-HallUmladezeit τSRH des Aluminiumakzeptors groß gegen die Periodenlänge der MessK
-fache des ursprüngwechselspannung wird, fällt die Kapazität daher auf das 1−K
lichen Wertes ab:
Chop =
K
Cmax .
1−K
(6.85)
Ein merklicher Einfluss von Xaktiv auf Cdep ist erst bei sehr kleinen Temperaturen
T < 50 K zu erwarten.
Für eine Berechnung des Temperaturverlaufs Cdep (T ) muss die Verbreiterung
des Akzeptor-Störbands berücksichtigt werden, da der energetische Abstand zwischen Akzeptor und Valenzband exponentiell in τSRH eingeht [Sho52, Hal52]. Diese aufwändige Rechnung wird hier nicht durchgeführt, da dies für die Bestimmung
154
Kapitel 6: Diskussion
der Parameter der Störbandleitung nicht notwendig ist. Um zu zeigen, dass ein
Absenken der Raumladungszonen-Kapazität Cdep mit fallender Temperatur zu einer besseren Übereinstimmung der Simulation mit den Messdaten führt, wird für
Kontakt 54 von Probe SK57 angenommen, dass Cdep über einen Temperaturbereich von 200 K linear von Cmax auf 0.8·Cmax abfällt. Die untere Temperaturgrenze
Tc von Cdep = Cmax = const wird durch
240 meV
1
−11
= 1.6 · 10 s · exp
(6.86)
ω
kB Tc
festgelegt. Die Parameter in Gl. (6.86) wurden
gewonnen. Für Cdep (T ) gelte:

für

 0.8
· Cmax
T −(Tc −200 K)
Cdep =
· 0.2 + 0.8 · Cmax für
200 K


Cmax
für
empirisch aus den Messdaten
T ≤ Tc − 200 K
Tc − 200 K < T < Tc
T > Tc .
(6.87)
Abb. 6.29 zeigt nochmals die Messwerte der Admittanzmessung an Kontakt 54
von Probe SK57 sowie die Simulation mit der aus Gl. (6.86) bestimmten Kapazität Cdep (T ). Die Messpunkte werden durch die Simulation sehr gut wiedergegeben. Mit Chop /Cmax = 0.8 kann unter Verwendung von Gl. (6.85) der Kompensationsgrad abgeschätzt werden:
K=
Chop /Cmax
≈ 0.44.
1 + Chop /Cmax
(6.88)
Dieser Wert ist etwas höher als der durch Hall-Messung am gleichen Kristall
bestimmte Wert KHall = 0.35. Die Differenz in K kann auf die inhomogene AlDotierung von Kristall SK57 zurückgeführt werden. Während die Hall-Messung
einen über das Probenvolumen gemittelten Wert liefert, ist die Kapazität der
Raumladungszone sensitiv auf den oberflächennahen Bereich8 . Die Akzeptorkonzentration an der Oberfläche der untersuchten Proben ist ca. um den Faktor 7.5
kleiner als im Volumen (siehe nächsten Abschnitt 6.1.5.4). Dies ist auf die Verarmung der Aluminiumquelle während der Kristallzüchtung zurückzuführen. Da
der Stickstoffanteil im Inertgas wesentlich langsamer sinkt, steigt die Kompensation des Kristalls.
6.1.5.4
Diskussion der Messergebnisse
Aus den Admittanzspektren der untersuchten Kontakte (siehe Anhang B) wurde jeweils ein Arrhenius-Plot der Leitwert-Peaks erstellt (siehe Abb. 6.30). Aus
8
Tiefe der Raumladungszone bei NA,netto = 7.2 · 1017 cm−3 und U = 2 V:
s
2ǫr ǫ0
U ≈ 55 nm.
xr =
eNA,netto
(6.89)
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
155
@C
@ -.
L@PQL AR@SIT
UENVG S 266
DEEFGHIJK LMNO
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<;
:9 @ -7
8
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2NHOWXO 6Y
2NHOWXO 67
2NHOWXO B7
D HLWKKJH_
ZNOIG EXNH[GHO EWOINH
\] @ \^
@ -B
@ -A
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6
-6
-.../0 12345
7.
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Abb. 6.30: Arrhenius-Plot der Leitwert-Peaks gemessen an verschiedenen Kontakten der
Proben SK55 (oben) bzw. SK57 (unten). Die durchgezogenen Kurven sind Anpassungen
an die Messpunkte.
156
Kapitel 6: Diskussion
der Anpassung von Gl. (6.71) wurden die Parameter Cdep R10 , ǫ1 , Cdep Θ03 und ǫ3
bestimmt. Cdep wurde aus den jeweiligen Kapazitätsspektren für T → ∞ extrapoliert. Die Werte sind in Tab. 6.11 bzw. Tab. 6.12 aufgelistet.
Im Folgenden sollen die experimentell bestimmten Aktivierungsenergien ǫ3
mit den theoretischen Werten der Simulationsrechnung von Nguyen Van Lien et
al. [Lie79] und den Ergebnissen der Widerstandsmessungen (Abschnitt 6.1.1) verglichen werden. Dazu wird die Akzeptorkonzentration NA im Volumen benötigt,
die wie folgt abgeschätzt wird.
Näherungsweise wird angenommen, dass im Halbleiter nur das Zylindervolumen unterhalb des kreisförmigen Schottky-Kontakts zur Leitfähigkeit beiträgt. Diese Näherung gilt für dünne Proben. Die Kontaktfläche der verwendeten
Schottkykontakte ist A = 1.26 · 10−3 cm, die Probendicke ist d = 0.03 cm. Damit
folgen aus Gln. (6.66) und (6.67) die Vorfaktoren des spezifischen Widerstands ρ:
ρ1 = R10 ·
A
,
d
(6.90)
Tab. 6.11: Zusammenfassung der aus den CV- und Admittanzmessungen an Probe
SK55 ermittelten bzw. abgeschätzten Größen.
CV-Messung
Admittanzspektroskopie
Abschätzung
Probe
Cmax ( pF)
ǫ1 (meV)
ǫ3 (meV)
∆EA (meV)
Kontakt
NA,netto (cm−3 )
R10 (Ω)
Θ03 (Ω/K)
a (Å)
ρ1 (Ωcm)
Γ3 (Ωcm/K)
NA (cm−3 )
244
-
212
0.14
-
4.2
5.9 · 10−3
-
-
29.2
145
4.4
5.1
2.2 · 10−3
0.19
4.2 · 1019
3.0 · 1018
4.0 · 10−2
3.4
5.1
0.14
1040
1.7 · 10
167
4.6 · 1019
2.2 · 10−2
1.1
SK55
64
SK55
53
SK55
52
SK55
42
112
17
1.0 · 10
544
167
18
2.9 · 10
569
7.0 · 1018
−2
5.2 · 10
167
−3
−4
9.3 · 10
30.0
145
30.0
145
5.1
−2
4.5 · 10
6.7 · 1019
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
157
Tab. 6.12: Zusammenfassung der aus den CV- und Admittanzmessungen an Probe
SK57 ermittelten bzw. abgeschätzten Größen.
CV-Messung
Probe
Kontakt
SK57
46
SK57
44
SK57
54
SK57
56
SK57
64
SK57
65
SK57
57
SK57
67
Cmax ( pF)
NA,netto (cm
−3
140
17
1.8 · 10
205
)
Admittanzspektroskopie
Abschätzung
ǫ1 (meV)
∆EA (meV)
R10
(Ω)
270
7.2 · 1017
315
Θ03
(Ω/K)
a (Å)
ρ1 (Ωcm)
Γ3 (Ωcm/K)
NA (cm−3 )
213
-
185
-
4.5
6.7 · 10
-
-
-
166
0.16
-
4.8
-
-
161
22.9
140
0.21
430
5.2
8.7 · 10−3
18
1.3 · 1019
0.16
−3
191
4.1 · 1017
ǫ3 (meV)
−3
6.7 · 10
185
24.9
9.7 · 1017
6.2 · 10−2
250
4.9
11
335
160
17.8
1.7 · 1019
18
1.2 · 10
448
18
2.0 · 10
515
2.6 · 10−3
139
−2
9.6 · 10
180
5.2
4.0 · 10−3
7.6
146
17.4
1.5 · 1019
0.10
53
5.5
4.3 · 10−3
2.2
1.8 · 1019
166
2.2 · 1018
6.1 · 10−2
590
142
3.4 · 1018
161
27.6
127
144
21
5.1
2.6 · 10
0.88
2.7 · 1019
0.12
12.7
5.6
0.53
2.4 · 1019
−3
−3
5.1 · 10
22.3
123
158
Kapitel 6: Diskussion
A
.
(6.91)
d
ρ1 bzw. Γ3 sind ebenfalls in Tab. 6.11 und Tab. 6.12 aufgelistet. Die Werte ρ1
liegen im gleichen Wertebereich wie die durch Widerstandsmessung bestimmten Werte (vgl. Tab. 6.5). Dieses Ergebnis rechtfertigt die Annahme, dass zur
Leitfähigkeit nur das Zylindervolumen unter dem Schottky-Kontakt beiträgt.
Die durch Auswertung der Admittanzspektren ermittelten Werte Γ3 sind deutlich kleiner als der durch Widerstandsmessung bestimmte Wert Γ3 von Probe
RamF3/G3. RamF3/G3 besitzt eine Akzeptorkonzentration NA = 1 · 1019 cm−3 .
−1/3
Da Γ3 ∼ exp(NA ) ist und damit eine starke Konzentrationsabhängigkeit aufweist, sollte die Akzeptorkonzentration in den durch Admittanzspektroskopie untersuchten Proben größer sein als in Probe RamF3/G3, d. h. NA > 1 · 1019 cm−3 .
CV-Messungen an den Schottky-Kontakten derselben Proben liefern jedoch AlDotierkonzentrationen zwischen 1 · 1017 cm−3 und 7 · 1018 cm−3 . Die Diskrepanz
ist auf das durch die Messmethoden unterschiedliche, untersuchte Kristallvolumen und die inhomogene Dotierung der Proben zurückzuführen. Während CVMessungen sensitiv auf die Raumladungszone sind (xr ≈ 50 nm), ist für die Admittanzmessung des RC-Glieds der Probe der Volumenwiderstand relevant.
Zur quantitativen Auswertung wird die mittlere Akzeptorkonzentration im
Zylindervolumen unter einem Schottky-Kontakt abgeschätzt. Dazu wird der in
Abschnitt 6.1.1.4 experimentell gefundene Zusammenhang Gl. (6.22) zwischen Γ3
1/3
und NA a verwendet:
Γ3 = Θ03 ·
ln(Γ3 ) = −11.5 +
1.75
1/3
NA a
.
(6.92)
1/3
In Abb. 6.31 ist die Bestimmung von NA a graphisch dargestellt. Die Werte
liegen zwischen 0.12 und 2.1. Um daraus die Akzeptorkonzentration zu erhalten,
muss zunächst der Radius a der Störstellenwellenfunktion über Gl. (6.4)
a= √
~
2m∗ ∆EA
(6.93)
bestimmt werden. Die Akzeptor-Ionisierungsenergie ∆EA wird durch
∆EA ≈ ǫ1 /1.15
(6.94)
abgeschätzt. Der Faktor 1.15 ergibt sich aus der Mittelung aller Werte ǫ1 /∆EA
in Tab. 6.5, die im engen Wertebereich zwischen 1.08 und 1.22 liegen. Für m∗
wurde wieder 1·me angenommen [Sch97]. Die berechneten Werte ∆EA , a und NA
sind in Tab. 6.11 und Tab. 6.12 aufgelistet. Die aus Γ3 abgeschätzten AkzeptorKonzentrationen NA liegen zwischen 1.3 · 1019 cm−3 und 6.7 · 1019 cm−3 . Die Werte stimmen mit den mittleren Akzeptor-Konzentrationen bestimmt durch HallEffekt-Messungen an den Hall-Proben SK55 bzw. SK57 ((3 − 4) · 1019 cm−3 ) gut
überein.
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
159
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Abb. 6.31: Abschätzung der Akzeptorkonzentration aus dem Vorfaktor Γ3 des
Hopping-Widerstands mit Hilfe des in Abschnitt 6.1.1.4 gefundenen Zusammenhangs
(Gl. (6.22)).
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Abb. 6.32: Gegenüberstellung der Netto-Dotierung NA,netto = NA − ND bestimmt
durch CV-Messung an Schottky-Kontakten bzw. abgeschätzt aus den Ergebnissen der
Admittanzspektroskopie-Untersuchungen.
160
Kapitel 6: Diskussion
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1/3
Abb. 6.33: Für K → 0 extrapolierte Aktivierungsenergie ǫ3 als Funktion von NA . Die
Ergebnisse der Admittanzspektroskopie-Untersuchungen sind durch offene Symbole,
die Ergebnisse der Widerstandsmessungen aus Abschnitt 6.1.1 durch gefüllte Symbole
dargestellt. Die durchgezogene Kurve ist eine Simulation (adiabatischer Typ) nach
Nguyen Van Lien et al. [Lie79].
Für die Kontakte 64 von Probe SK55 sowie 44 und 46 von Probe SK57 wurde keine ǫ3 -Leitung gemessen. Folglich kann nur festgestellt werden, dass NA
im Volumen dieser Proben kleiner ist als die kleinste Akzeptor-Konzentration,
bei der Störbandleitung im Admittanzspektrum beobachtet werden konnte (1.3 ·
1019 cm−3 ).
In Abb. 6.32 ist die (mittlere) Netto-Dotierkonzentration im Kristallvolumen
über der aus CV-Messungen bestimmten Netto-Dotierung in der Raumladungszone aufgetragen. Die Volumen-Netto-Dotierkonzentration wurde über
NA,netto = NA − ND = (1 − K) · NA
(6.95)
bestimmt, wobei für den Kompensationsgrad K = 0.3 in Anlehnung an die Ergebnisse der Hall-Effekt-Messungen an den Proben SK55 und SK57 angenommen
wurde. Aus der graphischen Auftragung folgt, dass die Dotierung in der Raumladungszone im Mittel um den Faktor 7.5 kleiner ist als im Volumen. Die Abnahme
ist bei allen untersuchten Kontakten ähnlich. Dies ist auf ein Verarmen der AlQuelle und einen an der Wachstumsfront gleichmäßigen Einbau von Al während
der Züchtung zurückzuführen.
In Abb. 6.33 ist die für K → 0 extrapolierte Hopping-Aktivierungsenergie
1/3
ǫ3 /γ(K) als Funktion von NA aufgetragen. Dabei wurde wiederum K ≈ 0.3
angenommen. Da die Funktion γ(K) zwischen K = 0.2 und K = 0.4 nahezu
konstant ist, ist die Annahme K ≈ 0.3 unkritisch bzgl. Abweichungen von K
um ±0.1. Die offenen Symbole in Abb. 6.33 entsprechen den Ergebnissen der
6.1 Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
161
Admittanzspektroskopie-Untersuchungen. Gefüllte Symbole wurden durch temperaturabhängige Widerstandsmessungen bestimmt (Abschnitt 6.1.1). Die durchgezogene Kurve ist eine Simulation nach Nguyen Van Lien et al. [Lie79].
Obwohl die offenen Symbole streuen, folgen sie qualitativ dem theoretischen
Verlauf und dem Verlauf der durch Widerstandsmessung bestimmten ǫ3 -Werte.
Die Streuung der offenen Symbole ist auf die inhomogene Dotierung und die damit
verbundenen zahlreichen Annahmen bei der Bestimmung von NA zurückzuführen.
Zusammenfassung:
Die Admittanz der untersuchten SiC-Proben wird bei niedrigen Temperaturen durch das Rbulk Cdep -Glied dominiert. Leitwert-Peaks, die der
Hopping-Leitung zugeordnet werden, konnten nur für Proben mit NA ≥
1.3 · 1019 im Volumen beobachtet werden. Die Hopping-Zeitkonstanten
sind bei den relevanten Temperaturen klein gegenüber der Zeitkonstanten τProbe = Rbulk Cdep ; dadurch ergeben sich die scharfen Leitwert-Peaks.
Der Arrhenius-Plot entspricht bis auf eine Konstante dem temperaturabhängigen spezifischen Widerstand9 . Die daraus resultierenden Werte für
die Hopping-Aktivierungsenergie stimmen im Rahmen der Messgenauigkeit mit den Werten der Widerstandsmessungen überein und folgen dem
Trend der Simulation von Nguyen Van Lien et al. [Lie79].
9
In dieser Arbeit wurde nicht zwischen DC- und AC-Hopping-Leitfähigkeit unterschieden,
da eine detaillierte Betrachtung durch die inhomogene Kristalldotierung nicht sinnvoll ist.
162
6.2
Kapitel 6: Diskussion
Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC
MOSFETs
Im Rahmen dieser Arbeit wurden die ersten Hall-Effekt-Untersuchungen im Kanal von 3C-SiC MOSFETs durchgeführt. 3C-SiC bietet in Bezug auf MOSFETBauelemente gegenüber den beiden anderen gebräuchlichen Polytypen 4H-SiC
bzw. 6H-SiC einige Vorteile:
• Es wird eine hohe, isotrope Elektronen-Beweglichkeit im Volumen erwartet
(≈ 1000 cm2 /Vs) [Tac90].
• In der Nähe der Leitungsbandkante kann die Grenzflächenzustandsdichte
Dit auf unter 1011 cm−2 eV−1 gesenkt werden [Cio03]. Die Near-InterfaceTraps liegen aufgrund der kleinen Bandlücke resonant im Leitungsband
von 3C-SiC.
• Durch die kleinere Bandlücke im Vergleich zu 4H- / 6H-SiC werden niedrigere elektrische Felder zum Erreichen der Inversion benötigt.
Auf der anderen Seite scheint die kleinere Bandlücke auch die Durchbruchfeldstärke zu reduzieren [Neu05]. Systematische Untersuchungen hierzu an optimierten Teststrukturen stehen noch aus.
Im Folgenden werden zwei 3C-SiC MOSFET-Typen bzgl. Kanalbeweglichkeit und Grenzflächenzustandsdichte untersucht. Der LDD-MOSFET I11vr ist
der erste 3C-SiC MOSFET, an dem Hall-Effekt-Untersuchungen durchgeführt
werden konnten. Auf der Basis dieser Messergebnisse wurden beim Hersteller
ACREO, Schweden, die Prozessschritte optimiert, insb. wurde der Temperschritt
zum Einlegieren der Source- und Drain-Kontakte weggelassen, da dieser im Verdacht steht, das zu diesem Zeitpunkt bereits gewachsene Oxid zu schädigen. Dies
machte es notwendig ein anderes Kontaktmaterial (Titan/Wolfram) zu verwenden, damit die Kontakte ohmsches Verhalten zeigen und die Kontaktwiderstände
vertretbar sind.
Der VD-MOSFET VD2D3 gehört zur neuesten Generation MOSFETs von
ACREO mit Berücksichtigung der Prozessoptimierungen. Leider hat sich ein
Layout-Fehler bei den Hall-Strukturen eingeschlichen, so dass nur 3-polige
Standard-MOSFETs zur Verfügung standen. Hall-Effekt-Messungen konnten daher am MOSFET VD2D3 nicht durchgeführt werden.
Im Abschnitt 6.2.1 wird die Elektronenbeweglichkeit im Kanal der untersuchten MOSFETs bestimmt und diskutiert. Dabei werden drei verschiedene experimentelle Zugänge verwendet und die entsprechenden Beweglichkeiten (HallBeweglichkeit µH , effektive Beweglichkeit µeff und Feld-Effekt-Beweglichkeit µFE )
miteinander verglichen.
Die Grenzflächenzustandsdichte Dit nahe der Leitungsbandkante wird im Abschnitt 6.2.2 bestimmt. Damit auch für den neuen VD-MOSFET Aussagen getroffen werden können, wird neben der Dit -Bestimmung aus Hall-Effekt-Messungen
6.2 Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs
163
ein Verfahren zur Bestimmung der Dit aus 2-Punkt-Messungen (Verschiebung
der Schwellenspannung UT ) vorgestellt. Für den LDD-MOSFET I11vr werden
die Ergebnisse der Hall-Effekt-Messung und der 2-Punkt-Messung miteinander
verglichen. Aus der ermittelten totalen festen Ladung Qtot = Qox + Qit wird die
Neutralitätsenergie En abgeschätzt (siehe Abschnitt 6.2.2.3).
6.2.1
Elektronenbeweglichkeit im Kanal von 3C-SiC
MOSFETs
6.2.1.1
Vergleich von Hall-Beweglichkeit, effektiver Beweglichkeit
und Feld-Effekt-Beweglichkeit
Die Beweglichkeit der Inversionselektronen im Kanal eines MOSFETs ist ein
wichtiger Parameter für die Charakterisierung des Bauelements. Ein kurzer Überblick über die verschiedenen Definitionen der Beweglichkeit und die vorherrschenden Streumechanismen im Kanal befindet sich im Abschnitt 3.2. Die effektive Beweglichkeit µeff und die Feld-Effekt-Beweglichkeit µFE sind indirekte Messgrößen,
da Annahmen bzgl. Oxid- und Grenzflächenladung gemacht werden müssen. Die
Hall-Beweglichkeit µH ist hingegen eine direkte Messgröße; es werden zu ihrer
Bestimmung keine Annahmen benötigt.
Für den LDD-MOSFET I11vr wurde die Hall-Beweglichkeit µH als Funktion
der Gate-Spannung UG und der Temperatur T bestimmt. Abb. 6.34(a) zeigt den
µH (UG )-Verlauf. Im Vergleich zur Elektronenbeweglichkeit µe = 1000 cm2 /Vs im
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Abb. 6.34: (a) Hall-Beweglichkeit µH (schwarze Symbole) bzw. effektive Beweglichkeit
µeff (weiße Symbole) als Funktion der Gate-Spannung UG gemessen bei T = RT. (b)
Differenzielle Hall-Beweglichkeit µH,diff (schwarze Symbole) bzw. Feldeffektbeweglichkeit µFE (weiße Symbole) als Funktion der Gate-Spannung UG gemessen bei T = RT.
164
Kapitel 6: Diskussion
Volumen eines perfekten“ 3C-SiC Kristalls [Tac90] ist die Hall-Beweglichkeit
”
µH im Kanal klein. Dies ist einerseits zurückzuführen auf die hohe AluminiumDotierung der p-Wanne (NA = 7 · 1016 cm−3 ), andererseits auf die hohe Grenzflächenzustandsdichte Dit , die im nachfolgenden Abschnitt bestimmt wird. Mit
steigender Gate-Spannung UG nimmt die Beweglichkeit aufgrund des zunehmenden Einflusses der Streuung an Oberflächenrauigkeiten und/oder an Phononen
um ca. 30% ab. Beide Streumechanismen weisen eine entsprechende Abhängigkeit
vom elektrischen Feld im Kanal auf [Jeo89] (vgl. Abschnitt 3.2.3). Oberhalb der
experimentell bestimmten Schwellenspannung UT = 13.8 V ist µH konstant und
beträgt
µH (T = RT, UG > UT ) ≈ 75 cm2 /Vs.
Zum Vergleich wurde aus dem linearen Bereich UD ≤ 0.2 V der Ausgangscharakteristik ID − UD die effektive Beweglichkeit µeff bestimmt:
µeff =
∂ID
L/W
.
Cox (UG − UT ) ∂UD
(6.96)
µeff ist bei UG > 23 V ca. 40% niedriger als die Hall-Beweglichkeit µH . Dies ist auf
die indirekte Bestimmung von µeff unter Vernachlässigung der Oxidladung und
der Grenzflächenladung zurückzuführen. Im nachfolgenden Abschnitt 6.2.2 wird
gezeigt, dass die Grenzflächenzustandsdichte Dit in den untersuchten MOSFETs
sehr hoch (> 1013 cm−2 eV−1 ) und nicht vernachlässigbar ist. Der Anstieg von
µeff bei UG & UT ist auf das Berechnungsverfahren von µeff zurückzuführen. Für
UG = UT hat µeff eine Polstelle. Daher ist die größte Fehlerquelle von µeff die
experimentell schwierige Bestimmung der exakten Schwellenspannung UT beim
Vorhandensein hoher Oxid- bzw. Grenzflächenladungsdichte [Sak03].
In Abb. 6.34(b) wird die Hall-Beweglichkeit mit der Feldeffektbeweglichkeit
µFE verglichen.
µFE =
L/W ∂ID
L/W
=
gm
Cox UD ∂UG
Cox UD
(6.97)
Dabei ist gm = ∂ID /∂UG die Transkonduktanz. Die Schwierigkeit der Bestimmung von UT wird bei der Berechnung von µFE umgangen, da UT nicht in die
Berechnung von µFE einfließt. Die Feldeffektbeweglichkeit ist eine differenzielle
Beweglichkeit (siehe Abschnitt 3.2.2). Um µFE mit der Hall-Beweglichkeit vergleichen zu können, muss Letztere in die differenzielle Hall-Beweglichkeit umgerechnet werden, d. h. in die Beweglichkeit der Inversionselektronen δninv (UG ),
die bei Erhöhung der Gate-Spannung UG um δUG hinzukommen. Es gilt nach
Abschnitt 3.2.2:
µH,diff (UG ) =
µH (UG + δUG )ninv (UG + δUG ) − µH (UG )ninv (UG )
.
ninv (UG + δUG ) − ninv (UG )
(6.98)
6.2 Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs
165
Aus dem gleichen Grund wie bei µeff liegt µFE deutlich unterhalb von µH,diff .
Je höher die Gate-Spannung ist, desto weniger spielt die Grenzfläche eine Rolle für die Beweglichkeit, da sich die Inversionsschicht senkrecht zur Oberfläche
ausdehnt. Daher wird erwartet, dass für hohe Gate-Spannungen UG gilt: µFE ≈
µH,diff . Ein Anstieg von µFE wird zwar beobachtet (Abb. 6.34(b)), jedoch ist die
totale feste Ladung Qtot /e so groß, dass im Messbereich stets µH,diff > µFE ist.
6.2.1.2
Temperaturabhängigkeit der Elektronenbeweglichkeit im Inversionskanal
In Abb. 6.35(a) bzw. (b) sind die Beweglichkeiten µH , µeff bzw. µH,diff , µFE
als Funktion der Temperatur T aufgetragen. µFE wurde jeweils aus den maximalen Werten der Transkonduktanz gm,max bestimmt. Da beim LDD-MOSFET
I11vr das Maximum der Transkonduktanz gm außerhalb des zugänglichen GateSpannungs-Bereichs UG,max = 30 V liegt, wurden die größten Werte genommen,
die bei der höchsten angelegten Gate-Spannung gemessen wurden. Das gleiche
Auswahlkriterium wurde für µH sowie für µeff angewendet.
Die Beweglichkeiten µH , µeff , µH,diff sowie µFE gemessen an LDD-MOSFET
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Abb. 6.35: (a) Hall-Beweglichkeit µH von I11vr (weiße Quadrate) und effektive Beweglichkeit µeff von I11vr (weiße Dreiecke) bzw. von VD2D3 (schwarze Dreiecke) als Funktion der Temperatur T . (b) Differenzielle Hall-Beweglichkeit µH,diff von I11vr (weiße
Quadrate) und Feldeffektbeweglichkeit µeff von I11vr (weiße Dreiecke) bzw. von VD2D3
(schwarze Dreiecke) als Funktion der Temperatur T .
166
Kapitel 6: Diskussion
I11vr erfahren übereinstimmend mit sinkender Temperatur eine Reduktion. Diese Reduktion ist auf Coulomb-Streuung an ionisierten Störstellen zurückzuführen
[Lau04, Jeo89] (vgl. Abschnitt 3.2.3). Mit sinkender Temperatur wird die Streuwahrscheinlichkeit durch die niedrigere thermische Geschwindigkeit erhöht.
Die Kanalbeweglichkeiten µeff bzw. µFE des neueren VD-MOSFETs VD2D3
sind als schwarze Dreiecke in Abb. 6.35(a) bzw. (b) eingezeichnet. Die effektive
Beweglichkeit µeff ist bis auf die Abweichung bei T = 400 K vergleichbar mit
µeff von LDD-MOSFET I11vr (weiße Dreiecke). Die Reduktion der Beweglichkeit durch die ca. 4-fach höhere Aluminium-Dotierung von VD2D3 im Vergleich
zu I11vr wird offensichtlich kompensiert durch eine niedrigere Grenzflächenzustandsdichte Dit (siehe nächster Abschnitt). Die Feldeffekt-Beweglichkeit µFE von
MOSFET VD2D3 ist höher als µFE von MOSFET I11vr. Dies ist wahrscheinlich
ein Messartefakt. Da das Maximum der Transkonduktanz und damit der Feldeffektbeweglichkeit von I11vr außerhalb des zugänglichen Gate-Spannungs-Bereichs
liegt, wird µFE von I11vr als zu klein eingestuft.
Das Maximum der Hall-Beweglichkeit des LDD-MOSFETs wird bei
T = 325 K mit µH = 75 cm2 /Vs erreicht; bei Raumtemperatur ist
µH = 71 cm2 /Vs. Die Reduktion der Beweglichkeit bei niedrigen Temperaturen ist auf Coulomb-Streuung an geladenen Störstellen und Grenzflächenzuständen zurückzuführen. Die Beweglichkeiten µeff und µFE unterschätzen die Hall-Beweglichkeit um bis zu 40%. Die untersuchten VDund LDD-MOSFETs haben vergleichbare effektive Beweglichkeiten.
6.2.2
Grenzflächenzustandsdichte in 3C-SiC MOSFETs
6.2.2.1
Bestimmung der Grenzflächenzustandsdichte aus Hall-EffektMessungen
Abb. 6.36 zeigt die durch Hall-Effekt-Messung ermittelte Elektronen-Flächendichte ninv im Kanal des MOSFETs I11vr für 3 ausgewählte Messtemperaturen T = 200 K, T = RT und T = 400 K. Das Verfahren zur Berechnung der
Grenzflächenzustandsdichte Dit ist detailliert in Abschnitt 3.3.4 beschrieben. Aus
den experimentellen Elektronen-Flächendichten ninv wird zunächst numerisch das
Oberflächenpotential ΦS mit Hilfe des Charge-Sheet-Modells [Arn99] ermittelt.
Aus
UG,ideal (ΦS ) = φM − χ −
Egap
Qsc (ΦS )
+ ΦS −
2e
Cox
(6.99)
wird die Gate-Spannung UG,ideal ermittelt, bei der unter Vernachlässigung von
Oxid- und Grenzflächenladungen die gleiche Elektronen-Flächendichte ninv wie
6.2 Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs
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Abb. 6.36: Elektronen-Flächendichte ninv im Kanal als Funktion der Gate-Spannung UG
gemessen bei 3 verschiedenen Temperaturen T = 200 K (Kreise), T = RT (Dreiecke)
und T = 400 K (Quadrate). Die durchgezogene bzw. gestrichelte Kurve ist die simulierte
Elektronen-Flächendichte unter Vernachlässigung von Oxid- und Grenzflächenladungen
für T = 400 K bzw. T = 200 K. Die Länge der gepunkteten horizontalen Linie ist
UG,ideal − UG ; dieser Wert ist proportional zur totalen festen Ladung Qtot .
im Experiment erreicht wird. Aus UG,ideal − UG (gepunktete horizontale Linie in
Abb. 6.36) folgt
Qtot (ΦS ) = Qit (ΦS ) + Qox = Cox (UG,ideal − UG ).
(6.100)
Das Oberflächenpotential ΦS wird mit
E − EV = eΦS + Ei
(6.101)
in die Energieposition E − EV in der Bandlücke bzgl. des Valenzbands umge(a) Q als Funktion
(b)
rechnet. Abb. 6.37(a) zeigt
von E − EV für die 3 ausgewählten
tot
Messtemperaturen. Die berechneten Werte für E − EV sind offensichtlich etwas
zu hoch, da die Energie der Bandlücke Egap ≈ 2.4 eV leicht überschritten wird.
Die totale feste Ladung Qtot setzt sich additiv aus den festen Oxidladungen Qox sowie der Grenzflächenladung Qit zusammen. Die Ladung im Oxid wird
üblicherweise als von der angelegten Gate-Spannung UG unabhängig betrachtet [Nic82]. Daher ist die Energie-Abhängigkeit von Qtot auf die Grenzflächenzustände zurückzuführen. Die Grenzflächenzustandsdichte wird wie folgt berechnet:
1 ∂Qtot
Dit = −
.
(6.102)
e ∂E
In Abb. 6.37(b) ist Dit als Funktion der Energie E − EV in der Bandlücke aufgetragen. Im Rahmen der Messgenauigkeit ist die Grenzflächenzustandsdichte
168
14
0/
Kapitel 6: Diskussion
1
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Abb. 6.37: (a) Totale feste Ladung Qtot = Qox + Qit als Funktion der Energie E − EV
in der Bandlücke gemessen für 3 verschiedene Temperaturen. Die Steigung von Qtot (E)
liefert die Grenzflächenzustandsdichte Dit (E) in (b). Die Gerade wurde an die Werte
für T = RT angepasst.
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Abb. 6.38: (a) Gemessene Elektronen-Flächendichte ninv im Kanal von LDD-MOSFET
I11vr aufgenommen bei T = RT. Die durchgezogene Kurve wurde mit Hilfe des ChargeSheet-Models unter Berücksichtigung der Grenzflächenzustandsdichteverteilung Dit (E)
und der Oxidladungen“ Q∗ox . (b) Gerechnetes Oberflächenpotential ΦS als Funktion
”
der Gate-Spannung für den Idealfall ohne Oxid- und Grenzflächenladungen (gestrichelte Kurve) und unter Berücksichtigung von Q∗ox und Dit (durchgezogene Kurve). Der
Betrag des Fermi-Potentials |ΦB | im Halbleiter-Volumen ist gepunktet eingezeichnet.
Durch die Position des Schnittpunkts von ΦS und ΦB ist die Schwellenspannung UT
definiert.
6.2 Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs
169
unabhängig von der Temperatur. Nahe der Leitungsbandkante wird eine Grenzflächenzustandsdichte von ca.
Dit (E ≈ EC ) ≈ (3 − 4) · 1013 cm−2 eV−1
erreicht. Zwischen E − EV = (2240 − 2420) meV steigt Dit exponentiell an gemäß
E − EV
−1
7
−2
Dit (E) = 5.43 · 10 cm eV · exp
(6.103)
.
179 meV
Unter der Annahme, dass diese Beziehung für die gesamte Dit -Verteilung in der
Bandlücke gilt und alle Grenzflächenzustände akzeptorartig sind, folgt eine vom
Oberflächenpotential unabhängige (Oxid-)Ladung
Q∗ox = 3.2 · 1012 cm−2 .
Obige Annahmen sind starke Vereinfachungen; die Grenzflächenzustandsdichte
Dit in der Bandlückenmitte und der unteren Bandlückenhälfte wird dabei unterschätzt. Daher enthält der experimentell bestimmte Wert für Q∗ox einen Teil
der Grenzflächenladung Qit ; es gilt Q∗ox ≫ Qox , wobei Qox die reale feste Oxidladung ist. Eine Abschätzung für Qox wird im Abschnitt 6.2.2.3 diskutiert. Für
die Diskussion der experimentell bestimmten Inversionsladungsdichte ninv ist die
Dit -Verteilung für E − EV < 2.15 eV nicht relevant, da das Oberflächenpotential
stets darüber liegt. Mit den oben bestimmten Werten für Dit (E) und Q∗ox kann die
Inversionsladungsdichte ninv mittels Charge-Sheet-Modell simuliert werden. Das
Ergebnis der Simulation und die Messpunkte für T = RT sind in Abb. 6.38(a)
dargestellt. Die Messpunkte werden durch die Simulation sehr gut wiedergegeben.
Abb. 6.38(b) zeigt das simulierte Oberflächenpotential ΦS als Funktion der
Gate-Spannung UG für den idealen Fall ohne feste Ladungen (gestrichelte Kurve)
und unter Berücksichtigung der oben angegebenen Parameter Q∗ox und Dit (E)
(durchgezogene Kurve). Bedingt durch die hohe Ladungsdichte Qtot wird der
sprunghafte Anstieg von ΦS (gestrichelte Kurve) mit steigender Gate-Spannung
UG bei der idealen Schwellenspannung UT,ideal verschmiert“(durchgezogene Kur”
ve). Die Bedingung für die Schwellenspannung UT ist
ΦS = −ΦB ,
(6.104)
UT schiebt von UT,ideal = 3.08 V zu niedrigeren Gate-Spannungen: UT,sim =
0.41 V. Dies erfolgt aufgrund der großen positiven Gesamtladung Qtot bei kleinen Gate-Spannungen UG < 4 V. Experimentell wurde aus der Extrapolation des
linearen Anstiegs der Transferkennlinie eine Schwellenspannung UT,exp = 13.8 V
ermittelt, die sehr viel größer ist als der berechnete Wert. Das experimentelle
Verfahren zur Bestimmung von UT berücksichtigt hauptsächlich Messpunkte bei
großer Gate-Spannung UG > 20 V ( linearer“ Bereich). Für diese hohen Gate”
Spannungen ist Qtot < 0 (vgl. Abb. 6.37(a)), so dass die ermittelte ThresholdSpannung größer als UT,ideal wird.
170
6.2.2.2
Kapitel 6: Diskussion
Bestimmung der Grenzflächenzustandsdichte aus der Verschiebung der Schwellenspannung
In diesem Abschnitt wird ein Verfahren zur Bestimmung der Grenzflächenzustandsdichte aus der Verschiebung der Schwellenspannung vorgestellt. Das
Verfahren hat den Vorteil, dass keine speziellen MOSFET-Strukturen für die
Durchführung von Hall-Effekt-Messungen benötigt werden. Die Grenzen dieses
Verfahrens werden durch Vergleich der Ergebnisse für LDD-MOSFET I11vr mit
den entsprechenden Ergebnissen der Hall-Effekt-Messungen diskutiert.
Die Gate-Spannung UG an einem MOSFET setzt sich aus unterschiedlichen
Anteilen zusammen und ist gegeben durch Gl. (3.33)
UG (ΦS ) = UFB + ΦS − ΦB −
Qsc (ΦS ) + Qtot (ΦS )
.
Cox
(6.105)
Dabei ist UFB die Flachbandspannung, ΦS bzw. ΦB sind das Fermi-Potential an
der Oberfläche bzw. im Volumen und Qsc bzw. Qtot die Ladung im Halbleiter
bzw. die totale feste Ladung im Oxid und an der Grenzfläche. Das Einsetzen der
starken Inversion ist definiert durch die Bedingung
ΦS = −ΦB .
(6.106)
Damit ist die Schwellenspannung UT gegeben durch
UT = UG (ΦS = −ΦB ) = UFB − 2ΦB −
Qsc + Qtot
.
Cox
(6.107)
Analog zum obigen Verfahren zur Bestimmung von Qtot aus den Hall-EffektMessdaten kann aus der Differenz der idealen Schwellenspannung
UT,ideal = UFB − 2ΦB −
Qsc
Cox
(6.108)
und der experimentell bestimmten Schwellenspannung UT,exp die totale feste Ladung
Qtot = Cox (UT,ideal − UT,exp )
(6.109)
bestimmt werden. Weiter gilt E − EV = ΦS + Ei . Eine ausführliche Beschreibung
des Verfahrens ist in [Lau04] zu finden.
In Abb. 6.39(a) ist das für MOSFET I11vr simulierte Oberflächenpotential ΦS
an der Inversionsschwelle als Funktion der Temperatur T dargestellt (durchgezogene Kurve). Temperaturen, bei denen Messungen durchgeführt wurden, sind
durch schwarze Kreise gekennzeichnet. Der Bereich des Maximums von ΦS (T ) ist
sehr empfindlich auf die Kompensation des Halbleiters. Als Beispiel wurde die
Kompensation um 40% erhöht (gepunktete Kurve). Ist die Kompensation nicht
mit der notwendigen Genauigkeit bekannt, so führt dies zu einem Fehler in ΦS
6.2 Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs
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Abb. 6.39: (a) Oberflächenpotential ΦS als Funktion der Temperatur T am Übergang
zur starken Inversion mit ΦS = −ΦB (durchgezogene Kurve). Die gepunktete Kurve
wurde mit 40% höherer Kompensation gerechnet. Temperaturen, bei denen Messungen durchgeführt wurden, sind durch schwarze Kreise gekennzeichnet. (b) Totale feste
Ladung Qtot als Funktion der Energie E − EV ermittelt aus Hall-Effekt-Messungen
(schwarze Punkte) bzw. aus der Verschiebung der Schwellenspannung UT .
Tab. 6.13: Gemessene bzw. ideale Schwellenspannung UT,exp bzw. UT,ideal , totale feste Ladung Qtot und Oberflächenpotential ΦS = −ΦB an der Inversionsschwelle in
Abhängigkeit der Messtemperatur T für LDD-MOSFET I11vr.
T (K)
200
UT,exp (V)
16.7
UT,ideal (V)
3.13
250
14.1
3.12
295
12.3
3.08
325
11.1
3.06
400
8.2
2.97
Qtot /e (cm−2 )
ΦS (V)
12
1.02
12
1.01
−4.8 · 10
−3.9 · 10
−3.3 · 1012
−2.8 · 1012
12
−1.8 · 10
0.996
0.983
0.946
und letztlich in der Grenzflächenzustandsdichte Dit . Daher wird für die Auswertung der Messergebnisse von LDD-MOSFET I11vr der Messpunkt bei T = 200 K
nicht berücksichtigt.
Abb. 6.39(b) zeigt die totale feste Ladung Qtot als Funktion der Energie E−EV
ermittelt aus der Verschiebung der Schwellenspannung UT (offene Quadrate). Die
entsprechenden Werte sind in Tab. 6.13 aufgelistet. Zum Vergleich sind nochmals
die Ergebnisse der Hall-Effekt-Messungen in Abb. 6.39(b) eingezeichnet (schwar-
172
Kapitel 6: Diskussion
Tab. 6.14: Gemessene bzw. ideale Schwellenspannung UT,exp bzw. UT,ideal , totale feste Ladung Qtot und Oberflächenpotential ΦS = −ΦB an der Inversionsschwelle in
Abhängigkeit der Messtemperatur T für VD-MOSFET VD2D3.
T (K)
UT,exp (V)
UT,ideal (V)
Qtot /e (cm−2 )
ΦS (V)
150
3.65
5.75
1.03
200
3.61
5.77
8.12 · 1011
250
3.17
5.75
296
2.65
5.71
350
2.01
5.65
400
1.29
5.59
8.33 · 1011
1.03
11
1.03
12
1.02
1.41 · 1012
1.00
9.97 · 10
1.18 · 10
1.66 · 1012
0.98
ze Punkte). Die aus der Schwellenspannung ermittelten Messpunkte liegen bei
ca. 200 meV kleineren Energien. Dies ist darauf zurückzuführen, dass für die
Schwellenspannung UT,exp wegen des runden“ Anstiegs der Transferkennlinie
”
(Abb. 5.19) zu hohe Werte ermittelt werden. Die zur Extrapolation verwendete
Gerade wird an die Messwerte angepasst, die bei über 20 V aufgenommen wurden.
Bei diesen Spannungen ist das Oberflächenpotential ΦS + Ei > 2.3 eV, und die
totale feste Ladung Qtot ist negativ (vgl. Hall-Effekt-Ergebnisse in Abb. 6.39(b)).
Aus Qtot < 0 folgt eine Verschiebung von UT,exp zu höheren Spannungen. In
Wirklichkeit wird die Inversionsbedingung ΦS = −ΦB jedoch bei einer kleineren
Spannung erreicht (vgl. Abb. 6.38(b)). Aus der Steigung von Qtot (E) kann trotzdem korrekt die Grenzflächenzustandsdichte Dit bestimmt werden. Die absolute
Energieposition ist jedoch mit einem i. d. R. unbekannten Fehler behaftet. Aus
den Messergebnissen von LDD-MOSFET I11vr erhält man in Übereinstimmung
mit den Ergebnissen der Hall-Effekt-Messungen
Dit (E ≈ EC ) = 3.7 · 1013 cm−2 eV−1 .
Analog wird die totale feste Ladung Qtot als Funktion der Energie E −EV von
VD-MOSFET VD2D3 ausgewertet. Die gemessenen Schwellenspannungen UT,exp
sowie die berechneten Werte UT,ideal in Abhängigkeit der Temperatur T sind in
Tab. 6.14 aufgeführt. Abb. 6.40 zeigt die totale feste Ladung Qtot als Funktion
der Energie E −EV sowohl für VD-MOSFET VD2D3 als auch für LDD-MOSFET
I11vr. Qtot ist für MOSFET VD2D3 positiv, während am MOSFET I11vr eine
negative Gesamtladung bestimmt wird. Aus der Steigung von Qtot (E) erhält man
für VD2D3
Dit (E ≈ EC ) = 1.7 · 1013 cm−2 eV−1 .
6.2 Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs
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Abb. 6.40: Totale feste Ladung Qtot als Funktion der Energie E−EV für LDD-MOSFET
I11vr (offene Quadrate) bzw. VD-MOSFET VD2D3 (graue Kreise). Die Geraden sind
lineare Anpassungen an die jeweiligen Messpunkte.
Die Grenzflächenzustandsdichte konnte folglich durch die geänderte Prozessierung bei MOSFET VD2D3 im Vergleich zu MOSFET I11vr um den Faktor 2
bis 3 gesenkt werden. Dennoch ist die Grenzflächenzustandsdichte in der Nähe
der Leitungsbandkante, bestimmt in der Inversionsschicht eines p-Typ 3C-SiC
MOSFETs, für 3C-SiC zu hoch. F. Ciobanu et al. [Cio03] haben gezeigt, dass die
korrespondierenden Dit -Werte, bestimmt an n-Typ 3C-SiC MOS-Kondensatoren,
ca. 2 Größenordnungen niedriger sein können. Der Grund für diese Abweichung
kann in der unterschiedlichen Prozessierung liegen. Auch ist nicht klar, ob für
die Oxidation von p-Typ 3C-SiC die gleichen Parameter wie für n-Typ 3C-SiC
verwendet werden dürfen. Zudem ist die Kristallqualität von p-Typ 3C-SiC möglicherweise schlechter als von n-Typ SiC.
6.2.2.3
Abschätzung der Neutralitätsenergie
In Siliziumkarbid setzt sich die Grenzflächenzustandsdichte Dit im Wesentlichen
aus drei verschiedenen Defekttypen zusammen: Dangling-bond-Zentren, Carbon
clusters und Near interface traps (NIT) (Abb. 6.41) [Pen05]. Den größten Beitrag
zur Dit über die ganze Bandlücke von SiC liefern die Carbon cluster. NITs liegen
energetisch in einem engen Intervall um 2.8 eV unterhalb der Leitungsbandkante
von SiO2 [Afa97a]. Die große Zustandsdichte der NITs ist verantwortlich für die
Reduktion der Kanalbeweglichkeit in 4H-SiC MOSFETs. Aufgrund des kleineren
Bandgaps von 3C-SiC und der Tatsache, dass die Valenzbandkanten aller SiCPolytypen bei der gleichen Energie liegen, spielen NITs in 3C-SiC keine Rolle
[Afa97b], da die Zustände resonant im Leitungsband liegen (Abb. 6.41). Die Ver-
Kapitel 6: Diskussion
1 0
1 4
1 0
1 3
1 0
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C
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C
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3 C
Abb. 6.41: Schematische Darstellung der Grenzflächenzustandsdichte Dit als Funktion
der Energie E − EV für die Polytypen 3C-SiC, 4H-SiC und 6H-SiC.
(a)
Dit
+
0
0
E
EC
(b)
En
EF
Ev
Dit
-
0
0
E
EC
EF
akzeptorartige
Grenzflächenzustände
En
Ev
donatorartige
Grenzflächenzustände
Abb. 6.42: Schematische Darstellung der Grenzflächenzustandsdichte als Funktion der
Energie für den Fall EF < En (a) bzw. EF > En (b). Die gesamte Grenzflächenladung
Qit ergibt sich aus der Summe aller geladenen Grenzflächenzustände.
6.2 Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs
175
teilung der Grenzflächenzustandsdichte variiert je nach Oberflächenpräparation
und Oxidationsverfahren. Unter ungünstigen Bedingungen kann die Zustandsdichte auch in 3C-SiC in der Nähe der Leitungsbandkante exponentiell anwachsen. Dies wurde beim LDD-MOSFET I11vr beobachtet (Abb. 6.37(b)).
Grenzflächenzustände liegen bei gegebener Energie in der Bandlücke nicht
gleichzeitig als donator- und akzeptorartige Zustände vor [Bas00]. Es kann gezeigt werden, dass eine Neutralitätsenergie En existiert, die donatorartige von
akzeptorartigen Zuständen trennt. Zustände mit E > En sind akzeptorartig;
Zustände mit E < En sind donatorartig (vgl. Abb. 6.42). En kann abhängig von
der Qualität der Grenzfläche und des Oxids variieren [Afa05, Lee05]. Abhängig
von der Lage des Fermi-Niveaus EF an der Grenzfläche bzgl. En ist die gesamte
Grenzflächenladung Qit positiv (EF < En , Abb. 6.42(a)) bzw. negativ (EF > En ,
Abb. 6.42(b)). Qit kann berechnet werden über
Qit (ΦS ) = e
Z
En
EF
Dit (E)dE = Qtot (EF ) − Qox .
(6.110)
Neben den zumindest in einem Energiefenster experimentell zugänglichen Werten
Dit (E) und Qtot (E) enthält die (rechte) Gleichung zwei Unbekannte: En und Qox .
Mit den durchgeführten Experimenten können En und Qox nicht unabhängig voneinander bestimmt werden. Für verschwindende Oxidladung Qox ≈ 0 kann En aus
der Nullstelle von Qtot (En ) = Qit (En ) bestimmt werden. Für den LDD-MOSFET
I11vr wurde diese Nullstelle im zugänglichen Energiebereich E = (2.25 − 2.45) eV
experimentell beobachtet.
En ≈ 2.28 eV
(Annahme: Qox ≈ 0).
Um die Abhängigkeit von En bzgl. Qox bei der Auswertung von Qtot (E) zu untersuchen, werden — ausgehend von der an MOSFET I11vr bestimmten Grenzflächenzustandsdichte Dit (E) für E & 2.2 eV Gl. (6.103) — zwei extreme Modelle
für den Dit -Verlauf in der Bandlücke unterhalb des experimentell zugänglichen
Bereichs E < 2.2 eV analysiert (Abb. 6.43(a)):
• Dit -Modell 1: die Zustandsdichte fällt mit der gleichen Steigung (in der logarithmischen Darstellung) exponentiell zur Valenzbandkante hin ab, d. h.
Gl. (6.103) gilt in der gesamten Bandlücke. Der Verlauf Dit (E) ist in
Abb. 6.43(a) gestrichelt eingezeichnet.
• Dit -Modell 2: die Zustandsdichte bleibt für E < 2.2 eV konstant auf dem
Wert Dit (E = 2.2 eV) ≈ 1.2 · 1013 cm−2 eV−1 (siehe Abb. 6.43(a), durchgezogene Kurve).
176
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Abb. 6.43: (a) Grenzflächenzustandsdichte Dit als Funktion der Energie in der
Bandlücke für Dit -Modell 1 (gestrichelte Kurve) bzw. 2 (durchgezogene Kurve). (b)
Zusammenhang zwischen Neutralitätsenergie En und Oxidladung Qox bei der Bestimmung aus dem gemessenen Qtot (E)-Verlauf von LDD-MOSFET I11vr.
Modell 2 ist wesentlich realistischer als Modell 1 (vgl. Schemazeichnung für
3C-SiC, Abb. 6.41). Die reale Grenzflächenzustandsdichte Dit wird in Modell 2
wahrscheinlich deutlich überschätzt, so dass Modell 2 bzw. Modell 1 einen oberen
bzw. unteren Grenzfall darstellen.
Durch Einsetzen der beiden Modelle in Gl. (6.110) kann der Zusammenhang
zwischen En und Qox bestimmt werden. Die Lösungen sind in Abb. 6.43(b)
dargestellt; Modell 1: gestrichelte Kurve, Modell 2: durchgezogene Kurve. Für
eine angenommene Oxidladung |Qox |/e < 1012 cm−2 kann En = 2.28 eV mit
einer Genauigkeit von ±100 meV angegeben werden. In diesem Bereich liefern beide Dit -Modelle identische Ergebnisse. Für große positive Oxidladungen
Qox /e > 1012 cm−2 liegt die reale Neutralitätsenergie abhängig von der Dit für
E < 2.2 eV weiter in der Bandlücke. Aus Modell 1 folgt mit En = 1.2 eV in
der Bandlückenmitte, dass ca. 3.2 · 1012 cm−2 positive Oxidladungen vorhanden
sind; für Modell 2 folgt Qox ≈ 1.3 · 1013 cm−2 . Wird eine negative Oxidladung
Qox < −3 · 1012 cm−2 vorausgesetzt, so bedeutet dies, dass En im Leitungsband
liegt. In den meisten Fällen besitzen 3C-SiC MOS-Strukturen jedoch eine große
positive Oxidladung [Lee05], so dass
En . 2.28 eV.
6.2 Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs
Zusammenfassung:
Für LDD-MOSFET I11vr wurde die Grenzflächenzustandsdichte Dit nahe der Leitungsbandkante sowohl aus Hall-Effekt-Untersuchungen als
auch aus der Verschiebung der Schwellenspannung bestimmt. Die Grenzflächenzustandsdichte steigt zur Leitungsbandkante hin exponentiell an
und erreicht Werte bis Dit = (3 − 4) · 1013 cm−2 eV−1 . Aus dem Verlauf
der totalen festen Ladung Qtot als Funktion der Energie E − EV wurde
die Neutralitätsenergie mit En . 2.28 eV abgeschätzt. Der VD-MOSFET
VD2D3 weist eine um das (2 − 3)-fache reduzierte Grenzflächenzustandsdichte auf.
177
Kapitel 7
Zusammenfassung
In dieser Arbeit wurde der elektronische Transport in p-Typ Siliziumkarbid (SiC)
für zwei spezielle Fälle untersucht:
• Störbandleitung bei tiefen Temperaturen;
• Elektronische Leitung an der 3C-SiC/SiO2 -Grenzfläche.
Die vorliegende Arbeit ist die erste systematische Untersuchung der thermisch aktivierten Störbandleitung in p-Typ SiC. Die Störbandleitung wurde in Abhängigkeit der Dotierkonzentration an in-situ Aluminium-dotierten 6H-SiC Kristallen und an Aluminium-implantierten 4H-SiC Epitaxieschichten untersucht. Die
Proben wurden mittels temperaturabhängiger Widerstandsmessung, Hall-EffektMessung und Admittanzspektroskopie untersucht.
Zur Untersuchung der elektronischen Leitung an der SiC/SiO2 -Grenzfläche
wurden Metall-Oxid-Halbleiter-Feldeffekttransistoren (MOSFET) aus kubischem
Siliziumkarbid (3C-SiC) verwendet. Die Transistoren wurden bei der Firma
ACREO, Schweden, hergestellt und im Rahmen dieser Arbeit analysiert. Neben
der Aufnahme von Standard-Kennlinienfeldern wurden erstmals 3C-SiC MOSFETs mittels Hall-Effekt-Messung im Kanal untersucht. Mit dieser Messmethode können direkt und unabhängig voneinander die Flächendichte ninv der Inversionselektronen sowie deren Hall-Beweglichkeit µH bestimmt werden. Aus diesen direkten Messergebnissen kann die Grenzflächenzustandsdichte Dit an der
Halbleiter/Oxid-Grenzfläche abgeleitet werden. Die Erkenntnisse liefern technologisch wichtige Informationen für die Optimierung der Prozesse.
Die Widerstands- und Hall-Effekt-Messungen bezüglich beider Themenblöcke
erfordern eine sehr empfindliche Strom- und Spannungsmessung. Daher wurde im
Rahmen dieser Arbeit eine Hall-Effekt-Apparatur konzipiert und aufgebaut, mit
der Ströme zwischen (10−13 − 0.1) A und Spannungen zwischen (10−5 − 200) V
eingestellt und gemessen werden können.
Im Einzelnen wurden folgende wissenschaftliche Ergebnisse erzielt:
179
180
Kapitel 7: Zusammenfassung
Störbandleitung in Al-dotiertem p-Typ SiC
• In p-Typ SiC ist thermisch aktivierte Störbandleitung bereits für T . 200 K
relevant.
• Der Temperaturverlauf des spezifischen Widerstands der untersuchten Proben kann in drei Bereiche mit unterschiedlichen Leitungsmechanismen unterteilt werden: Valenzbandleitung, Nearest-Neighbor-Hopping und Variable Range-Hopping.
• Im Nearest-Neighbor-Hopping-Regime wird der spezifische Widerstand von
p-Typ SiC beschrieben durch das Perkolationsmodell von Efros et al. [Efr72]
ǫ3
ρ(T ) = Γ3 T exp
kB T
mit
Γ3 =
Γ03
exp
1.73
1/3
NA a
!
.
Der lineare Temperaturfaktor T vor dem Exponentialterm darf in SiC nicht
wie für die meisten Halbleiter vernachlässigt werden.
• Die Aktivierungsenergien ǫ3 liegen abhängig von der Dotierkonzentration
NA zwischen 12.7 meV und 27 meV. Innerhalb der klassischen Näherung
1/3
ist ǫ3 ∼ NA vergleichbar mit den Simulationsergebnissen von Nguyen van
Lien et al. [Lie79]. Die klassische Näherung ist in p-Typ SiC gültig für
NA < Nm ≈ 3 · 1019 cm−3 .
• Variable Range Hopping wurde abhängig von der Dotierkonzentration bei
tiefen Temperaturen T < (28 − 70) K gefunden. Sowohl das Mott’sche Gesetz als auch das Modell von Efros et al., das die Existenz des Coulomb-Gaps
berücksichtigt, beschreiben die Messpunkte im Rahmen der Messgenauigkeit.
• Es wurde ein Verfahren entwickelt zur Abschätzung der Übergangstemperatur von Nearest Neighbor Hopping zu Variable Range Hopping.
• Hall-Effekt-Untersuchungen bei tiefen Temperaturen liefern eine Vorzeichenanomalie: die Hall-Konstante des Störband-Hall-Effekts ist negativ.
• Die Hall-Konstante wird über den gesamten zugänglichen Temperaturbereich durch das Zwei-Band-Modell für Valenzbandleitung und Störbandleitung korrekt dargestellt. Für NA > Nm muss im Rahmen eines Drei-BandModells auch die elektronische Leitung im oberen Hubbard-Band berücksichtigt werden (Aktivierungsenergie ǫ2 ).
181
• Es wurde ein Modell zur Erklärung der Hopping-Peaks in Admittanzspektren bei tiefen Temperaturen entwickelt und diskutiert. Der Arrhenius-Plot
T −1 7→ ln(τ ) der Leitwert-Maxima entspricht dem Temperaturverlauf des
spezifischen Widerstands T −1 7→ ln(ρ). Der Vergleich der Aktivierungsenergien ǫ3 , bestimmt aus Admittanzmessungen bzw. aus Widerstandsmessungen, bestätigt das Modell.
Elektronische Eigenschaften von 3C-SiC MOSFETs
LDD-MOSFET:
• Das Gate-Oxid des LDD-MOSFETs widerstand elektrischen Feldern bis
über 5 MV/cm. Aus der Transferkennlinie wurde die Schwellenspannung
bei Raumtemperatur bestimmt: UT = 13.8 V.
• Die Hall-Beweglichkeit ist bei Raumtemperatur µH ≈ 71 cm2 /Vs; der Maximalwert bei T ≈ 325 K ist µH,max = 75 cm2 /Vs.
• Die Beweglichkeit der Inversionselektronen wird sowohl durch die effektive Beweglichkeit µeff als auch durch die Feld-Effekt-Beweglichkeit µFE um
ca. 40% unterschätzt. Grund ist die Vernachlässigung von Oxidladung und
Grenzflächenladung.
• Die Grenzflächenzustandsdichte in der Nähe der Leitungsbandkante wurde 1. durch Hall-Effekt-Messung und 2. aus der Verschiebung der Schwellenspannung UT bestimmt. Beide Verfahren liefern Dit ≈ (3 − 4) ·
1013 cm−2 eV−1 . Es wurde gezeigt, dass durch die zweite Methode die energetische Lage der Grenzflächenzustände in der Bandlücke verfahrensbedingt
um 200 meV zu niedrig bestimmt wird.
• Aus der Abhängigkeit der totalen festen Ladung Qtot (ΦS ) vom Oberflächenpotential ΦS wurde die Neutralitätsenergie En . 2.28 eV abgeschätzt und
der Zusammenhang mit der unbekannten Oxidladung diskutiert.
VD-MOSFET:
• Die Schwellenspannung für T = RT des weiterentwickelten VD-MOSFETs
wurde im Vergleich zum LDD-MOSFET auf UT = 2.7 V reduziert.
• Die Sperrcharakteristik der pn-Übergänge zwischen Source bzw. Drain und
der p-Wanne wurde verbessert. Im untersuchten Drain-Spannungsbereich
UD ≤ 10 V wurden keine Leckströme gemessen.
• Die effektive Beweglichkeit µeff ist vergleichbar mit der des LDD-MOSFETs.
Die Feld-Effekt-Beweglichkeit ist ca. 20% bis 50% höher.
• Die Grenzflächenzustandsdichte Dit nahe der Leitungsbandkante wurde um
den Faktor 2 bis 3 gesenkt: Dit = 1.7 · 1013 cm−2 eV−1 .
Kapitel 8
Ausblick
In dieser Arbeit wurden die ersten systematischen Untersuchungen der Störbandleitung in p-Typ SiC vorgestellt. Als Parameter wurde im Wesentlichen die Dotierkonzentration variiert. Daher bieten sich einige interessante Möglichkeiten zur
Fortführung und Erweiterung der hier gezeigten Arbeiten:
• Variation des Kompensationsgrads: Hierzu könnten Al-dotierte Epitaxieschichten verwendet werden, da durch das Epitaxieverfahren die Kompensation durch gezielte Stickstoff-Zufuhr in einem großen Bereich eingestellt
werden kann.
• Durch Untersuchung höher dotierter Proben ([Al] > 5 · 1019 cm−3 ) kann die
Störbandleitung am und über dem Mott-Anderson-Übergang untersucht
werden.
• Es wurde bislang keine systematische Untersuchung der Wechselstrom(AC-) Leitfähigkeit in SiC im Störbandleitungs-Regime durchgeführt.
Durch AC-Widerstandsmessung mit Variation der Messfrequenz können Informationen über die Hopping-Raten erhalten werden.
• Aus Admittanzspektroskopie-Untersuchungen erhält man nach dem in dieser Arbeit entwickelten Modell über den Arrhenius-Plot der LeitwertMaxima bis auf eine additive Konstante ln(Cdep d/A) den temperaturabhängigen Widerstand. Ob das Einsetzen der Störbandleitung beobachtet
werden kann, hängt vom Messfenster ab, das durch den maximalen Frequenzbereich der Apparatur und dieser additiven Konstante gegeben ist.
Durch Variation der Raumladungszonenkapazität Cdep kann das Messfenster verschoben werden. Daher wird vorgeschlagen, Proben mit unterschiedlich hoch dotierten oberflächennahen Schichten mit einer Dicke im Bereich
der erwarteten Raumladungszonentiefe herzustellen, um Cdep bei sonst gleichen Probenparametern zu variieren. Die Ergebnisse könnten eine weitere
Bestätigung des Admittanz-Modells liefern.
183
184
Kapitel 8: Ausblick
Für die Fortführung der Hall-Effekt-Untersuchungen im Kanal von 3C-SiC
MOSFETs und zum Verständnis der Entstehung hoher Grenzflächenzustandsdichten wird folgendes Experiment vorgeschlagen:
• Vergleich der Grenzflächenzustandsdichte Dit ermittelt durch Hall-EffektMessung an n-Kanal MOSFETs und durch Admittanzmessungen an identisch prozessierten n-Typ MOS Kondensatoren. Es können Erkenntnisse
gewonnen werden, wie die Oxidation vom Leitungstyp (p-Typ oder n-Typ)
abhängt. Neuere Erkenntnisse zeigen, dass ein Angebot von Stickstoff direkt
an der Oxidationsfront während der Oxidation zu einer deutlichen Absenkung der Dit führt [Cio05]. Möglicherweise führt die niedrige Stickstoffkonzentration in p-Typ SiC-Epitaxieschichten zu den beobachteten hohen
Grenzflächenzustandsdichten.
Anhang A
Berechnung der
Übergangstemperatur von NNH
nach VRH
In Abschnitt 6.1.2.3 wurde ein Ansatz zur Berechnung der Übergangstemperatur
Tc zwischen NNH und VRH nach Mott’s Gesetz (p= 14 ) vorgestellt. Dieser Ansatz
führt auf folgende Gleichung 4. Ordnung (vgl. Gl. (6.47)):
ǫ2
ǫ3
16ǫ4
8ǫ3 T0
4
Tc3 + 24 32 Tc2 − 32 33 Tc + 4 3 = 0.
(A.1)
+
Tc −
kB
16
kB
kB
kB
Die Gleichung ist analytisch lösbar. Die physikalisch relevante Lösung wurde mit
Hilfe des Computer-Algebra-Systems Maple 9 [Map03] berechnet:
√
√ 3B
6
ǫ3
2ǫ3 T0
3T02 + 768T0
Tc =
+
−
+
− 128A+
kB
64
192
192
kB
√ #1/2
12288T0 ǫ33 3 3 24576T0 ǫ23 384T02 ǫ3
+
(A.2)
+ T03
+
+
3
2
AkB
B
kB
kB
mit
s
#1/3
ǫ3
ǫ43
ǫ43 2
A = 54 4 T0 + 6T0 4 3T0 8192 + 27T0
kB
kB
kB
s
ǫ3
24576T0 ǫ33
B =
3T02 + 768T0
+ 256A −
.
kB
AkB3
"
185
(A.3)
(A.4)
Anhang B
Vollständige Admittanzspektren
B.1
Probe SK55
Die Admittanzspektren von Probe SK55 wurden an allen Kontakten (∅ =
0.4 mm) für folgende Messfrequenzen f aufgenommen: 400 Hz, 1 kHz, 4 kHz,
10 kHz, 40 kHz, 100 kHz, 400 kHz, 1 MHz. Die Messungen an Kontakt 53 wurden zusätzlich bei 700 Hz, 7 kHz, 70 kHz und 700 kHz durchgeführt.
Die folgenden Abbildungen sind bzgl. der Netto-Dotierkonzentration gemessen
am jeweils angegebenen Kontakt aufsteigend sortiert.
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188
Kapitel B: Vollständige Admittanzspektren
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B.2 Probe SK57
B.2
189
Probe SK57
Die Admittanzspektren von Probe SK57 wurden an allen Kontakten (∅ =
0.4 mm) für folgende Messfrequenzen f aufgenommen: 100 Hz, 200 Hz, 400 Hz,
700 Hz, 1 kHz, 2 kHz, 4 kHz, 7 kHz, 10 kHz, 20 kHz, 40 kHz, 70 kHz, 100 kHz,
200 kHz, 400 kHz, 700 kHz, 1 MHz.
Die folgenden Abbildungen sind bzgl. der Netto-Dotierkonzentration gemessen
am jeweils angegebenen Kontakt aufsteigend sortiert.
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190
Kapitel B: Vollständige Admittanzspektren
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B.2 Probe SK57
191
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Anhang C
Probenverzeichnis
C.1
Probe
Proben zur Untersuchung der Störbandleitung
Substrat
Dotierung
Kontakte
Epitaxie
RamC3
4H, n-Typ
4H, n-Typ
RamD3
4H, n-Typ
4H, n-Typ
RamG3
RamF3
RamC7
RamD7
[Al]impl. = 5 · 10 cm
Al, van der Pauw
−3
Implantation
18
[Al]impl. = 5 · 10 cm
Al, Stäbchen
−3
Implantation
4H, n-Typ
[Al]impl. = 1 · 1019 cm−3
4H, n-Typ
Implantation
4H, n-Typ
4H, n-Typ
RamF7
18
4H, n-Typ
4H, n-Typ
RamG7
Implantation
19
[Al]impl. = 1 · 10 cm
Al, van der Pauw
Al, Stäbchen
−3
Implantation
19
[Al]impl. = 2 · 10 cm
Al, van der Pauw
−3
4H, n-Typ
Implantation
4H, n-Typ
[Al]impl. = 2 · 1019 cm−3
4H, n-Typ
Implantation
4H, n-Typ
[Al]impl. = 5 · 1019 cm−3
4H, n-Typ
Implantation
4H, n-Typ
19
[Al]impl. = 5 · 10 cm
193
Al, Stäbchen
Al, van der Pauw
Al, Stäbchen
−3
194
Kapitel C: Probenverzeichnis
Probe
Substrat
Dotierung
Kontakte
6H, p-Typ
während der
Al, van der Pauw
-
Züchtung
Ti/Al, Schottky
6H, p-Typ
während der
Al, van der Pauw
-
Züchtung
Ti/Al, Schottky
Epitaxie
SK55
SK57
Die Herstellung und Prozessierung der Proben wird detailliert im Abschnitt
4.2.1 beschrieben.
C.2
3C-SiC n-Kanal MOSFETs
Bezeichnung
Typ
p-Wanne
n-Implantation
LDD
Epitaxie
Stickstoff
Hall-MOS
[Al] = 7 · 1016 cm−3
[N] = 1 · 1018 cm−3 /
VD
Implantation
Phosphor
Standard
[Al] = 3 · 1017 cm−3 /
[P] = 5 · 1019 cm−3
Struktur
I11vr
VD2D3
[Al] = 1 · 1018 cm−3
[N] = 1 · 1020 cm−3
Die Herstellung der MOSFETs wird detailliert im Abschnitt 4.2.2 beschrieben.
Anhang D
Materialparameter und
Naturkonstanten
D.1
3C-SiC
effektive Zustandsdichtemasse für Elektronen me,ds = 0.346 · me [Kap85]
effektive Zustandsdichtemasse für Löcher (T ≥ 200 K)1 mh,ds = 2.7 · me
Anzahl Leitungsbandminima MC = 3 [Wel97]
Anzahl Valenzbandmaxima MV = 1 [Wel97]
Bandlücke Egap (0K) = 2.417 eV [Har95]
relative Dielektrizitätskonstante ǫr = 9.52 [Moo95]
Dichte ρ = 3.21 g/cm3 [Har95]
D.2
4H-SiC
Temperaturabhängige effektive Zustandsdichtemasse me/h,ds in Einheiten der
Elektronen-Ruhemasse me nach [Wel97, Sch97]:
me/h,ds (T ) =
z0 + z1 T + z2 T 2 + z3 T 3
1 + n1 T + n2 T 2
1
(D.1)
Die effektive Zustandsdichtemasse für Löcher ist aufgrund der Valenzbandentartung mit
unterschiedlichen Krümmungen am Valenzbandmaximum (Γ-Punkt) temperaturabhängig. Im
Gegensatz zu den Polytypen 4H- und 6H-SiC existieren keine Rechnungen für mh,ds (T ). Für 4Hund 6H-SiC wurde gezeigt [Wel97], dass die effektive Zustandsdichtemasse für Temperaturen
T ≥ 200 K näherungsweise konstant ist. Da für alle Polytypen die Valenzbandstruktur ähnlich
ist, wird für 3C-SiC in dieser Arbeit der Mittelwert der effektiven Zustandsdichtemassen von
4H-SiC und 6H-SiC bei hohen Temperaturen angenommen.
195
196
Kapitel D: Materialparameter und Naturkonstanten
Elektronen me,ds
Löcher mh,ds
z0
0.3944
1.104
z1
−6.822 · 10−4
1.578 · 10−2
3.597 · 10−10
−7.635 · 10−8
3.650 · 10−6
1.126 · 10−3
z2
z3
n1
n2
1.335 · 10−6
−1.776 · 10−3
3.087 · 10−3
1.387 · 10−2
Anzahl Leitungsbandminima MC = 3 [Wel97]
Anzahl Valenzbandmaxima MV = 1 [Wel97]
Bandlücke Egap (0K) = 3.26 eV [Yos95]
relative Dielektrizitätskonstante ǫr = 9.76 [Tro98]
Dichte ρ = 3.21 g/cm3 [Har95]
D.3
6H-SiC
Temperaturabhängige effektive Zustandsdichtemasse me/h,ds in Einheiten der
Elektronen-Ruhemasse me nach [Wel97, Sch97]:
me/h,ds (T ) =
z0 + z1 T + z2 T 2 + z3 T 3
1 + n1 T + n2 T 2
Elektronen me,ds
Löcher mh,ds
z0
0.6568
1.1012
z1
1.536 · 10−2
2.026 · 10−2
−1.576 · 10−9
−2.844 · 10−7
1.512 · 10−4
1.671 · 10−3
z2
z3
n1
n2
7.410 · 10−5
1.683 · 10−2
5.122 · 10−3
2.855 · 10−2
Anzahl Leitungsbandminima MC = 6 [Wel97]
Anzahl Valenzbandmaxima MV = 1 [Wel97]
· T [Yos95]
Bandlücke Egap (T ) = 3.02 eV − 3.3 · 10−4 eV
K
(D.2)
D.4 Naturkonstanten
relative Dielektrizitätskonstante ǫr = 9.66 [Har95]
Dichte ρ = 3.21 g/cm3 [Har95]
Schallgeschwindigkeit c = 13300 m/s [Har95]
akustisches Deformationspotential Φ = 11.2 eV [Iwa01]
D.4
Naturkonstanten [Ham89]
Boltzmann-Konstante kB = 1.3807 · 10−23 J/K
Dielektrizitätskonstante ǫ0 = 8.8542 · 10−12 As/Vm
Elektronen-Ruhemasse me = 9.1095 · 10−31 kg
Elementarladung e = 1.6022 · 10−19 As
Planck’sche Konstante h = 6.6262 · 10−34 Js
197
Anhang E
Symbolverzeichnis
a
aB
A
A0
A−
[Al]impl.
B
Bc
C
Cbulk
Cdep
CHF
Chop
Cmax
Cox
d
dimpl.
dox
Dit
D+
E
EA
EA,i
∆EA
∆EA,i
Ebx
EC
ED
ED,j
∆ED
Kantenlänge, Radius einer Wellenfunktion
Bohr’scher Atomradius
Fläche
neutraler Akzeptor
ionisierter Akzeptor
mittlere implantierte Al-Konzentration
magnetische Flussdichte
kritisches dimensionsloses Sphärenvolumen
Kapazität
Kapazität der Probe unter der Raumladungszone
Kapazität der Raumladungszone
Kapazität im Hochfrequenzfall
Kapazität der Raumladungszone bei Hopping-Leitung
maximale Kapazität der Raumladungszone
Oxidkapazität
Dicke, Kantenlänge der Source-Implantation (VD-MOSFET)
Dicke der implantierten Schicht
Oxiddicke
Grenzflächenzustandsdichte
ionisierter Donator
Energie
energetische Lage eines Akzeptors
energetische Lage des i. Akzeptors
Ionisierungsenergie eines Akzeptors
Ionisierungsenergie des i. Akzeptors
Bindungsenergie eines gebundenen Exzitons
Leitungsbandkante
energetische Lage eines Donators
energetische Lage des j. Donators
Ionisierungsenergie eines Donators
199
200
∆ED,j
Eeff
EF
Egap
Egx
EH
Ei
En
ET
∆ET
EV
f
Fj
g±
gA
gA,i
gD
gD,j
gm
gm,max
G
Gmax
I
ID
ID,max
kB
K
ℓ
L
m∗
me
me,ds
mh,ds
MC
MV
n
ninv
N0
N1
N2
NA
NA,i
N A−
Kapitel E: Symbolverzeichnis
Ionisierungsenergie des j. Donators
effektives elektrisches Feld im Kanal eines MOSFETs
Fermi-Energie
Energielücke
exzitonische Bandlücke
elektrisches Hall-Feld
energetische Lage des intrinsischen Nivaus
Neutralitätsenergie
energetische Lage einer Störstelle (Trap)
Ionisierungsenergie einer Störstelle (Trap)
Valenzbandkante
Frequenz
Fermi-Dirac-Integral
Entartungsfaktor
Entartungsfaktor eines Akzeptorzustands
Entartungsfaktor des i. Akzeptorzustands
Entartungsfaktor eines Donatorzustands
Entartungsfaktor des j. Donatorzustands
Transkonduktanz
maximale Transkonduktanz
Leitwert
maximaler Leitwert
elektrischer Strom
Drain-Strom
maximaler Drain-Strom
Boltzmann-Konstante
Kompensationsgrad
Abstand der Potentialsonden im MOSFET-Kanal
Länge
effektive Masse
Ruhemasse eines Elektrons
effektive Zustandsdichtemasse für Elektronen
effektive Zustandsdichtemasse für Löcher
Anzahl der Leitungsbandminima
Anzahl der Valenzbandmaxima
Konzentration freier Elektronen
Inversionsladungsträgerdichte
Konzentration von 0-Komplexen
Konzentration von 1-Komplexen
Konzentration von 2-Komplexen
Akzeptorkonzentration
Konzentration des i. Akzeptors
Konzentration negativ geladener Akzeptoren
201
NA− ,i
NC
ND
ND/A
ND,j
ND0
ND+
ND+ ,j
NK
Nm
NM
NA,netto
NV
p
Plost
Q
Qdep
QG
Qinv
Qit
Qox
Q∗ox
Qsc
Qscat
Qtot
rAD
rAD,min
rc
rD
rH
rH,3
r
Rbulk
RH
Ron
RS
t
T
Tc
Tmax
Tmin
Konzentration des ionisierten i. Akzeptors
effektive Zustandsdichte im Leitungsband
Donatorkonzentration
Donator- bzw. Akzeptorkonzentration in einem n-Typ
bzw. p-Typ Halbleiter
Konzentration des j. Donators
Konzentration neutraler Donatoren
Konzentration positiv geladener Donatoren
Konzentration des ionisierten j. Donators
Konzentration der Kompensation
max. Konzentration der klassischen Näherung (Störbandleitung)
Mott-Konzentration
Netto-Akzeptorkonzentration (NA − NK )
effektive Zustandsdichte im Valenzband
Konzentration freier Löcher
Verlustleistung
Ladung
Ladung in der Verarmungszone
Ladung auf dem Gate-Kontakt
Inversionsladung
Ladung an der Grenzfläche
(feste und mobile) Ladung im Oxid
experimentell bestimmte Ladung im Oxid
gesamte Ladung im Halbleiter
Ladungsdichte von Streuzentren
totale feste Ladung (Qtot = Qox + Qit )
Abstand Akzeptor-Donator
minimaler Akzeptor-Donator-Abstand
kritischer Radius
mittlerer Abstand zweier Defektzentren
Hall-Streufaktor
Hall-Streufaktor der Hopping-Leitung
Ortsvektor, Abstandsvektor
Widerstand des Probenvolumens
Hall-Konstante
Kanalwiderstand von MOSFETs im leitenden Zustand
Schichtwiderstand
Zeit
Temperatur
Übergangstemperatur, kritische Temperatur
Temperatur des Maximums, maximale Temperatur
minimale Temperatur
202
U
Ua
UD
UD,max
UD,sat
UFB
UG
UG,ideal
UG,max
UH
UT
UT,exp
UT,ideal
UT,sim
hvth i
W
x
xc
xi
xr
Xaktiv
Y
χ
δ
ǫ1
ǫ2
ǫ3
ǫD
ǫr
Γ3
φM
φMS
φS
Φ
ΦB
ΦS
µ
µC
µdiff
µe
µeff
µFE
Kapitel E: Symbolverzeichnis
elektrische Spannung
extern angelegte Spannung
Diffusionsspannung / Drainspannung
maximale Drainspannung
Sättigungs-Drainspannung
Flachbandspannung
Gate-Spannung
ideale Gate-Spannung
maximale Gate-Spannung
Hall-Spannung
Schwellenspannung
experimentell bestimmte Schwellenspannung
ideale Schwellenspannung
durch Simulation bestimmte Schwellenspannung
mittlere thermische Geschwindigkeit
Breite
Ort
Perkolationsschwelle
Schnittpunkt von Fermi-Energie und intrinsischem Niveau
Breite der Raumladungszonen
relativer Anteil aktiver Störstellen
Admittanz
Elektronenaffinität
Korrekturfaktor für W/L bei vertikalen MOSFETs
Aktivierungsenergie der Valenzbandleitung
Aktivierungsenergie der oberen-Hubbard-Band-Leitung
Aktivierungsenergie der Nearest-Neighbor-Hopping-Leitung
Coulomb-Energie zweier Defektzentren im Abstand rD
relative Dielektrizitätskonstante
Vorfaktor des spez. Wid. der Nearest-Neighbor-Hopping-Leitung
Austrittsarbeit des Metalls
Differenz der Austrittsarbeiten von Metall und Halbleiter
(φMS = φM − φS )
Austrittsarbeit des Halbleiters
Fermi-Potential
Fermi-Potential im Volumen
Fermi-Potential an der Oberfläche (Oberflächenpotential)
Ladungsträger-Beweglichkeit
Beweglichkeitskomponente durch Coulomb-Streuung
differenzielle Beweglichkeit von Inversionsladungsträgern
Elektronen-Beweglichkeit
effektive Beweglichkeit
Feld-Effekt-Beweglichkeit
203
µh
µH
µH,2
µH,3
µH,diff
µph
µsr
ν
Ψ
Ψox
ΨS
ω
Ω
ρ
ρ1
ρ2
ρ3
ρNNH
σ
σ1
σ2
σ3
τ
τhop
τRC
τSRH
Löcher-Beweglichkeit
Hall-Beweglichkeit
Hall-Beweglichkeit der Ladungsträger im oberen Hubbard-Band
Hall-Beweglichkeit der Hopping-Leitung
differenzielle Hall-Beweglichkeit
Beweglichkeitskomponente durch Streuung an Phononen
Beweglichkeitskomponente durch Streuung an einer
rauen Oberfläche
Frequenz eines Photons
Bandverbiegung (Potential)
Potentialdifferenz über dem Oxid
Bandverbiegung an der Oberfläche (ΨS = ΦS − ΦB )
Kreisfrequenz
Kreisfrequenz eines Phonons
spezifischer Widerstand
Vorfaktor des spez. Wid. der Valenzbandleitung
Vorfaktor des spez. Wid. der oberen-Hubbard-Band-Leitung
Vorfaktor des spez. Wid. der Nearest-Neighbor-Hopping-Leitung
spezifischer Widerstand der Nearest-Neighbor-Hopping-Leitung
elektrische Leitfähigkeit, elektrischer Einfangquerschnitt
Vorfaktor der Leitfähigkeit der Valenzbandleitung
Vorfaktor der Leitfähigkeit der oberen-Hubbard-Band-Leitung
Vorfaktor der Leitfähigkeit der Nearest-Neighbor-Hopping-Leitung
Zeitkonstante
Zeitkonstante für Hopping-Prozess
Zeitkonstante eines RC-Glieds
Shockley-Read-Hall-Zeitkonstante
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Lebenslauf
Name:
Michael Krieger
Geburtsdatum:
29. September 1974
Geburtsort:
Erkelenz (NRW)
Familienstand:
verheiratet, 2 Kinder
Schulbildung
1981-1984
Willi-Graf-Grundschule Koblenz
1984-1985
Billroth-Grundschule Nürnberg
1985-1994
Labenwolf-Gymnasium Nürnberg
1994
Allgemeine Hochschulreife
Hochschulstudium
1994-2000
Vertieftes Studium der Mathematik und Physik an der
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
2000
Erstes Staatsexamen Mathematik/Physik (für das Lehramt
am Gymnasium)
Thema der Zulassungsarbeit:
Charakterisierung von Beryllium-korrelierten Störstellen in
”
4H-SiC“
(ausgezeichnet mit dem Ohm-Preis der Universität ErlangenNürnberg)
seit 2001
Promotionsstudium Physik und Tätigkeit als wissenschaftlicher Angestellter am Lehrstuhl für Angewandte Physik, Universität Erlangen-Nürnberg
Herzlichen Dank ...
... an alle, die mich während meiner Arbeit am Lehrstuhl für Angewandte Physik und
beim Zusammenschreiben der Doktorarbeit unterstützt haben. Mein besonderer Dank
gilt folgenden Personen:
• dem ehemaligen Lehrstuhlinhaber Prof. Dr. Max Schulz und dem neuen Lehrstuhlinhaber und meinem Doktorvater Prof. Dr. Heiko Weber für die Möglichkeit
zur Promotion am Lehrstuhl für Angewandte Physik;
• dem heimlichen Doktorvater Akad. Dir. Dr. Gerhard Pensl für die intensive Betreuung dieser Arbeit, die vielfältigen Anregungen, die Überlassung interessanter
Aufgabenstellungen und dafür, dass er sich stets um das Wohl seiner Doktoranden gesorgt hat;
• Prof. Dr. Reinhard Helbig für seine ständige Diskussions- und Hilfsbereitschaft
rund um die Physik, den Lehrstuhl und darüber hinaus;
• Prof. Dr. Wolfgang J. Choyke für die Übernahme des Zweitgutachtens und anregende Diskussionen über SiC sowie Prof. Dr. Martin Stutzmann für die Übernahme des Drittgutachtens;
• Dr. Adolf Schöner (ACREO) für die Herstellung und die hervoragende Zusammenarbeit bei der Untersuchung der 3C-SiC MOSFETs;
• Martin Rambach und PD Dr. Lothar Frey für die Herstellung und Überlassung
der Al-implantierten Proben zur Charakterisierung der Störbandleitung sowie für
viele fruchtbare Diskussionen;
• Dr. Kurt Semmelroth für das Züchten der Al-dotierten 6H-SiC Volumenkristalle;
• unserer Sekretärin Elke Reinhardt und ihren Vorgängerinnen Gabriele Loy und
Angelika Karmann für das perfekte Management des Lehrstuhls und die mehr”
oder-weniger“ bereitwillige Bereitstellung von Büromaterial;
• den Reinigungsdamen Petra Pawlicki, Ute Bader und Rosemarie Nüssel für die
schwierige Reinhaltung von Laborräumen und Doktorandenbüros, die Versorgung
mit Kaffee in der Kaffeestunde und die nicht selbstverständliche Untersützung
im Institutsalltag;
• Willi Rösch für Ionen-Implantationen und Elektronikreparaturen; außerdem für
die heiteren Diskussionen über elektronische und andere Themen;
• Fritz Hofmann für die Bereitstellung riesiger Mengen flüssiger Luft und flüssigen
Heliums sowie für frisches Gemüse;
• Meister Roland Sagner, Bernd Peetz und allen Lehrlingen für die hervoragende
Zusammenarbeit und das blitzschnelle Erledigen von Aufträgen;
• Jörg Lottes für das präzise und schnelle Sägen und Polieren von SiC-Proben, die
Herstellung von Kostbarkeiten“ und für die ständige Hilfsbereitschaft;
”
• meinen Kollegen Svetlana Beljakowa, Florin Ciobanu, Dr. Thomas Rainbow“
”
Frank, Dr. Dieter Karg, Dr. Kin-Kiong Lee, Jörg Lottes, Sergey Reshanov, Dr.
Frank Schmid, Daniel Secker und Dr. Michael Weidner sowie den Ehemaligen
des Lehrstuhls Dr. Michael Mario“ Bassler, Hicham Charifi, Dr. Changqing
”
Chen, Dr. Kai Christiansen, Jürgen Gajowski, Dr. Holger Grünleitner, Dr. Hans
Heißenstein, Danny Kirmse, Dr. Oliver Klettke, Dr. Michael Mike“ Laube, Dr.
”
Christian Manke, Dr. Christian Peppi“ Peppermüller, Dr. Horst Sadowski, Dr.
”
Jürgen Schmitt, Dr. Konrad Schneider, Volker Schnippsi“ Schmitt, Dr. Norbert
”
Schulze, Dr. Kurt Semmelroth, Hubert Trageser und Stefan Zwierlein für die
angenehme Arbeitsatmosphäre, ihre Unterstützung und Hilfsbereitschaft sowie
für die gute Zusammenarbeit, gemeinsame Unternehmungen, und und und ...;
• meinem Freund und ehemaligen Kollegen Dr. Konrad Schneider samt seiner
wachsenden Familie für viele angenehme Stunden im Sozialraum, gemeinsame
Programmierprojekte und private Unternehmungen;
• dem LRZE-Teamkollegen Dr. Thomas Rainbow“ Frank für gemeinsame Com”
puterbastelstunden;
• dem Master-of-the-Umlauf“ Dr. Thomas Rainbow“ Frank für die Realisierung
”
”
eines 1-Woche-und-6-Tage-Umlaufs der Promotionsmappe;
• den Mitstreitern der 3-Doktor-Woche“ Dr. Michael Weidner und Dr. Frank
”
Schmid für synchrones Abgeben der Doktorarbeiten und gemeinsames Lernen;
• Dr. Kin-Kiong Lee für hilfreiche Diskussionen rund um SiC-MOSFETs;
• Prof. Dr. Martin Hundhausen, Roland Püsche und Dr. Thomas Seyller von der
Technischen Physik sowie Dr. Michel Bockstedte und Dr. Alexander Mattausch
von der Theoretischen Festkörperphysik für anregende Diskussionen und kurzweilige Zugfahrten (Paderborn, Lyon);
• meinen Eltern für das Ermöglichen des Physikstudiums und die vielfältigen Unterstützungen; meiner Mutter für das mehrfache hilfreiche und genaue Korrekturlesen dieser Arbeit;
• meinen Schwiegereltern für ihre stete Einsatzbereitschaft für die Familie;
• ganz besonders meiner lieben Frau Tina ♥ für ihre Geduld, ihr Verständnis, ihre
Unterstützung und das perfekte Management der Familie während der langen
Zeit des Zusammenschreibens und Lernens; meinen geliebten Kindern Hanna
und Leon für ihr Lachen und ihre Liebe;
• und natürlich allen, die ich hier vergessen habe und die es verdient hätten namentlich erwähnt zu werden.