Aufgabe zur Höheren Mathematik Aufgabe 1 (Extremwerte in 2D

Aufgabe zur Höheren Mathematik
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29. Mai 2017
Aufgabe 1 (Extremwerte in 2D). Bestimmen Sie – falls vorhanden – alle stationären Punkte der Funktion f : R2 → R gegeben durch
f (x, y) = 2 x4 − 2 x2 + y 4 − 2 y 2
und untersuchen Sie, ob in diesen Punkten lokale Minima bzw. Maxima vorliegen.
√
Ergebnis: SP: (−
2
, 0);
2
SP: (
√
2
, 0);
2
TP: (−
√
2
, −1);
2
TP: (
√
2
, −1);
2
√
TP: (−
2
, 1);
2
√
TP: (
2
, 1);
2
HP: (0, 0); SP: (0, −1); SP: (0, 1);
Lösung: Die ersten partiellen Ableitungen lauten:
∂x f (x, y) = 8 x3 − 4 x ,
∂y f (x, y) = 4 y 3 − 4 y .
Um die stationären Punkte zu finden, ist das folgende homogene Gleichungssystem zu lösen
(
∂x f (x, y) = 8 x3 − 4 x = 0
.
∂y f (x, y) = 4 y 3 − 4 y = 0
Dieses Gleichungssystem
hat 9 Lösungen:
√
√
√
(x1 , y1 ) = (− 22 , 0), (x2 , y2 ) = ( 22 , 0), (x3 , y3 ) = (− 22 , −1), (x4 , y4 ) =
√
√
√
( 22 , −1), (x5 , y5 ) = (− 22 , 1), (x6 , y6 ) = ( 22 , 1), (x7 , y7 ) = (0, 0), (x8 , y8 ) =
(0, −1), (x9 , y9 ) = (0, 1), die die stationären Punkte darstellen.
Um den Typ der stationären Punkte zu bestimmen, berechne die zweiten
partiellen Ableitungen.
∂xx f (x, y) = 24 x2 − 4 ,
∂yy f (x, y) = 12 y 2 − 4 ,
∂xy f (x, y) = 0 .
Die Hesse Matrix besteht aus den zweiten Ableitungen
∂xx f (x, y) ∂xy f (x, y)
24 x2 − 4
0
H(x, y) =
=
.
∂xy f (x, y) ∂yy f (x, y)
0
12 y 2 − 4
√
• Stationärer Punkt (x1 , y1 ) = (− 22 , 0). Bestimme mit Hilfe der Hessematrix den Typ des stationären Punktes:
√
2
8 0
, 0) =
.
H(x1 , y1 ) = H(−
0 −4
2
Die Eigenwerte der Hessematrix sind λ1 = −4 und λ2 = 8. Die Eigenwerte
haben unterschiedliche Vorzeichen.
Damit ist die Hessematrix indefinit
√
und der stationäre Punkt (− 22 , 0) ist ein Sattelpunkt.
1
√
• Stationärer Punkt (x2 , y2 ) = ( 22 , 0). Bestimme mit Hilfe der Hessematrix
den Typ des stationären Punktes:
√
2
8 0
H(x2 , y2 ) = H(
, 0) =
.
0 −4
2
Die Eigenwerte der Hessematrix sind λ1 = −4 und λ2 = 8. Die Eigenwerte
haben unterschiedliche Vorzeichen.
Damit ist die Hessematrix indefinit
√
2
und der stationäre Punkt ( 2 , 0) ist ein Sattelpunkt.
√
• Stationärer Punkt (x3 , y3 ) = (− 22 , −1). Bestimme mit Hilfe der Hessematrix den Typ des stationären Punktes:
√
2
8 0
, −1) =
.
H(x3 , y3 ) = H(−
0 8
2
Die Eigenwerte der Hessematrix sind λ1 = 8 und λ2 = 8. Beide Eigenwerte
sind positiv.
√ Damit ist die Hessematrix positiv definit und der stationäre
Punkt (− 22 , −1) ist ein lokales Minimum.
√
• Stationärer Punkt (x4 , y4 ) = ( 22 , −1). Bestimme
trix den Typ des stationären Punktes:
√
2
8
H(x4 , y4 ) = H(
, −1) =
0
2
mit Hilfe der Hessema0
8
.
Die Eigenwerte der Hessematrix sind λ1 = 8 und λ2 = 8. Beide Eigenwerte
sind positiv.
Damit ist die Hessematrix positiv definit und der stationäre
√
Punkt ( 22 , −1) ist ein lokales Minimum.
√
• Stationärer Punkt (x5 , y5 ) = (− 22 , 1). Bestimme
trix den Typ des stationären Punktes:
√
2
8
H(x5 , y5 ) = H(−
, 1) =
0
2
mit Hilfe der Hessema0
8
.
Die Eigenwerte der Hessematrix sind λ1 = 8 und λ2 = 8. Beide Eigenwerte
sind positiv.
√ Damit ist die Hessematrix positiv definit und der stationäre
Punkt (− 22 , 1) ist ein lokales Minimum.
√
• Stationärer Punkt (x6 , y6 ) = ( 22 , 1). Bestimme mit Hilfe der Hessematrix
den Typ des stationären Punktes:
√
2
8 0
.
H(x6 , y6 ) = H(
, 1) =
0 8
2
Die Eigenwerte der Hessematrix sind λ1 = 8 und λ2 = 8. Beide Eigenwerte
sind positiv.
Damit ist die Hessematrix positiv definit und der stationäre
√
Punkt ( 22 , 1) ist ein lokales Minimum.
2
• Stationärer Punkt (x7 , y7 ) = (0, 0). Bestimme mit Hilfe der Hessematrix
den Typ des stationären Punktes:
−4 0
H(x7 , y7 ) = H(0, 0) =
.
0 −4
Die Eigenwerte der Hessematrix sind λ1 = −4 und λ2 = −4. Beide Eigenwerte sind negativ. Damit ist die Hessematrix negativ definit und der
stationäre Punkt (0, 0) ist ein lokales Maximum.
• Stationärer Punkt (x8 , y8 ) = (0, −1). Bestimme mit Hilfe der Hessematrix
den Typ des stationären Punktes:
−4 0
H(x8 , y8 ) = H(0, −1) =
.
0 8
Die Eigenwerte der Hessematrix sind λ1 = −4 und λ2 = 8. Die Eigenwerte
haben unterschiedliche Vorzeichen. Damit ist die Hessematrix indefinit
und der stationäre Punkt (0, −1) ist ein Sattelpunkt.
• Stationärer Punkt (x9 , y9 ) = (0, 1). Bestimme mit Hilfe der Hessematrix
den Typ des stationären Punktes:
−4 0
.
H(x9 , y9 ) = H(0, 1) =
0 8
Die Eigenwerte der Hessematrix sind λ1 = −4 und λ2 = 8. Die Eigenwerte
haben unterschiedliche Vorzeichen. Damit ist die Hessematrix indefinit
und der stationäre Punkt (0, 1) ist ein Sattelpunkt.
Abbildung 1: Graph der Funktion f sowie dessen Niveaulinien eingeschränkt
auf [−2, 2] × [−2, 2].
3