Wheatstone-Brücke Elektrolytischer Trog

Anfänger-Praktikum II
Praktikumsbericht:
Doppelversuch:
Wheatstone-Brücke
Elektrolytischer Trog
Michael Seidling
Timo Raab
Sommersemester
1. Juli 2012
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
4
2 Grundlagen
2.1 Elektrostatik . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Elektrische Felder . . . . . .
2.1.2 Das Elektrische Potential . .
2.1.3 Die Spannung . . . . . . . .
2.2 Das Ohmsche Gesetz . . . . . . . .
2.3 Die Kirchhoffschen Gesetze . . . . .
2.4 Schaltung von Widerständen . . . .
2.4.1 Reihenschaltung . . . . . . .
2.4.2 Parallelschaltung . . . . . .
2.5 Der Ohmsche Widerstand . . . . .
2.6 Wechselstromwiderstände . . . . .
2.6.1 Der Induktive Widerstand .
2.6.2 Der Kapazitive Widerstand
2.7 Die LCR-Schaltung . . . . . . . . .
2.8 Fehlerschaltungen . . . . . . . . . .
2.8.1 Stromfehlerschaltung . . . .
2.8.2 Spannungsfehlerschaltung .
2.9 Stromlose Messung . . . . . . . . .
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6
6
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6
7
7
7
9
10
11
12
12
12
3 Versuch 1: Wheatstonesche Brückenschaltung
3.1 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Bestimmung Ohmscher Widerstände
3.2 Bestimung von Kapazitäten . . . . . . . . .
3.3 Bestimmung von Induktivitäten . . . . . . .
3.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Ohmsche Widerstände . . . . . . . .
3.4.2 Kapazität von Kondensatoren . . . .
3.4.3 Induktivität von Spulen . . . . . . .
3.5 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Fragen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . .
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23
23
23
24
24
4 Versuch 2: Der Elektrolytische Trog
4.1 Versuchsaufbau und -durchführung
4.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Das Potentialdiagramm . . .
4.3 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . .
4.4 Fragen und Aufgaben . . . . . . . .
2
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5 Anhang
26
Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3
1 Einführung
In dem Versuch Wheatstone-Brücke werden mit Hilfe von bekannten Bauteilen unbekannte Bauteile bestimmt. Hierbei handelt es sich nicht nur um Ohmsche Widerstände,
sondern auch um Spulen und Kondensatoren.
In dem Versuch Elektrolytischer Trog werden elektrische Felder untersucht. Hier werden
bei verschiedenen Elektrodenanordnungen Punkte mit gleichem Potential bestimmt und
daraus auf das elektrische Feld geschlossen.
2 Grundlagen
2.1 Elektrostatik
Die Elektrostatik ist ein Teilbereich der Physik, das sich mit elektrischen Ladungen,
”
Ladungsverteilungen und den elektischen Feldern geladener Körper befasst“ 1 . Hierbei
betrachtet man z.B., wie sich eine Ladung in einem elektischen Feld verhält.
Eine wichtige Gleichung für die Elektrostatik ist die der Coloumbkraft. Hierbei wird die
Kraft, die eine Ladung auf eine andere ausübt betrachtet.
F~ =
(~
r1 − r~2 )
1
q1 · Q 2
4π0
|~
r1 − r~2 |3
(1)
Hier ist r~1 − r~2 der Abstand der beiden Ladungen q1 und Q2 .
0 ist die elektrische Feldkonstante und hat den Wert 8,854 ·10−12 VAsm .
2.1.1 Elektrische Felder
Ein elektrisches Feld ist ein Vektorfeld, welches jede elektrische Ladung umgibt. Dieses
ist Wirbelfrei, es gilt also:
~ =0
rotE
(2)
Die elektrische Feldstärke ist gegeben durch den Quotient der Kraft auf eine Probeladung
und der Ladung einer Probeladung.
~
~ r) = F (~r)
E(~
q
Für die Einheiten der elektrischen Feldstärke gilt:
~ =
[E]
1
N
V
=
C
m
www.wikipedia.de http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrostatik..
4
(3)
Wenn man dies nun auf die Coloumb-Kraft bezieht, ergibt sich für das elektrische Feld
einer Ladung:
~ r) = Q · ~r
E(~
4π0 |~r|3
(4)
~r ist hierbei der Abstand von der Ladung, die das Feld erzeugt.
Für die Kraft auf eine Ladung in einem elektrischen Feld gilt dann:
~ r) · q
F~ (~r) = E(~
(5)
2.1.2 Das Elektrische Potential
Nach Gleichung (2) ist das Elektrische Feld wirbelfrei, also konservativ, weshalb die
Energie, die man aufwenden muss, um eine Ladung zu bewegen, nur vom Anfang- und
Startpunkt abhängt.
Dadurch kann man in jedem Punkt im Raum ein Potential bezüglich einem Nullpunkt
zuordnen. Bei einer Kugelladung sind die Potentiallinien z.B. radiale Linien entweder
nach außen oder innen.
Außerdem gibt es Äquipotentiallinien. Diese stehen an jeder Position senkrecht auf den
Potentiallinien und verbinden Punkte mit dem gleichen Potential.
2.1.3 Die Spannung
Die Spannung zwischen 2 Punkten ist definiert also Potentialdifferenz zwischen diesen
beiden Punkten.
∆Wpot = −q · U
(6)
Für die Einheit der Spannung gilt:
[U ] = V
Hier möchte ich einen kleinen Einblick in eine andere Einheit der Energie geben, das
Elektronenvolt. Diese ist definiert als die Energie, die ein Elektron besitzt, nachdem es
eine Potentialdifferenz von 1V durchlaufen ist. Es gilt:
1eV = 1, 602 · 10−19 C · 1V = 1, 602 · 10−19 J
(7)
2.2 Das Ohmsche Gesetz
Bei konstanter Temperatur ist das Verhältnis zwischen anliegender Spannung U und
hindurchfließendem Strom I konstant. Das Verhältnis wird als Widerstand R bezeichnet.
Dies lässt sich durch diese Formel darstellen.
R=
U
= const
I
5
(8)
Für die Einheiten gilt:
[R] = Ω =
V
A
Für einen Draht kann man den Widerstand bestimmen aus der Querschnittsfläche des
Drahtes A, der Länge l und einer materialspezifischen Konstante ρ.
R=ρ·
l
A
(9)
2.3 Die Kirchhoffschen Gesetze
Die nach Gustav Kirchhoff benannten Gesetze dienen zur Berechnung von Strom und
Spannung in einem verweigten Schaltkreis.
1. Kirchhoffsches Gesetz( Knotenregel“):
”
In einem Verzweigungspunkt (“Knoten“) ist die Summe der zufließenden Ströme gleich
der Summe der abfließenden Ströme.
2. Kirchhoffsches Gesetz( Maschenregel“):
”
Die Summe der Spannungen über den Widerständen einer Masche ist gleich der Gesamtspannung der Spannungsquellen in dieser Masche.2
2.4 Schaltung von Widerständen
2.4.1 Reihenschaltung
Nach der Knotenregel ist der zufließenden Strom gleich dem abfließenden Strom, d.h.
jeder Widerstand wird von dem gleichen Strom durchflossen. Nach der Maschenregel ist
nun die Summe aller abfallenden Spannungen gleich der Gesamtspannung. Nach dem
Ohmschen Gesetz gilt dann:
P
Uk X
U0
= k
=
Rk
(10)
R=
I
I
k
Die Summe aller Einzelwiderstände ist also der Gesamtwiderstand bei einer Reihenschaltung.
2.4.2 Parallelschaltung
Nach der Maschenregel liegt an jedem Widerstand die gleiche Spannung an. Nach der
Knotenregel muss die Gesamtsumme der Einzelströme gleich sein wie der Gesamtstrom.
2
Anfängerpraktikum Versuchsanleitung Wheatstone-Brücke. Universität Konstanz, 2012.
6
Nach dem Ohmschen Gesetz gilt dann:
U
U
=P
I0
k Ik
P
Ik X 1
1
⇒
= k =
R
U
Rk
k
R=
(11)
Die Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände ist also der Kehrwert des Gesamtwiderstands bei einer Parallelschaltung.
2.5 Der Ohmsche Widerstand
Bei einem Ohmschen Widerstand gilt das Ohmsche Gesetz, Spannung und Stromstärke
sind also proportional zueinander. Außerdem ist er unabhängig von der Frequenz der
angelegten Spannung, was bedeutet, dass er sich bei Gleich- und Wechselstrom gleich
verhält. Außerdem ist zu beobachten, dass es bei einem Ohmschen Widerstand keine
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gibt.
2.6 Wechselstromwiderstände
Bauteile verhalten sich unter Umständen anders, wenn sie an Gleichstrom oder an Wechselstrom angeschlossen werden. Kondensatoren sind z.B. bei Gleichstrom Isolatoren, bei
Wechselstrom wird er allerdings ständig geladen und wieder entladen.
2.6.1 Der Induktive Widerstand
Dieser Widerstand tritt auf, wenn in einem Schaltkreis eine Spule verbaut ist und diese
an Wechselstrom angeschlossen ist. Hierbei wird nun Strom induziert, der nach der
Lenz’schen Regel der Ursache, also der angelegten Spannung, entgegen wirkt. Dieser
Widerstand wird dann als Wechselstrom- oder Blindwiderstand bezeichnet. Da er von
der Induktivität der Spule abhängt, nennt man ihn auch den induktiven Widerstand
XL .
Wir nehmen an, dass eine sinusförmige Wechselspannung mit der Frequenz ω anliegt.
b · cos(ωt)
Ua = U
(12)
Für die Spule nehmen wir an, dass diese keinen Ohmschen Widerstand besitzt und
betrachten nur die induzierte Spannung. Für diese gilt mit der Induktivität L:
UInd = −L · I˙
(13)
Nach der Maschenregel muss dann gelten:
Ua + UInd = 0
Ua = −UInd
b · cos(ωt) = L · dI
U
dt
7
(14)
(15)
(16)
Für die Stromstärke I ergibt sich dann:
b Z
U
I = · cos(ωt)dt
L
b
U
=
· sin(ωt)
ωL
Nun definieren wir Ib :=
b
U
ωL
(17)
(18)
und erhalten für die Stromstärke:
I = Ib · sin(ωt)
(19)
Hier sieht man nun, dass die Spannung dem Strom um π/2 vorauseilt. Für den Betrag
des induktiven Widerstandes gilt nun
|XL | =
b
b
U
U
= b = ωL
U
Ib
(20)
ωL
In der komplexen Zahlenebene gilt nun für den Real- und Imaginärteil, dass
Re(XL ) = ωL · cos(φ)
Im(XL ) = ωL · sin(φ)
(21)
(22)
φ ist hier die Phasenverschiebung. Für den Widerstand auf der komplexen Ebene gilt
dann:
XL = iωL
Abbildung 1: Zeigerdarstellung des induktiven Widerstandes im komplexen
8
(23)
2.6.2 Der Kapazitive Widerstand
Hier wird nun statt der Spule ein Kondensator in den Wechselstromkreis eingebaut.
Hier gibt es dann wieder einen Blindwiderstand. Da dieser nun von der Kapazität des
Kondensators abhängt, nennt man ihn Kapazitiven Widerstand.
Wir nehmen wieder an, dass eine sinusförmige Wechselspannung mit der Frequenz ω
anliegt.
b · cos(ωt)
Ua = U
(24)
Bei einem geschlossenen Stromkreis gilt für einen Kondensator die folgende Beziehung:
Ua =
Q
C
(25)
Für die Stromstärke leiten wir nach der Zeit t ab.
dUa
1 dQ
=
dt
C dt
1
dUa
= ·I
dt
C
b ω sin(ωt)
⇒ I = −C U
(26)
I = −Ib sin(ωt)
(27)
bω
Wir definieren nun Ib := C U
Hier sieht man, dass der Strom der Spannung um π/2 vorauseilt.
Für den Betrag des kapazitiven Widerstands |XC | definieren wir
|XC | =
b
b
U
1
U
=
=
b ωC
ωC
Ib
U
(28)
In der komplexen Zahlenebene gilt nun für den Real- und Imaginärteil, dass
1
· cos(φ)
ωC
1
Im(XL ) =
· sin(φ)
ωC
Re(XL ) =
(29)
(30)
φ ist hier die Phasenverschiebung. Für den Widerstand auf der komplexen Ebene gilt
dann:
XL = −i
9
1
ωC
(31)
Abbildung 2: Zeigerdarstellung des kapazitiven Widerstandes im Komplexen
2.7 Die LCR-Schaltung
Als eine LCR-Schaltung bezeichnet man einen Schaltkreis, in dem eine Spule, ein Kondensator und ein ohmscher Widerstand in Reihe geschaltet ist. Wir untersuchen nun
das Verhalten der Schaltung bei einer angelegten Wechselspannung. Die Widerstände
addieren sich nun wie in Gleichung (10) beschrieben. Es gilt somit für den komplexe
Darstellung des Gesamtwiderstandes Z:
Z = R + XL + XC
1
= R + iωL − i
ωC 1
= R + i ωL −
ωC
Für den Betrag des Gesamtwiderstandes Z, auch Scheinwiderstand genannt, gilt:
s
1
Z = R2 + ωL −
ωC
(32)
(33)
Für die Phasenverschiebung φ gilt dann:
ωL −
Im(Z)
=
tan(φ) =
Re(Z)
R
10
1
ωC
(34)
Abbildung 3: Zeigerdarstellung des LCR-Widerstandes
Was hierbei nun noch auffällt ist, dass der Blindwiderstand bei einer geeigneten Wahl
von Spule und Kondensator verschwindet. Der Ohmsche Widerstand ist hierbei egal, da
dieser nicht Teil des Blindwiderstandes ist. Der Blindwiderstand verschwindet komplett,
wird also null, wenn gilt:
ωL =
1
ωC
(35)
2.8 Fehlerschaltungen
Theoretisch kann man den Ohmschen Widerstand nach dem Ohmschen Gesetz durch
die Messung von Strom und Spannung bestimmen. Hierfür misst man gleichzeitig die
Spannung und die Stromstärke beim Widerstand. Hierbei erhält man aber immer einen
Fehler, da die Messgeräte nicht ideal sind, wodurch solche Messungen als Fehlerschaltungen bezeichnet werden. Bei einer Messung der Spannung müsste das Messgerät für
eine genaue Messung einen unendlich großen Widerstand besitzen, damit kein Strom
durch das Messgerät fließt. Bei einer Stromstärkemessung müsste das Messgerät einen
Widerstand von null besitzen, damit hier keine Spannung abfällt. Beides ist in der Praxis
allerdings nicht möglich, wodurch es zu Fehlern in der Messung kommt.
11
2.8.1 Stromfehlerschaltung
Abbildung 4: Stromfehlerschaltung
Hier enthält die Strommessung einen Fehler. Die Spannung wird nur über dem Widerstand abgegriffen und ist somit genau, aber der Gesamtstrom I, welcher gemessen wird
setzt sich aus dem Strom durch den Widerstand und dem Strom durch das Messgerät
zusammen, wodurch es zu einem Fehler kommt.
2.8.2 Spannungsfehlerschaltung
Abbildung 5: Spannungsfehlerschaltung
Hier enthält die Spannung einen Fehler in der Messung. Der Strom, welcher durch das
Messgerät fließt, fließt auch nur“ durch den Widerstand. Dadurch ist diese Messung
”
korrekt. Das Messgerät für die Spannung greift aber die Gesamtspannung ab, also die
Spannung, die am Widerstand und die Spannung, die am Messgerät abfällt. Dadurch
entspricht die gemessene Spannung nicht der Spannung am Widerstand.
2.9 Stromlose Messung
In beiden Versuchen benutzen wir eine stromlose Messung. Diese funktioniert indem man
2 Punkte mit über ein Messgerät verbindet. Fließt Strom, so liegt eine Spannung zwischen den beiden Punkten an. Wenn kein Strom mehr fließt, so haben beide Punkte das
gleiche Potential, wodurch es eine stromlose Messung ist. Mit dieser Methode bestimmt
12
man Punkte mit gleichem Potential, es ist also eine Methode den Spannungsabfall in 2
parallel geschalteten Pfaden zu vergleichen.
3 Versuch 1: Wheatstonesche Brückenschaltung
In unserem Experiment verwenden wir zur Bestimmung der Werte von Widerständen, die
Induktivität von Spulen und Kapazitäten von Kondensatoren eine Wheatstone-Brücke.
Diese hat den Vorteil, dass hier weder Strom und Spannung an den Bauteilen gemessen
wird, sondern nur eine Spannungsdifferenz. Dadurch wird der Fehler bei der Messung im
Gegensatz zu der herkömmlichen Messung über ein Spannungs- und ein Strommessgerät
verringert.
3.1 Versuchsdurchführung
Für jedes Bauteil wird die Messung 5 mal ausgeführt.
3.1.1 Bestimmung Ohmscher Widerstände
Abbildung 6: Wheatstonebrücke für Widerstände
Bei eingeschalteter Spannung wird der Draht zwischen den Punkten C und D (siehe
Abbildung 6) solange bewegt, bis kein Ausschlag mehr zu messen ist. Dann messen wir
die Teilstücke des Drahtes.
Nun betrachten wir zunächst das Schaltbild. Nach der Maschenregel muss beim unteren
Pfad gleich viel Spannung abfallen wie beim oberen Pfad. Nach einem Nullableich muss
an den Stellen C und D gleich viel Spannung abgefallen sein. Also gilt für die Spannung
in den Teilen 1 und 2 in der Schaltung:
U1 = Rx · I1 = RDx · I2
U2 = R · I1 = RD(l−x) · I2
(36)
(37)
RDx und RD(l−x) steht hier für den Widerstand des Drahtes in den jeweiligen Teilen.
13
Nun lösen wir die Gleichung nach Rx auf.
RD(l−x)
RDx
· I2 =
· I2
Rx
R
RDx
⇒ Rx =
·R
RD(l−x)
x
(9) ρ · A
·R
=
ρ · l−x
A
x
=
·R
l−x
(38)
(39)
(40)
(41)
Für den Fehler des Widerstandes nehmen wir an, dass der Vergleichswiderstand ohne
Fehler angegeben ist. Es gilt dann:
l
· R · δx̃
(42)
δRx = (l − x)2 3.2 Bestimung von Kapazitäten
Abbildung 7: Wheatstonebrücke für Kapazitäten
Bei eingeschalteter Wechselspannung wir der Draht zwischen den Punkten C und D
(siehe Abbildung) solange bewegt, bis man keinen Ton mehr hört. Dann messen wir die
Teilstücke des Drahtes.
Wiederum betrachten wir nun das Schaltbild. Wiederum gilt nach der Maschenregel,
dass auf Pfad 1 und 2 wieder gleich viel Spannung abfallen muss. Im Gegensatz zu den
Ohmschen Widerständen, betrachten wir hier die Blindwiderstände der Kondensatoren.
Wiederum teilen wir die Schaltung in 2 Teile auf.
U1 = XCx · I1 = RDx · I2
U2 = XC · I1 = RD(l−x) · I2
14
(43)
(44)
Nun lösen wir die Gleichung nach Cx auf.
XCx
x
=
(45)
XC
l−x
1
x
(28) ωCx
⇒ 1 =
(46)
l−x
ωC
l−x
⇒ Cx = C ·
(47)
x
Wiederum nehmen wir an, dass die Kapazität des Vergleichskondensators ohne Fehler
ist. Für den Fehler gilt dann:
−l δCx = 2 · C · δx̃
(48)
x
3.3 Bestimmung von Induktivitäten
Abbildung 8: Wheatstonebrücke für Spulen
Hier machen wir das selbe wie bei der Bestimmung einer Kapazität. Allerdings müssen
wir hier beachten, dass eine Spule neben ihrem Induktiven Widerstand zusätzlich noch
einen Ohmschen Widerstand besitzt. Dadurch besitzen die meisten Spulen eine verschiedene Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Dies muss für eine genaue
Messung ausgeglichen werden, weshalb noch ein weiterer Widerstand in die Schaltung
eingebaut wird, der zusätzlich zu den Spulen hinzugeschaltet werden kann.
Nun ist es das selbe Verfahren wie bei der Bestimmung von Kapzitäten.
U1 = XLx · I1 = RDx · I2
U2 = XL · I1 = RD(l−x) · I2
Nun lösen wir die Gleichung nach Lx auf.
XLx
x
=
XL
l−x
x
(20) ωLx
⇒
=
ωL
l−x
⇒ Lx = L ·
15
x
l−x
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
Für den Fehler gilt hier nun, wieder unter der Voraussetzung, dass die Induktivität der
Vergleichsspule ohne Fehler ist:
l
· L · δx̃
δLx = (54)
(l − x)2 3.4 Auswertung
3.4.1 Ohmsche Widerstände
Zunächst werden die Ohmschen Widerstände betrachtet. In der folgenden Tabelle sind
unsere Messergebnisse zusammengefasst. Für den Fehler des Streckenabschnittes wird
der statistische Fehler der Messung mit dem Fehler der Ableseungenauigkeit aufsummiert. Dieser beträgt immer ± 0,2 cm.
R2
R4
R10
x1
x2
61.75
39.50
27.80
62.55
39.40
27.80
x3
x4
x5
in cm
63.70 62.70 62.90
39.15 38.90 39.20
28.10 28.30 27.60
x̃
62.72 ± 0.90
39.23 ± 0.43
27.92 ± 0.48
Rbekannt
in Ω
100
1000
1000
Tabelle 1: Messergebnisse der Ohmschen Widerstände
Mit den Gleichungen (41) und (42) lassen sich nun die jeweiligen Widerstände bestimmen.
• R2 = (168.24 ± 6.48) Ω
• R4 = (645.55 ± 11.74) Ω
• R10 = (387.35 ± 9.19) Ω
16
3.4.2 Kapazität von Kondensatoren
Nun betrachten wir die Kondensatoren. Hier gilt für die Kapazität des bekannten Kondensators
C = 4.66 µF
Für den Fehler wird wieder der statistische Fehler mit dem Ablesefehler aufaddiert.
Dieser ist wiederum ± 0.2 cm.
C3
C4
C6
x1
x2
69.70
59.50
41.15
69.80
59.50
41.30
x3
x4
x5
in cm
70.00 70.00 69.80
59.50 59.50 59.50
41.30 41.10 41.25
x̃
69.86 ± 0.33
59.50 ± 0.20
41.22 ± 0.29
Tabelle 2: Messergebnisse der Kondensatoren
Nun können wir mit den Gleichungen (47) und (48) die Kapazität der unbekannten
Kondensatoren berechnen.
• C3 = (2.010 ± 0.032) µF
• C4 = (3.172 ± 0.026) µF
• C6 = (6.645 ± 0.080) µF
17
3.4.3 Induktivität von Spulen
Als letztes betrachten wir noch die Induktivität von Spulen. Hier gilt für die Induktivität
der bekannten Spule
L = 8.6 mH
Wie zuvor wird der Fehler durch Addition des statistischen Fehlers und des Ablesefehlers
ermittelt. Hier nehmen wir aber jetzt eine Ableseungenauigkeit von ± 0.5 cm an, da das
Lautstärkeminimum nicht so genau zu bestimmen war.
L2
L4
L8
x1
x2
x3
29.6
49.8
88.5
27.4
49.5
88.7
24.9
49.3
88.2
x4
x5
in cm
26.3 28.4
49.6 49.6
88.4 88.9
x̃
27.32 ± 2.32
49.56 ± 0.68
88.54 ± 0.77
Tabelle 3: Messergebnisse der Spulen
Nun lassen sich die unbekannten Spulen mit Gleichung (53) und (54) berechnen.
• L3 = (3.23 ± 0.38) mH
• L4 = (8.45 ± 0.23) mH
• L6 = (66.4 ± 5.0) mH
3.5 Fehlerbetrachtung
Im Allgemeinen ist uns die Bestimmung sehr gut gelungen. Dies muss aber noch gesondert betrachtet werden. So ist zum Beispiel die Bestimmung der Widerstände und der
Kapazitäten sehr genau, die Bestimmung der Induktivitäten zwar immer noch genau,
aber nicht mit der Genauigkeit der Widerstände und Kapazitäten. Dies ist uns allerdings
schon während der Versuchsdurchführung aufgefallen. Während bei den Ohmschen Widerständen der Strom zwischendurch Null wurde und bei der Kapazität der Ton komplett
verschwand, war dies bei den Spulen nie der Fall, sondern man hörte nur ein Lautstärkeminimum, welches über eine größere Strecke auf dem Draht gleich blieb. Dadurch ist die
geringere Genauigkeit bei den Spulen leicht zu erklären.
Allerdings wurden bisher einige Fehlerquellen nicht beachtet. So haben die Messgeräte
eine gewisse Ungenauigkeit, genauso wie die Bauteile, welche zum Vergleich verwendet
wurden. Dies wurde in der Auswertung komplett vernachlässigt, weil kein Fehler angegeben war und wir somit nicht auf die Ungenauigkeit schließen konnten. Außerdem ist
eine Fehlerquelle das menschliche Gehör, welches kleine Lautstärkeunterschiede nicht so
genau wahrnehmen kann.
18
3.6 Fragen und Aufgaben
Frage 1 Sie haben ein Spannungsmessgerät ( Voltmeter“), das bei einer Spannung von
”
1V Vollausschlag anzeigt und einen Innenwiderstand von Ri = 100 kΩ besitzt. Weiterhin
steht Ihnen ein Sortiment verschiedenster ohmscher Widerstände zur Verfügung. Wie
können Sie damit den Messbereich so erweitern, dass eine Spannung von 100V gerade
Vollausschlag ergibt?
Ein Voltmeter misst eigentlich den Strom und berechnet die Spannung mit Hilfe des
Ohmschen Gesetzes. Dies bedeutet, dass es immer einen Vollausschlag bei der selben
Stromstärke gibt. Es gilt also:
100 V
1V
=
100 000 Ω
R
100 V · 100 000 Ω
R=
1V
I = const =
Man benötigt also insgesamt einen Widerstand von 10 MΩ. Da man diese in Reihe schaltet und der Innenwiderstand 0.1 MΩ ist, benötigt man einen Vorwiderstand von 9.9 MΩ.
Aufgabe 2 Leiten Sie mit Hilfe der kirchhoffschen Gesetze her, dass
a) bei einer Reihenschaltung ( Hintereinanderschaltung“) von Widerständen der Ge”
samtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände ist
b) bei einer Parallelschaltung von Widerständen der Kehrwert des Gesamtwiderstandes gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände ist.
1. siehe Kapitel 2.4.1
2. siehe Kapitel 2.4.2
Aufgabe 3 Stellen Sie die Wechselstromwiderstände in der komplexen Ebene dar und
diskutieren Sie die Bedeutung des Phasenausgleichswiderstandes“ Rv in der komplexen
”
Widerstandsebene.
Für die Darstellung siehe Grundlagenteil, Kapitel 2.7
Der Phasenausgleichswiderstand RP wird benutzt, um beim Vergleichen von zwei Spulen
die unterschiedlichen Phasendifferenzen zwischen Spannung und Strom auszugleichen.
Wenn gilt
L
Lx
=
Rx
R + RP
(55)
haben beide Spulen die gleiche Phasenverschiebung und die Spulen sind besser zu vergleichen.
19
Frage 5 Stellen Sie eine Differentialgleichung für Spannung und Strom an einer Hintereinanderschaltung von Induktivität L, Kapazität C und ohmschem Widerstand R auf.
Zeigen Sie, dass der komplexe Ansatz
U (t) = U0 · eiωt
I(t) = I0 · e
(56)
i(ωt−ϕ)
(57)
eine Lösung darstellt und dass gilt:
tan ϕ =
1
ωL − ωC
Rs
U0
=Z=
I0
R2
(58)
2
1
+ ωL −
ωC
(59)
Wie erhält man aus den komplexen Größen die wirklichen“ Werte für Spannung und
”
Strom?
Nach der Maschenregel gilt, dass die anliegende Spannung Ua und die Induktionsspannung UInd gleich sein muss wie der Spannungsabfall am Kondensator UC und am
Widerstand UR .
Ua + UInd = UC + UR
Q
Ua = + R · I + L · I˙
C
Nun bilden wir die zeitliche Ableitung und setzen den in der Aufgabenstellung genannten
Einsatz ein.
I
dI
d2 I
dUa
= +R·
+L· 2
dt
C
dt
dt
i(ωt−ϕ)
I0 · e
iωU0 · eiωt =
+ R · iωI0 · ei(ωt−ϕ) − L · ω 2 I0 · ei(ωt−ϕ)
C
1
2
iωt
i(ωt−ϕ)
+ R · iω − ω · L
iωU0 · e = I0 · e
·
C
U0 iϕ
1
·e =
+ R + iωL
I0
iωC
1
Z = R+i· ω·L−
ω·C
Für den Betrag vom komplexen Widerstand Z und die Phasenverschiebung ϕ gilt dann:
s
2
1
|Z| = R2 + ωL −
ωC
ωL −
=(Z)
tan ϕ =
=
<(Z)
R
20
1
ωC
Für die wirklichen“ Werte für Spannung und Strom betrachtet man nur den Realteil
”
der beiden komplexen Funktionen. Es gilt also
Uwirklich (t) = U0 · cos(ωt)
Iwirklich (t) = I0 · cos(ωt − ϕ)
Aufgabe 6 Beweisen Sie, dass der Messfehler minimal wird, wenn der Schleifkontakt
nach dem Nullabgleich gerade in der Mitte des Drahtes liegt.
Hierfür betrachten wir den relativen Fehler des Widerstandes des Drahtes.
δRl δRx δRl−x =
+
Rl Rx Rl−x δRx δRl−x +
|δRl | = |Rl | · Rx Rl−x Rl ist der Widerstand des Gesamtdrahtes, Rx der Widerstand des Drahtes bis zur Position x und Rl−x ist der Widerstand des restlichen Drahtes. Weiterhin gilt: Rl = Rx + Rl−x
und δRx = δRl−x .
δR
·
R
δR
·
(R
−
R
)
x
x
x
l
x
+
δRl = Rl ·
Rx · (Rl − Rx )
(Rl − Rx ) · Rx δRx · (Rl − Rx + Rx ) = Rl ·
Rx · Rl − Rx2
Rl2 · δRx = Rx · Rl − Rx2 Damit der Fehler nun minimal wird, muss der Nenner maximal werden. Hierfür leiten
wir den Nenner nach Rx ab und setzen die Ableitung auf Null.
Rl − 2Rx = 0
Rx + Rl−x − 2Rx = 0
Rx = Rl−x
Wir erhalten also eine Extremstelle bei Rx = Rl−x . Da die zweite Ableitung -2 ist, ist
dies ein Maximum, wodurch der Fehler minimal wird. Es folgt also daraus, dass der
Fehler minimal wird, wenn x = 2l .
Frage 7 Warum wird die Messung der Induktivität ungenauer, wenn man den zusätzlichen Widerstand Rv nicht je nach Bedarf immer nur in einen der beiden Zweige schaltet,
sondern ihn als Potentiometer betreibt (alle drei Anschlüsse werden gleichzeitig benutzt,
wobei die äußeren Anschlüsse an die Spulen gelegt werden, während der Schleifkontakt
des regelbaren Widerstandes am Kopfhörer angeschlossen wird)?
Der Widerstand ist dann nicht mehr explizit vor die Spule geschaltet, an welcher er
benötigt wird, sondern ein Teil des Widerstandes ist zu jeder Spule hinzugeschaltet. Es
wäre zwar immer noch möglich einen Phasenausgleich durchzuführen, doch durch diese
Schaltung wäre es unnötig erschwert.
21
Frage 8 Welche Bedeutung hat die spezielle Kreisfrequenz
ω0 = √
1
L·C
(60)
offenbar in Gleichung (59)?
Bei dieser Kreisfrequenz verschwindet bei einer LCR-Schaltung der Blindwiderstand
und somit auch die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom.
s
2
1
|Z| = R2 + ωL −
ωC
v
u
r
r !2
u
L
L
−
= tR 2 +
C
C
=R
ωL −
tan ϕ =
R
1
ωC
q
=
22
L
C
−
R
q
L
C
=0
4 Versuch 2: Der Elektrolytische Trog
4.1 Versuchsaufbau und -durchführung
Ein Elektrolytischer Trog dient zur Messung von Äquipotentiallinien in elektrischen
Feldern. Er besteht im allgemeinen aus einer Kunststoffwanne, die mit einem Elektrolyt gefüllt ist. Hier können wir nun verschiedene Aufbauten hineinlegen. Nun legt man
Wechselspannung an 2 oder mehr Elektroden an. Da die Elektroden bei angelegter Spannung verschiedene Potential haben, bildet sich ein elektrisches Feld aus. Dann bestimmt
man mit einer Sonde Punkte mit gleichem Potential. Dadurch erhält man die Äquipotentiallinien.
4.2 Auswertung
Wir haben verschiedene Aufbauten vermessen. Die Bilder der elektrischen Felder findet
man im Anhang.
4.2.1 Das Potentialdiagramm
Für die Abstandsabhänigkeit vermessen wir die gemessenen Punkte des Potentials. Für
die Ablesegenauigkeit nehmen wir einen Fehler von ± 2 mm an. Außerdem bestimmen wir
noch die Standardabweichung. Die Addition dieser beiden Fehler ergibt den Gesamtfehler
des Abstandes. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
Spannungsabfall
in %
30
45
60
80
r1
r2
36
47
65
102
32
45
65
101
r3
r4
r̃
in mm
31
31 32.50 ± 2.58
44
43
44.75± 1.91
63
62
63.75± 1.70
100 101 101.00± 1.02
Tabelle 4: Gemessene Werte der Äquipotentiallinien
23
Das Diagramm stellt die Daten der Tabelle (4.2.1) dar:
Abbildung 9: Halblogarithmisches Diagramm der Werte von Tabelle (4.2.1)
4.3 Fehlerbetrachtung
In dem Versuch gab es mehrere Fehlerquellen. Zunächst mal, dass die Kunststoffwanne
und der Aufbau darin nicht fixiert waren, wodurch der Aufbau leicht verschoben werden
konnte und man so schnell sehr große Fehler erzeugen konnte. Weiterhin war vermutlich
die Sonde nicht völlig gerade, was dazu führte, dass die Punkte immer in die selbe
Richtung verschoben wurde.
Auch der Stift zum markieren der Punkte war nicht ohne Fehler, da er sich leicht in
seiner Halterung bewegen ließ.
Im Allgemeinen lässt sich aber sagen, dass wir trotz dieser Fehlerquellen recht gute
Ergebnisse erhalten haben.
4.4 Fragen und Aufgaben
Frage 1 Warum benutzt man bei Messungen am elektrolytischen Trog zweckmäßigerweise Wechselspannung und nicht Gleichspannung?
24
Bei Gleichspannung würden die Ionen in der Lösung zu den geladenen Elektroden wandern. Diese würden sich dann dort ablagern und es würde eine sogenannte Debye-Schicht
entstehen, was das Feld stark abschwächen würde.
Aufgabe 2 Beweisen Sie, dass bei der koaxialen Elektrodenanordnung die folgende Beziehung gilt:
E(r) = const./r
(61)
mit
E = elektrischeFeldstärke,
r = AbstandvomMittelpunktderElektrodenanordnung.
Die Verschiebungsdichte ist gegeben mit:
Q
2π · r · a
D = r · 0 · E
D(r) =
Setzt man die beiden Gleichung gleich und stellt sie nach E um, erhält man folgende
Gleichung:
E=
1
const.
Q
=
2π · a · r · 0 r
r
|
{z
}
const.
Frage 3 Unter welchen Voraussetzungen gibt es Feldlinien, die beim Dreielektrodensystem direkt von der äußeren Elektrode zur anderen äußeren Elektrode verlaufen?
Für einen Durchgriff, also gerade durchlaufende Feldlinien, muss das angelegte Potential
an der mittleren Platte genau dem Potential der Äquipotentiallinie an diesem Punkt
entspricht. Es muss also gelten:
AbstanddermittlerenPlatte
PotentialdermittlerenPlatte
=
Gesamtabstand
Gesamtpotential
Frage 4 Welche Veränderung der Äquipotentiallinien erwarten Sie, wenn Sie bei der
Elektrodenanordnung aus Punkt 4 der Versuchsdurchführung an den kreisrunden Leiter
ein Potential zwischen den beiden Potentialen der äußeren Elektroden anlegen?
Welchem Stromlinienverlauf aus der Strömungsmechanik entsprechen diese Äquipotentiallinen?
25
Wenn kein Potential an den Ring angelegt ist, dann kann man die Äquipotentiallinien mit einer laminaren Strömung vergleichen.
Wenn man nun ein Potential anlegt, dann werden die zuvor symmetrischen Äquipotentiallinien nicht mehr komplett parallel, sondern sie werden je nach Potential am Ring
gekrümmt.
5 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Zeigerdarstellung des induktiven Widerstandes im komplexen .
Zeigerdarstellung des kapazitiven Widerstandes im Komplexen
Zeigerdarstellung des LCR-Widerstandes . . . . . . . . . . . .
Stromfehlerschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spannungsfehlerschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wheatstonebrücke für Widerstände . . . . . . . . . . . . . . .
Wheatstonebrücke für Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . .
Wheatstonebrücke für Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halblogarithmisches Diagramm der Werte von Tabelle (4.2.1) .
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8
10
11
12
12
13
14
15
24
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.
16
17
18
23
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
Messergebnisse der Ohmschen Widerstände
Messergebnisse der Kondensatoren . . . .
Messergebnisse der Spulen . . . . . . . . .
Gemessene Werte der Äquipotentiallinien .
.
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Literatur
Anfängerpraktikum: Versuchsanleitung Elektrolytischer Trog. Universität Konstanz,
2012
Anfängerpraktikum: Versuchsanleitung Wheatstone-Brücke. Universität Konstanz,
2012
Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008
Dekorsy, Thomas/Nowak, Ulrich: Mitschrift des IK 2. Markus Gruber, 2010
Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer, 2008
www.wikipedia.de: http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrostatik.
26