Numerische Lösung singulärer Anfangswertprobleme mit

Numerische Lösung singulärer Anfangswertprobleme mit dem
expliziten Euler-Verfahren
Maximilian Brunner
betreut von Ao. Univ. Prof. Dr. Ewa B. Weinmüller
7. Juni 2017
1
Problemstellung und Vorbemerkungen
Wir wollen das explizite Euler-Verfahren für ein Anfangswertproblem mit konstanter und
diagonalisierbarer Matrix M ∈ Rn×n betrachten:
M
z(t) + f (t),
t
σ(M ) ⊆ R− ,
z 0 (t) =
z ∈ Rn ,
t ∈ (0, 1],
(1)
z(0) = 0 =: z0
Man transformiert (1) auf Diagonalgestalt (D = V −1 M V ) mit v(t) := V −1 z(t) und g(t) :=
V −1 f (t):
1
v 0 (t) = Dv(t) + g(t),
t
v(0) = V −1 z0 = 0 =: v0
(2)
Das Euler-Verfahren kann nicht bei t = 0 gestartet werden. Wir verwenden stattdessen ein
äquidistantes Gitter ∆h := (ti0 , ti0 +1 , . . . , tN ) und betrachten Folgen von solchen Gittern,
wobei i0 fest ist. Dabei gelten tj = h j, j = i0 , . . . , N , h = N1 und i0 > 0, limh→0 ti0 = 0 und
limh→0 N = ∞. Die Lösungsoperatoren F und Fh (mit xh = (xi0 , . . . , xN ) ∈ Rn(N −i0 +1) ) sind
dabei wie folgt definiert:
F : C 1 [0, 1] → C 0 [0, 1]
x 7→ F (x) :=
x0 (t) − 1t Dx(t) − g(t), t ∈ (0, 1]
x(0) − v0
(3)
Fh : Rn(N −i0 +1) → Rn(N −i0 +1)
xj+1 −xj
h
xh 7→ Fh (xh ) :=
−
xi0 − vh;i0
x
−x
1
tj Dxj
− g(tj ), j = i0 , . . . , N − 1
!
(4)
wobei auch die Ableitung in (4) mit j+1h j diskretisiert wird. Die exakte Lösung von (3)
äquivalent zur Lösung von F (v) = 0; analog ist die Approximationslösung vh zur Schrittweite
h von (4) äquivalent zur Lösung von Fh (vh ) = 0. Um die Konvergenz dieses Verfahrens zu
zeigen, benötigt man zunächst zwei Definitionen:
Definition 1 (Konsistenz). Sei v eine Lösung der Gleichung F (v) = 0 mit F : U → E2 ,
U ⊆ E1 , wobei (E1 , k · k1 ) und (E2 , k · k2 ) Banachräume seien. Betrachte die Familie von
Näherungsproblemen Fh (vh ) = 0 auf den Banachräumen (E1h , k · kh1 ) und (E2h , k · kh2 ), wobei
Fh : E1h → E2h gelte. Um eine Beziehung zwischen den Problemen F (v) = 0 und Fh (vh ) = 0
zu erhalten, gebe es lineare Abbildungen R1h und R2h , sodass
Rih : Ei → Eih , lim kRih (x)khi = kxki ∀x ∈ Ei , i ∈ {1, 2}
h→0
gilt. Die Familie Fh heißt konsistent mit dem Problem F (v) = 0, wenn für die ("exakte")
Lösung v gilt
lim kFh (R1h (v))kh2 = 0.
h→0
Die Familie hat Konsistenzordnung p > 0, wenn
kFh (R1h (v))kh2 = O(hp ) für h → 0
gilt.
Definition 2 (Stabilität). Seien (E1 , k · k1 ) und (E2 , k · k2 ) Banachräume, U ⊆ E1 und
F : U → E2 ein Operator. F heißt stabil, wenn es eine Konstante K > 0 gibt mit
kx − yk1 ≤ KkF (x) − F (y)k2 ∀x, y ∈ U.
Für eine Familie Fh , h ∈ (0, h0 ], h > 0, von Operatoren, cf. Definition 1, spricht man von
Stabilität, wenn die Ungleichung
kxh − yh kh1 ≤ KkFh (xh ) − Fh (yh )kh2
gleichmäßig, d.h. mit einer von h unabhängigen Konstante K, gilt.
Bemerkung 1 (Konvergenz). Ist die Familie Fh stabil und konsistent im Sinne der Definitionen 1 und 2, dann sind die Näherungslösungen vh von Fh (vh ) = 0 konvergent gegen die
Lösung v von F (v) = 0, wegen
lim kvh − R1h (v)kh1 ≤ K lim kFh (R1h (v))kh2 = 0
h→0
2
h→0
Stabilität
Betrachtet man nun Gleichung (2) komponentenweise. Diese lautet:
λ
vi (t) + gi (t),
t
v(0) = V −1 z0 = v0
vi0 (t) =
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Numerik singulärer Anfangswertprobleme
(5)
2
Sei nun Rh (v) := (v(ti0 ), . . . , v(tN )). Mit Gleichung (5) gilt:
!
− tλj v(tj ) − gj , j = i0 , . . . , N − 1
lh := Fh (Rh (v)) =
v(ti0 ) − v(0) − ti0 v 0 (0)
!
v(tj+1 )−v(tj )
0 (t ), j = i , . . . , N − 1
(5)
lj+1 , j = i0 , . . . , N − 1
−
v
j
0
h
=:
=
li0
v(ti0 ) − v(0) − ti0 v 0 (0)
v(tj+1 )−v(tj )
h
(6)
Die letzte Gleichung beschreibt einen expliziten Eulerschritt, der statt F (0, v(0)), das man
nicht auswerten kann, v 0 (0) verwendet (aus der Analysis bekannt). Dabei ist die Schrittlänge
i0 · h, wobei meist i0 = 1 gilt. Man will nun den Ausdruck Rh (v) − vh =: εh (LHS Stabilitätsungleichung) mit lh abschätzen (RHS), wobei εh Lösung der Gleichung
!
εj+1 −εj
λ
−
ε
−
l
,
j
=
i
,
.
.
.
,
N
−
1
j
j+1
0
h
tj
=0
(7)
εi0 − li0
ist. Für die Abschätzung von εh in lh brauchen wir drei Lemmata:
Lemma 1. Sei λ = σ + iκ ∈ C mit σ = R(λ) > 0 fest gewählt. Definiere für j ≥ k ≥ 1


k = j,
1,
zkj (λ) := j−1
Q
λ

 (1 − l ), 1 ≤ k < j, j = 2, 3, . . .
l=k
Dann gibt es ein η > 0 und ein C ≥ 1, sodass
η
k
, 1 ≤ k ≤ j, j = 1, 2, . . .
|zkj (λ)| ≤ C
j
(8)
Lemma 2. Sei h > 0, tj := jh, k > j ≥ j0 > 0 und γ ∈ R, dann gilt
k−1
X
htγ−1
l
l=j
(
c1 |tγk − tγj |, γ 6= 0,
≤
c2 ln ( ttkj ),
γ = 0.
(9)
Lemma 3. Sei γ > 0. Für die Lösung der linearen Differenzengleichung erster Ordnung
εj+1 −εj
h
−
λ
tj εj
− tγ−1
lj+1 , j = i0 , . . . , N − 1
j
εi0 − li0
!
=0
(10)
gilt (für γ = 1 entspricht das dem Problem (7))
i−1 i−2 Y
i−1 Y
X
hλ
hλ
εi =
1+
li0 +
1+
htγ−1
ll+1 + htγ−1
i−1 li
l
tl
tk
l=i0
l=i0 k=l+1
=: zi0 ,i (−λ)li0 +
i−2
X
zl+1,i (−λ)htγ−1
ll+1 + htγ−1
i−1 li ,
l
l=i0
i = i0 + 1, . . . , N.
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Numerik singulärer Anfangswertprobleme
(11)
3
zlk (−λ) ist wie in Lemma 1 definiert. Produkte bzw. Summen, bei denen der obere Index kleiner als der untere ist, sind als leer aufzufassen, d.h. solche Summen sind gleich 0,
solche Produkte gleich 1. Dieser Beweis folgt im Wesentlichen aus einem Induktionsargument.
Weiters gelten die Abschätzungen1 für Konstanten C > 0:
|εi | ≤ C(|li0 | + tγi
3
|lk |)
(12)
≤ C(klh kh ), i = i0 , . . . , N.
(13)
max
i0 +1≤l≤N
Konsistenz
Lemma 4. Sei lh definiert wie in (6).Ist v ∈ C 2 ([0, 1]; Rn ) dann gilt
klh kh = O(h),
|li0 | = O(h2 ).
4
Aussage und Anmerkungen
Laut Lemmata 3 und 4 ist der Operator Fh stabil und konsistent, sofern D nur negative
Realteile besitzt. Damit konvergieren die Näherungslösungen vh gegen die exakte Lösung v.
Für v ∈ C 2 ([0, 1]; Rn ) ist die Konvergenzordnung 1.
Sei y die Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung. Sei weiters yh := V vh , wobei vh
die mit dem expliziten Eulerverfahren berechneten Näherungslösungen der transformierten
Diffentialgleichung seien. Sei z ∈ C 2 ([0, 1]; Rn ) die Lösung des ursprünglichen Problems.
Rücktransformation mittels zh := V vh liefert
kzh − Rh zkh = kV vh − V Rh (v)kh ≤ kV kkvh − Rh (v)kh = O(h)
zusammen mit den obigen Lemmata den zugehörigen Beweis.
Bei erlaubten Eigenwerten 0 wird das ganze technisch anspruchsvoller, aber nicht wesentlich
anders. Ebenso sind die Aussagen auch für Jordon-Matrizen zeigbar. Dann ist jedoch etwas
mehr Arbeit nötig, da dann die Gleichungen bei (5) noch einen Störterm durch die 1 auf der
Nebendiagonale haben. Diese Gleichungen sind dann noch nicht entkoppelt. Dies ist auch ein
Grund, weshalb die Lemmata nicht nur für spezielle γ gezeigt wurden.
1
Unter der h-Norm können wir uns die ∞-Norm vorstellen. Da der diskretisierte Raum endlichdimensional
ist, kann man die Äquivalenz aller Normen verwenden.
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Numerik singulärer Anfangswertprobleme
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