7. ¨Ubung 23. EPR-Experiment 24. Vom Zwei

Institut für Theoretische Physik der
Universität zu Köln, Sommersemester 2016
Prof. Dr. Joachim Krug
Dr. Stefan Nowak
Theoretische Physik in 2 Semestern II
7. Übung
http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ss16/
Abgabe:
Dienstag, 7. Juni 2016 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
23. EPR-Experiment
6+8=14 Punkte
~ = 0. Eine Messung
Betrachten Sie ein System aus zwei Spin-1/2-Teilchen mit Gesamtspin S
~
des Spins mit dem Operator Ŝz ergibt nach Aufgabe 21e) entweder + 2 oder − ~2 . Außerdem
ist der Gesamtspin des Systems erhalten, d.h. wenn bei Teilchen 1 der positive Wert gemessen
wurde, würde bei Teilchen 2 der negative Wert gemessen werden (und umgekehrt). Die Messapparatur von Teilchen 2 soll nun aber nicht die z-Komponente des Spins, sondern den Spin in
Richtung ~n = (sin ϑ, 0, cos ϑ)T bestimmen, welche um den Winkel ϑ zur z-Achse geneigt ist. Der
~op .
entsprechende Operator lautet Ŝ~n = ~n · S
a) Berechnen Sie die Eigenwerte und normierten Eigenzustände von Ŝ~n .
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei Teilchen 1 zunächst der positive Eigenwert von Ŝz
und anschließend bei Teilchen 2 der positive Eigenwert von Ŝ~n gemessen?
Hinweis: Überlegen Sie sich, in welchem Zustand sich Teilchen 2 nach der Messung von
Teilchen 1 befinden muss.
24. Vom Zwei- zum Einkörperproblem
7+9+5=21 Punkte
Ein wasserstoffähnliches Atom besteht aus einem Elektron der Masse me in Wechselwirkung mit
einem Kern der Masse mn und Ladung Ze. Der Hamilton-Operator dieses Zweiteilchen-Systems
lautet
Ĥ =
|~
pe |2 |~
pn |2
Ze2
+
−
,
2me
2mn
|~re − ~rn |
(1)
wobei p~e bzw. p~n den Impuls vom Elektron bzw. dem Kern und ~re bzw. ~rn den Ort der entsprechenden Teilchen bezeichnet. Um das Zweiteilchen- auf ein Einteilchenproblem zu reduzieren,
~ = (me~re + mn~rn )/(me + mn ) sowie
führen wir die Schwerpunktskoordinaten P~ = p~e + p~n und R
die Relativkoordinaten ~r = ~re − ~rn und p~ = (mn p~e − me p~n )/(me + mn ) ein.
a) Zeigen Sie, dass die Komponenten der Schwerpunkts- und Relativkoordinaten die Vertauschungsrelationen
[Ra , Pb ] = [ra , pb ] = i~ δab
erfüllen.
und
[Ra , pb ] = [ra , Pb ] = 0
für a, b ∈ {x, y, z}
(2)
b) Zeigen Sie, dass der Hamilton-Operator aus Gleichung (1) in den neuen Koordinaten die
Form
Ĥ =
|~
p|2 |P~ |2 Ze2
+
−
2µ
2M
|~r|
(3)
annimmt, wobei M = me + mn die Gesamtmasse und µ = me mn /M die reduzierte Masse
ist.
Hinweis: Sie benötigen in dieser Aufgabe noch nicht die Operator-Eigenschaften von p~ und P~ ,
sondern können diese als gewöhnliche Vektoren behandeln.
c) Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen von Gleichung (3) von der Produkt-Form
~ = u(~r) φ(R)
~ sind, wobei φ(R)
~ die freie Bewegung des Schwerpunktes beschreibt und
U (~r, R)
u(~r) die in der Vorlesung behandelte Einteilchen-Schrödingergleichung löst (siehe Kapitel 5
im Skript).
Hinweis: Aus Gleichung (2) folgt, dass P~ und p~ sich durch die üblichen Ersetzungsregeln als
~ bzw. ~r darstellen lassen, also z.B. Px = −i~ ∂ oder
Ableitungen nach Komponenten von R
∂Rx
py = −i~ ∂r∂y .
25. Zwei Teilchen im Kasten
Betrachten Sie wieder das eindimensionale Kastenpotential
(
0
für − a2 ≤ x ≤ a2 ,
V (x) =
∞ sonst.
8+7=15 Punkte
(4)
mit unendlich hohen Wänden (siehe Kapitel 2.5 im Skript oder Aufgabe 11). In dieser Aufgabe
betrachten werden wir nun N > 1 spinlose Teilchen in diesem Potential, die aber in keiner
Wechselwirkung miteinander stehen.
a) Betrachten Sie zunächst zwei Fermionen1 . Geben Sie die Wellenfunktion u(x1 , x2 ) für den
Grundzustand des Zweiteilchen-Systems sowie die zugehörige gemeinsame Aufenthaltswahrscheinlichkeit |u(x1 , x2 )|2 an. Skizzieren Sie Letztere als Funktion von x1 bei konstantem
x2 = 0. Was fällt auf?
Hinweis: Verwenden Sie die bereits bekannten Lösungen für das Einteilchen-Problem. Denken Sie daran, dass die fermionische Zweiteilchen-Wellenfunktion antisymmetrisch sein muss
und dass das Pauli-Prinzip gilt.
b) Betrachten Sie nun die Situation für eine beliebige Anzahl N an (immer noch spinlosen)
Teilchen. Bestimmen Sie die Grundzustandsenergie EB (N ) für N Bosonen bzw. EF (N ) für
N Fermionen. Vergleichen Sie die Abhängigkeit der Grundzustandsenergie pro Teilchen von
der Teilchenzahl P
wenn N groß wird.
2
Hinweis: Es gilt N
n=1 n = N (N + 1)(2N + 1)/6.
1 Nach dem Spin-Statistik-Theorem kommen spinlose Fermionen als “echte” Teilchen eigentlich nicht in der Natur
vor, was aber der Einfachheit halber in dieser Aufgabe ignoriert werden soll. Zu erwähnen ist allerdings, dass
es Quasiteilchen (d.h. Anregungen von Vielteilchensystemen, die mathematische und physikalische Eigenschaften
von realen Teilchen besitzen) gibt, die sich formal wie spinlose Fermionen verhalten.