Analysis I

Prof. Dr. G.S. Weiss, WS 2010/11, HHU Duesseldorf
Vorlesung: Analysis I, inoffizielle Mitschrift
by: Christian Franzen, Matr. 1956616
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 §1 Warum die Ableitung?
1.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . .
1.2 Anwendung der Ableitung . . . . .
1.3 Extremwertprobleme . . . . . . . .
1.4 konkrete Bedeutung der Ableitung
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3
3
4
4
2 §2 Funktionen, Schranken und Grenzen
2.1 Definitionsmenge und Wertemenge .
2.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Invertierbarkeit von Funktionen . . .
2.4 Monotone Funktionen . . . . . . . .
2.5 konvexe Funktionen . . . . . . . . .
2.6 Schranken . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Maxima und Minima . . . . . . . . .
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3 Vollständie Induktion (aus Übungsstunde)
3.1 Lösung Aufgabe I: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lösung Aufgabe II: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
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2
3
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6
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11
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Tangente einer beliebigen komplexen Funktion .
ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ortsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel Bergweg-Funktion . . . . . . . . . . . . .
Liniendichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispielfunktion für Definitionsmengen . . . . . .
Nicht invertierbar: x2 . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel und Gegenbeispiel für monoton steigend
Konvexe Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvex und Konkav . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschränkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispielfunktion für Definitionsmengen . . . . . .
(strikt) konvex und monoton . . . . . . . . . . .
obere Grenze und Schranken . . . . . . . . . . .
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1 §1 WARUM DIE ABLEITUNG?
Analysis I - Kurzüberblick
• Abgabe der Übungsaufgaben bis Dienstag 11:00 Uhr in Raum 25.22.00 (Briefkästen)
• 30% der Übungen müssen gelöst werden
• Skripte und Übungsblätter unter: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/˜weiss/Analysis1
• [email protected]
• Übungen: [email protected]
1 §1 Warum die Ableitung?
2010-10-12
1.1 Die Ableitung
Die Ableitung dient dazu, eine komplizierte Funktion durch eine Gerade (oder ein Polynom) in der
Nähe eines Punktes x0 zu approximieren.
Abbildung 1: Tangente einer beliebigen komplexen Funktion
f (x0 ) → f 0 (x0 )(x − x0 )
1.2 Anwendung der Ableitung
In Anwendung kommen sehr oft Differenzen der Form
der Populationsdynamik, Gesetz von Malthus.
f (x + h) − f (x)
vor. Z.B. Klassische Modelle
h
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1 §1 WARUM DIE ABLEITUNG?
Malthus: Bevölkerungszuwachs in 30 Jahren ≈ Populationsgröße. Also, wenn
f (t + h) − f (t)
= c · f (t)
h
Hier ist h = 30 Jahre und c ist ein empirisch ermittelter Parameter (bei Malthus 0.02)
Das Problem ist, dass Differenzengleichungen im Allgemeinen schwer lösbar sind. Deshalb geht man
f (t + h) − f (t)
zum Limes über. lim
h→0
h
Man erhält die Differentialgleichung f 0 (t) = c · f (t) deren Lösung bekannt ist: die Lösung [für die
Malthus-Exponentialfunktion] ist f (t0 ) = ec(t−t0 )
Differentialgleichungen sind einfacher lösbar, haben weniger Parameter und qualitative Eigenschaften
der Lösung sind sofort sichbar. So ist z.B. die Exponentialfunktion schneller wachsend als jedes
Polynom, konvex,...
10
exp(x)
8
6
4
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Abbildung 2: ex
1.3 Extremwertprobleme
Zu gegebenen Daten (x1 , y1 ), (xn , yn ) finde eine Gerade, die in einer bestimmten Metrik den Abstand
n
X
zur Punktmenge minimiert. Der Abstand zur Geraden αx + β könnte mit
(yj − (αxj + β))2
j=1
gemessen werden.
1.4 konkrete Bedeutung der Ableitung
In vielen Zusammenhängen hat die Ableitung bereits eine konkrete Bedeutung. Z.B.:
• Die Ableitung der Ortsfunktion f (t) ist die Geschwindigkeit. Die Ableitung der
Geschwindigkeit ist die Beschleunigung. Hier ist die Variable die Zeit.
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2 §2 FUNKTIONEN, SCHRANKEN UND GRENZEN
Abbildung 3: Ortsfunktion
• Die Ableitung der Lebenshaltungskosten ist die Inflation
• Die Ableitung der Höhe eines Weges relativ zum Meeresspiegel ist die Steigung des Weges. Hier
ist x die Position auf dem Meeresspiegel.
Abbildung 4: Beispiel Bergweg-Funktion
• Die Ableitung der Masse eines Stabes ist die Liniendichte (line density). Hier ist die Variable x
das gemessene Stabsstück.
Abbildung 5: Liniendichte
2 §2 Funktionen, Schranken und Grenzen
2.1 Definitionsmenge und Wertemenge
Definition 2.1: Sei D eine Menge reeller Zahlen
Beispiel:
D=R
D = (0, 1)
D = {0} ∪ {1}
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2 §2 FUNKTIONEN, SCHRANKEN UND GRENZEN
f : D → R heisst Funktion (einer reellen Variablen), wenn f jedem Element x aus D genau eine
reelle Zahl f (x) zuweist. D heisst Definitionsmenge von f .
f (D) := {f (x)|x ∈ D} heisst Wertemenge von f .
Beispiel:
x → f (x) =

0, x ≤ −1








 x + 1, −1 < x ≤ 0


1 − x, 0 < x ≤ 1







0, x > 1
Abbildung 6: Beispielfunktion für Definitionsmengen
Die Definitionsmenge von f ist R und die Wertemenge f (D) = [0, 1]
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2 §2 FUNKTIONEN, SCHRANKEN UND GRENZEN
2010-10-15
2.2 Notation
abgeschlossene Intervalle: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
offene Intervalle (a, b) = {x ∈ R | a < x < b},
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
”x ∈ A” bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist.
”A 3 x” bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist.
Demzufolge ist x ∈ (a, b] äquivalent zu a < x ≤ b
<=>
”x 7−→ f (x)” bedeutet, dass x auf f (x) abgebildet wird.
2.3 Invertierbarkeit von Funktionen
Definition 2.3:
Besitzt eine Funktion einer reellen Variablen f : D → R für jedes y ∈ f (D) genau ein x ∈ D so dass
f (x) = y, so heisst f eineindeutig oder invertierbar (one to one).
In diesem Fall heisst die Funktion f : f (D) → D. g(y) = x die Umkehrfunktion von f und wird mit
f −1 bezeichnet.
Achtung: f −1 6=
1
f
Beispiel 2.4:
1. Die Funktion f : [1−, 1] → R, f (x) = x2 ist nicht invertierbar.
1.1
x**2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
Abbildung 7: Nicht invertierbar: x2
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2 §2 FUNKTIONEN, SCHRANKEN UND GRENZEN
2. f : [0, 1] → R, f (x) = x2 ist invertierbar und f −1 (y) =
3. f (x) =
√
2
y
24 −1
sin0.41 · cos(2πT /365)
cos (−tan(x
))
π
1 − sin2 (0.41cos2 ( 2πT
365 ))
zeigt die Zeitspanne zwischen Sonnenauf- und Untergang als Funktion vom Breitengrad x an; hier ist
T die Anzahl der seit dem 21.06. vergangenen Tage. Überlege, ob f invertierbar ist. Falls ja, könnte
man den eigenen Breitengrad durch Messen der Zeitspanne zwischen Sonnenauf- und Untergang
bestimmen.
2.4 Monotone Funktionen
Definition 2.5 (Monotone Funktion):
f : d → R heisst monoton, falls für alle s, t ∈ D gilt: s ≤ t => f (s) ≤ f (t)
Abbildung 8: Beispiel und Gegenbeispiel für monoton steigend
2.5 konvexe Funktionen
Definition 2.6 (konvexe Funktion):
Die Funktion f : (a, b) → R heisst konvex, wenn sie für alle x, y ∈ (a, b) und alle t ∈ [0, 1] die
Ungleichung f (tx + (1 − t)y) ≤ t · f (x) + (1 − t)f (y) erfüllt.
Abbildung 9: Konvexe Funktion
Bemerkung: analog heisst eine Punktmenge D der Ebene konvex, falls für alle (x, y) ∈ D und alle
(v, w) ∈ D die Strecke von (x, y) nach (v, w) in D enthalten ist.
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2 §2 FUNKTIONEN, SCHRANKEN UND GRENZEN
Abbildung 10: Konvex und Konkav
2.6 Schranken
Definition 2.7(Schranken)
Sei A eine Menge reeller Zahlen. Falls es eine reelle Zahl M gibt, so dass für alle x ∈ A gilt x ≤ M ,
dann heisst M obere Schranke der Menge A. Falls es ein m ∈ R gibt, so dass m ≤ x für alle x ∈ A, so
heisst m untere Schranke. Falls es sowohl obere als auch untere Schranke für A existieren, so heisst A
beschränkt.
Achtung: −∞, +∞ sind keine reellen Zahlen (keine Elemente von R).
Falls A von oben beschränkt und gleichzeitig die Wertemenge einer Funktion f ist, so heisst f
ebenfalls von oben beschränkt. Ist A = f (D) und ist A beschränkt, so heisst die Funktion f
beschränkt. Ist A nicht beschränkt, so nennen wir es unbeschränkt. Das Gleiche gilt für f.
Beispiel 2.8:
1. Die Menge (−∞, 1) hat unendlich viele obere Schranken (jedes x ≥ 1 ist obere Schranke)
2. f : [−1, 1] → R, x 7−→ f (x) =




1
, x 6= 0
|x|


 0, x = 0
ist von unten beschränkt, aber nicht von oben.
Abbildung 11: Beschränkung
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2 §2 FUNKTIONEN, SCHRANKEN UND GRENZEN
2.7 Maxima und Minima
Definition 2.9 (Maxima und Minima)
Sei A eine Menge reeller Zahlen. Falls es M ∈ A gibt, so dass x ≤ M für alle x ∈ A, so heisst M
Maximum der Menge A.
Falls es m ∈ A gibt, so dass m ≤ x für alle x ∈ A, so heisst m Minimum der Menge A.
Wir schreiben M= max A und m= min A. In dem Falle, dass A der Wertebereich einer Funktion
f : D → R ist, so heisst M (falls existent) Maximum der Funktion f, bzw. m Minimum der Funktion f.
Wir schreiben M = max f = max f (x) und m = min f = min f (x)
D
x∈D
D
x∈D
Beispiel 2.10:
1. Die Menge (0, 1] hat das Maximum 1, sie besitzt jedoch kein Minimum.
2. Die Funktion f : R → R

0, x ≤ −1








x + 1, −1 < x ≤ 0





0, x = 0
x → f (x) =







1 − x, 0 < x ≤ 1






0, x > 1
Abbildung 12: Beispielfunktion für Definitionsmengen
f hat das Minimum 0, aber kein Maximum.
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2 §2 FUNKTIONEN, SCHRANKEN UND GRENZEN
Dieses Script wird nur noch um Kommentare ergänzt, da
ein vollständiges Skript vom Dozenten verfügbar ist
Obere Schranke: Die kleineste obere Schranke heißt obere Genze S=sup A (oder supremum): sup f S
D
ist nicht unbedingt Teil der Menge. (0.9999)
Abbildung 13: (strikt) konvex und monoton
Abbildung 14: obere Grenze und Schranken
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3
VOLLSTÄNDIE INDUKTION (AUS ÜBUNGSSTUNDE)
3 Vollständie Induktion (aus Übungsstunde)
Für alle x, y ∈ R : (x − y)2 = x2 − 2xy + y 2
Beweis: Seien x, y ∈ R beliebig:
(x − y)2 = (x − y)(x − y) = x2 + x(−y) + (−y)x + y 2 = x2 − 2xy + y 2
q.e.d
Beispiel: Für alle n ∈ N :
n
X
k=1
1
k = n(n + 1).
2
Diese Aussage lässt sich nicht algebraisch beweisen.
Dominosteine
Wir haben n Dominosteine.
Alle Steine fallen um, falls gilt:
1. Stein 1 fällt um
2. Für alle n ∈ N gilt: Stein n fällt um => Stein n + 1 fällt um.
Nach
1.) Stein 1 fällt um
2.) => Stein 2 fällt um
2.) => Stein 3 fällt um
Vollständige Induktion Für jedes n ∈ N sei A(n) eine Aussage.
Für alle n ∈ N giltA(n), falls
1. A(1) Induktionsanfang (Ind. Anf.)
2. Für alle n ∈ N gilt: A(n) => A(n + 1)
1.) => A(1)
Wende 2) auf n=1 an. => A(2)
2.) => A(2)
Wende 2) auf n = 2 an => A(3) => A(4) => A(5)...
Beweis durch Induktion:
A(n) :=
k
X
k=1
1
k = n(n + 1)
2
Ind. Anf.:
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3
n=1:
1
X
k=1,
k=1
VOLLSTÄNDIE INDUKTION (AUS ÜBUNGSSTUNDE)
1
· 1(1 + 1) = 1 => A(1)
2
Ind. Schritt:
Sei n ∈ N beliebig und gelte A(n), d.h.
n
X
k=1
1
k = n(n + 1) Induktionsvoraussetzung (IV)
2
z.z. (zu zeigen): A(n + 1), d.h.:
n+1
X
k=1
n+1
X
k=1
1
k = (n + 1)((n + 1) + 1)
2
n
X
k=(
k) + (n + 1)
k=1
1
= n(n + 1) + (n + 1)
2
1
n+2
1
= (n + 1)( n + 1) = (n + 1)(
) = (n + 1)((n + 1) + 1)
2
2
2
3.1 Lösung Aufgabe I:
Wir sagen, ein schwarzer Stein erfüllt die Eigenschaft E, wenn gilt: links neben ihm befinden sich
genauso viele schwarze wie weiße Steine.
Behauptung:
Wenn man n weiße und n + 1 schwarze Steine in beliebiger Reihenfolge anordnet, gibt es stets einen
schwarzen Stein mit Eigenschaft E.
Beweis: (per Induktion)
Ind. Anf: n = 1: d.h. wir haben einen weißen und zwei schwarze Steine.
1. w s s (3. Stein)
2. s w s (1. oder 3. Stein)
3. s s w (1. Stein)
Ind. Schritt:
Sei n ∈ N beliebig und seien n + 1 weiße und n + 2 schwarze Steine in beliebiger Reihenfolge
angeordnet (Reihe 1) und gelte, wenn n weiße und n + 1 schwarze Steine in beliebiger Reihenfolge
angeordnet sind, gibt es einen schwarzen Stein mit der Eigenschaft E.
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3
VOLLSTÄNDIE INDUKTION (AUS ÜBUNGSSTUNDE)
z.Z: In Reihe 1 gibt es einen schwarzen Stein mit Eigenschaft E.
Idee: Wir werden nun “ganz geschickt“ einen weißen und einen schwarzen Stein aus Reihe 1 “rein
gedanklich“ weglassen. Daraus entsteht eine neue Reihe (Reihe 2), die n weiße und n+1 schwarze
Steine hat. Nach (IV) gibt es in Reihe 2 einen schwarzen Stein mit der Eigenschaft E.
Wir zeigen, dass dieser Stein S* auch die Eigenschaft E für Reihe 1 erfüllt.
1. ... ... ... s
2. ... ... s w (Für die Steine links neben dem schwarzen gilt: Reihe 2 mit n weißen Steinen und
n+1 schwarzen Steinen)
3. s w w w (Letzter und vorletzter Stein weiß: Wähle den rechten weißen Stein, sowie den 1.
schwarzen Stein von rechts und nehme sie weg. Nach (IV) gibt es einen schwarzen Stein S* mit
Eigenschaft E. S* liegt links neben den beiden Steinen, die weggelassen wurden.)
3.2 Lösung Aufgabe II:
Sei 0 < h < 1, c > 0
∀k ∈ N :
ak+1 − ak
= −ak , a0 = c
h
Sei k ∈ N:
ak+1 − ak
= −ak |
h
=> ak+1 − ak = −ak · h
=> ak+1 = ak (1 − h)
a0 = c
a1 = c(1 − h)
a2 = a1 (1 − h) = a0 (1 − h)(1 − h) = c(1 − h)2
a3 = a2 (1 − h) = a0 (1 − h)2 (1 − h) = c(1 − h)3
an = c(1 − h)n ∀n ∈ N
Beweis: Per Induktion
n = 0 : a0 , a0 (1 − h)0 = a0 = c
Ind Schritt
Sei n ∈ N beliebig und gelte an = c(1 − h)n
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Prof. Dr. G.S. Weiss, WS 2010/11, HHU Duesseldorf
Vorlesung: Analysis I, inoffizielle Mitschrift
by: Christian Franzen, Matr. 1956616
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VOLLSTÄNDIE INDUKTION (AUS ÜBUNGSSTUNDE)
(IV )
=> an+1 = an (1 − h) = c(1 − h)n (1 − h) = c(1 − h)n+1
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Prof. Dr. G.S. Weiss, WS 2010/11, HHU Duesseldorf
Vorlesung: Analysis I, inoffizielle Mitschrift
by: Christian Franzen, Matr. 1956616
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VOLLSTÄNDIE INDUKTION (AUS ÜBUNGSSTUNDE)
Definition Betrag:
i) ∀x ∈ R :| x |≥ 0
ii) ∀x ∈ R :|| x ||=| x
iii) ∀x, y ∈ R :| x · y |=| x | · | y |
iv) ∀x ∈ R :| x |2 = x2
v) ∀x ∈ R :| −x |=| x |
x
|x|
vi) ∀x, y ∈ R, y 6= 0 :| |=
y
|y|
vii) ∀x ∈ R : x ≤| x |
viii) ∀x ∈ R :| x + y |≤| x | + | y | (Dreiecksungleichung)
ix) ∀x, y ∈ R :| x | − | y |≤| x − y |
x) ∀x, y ∈ R :|| x | − | y ||≤| x − y |
xi) ∀x, y ∈ R √
:| x | − | y |≤| x + y |
2
xii) ∀x ∈ R : x2 =| x |
∞
∞
X
X
xiii) ∀x ∈ R :|
x · k |≤
|x·k |
k=0
k=0
x3
x2 · | x |
| x | · | x | ·x
=
=
= x· | x |
|x|
|x|
|x|
Definition Konvexität:
Sei D ≤ R, f : D → R Fkt.
(i) f konvex: <=> ∀x1 , x2 ∈ D, x1 6= x2 ∀λ ∈ (0, 1) : f (λx1 + (1 − λ)x2 ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
(ii) f streng konvex: <=> ∀x1 , x2 ∈ D, x1 6= x2
∀λ ∈ (0, 1) : f (λx1 + (1 − λ)x2 < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
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