Wärme- und Stoffübertragung - ReadingSample - Beck-Shop

Wärme- und Stoffübertragung
von
H.D Baehr, K Stephan
Neuausgabe
Springer 2006
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 540 32334 1
Zu Inhaltsverzeichnis
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
38
1 Einführung. Technische Anwendungen
ϑi − ϑi+1 = RLi Q̇ =
δi
Q̇ .
λmi Ami
(1.78)
Mit Q̇ nach (1.71) und (1.77) läßt sich nach dieser Beziehung ϑi − ϑi+1 leicht
berechnen. Für die Oberflächentemperaturen ϑW1 und ϑW2 gelten (1.74) und
(1.75) unverändert.
Für Rohre, die aus mehreren Schichten, z.B. aus dem eigentlichen Rohr
und einer Isolierung bestehen, läßt sich (1.77) erweitern zu
n
1
1
1
1 1
di+1
1
=
+
ln
+
.
(1.79)
kA
πL α1 d1
2 i=1 λmi
di
α2 dn+1
Die i-te Schicht wird von den Durchmessern di und di+1 begrenzt. Dabei
können die erste und die letzte Schicht, die an die Fluide grenzen, auch
Schmutzschichten sein, die sich bei längerem Betrieb bilden und zusätzliche
Wärmeleitwiderstände darstellen.
1.2.3 Wärmedurchgang durch Wände mit vergrößerter
Oberfläche
Der Wärmedurchgangswiderstand (1/kA) setzt sich nach (1.72) additiv aus
den Einzelwiderständen des Wärmeübergangs und der Wärmeleitung zusammen. Dabei bestimmt stets der größte Einzelwiderstand den Wert von (1/kA),
und dies besonders ausgeprägt, wenn die anderen Wärmewiderstände viel kleiner sind. So kann man die Isolierwirkung einer Wand durch Anbringen einer
Schicht mit deutlich höherem Wärmeleitwiderstand δ/λm Am , also durch eine
dicke Schicht aus einem Material mit kleiner Wärmeleitfähigkeit, erheblich
verbessern.
Soll dagegen, z.B. in einem Wärmeübertrager, der Wärmedurchgang möglichst gut sein, so verhindert dies oft ein großer Wärmeübergangswiderstand
(1/αA). Der große Wärmeübergangswiderstand hat seine Ursache in einem
kleinen Wärmeübergangskoeffizienten α, der sich, etwa durch Erhöhen der
Strömungsgeschwindigkeit, nur schwer oder gar nicht vergrößern läßt. Hier
liegt es nun nahe, (1/αA) durch Vergrößern der Fläche A zu verringern und
so den Wärmedurchgang zu verbessern. Eine solche Flächenvergrößerung auf
der Seite des schlechten“ Wärmeübergangskoeffizienten läßt sich durch das
”
Anbringen von Rippen, Nadeln oder stabartigen Gebilden erreichen. Abb. 1.14
zeigt Beispiele derartig vergrößerter Wärmeübertragungsflächen, die im englischen Schriftum unter der Bezeichnung extended surfaces zusammengefaßt
werden. Man kann so die ursprünglich vorhandene Fläche erheblich, sogar um
das 10- bis 100-fache vergrößern.
Der Wärmeübergangswiderstand verringert sich aber nicht in gleichem
Maße. Die vergrößerte Wärmeübergangsfläche wird nämlich durch einen zusätzlichen Wärmeleitwiderstand erkauft. Die Wärme, die z.B. von der nahe der
Spitze einer Rippe gelegenen Fläche an das Fluid abgegeben werden soll, muß
1.2 Wärmedurchgang
39
Abb. 1.14: Beispiele vergrößerter Oberflächen, a gerade Längsrippen, b stumpfe
und spitze Nadelrippen, c Kreisrippen.
in der Rippe durch Wärmeleitung in die Nähe der Spitze transportiert werden. Hierzu ist ein Temperaturgefälle zwischen Rippenfuß und Rippenspitze
erforderlich, so daß die Rippe (oder eine andere Form einer vergrößerten Oberfläche) im Mittel eine niedrigere Temperatur aufweist als das von den Rippen
freie Grundmaterial. Die aufgesetzten Rippen sind also nicht voll wirksam,
denn sie bieten dem Wärmeübergang an das Fluid eine kleinere Temperaturdifferenz als das Grundmaterial.
Abb. 1.15: Temperaturverlauf in einer berippten
Wand auf der Linie AB.
ϑR ist die mittlere Temperatur der Rippe.
Um die Wirksamkeit berippter Flächen zu berechnen, betrachten wir die in
Abb. 1.15 dargestellten Verhältnisse. Der an das Fluid 2 abgegebene Wärmestrom Q̇ besteht aus zwei Teilen:
Q̇ = Q̇G + Q̇R .
Der von der Fläche AG des von Rippen freien Grundmaterials abgegebene
Wärmestrom Q̇G ist
(1.80)
Q̇G = αG AG (ϑW2 − ϑ2 ) ,
wobei αG den hier maßgebenden Wärmeübergangskoeffizienten bedeutet. In
der Rippe fällt die Temperatur vom Wert ϑ0 am Rippenfuß (x = 0) bis zum
40
1 Einführung. Technische Anwendungen
Wert ϑh an der Rippenspitze (x = h) ab. Mit ϑR als dem Mittelwert der
Rippentemperatur gilt dann für den Wärmestrom Q̇R , der von den Rippen
mit der Fläche AR an das Fluid abgegeben wird,
Q̇R = αR AR (ϑR − ϑ2 ) .
Dabei ist αR der (mittlere) Wärmeübergangskoeffizient zwischen Rippe und
Fluid.
Hätte die Rippe überall die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes, so könnte sie
den größeren Wärmestrom
Q̇R0 = αR AR (ϑ0 − ϑ2 ) ,
abgeben. Man kennzeichnet nun die Wirksamkeit der Rippe durch den Rippenwirkungsgrad
Q̇R
ϑR − ϑ2
=
(1.81)
ηR :=
ϑ0 − ϑ2
Q̇R0
und erhält
Q̇R = αR ηR AR (ϑ0 − ϑ2 ) .
(1.82)
Der Rippenwirkungsgrad ist stets kleiner als eins. Er hängt vom Wärmeleitvorgang in der Rippe und vom Wärmeübergang ab; denn beide Transportvorgänge beeinflussen sich gegenseitig. Neben der Rippengeometrie spielen
daher die Wärmeleitfähigkeit λR des Rippenmaterials und der Wärmeübergangskoeffizient αR eine Rolle bei der Berechnung des Rippenwirkungsgrads,
auf die wir in 2.2.4 eingehen.
Abb. 1.16: Periodische
Temperaturverteilung auf
der Linie CD. ϑ0 mittlere Temperatur des Rippenfußes, ϑW2 mittlere Temperatur der Oberfläche des
Grundmaterials zwischen
den Rippen.
Die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes hat einen anderen Wert als die Temperatur ϑW2 des von Rippen freien Grundmaterials. Durch den Rippenfuß
fließt nämlich eine wesentlich höhere Wärmestromdichte in die Rippe als vom
Grundmaterial an das Fluid übergeht. Es tritt also eine Temperaturabsenkung
unter der Rippe auf, so daß sich im Grundmaterial eine periodische Temperaturverteilung einstellt, wie sie Abb. 1.16 schematisch zeigt. Zur Vereinfachung
vernachlässigt man diesen komplizierten Temperaturverlauf und setzt
1.2 Wärmedurchgang
ϑ0 = ϑW2 ,
41
(1.83)
nimmt also eine isotherme Temperaturverteilung unter den Rippen und an der
Oberfläche des Grundmaterials zwischen den Rippen an. Diese Vereinfachung
führt zu einer Überschätzung des übertragenen Wärmestroms. Wie zuerst
O. Krischer und W. Kast [1.4], später E.M. Sparrow und D.K. Hennecke [1.5]
sowie E.M. Sparrow und L. Lee [1.6] zeigten, kann der Wärmestrom bis zu
25 % zu groß berechnet werden. In vielen Fällen, besonders bei dickeren und
enger stehenden Rippen, liegt der Fehler unter 5 %. Wir nehmen daher (1.83)
als gültig an und erhalten mit dieser Vereinfachung aus (1.80) und (1.82)
Q̇ = Q̇R + Q̇G = (αG AG + αR ηR AR ) (ϑ0 − ϑ2 ) .
(1.84)
Die Rippenoberfläche ist nicht mit ihrer vollen Größe AR , sondern nur mit dem
durch den Rippenwirkungsgrad verminderten Anteil ηR AR wirksam. Meistens
ist AR AG , und in der ersten Klammer von (1.84) überwiegt der zweite
Summand trotz ηR < 1. Man kann daher ohne großen Fehler αG ≈ αR setzen
und erhält
(1.85)
Q̇ = αR (AG + ηR AR ) (ϑ0 − ϑ2 ) .
Für den Wärmedurchgangswiderstand einer berippten Wand findet man
nun, da außerdem die Beziehungen (1.68), (1.69) und (1.71) gelten,
1
1
δ
1
=
.
+
+
kA
α1 A1
λm A m
αR (AG + ηR AR )
(1.86)
Hierin sind δ die Dicke, λm die mittlere Wärmeleitfähigkeit und Am die mittlere Fläche der unberippten Wand. Der Wärmedurchgang berippter Wände
läßt sich also nach den gleichen Beziehungen berechnen wie bei unberippten
Wänden; man hat nur statt der Rippenoberfläche die mit dem Rippenwirkungsgrad multiplizierte Fläche einzusetzen.
Beispiel 1.3: Ein Rohr aus einer Aluminiumlegierung (λm = 205 W/K m) hat
den Innendurchmesser d1 = 22 mm und den Außendurchmesser d2 = 25 mm.
Es wird innen von Wasser mit ϑ1 = 60 ◦ C durchströmt, während Luft mit
ϑ2 = 25 ◦ C senkrecht zu seiner Achse strömt. Typische Wärmeübergangskoeffizienten sind α1 = 6150 W/m2 K und α2 = 95 W/m2 K. Man berechne den auf
die Rohrlänge L bezogenen Wärmestrom Q̇/L.
Aus (1.76) erhält man
«
„
1
1
1
d2
1
1
=
+
ln
+
kA
πL α1 d1
2λm
d1
α2 d2
=
1
Km
0,1365 K m
(0,0074 + 0,0003 + 0,4211)
=
πL
W
L
W
und aus (1.71)
Q̇/L = (kA/L) (ϑ1 − ϑ2 ) = 256 W/m .
Der Wärmedurchgangswiderstand (1/kA) wird durch den großen Wärmeübergangswiderstand an der Rohraußenseite bestimmt, der durch das Anbringen von
Rippen verkleinert werden soll.
42
1 Einführung. Technische Anwendungen
Hierzu werden kreisringförmige Scheiben-Rippen mit dem Außendurchmesser
dR = 60 mm, der Dicke δR = 1 mm und der Teilung tR = 6 mm gewählt. Die
Zahl der Rippen ist dann n = L/tR . Für die von Rippen freie Außenfläche des
Rohres gilt
AG = π d2 (L − n δR ) = π d2 L (1 − δR /tR )
und für die Rippenoberfläche
AR = 2n
´
´
π` 2
π L ` 2
dR − d22 .
dR − d22 =
4
2 tR
Die schmale Fläche mit der Breite δR an der Rippenspitze ist hierbei vernachlässigt worden; denn sie trägt wegen ihrer niedrigen Übertemperatur nur
wenig zum Wärmeübergang an die Luft bei. Gegenüber der Fläche A0 = πd2 L
des unberippten Rohres erhält man eine Flächenvergrößerung um den Faktor
(AG + AR )/A0 = 10,75.
Für den Wärmeübergang ist die Rippenfläche jedoch nicht voll wirksam. Wir
nehmen αR = α2 und einen Rippenwirkungsgrad ηR = 0,55 an und erhalten
nach (1.86)
„
«
1
d2
πL
1
1
1
+
ln
+
=
kA
πL α1 d1
2λm
d1
αR (AG + ηR AR )
=
Km
0,0238 K m
1
(0,0074 + 0,0003 + 0,0670)
=
.
πL
W
L
W
Der Wärmeübergangswiderstand auf der Rohraußenseite ist zwar immer noch
der größte Wärmewiderstand, doch der Wärmedurchgangswiderstand hat sich
durch das Anbringen der Rippen erheblich verkleinert. Dementsprechend erhält
man den größeren Wärmestrom Q̇/L = 1472 W/m. Die Flächenvergrößerung um
den Faktor 10,75 hat zu einer Erhöhung der Wärmeleistung um den Faktor 5,75
geführt.
1.2.4 Abkühlung und Erwärmung dünnwandiger
Behälter
Die Beziehungen für den stationären Wärmedurchgang lassen sich auch auf die
Lösung eines instationären Wärmeübergangsproblems anwenden, nämlich zur
Berechnung des zeitlichen Temperaturverlaufs beim Aufheizen und Abkühlen
dünnwandiger Behälter, die mit einer Flüssigkeit gefüllt sind. Hierzu muß man
zwei vereinfachende Annahmen machen:
1. Die Temperatur der Flüssigkeit im Inneren des Behälters ist räumlich
ausgeglichen; sie ändert sich nur mit der Zeit, ϑF = ϑF (t).
2. Die Wärmespeicherung der Behälterwand, genauer die Änderung ihrer
inneren Energie, kann vernachlässigt werden.
Die erste Annahme wird häufig zutreffen, weil freie oder durch ein Rührwerk erzwungene Konvektionsströme einen räumlichen Temperaturausgleich
im Inneren des Behälters herbeiführen. Die zweite Annahme ist nur dann berechtigt, wenn die Wärmekapazität des Behälterinhalts die Wärmekapazität
1.2 Wärmedurchgang
43
der Wände weit überwiegt. Dies trifft auf die Abkühlung oder Erwärmung
von Flüssigkeiten in dünnwandigen Behältern zu, jedoch nicht auf gasgefüllte
Behälter mit dicken oder stark isolierten Wänden.
Bei Gültigkeit der beiden Annahmen herrscht zu jeder Zeit im Behälterinneren eine räumlich ausgeglichene Temperatur, und in den Wänden verläuft
die Temperatur nach den Gleichungen, die für den stationären Zustand gelten. In einer ebenen Behälterwand fällt die Temperatur also linear ab, diese
Gerade verlagert sich jedoch im Laufe der Zeit.
Abb. 1.17: Temperaturverlauf
bei der Abkühlung eines dünnwandigen Behälters.
Wir betrachten zunächst den Abkühlvorgang, Abb. 1.17. Der Wärmestrom
Q̇(t), der von der Flüssigkeit mit der Temperatur ϑF (t) durch die Behälterwand an die Umgebung mit der konstanten Temperatur ϑU übertragen wird,
ist durch
Q̇(t) = kA [ϑF (t) − ϑU ]
(1.87)
gegeben. Dabei kann der Wärmedurchgangskoeffizient k nach (1.72) berechnet
werden. Nach dem ersten Hauptsatz bewirkt der abfließende Wärmestrom Q̇
eine Abnahme der inneren Energie UF der im Behälter befindlichen Flüssigkeit:
dUF
dϑF
Q̇(t) = −
= −MF cF
.
(1.88)
dt
dt
Hierin bedeutet MF die Masse und cF die als konstant angenommene spez.
Wärmekapazität der Flüssigkeit.
Aus (1.87) und (1.88) folgt die gewöhnliche Differentialgleichung
dϑF
kA
+
(ϑF − ϑU ) = 0
dt
MF cF
für die Flüssigkeitstemperatur. Ihre Lösung unter der Anfangsbedingung
ϑF = ϑF0
lautet in dimensionsloser Form
zur Zeit
t=0
44
1 Einführung. Technische Anwendungen
ϑ+
F :=
ϑF − ϑU
kA
= exp −
t .
ϑF0 − ϑU
MF cF
(1.89)
Die Flüssigkeitstemperatur sinkt also exponentiell von ihrem Anfangswert ϑF0
auf die Umgebungstemperatur ϑU . Abb. 1.18 zeigt den Temperaturverlauf für
verschiedene Werte der Abklingzeit
t0 := MF cF /kA .
(1.90)
Sie erscheint in Abb. 1.18 als Subtangente der Abkühlkurve zu einem beliebigen Zeitpunkt, insbesondere auch zur Zeit t = 0.
Abb. 1.18: Zeitliche Änderung der Flüssigkeitstemperatur ϑ+
F nach (1.89) mit t0
nach (1.90) bei der Abkühlung eines Behälters.
Die Erwärmung des Behälterinhalts möge zur Zeit t = 0 beginnen, bei der
der ganze Behälter die Umgebungstemperatur hat:
ϑF = ϑU
für t = 0 .
(1.91)
Der Flüssigkeit werde für t ≥ 0 die Heizleistung Q̇H = Q̇H (t) zugeführt, die
eine beliebige Funktion der Zeit sein kann. Da die Flüssigkeit den Wärmestrom
Q̇(t) nach (1.87) durch die dünne Behälterwand an die Umgebung verliert,
liefert der erste Hauptsatz die Bilanzgleichung
dUF
= −Q̇(t) + Q̇H (t) ,
dt
woraus die Differentialgleichung
Q̇H (t)
dϑF
kA
(ϑF − ϑU ) =
+
dt
MF cF
MF cF
1.3 Wärmeübertrager
45
folgt. Ihre allgemeine Lösung unter Beachtung der Anfangsbedingung (1.91)
lautet
t
Q̇H (t)
exp (t/t0 ) dt
(1.92)
ϑF = ϑU + exp (−t/t0 )
MF cF
0
mit t0 nach (1.90).
Nimmt man eine konstante Heizleistung Q̇H an, so folgt aus (1.92)
ϑF = ϑU +
Q̇H
[1 − exp (−t/t0 )] .
kA
Nach sehr langer Zeit (t → ∞) erreicht die Temperatur der Flüssigkeit den
Wert
Q̇H
ϑF∞ = ϑU +
.
kA
Die zugeführte Heizleistung reicht dann gerade aus, um den Verlustwärmestrom Q̇ nach (1.87) zu decken; es stellt sich ein stationärer Zustand ein.
1.3 Wärmeübertrager
Soll Energie als Wärme von einem Fluidstrom auf einen anderen übertragen werden, so führt man die beiden Fluide durch einen Apparat, der
Wärmeübertrager (früher auch Wärmetauscher oder Wärmeaustauscher) genannt wird. Die Fluidströme sind dabei durch eine materielle Wand, meist eine
Rohrwand, getrennt, durch die Wärme vom Fluid mit der höheren Temperatur
auf das kältere Fluid übertragen wird. Für die Berechnung von Wärmeübertragern verwendet man daher die in Abschnitt 1.2 hergeleiteten Beziehungen
für den Wärmedurchgang. Außerdem verknüpfen die Energiebilanzen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik den übertragenen Wärmestrom mit
den Enthalpieänderungen der beiden Fluide und damit mit ihren Temperaturänderungen.
Wärmeübertrager kommen in verschiedenen Bauarten vor, die sich insbesondere durch die Stromführung der beiden Fluide unterscheiden. Hierüber
wird im ersten Abschnitt berichtet. Danach gehen wir auf die Berechnungsgleichungen ein, die vorteilhaft mit dimensionslosen Kenngrößen formuliert
werden. In den dann folgenden Abschnitten behandeln wir die Berechnung
der Gegenstrom-, Gleichstrom- und Kreuzstromwärmeübertrager. Im letzten
Abschnitt wird auf weitere praktisch wichtige Stromführungen hingewiesen,
die sich aus den drei genannten Grundformen kombinieren lassen.
Berechnung, Gestaltung und Anwendung von Wärmeübertragern werden
ausführlich in verschiedenen Büchern behandelt. Es sei insbesondere auf die
Veröffentlichungen von H. Hausen [1.7], H. Martin [1.8] sowie W. Roetzel
u.a. [1.9] hingewiesen. Die folgenden Abschnitte geben nur eine Einführung
46
1 Einführung. Technische Anwendungen
in dieses umfangreiche Gebiet unter Betonung der wärmetechnischen Berechnungsverfahren.
1.3.1 Bauarten und Stromführungen
Zu den einfachen Bauformen eines Wärmeübertragers gehört der in Abb. 1.19
schematisch dargestellte Doppelrohr-Wärmeübertrager. Hier werden zwei Rohre in der Regel konzentrisch angeordnet. Das eine Fluid, Index 1, strömt im
Innenrohr, das andere, dessen Eigenschaften durch den Index 2 gekennzeichnet
werden, strömt im ringförmigen Raum zwischen dem Innen- und dem Mantelrohr. Offensichtlich sind zwei Stromführungen möglich: der Gegenstrom, bei
dem die beiden Fluide in verschiedenen Richtungen strömen, Abb. 1.19a, und
der Gleichstrom nach Abb. 1.19b.
Abb. 1.19: Fluidtemperaturen ϑ1 und ϑ2 in einem Doppelrohr-Wärmeübertrager.
a Gegenstromführung, b Gleichstromführung.
In Abb. 1.19 sind auch die Verläufe der über den Querschnitt gemittelten
Temperaturen ϑ1 und ϑ2 der beiden Fluide dargestellt. Die Eintrittstemperaturen werden mit einem Strich, die Austrittstemperaturen mit zwei Strichen gekennzeichnet. In jedem Querschnitt ist ϑ1 > ϑ2 , wenn wir mit dem
Index 1 das heißere Fluid bezeichnen. Bei Gegenstromführung treten die beiden Fluide an verschiedenen Enden des Wärmeübertragers aus. Deswegen
kann die Austrittstemperatur ϑ1 des warmen Stromes unter der des kalten
Stromes liegen (ϑ1 < ϑ2 ); denn es müssen nur die Bedingungen ϑ1 > ϑ2
und ϑ1 > ϑ2 eingehalten werden. Eine derartige starke Abkühlung des warmen Fluids 1 bzw. die große Erwärmung des kalten Fluids 2 ist mit der
Gleichstromführung nicht zu erreichen. Hier treten die Austrittstemperaturen
beider Fluide im selben Querschnitt des Doppelrohr-Wärmeübertragers auf,
1.3 Wärmeübertrager
47
und es gilt daher ϑ1 > ϑ2 selbst bei beliebiger Verlängerung des Apparates.
Dies ist ein erstes Anzeichen dafür, daß die Gegenstromführung der Gleichstromführung überlegen ist: Nicht alle Wärmeübertragungsaufgaben, die bei
Gegenstrom realisiert werden können, lassen sich mit Gleichstrom verwirklichen. Außerdem werden wir in 1.3.3 herleiten, daß bei gleicher übertragener
Wärmeleistung ein Gegenstrom-Wärmeübertrager stets eine kleinere Fläche
hat als ein Gleichstrom-Wärmeübertrager, sofern die gestellte Aufgabe überhaupt mit beiden Stromführungen lösbar ist. Aus diesen Gründen wird die
Gleichstromführung selten angewendet.
Die in der Praxis am häufigsten angewandte Bauform ist der RohrbündelWärmeübertrager nach Abb. 1.20. Das eine der beiden Fluide strömt dabei
in den parallelen Rohren eines Bündels, das sehr viele Rohre enthalten kann.
Das Bündel ist von einem Mantelrohr umgeben, in dessen Innerem das andere
Abb. 1.20: Rohrbündel-Wärmeübertrager (schematisch)
Fluid an der Außenseite der Rohre des Bündels strömt. Auch hier läßt sich
Gegenstrom verwirklichen, wenn man von den Enden des Wärmeübertragers
absieht, wo das im Außenraum strömende Fluid ein- bzw. austritt. Häufig
erzwingt man jedoch durch Umlenk- oder Schikanebleche nach Abb. 1.21, daß
das Fluid im Außenraum im wesentlichen quer zu den Rohren des Bündels
strömt, was zu einem höheren Wärmeübergangskoeffizienten als bei Längsströmung führt. In diesen Abschnitten zwischen den Umlenkblechen liegt nicht
Gleich- oder Gegenstrom vor, sondern Kreuzstrom.
Abb. 1.21: RohrbündelWärmeübertrager
mit
Umlenkblechen.
Reiner Kreuzstrom wird bei den Plattenwärmeübertragern nach Abb.
1.22 verwirklicht. Hier ändern sich die Temperaturen der beiden Fluide
48
1 Einführung. Technische Anwendungen
Abb. 1.22: Schema
eines Plattenwärmeübertragers mit Kreuzstromführung.
Abb. 1.23: Fluidtemperaturen
ϑ1 = ϑ1 (x, y) und ϑ2 = ϑ2 (x, y)
bei Kreuzstrom.
auch quer zur jeweiligen Strömungsrichtung. Dies ist in Abb. 1.23 schematisch wiedergegeben. Jedes Fluidteilchen, das einen Wärmeübertrager mit
Kreuzstrom-Führung durchströmt, erfährt eine eigene Temperaturänderung
zwischen der für alle Teilchen gleichen Eintrittstemperatur ϑi und dem
individuellen Wert seiner Austrittstemperatur. Kreuzstrom wird auch bei
Rohrbündel-Wärmeübertragern angewendet, bei denen eines der Fluide gasförmig ist. Das Gas strömt quer zu den Rohrachsen über die Rohre, die in
Reihen angeordnet sind und in denen das andere Fluid, oft eine Flüssigkeit,
strömt. Durch Berippung der Rohre, vgl. Abschnitt 1.2.3 und 2.2.3, läßt sich
die Wärmeübertragungsfläche auf der Gasseite vergrößern, wodurch der niedrige Wärmeübergangskoeffizient kompensiert wird.
1.3 Wärmeübertrager
49
Abb. 1.24 zeigt eine besonders einfache Bauart eines Wärmeübertragers,
eine Rohrschlange, die in einem Behälter (Kessel) untergebracht ist. Das eine
Fluid strömt durch das Rohr, das andere befindet sich im Kessel. Es kann diesen stationär durchströmen oder, im Kessel ruhend, erwärmt oder abgekühlt
werden. Häufig wird das im Kessel befindliche Fluid durch ein Rührwerk bewegt, um es zu durchmischen und den Wärmeübergang an die Rohrschlange
zu verbessern.
Abb. 1.24: Wärmeübertrager
mit Rohrschlange (schematisch)
Neben den genannten Bauarten gibt es zahlreiche Sonderformen von
Wärmeübertragern, auf die wir nicht eingehen. Dabei ist eine Vielzahl von
Kombinationen der grundlegenden Stromführungen Gegenstrom, Gleichstrom
und Kreuzstrom möglich, was zu komplizierten Berechnungsverfahren führt.
Bei den bisher behandelten Wärmeübertragern strömen zwei Fluide stationär
und gleichzeitig durch den Apparat. Sie sind stets durch eine Wand getrennt,
durch die Wärme vom heißen zum kalten Fluid fließt (Wärmedurchgang). Diese
Wärmeübertrager werden auch als Rekuperatoren bezeichnet im Gegensatz zu den
Regeneratoren. Sie enthalten eine für Gase durchlässige Füllmasse, z.B. gitterartige Anordnungen von Formsteinen mit Kanälen für das Gas oder eine Schüttung
aus Steinen oder Metallstreifen. Die beiden Gase durchströmen den Regenerator
in zeitlichem Wechsel. Das heiße Gas gibt Wärme an die Füllkörper ab, in denen
sie als innere Energie gespeichert wird. Das anschließend durch die Speichermasse
strömende kalte Gas nimmt Energie als Wärme auf und verläßt den Regenerator mit
höherer Temperatur. Ein kontinuierlicher Betrieb erfordert wenigstens zwei Regeneratoren, damit gleichzeitig das eine Gas erwärmt und das andere abgekühlt werden
kann, Abb. 1.25. Durch Umschalten der Gasströme wird jeder der beiden Regeneratoren im periodischen Wechsel aufgeheizt und gekühlt. Die Austrittstemperaturen
der Gase führen dabei zeitliche Schwingungen aus.
Regeneratoren werden als Winderhitzer der Hochöfen und als Wärmeübertrager
in Tieftemperaturanlagen zur Gasverflüssigung eingesetzt. Eine besondere Bauart,
50
1 Einführung. Technische Anwendungen
Abb. 1.25: Regeneratoren für
die periodische Wärmeübertragung zwischen den Gasen Luft
und Stickstoff (schematisch)
der Ljungström-Vorwärmer mit rotierender Speichermasse, dient als Luftvorwärmer
für Feuerungen und in Gasturbinenanlagen; das warme Gas ist dabei das Verbrennungsgas (Abgas), das möglichst weit abgekühlt werden soll, um seinen Energieinhalt zu nutzen.
Die Theorie der Regeneratoren hat vor allem H. Hausen [1.10] entwickelt. Da es
sich um die Berechnung recht komplizierter zeitabhängiger Vorgänge handelt, gehen
wir auf die Regenerator-Theorie in den folgenden Abschnitten nicht ein. Es sei auf
die zusammenfassenden Darstellungen von H. Hausen [1.7] und im VDI-Wärmeatlas
[1.11] verwiesen.
1.3.2 Allgemeine Berechnungsgleichungen.
Dimensionslose Kennzahlen
Abb. 1.26 zeigt das Schema eines Wärmeübertragers. Die Temperaturen der
beiden Fluide werden wie in Abschnitt 1.3.1 mit ϑ1 und ϑ2 bezeichnet, wobei wir ϑ1 > ϑ2 annehmen. Wärme soll also vom Fluid 1 auf das Fluid 2
übertragen werden. Die Eintrittstemperaturen werden durch einen Strich, die
Austrittstemperaturen durch zwei Striche gekennzeichnet.
Wir wenden zunächst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf jedes
der beiden Fluide an. Der übertragene Wärmestrom bewirkt eine Enthalpieerhöhung des kalten Fluids 2 und eine Enthalpieabnahme des warmen Fluids 1.
Es gilt
Q̇ = Ṁ1 (h1 − h1 ) = Ṁ2 (h2 − h2 ) ,
(1.93)
wobei Ṁi den Massenstrom des Fluids i bedeutet. Die hier auftretenden spez.
Enthalpien sind bei den Eintritts- und Austrittstemperaturen ϑi bzw. ϑi zu
berechnen, die als Querschnittsmittelwerte, nämlich als adiabate Mischungstemperaturen im Sinne der Ausführungen von Abschnitt 1.1.3 zu bestimmen
1.3 Wärmeübertrager
51
Abb. 1.26: Schema eines Wärmeübertragers mit Massenströmen Ṁi , Eintrittstemperaturen ϑi , Austrittstemperaturen
ϑi , Eintrittsenthalpien hi und Austrittsenthalpien hi der beiden Fluidströme (i =
1, 2).
sind. Gleichung (1.93) gilt nur für einen bezüglich der Umgebung adiabaten
Wärmeübertrager, was wir im folgenden stets voraussetzen.
Die beiden Fluide sollen den Wärmeübertrager ohne Phasenänderung
durchströmen, also nicht kondensieren oder verdampfen. Wir vernachlässigen die sehr geringe Druckabhängigkeit der spez. Enthalpie. Sie hängt dann
nur von der Temperatur ab, und wir erhalten mit
cpi :=
hi − hi
ϑi − ϑi
,
i = 1, 2
(1.94)
als mittlerer spez. Wärmekapazität zwischen ϑi und ϑi aus (1.93)
Q̇ = Ṁ1 cp1 (ϑ1 − ϑ1 ) = Ṁ2 cp2 (ϑ2 − ϑ2 ) .
Zur Abkürzung führt man den Wärmekapazitätsstrom
Ẇi := Ṁi cpi
ein und erhält
,
i = 1, 2
Q̇ = Ẇ1 (ϑ1 − ϑ1 ) = Ẇ2 (ϑ2 − ϑ2 ) .
(1.95)
(1.96)
Die Temperaturänderungen der beiden Fluidströme sind durch den ersten
Hauptsatz miteinander verknüpft; sie verhalten sich reziprok zum Verhältnis
ihrer Wärmekapazitätsströme.
Der Wärmestrom Q̇ wird durch die Temperaturdifferenz ϑ1 − ϑ2 im Inneren des Wärmeübertragers vom Fluid 1 auf das Fluid 2 übertragen. Dabei
hat Q̇ den Wärmedurchgangswiderstand 1/kA nach Abschnitt 1.2.1 zu überwinden. Die Größe kA, die wir im folgenden die Übertragungsfähigkeit des
Wärmeübertragers nennen, ist die für den Apparat typische Größe. Sie läßt
sich nach (1.72) aus den Wärmeübergangswiderständen und dem Wärmeleitwiderstand der Trennwand zwischen den beiden Fluiden berechnen. In der
Regel sieht man kA als eine Apparate-Konstante an und nimmt an, der Wärmedurchgangskoeffizient k solle an jeder Stelle des Wärmeübertragers den
gleichen Wert haben. Dies muß jedoch nicht zutreffen; denn die Wärmeübergangskoeffizienten der Fluide können sich längs ihrer Strömungswege als Folge
52
1 Einführung. Technische Anwendungen
der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte oder wegen einer Änderung der
Strömungsverhältnisse ändern. In solchen Fällen kann man k bzw. kA an mehreren Punkten des Wärmeübertragers berechnen und einen geeigneten Mittelwert bilden, vgl. W. Roetzel u. B. Spang [1.12], der dann die für den ganzen
Wärmeübertrager charakteristische Übertragungsfähigkeit kA darstellt.
Bevor wir die Berechnung eines Wärmeübertragers beginnen, verschaffen
wir uns einen Überblick über die maßgebenden Einflußgrößen, verringern ihre
Zahl durch Einführen dimensionsloser Kennzahlen und ermitteln schließlich,
welche Beziehungen zur Berechnung des Wärmeübertragers benötigt werden.
In Abb. 1.27 sind die sieben bisher behandelten Einflußgrößen eingetragen. Die
Wirksamkeit des Wärmeübertragers ist durch seine Übertragungsfähigkeit kA
gegeben; jeder der beiden Stoffströme wird durch den Wärmekapazitätsstrom
Ẇi , die Eintrittstemperatur ϑi und die Austritts- oder Ablauftemperatur ϑi
gekennzeichnet. Da es auf die absolute Größe der Temperaturen nicht ankommt, spielen nur die drei Differenzen (ϑ1 − ϑ1 ), (ϑ2 − ϑ2 ) und (ϑ1 − ϑ2 )
eine Rolle, vgl. Abb. 1.28. Somit verringert sich die Zahl der Einflußgrößen
um eins. Es verbleiben sechs Größen
kA, (ϑ1 − ϑ1 ), Ẇ1 , (ϑ2 − ϑ2 ), Ẇ2
und
(ϑ1 − ϑ2 ) .
Sie gehören zu nur zwei verschiedenen Größenarten; es sind Temperaturen (Einheit K) oder Wärmekapazitätsströme (Einheit W/K). Nach Abschnitt 1.1.4 lassen sich daher vier (= 6 − 2) Kenngrößen bilden, nämlich
die dimensionslosen Temperaturänderungen der beiden Fluide,
ε1 :=
ϑ1 − ϑ1
ϑ1 − ϑ2
und
ε2 :=
ϑ2 − ϑ2
,
ϑ1 − ϑ2
(1.97)
vgl. Abb. 1.29, und die Verhältnisse
N1 :=
kA
Ẇ1
und
N2 :=
kA
.
Ẇ2
(1.98)
Sie werden in der amerikanischen Literatur als Number of Transfer-Units
(N T U ) bezeichnet. Im deutschen Schrifttum findet man die direkte Übersetzung Zahl der Übertragungseinheiten“; wir schlagen vor, Ni als dimensi”
onslose oder bezogene Übertragungsfähigkeit zu bezeichnen. Anstelle von N2
wird oft das Verhältnis der Wärmekapazitätsströme
C1 :=
Ẇ1
N2
=
N1
Ẇ2
(1.99)
C2 :=
Ẇ2
1
=
C1
Ẇ1
(1.100)
oder sein Kehrwert
verwendet.
1.3 Wärmeübertrager
Abb. 1.27: Wärmeübertrager
mit den sieben Einflußgrößen.
53
Abb. 1.28: Die drei maßgebenden
Temperaturdifferenzen (Pfeile) in einem
Wärmeübertrager.
Abb. 1.29: Verlauf der dimensionslosen
Fluidtemperaturen
ϑ+
i = (ϑi − ϑ2 ) / (ϑ1 − ϑ2 ) über
der Fläche und Veranschaulichung von ε1 und ε2 nach
(1.97).
Die vier Kenngrößen nach (1.97) und (1.98) sind nicht unabhängig voneinander, denn aus der Bilanzgleichung (1.96) des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik erhält man
ε1
ε2
=
N1
N2
oder ε2 = C1 ε1 .
(1.101)
Die zwischen den drei verbleibenden Kenngrößen bestehende Relation
F (ε1 , N1 , N2 ) = 0 oder F (ε1 , N1 , C1 ) = 0
(1.102)
ist die Betriebscharakteristik des Wärmeübertragers. Sie hängt von der Stromführung ab und muß durch eine Berechnung des Temperaturverlaufs der beiden Fluidströme gewonnen werden, worauf wir in den folgenden Abschnitten
eingehen.
Bei der Berechnung von Wärmeübertragern treten zwei Gruppen von Aufgaben auf:
1. Nachrechnung eines gegebenen Wärmeübertragers,
2. Auslegung des Wärmeübertragers für eine vorgeschriebene Leistung.
Im ersten Fall sind neben (ϑ1 − ϑ2 ) die Wärmekapazitätsströme Ẇ1 und Ẇ2
sowie kA gegeben. Gesucht sind die Temperaturänderungen der beiden Fluidströme, aus denen sich nach (1.96) die Wärmeleistung Q̇ ergibt. Da die Kennzahlen N1 und N2 bzw. das Paar N1 und C1 gegeben sind, läßt sich diese
Aufgabe sofort lösen, wenn die Betriebscharakteristik (1.102) explizit nach ε1
aufgelöst werden kann:
54
1 Einführung. Technische Anwendungen
ε1 = ε1 (N1 , C1 ) .
Die dimensionslose Temperaturänderung ε2 des anderen Fluids folgt aus
(1.101).
Bei der Auslegungsrechnung wird kA gesucht; die Temperaturänderungen beider Ströme sind gegeben, oder es sind beide Wärmekapazitätsströme
und die Temperaturänderung eines Stromes bekannt. In diesem Fall ist eine
Betriebscharakteristik erwünscht, die explizit nach N1 oder N2 auflösbar ist:
N1 = N1 (ε1 , C1 ) .
Daraus erhält man die erforderliche Übertragungsfähigkeit
kA = N1 Ẇ1 = N2 Ẇ2 .
In Abb. 1.30 ist die Betriebscharakteristik eines Wärmeübertragers mit
gegebener Stromführung schematisch dargestellt. Die Lösung der beiden Aufgaben, Nachrechnung und Auslegung, ist angedeutet. In vielen Fällen ist die
hier vorausgesetzte explizite Auflösung der Betriebscharakteristik nach ε1 und
N1 nicht möglich, selbst wenn man über einen analytischen Ausdruck für die
Betriebscharakteristik verfügt. In solchen Fällen kann man Diagramme nach
Art der Abb. 1.30 benutzen, auf die wir in Abschnitt 1.3.5 eingehen.
Abb. 1.30: Schematische Darstellung der Betriebscharakteristik eines Wärmeübertragers für Ci = const. N angenommer Betriebspunkt für die Nachrechnung: εi =
εi (Ni , Ci ), A angenommener Betriebspunkt für die Auslegung: Ni = Ni (εi , Ci ).
Außerdem ist die Bestimmung der bezogenen mittleren Temperaturdifferenz Θ für
den Betriebspunkt A dargestellt.
Bei der Einführung des Wärmekapazitätsstroms Ẇi nach (1.95) hatten
wir die Kondensation oder Verdampfung eines der Fluide ausgeschlossen. Bei
der isobaren Verdampfung oder Kondensation eines reinen Stoffes ändert sich
seine Temperatur nicht, es geht aber cpi → ∞. Daraus folgt εi = 0, während
Ẇi → ∞ strebt, was Ni = 0 und Ci → ∞ zur Folge hat. Die Berechnung
1.3 Wärmeübertrager
55
des Wärmeübertragers vereinfacht sich in diesen Fällen, denn die Betriebscharakteristik ist nur noch der Zusammenhang zwischen zwei (und nicht drei)
Kennzahlen, nämlich zwischen ε und N des anderen, nicht kondensierenden
bzw. verdampfenden Fluids.
Zur Berechnung von Wärmeübertragern benutzt man neben den bereits eingeführten Größen und Kennzahlen eine weitere Größe, die mittlere Temperaturdifferenz ∆ϑm . Man erhält sie durch Integration der örtlichen Differenz (ϑ1 − ϑ2 ) der
beiden Fluidtemperaturen über die gesamte Übertragungsfläche:
∆ϑm :=
1
A
Z
(ϑ1 − ϑ2 ) dA .
(1.103)
(A)
Analog zu (1.71) erhält man dann für den übertragenen Wärmestrom
Q̇ = kA∆ϑm .
(1.104)
Diese Gleichung gilt streng genommen nur, wenn der Wärmedurchgangskoeffizient
k an jeder Stelle von A gleich groß ist. Trifft dies nicht zu, so kann man (1.104) als
Definitionsgleichung eines Mittelwertes von k ansehen.
Durch Einführen von ∆ϑm erhält man mit (1.104) eine Beziehung, die den übertragenen Wärmestrom unmittelbar mit der Übertragungsfähigkeit kA, also mit der
Fläche des Wärmeübertragers verknüpft. Es gelten nun die Gleichungen
Q̇ = kA∆ϑm = Ẇ1 (ϑ1 − ϑ1 ) = Ẇ2 (ϑ2 − ϑ2 ) .
Mit der dimensionslosen mittleren Temperaturdifferenz
Θ :=
∆ϑm
ϑ1 − ϑ2
(1.105)
erhält man daraus die folgenden Beziehungen zwischen Kennzahlen:
Θ=
ε1
ε2
=
.
N1
N2
(1.106)
Die mittlere Temperaturdifferenz ∆ϑm bzw. die mit ihr gebildete Kennzahl Θ läßt
sich also aus den vorher behandelten Kennzahlen berechnen. Die aus der Betriebscharakteristik folgenden Zusammenhänge lassen sich auf Θ übertragen. Grundsätzlich liefert die Einführung der mittleren Temperaturdifferenz keine Erkenntnisse,
die sich nicht auch aus der Betriebscharakteristik ablesen ließen. Dies veranschaulicht auch Abb. 1.30, in der Θ als Anstieg der Verbindungsgeraden zwischen dem
Betriebspunkt des Wärmeübertragers und dem Nullpunkt des Diagramms erscheint.
1.3.3 Gegenstrom- und Gleichstrom-Wärmeübertrager
Wir berechnen nun die Betriebscharakteristik F (εi , Ni , Ci ) = 0, für einen Gegenstrom-Wärmeübertrager durch eine Analyse des Temperaturverlaufs der
beiden Fluide. Die so gewonnenen Ergebnisse lassen sich leicht auf den praktisch weniger wichtigen Fall des Gleichstroms übertragen.
56
1 Einführung. Technische Anwendungen
Wir betrachten den in Abb. 1.31 dargestellten Temperaturverlauf in einem
Gegenstrom-Apparat. Die Temperaturen ϑ1 und ϑ2 der beiden Fluide hängen
von der Koordinate z in Strömungsrichtung des Fluids 1 ab. Auf einen Abschnitt mit der Länge dz wenden wir den ersten Hauptsatz an und erhalten
für den Wärmestrom dQ̇, der vom Fluid 1 durch das Flächenelement dA auf
das Fluid 2 übertragen wird,
dQ̇ = −Ṁ1 cp1 dϑ1 = −Ẇ1 dϑ1
(1.107)
dQ̇ = −Ṁ2 cp2 dϑ2 = −Ẇ2 dϑ2 .
(1.108)
und
Nun eliminieren wir dQ̇ mit dem für den Wärmedurchgang gültigen Ansatz
dQ̇ = k(ϑ1 − ϑ2 ) dA = kA(ϑ1 − ϑ2 )
dz
L
(1.109)
aus (1.107) und (1.108) und erhalten für die Änderung der Fluidtemperaturen
dz
kA dz
= −(ϑ1 − ϑ2 )N1
L
L
Ẇ1
(1.110)
dz
kA dz
= −(ϑ1 − ϑ2 )N2
.
L
Ẇ2 L
(1.111)
dϑ1 = −(ϑ1 − ϑ2 )
und
dϑ2 = −(ϑ1 − ϑ2 )
Wir verzichten darauf, die Temperaturverläufe ϑ1 = ϑ1 (z) und ϑ2 = ϑ2 (z)
aus diesen beiden Differentialgleichungen zu berechnen, sondern bestimmen
die Änderung der Differenz ϑ1 −ϑ2 . Dazu subtrahieren wir (1.111) von (1.110)
und erhalten nach Division mit (ϑ1 − ϑ2 )
d(ϑ1 − ϑ2 )
dz
.
= (N2 − N1 )
ϑ1 − ϑ2
L
(1.112)
Abb. 1.31: Temperaturverlauf
in einem Gegenstromwärmeübertrager.
1.3 Wärmeübertrager
57
Integration dieser Differentialgleichung zwischen z = 0 und z = L liefert die
Beziehung
(ϑ1 − ϑ2 )L
ϑ − ϑ2
ln
= ln 1
= N2 − N1 .
(1.113)
(ϑ1 − ϑ2 )0
ϑ1 − ϑ2
Nun gilt
ϑ1 − ϑ2
1 − ε1
ϑ1 − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ1 )
=
=
,
ϑ1 − ϑ2
ϑ1 − ϑ2 − (ϑ2 − ϑ2 )
1 − ε2
und wir erhalten
1 − ε1
ln
= N2 − N1
(1.114)
1 − ε2
als Betriebscharakteristik des Gegenstrom-Wärmeübertragers in impliziter
Form. Sie ist invariant gegenüber dem Vertauschen der Indizes 1 und 2. Unter
Verwendung der Verhältnisse C1 und C2 = 1/C1 nach (1.99) bzw. (1.100)
ergeben sich explizite Gleichungen der Form
εi = f (Ni , Ci )
und
Ni = f (εi , Ci )
,
i = 1, 2
die für jeden der beiden Fluidströme dieselbe Gestalt haben. Diese expliziten
Formen der Betriebscharakteristik sind in Tabelle 1.4 verzeichnet. Sind die
Wärmekapazitätsströme gleich, Ẇ1 = Ẇ2 , so gilt wegen C1 = C2 = 1
ε1 = ε2 = ε
und
N1 = N2 = N ,
und man erhält nach Reihenentwicklung der für Ci = 1 geltenden Gleichungen
durch den Grenzübergang Ci → 1 die ebenfalls in Tabelle 1.4 angegebenen
einfachen Beziehungen.
Abb. 1.32: Betriebscharakteristik εi = εi (Ni , Ci ) für Gegenstrom nach Tab. 1.4.
Abb. 1.32 zeigt die Betriebscharakteristik εi = f (Ni , Ci ) als Funktion von
Ni mit Ci als Parameter. Erwartungsgemäß nimmt die normierte Temperaturänderung εi mit wachsendem Ni , also mit wachsender Übertragungsfähigkeit kA monoton zu. Für Ni → ∞ erhält man den Grenzwert
58
1 Einführung. Technische Anwendungen
Tabelle 1.4: Gleichungen zur Berechnung der normierten Temperaturänderung εi ,
der dimensionslosen Übertragungsfähigkeit Ni und der mittleren Temperaturdifferenz Θ bei Gegenstrom- und Gleichstrom-Wärmeübertragern
Stromführung
εi = εi (Ni , Ci )
Ni = Ni (εi , Ci )
Θ = Θ (ε1 , ε2 )
Gegenstrom
1 − exp [(Ci − 1) Ni ]
1
1 − Ci εi
Ci =
1
εi =
Ni =
ln
i = 1, 2
1 − Ci exp [(Ci − 1) Ni ]
1 − Ci
1 − εi
C=1
Gleichstrom
i = 1, 2
ε=
N
1+N
N=
εi =
1 − exp [− (1 + Ci ) Ni ]
1 + Ci
Ni = kA/Ẇi
,
Θ=
ε
1−ε
ε1 =
ϑ1 − ϑ1
ϑ1 − ϑ2
,
ε1 − ε2
1 − ε2
ln
1 − ε1
Θ =1−ε
Ni =
ln [1 − εi (1 + Ci )]
−
1 + Ci
Bedeutung der Kennzahlen:
Θ=
ε2 =
Θ=
− (ε1 + ε2 )
ln [1 − (ε1 + ε2 )]
ϑ2 − ϑ2
ϑ1 − ϑ2
∆ϑm
εi
Ẇ1
ε2
N2
1
, C1 =
=
=
, C2 =
=
Ni
ε1
N1
C1
ϑ1 − ϑ2
Ẇ2
lim εi =
Ni →∞
1 für Ci ≤ 1
1/Ci für Ci > 1
.
Ist Ci ≤ 1, so hat εi den Charakter eines Wirkungsgrades; die normierte Temperaturänderung des Fluids, das den kleineren Wärmekapazitätsstrom hat, bezeichnet man daher auch als Wirkungsgrad oder Effektivität des
Wärmeübertragers. Durch immer weiteres Vergrößern der Wärme übertragenden Fläche A kann man die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Fluiden
nur an einem Ende des Gegenstromapparates beliebig klein machen. Allein
für Ẇ1 = Ẇ2 , also für C1 = C2 = 1 ließen sich an beiden Enden (und damit
in jedem Querschnitt) des Wärmeübertragers beliebig kleine Temperaturdifferenzen durch Flächenvergrößerung erreichen. Der in der Thermodynamik
häufig betrachtete Idealfall der reversiblen Wärmeübertragung zwischen zwei
Fluiden läßt sich also nur bei Ẇ1 = Ẇ2 mit einem Wärmeübertrager sehr
großer Übertragungsfähigkeit annähernd erreichen.
Wie schon in Abschnitt 1.3.2 erwähnt, dient die Funktion εi = f (Ni , Ci )
zur Berechnung der Ablauftemperaturen und der Übertragungsleistung, wenn
1.3 Wärmeübertrager
59
der Wärmeübertrager gegeben ist. Zur Dimensionierung des Apparats für eine geforderte Temperaturänderung der Fluide benutzt man die andere Form
der Betriebscharakteristik, Ni = Ni (εi , Ci ). Sie ist ebenfalls in Tabelle 1.4
verzeichnet.
Bei einem Gleichstrom-Wärmeübertrager kehrt sich die Richtung des Fluidstromes 2 gegenüber Abb. 1.31 um, vgl. auch Abb. 1.20b. An die Stelle von
(1.108) tritt die Energiebilanzgleichung
dQ̇ = Ṁ2 cp2 dϑ2 = Ẇ2 dϑ2 ,
so daß man statt (1.112) die Beziehung
d(ϑ1 − ϑ2 )
dz
= −(N1 + N2 )
ϑ1 − ϑ2
L
(1.115)
erhält. Danach nimmt die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Fluiden
in Strömungsrichtung stets ab. Integration von (1.115) zwischen z = 0 und
z = L ergibt
ϑ − ϑ2
ln 1
= −(N1 + N2 ) ,
ϑ1 − ϑ2
woraus
ε1 + ε2
(1.116)
ln [1 − (ε1 + ε2 )] = −(N1 + N2 ) = −
Θ
als implizite Form der Betriebscharakteristik folgt. Auch sie läßt sich nach εi
und nach Ni auflösen, wodurch man die in Tabelle 1.4 verzeichneten Funktionen erhält. Für Ni → ∞ erreichen die normierten Temperaturänderungen
den Grenzwert
1
,
i = 1, 2 .
lim εi =
Ni →∞
1 + Ci
Bei Gleichstromführung läßt sich außer für Ci = 0, worauf wir gleich eingehen
werden, niemals der Grenzwert εi = 1 erreichen.
Die Berechnung der Wärmeleistung und die Dimensionierung eines Wärmeübertragers kann man nach Abschnitt 1.3.2 auch mit der mittleren Temperaturdifferenz
Θ nach (1.106) ausführen. Ersetzt man bei Gegenstrom in (1.114) die Differenz
N2 −N1 durch Θ, ε1 und ε2 , so erhält man den in Tabelle 1.4 eingetragenen Ausdruck
für Θ = Θ(ε1 , ε2 ). Führt man dagegen
N2 − N1 =
ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ1 )
ε2 − ε1
ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 )
= 2
= 1
Θ
∆ϑm
∆ϑm
in (1.113) ein, so erhält man für die mittlere Temperaturdifferenz eines GegenstromWärmeübertragers
ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 )
.
(1.117)
∆ϑm = 1
ϑ − ϑ2
ln 1
ϑ1 − ϑ2
Sie ist der logarithmische Mittelwert der an den beiden Enden des Apparats auftretenden Temperaturdifferenzen zwischen den Fluiden.
60
1 Einführung. Technische Anwendungen
Für die normierte mittlere Temperaturdifferenz Θ bei Gleichstrom erhält man
den in Tabelle 1.4 verzeichneten Ausdruck aus (1.116). Setzt man hierin die Definitionsgleichungen von ε1 und ε2 ein, so ergibt sich
∆ϑm =
ϑ1 − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 )
.
ϑ − ϑ2
ln 1
ϑ1 − ϑ2
(1.118)
Auch bei Gleichstromführung ist ∆ϑm das logarithmische Mittel der Temperaturdifferenzen an den beiden Enden des Wärmeübertragers.
Abb. 1.33: Temperaturverlauf in einem Kondensator mit Abkühlung des überhitzten Dampfes, Kondensation und Unterkühlung des Kondensats (Fluidstrom 1)
durch Kühlwasser (Fluidstrom 2).
Wir vergleichen nun die beiden Stromführungen. Für Ci = 0 erhält man
nach Tabelle 1.4 die normierte Temperaturänderung
εi = 1 − exp(−Ni )
bzw. die dimensionslose Übertragungsfähigkeit zu
Ni = − ln(1 − εi )
unabhängig davon, ob Gegenstrom oder Gleichstrom vorliegt. Wenn also einer der beiden Stoffströme kondensiert oder verdampft, ist es gleichgültig, ob
Gegenstrom oder Gleichstrom gewählt wird. Wird jedoch in einem Kondensator überhitzter Dampf zunächst von ϑ1 auf die Kondensationstemperatur ϑ1s
abgekühlt, dann vollständig kondensiert und das Kondensat von ϑ1s auf ϑ1
abgekühlt, so liegen kompliziertere Verhältnisse vor, und es ist nicht zulässig,
den Apparat nach den bisher abgeleiteten Gleichungen als einen Wärmeübertrager zu berechnen, für den nur die Ein- und Austrittstemperaturen ϑi und
ϑi (i = 1, 2) maßgebend sind, vgl. Abb. 1.33. Da sich der Wärmekapazitätsstrom Ẇ1 erheblich ändert, — Ẇ1 ist bei der Abkühlung des Dampfes und
1.3 Wärmeübertrager
61
des Kondensats endlich, bei der Kondensation jedoch unendlich groß — muß
der Wärmeübertrager gedanklich geteilt und wie drei hintereinander geschaltete Apparate berechnet werden. Aus Energiebilanzen erhält man zunächst
die beiden unbekannten Temperaturen ϑ2a zwischen Enthitzer und Kondensationsteil und ϑ2b zwischen Kondensations- und Unterkühlungsteil. Daraus
ergeben sich die dimensionslosen Temperaturänderungen εia , εib und εic für
die drei Teilapparate Enthitzer a, Kondensator b und Kühler c (i = 1, 2).
Für jeden Teilapparat können dann mit den Beziehungen nach Tabelle 1.4
die dimensionslosen ÜbertragungsfähigkeitenNia , Nib und Nic berechnet werden. Aus Nij erhält man (kA)j und mit den jeweils gültigen Wärmedurchgangskoeffizienten kj die drei Teilflächen Aj (j = a, b, c), die zusammen die
Gesamtfläche des Apparates ergeben.
Für Ci > 0 zeigt sich die Gegenstromführung der Gleichstromführung
stets überlegen. Ein Nachteil der Gleichstromführung besteht darin, daß mit
ihr nicht alle Wärmeübertragungsaufgaben gelöst werden können. Eine vorgegebene Temperaturänderung εi ist nämlich nur dann realisierbar, wenn in
NiGl = −
1
ln [1 − εi (1 + Ci )]
1 + Ci
das Argument des Logarithmus positiv ist. Das ist aber nur für
εi <
1
1 + Ci
(1.119)
der Fall. Größere normierte Temperaturänderungen lassen sich mit einem
Gleichstrom-Wärmeübertrager selbst bei beliebig großer Übertragungsfähigkeit kA nicht erreichen. Für die Gegenstromführung besteht eine derartige
Beschränkung nicht; hier sind grundsätzlich alle εi erreichbar und damit alle Wärmeleistungen zu übertragen, wenn nur die Fläche des Gegenströmers
genügend groß bemessen wird.
Ein weiterer Nachteil der Gleichstromführung besteht darin, daß bei gleicher Aufgabenstellung (gleiches εi und gleiches Ci ) eine größere Übertragungsfähigkeit kA als bei Gegenstrom erforderlich ist. Dies zeigt Abb. 1.34, in der
das Verhältnis
(kA)Gl /(kA)Gg = NiGl /NiGg
aufgrund der Gleichungen von Tabelle 1.4 dargestellt ist. Dieses Verhältnis
wächst stark an, wenn εi sich dem Grenzwert nach (1.119) nähert. Selbst
wenn sich die gegebene Aufgabe mit einem Gleichstrom-Wärmeübertrager
lösen ließe, wird man den weniger aufwendigen Gegenstrom wählen, um einen
Apparat kleinerer Abmessungen zu erhalten. Nur bei einer Kombination aus
genügend kleinen Werten von Ci und εi hält sich die bei Gleichstrom erforderliche Flächenvergrößerung in engen Grenzen.
Beispiel 1.4: In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager soll Ammoniak beim
auf die Sättigungstemperatur ϑ1s =
Druck von 1,40 MPa von ϑ1 = 150,0
abgekühlt und bei dieser Temperatur vollständig kondensiert werden.
36,3
62
1 Einführung. Technische Anwendungen
Abb. 1.34: Verhältnis (kA)Gl / (kA)Gg = NiGl /NiGg der bei Gleichstrom und Gegenstrom erforderlichen Übertragungsfähigkeiten als Funktion von εi und Ci .
Sein Massenstrom ist Ṁ1 = 0,200 kg/s, und einer Dampftafel von Ammoniak [1.13] entnimmt man die spezifischen Enthalpien h(ϑ1 ) = 1959,4 kJ/kg,
hg (ϑ1s ) = 1637,3 kJ/kg und hfl (ϑ1s ) = 427,3 kJ/kg. Es steht Kühlwasser mit
zur Verfügung, das sich auf ϑ2 = 28,5
erwärmen soll; seine
ϑ2 = 12,0
mittlere spezifische Wärmekapazität ist cp2 = 4,184 kJ/kgK. Man berechne die
mindestens erforderlichen Übertragungsfähigkeiten (kA)abk für den Abkühlungsteil des Wärmeübertragers und (kA)kond für den Kondensationsteil.
Wir bestimmen zunächst den übertragenen Wärmestom Q̇ und den Massenstrom
Ṁ2 des Kühlwassers. Für den vom Ammoniak abgegebenen Wärmestrom gilt
h
i
kJ
kg
(1959,4 − 427,3)
= 306,4 kW .
Q̇ = Ṁ1 h(ϑ1 ) − hfl (ϑ1s ) = 0,200
s
kg
Daraus erhält man den Massenstrom
Ṁ2 =
306,4 kW
kg
Q̇
=
= 4,439
.
cp2 (ϑ2 − ϑ1 )
4,184 (kJ/kgK) (28,5 − 12,0) K
s
Zur Berechnung der Übertragungsfähigkeiten wird die Temperatur ϑ2a des Kühlwassers benötigt, die im Querschnitt zwischen dem Abkühlungs- und Kondensationsteil des Wärmeübertragers auftritt, vgl. Abb. 1.35. Aus der Energiebilanz
des Kondensationsteils,
h
i
`
´
Ṁ2 cp2 ϑa − ϑ2 = Ṁ1 hg (ϑ1s ) − hfl (ϑ1s ) ,
erhält man
ϑ2a = ϑ2 +
i
Ṁ1 h g
h (ϑ1s ) − hfl (ϑ1s ) = 25,0 ◦ C .
Ṁ2 cp2
Die gesuchte Übertragungsfähigkeit des (Ammoniak-)Abkühlungsteils ergibt sich
nach Tabelle 1.4 aus
1.3 Wärmeübertrager
1
1 − C1 ε1
(kA)abk
= N1 =
ln
.
1
−
C
1 − ε1
1
Ẇ1
63
(1.120)
Für das Verhältnis C1 = Ẇ1 /Ẇ2 der beiden Wärmekapazitätsströme erhält man
mit
Ẇ1 = Ṁ1 cp1 = Ṁ1
kW
kg 1959,4 − 1637,3 kJ
h(ϑ1 ) − hg (ϑs )
= 0,5666
= 0,200
ϑ1 − ϑs
s 150,0 − 36,3 kgK
K
und mit Ẇ2 = Ṁ2 cp2 = 18,573 kW/K den Wert C1 = 0,0305. Die dimensionslose
Temperaturänderung ε1 des Ammoniaks ist
ε1 =
ϑ1 − ϑ1s
150,0 − 36,3
= 0,9096.
=
ϑ1 − ϑ2a
150,0 − 25,0
Damit ergibt sich aus (1.120) N1 = 2,450 und schließlich
(kA)abk = N1 Ẇ1 = 1,388 kW/K .
Abb. 1.35: Temperaturverlauf
von Ammoniak und Kühlwasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager (schematisch).
Für den Kondensationsteil des Wärmeübertragers gilt ε1 = 0, und wegen Ẇ1 →
∞ wird C2 = Ẇ2 /Ẇ1 = 0. Nach Tabelle 1.4 erhält man
(kA)kond /Ẇ2 = N2 = − ln (1 − ε2 ) .
Mit der normierten Temperaturänderung des Kühlwassers,
ε2 =
ϑ2a − ϑ2
25,0 − 12,0
= 0,5350 ,
=
ϑ1s − ϑ2
36,3 − 12,0
ergibt sich dann N2 = 0,7657 und daraus
(kA)kond = N2 Ẇ2 = 14,22 kW/K .
Um aus den Übertragungsfähigkeiten (kA)abk und (kA)kond die mindestens erforderliche Fläche A = Aabk + Akond des Gegenstrom-Wärmeübertragers zu erhalten, müssen die Wärmedurchgangskoeffizienten der beiden Teile berechnet
werden. Sie werden verschieden groß sein, denn im Abkühlungsteil bietet der
Wärmeübergang auf der Seite des gasförmigen Ammoniaks den größten Wärmewiderstand, während im Kondensationsteil der Wärmeübergang an das Kühlwasser den größten Wärmewiderstand darstellt. Auf die Berechnung der Wärmedurchgangskoeffizienten gehen wir hier nicht ein; zu ihrer Bestimmung müssen
die konstruktive Gestaltung des Wärmeübertragers und die Strömungsverhältnisse der beiden Fluide bekannt sein.
64
1 Einführung. Technische Anwendungen
1.3.4 Kreuzstrom-Wärmeübertrager
Bevor wir den reinen Kreuzstrom nach Abb. 1.23 behandeln, berechnen wir
die Betriebscharakteristik für einen einfacheren Sonderfall, den einseitig quervermischten Kreuzstrom. Bei dieser Stromführung hängt die Temperatur eines
der beiden Fluide nur von einer Ortskoordinate, z.B. von x ab, während die
Temperatur des anderen Fluids von x und y abhängt. In Abb. 1.36 ist das
quervermischte Fluid durch den Index 1 gekennzeichnet; seine Temperatur
ϑ1 ändert sich nur in Strömungsrichtung, ϑ1 = ϑ1 (x). Quer dazu wird ideale
Quervermischung angenommen, so daß ϑ1 nicht von y abhängt. Diese Annahme ist in sehr guter Näherung erfüllt, wenn das Fluid 1 eine einzige Reihe von
Rohren durchströmt, während das Fluid 2 quer zu den Rohren strömt, Abb.
1.37. Kreuzstrom mit einer Rohrreihe entspricht also dem einseitig quervermischten Kreuzstrom. Das quervermischte Fluid 1 in den Rohren muß dabei
nicht wie bisher das Fluid mit der höheren Temperatur sein.
Um die Temperaturen ϑ1 = ϑ1 (x) und ϑ2 = ϑ2 (x, y) der beiden Fluide zu
bestimmen, betrachten wir das in Abb. 1.36 hervorgehobene Flächenelement dA =
dx dy. Für den vom Fluid 1 an das Fluid 2 übertragenen Wärmestrom dQ̇ gilt
dQ̇ = [ϑ1 (x) − ϑ2 (x, y)] k dx dy .
Die gesamte Übertragungsfläche ist A = L1 L2 , vgl. Abb. 1.36. Mit den dimensionslosen Koordinaten
(1.121)
x+ := x/L1 und y + := y/L2
erhält man
˜
ˆ
dQ̇ = ϑ1 (x+ ) − ϑ2 (x+ , y + ) kA dx+ dy + .
(1.122)
Abb. 1.37: Kreuzstrom mit einer
Rohrreihe als Realisierung des einseitig quervermischten Kreuzstroms.
Abb. 1.36: Temperaturverlauf bei einseitig quervermischtem Kreuzstrom. ϑ1 =
ϑ1 (x) Temperatur des quervermischten Fluids, ϑ2 = ϑ2 (x, y) Temperatur des anderen Fluids.
1.3 Wärmeübertrager
65
Eine zweite Beziehung für dQ̇ ergibt sich durch Anwenden des 1. Hauptsatzes auf
das Fluid 2, das das Flächenelement dA überströmt. Sein Massenstrom ist
dṀ2 = Ṁ2 dx/L1 = Ṁ2 dx+ ,
und es gilt
«
„
«
„
∂ ϑ2
∂ ϑ2
+
+
dQ̇ = Ṁ2 dx cp2 ϑ2 +
dy + . . . − ϑ2 = Ṁ2 cp2
dy + . . . dx+
∂y +
∂y +
+
oder
∂ ϑ2
dx+ dy + .
(1.123)
∂y +
Aus den Beziehungen (1.122) und (1.123) folgt schließlich die gesuchte Differentialgleichung
∂ ϑ2
= N2 (ϑ1 − ϑ2 ) .
(1.124)
∂y +
Ihre Lösung
ˆ
˜
+
(1.125)
ϑ2 (x+ , y + ) = ϑ1 (x+ ) − ϑ1 (x+ ) − ϑ2 e−N2 y
dQ̇ = Ẇ2
enthält noch die unbekannte Temperatur ϑ1 (x+ ) des quervermischten Fluids.
Abb. 1.38: Temperaturverlauf
in einem Streifen der Größe
L2 dx bei einseitig quervermischtem Kreuzstrom. ϑm2 (x) ist die
in y-Richtung gemittelte Temperatur des Fluids 2.
Um ϑ1 (x+ ) zu berechnen, wenden wir den ersten Hauptsatz auf das Fluid 1
an. Beim Durchströmen des Streifens der Breite dx, vgl. Abb. 1.38, gibt es den
Wärmestrom dQ̇∗ an das Fluid 2 ab, der nicht mit dQ̇ übereinstimmt. Für dQ̇∗ gilt
»
–
dϑ1
∗
dx + . . . − ϑ1 .
− dQ̇ = Ṁ1 cp1 ϑ1 +
dx
66
1 Einführung. Technische Anwendungen
Mit x+ nach (1.121) folgt
− dQ̇∗ = Ẇ1
dϑ1
dx+ .
dx+
(1.126)
Eine zweite Beziehung für dQ̇∗ ist die Gleichung für den Wärmedurchgang:
` ´˜
` ´˜
ˆ ` ´
ˆ ` ´
dQ̇∗ = ϑ1 x+ − ϑm2 x+ kL2 dx = ϑ1 x+ − ϑm2 x+ kA dx+ .
(1.127)
Hierin bedeutet
Z1
+
ϑ2 (x+ , y + ) dy +
ϑm2 (x ) =
(1.128)
+
y =0
die in y-Richtung gemittelte Temperatur des Fluids 2, die für den Wärmedurchgang
durch den Flächenstreifen L2 dx maßgebend ist. Aus (1.127) und (1.128) folgt die
gewöhnliche Differentialgleichung
dϑ1
= −N1 (ϑ1 − ϑm2 )
dx+
(1.129)
zur Bestimmung von ϑ1 (x+ ).
Aus (1.125) und (1.128) berechnen wir zunächst die Mitteltemperatur des Fluids
2 und erhalten
”
˜“
1 ˆ
.
(1.130)
ϑ1 (x+ ) − ϑ2 1 − e−N2
ϑm2 (x+ ) = ϑ1 (x+ ) −
N2
Damit ergibt sich aus (1.129) die Differentialgleichung
”`
´
dϑ1
N1 “
1 − e−N2 ϑ1 − ϑ2 .
=−
+
dx
N2
Ihre Integration zwischen x+ = 0 und x+ = 1 liefert
»
–
»
”–
N1
1 “
ϑ1 − ϑ2
−N2
−C1 N1
1
−
e
.
=
exp
−
(1
−
e
)
=
exp
−
ϑ1 − ϑ2
N2
C1
Das auf der linken Seite stehende Temperaturverhältnis stimmt mit (1 −ε1 ) überein.
Die gesuchte Betriebscharakteristik bei einseitig quervermischtem Kreuzstrom ist damit
1
(1.131)
ε1 = 1 − exp − (1 − e−C1 N1 ) .
C1
Sie gibt die bezogene Temperaturänderung des quervermischten Fluidstroms
als Funktion des Kapazitätsstromverhältnisses C1 nach (1.99) und der dimensionslosen Übertragungsfähigkeit N1 nach (1.98). Die Betriebscharakteristik
(1.131) läßt sich auch nach N1 explizit auflösen. Man erhält
N1 = −
1
ln [1 + C1 ln(1 − ε1 )] ,
C1
(1.132)
woraus sich das erforderliche kA sofort berechnen läßt. Die bezogene Temperaturänderung des quer zu der Rohrreihe strömenden Fluids ergibt sich aus
(1.101) zu
1.3 Wärmeübertrager
ε2 =
ϑm2 − ϑ2
= C1 ε1 .
ϑ1 − ϑ2
67
(1.133)
Hierin ist ϑm2 der Mittelwert der Ablauftemperatur, den man auch durch
Integration von (1.130) über x+ erhalten würde.
Der Kreuzstrom mit einer Rohrreihe wurde schon 1934 von D. M. Smith
[1.14] behandelt. Die Erweiterung dieser Aufgabe auf n hintereinander liegende Rohrreihen hat erstmals H. Schedwill [1.15] 1968 gelöst. Es ergeben
sich dabei wesentlich kompliziertere Berechnungsgleichungen als für den hier
behandelten Fall n = 1. Die Temperaturänderung ε1 mit einer über alle n
Rohrreihen gemittelten Ablauftemperatur ϑ1 wächst dabei mit der Zahl der
Rohrreihen. Die Berechnungsgleichungen findet man auch in [1.8] und [1.16].
Mit Steigerung der Anzahl n hintereinander liegender Rohrreihen nähert
man sich dem reinen Kreuzstrom, bei dem die Temperaturen beider Fluide
von x und y bzw. den dimensionslosen Koordinaten x+ und y + nach (1.121)
abhängen, vgl. Abb. 1.23. Für den Wärmestrom, der durch ein Flächenelement
mit der Größe
dA = dx dy = A dx+ dy +
vom Fluid 1 auf das Fluid 2 übertragen wird, erhält man mit der gleichen
Argumentation, die zu (1.123) führte, die folgenden Gleichungen:
dQ̇ = −Ẇ1
∂ ϑ1
dx+ dy +
∂x+
(1. Hauptsatz, angewendet auf Fluid 1),
dQ̇ = Ẇ2
∂ ϑ2
dx+ dy +
∂y +
(1. Hauptsatz, angewendet auf Fluid 2) sowie
dQ̇ = kA(ϑ1 − ϑ2 ) dx+ dy +
(Wärmedurchgang). Elimination von dQ̇ ergibt die beiden gekoppelten Differentialgleichungen
und
∂ ϑ1
= −N1 (ϑ1 − ϑ2 )
∂x+
(1.134a)
∂ ϑ2
= N2 (ϑ1 − ϑ2 )
∂y +
(1.134b)
für die Temperaturen ϑ1 = ϑ1 (x+ , y + ) und ϑ2 = ϑ2 (x+ , y + ). Sie müssen den
Randbedingungen
ϑ1 (0, y + ) = ϑ1
genügen.
und
ϑ2 (x+ , 0) = ϑ2
(1.135)
68
1 Einführung. Technische Anwendungen
W. Nußelt [1.17] hat dieses Problem durch einen Potenzreihen-Ansatz
gelöst. Mit
(1.136a)
ξ := N1 x+ = (kA/Ẇ1 )(x/L1 )
und
η := N2 y + = (kA/Ẇ2 )(y/L2 )
(1.136b)
hat die Lösung die Gestalt

∞
m
m j
η
ξ
 e−(ξ+η) ,
ϑ1 (ξ, η) = 
m!
j!
m=0
j=0


∞
m
m j
ξ
η
 e−(ξ+η) .
ϑ2 (ξ, η) = 1 − 
m!
j!
m=0
j=0
(1.137a)

(1.137b)
Mit den Mittelwerten
ϑm1
1
=
N2
N2
ϑ1 (N1 , η) dη
η=0
und
ϑm2
1
=
N1
N1
ϑ2 (ξ, N2 ) dξ
ξ=0
erhält man für die dimensionslosen Änderungen εi der beiden Fluidtemperaturen



m
m
∞
j 
j
N
(C
N
)
1 
i
i
i 

1 − e−Ni
1 − e−Ci Ni
, (1.138)
εi =

Ci Ni m=0 
j!
j!
j=0
j=0
wobei wegen der Symmetrie des Problems für i = 1 und i = 2 die formal
gleiche Beziehung gilt. Eine explizite Auflösung dieser Gleichung nach Ni ist
nicht möglich. H. Martin [1.8] hat ein überraschend kurzes Rechenprogramm
angegeben, mit dem die mittlere Temperaturdifferenz Θ = εi /Ni und damit
εi berechnet werden kann.
Für Ni → ∞ liefert der reine Kreuzstrom die Grenzwerte
1
für Ci ≤ 1
(1.139)
lim εi =
1/Ci für Ci > 1 ,
Ni →∞
die mit denen des Gegenstroms übereinstimmen. Für Ci = 0 erhält man den
Grenzwert
(Ci = 0)
(1.140)
εi = 1 − e−Ni ,
1.3 Wärmeübertrager
69
der ebenfalls mit dem in Abschnitt 1.3.3 hergeleiteten Ergebnis übereinstimmt. Das bedeutet: Wenn eines der beiden Fluide kondensiert oder verdampft, hängt die Temperaturänderung des anderen Fluids nicht von der
Stromführung (Gegenstrom, Gleichstrom oder Kreuzstrom) ab.
Für Ci = 0 und endliche Werte von Ni bleiben die bei Kreuzstrom erreichbaren Temperaturänderungen merklich hinter den mit Gegenstrom erreichbaren Temperaturänderungen zurück. Sie sind jedoch günstiger als im
Fall der Gleichstromführung. Der Vergleich der bisher behandelten einfachen
Stromführungen ist beispielhaft in Abb. 1.39 ausgeführt. Dort ist die dimensionslose Temperaturänderung ε1 über der dimensionslosen mittleren Temperaturdifferenz Θ = ε1 /N1 für das konstante Verhältnis C1 = 0,5 dargestellt.
Linien N1 = const erscheinen als ein Geradenbüschel, das durch den Koordinatennullpunkt geht. Eine vorgeschriebene Temperaturänderung ε1 , z.B.
ε1 = 0,65, erfordert die folgenden Werte der dimensionslosen Übertragungsfähigkeit: Gegenstrom (Kurve a) N1 = 1,30, Kreuzstrom (Kurve b) N1 = 1,50,
Gleichstrom (Kurve c) N1 = 2,44. Für einen Wärmeübertrager mit N1 = 3,0
erreicht man eine dimensionslose Temperaturänderung ε1 , die bei Gegenstrom
den hohen Wert 0,874 hat, bei Kreuzstrom auf 0,816 und bei Gleichstrom auf
0,660 zurückgeht.
Abb. 1.39: Vergleich verschiedener
Stromführungen im ε1 , Θ-Diagramm.
a Gegenstrom, b reiner Kreuzstrom,
c einseitig quervermischter Kreuzstrom, d Gleichstrom.
Beispiel 1.5: Der Kühler eines Kraftfahrzeugs ist ein Kreuzstrom-Wärmeübertrager, in dem das flüssige Motorkühlmittel durch eine Reihe paralleler Rohre
strömt, die an ihrer Außenseite mit Rippen versehen sind. Quer zu den Rohren
strömt die Luft. In einem bestimmten Fahrzustand ist der Volumenstrom des
Kühlmittels V̇1 = 1,25 dm3 /s; seine Dichte ist ρ1 = 1,015 kg/dm3 und seine
mittlere spezifische Wärmekapazität cp1 = 3,80 kJ/kgK. Die Luft strömt mit
in den Kühler, und es sind V̇2 = 1,100 m3 /s, ρ2 = 1,188 kg/m3
ϑ2 = 20,0
und cp2 = 1,007 kJ/kgK gegeben. Der Kühler hat die Übertragungsfähigkeit
kA = 0,550 kW/K; er soll den Wärmestrom Q̇ = 28,5 kW an die Luft übertragen.
Welche Temperaturen ϑ1 und ϑ1 des Motorkühlmittels stellen sich ein, und wie
groß ist die Temperatur ϑ2 der abströmenden Luft?
70
1 Einführung. Technische Anwendungen
Aus der Energiebilanzgleichung (1.96), nämlich aus
`
´
`
´
Q̇ = Ẇ1 ϑ1 − ϑ1 = Ẇ2 ϑ2 − ϑ2
erhält man für die Temperatur der abströmenden Luft
ϑ2 = ϑ2 + Q̇/Ẇ2
(1.141)
und für die Temperaturänderung des Kühlmittels
ϑ1 − ϑ1 = Q̇/Ẇ1 .
Damit ergibt sich aus der Definitionsgleichung (1.97) für die normierte Temperaturänderung ε1 die gesuchte Eintrittstemperatur des Kühlmittes zu
ϑ1 = ϑ2 +
ϑ1 − ϑ1
Q̇
= ϑ2 +
,
ε1
Ẇ1 ε1
(1.142)
woraus für die Kühlmittel-Austrittstemperatur
ϑ1 = ϑ1 − Q̇/Ẇ1
(1.143)
folgt. Für den hier vorliegenden Kreuzstrom mit einer Rohrreihe (einseitig quervermischter Kreuzstrom) liefert die Betriebscharakteristik (1.131) den in (1.142)
benötigten Wert
»
”–
1 “
1 − e−C1 N1
.
(1.144)
ε1 = 1 − exp −
C1
Um die Gleichungen auszuwerten, berechnen wir aus den gegebenen Daten die
Wärmekapazitätsströme des Kühlmittels,
Ẇ1 = V̇1 ρ1 cp1 = 1,25
kg
kW
dm3
kJ
· 1,015
= 4,821
,
· 3,80
s
dm3
kgK
K
und der Luft,
Ẇ2 = V̇2 ρ2 cp2 = 1,100
kg
kW
m3
kJ
· 1,188 3 · 1,007
= 1,316
.
s
m
kgK
K
Daraus erhält man die Kennzahlen
C1 = Ẇ1 /Ẇ2 = 3,664
und
C1 N1 = N2 = kA/Ẇ2 = 0,418 .
Aus der Betriebscharakteristik (1.144) folgt ε1 = 0,0890. Damit ergeben sich die
gesuchten Kühlmitteltemperaturen aus (1.142) und (1.143) zu
ϑ1 = 86,4
und
ϑ1 = 80,5
.
Es stellt sich das für den Betrieb des Motors günstige, relativ hohe Temperaturniveau des Kühlmittels ein. Die Luftaustrittstemperatur erhält man aus (1.141)
zu ϑ2 = 41,7 .