Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1 Versuchsbeschreibung und Physikalische Grundlagen
2 Ermittlung der Innenwiderstände und Betriebsgröÿen
2.1
2.2
Innenwiderstand des Voltmeters und Betriebsspannung . . . . . . . .
2.1.1 Messunsicherheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Messwertaufnahme und Regression . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Grasche Überprüfung des Regressionsanstiegs aV . . . . . .
2.1.4 Berechnung der gesuchten Werte . . . . . . . . . . . . . . . .
Innenwiderstand des Amperemeters und Stromstärke im Schaltkreis .
2.2.1 Messunsicherheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Messwertaufnahme und Regression . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Grasche Überprüfung des Regressionsanstiegs aA . . . . . .
2.2.4 Berechnung der gesuchten Werte . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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1
1
1
1
3
4
4
4
4
6
7
3 Fehler- und Ergebnisdiskussion
7
4 Literatur
8
A Datenaufnahme während des Versuchs
9
3.1
3.2
3.3
Güte der Regressionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
1 Versuchsbeschreibung und Physikalische Grundlagen
Im zu bearbeitenden Experiment sollen der Innenwiderstand eines Volt-, sowie eines Amperemeters
bestimmt werden. Dazu werden im ersten Teil des Versuchs verschiedene Widerstände in Reihe zum
Voltmeter geschaltet, bei konstanter Betriebsspannung UB die am Innenwiderstand abfallende Spannung UV gemessen und aus der Beziehung der Gröÿen per Regression der Innenwiderstand ermittelt.
Der zweite Teil des Versuches besteht aus der Parallelschaltung der variablen Widerstände zum Messgerät. In Abhängigkeit dieser Widerstände wird dann der am Innenwiderstand RA des Amperemeters
herrschende Strom IA gemessen. Wiederum wird dann durch eine Regression der Innenwiderstand ermittelt.
Eine detaillierte Versuchsbeschreibung ndet sich in [1], S.6-8.
2 Ermittlung der Innenwiderstände und Betriebsgröÿen
2.1 Innenwiderstand des Voltmeters und Betriebsspannung
2.1.1 Messunsicherheiten
Der Ablesefehler des Voltmeters beträgt ez,U = 0.2 V. Nach Angaben des Herstellers ist jeder Wert
zusätzlich mit einem systematischen Fehler von 2.5% des Messbereichs behaftet. Da der Messbereich
stets bei Umax = 25 V lag, ist der systematische Fehler ez,U = 0.6 V. Die Messunsicherheit der Spannung
beträgt damit
q
uU = e2z,U + e2s,U
= 0.7 V.
Die verwendeten Widerstände sind nach [2], S.19 mit einer Unsicherheit von
uR = 0.02 Ω + 0.0003 · R.
behaftet. Der relative Fehler besitzt demnach eine Gröÿe von
uR
2Ω
=
+ 0.03 %.
R
R
Da die Widerstände im Bereich von 0.5 kΩ < R < 50 kΩ varriieren, sind die relativen Unsicherheiten
stets ≤ 0.04% und damit vernachlässigbar.
2.1.2 Messwertaufnahme und Regression
Nun wurden in Abhängigkeit der zugeschalteten Widerstände Rx die am Voltmeter abfallende Spannung UV gemessen. Die am Spannungserzeuger angezeigte Betriebsspannung betrug
UB = (19.6 ± 0.1) V.
Für die Schaltung in [1], S.8, Abb.2a ist der Strom am Innenwiderstand RV gleich groÿ mit dem
Gesamstrom. Es gilt
IV = I0
UV
UB
=
RV
RV + Rx
1
1 Rx
1
=
+
.
UV
UB RV UB
1
Die gemessenen Spannungswerte müssen also reziprok betrachtet werden. Mit Gauÿ'scher Fehlerfortpanzung erfolgt die Umrechnung als
1
U
V −
uU
∂UV 1
· uUV = 2V .
u1/UV = ∂UV
UV
UV−1 =
(1)
Die Messwerte und umgerechneten Gröÿen sind in Tabelle 1 ersichtlich.
Zugeschalteter
Widerstand
Rx [ kΩ]
0.5
2.0
9.0
15.0
21.0
27.0
33.0
39.0
45.0
50.0
Spannungsabfall
UV [V]
19.3
18.2
15.0
12.5
11.0
9.8
8.9
8.0
7.3
7.0
Zugehörige
Unsicherheit
uUV [V]
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
Reziproker Spannungsabfall
UV−1 [1/V]
0.052
0.055
0.067
0.080
0.091
0.102
0.112
0.13
0.14
0.14
Zugehörige
Unsicherheit
u1/UV [1/V]
0.002
0.002
0.003
0.004
0.006
0.007
0.009
0.01
0.02
0.02
Tabelle 1: Werteaufnahme für Voltmeterschaltung
Wenn man U1V als Ordinaten- und Rx als Abszissenwerte betrachtet, kann mit den Parametern
1
UB
1
aV =
UB RV
bV =
eine lineare Regression der Form
UV−1 (Rx ) = aV · Rx + bV
durchgeführt werden. Die mit dem Programm QtiPlot vollzogene Regression sowie aufgetragene Messwerte nden sich in Abb. 1. Das Regressionsprogramm liefert die Werte
aV = (1.88 ± 0.02) · 10−6
bV = (5.09 ± 0.03) · 10−2
A
V2
1
.
V
und
Weitere Werte, die zur Bewertung der Güte der Regression von Bedeutung sind, lauten
Bestimmtheitsmaÿ R2 = 0.999,
Chi-Quadrat (QtiPlot) χ2 /d.o.F. = 0.04,
Chi-Quadrat (nach [3]) χ2 /d.o.F. = 395/8 = 50.
Diese Gröÿen werden später diskutiert.
2
(2)
(3)
0
104
2x104
3x104
4x104
5x104
Spannung am Innenwiderstand UV [1/V]
0,16
0,16
Messwerte
Regression der Form
UV-1(R x) = aV · R x + bV, mit
aV = ( 1.88 ± 0.02 ) · 10-6 A/V 2
bV = ( 5.09 ± 0.03 ) · 10-2 1/V
0,14
0,12
0,14
0,12
0,1
0,1
0,08
0,08
0,06
0,06
0,04
0,04
0
104
2x104
3x104
4x104
5x104
Zugeschalteter Widerstand Rx [Ω]
Abbildung 1: Regression für Voltmeterschaltung
2.1.3 Grasche Überprüfung des Regressionsanstiegs aV
Die in Abb. 1 gestrichelt dargestellten Strecken entsprechen dem Verlauf von Regressionsgeraden maximalen, bzw. minimalen Anstiegs im Bereich 0.5 kΩ < Rx < 50 kΩ. Entnimmt man der Grak
die Koordinaten der Endpunkte, lassen sich mithilfe eines Steigungsdreiecks diese Anstiege nun leicht
ermitteln:
∆RV,max = 50 kΩ − 0.5 kΩ = 49.5 kΩ
−1
∆UV,max
= 1.56 · 10−1 − 4.96 · 10−2 = 1.06 · 10−1
aV,max =
∆RV,max
A
= 2.14 · 10−6 2
−1
V
∆UV,max
1
V
∆RV,min = 50 kΩ − 0.5 kΩ = 49.5 kΩ
−1
∆UV,min
= 1.30 · 10−1 − 5.30 · 10−2 = 7.70 · 10−2
aV,min =
∆RV,min
A
= 1.55 · 10−6 2
−1
V
∆UV,min
aV = (aV,max + aV,min )/2 = 1.8 · 10−6
uaV = (aV,max − aV,min )/2 = 0.3 · 10−6
aV,grasch = (1.8 ± 0.3) · 10−6
A
.
V2
Das Ergebnis ist mit dem Ergebnis der Regression konsistent.
3
A
V2
A
V2
1
V
2.1.4 Berechnung der gesuchten Werte
Aus den oben genannten Beziehungen 2 und 3 folgen die Formeln
1
bV
bV
RV =
,
aV
UB =
deren Unsicherheiten ergeben sich aus dem Gauÿ'schem Fehlerfortpanzungsgesetz, wobei für RV ein
Korrelationsterm hinzukommt, da die Regressionsparameter aV und bV mit dem Korrelationskoezienten R = 1 voneinander abhängen:
−
∂bV 1
ub
uUB = · uUB = 2V
∂bV
bV
s
2 2
∂RV
∂RV
∂RV ∂RV
· uaV +
· ubV + 2 · uaV uaV
uRV =
∂aV
∂bV
∂bV ∂aV
s
2 2
bV
ubV
b · uaV
=
+
− 2 · uaV ubV 3 .
2
aV
aV
aV
Damit ergeben sich für Betriebsspannung und Innenwiderstand
UB = (19.7 ± 0.1) V,
RV = (27.0 ± 0.2) kΩ.
2.2 Innenwiderstand des Amperemeters und Stromstärke im Schaltkreis
2.2.1 Messunsicherheiten
Die Unsicherheit des Widerstandes Rx ist wie im ersten Teil des Experimentes und wiederum vernachlässigbar. Die Stromstärke besitzt einen zufälligen Fehler von ez,I = 2 µA, die systematische
Unsicherheit ist gegeben als es,I = 1.5% · Messbereich, wobei der Messbereich den ganzen Versuch
über als Imax = 100 µA gegeben war, der Fehler also stets es,I = 1.5 µA betrug. Damit beträgt die
Messunsicherheit jeglicher Strommessung
q
uI = e2z,I + e2s,I
= 3 µA.
2.2.2 Messwertaufnahme und Regression
Zu Beginn wurde ohne zugeschalteten Widerstand Rx gemessen, sodass der gemessene Strom im Stromkreis I0 entspricht. Die Messung ergab
I0 = (76 ± 3) µA.
Für die in [1], S.8, Abb.2b aufgebaute Schaltung ist die Spannung am parallel geschalteten Widerstand gleich der Spannung am Strommessgerät, woraus sich eine regressionsfähige Beziehung mit den
Messwerten Rx und IA ergibt
UA = Ux
IA RA = Ix Rx ,
mit
1
1 RA
1
=
+ .
IA
I0 Rx
I0
I0 = Ix + IA
4
folgt
Zugeschalteter
Widerstand
Rx [ kΩ]
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.2
1.6
2.5
5.0
10.0
50.0
Reziproker
Widerstand
1/Rx [1/ kΩ]
2.00
1.67
1.43
1.25
1.11
0.83
0.63
0.40
0.20
0.10
0.02
Zugehörige
Unsicherheit
uIA [ µA]
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Stromstärke
IA [ µA]
24
28
30
32
35
40
45
53
62
69
75
Reziproke
Stromstärke
1/IA [1/ µA]
0.042
0.036
0.033
0.031
0.029
0.025
0.022
0.019
0.016
0.014
0.013
Zugehörige
Unsicherheit
u1/IA [1/ µA]
0.005
0.003
0.003
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
Tabelle 2: Werteaufnahme für Amperemeterschaltung
Von Strom- und Widerstandswerten müssen folglich die Kehrwerte gebildet werden. Die Unsicherheit
des Stromes panzt sich analog zu (1) fort. Die gemessenen und umgerechneten Werte nden sich in
Tabelle 2.
−1
Mit IA
als Ordinaten-, Rx−1 als Abszissenwerte und den Parametern
1
,
I0
RA
bA =
I0
aA =
ergibt sich als Regressionsfunktion
−1
IA
(Rx−1 ) = aA · Rx−1 + bA .
Eine mit QtiPlot durchgeführte Regression liefert Abb. 2 und die Werte
V
A2
1
bA = (1.30 ± 0.07) · 104 .
A
aA = (14.2 ± 0.4) · 106
Weitere Werte von Bedeutung sind
Bestimmtheitsmaÿ R2 = 0.999,
Chi-Quadrat (QtiPlot) χ2 /d.o.F. = 0.44,
Chi-Quadrat (nach [3]) χ2 /d.o.F. = 0.63/9 = 0.07.
5
und
(4)
(5)
0
5,0x10-4
1,0x10-3
1,5x10-3
2,0x10-3
Inverser an RA abfallender Strom IA [A -1]
5,0x104
5,0x104
Messwerte
Regression der Form
IA-1(R x-1) = aA · R x-1 + bA, mit
aA = ( 14.2 ± 0.4 ) MV/A 2
bA = ( 1.30 ± 0.07 ) · 104 1/A
4,5x104
4,0x104
4,5x104
4,0x104
3,5x104
3,5x104
3,0x104
3,0x104
2,5x104
2,5x104
2,0x104
2,0x104
1,5x104
1,5x104
1,0x104
1,0x104
0
5,0x10
-4
1,0x10
-3
1,5x10
-3
Inverser zugeschalteter Widerstand Rx -1 [Ω-1]
Abbildung 2: Regression für Amperemeterschaltung
2.2.3 Grasche Überprüfung des Regressionsanstiegs aA
Die Überprüfung läuft analog zu Abschnitt 2.1.3.
−1
∆Rx,max
= 2.00 kΩ−1 − 0.02 kΩ−1 = 1.98 kΩ−1
1
−1
∆IA,max
= 4.59 · 104 − 1.28 · 104 = 3.31 · 104
A
−1
∆Rx,max
V
aA,max =
= 1.67 · 107 2
−1
A
∆IA,max
−1
∆Rx,min
= 2.00 kΩ−1 − 0.02 kΩ−1 = 1.98 kΩ−1
1
−1
∆IA,min
= 3.74 · 104 − 1.38 · 104 = 2.36 · 104
A
−1
∆Rx,min
V
= 1.19 · 107 2
aA,min =
−1
A
∆IA,min
V
A2
V
uaA = (aA,max − aA,min )/2 = 2.4 · 106 2
A
aA = (aA,max + aA,min )/2 = 1.4 · 107
aV,grasch = (14 ± 3) · 106
V
.
A2
Das Ergebnis ist mit dem Ergebnis der Regression konsistent.
6
2,0x10
-3
2.2.4 Berechnung der gesuchten Werte
Aus (4) und (5) folgen die Berechnungsformeln
1
bV
aA
RA =
,
bA
I0 =
deren Unsicherheiten ergeben sich aus dem Gauÿ'schem Fehlerfortpanzungsgesetz. Wiederum muss
für RA ein Korrelationsterm beachtet werden, da die Regressionsparameter aV und bV mit dem Korrelationskoezienten R = 1 voneinander abhängen:
∂b−1
u
A
b
uI0 = · uI0 = 2A
∂bA
bA
s
2 2
∂RA
∂RA
∂RA ∂RA
uRA =
· ubA +
· uaA + 2 · ubA ubA
∂bA
∂aA
∂aA ∂bA
s
b · ubA 2
aA
uaA 2
+
=
− 2 · ubA uaA 3 .
bA
b2A
bA
Damit ergeben sich für Betriebsspannung und Innenwiderstand
I0 = (77 ± 4) µA,
RA = (1.09 ± 0.03) kΩ.
3 Fehler- und Ergebnisdiskussion
3.1 Güte der Regressionen
Der Vergleich zwischen den χ2 aus QtiPlot und errechnet nach einer im EDV-Kurs erlernten Formel
für das χ2 einer linearen Regression [3] zeigt, dass erhebliche Unterschiede vorliegen. De facto ist nicht
bekannt, was das von QtiPlot errechnete χ2 /d.o.F anzeigt. Doch auch die mit [3] berechneten Werte
stimmen nicht mit dem Erlernten überein, das besagt, dass eine gute Regression einen χ2 /d.o.F-Wert
nahe 1 besitzt. Dementsprechend kann nur das Bestimmtheitsmaÿ zur Prüfung der Regression verwendet werden. Nach [2], S.45 und [4] hat eine Regression eine niedrige Irrtumswahrscheinlichkeit, je höher
das Bestimmtheitsmaÿ ist. Da die für dieses Experiment entwickelten Regressionen Bestimmtheitsmaÿe
von R2 = 0.999 besitzen, kann mit hoher Sicherheit angenommen werden, dass das Experiment mit
dem Modell einer linearen Abhängigkeit übereinstimmt.
3.2 Ergebnisse
Die Ergebnisse der Betriebsgröÿen sind untereinander konsistent. Dies lässt vermuten, dass keine systematischen Fehler vorlagen, die das Experiment beeinträchtigten. Auch die ermittelten InnenwiderRA
stände scheinen realistisch, da R
V = 4%, der Innenwiderstand des Voltmeters gegenüber dem des
Amperemeters also viel gröÿer ist. Allerdings scheint der Innenwiderstand des Amperemeters trotzdem
sehr hoch, der des Voltmeters gering im Vergleich zum Experiment E8 (RV ≈ 7.3 MΩ). Dies lässt vermuten, dass für den Lehrbetrieb extra Widerstände zugeschaltet bzw. entfernt wurden, um im Rahmen
des Praktikums angemessene Ergebnisse zu erhalten.
3.3 Fehler
Die Unsicherheiten der Endwerte sind nur abhängig von der Regression und möglicherweise zu minimieren durch genauere Messgeräte, die den systematischen sowie zufälligen Fehler durch eine feinere
7
Messskala geringer halten. Die Widerstände von hinzugeschalteten Kabeln wurden vernachlässigt, wobei diese nur bei wenigen Ω liegen und somit tatsächlich vernachlässigbar sind. Alles in allem halte
ich dieses Experiment jedoch für eine wirkungsvolle Methode, den Innenwiderstand von Messgeräten
zu bestimmen.
4 Literatur
[1] Skript: Physikalisches Grundpraktikum - Elektrodynamik und Optik von Dr. Uwe Müller, Berlin
2005
[2] Skript: Physikalisches Grundpraktikum - Einführung in die Messung, Auswertung und Darstellung
experimenteller Ergebnisse in der Physik von Dr. Uwe Müller, Berlin 2007
[3] Chi-Quadrat http://www-com.physik.hu-berlin.de/bunk/kurs/matlab/uebungen.pdf,
Prof.
Bunk, Humboldt-Universität zu Berlin, Stand: 6.1.2009
[4] Bestimmtheitsmaÿ http://de.wikipedia.org/wiki/Bestimmtheitsma%C3%9F, Wikipedia Foundation, Stand: 6.1.2009
8
A Datenaufnahme während des Versuchs
9