A Grundlagen aus der linearen Algebra

Numerische Mathematik
A
A.1
I
Grundlagen aus der linearen Algebra
Räume
Sind U1 , U2 Unterräume eines Vektorraums V (über dem Körper K), so sind
• U1 ∩ U2 und
• U1 + U2 := {u1 + u2 : u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 }
ebenfalls Unterräume von V. Sind U1 , U2 endlich-dimensional, dann gilt
dim(U1 + U2 ) = dim(U1 ) + dim(U2 ) − dim(U1 ∩ U2 ).
Ist ϕ : V → W eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen V und W,
dann ist
• N (ϕ) := {v ∈ V : ϕ(v ) = 0 } Unterraum von V,
• R(ϕ) := {w ∈ W : ∃ v ∈ V mit ϕ(v ) = w } Unterraum von W.
N (ϕ) heißt Kern oder Nullraum von ϕ. R(ϕ) heißt Bild von ϕ.
def(ϕ) := dim(N (ϕ)) ist der Defekt von ϕ. rank(ϕ) := dim(R(ϕ)) ist der
Rang von ϕ.
A Grundlagen aus der linearen Algebra
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Numerische Mathematik
II
Ist V endlich-dimensional, dann gilt
dim(V) = def(ϕ) + rank(ϕ).
Ist V ein Vektorraum mit Unterräumen U1 , U2 , dann nennt man V die direkte
Summe von U1 und U2 , wenn
• V = U1 + U2 und
• U1 ∩ U2 = {0 }
gelten, und schreibt V = U1 ⊕ U2 . Für jedes v ∈ V = U1 ⊕ U2 gibt es eindeutig
bestimmte Vektoren u1 = u1 (v ) ∈ U1 und u2 = u2 (v ) ∈ U2 mit v = u1 + u2 .
Die Abbildung π : V → V, v 7→ u1 (v ), ist linear und idempotent (π ◦ π = π)
mit R(π) = U1 , N (π) = U2 . π ist die Projektion auf U1 entlang U2 .
A.1 Räume
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Numerische Mathematik
A.2
III
Koordinaten
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und sei
V = {v1 , v2 , . . . , vn } eine Basis von V.
Jeder Vektor v ∈ V lässt sich als Linearkombination in der Basis V darstellen:
v=
n
X
νj vj ,
mit νj ∈ K.
j=1
Die Koordinaten ν1 , ν2 , . . . , νn sind durch v eindeutig bestimmt.
[v ]V := [ν1 , ν2 , . . . , νn ]> ∈ Kn
ist der Koordinatenvektor von v bez. der Basis V . Formal:
v = V [v ]V
A.2 Koordinaten
(interpretiere V als Zeilenvektor aus V n ).
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IV
Die Abbildung
[·]V : V → Kn ,
v 7→ [v ]V
ist ein Vektorraum-Isomorphismus, d.h.
• sie ist bijektiv,
und es gelten
• [v + w ]V = [v ]V + [w ]V für alle v , w ∈ V,
• [αv ]V = α[v ]V für alle α ∈ K und alle v ∈ V.
A.2 Koordinaten
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A.3
V
Basistransformation
Ein Vektor v ∈ V besitze bez. zweier Basen V, W von V die
Koordinatenvektoren [v ]V und [v ]W . Die Frage ist, welcher Zusammenhang
zwischen diesen beiden Koordinatenvektoren besteht.
Wir stellen die Basisvektoren aus V als Linearkombinationen in der Basis W
dar:
v1 = t1,1 w1 + t2,1 w2 + · · · + tn,1 wn
A.3 Basistransformation
v2
..
.
=
t1,2 w1
..
.
vn
= t1,n w1
t2,2 w2
+ ···
..
.
+
+ t2,n w2
+ ···
+ tn,n wn
+
tn,2 wn
..
.
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Numerische Mathematik
VI
und setzen

W
[id]V
t1,1

 t2,1

=T = .
 ..

tn,1

···
t1,n
t2,2
···
..
.
tn,2
···

t2,n 

∈ Kn×n .
.. 
. 

tn,n
t1,2
W
[id]V heisst die Basistransformation von der Basis V in die Basis W .
Es gelten:
W
• [v ]W = [id]V [v ]V ,
W
W
X
• sind V , W , X drei Basen von V, so ist [id]V = [id]X [id]V ,
V
• [id]V = In (die n × n-Einheitsmatrix),
−1
V
W
• [id]W = [id]V
.
A.3 Basistransformation
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Numerische Mathematik
VII
Beispiel.
Sei PnK der Raum aller Polynome p(ζ) = π0 + π1 ζ + π2 ζ 2 + · · · + πn ζ n vom
Grad ≤ n mit Koeffizentzen aus K. (Dieser Raum ist bekanntlich
(n + 1)-dimensional.)
Wir betrachten:
• die Standardbasis S = {1, ζ, ζ 2 , . . . , ζ n }.
• Seien α0 , α1 , . . . , αn ∈ K paarweise verschieden. Setze
n
Y
ζ − αk
,
`j (ζ) =
αj − αk
k=0
j = 0, 1, . . . , n.
k6=j
Dann ist L = {`0 , `1 , . . . , `n } eine Lagrange-Basis von PnK (Joseph Louis
Lagrange, 1736-1813).
• Sei α ∈ K. T = {1, (ζ − α), (ζ − α)2 , . . . , (ζ − α)n } ist eine Taylor-Basis
von PnK . (Für α = 0 ergibt sich der Spezialfall der Standardbasis.)
A.3 Basistransformation
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Numerische Mathematik
VIII
Es gelten

π0

 
 π1 
 
S
[p] =  .  ,
 .. 
 
πn

1

1


L
[id]S = 1
.
.
.
α2
α02
α12
α22
1 αn
αn2
A.3 Basistransformation
α0
α1
···
···
···
..
.
···

p(α0 )


 p(α1 ) 


L
[p] =  .  ,
 .. 


p(αn )


p(α)




T
[p] = 


p0 (α)
1!



.




1 −α


1


S
[id]T = 

.. 


. 

α0n
n
α1 

n
α2  ,
αnn
α
..
.
p(n) (α)
n!
2
···
−2α
···
1
···
..
.
n
(−α)

n−1


n(−α)

n
n−2 

2 (−α)

..

.

1
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Numerische Mathematik
A.4
IX
Matrixdarstellungen linearer Abbildungen
Seien V, W Vektorräume über K und ϕ : V → W eine lineare Abbildung.
Wir wollen diese lineare Abbildung durch eine Matrix beschreiben.
Theoretische Grundlage: Eine lineare Abbildung ϕ : V → W ist durch die
Bilder einer Basis {v1 , . . . , vn } von V eindeutig festgelegt. (Durch die Vorgabe
von ϕ(v1 ), . . . , ϕ(vn ) ist ϕ(v ) für alle v ∈ V eindeutig bestimmt.)
Schritt 1. Wähle Basen V = {v1 , . . . , vn } von V und W = {w1 , . . . , wm } von
W.
Schritt 2. Bilde die Basis von V unter ϕ ab, d.h. bestimme die Bilder
ϕ(v1 ), . . . , ϕ(vn ) ∈ W.
Schritt 3. Stelle ϕ(v1 ), . . . , ϕ(vn ) als Linearkombination der Basis von W dar:
A.4 Matrixdarstellungen linearer Abbildungen
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Numerische Mathematik
X
ϕ(v1 )
=
a1,1 w1
+
a2,1 w2
+ ···
+
am,1 wm
ϕ(v2 )
..
.
=
a1,2 w1
..
.
+
a2,2 w2
+ ···
..
.
+
am,2 wm
..
.
ϕ(vn )
= a1,n w1
+ a2,n w2
+ ···
+ am,n wm
Ergebnis: Die Matrixdarstellung von ϕ bez. der Basen V und W ist


a1,1 a1,2 · · · a1,n


 a2,1 a2,2 · · · a2,n 


W
m×n
[ϕ]V = A =  .
∈
K
,

.
.
.
.
.
 .
.
. 


am,1 am,2 · · · am,n
wobei m = dim(W), n = dim(V).
A.4 Matrixdarstellungen linearer Abbildungen
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Numerische Mathematik
XI
Rekonstruktion der Abbildung aus der Matrix.
m×n
Gegeben: Basen V von V, W von W; Matrix A = [ϕ]W
; Vektor
V ∈K
v ∈ V.
Gesucht: ϕ(v ).
Schritt 1: Bestimme die Koordinaten von v bez. V = {v1 , . . . , vn }:
v = V [v ]V .
Schritt 2: Berechne
V
W
V
[ϕ(v )]W = A[v ]V = [ϕ]W
V [v ] , d.h. ϕ(v ) = W ([ϕ]V [v ] ).
A.4 Matrixdarstellungen linearer Abbildungen
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Numerische Mathematik
XII
Regeln:
• Sei ϕ, ψ : V → W linear und seien V , W Basen von V bzw. W:
[αϕ]W
V
[ϕ + ψ]W
V
= α[ϕ]W
V
=
∀α ∈ K,
W
[ϕ]W
+
[ψ]
V
V .
• Sind ϕ : V → W, ψ : W → X linear und V , W , X Basen von V, W bzw.
X , dann gilt:
X
W
[ψ ◦ ϕ]X
=
[ψ]
[ϕ]
V
W
V .
• Ist ϕ : V → V ein linearer Isomorphismus und sind V , W Basen von V, so
ist [ϕ]W
V invertierbar und es gilt
W −1
[ϕ]V
= [ϕ−1 ]VW .
A.4 Matrixdarstellungen linearer Abbildungen
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Numerische Mathematik
XIII
• Ist T ∈ Kn×n invertierbar und ist V eine Basis des n-dimensionalen
K-Raums V, dann gibt es Basen X, Y von V mit
T = [id]YV
bzw. T = [id]VX .
Problem: Gegeben zwei Matrizen A, B ∈ Km×n , die beide dieselbe lineare
Abbildung ϕ : V → W bez. verschiedener Basen von V bzw. W repräsentieren:
Y
A = [ϕ]W
V , B = [ϕ]X .
Welcher Zusammenhang besteht zwischen A und B?
Lösung:
V
[ϕ]YX = [id]YW [ϕ]W
V [id]X .
Wichtiger Spezialfall (für V = W, V = W , X = Y ):
[ϕ]X
X
=
A.4 Matrixdarstellungen linearer Abbildungen
V
[id]X
[ϕ]
V
V
[id]VX
=
V
[id]X
[ϕ]
V
V
X −1
[id]V
.
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Numerische Mathematik
XIV
Beispiel.
Die Differentiation d : p 7→ p0 ist eine lineare Abbildung von PnR nach PnR . Es
gilt


0 1


 0 2





0 3


S

 ∈ R(n+1)×(n+1) .
[d]S = 
.. ..

.
.





0 n


0
A.4 Matrixdarstellungen linearer Abbildungen
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Numerische Mathematik
XV
Wie entscheidet man, ob zwei Matrizen A, B ∈ Kn×n dieselbe lineare
Abbildung ϕ bez. zweier Basen darstellen?
Also, gegeben sind A, B ∈ Kn×n .
Frage: Gibt es eine lineare Abbildung ϕ : Kn → Kn und Basen V und W mit
A = [ϕ]VV und B = [ϕ]W
W?
Die Antwort lautet genau dann ja“, wenn es eine invertierbare Matrix
V ”
(Basistransformation) T = [id]W ∈ Kn×n gibt mit
A = T BT −1 .
Man nennt dann A ähnlich zu B und schreibt A ∼ B. Die Relation ∼ ist eine
Äquivalenzrelation in Kn×n , d.h. sie ist reflexiv (A ∼ A ∀A), symmetrisch
(A ∼ B ⇒ B ∼ A) und transitiv (A ∼ B, B ∼ C ⇒ A ∼ C).
Die Äquivalenzklassen [A]∼ := {B ∈ Kn×n : B ∼ A} bilden daher eine
Partition von Kn×n .
A.4 Matrixdarstellungen linearer Abbildungen
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Numerische Mathematik
A.5
XVI
Jordansche Normalform
Wir betrachten das folgende Normalformenproblem: Bestimme aus jeder
Klasse [A]∼ einen möglichst einfachen“ Repräsentanten. Oder: Bestimnme zu
”
n×n
vorgebenem A ∈ K
eine möglichst einfache“ Matrix NA mit NA ∼ A.
”
NA heißt dann Normalform von A.
Wir beschreiben die sog. Jordan-Normalform (Marie Ennemond Camille
Jordan, 1838–1922) einer Matrix A ∈ Cn×n .
Grundidee: Zerlege Cn in eine direkte Summe A-invarianter Unterräume
Cn = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm .
Beachte:
Ist Vj eine Basis von Vj , dann ist V := ∪m
j=1 Vj eine Basis von V.
Aus A|Vj = Vj Dj Vj−1 folgt A = [V1 · · · Vm ] diag(D1 , . . . Dm ) [V1 · · · Vm ]−1 .
A.5 Jordansche Normalform
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Numerische Mathematik
XVII
Schritt 1. Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von A:
cA (ζ) =
m
Y
j=1
(ζ − λj )nj mit λj 6= λk für j 6= k und
m
X
nj = n.
j=1
Der Eigenwert λj besitzt die algebraische Vielfachheit nj (j = 1, 2, . . . , m).
Schritt 2. Für jedes j ∈ {1, 2, . . . , m} bestimme den zu λj gehörigen
Eigenraum
Vj := {x ∈ Cn : Ax = λj x } = N (A − λj In ).
Schritt 3. Für jedes j ∈ {1, 2, . . . , m} bestimme eine Basis
(j)
(j)
(j)
{v1 , v2 , . . . , vgj } von Vj (dim(Vj ) = gj ). Man nennt gj die geometrische
Vielfachheit des Eigenwerts λj . Immer gilt gj ≤ nj .
A.5 Jordansche Normalform
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Numerische Mathematik
XVIII
Spezialfall.
• Für alle j = 1, 2, . . . , m gilt gj = nj , oder äquivalent
• Cn = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm , oder äquivalent
• Cn besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von A oder äquivalent
• A ist diagonalisierbar, d.h. ähnlich zu einer Diagonalmatrix.
(1)
(1)
(2)
(2)
(m)
(m)
Sei V = [v1 , . . . , vg1 , v1 , . . . , vg2 , . . . , v1 , . . . , vgm ] ∈ Cn×n die
Matrix, deren Spalten die Basiselemente der einzelnen Eigenräume sind. V ist
invertierbar und es gilt


λ1 In1




λ2 In2


AV = V D bzw. A = V DV −1 mit D = 
.
..


.


λm Inm
A.5 Jordansche Normalform
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Numerische Mathematik
XIX
Die Matrix A = [ 00 10 ] zeigt, dass dieser Fall die Allgemeinheit nicht abdeckt:
A besitzt das charakterisitische Polynom cA (ζ) = ζ 2 , also den Eigenwert
λ1 = 0 mit algebraischer Vielfachheit n1 = 2. Der zugehörige Eigenraum
V1 = N (A − 0I) = N (A) = span{[1, 0]> } ist aber ein-dimensional, d.h.
g1 = 1. A ist nicht diagonalisierbar.
Schritt 2’. Für j = 1, 2, . . . , m und s ∈ N0 betrachten wir die Räume
(s)
Vj = N ((A − λj In )s ), die — für festes j — eine aufsteigende Kette bilden:
(0)
{0 } = Vj
(1)
⊆ Vj
(s)
⊆ · · · ⊆ Vj
(s+1)
⊆ Vj
⊆ ···
Es muss einen (kleinsten) Index νj ≥ 1 geben, an dem diese Kette stationär
(ν )
(s)
(s)
(s+1)
wird, d.h. Vj = Vj j ∀ s ≥ νj . Es gilt: Vj $ Vj
∀ s < νj .
Außerdem:
(ν )
(ν )
(ν )
• Cn = V1 1 ⊕ V2 2 ⊕ · · · ⊕ Vm m und
(ν )
(ν )
• Vj j ist A-invariant mit dim(Vj j ) = nj .
A.5 Jordansche Normalform
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Numerische Mathematik
XX
(s)
Daneben betrachten wir die Räume Wj
absteigende Kette bilden:
(0)
Cn = Wj
(s)
(1)
⊇ Wj
= R((A − λj In )s ), die eine
(s)
⊇ · · · ⊇ Wj
(s+1)
(s)
(s+1)
⊇ Wj
⊇ ···
(s+1)
Es gilt: Wj % Wj
∀ s < νj und Wj = Wj
∀ s ≥ νj .
Außerdem:
(ν )
(ν )
• Cn = Vj j ⊕ Wj j für alle j = 1, 2, . . . , m und
• (A − λj In )νj | (νj ) ist invertierbar für alle j = 1, 2, . . . , m.
Wj
(c)
Schritt 3’. Wir konstruieren induktiv eine Basis von Vj , wobei c = νj :
a) Wir wählen eine maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren
(ν )
(ν )
(ν )
(c)
(c−1)
v1 j , v2 j , . . . , vsc j aus Vj \ Vj
.
(ν −1)
(ν )
b) Seien v` j
:= (λj I − A)v` j , (` = 1, 2, . . . , sc ).
(c−1)
(c−1)
Es gelten: v`
∈ Vj
, j = 1, 2, . . . , sc .
(c)
(c−1) sc
}`=1
c
{v` }s`=1
∪ {v`
A.5 Jordansche Normalform
ist System aus linear unabhängigen Vektoren.
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Numerische Mathematik
XXI
(c)
(c−1)
c
c
c) Wir ergänzen {v` }s`=1
∪ {v`
}s`=1
zu einem maximalen System linear
(c) c
(c−1) sc−1
unabhängiger Vektoren {v` }s`=1
∪ {v`
}`=1 (sc−1 ≥ sc ) aus
(c)
(c−2)
Vj \ Vj
.
d) Angenommen, wir haben ein maximales System linear unabhängiger
tc−d
(c) c
(c−1) sc−1
(c−d) sc−d
Vektoren {w` }`=1
= {v` }s`=1
∪ {v`
}`=1 ∪ · · · ∪ {v`
}`=1
(c)
(c−d−1)
(d < c) aus Vj \ Vj
konstruiert.
Ist c − d − 1 > 0 (andernfalls sind wir fertig), so definieren wir
(c−d−1)
v`
:= (A − λj In )w` , ` = 1, 2, . . . , tc−d .
tc−d
(c−d−1) tc−d
{w` }`=1
∪ {v`
}`=1 bilden ein System linear unabhängiger Vektoren
(c)
(c−d−2)
aus Vj \ Vj
, das wir zu einem maximalen System linear
unabhängiger Vektoren
A.5 Jordansche Normalform
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Numerische Mathematik
XXII
t
(c−d−1) sc−d−1
}`=1
(c−1) sc−1
{v`
}`=1 ∪ · · ·
c−d
∪ {v`
{w` }`=1
(c)
c
= {v` }s`=1
∪
(c)
von Vj
(c−d−2)
\ Vj
(c−d) sc−d
}`=1
∪ {v`
(c−d−1) sc−d−1
}`=1
∪ {v`
ergänzen.
Auf diese Weise wird nach c Schritten eine Basis
(c)
(c−1) sc−1
}`=1
c
{v` }s`=1
∪ {v`
(1)
1
∪ · · · ∪ {v` }s`=1
(c)
von Vj , c = νj , konstruiert. Beachte s1 ≥ · · · sc−1 > sc .
A.5 Jordansche Normalform
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Numerische Mathematik
XXIII
Wir ordnen die Basisvektoren wie folgt:
, v1
..
.
(c−1)
, vsc
(1)
v1 ,
(2)
···
v1
v sc ,
(1)
v sc ,
(2)
···
v sc
(1)
(2)
(1)
vsc−1 ,
vsc +1 , vsc +1 , · · ·
..
.
vsc−1 ,
..
.
A.5 Jordansche Normalform
(2)
···
(c)
(c−1)
v1 ,
..
.
(c−1)
vsc +1 ,
..
.
(c−1)
vsc−1 ,
(c)
(2)
(1)
vs3 +1
..
.
(1)
v s2
vs3 +1 ,
..
.
v s2 ,
(2)
(1)
vs2 +1
..
.
(1)
v s1
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Numerische Mathematik
XXIV
Betrachten wir eine Zeile dieser Tabelle:
(1)
(2)
vk , v k , · · ·
(`−1)
vk
(`)
, vk ,
so gilt per Konstruktion
(1)
=
λ j vk ,
(2)
=
λ j vk + vk ,
Avk
Avk
(1)
(2)
(1)
···
(`−1)
=
λ j vk
(`)
=
λ j vk + vk
Avk
Avk
A.5 Jordansche Normalform
(`−1)
(`)
(`−2)
+ vk
(`−1)
,
.
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Numerische Mathematik
XXV
(t)
(t)
Der Raum Vj,k = span{vk }`t=1 ist A-invariant und besitzt Vj,k = {vk }`t=1
als Basis. Es gilt


λj 1




λj 1




..


.
Vj,k
λj


A|Vj,k V = Jj,k := 
∈ C`×` .

j,k
.. ..


.
.





λj 1 


λj
A.5 Jordansche Normalform
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Numerische Mathematik
XXVI
1
Mit Vj := ∪sk=1
Vj,k folgt
A|
Vj,k
(νj )
Vj
Vj,k

Jj,1



= Jj := 






 ∈ Cνj ×νj .


Jj,2
..
.
Jj,s1
Schließlich ergibt sich mit V = ∪m
j=1 Vj

J1


J2

V
[A]V = J(A) := 



..



 ∈ Cn×n


.
Jm
die Jordan Normalform von A.
A.5 Jordansche Normalform
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Numerische Mathematik
XXVII
Beispiel. Die Matrix


3 −1 1 −2


0 1 0 0 

A=
1 −1 2 −1


2 −1 1 −1
besitzt das charakteristische Polynom(c=poly(A), r=roots(c))
cA (ζ) = ζ 4 − 5ζ 3 + 9ζ 2 − 7ζ + 2 = (ζ2 )(ζ − 1)3 ,
(ν1 )
also die Eigenwerte λ1 = 1, λ2 = 2. (C4 = V1
A.5 Jordansche Normalform
(ν2 )
⊕ V2
.)
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Numerische Mathematik
XXVIII
A − I4
3
(A − I4 )

2

0
= 
1

2

1

0
= 
1

1
−1
1 −2
0
0
−1
1
−1
1
−1
1
0
0
−1
1
−1
1


0
,
−1

−2

−1

0

−1

−1

1 −1

0 0
2
(A − I4 ) = 
1 −1

1 −1
1
0
1
1

−1

0

−1

−1
mit rank(A − I4 ) = 2, rank((A − I4 )2 ) = 1, rank((A − I4 )3 ) = 1 (rank). Das
bedeutet ν1 = 2.
A.5 Jordansche Normalform
Technische Universität Bergakademie Freiberg
Numerische Mathematik
XXIX
N ((A − I4 )2 ) = {x ∈ R4 : x1 = x2 − x3 + x4 }.
N (A − I4 ) = {x ∈ R4 : x1 = x4 , x2 = x3 }.
(1)
(2)
(2)
Das heißt v1 = [1, 1, 0, 0]> ∈ V1 \ V1 .
(2)
(1)
v1 = (A − I4 )v1 = [1, 0, 0, 1]> .
(1)
v2 = [0, 1, 1, 0]> (z.B.).


1 −1 1 −2


0 −1 0 0 

A − 2I4 = 
1 −1 0 −1


2 −1 1 −3
mit rank(A − 2I4 ) = 3 = rank((A − 2I4 )2 ). Das heißt ν2 = 1. Der Eigenraum
(1)
(1)
V2 wird etwa von v3 = [1, 0, 1, 1]> aufgespannt.
A.5 Jordansche Normalform
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Numerische Mathematik
XXX
Setze

1

0
V =
0

1
Dann ist

1
0
1
1
0
1
0
0

1

0
.
1

1
1 1 0

 0 1 0

V −1 AV = 
 0 0 1

0 0 0
A.5 Jordansche Normalform
0


0 

.
0 

2
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