Versuchsanleitung

Josephsoneffekte
Praktikumsversuch Nr. 24
an der
Friedrich Alexander Universität Erlangen Nürnberg
Kapitel 1, Grundlagen
1.1 Einführung
Mit den Josephsoneffekten sind einige der wichtigsten Anwendungen der Supraleitung verbunden.
Josephsonkontakte können als extrem schnelle Schaltelemente ebenso wie als äußerst genaue und
stabile Spannungsnormale eingesetzt werden. Quanteninterferenzen in Ringstrukturen mit zwei
Josephsonkontakten gestatten die Messung magnetischer Flüsse auf den Bruchteil eines Flußquants
genau. In diesem Versuch sollen Sie einen Niob-Punktkontakt untersuchen. Mit dieser Anordnung
können Sie verschiedenartige Josephsonkontakte einstellen und versuchen, den ACJosephsoneffekt durch Radiometrie der emittierten Mikrowellenstrahlung im X-Band nachzuweisen.
1.2 Literatur
[1] Mappe zum Versuch
[2] Werner Buckel, Supraleitung, VHC, Weinheim (1990)
[3] R.P. Feynman, Feynman Vorlesungen über Physik, Bd. 3 Quantenmechanik, Kapitel 21,
Oldenburg, 2.Auflag (1992)
1.3 Vorbereitung
Über folgende Begriffe sollten Sie sich im Klaren sein:
Sprungtemperatur Tc
Cooperpaare
Meißnereffekt, idealer Diamagnetismus
Londonsche Eindringtiefe
Flußquant
Josephsonkontakt, Tunnelstrom
Josephsongleichungen
DC- und AC-Josephsoneffekt
Strom-Spannungskennlinien von Josephsonkontakten
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Kapitel 2: Vorbereitung
Beantworten Sie die folgenden Fragen vor der Versuchsdurchführung schriftlich.
1. Nennen Sie die Vorteile einer 4-Punkt-Widerstandsmessung
2. Bei welcher Spannung erwarten Sie Strahlungsemission des Josephsonkontaktes mit einer
Frequenz von 10 GHz. Bei welcher Spannung hat die 2. Harmonische eine Frequenz von
10 GHz ?
3. Leiten Sie aus der Gleichung 1.8 und 1.11 (Vorbeitungsmappe) eine Differentialgleichung
für γ her!
4. Welche Analogie besteht zwischen den Parametern C, Rn, γ, sowie I und den
kennzeichnenden
Größen eines physikalischen Pendels?
5. Zeigen Sie die Eichinvarianz von Gl 1.8!
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Kapitel 3: Versuchsaufbau
3.1 Probe
Den zu messenden Josephsonkontakt bildet eine Niob-Punktkontaktanordnung (Abb. 3.1).
Abb. 3.1: Aufbau des Messstabes
3.2 Messstab
Sie führen den Versuch mit einem Messstab durch (Abb. 3.1), den Sie in einer Heliumkanne
abkühlen können. Dieser Messstab wird mit einem Flansch an der Heliumkanne befestigt. Er enthält
einen Rundhohlleiter, der im Frequenzbereich zwischen 9.8 GHz und 11.5 GHz wird die Grundwelle
überträgt. Zur Einkopplung der Strahlung in den Hohlleiter ist an dessen unterem Ende eine
Hornantenne befestigt, in deren Zentrum die Probe angebracht ist. Der Messstab enthält eine
Mechanik, die es durch Drehen an der Justierschraube mit Hilfe eines Differentialgewindes und einer
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Wippe ermöglicht, die Nb-Spitze langsam an den gegenüberliegenden abgeflachten Nb-Draht
heranzuführen. Wird die Justierschraube im Uhrzeigersinn gedreht, schließt sich der Kontakt, beim
Drehen entgegen dem Uhrzeigersinn öffnet er sich.
3.3 Messelektronik
Stromgeber Niob
Sweepbox (not used)
Stromgeber Pt
Kompensator
Radiometer
Die gesamte Messelektronik ist in einem NIM-Rahmen untergebracht. (Abb. 3.2)
Steckerleiste
Abb. 3.2: Messelektronik
Strom- Spannungs-Kennlinie
Der manuelle Spannungsgeber kann zwischen +/- 10V ausgeben. Damit kann ein Strom bis +/100mA angesteuert werden. Sowohl der Strom durch den Kontakt, als auch die am Kontakt
abfallende Spannung können an digitalen Voltmetern (DVM) abgelesen werden. Hierbei ist zu
beachten: Beim Ablesen des Stromes entspricht die Anzeige von 1V dem Maximalstrom. Die Daten
werden über einen Computer ausgelesen, hierzu dient das Programm Roboplot, dessen Bedienung
der Betreuer am Arbeitsplatz erklärt.
Abb. 3.3: Blockschaltbild der Strom- und Spannungsmessung
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In allen Zuleitungen zur Probe ist je ein Tiefpass eingebaut, um hochfrequente Störsignale wie z.B.
Rundfunksignale kurzzuschließen.
Radiometer (Abb. 3.4)
Die von der Hornantenne aufgenommene Strahlung des Josephsonkontaktes mit der Frequenz fJK
wird im Hohlleiter mit geringen Verlusten zum LNC (Low Noise Block Converter) geleitet (Abb. 3.5).
Dort durchlaufen die Mikrowellen zunächst einen Hochfrequenzverstärker. Im internen Mischer wird
daraus zusammen mit der Frequenz des internen Lokaloszillators fLO = 10.00 GHz die
Zwischenfrequenz fZF = fJK - fLO erzeugt.
Abb. 3.4: Aufbau des Radiometers
Abb. 3.5: Aufbau des LNC
Mit dem Tuner wählt man aus dem Spektrum der ersten Zwischenfrequenz zwischen 900MHz und
1759MHz ein 30MHz breites Fenster aus (Einstellen) und bildet dieses in den Bereich 70MHz ab.
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Über einen 50Ω Widerstand wird das 70MHz Signal reflexionsfrei abgeschlossen. Die am Widerstand
abfallende HF-Spannung wird mit einer Diode gleichgerichtet. Nach einem Tiefpass wird eine zur
Wurzel der Strahlungsleistung proportionale Spannung mit einem dritten DVM gemessen.
Temperaturmessung
Zur Temperaturmessung ist ein Platinwiderstand (Pt100) in Probenähe fest installiert. Die bei einem
Konstantstrom von 100µA am Platinwiderstand abfallende Spannung kann mit einem DVM
gemessen und mit Hilfe einer Eichtabelle die entsprechende Temperatur bestimmt werden.
Kapitel 4: Versuchsdurchführung
4.1 Abkühlen des Messstabes
Beim Einbringen des Messstabes in die Kanne muss der Betreuer unbedingt anwesend sein!
Drehen Sie die Punktkontakt-Justierschraube oben am Messstab gegen den Uhrzeigersinn bis zum
Anschlag. Dies separiert die Niobspitze des Punktkontakts von der Niobfläche. Die genaue
Einstellung erfahren Sie vom Betreuer. Nehmen Sie das große Ventil von der He-Kanne ab und
flanschen Sie den Messstab an. Senken Sie nun den Messstab langsam in die Kanne, wobei die
Abkühlung mit dem Messprogramm komfortabel beobachtet werden kann. Achten Sie darauf, dass
die Kühlrate maximal 20K/min beträgt.
4.2 Versuchsdurchführung
Die Versuchsdurchführung teilt sich in drei Teile. Sie werden bei jedem einzelnen Abschnitt
ausführlich vom Betreuer eingewiesen.
a) Messung hysteretischer U-I-Kennlinien
Eine hysteretische U-I-Kennlinie erhalten Sie bei einem schlechten Kontakt der Niob Spitze mit
dem gegenüber liegendem abgeflachten Niob-Draht. Sie können diesen Kontakt mit Hilfe der
Anpressvorrichtung einstellen.
b) Messung einer nichthysteretischer U-I-Kennlinien
Eine nichthysteretische Kennlinie erhalten sie, bei einem guten Punktkontakt (auch genannt
weak link).
c) Messung der Mikrowellen-Emission auf einer nichthysteretischen Kennlinie
Versuchen Sie mit Hilfe des Betreuers, sowie der Mikrowellenelektronik die Emission des
Josephson-Kontaktes zu messen. Teilweise sind auch die 1. oder 2. harmonische messbar.
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4.3 Aufwärmen des Messstabes
Ziehen Sie den Messstab langsam nach oben und lassen sie ihn aufwärmen, bis er
Zimmertemperatur erreicht hat. Beachten sie auch hier, dass die Aufwärmrate maximal 20K/min
beträgt (dazu können sie wieder das Programm Roboplot verwenden). Anschließend können Sie den
Messstab von der Heliumkanne entfernen. Dabei muss der Betreuer unbedingt anwesend sein, damit
nix kaputt geht!
Kapitel 5: Auswertung
1. Diskutieren Sie die verschiedenen gemessenen Kennlinien und bestimmen Sie aus deren
Steigungen bei hohen Spannungen den normalleitenden Widerstand Rn.
2. Schätzen Sie für die hysteretischen Kennlinien mittels Gleichung 1.12 den McCumberParameter βc ab. Aus der Umkehrung der Definition von βc können Sie dann die
Eigenkapazität des Josephsonkontaktes berechnen.
3. Bestimmen Sie aus der Strom-Spannungs-Kennlinie den kritischen Strom Ic und den
differentiellen Widerstand dU/dI im Emissionsmaximum. Welche Auswirkung hat der
differentielle Widerstand auf die Linienbreite der Emission.
4. Bestimmen aus der Josephson Frequenz Spannungsrelation (1.9) und der Lage des
Emissionsmaximums den Wert von 2e/h. Wie groß ist die Abweichung vom Literaturwert?
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Josephsoneffekte in Supraleitern
Praktikumsversuch Nr.16
an der
Technischen Universität München
Walther–Meißner–Institut
14. April 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Sicherheitshinweise
1.1 Umgang mit flüssigem Helium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elektrogeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Grundlagen
2.1 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Josephsoneffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Zur Theorie der Josephsoneffekte . . . . . . .
2.2.2 Josephsongleichungen . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Josephsonkontakte . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 DC - Josephsoneffekt . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 AC - Josephsoneffekt . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Josephsonkontakte im Magnetfeld . . . . . . .
2.3 Strom-Spannungskennlinien von Josephsonkontakten
2.4 Strahlungsemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Punktkontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Zusammenfassung wesentlicher Begriffe . . . . . . . .
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3 Versuchsaufbau
3.1 Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Meßstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Meßelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16
16
16
4 Versuchsdurchführung
4.1 Abkühlen des Meßstabes . . . . . . . .
4.2 Einstellen der Radiometerverstärkung .
4.3 Messung der Strom-Spannungskennlinie
4.4 Aufwärmen des Meßstabes . . . . . . .
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22
22
23
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5 Aufgaben
5.1 Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
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und Emission
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Kapitel 1
Sicherheitshinweise
Grundsätzlich sind alle Arbeiten erst nach Rücksprache oder gemeinsam
mit dem Betreuer durchzuführen!
1.1
Umgang mit flüssigem Helium
Allgemein
Flüssiges Helium wird am Walther-Meißner-Institut in einem geschlossenen Kreislauf
betrieben. Vorratsgefäße sind daher immer am Abgassystem zu halten, kurzer Transport innerhalb des Gebäudes ist ohne Gefahr möglich, kippen nicht erlaubt. Der Transport im Aufzug ist nur ohne Personenbegleitung erlaubt.
Gefahren
Bei Kontakt mit Flüssigkeit, kaltem Gas oder Gegenständen die damit in Kontakt
gekommen sind, können Kaltverbrennungen und Erfrierungen (Temperatur der Flssigkeit: 4,2 K) auftreten. Es besteht Erstickungsgefahr bei Austritt von großen Mengen
Flüssigkeit/Gas (Sauerstoffmangel). Bei unkontrolliertem Austritt von Helium muss
der Raum sofort verlassen werden.
Beim Umgang zu beachten
• Persönliche Schutzausrüstung: Handschuhe und Schutzbrille
• Auf sicheren Stand der Helium-Vorratskanne achten
• Heliumkanne nie offen oder ohne Rückführung an Heliumabgasleitung (mit oder
ohne Gasuhr) stehen lassen
• Nur kontrolliertes und langsames Absenken (und Hochziehen) des Messstabes.
Optimale Einstellung der Quetschverschraubung kontrollieren (Gefahr: Ruckartiges Absenken kann zur Verdampfung von großen Mengen führen, im Grenzfall
3
4
1. Sicherheitshinweise
zum Zusammenbruch des Isolationsvakuums und zum plötzlichen Austritt kalten
Gases)
1.2
Elektrogeräte
Gefahren
Berühren von leitenden Gegenständen, die mit der Netzversorgung von 230V in Kontakt sind, kann tödlich sein!
Alle im Messaufbau benützten Geräte haben eine 230 V Netzversorgung mit geerdetem Gehäuse. Änderungen am Aufbau dürfen nur durch den Betreuer durchgeführt
werden. Der Aufbau der Signalleitungen kann ohne Gefahr verändert werden. Defekte
an Geräten sind unverzüglich dem Betreuer zu melden.
Weitere Informationen zur Arbeitssicherheit können dem im Labor aufliegenden Roten
”
Ordner“ entnommen werden.
Kapitel 2
Grundlagen
2.1
Supraleitung
Als Kamerlingh Onnes anno 1911 in Leiden erstmals das Metall Quecksilber (Hg) auf
die Temperatur des flüssigen Heliums kühlte, erwartete er zunächst, daß die metallische Leitfähigkeit aufhören würde, da die Leitungselektronen ja keine kinetische Energie mehr hätten, um sich zu bewegen. Er fand genau das umgekehrte: Die elektrische
Leitfähigkeit wurde beim Abkühlen immer besser und änderte sich bei 4.2 K sprunghaft auf einen unendlich hohen Wert (entsprechend einem elektrischen Widerstand von
Null): Er hatte die Supraleitfähigkeit von Hg entdeckt (Abb. 2.1).
Abbildung 2.1: Supraleitfähigkeit von Quecksilber
5
6
2. Grundlagen
Mit der Entwicklung der Quanten- und Wellenmechanik wurde etwa zwei Dekaden
von Jahren danach klar, daß die Leitungselektronen als Fermiteilchen ein Gas bilden,
welches auch bei T = 0 noch eine hohe kinetische (Nullpunkts-)Energie aufweist, und
die größenordnungsmäßig einige Elektronenvolt (=Leitungsbandbreite) beträgt.
Die elektrische Leitfähigkeit wird nur von den höchstenergetischen Elektronen in diesem
Band (an der Fermi-Grenzenergie) vermittelt, deren Beweglichkeit in einem perfekten
Kristall im Prinzip unendlich hoch ist, in der Praxis jedoch sowohl durch Kristallfehler (bereits bei T = 0) wie auch (bei höheren Temperaturen) durch Streuung an
Gitterschwingungen (Phononen) begrenzt wird. Währenddem dieses Konzept die normale metallische Leitfähigkeit und ihre Temperaturabhängigkeit erklären konnte, blieb
die Erklärung der Supraleitfähigkeit noch lange ein Rätsel, insbesondere auch weil sie
praktisch nicht vom Reinheitsgrad des Metalls abzuhängen schien.
Der Suprazustand ist offensichtlich ein neuer Eigenzustand des Elektronengases, in welchem sich die Elektronen ähnlich nicht-dissipativ bewegen können wie in einem Atom
oder Molekül. Dabei verlieren sie ihre Entropie (keine Freiheitsgrade mehr, hochgeordneter Zustand), was wiederum erklärt, warum der Suprazustand nur bei genügend
tiefen Temperaturen stabil sein kann. Ein Zustand ist thermodynamisch stabil, wenn
die freie Energie F = U − T S am kleinsten ist. Um mit einem Normalzustand (höherer
Entropie) konkurrieren zu können, muß deshalb die innere Energie (oder Bindungsenergie) U im Suprazustand (absolut gemessen) kleiner sein. Der ganze Metallkristall
erscheint den Elektronen als (Riesen-)Molekül, in welchem sich ihre Wellenpakete völlig
phasenstarr zueinander bewegen. Es macht deshalb Sinn, von der Phase des Schwerpunkts der Elektronen zu reden. Im stromlosen Zustand ist die Phase überall gleich.
∂
Ψ (ri ) 6= 0), so fließt ein Suprastrom. In eiÄndert sich die Phase mit dem Ort ( ∂x
nem supraleitenden Ring z.B. muß sich der Wellenzug schließen, was wellenmechanisch
äquivalent ist der Quantisierung des Drehimpulses:
I ~ ds = n · h
p~ + eA
(2.1)
~ der kanonische Impuls der Elektronen (in Anwesenheit
(~p ist der mechanische, p~ + eA
~
eines Magnetfeldes mit Vektorpotential A)).
Aus (2.1) folgt die Quantisierung des
magnetischen Feldflusses in Supraleitern. Ein einfach zusammenhängender Supraleiter
(z.B. eine Kugel), welcher in ein nicht zu hohes Magnetfeld gebracht wird, bevorzugt
~
aus energetischen Gründen stets den Flußquantenzustand n = 0, in welchem kein BFeld im Innern existiert, respektive das angelegte Feld durch in einer Oberflächenschicht
der Dicke λ (≈ 500 Å, Londonsche Eindringtiefe) fließende Supraströme abgeschirmt
wird (Meißner-Effekt): Abb. 2.2.
Dieser bemerkenswerte Zustand beinhaltet keine Verletzung von Gl. (2.1) in der Rand~
schicht, weil dort sowohl Strom fließt als auch ein H-Feld
existiert, sodaß sich dort die
~
beiden Terme p~ und eA in Gl. (2.1) gerade aufheben.
Weitere bemerkenswerte Effekte lassen sich beobachten, wenn zwei Supraleiter miteinander in schwachen Kontakt gebracht werden, entweder durch einen geometrisch
2. Grundlagen
7
Abbildung 2.2: Meißner-Effekt
Abbildung 2.3: Josephsonkontakt
dünnen Kontakt (z.B. Spitzenkontakt) oder über eine Oxidschicht oder über eine nichtsupraleitende Normalleiterschicht. Abbildung 2.3 veranschaulicht das Prinzipschaltbild
eines solchen Kontakts. Währenddem die Phase des Schwerpunkts der supraleitenden Elektronen in den Supraleitern 1 und 2 noch wohldefiniert ist, ist es jetzt dank
der schwachen Kopplung möglich, Phasendifferenzen zwischen 1 und 2 zu haben. In
der Theorie des Suprazustands von Bardeen, Cooper und Schrieffer (BCS-Theorie,
1957) sind im supraleitenden Elektronengas die Elektronen stark paarweise korreliert
(Cooperpaare). Ihre Bindungsenergie stabilisiert (trotz der geringeren Entropie) den
Supra- gegenüber dem Normalzustand. Man kann sich ein Cooperpaar als praktisch
stehendes Wellenpaket vorstellen, welches die Ausdehnung einer Kohärenzlänge ξ hat
(ξ ≈ 104 Å). Wenn die Kontaktschicht zwischen SL 1 und SL 2 wesentlich dünner als
diese Kohärenzlänge ist (≈ 10 − 102 Å), ist es möglich, daß Cooperpaare durch die
Schicht von 1 nach 2 tunneln können, ohne aufgebrochen zu werden. D.h. es sind dann
noch schwache Supraströme zwischen SL 1 und SL 2 möglich. Die Korrelation dieser
Ströme (Josephsonströme) mit der Phasendifferenz zwischen SL 1 und SL 2 sowohl mit
und ohne Magnetfeld (in der Schwachstelle) und auch sowohl mit und ohne elektrische
Potentialdifferenz zwischen den beiden Supraleitern beinhalten die Josephsoneffekte.
8
2.2
2. Grundlagen
Josephsoneffekte
Mit den Josephsoneffekten sind einige der wichtigsten Anwendungen der Supraleitung
verbunden. Josephsonkontakte können als extrem schnelle Schaltelemente ebenso wie
als äußerst genaue und stabile Spannungsnormale eingesetzt werden. Quanteninterferenzen in Ringstrukturen mit zwei Josephsonkontakten gestatten die Messung magnetischer Flüsse auf den Bruchteil eines Flußquants genau.
In diesem Versuch sollen Sie einen Niob-Punktkontakt untersuchen. Mit dieser Anordnung können Sie verschiedenartige Josephsonkontakte einstellen und versuchen, den
AC-Josephsoneffekt durch Radiometrie der emittierten Mikrowellenstrahlung im XBand nachzuweisen (X-Band: 8.2 - 12.4 GHz).
2.2.1
Zur Theorie der Josephsoneffekte
Wie bereits erwähnt ist die Supraleitung ein Quantenphänomen auf makroskopischer
Skala. Die BCS-Theorie (1957), die eine Modelltheorie ist, beschreibt den Zustand als
ein Kondensat von paarweise gebundenen Elektronen (Cooperpaaren), die phasenstarr
korreliert sind. Die Gesamtwellenfunktion läßt sich durch
Ψ=
√
n · exp (iϕ (~r))
(2.2)
beschreiben, wobei n die Dichte der Cooperpaare und ϕ die Phase der Wellenfunktion bedeuten. Man kann sich vorstellen, daß Ψ die Bewegung des Schwerpunkts der
supraleitenden Elektronen beschreibt. Mit dem allgemeinen Ausdruck für die quantenmechanische Stromdichte
q2 ~
~ ∗ − Ψ∗ ∇Ψ)
~
~j = iqh̄ · (Ψ∇Ψ
−
· A · ΨΨ∗
2m∗
m∗ c
(2.3)
ergibt sich mit einer ortsunabhängigen Cooperpaardichte n, q = −2e und m∗ = 2m
2
~ − 2e n · A.
~
~j = − h̄en · ∇ϕ
m
mc
(2.4)
Dabei ist e die Elementarladung und m die Elektronenmasse. Gleichung (2.4) stellt
den Zusammenhang her zwischen der Stromdichte ~j im Supraleiter, der Phase ϕ der
~ Aus (2.4) läßt sich durch Bildung der
Wellenfunktion und dem Vektorpotential A.
~ × ~j = − 12 B,
~ mit deren Hilfe sich
Rotation die 2. Londonsche Gleichung gewinnen ∇
λL
der Meißnereffekt verstehen läßt.
Da die Stromdichte eichinvariant sein muß, folgt daraus auch, daß die Phase der Wel~→A
~ + ∇χ
~ übergehen muß in
lenfunktion bei einer Eichtransformation A
ϕ→ϕ−
2e
χ
h̄c
(2.5)
2. Grundlagen
9
Eichinvarianz bedeutet, daß die Gleichungen unabhängig sind von der Wahl des Vek~ in welcher man die Freiheit hat, einen beliebigen Gradienten einer
torpotentials A,
~ nicht ändert:
Potentialfunktion χ hinzuzufügen, weil sich dadurch das Magnetfeld H
~0 = A
~ + ∇χ
A
~
~ = rotA
~ 0 = rotA+
~
H
rot∇χ = rotA
(2.6)
| {z }
≡0
2.2.2
Josephsongleichungen
Werden zwei Supraleiter durch eine Schwachstelle, d.h. ein Gebiet mit deutlich vermindertem Betrag des Ordnungsparameters Ψ getrennt (Abb. 2.3), so wird das Gesamtsystem immer noch durch eine einheitliche Kondensat-Wellenfunktion beschrieben. Neben den ungepaarten Elektronen können auch noch Cooperpaare durch dieses
Gebiet gelangen. Die hiermit verbundenen Effekte wurden von B.D. Josephson 1962
vorhergesagt.
Analog zum Zusammenhang von Strom und Phasengradient innerhalb eines Supraleiters (Gl. 2.4) hängt der Strom über die Barriere dabei von der Phasendifferenz
γ = ϕ2 − ϕ1 zwischen beiden Seiten ab: j12 = f (γ). Da eine Zeitumkehrtransformation die Stromrichtung und das Vorzeichen der Phase ändert, muß dieser Strom
also eine ungerade, in 2π periodische Funktion der Phasendifferenz γ sein. Es läßt sich
zeigen, daß unter der Annahme einer schwachen Kopplung (z.B. bei einem Tunnelkontakt) die erste Fourierkomponente der Entwicklung von f nach der Phasendifferenz
ausreicht, d.h. j12 ist eine Sinusfunktion der Phasendifferenz:
I = Ic sin γ
(2.7)
Dies wird in der Literatur üblicherweise als 1. Josephson-Gleichung bezeichnet. Bei
einem Tunnelkontakt ist der kritische Strom Ic bei T = 0 der Energielücke proportional:
Ic ∝ ∆ (sog. Ambegaokar-Baratoff-Relation).
Da dieser Josephson-Strom ebenfalls eichinvariant sein muß, ist bei Anwesenheit eines
Magnetfeldes der entsprechende Zusatzterm des Vektorpotentials in der eichinvarianten
Phasendifferenz
2e Z 2 ~
A · d~s
(2.8)
γ = ϕ2 − ϕ1 +
h̄c 1
zu berücksichtigen.
Wird bei Erhöhung des aufgeprägten Stromes der kritische Strom Ic der Schwachstelle
überschritten, so kann der Suprastrom den Gesamtstrom nicht mehr alleine tragen.
Der Widerstand Rn der zusätzlichen normalleitenden Elektronen führt zu einer Potentialdifferenz, und damit zu einer Spannung U , zwischen den beiden immer noch
supraleitenden Gebieten. Um dies quantitativ zu beschreiben, muß man berücksichtigen, wie sich ein zeitunabhängiges elektrisches Potential Φ bei einer Eichtransformation
verhält:
1 ∂χ
Φ→Φ−
(2.9)
c ∂t
10
2. Grundlagen
Damit und mit Gl. 2.5 ergibt sich, daß
γ̇ −
2e
·U =0
h̄
(2.10)
eine eichinvariante Beziehung ist (2. Josephson-Gleichung).
Die erste Josephsongleichung setzt also die am Josephsonkontakt auftretende Phasendifferenz in Beziehung zum Strom der Cooperpaare über den Kontakt. Die zweite
Josephsongleichung zeigt, daß sich bei einer Potentialdifferenz zwischen den beiden
Supraleitern die Phasendifferenz γ linear mit der Zeit ändert.
2.2.3
Josephsonkontakte
Josephsoneffekte lassen sich außer an dem bisher erwähnten Tunnelkontakt (Abb. 2.4a)
an den verschiedensten Typen von Cooperpaar-Lecks“ beobachten, wie an dem in
”
diesem Versuch verwendeten Punktkontakt (e), bei dem eine Spitze auf eine ebene
Unterlage gepreßt wird, und Filmbrücken (c), die durch Aufdampfen hergestellt werden.
Abbildung 2.4: Gebräuchliche Typen von Josephsonkontakten (nach Ref. [1]) a) Oxidschicht; b) SNS–Kontakt; c) Filmbrücke; d) Doppelschichtkontakt durch Proximityeffekt; e) Punktkontakt; f) Mehrfachpunktkontakt (SLUG)
2. Grundlagen
2.2.4
11
DC - Josephsoneffekt
Ohne Potentialdifferenz zwischen den beiden Supraleitern folgt aus Gl. 2.10: γ = γ0 =
const. Dann fließt nach (2.7) ein zeitlich konstanter Strom I = Ic · sin γ über den
Kontakt, der Werte zwischen ±Ic (kritischer Strom) annehmen kann.
Diese Gleichung hat Ähnlichkeit mit der Gleichung von gekoppelten Pendeln: Schwingen die Pendel in Phase oder Gegenphase, wird keine Energie ausgetauscht. Maximaler
Energieaustausch erfolgt bei einer Phasenverschiebung von ±π/2.
2.2.5
AC - Josephsoneffekt
Besteht zwischen den beiden Supraleitern eine zeitlich konstante Spannung U , folgt
aus Gl. 2.10: γ = γ0 + (2e/h̄)U t und aus (2.7):
I = Ic · sin(γ0 +
2e
U t)
h̄
(2.11)
Über den Kontakt fließt also ein Wechselstrom der Frequenz
f=
2e
·U
h
(2.12)
Da 2e/h = 483.6 M Hz/µV ist, liegt diese Frequenz bei experimentell realisierbaren
Spannungen meist im Mikrowellenbereich. Die damit verbundene Strahlungsemission
der Frequenz f kann radiometrisch nachgewiesen werden.
Auch der AC-Josephsoneffekt läßt noch eine andere Interpretation zu: Die tunnelnden
Cooperpaare werden bei Anwesenheit einer Spannung U beschleunigt und gewinnen
die Energie 2eU . Da sie aber beim Tunnelprozeß ihre Energie nicht ändern dürfen,
müssen sie diese Energie durch Abstrahlung eines Photons der Energie hf = 2eU (Gl.
(2.12)) wieder loswerden.
2.2.6
Josephsonkontakte im Magnetfeld
Die Berücksichtigung der endlichen Ausdehnung der Josephsonkontakte führt nach Gl.
(2.8) dazu, daß I vom magnetischen Fluß Φ durch den Kontakt abhängt. Man kann
zeigen, daß diese Abhängigkeit die Form
Ic (H) =
sin πΦ Φ
Ic (0) · πΦ 0 Φ0
(2.13)
mit Φ = 2λL · l · B hat (siehe z.B. Ref. [1]). Dabei ist l die Ausdehnung des Kontaktes
senkrecht zum Magnetfeld und λL die Londonsche Eindringtiefe. Diese Funktion zeigt
Abb. 2.5. Sie hat die gleiche Form wie das Beugungsbild eines Spaltes.
12
2. Grundlagen
Abbildung 2.5: Magnetfeldabhängigkeit des kritischen Stromes Ic eines Josephsonkontaktes
2.3
Strom-Spannungskennlinien
kontakten
von
Josephson-
Etwas komplizierter wird die Beschreibung des Josephsonkontaktes bei Hinzunahme
des Strombeitrages der normalleitenden Elektronen mit Widerstand Rn im resistiven
Zustand sowie der wegen der hohen Frequenz des AC-Stromes wichtigen Kapazität
C zwischen den beiden Supraleitern. Diese beiden Beiträge werden im RSJ–Modell
(Resistively Shunted Junction) berücksichtigt. Das Ersatzschaltbild ist in Abb. 2.6
dargestellt.
Abbildung 2.6: Ersatzschaltbild im RSJ-Modell
Danach wird der Gesamtstrom durch folgende Gleichung beschrieben:
Itot = Ic · sin γ +
U
+ C U̇
Rn
(2.14)
2. Grundlagen
13
Zur Aufnahme einer Strom-Spannungskennlinie schickt man durch einen Josephsonkontakt den Strom Itot und mißt die am Kontakt abfallende Spannung U . Aufgrund des
hier auftretenden nichtlinearen Verhaltens besteht das Frequenzspektrum des Stromes
nicht nur aus der Grundfrequenz nach Gl. (2.12), sondern enthält auch höher harmonische Komponenten.
Gleichung (2.14) läßt sich unter Berücksichtigung der 2. Josephson-Gleichung (2.10)
in eine nicht-lineare Differentialgleichung zweiten Grades überführen, die der eines
physikalischen Pendels entspricht [4]. Diese Differentialgleichung kann man numerisch
lösen, wobei man in Abhängigkeit des sog. McCumber-Parameters βc (ein Maß für die
Güte des Schwingkreises)
2πCRn2 Ic
(2.15)
βc :=
Φ0
(Φ0 = h/2e ist das Flußquant) zwei Grenzfälle unterscheiden muß:
• βc > 1 (unterdämpft)
Für I < Ic erhält man zwei stabile Lösungen, d.h. die I-U -Kennlinie wird hysteretisch (Abb. 2.7a). Erhöht man den aufgeprägten Strom Itot von Null an,
so steigt der Tunnelstrom der Cooperpaare ohne Spannungsabfall am Kontakt
stetig an. Beim Überschreiten des kritischen Stroms Ic schaltet der Kontakt sehr
schnell (innerhalb 1ps) auf einen endlichen Spannungswert. Diese Eigenschaft
läßt sich für den Bau von Josephsonschaltelementen ausnutzen. Durchläuft man
die Kurve in umgekehrter Richtung, so bleibt der resistive Zustand auch noch
für I < Ic erhalten. Erst wenn der Rückkehrstrom IR unterschritten wird, kehrt
der Kontakt wieder in den spannungslosen Zustand zurück. Aus dieser Hysterese läßt sich mit dem Verhältnis des kritischen Stromes zum Rückkehrstrom der
McCumber-Parameter βc abschätzen:
4
IR
= √
Ic
π βc
(2.16)
• βc < 1 Die I-U -Kennlinie zeigt keine Hysterese (Abb. 2.7b). Für den Grenzfall
verschwindend kleiner Kapazität ist βc = 0 und die Differentialgleichung läßt
sich analytisch lösen. Das zeitliche Mittel hU (t)i der am Kontakt abfallenden
Spannung ist für |Itot | > |Ic |
q
2
hU (t)i = ±Rn Itot
− Ic2
2.4
(2.17)
Strahlungsemission
Die bei einer bestimmten Frequenz emittierte Strahlunsleistung hängt von verschiedenen Parametern des Josephsonkontaktes ab. Aufgrund der Nichtlinearität des
14
2. Grundlagen
Abbildung 2.7: Typische Strom–Spannungs–Kennlinie (a) eines Tunnelkontaktes und
(b) eines Weak Links
Josephsonkontaktes geht ein Teil der Strahlungsleistung in die Emission von Oberwellen. Zudem wird die Leistungsauskopplung von der Impedanzanpassung des Josephsonkontaktes an den Wellenwiderstand des freien Raumes bestimmt. In Abb. 2.8 ist
eine am vorliegenden Punktkontakt gemessene Emissionskurve als Funktion der Probenspannung dargestellt.
Abbildung 2.8: Kennlinie des Niob–Kontaktes (durchgezogene Linie) und Radiometersignal P bei f = 12.75 GHz (Punkte)
2.5
Punktkontakte
Ein supraleitender Punktkontakt besteht aus zwei durch eine kleine Fläche gekoppelten Supraleitern. Realisiert wird dies durch Andrücken einer supraleitenden Spitze
auf einen flachen Supraleiter. Naturgemäß ist die resultierende Anordnung nicht gut
definiert, da die Konfiguration u.a. vom mechanischen Druck und dem Oxidationsgrad
des supraleitenden Materials abhängt. Trotzdem läßt sich zwischen zwei Grenzfällen
2. Grundlagen
15
unterscheiden. Der Josephsonkontakt kann von der Oxidschicht dominiert werden und
somit Tunnelcharakteristik bekommen. Andererseits kann ein kleiner metallischer Kontakt zwischen den beiden Supraleitern eine weak link“ Struktur bewirken. Mit der
”
Punktkontaktanordnung dieses Versuches wurden durch Änderung des Anpreßdruckes
auch die beiden Kennlinien aus Abb. 2.7 gemessen. Neben diesen beiden Extremfällen
können auch noch andere Charakteristiken beobachtet werden, die wahrscheinlich aus
einer Parallelschaltung von metallischen Pfaden und Tunnelbarrieren resultieren.
Aufgrund der oft unterschiedlichen Eigenschaften des Punktkontaktes gehören etwas
Geduld und Fingerspitzengefühl dazu, die für die Strahlungsemission geeigneten Probenparameter einzustellen.
2.6
Zusammenfassung wesentlicher Begriffe
Hier sind nochmals die wesentlichen Begriffe zusammengestellt, über deren Bedeutung
Sie sich im Klaren sein sollten:
• Sprungtemperatur Tc
• Cooperpaar
• Meißnereffekt, idealer Diamagnetismus
• Londonsche Eindringtiefe
• Flußquant
• Josephsonkontakt, Tunnelstrom
• Josephsongleichungen
• DC- und AC-Josephsoneffekt
• Strom-Spannungskennlinien von Josephsonkontakten
Literaturverzeichnis
[1] Werner Buckel, Supraleitung, VCH, 5.Auflage, Weinheim (1994)
[2] R.P. Feynman, R.B. Leighton und M. Sands, Feynman Vorlesungen über Physik,
Bd.3 Quantenmechanik, Kapitel 21, Oldenbourg, 2.Auflage (1992).
[3] H.W. Weber und O. Hittmair, Supraleitung, Verlag Karl Thiemig, München (1979)
[4] A. Barone und G. Paterno, Physics and Applications of the Josephson Effect, John
Wiley and Sons, New York, (1982)
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