Statistik I WS 2013/2014 Musterlösung 3 Aufgaben 8-11

Statistik I
WS 2013/2014
Musterlösung 3
Aufgaben 8-11
1 / 21
Aufgabe 8
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
xi
478
482
492
496
497
499
500
502
503
504
507
508
511
512
ni
1
1
1
1
1
4
3
2
1
1
1
1
1
1
hi
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,2
0,15
0,1
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
H(xi )
1
2
3
4
5
9
12
14
15
16
17
18
19
20
Fb (xi )
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,45
0,6
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
2 / 21
1.0
●
●
●
0.8
●
●
●
0.6
●
0.4
●
0.2
●
●
●
●
0.0
F(x)
●
●
480
490
500
510
Gramm
3 / 21
Aufgabe 9
b x ,1 = x̄
m
=
10
1 X
xi
10 i=1
1
(5 + 2 + 7 + . . . + 1)
10
1
=
· 48
10
= 4, 8
=
4 / 21
b x ,2 =
m
10
1 X
x2
10 i=1 i
1 2
(5 + 22 + 72 + . . . + 12 )
10
1
=
· 294
10
= 29, 4
=
b x ,3
m
10
1 X
=
x3
10 i=1 i
1 3
(5 + 23 + 73 + . . . + 13 )
10
1
=
· 2052
10
= 205, 2
=
5 / 21
b x ,4 =
m
10
1 X
x4
10 i=1 i
1 4
(5 + 24 + 74 + . . . + 14 )
10
1
=
· 15414
10
= 1541, 4
=
cx ,1 = 0 (siehe Lemma 3.6)
M
6 / 21
cx ,2 = s 2
M
x
=
10
1 X
(xi − x̄ )2
10 i=1
10
1 X
x 2 − x̄ 2
10 i=1 i
!
=
= 29, 4 − 4, 82
= 6, 36
cx ,3 =
M
10
1 X
(xi − x̄ )3
10 i=1
1 (5 − 4, 8)3 + (2 − 4, 8)3 + . . . + (1 − 4, 8)3
10
= 3, 024
=
7 / 21
cx ,4 =
M
10
1 X
(xi − x̄ )4
10 i=1
1 (5 − 4, 8)4 + (2 − 4, 8)4 + . . . + (1 − 4, 8)4
10
= 73, 2912
=
b y ,1 = ȳ
m
=
10
1 X
yi
10 i=1
1
(99 + 55 + 27 + . . . + 22)
10
1
=
· 485
10
= 48, 5
=
8 / 21
b y ,2 =
m
10
1 X
y2
10 i=1 i
1
(992 + 552 + 272 + . . . + 222 )
10
1
=
· 30891
10
= 9089, 1
=
b y ,3
m
10
1 X
=
y3
10 i=1 i
1
(993 + 553 + 273 + . . . + 223 )
10
1
=
· 2332415
10
= 233241, 5
=
9 / 21
b y ,4 =
m
10
1 X
y4
10 i=1 i
1
(994 + 554 + 274 + . . . + 224 )
10
1
=
· 194731623
10
= 19473162, 3
=
cy ,1 = 0 (siehe Lemma 3.6)
M
10 / 21
cy ,2 = s 2
M
y
=
10
1 X
(yi − ȳ )2
10 i=1
10
1 X
y 2 − ȳ 2
10 i=1 i
!
=
= 3089, 1 − 48, 52
= 736, 85
cy ,3 =
M
10
1 X
(yi − ȳ )3
10 i=1
1 (99 − 48, 5)3 + (55 − 48, 5)3 + . . . + (22 − 48, 5)3
10
= 11945, 7
=
11 / 21
cy ,4 =
M
10
1 X
(yi − ȳ )4
10 i=1
1 (99 − 48, 5)4 + (55 − 48, 5)4 + . . . + (22 − 48, 5)4
10
= 1223084
=
12 / 21
Aufgabe 10
Mit den Ergebnissen aus Aufgabe 9 berechnet man:
γx ,1,M = =
cx ,3
M
cx ,2
M
3
2
3, 024
3
6, 36 2
= 0, 1885
γx ,2 = cx ,4
M
cx ,2
M
2
73, 2912
6, 362
= 1, 8119
=
13 / 21
γy ,1,M = =
cy ,3
M
cy ,2
M
3
2
11945, 7
3
736, 85 2
= 0.5972
γy ,2 = cy ,4
M
cy ,2
M
2
1223084
736, 852
= 2, 2527
=
Mit diesen Ergebnissen erhält man, dass die beiden
Merkmalsausprägungen xi und yi (bzw. deren empirischen
Verteilung) linkssteil (γ1,M > 0) und flach (γ2 < 3) sind.
14 / 21
Aufgabe 11
(a)
x̄ =
n
1
1022
1X
xi = (5, 5 + 6, 0 + . . . + 75, 8) =
= 25, 55
n i=1
40
40
(b) Die Klassenbildung ergibt:
Klasse
über 5 bis 10
über 10 bis 15
über 15 bis 20
über 20 bis 30
über 30 bis 50
über 50 bis 80
k
0
1
2
3
4
5
6
xk∗
5
10
15
20
30
50
80
nk
∗
xk∗ +xk−1
2
4
9
9
8
6
4
7,5
12,5
17,5
25
40
65
x̄k
7
119
9
155
9
25
42
67
15 / 21
(b) Die letzte Spalte erhält man dabei durch:
x̄1 =
=
n1
1 X
xs
n1 s=1
4
1X
xs
4 s=1
1
= (5, 5 + 6, 0 + 8, 0 + 8, 5)
4
28
=
4
=7
16 / 21
(b)
1
x̄2 = (10, 6 + . . . + 15, 0) =
9
1
x̄3 = (15, 2 + . . . + 19, 4) =
9
1
x̄4 = (21, 0 + . . . + 29, 1) =
8
1
x̄5 = (32, 0 + . . . + 49, 5) =
6
1
x̄6 = (52, 9 + . . . + 75, 8) =
4
119
9
155
9
200
8
252
6
268
4
= 13, 2̄
= 17, 2̄
= 25
= 42
= 67
17 / 21
(b) Aus diesen Klassendurchschnitten errechnet man das
arithmetische Mittel x̄ durch:
K
1X
x̄ =
nk · x̄k
n k=1
119
155
1
4·7+9·
+9·
+ 8 · 25 + 6 · 42 + 4 · 67
=
40
9
9
1022
=
40
= 25, 55
18 / 21
(c) Bestimmung einer Näherung x̄ 0 für x̄ mit Hilfe der
Klassenmitten:
x̄ 0 =
K
∗
x ∗ + xk−1
1X
nk · k
n k=1
2
1
(4 · 7, 5 + 9 · 12, 5 + 9 · 17, 5 + 8 · 25 + 6 · 40 + 4 · 64)
40
1000
=
40
= 25
=
Die Abweichung beider Werte ergibt sich dadurch, dass die
Klassenmitten nicht mit den Klassendurchschnitten
übereinstimmen. Die Näherung ist hier jedoch relativ gut.
19 / 21
(d) Im Extremfall liegen die Werte innerhalb der Klassen an der
Unter- oder Obergrenze der jeweiligen Klasse. Damit ergibt
sich die Untergrenze dieses Intervalls für den Fall, dass alle
Werte möglichst nahe an der jeweiligen Klassenuntergrenze
liegen (Achtung: Untergrenze gehört nicht zur Klasse!) und
die Obergrenze für den Fall, dass alle Werte mit der jeweiligen
Klassenobergrenze zusammenfallen.
Für die Untergrenze gilt:
x̄u =
K
1X
∗
nk · xk−1
n k=1
1
(4 · 5 + 9 · 10 + 9 · 15 + 8 · 20 + 6 · 30 + 4 · 50)
40
785
=
40
= 19, 625
=
20 / 21
(d) Für die Obergrenze gilt:
x̄o =
K
1X
nk · xk∗
n k=1
1
(4 · 10 + 9 · 15 + 9 · 20 + 8 · 30 + 6 · 50 + 4 · 80)
40
1215
=
40
= 30, 375
=
Damit erhält man das Intervall ]19, 625; 30, 375] in dem sich
das arithmetische Mittel befindet.
21 / 21