Ubungen zur Physik 1 – Lösungen zu Blatt 2

Prof. T. Esslinger
Dr. T. Donner
Übungen zur Physik 1 – Lösungen zu Blatt 2∗
(Dated: 10. Oktober 2012)
I.
INTEGRATION
1000m
Während der Beschleunigungsphase wird die Geschwindigkeit um den Betrag ∆v = v2 − v1 = 20 km
h =20 3600s =
m
5.6 s erhöht. Als Nullpunkt der Zeitachse kann der Beginn der Beschleunigungsphase definiert werden. Die totale
Änderung der Geschwindigkeit v ergibt sich aus der Integration von t = 0 bis zur gesuchten Beschleunigungsdauer
∆t. Die Beschleunigung ist a(t) = c · t mit c = 0.03 m/s3 . Dann ist
t=∆t
Z
∆v =
Z
t=∆t
a(t)dt =
t=0
t=0
∆t
t2
∆t2
c · t dt = c ·
=c·
2 0
2
Das Zeitintervall ∆t kann durch Umformen ermittelt werden:
s
r
2∆v
2 · 5.6 m/s
=
= 19s.
∆t =
c
0.03 m/s3
(2)
v(t)
v2
v1
∆t
0
II.
t
0
BEWEGUNG IN EINER DIMENSION: RENNEN VS. GEHEN
1. Position als Funktion der Zeit:
D
D/2
0
∗ Aufgaben
tA/2
tA
t1
tB
(1)
t
und Lösungen sind auch erhältlich unter www.quantumoptics.ethz.ch → Lectures
2
2. Die Person, die weniger Zeit geht und mehr Zeit rennt wird gewinnen. Bob geht die Hälfte der Strecke und
benötigt dafür länger als die Hälfte seiner gesamten Zeit, da Gehen langsamer als Rennen ist. Er geht also für
eine längere Zeit als Alice und verliert demnach.
3. Bob wird nach der Zeit t1 die Hälfte der Strecke (D/2) zurückgelegt haben: t1 =
Weges benötigt er demenstprechend
D/2
vr .
D/2
vg ,
für die zweite Hälfte des
Insgesamt benötigt Bob also
tB =
D/2 D/2
v g + vr
+
= D/2
vg
vr
vg vr
(3)
D
2vg vr
=
tB
vg + vr
(4)
4. Als Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich
vB =
5. Alice verbringt die Hälfte der Zeit mit Gehen und die andere Hälfte mit Rennen:
tA
tA
vg + vr = D
2
2
III.
=⇒
tA =
2D
v g + vr
(5)
FELSSTURZ
Der Felsbrocken fällt im freien Fall nach dem Gesetz x(t) = 21 gt2 , wobei g = 9.81 m/s2 die Erdbeschleunigung
ist. In der Aufgabe gibt es zwei Unbekannte, nämlich die Gesamtfallzeit T und die Fallstrecke S. Es werden also
zwei Informationen/Gleichungen benötigt, um zu lösen: Diese stecken in der Beobachtung des Wanderers, dass der
Felsbrocken von x(t1 ) = 43 S bis x(T ) = S genau ∆t = T − t1 = 0.9 Sekunden unterwegs war. Die Gleichungen sind
dann
3
S
4
x(T ) = S
x(t1 = T − ∆t) =
(6)
(7)
Man kann nun S eliminieren und erhält mit dem Fallgesetz
3
x(T )
4
31 2
=
gT .
42
x(T − ∆t) =
⇒
1
g(T − ∆t)2
2
(8)
(9)
Auflösen nach T ergibt T 2 − 8 ∆t T + 4 ∆t2 = 0. Diese Gleichung hat die Lösungen:
p
√
T± = 4∆t ± 16∆t2 − 4∆t2 = ∆t(4 ± 12)
(10)
√
Wir haben nun zwei Lösungen für die gesamte Fallzeit T . Die Lösung T− = (4 − 12)∆t ' 0.54∆t ist jedoch
unphysikalisch, denn die Gesamtfallzeit kann natürlich nicht kürzer sein als die Zeit ∆t. Die korrekte Lösung für die
Fallstrecke lautet somit:
√
1
S = x(T+ ) = g((4 + 12)∆t)2 = 221 m
(11)
2
IV.
BEWEGUNG IN ZWEI DIMENSIONEN: REGENSCHIRM
Regentropfen und Spaziergänger haben in x-Richtung eine Relativgeschwindigkeit vrel = vx − ṽx . Aus Sicht des
Spaziergängers fallen die Tropfen also unter dem Winkel α gegen die z-Achse mit tan α = −vrel /vz . Dieser Winkel
muss kleiner sein als der Winkel β: tan β = R+D
h . Daraus ergibt sich folgende Bedingung:
tan α < tan β bzw.
vrel
R+D
h × vrel
<
bzw. D >
− R.
vz
h
vz
Mit den angegeben Zahlen ergibt sich: D > 3.3 cm für Windstille und D > 0.4 m für Wind mit 0.5 m/s.
(12)