Steckbriefaufgabe "Firmenlogo" Gegeben: f(x) = 0,5x² im Intervall

Steckbriefaufgabe "Firmenlogo"
Gegeben: f(x) = 0,5x² im Intervall von [-2;2]
Gesucht: p(x), Parabelfunktion, welche (wie in der Abbildung ein
"Dach" auf f(x) bildet und zwar derart, dass an den "Eckpunkten"
ein rechter Winkel entsteht.
Lösung:
Ansatz: p(x) = ax² + bx + c
p'(x) = 2ax + b
p'(2) = -0,5 denn f '(2) = 2, und da die "Ecken" (also die
Tangenten der Funktionen) senkrecht aufeinandertreffen
sollen, muss die Formel mT = -1/m verwendet werden
p(2) = 2
denn f(2) = 2 (p und f sollen
"aufeinandertreffen")
p(-2) = 2
(Begründung wie oben)
Typische Formulierungen bei Steckbriefaufgaben
"Die gesuchte Funktion f .....
● verläuft durch Punkt P(4|7)"
→ f(4) = 7
● hat Nullstelle bei x=3"
→ f(3) = 0
● schneidet die y-Achse bei 2"
→ f(0) = 2
● scheidet die Gerade mit y= -3x-1 auf der y-Achse"
→ f(0) = -1
● berührt die x-Achse bei x=4"
→ f(4) = 0
→ f '(4) = 0
(Hinweis: "berührt" heißt "nicht schneiden")
● hat Tiefpunkt TP(2 | -6)"
→ f(2) = -6
→ f '(2) = 0
● hat Wendepunkt bei WP(2 | -6)"
→ f(2) = -6
→ f ''(2) = 0
● besitzt im Punkt (4|-1) die Steigung 5"
→ f(4) = -1
→ f '(4) = 5
● schneidet die erste Winkelhalbierende bei x=2 senkrecht"
→ f(2) = 2 denn die Winkelhalbierende verläuft
durch (2|2)
→ f '(2) = -1 denn Steigung von Wink.H. ist 1, also
ist die dazu "senkrechte Steig." -1
● ist eine achsensymmetrische Parabel"
→ Wähle Ansatz f(x) = ax² + c
Fallen bei Steckbriefaufgaben
Beispiel: Gesucht f(x) mit:
● f(x) ist achsensymmetrische Parabel
● verläuft durch (2|4)
● verläuft durch (-2|5)
Standardverfahren liefert:
Ansatz f(x) = ax² + c
I f(2) = 4
also
4a + c = 4
II f(-2) = 5
also
4a + c = 5
Eingabe in den TR und Lösen des LGS liefert: "Mathem. Fehler"
(Man könnte vermuten: immer dann, wenn "mathematischer
Fehler" herauskommt, gibt es keine Funktion mit den obigen
Bedingungen. Aber Vorsicht!)
Beispiel2: Gesucht f(x) mit:
● f(x) ist achsensymmetrische Parabel
● verläuft durch (2|4)
● verläuft durch (-2|4)
Standardverfahren liefert:
Ansatz f(x) = ax² + c
I f(2) = 4
also
4a + c = 4
II f(-2) = 4
also
4a + c = 4
Eingabe in den TR und Lösen des LGS liefert wieder "m.Fehler"
Merke: "Mathematischer Fehler" kann hier bedeuten: Es gibt
keine Funktion, die die Bedingung erfüllt – oder es gibt unendlich
viele Funktionen, die die Bedingungen erfüllen!
Extremwertaufgabe: "Schachtel"
Aus einem DinA4-Blatt (ca 21cm mal 30cm) soll eine Schachtel
gebaut werden. Dazu wählt man einen Abstand x vom Blattrand
und benutzt diese Ränder als aufzklappende Wände der Schachtel.
Aufgabe: Finde einen Abstand x so, dass das Volumen der
Schachtel maximal wird!
Vorüberlegungen:
a) Volumen einer Schachtel mit Randabstand x=5
b) .......
x=6
Volumen eines Quaders: V = Länge * Breite * Höhe
Hier
V = (30-2·5) * (21-2·5) *
5
= 1100 cm³