Zur Erinnerung Stichworte aus der 17. Vorlesung

Zur Erinnerung
Stichworte aus der
17. Vorlesung:
Viskosität
laminare Strömung,
Gesetz von HagenPoiseuille
Gleichungen der
Strömungslehre
Temperatur,
Temperaturskalen,
thermische
Ausdehnung von
Festkörpern
Experimentalphysik I SS 2010
FR = η ⋅ ∫ ∆u ⋅ dV
π ∂p 4
ρ ⋅V

M=
= ρ⋅ ⋅ ⋅R
8η ∂z
t
Kontinuitätsgleichung & Bernoulli-Gleichung,
Euler-Gleichungen (nicht stationär), NavierStokes-Gleichung (reale Flüssigkeit, Viskosität)
alle (reproduzierbar und reversibel) mit T veränderliche
Eigenschaften nutzbar:
Ausdehnung (i.d.R. Flüssigkeiten), elektrischer
Widerstand, Kontaktspannung, Wärmestrahlung, u.v.a.m.
18-1
Gleichungen der Strömungslehre
Kontinuitätsgleichung:
Bernoulli-Gleichung:
Euler-Gleichung:
∂ρ
+ div( ρ ⋅ u) = 0
∂t
Massenerhaltung
1
p + ρ ⋅ u 2 = p0
2
Energieerhaltung
Ideale Flüssigkeiten,
Nicht stationär
Navier-StokesGleichungen:
Dynamik viskoser Flüssigkeiten,
Euler-Gleichungen, ergänzt um Reibungskraft
⇒
Wirbelbildung!
s. De und theoretische Ergänzung
Experimentalphysik I SS 2010
18-2
Avogadro-Konstante und Molvolumen
Stoffmenge:
1 Mol
(Anzahl der „Einheiten“: Atome oder Moleküle)
1 mol = Stoffmenge eines Systems, das aus
ebensoviel Teilchen (NA) besteht, wie 12 g des
Kohlenstoffnukleids 12C.
auf 12C bezogen: NA m12C = 12 [g] = NA 12 m*
m* = (1/12) m(12C) = mittlere Masse eines Nukleons im
12C – Kern
Avogadro-Konstante
oder Loschmidt-Zahl:
Allgemein:
NA = m*-1 = 6.022·1023 mol-1
Die Masse der Stoffmenge 1 mol ist gleich dem
„Atomgewicht in Gramm“
NA mTeilchen = ATeilchen [g]
ATeilchen = „Atomgewicht“ = mTeilchen/m*
Experimentalphysik I SS 2010
18-3
Avogadro-Konstante und Molvolumen
Avogadro-Konstante:
Bestimmung von NA:
12 g 12C durch Massenvergleich mit Massennormal
„Abzählen“ der Zahl der Teilchen, z.B. durch Methoden
der Röntgen-Strukturanalyse
1 mol Wasserstoff H2 : 2 g
1 mol Helium 4He : 4 g
1 mol Kohlenstoff 12C : 12 g
1 mol Stickstoff 14N2: 28 g
Experimentalphysik I SS 2010
18-4
Avogadro-Konstante und Molvolumen
Experimentalphysik I SS 2010
18-5
Wärmemenge und spezifische Wärme
(genauer: spezifische Wärmekapazität)
Zufuhr Wärmemenge ΔQ (Energie) an Masse M
→ ΔT(ΔQ, M)
ΔQ = c M ΔT → c = ΔQ / (M ΔT)
c = spezifische Wärme (-kapazität)
c = ΔQ für M = 1 kg und ΔT = 1 K
c von Struktur des Materials abhängig
(z.B.: Zahl der Freiheitsgrade bei Gas)
alte Einheit Wärmemenge „cal“ oder „kcal“:
ΔQ = 1 kcal → 1 kg H20, 14.5 °C → 15.5 °C
Experimentalphysik I SS 2010
18-6
Allgemeine Gasgleichung für ideale Gase
Ziel:
Spezifische Molwärme(kapazität) idealer Gase
VM = Volumen der Stoffmenge 1 mol bei 1 bar und 0 °C
p V = N k T (bekannt)
für V = VM → p VM = NA k T mit NA k = R = 8.31 J /(K mol)
p VM = R T
oder für Stoffmenge ν Mol
pV=νRT
V/VM = ν
Experimentalphysik I SS 2010
18-7
Spezifische Molwärme idealer Gase
Mmol = Masse eines Mol [kg]
∆Q = c ⋅ M mol ⋅ ∆T = C ⋅ ∆T
Spezifische Molwärme:
∆Q
= c ⋅ M mol = C
∆T
[C ] =
J
mol K
C = Energie (Wärmemenge) für ΔT = 1 K
allgemein: ν = Zahl der Mol
∆Q
= ν ⋅ c ⋅ M mol = ν ⋅ C
∆T
Wärmekapazität zu unterscheiden:
ΔQ → ΔT bei V = const. → C ⇒ CV
ΔQ → ΔT bei p = const. → C ⇒ CP
Experimentalphysik I SS 2010
18-8
Spezifische Molwärme idealer Gase
Im thermischen Gleichgewicht:
ΔQ zuführen → ΔT → Erhöhung der inneren Energie ΔU
Für 1 Teilchen: mittlere Energie
<E>T = <Ekin>T + <Erot>T + <Evib>T = f ·½ k T
Gaskonstante R:
Für Stoffmenge 1 mol: mittlere Energie
<E>M = NA <E>T = f ·½ NA k T = f ·½ R T
ΔU = Δ<E>M = f ·½ R ΔT
Spezifische Molwärme
bei konstantem V:
ΔQ = ΔU = ν CV ΔT = ν f ·½ R ΔT
CV = ½ f R
Experimentalphysik I SS 2010
18-9
Anregung/Einfrieren von Freiheitsgraden
CV(T):
Angeregte
Freiheitsgrade:
Nur diejenigen Freiheitsgrade,
die bei gegebenem T angeregt sind
(Energie aufnehmen), tragen zu CV bei.
Energieaufnahme, wenn kT > ΔE.
→ CV steigt mit T.
Experimentalphysik I SS 2010
18-10
Spezifische Molwärme idealer Gase
Gleichgewicht zwischen Kraft auf Kolben von außen und
Kraft auf Kolben durch Gas von innen (pinnen = paußen).
ΔQ zuführen → ΔT → Erhöhung der inneren Energie ΔU
und Verrichtung von Arbeit ΔW
ΔQ = ΔU + ΔW
mit
ΔU = CV ΔT
ΔW = F Δx = p A Δx = p ΔV
mit
pV=RT
p (V+ΔV) = R (T+ΔT)
p ΔV = R ΔT
ΔQ = CP ΔT = CV ΔT + R ΔT
Spezifische Molwärme
bei konstantem p:
Cp/CV:
Experimentalphysik I SS 2010
(für 1 mol)
CP = CV + R
CP
=
CV
1
2
fR + R f + 2
=
=κ
1
f
fR
2
hängt nur von der Struktur
der Moleküle ab!
18-11
Spezifische Molwärme von Festkörpern
Phononen:
Viele Eigenschwingungen („Phononen“)
mit verschiedenen Frequenzen ν.
Schwingungsenergie auch quantisiert.
Niedrige Frequenzen:
h ν = Evib,min < k · 300 K, angeregt
Hohe Frequenzen:
h ν = Evib,min > k · 300 K, eingefroren
→ Cmol steigt mit T.
Experimentalphysik I SS 2010
18-12
Spezifische Molwärme von Festkörpern
Für hinreichend hohe Temperaturen:
alle Schwingungen angeregt, Freiheitsgrade pro Atom = 6
<Emol> = 6 · ½ NA k T = 3 R T
Dulong-Petit-Gesetz:
Experimentalphysik I SS 2010
Cmol = 3 R
18-13
Wärmekapazität von Festkörpern
Wärmekapazität C:
ΔQ = C ΔT = ν Cmol ΔT
mit ν = m / M = m / (NA ATeilchen)
∆Q =
m Cmol ∆T
N A ATeilchen
Masse m für alle Proben gleich,
Temperaturerhöhung ΔT gleich,
Cmol fast gleich, aber
AAl < ACu < APb (im Verhältnis 27 : 63,5 : 207),
so dass
ΔQAl > ΔQCu > ΔQPb.
Experimentalphysik I SS 2010
18-14
Energieumsatz bei Phasenübergängen
Wenn Evib > EBindung → schmelzen, verdampfen
ΔQ → Aufbrechen von Bindungen
Kondensation: Bildung von Bindungen
EBindung für Bindung A-B auf C übertragen
Reaktion, Massenwirkungsgesetz
Experimentalphysik I SS 2010
18-15
Schmelzen, Verdampfen
Zufuhr von Energie ΔQ → T steigt.
Wenn <Evib> ≈ EBindung → Viele Bindungen brechen auf.
Wenn Schmelzvorgang begonnen hat: T = const. im Körper
(durch Wärmeleitung) bis Material vollständig geschmolzen.
Experimentalphysik I SS 2010
18-16
Schmelzen, Verdampfen
Energieverteilung NT(E)
festgelegt durch T.
Bindung wird gelöst für Teilchen mit E > EB, deren Anzahl
∞
N =
*
T
∫ NT ( E ) dE
EB
Wenn Energiezufuhr gestoppt: Schmelzen/Verdampfen
endet erst wenn
∞
∞
∫ NT ( E ) dE << ∫ NT ( E ) dE
1
EB
Experimentalphysik I SS 2010
0
0
18-17
Schmelzen, Verdampfen
Spezifische
Schmelzwärme λS:
Spezifische
Verdampfungswärme λV:
Experimentalphysik I SS 2010
Energie, die zum Schmelzen von 1 kg eines Stoffes
nötig ist:
Qschmelz[J] = λS[J/kg] ·m [kg]
Energie, die zum Verdampfen von 1 kg eines Stoffes
nötig ist:
Qverdampf[J] = λV[J/kg] ·m [kg]
18-18
Wärmetransport
Jeder sich selbst überlassene Körper mit der Temperatur
TK tauscht mit seiner Umgebung so lange Energie aus,
bis er die gleiche Temperatur TU wie seine Umgebung hat
thermisches Gleichgewicht
⇒
Konvektion:
Wärmeleitung:
durch Transport makroskopischer Volumina:
(Gase und Flüssigkeiten)
durch Transport einzelner Teilchen
Wärmeleitung in Gasen
durch Kopplung von Schwingungen und
Energietransport im FK (bei Metallen i.w. durch
Elektronen)
Wärmestrahlung:
Experimentalphysik I SS 2010
durch Strahlung (einziger Mechanismus im
Vakuum)
18-19
Wärmetransport durch Konvektion
Erwärmung „von unten“
T(a) >T(b) → da dρ/dT<0
ρ(a)<ρ(b) → Auftrieb
→ untere Schichten steigen auf
→ Durchmischung durch Konvektion
Experimentalphysik I SS 2010
18-20
Wärmetransport durch Konvektion
Seewind:
Tiefdruckgebiet:
Experimentalphysik I SS 2010
18-21
Wärmeleitung
nur Energietransport,
kein Massentransport,
T1 und T2 < T1 durch
Kontakt mit „Wärmereservoirs“
fixiert.
angenommen: Wärmestrom nur in
x-Richtung, nach einiger Zeit
stationärer Fall:
dQ
= const.
dt
∂T
dQ
⇒
= −λ ⋅ q ⋅
∂x
dt
[λ ] = W m −1 K −1
⇒
Wärmeleitzahl:
Experimentalphysik I SS 2010
18-22
Wärmeleitung in Metallen
Metall: „freie“ Elektronen
hohe elektrische Leitfähigkeit
Elektronen: geringe Masse, starke Wechselwirkung mit
Atomrümpfen
→ dominanter Beitrag der Elektronen zur Wärmeleitung
(Metall)
Gute Wärmeleiter sind auch gute elektrische Leiter.
Zusammenhang von Wärmeleitzahl λ und elektrischer
Leitfähigkeit σ:
Wiedemann-FranzGesetz:
experimentell λ = a ⋅ T ⋅ σ
Theorie:
Experimentalphysik I SS 2010
a=
π 2 k2
⋅
3 e2
18-23
Wärmeleitung in Metallen
Cu:
Stahl:
gute Wärmeleitung
TA steigt an, ΔQ fließt schnell nach E →
TE steigt bald nach Beginn der Zufuhr an
schlechte Wärmeleitung, ΔQ fließt nur
langsam nach E → TA steigt stark an,
Verluste auf maßgeblicher Zeitskala, durch
Ableitung in Umgebung: → TE steigt kaum an
t
Wärmemenge:
dQ
dt
dt
0
∆Q1 (t ) = ∫
Gleichgewicht (ΔQ1 = ΔQ2 ) wird für Stahl, wg. schlechterer
Wärmeleitung i. vgl. zu Kupfer, erst bei höherer T erreicht
Experimentalphysik I SS 2010
18-24
Wärmeleitung in Metallen
Experimentalphysik I SS 2010
18-25
Wärmeleitung in Flüssigkeiten
Experimentalphysik I SS 2010
18-26
Wärmeleitung in Gasen /Wiederholung)
Ohne Diffusion:
Mit Diffusion:
dW
= κ (T1 − T2 ) κ ≡ Wärmeübergangszahl
dt
dW
dT
=λ⋅
dt
dx
λ ≡ Wärmeleitfähigkeit λ =
1 f ⋅k ⋅ v
12 σ
Transport von Energie:
kleine Masse
→ großes <v>
Draht glüht im oberen Bereich weniger stark, da dort höhere
Dichte von H2, daher bessere Wärmeleitung
Experimentalphysik I SS 2010
18-27
Wärmestrahlung
Strahlungsgesetze:
hier nur: elementare Zusammenhänge
entwickelt von Max-Planck um 1900:
war ein Schlüssel für die
Entwicklung der Quantenmechanik
Aussagen über:
Variation von Intensität und Spektrum
der Abstrahlung von einer Oberfläche mit der
Temperatur
sowie
Abhängigkeit von Oberflächen-Beschaffenheit
Experimentalphysik I SS 2010
18-28
Wärmestrahlung
Wärmetransport
durch Strahlung:
Körper T = TK, Wandung T = TU
Hochvakuum: kein T-Ausgleich durch Wärmetransport
über Atome/Moleküle
Energietransport durch elektromagnetische Strahlung
dadurch Ausgleich: TK → Tm und TU → Tm
im thermischen Gleichgewicht muss ebensoviel Leistung
(Strahlung) absorbiert wie emittiert werden.
Experimentalphysik I SS 2010
18-29
Wärmestrahlung
Abhängigkeit von der
Oberflächenbeschaffenheit:
abgestrahlte Leistung I(T) = dW(T)/dt
Beobachtung: Idunkel/rauh(T) > Ihell/blank(T)
I(T2) > I(T1) für T2 > T1
Experimentalphysik I SS 2010
18-30
Wärmestrahlung
von Fläche dF in
Raumwinkel dΩ [pro m2
>> 1 Sterad] abgestrahlte Leistung dW/dt:
Emissionsvermögen
E*(T):
Absorptionsvermögen
A(T):
[E * (T )] =
dW
= E * (T ) ⋅ dF ⋅ dΩ,
dt
A=
Wabsorbiert
Wauftreffend
J
S ⋅ m 2 ⋅ Sr
A ist dimensionslos!
es gilt (Beobachtung):
E * (T )
= K (T )
A(T )
Verhältnis ist nur von T abhängig!
Schwarzer Körper:
Experimentalphysik I SS 2010
A(T) = 1 für alle Frequenzen (Wellenlängen)
18-31
Wärmestrahlung
Realisierung eines
schwarzen Körpers:
Realisierung einer Fläche mit den Eigenschaften
„schwarzer Körper“ im Sinne der Strahlungsgesetze:
kleines Loch in der Wandung eines Hohlraumes
schwarzer Körper = Fläches des Loches
Das spektrale Emissionsvermögen E* eines schwarzen
Körpers ist identisch mit der spektralen Strahlungsdichte
S* der Hohlraumstrahlung.
Experimentalphysik I SS 2010
18-32
Wärmestrahlung
Strahlungsformel von
Max Planck:
Max Planck um 1900:
spektrale Energiedichte
der Startpunkt zur Entwicklung der Quantenmechanik
Aussagen über: Temperatur-Variation von Intensität und
Spektrum der Abstrahlung einer Oberfläche
sowie
Abhängigkeit der Strahlung von der OberflächenBeschaffenheit
Experimentalphysik I SS 2010
18-33
Wärmestrahlung
Strahlungsformel von
Max Planck:
8π ν 2
ρ (ν ) = 3 ⋅ hν ⋅
c
1
e
hν
kT
Statistisches
Gewicht
−1
Besetzungswahrscheinlichkeit W(ν,Τ)
Energie pro Quant hν
ρ (λ ) =
8π hc
λ5
1
⋅
e
hc
kTλ
−1
ρ(λ) bzw. ρ(ν):
spektrale Energiedichte
ρ(λ)dλ bzw. ρ(ν)dν:
Energiedichte im SpektralInterval dλ bzw. dν
Zunahme des Integrals über K(λ) geregelt durch:
Stefan-Boltzmann-Gesetz
Verschiebung des Maximums geregelt durch: Wien’sches
Verschiebungsgesetz
Experimentalphysik I SS 2010
18-34
Wärmestrahlung
Stefan-Boltzman:
dW
= σ ⋅ S ⋅T 4
dt
S = strahlende Fläche,
σ = 5.77·10-8 W/(m2 K4)
dW
(A = 1 m 2 , T = 300 K ) = 470 W
dt
dW2
dW
= 10 ⋅ 1
dt
dt
z.B. T2 = 300 K (27 °C ), T1 = 533 K (260 °C )
T2 = 1,77 ⋅ T1 ⇒ T24 = 10 ⋅ T14 , ⇒
Wien‘sches
Verschiebungsgesetz:
Experimentalphysik I SS 2010
λmax ⋅ T = b
dI (λ )
= 0 für λ = λmax , b = 2,8978 ⋅10 −3 m K
dλ
λmax (300 K ) = 10 µm
18-35
Konsequenzen der Wärmestrahlung
Lichtmühle:
Übertrag von Photonen-Impulsen ??
Experimentalphysik I SS 2010
18-36
Konsequenzen der Wärmestrahlung
Lichtmühle:
Übertrag von Teilchen-Impulsen
Experimentalphysik I SS 2010
18-37
Konsequenzen der Wärmestrahlung
Photonenimpuls:
E ph = h ⋅ν =" m ph "⋅c 2
p ph =" m ph "⋅c =
Z ph =
F=
dn photon
dt
∆p
∆t
=
h
h ⋅ν
c
⋅
=
λ
c2
Experimentalphysik I SS 2010
Photonenimpuls
pro Zeiteinheit auftreffende Photonen
⇒ Fblank = 2 Z ph
∆F = Fblank − Fschwarz = Z ph
⇒
Photonenenergie
h
λ
, Fschwarz = Z ph
h
λ
h
λ
Drehung schwarze Seite voran
18-38
Konsequenzen der Wärmestrahlung
Teilchenimpuls:
Teilchen aus dem Gasvolumen landen auf der Fläche der
Drehflügel mit Impuls <p>
p = m ⋅ v(Tgas )
Kraftübertrag beim „Landen“ identisch für beide Seiten:
F
landen
d planden
=
= Z ph ⋅ m ⋅ v(Tgas )
dt
Kraftübertrag beim „Starten“:
Start mit v(TOberfläche ) : Tschwarz > Tblank ≈ Tgas
F start = Z ph ⋅ m ⋅ v(TOberfläche )
start
start
⇒ Fschwarz
> Fblank
⇒
Experimentalphysik I SS 2010
Drehung schwarze Seite rückwärts
18-39
Wärme-Isolierung
Strahlungsabschirmung und Verwendung von
Materialien mit geringer Wärmeleitung
Experimentalphysik I SS 2010
18-40