VIII.6 Aufgaben

VIII.
436
Lokalkonvexe Räume
keine Funktion mehr, sondern nur noch eine temperierte Distribution. (Beispiel (l) diskutiert einen speziellen Fall, wo dieser Effekt auftritt.)
(k) Für a ∈ Rn ist δa ∈ (Rn ), wie man leicht sieht. Es ist
1
( δa )(ϕ) = δa ( ϕ) = ( ϕ)(a) =
e−iax ϕ(x) dx.
(2π)n/2 Rn
S
F
F
F
F
Also ist δa die zur L∞ -Funktion x → (2π)1n/2 e−iax gehörige temperierte
Distribution, in etwas laxer Schreibweise
F δ )(x) = (2π)1
(
a
n/2
e−iax .
(l) Wir berechnen die Fouriertransformierte der konstanten Funktion 1
im Distributionensinn. Die naheliegende Argumentation, ( T1 )(ϕ) definitionsgemäß zu berechnen, scheitert, weil sie auf ein nicht absolut konvergentes Integral führt und der Satz von Fubini nicht anwendbar ist. (Versuche
es!) Wir verwenden daher einen Kunstgriff. Setzt man ϕ∗ (x) = ϕ(−x), so
gilt nämlich nach Lemma V.2.7 und Beispiel (k)
F
F T )(ϕ)
(
1
also lax
VIII.6
FF
FF ϕ)
= (2π)n/2 (
δ)(ϕ) = (2π)n/2 δ(
= (2π)n/2 ϕ(−0) = (2π)n/2 δ(ϕ),
F 1 = (2π)
n/2
= (2π)n/2 δ(ϕ∗ )
δ.
Aufgaben
Aufgabe VIII.6.1 Sei X ein topologischer Vektorraum.
(a) Ist O ⊂ X offen, so auch die konvexe Hülle von O.
(b) Zeige ohne Benutzung von Netzen: Ist C ⊂ X konvex, so auch der Abschluß C.
Aufgabe VIII.6.2 Sei X ein normierter Raum. Die Einheitssphäre SX liegt
dann σ(X, X )-dicht in der Einheitskugel BX , falls X unendlichdimensional ist.
Aufgabe VIII.6.3 Ein Beispiel für einen nicht lokalkonvexen topologischen Vektorraum: Betrachte zu 0 < p < 1 den Vektorraum Lp [0, 1], der wie üblich definiert
ist. Setze
1
|f (t) − g(t)|p dt.
d(f, g) :=
0
(a) d definiert eine Metrik auf Lp [0, 1].
(b) Mit dieser Metrik versehen wird Lp [0, 1] zu einem topologischen Vektorraum.
VIII.6
Aufgaben
437
(c) Sei V ⊂ Lp [0, 1] eine offene konvexe Nullumgebung. Dann ist V =
Lp [0, 1].
(Hinweis: Wähle ε > 0 mit {f : d(f, 0) ≤ ε} ⊂ V . Sei f ∈ Lp [0, 1]. Betrachte nun für großes n eine Zerlegung von [0, 1] in n Intervalle I1 , . . . , In
und die Funktionen gj := nχIj f .)
(d) Zeige, daß f → 0 das einzige stetige lineare Funktional auf Lp [0, 1] für
p < 1 ist.
Aufgabe VIII.6.4 Sei X ein Vektorraum und P die Menge aller Halbnormen
auf X. (X, τP ) ist dann ein lokalkonvexer Raum, und es gelten:
(a) (X, τP ) ist ein Hausdorffraum.
(b) Alle linearen Abbildungen in einen weiteren lokalkonvexen Raum Y sind
stetig.
(c) Jeder Unterraum ist abgeschlossen.
Aufgabe VIII.6.5
(a) Auf R n stimmt jede lokalkonvexe Hausdorfftopologie mit der Normtopologie überein.
(b) Ein endlichdimensionaler Unterraum eines lokalkonvexen Hausdorffraums
ist abgeschlossen.
Aufgabe VIII.6.6 Sei X ein lokalkonvexer Vektorraum. Eine Teilmenge B ⊂ X
heißt beschränkt, wenn es zu jeder Nullumgebung U ein α > 0 gibt mit B ⊂ αU .
(Was sind die in diesem Sinn beschränkten Teilmengen eines normierten Raums?)
Folgende Bedingungen sind dann äquivalent:
(i) B ist beschränkt.
(ii) Für jede Folge (xn ) in B und jede Nullfolge (αn ) in K ist (αn xn ) eine
Nullfolge in X.
(Bemerkung: Kolmogorov hat gezeigt, daß die Topologie eines lokalkonvexen
Hausdorffraums genau dann von einer einzigen Norm erzeugt werden kann, wenn
es eine beschränkte Nullumgebung gibt (Kolmogorovsches Normierbarkeitskriterium).)
Aufgabe VIII.6.7 Betrachte den Schwartzraum S (R ).
(a) Der Ableitungsoperator Dk : S (R ) → S (R ), ϕ → ϕ(k) ist stetig.
(b) Sei g ∈ S (R). Dann ist der Faltungsoperator Cg : S (R ) → S (R ),
(Cg ϕ)(x) = (g ∗ ϕ)(x) =
ϕ(y)g(x − y) dy
R
stetig.
Aufgabe VIII.6.8 Überprüfe die folgenden Funktionale und Operatoren des
(R) auf Wohldefiniertheit und Stetigkeit:
Schwartzraums S
∞
(a) T (ϕ) = −∞ ϕ(t)ψ(t) dt für ψ ∈ L∞ (R ).
(b) T (ϕ) = ϕ(s) für s ∈ R .
(c) T (ϕ) = ϕ · ψ für ψ ∈ S (R).
VIII.
438
Lokalkonvexe Räume
Aufgabe VIII.6.9 Sei K ⊂ R kompakt, und betrachte auf
Halbnormfamilien
D K (R )
die drei
• P = {p0 , p1 , p2 , . . .} mit pn (ϕ) = supx∈K |ϕ(n) (x)|,
• Q = {q0 , q1 , q2 , . . .} mit qn (ϕ) =
• R = {r0 , r1 , r2 , . . .} mit rn (ϕ) =
K
|ϕ(n) (x)| dx,
K
|ϕ(n) (x)|2 dx
1/2
.
Zeige, daß alle drei Familien dieselbe Topologie erzeugen.
Aufgabe VIII.6.10 X und Y seien normierte Räume, T : X → Y sei linear.
Dann sind äquivalent:
(i) T ist . - . -stetig.
(ii) T ist σ(X, X )-σ(Y, Y )-stetig.
(Hinweis: Satz von Banach-Steinhaus!)
Aufgabe VIII.6.11 X und Y seien normierte Räume, und es sei T ∈ L(Y , X ).
Genau dann ist T σ(Y , Y )-σ(X , X)-stetig, wenn S ∈ L(X, Y ) mit S = T existiert.
(Tip: Satz VIII.3.6.)
Aufgabe VIII.6.12 X und Y seien normierte Räume, und es sei T ∈ L(X, Y ).
Genau dann ist T σ(X, X )- . -stetig, wenn T einen endlichdimensionalen Bildraum hat. Warum widerspricht dieses Resultat nicht Aufgabe III.6.16(b)?
(Hinweis: Beweis von Lemma VIII.3.3.)
Aufgabe VIII.6.13 Seien X und Y Banachräume und T ∈ L(X, Y ). Dann sind
äquivalent:
(i) T ist kompakt.
(ii) T |BY : BY → X ist σ(Y , Y )- . -stetig.
Aufgabe VIII.6.14 (Schwach kompakte Operatoren)
Ein Operator T zwischen Banachräumen X und Y heißt schwach kompakt, wenn
der Abschluß von T (BX ) schwach kompakt ist.
(a) Ist X oder Y reflexiv, ist jeder Operator T ∈ L(X, Y ) schwach kompakt.
(b) Der Inklusionsoperator J: C[0, 1] → L1 [0, 1] ist schwach kompakt, aber
nicht kompakt.
(c) Folgende Aussagen über einen Operator zwischen Banachräumen sind
äquivalent:
(i) T ist schwach kompakt.
(ii) ran(T ) ⊂ i(Y ).
(iii) T ist σ(Y , Y )-σ(X , X )-stetig.
(iv) T ist schwach kompakt.
(d) Der Raum W (X, Y ) aller schwach kompakten Operatoren bildet einen
abgeschlossenen Unterraum von L(X, Y ).
Aufgabe VIII.6.15 Verschwinden L2 -Funktionen im Unendlichen?
Auf L2 (R ) betrachte zu t ∈ R die Operatoren Tt , definiert durch Tt ϕ(s) = ϕ(t+s)
fast überall. Untersuche, ob limt→∞ Tt existiert
VIII.6
Aufgaben
439
(a) in der Operatornormtopologie,
(b) in der starken Operatortopologie,
(c) in der schwachen Operatortopologie.
√
Aufgabe VIII.6.16 Betrachte die durch xn = nen definierte Folge (xn ) in
2
+ . Zeige, daß 0 im schwachen Abschluß der Menge der xn liegt, aber daß keine
Teilfolge von (xn ) schwach gegen 0 konvergiert.
Aufgabe VIII.6.17 (Metrisierbarkeit lokalkonvexer Topologien)
(a) Die Halbnormfamilie P = {p1 , p2 , . . .} erzeuge die Topologie des lokalkonvexen Hausdorffraums X. Zeige, daß durch
d(x, y) =
∞
n=1
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2−n
pn (x − y)
1 + pn (x − y)
eine Metrik definiert wird, die dieselbe Topologie erzeugt.
(Hinweis: Zeige zunächst a/(1 + a) ≤ b/(1 + b) für 0 ≤ a ≤ b.)
Ist ein lokalkonvexer Raum metrisierbar, so kann seine Topologie von einer abzählbaren Halbnormfamilie erzeugt werden.
(Hinweis: Imitiere den Beweis von Satz VIII.1.5 für eine abzählbare Nullumgebungsbasis.)
Eine schwache Topologie σ(X, Y ) ist genau dann metrisierbar, wenn Y
eine höchstens abzählbare Vektorraumbasis besitzt.
Ist X ein unendlichdimensionaler Banachraum, so ist die schwach∗ -Topologie auf X nicht metrisierbar.
(Hinweis: Aufgabe IV.8.2.)
Ist X ein separabler normierter Raum, so ist die schwach∗ -Topologie auf
BX metrisierbar. 2−n |(x − y )(xn )| für geeignete xn .)
(Hinweis: d(x , y ) =
Mit Hilfe von (e) und dem Satz von Alaoglu löse erneut Aufgabe III.6.18.
Aufgabe VIII.6.18 Sei X ein separabler Banachraum, und sei A ⊂ X eine
schwach∗ -kompakte Teilmenge. Dann ist (A, σ(X , X)) (linear-) homöomorph zu
einer norm-kompakten Teilmenge eines Hilbertraums.
∞ −nAnleitung: Sei (xn ) ⊂ SX
eine dichte Folge; setze T : +2 → X, (an ) →
2 an xn . Zeige, daß T komn=1
pakt ist, und benutze Aufgabe VIII.6.13, um zu schließen, daß (A, σ(X , X)) und
(T (A), . 2 ) homöomorph sind.
Aufgabe VIII.6.19
(a) C[0, 1] ist σ(L∞ [0, 1], L1 [0, 1])-dicht in L∞ [0, 1].
(b) L1 [0, 1] ist σ(M [0, 1], C[0, 1])-dicht in M [0, 1]. (Hier ist f ∈ L1 [0, 1] mit
f dλ ∈ M [0, 1] zu identifizieren.)
Aufgabe VIII.6.20
(a) (X, Y ) sei ein duales Paar, und es sei A ⊂ X. Dann gilt Aooo = Ao .
(b) X sei normiert; betrachte das duale Paar (X, X ). Dann gelten BXo = BX und BXo = BX . Für jeden Unterraum U von X gilt U o = U ⊥ = {x :
x |U = 0}.
VIII.
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Lokalkonvexe Räume
Aufgabe VIII.6.21 Sei X ein reflexiver Banachraum. Dann ist BL(X) kompakt
in der schwachen Operatortopologie.
(Tip: Versuche den Beweis des Satzes von Alaoglu zu imitieren!)
Aufgabe VIII.6.22 (Satz von Mackey-Arens)
Sei (E, F ) ein duales Paar. Eine lokalkonvexe Topologie τ auf E heißt mit der
Dualität dieses dualen Paares verträglich, falls, nach kanonischer Identifizierung,
(Eτ ) = F gilt. Die von den Halbnormen pK (x) = supy∈K |x, y|, wo K ⊂ F
σ(F, E)-kompakt und konvex ist, induzierte lokalkonvexe Topologie auf E wird
Mackey-Topologie genannt; Bezeichnung µ(E, F ). Ziel der Aufgabe ist der Satz
von Mackey-Arens:
• Eine lokalkonvexe Topologie τ auf E ist genau dann mit der Dualität von
(E, F ) verträglich, wenn σ(E, F ) ⊂ τ ⊂ µ(E, F ) gilt.
U
:= {B o : B ⊂ F konvex und σ(F, E)-kompakt} bildet eine µ(E, F )Nullumgebungsbasis.
(b) Sei +: E → K linear und µ(E, F )-stetig. Dann existiert eine absolutkonvexe und σ(F, E)-kompakte Menge K ⊂ F mit
(a)
|+(x)| ≤ sup |x, y|
∀x ∈ E.
y∈K
(c) Mit den Bezeichnungen von (b) gilt + ∈ K bei kanonischer Inklusion
F ⊂ E ∗ := {ϕ: E → K : ϕ linear}.
(Hinweis: Arbeite mit dem dualen Paar (E, E ∗ ) und verwende den Satz
von Hahn-Banach.)
(d) Zeige (Eµ(E,F ) ) = F .
(e) Gelte (Eτ ) = F , und sei U eine abgeschlossene konvexe τ -Nullumgebung.
Dann ist U ∈ U (siehe Teil (a)).
(Hinweis: Betrachte U o .)
(f) Beweise den Satz von Mackey-Arens.
(g) Sei E ein Banachraum, und betrachte das duale Paar (E, E ). Was ist die
Mackey-Topologie µ(E, E )?
Aufgabe VIII.6.23 (Lemma von Farkas)
Sei X ein reeller lokalkonvexer Raum, und seien x , x1 , . . . , xn ∈ X . Es gelte
x1 (x) ≥ 0, . . . , xn (x) ≥ 0 ⇒ x (x) ≥ 0
n
für alle x ∈ X. Zeige, daß Skalare aj ≥ 0 mit x = j=1 aj xj existieren.
(Tip: Betrachte die Menge C all dieser Konvexkombinationen und zeige mit dem
Satz von Hahn-Banach, daß x ∈ C gilt; beachte noch Aufgabe VIII.6.5.)
Aufgabe VIII.6.24 Es sei K eine kompakte konvexe nichtleere Teilmenge eines lokalkonvexen Hausdorffraums X. Mit A(K) bezeichne den Banachraum (!)
aller affinen stetigen reellwertigen Funktionen auf K, versehen mit der Supremumsnorm. [Eine Funktion x: K → R heißt affin, falls x(λp1 + (1 − λ)p2 ) =
λx(p1 ) + (1 − λ)x(p2 ) für alle p1 , p2 ∈ K, 0 ≤ λ ≤ 1 gilt.] Definiere δp (x) = x(p).
:= {δp : p ∈ K} ist eine schwach∗ -kompakte konvexe Teilmenge von
(a) K
A(K) .
VIII.6
Aufgaben
441
= {x ∈ A(K) : x (1) = 1 = x }.
(b) K
(Hinweis: Satz von Hahn-Banach!)
(c) Schließe, daß es für jedes reguläre Borelwahrscheinlichkeitsmaß µ auf K
einen eindeutig bestimmten Punkt p ∈ K mit
+ dµ
+(p) =
∀+ ∈ X K
gibt. (p heißt der Schwerpunkt von µ. [Warum wohl?])
Aufgabe VIII.6.25 Sei d der Raum der abbrechenden Folgen, versehen mit
der Supremumsnorm. d ist also dicht in c0 , und d = (c0 ) = +1 . Betrachte den
2−n sn = 0} von +1 . Dann ist BU σ(+1 , d)-abgeschlosUnterraum U = {(sn ):
sen, aber U ist es nicht. Man kann also auf die Vollständigkeit beim Satz von
Krein-Shmulyan nicht verzichten.
Aufgabe VIII.6.26 Es sei K eine konvexe Teilmenge eines Vektorraums und
x ∈ K.
(a) Sei F eine konvexe Teilmenge von K. Wenn F eine Seite ist, ist K \ F
konvex.
(b) Die Umkehrung gilt nicht.
(c) x ∈ ex K genau dann, wenn K\{x} konvex ist.
Aufgabe VIII.6.27
(a) Zeige BX = co ex BX (Normabschluß) für X = +1 und X = +∞ . Folgt
das aus dem Satz von Krein-Milman?
(b) Zeige, daß ex BX für X = +∞ = (+1 ) schwach∗ -abgeschlossen, jedoch für
X = L∞ [0, 1] = (L1 [0, 1]) schwach∗ -dicht in BX ist.
Aufgabe VIII.6.28 Sei H ein Hilbertraum.
(a) {T ∈ L(H): T oder T ∗ ist Isometrie} ⊂ ex BL(H) .
(b) ex BK(H) = ∅.
(Hinweis: Satz VI.3.6.)
Aufgabe VIII.6.29 Es sei (Ω, Σ, µ) ein Maßraum. Eine Teilmenge A ∈ Σ heißt
Atom, falls für B ⊂ A, B ∈ Σ, entweder µ(B) = 0 oder µ(A \ B) = 0 ist. Zeige
ex BL1 (µ) = {αχA : A Atom, 0 < µ(A) < ∞, |α| = 1/µ(A)}.
Aufgabe VIII.6.30 Sei X ein reflexiver Banachraum, K ⊂ X konvex, be schränkt und abgeschlossen. Dann gilt K = co ex K.
Aufgabe VIII.6.31 Sei K ⊂ R 2 beschränkt, abgeschlossen und konvex. Dann
ist ex K abgeschlossen. Gilt dies auch im R 3 ?
Aufgabe VIII.6.32 Sei X ein normierter Raum und Y ⊂ X ein Unterraum.
Sei y ∈ ex BY . Dann existiert x ∈ ex BX mit x |Y = y .
(Tip: Betrachte die Menge aller Hahn-Banach-Fortsetzungen!)
VIII.
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Lokalkonvexe Räume
Aufgabe VIII.6.33 Sei K eine kompakte konvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Hausdorffraums X. Eine Teilmenge E ⊂ K heißt extremal, wenn sie die
eine Seite definierende Bedingung erfüllt; sie braucht nicht konvex zu sein. Zeige,
daß jede abgeschlossene extremale Teilmenge von K einen Extremalpunkt von K
enthält.
(Hinweis: Imitiere den Beweis von Teil (a) des Satzes von Krein-Milman.)
Aufgabe VIII.6.34 (Bauersches Maximumprinzip)
Sei K eine kompakte konvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Hausdorffraums X.
Dann nimmt jede stetige konvexe Funktion f : K → R ihr Supremum an einem
Extremalpunkt von K an. [Eine Funktion f : K → R heißt konvex, falls f (λx1 +
(1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) für alle x1 , x2 ∈ K, 0 ≤ λ ≤ 1 gilt.]
(Tip: Betrachte {x ∈ K: f (x) = sup f (K)} und verwende Aufgabe VIII.6.33.)
Aufgabe VIII.6.35 Definieren folgende Abbildungsvorschriften Distributionen
T ∈ D (Ω)?
∞
(a) Ω = (0, 1), T ϕ = n=2 ϕ(n) ( n1 ).
∞ (n) 1
(b) Ω = R , T ϕ = n=1 ϕ ( n ).
2π
(c) Ω = R 2 , T ϕ = 0 ϕ(cos α, sin α) dα.
(d) Gibt es eine Distribution S ∈ D (R ), die T aus (a) fortsetzt (beachte
D (0, 1) ⊂ D (R))? Widerspricht das dem Satz von Hahn-Banach?
Aufgabe VIII.6.36 Zeige, daß durch den Cauchyschen Hauptwert
∞
ϕ(x)
dx := lim
ε→0
x
T ϕ = CH−∞
−ε
−∞
ϕ(x)
dx +
x
ε
∞
ϕ(x)
dx
x
eine Distribution T ∈ D (R ) definiert wird. Ist T regulär?
Aufgabe VIII.6.37 (Multiplikation von Funktionen und Distributionen)
(a) Sei Ω ⊂ R n offen. Ist f ∈ C ∞ (Ω) und T ∈ D (Ω), so setze (f T )(ϕ) =
T (f ϕ) für ϕ ∈ D (Ω). Zeige, daß f T eine Distribution ist.
(b) Im Fall n = 1 gilt die Produktregel (f T ) = f T + f T .
(c) Welche f ∈ C ∞ (R ) erfüllen f δ = 0, und welche erfüllen f δ = 0?
(Bemerkung: L. Schwartz hat gezeigt, daß das Produkt von zwei beliebigen Distributionen nicht auf sinnvolle Weise erklärt werden kann; siehe C. R. Acad. Sc.
Paris 239 (1954) 847–848.)
1
|x|−1
Aufgabe VIII.6.38 Definiere eine Funktion f : R 3 → R durch f (x) = − 4π
1
3
für x = 0 und f (0) = 0. Zeige
f ∈ Llok (R ) und ∆Tf = δ im Distributionensinn.
(Hinweis: Tf (∆ϕ) = limε→0 {|x|≥ε} f (x)∆ϕ(x) dx und Greensche Formel (= partielle Integration).)
Aufgabe VIII.6.39
(a) Sei f : R n → C eine meßbare Funktion, die für geeignete Konstanten
N ∈ N und c ≥ 0 einer Abschätzung |f (x)| ≤ c(1 + |x|N ) für alle x ∈ R n
genügt. (Solch eine Funktion heißt langsam wachsend.) Dann ist Tf eine
temperierte Distribution.
VIII.6
Aufgaben
443
(b) Zeige, daß die Funktion x → ex cos(ex ) (x ∈ R ) eine temperierte Distribution definiert (wie?), x → ex aber nicht.
Aufgabe VIII.6.40 Für eine Folge (Mn ) positiver reeller Zahlen und eine Folge
(mn ) nichtnegativer ganzer Zahlen definiere eine Halbnorm auf D (R ) durch
q(Mn ),(mn ) (ϕ) =
∞ Mn
n=1
mn
sup
|x|≥n−1
|ϕ(k) (x)| .
k=0
Dann erzeugt das System Q all dieser Halbnormen die Topologie von D (R ).
Anleitung: Daß τQ gröber ist, ist einfach. Umgekehrt ist eine auf allen D K (R )
stetige Halbnorm p durch endlich viele q ∈ Q abzuschätzen.
Dazu arbeite mit
∞
ϕ
=
1, 0 ≤ ϕn ≤ 1, so
einer Zerlegung der Eins, das sind ϕn ∈ D (R ) mit
n
n=1
daß supp(ϕn ) ⊂ {x: n − 1 ≤ |x| ≤ n + 1}.
Aufgabe VIII.6.41 (Lokale Darstellbarkeit von Distributionen)
(a) Sei T ∈ D (R). Zu jeder kompakten Menge K ⊂ R gibt es eine Funktion
f ∈ C(R ) und eine Zahl k ∈ N 0 , so daß
Tϕ =
f (x)
R
dk ϕ
(x) dx
dxk
∀ϕ ∈ D K (R ).
(VIII.11)
Kurz: Jede Distribution kann lokal durch mehrfaches Ableiten einer stetigen Funktion gewonnen werden.
d
. Wähle m so, daß |T ϕ| ≤ C max{|Dn ϕ(x)|:
(Anleitung: Setze D := dx
x ∈ R , n ≤ m} für ϕ ∈ D K (R ). Zeige dann |T ϕ| ≤ C K |Dm+1 ϕ|, und
setze das auf Dm+1 (D K (R )) durch Dm+1 ϕ → T ϕ erklärte Funktional
auf L1 (K) fort. Beachte noch (L1 (K)) ∼
= L∞ (K).)
∞ (n)
(b) Betrachte T ∈ D (R ), T ϕ =
ϕ (n). Zeige, daß es nicht möglich
n=0
ist, für T eine Darstellung (VIII.11) anzugeben, die für alle ϕ ∈ D (R )
gilt.
(c) Untersuche, ob es für T ∈ S (R ) eine Darstellung (VIII.11) gibt, die für
alle ϕ ∈ S (R ) gilt.
Aufgabe VIII.6.42 (Distributionen mit kompaktem Träger)
(a) Man sagt, eine Distribution T ∈ D (Ω) habe kompakten Träger, falls es
ein Kompaktum K ⊂ Ω gibt, so daß T ϕ = 0 gilt, falls supp(ϕ) ∩ K = ∅.
Sei f ∈ C(Ω). Dann hat die reguläre Distribution Tf kompakten Träger
genau dann, wenn f kompakten Träger hat.
(b) D (Ω) liegt dicht in E (Ω). (E (Ω) wurde in Beispiel VIII.1(c) erklärt.)
(c) T ∈ D (Ω) hat genau dann kompakten Träger, wenn T stetig bezüglich
der Topologie von E (Ω) ist.
(d) Es gibt einen Isomorphismus zwischen E (Ω) und {T ∈ D (Ω): T hat
kompakten Träger}.
(e) Es gilt
E (Rn ) ⊂ S (Rn ) in natürlicher Weise.