2. ¨Ubung zur Einf ¨uhrung in die Plasmaphysik

2. Übung zur Einführung in die Plasmaphysik
Prof. Kaufmann, WS 98/99
Lösungen
1. Kollektive / Nicht-kollektive Streuung Streuung erfolgt, wenn die Wellenlänge der gestreuten
Welle größer oder gleich der charakteristischen Abmessung der streuenden Potentiale ist. Die
2 1 2 .
charakteristische Länge von Ladungsstörungen im Plasma ist die Debye-Länge, D
0 kT ne
Für Lichtwellenlängen kleiner als
D
wird das Licht an einzelnen Elektronen gestreut.
Für Lichtwellenlängen größer als D “sieht” das Licht die Elektronen in der Ladungswolke, welche die Ionenladung abschirmt, als Ganzes.
Dies ist z.B. von Bedeutung, wenn die Doppler-Verschiebung des gestreuten Lichts ausgewertet
werden soll. Bei nicht kollektiver Streuung bestimmt die Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen allein das Streu-Spektrum. Bei kollektiver Streuung überlagern sich die Verschiebung
durch die gemeinsame Bewegung (Ionen-Geschwindigkeit!) und die individuelle thermische
Bewegung der Elektronen. Welcher Effekt überwiegt, hängt von der Zahl der Elektronen in der
“Debye-Kugel” ab:
Ne D
neVD
4
ne
3
3
D
4
3 2
0
3e3
kT
3 2
1 2
ne
Beispiel: Für ein Fusionsplasma ist z.B. kT 10 keV, ne 1020 m 3 . Damit ist D 74 m
und ND e 1 7 108. Mit einem Nd:YAG Laser (Vakuum-Wellenlänge
1 064 m) erfolgt die Streuung unabhängig an einzelnen Elektronen. Mit einem Gyrotron (Frequenz 140
GHz, Vakuum-Wellenlänge 2 mm) kann kollektive Streuung beobachtet werden, da die kollektive Elektronenbewegung durch eine genügend hohe Anzahl von Elektronen das Spektrum dominiert.
2. Thomson-, Rayleigh-, Brillouin- und Raman-Streuung Thomson-Streuung bezeichnet
allgemein die Streuung von Licht an (freien) Elektronen. Rayleigh-Streuung ist die LichtStreuung an Brechungsindex-Fluktuationen (z.B. Ursache des blauen Himmels).
Brillouin-Streuung ist Streuung an akustischen Phononen (Festkörper) bzw.an Ionen-akustischen
Wellen (Plasma). Raman-Streuung ist Streuung an optischen Phononen im Festkörper.
3. Thomson-Streuquerschnitt Wir betrachten zunächst die Wirkung der einfallenden Strahlung
auf ein Elektron. Die Energiedichte der einfallenden Strahlung (Index i) beträgt Pi 1 2 Ei Di
2
2
Hi Bi
0 Ei
0 Hi . Die Intensität (Leistung je Flächeneinheit) ergibt sich aus der Energiedichtedichte der Wellenpakete mal ihrer Ausbreitungsgeschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit).
Im zeitlichen Mittel: Ii
1 2 0 cEi2 , wobei Ei die Amplitude des elektrischen Feldes ist.
Für ein Elektron im Wechselfeld gilt die Bewegungsgleichung:
mv̇
eEi cos kr
t
Die Leistung der elektromagnetischen Strahlung einer beschleunigten Ladung (z. B. Hertz’scher
Dipol) je Raumwinkelelement beträgt (J. D. Jackson, Kap. 14 bzw. Landau-Lifshitz, Bd. II,
§67):
1
e4 Ei2
sin2
2
3
2
16 0 c me
e2 v̇2
sin2
2
3
16 0c
dP
d
cos kr
t
ist der Winkel zwischen der Polarisierungsrichtung der Welle (=Bewegungsrichtung des
Elektrons) und der Beobachtungsrichtung:
z
d
k
i
y
x
Im Zeitmittel:
d P̄
d
e4
32
2
E 2 sin2
3 m2 i
c
0
e
e4
16
I sin2
2 2 c4 m2 i
e
0
2
t Ii sin
wobei t 8 10 30 m2 der Thomson-Streuquerschnitt ist.
Interessanterweise ist t gleich dem Quadrat des klassischen Elektronenradius
e2
4 0 mc2
erhalten aus Gleichsetzen der elektrostatischen Energie einer homogen geladenen Kugel
2
e 4 0 re und der Elektronen-Ruhemasse mc2 . Dieser Zusammenhang spiegelt die Verknüpfung
von spezieller Relativitätstheorie und Elektrodynamik wieder.
Wir müssen noch die nicht-relativistische Behandlung der Abstrahlung rechtfertigen und
tun das an einem praktischen Anwendungsbeispiel, der Diagnostik der Elektronentemperatur
durch Laser-Streuung. In der Praxis wird z. B. ein Nd:YAG Laser (
1 064 m) verwendet,
13
2
der gepulst eine Intensität von Ii 5 10 W/m erreicht. Dies entspricht einer Feldstärke
von 2 108 V/m. Die maximale Geschwindigkeit (max. Beschleunigung dividiert durch
Winkelgeschwindigkeit
2 c ) der durch dieses Feld bewirkten harmonischen Bewegung
4
ist vi 2 10 m/s. Im Vergleich dazu beträgt die überlagerte thermische Geschwindigkeit
vth e
3kTe me bei Te 5 keV bereits 5 107 m/s (c 3 108 m/s). Die thermische Bewegung (die aufgrund der Doppler-Verschiebung das Wellenlängenspekrum bestimmt) ist somit
bei hoher Plasmatemperatur bereits schwach relativistisch.
re
4. “Ausbeute” an Streustrahlung Die Intensität der gestreuten Strahlung je Elektron in optimaler Beobachtungsrichtung (senkrecht zur Polarisationsebene) ergibt sich als
d P̄
8 10 30Ii
d
Der Beobachtungs-Raumwinkel sei typisch
0 01. Im Beobachtungsvolumen Vs (typisch 1 mm x 1mm x 4 cm 4 10 8 m3 ) halten sich Vs ne 4 1012 Elektronen auf. Damit
2
beträgt die detektierte Leistung des gestreuten Lichtes Ps 32 W. Bei einer Photonenenergie
von 1 17 eV entspricht dies 1 7 1014 Photonen/s. Der Laserpuls dauert ca. 20 ns, d.h. die
Gesamtzahl der Photonen beträgt ca. 3 4 106 für das gesamte Streuspektrum. Diese Intensität
kann noch spektral aufgelöst werden, um die Frequenzverschiebung durch den Dopplereffekt
zu bestimmen.
Die einfallende Lichtintensität entspricht 2 7 1032 Photonen/s, d.h. nur jedes 1018 -te einfallende Photon wird aus dem beobachteten Volumen in den Detektor gestreut.
In der Praxis wird, bei nicht allzu kleinen Dichten, die Thomson-Streuung als Methode zur
Bestimmung der Elektronendichte (Intensität) und Elektronentemperatur (spektrale Verteilung,
unter Annahme einer Maxwell-Verteilung der Geschwindigkeit) verwendet.
5. Streuspektrum Das nicht-kollektive Streuspektrum ergibt sich aus der Dopplerverschiebung
aufgrund der unkorrelierten thermischen Bewegung der Elektronen in Beobachtungsrichtung.
Wir nehmen eine Maxwell-Verteilung der Geschwindigkeit an:
ne
f v
v2
exp
3 2 a3
2v2
a2
Da nur die Geschwindigkeit in Beobachtungsrichtung zur Doppler-Verschiebung beiträgt,
können wir über die Geschwindigkeit in den senkrechten Bewegungsrichtungen integrieren
( 0 exp a2 x2 dx
2a ) und erhalten die eindimensionale Verteilungsfunktion
ne
fv v
fv
a
Uns interessiert die spektrale Verteilung f
v zusammenhängt:
f
, die mit der Geschwindigkeits-Verteilung
d
fv v
bzw., mit der Doppler-verschobenen Frequenz
schiebung
iv c
f
dv
d
c
fv v
v2 a2
exp
dv
s
i
1
c ne
fv v
i
i
v c
me
exp
2kTe
, d.h. der Ver-
i
me v2
kTe
Die Intensität pro Frequenzintervall ist das Produkt aus der Verteilungsfunktion und einem
Faktor, der wiedergibt, daß sich bei gegebener Feldstärke für Blauverschiebung die Intensität
erhöht (mehr Wellenpakete pro Zeiteinheit) und bei Rotverschiebung erniedrigt:
I
1
s
f
i
6. Ionen-Abbremsung Wir berechnen die Leistung, die ein Testteilchen (Ion, index t, Energie
1
2
2 mt vt ) an die Plasma-Elektronen (Index e) und Plasma-Ionen (Index i) abgibt (beide haben eine
Maxwell-Verteilung der Geschwindigkeit).
Die Stoßzeiten für Ionen an thermischen Elektronen ist (s. z.B.: J. Wesson, Tokamaks):
3 2 kTe
ie
1 2
3 2
me mi AD
mit der Abkürzung
3
AD
ne4 ln
2 0 mt2
Dies gilt für den angenommenen Fall vth e vt , in dem die Relativgeschwindigkeit allein
durch die Elektronen bestimmt wird.
Für die Abbremsung an den Plasma-Ionen müssen wir 2 Grenz-Fälle unterscheiden:
1. vt
vth i : Hier gilt in Analogie:
3 2 kTi
ii
3 2
3 2
2mi AD
wobei ein Faktor 2 durch die unterschiedliche reduzierte Masse auftritt.
2. vt vth i : In diesem Fall wird die Relativgeschwindigkeit allein durch die Test-Ionen
bestimmt und es gilt:
ii
vt3
AD
Die Stoßzeit war als p ṗ eingführt worden, wobei ṗ die Impulsänderung pro Zeit, also die
Kraft auf das Testteilchen ist. Die Leistung, die an das Elektronen bzw. Ionengas abgegeben
wird, ergibt sich als Kraft mal Geschwindigkeit:
Pie
mi vt2
ie
und, für den Fall mi
2Et
ie
mt ,
Pii
Das Verhältnis (im Fall vt
mi mt vt2
mi mt
ii
mi vt2
2 ii
Et
ii
vth i ) ergibt sich damit als
Pie 2 ii
Pii
ie
Die Leistung an die Elektronen überwiegt, wenn dieses Verhältnis
Teilchenenergie:
1 wird, also für eine
mi 1 3 3 2 3
2 1 3 kTe
30 kTe
me
2
Für kleinere Energie wird vornehmlich durch Stöße an den Ionen abgebremst.
Et
4