Neutrino-Kosmologie Seminar zur Theorie der Teilchen und Felder

Neutrino-Kosmologie
Seminar zur Theorie der Teilchen und Felder
Michael Wigard
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation und Wiederholung
1.1 Wichtige Eigenschaften von Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
1.2
Neutrinooszillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Bestimmung der Neutrinomasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Neutrino-Kosmologie
4
2.1
2.2
Entkoppeln aus dem Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
2.3
2.4
Anzahl der Neutrinofamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
1
1
Motivation und Wiederholung
Beim Lesen des Begriffs „Neutrino-Kosmologie“ stellt sich die Frage, was Neutrinos aus Kosmologischer sicht interessanter als andere Teilchen macht. Die Antwort auf diese Frage liegt zum einen
im frühen Entkoppeln der Neutrinos aus dem thermodynamischen Gleichgewicht und zum anderen
in der Tatsache, dass viele Eigenschaften der Neutrinos noch unbekannt sind. So stellt sich zum
Beispiel die Frage, ob die Neutrinomasse kosmologisch relevant ist. Die ungeklärte Frage, ob es sich
bei Neutrinos um Dirac- oder um Majorana-Teilchen handelt ist hier ebenfalls von Bedeutung. Des
Weiteren hätte eine mögliche Instabilität der Neutrinos einen Einfluss auf die Frage nach der kosmologischen Relevanz der Neutrinomasse. Damit hängt auch die Frage zusammen, ob die Neutrinos als
Kandidat für die Dunkle Materie in Frage kommen. Die Neutrino-Kosmologie vereint also Fragen
aus der Physik jenseits des Standardmodells mit denen der Kosmologie, wobei jeder Fortschritt im
einen Gebiet zu neuen Erkenntnissen im anderen führen kann.
1.1
Wichtige Eigenschaften von Neutrinos
Bei Neutrinos handelt es sich um schwach wechselwirkende elektrisch neutrale fermionische Teilchen.
Sie wurden 1930 von Wolfang Pauli postuliert um das in Abbildung 1.1 dargestellte kontinuierliche
Energiespektrum des β − -Zerfalls zu erklären. Beim β − -Zerfall handelt es sich um die Reaktion
n −→ e− + p + ν̄e .
Bei einem Zweikörperzerfall wären die Energien der Zerfallsprodukte durch Energie- und Impulserhaltung eindeutig bestimmt. Erst durch die Einführung des Neutrinos konnte das in Abbildung
1.1 dargestellte kontinuierliche Spektrum erklärt werden. Das Neutrino wurde erstmals 1956 von
Cowan und Reines über einen inversen Betazerfall nachgewiesen, wofür Reines 1995 den Nobelpreis
erhielt. Es gibt drei Neutrinoflavours, eins zu jeder der drei Leptonenfamilien. Im Standardmodell
sind die Neutrinos zunächst masselos.
Eine im Zusammenhang mit masselosen Neutrinos interessante größe ist die Helizität H = ~σ · |~pp~| .
Sie entspricht der Ausrichtung des Spins bezüglich Bewegungsrichtung des Teilchens. Für Neutrinos mit Masse hängt die Helizität vom gewählten Bezugssystem ab und man muss die Chiralität
betrachten. Im Experiment werden Neutrinos nur mit einer festen Chiralität beobachtet: Neutrinos treten nur linkshändig auf, Antineutrinos nur rechtshändig. Das heißt, dass die Parität in der
schwachen Wechselwirkung maximal verletzt ist, was 1956 im Wu-Experiment demonstriert wurde.
1.2
Neutrinooszillation
Aus Standard-Sonnenmodellen lässt sich eine Vorhersage für den solaren Neutrinofluss berechnen.
Ende 1960 zeigte das Homestake-Experiment, dass dieser nicht nicht der Erwartung aus den Modellen entspricht. Für diese Entdeckung wurde 2002 der Nobelpreis vergeben.
Die Erklärung findet sich in der sogenannten Neutrinooszillation: Neutrinos besitzen eine Masse
und die Flavour-Eigenzustände sind Superpositionen von Massenzuständen mit unterschiedlichen
Massen. Dies führt zu einer Oszillation zwischen den verschiedenen Neutrinoflavours, die in Experimenten mit Neutrinos aus der Atmosphäre (Super-Kamiokande 1998), der Sonne (Sudbury Neutrino Observatory 2001), einem Kernreaktor (KamLAND 2003) und aus einem Teilchenbeschleuniger
(MINOS 2006) nachgewiesen werden konnte.
2
Wir wollen kurz das einfachste Modell mit Oszillation zwischen νe und νµ betrachten. Dabei sind
die Flavourzustände über einen Mischwinkel θ mit den Massenzuständen ν1 und ν2 verknüpft:
νe
νµ
=
cos θ
− sin θ
sin θ
cos θ
ν1
ν2
.
Als Zeitentwicklung für ein νe ergibt sich dann
|νe (t)i = cos θ exp(−iE1 t) |ν1 i + sin θ exp(−iE2 t) |ν2 i ,
und für die wahrscheinlichkeit, dass ein νe nach der Zeit t immernoch als νe vorliegt:
1
2
2
2
|hνe (t)|νe (0)i| = 1 − sin (2θ) sin
(E1 − E2 )t .
2
Mit Hilfe der Enerige-Impuls-Beziehung ergibt sich E2 − E1 ≈
mit Lichtgeschwindigkeit bewegen ergibt sich mit x = ct
2
|hνe (t)|νe (0)i| = 1 − sin2 (2θ) sin2
m22 −m21
.
2E
πx L
Da die Neutrinos sich quasi
,
4πE
mit der Oszillationslänge L = ∆(m
2 ) . Aus diesem Ergebnis lässt sich ablesen, dass Oszillationsexperimente nur die Differenz der quadrierten Massen bestimmen können. Je kleiner ∆(m2 ), desto
größere Flugstrecken müssen betrachtet werden, um ein signifikantes Ergebnis zu erhalten.
1.3
Bestimmung der Neutrinomasse
Zur Bestimmung der Neutrinomasse soll im KATRIN-Experiment 2015 eine Messung des Endpunktes des β-Spektrums des Zerfalls von Tritium durchgeführt werden. Die Neutrinomasse entspricht
der Differenz zwischen dem Endpunkt des Spektrums und der gesamten Zerfallsenergie, da das
Neutrino mindestens die Energie die zur Erzeugung seiner Ruhemasse nötig ist trägt. KATRIN soll
eine Empfindlichkeit von 0,2 eV erreichen.
Eine weitere interessante Überlegung ist, dass es sich bei den Neutrinos um Majorana-Fermionen
handeln könnte. Majorana-Fermionen sind ihre eigenen Antiteilchen, was bedeutet, dass sie elektrisch Neutral sein müssen. Sie werden durch die Majorana-Gleichung
iσ̄ µ ∂µ χ − imσ 2 χ∗ = 0
beschrieben. Ein Modell jenseits des Standardmodells zur Erklärung der Neutrinomassen ist der
sogenannte seesaw-Mechanismus. Dabei wird das Neutrino als Mischung aus Dirac- und MajoranaZuständen beschrieben. Das Diagonalisieren der Massenmatrix ergibt dann zwei Massenzustände:
D 2
)
und m2 ≈ mM . Ist die Majorana-MassemM sehr groß dann wird m1 sehr klein und
m1 ≈ (m
mM
m2 sehr groß, was bedeuten würde, dass die Neutrinos ein Kandidat für die Dunkle Materie sein
könnten.
3
Abbildung 1.1: Energiespektrum des β − -Zerfalls[4]
Falls Neutrinos Majorana-Teilchen sind ergibt sich auch eine weitere Methode zur bestimmung der
Neutrinomassen. Beim doppelten Betazerfall 2n −→ 2p + 2e− + 2ν̄e entstehen 2 ν̄e . Im Fall von
Majorana-Neutrinos könnte es Neutrinolosen Doppel-Betazerfall 2n −→ 2p + 2e− geben.
Die Gesamtenergie der Zerfallselektronen muss dann der Zerfallsenergie entsprechen, was einen
experimentellen Nachweis durch Energiemessung der Zerfallselektronen möglich macht. Die Zerfallsrate dieses hypothetischen Zerfalls hängt von den Massen ab und erlaubt Rückschlüsse auf
diese. Im Heidelberg-Moskau-Experiment wurde möglicherweise ein solcher Neutrinoloser Betazerfall detektiert, dieses Ergebnis ist jedoch sehr kontrovers und konnte im GERDA-Experiment nicht
bestätigt werden, daher sind weitere Experimente nötig.
2
2.1
Neutrino-Kosmologie
Entkoppeln aus dem Gleichgewicht
Wir wollen nun das Entkoppeln der Neutrinos aus dem thermodynamischen Gleichgewicht nach
dem Urknall betrachten. Zunächst verwenden wir die bekannte „Faustregel“, eine Teilchensorte
befindet sich im Gleichgewicht solange die Reaktionsrate Γ größer ist als die Expansionsrate H
Γ(T )
±
des Universums, H(T
) > 1. Wir betrachten also ein Gas aus γ, e , ν, ν̄, mit einer Bose-/FermiVerteilung. Die Reaktionsrate ist gegeben durch
Γ(T ) = nF (T )σν (T )v
4
mit v ≈ 1,
nF (T ) =
und σν (T ) ≈
G2F
π
15 ζ(3)
(kT )3
2 π2
(kT )2 wobei GF die Stärke der schwachen WW ist. Bei hohen Temperaturen gilt
H(T ) =
r
8πGρ(T )
3
2
Γ(T )
mit ρ(T ) = π30g (kT )4 und g = 2 + 78 (4 + 6). Einsetzen in H(T
) . 1 ergibt, dass die Neutrinos bei
kT ∼ 1 MeV entkoppeln und heute mit dieser Temperatur als Neutrinohintergrund vorhanden sein
müssen.
2.2
Die Boltzmann-Gleichung
Eine genauere Beschreibung des Entkoppelns liefert die Boltzmann-Gleichung aus der Nicht-GleichgewichtsThermodynamik:
L̂[f ] = C[f ].
Dabei ist f (~x, p~, t) die Phasenraumverteilungsfunktion, L̂ der Liouville-Operator und C der Kollisionsoperator. Mit der Robertson-Walker-Metrik erhält man:
L̂ = E
Die Teilchenzahldichte ist gegeben durch
n(t) =
∂f
Ṙ ∂f
− p~2 .
∂t
R
∂E
g
(2π)3
Z
f (E, t)d3 p.
Mittels partieller Integration lässt sich die Boltzmann-Gleichung nun schreiben als:
dn
Ṙ
g
+3 n=
dt
R
(2π) 3
Z
C[f ]
1 3
d p.
E
Wir betrachten nun P
eine Reaktion,P
bei der eine Umwandlung zwischen mehreren Teilchensorten ψi
M
N
und Xj stattfindet: i=1 ψi ←→ j=N +1 Xj . Es ergibt sich für die rechte Seite der BoltzmannGleichung durch einsetzen des Kollisionsoperators:
Z
1
g
C[f1 ] d3 p1 =
(2π) 3
E1
Z Y
M
X
X
pj )
pi −
dΠi (2π)4 δ (4) (
−
× |M|2→
j
i
k=1

Y
i

Y
Y
Y
fj 
fi (1 ± fj ) − |M|2← (1 ± fi )
i
j
5
j
gi
1 3
mit dΠi = (2π)
3 E d pi . Dabei sind die M←/→ die Matrixelemente der Hin- und Rück-Reaktion. Die
i
Boltzmann-Gleichungen sind also gekoppelte partielle Integro-Differentialgleichungen für die Phasenraumverteilungen fk der einzelnen Teilchensorten. Die Gleichungen sind zunächst sehr unhandlich und müssen vereinfacht werden. Aus der Zeitumkehrinvarianz folgt für die Matrixelemente|M|2← =
2
2
|M|→ = |M| . Zur weiteren Vereinfachung sollen sich nun alle Teilchensorten ψk bis auf ψ1 durch
andere Wechselwirkungen im Gleichgewicht befinden. Außerdem wollen wir für k 6= 1 nun eine Maxwell-Boltzmann-Statistik
statt der Fermi/Bose-Statistik anwenden, mit (1 ± fk ) ≈ 1 und
fk (Ek ) = exp − EkT−µk . Dann erhalten wir als Boltzmann-Gleichung für ψ1 :
ṅψ1 + 3Hnψ1 =
Z Y
M
4 (4)
dΠk (2π) δ
k=1
n


Y
Y
X
X
2
fj  .
fi −
pj ) |M|
pi −
(
j
i
j
i
Wir definieren nun Y = ψs 1 wobei s die Entropiedichte ist. Dann entspricht Y der Teilchenzahl
in einem »mitbewegten« Volumen. Da die Entropie im mitbewegten Volumen konstant ist (sR3 =
konst.), lässt sich die linke Seite der Boltzmann-Gleichung schreiben als
ṅψ1 + 3Hnψ1 = sẎ .
Da die rechte Seite der Boltzmann-Gleichung von der Temperatur abhängt müssen wir die Zeitabhängigkeit der linken Seite reparametrisieren. Im Strahlungsdominierten Universum gilt t =
−1/2 mPl 2
0, 301g∗
m2 x mit x = m/T . Dann lautet die Boltzmann-Gleichung:
x
dY
=−
dx
H(m)s
1/2
Z Y
M
k=1


Y
Y
X
X
fj 
pj ) |M|2  fi −
pi −
dΠk (2π)4 δ (4) (
i
j
i
j
mit H(m) = 1, 67g∗ m2 /mPl .
Wir betrachten nun eine Reaktion der Formψ + ψ̄ ←→ X + X̄, wobei sich X, X̄ im Gleichgewicht
befinden, also
fX (EX ) = exp(−EX /T ).
Aus der Energieerhaltung, die über den δ (4) -Term eingeht, folgt
fX fX̄ = exp −(Eψ + Eψ̄ )/T = fψGGW fψ̄GGW
Damit ergibt sich
dY
xs hσ |v|i
2
Y 2 − YGGW
=−
,
dx
H(m)
mit dem thermisch gemittelten Produkt aus Wirkungsquerschnitt und Geschwindigkeit
Z
−2
2
dΠψ dΠψ̄ dΠX dΠX̄ δ (4) (pψ + pψ̄ − pX − pX̄ ) |M| exp −(Eψ + Eψ̄ )/T .
hσ |v|i = nGGW
ψ
6
Schlussendlich ergibt sich die Gleichung
x
YGGW
dY
Γ
=−
dx
H
Y
YGGW
2
−1
!
Γ(T )
mit Γ = nGGW hσ |v|i, an der die alte Faustregel für das Entkoppeln bei H(T
) . 1 abgelesen
werden kann. Die Grenzfälle für YGGW (x) sind leicht berechenbar. Im relativistischen Fall (x ≪ 3)
geff
ergibt sich YGGW (x) = 0, 278 g∗S
(x) . Im nichtrelativistischen Fall (x ≫ 3) ergibt sich YGGW (x) =
g
0, 145 g∗S
x3/2 e−x .
Teilchen die zum Zeitpunkt des Entkoppelns noch relativistisch sind heißen „hot relics“, Teilchen die
nicht mehr relativistisch sind heißen „cold relics“. Im Fall von „hot relics“ ist Y∞ = YGGW (xf ) mit
xf =x
ˆ zum Zeitpunkt des Entkoppelns. Die heutige Teilchenzahldichte ist dann gegeben durch n0 =
gef f
s0 Y∞ = g∗(x
825 cm−3 . Der Fall von „cold relics“ ist komplizierter zu behandeln, da aufgrund der
)
f
exponentiellen Abhängigkeit YGGW (x) ∼ e−x der genaue Zeitpunkt des Entkoppelns eine größere
Rolle spielt. Da die Neutrinomasse sehr klein ist, und die Neutrinos früh entkoppeln handelt es sich
um „hot relics“. Durch vergleich der heutigen Neutrino-Massendichte ρ0 mit der kritischen Dichte
lässt sich aus der Kosmologie eine Obergrenze für die Neutrinomasse gewinnen: es gilt ρ0 = n0 m
m
m
2
und Ωh2 = ρρ0c h2 = 7, 83 · 10−2 g∗Sgeff
(xf ) eV . Für Neutrinos ergibt sich also: Ωh = 92eV . Daher muss
die Neutrinomasse kleiner als 92eV sein.
2.3
Anzahl der Neutrinofamilien
Des Weiteren lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Zahl Nν der Neutrinofamilien und dem 4 HeMassenanteil Yp im Universum finden. Yp steigt mit steigendem Neutronen-zu-Protonen-Verhältnis
nn
np zum Zeitpunkt der Nukleosynthese. Im Gleichgewicht ist das Verhältnis gegeben durch
mn − mp
nn
,
= exp −
np
kT
und sinkt mit sinkender Temperatur T . Nach dem Entkoppeln der Neutrinos friert nnnp aus und
sinkt nurnoch durch Neutronenzerfall. Wir betrachten erneutq
die Faustregel für das Ausfrieren bei
2
8πGρ(T )
. 1. Die Expansionsrate ist gegeben durch H(T ) =
mitρ(T ) = π30g (kT )4 und
3
g = 2 + 78 (4 + 2Nν ). Die Expansionsrate steigt also mit steigender Zahl an Neutrinofamilien Nν .
Dadurch friert nnnp schon bei einer höheren Temperatur T aus und Yp wird größer. Abbildung 2.1
zeigt Yp in Abhängigkeit vom Baryon-Photon-Verhältnis η für verschiedene Werte von Nν . Mit den
beobachteten Werten für Yp und η erhält man eine Obergrenze von Nν < 3, 6.
Γ(T )
H(T )
2.4
Zusammenfassung
Es gibt noch viele offene Fragen im Bereich der Neutrinophysik, die eng mit kosmologischen Fragestellungen verknüpft sind. Daher lohnt es sich, Neutrino-Kosmologie zu betreiben, um gleichzeitig
7
Abbildung 2.1: 4 He-Massenanteil Yp in Abhängigkeit vom Baryon-Photon-Verhältnis η[2]
mehr über Physik jenseits des Standardmodells zu lernen. Zur genaueren Beschreibung des Entkoppelns einer Teilchensorte aus dem thermodynamischen Gleichgewicht kann die Boltzmann-Gleichung
verwendet werden. Schlussendlich lässt sich sagen, dass die Ergebnisse von KATRIN und weiteren
Neutrino-Experimenten für jeden Physiker mit interesse an Teilchenphysik und Kosmologie sehr
interessant sein dürften, und dass es sich lohnt, diese Experimente zu verfolgen.
Literatur
[1] Hans Volker Klapdor-Kleingrothaus, Kai Zuber, Teilchenastrophysik, Teubner, 1997
[2] N. Schmitz, Neutrinophysik, Teubner, 1997
[3] Edward W. Kolb, Michael S. Turner, The Early Universe, Addison Wesley,
1993
[4] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:KATRIN_Spectrum.svg
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