2. Minitest 12.12.2013

2. Minitest
12.12.2013
Pool A
Name:
Matrikelnummer:
Gruppennummer:
1. Die Glühbirnen eines Herstellers haben eine exponential-verteilte Lebensdauer von 4 (
Jahren. Der Hersteller behauptet, daß mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
95% in einer Packung von Glühbirnen mindestens 30 Glühbirnen länger als 4 Jahre
leben. Wie viele Glühbirnen müssen in der Packung mindestens sein, damit der
Hersteller Recht hat?
/2 Pkt.)
Lösung: Jede Glühbirne hat eine exponentialverteilte (mit Parameter λ = 1/4) Lebensdauer. Sei X ∼ Exp(λ). Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne
länger als 4 Jahre lebt gleich p := P (X ≥ 4) = e−1 . Die Lebensdauern der Glühbirnen sind als unabhängig anzunehmen. Betrachte nun n Glübirnen. Sei Y die Anzahl
der Glühbirnen die länger als 4 Jahren leben. Somit ist Y ∼ Bin(n, p) und es gilt
das kleinste n zu finden, so dass die folgende Ungleichung gilt:
n X
n k
P (Y ≥ 30) =
p (1 − p)n−k ≥ 0.95.
k
k=30
Nehmen wir an, dass n ausreichend gross ist, um eine Approximation durch eine
Normalverteilung durchführen zu können. Wir benützen den Grenzwertsatz von De
Moivre - Laplace mit Stetigkeitskorrektur:
!
30 − 21 − np
= 0.95.
P (Y ≥ 30) = P (30 ≤ Y ≤ n) ≈ 1 − Φ p
np(1 − p)
Aus der Tabelle lesen wir ab, dass Φ(−1, 65) = 0.05 und somit muss
30 − 12 − np
p
= −1, 65.
np(1 − p)
Auflösen nach n ergibt: n = 102. Nun müssen wir noch überprüfen, ob die Faustregel
für die Anwendung des Grenzwertsatzes gilt: np(1 − p) = 102e−1 (1 − e−1 ) > 9. Das
selbe Resultat erhält man durch exakte Berechnung.
2. Es sei folgende Dichtefunktion des Zufallsvektors (X, Y ) gegeben:
(
10e−3x−2y , falls 0 < x < y < ∞,
fX,Y (x, y) =
0,
sonst.
(
/3 Pkt.)
(a) Bestimmen Sie die Randdichten von X und Y .
(b) Sind X und Y stochastisch unabhängig?
Lösung: (a): Für die Randdichte von X erhält man:
Z ∞
fX,Y (x, y)dy
fX (x) =
−∞
Z
Z ∞
−3x−2y
−3x
10e
dy1{x ≥ 0} = 10e
=
x
−5x
= 5e
∞
e
−2y
dy 1{x ≥ 0}
x
1{x ≥ 0}.
Für die Randdichte von Y erhält man:
Z ∞
fY (y) =
fX,Y (x, y)dx
Z−∞
y
10
10e−3x−2y dx1{y ≥ 0} = · · · = (e−2y − e−5y )1{y ≥ 0}.
=
3
0
(b): Die ZVen X und Y sind nicht unabhängig, denn fX,Y (2, 1) = 0 6= fX (2)fX (1).
3. Das Füllvolumen X (in ml) beim Abfüllen von Bier sei normalverteilt mit µ = 500ml (
und σ = 4ml.
(a) Wie viel Prozent Ausschuß sind zu erwarten, wenn das Füllgewicht um höchstens
±10ml vom Sollwert 500ml abweichen darf?
(b) Wie muss man die Toleranzgrenzen 500 − c und 500 + c wählen, damit man
höchstens 0.4% Ausschuß erhält?
Lösung: (a): Man beginne mit
P (−10 ≤ X − 500 ≤ 10) = P (−
Nun ist Z =
X−500
4
X − 500
10
10
≤
≤ ).
4
4
4
∼ N (0, 1) und somit
P (−10 ≤ X − 500 ≤ 10) = P (−2, 5 ≤ Z ≤ 2, 5) = Φ(2, 5) − Φ(−2, 5)
= 2Φ(2, 5) − 1 = 0, 988.
Somit ist mit einem Ausschuss von 1, 12% zu rechnen. (b) Wie oben erhält man
c
X − 500
c
P (−c ≤ X − 500 ≤ c) = P (− ≤
≤ )
4
4
4
c
c
c
= Φ( ) − Φ(− ) = 2Φ( ) − 1.
4
4
4
Es soll nun folgendes gelten:
c
P (−c ≤ X − 500 ≤ c) = 2Φ( ) − 1 ≥ 0.996.
4
Und somit soll c so gewählt werden, dass Φ( 4c ) = 0, 998. Somit ist c = 4 · 2, 88 =
11, 52. Bemerkung: die ausgeteilte Tabelle ist nur auf drei Dezimalen genau, dort
sollte c = 4 · 2.96 = 11, 84 gewählt werden.
/3 Pkt.)