Experimentalphysik VI - Institut für Theoretische Physik I

Dr. Holger Cartarius, Universität Stuttgart
Einführung in relativistische Quantenfeldtheorien
Stuttgart, Wintersemester 2014 / 2015
Revision: 6. August 2015
Für Hinweise auf Druckfehler und Kommentare jeder Art bin ich dankbar.1
1
Henri Menke, [email protected]
Übertragung in LATEX durch Henri Menke, Michael Schmid, Marcel Klett und Jan Schnabel.
Dieses Werk ist unter einer Creative Commons Lizenz vom Typ Namensnennung - Nichtkommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland zugänglich. Um
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Kurze Einführung in die relativistische Quantenmechanik 1
1.1 Grundlagen der SRT 1
1.1.1 Experimentelle Tatsachen und Konsequenzen 1
1.1.2 Geeignete Notation 2
1.1.3 Lorentztransformation 3
1.1.4 Relativistische Kinematik 3
1.2 Die Klein-Gordon-Gleichung 5
1.3 Die Dirac-Gleichung 7
1.3.1 Kontinuitätsgleichung 10
1.3.2 Ruhende Teilchen 10
1.3.3 Bedeutung der Zustände negativer Energie 11
1.3.4 Im elektromagnetischen Feld 12
2 Felder und deren Quantisierung 15
2.1 Ein Beispiel aus der Mechanik 15
2.2 Lagrangeformalismus für allgemeine Felder 17
2.3 Feldquantisierung 19
2.3.1 Zurück zum mechanischen Beispiel 19
2.3.2 Verallgemeinerung 21
2.4 Symmetrien und Erhaltungssätze 21
3 Quantisierung freier relativistischer Felder 23
3.1 Klein-Gordon-Feld 23
3.1.1 Motivation der Herangehensweise 23
3.1.2 Kanonische Variablen 23
3.1.3 Quantisierung der Klein-Gordon-Gleichung 25
3.1.4 Eigenzustände des Hamiltonoperators und deren Interpretation 27
3.2 Das Dirac-Feld 31
3.2.1 Kanonische Variablen 31
3.2.2 Quantisierung 32
3.3 Maxwell-Feld 34
3.3.1 Maxwell-Gleichungen und Eichfreiheit 34
3.3.2 Kanonische Variablen 35
3.3.3 Quantisierung 36
4 Behandlung von Wechselwirkungen 39
4.1 Motivation 39
4.1.1 Geladenen Fermionen 39
4.1.2 Lagrangedichten für Wechselwirkungen 39
4.1.3 Modellpotential 40
4.2 Formalismus zur Behandlung von Wechselwirkungen 40
4.2.1 Zeitentwicklung und Wechselwrikungsbild 41
QFT
iii
Inhaltsverzeichnis
4.2.2 Störungsrechnung 42
4.2.3 Die Streumatrix 43
4.2.4 Wicksches Theorem 45
4.3 Propagatoren 47
4.3.1 Feynman-Propagator für das Klein-Gordon-Feld 47
4.3.2 Dirac- und Maxwellfeld 50
5 Quantenelektrodynamik 51
5.1 Wechselwirkungsterm 51
5.1.1 Streumatrix 51
5.1.2 Rechtfertigung der Störungsreihe 52
5.2 Feynman-Diagramme 52
5.3 Ein Prozess erster Ordnung 54
5.3.1 Beitrag zur Streumatrix 54
5.3.2 Verschwinden der Matrixelemente 55
5.3.3 Externe elektromagnetische Felder 56
5.4 Feynman-Regeln 57
5.5 Ausgewählte Prozesse 2. Ordnung 58
5.5.1 Streumatrix 2. Ordnung 58
5.5.2 Vorkommende Prozesse 59
5.5.3 Elektron-Elektron-Streuung (Møller-Streuung) 60
5.6 Wirkungsquerschnitte 62
5.7 Korrekturen höherer Ordnung 62
5.7.1 Divergenzen 63
5.7.2 Problemloses Beispiel: Photon-Photon-Streuung 64
5.7.3 Verbleibende divergente Terme 64
5.8 Ideenskizze zur Regularisierung und Renormierung 65
5.8.1 Ansätze zur Regularisierung 65
5.8.2 Konvergente Matrixelemente durch Renormierung 66
5.8.3 Anmerkungen 68
5.9 Folgen der Korrekturen in der Quantenelektrodynamik 68
6 Symmetriegruppen und Gruppierung der Elementarteilchen 71
6.1 Definitionen 71
6.2 Matrixgruppen 72
6.2.1 Beispiel: Gruppen U (2) und SU (2) 72
6.3 Isospin 73
6.4 Die unitäre Symmetrie SU (3) 75
6.5 Quarks 75
6.6 Quarksorten 76
6.7 Farbladung 77
7 Eichinvarianz und Eichfelder 79
7.1 Eichinvarianz des Klein-Gordon-Feldes 79
7.2 Invarianz des Yang-Mills-Feldes 81
iv
QFT
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1
Kurze Einführung in die
relativistische Quantenmechanik
1.1 Grundlagen der SRT
1.1.1 Experimentelle Tatsachen und Konsequenzen
Experimente zeigen, dass die Lichtgeschwindigkeit endlich ist und in jedem Inertialsystem
zum gleichen Wert gemessen wird. Dies widerspricht jedoch der Galileitransformation,
denn nach dieser berechnet sich im Falle zweier zueinander bewegter Koordinatensysteme
(siehe Abbildung 1)
r 0 = r − a − ut ,
(1.1a)
ṙ 0 = ṙ − u .
(1.1b)
Auch die elektromagnetischen Felder transformieren sich nicht nach der Galileitransformation, sondern nach der Lorentztransformation, andernfalls müssten in jedem Inertialsystem
die Maxwellgleichungen anders lauten.
Einstein, 1905: Anwendung der Lorentztransformation auf die Mechanik gibt die richtige
Physik wieder.
(
Für das genannte Beispiel lautet die Lorentztransformation
β
t0 = γ t − x ,
c
(1.2a)
x 0 = −γβct + γx ,
(1.2b)
K0
K
y0
y
u
r0
r
x0
a + ut
x
Galileitransformation von Inertialsystem K nach K 0 . Das Inertialsystem K 0 bewege sich mit
u = u0 e x relativ zu K.
I1
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1
1.1 | Gru n d l ag e n d e r S RT
wobei
β=
u
,
c
γ= p
(1.2c)
1
1 − β2
.
(1.2d)
Es zeigt sich, dass sowohl die Zeit als auch der Ort transformiert werden müssen.
1.1.2 Geeignete Notation
Da die Zeit kein geeigneter Bahnparameter ist, fassen wir diese mit dem Ort zu einem
Vierervektor zusammen
   0
x
ct
 x   x1 
ct
µ



x =   =  2
=
y
r
x 
z
x3
(1.3)
Dabei gilt meist:
I
griechische Indizes zählen von 0 . . . 3 ,
I
lateinische Indizes zählen von 1 . . . 3 .
Ein kontravarianter Vektor wird durch x µ beschreiben. Das zugehörige Element im Dualraum,
der kovariante Vektor wird mit xµ bezeichnet.
Die Metrik der SRT ist

η µν = ηµν
1
0

=
0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
0

0
0 
 .
0 
−1
(1.4)
Mit ihr wechselt man von kontra- zu kovarianten Komponenten und vice versa,
xµ = ηµν x ν
und
x µ = η µν xν .
(1.5)
Für das Skalarprodukt gilt in dieser Schreibweise
xµ yµ = xµ η µν yν
= x µ ηµν yν
= x 0 y0 − x 1 y1 − x 2 y2 − x 3 y3 .
2
(1.6)
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1.1.3 Lorentztransformation
Das vorherige Beispiel aus den Gleichungen (1.1a) bis (1.1b) lautet in der Vierer-Schreibweise
 0 
 
ct
γ
− βγ 0 0
ct
0
 x  − βγ
 
γ
0 0
 0 = 
x.
(1.7)
y   0
0
1 0  y 
0
z
0
0
0 1
z
|
{z
}
Λx
Die Lorentztransformationen bilden ein Gruppe. In der Matrixschreibweise erfüllen sie
Λ T ηΛ = η ,
(1.8a)
Λµ $ ηµν Λν σ = η$σ
(1.8b)
mit
µ T
Λµ $ = Λ$
.
Ein Vektor oder Lorentzvektor transformiert sich nach einer Lorentztransformation
x 0 = Λµ ν x ν .
µ
(1.9)
Bei Tensoren höherer Stufe transformiert sich jeder Index nach der Form (1.9)
A0αβγ δε = Λα µ Λ β ν Λγ ξ Λδ Λε σ Aµνξ $σ .
$
(1.10)
Eine invariante skalare Größe unter Lorentztransformation wird als Lorentzskalar bezeichnet,
der zum Beispiel aus der Kontraktion zweier Vektoren gebildet werden kann,
µ
µ
ν
x 0 x 0 µ = x 0 ηµν x 0
(1.9)
= Λµ $ ηµν Λν σ x $ x σ
(1.8b)
= η$σ x $ x σ
= x $ xσ .
(1.11)
1.1.4 Relativistische Kinematik
Ein wichtiger Lorentzskalar ist das Längenelement mit dem man die Abstände zwischen
zwei Punkten der Raumzeit misst,
ds2 = c2 dτ 2 = dx µ dxµ
= c2 dt2 − dr 2
= (dx0 )2 − (dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2 .
(1.12)
Daraus folgt, dass τ invariant unter Lorentztransformation ist (Lorentzskalar).
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3
1.1 | Gru n d l ag e n d e r S RT
In einem Koordinatensystem, in dem man sich selbst nicht bewegt (dxi = 0) gilt
c2 dτ 2 = c2 dt2 ,
Die Variable τ hat hier die Bedeutung der Zeit. Sie wird daher als Eigenzeit bezeichnet.
In diesen Zusammenhang stellt sich die Frage nach einer sinnvollen Definition einer
Geschwindigkeit. Diese sollte die folgenden Eigenschaften erfüllen:
I
Sie sollte ein Vierervektor sein.
I
Ableitungen von x µ nach t kommen nicht in Frage, diese sind keine Lorentzskalare.
I
Eine Ableitung nach τ ist jedoch möglich:
d µ
d ct
x =
dτ
dτ r
!
dt c
c dt
.
= drdτdt =
dτ ṙ
dt dτ
uµ =
(1.13a)
Mit
c2
dτ
dt
2
dτ
dt
2
(1.12) 2
= c − ṙ 2 = c2 − v2 ,
= 1−
v 2
c
,
dt
=γ,
dτ
c
=⇒ uµ = γ
.
v
=⇒
(1.13b)
(1.13c)
Damit sind wir in der Lage, einen Viererimpuls zu identifizieren,
c
mγc
pµ = muµ = mγ
=
.
v
p
(1.14)
Hierbei haben wir p = mγv für den räumlichen Anteil verwendet. Betrachten wir nur die
nullte Komponente, d.h.
p0 = mγc
p0 c = mγc2 = q
mc2
1−
v2
c2
≈ mc2 +
mv2
+...
2
Die Entwicklung in eine Taylorreihe zeigt, dass wir die Ruheenergie, die kinetische Energie
eines Teilchens und relativistische Korrekturen erhalten. Somit ergibt sich eine sinnvolle
Definition der Energie. Man interpretiert entsprechend
p0 =
4
E
c
(1.15)
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mit der Energie E einer Punktmasse. Daraus folgt
pµ pµ =
E2
2
2 2
2
2
−
p
=
m
γ
c
−
v
= m2 c2 .
c2
Somit sind wir in der Lage, die relativistische Energie-Impuls Beziehung anzugeben:
E2 = m2 c4 + c2 p2 ,
q
E = m2 c4 + c2 p2 .
(1.16a)
(1.16b)
1.2 Die Klein-Gordon-Gleichung
Die Schrödingergleichung kann aus Sicht der Relativitätstheorie nicht korrekt sein, denn
sie ist nicht invariant unter einer Lorentztransformation. Diese wurde gerade aus der
klassischen Energie-Impuls-Beziehung
E=
p2
+ V (r ) = H (r, p)
2m
(1.17)
unter Verwendung der Jordanschen Ersetzungsregeln
E → ih̄∂t ,
p→
h̄
∇
i
(1.18)
motiviert.
Aufstellen einer Lorentz-invarianten quantenmechanischen Gleichung:
Verwende die Ersetzungsregeln (1.18) in der relativistischen Energie-Impuls Beziehung (1.16a),
aber nicht (1.16b), da sonst die Wurzel aus einem Differentialoperator benötigt wird (unendlich hohe Ableitungen):
h
i
−h̄2 ∂2t ψ = m2 c4 − h̄2 c2 ∇2 ψ
(1.19)
Wir erhalten die Klein-Gordon-Gleichung.
Diese Schreibweise lässt sich noch vereinfachen
∂2
1 2
∂ t − ∇2 =
− ∂2x − ∂2y − ∂2z
2
c
∂(ct)2
= ∂µ ηµν ∂ν
= ∂µ ∂µ
(1.20)
oder mit dem D’Alembert-Operator
µ
≡ ∂µ ∂
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(1.21)
5
1.2 | D i e K l e i n- Go r d o n - Gl e i c h u n g
erhalten wir
mc 2 ∂µ ∂µ +
ψ=0
h̄
mc 2
ψ = 0.
=⇒ +
h̄
=⇒
(1.22a)
(1.22b)
Dies ist die eigentliche Darstellung der Klein-Gordon-Gleichung. Sie besitzt folgende
unerwünschte Eigenschaften:
I
Lösung ist das Skalarfeld ψ. Die Lösungen beschreiben ein Teilchen ohne Spin, d.h.
wir erhalten keine geeignete Gleichung zur Beschreibung eines Elektrons.
I
Als Lorentzskalar ist dieses ψ invariant unter Lorentztransformationen.
I
Anders als in der Quantenmechanik gefordert, benötigt man zwei Anfangsbedingungen, nämlich
ψ(r, t = 0) = . . . ,
ψ̇(r, t = 0) = . . . ,
um die Zeitentwicklung berechnen zu können, d.h. es tritt ein Widerspruch zu den
Postulaten der Quantenmechanik auf!
I
Die Lösungen ψ können auf negative Wahrscheinlichkeitsdichten führen. Dies ist
jedoch problematisch für die Interpretation der Wellenfunktion!
Energiespektren (freies Teilchen)
Die Klein-Gordon-Gleichung (1.22b) besitzt als freie Lösung die ebenen Wellen
i
ψ(r, t) = e h̄ ( Et− pr )
(1.23a)
mit
E=±
q
p2 c2 + m2 c4 ,
(1.23b)
d.h. zu jedem Impuls p oder Wellenvektor k = p/h̄ gibt es,
I
eine Lösung positiver Energie,
I
eine Lösung negativer Energie.
In Abbildung 2 ist dies veranschaulicht. Für die Energie sind Werte von E → −∞ möglich,
d.h. es liegt ein Stabilitätsproblem vor!
6
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kontinuierliches Spektrum
E
Gültigkeitsbereich
der Schrödingergleichung
+mc2
Beispiele für Energieniveaus gebundener Zustände
−mc2
I2
Energiespektrum: Lösung der Klein-Gordon-Gleichung im Fall eines freien Teilchens.
1.3 Die Dirac-Gleichung
Einige Probleme der Klein-Gordon-Gleichung lassen sich beseitigen, wenn man eine
Differentialgleichung erster Ordnung findet. Diese wurde 1928 von P. Dirac aufgestellt. Die
Forderungen an diese Gleichung sind:
I
relativistische Kovarianz,
I
nur Ableitungen erster Ordnung treten auf,
I
die Lösungen ψ der neuen Gleichung müssen auch die Klein-Gordon-Gleichung
erfüllen,
I
die Gleichung muss eine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte ergeben.
Bemerkung: Hier wird eine Argumentation zum Aufstellen der Dirac-Gleichung aufgeführt,
wie sie etwa im Anhang des Lehrbuches von F. Schwabl (siehe Literaturverzeichnis)
zu finden ist. Sie entspricht nicht dem üblichen Weg, der aber bereits Bestandteil der
Kursvorlesungen ist.
(
Ausgangspunkt der Argumentation sei das freie Teilchen in der Schrödingergleichung
p2
,
2m
(1.24)
(σ · a)(σ · b) = a · b + iσ ( a × b)
(1.25)
H=
wobei wir die Relation
zum Umschreiben des Hamiltonoperators verwenden. Der Vektor σ besitzt die PauliMatrizen als Einträge, d.h.
 
σx
σ =  σy  .
σz
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7
1.3 | D i e D i rac- G l e i c h u n g
Man kann dann schreiben
H=
(σ · p)(σ · p) (1.25) p2
p2
1
=
+ iσ ( p × p)
=
.
2m
2m
2m
| {z } 2m
(1.26)
=0
Nach dem Prinzip der minimalen Ankopplung erfolgt die Ersetzung
p → p − eA ,
H → H + eφ
(1.27)
für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld. Im gerade gefundenen Ansatz
ergibt sich damit
1
[σ · ( p − eA)] [σ · ( p − eA)] + eφ
2m
i
(1.25) 1
=
( p − eA)2 +
σ [( p − eA) × ( p − eA)] + eφ
2m
2m
1
eh̄
=
( p − eA)2 −
σ · B + eφ.
2m
2m
H=
(1.28)
Dies ist die Pauli-Gleichung, sie entspricht dem nicht relativistischen Grenzfall der DiracGleichung.
Ähnlich lässt sich die relativistische Energie-Impuls-Beziehung behandeln.
E2
E
E
−σ·p
+ σ · p = 2 − (σ · p)(σ · p)
c
c
c
(1.25)
=
E2
− p2
c2
(1.16a)
= m2 c2 .
Mit den Jordanschen Ersetzungsregeln erhält man
ih̄
ih̄
∂t + σ · ih̄∇
∂t − σ · ih̄∇
ϕ = m2 c2 ϕ .
c
c
|{z}
|{z}
− ϕ1
|
{z
=−mcϕ2
(1.29)
− ϕ1
}
Mit den beiden zweikomponentigen Spinoren ϕ1 und ϕ2 erhalten wir zwei gekoppelte
Differentialgleichungen erster Ordnung,
∂
ih̄
− σ · ∇ ϕ1 = mcϕ2 ,
(1.30a)
∂(ct)
∂
ih̄
+ σ · ∇ ϕ2 = mcϕ1 .
(1.30b)
∂(ct)
Mit der Schreibweise σ · ∇ = σi ∂i und ∂/∂(ct) = ∂0 folgt für (1.30b) − (1.30a) und
−(1.30b) − (1.30a)
h
i
ih̄ ∂0 ( ϕ2 − ϕ1 ) + σi ∂i ( ϕ2 + ϕ1 ) = .mc( ϕ2 − ϕ1 ),
(1.31a)
h
i
−ih̄ ∂0 ( ϕ2 + ϕ1 ) + σi ∂i ( ϕ2 − ϕ1 ) = −mc( ϕ2 + ϕ1 ).
(1.31b)
8
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Mit dem Vierer-Spinor
ψ=
ϕ2 − ϕ1
ϕ2 + ϕ1
(1.32)
ergibt sich
ih̄
1
0
σi
0
0
0
∂ +
−1 0
−σi
mc
∂i −
ψ=0
ih̄
(1.33)
oder
h
iγµ ∂µ −
mc i
ψ=0
h̄
mit
γ0 =
γi =
1
0
0
−1
0
−σi
σi
0
,
(1.34a)
.
(1.34b)
Dies ist die Dirac-Gleichung für ein freies Teilchen. Eine andere Schreibweise ist
ih̄∂t ψ =
h̄c k
α ∂k + βmc2 ψ
i
(1.35a)
mit
1
0
0
,
−1
0 σi
αi = βγi =
.
σi 0
β=
(1.35b)
Eine besonders kompakte Schreibweise ergibt sich unter Verwendung des Feynman-Dagger
Symbols
γ0
∂t + γ∇
c
p = γµ p̂µ = γ0 p̂0 + γi p̂i .
/̂
/
∂ = γµ ∂µ =
Damit folgt also
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p − mc) ψ(r, t) = 0 ,
(/̂
mc i/
∂−
ψ(r, t) = 0 .
h̄
(1.36)
(1.37)
9
1.3 | D i e D i rac- G l e i c h u n g
1.3.1 Kontinuitätsgleichung
Multipliziere Gleichung (1.35a) von Links mit ψ† = ψ1∗ , ψ2∗ , ψ3∗ , ψ4∗
ih̄ψ† ∂t ψ =
h̄c † k
ψ α ∂k ψ + mc2 ψ† βψ
i
(1.38a)
Die dazu konjugiert-komplexe Relation ist:
−ih̄
†
∂ψ†
h̄c ψ=−
∂i ψ† αi ψ + mc2 ψ† βψ .
∂t
i
(1.38b)
Betrachte (1.38b) − (1.38a)
†
∂t ψ† ψ = −c(∂i ψ† )αi ψ + cψ† αi ∂i ψ +
imc2 † †
ψ β ψ − ψ† βψ .
h̄
(1.39)
Hierbei gilt
β† = β
α
i†
=α
(1.40a)
i
(1.40b)
†
$=ψ ψ
(1.40c)
0
(1.40d)
j = c$
k
† k
j = cψ α ψ
(1.40e)
und es folgt
∂µ jµ = 0.
(1.40f)
Dies entspricht einer Kontinuitätsgleichung für die positiv definite Dichte $!
1.3.2 Ruhende Teilchen
Die Dirac-Gleichung für das ruhende Teilchen, also
p = h̄k = 0
(1.41)
lautet
ih̄∂t ψ(r, t) = mc2 γ0 ψ(r, t)

= mc2
10
1
0

ψ1

0 
ψ2  .
−1 ψ3 
ψ4
(1.42)
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Diese hat vier Lösungen
 
1
2  
(+)
−i mch̄ t 0
ψ1 = e
0 ,
0
 
0
2  
(−)
i mch̄ t 0
ψ1 = e
1 ,
0
 
0
2  
(+)
−i mch̄ t 1
ψ2 = e
0 ,
0
 
0
2  
(−)
i mch̄ t 0
ψ2 = e
0 .
1
(1.44)
Wir erhalten also jeweils zwei entartete Zustände positiver und negativer Energie. Auf
die energetisch entarteten Komponenten (+) oder (−) wirken in (1.33) gerade die PauliSpinmatrizen, dies entspricht den beiden Einstellungen des Spin 1/2.
Folge: Die Dirac-Gleichung beschreibt offensichtlich Spin-1/2-Teilchen, kann also die gesuchte relativistische Gleichung für Elektronen sein.
(
Aber: Es gibt auch die Zustände negativer Energie!
(
1.3.3 Bedeutung der Zustände negativer Energie
Die Zustände positiver Energie beschreiben die gewünschten Spin-1/2-Teilchen. Doch die
Zustände negativer Energien lassen sich nicht ignorieren, denn sobald die Teilchen nicht
mehr ruhen, gibt es Kopplungen zwischen den Lösungen positiver und negativer Energie.
Zudem besteht – wie in der Klein-Gordon-Gleichung – das Problem des unbeschränkten
negativen Energiespektrums, was keinen stabilen Grundzustand zur Folge hätte.
a) Vorschlag von Dirac: Alle Zustände negativer Energien sind besetzt. Da es sich um
Spin-1/2-Teilchen, also um Fermionen handelt, können keine Zerfälle in diese Zustände
stattfinden. Der Vakuumszustand ist dann ein Dirac-See bestehend aus Teilchen mit
negativer Energie. Um einen angeregten Zustand zu erhalten, wird ein Teilchen aus dem
Dirac-See (negative Energie) in den Bereich positiver Energie angehoben (vgl. Abbildung 3).
Der besetzte Zustand positiver Energie entspricht dann einem Elektron, die fehlende
Besetzung eines Zustandes negativer Energie (Loch) ist ein Positron (Antiteilchen). Dieser
Übergang in einen angeregten Zustand wird auch Paarbildung genannt.
Es zeigen sich jedoch Probleme dieser Interpretation. Der Grundzustand besitzt weiterhin
die Energie E = −∞. Zudem gibt es Probleme mit der Unschärferelation. Gehen wir davon
aus, dass ein gut lokalisiertes Teilchen durch eine Ortsmessung gegeben ist,
h̄
,
4mc
(1.45)
∆p ≥ 2mc ,
(1.46)
∆x <
dann erhält man für die Impulsunschärfe
2014-10-28
11
1.3 | D i e D i rac- G l e i c h u n g
E
0
γ
I 3 Ein angeregter Zustand entsteht durch anheben eines Teilchens aus dem Dirac-See in den
positiven Energiebereich.
was auf eine Energieunschärfe von ∆E ≈ c∆p > 2mc2 führt und somit genügend Energie
aufbringt, eine Paarbildung stattfinden zulassen. Das Bild des Dirac-Sees ist zudem nur für
Fermionen und nicht für Bosonen geeignet. Außerdem zeigen sich Asymmetrien zwischen
Positronen und Elektronen.
b) Feynman-Stückelberg-Interpretation:
chen mit Impuls sind von der Form
Die Lösungen der Dirac-Gleichung für ein Teil-
ψ+ = ψ0 e−ikµ x ,
ψ− = ψ0 eikµ x .
µ
µ
(1.47)
Umschreiben der Lösung negativer Energie führt auf eine Exponentialfunktion der Form
µ
µ
ψ− = ψ0 eikµ x = ψ0 e−ikµ (− x )
(1.48)
Damit besitzen die Antiteilchen auch positive Energien, bewegen sich aber im gespiegelten
Raum (r → −r) rückwärts in der Zeit (t → −t). Diese Interpretation liefert einige Vorteile:
I
keine negativen Energien,
I
kein Problem mit der Unschärferelation,
I
funktioniert für Bosonen und Fermionen.
Dennoch ist sie nicht intuitiv und nur schwer gedanklich nachzuverfolgen.
1.3.4 Im elektromagnetischen Feld
Mit dem Viererpotential


φ/c
− A x 

Aµ = 
 − Ay 
− Az
12
(1.49)
2014-10-28
Ku r z e E i n f ü h ru n g i n d i e r e l at i v i s t i s c h e Qua n t e n m e c h a n i k | 1
lautet die Dirac-Gleichung
mc i
γµ (i∂µ − eAµ ) −
ψ=0
h̄
h
mc i
/−
i/
∂ − eA
ψ=0.
oder
h̄
h
(1.50)
Mit dieser Gleichung ist die relativistische Beschreibung des Wasserstoffatoms möglich.
Im Moment treten die Felder als klassische Größen auf, es ist jedoch möglich und erforderlich (Photoeffekt), die Felder zu quantisieren. Quantisieren wir jedoch die elektrischen
und magnetischen Felder in (1.50), so werden zwei Sichtweisen der Quantenmechanik
vermischt.
I
Elektrodynamik: Quantisierung eines Feldes, höhere Anregung bedeutet höhere
Teilchenzahl (Photonen).
I
Materie: Quantisierung von Punktteilchen, jedes Teilchen benötigt eine Wellenfunktion und eine eigene oder gekoppelte Dirac-Gleichung.
Die Dirac-Gleichung lässt im Allgemeinen einige Wünsche offen. Zum einen müssen
negative Energien interpretiert werden, zum anderen wäre eine einheitliche Theorie für
die Materie und ihre Wechselwirkungen hilfreich. Diese einheitliche Theorie sollte, wenn
möglich, auch die Postulate der Quantenmechanik, nämlich
I
Symmetrisierung/Antisymmetrisierung der Wellenfunktion für Bosonen/Fermionen
I
Forderung nach einer Normierung der Wellenfunktion für eine Teilchenzahl
auf einen festen Grund stellen. Es wird daher notwendig Quantenfeldtheorien aufzustellen.
2014-10-28
13
F e l d e r u n d d e r e n Qua n t i s i e ru n g | 2
2
Felder und deren Quantisierung
2.1 Ein Beispiel aus der Mechanik
Wir betrachten eine schwingende Saite als verbundene Massepunkte der Masse m. Lassen
wir den Abstand d zwischen den einzelnen Massepunkten gegen 0 laufen, so wird das
System kontinuierlich (vgl. Abbildung 4).
y j → y( x )
Für die Differenz zwischen zwei Punkten kann man schreiben
y j +1 − y j =
dy ·d .
dx x=( j+1/2)d
(2.1)
Die Masse wird im Folgenden durch eine Linienmassendichte ausgedrückt
m = $d
(2.2)
und die Federkonstante durch ein Elastizitätsmodul
D=
y
κ
.
d
(2.3)
yi
y i +1
y i −1
I4
2014-10-28
x
Schwingende Saite.
15
2.1 | E i n B e i s p i e l au s d e r M e c h a n i k
Für ein endliches d ergibt sich eine Lagrangefunktion der Form
N +1
∑
L({yn }, {ẏn }) =
Tn − Vn
n =1
m 2 N +1 D
ẏ −
( y n − y n −1 )2
2 n n∑
n =1
=1 2
N
=
∑
$d 2 N +1 κ
ẏn − ∑
( y n − y n −1 )2
2d
(2.3) n=1 2
n =1
N
$d ∂y(nd, t) 2 N +1 κ ∂y(d(n − 1/2), t) 2 2
− ∑
d
≈ ∑
2
∂t
2d
∂x
n =1
n =1
"
#
∂y(nd, t) 2 N +1 κ ∂y(d(n − 1/2), t 2
$d N
=
− ∑
2 n∑
∂t
$
∂x
n =1
=1
(2.2)
=
N
∑
(2.4)
Lassen wir N → ∞ und d → 0 gehen, so wird aus der diskreten Summe ein Integral
d∑ →
Z
dx,
(2.5)
N
was auf eine kontinuierliche Lagrangefunktion führt,
Z
(2.4)
L =
(2.5)
$
dx
2
|
"
∂y
∂t
#
κ ∂y 2
−
.
$ ∂x
{z }
2
L
(2.6)
∂y ∂y
∂t , ∂x
Man nennt L die Lagrangedichte des kontinuierlichen Systems. Die Lagrangefunktion
folgt aus dem Integral über die Ortskoordinate x. Die wichtige Variable ist das Feld
y( x ), welches von dem kontinuierlichen Index x abhängt. Um aus der Lagrangedichte
Bewegungsgleichungen gewinnen zu können, gehen wir wie in der klassischen Mechanik
vor und benutzen die Variation der Wirkung,
y( x, t) → y( x, t) + δy( x, t) ,
wobei an den Randpunkten δy = 0 gilt.
S=
Z
L dt =
Z
dt

Z
dx L
∂y ∂y
,
∂t ∂x

∂
(
δy
)
∂
(
δy
)
∂
L
∂
L

δS = dt dx  + ∂y ∂y
∂t
∂x
∂ ∂t
∂ ∂x


Z
Z
∂
∂
L
∂
∂
L
−
 · δy = 0 ,
= dt dx −
∂t ∂ ∂y
∂x ∂ ∂y
Z
Z
∂t
16
(2.7)
∂x
2014-10-28
F e l d e r u n d d e r e n Qua n t i s i e ru n g | 2
woraus die Euler-Lagrange-Gleichungen abgeleitet werden können,
∂ ∂L
∂ ∂L
+
=0,
∂t ∂ ∂y
∂x ∂ ∂y
∂t
∂x
(2.8)
oder mit unserem Beispielsystem (2.6)
$
∂2 y
∂2 y
−
κ
=0.
∂t2
∂x2
(2.9)
Wir erhalten also eine Wellengleichung für unsere schwingende Saite und wir sehen, dass
die Lagrangedichte und ihre Variation auf physikalisch sinnvolle Gleichungen führen.
2.2 Lagrangeformalismus für allgemeine Felder
Wir führen eine Lagrangedichte ein, die von mehreren Feldern φr ( x ) und allen ihren ersten
Ableitungen φr,µ = ∂µ φr ( x ) abhängt.
L = L(φr , φr,µ ) = L(φ, ∂x0 φ, ∂x1 φ1 , ∂x2 φ1 , ∂x3 φ1 , ∂x0 φ2 , . . .)
(2.10)
Die Lagrangefunktion ergibt sich dann aus der Integration nur über die Ortskoordinaten,
L(t) =
Z
d3 r L(φr , φr,µ ) .
(2.11)
Das Integral über das Gebiet Ω der Raumzeit ergibt dann die Wirkung
S(Ω) =
Z
Ω
d4 x L(φr , φr,µ ) .
(2.12)
2.2.0.1 Hamiltonsches Variationsprinzip
Analog des Beispiels der schwingenden Saite erfolgt die Variation der Felder
φr ( x ) → φr ( x ) + δφr ( x ) = φ̃r
(2.13)
δφr ( x )∂Ω = 0
(2.14)
derart, dass
gilt. Eine Variation der Wirkung (2.12) führt auf die Form
Z
∂L
∂L
4
δS =
d x
δφr +
δφr,µ ,
∂φr
∂φr,µ
Ω
(2.15)
wobei folgende Relation verwendet wurde
(2.13)
δφr ( x ) = φ̃r ( x ) − φr ( x ) ,
∂µ φr ( x ) = φ̃r,µ ( x ) − φr,µ ( x ) = δφr,µ ( x ) ,
δφr,µ = δ(∂µ φr ( x )) = ∂µ δφr ( x ) .
2014-11-04
(2.16)
17
2.2 | L ag r a n g e f o r m a l i s m u s f ü r a l l g e m e i n e Fe l d e r
Weiterhin verwendet man
∂L
δφr,µ = ∂µ
∂φr,µ
∂L
δφr
∂φr,µ
∂L
δφr .
− ∂µ
∂φr,µ
Damit lässt sich die Variation der Wirkung schreiben als
Z
∂L
∂L
∂L
(2.15)
4
δφr + ∂µ
− ∂µ
δφr
.
δS =
d x
∂φr
∂φr,µ
∂φr,µ
(2.17) Ω
Mit dem Gaußschen Satz berechnet man schließlich
Z
Z
∂L
∂L
δφr =
dσµ
δφr = 0.
d4 x ∂µ
∂φ
∂φ
∂Ω
Ω
r,µ
r,µ
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Daraus folgt für (2.18)
δS =
Z
4
Ω
d x
∂L
∂L
− ∂µ
∂φr
∂φr,µ
δφr .
(2.20)
Da diese Gleichung unabhängig von δφr erfüllt sein soll, folgen die Euler-Lagrangegleichungen
für die Felder.
∂L
∂L
− ∂µ
= 0.
(2.21)
∂φr
∂φr,µ
Den Aufwand, den wir betrieben haben, um eine Euler-Lagrangegleichung für Felder
herzuleiten, wird dann nützlich, wenn wir den Formalismus auf relativistische Felder
anwenden.
2.2.0.2 Hamiltondichte
Analog zur klassischen Punktmechanik führt man über
φ̇r = φr,t
die Impulsdichte πr ein
πr =
L
∂L
=
.
∂φr,t
∂φ̇r
(2.22)
Die Impulsdichte hängt dabei im Allgemeinen von allen Raum-Zeit-Ableitungen als auch
vom Ort selbst ab
πr = πr (φ̇r , ∇φr , φr , x ).
(2.23)
Wir gehen davon aus, dass (2.23) invertierbar ist, sodass wir
φ̇r = φ̇r (πr , ∇φr , φr , x )
(2.24)
erhalten. Aus diesen Relationen lässt sich eine Hamiltondichte H formulieren,
H = ∑ πr φ̇r − L(φr , φ̇r ) = φ̇r (πr , ∇φr , φr , x )) .
(2.25)
r
18
2014-11-04
F e l d e r u n d d e r e n Qua n t i s i e ru n g | 2
Um aus der Hamiltondichte Bewegungsgleichungen zu erhalten, berechnen wir
∂H
∂φ̇s
∂L ∂φ̇s
= φ̇r + ∑ πs
−∑
∂πr
∂π
∂
φ̇s ∂πr
r
s
s
∂L ∂φ̇s
= φ̇r + ∑ πs −
∂φ̇s ∂πr
s
{z
}
|
=0
oder
φ̇r =
∂H
.
∂πr
(2.26)
Weiterhin wollen wir die Hamiltondichte nach den Feldern ableiten und erhalten
∂L
∂L ∂φ̇s
∂H (2.25)
∂φ̇s
= ∑ πs
−
−∑
∂φr
∂φ
∂φ
∂
φ̇s ∂φr
r
r
s
s
(2.22)
= −
∂L
∂φr
(2.21)
= −∂µ
∂L
∂φr,µ
∂
∂L
∂ ∂L
− l
∂(ct) ∂φr,ct
∂x ∂φr,l
∂L
∂ ∂L
= −∂t
− l
∂φ̇r
∂x ∂φr,l
=−
(2.22)
= −π̇r −
∂ ∂L
,
∂x l ∂φr,l
(2.27)
wobei sich der letzte Term in (2.27) noch wie folgt umschreiben lässt.
∂H
=
∂φr,l
∂φ̇r
∑ πr ∂φ
−
r,l
r
∂L
∂L ∂φ̇s
−
∂φr,l ∑
s ∂ φ̇s ∂φr,l
(2.22)
= −
∂L
.
∂φr,l
(2.28)
Wir erhalten damit für die zeitliche Ableitung der Impulsdichte
(2.27)
π̇r = −
(2.28)
∂H
∂ ∂H
+ l
.
∂φr
∂x ∂φr,l
(2.29)
Zusammengefasst ergeben sich die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erster Ordnung für
die Felder, welche wie folgt lauten
π̇r = −
∂ ∂H
∂H
+ l
,
∂φr
∂x ∂φr,l
φ̇r =
∂H
∂πr
(2.30)
2.3 Feldquantisierung
2.3.1 Zurück zum mechanischen Beispiel
Wir teilen die Saite in diskrete Massepunkte auf, vergleiche Abbildung 5.
2014-11-04
19
2.3 | F e l d q ua n t i s i e ru n g
yi
∆xi
I5
Saite dargestellt durch diskrete Massen.
yi ( t ) =
∆x →0
1
∆xi
Z
Z
dx π ( x, t) ≈ π ( xi , t)∆xi .
∆xi
dx y( x, t) ≈ y( xi , t)
(2.31)
Analog folgt für die Impulse
pi ( t ) =
∆x →0
∆xi
(2.32)
mit der Impulsdichte π ( x, t) = ∂∂Lẏ . Im Sinn der kanonischen Bewegungsgleichungen gehen
wir zu Operatoren über
ŷi =
p̂i =
1
∆xi
Z
dx ŷ( x, t) ≈ ŷ( xi , t),
(2.33)
Z
dx π̂ ( x, t) ≈ π̂ ( xi , t)∆xi .
(2.34)
∆xi
∆xi
Für die diskreten Variablen lässt sich die Quantisierung über die Forderung der Vertauschungsregeln
[ŷi , p̂ j ] = ih̄δij ,
[ŷi , ŷ j ] = [ p̂i , p̂ j ] = 0
(2.35)
einführen.
Für das Beispiel der schwingenden Saite erhalten wir im Grenzwert ∆x → 0
(2.34)
0 = [ p̂i , p̂ j ] → [π̂ ( xi , t), π̂ ( x j , t)]∆xi · ∆x j = 0 ,
also
[π̂ ( xi , t), π̂ ( x j , t)] = 0
(2.36)
[ŷ( xi , t), ŷ( x j , t)] = 0.
(2.37)
und durch analoges Vorgehen
Die Bedingung in (2.35) fordert
(2.33)
[ŷi , p̂ j ] = ih̄δij → [ŷ( xi , t), π̂ ( x j , t)]∆x j = δij ih̄
(2.34)
und ist für den Grenzfall ∆x j → 0 genau dann erfüllt, wenn gilt
[ŷ( xi , t), π̂ ( x j , t)] = ih̄ lim
∆x j →0
20
δij
∆x j
= ih̄δ( xi − x j ) ,
(2.38)
2014-11-04
F e l d e r u n d d e r e n Qua n t i s i e ru n g | 2
denn
Z
∆x
dx f ( x )
δij
∆x j
(
=
1
∆x
R
∆x →0
dx f ( x ) → f ( x )
0
i=j
i 6= j
(2.39)
2.3.2 Verallgemeinerung
In Verallgemeinerung zum Beispiel der schwingenden Saite führt man die Quantisierung
ein, indem man für Felder φr und ihre Impulsdichte πs postuliert
[φr (r, t), πs (r 0 , t)] = ih̄δ(r − r 0 )δrs ,
0
0
[φr (r, t), φs (r , t)] = [πr (r, t), πs (r , t)] = 0.
(2.40)
(2.41)
Dies ist die kanonische Quantisierung und enthält die bosonischen Vertauschungsregeln,
die – wie der Name schon sagt – auf Bosonen führen werden. Später werden wir sehen,
dass noch andere Regeln benötigt werden, um eine sinnvolle physikalische Aussage zu
erhalten.
2.4 Symmetrien und Erhaltungssätze
Wir nehmen an, dass es eine kontinuierliche Symmetrie gibt, welche die Wirkung invariant
lässt
x µ → x 0µ ,
µ
φr ( x ) →
Z
d4 x L(φr0 , ∂0µ φr0 , x 0 ) =
φr0 ( x 0µ ),
Z
d4 x L(φr , ∂µ φr , x ).
Dann lässt sich die Relation
L
L
∂
µ
ν
dφr −
φr,ν − δ ν L dx = 0
∂x µ ∂φr,µ
∂φr,µ
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
ableiten, wobei gilt
dφr = φr0 ( x 0 ) − φr ( x ) ,
(2.46)
dx µ = x 0µ − x µ .
(2.47)
Dies ist das Noether-Theorem.
2014-11-11
21
Q ua n t i s i e ru n g f r e i e r r e l at i v i s t i s c h e r Fe l d e r | 3
3
Quantisierung freier relativistischer
Felder
3.1 Klein-Gordon-Feld
3.1.1 Motivation der Herangehensweise
Im vorherigen Abschnitt wurde eine „Wunschliste“ an die Theorie für die Elementarteilchen
erstellt. Darin forderten wir eine einheitliche Beschreibung mit der Elektrodynamik. Eine
Quantisierung der elektrischen und magnetischen Felder (Photonen) gelingt, indem man
die Feldvektoren nach Gleichung (2.40) und (2.41) durch Opertoren ersetzen.
Ansatz Ersetze auch das Feld ψ der Klein-Gordon-Gleichung durch Operatoren, dies führt
auf eine Quantisierung.
(
Allerdings ψ enstammt bereits einer Gleichung einer Quantentheorie, dies führt auf den
Begriff der zweiten Quantisierung.
(
Frage Wird hier tatsächlich zum zweiten Mal quantisiert?
(
Nein, die Quantisierung in der Klein-Gordon-Gleichung oder auch der Schrödingergleichung erfolgt erst durch die Suche nach konkreten Lösungen für ein gegebenes Problem
(Potential), die die geforderte Nebenbedingungen (Normierbarkeit!) erfüllen. Wir gehen
genau von diesen Lösungen aus, stellen keine neuen Bedingungen, sondern erlauben nur
eine mehrfache Besetzung dieser Lösungen und erhalten eine Vielteilchengleichung. Dies
stellt einen anderen Ansatz dar, die Quantisierung zu verstehen, jedoch keine tatsächliche
zweite Quantisierung eines quantenmechanischen Ergebnisses ψ.
3.1.2 Kanonische Variablen
Für die Quantisierung nach Gleichung (2.40) werden kanonische Variablen benötigt. Dafür
führen wir die Lagrangedichte
h̄2 µν
mc2 ∗
η (∂µ φ)(∂ν φ∗ ) −
φφ
2m
2
2
2
h̄
mc
=
φ,µ φ∗ ,µ −
φφ∗
2m
2
L=
(3.1)
für das komplexe Feld φ ein. Es beschreibt dabei zwei unabhängige, reelle Felder,
φ = φ1 + iφ2 ,
2014-11-11
23
3.1 | K l e i n- Go r d o n - Fe l d
d.h. entsprechend können φ und φ∗ als unabhängige Felder aufgefasst werden. Die zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen lauten
(2.21)
0 =
∂ ∂L
∂L
− α ∗
∂φ∗
∂x ∂φ,α
h̄2
mc2
φ−
∂α η µα ∂µ φ
2
2m
h̄2
mc2
φ−
∂µ ∂µ φ
=−
2
2m
(3.1)
= −
oder
∂µ ∂µ +
mc 2 h̄
φ = 0.
(3.2)
Weiterhin:
0=
∂L
∂L
− ∂µ
∂φ
∂φ,µ
mc2 ∗
h̄2
=−
φ −
∂µ ∂µ φ∗ ,
2
2m
mc 2 0 = ∂µ ∂µ +
φ∗ .
h̄
(3.3)
Wir erhalten die Klein-Gordon-Gleichung und ihr komplex konjugiertes. Damit ist L also
geeignet, um das Klein-Gordon-Feld zu beschreiben.
Führen wir nun die Impulsdichten über
h̄2
h̄2
mc2 ∗
φ̇φ̇∗ −
(∇φ)(∇φ∗ ) −
φφ ,
2
2m
2
2mc
h̄2 ∗
(2.22) ∂ L
π =
=
φ̇ ,
∂φ̇
2mc2
(3.1)
L =
(2.22)
π∗ =
∂L
h̄2
=
φ̇
∗
∂φ̇
2mc2
(3.4a)
(3.4b)
(3.4c)
ein. Eine Umkehrung ergibt
(3.4a)
φ̇∗ =
2mc2
π,
h̄2
(3.4b) 2mc2 ∗
φ̇ =
π .
h̄2
(3.5a)
(3.5b)
Damit wird die Hamiltondichte zu:
(2.25)
H = π φ̇ + π ∗ φ̇∗ − L
2mc2 ∗
2mc2
h̄2
mc2 ∗
π π − 2 π∗ π +
(∇φ)(∇φ∗ ) +
φφ
2
2m
2
h̄
h̄
h̄
2mc2
h̄2
mc2 ∗
=
ππ ∗ +
(∇φ)(∇φ∗ ) +
φφ .
2
2m
2
=
24
2mc2
2
ππ ∗ +
(3.6)
2014-11-11
Q ua n t i s i e ru n g f r e i e r r e l at i v i s t i s c h e r Fe l d e r | 3
3.1.3 Quantisierung der Klein-Gordon-Gleichung
Eine Quantisierung erfolgt durch den Übergang zu Operatoren
π, π ∗ , φ, φ∗ → π̂, π̂ † , φ̂, φ̂† ,
(3.7)
die die Vertauschungsrelationen (2.40) und (2.41) erfüllen, also explizit
[φ, φ] = [φ, φ† ] = [φ† , φ† ] = [π, π ] = [π, π † ] = [π † , π † ] = 0 ,
[φ, π † ] = [φ† , π ] = 0 ,
0
†
(3.8b)
0
†
(3.8a)
0
[φ(r ), π (r )] = [φ (r ), π (r )] = ih̄δ(r − r ) .
(3.8c)
Die Ersetzung (3.7) zusammen mit (??) und (3.5a) ergibt, dass auch die Feldoperatoren φ̂,
π̂ ∝ φ̂˙ † die Klein-Gordon-Gleichung (3.2) und (3.3) erfüllen müssen.
Ein geeignetes Vorgehen besteht darin, die Feldoperatoren nach den Lösungen der freien
Klein-Gordon-Gleichung zu entwickeln.
φk ∝ e∓i( Et− p·r )/h̄
(3.9a)
Verwende die Basisfunktionen
1
fk =
(2π )3/2
s
µ
h̄
e−ikµ x
2E(k)
(3.9b)
mit den Orthogonalitätsrelationen
Z
Z
f k∗ (r, t)i~∂~t f k0 0 (r, t) d3 r = δ(k − k0 )
(∗)
(∗)
f k (r, t)i~∂~t f k0 (r, t) d3 r = 0
(3.10a)
(3.10b)
mit
a~∂~t b = a∂t b − (∂t a)b.
(3.10c)
Damit
Z
2mc2 âk f k (r, t) + ĉ†k f k∗ (r, t) d3 k ,
h̄
Z
2mc2 † ∗
†
φ̂ (r, t) =
âk f k (r, t) + ĉk f k (r, t) d3 k ,
h̄
φ̂(r, t) =
(3.11a)
(3.11b)
wobei die Operatoreigenschaft nun von den Entwicklungskoeffizienten âk und ĉk getragen werden muss. Unter Verwendung von Gleichung (3.10a) bis (3.10c) erhält man die
2014-11-11
25
3.1 | K l e i n- Go r d o n - Fe l d
Umkehrung
s
âk =
h̄2
2mc2
Z
f k∗ (r, t)i~∂~t φ̂(r, t) d3 r ,
(3.12a)
s
h̄2
f k∗ (r, t)i~∂~t φ̂† (r, t) d3 r ,
2mc2
s
Z
h̄2
f k (r, t)i~∂~t φ̂† (r, t) d3 r ,
â†k = −
2
2mc
s
Z
h̄2
†
ĉk = −
f k (r, t)i~∂~t φ̂(r, t) d3 r .
2
2mc
Z
ĉk =
(3.12b)
(3.12c)
(3.12d)
Damit lassen sich die Kommutatorregeln für die Operatoren â und ĉ finden,
(3.12a)
[ âk , â†k ] =
(3.12c)
h̄2
2mc2
Z
d3 r
Z
h
i
d3 r 0 f k∗ (r, t) f k0 (r 0 , t) ∂t φ̂(r, t), ∂t φ̂† (r 0 , t)
|
{z
}
∝[π † (r,t),π (r 0 ,t)]=0
h
i
− (∂t f k∗ (r, t)) f k0 (r 0 , t) φ̂(r, t), ∂t φ̂† (r 0 , t)
|
{z
}
2
0
= 2imc
2 δ (r −r )
h̄
− f k∗ (r, t) ∂t f k0 (r 0 , t)
h
i
∂t φ̂(r, t), φ̂† (r 0 , t)
{z
}
|
2
0
=− 2imc
h̄ δ (r −r )
+ (∂t f k∗ (r, t)) ∂t f k0 (r 0 , t)
i
.
φ̂(r, t), φ̂† (r 0 , t)
{z
}
|
h
=0
Insgesamt ergibt sich
[ âk , â†k ] =
Z
d3 r f k∗ (r, t)i~∂~t f k (r, t)
(3.10a)
= δ(k − k0 ) .
(3.13a)
i
h
âk , âk0 = â†k , â†k0 = 0 ,
i
h
ĉk , ĉ†k0 = δ(k − k0 ) ,
i
h
ĉk , ĉk0 = ĉ†k , ĉ†k0 = 0 .
(3.13b)
Analog findet man
(3.13c)
(3.13d)
Die Operatoren âk und ĉk sind also Vernichter der Moden k mit + oder − im Exponenten.
Demnach sind â†k und ĉ†k die zugehörigen Erzeuger.
26
2014-11-11
Q ua n t i s i e ru n g f r e i e r r e l at i v i s t i s c h e r Fe l d e r | 3
3.1.4 Eigenzustände des Hamiltonoperators und deren Interpretation
a) Hamiltonoperator:
Impusdichten
Mit den Feldoperatoren (3.11a) und (3.11b) und den zugehörigen
h̄2
∂t φ̂† ,
2mc2
r
Z
n
o
h̄
d3 kE(k) â†k f k∗ (r, t) − ĉk f k (r, t)
=i
2
2mc
r
Z
o
n
h̄
† ∗
3
π̂ † (r, t) = −i
â
f
(
r,
t
)
−
ĉ
f
(
r,
t
)
d
kE
(
k
)
k
k
k
k
2mc2
(3.4b)
π̂ (r, t) =
(3.14a)
(3.14b)
und
q
E(k) = +
h̄2 k2 c2 + m2 c4
(3.15)
lässt sich die Hamiltondichte explizit in der Modenentwicklung angeben.
(3.6)
H =
2mc2
h̄2
π̂ π̂ † +
h̄2
mc2 †
(∇φ̂)(∇φ̂† ) +
φ̂φ̂ .
2m
2
(3.16)
Mit Gleichung (3.9a), (3.14) und (3.11) folgt
H=
1
h̄
Z
d3 k
Z
d3 k0 â†k âk0 f k∗ (r, t) f k0 (r, t) − â†k ĉ†k0 f k∗ (r, t) f k∗0 (r, t)
− ĉk âk0 f k (r, t) f k0 (r, t) + ĉk ĉ†k0 f k (r, t) f k∗0 (r, t) E(k) E(k0 )
Z
Z
0
2
3
3 0
+ h̄c
d k d k (k · k ) âk â†k0 f k (r, t) f k∗0 (r, t) + âk ĉk0 f k (r, t) f k0 (r, t)
+ ĉ†k â†k0 f k∗ (r, t) f k∗0 (r, t) + ĉ†k ĉk0 f k∗ (r, t) f k0 (r, t)
+
mc2
h̄
Z
d3 k
Z
d3 k0 âk â†k0 f k (r, t) f k∗0 (r, t) + âk ĉk0 f k (r, t) f k0 (r, t)
+ ĉ†k â†k0 f k∗ (r, t) f k∗0 (r, t) + ĉ†k ĉk0 f k∗ (r, t) f k0 (r, t)
.
(3.17)
Mit
h̄
δ(k − k0 ) ,
2E(k)
Z
h̄
d3 r f k (r, t) f k0 (r, t) =
e−2iE(k)t/h̄ δ(k + k0 ) ,
2E(k)
Z
h̄
d3 r f k∗ (r, t) f k0 (r, t) =
e2iE(k)t/h̄ δ(k + k0 )
2E(k)
Z
2014-11-11
d3 r f k∗ (r, t) f k0 (r, t) =
(3.18a)
(3.18b)
(3.18c)
27
3.1 | K l e i n- Go r d o n - Fe l d
ergibt sich für den Hamiltonoperator
H=
Z
(3.17)
d3 r H =
(3.18)
+
1
2
Z
1
2
Z
n
o
d3 kE(k) â†k âk − â†k ĉ†−k e2iEt/h̄ − ĉk â−k e2iEt/h̄ + ĉk ĉ†k
o
1 n †
âk + â−k ĉk e−2iEt/h̄ + ĉ†−k â†k e2iEt/h̄ + ĉ†k ĉk .
d3 k (c2 h̄2 k2 + m2 c4 )
E(k)
|
{z
}
= E(k)
Damit erhalten wir
1
2
Z
n
o
d3 kE(k) â†k ĉk + âk â†k + ĉ†k ĉk + ĉk ĉ†k


Z


(3.13a)
=
d3 k â†k âk + ĉ†k ĉk + δ(0) E(k)

|{z}
(3.13b)
H=
(3.19)
=1
oder
H=
Z
d3 kE(k) n̂ a,k + n̂c,k + 1
(3.20)
mit den Anzahloperator der a-, bzw. c-Zustände
n̂ a,k = â†k âk ,
n̂c,k =
b) Eigenzustände:
ĉ†k ĉk
.
(3.21a)
(3.21b)
Eigenzustände sind nun Fockraumzustände der Form
|n a,k nc,k i ,
wobei
n̂ a,k |n a,k nc,k i = n a,k |n a,k nc,k i ,
(3.22a)
n̂c,k |n a,k nc,k i = nc,k |n a,k nc,k i ,
(3.22b)
die die Besetzung der a- und c-Zustände angeben.
c) Vakuumzustand und Normalordnung:
H |00i =
Der Anteil
R
Z
Der Vakuumzustand hat die Energie
d3 kE(k) → ∞.
(3.23)
d3 k (. . . + E(k)) im Hamiltonoperator hat sich aufgrund der Reihenfolge
π̂ π̂ † , (∇φ̂)(∇φ̂† ), φ̂φ̂†
in Gleichung (3.17) ergeben. Diese ist jedoch willkürlich! Auch möglich wäre
φφ∗ = φ∗ φ → φ̂† φ̂ ,
28
(3.24)
2014-11-11
Q ua n t i s i e ru n g f r e i e r r e l at i v i s t i s c h e r Fe l d e r | 3
dies hätte die Vakuumenergie 0 zur Folge. Messbar sind nur die Energiedifferenzen,
daher hat jede Reihenfolge ihre Berechtigung. Ein übliches Vorgehen besteht darin, die
Normalordnung einzuführen, die so gewählt ist, dass die Vakuumenergie verschwindet.
: â†k âk + âk â†k : = 2â†k âk
Z
:H: =
(3.25a)
n
d3 kE(k) â†k âk + ĉ†k ck
o
(3.25b)
Dies ist unser neuer Hamiltonoperator. In der Schreibweise wird : . . . : oft unterschlagen.
d) Mesonen: Um zu erkennen, welche Teilchen durch die gefundenen Lösungen beschrieben werden, helfen Symmetrien der Wirkung mit der Lagrangedichte (3.4a).
Die Lagrangedichte ist invariant unter der U (1) Phasentransformation
φ → e−iθ φ
(3.26)
und damit auch die Wirkung. Es folgt mit der infinitesimalen Transformation
(3.26)
dφ = φ − φ0 =
e−iθ − 1 φ ≈ −i dθφ
aus den Gleichungen (2.45) bis (2.47) die Erhaltungsgröße
"
#
∂L
∂L ∗
∂ µ −i
φ+i ∗ φ = 0
∂φ,µ
∂φ,µ
(3.27)
(3.28)
Daraus lässt sich die folgende integrale Erhaltungsgröße gewinnen
Q=
i
h̄
Z
d3 r (φ∗ π ∗ − φπ ) ,
(3.29)
die Ladung heißt. Tatsächlich, wenn man Gleichung (3.28) explizit mit Gleichung (3.4a)
ausrechnet, findet man
∂µ jµ = 0
(3.30a)
mit
jµ =
ih̄
(φ∗ ∂µ φ − φ∂µ φ∗ )
2m
(3.30b)
die nicht positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte j0 und Stromdichte j des Klein-GordonFeldes. Diese hat bereits bei der Diskussion der Klein-Gordon-Gleichung Probleme in der
Interpretation bereitet. Für die elektrische Ladung lässt sich diese Erhaltungsgröße aber
sehr gut verstehen (Ladung q des Teilchens),
Qq =
2014-11-11
iq
h̄
Z
d3 r (φ∗ π ∗ − φπ ) .
(3.31a)
29
3.2 | Da s D i r ac- F e l d
Die dazugehörigen Operatoren lauten
Q̂q =
iq
h̄
: Q̂q : = q
Z
Z
d3 r (φ̂† π̂ † − φ̂π̂ )
d3 k n̂ a,k − n̂c,k
(3.31b)
(3.31c)
Daraus lesen wir ab:
I
Die a-Teilchen haben die Ladung q
I
Die c-Teilchen beschreiben die zugehörigen Antiteilchen mit Ladung −q (sonst
identisch, positive Energien)
I
Ist das Feld reell, kann es nach (3.31a) nur Teilchen der Ladung Null beschreiben,
d.h. Teilchen sind gleich ihre Antiteilchen (Majorana-Teilchen).
I
I
Komplexe Felder sind in der Lage, die geladenen π + und π − -Mesonen zu beschreiben.
0
Aber auch K0 und K , die nicht elektrisch geladen sind, werden durch komplexe Felder beschreiben. Sie unterscheiden sich in der Hyperladung Q nach Gleichung (3.31a).
Sie sind also keine Majorana-Teilchen.
e) Impuls:
Eine weitere Erhaltung folgt aus der Translationsinvarianz aus (3.4a).
dφ = 0
,
dx ` = ε`
(3.32)
Daraus
p=−
Z
d3 r (π ∇φ + π ∗ ∇φ∗ )
(3.33a)
Z
d3 r π ∇ φ + π † ∇ φ † .
(3.33b)
bzw. die Operatoren dazu
p=−
Dies können wir als Impuls verstehen, denn tatsächlich folgt für das Klein-Gordon-Feld
: p̂: =
Z
d3 k h̄k n̂ a,k + n̂c,k .
(3.33c)
3.2 Das Dirac-Feld
3.2.1 Kanonische Variablen
Wir versuchen es mit der Lagrangedichte
L = ih̄cψγµ ∂µ ψ − mc2 ψψ
30
(3.34)
2014-11-18
Q ua n t i s i e ru n g f r e i e r r e l at i v i s t i s c h e r Fe l d e r | 3
Die Ableitungen liefern
 ∂L 
∂ψ1
 ∂L 
∂L
2

=
 ∂ψ2  = −mc ψ
∂ψ
..
.
∂L
= ih̄cψγµ
∂ψ
(3.35a)
(3.35b)
,µ
∂L
= ih̄cγµ ∂µ ψ − mc2 ψ
∂ψ
∂L
=0
∂ψ,µ
(3.35c)
(3.35d)
Daraus folgt schließlich
∂L
∂L
= −ih̄c∂µ ψγµ − mc2 ψ
− ∂µ
∂ψ
∂ψ
,µ
= −ih̄cψγµ ∂~µ − mc2 ψ = 0
mit
a∂~µ b = (∂µ a)b .
Man erhält also
iψγµ ∂~µ +
mc
ψ=0
h̄
(3.36a)
und
∂L
∂L
− ∂µ
= ih̄cγµ ∂µ ψ − mc2 ψ = 0 ,
∂ψ
∂ψ,µ
(3.36b)
also die Dirac-Gleichung und ihre adjungierte. Die Impulsdichten sind mit
(3.37)
L = ih̄cψγ0 ψ̇ + ih̄cψγ` ∂` ψ − mc2 ψψ
(3.37)
π=
∂L (3.37)
= ih̄ψγ0 = ih̄ψ† ,
∂ψ̇
(3.38a)
π=
∂L
=0,
∂ψ˙
(3.38b)
gegeben.
2014-11-25
31
3.2 | Da s D i r ac- F e l d
Damit lautet die Hamiltondichte
H = π ψ̇ + π ψ̇L
(3.34)
= π − ih̄ψγ0 ψ̇ − ih̄cψγl ∂l ψ + mc2 ψψ
= (π − π ) ψ̇ − ih̄cψγl ∂l ψ + mc2 ψψ
= −ih̄cψγl ∂l ψ + mc2 ψψ.
Auf den ersten Blick hängt die Hamiltondichte nicht von der Impulsdichte ab. Dies stimmt
jedoch nicht ganz, denn wir dürfen nicht vergessen, dass
ψ
(3.38a)
=
1
πγ0
ih̄
(3.39)
gilt. Somit lautet die Hamiltondichte
mc2
πγ0 ψ
ih̄
mc2
= −cπαl ∂l ψ +
πγ0 ψ
ih̄
1
= π γ0 −ih̄cγl ∂l + mc2 ψ ,
ih̄ |
{z
}
H = −cπγ0 γl ∂l ψ +
(3.40)
≡ HD
in der wir den Dirac’schen Hamiltonoperator HD wiedererkennen.
3.2.2 Quantisierung
a) Hamiltonoperator Für die Quantisierung bietet sich der Weg aus Abschnitt 3.1.3 an.
Der erste Schritt besteht dann darin, die Lösungen der Dirac-Gleichung zu bestimmen.
Diese lauten
ψ = ψ(+) + ψ(−)
=
∑
Z
s=↑,↓
d3 k
(2π )3/2
s
µ
µ
mc2 b(k, s)u(k, s)e−ikµ x + d∗ (k, s)v(k, s)eikµ x
Ek
(3.41)
mit den Spinoren
s
u=
s
v=
!
Ek + mc2
2mc2
cσ · p
Ek +mc2
χs
Ek + mc2
2mc2
cσ · p
Ek +mc2
χs
χs
χs
(3.42)
!
(3.43)
mit der Energie-Impuls-Beziehung
q
Ek =
32
h̄2 c2 k2 + m2 c4
2014-11-25
Q ua n t i s i e ru n g f r e i e r r e l at i v i s t i s c h e r Fe l d e r | 3
und den Relationen
us us0 = vs vs0 = δs,s0 ,
v s u s0 = u s v s0 = 0 ,
u†s us0
χ↑ =
v†s vs0
=
1
,
0
(3.44)
E
= k,s2 δs,s0 ,
mc
0
χ↓ =
.
1
(3.45)
Der nächste Schritt, den wir bestreiten wollen, ist der Übergang zu Operatoren.
s
Z
d3 k
mc2 (3.41)
−ik µ x µ
ˆ† (k, s)v(k, s)eikµ xµ
ψ̂ = ∑
b̂
(
k,
s
)
u
(
k,
s
)
e
+
d
Ek
(2π )3/2
s=↑,↓
(3.46)
ˆ 0
π̂ = ih̄ψγ
(3.46)
=
∑
Z
s=↑,↓
d3 k
(2π )3/2
s
µ
µ
mc2 †
b̂ (k, s)u(k, s)γ0 eikµ x + dˆ(k, s)v(k, s)γ0 e−ikµ x
Ek
(3.47)
Durch Rechnung folgt der Hamiltonoperator
H=
Z
d3 r H =
Z
d3 k
∑
Ek (b̂† (k, s)b̂(k, s) − dˆ(k, s)dˆ† (k, s))
(3.48)
s=↑,↓
b) Ladung Analog zu (3.31c) beim Klein-Gordon-Feld gewinnt man aus der Invarianz
der Wirkung unter einer globalen Eichtransformation die Ladungserhaltung,
∂µ jµ = 0
jµ = −
mit
1 ∂L
ψ = cψγµ ψ.
h̄ ∂ψ
(3.49a)
,µ
Daraus erfolgt die Erhaltung von
Qq = q
Q̂q =
Z
q
ih̄
=q
Z
d3 r
Z
j0
=q
c
Z
d3 rψγ0 ψ ,
(3.49b)
d3 r π̂ ψ̂
d3 k
∑
(3.49c)
h
i
b̂† (k, s)b̂(k, s) + dˆ(k, s)dˆ† (k, s) .
(3.49d)
s=↑,↓
c) Quantisierungsregeln Aus dem Vergleich der Klein-Gordon-Theorie und den experimentellen Tatsachen wollen wir erreichen, dass b̂ und b̂† Erzeuger und Vernichter von
Teilchen der Ladung q sind. Außerdem sollen dˆ und dˆ† Erzeuger bzw. Vernichter der zugehörigen Antiteilchen sein. Ein weiteres Problem was uns an der bisherigen Dirac-Theorie
stört, ist die nach unten unbeschränkte Energie. Eine rein positive Energie soll vorliegen.
2014-11-25
33
3.3 | M a x w e l l - Fe l d
Alle diese Forderungen lassen sich erfüllen, wenn man fermionische Vertauschungsregeln
für ψ̂ und π̂ postuliert. Dazu benutzen wir im Folgenden die Formulierung
{ Â, B̂} = Â B̂ + B̂ Â .
{ψ̂α , ψ̂β } = {π̂α , π̂ β } = 0
(3.50a)
0
0
3
{ψ̂α (r, t), π̂ β (r , t)} = ih̄δα,β δ (r − r )
{b̂(k, s), b̂(k , s)} = {dˆ(k, s), dˆ(k0 , s0 )} = 0
0
{dˆ(k, s), b̂(k0 , s0 )} = {b̂(k, s), dˆ† (k0 , s0 )} = 0
0
(3.50c)
(3.50d)
{b̂(k, s), b̂ (k , s )} = {dˆ(k, s), dˆ† (k0 , s0 )} = δs,s0 δ3 (k − k0 )
†
(3.50b)
0
(3.50e)
Mit diesen fermionischen Vertauschungsregeln ergibt sich die korrekte Beschreibung von
Elektronen mit der Ladung q = −e,
Z
h
i
:H: = d3 k ∑ Ek b̂† (k, s)b̂(k, s) + dˆ† (k, s)dˆ(k, s) ,
(3.51)
s=↑,↓
: Q̂: = −e
Z
d3 k
∑
h
i
b̂† (k, s)b̂(k, s) − dˆ† (k, s)dˆ(k, s) .
(3.52)
s=↑,↓
d) Impuls
Für den Impulsoperator findet man
Z
h
i
:p: = d3 k ∑ h̄k b̂† (k, s)b̂(k, s) + dˆ† (k, s)dˆ(k, s) ,
(3.53)
s=↑,↓
wobei sich die Komponenten des Impulses wie folgt ableiten lassen,
p̂l = −ih̄
Z
†
ψ̂ ∂l ψ̂ d3 r .
3.3 Maxwell-Feld
3.3.1 Maxwell-Gleichungen und Eichfreiheit
Wir definieren den Feldstärketensor

0
− Ex /c
 Ex /c
0
µν

F =
Ey /c
Bz
Ez /c
− By
der sich aus den Potentialen
Aµ =
34
− Ey /c
− Bz
0
Bx
φ/c
A

− Ez /c
By 
 ,
− Bx 
0
(3.54)
2014-11-25
Q ua n t i s i e ru n g f r e i e r r e l at i v i s t i s c h e r Fe l d e r | 3
via
F µν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(3.55)
gewinnen lässt. Damit lauten die Maxwellgleichungen
εµν$σ ∂µ F$σ = 0 ,
∂µ F
µν
(3.56a)
ν
= µ0 j .
(3.56b)
Für freie Felder wird jµ = 0 und wir erhalten
∂µ F µν = 0 .
(3.56c)
Wie aus der Elektrodynamik bekannt ist, sind die Maxwell-Gleichungen invariant unter
einer Eichtransformation
Aµ
A0µ = Aµ + ∂µ Λ .
(3.57)
Für uns wäre es scheinbar sinnvoll, die Lorentz-Eichung
∂µ Aµ = 0
(3.58)
zu verwenden. Damit ist Aµ jedoch immer noch nicht eindeutig bestimmt, denn es gilt
0 = ∂µ A0µ = ∂µ Aµ + Λ ,
(3.59)
was für jedes Λ0 = Λ + Λ1 mit Λ1 = 0 erfüllt ist. Oft wählt man Λ zusätzlich so, dass
cA0 = φ = 0
(3.60)
erfüllt ist, was uns auf die Coulomb-Eichung
div A = 0
(3.61)
führt. Gleichung (3.60) und (3.61) bilden die sog. Strahlungseichung. Diese ist nicht kovariant, bietet aber eine einfache Formulierung für die Quantisierung und kann jederzeit
in einem gegebenen Inertialsystem formuliert werden. In der Strahlungseichung erkennt
man, dass das elektromagnetische Feld nur zwei Freiheitsgrade besitzt, denn Aµ hat vier
Komponenten, jedoch erhalten wir aus Gleichung (3.60) und (3.61) zwei Bedingungen für
Aµ . Es gibt in der Strahlungseichung daher nur die zwei Transversalkomponenten einer
sich ausbreitenden Welle zu bestimmen.
3.3.2 Kanonische Variablen
Wir versuchen es mit der Lagrangedichte
L=−
1
Fµν F µν
4µ0
(3.62)
für freie Felder.
2014-12-02
35
3.3 | M a x w e l l - Fe l d
Die Lagrangedichte ausgedrückt durch Aµ lautet:
1
∂µ Aν − ∂ν Aµ (∂µ Aν − ∂ν Aµ )
4µ0
1 2
1
1
1
2
2
Ȧ
−
Ȧ
∇
φ
−
(∇
φ
)
−
(
rot
A
)
=
2µ0 c2
c2
c2
1 2
(3.60) 1
=
Ȧ − (rot A)2
2µ0 c2
1 2
(3.55) 1
ε E2 −
B .
=
2 0
2µ0
(3.62)
L = −
(3.55)
(3.63)
Da zum Schluss nur noch die Raumkomponenten A in der Lagrangedichte vorhanden
sind, sieht man leicht, dass diese die relevanten Felder sind. Aus der Lagrangedichte lassen
sich die Impulsdichten bestimmen.
πi =
∂L
∂ Ȧi
(3.63)
=
1
1
Ȧi = −
Ȧi = εEi .
µ0 c2
µ0 c2
(3.64)
Durch die bereits bekannte Legendretransformation erhalten wir ebenso die Hamiltondichte.
1
1
µ0 c2 ∑ ( π i )2 +
(rot A)2
2
2µ
0
i
i
1 2
1 2
1
ε
2
B .
=
Ȧ
+
(
rot
A
)
= 0 E2 +
2µ0 c2
2
2µ0
H = ∑ π i Ȧi − L =
(3.66)
3.3.3 Quantisierung
Wir postulieren die (bosonischen) Vertauschungsrelationen:
[ Âi , Â j ] = [ Êi , Ê j ] = 0
(3.67a)
(3.64)
ε 0 [ Êi ( x, t), Â j ( x0 , t)] = [π̂ i ( x, t), Â j ( x0 , t)]
(3.67b)
= −ih̄δij δ3 ( x − x0 )
Dabei muss jedoch die Eichung beachtet werden. Aus φ = 0 folgt div E = ∂ j E j = 0. Aus
div A = 0 folgt ∂ j A j = 0 und somit
(3.67b)
!
∂i [ Êi , Â j ] = ∂0j [ Êi , Â j ] = −ih̄∂0j δij δ3 ( x − x0 ) = 0.
(3.68)
Dies wird erreicht mit
ij 3
0
δ δ (x − x ) → δ
36
ij(tr) 3
0
δ (x − x ) =
Z
d3 k
(2π )3
ki k j
δ −
| k |2
ij
!
0
eik( x− x ) .
(3.69)
2014-12-02
Q ua n t i s i e ru n g f r e i e r r e l at i v i s t i s c h e r Fe l d e r | 3
Damit erhält man die Modenentwicklung
s
Z
o
µ
µ
εi (k, λ) n
h̄µ0 c2
i
 (r, t) =
d3 k √
â(k, λ) e−ikµ x + ↠(k, λ) eikµ x ,
∑
3
(2π ) λ=1,2
2ωk
(3.70a)
wobei
cω = +|k| = k0 .
(3.70b)
ε(k, λ) · k = 0.
(3.70c)
ε(k, λ1 ) · ε(k, λ2 ) = δλ1 ,λ2 .
(3.70d)
In dieser Notation zählt λ die zwei Polarisationen und ε(k, λ) ist der Polarisationsvektor.
Damit findet man
[ â(k, λ), â(k0 , λ0 )] = [ ↠(k, λ), ↠(k0 , λ0 )] = 0,
0
†
0
3
0
[ â(k, λ), â (k , λ )] = δ (k − k )δλλ0 .
(3.71a)
(3.71b)
Mit diesen Relationen lauten die physikalischen Felder
s
r
Z
n
o
h̄µ0 c2
ωk
3
−ik µ x µ
†
ik µ x µ
ˆ
Ê = −dotA = i
d
k
ε
(
k,
λ
)
â
(
k,
λ
)
e
−
â
(
k,
λ
)
e
,
∑
2
(2π )3 λ=1,2
(3.72a)
s
B̂ = rot  = −i
h̄µ0 c2
(2π )3
∑
λ=1,2
Z
o
µ
µ
k×E n
â(k, λ)e−ikµ x − ↠(k, λ)eikµ x
.
d3 k √
2ωk
(3.72b)
Damit berechnet man
: Ĥ: =
: p̂: =
Z
(3.66)
d3 r H =
∑
(3.72) λ=1,2
∑
Z
Z
d3 k h̄ωk ↠(k, λ) â(k, λ) ,
d3 k h̄k ↠(k, λ) â(k, λ) .
(3.73)
(3.74)
λ=1,2
2014-12-02
37
B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n | 4
4
Behandlung von
Wechselwirkungen
Anmerkung: In der Notation wird ab diesem Kapitel auf eine Markierung von Operatoren verzichtet.
4.1 Motivation
4.1.1 Geladenen Fermionen
Die bisherigen Felder waren wechselwirkungsfrei. Damit kann die Exitenz von Teilchen
und der sich daraus ergebenden Messgrößen wie Energie und Impuls bestimmt werden.
Die Teilchen koppeln jedoch aneinander.
¸ Beispiel Die Forderung nach einer lokalen Eichinvarianz des Dirac-Feldes führt auf eine
Gleichung der Form
q
mc iγµ ∂µ − γµ Aµ −
ψ=0
(4.1)
h̄
h̄
führt. Diese beschreibt die Kopplung geladener Teilchen an das elektromagnetische Feld.
Für das nicht-freie Maxwellfeld (3.56b) erhält man den Strom
jµ = cqψγµ ψ,
(3.55)(3.56b)
∂µ ∂µ Aν
=
(4.2)
(4.2)
µ0 cqψγν ψ.
(4.3)
Dieser beschreibt die Kopplung des Maxwellfeldes an geladene Dirac-Teilchen.
Das Ziel ist die Behandlung dieser Wechselwirkung auf Basis der freien Felder.
µ
4.1.2 Lagrangedichten für Wechselwirkungen
Eine Lagrangedichte, aus der sowohl (4.1) als auch (4.3) folgen, ist
1
(∂µ Aν )(∂µ Aν ) −cqψγµ ψAµ
L = ih̄cψγµ ∂µ ψ − mc2 ψψ −
2µ
0
|
{z
}|
{z
}
{z
}|
LD
LM
(4.4)
LI
mit
2014-12-02
39
4.2 | F o r m a l i s m u s z u r B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n
I
der Lagrangedichte L D des Dirac-Feldes,
I
der Lagrangedichte L M des Maxwellfeldes in Lorentzeichung,
I
dem Wechselwirkungsterm L I .
Im Gegensatz zu den freien Feldern kommen die Felder in höheren Ordnungen als zwei vor.
Die zugehörigen Bewegungsgleichungen enthalten Terme, die nichtlinear in den Feldern
sind.
Im Allgemeinen werden Wechselwirkungen durch nichtlineare Terme beschrieben. Das
einfachste vorstellbare Beispiel ist ein Teilchen, welches mit sich selbst wechselwirkt.
4.1.3 Modellpotential
Ein mit sich selbst wechselwirkendes ungeladenes skalares Teilchen könnte beschrieben
werden durch
L = L0 + L I ,
(4.5a)
wobei
1
m2 2
(∂µ φ)(∂µ φ) −
φ
2
2
g
L I = − φ3 .
3
L0 =
(4.5b)
(4.5c)
Dieses Modell hat jedoch keinen stabilen Grundzustand. Daher wählen wir den nächsteinfacherer Term
g
(4.5d)
L I = − φ4 , g > 0 .
4
Dieses Potential hat die Form eines Mexican-Hat. Die daraus resultierenden Euler-LagrangeGleichungen lauten
∂L
∂L (4.5b)
∂µ
−
= ∂µ ∂µ φ + m2 φ + gφ3 .
(4.6)
∂φ,µ
∂φ (4.5d)
Damit erhalten wir die Impulsdichte
π=
∂L
= φ̇
∂φ̇
und die Hamiltondichte
H = π φ̇ − L =
π2
1
m2 2 g 4
− (∂` φ)(∂` φ) +
φ + φ .
2
2
2
4
(4.7)
Das System besitzt für reelle Massen einen Grundzustand bei φ = 0.
4.2 Formalismus zur Behandlung von Wechselwirkungen
Die nichtlinearen Terme lassen sich zumeist nicht explizit lösen, daher ist eine störungstheoretische Behandlung notwendig.
40
2014-12-09
B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n | 4
4.2.1 Zeitentwicklung und Wechselwrikungsbild
Die Feldoperatoren der freien Felder folgen den Heisenberg-Bewegungsgleichungen
ih̄φ̇ = [φ, :H:] ,
(4.8)
sind also im Heisenbergbild gegeben. Als Beispiel betrachten wir die Klein-Gordon-Gleichung
und berechnen die Heisenberg-Bewegungsgleichung für den Feldoperator φ(r, t)
r
Z
Z
n
o
2mc2
(3.11a)
[φ(r, t), :H:] =
d3 k d3 k0 E(k) [ ak , a†k0 ] ak0 f k (r, t) + c†k0 [c†k , ck0 ] f k∗ (r, t) .
h̄
(3.25b)
Dabei ist E(k) = h̄ck0 und [ ak , a†k0 ] = δ(k − k0 ) sowie [c†k , ck0 ] = −δ(k − k0 ) und somit
r
Z
2mc2
h̄
d3 k ak ck0 f k (r, t) + c†k (−ck0 f k∗ (r, t)) .
[φ(r, t), :H:] =
h̄
Da die Funktion f k ∝ e−ikµ x ist, können wir den Term ck0 f k (r, t) als Ableitung nach der
Zeit interpretieren
µ
ck0 f k (r, t) = ic∂ct f k (r, t).
Damit erhalten wir schließlich
[φ(r, t), :H:] = ih̄∂t φ(r, t) .
(4.9)
Eine formale Lösung für den Feldoperator ist
φH (r, t) = ei:H:t/h̄ φS (r )e−i:H:t/h̄ .
(4.10)
Dabei symbolisiert der Index H, dass es sich um einen Operator im Heisenbergbild handelt
und entsprechend kennzeichnet S einen Operator im Schrödingerbild φS (r ) = φH (r, 0).
Im Folgenden werden wir eine typische Aufteilung des Hamiltonoperators
H = H0 + H1
(4.11)
verwenden. Dabei ist H0 der Hamiltonoperator des freien Feldes und H1 beschreibt die
Wechselwirkung, welche wir als kleine Störung behandeln wollen. Dazu definieren wir
zuerst das Wechselwirkungsbild eines Operators A im Schrödingerbild, der eine explizite
Zeitabhängigkeit trägt
A I (t) = eiH0 t/h̄ AS (t)e−iH0 t/h̄ ,
(4.12)
was zu einer Heisenberg-Bewegungsgleichung
ih̄ Ȧ I (t) = [ A I (t), H0 ] + ih̄∂t A I (t)
(4.13a)
mit
∂t A I = eiH0 t/h̄ ∂t AS e−iH0 t/h̄
(4.13b)
führt. Insebesondere gilt für Feldoperatoren
ih̄φ̇ I (r, t) = [φ I (r, t), H0 ] .
2014-12-09
(4.14)
41
4.2 | F o r m a l i s m u s z u r B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n
Diese besitzen keine explizite Zeitabhängigkeit im Schrödingerbild. Nach (4.12) und (4.11)
entspricht die Wechselwirkungsdarstellung dem Heisenbergbild der freien Felder, also
φ I (r, t) = φH,freie Felder .
(4.15)
Für den Wechselwirkungsterm gilt dann
H1I = eiH0 t/h̄ H1 (Φ(r, t), . . .)e−iH0 t/h̄ = H1 (Φ I (r, t), . . .).
(4.16)
Verwendet man die Heisenbergdarstellung der Feldoperatoren, also zum Beispiel (3.11a)
und (3.11b) für das Klein-Gordon-Feld, erhält man automatisch die Wechselwirkungsdarstellung H1I des Wechselwirkungsterms H1 . Damit ist H1I explizit zeitabhängig.
Die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild lautet für einen Zustand
|ψ I (t)i = eiH0 t/h̄ |ψS (t)i ,
ih̄∂t |ψ I (t)i = H1I (t) |ψ I (t)i .
(4.17a)
(4.17b)
Wie wir sehen, wird die Zeitentwicklung nur durch H1I (im Folgenden nur noch H1
genannt) bestimmt. Der Zeitentwicklungsoperator ergibt sich dann zu
|ψ I (t)i = U I (t, t0 ) |ψ I (t0 )i ,
U I (t, t0 ) = e
(4.17c)
iH0 t/h̄ −iH0 (t−t0 )h̄ −iH0 t0 /h̄
e
e
.
(4.17d)
Dabei gilt stets
ih̄∂t U I (t, t0 ) = H I U I (t, t0 ) .
(4.18)
4.2.2 Störungsrechnung
Die formale Lösung von (4.18) ist gegeben durch
U (t, t0 ) = 1 −
Z t
i
h̄
t0
dt0 H (t0 )U (t0 , t0 ) .
(4.19)
Dabei ist der erste Term in (4.19) so gewählt, dass die Unitarität von U (t, t0 ) gewährleistet
ist. Im Rahmen der Störungstheorie benutzen wir einen Iterationsansatz der Form
U (t, t0 ) = 1 +
∞
∑ Un (t, t0 ) .
(4.20a)
n =1
Einsetzen von (4.20a) in (4.19) führt auf die Rekursionsbeziehung
Un (t, t0 ) = −
i
h̄
Z t
t0
dt0 H I (t0 )Un−1 (t0 , t0 ) .
(4.20b)
Damit ergibt sich schließlich
Un (t, t0 )
42
(4.20a)
= −
(4.20b)
i
h̄
Z t
t0
dt0 H I (t0 ) −
1
Z t
h̄2
t0
dt0
Z t0
t0
dt00 H I (t0 ) H I (t00 ) + . . .
(4.21)
2014-12-09
B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n | 4
Mit dem Zeitordnungsoperator T kann dieser Term vereinfacht werden. Seine Wirkung ist
T ( A(t1 ) A(t2 ) A(t3 ) A(t4 )) = (±1) p A(tα1 ) A(tα2 ) . . .
(4.22a)
Für Bosonen wird das positive Vorzeichen benötigt, für Fermionen das negative. Dabei
steht p für die Anzahl der Permutationen, die benötigt werden, um ein zeitgeordnetes
Produkt zu erzeugen, also
t α1 < t α2 < t α3 . . .
(4.22b)
Für einen Term n-ter Ordnung in (4.21) lässt sich dann schreiben
1
h̄n
Z t
t0
(4.22a)
=
(4.22b)
dt1
Z t1
1
n!h̄n
t0
dt2 . . .
Z t
t0
dt1
Z t n −1
Z t
t0
t0
dtn H I (t1 ) H I (t2 ) . . . H I (tn )
dt2 . . .
Z t
t0
dtn T ( H I (t1 ) H I (t2 ) . . . H I (tn ))
(4.23)
oder schließlich
(4.21)
U (t, t0 ) = 1 +
(4.23)
= Te
− h̄i
∞
1
∑ n!
n =1
Rt
t0
−
dt0 H I (t0 )
i
h̄
n Z
t
t0
dt1 . . .
Z t
t0
dtn T ( H I (t1 ) . . . H I (tn ))
.
(4.24)
In einer Störungsrechnung bestimmt man nicht die volle Reihe in (4.24), sondern die
niedrigsten Ordnungen, also zum Beispiel
U1 (t, t0 ) = −
i
h̄
Z t
t0
H I (t0 ) dt0
(4.25)
für die erste Ordnung, was dann auf einen genäherten Zeitentwicklungsoperator der Form
U (t, t0 ) ≈ 1 + U1 (t, t0 )
(4.26)
führt.
4.2.3 Die Streumatrix
Wir wollen im Folgenden Vorgänge betrachten, die wie folgt ablaufen. Am Anfang (t →
−∞) liegt die Situation vor, dass sich ein freies Teilchen dem Streuzentrum nähert, gestreut
wird und zu einem Zeitpunkt t → ∞ wieder als freies Teilchen behandelt werden kann
(siehe auch Bild 6). Für zwei Teilchen haben wir anfänglich den Zustand
1
| i i = | k 1 , S1 i | k 2 , S2 i = √ a † ( k 1 , S1 ) a † ( k 2 , S2 ) | 0 i ,
2
(4.27)
wobei der Zustand |0i den Vakuumszustand beschreibt. Unter der Annahme, dass der
freie Zustand |i i zur Zeit t → −∞ vorliegt, erhalten wir für die Zeitentwicklung
|ψi (t)i = U (t, −∞) |i i .
2014-12-09
(4.28)
43
4.2 | F o r m a l i s m u s z u r B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n
Elementarteilchen
bewegen sich
aufeinander zu
Elementarteilchen
entfernen sich
voneinander
Wechselwirkungsbereich
I 6 Einfallende Teilchen verhalten sich für Zeiten t → −∞ wie freie Teilchen. Nachdem sie den
Wechselwirkunsgbereich durchlaufen haben, sind sie für Zeiten t → ∞ wieder als freie Teilchen
zu interpretieren.
Zur Zeit t → ∞ liegt der Endzustand | f i vor, der sich erneut durch freie Teilchenzustände
beschreiben lässt,
| f i = U (∞, t) |ψ f (t)i ,
(4.29a)
|ψ f (t)i = U (t, ∞) | f i .
(4.29b)
Es folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass der Übergang |i i → | f i stattfindet
D
E
ψ f (t) ψi (t) = h f | U (∞, −∞) | i i ≡ S f i ,
(4.30)
mit dem Element S f i der Streumatrix S. Daraus folgern wir
(4.24)
i
S = U (∞, −∞) = T e− h̄
R∞
−∞
dt0 H I (t0 )
.
(4.31)
Vorgehen: Um die Streumatrix S bestimmen zu können, entwicklen wir S in eine Störungsreihe. Dies ist jedoch schwer auszuwerten, da wir gesehen haben, dass normalgeordnete Produkte relevant sind, der Zeitordnungsoperator T stört jedoch diese Normalordnung.
Ein zeitgeordnetes Produkt lässt sich jedoch in ein normalgeordnetes umschreiben.
Als Beispiel betrachten wir einen Wechselwirkungsterm der einen Feldoperator eines
reellen Feldes φ enthalten soll,
φ=
Z
d3 k ak f k ( x ) + a†k f k∗ ( x ) .
In zweiter Ordnung Störungstheorie erhalten wir
Z ∞
−∞
dt1
Z ∞
−∞
dt2 T (φ(t1 )φ(t2 )) .
Durch die Zeitordnung treten darin Terme der Form
a k1 a k2 ,
44
a k2 a k1 ,
a†k1 ak2 ,
...
2014-12-16
B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n | 4
auf. Insbesondere kommt dadurch jede erdenkliche Kombination der einzelnen Erzeuger
und Vernichter vor. Betrachten wir nun ein Matrixelement der Streumatrix
hk a | S | kb i ,
so ist hierfür die Darstellung
E
D Sab = k a a†ka akb kb
besonders einfach, denn
(4.32)
E
D Sab = 0 aka a†ka akb a†kb 0 .
Damit ist jeweils nur eine Vertauschung
aka a†ka = ± a†ka aka + x
akb a†kb = ± a†kb akb + y
nötig, um die nichtverschwindenden Terme x und y zu erhalten, alle anderen führen zur Anwendung von Vernichtern auf den Vakuumszustand |0i und damit verschwinden diese. Das
Vorzeichen ist hierbei + für Bosonen und − für Fermionen (Kommutator/Antikommutator).
Der Term in (4.32) ist gerade normalgeordnet. Eine Verallgemeinerung überlegt man sich
leicht für höhere Potenzen der Operatoren. Unter einer Normalordnung höherer Potenzen
versteht man die Form,
a†k1 a†k2 . . . ak2 ak1 ,
in der alle Erzeuger links und alle Vernichter rechts stehen. Die Reihenfolge der Indizes 1, 2 . . . ist nur für Fermionen relevant, bei bosonischen Operatoren kommutieren die
einzelnen aki repsketive a†ki untereinander.
4.2.4 Wicksches Theorem
Wir führen die Kontraktion zweier Operatoren ein.
AB = T ( AB) − :AB:
(4.33)
Von der Zeitordnung wissen wir, dass
T ( AB) = AB
gilt, falls die Operatoren bereits zeitgeordnet sind, ansonsten gilt:
(
BA = AB + BA − AB = AB + [ B, A]
Bosonen
T ( AB) =
− BA = AB − BA − AB = AB − { B, A} Fermionen
(4.34a)
(4.34b)
Analog gilt für die Normalordnung, sofern AB bereits normalgeordnet ist
:AB: = AB .
2014-12-16
45
4.2 | F o r m a l i s m u s z u r B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n
Ist jedoch B ein Erzeuger und A ein Vernichter, so gilt:
(
:AB: =
AB + [ B, A]
AB − { B, A}
Bosonen
Fermionen
(4.35)
Für die Kontraktion verbleibt:
(
AB =
a[ B, A]
Bosonen
− a{ B, A} Fermionen
a ∈ {1, 0, −1}
Die Kommutatoren/Antikommutatoren der Feldoperatoren sind nach den Quantisierungsregeln aller behandelten Felder keine Operatoren sondern komplexe Zahlen, welche
gegebenenfalls noch mit Einheiten multipliziert sind, also
h0| AB |0i = AB ,
(4.36)
weiterhin gilt
h0 | :AB: | 0i = 0
(4.37)
und damit
(4.33)
h0 | T ( AB) | 0i = AB .
(4.37)
(4.38)
Für ein zeitgeordnetes Produkt erhält man damit
(4.33)
(4.38)
T ( AB) = :AB: + AB = :AB: + h0 | T ( AB) | 0i ,
(4.39)
also das normalgeordnete Produkt addiert mit einer komplexen Zahl, nämlich nach (4.38)
den Vakuumserwartungswert von T ( AB). Die Verallgemeinerung lautet (ohne Beweis)
T ( A1 A2 . . . An ) = :A1 A2 . . . An :
+ : A1 A2 . . . An : + :A1 A2 A3 . . . An : + . . .
+ : A1 A2 A3 A4 . . . A n : + : A1 A2 A3 A4 A5 . . . A n : + . . .
+ : A1 A2 A3 A4 A5 A6 . . . A n : + : A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 . . . A n : + . . . ,
(4.40)
wobei in der zweiten Zeile in (4.41) jeweils alle Möglichkeiten einer Kontraktion in der Normalordnung auftreten, in der zweiten Zeile alle Möglichkeiten zweier Kontraktionen, in der
dritten Zeile alle Möglichkeiten dreier Kontraktionen usw. Dies ist das Wicksche Theorem.
Treten bereits normalgeordnete Terme in (4.40) auf, zum Beispiel T (:AB:CD:EF:), so entfallen in (4.40) die Kontraktionen, welche zwei Operatoren aus demselben normalgeordneten
Produkt enthalten würden.
46
2014-12-16
B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n | 4
Transport eines Teilchens von x 0 nach x
Zeit
Zeit
t
t0
+q
t0
−q
t
x
x0
I7
Transport eines Antiteilchens von x nach x 0
Ort
x
x0
Ort
Links: t > t0 : 0 φ( x )φ† ( x 0 ) 0 . Rechts: t < t0 : 0 φ† ( x 0 )φ( x ) 0 .
4.3 Propagatoren
Propagatoren stellen die trivialste (nämlich keine) Wechselwirkung dar. Als Beispiel betrachten wir ein Teilchen, das sich zum Zeitpunkt t1 am Ort r 1 befinden soll. Es wird dabei
durch den Zustand
|ψ(r 1 , t1 )i = φ† (r 1 , t1 ) |0i
(4.41)
beschreiben. Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit wissen, mit der das Teilchen zum
Zeitpunkt t2 am Ort r 2 ist. Dazu benötigt man
(4.41)
hψ(r 2 , t2 ) | ψ(r 1 , t1 )i =
E
D 0 φ (r 2 , t2 ) φ † (r 1 , t1 ) 0 .
(4.42)
Der Feynman-Propagator
E (4.38)
D ∆ F ( x − x 0 ) = −i 0 T (φ( x )φ† ( x 0 )) 0 = −i φ( x )φ† ( x 0 )
(4.43)
tritt typischerweise in Zeitentwicklungen auf. Seine Bedeutung wird klar, wenn wir die
beiden Fälle t > t0 und t < t0 und die dazugehörigen Orts-Zeit-Diagramme in Abbildung 7
betrachten.
4.3.1 Feynman-Propagator für das Klein-Gordon-Feld
Wir rufen uns die Feldoperatoren des Klein-Gordon-Feldes in Erinnerung,
φ(r, t)
2014-12-16
(3.11a)
=
2mc2
h̄
Z
d3 k ak f k (r, t) + c†k f k∗ (r, t)
47
4.3 | P ro pag at o r e n
und berechnen damit den Feynman-Propagator
E
D (4.43)
∆ F ( x − x 0 ) = −i 0 T (φ( x )φ† ( x 0 )) 0
(
Z
Z
E
D 2mc2
3
3 0
= −i
d k d k f k (r, t) f k∗0 (r 0 , t0 ) 0 ak a†k0 0
h̄
|
{z
}
0
=δ(k−k )
E
D + f k (r, t) f k0 (r , t ) 0 ak ck0 0 + f k∗ (r, t) f k∗0 (r 0 , t0 ) 0 c†k a†k0 0
|
{z
}
|
{z
}
0
0
=0
=0
)
E
D † ∗
0
0
+ f k (r, t) f k0 (r , t ) 0 ck ck0 0 Θ(t − t0 )
{z
}
|
=0
Z
2mc2
Z
d3 k d3 k0 f k0 (r 0 , t0 ) f k∗ (r, t)δ(k − k0 )Θ(t0 − t)
h̄
Z
o
1
1 n −ikµ ( xµ − x0µ )
(3.9b)
3
0
ik µ ( x µ − x 0µ )
0
= −imc2
d
k
e
Θ
(
t
−
t
)
+
e
Θ
(
t
−
t
)
.
E(k)
(2π )3
−i
Oder anders geschrieben,
∆ F ( x − x 0 ) = −i
Z
o
d3 k mc2 n −ikµ ( xµ − x0µ )
0
ik µ ( x µ − x 0µ )
0
e
Θ
(
t
−
t
)
+
e
Θ
(
t
−
t
)
.
(2π )3 E(k)
(4.44)
Die beiden Summanden lassen sich auch einheitlich schreiben. Dazu machen wir einen
kleinen Ausflug in die Funktionalanalysis und betrachten das Integral
Z
c1
0
00
i
0i
e−ik0 ( x − x ) e−iki ( x − x )
dk0
2
k µ kµ − mc
h̄
Indem wir den Nenner etwas umschreiben, können wir die Polstellen verdeutlichen
q
q
mc 2 = k0 − (k i )2 + (mc/h̄)2
k0 + (k i )2 + (mc/h̄)2 .
k µ kµ −
h̄
Das Ergebnis des Integrals, das sich für den Weg aus Abbildung 8 ergibt, ist dann das
Residuum für den Pol bei E/ch̄.
Z
c1
0
00
i
0i
0
00
i
0i
e−ik0 ( x − x ) eiki ( x − x )
2πi
p
dk0 =
e−ik0 ( x − x ) e−iki ( x − x )
2
i )2 + ( mc/h̄ )2
k
+
(
k
k µ kµ − mc
0
h̄
= 2πi
µ
0µ
µ
0µ
e−ikµ ( x − x )
2πi e−ikµ ( x − x )
=
ch̄
,
2k0
2
E(k)
(4.45)
oder anders ausgedrückt
−
48
2mc
h̄
c1
0µ
d4 k
e−ikµ ( x − x )
4
(2π ) k µ kµ − (mc/h̄)2
µ
Z
(4.45)
= −i
Z
d3 k mc2 −ikµ ( xµ − x0µ )
e
.
(2π )3 E(k)
(4.46)
2014-12-16
B e h a n d l u n g v o n We c h s e lw i r k u n g e n | 4
=k0
k0 = −
I8
q
E
2
2
( mc
h̄ ) + ∑i ( k i ) = − ch̄
k0 =
q
E
2
2
( mc
h̄ ) + ∑i ( k i ) = ch̄
<k0
Integrationsweg von c1 der den Pol bei E/ch̄ enthält.
Integrand verschwindet auf diesem Abschnitt
I9
Neuer Integrationsweg
Nun kann man den Integrationsweg noch vereinfachen, indem man die Pole infenitesimal
in der imaginären Ebene verschiebt (siehe Abbildung 9),
!
q
iε
2
2
×
k0 − (k i ) + (mc/h̄) + p
2 (k i )2 + (mc/h̄)2
!
q
iε
k0 + (k i )2 + (mc/h̄)2 − p
2 (k i )2 + (mc/h̄)2
= k20 − k i ki + (mc/h̄)2 + iε + O(ε2 )
Damit ergibt sich für die Kontur c1
Z
c1
2014-12-16
→ lim
Z −∞
ε →0 ∞
0µ
0µ
∞
e−ikµ ( x − x ) dk0
e−ikµ ( x − x ) dk0
= − lim
µ
2
ε→0 −∞ k µ k µ − ( mc/h̄ )2 + iε
k µ k − (mc/h̄) + iε
µ
Z
µ
(4.47)
49
4.3 | P ro pag at o r e n
und es folgt
−i
Z
d3 k mc2 −ikµ ( xµ − x0µ ) (4.46) mc
e
= 2
h̄
(2π )3 E(k)
(4.47)
Z
0µ
e−ikµ ( x − x )
d4 k
.
(2π )4 k µ kµ − (mc/h̄)2 + iε
µ
(4.48)
Für den zweiten Summanden mit dem Term Θ(t0 − t) findet man exakt dieselbe Darstellung,
man kann also ohne Einschränkung der Θ-Funktionen schreiben
(4.48)
∆F (x − x0 ) = 2
(4.44)
mc
h̄
Z
0µ
d4 k
e−ikµ ( x − x )
µ
4
(2π ) k µ k − (mc/h̄)2 + iε
µ
(4.49)
Der limε→0 wird oft nicht geschrieben, ist aber immer im Hinterkopf zu behalten!
4.3.2 Dirac- und Maxwellfeld
Vollkommen analog kann man Propagatoren für das Diracfeld aufstellen
S F ( x − x 0 ) = −i ψ ( x ) ψ ( x 0 )
E
D = −i 0 ψ ( x ) ψ ( x 0 ) 0
=
Z
/
k + mc
d4 k
h̄
.
4
(2π ) k µ kµ − mc 2 + iε
h̄
(4.50)
Für das Maxwellfeld, das heißt für den Photonenpropagator, ergibt sich
FFαβ ( x − x 0 ) = −
50
Z
µ
0µ
h̄µ0 c
d4 k
eikµ ( x − x ) ηαβ + Eichterm .
(2π )4 k µ kµ + iε
(4.51)
2015-01-13
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
5
Quantenelektrodynamik
5.1 Wechselwirkungsterm
5.1.1 Streumatrix
Die Quantenelektrodynamik behandelt die Wechselwirkung von Teilchen der Dirac-Gleichung
(Elektronen, Positronen) mit dem Maxwellfeld (Photonen). Ausgangspunkt ist hierbei die
Lagrangedichte (4.4), insbesondere der Wechselwirkungsterm
/
L I = −ce:ψγµ ψAµ : = −ce:ψ Aψ:
(5.1)
mit den Feldoperatoren
∑
ψ=
s=↑,↓
s
Aµ =
Z
d3 k
√ 3
2π
h̄µ0 c2
(2π )3
∑
s
Z
λ
o
µ
µ
mc2 n
b(k, s)u(k, s)e−ikµ x + d† v(k, s)eikµ x
,
Ek
o
µ
µ
εµ (k, λ) n
d3 k √
a(k, λ)e−ikµ x + a† (k, λ)eikµ x
2ωk
und der Ladung q = e = −e0 < 0. Wir finden also für den Hamiltonoperator der
Wechselwirkung
:H I : =
Z
:H I : d3 r = ce
Z
/ d3 r .
:ψ Aψ:
(5.2)
Damit lautet die Streumatrix der QED
S = Te−i
= Te−i
(5.2)
R∞
−∞
R
:H I : dt/h̄
:H I : d4 x/(ch̄)
R
4
/ d x/h̄
= Te−ie :ψ Aψ:
Z
∞
ie n n
1
/ ( xi ) ψ ( xi ) :
= ∑
−
T ∏ d4 xi :ψ( xi ) A
n!
h̄
n =0
i =1
(5.3)
sowie die Terme erster und zweiter Ordnung
S (1) = −
S (2) =
2015-01-13
1
2
ie
h̄
Z
/( x )ψ( x ): ,
d4 x :ψ( x ) A
2 Z
ie
/( x1 )ψ( x1 )::ψ( x2 ) A
/ ( x2 ) ψ ( x2 ) : .
−
T d4 x1 d4 x2 :ψ( x1 ) A
h̄
(5.4a)
(5.4b)
51
5.2 | F e y n m a n- D i ag r a m m e
5.1.2 Rechtfertigung der Störungsreihe
Für jede Ordnung ergibt sich in grober Näherung
e/h̄
Z
/( x )ψ( x ): ≈
d4 x :ψ( x ) A
√
α
(5.5)
1
mit der Feinstrukturkonstanten α ≈ 137
. Wie wir später sehen werden, trägt nur jede
zweite Ordnung zu den Übergangsamplituden bei, sodass die Störungsreihe (5.3) einer
1
entspricht.
Entwicklung nach der kleinen Zahl 137
5.2 Feynman-Diagramme
Die Aufgabe der QED besteht nun darin, die einzelnen Ordnungen der Ströungsreihe
aus (5.3) auszuwerten, um damit physikalische Prozesse zu erklären. Dabei sind aufgrund
von 3n Feldoperatoren in n-ter Ordnung, 2 Erzeugern oder Vernichtern in den Modenentwicklungen (3.46) und (3.70a) und der Zeitordnung viele Terme zu erwarten. Bei deren
Sortierung ist eine graphische Darstellung in Feynmandiagrammen hilfreich.
Die typische Auftragung erfolgt in Raum-Zeit-Diagrammen,
t
r
wobei diese Achsen eigentlich nie gezeichnet werden.
In den Feynman-Diagrammen treten folgende Symbole auf:
52
I
Elektronen als durchgezogene Linien mit Pfeil in positiver Zeitrichtung:
I
Positronen als durchgezogene Linien, allerdings mit Pfeil in negativer Zeitrichtung
in Anlehnung an die Feynman-Stückelberg Interpretation:
I
Photonen als gewellte Linien (ohne Pfeil, da es keine unabhängigen Antiteilchen
gibt):
2015-01-13
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
I
Externe statische (waagrecht im Diagramm) Felder sind durch Wellenlinien mit einem
Kreuz am Ende gekennzeichnet:
I
Das Erzeugen und Vernichten von Teilchen, also das Auftreten der Operatoren a, a† ,
b, b† , d, d† wird durch einen Punkt (Vertex) gekennzeichnet:
Mit diesen elementaren Bausteinen kann man folgende Situationen beschreiben:
I
Ein- und auslaufendes Teilchen, also freie Teilchen bei t = ±∞ haben nur auf einer
Seite einen Vertex. Zum Beispiel ein einlaufendes Elektron und auslaufendes Positron
Endzustand | f i
Vernichter b des Elektrons
|
I
Anfangzustand |i i
{z
b |i i
}
|
Photonenerzeugung a†
{z
h f | a†
}
Sogennante innere Linien, Linien mit zwei Vertizes beschreiben ein Teilchen, das in
einem Prozess erzeugt und anschließend in einem weiteren vernichtet wird
Vernichter eines Positrons d
Erzeuger eines Positrons d†
Innere Linien beschreiben Teilchen, welche nach außen nicht auftreten können – sie
werden virtuelle Teilchen gennant. Sie treten in Kontraktionen auf, zum Beispiel
(4.50)
ψψ = iS F .
Diese enthalten immer die Propagationen von Teilchen und Antiteilchen, daher stellt
man sie im Diagramm ohne Zeitrichtung dar.
≡
2015-01-13
53
5.3 | E i n P ro z e s s e r s t e r Or d n u n g
5.3 Ein Prozess erster Ordnung
5.3.1 Beitrag zur Streumatrix
Im Folgenden wollen wir die erste Ordnung der Streumatrix
(5.4a)
S (1) = −
ie
h̄
Z
/( x )ψ( x ):
d4 x :ψ( x ) A
näher betrachten. Dazu definieren wir zunächst folgende Abkürzungen:
s
Z
µ
mc2
d3 k
ψ = ∑
b(k, s) u(k, s)e−ikµ x
√
3
b
E
k
2π
s=↑,↓
s
Z
µ
d3 k
mc2 †
ψ b† = ∑
b (k, s) u(k, s)eikµ x
√ 3
E
k
2π
s=↑,↓
s
Z
µ
mc2 †
d3 k
ψ † = ∑
d (k, s) v(k, s)eikµ x
√ 3
d
E
k
2π
s=↑,↓
s
Z
µ
d3 k
mc2
ψd = ∑
d(k, s) v(k, s)e−ikµ x
√ 3
E
k
2π
s=↑,↓
s
Z
µ
h̄µ0 c2
ε α (k, λ)
A aα =
d3 k √
a(k, λ)e−ikµ x
∑
3
(2π ) λ
2ωk
s
Z
µ
h̄µ0 c2
ε α (k, λ) †
a (k, λ)eikµ x
A a† α =
d3 k √
∑
3
(2π ) λ
2ωk
(5.6a)
(5.6b)
(5.6c)
(5.6d)
(5.6e)
(5.6f)
Alle Operatoren treten in (5.4a) am selben Raum-Zeit-Punkt auf, das heißt es gibt nur
einen Vertex. Allgemein gilt, dass in der Ordnung n aus (5.3) n Integrationsvariablen x µ
vorkommen und damit n Vertizes. Damit findet man
e−
(5.4a)
S(1) = − (ie/h̄)
Z
ψb† γα A aα ψ d4 x
b
e−
γ
e−
e+
− (ie/h̄)
Z
ψb† γα ψ † A aα d4 x
d
γ
e−
γ
− (ie/h̄)
Z
ψb† γα A a† α ψ d4 x
b
e−
54
2015-01-13
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
− (ie/h̄)
− (ie/h̄)
Z
ψ b † γ α A a † α ψ † d4 x
e+
γ
e−
d
Z
ψd γα A aα ψ d4 x
b
e−
e+
γ
e−
− (ie/h̄)
Z
:ψd γα ψ † : A aα d4 x
d
e−
γ
γ
− (ie/h̄)
Z
A a† α ψd γα ψ d4 x
b
e−
e+
e+
γ
− (ie/h̄)
Z
A a† α :ψd γα ψ † : d4 x
(5.7)
d
e+
5.3.2 Verschwinden der Matrixelemente
a) Anfangs- und Endzustände
Ein konkretes Matrixelement
h f | S (1) | i i
verschwindet nur dann nicht, wenn |i i und | f i die Teilchen enthalten, die in (5.7) erzeugt
oder vernichtet werden. Als Beispiel betrachten wir die Zustände
| i i = a † ( k1 , λ1 ) |0i
|fi = b
†
Dabei verbleibt nur der zweite Term aus (5.7). Er enthält die Operatoren
h 0|db d† b† a a† |0 i 6= 0
|{z}
|{z}
hf|
(5.8a)
(k20 , s20 )d† (k30 , s30 ) |0i .
(5.8b)
b† d† a
und damit
(5.9)
|i i
für geeignete k, λ und s. Betrachten wir hingegen den ersten Term aus (5.7), so enthält
dieser das Matrixelement
h0|db(b† ab) a† |0i = 0 ,
(5.10)
wobei das Ergebnis trivial zu sehen ist, denn die Operatoren a† und b vertauschen und
somit wenden wir einen Vernichtungsoperator auf den Vakuumzustand an.
Der zweite Prozess aus Gleichung (5.9) heißt Paarerzeugung, dabei verwandelt sich ein
Photon in ein Elektron-Positron-Paar.
2015-01-20
55
5.3 | E i n P ro z e s s e r s t e r Or d n u n g
b) Energie- und Impulserhaltung Dass es geeignete Anfangs- und Endzustände gibt,
heißt noch nicht, dass der Beispielprozess auch existiert. Das Matrixelement muss ungleich
Null sein. Eine explizite Rechnung (vgl. Übungen) für einen ähnlichen Prozess liefert
Z
h0|d(k30 , s30 )b(k20 , s20 )(−ie/h̄) ψb† γα ψd† A aα d4 x | a† (k1 , λ1 )|0i
√
−iemc3 µ0 u(k20 , s20 )γα v(k30 , s30 )ε α (k1 , λ1 ) (4) 0
q
δ (k3 + k20 − k1 ) .
=
4πh̄Ek0 Ek0 ωk1
2
3
(5.11)
Die δ-Funktion fordert die Erhaltung des Viererimpulses am Vertex (also die Energie- und
Impulserhaltung). Im vorliegenden Fall lässt sich beides nicht gleichzeitig erfüllen. Gleiches
gilt für alle acht Prozesse aus (5.7), das heißt alle Prozesse erster Ordnung existieren in der
Natur nicht.
5.3.3 Externe elektromagnetische Felder
In Fällen, in denen das elektromagnetische Feld in guter Näherung als äußeres klassisches
Feld behandelt werden kann, sind Prozesse erster Ordnung möglich, zum Beispiel die
Mott-Streuung
S(1) = (−ie/h̄)
Z
ψb† γα Aα (r )ψ d4 x ,
b
(5.12)
wobei hier ein klassisches Viererpotential der Form A = (φ/c, 0, 0, 0) angenommen wird.
Hierbei handelt es sich im eigentlichen Sinne um keinen Prozess erster Ordnung, da die
Annahme eines klassischen Feldes nur dann gerechtfertigt ist, sofern eine hohe Anzahl von
Photonen vorliegt. In der ersten Ordnung ist jedoch nur ein Photon involviert.
56
2015-01-20
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
5.4 Feynman-Regeln
Gleichung (5.11) lässt erkennen, welche Ausdrücke aus den Feldoperatoren nach Auswertung aller Integrale im Ergebnis auftreten. Die Feldoperatoren können nach (5.2) jedoch
einzelnen Ausdrücken aus den Feynman-Diagrammen zugeordnet werden. Das funktioniert auch für höhere Ordnungen systematisch und eindeutig. Daher gibt es feste Regeln,
nach denen man ein Feynman-Diagramm in ein Element der Streumatrix in der Form (5.11)
umschreiben kann und umgekehrt. Dies erspart eine explizite Rechnung. Dabei lauten die
Feynman-Regeln wie folgt:
I
Die Übergangsamplitude |i i → | f i ist durch eine Störungsreihe
∞
S f i = h f | S |i i = δ f i +
∑ Sfi
(n)
(5.13)
n =1
gegeben.
I
(n)
In der Ordnung S f i treten alle topologisch verschiedenen Feynman-Diagramme n-ter
Ordnung (n Vertizes) auf. Jedes dieser Feynman-Diagramme ergibt eine Teilamplitude
S f i,m mit
(n)
Sfi =
∑ S f i,m .
(n)
(5.14)
m
Die Teilamplitude lässt sich nach folgenden Regeln aus dem Diagramm auslesen, wobei
alle Terme multiplikativ auftreten. Die Terme innerer Fermionenlinien werden entgegen der
Pfeilrichtung aus dem Diagramm abgelesen und dann von links nach rechts geschrieben.
I
Elektron
= √
= √
I
2π
3
s
1
2π
3
mc2
u(k, s)
Ek
einlaufend
mc2
u(k, s)
Ek
auslaufend
mc2
v(k, s)
Ek
einlaufend
mc2
v(k, s)
Ek
auslaufend
Positron
= √
= √
I
s
1
s
1
2π
3
s
1
2π
3
Photon
= √
2015-01-20
s
1
2π
3
h̄µ0 c2
ε α (k, λ) =
2ωk
57
5.5 | Au s g e wä h lt e P ro z e s s e 2 . O r d n u n g
I
Vertex = − ieh̄ (2π )4 γα δ(4) (∑i,ausl. k i − ∑i,einl. k i )
I
Innere Fermionenlinie
=i
Z
d4 k
S̃ F (k) =
(2π )4
Z
/
k + mc
d4 k
h̄
,
(2π )4 k µ kµ − (mc/h̄)2 + iε
wobei die Impulse gegebenenfalls nicht durch ein- und auslaufende Zustände festgelegt sind.
I
Innere Photonenlinie
=i
Z
d4 k
D̃F (k) = −i
(2π )4 αβ
Z
d4 k h̄µ0 cηαβ
(2π )4 k µ kµ + iε
I
Ist eine ungerade Anzahl an Transpositionen nötig, um die Fermionenoperatoren in
Normalordnung zu bringen, so wird das Ergebnis mit −1 durchmultipliziert.
I
Für jede in sich geschlossene Fermionenschleife
wird das Ergebnis eben-
falls mit −1 durchmultipliziert.
5.5 Ausgewählte Prozesse 2. Ordnung
5.5.1 Streumatrix 2. Ordnung
Die Streumatrix zweiter Ordnung lautet umgeschrieben in ein normalgeordnetes Produkt
Z
n
1
ie 2
(2)
−
S =
dx1 dx2 :ψ( x1 )γα Aα ( x1 )ψ( x1 )ψ( x2 )γ β A β ( x2 )ψ( x2 ):
2
h̄
+ : ψ ( x1 ) γ α A α ( x1 ) ψ ( x1 ) ψ ( x2 ) γ β A β ( x2 ) ψ ( x2 ) :
+ :ψ( x1 )γα Aα ( x1 )ψ( x1 )ψ( x2 )γ β A β ( x2 ) ψ( x2 ):
+ :ψ( x1 )γα Aα ( x1 ) ψ( x1 )ψ( x2 ) γ β A β ( x2 )ψ( x2 ):
+ : ψ ( x1 ) γ α A α ( x1 ) ψ ( x1 ) ψ ( x2 ) γ β A β ( x2 ) ψ ( x2 ) :
(5.15)
+ : ψ ( x1 ) γ α A α ( x1 ) ψ ( x1 ) ψ ( x2 ) γ β A β ( x2 ) ψ ( x2 ) :
+ :ψ( x1 )γα Aα ( x1 ) ψ( x1 )ψ( x2 ) γ β A β ( x2 ) ψ( x2 ):
o
+ ψ ( x1 ) γ α A α ( x1 ) ψ ( x1 ) ψ ( x2 ) γ β A β ( x2 ) ψ ( x2 ) ,
58
2015-01-20
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
wobei berücksichtigt wurde, dass kommutierende/antikommutierende Operatoren eine
verschwindende Kontraktion haben.
5.5.2 Vorkommende Prozesse
Sortiert nach den Zeilen von (5.15):
I
1. Zeile: Verdopplung der Prozesse erster Ordnung und damit kein Beitrag zur
Übergangsamplitude
I
2. und 4. Zeile: Prozesse mit einer inneren Fermionenlinie, zum Beispiel die ElektronPhoton-Streuung
I
3. Zeile: Prozesse mit einer inneren Photonenlinie, zum Beispiel die Elektron-PositronStreuung (Bhaba-Streuung)
I
5.-7. Zeile: Prozesse mit zwei inneren Linien, zum Beispiel die Vakuumpolarisation
(virtuelles Elektron-Positron-Paar)
I
8.Zeile: Sog. Vakuumblase, welche einen divergierenden Anteil liefert und daher
ignoriert werden muss.
2015-01-27
59
5.5 | Au s g e wä h lt e P ro z e s s e 2 . O r d n u n g
5.5.3 Elektron-Elektron-Streuung (Møller-Streuung)
a) Übersicht über die Terme
Das Feynman-Diagramm ist
und gehört zum Term
S (2) =
1
2
−
ie
h̄
2 Z
:ψb† ( x1 )γα Aα ( x1 )ψ ( x1 )ψb† ( x2 )γ β A β ( x2 ) ψ ( x2 ): dx1 dx2 .
b
b
(5.16)
Die zugehörigen nichtverschwidenden Anfangs- und Endzusstände sind
| i i = b † ( k1 , s1 ) b † ( k2 , s2 ) |0i ,
|fi = b
†
(k10 , s10 )b† (k20 , s20 ) |0i
(5.17a)
.
(5.17b)
Die Tatsachen, dass in den Modenentwicklungen der Feldoperatoren alle Impulse und Spins
0 0
vorkommen und somit die Zustände (k1 , s1 ), (k2 , s2 ), (k10 , s10 ) und
R (k2R, s2 ) mit jedem Vertex
verknüpft sind sowie durch die Integration über alle Zeiten in dx1 dx2 . . . die zeitliche
Reihenfolge vertauschbar ist, führt darauf, dass sich hinter dem Feynman-Diagramm vier
Summanden verbergen, die sich aus (5.16) ergeben.
(k10 , s10 )
(k20 , s20 )
(k10 , s10 )
(k20 , s20 )
=
+
( k2 , s2 )
( k2 , s2 )
( k1 , s1 )
( k1 , s1 )
(k10 , s10 )
(k20 , s20 )
(k10 , s10 )
(k20 , s20 )
+
+
( k1 , s1 )
( k1 , s1 )
( k2 , s2 )
( k2 , s2 )
Dabei heißen die Diagramme des ersten und dritten Summanden direkte Streuung und die
des zweiten und vierten Austauschstreuung.
60
2015-01-27
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
b) Streuamplitude Die Streuamplitude ergibt sich aus den Feynman-Regeln. Für die
direkte Streuung erhält man (mit dem Photonenimpuls k p )
I
am linken Vertex
mc2
ie
1
0 0
α
q
u
(
k
(
k
,
s
)
−
(2π )4 δ(4) (k01 + k p − k1 ) ,
,
s
)
γ
u
1
1
1 1
h̄
(2π )3 Ek E 0
1 k
1
I
am rechten Vertex
mc2
ie
1
0 0
β
q
)
γ
u
(2π )4 δ(4) (k02 − k p − k2 ) ,
u
(
k
,
s
(
k
,
s
)
−
2 2
2 2
h̄
(2π )3 Ek E 0
2 k
2
I
durch die innere Photonenlinie
−i
d4 k h̄µ0 cηαβ
.
(2π )4 k pµ kµp + iε
Z
Das Produkt dieser drei Terme liefert die Streuamplitude
(2)
Sdirekt = i
(mc2 )2 e2 µ0 c
1
q
η u(k10 , s10 )γα u(k1 , s1 )u(k20 , s20 )γ β u(k2 , s2 )
2
(2π ) h̄ Ek E 0 Ek E 0 αβ
2 k
1 k
2
1
×
=
Z
d4 k p
δ(4) (k01 + k p − k1 )δ(4) (k02 − k p − k2 )
µ
k pµ k p + iε
ie2 m2 c5 µ0 ηαβ u(k10 , s10 )γα u(k1 , s1 )u(k20 , s20 )γ β u(k2 , s2 ) (4) 0
q
δ (k1 + k02 − k1 − k2 )
µ
0µ
(2π )2 h̄ Ek1 Ek0 Ek2 Ek0 (k1µ − k01µ )(k1 − k1 )
1
2
(5.18)
Hier wurde nur eines der beiden Diagramme der direkten Streuung berechnet. Das andere
unterscheidet sich nur durch k p → −k p und führt auf dasselbe Ergebnis. Tatsächlich
sind beide Fälle bereits in den Feynman-Regeln enthalten. Die beiden Diagramme sind
topologisch äquivalent, nur eines wird berechnet. Die Zahlenfaktoren in den FeynmanRegeln sind darauf angepasst. In jeder Ordnung n kommen n! identische Terme vor, die
1
der Reihenentwicklung (4.23) aufheben.
sich mit dem Faktor n!
Durch die Erhaltung des Viererimpulses an den Vertizes hat das Photon einen eindeutigen
Viererimpuls. Dieser erfüllt aber nicht die Dispersionsrelation ω = c|k|, es handelt sich
hierbei um sogennante virtuelle Photonen. Treten zwei innere Linien auf, so ist der Impuls
der zugehörigen Teilchen nicht festgelegt, da die Viererimpulse der Vertizes auf beide
aufgeteilt werden können.
k0
k
2015-01-27
k
k − k0
61
5.7 | K o r r e kt u r e n h ö h e r e r O r d n u n g
Der Term der Austauschstreuung unterscheidet sich in zwei Punkten von (5.18):
I
I
der Vertauschung (k20 , s20 ) ↔ (k10 , s10 ),
einem zusätzlichen Minuszeichen durch eine zusätzlich benötigte Permutation der
fermionischen Feldoperatoren.
5.6 Wirkungsquerschnitte
Beobachtbar im Experiment sind Wirkungsquerschnitte, also die Rate eines Übergangs
eines durch die Fläche dσ einfallenden Teilchenstroms jein in ein Raumwinkelelement dΩ.
Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist definiert durch
1 dẆp→d3F p0
dσ
=
,
dΩ
| jein |
dΩ
(5.19)
wobei der Teilchenstrom zum Beispiel durch das Dirac-Feld beschrieben werden kann,
α
α
jein
= h ĵein i .
(5.20)
Dabei verwendet man (3.49a) sowie die Übergangsrate
F
dẆp→d3F p0 = ẇ p→ p0
∏ dN ( p0n )
(5.21a)
n =1
im Impulsraum für F Teilchen, wobei gilt
ẇ p→ p0 = lim
τ →∞
2
S f i τ
.
(5.21b)
5.7 Korrekturen höherer Ordnung
Für die korrekten Übergangsraten sind in (5.21b) alle Zustände zu verwenden, welche
den richtigen Anfangszustand |i i mit dem richtigen Endzustand | f i verknüpfen, also den
passenden Übergang enthalten. Nehmen wir als Beispiel die Elektron-Elektron-Streuung:
62
2015-01-27
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
Diese hat in 4. Ordnung zusätliche Beiträge, zum Beispiel
+
+
Diese liefern Korrekturen von der Größenordnung α · S(2) ≈
1
137
· S (2) .
5.7.1 Divergenzen
Bei den Korrekturen tritt eine Schwierigkeit der Theorie auf. Betrachten wir den zweiten
Term aus dem Beispiel mit der Selbstenergie des Photons:
q2 = k − q1
γµ
γν
k
k
q1
Wir finden mit den Feynman-Regeln und der Auswertung aller sofort lösbaren Integrale
(2)
SSP = −
d4 k
i D̃Fαµ (k)
2
4
(2π )4
(2π ) h̄
|
{z
}
e2
Z
innere Photonenlinien
Z
tr γµ S̃ F (q)γν S̃ F (q − k) d4 q i D̃Fνβ .
|
{z
}
(5.22)
Spur im 4-dim Spinorraum
Für große Werte des Impulses q liefern die Feynman-Propagatoren eine Abhängigkeit
S̃ F (q) ∝ |1q| und d4 q ∝ |q|4 , somit divergiert der Integrand quadratisch, dies wird auch
Ultraviolettdivergenz genannt, da hohe Frequenzen notwendig für die Divergenz sind.
Tatsächlich findet man in der Quantenelelektrodynamik unendlich viele divergierende
Terme, die sich aber auf endlich viele primitiv-divergente reduzieren lassen, aus denen
alle weiteren zusammengesetzt werden. Durch einfaches Abzählen der Potenzen der
Propagatoren sowie aus der Kenntnis der Zahl der Linien an den Vertizes lässt sich
folgende Regel ableiten:
Fa
D = 4 − 3 − Pa .
(5.23)
2
Dabei ist D der Divergenzgrad, der eine logarithmische Divergenz für den Fall D = 0
beschreibt, wohingegen D = n > 0 die Potenz der Divergenz angibt, Fa ist die Anzahl der
äußeren Fermionenlinien und Pa die Anzahl der äußeren Photonenlinien.
2015-02-03
63
5.7 | K o r r e kt u r e n h ö h e r e r O r d n u n g
5.7.2 Problemloses Beispiel: Photon-Photon-Streuung
I
zwei einlaufende Photonen
I
zwei auslaufende Photonen
I
Photonen streuen an Photonen
Im
Gegensatz zur klassischen Elektrodynamik (Superpositionsprinzip) gibt es die PhotonPhoton-Streuung in der Quantenelektrodynamik. Nach (5.23) ergibt sich für die PhotonPhoton Streuung einen Divergenzgrad von D = 0, was eine logarithmische Divergenz
bedeutet. Tatsächlich sind es jedoch innere Symmetrien (hier die Eichinvarianz der Elektrodynamik), die dazu führen, dass sich divergierende Teilintegrale gegenseitig aufheben. Damit konvergiert die Photon-Photon Streuung. Experimentell wurde diese Art der
Lichtstreuung noch nicht nachgewiesen, da der Effekt stark unterdrückt ist (4 innere
Fermionlinien werden benötigt).
5.7.3 Verbleibende divergente Terme
Neben den Vakuumblasen, die in den Übergangsamplituden nur einen irrelevanten Phasenfaktor liefern, müssen drei primitiv-divergente Graphen betrachtet werden, deren
Divergenz nicht in irgendeiner Form kompensiert werden kann.
I
Selbstenergie des Elektrons/Positrons D = 1
I
Selbstenergie Photons D = 2
I
Vertexkorrektur D = 0
Alle divergierenden Diagramme höherer Ordnung enthalten diese Graphen.
64
2015-02-03
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
5.8 Ideenskizze zur Regularisierung und Renormierung
Die Divergenzen können ein grundlegendes Scheitern der Theorie bedeuten. Es gibt jedoch
eine Möglichkeit so so zu behandeln, dass sich ein konsistentes Ergebnis ableiten lässt,
das in hervorragender Übereinstimmung mit dem Experiment ist. Die Grundlegende Idee
besteht darin, dass alle Divergenzen in prinzipiell nicht messbare Konstanten verschoben werden. Dies hat zur Folge, dass die Wirkungsquerschnitte theoretisch berechenbar
bleiben.
5.8.1 Ansätze zur Regularisierung
Die Regularisierung enthält den Schritt, die Divergenzen von regulären Anteilen der
Integrale in additive Terme abzuspalten. Dabei gibt es zwei Ansätze:
I
Pauli-Villars-Regularisierung: Terme mit derselben divergierenden Asymptotik werden
abgezogen. Betrachten wir zum Beispiel die Selbstenergie des Elektrons
+
0(2)
S̃ F (q) + S̃ F (q)Σ(2) (q)S̃ F (q) = S̃ F (q)
mit
Σ (2) ( q ) = i
e2
h̄
Z
(5.24a)
d4 k
D̃F (k)γα S̃ F (q − k)γ β ,
(2π )4 αβ
wobei für den Phtonenpropagator D̃Fαβ (k) ∝
1
k µ kµ +iε
(5.24b)
gilt. Dies wird nun ersetzt durch
1
1
1
→
−
k µ kµ + iε
k µ kµ + iε
k µ kµ + Kµ K µ + iε
mit großen aber endlichen K. Es gilt dann für kleine k → 0, dass der subtrahierte
Term unbedeutend wird und für große k → ∞ geht die Differenz gegen 0, womit die
Divergenz aufgehoben ist.
I
Dimensionsmäßige Regularisierung: Der Ursprung der Divergenz ist die Potenz in d4 k.
Als Ansatz wird nun das Integral in der Dimension
d = 4+δ
(5.25)
ausgewertet. Der Term in (5.24b) lautet explizit
Σ (2) ( q ) =
2015-02-03
β
−ie2 µ0 cηαβ Z 4
γα /
q −/
k + mc
h̄ γ
d
k
(2π )4
(k µ kµ + iε)(q − k)µ (q − k)µ −
mc 2
h̄
+ iε
(5.26a)
65
5.8 | I d e e n s k i z z e z u r Re g u l a r i s i e ru n g u n d Re n o r m i e ru n g
oder in d Dimensionen
Σ
(2)
−ie2 µ0 cl 4−d
(q) =
(2π )d
Z
d k
(k µ
kµ
+ iε)(q − k)µ
mc
h̄
γα
(q − k )µ
−
q −/
k+
γα /
d
mc 2
h̄
+ iε
.
(5.26b)
Der Faktor l 4−d spiegelt hierbei eine Korrektur der Einheiten wider. Mit der Umrechnung
β
−ie2 µ0 cηαβ Z 4
γα /
q −/
k + mc
(2)
h̄ γ
h
i (5.27a)
d k
Σ (q) =
2
(2π )4
(k µ kµ + iε) (q − k)µ (q − k)µ − mc + iε
h̄
oder in d Dimensionen
Σ
(2)
−ie2 µ0 cl 4−d
(q) =
(2π )d
Z
γα
γα /
q −/
k + mc
h̄
h
d k
(k µ kµ + iε) (q − k)µ (q − k)µ −
d
mc 2
h̄
+ iε
i . (5.27b)
Der Faktor l 4−d spiegelt hierbei eine Korrektur der Einheiten wider. Mit der Umrechnung
Z 1
1
dz
=
(5.28)
ab
0 ( az + b ( z + 1))2
wird daraus
d
γα /
q −/
k + mc
h̄ γα d k
h
i2 .
2
0
µ (1 + z ) + iε
(q − k)µ (q − k)µ z − mc
z
+
k
k
µ
h̄
(5.29)
In einigen Rechenschritten kann man zeigen, dass
Z
Z
γα /
q −/
k + mc
−ie2 µ0 cl 4−d 1
(2)
d
h̄ γα
Σ (q) =
dz d k h
i2 .
2
(2π )d
0
(q − k)µ (q − k)µ z − mc
z + k µ kµ (1 + z) + iε
h̄
(5.30a)
in einen divergierenden Anteil ∝ δ−1 (für d = 4 gilt δ → 0) und einen regulären
Σ (2) ( q ) =
−ie2 µ0 cl 4−d
(2π )d
Z 1
dz
Z
(1 + ξ ) /
q
mc
− (1 + 2ξ )
2
h̄
Z 1h
i
mc
+
(1 − z ) /
q −2
ln
h̄
0
RΣ (q) =
m2 c2 z − qµ qµ z(1 − z)h̄2
!
dz
4πµ20 h̄2
(5.30b)
zerfällt. Dabei ist ξ eine Integrationskonstante.
5.8.2 Konvergente Matrixelemente durch Renormierung
Der erste Schritt in der Beseitigung der Divergenzen besteht darin, (5.24a) umzuschreiben
0(2)
S̃ F
66
= S̃ F (q) + S̃ F (q)Σ(2) (q)S̃ F (q) ≈
1
1
(2)
S̃−
F (q) − Σ (q)
.
(5.31)
2015-02-03
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
2 Tatsächlich ist dies bis auf Terme der Ordnung O Σ(2) (q)
identisch mit (5.24a)
1
1
(2)
S̃−
F (q) − Σ (q)
= S̃ F (q) + S̃ F (q)Σ(2) (q)S̃ F (q) + S̃ F (q)Σ(2) (q)S̃ F (q)Σ(2) (q)S̃ F (q) + . . .
+
+
+...
und enthält in konsequenter Reihenfolge alle höheren Beiträge von Korrekturen desselben
Typs.
0(2)
4 mc
q
h̄ − /
+ RΣ (q)
q−
−
/
δ
α
1 − 2πδ
+ O α2
RΣ (q)
3α
αh̄
1 + 2πδ
+ mc
+ 2π
q − mc
/
h̄
(??)
≈
Jetzt führen wir ein
1
(5.31)
S̃ F (q) =
mc
h̄
α
2π
m = mr + ∆m +O (α)2 ,
|{z}
(5.32)
(5.33)
O(α)
dann wird der Nenner in Gleichung (5.32) zu
mr c
∆m c
3αmr c
q−
−
−
+ O ( α )2 .
/
h̄
h̄
2πh̄δ
(5.34)
Dieser Term divergiert genau dann nicht mehr, sofern
∆m = −
3αmr
2πδ
(5.35)
gilt.
Auf ähnliche Weise absorbiert man die Divergenz im Zähler. Zu beachten gilt, dass die
inneren Linien immer zusammen mit Vertizes und weiteren dort verknüpften Linien
auftreten. Dabei ist der Vertex proportional zur Elementarladung e, welche wiederum
aufgespalten werden kann in
e = er + ∆e .
(5.36a)
Der Zähler aus (5.32) divergiert genau dann nicht, wenn
∆e =
αer
.
3πδ
(5.36b)
Diese Renormierung gelingt konsistent in der Quantenelektrodynamik, das heißt in allen
divergierenden Termen mit denselben Werten. Es treten in allen messbaren Größen nur die
renormierten Massen mr und Ladungen er auf. Die nackten Massen m und Ladungen e, die
wie ∆m und ∆e divergieren, sind nun reine Rechengrößen ohne physikalische Relevanz.
2015-02-10
67
5.9 | F o l g e n d e r Ko r r e k t u r e n i n d e r Q ua n t e n e l e k t ro dy na m i k
Ihr Divergieren spielt keine Rolle für die Theorie. Für die konkrete Rechnung verwendet
man überall mr und er statt m und e und hat keine divergierenden Terme mehr, also zum
Beispiel
1
0(2)
S F (q) =
(5.37)
mr c
αh̄ RΣ (q)
q − h̄ 1 + 2π
/
mr c
statt dem divergierenden Integral (5.24b).
5.8.3 Anmerkungen
Bisher wurde nur die Regularisierung und Renormierung in niedrigster Ordnung betrachtet,
weiterhin muss man Graphen der Form
oder
oder . . .
berücksichtigen. Auch das gelingt mit (5.35) und (5.36b). In der Quantenelektrodynamik
tritt nur eine endliche Anzahl an primitiv divergenten Graphen auf. Eine solche Theorie
nennt man renormierbar. Es gibt jedoch auch nicht renormierbare Theorien, in denen
jede Ordnung neue Divergenzen hervorbringt. Treten in einer gesamten Theorie nur eine
endliche Anzahl divergenter Graphen auf, so nennt man sie superrenormierbar.
5.9 Folgen der Korrekturen in der Quantenelektrodynamik
Trotz ihrer problematischen mathematischen Behandlung sind die Korrekturterme wichtig
und ihre Auswertung im Sinn von (5.37) führt auf eine hervorragende Übereinstimmung
mit Experimenten. Wichtige Beispiele hierfür sind die Wechselwirkung eines Elektrons mit
einem äußeren Magnetfeld:
68
2015-02-10
Qua n t e n e l e k t ro dy na m i k | 5
Die korrekte Berechnung erfordert aber auch Korrekturen der Form
+
woraus das anomale magnetische Moment des Elektrons bestimmt werden kann. Mit
Termen aus der Ordnung α2 und α3 lässt sich theoretisch bestimmen:
g−2
= 0.0011596524(±4) .
2
Betrachtet man ähnliche Diagramme für eine Wechselwirkung des Elektrons mit dem Kern
via eines Coulomb-Potentials, so erhält man die Lamb-Verschiebung.
isospin
69
S y m m e t r i e g ru p p e n u n d Gru p p i e ru n g d e r E l e m e n ta r t e i l c h e n | 6
6
Symmetriegruppen und
Gruppierung der
Elementarteilchen
In der Elementarteilchentheorie spielen Symmetrien eine große Rolle zur theoretischen
Beschreibung der Elementarteilchenphysik. Sie äußern sich neben dem Transformationsverhalten von Teilchenzuständen auch in wichtigen Erhaltungssätzen. Im Folgenden soll
eine kurze mathematische Sichtweise der Gruppen dargestellt werden.
6.1 Definitionen
Eine durch Verknüpfung strukturierte Menge bildet ein Gruppe G, wenn die folgenden
Gruppenaxiome erfüllt sind:
1. Die Gruppe ist abgeschlossen, das heißt das Produkt zweier Elemente aus G liegt
wiederum in G.
a∈G
b ∈ G =⇒ ( ab) ∈ G
2. Die Verknüpfungen sind assoziativ. Es muss gelten
( ab)c = a(bc) = abc .
3. Es gibt ein neutrales Element E. Dieses Element wird oft auch als Identität oder
Einselement bezeichnet und erfüllt die Eigenschaft:
Ea = aE = a
a∈G
4. Zu jedem Element der Gruppe G gehört ein inverses Element, für das
aa−1 = a−1 a = E
gilt.
Erfüllen die Gruppenelemente die Bedingung der Kommutativität
ab = ba
a, b ∈ G ,
so heißt die Gruppe abelsch.
isospin
71
6.2 | M at r i x g ru p p e n
Als diskrete Gruppen werden alle Gruppen bezeichnet, die eine endliche bzw. abzählbar
unendliche Anzahl von Elementen enthalten. Besitzt eine Gruppe Elemente, welche noch
von einem oder mehreren kontinuierlichen Parametern abhängen, so bezeichnet man sie
als kontinuierliche Gruppe.
Eine Abbildung M → M0 zweier strukturierter Mengen wird als Morphismus bezeichnet,
wenn die Struktur erhalten bleibt. Für das Beispiel zweier Gruppen G und G 0 bedeutet dies
eine Zuordnung des Elements a0 aus der Gruppe G 0 , sodass gilt
( ab)0 = a0 b0
a∈G.
Ist die Abbildung M → M0 zudem noch bijektiv so spricht man von einem Isomorphismus
und man bezeichnet die Gruppen als isomorph
6.2 Matrixgruppen
Alle n × n-Matrizen U welche die Bedingung
U†U = E
(6.1)
erfüllen, bilden die unitäre Gruppe der Ordnung n, oder auch U(n). Im Allgemeinen sind
die Einträge der Matrizen U komplexwertig, sodass jede Matrix U 2n2 Parameter besitzt.
Aus der Bestimmungsgleichung (6.1) bleiben noch n2 Parameter unbestimmt. Fordert man
weiterhin noch det(U ) = 1, so erhält man n2 − 1 freie Parameter und man bezeichnet die
Gruppe als spezielle unitäre Gruppe SU(n).
Analog zur unitären Gruppe lässt sich auch noch eine orthogonale Gruppe O(n) definieren.
Für alle Matrizen der orthogonalen Gruppe gilt die Bedingung
OO T = O T O = E .
(6.2)
Fordert man zusätzlich noch die Bedingung det(O) = 1, so sind die Matrizen O Elemente
der Gruppe der speziellen orthogonalen Gruppen SO(n).
6.2.1 Beispiel: Gruppen U (2) und SU (2)
Die allgemeinste 2 × 2-Matrix lautet
a b
U=
c d
U† =
∗
a
b∗
c∗
d∗
Die Bedingung U † U = E liefert die Gleichungen
aa∗ + bb∗ = 1 ,
cc∗ + dd∗ = 1 ,
ac∗ + bd∗ = 0 ,
ca∗ + db∗ = 0 .
Dabei folgt die vierte Gleichung durch komplexe Konjugation aus der dritten Gleichung
und liefert daher keinen weiteren Informationsbeitrag. Es ergibt sich
a∗
d = − ∗c
b
72
,
a
d∗ = − c∗ ,
b
isospin
S y m m e t r i e g ru p p e n u n d Gru p p i e ru n g d e r E l e m e n ta r t e i l c h e n | 6
was auf
cc
führt und damit
∗
aa∗
1+ ∗
bb
cc∗ = bb∗
=
cc∗
=1
bb∗
dd∗ = aa∗ .
Durch Wahl von a = Aeiα und b = Beiβ ist die Forderung aa∗ + bb∗ = 1 erfüllt, sofern
man A = cos ϑ und B = sin ϑ wählt. Da c den gleichen Betrag wie b besitzt, ist der Ansatz
c = − sin ϑeγ gerechtfertigt. Damit ergibt sich in Matrixdarstellung
cos ϑeiα
sin ϑeiβ
U=
,
(6.3)
iγ
i
(
β
+
γ
−
α
)
− sin ϑe
cos ϑe
was auf die Determinante det(U ) = ei( β+γ) führt. Fordert man hier noch det(U ) = 1, so
erhält man γ = − β und
cos ϑeiα
sin ϑeiβ
SU =
.
(6.4)
− sin ϑe−iβ cos ϑe−iα
Angemerkt sei noch, dass die Gruppe SU (2) auch Darstellungen mit höherdimensionalen
Matrizen besitzt.
6.3 Isospin
Die Idee einen weiteren inneren Freiheitsgrad für Elementarteilchen einzuführen entstand
bereits im Jahre 1932. Als Ausgangspunkt diente damals die nahezu gleiche Masse zwischen
Proton und Neutron (Massenabweichung von 0.1%), da es sich bei beiden Teilchen um Spin1/2-Teilchen handelt und diese sich nur in ihrer Ladung unterscheiden, schlug Heisenberg
vor, sowohl das Proton, als auch das Neutron als jeweils einen Zustand des sogenannten
Nukleon zu definieren. Die theoretische Umsetzung besteht dann darin, das Nukleon als
zweikomponentigen Vektor der Form
p
ψ=
(6.5)
n
darzustellen. Dabei sind n und p im Allgemeinen komplexe Zahlen. Die Spaltenvektoren
aus (6.5) werden aus historischen Gründen auch Isospinoren genannt. Als Basiswahl im
Isospin-Raum dienen die orthonormalen Zustände
1
0
ψp =
,
ψn =
.
(6.6)
0
1
Eine Eigenschaft der Quantenmechanik besteht aus der Superposition der Lösungen, so
dass die allgemeinste Lösung ein Mischzustand aus Neutron und Proton ist
ψ = pψ p + nψn .
(6.7)
Wir suchen nun eine Transformation der Form
ψ → ψ0 = Uψ ,
isospin
(6.8)
73
6.3 | I s o s p i n
sodass mit Hilfe einer unitären Matrix der Gruppe SU(2) wieder ein Zustand des Systems
entsteht. Die 2 × 2-Darstellung der SU(2) lautet dabei explizit
U = ei ( n · σ ) ϑ ,
(6.9)
mit den Pauli-Matrizen σi und einem Einheitsvektor n. Schreibt man Gleichung (6.7) explizit
in Vektorschreibweise um, so erhält man
0
p
p
p(cos θ + inz sin ϑ )
= ei(n·σ )ϑ
=
.
(6.10)
0
n
n
p(in x − ny ) sin ϑ + n(cosθ − inz sin θ )
Für die Umwandlung eines Protons in ein Neutron können wir nz = n x = 0 und ϑ = π/2
wählen. Transformationen der Form (6.9) nennt man Drehungen im Isospinraum. Die
starke Analogie des Isospin mit dem bekannten Spin-1/2 führt auf die Einführung der
Operatoren des starken Isospin
I1 =
1
σ
2 1
I2 =
1
σ
2 2
I3 =
1
σ .
2 3
(6.11)
Im Gegensatz zu den Spin-1/2-Matrizen sind die Operatoren Ii dimensionslos. Später
wird klar, dass der Namenszusatz stark daher stammt, dass der Isospin eine Invariante der
starken Wechselwirkung ist. Wie üblich in der Spinalgebra werden die Operatoren I3 und
I 2 herangezogen, um Aussagen über den Gesamtisospin und die Isospinorientierung zu
machen. Aus der Definition (6.6) folgt
I3 ψ p =
1
ψp
2
1
I3 ψn = − ψn
2
I 2 ( pψ p + nψn ) =
3
( pψ p + nψn ) .
4
(6.12)
Die allgemeine Definition I 2 ψ = I ( I + 1)ψ lässt darauf schließen, dass sowohl Neutron,
als auch Proton den Isospin I = 1/2 haben (Es soll hier nochmals angemerkt sein, dass I
für den Isospin und nicht für den Kernspin steht). Die unterschiedlichen Eigenwerte des
Operators I3 für Neutron und Proton folgen der Definition (6.6) und sind damit willkürlich
wählbar. Allgemein benutzt man die Ladungskonvention des Isospins, welche besagt, dass
das Teilchen mit der höchsten Ladung dem höchsten Eigenwert von I3 zugeordnet wird. In
der Ketschreibweise ψ = | I, I3 i erhält man für das Proton
| pi = |1/2, 1/2i
und für das Neutron die Schreibweise
|ni = |1/2, −1/2i .
Alle Hadronen lassen sich zu Isomultiplets zusammenfassen. So bildet das Nukleon, bestehend aus Neutron und Proton, einen Dublett. Die bisher nicht angesprochenen π-Mesonen
haben einen Gesamtisospin von I 2 = 1 vorzuweisen und bilden damit einen Tripplet,
welcher die Quantenzahlen I3 = 1, 0, −1 enthält. Innerhalb eines Isomultipletts ist Gesamtisospin I3 gleich, wohingegen in der elektrischen Ladungsquantenzahl q unterschiede
auftreten, diese wird durch die Gleichung
B
q = e I3 +
(6.13)
2
bestimmt. Dabei beschreibt B die Baryonenzahl und e die Elementarladung. Für das
Nukleon ist B = 1 und für Mesonen B = 0 zu setzen.
74
isospin
S y m m e t r i e g ru p p e n u n d Gru p p i e ru n g d e r E l e m e n ta r t e i l c h e n | 6
6.4 Die unitäre Symmetrie SU (3)
Neben dem Isospin wurde bereits in den fünfziger Jahren eine weitere Quantenzahl
eingeführt, ihr wurde der Name Strangeness (Seltsamkeit) – kurz S – zu Teil. Die Einführung
dieser neuen additiven Quantenzahl wurde notwendig, nachdem man sog. seltsame Teilchen
in Nebelkammeraufnahmen der kosmologischen Strahlung beobachtete. Diese seltsamen
Teilchen besitzen eine Lebensdauer von etwa 10−10 s welche größer als alle bekannten
Lebensdauern von Hadronen war. Diese Lebensdauer liefert Rückschlüsse darauf, dass es
eine erhaltende Quantenzahl geben muss, welche den Zerfall der seltsamen Teilchen durch
elektromagnetische (10−18 s) bzw. starke Wechselwirkung (10−23 s) verhindert. Den bereits
bekannten Hadronen (Neutron, Proton, π-Mesonen usw.) teilte man die Quantenzahl
S = 0 zu. Während die strangeness eines Elementarteilchens bei elektromagnetischer und
starker Wechselwirkung erhalten bleibt, ändert sich diese Quantenzahl bei Übergängen der
schwachen Wechselwirkung um ∆S = 1. Mit Hilfe der von M. Gell-Mann und K. Nishijima
gefundenen Relation
B+S
(6.14)
q = e I3 +
2
gelingt eine Verknüpfung zwischen Isospin und Baryonenzahl mit der neuen Quantenzahl
S. Der Anteil B + S in Gleichung (6.14) wird auch Hyperladung genannt und zumeist
mit Y = B + S abgekürzt. Neben dem Operator I3 sollte nun auch der Operator der
Hyperladung Y so wählbar sein, dass beide Operatoren in Diagonalgestalt auftreten. Die
Symmetriegruppe SU (3) enthält gerade diese Eigenschaft für zwei ihrer Generatoren in
der dreidimensionalen Darstellung. Die komplexwertigen Matrixelemente von U enthalten
dabei, 2 · 3 · 3 = 18 frei wählbare Parameter. Durch die Unitaritätsbedingung
UU † = E
und der speziellen Unitaritätsbedingung
det(U ) = 1
existieren zwischen den 18 frei wählbaren Parametern zehn Relationen, sodass die Gruppe
SU (3) durch 8 reelle Parameter festgelegt wird. Analog zum Isospin sollte es möglich
sein, auch für die SU (3)-Symmetrie Multipletts zu definieren, die Teilchen gleichen Spins
und Parität enthalten. Die 8 frei wählbaren Parameter lassen sich mit den acht Baryonen
p, n, Λ, Σ+ , Σ0 , Σ− , Ξ0 , Ξ− identifizieren, die alle den selben Spin (nicht Isospin!) und die
gleiche Parität besitzen. Diese acht Baryonen lassen sich nun noch einmal zu Isomultipletts
zusammenfassen – einem Singulett, zwei Dubletts und ein Tripplet, die in Tabelle 1
aufgezeigt sind. Analog zu den Baryonen können die π/K/η-Mesonen (Spin = 0) zu
einem Oktett zusammengefasst werden. Während die Antiteilchen der Mesonen (zum
Beispiel π̄) gemeinsam mit ihren Teilchen in den Oktetts auftauchen, bilden Baryonen und
Antibaryonen getrennte Multipletts.
6.5 Quarks
Neben den seltsamen Teilchen wurden in Experimenten zwei weitere Arten von Hadronen gefunden, für die jeweils eine eigene Quantenzahl eingeführt wurde. Namentlich
isospin
75
6.6 | Q ua r k s o r t e n
Singulett
Dublett
Dublett
Triplett
Teilchen
Λ
p, n
Ξ0 , Ξ −
−
Σ , Σ0 , Σ +
Hyperladung Y
Y=0
Y=1
Y = −1
Y=0
Isospin I3
I3 = 0
I3 = +1/2, −1/2
I3 = +1/2, −1/2
I3 = −1, 0, 1
I 1 Aufteilung der Multipletts der acht Baryonen mit Hilfe der Isospinquantenzahl I3 und der
Hyperladung Y.
handelt es sich hierbei um die Quantenzahlen bottom B und charm C. Zusammen mit der
Quantenzahl S der strangeness definiert man den sogenannten flavor (dt. Geschmack)
eines Elementarteilchens, der die Quantenzahlen s, b, c (nun kleine Buchstaben, um die
Quantenzahl bottom b mit der Bayronenzahl B zu unterscheiden.) in eine Gruppe fasst. Bei
elektromagnetischer und starker Wechselwirkung sind sowohl b, als auch c erhalten, diese
Quantenzahlerhaltung entfällt bei Prozessen der schwachen Wechselwirkung.
Ein Zugang, um die unzählige Anzahl der Hadronen zu bewältigen, besteht darin, die
Hadronen als Teilchen anzusehen, die aus kleineren, elementaren Bausteinen, den Quarks
aufgebaut sind. Analog zu den Leptonen besitzen diese elementaren Bausteine keine
Ausdehnung, das heißt keinen nachweisbaren Radius (ohne Beweis). Im Quarkmodell sind
alle Quarks Spin-1/2-Teilchen. Da alle Mesonen einen ganzzahligen Spin besitzen, lässt
sich ein Meson aus Quark-Antiquark-Paaren aufbauen
|mesoni = |qq̄i .
(6.15)
Baryonen hingegen sind aus drei Quarks aufgebaut
|Bayroneni = |qqqi ,
(6.16)
was unvermeidlich auf eine Baryonenzahl der Quarks Bq = 1/3 führt.
6.6 Quarksorten
Betrachten wir das Nukleon mit der Baryonenzahl B = 1, so enthält dieses Dublett
Elementarteilchen mit unterschiedlicher Ladung (Proton und Neutron). Allein aus dieser
Tatsache muss es mindestens zwei unterschiedliche Quarks geben, die sich in ihrer Ladung
unterscheiden. Ihnen wird der Name up-Quark (u-Quark) bzw. down-Quark (d-Quark) zu
Teil. Das u-Quark beseitzt hierbei eine Ladung von Q = 2/3 und das d-Quark eine Ladung
von Q = −1/3. Das Proton mit der Ladung Q = 1 wird dann wie folgt zusammengesetzt
| pi = |uudi .
(6.17)
Für das Neutron findet man die Zusammensetzung
|ni = |uddi .
76
(6.18)
isospin
S y m m e t r i e g ru p p e n u n d Gru p p i e ru n g d e r E l e m e n ta r t e i l c h e n | 6
Aus der experimentellen Erfahrung, dass Mesonen nur in Ladungssinguletts und Ladungstripletts auftreten (Q = 1, 0, −1), lassen sich diese Bayronen jeweils durch ein QuarkAntiquark-Paar beschreiben. Dabei gilt zu beachten, dass das Antiquark jeweils das negative
Ladungsverhalten vorweist.
Q(ud¯) = 1 ,
Q(uū) = Q(dd¯) = 0 ,
Q(dū) = −1
(6.19)
Mit Hilfe der beiden Quarks up und down können jedoch nicht alle Hadronen zusammengesetzt werden, daher fügt man weitere Quarks in das Modell ein, das charm-Quark
(c-Quark), das strange-Quark (s-Quark) und das bottom-Quark (b-Qurak). Dabei wird dem
s-Quark die strangeness S = 1 zugeschrieben, dem c-Quark die Charmquantenzahl C = 1
und dem b-Quark die Quantenzahl b = −1. Das negative Vorzeichen stimmt dabei mit der
Konvention überein, dass die Ladung und die Flavourquantenzahl des Quarks dasselbe
Vorzeichen erhält. Zusätzlich zu den bereits erwähnten Quarks wurde 1995 die lange
gezielte Suche nach einem weiteren Quark – das top-Quark (t-Quark) – zum Erfolg. Das
t-Quark besitzt den Flavour t = 1. Die Ladungen der einzelnen Quarks lauten dabei
u
2/3
c
2/3
t
2/3
=
,
=
,
=
.
(6.20)
d
−1/3
s
−1/3
b
−1/3
Wie man leicht sieht, tauchen die Dubletts up-down, strange-charm und top-bottom auf,
die jeweils die Ladungen −1/3 und 2/3 enthalten.
6.7 Farbladung
Messungen des totalen Wirkungsquerschnittes der Reaktion e+ e− → Hadronen ergaben
experimentelle Werte, welche durch das bisher eingeführte Quarkmodell nicht richtig
beschrieben werden konnten. Dieser Widerspruch wird aufgehoben, sobald man annimmt,
dass jedem Quark eine neue Quantenzahl, die sogennante Farbladung, hinzugefügt wird.
Diese Farbe kann die Werte grün, rot und blau annehmen. Die Einführung der Farbe macht
es möglich, ein Hadron aus gleichen Quarks, welche sich im selben Zustand befinden,
aufzubauen, ohne das Pauli-Prinzip zu verletzen. Dies wird zum Beispiel beim Teilchen
∆++ nötig, welches aus drei u-Quarks des gleichen Zustandes zusammengesetzt ist. Es soll
hierbei angemerkt werden, dass das Wort Farbe keinen bildlichen Wert besitzt und nur eine
willkürliche Bezeichnung für diese Quantenzahl ist. Jedes Antiquark besitzt die Antifarbe
seines zugehörigen Quarks. Die Einführung des Wortes Farbe macht es jedoch einfach, die
folgende Definition zu verwenden: Ein Quark-Antiquark-Paar ist farblos, eine Mischung
der (Anti)-Farben rot, blau und grün ergibt ebenso ein farbloses Teilchen. In der Natur treten
nur Teilchen auf, die farblos sind. Diese Aussage beinhaltet auch alle Teilchen, die nicht
aus Quarks aufgebaut sind, da diese ebenfalls farblos sind. Dies beinhaltet widerum die
Tatsache, das in der Natur Quarks nicht als freie Teilchen vorkommen.
eichtheorien
77
E i c h i n va r i a n z u n d E i c h f e l d e r | 7
7
Eichinvarianz und Eichfelder
Ist eine Gleichung invariant unter der Transformation einer globalen (siehe später) Phase
ψ0 = e−iΛ ψ ,
(7.1)
so ist sie invariant gegenüber einer Eichtransformation erster Art. Da die Phase Λ in (7.1)
nicht von der Raum-Zeitkoordinate x abhängt, spricht man auch von einer globalen
Transformation. Hierbei steht x im weiteren Verlauf dieses Kapitels für die vier RaumZeitkomponenten. Anders als die globale U(1)-Invarianz, hat sich die Forderung nach
einer lokalen Invarianz als äußerst geeignet herausgestellt. Lokal bedeutet in diesem Sinne
eine explizite Orts- bzw. Zeitabhängigkeit der Phase Λ( x ) aus Gleichung (7.1) – auch
Eichtransformation zweiter Art genannt.
Eine einfache Begründung für die Forderung nach lokaler Phaseninvarianz folgt aus der
Kausalität, so sollten Phasen an Punkten der Raumzeit, die nicht kausal miteinander verbunden sind, unabhängig voneinander wählbar sein. Es ist trivial zu beweisen, dass sowohl
die Schrödingergleichung, als auch die Klein-Gordon-Gleichung nicht invariant unter einer
Eichtransformation zweiter Art sind. In der Quantenmechanik wird die Schrödingergleichung jedoch invariant unter solch einer Transformation, sobald man geladene Teilchen
betrachtet, die an ein elektromagnetisches Feld koppeln, dabei muss beachtet werden, dass
auch die Potentiale umgeeicht werden. Dieses Verhalten der Schrödingergleichung dient als
Vorbild, um die Klein-Gordon-Gleichung invariant unter einer lokalen Eichtransformation
zu lassen.
7.1 Eichinvarianz des Klein-Gordon-Feldes
Nehmen wir die Transformation (7.1) als Vorbild und betrachten eine infinitesimale Transformation
φ0 = φ + dφ ,
(7.2)
so erhalten wir nach einer Taylorentwicklung bis zur ersten Ordnung
φ0 = e−i dΛ( x) φ = (1 − i dΛ( x ))φ = φ − i dΛ( x )φ .
(7.3)
Finden wir eine Lagrangedichte, welche unter der lokalen infinitesimalen Eichtransformation (7.2) invariant ist, so ist auch die Invarianz der Feldgleichungen gewährleistet. Als
Erinnerung geben wir hier nochmal die Lagrangedichte des Klein-Gordon-Feldes (3.1)
an,
h̄2
mc2 ∗
L=
φ,µ φ∗,µ −
φφ .
2m
2
eichtheorien
79
7.1 | E i c h i n va r i a n z d e s Kl e i n - Go r d o n - Fe l d e s
2
Der Masseterm der Lagrangedichte mc2 φφ∗ macht hier keinerlei Probleme, denn er ist
bereits invariant unter einer lokalen Eichtransformation, sodass wir ihn nicht weiter
betrachten. Die infinitesimale Lagrangedichte ergibt sich dann zu
dL =
∂ dL
∂L
∗
dφ,µ + ∗ dφ,µ
∂φ,µ
∂φ,µ
(7.4)
Dies lässt sich noch weiter vereinfachen, wenn man die Lagrangedichte (3.1) und
∗
∗
dφ,µ
= i dΛ( x )φ,µ
+ iφ∗ ∂µ dΛ( x )
dφ,µ = −i dΛ( x )φ,µ − iφ∂µ dΛ( x )
(7.5)
verwendet.
(3.1)
dL =
(7.5)
i
ih̄ h ∗,µ
∗
−φ
dΛ( x )φ,µ + φ∂µ dΛ( x ) + φ,µ dΛ( x )φ,µ
+ φ∗ ∂µ dΛ( x )
2m
ih̄2 ∂µ dΛ( x ) ∗ ,µ
(φ φ − φφ∗,µ )
2m
= h̄J µ ∂µ dΛ( x )
=
(7.6)
Wobei die Definition des Teilchenflusses
Jµ =
ih̄
(φ∗ φ,µ − φφ∗,µ )
2m
(7.7)
verwendet wurde. Wir definieren nun die Konstante
g1 ≡
und das Feld
dAµ ( x ) ≡ −
q
h̄
1
∂µ dΛ( x ) .
g1
(7.8)
(7.9)
Damit ergibt sich aus (7.6)
dL = −qJ µ dAµ = −q d( J µ Aµ ) − Aµ dJ µ
mit
ih̄
(φ,µ dφ∗ + φ∗ dφ,µ − φ∗,µ dφ − φ dφ∗,µ )
2m
ih̄
=
φ,µ iφ∗ dΛ( x ) + φ∗ −i dΛ( x )φ,µ − iφ∂µ dΛ( x )
2m
h
i
ih̄ ∗,µ
∗
+
φ iφ dΛ( x ) − φ i dΛ( x )φ,µ
+ iφ∗ ∂µ dΛ( x )
2m
q
h̄
(7.9)
= φφ∗ ∂µ dΛ = − φφ∗ dAµ ( x )
m
m
dJ µ =
Mit Hilfe von d(φφ∗ ) = 0 erhält man schließlich
h
i
q
d φφ∗ Aµ Aµ
dL = − q d( J µ A µ ) +
2m
80
eichtheorien
E i c h i n va r i a n z u n d E i c h f e l d e r | 7
oder
q2
dL̃ = d L +
φφ∗ Aµ Aµ + qJ µ Aµ = 0 .
2m
(7.10)
Die neue Lagrangedichte L̃ aus (7.10) ist invariant unter der lokalen Eichtransformation, der
letzte Schritt besteht darin, die Lagrangedichte L aus Gleichung (7.10) mit Hilfe von (3.1)
zu ersetzen,
h̄2
mc2 φφ∗
q2 φφ∗
ih̄q ∗ ,µ
φ,µ φ∗,µ −
+
Aµ Aµ +
(φ φ − φφ∗,µ ) Aµ
2m
2
2m
2m
i
1 h
−ih̄φ,µ − qAµ φ (ih̄φ∗,µ − qAµ φ∗ ) − m2 c2 φφ∗ .
=
2m
L̃ =
(7.11)
Die neue Lagrangedichte L̃ beschreibt also gerade das Klein-Gordon-Feld für geladene
Teilchen, wenn wir das Viererpotential Aµ mit dem bekannten Viererpotential des elektromagnetischen Feldes identifizieren. Ein Problem ist jedoch, dass die Lagrangedichte (7.11)
nur Kopplungsterme zwischen dem elektromagnetischen Aµ und dem skalaren Feld φ
enthält. Damit jedoch die Einführung des Hilfsfeldes Aµ physikalisch sinnvoll wird, sollte
zusätzlich ein Anteil in der Lagrangedichte auftreten, welcher nicht an das Feld φ koppelt
(freier Feldanteil). Dieser sog. Freifeld-Anteil sollte ebenfalls eichinvariant unter einer
lokalen Transformation sein und eine quadratische Funktion der Feldableitungen enthalten.
Wir erweitern (7.11) mit dem Term
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(7.12)
und erhalten die totale Lagrangedichte
Ltot =
i
1 h
1
−ih̄φ,µ − qAµ φ (ih̄φ∗,µ − qAµ φ∗ ) − m2 c2 φφ∗ −
Fµν F µν .
2m
4µ0
(7.13)
Einführen einer neuen kovarianten Ableitung der Form
Dµ = ∂µ − ig1 Aµ
(7.14)
führt auf die vereinfachte Darstellung
Ltot =
mc2 ∗
1
1
Dµ φ ( D µ φ ) ∗ −
φφ −
Fµν F µν .
2m
2
4µ0
(7.15)
Angemerkt sei noch, dass ähnlich des φ-abhängigen Anteils in (7.15) auch noch ein Masseterm für das Feld Aµ hinzugefügt werden könnte, der die Form
m2A c2
2µ0 h̄2
Aµ Aµ
(7.16)
besitzen würde. Dieser wäre jedoch nicht invariant unter der zuvor vereinbarten Feldtransformation
A0µ = Aµ − (1/g1 ) Aµ
(7.17)
und muss daher entfallen. Daraus lässt sich schließen, dass die Quanten des Feldes Fµν die
Ruhemasse null besitzen.
QFT
81
Index
— Sonstige —
SO(n), 72
—A—
abelsch, 71
Austauschstreuung, 60
—B—
bottom, 76
bottom-Quark, 77
—C—
charm, 76
charm-Quark, 77
—D—
differentielle Wirkungsquerschnitt, 62
Dimensionsmäßige Regularisierung,
65
Dirac-Gleichung, 31
Dirac-Gleichung für ein freies Teilchen,
9
direkte Streuung, 60
diskrete Gruppen, 72
down-Quark, 76
—E—
Eigenzeit, 4
—F—
Farbladung, 77
Feynman-Dagger Symbols, 9
flavor, 76
—H—
Hamiltondichte, 18
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen,
19
Heisenbergbild, 41
—I—
isomorph, 72
Isospinoren, 73
QFT
—K—
kanonische Quantisierung, 21
Klein-Gordon-Feld, 24
Klein-Gordon-Gleichung, 5
kontinuierliche Gruppe, 72
Kontinuitätsgleichung, 10
Kontraktion, 45
kontravarianter Vektor, 2
kovariante Vektor, 2
—L—
Ladungskonvention des Isospins, 74
Lagrangedichte, 16
Lamb-Verschiebung, 69
Lorentzskalar, 3
—M—
Majorana-Teilchen, 30
Morphismus, 72
—N—
Noether-Theorem., 21
Normalordnung, 29
Nukleon, 73
—O—
orthogonale Gruppe, 72
—P—
Paarbildung, 11
Pauli-Gleichung, 8
Pauli-Villars-Regularisierung, 65
—Q—
Quarks, 76
—R—
relativistische Energie-Impuls Beziehung,
5
—S—
Strahlungseichung, 35
strange-Quark, 77
Strangeness, 75
83
INDEX
Streumatrix, 44
SU(n), 72
superrenormierbar, 68
Viererimpuls, 4
Vierervektor, 2
virtuelle Photonen, 61
—T—
top-Quark, 77
—W—
Wechselwirkungsbild, 41
Wicksche Theorem, 46
—U—
Ultraviolettdivergenz, 63
up-Quark, 76
—V—
84
—Z—
Zeitordnungsoperator, 43
zweiten Quantisierung, 23
QFT
Literatur
Literatur
[1]
J. Bjorken und S. Drell. Relativistische Quantenfeldtheorie. BI-Hochschultaschenbücher.
Bibliographisches Institut, 1967. isbn: 978-3-860-25596-4.
[2]
F. Mandl, G. Shaw und R. Bönisch. Quantenfeldtheorie. Aula-Verlag GmbH, 1993. isbn:
978-3-891-04532-9.
[3]
U. Mosel. Fields, Symmetries, and Quarks. Texts and monographs in physics. Springer,
1999. isbn: 978-3-540-65235-9.
[4]
F. Schwabl. Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer-Lehrbuch. Springer, 2005.
isbn: 978-3-540-25904-6.
QFT
85