PO-Ausarbeitung aus GET f ¨ur Informatiker

PO-Ausarbeitung aus GET für Informatiker
29.6.2005
1
1
SIGNALE
1 Signale
1.1 Darstellung
Signale lassen sich aus Sinusschwingungen zusammensetzen:
s(t) = A sin(ω0 t + φ)
ω0 = 2πf = 2π
1
T0
A ist die Amplitude, ω0 ist die Kreisfrequenz und φ die Phase der Schwingung. Über die Euler’sche
Beziehung erhält man den Zusammenhang:
s(t) = Aej(ω0 t+ϕ) = A cos(ω0 t + ϕ) + jA sin(ω0 t + φ)
Die komplexe Exponentialfunktion liefert eine Darstellung von Sinus und Cosinus gleichzeitig. Das
reellwertige Signal wird durch Realteilbildung ermittelt (Imaginärteil weglassen“).
”
Stellt man sich den Kosinus auf der horizontalen (reellen) Achse und den Sinus auf der vertikalen
(imaginären) Achse in einem Koordinatensystem vor, so erzeugen die beiden zusammen einen Zeiger,
dessen Position sich folgendermaßen aus ω0 und t berechnet (Abbildung 1.4 im Skriptum):
X = A cos(ω0 t)
Y = A sin(ω0 t)
1.2 Synthese periodischer Signale
Signale lassen sich aus harmonischen Schwingungen zusammensetzen:
s(t) = A0 +
N
!
An cos(ωn t + ϕn )
n=1
Da der Verlauf der Sinusschwingung bekannt ist, braucht er nicht dargestellt zu werden - es reicht
daher wenn man nur die Amplituden An und die Phasen ϕn über der Frequenz aufträgt (Amplitudenund Phasenspektrum). Man spricht auch von der Darstellung im Frequenzbereich, im Unterschied zur
Darstellung im Zeitbereich.
Die Spektraldarstellung lässt sich auch in komplexer Notation anschreiben (einseitiges Spektrum):
s(t) = A0 +
N
!
An ejkωn t+ϕn )
n=1
Xn = An ejϕn
Dabei bezeichnet man die Größe Xn als komplexe Amplitude - die Phasenverschiebung des Zeigers
wird so rein rechnerisch in die Amplitude verlagert.
Man kann auch die inverse Euler’sche Form (zweiseitiges Spektrum) verwenden:
s(t) =
A1 j(ω1 t+ϕ1 ) A1 −j(ω1 t+ϕ1 )
e
+
e
2
2
2
1.3
Analyse von periodischen Schwingungen, Fourierzerlegung
1
SIGNALE
1.3 Analyse von periodischen Schwingungen, Fourierzerlegung
Ein gegebenes Signal lässt sich mit der Fourierzerlegung in seine Spektralkomponenten zerlegen. Eine
periodische Funktion lässt sich durch eine Fourierreihe folgendermaßen darstellen:
s(t) =
a0
+ a1 cos ω0 t + a2 cos 2ω0 t + . . . + an cos kω0 t + b1 sin ω0 t + b2 sin 2ω0 t + . . . + bn cos nω0 t
2
Die Periodendauer der Schwingung ist:
T =
2π
ω0
Die Amplituden der einzelnen Schwingungen berechnet man:
2
ak =
T
2
bk =
T
a0
2 ist
"
T
0
"
T
0
s(t) cos kω0 tdt
s(t) sin kω0 tdt
der Mittelwert der Funktion s(t) und wird Gleichglied oder Gleichanteil genannt. Ist die Funktion s(t) gerade (wenn gilt s(t) = s(−t)), so sind die Amplituden bk = 0, da die Sinusfunktionen
ungerade sind und vice versa. Eine Sinus- und Cosinusfunktion gleicher Frequenz lässt sich zusammenfassen, indem man zu jedem Glied die Phasenverschiebung angibt:
s(t) =
a0
+ A1 sin(ω0 t + ϕ1 ) + A2 sin(2ω0 t + ϕ2 ) + . . . + Ak sin(kω0 t + ϕk ) + . . .
2
Sehr kompakt lässt sich dies auch komplex anschreiben:
s(t) =
+∞
!
ck ejkω0 t
k=−∞
"
1 T
s(t)e−jkω0 t dt
T 0
Rechteckschwingungen haben einen hohen Oberschwingungsanteil, da mehr Schwingungen erforderlich sind, um den steilen Anstieg der Flanken nachzuzeichnen“.
”
ck =
1.4 Nichtperiodische kontinuierliche Signale, Fouriertransformation
Periodische Funktionen sind theoretische Konstrukte, die bei tatsächlichen Signalen nicht auftreten
können, jedes Signal hat eine endliche Dauer. Zur mathematischen Darstellung eines endlichen, aperiodischen Signals f (t) wiederholt man f (t) in Intervallen von T und macht es damit zu einem periodischen Signal fT (t). Die Fourierentwicklung von fT (t) ist:
fT (t) =
+∞
!
ck ejkω0 t
k=−∞
ω0 =
3
2π
T
1.5
Spektrum des nichtperiodischen Rechtecksignals bzw. des Deltaimpulses
2 IDEALE BAUELEMENTE
Die Amplituden ck erhält man durch Anhalten“ des Zeigerdiagramms, indem man es mit der Fre”
quenz der gesuchten Komponente in die entgegengesetzte Richtung dreht (e−jω0 t ) und den Mittelwert
bildet:
"
1 T /2
ck =
fT (t)e−jkω0 t dt
T −T /2
Lässt man nun T → ∞ streben, dann wird das Linienspektrum (ck ) zu einem kontinuierlichen Spektrum (F (ω)), die Frequenzkomponenten ω0 werden immer dichter bzw. ω0 → 0, da T → ∞. Über
weitere Umformungen (siehe Skriptum S.17f) erhält man das Fourierintegral (bzw. die inverse Fouriertransformation):
"
1 +∞
F (ω)ejωt dω
f (t) =
2π −∞
Die direkte Fouriertransformation:
F (ω) =
"
+∞
−∞
f (t)e−jωt dt
wobei f (t) ⇔ F (ω) gilt.
Für die Berechnung der Spektralkomponenten aperiodischer Signale wird die Fourierreihe also zur
Fouriertransformation. Bei der Fourierreihe wird das Zeitsignal als Summe von diskreten komplexen Exponentialfunktionen mit den Amplituden ck dargestellt, bei der Fouriertransformation wirddas
Zeitsignal als Summe von unendlich vielen (über das Integral) komplexen Exponentialfunktionen mit
der Amplitudendichte F (ω) dargstellt.
1.5 Spektrum des nichtperiodischen Rechtecksignals bzw. des Deltaimpulses
Für t %= 0:
δ(t) = 0
"
+∞
−∞
δ(t)dt = 1
Die Breite des Impulses geht gegen Null, die Fläche ist 1, also geht die Amplitude gegen ∞. Die
Kurvenform ist unwichtig, lediglich die Tatsache, dass die Impulsdauer gegen Null geht und die Fläche
1 ist.
Die Impulsfunktion wird für die mathematische Darstellung der Signalabtastung verwendet - wird
ein Quellsignal mit der Impulsfunktion multipliziert, so hat das Ergebnis genau an der Stelle t =
0 den Wert des Quellsignals. Die Bedeutung der Impulsfunktion liegt in ihrer Wirkung auf andere
Funktionen - Signalfunktionen s(t).
In der Impulsfunktion enthält alle Frequenzen von Null bis ∞ (also auch alle Sinusfrequenzen), die
Amplitude ist für alle Frequenzen gleich. Legt man nun an den Eingang eines Systems die Impulsfunktion an, so wird das System gleichzeitig mit allen Frequenzen angeregt.
2 Ideale Bauelemente
2.1 Spannungsquellen
Eine ideale Spannungsquelle ist ein Schaltelement, das die Quellspannung unabhängig von der angeschlossenene Last konstant hält. Eine ideale Spannungsquelle hat folgende Eigenschaften:
4
2.2
Die Kirchhoff’schen Sätze
2
IDEALE BAUELEMENTE
• Die Augangsspannung ist unabhängig vom angeschlossenen Netzwerk
• Für einen angeschlossenen Widerstand stellt sich der Strom I =
I→∞
UQuelle
R
ein, für R = 0 wird
Eine ideale Stromquelle hat folgende Eigenschaften:
• Der Ausgangsstrom ist unabhängig vom angeschlossenen Netzwerk
• Für einen angeschlossenen Widerstand stellt sich die Spannung U = IQuelle R ein, für R → ∞
wird U → ∞
Die Spannung einer realen Spannungsquelle bricht bei zunehmender Last ein. Reale“ Spannungs”
quellen werden daher mit im Schaltplan in Reihe nachgeschalteten Innenwiderstand Ri dargestellt.
U
Der Kurzschlussstrom Ikurz beträgt Leerlauf
. Die maximale Leistung der Quelle ergibt sich aus dem
Ri
Einsetzen der Ohm’schen Beziehung in die Gleichung der Leistungsaufnahme der Last (Pl = Il2 Rl )
und nachfolgendes Nullsetzen der ersten Ableitung:
Plmax =
U02
4Ri
Die Umwandlung einer Spannungs- in eine Stromquelle kann für die Netzwerkanalyse nützlich sein.
Der Innenwiderstand einer umzuwandelnden“ Spannungsquelle wird bei der Stromquelle einfach
”
parallel anstatt in Serie gehängt.
2.2 Die Kirchhoff’schen Sätze
Ein Knoten in einem elektrischen Netzwerk ist ein Punkt, an dem zwei oder mehr Netzwerkelemente
verbunden sind. Die Kirchhoff’sche Knotenregel besagt, dass die Summe aller Ströme in einem Netzwerkknoten Null sein muss. Das heißt, die Summe der zu- und abfließenden Ladungen muss Null
sein.
Eine Masche in einem elektrischen Netzwerk ist ein geschlossener Pfad, der ausgehend von einem
Knoten des Netzwerks über mehrere Bauelemente zum Ausgangsknoten zurückführt. Die Kirchhoff’sche Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer Masche Null sein muss.
Sie folgt aus dem physikalischen Satz der Erhaltung der Energie.
2.3 Beziehung zwischen Strom und Spannung bei R, C, L
2.3.1 Idealer Widerstand
Bei idealen Widerständen ist der Spannungsabfall am Widerstand proportional zum Strom durch den
Widerstand:
U = RI
Diesen Zusammenhang nennt man Ohm’sches Gesetz, die Proportionalitätskonstante R – der ohm’sche
Widerstand – wird in Ω gemessen und hängt von der Länge L und dem Querschnitt A des Leiters sowie dem Material (Materialkonstante/spezifischer Widerstand ρ) ab:
R=ρ
5
L
A
2.4
Ladevorgang einer Kapazität, Einschalten einer Induktivität
3 ERSTELLEN DER NW-GLEICHUNGEN
2.3.2 Kapazität
Kondensatoren speichern elektrische Energie, ideale Kondensatoren werden als Kapazitäten bezeichnet. Die Kapazität C eines Kondensators beträgt:
A
d
' ist die Dielektrizitätskonstante, A die Fläche und d der Abstand zwischen den Kondensatorplatten.
Die im Kondensator gespeicherte Ladung ist gleich Kapazität mal der angelegten Spannung:
C='
Q = CU
Strom ist Ladung pro Zeit, der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung ist daher:
ic =
dq
du
=C
dt
dt
2.3.3 Induktivität
Der durch eine Spule fließende Strom erzeugt ein magnetisches Feld. Die ideale Spule heißt Induktivität. Bei der Induktivität besteht der folgende Zusammenhang zwischen Strom und Spannung:
diL
dt
Der Proportionalitätsfaktor L kann über das magnetische Feld berechnet werden.
uL = L
2.4 Ladevorgang einer Kapazität, Einschalten einer Induktivität
Bis der Kondensator aufgeladen ist, verhält er sich wie ein Kurzschluss (Strom groß, Spannung klein).
Die Induktiivität verhält sich beim Einschalten“ genau umgekehrt wie der Kondensator: anfangs ist
”
der Strom klein und die Spannung groß, da sich das Magnetfeld erst aufbauen muss.
3 Erstellen der NW-Gleichungen
3.1 Serien- und Parallelschaltung von R, C, L
• Widerstände
– Serienschaltung: Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der Einzelwiderstände
– Parallelschaltung: der Kehrwert des Gesamtwiderstandes ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände
• Kapazitäten
– Serienschaltung: der Kehrwert der Gesamtkapazität ist gleich der Summe der Kehrwerte
der Einzelkapazitäten
– Parallelschaltung: die Gesamtkapazität ist gleich der Summe der Einzelkapazitäten
• Induktivitäten
– Serienschaltung: die Gesamtinduktivität ist gleich der Summe der Einzelinduktivitäten
– Parallelschaltung: der Kehrwert der Gesamtinduktivität ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelinduktivitäten
6
3.2
Verständnis-Addon: Verwendung von L und C in Netzwerkgleichungen
4 LÖSUNG DER NW-GLEICHUNGEN
3.2 Verständnis-Addon: Verwendung von L und C in Netzwerkgleichungen
Die auftretenden Differentialquotienten werden folgendermaßen abgekürzt:
di
= si
dt
s = ϕ + jω
Damit ergeben sich folgende Beziehungen:
u(t) = L
i(t) = C
U (s)
di(t)
⇒ U (s) = LsI(s) ⇒ I(s) =
dt
Ls
duc (t)
1
⇒ I(s) = CsU (s) ⇒ U (s) =
dt
CsI(s)
3.3 Knotenpotentialanalyse
Kennt man die Knotenspannungen eines Netzwerks gegenüber einem Bezugsknoten, so sind alle
Zweigspannungen als Differenz zweier Knotenspannungen angebbar. Die Knotenspannungen sind
also ein geeigneter Satz von Unbekannten. Die NW-Gleichungen ergeben sich aus den Summen der
Ströme in den Knoten.
3.4 Schleifenanalyse
Ausgehend von einem Netzwerk, das in Baum und Glieder zerlegt ist, wird jedem Glied eines Graphen, der sich über den Baum zu einer Schleife schließt, ein Strom zugeordnet. Die in den Gliedern
eines Netzwerkes fließenden Schleifenströme sind ein geeigneter Satz von Unbekannten. Die Anzahl
der Unbekannten ist ergo gleich der Anzahl der Glieder. Kennt man die Schleifenströme, so kann
man die Zweigströme aus Linearkombinationen der Schleifenströme ermitteln. Man stellt die NWGleichungen als die Summe der Spannungsabfälle der Schleifenströme auf.
4 Lösung der NW-Gleichungen
4.1 NW-Analyse
4.1.1 Gleichstromanalyse
Es treten nur zeitkonstante oder -gesteuerte Spannungs- und Stromquellen sowie Widerstände auf.
Kapazitäten verhalten sich wie offene Schaltkreise, Induktivitäten wie kurzgeschlossene. Nach Erstellung der Netzwerkgleichungen mit Hilfe der Kirchhoff’schen Gesetze können die Netzwerkgleichungen als ein System gewöhnlicher Gleichungen gelöst werden.
4.1.2 Wechselstromanalyse
Wechselspannungen und -ströme ändern sich zeitlich. Man behandelt Spannung u(t) = U sin(ωt+ϕ)
und Stromstärke i(t) = I sin(ωt + ϕ) als Größen sinusförmiger Zeitabhängigkeit. Die Wechselstromanalyse ist ein ein Sonderfall sj ω der Analyse im s-Bereich.
7
4.2
Leistung in Wechselstromnetzwerken
4
LÖSUNG DER NW-GLEICHUNGEN
4.1.3 Transiente Analyse
Zur Analyse stellt man eine DGL - die Schwingungsgleichung auf und löst sie für eine gegebene
Erregungsfunktion (die auf einer Seite der DGL steht). Dabei müssen die Anfangsbedingungen - die
Anfangsspannung an der Kapazität und der Anfangsstrom an der Induktivität - berücksichtigtr werden.
4.2 Leistung in Wechselstromnetzwerken
Man unterscheidet
Wirkleistung Leistung, die effektiv umgesetzt wird und genutzt werden kann: P = Uef f Ief f cos ϕ
Blindleistung Entsteht durch Umwandlung von elektrischer Energie in magenetische Feldenergie
(z.B. Spule) bzw. elektrische Feldenergie (Kondensator). Diese energie schwingt“ zwischen
”
Verbraucher und Erzeuger hin und her (wird in der Industrie auch verrechnet) → erzeugt Wärme
in den Leitungen.
Scheinleistung rein rechnerische Größe
4.3 Komplexer Widerstand von R, C, L
Bei der Wechselstromanalyse treten zusätzlich zu den reellen ohmschen Widerständen noch die imaginären Widerstände von L und C auf. Abgesehen davon, dass Widerstände komplex sein können,
erfolgt die Berechnung von Wechselstromnetzwerken gleich wie die von Gleichstromnetzwerken.
Bei der Induktivität und sinusförmigen Größen gibt es folgenden Zusammenhang:
iL = Isin(ωt + φ)
diL (t)
= LsiL = ωLI cos(ωt + φ)
dt
Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung beträgt 90◦ .
uL = L
UL = jωL × IL
Der komplexe Widerstand Z = UILL = jωL wird Impedanz genannt. Die Impedanz der Induktivität
ist rein imaginär (auch Reaktanz genannt), der ohmsche Widerstand rein reell. Das Ohm’sche Gesetz
mit Impedanzen lautet:
UL = ZL IL
Für die Kapazität erhält man mit er komplexen Rechnung die Zusammenhänge:
UC = ZC IC
1
wobei ZC = −j ωC
4.4 Lösung im Zeitbereich mittels linearer DGL
was will er da?
8
4.5
Erstellen der NW-Gleichungen im s-Bereich
4
LÖSUNG DER NW-GLEICHUNGEN
4.5 Erstellen der NW-Gleichungen im s-Bereich
Zur Analyse stellt man eine DGL - die Schwingungsgleichung auf und löst sie für eine gegebene
Erregungsfunktion (die auf einer Seite der DGL steht). Dabei müssen die Anfangsbedingungen - die
Anfangsspannung an der Kapazität und der Anfangsstrom an der Induktivität - berücksichtigt werden.
4.6 Lösung der NW-Gleichungen durch Laplace-Transformation mit Hilfe von
Korrespondenztabellen
Bei der Lösung im Frequenzbereich bedient man sich der Laplace-Transformation und löst die DGL in
der s-Ebene. Fasst man den Parameter s der Netzwerkgleichungen als komplexen Frequenzparameter
auf, so hat man bereits die Laplace-transformierten DGL des Netzwerks im energielosen Anfangszustand. Die Laplace-Transformation
F (s) =
"
∞
0
f (t)e−st dt
bildet den Zeitbereich in den Frequenzbereich ab. Die Transformation erfolgt bereits auf Bauteilebene:
uL (t) = L
diL (t)
⇒ UL (s) = sLIL (s)
dt
duC (t)
⇒ IC (s) = sCUC (s)
dt
Die Netzwerkgleichung ist immer eine gebrochen rationale Funktion, die mit Hilfe der Polynomdivision und der Partialbruchzerlegung in kleine Happen zerlegt wird und so leicht per Korrespondenztabelle rücktransformiert werden kann.
In der Laplace-Transformation wird die komplexe Exponentialfunktion als Erregungsgröße verwendet:
s(t) = Kest
iC (t) = C
K = |K| ejϕ
s = σ + jω
s(t) wird auch oft als komplexe Frequenz bezeichnet, obwohl genaugenommen nur der Imaginärteil
ω eine Kreisfrequenz ist.
4.7 Partialbruchzerlegung bei der inversen Laplace-Transformation
Der Grad des Zählerpolynoms muss kleiner als der Grad des Nennerpolynoms sein, sonst ist eine
Polynomdivision durchzuführen. Dann müssen zuerst die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnet
und das Nennerpolynom in die Wurzeldarstellung“ (Auftrennung über Satz von Vieta) gebracht wer”
den. Dann sind die Zählerkoeffizienten (die Residuen) zu ermitteln - normalerweise geschieht dies
über Koeffizientenvergleich, im Skriptum ist eine andere Methode beschrieben (S.14).
4.8 Systemfunktion, Pole und Nullstellen
Das Verhältnis von Antwort(Eingangssignal) zu Erregung (Ausgangssignal) im s-Bereich nennt man
Systemfunktion. Bei LTI (linear time invariant) Netzwerken ist die Systemfunktion stets gebrochen
rational:
B(s)
bm sm + bm−1 sm−1 + . . . + b1 s + b0
H(s) =
=
A(s)
an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0
9
4.9
Systemantwort auf eine beliebige Eingangsfunktion 4
LÖSUNG DER NW-GLEICHUNGEN
Die Systemfunktion ist eine Funktion der komplexen Variablen s = σ + jω, die für alle s definiert ist.
Im Fall s = jω liegen die Werte der Systemfunktion über der imaginären Achse. Die inverse LaplaceTransformation der Systemfunktion ist die Impulsantwort des Systems. Sowohl Systemfunktion als
auch Impulsantwort beschreiben ein System vollständig.
Durch Angabe der Pol- und Nullstellen ist die Systemfunktion eines LTI-Systems bis auf eine reelle Konstante vollständig bestimmt - ist z.B. die Systemfunktion das Verhältnis von Ausgangs- zu
a
Eingangsspannung H(s) = V U
Ue , dann ist die Konstante V die Spannungsverstärkung- bzw. Abschwächung. Das Nennerpolynom der Systemfunktion nennt man charakteristisches Polynom, dessen
Wurzeln die Pole oder Eigenfrequenzen des Netzwerkes sind.
Ein Netzwerk ist stabil , wenn die Eigenfrequenzen abklingen, dies ist dann der Fall, wenn die Pole
in der offenen linken komplexen Ebene liegen. Instabile Netzwerke sind physikalisch unmöglich, ein
Netzwerk mit ungedämpften Schwingungen ist ein Oszillator.
4.9 Systemantwort auf eine beliebige Eingangsfunktion
Die Systemantwort auf eine beliebige Erregung ermittelt man, indem man die Erregung zuerst in
den Frequenzbereich transformiert (g(t) ⇒ G(s), die Systemfunktion mit der Erregung multipliziert
Ag (s) = H(s)G(s) und die Antwort rücktransformiert ag (t) ⇐ Ag (s).
Ein wichtiger Sonderfall ist die Erregung eines Netzwerks mit einer stationären Schwingung mit der
Kreisfrequenz ωi . Die Systemantwort Ag würde aus einem Einschwing- und einem Erregeranteil bestehen. Bei stabilen Systemen klingt nach der Einschwingzeit der Erregeranteil ab und es bleibt nur
der stationär schwingende Anteil übrig.
4.10 Frequenzgang und Bodediagramm, lineare und logarithmische
Darstellung
Die komplexe Amplitude einer Systemantwort nach Betrag und Winkel als Funktionen von ω dargestellt, nennt man Amplituden- und Phasengang oder Bodediagramm.
Der Frequenzgang von LTI-Systemen interessiert meistens über einen großen Frequenz- und Amplitudenbereich. Daher verwendet man häufig eine logarithmische Darstellung für beide Achsen. Das
Verhältnis von Eingangs- zu Ausgangsgröße wird immer als Leistungsverhältnis und in Dezibel [dB]
ausgedrückt.
4.11 Lösung im Zeitbereich, Impulsantwort, Faltung
Die direkte Berechnung der Systemantwort ist nur für einfache Erregungsfunktionen wie die Impulsfunktion sinnvoll. Aber jede beliebige Zeitfunktion lässt sich durch Faltung mit der Impulsfunktion
darstellen (Abtastung). Die Faltung von zwei Zeitfunktionen ist folgendermaßen definiert:
"
∞
−∞
g1 (τ )g2 (τ − t)dτ =
"
∞
−∞
g1 (τ − t)g2 (τ )dτ = g1 (t) ∗ g2 (t)
Der Stern ist dabei der Faltungsoperator. t ist die unabhängige Variable im Faltungsintegral, daher
muss für die Zeitfunktionen die neue Variable τ eingeführt werden. Zu jedem Zeitpunkt t wird das
Produkt g1 (t − τ )g2 (τ ) gebildet, das Integral dieses Produkts von −∞ bis +∞ liefert den Wert
der Faltung zum Zeitpunkt t. Die Systemantwort erhält man durch Überlagerung der zugehörigen
Impulsantworten h(t):
ag (t) = g(t) ∗ h(t) =
10
"
0
t
h(τ )g(t − τ )dτ
6
ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG
das ist das sogenannte Superpositionsintegral.
Die Impulsantwort h(t) ist die inverse Laplace-Transformierte der Systemfunktion H(s). Die Impulsantwort enthält ausschließlich die Eigenschwingungen des Systems.
5 Verstärker
5.1 Eigenschaften von OPV und deren Beschaltung als Verstärker
Operationsverstärker sind mehrstufige Gleichspannungsverstärker mit sehr hoher Verstärkungsleistung
(bis zu 107 ). Die Eigenschaften eines OPV werden durch seine Beschaltung festgelegt. Beim normalen OPV steuert die Eingangsspannung die Ausgangsspannung: Ua = Ve Ue . Ein OPV versucht mit
Hilfe seines Ausgangssignals die Differenzspannung an seinen Eingängen auf Null zu halten.
invertierender OPV Der nicht-invertierende Eingang wird auf Masse gezogen, am invertierenden Eingang liegen über Widerstand R1 die Eingangsspannung und über Widerstand R2 die
2
Rückkopplung des Ausgangs an. Ve beträgt − R
R1 .
nichtinvertierender OPV Der invertierende Eingang wird über R1 an Masse gezogen und über R2
mit dem Ausgang verbunden. Der nicht-invertierende Eingang wird direkt mit der Eingangs2
spannung versorgt. Ve beträgt 1 + R
R1 . Die Phasenlage des Eingangssignals bleibt erhalten.
5.2 Frequenzgang des OPV
Die Differenzverstärkung des OPV nimmt bei höheren Frequenzen ab. Die Ursache dafür sind Kapazitäten der Transistoren der Verstärkerschaltungen und Schaltungswiderstände, die Tiefpässe bilden.
Für den Frequenzgang ergibt sich eine Gerade mit einer Steigung von −20 dB pro Dekade.
Bei der Grenzfrequenz sinkt die Ausgangsgröße auf einen Wert von 3 dB unter den SpannungsBezugswert gesunken ist. Das sind 70,7 Prozent oder das √12 -fache) der Spannung oder die genau
halbe Leistung im Vergleich zum Durchlassbereich.
6 Analoge Signalverarbeitung
6.1 Rechenschaltungen mit OPVs
Addition Eine invertierende OPV-Schaltung, bei der an den invertierenden Eingang einfach mehrere
Spannungsquellen mit Widerstand gehängt werden, summiert die Eingangsspannungen. Eine
Subtraktion wird einfach durch eine vorangestellte Invertierung (per OPV) des Eingangssignals
erreicht.
Integration Für den Integrierer wird einfach bei der invertierenden OPV-Schaltung der Widerstand
in der Rückkopplung durch eine Kapazität ersetzt. Die Ausgangsspannung ist das zeitliche Integral der Eingangsspannung. Eine konstante Eingangsspanung wird am Ausgang zu einer linear
ansteigenden Spannung, ein Rechtecksignal zu einem Sägezahn. Es gilt die Beziehung:
1
ua = −
RC
"
0
τ
ue dt + Ua |t=0
Die Steigung des Betrags des Frequenzgang beträgt −20 dB pro Dekade. Der Frequenzgang ist:
1
H = − RCs
|s=jω
11
6.2
Approximation der Systemfunktion für (Tiefpass)Filter
6 ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG
Differentiation Vertauscht man beim Integrator R und C, so verhält sich die Schaltung wie ein
Differentiator. Es gilt die Beziehung:
ua = −RC
due
dt
6.2 Approximation der Systemfunktion für (Tiefpass)Filter
Aufgabe der Approximation ist es, eine gebrochen rationale Funktion zu finden, die den Betrag der
Übertragungsfunktion (die wiederum das Toleranzschema beschreibt) gut annähert. Der Betrag wird
folgendermaßen aufgelöst:
|H(jω)|2 = H(jω)H(−jω)
Approximiert wird nicht H(jω) direkt sondern F (jω) =
1
H(jω)
F (s)F (−s) = 1 + (−1)n s2n
Der Approximationsansatz mit der Parabel n-ter Ordnung zeigt, dass die ideale Funktion umso besser
angenähert wird, je höher die Ordnung ist. Zuerst wird F (s)F (−s) approximiert und dann über die
Nullstellendarstellung in F (s) und F (−s) zerlegt. Dabei werden die Nullstellen aus der linken sEbene F (s) zugeordnet, die aus der rechten F (−s). Filter, die auf diesem Approximationsansatz
beruhen nennt man Potenzfilter.
6.3 Verhalten der Filter im Zeit- und Frequenzbereich
Tschebyscheff-Filter Welliges Verhalten im Durchlassbereich, dafür größere Flankensteilheit als
der Potenzfilter → frequenzselektiver.
Potenzfilter Sonderfall des Tschebyscheff-Filters mit der Welligkeit Null. Dafür nicht so frequenzselektiv.
Cauer-Filter Tschebyscheff-Approximation im Durchlass- und im Sperrbereich, beste Flankensteilheit, sehr frequenzselektiv.
Bessel-Filter Geringe Flankensteilheit, dafür lineares Phasenverhalten → Erhalt der Kurvenform
des Eingangssignals.
Höchste Frequenzselektivität bedeutet schlechtes Phasenverhalten. Vergleich aller vier Filter bezüglich
Frequenzgang und Sprungantworten:
12
6.4
Die Bedeutung eines linearen Phasengangs
7
ABTASTTHEOREME
und zeitverhalten von filtern.pdf
Frequenz- und Zeitverhalten von Filtern
F requenzgang
Sprungantwort
1
1.5
1
0.5
0.5
0
Selektivität
0
0.5
1
1.5
T scheyscheff
0
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
0.5
1
Potenz
1.5
0
2
1
0
50
T scheyscheff
100
Überschwingen
0
50
Potenz
100
0
50
Bessel
100
1.5
1
0.5
0.5
0
0
0.5
Sommersemester 2005
1
Bessel
1.5
0
2
ET
30
6.4 Die Bedeutung eines linearen Phasengangs
Nur bei einem linearen Phasengang bleibt die Kurvenform des Eingangssignals erhalten. Weiß wer
mehr?
6.5 Realisierung von Filtern durch LC- und OPV-Netzwerke
Die Betragsbildung von Signalen lässt sich einfach durch Signalgleichrichtung mittels Dioden erreichen (Brückengleichrichter). Der Vergleich zweier Spannungen kann per OPV ohne Rückkopplung
erfolgen: liegt U1 am nicht-invertierenden und U2 am invertierenden Eingang, so ist bei U1 > U2 die
Differenzspannung positiv → maximale Ausgangsspannung und vice versa.
Tiefpassfilter lassen sich mittels eines Reihenschwingkreises realisieren. Weiters können Tiefpass-,
Bandpass- und Hochpass-Filter mittels Schaltkreisen zweiter Ordnung und zusätzlichem OPV realisiert werden, wobei die Güte des Filters über die Verstärkung einstellbar ist.
7 Abtasttheoreme
Quantisierung in Zeit und Amplitude.
7.1 Spektrum eines abgetasteten Signals
Ein Signal wird mathematisch durch Multiplikation mit einer Folge von Einheitsimpulsen im Ts Abstand repräsentiert:
!
fs (t) = f (t)δT (t) =
f (kT )δ(t − kTs )
k
13
7.2
Abtasttheorem im Zeitbereich, Aliasing und Folding
7
ABTASTTHEOREME
Das Spektrum des abgetasteten Signals Fs (ω) wird durch die Berechnung der Fouriertransformierten
von fs (t) berechnet:
∞
1 !
F (ω − nωs )
Fs (ω) =
Ts n=−∞
Das Spektrum des abgetasteten Signals setzt sich also periodisch im Abstand ωs fort. Das Spektrum
des Originalsignals f (t) ist im Spektrum des abgetasteten Signals fs (t) enthalten und kann aus Fs (ω)
durch Herausschneiden“ mit einem idealen Tiefpassfilter fehlerfrei wieder hergestellt werden.
”
7.2 Abtasttheorem im Zeitbereich, Aliasing und Folding
Die periodische Wiederholung des Spektrums erfolgt im Abstand ωs . Je größer/höher ωs , desto weiter
rücken die Spektren auseinander, je kleiner ωs , desto näher kommen sie zusammen bis sie überlappen.
Daraus folgt das Shannon’sche Abtasttheorem:
Ein kontinuierliches Signal s(t), das keine Frequenzen größer als fmax enthält, kann
exakt aus einer Folge von Proben s[n] = x(nTs ) rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz fs = T1s größer als 2fmax ist.
Das Abtasttheorem gilt nur für Signale mit einer obersten Frequenz. Die niedrigste Abtastfrequenz
um ein Signal fehlerfrei abtasten zu können wird Nyquist-Frequenz genannt.
Bei Verletzung des Theorems überlagern sich die abgetasteten Spektren und Spektralkomponenten
des Nachbarspektrums werden in das Nutzspekturm“ verschoben. Es kommt zu:
”
Aliasing Rad dreht sich im Film langsamer, wenn zwischen zwei Aufnahmepunkten eine (oder mehrere) volle Umdrehungen + eine kleine Distanz dreht (n2π + α) - aus einem hochfrequenten
Signal wurde ein niederfrequentes.
Folding Rad dreht sich im Film rückwärts, wenn zwischen zwei Aufnahmepunkten keine volle Drehung erfolgt ist (n2π − α) - es entstand ein Signal mit negativer Frequenz.
7.3 Rekonstruktion eines Signals durch einen idealen Tiefpass
Die bei der Abtastung entstandenen Lücken“ müssen durch Interpolation gefüllt werden. Die Re”
konstruktion des kontinuierlichen Signals ist durch Filterung mit einem idealen Tiefpass möglich.
Welcher Interpolation im Zeitbereich entspricht nun die ideale Filterung im Frequenzbereich? Zuerst
wird die Antwort des Filters auf den Einheitsimpuls berechnet, die Antwort auf die Impulsfolge fs (t)
berechnet man durch die Überlagerung der gewichteten, zeitlich versetzten Einheitsimpulse. Die Impulsantwort eines Filters wird berechnet, indem man den Frequenzgang Fourier-transformiert. Wählt
1
man die Bandbreite des Filters gleich der Nyquist-Bandbreite T = 2B
so ergibt sich nach der Transformation h(t) = 2BT sinc(2πBt) und für die Überlagerung:
f (t) =
!
k
f (kT )h(t − kT ) =
!
k
f (kT sinc(2πBt − kπ)
Die Rekonstruktion durch überlagerte und gewichtete sinc-Pulse ist fehlerfrei.
7.4 Zeit- und Bandbegrenzung von Signalen
Kein Signal kann nicht gleichzeitig zeit- und bandbegrenzt sein. Jedes praktische Signal ist von endlicher Länge und hat daher ein unendlich breites Spektrum. Daher überlappen sich benachbarte Spektren. Um dies praktisch in den Griff zu bekommen setzt man vor der Abtastung Antialias-Filter ein.
14
7.5
Quantisierung im Amplitudenbereich
8
FIR-FILTER
7.5 Quantisierung im Amplitudenbereich
Per Analog/Digital-Wandlung werden aus den kontinuierlichen Abstastwerten diskrete. Je höher die
Auflösung, desto besser. Der Quantisierungsfehler (Abweichung vom kontinuierlichen Signal) beträgt
maximal 12 LSB der Auflösung des A/D-Wandlers. Das Quantisierungsrauschen hat den Effektivwert
√
von eef f = LSB
12
7.6 Abtastung im Frequenzbereich und diskrete Fouriertransformation
Das Spektrum F (ω) eines zeitbegrenzten Signals f (t) der Länge τ kann aus den Abtastwerten von
F (ω), die mit einer Rate von R > τ Proben pro Hertz entnommen werden, rekonstruiert werden.
F (ω) =
"
τ
0
f (t)e−jωt dt
Sei nun fP (t) ein Signal, dass der periodische Fortsetzung eines Signals f (t) im Abstand T0 entspricht. fP (t) kann man durch eine Fourier-Reihe darstellen (weil es ja periodisch ist). Die Koeffizienten der Fourier-Reihe sind gleich den mit T10 multiplizierten Abtastwerten des Spektrums F (ω) im
Abstand ω0 . Aus diesem periodischen Signal kann man also das Ausgangssignal f (t) und daher auch
das Spektrum F (ω) rekonstruieren. Es ergibt sich der Zusammenhang (ω0 = 2π
τ ):
F (ω) =
!
F (nω0 )sinc(
n
ωτ
− nπ)
2
Bei der Berechnung der DFT hat man es immer mit periodischen Folgen (abgetastetes periodisch
wiederholtes Zeitsignal) zu tun, wobei die Werte immer für eine Periode berechnet werden müssen.
Es ergeben sich folgende Transformationpaare:
f [n] =
N0 −1
1 !
F [k]ejkΩ0 n
N0 k=0
F [n] =
N!
0 −1
f [n]ejkΩ0 n
n=0
2π
N0
Die Transformationsbeziehungen unterscheiden sich lediglich dadurch, dass bei kontinuierlichen Funktionen Integrale und bei diskreten Funktionen Summen auftreten.
Ω0 = ω 0 T =
8 FIR-Filter
8.1 Rechenvorschrift des FIR-Filter, Impulsantwort
Die Filtergleichung für allgemeine FIR-Filter lautet:
y[n] =
M
!
k=0
bk x[n − k]
Die Größe M nennt man Ordnung des Filters. Das Filterverhalten wird durch entsprechende Wahl
der Filterkoeffizienten bk festgelegt. Ist das System linear, so gilt der Überlagerungssatz: Für eine
15
8.2
Berechnung der Systemantwort durch Faltung
8
FIR-FILTER
Eingangsfolge, die aus einer Summe von skalierten Folgen besteht, kann man die Ausgangsfolge
berechnen, indem für jeden Teil der Eingangsfolge die Ausgangsfolge berechnet und dann alls so berechneten Ausgangsfolgen summiert werden. Ein System ist zeitinvariant, wenn ein um n0 verzögertes
Eingangssignal zu einem um n0 verzögerten Ausgangssignal führt.
Zur Berechnung der Impulsantwort h[n] setzt man das Eingangssignal x[n] gleich δ[n]:
y[n] = h[n] =
M
!
k=0
bk δ[n − k] = bn
Legt man den Einheitsimpuls an, so erhält man am Ausgang die Filterkoeffizienten. Da die Zahl der
Koeffizienten endlich ist, ist auch die Dauer der Impulsantwort endlich -¿ Finite Impulse Response
Filter.
8.2 Berechnung der Systemantwort durch Faltung
Die Faltung ist eine Rechenvorschrift, die aus der Impulsantwort und dem Eingangssignal das Ausgangssignal erzeugt, sie wird mit dem Stern-Operator abgekürzt:
y[n] =
M
!
k=0
h[k]x[n − k] = x[n] ∗ h[n]
Die Faltung ist kommutativ, es gibt daher zwei Sichtweisen:
Wirkung des Eingangssignals Man denkt sich das Eingangssignal als die Summe von gewichteten, zeitversetzten Impulsfunktionen gebildet. Jeder Abtastwert erzeugt seine eigene, mit der
Amplitude des Eingangssignals gewichtete Impulsantwort. Die Antwort des Systems ist die
Summe aller gewichteten und zeitversetzten Impulsantworten.
Zusammensetzung des Ausgangssignals Jeder Wert des Ausgangssignals setzt sich aus gewichteten und zeitversetzten EIngangssignalen zusammen. Das Eingangssignal wird mit dem
entsprechenden Wert der Impulsantwort gewichtet.
8.3 Frequenzgang von FIR-Filtern
Zur Berechnung des Frequenzganges wird als Eingangssignal die komplexe Exponentialfunktion angelegt:
x[n] = Aej(ω̂n+ϕ) = Aejϕ ej ω̂n
Es ergibt sich für den Frequenzgang:
H(ω̂) =
M
!
bk e−j ω̂k =
k=0
M
!
h[k]e−j ω̂k
k=0
Die komplexe Exponentialfunktion ist die einzige Signalform, die das lineare System ohne Änderung
der Kurvenform durchläuft - es ändern sich lediglich Amplitude und Phase. Sinusschwingungen sind
ein gutes Werkzeug zur praktischen Überprüfung der Linearität eines Systems, aber nicht alle Systeme, die auf einen sinusförmigen Eingang einen sinusförmigen Ausgang produzieren sind linear
(Phasenregelkreis).
Das Ausgangssignal eines Systems lässt sich im Frequenzbereich einfach über die Multiplikation der
Amplituden des Eingangssignals mit dem Frequenzgang errechnen.
16
8.4
Blockdiagramm von FIR-Filtern
9
Z-TRANSFORMATION
8.4 Blockdiagramm von FIR-Filtern
Betrachtet man die Filtergleichung, so sind drei Operationen zur Berechnung des Ausgangssignals
vonnöten:
• Speicherung/Verzögerung des Eingangssignals x[n − k]
• Multiplikation mit den Filterkoeffizienten bk
• Summenbildung
Diese Einheiten werden zu einem Blockdiagramm verquickt:
Ein Blockdiagramm ist ebenso eine eindeutige Darstellung eines FIR-Filters wie Impulsantwort und
Frequenzgang.
9 z-Transformation
Das Systemverhalten wird für eine weitere Größe untersucht:
x[n] = z n
wobei z eine beliebige komplexe Zahl ist. Durch die z-Transformation werden aus Differenzengleichungen gebrochen rationale Funktionen, es werden Polynome eingeführt. Die Faltung wird zur
Polynommultiplikation. Die z-Transformation hat für diskrete Systeme dieselbe Bedeutung wie die
Laplace-Transformation für kontinuierliche Systeme. Die Funktion
H(z) =
M
!
bk z −k =
k=0
M
!
h[k]z −k
k=0
nennt man Systemfunktion. Es ergibt sich daraus:
h[n] =
M
!
k=0
bk δ[n − k] ⇔ H(z) =
17
M
!
k=0
bk z −k
9.1
Die z-Transformation einer Eingangsfolge
10
IIR-FILTER
9.1 Die z-Transformation einer Eingangsfolge
Es gilt:
x[n] =
M
!
k=0
x[k]δ[n − k] ⇔ X(z) =
Die z-Transformierte des Einheitsimpulses ist:
M
!
x[k]z −k
k=0
δ[n] ⇔ 1
9.2 Die z-Transformation eines FIR-Filters im Zeitbereich
Der Verschiebung im Zeitbereich um n0 entspricht die Multiplikation mit z −n0 im z-Bereich:
x[n − n0 ] ⇔ z −n0 X(z)
Da im allgemeinen gilt:
y[n] = x[n] ∗ h[n] =
M
!
k=0
h[k]x[n − k]
und durch die Linearität der z-Transformation der Überlagerungssatz gilt, ergibt sich:
Y (z) =
M
!
h[k](z −k X(z)) = (
k=0
M
!
h[k]z −k )X(z) = H(z)X(z)
k=0
Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im z-Bereich:
y[n] = h[n] ∗ x[n] ⇔ Y (z) = H(z)X(z)
9.3 Pol- und Nullstellen der Systemfunktion H(z)
Die Systemfunktion eines digitalen LTI-Systems ist im Allgemeinen eine gebrochen rationale Funktion der Form:
b0 z + b 1 z + b 2 z 2 + . . . + b m z m
Y (z)
H(z) =
=
2
n
a0 z + a1 z + a2 z + . . . + an z
X(z)
Die Nullstellen des Zählerpolynoms nennt man Nullstellen der Systemfunktion, die Nullstellen des
Nennerpolynoms Polstellen der Systemfunktion. Durch die Lage der Null- und Polstellen ist die Systemfunktion bis auf einen konstanten Faktor eindeutig dargestellt. In einem PN-Diagramm werden
Nullstellen als Kreise und Polstellen als Kreuze dargestellt. Bei FIR-Filtern liegen die Polstellen immer im Nullpunkt. Nullstellen auf dem Einheitskreis bedeuten, dass die zugehörige Frequenzkomponente am Ausgang des Systems nicht auftritt/gefiltert wird.
10 IIR-Filter
10.1 Differenzengleichung der IIR-Filter
Die Differenzengleichung für einen allgemeinen IIR-Filter lautet:
y[n] =
N
!
l=1
#
al y[n − 1] +
$%
&
Ausgangswerte
M
!
k=0
#
b[ k]x[n − k]
$%
Eingangswerte
&
Die Zahl N der Rückführungsterme wird als Ordnung des Systems bezeichnet.
18
10.2
Blockdiagramm(e) von IIR-Filtern
10
IIR-FILTER
10.2 Blockdiagramm(e) von IIR-Filtern
Es gibt drei Darstellungsarten:
Erste Direktform Die erste DIrektform ist unmittelbar aus der Differenzengleichung ableitbar:
Zweite Direktform Bei LIT-Systemen ist die Reihenfolge der Kaskadierung ohne Einfluss auf die
Systemfunktion:
Transponierte Form Die transponierte Form erhält man aus der Direktform durch das Umkehren
aller Signalpfeile, das Vertauschen von Addierern und Verzweigungspunkten und das Vertauschen von Ein- und Ausgang:
19
10.3
Impulsantwort von IIR-Filtern
10
IIR-FILTER
10.3 Impulsantwort von IIR-Filtern
IIR-Filter sind LIT-Systeme, daher gilt der Überlagerungssatz und die Berechnung der Antwort eines
Systems auf eine beliebige Eingangsfolge erfolgt mit Hilfe der Faltung:
y[n] =
∞
!
k=−∞
x[k]h[n − k]
Da Eingangssignal und Impulsantwort zeitlich nicht begrenzt sind, muss die Faltungssumme über
einen unendlichen Zeitraum berechnet werden. Für ein System erster Ordnung:
y[n] = a1 y[n − 1] + b0 x[n]
ist die Differenzengleichung der Impulsantwort:
h[n] = a1 h[n − 1] + b0 δ[n]
Nach Erraten und Überprüfen der Lösung ergibt sich:
h[n] =
'
b0 (a1 )n für n ≥ 0
0
für n < 0
10.4 Pole, Nullstellen und Stabilität von IIR-Filtern
Die Systemfunktion eines allgemeinen IIR-FIlters lautet:
H(z) =
Y (z)
b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bm z −m
B(z)
=
=
−1
−2
−n
X(z)
1 − a1 z − a2 z − . . . − an z
A(z)
Die Lage der Wurzeln von Zählerpolynom (Nullstellen) und Nennerpolynom (Polstellen) erlaubt Aussagen über die Eigenschaften des Filters und hat großen Einfluss auf das Filterverhalten. Ist ein System vor dem Anfangszeitpunkt n0 in Ruhelage (Anfangsbedingung) und liegen die Pole innerhalb
des Einheitskreises der z-Ebene, so ist das System stabil.
10.5 Frequenzgang von IIR-Filtern
Der Frequenzgang ist die Antwort eines Systems auf die Eingangsfolge x[n] = ej ω̂n . Ist die Systemfunktion gegeben, so kann der Frequenzgang durch Einsetzen von z = jω ermittelt werden. Für einen
IIR-Filter erster Ordnung ergibt das:
H(ej ω̂ ) =
b0 + b1 e−j ω̂
1 − a1 e−j ω̂
Die Formel kann man noch in Betrag und Phase aufspalten, aber das ist soundso nicht besonders aussagekräftig. Man kann auch mit Hilfe der POle und Nulsltellen den ungefähren Verlauf des Frequenzgangs skizzieren. Der Betrag des Frequenzganges |H(ej ω̂ )| ist das Produkt der Längen der Zeiger von
den Nullstellen zum Punkt ej ω̂ , dividiert durch das Produkt der Längen der Zeiger von den Polstellen
zum Punkt ej ω̂ .
20
10.6
Inverse z-Transformation zur Berechnung des Zeitverhaltens von IIR-Filtern 10
IIR-FILTER
10.6 Inverse z-Transformation zur Berechnung des Zeitverhaltens von
IIR-Filtern
• Linearität: ax1 [n] + bx1 [n] ⇔ aX1 (z) + bX2 (z)
• Verschiebung im Zeitbereich: x[n − n0 ] ⇔ z −n0 X(z)
• Einheitsimpuls: δ[n] ⇔ 1
• Verschobener Einheitsimpuls: δ[n − n0 ] ⇔ z −n0
• Faltung: x[n] ∗ h[n] ⇔ X(z)H(z)
• Sprungfunktion: u[n] ⇔
• an u[n] ⇔
1
1−z −1
1
1−az −1
10.7 Partialbruchzerlegung bei der Rücktransformation
Es sind folgende Schritte durchzuführen:
1. Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, so ist eine Polynomdivison durchzuführen
2. Bestimmen der Nullstellen und Darstellung des Nennerpolynoms gemäß dem Satz von Vieta
3. Ermitteln der Residuen durch Koeffizientenvergleich oder per Grünbacher-Methode (Skript
S.17)
4. Rücktransformation ergibt die Impulsantwort: h[n] =
10.8 Praktischer Filterentwurf
(N
n
k=1 Rk (pk ) u[n]
Tja, keine Ahnung was hier genau gefragt ist. Im Kapitel über FIR-Filter findet sich allerdings in
Abschnitt 1.5.1 etwas zur Realisierung von Filtern, ich werde es an dieser Stelle zusammenfassen:
Allzweckrechner Realisierung auf einem Allzweckrechner (PC) kann schnell durchgeführt werden. Ist aber für den dauerhaften und alleinigen Einsatz der Filterung zu ungeeignet (groß,
teuer, hoher Stromverbrauch).
Signalprozessor Signalprozessoren sind für die Multiplikation und Addition optimiert und daher
schnell. Oft ist auch die Signalabtastung und -rekonstruktion integriert.
Realisierung in Hardware Klein und schnell, erst ab großen Stückzahlen leistbar, Eigenschaften
(Filterkoeffizienten) nicht änderbar.
Auf den Folien über die z-Transformation finden sich auch noch genau zwei Sätze zum Thema:
Entwurfsprogramme erlauben die Festlegung von Durchlass-und Sperrbereichen. Filtercharakteristiken reagieren sehr empfindlich auf Pol-Nullstellenlagen!
21
11
KOMPLEXE ZAHLEN
11 Komplexe Zahlen
11.1 Darstellung in kartesischen und Polarkoordinaten, Zeigerbegriff
Zur Darstellung in kartesischen Koordinaten wird der Realteil einer komplexen Zahl als Wert auf
der x-Achse, der Imaginärteil als Wert auf der y-Achse aufgetragen. Der Pfeil vom Nullpunkt zum
durch die Zahl definierten Pfeil wird als Zeiger bezeichnet. So ein Zeiger kann auch mit Hilfe der
Polarkoordinaten durch Angabe von Winkel ϕ und Länge r angegeben werden. Die Zusammenhänge
lauten wie folgt:
z = x + iy
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
r=
)
x2 + y 2
tan ϕ =
y
x
ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ
11.2 Graphische Lösung der Rechenoperationen
Es gelten im Allgemeinen die Regeln der Vektorrechnung.
Addition Zeiger Schaft an Spitze zusammenhängen (z1 + z2 )
Subtraktion Zeiger Spitze an Spitze zusammenhängen (z1 + (−z2 ))
Multiplikation Drehungstreckung des Zeigers: z1 um den Winkel ϕ des Zeigers z2 , r = r1 r2
Potenzbildung Ist die n-te Potenz gesucht, so gilt für die Länge des Zielvektors: r = r0n und für
den Winkel: ϕ = nϕ0
√
Wurzelziehen Ist die n-te Wurzel gesucht, so gilt für die Länge des Zielvektors: r = n r0 und für
ϕ0
den Winkel: ϕ = n + 2πk
n , wobei k = 0, 1, 2, . . . , N − 1 gilt.
22