Wissensbasierte Systeme – Logik

Wissensbasierte Systeme
– Logik –
Jan Hladik
DHBW Stuttgart
Sommersemester 2017
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
1 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
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2 / 138
Dozent
Jan Hladik
Dipl.-Inform.: RWTH Aachen, 2001
Dr. rer. nat.: TU Dresden, 2007
Industrieerfahrung: SAP Research
Öffentlich geförderte Forschungsprojekte
Zusammenarbeit mit Produktgruppen
Betreuung von Studenten und Doktoranden
Professor: DHBW Stuttgart, 2014
Forschung
Semantic Web, Semantische Technologien, Schlussfolgerungsverfahren
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Literatur
Vorlesungsmaterial
http://wwwlehre.dhbw-stuttgart.de/~hladik/WBS/
Logik
Dirk W. Hoffmann: Theoretische Informatik
Karl Stroetmann: Theoretische Informatik I - Logik und Mengenlehre
http://wwwlehre.dhbw-stuttgart.de/~stroetma/Logic/
Beschreibungslogik
Franz Baader et al.: An Introduction to Description Logic
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Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
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5 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
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Aussagenlogik
Einfachste in dieser Vorlesung betrachtete Logik
begrenzte Ausdrucksstärke
einfach zu verstehen und anzuwenden
enthält verschiedene Konzepte, die auch in ausdrucksstärkeren Logiken
vorkommen
Aussagenvariablen repräsentieren atomare Aussagen
Beispiel
A
;
„Es regnet.“
Junktoren repräsentieren Zusammenhänge zwischen Aussagen
Beispiel
A→B
;
„Wenn es regnet, wird die Erde nass.“
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Syntax der Aussagenlogik
Definition (Aussagenlogische Formel)
Sei V eine Menge von Aussagenvariablen.
Jedes X ∈ V ist eine aussagenlogische Formel.
> und ⊥ sind aussagenlogische Formeln.
Wenn ϕ und ψ aussagenlogische Formeln sind, dann auch
¬ϕ (Negation)
ϕ → ψ (materiale Implikation)
ϕ ∧ ψ (Konjunktion)
ϕ ↔ ψ (materiale Äquivalenz)
ϕ ∨ ψ (Disjunktion)
(ϕ) (Klammern)
Beispiele
A∧B
A ∧ (B ∨ C )
A → (B ∧ (C ↔ D) ∨ (D → E))
⊥∨A
¬(A ∨ B)
A ↔ (A ↔ D)
¬>
C → (B ∨ D)
((A ↔ B) ↔ (C ↔ D)) → E
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Vorrang und Assoziativität der Junktoren
Vorrang der Junktoren:
¬
∧
∨
→
↔
Beispiel
A ∧ ¬B → B ∨ C
bedeutet
(A ∧ (¬B)) → (B ∨ C )
Gleiche Junktoren werden links-assoziativ gelesen.
Beispiel
A→B→C
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bedeutet (A → B) → C
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Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
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Semantik der Aussagenlogik
Aussagevariablen erhalten Wert 0 oder 1
Formel wird wahr oder falsch
Definition (Interpretation in der Aussagenlogik)
Eine Interpretation ist eine Funktion I : V → B mit
einer Menge von Aussagevariablen V
der binären Menge B = {0, 1}
Beispiel
A 7→ 0
;
„es regnet nicht“
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Interpretation komplexer Formeln
⊥I
0
>I
1
(ϕ ∧ ψ)I
ϕI 0
ϕI
(¬ϕ)I
1
ψI
0
1
0
0
ψI
0
1
0
1
(ϕ → ψ)I
ϕI 0 1
ψI
0
1
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1
1
0
1
1
0
(ϕ ∨ ψ)I
ϕI 0
1
0
1
1
1
(ϕ ↔ ψ)I
ϕI 0 1
ψI
0
1
0
1
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1
0
0
1
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Beispiele: Interpretationen
Die Interpretation I = {A 7→ 1, B 7→ 1, C 7→ 0} macht die Formel . . .
B wahr;
A ∧ B wahr;
A ∧ C falsch;
(A ∧ B) ∨ (A ∧ C ) wahr;
((A ∧ B) ∨ (A ∧ C )) → C falsch.
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13 / 138
Äquivalenz
Definition (Äquivalenz)
Zwei aussagenlogische Formeln ϕ und ψ sind (logisch) äquivalent, wenn
jede Interpretation beiden Formeln denselben Wahrheitswert zuordnet, d. h.:
ϕI = ψ I
für jedes I
Manche Operatoren lassen sich durch äquivalente Ausdrücke ersetzen:
Satz (Äquivalenzen)
ϕ ↔ ψ ist äquivalent zu (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) oder (ϕ ∧ ψ) ∨ (¬ϕ ∧ ¬ψ)
ϕ → ψ ist äquivalent zu ¬ϕ ∨ ψ
ϕ ∧ ψ ist äquivalent zu ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ)
ϕ ∨ ψ ist äquivalent zu ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ)
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Tautologien
Definition (Tautologie)
Eine Tautologie ist eine Formel, die in jeder Interpretation wahr ist.
Beispiele (Tautologien)
A ↔ A (Identität)
¬(A ∧ ¬A) (Ausgeschlossener Widerspruch)
A ∨ ¬A (Ausgeschlossenes Drittes)
A → B ↔ ¬B → ¬A (Kontraposition, Umkehrschluss)
(A → B) ∧ (A → ¬B) → ¬A (Reductio ad Absurdum,
Widerspruchsbeweis)
(A → B) ∧ A → B (Modus Ponens)
(A → B) ∧ ¬B → ¬A (Modus Tollens)
(A ∨ B) ∧ (A → C ) ∧ (B → C ) → C (Fallunterscheidung)
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Weitere Tautologien: Rechenregeln
A ∧ B ↔ B ∧ A (Kommutativität)
(A ∧ B) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C ) (Assoziativität)
(A ∧ B) ∨ C ↔ (A ∨ C ) ∧ (B ∨ C ) (Distributivität)
¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B (Gesetz von De Morgan)
A ∧ > ↔ A; A ∨ ⊥ ↔ A (Neutrales Element)
A ∧ ¬A ↔ ⊥; A ∨ ¬A ↔ > (Inverses Element)
A ∧ ⊥ ↔ ⊥; A ∨ > ↔ > (Absorbierendes Element)
A ∧ A ↔ A; A ∨ A ↔ A (Idempotenz)
¬¬A ↔ A (Doppelte Negation)
Kommutativität, Assoziativität, Distributivität und das Gesetz von
de Morgan gelten auch, wenn ∧ und ∨ gegeneinander ausgetauscht werden.
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Modelle, Gültigkeit, Erfüllbarkeit
Definition (Modell)
Ein Modell für eine Formel ϕ ist eine Interpretation I, die ϕ wahr macht.
(I |= ϕ).
I = {A 7→ 1, B 7→ 0} ist Modell für A ∨ B, aber nicht für A ∧ B.
Definition (Erfüllbarkeit, Gültigkeit)
Eine Formel ϕ ist erfüllbar, wenn sie ein Modell hat.
Eine Formel ϕ ist gültig ( |= ϕ) wenn jede Interpretation ein Modell ist
(d. h. wenn ϕ eine Tautologie ist).
erfüllbar A,
A ∨ B,
gültig A ∨ ¬A,
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A ∧ ¬B,
A → A,
A↔B
A ↔ ¬(¬A)
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Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
Resolution
Tableaus
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
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18 / 138
Schlussfolgerung in der Aussagenlogik
Bestimmung der Eigenschaften einer Formel ϕ
gültig (ϕ ist eine Tautologie; jede Interpretation ist ein Modell)
erfüllbar (Es gibt ein Modell für ϕ)
falsifizierbar (Es gibt eine Interpretation, die kein Modell für ϕ ist)
unerfüllbar (Es gibt keine Modelle für ϕ)
Bestimmung, ob die Formel ϕ die Formel ψ (logisch) impliziert
(ϕ |= ψ), d. h. ob jedes Modell für ϕ auch Modell für ψ ist
Anmerkung: Formeln, die erfüllbar und falsifizierbar (also weder gültig noch
unerfüllbar) sind, werden auch kontingent genannt.
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19 / 138
Beweis der Gültigkeit: Äquivalenzumformungen
Beispiel (Reductio ad Absurdum)
(A → B) ∧ (A → ¬B) → ¬A
(¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B) → ¬A
¬((¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B)) ∨ ¬A
¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(¬A ∨ ¬B) ∨ ¬A
(A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B) ∨ ¬A
(A ∧ (¬B ∨ B)) ∨ ¬A
(A ∧ >) ∨ ¬A
A ∨ ¬A
>
Ersetzung von → (zweimal)
Ersetzung von →
De Morgan
De Morgan (zweimal)
Distributivität
Ausgeschlossenes Drittes
> ist neutrales Element für ∧
Ausgeschlossenes Drittes
Nachteile:
Transformationen müssen geraten werden.
Wenn ϕ nicht gezeigt werden kann, folgt nicht, dass ϕ nicht gültig ist.
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20 / 138
Beweis der Gültigkeit: Wahrheitstabelle
Beispiel (Reductio ad Absurdum)
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
C := A → B
1
1
0
1
D := A → ¬B
1
1
1
0
C ∧ D ¬A
1
1
1
1
0
0
0
0
C ∧ D → ¬A
1
1
1
1
Nachteile:
ineffizient, besonders bei vielen Variablen
(„exponentielle Komplexität“)
redundant, da viele Varianten keinen Einfluss auf das Ergebnis haben
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21 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
Resolution
Tableaus
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
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22 / 138
Resolution
John Alan Robinson: A machine-oriented logic
based on the resolution principle (1965)
Erfüllbarkeitstest für Formel ϕ
Erfüllbarkeitstest entscheidet auch
Gültigkeit
|= ϕ gilt gdw. ¬ϕ unerfüllbar ist.
(logische) Implikation
ϕ |= ψ gilt gdw. ϕ ∧ ¬ψ unerfüllbar ist.
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J. A. Robinson
(1930–2016)
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Resolutionsprinzip
Finde Widerspruch in ϕ
betrachte ϕ als Menge von Disjunktionen (Klauseln)
suche Paare von Klauseln C1 , C2 mit gegensätzlichen Literalen L, ¬L
erzeuge Resolvente C3 durch Vereinigen der Elternklauseln C1 und C2
und Entfernen von L und ¬L
C3 ist nicht äquivalent zu C1 ∧ C2 !
C1 ∧ C2 erfüllbar ; C3 erfüllbar
C3 unerfüllbar ; C1 ∧ C2 unerfüllbar
leere Klausel 2: Widerspruch
Beispiel (ϕ = (X ∨ Y ) ∧ (¬Y ∨ Z ) ∧ ¬Z ∧ ¬X )
X ∨Y
¬Y ∨ Z
¬Z
¬X
X ∨Z
X
2
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Literale
Definition (Literal)
Ein Literal ist eine (möglicherweise negierte) Aussagenvariable.
Beispiel
Für die Variablenmenge {A, B} ist die Menge der möglichen Literale
{A, ¬A, B, ¬B}.
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25 / 138
Konjunktive Normalform
Definition (Konjunktive Normalform)
Eine aussagenlogische Formel ϕ ist in konjunktiver Normalform (KNF),
wenn ϕ eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist.
Beispiele
(X ∨ Y ) ∧ (¬Y ∨ Z ) ∧ ¬Z ∧ ¬X ist in KNF;
(X ∧ Y ) ∨ ¬(¬Y ∨ Z ) ist nicht in KNF.
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26 / 138
Transformation in KNF
Satz
Jede aussagenlogische Formel kann in eine äquivalente Formel in KNF
transformiert werden.
Ziel: (L1 ∨ L2 ∨ L3 ) ∧ (L4 ∨ L5 ) ∧ L6 . . .
Methode:
1. eliminiere materiale Implikation
ϕ→ψ
1. und materiale Äquivalenz
ϕ↔ψ
2. Gesetze von De Morgan
¬(ϕ ∨ ψ)
3. eliminiere doppelte Negation
¬¬ϕ
4. Distributivgesetz
ϕ ∨ (ψ ∧ χ)
5. Assoziativgesetz
ϕ ∨ (ψ ∨ χ)
;
;
;
;
;
;
¬ϕ ∨ ψ
ϕ ∧ ψ ∨ ¬ϕ ∧ ¬ψ
¬ϕ ∧ ¬ψ
ϕ
(ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ)
ϕ∨ψ∨χ
Beispiel
(X ∧ Y ) ∨ ¬(¬Y ∨ Z )
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;
(X ∨ Y ) ∧ (Y ∨ Y ) ∧ (X ∨ ¬Z ) ∧ (Y ∨ ¬Z )
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27 / 138
Übung: Konjunktive Normalform
Transformieren Sie die folgenden Formeln in KNF:
1
(X ∨ Y ) ∧ (A ∧ B)
2
(X ∨ Y ) → (A ∨ B)
3
X ∨ (¬A ∧ ¬(B ∧ ¬C ))
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28 / 138
Klauseln
Definition (Klausel)
Eine Klausel ist eine als Menge geschriebene Disjunktion von Literalen.
Aufgrund von Idempotenz und Kommutativität ist es möglich und sinnvoll,
Disjunktionen als Mengen zu betrachten.
Beispiel
(X ∨ ¬Y ∨ Z )
;
{X , ¬Y , Z }
Jede AL-Formel (in KNF) kann als Menge von Klauseln betrachtet werden.
Beispiel
ϕ = (X ∨ Y ) ∧ (¬Y ∨ Z ) ∧ ¬Z ∧ ¬X
K(ϕ) = {{X , Y }, {¬Y , Z }, {¬Z }, {¬X }}
Intuitiv: ∧ zwischen Mengen; ∨ zwischen Elementen der einzelnen Mengen
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29 / 138
Resolution von Klauseln
Gegeben: zwei Klauseln C1 = {X , Y } und C2 = {¬Y , Z }.
Gesucht: Modell für C1 ∧ C2 .
In einer Interpretation I ist Y I entweder 0 oder 1.
wenn Y I = 1 gilt, folgt C1I = 1, und C2I = 1 gilt gdw. Z I = 1;
wenn Y I = 0 gilt, folgt C2I = 1, und C1I = 1 gilt gdw. X I = 1.
Jedes Modell für C1 und C2 ist auch Modell für C3 = {X , Z }.
Wenn {C1 , C2 } erfüllbar ist, dann auch {C1 , C2 , C3 }.
Definition (Resolvente)
Seien C1 = {L1 , L2 , L3 , . . .} und C2 = {¬L1 , L6 , L7 , . . .} AL-Klauseln.
Dann ist C3 = {L2 , L3 , . . . , L6 , L7 , . . .} eine Resolvente von C1 und C2
({C1 , C2 } ` C3 ).
Kann eine Klausel C aus einer Klauselmenge S durch (mehrere)
Resolutionsschritte hergeleitet werden, schreiben wir S `∗ C .
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30 / 138
Erfüllbarkeitstest mit Resolution
Sei S ` C .
Jedes Modell für S ist auch Modell für C .
Ist S erfüllbar, dann auch S ∪ {C }.
Umgekehrt: Ist S ∪ {C } unerfüllbar, dann auch S.
Die leere Klausel 2 ist unerfüllbar.
Satz (Korrektheit der Resolution)
Sei S eine Klauselmenge.
Wenn 2 aus S durch Resolution hergeleitet werden kann, ist S unerfüllbar.
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31 / 138
Resolutions-Algorithmus für Aussagenlogik
Eingabe:
Ausgabe:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
AL-Formel ϕ
„erfüllbar“ oder „unerfüllbar“
transformiere ϕ in KNF
initialisiere S mit Disjunktionen von ϕ
while es existiert C3 = res(C1 , C2 ) mit C3 ∈
/ S do
if C3 = 2 then
Ausgabe „unerfüllbar“
else
S := S ∪ {C3 }
Ausgabe „erfüllbar“
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32 / 138
Eigenschaften des Resolutions-Algorithmus
Satz (Korrektheit)
Aus K(ϕ) `∗ C folgt ϕ |= C .
Satz (Widerlegungsvollständigkeit)
Ist ϕ unerfüllbar, gilt K(ϕ) `∗ 2.
Satz (Terminierung)
Der Resolutions-Algorithmus terminiert für jede Eingabe.
Beweis.
Neue Klauseln enthalten nur Literale der Eingabe.
(Endliches Vokabular)
Nur neue Klauseln werden hinzugefügt.
Klauseln werden nie entfernt.
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33 / 138
Resolution und Nichtdeterminismus
Wenn mehrere Resolventen möglich sind:
terminiert der Algorithmus für jede Variante
. . . aber manche Varianten sind schneller als andere.
Definition (Don’t-care-Nichtdeterminismus)
Ein Algorithmus heißt don’t-care-nichtdeterministisch, wenn jede von
mehreren möglichen nichtdeterministischen Entscheidungen zum korrekten
Ergebnis führt.
In don’t-care-nichtdeterministischen Algorithmen müssen einmal getroffene
Entscheidungen nie rückgängig gemacht werden (Backtracking).
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34 / 138
Übersetzung natürlicher Sprache in Aussagenlogik
1
Wenn Hans zum Meeting eingeladen wird und nicht auf Dienstreise
ist, nimmt er am Meeting teil.
¬R ∧ E → M ; R ∨ ¬E ∨ M
3
Wenn der Chef Hans beim Meeting sehen will, lädt er ihn auch ein.
C → E ; ¬C ∨ E
4
Wenn der Chef Hans nicht beim Meeting sehen will, wird Hans bald
gekündigt.
¬C → K ; C ∨ K
Hans hat nicht am Meeting teilgenommen.
¬M
5
Hans ist nicht auf einer Dienstreise.
¬R
6
Konklusion: Hans wird bald gekündigt.
2
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K
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35 / 138
Logische Implikation und Erfüllbarkeit
Implizieren die Prämissen 1–5 die Konklusion 6?
Logisch: Ist jedes Modell von 1–5 auch ein Modell von 6?
{1, 2, 3, 4, 5} |= 6?
Umgekehrt: Existiert ein Modell von 1–5, im dem 6 nicht gilt?
Logisch: Ist {1, 2, 3, 4, 5, ¬6} erfüllbar?
Wenn ja, gilt die Implikation nicht.
Ist {1, 2, 3, 4, 5, ¬6} unerfüllbar, gilt die Implikation.
Teste mittels Resolution die Erfüllbarkeit von
{{R, ¬E, M }, {¬C , E}, {C , K }, {¬M }, {¬R}, {¬K }}
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36 / 138
Bestimmung des Schicksals von Hans durch Resolution
{{R, ¬E, M }, {¬C , E}, {C , K }, {¬M }, {¬R}, {¬K }}
R, ¬E, M
¬C , E
¬M
R, ¬E
C, K
E, K
R, K
¬R
¬K
K
2
Die Folgerung gilt, d. h. Hans wird leider entlassen. . .
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37 / 138
Optimierung des Resolutionsverfahrens
Auswahl der Elternklauseln ist entscheidend für Effizienz
Heuristiken:
Priorisiere kleine Klauseln
Priorisiere Klauseln mit hoher Ableitungstiefe ; Depth-first-Suche
Ignoriere Tautologien {X , ¬X , . . .}
Ignoriere C1 , wenn ein C2 ⊆ C1 existiert
Resolviere mehr als zwei Klauseln (Hyperresolution)
Einschränkung auf Spezialfälle, z. B. Horn-Formeln
Horn-Formel: Höchstens ein positives Literal
X ∧ Y ∧ Z ... → W
nützlich für Formalisierung von Regeln (Prolog)
Polynomielle Laufzeit
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38 / 138
Übung: Resolution
Formalisieren Sie die folgenden Aussagen in der Aussagenlogik und testen
Sie die Folgerung mittels Resolution.
1
Meine Gitarre ist gestimmt, hat aber eine kaputte E-Saite.
2
Der Verzerrer meines Verstärkers funktioniert nicht.
3
Für einen Flamenco braucht man keinen Verzerrer.
4
Punk kann man auch mit einer verstimmten Gitarre spielen.
5
Die Nachbarn werden sich beschweren, wenn ich Punk spiele, aber
nicht, wenn ich weder Punk noch Flamenco spiele.
6
Für Punk braucht man einen Verzerrer.
7
Ein Flamenco benötigt die E-Saite.
8
Konklusion: Die Nachbarn werden sich nicht beschweren.
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39 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
Resolution
Tableaus
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
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40 / 138
Tableau-Algorithmen
Erfüllbarkeitstest für aussagenlogische Formeln
Evert Willem Beth: Semantic entailment and
formal derivability (1955)
E. W. Beth
(1908–1964)
Anderer Ansatz für Erfüllbarkeitstest
Resolution: suche einen Widerspruch
Tableau: suche ein Modell
erzeugt Tabellen-artige Struktur, bei der Spalten
aufgeteilt werden ; „Tableau“
andere Sichtweise: Baumstruktur
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Sommersemester 2017
41 / 138
Merkmale von Tableau-Algorithmen
Beginne mit der Ausgangsformel χ und einer Spalte
Regeln brechen komplexe Formeln auf einfachere herunter
„Wenn ϕ ∧ ψ vorhanden ist, aber nicht ϕ und ψ, füge ϕ und ψ hinzu.“
Bei mehreren Möglichkeiten: Teile Spalte auf
Clash beschreibt Situation, in denen ein Widerspruch vorliegt
„ϕ und ¬ϕ sind vorhanden.“
Clashes gibt es zwischen Formeln in der aktuellen Spalte und den
darüberliegenden
Ergebnis:
Wenn jede Spalte einen Clash enthält, gibt es kein Modell
; χ ist unerfüllbar
Wenn keine Regel mehr anwendbar ist (Tableau ist vollständig) und
mindestens eine Spalte Clash-frei ist, gibt es ein Modell
; χ ist erfüllbar
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Sommersemester 2017
42 / 138
Tableau-Algorithmen: Regeln
Vorbedingung „Wenn ϕ ∧ ψ vorhanden ist. . . “
Welche Formel ist zu verarbeiten?
Anwendbarkeitsbedingung „. . . aber nicht ϕ und ψ, . . . “
Wann ist Regel nicht mehr anwendbar?
(; Terminierung)
bezieht sich auf aktuelle Spalte und
darüberliegende
Nachbedingung „. . . füge ϕ und ψ hinzu.“
Wie ist Formel zu verarbeiten?
Regeln können nicht-deterministisch sein:
„Wenn ϕ ∨ ψ enthalten ist. . . , füge ϕ oder ψ hinzu“
Teile aktuelle Spalte, teste ϕ in einer Spalte, ψ in der anderen
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Sommersemester 2017
43 / 138
Tableau-Regeln und Negations-Normalform
Definition (Negations-Normalform)
Eine aussagenlogische Formel ist in Negations-Normalform (NNF) wenn als
binäre Junktoren nur ∧ und ∨ enthalten sind und Negation nur direkt vor
Aussagevariablen vorkommt.
Satz
Jede AL-Formel kann in NNF transformiert werden.
Beweis.
Verfahren:
1
Elimination von → und ↔
2
Anwendung der Gesetze von De Morgan
3
Entfernung doppelter Negation
(Wie für KNF.)
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
44 / 138
Tableau-Regeln für Aussagenlogik
∧-Regel Wenn ϕ ∧ ψ ∈ S
und {ϕ, ψ} * S
dann S := S ∪ {ϕ, ψ}
∨-Regel Wenn ϕ ∨ ψ ∈ S
und {ϕ, ψ} ∩ S = ∅
dann S := S ∪ {ϕ} oder S := S ∪ {ψ}
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
45 / 138
Tableau-Algorithmus für Aussagenlogik
Eingabe:
Ausgabe:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
AL-Formel ϕ
„erfüllbar“ oder „unerfüllbar“
ϕ0 = nnf(ϕ)
initialisiere S mit {ϕ0 }
while eine Regel R ist auf ein ψ ∈ S anwendbar do
wende R auf ψ an
if jede Spalte enthält einen Clash then
Ausgabe „unerfüllbar“
else
Ausgabe „erfüllbar“
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
46 / 138
Beispiel: Bestimmung des Schicksals von Hans mit Tableau
Prämissen: (R ∨ ¬E ∨ M ) ∧ (¬C ∨ E) ∧ (C ∨ K ) ∧ ¬M ∧ ¬R
Konklusion: K
Zeile
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(R ∨ ¬E ∨ M ) ∧ (¬C ∨ E) ∧ (C ∨ K ) ∧ ¬M ∧ ¬R ∧ ¬K
R ∨ ¬E ∨ M
¬C ∨ E
C ∨K
¬M
¬R
¬K
C
K 7
¬C 8
E
R 6 ¬E 9 M 5
Jede Spalte enthält einen Clash
; Formel 1 ∧ 2 ∧ 3 ∧ 4 ∧ 5 ∧ ¬6 ist unerfüllbar
; Prämissen 1–5 implizieren die Konklusion 6
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Regel
Eingabe
1: ∧
4: ∨
3: ∨
2: ∨
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47 / 138
Durchführung des Tableau-Algorithmus
Vorrang beachten: Formeln von „außen“ nach „innen“ abarbeiten
Clash: nur zwischen aktueller Spalte und den darüberliegenden
Spalte steht logisch für Menge aller Formeln, die in ihr und den
darüberliegenden Spalten enthalten sind
Effizienz: Wenn mehrere Regeln anwendbar sind: ∧-Regel zuerst
sonst: ∧-Regel in jeder neuen Spalte anwendbar ; Ineffizienz
Beispiel: {A ∧ B, ¬C ∧ ¬D, ¬A ∨ ¬B ∨ C ∨ D}
Transformation von NNF in KNF ist kontraproduktiv
nach erstem Schritt wird nur ∨-Regel angewendet ; Ineffizienz
Beispiel: vergleiche NNF ¬A ∨ B ∧ ¬C ∨ ¬B ∧ C (3 Spalten)
mit KNF (¬A ∨ B ∨ C ) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C ) (7 Spalten)
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Sommersemester 2017
48 / 138
Übung: Tableau-Algorithmus
Zeigen Sie mit einem Tableau, dass die Nachbarn sich nicht beschweren.
S ∧ ¬E ∧
¬V ∧
(¬P ∨ N ) ∧ (P ∨ F ∨ ¬N )
(¬P ∨ V ) ∧
(¬F ∨ E) ∧
N
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∧
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49 / 138
Korrektheit des Tableau-Algorithmus
Satz (Korrektheit)
Wenn das vollständige Tableau für ϕ eine Clash-freie Spalte enthält, ist ϕ
erfüllbar.
Beweis.
Idee: Literale der Clash-freien Spalte bilden Modell M.
Wenn X ∈ S, dann X M = 1; sonst X M = 0
Clash-frei: für keine Variable X ist X und ¬X enthalten
Vollständig:
für jede Konjunktion χ ∧ ψ ∈ S gilt auch {χ, ψ} ⊆ S
für jede Disjunktion χ ∨ ψ ∈ S gilt auch {χ, ψ} ∩ S 6= ∅
Induktion: Für jedes ψ ∈ S gilt: M |= ψ
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50 / 138
Vollständigkeit des Tableau-Algorithmus
Satz (Vollständigkeit)
Wenn ϕ erfüllbar ist, enthält das vollständige Tableau für ϕ eine
Clash-freie Spalte.
Beweis.
Idee: „Regelanwendung erhält Erfüllbarkeit.“
Wenn eine Formelmenge S vor Regelanwendung erfüllbar war, kann die
Regel so angewendet werden, dass S auch nach der Anwendung noch
erfüllbar ist.
∧-Regel Wenn M |= ψ ∧ χ gilt, gilt auch M |= ψ und M |= χ.
∨-Regel Wenn M |= ψ ∨ χ gilt, gilt auch M |= ψ oder M |= χ.
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Sommersemester 2017
51 / 138
Teilformeln
Definition (Teilformel)
Sei ϕ eine aussagenlogische Formel.
Die Formel ψ ist Teilformel von ϕ, wenn eine der folgenden Bedingungen
erfüllt ist:
ϕ=ψ
ϕ = ¬χ und ψ ist Teilformel von χ
ϕ = χ1 ◦ χ2 und ψ ist Teilformel von χ1 oder χ2
(mit ◦ ∈ {∧, ∨, →, ↔})
Beispiel (ϕ = A ∧ ¬(B ∨ ¬A) ∨ (A → ¬C ))
Die Menge der Teilformeln von ϕ ist
{ϕ, A ∧ ¬(B ∨ ¬A), A → ¬C , A, ¬(B ∨ ¬A), B ∨ ¬A, B, ¬A, ¬C , C }.
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52 / 138
Terminierung des Tableau-Algorithmus
Satz (Terminierung)
Der Tableau-Algorithmus terminiert für jede Formel ϕ nach endlich vielen
Schritten.
Beweis.
Es gibt nur endlich viele Teilformeln von ϕ (endliches Vokabular).
Jede Regelanwendung fügt nur Teilformeln zu Formelmenge hinzu.
Auf jede Teilformel wird in jeder Spalte höchstens einmal eine Regel
angewendet.
Die Anzahl der Spalten ist beschränkt durch die Anzahl der
Disjunktionen in ϕ.
Formeln werden nie entfernt.
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Sommersemester 2017
53 / 138
Tableaus und Nichtdeterminismus
sind mehrere Regeln anwendbar, ist die Auswahl der nächsten Regel
don’t-care-nichtdeterministisch
Jede Auswahl führt zur Lösung
die Auswahl der Alternative durch die ∨-Regel ist
don’t-know-nichtdeterministisch
Finden der Lösung kann von „richtiger“ Alternative abhängen
Jede Alternative muss getestet werden
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54 / 138
Tableaus in der Praxis
Anzahl der Spalten kann exponentiell in der Größe von ϕ sein
Beispiel: ϕ = (A ∨ B) ∧ (C ∨ D) ∧ (E ∨ F )
Für Zeit- und Platz-Effizienz: Erzeuge Tableau depth-first
Halte nur eine Spalte gleichzeitig im Speicher
Wende dort alle möglichen Regeln an
Spalte ist Clash-frei und vollständig: Ausgabe „erfüllbar“
Spalte enthält Clash: Versuche nächste Spalte (oder Ausgabe
„unerfüllbar“)
Overhead: Backtracking-Information for jede Anwendung der ∨-Regel
aus Effizienzgründen auch hier zuerst ∧-Regel anwenden
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55 / 138
Vergleich: Tableaus und Resolution
Gemeinsamkeiten
Erfüllbarkeitstests
Können auch Gültigkeit und Implikation testen
Entscheidungsverfahren
Effizienter als Wahrheitstabelle
Vorteile von Tableaus
Effizient für erfüllbare Eingaben
Erzeugt Modell für erfüllbare Eingaben
Vorteile der Resolution
Effizient für unerfüllbare Eingaben
Gesamtes Verfahren ist don’t-care-nichtdeterministisch
(kein Backtracking)
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56 / 138
Zusammenfassung: Aussagenlogik
Aussagenvariable repräsentiert Elementaraussage
kann wahr oder falsch sein
Junktoren verbinden Aussagenvariablen zu komplexen Formeln
Auswertung über Wahrheitstabelle
Interpretation belegt Variablen mit 0 oder 1
macht Formel wahr oder falsch
Modell macht Formel wahr
Erfüllbar es gibt ein Modell
Gültig jede Interpretation ist Modell (Tautologie)
Schlussfolgerung Erfüllbarkeit, Gültigkeit, Implikation
entscheidbar (korrekt, vollständig, terminierend)
Resolution sucht Widerspruch
KNF, Klausel, Resolvente
Tableau sucht Modell
NNF, Regel, Clash
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57 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
4
Beschreibungslogiken
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
58 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
4
Beschreibungslogiken
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59 / 138
Syntax der Prädikatenlogik
Konstruktoren
Definitionen
Variablen x, y
Konstantensymbole
Terme Variablen, Funktionssymbole
c, x, f (c), g(x, y)
c (0)
d (0)
Funktionssymbole
Atome Prädikate, Terme
R(x, f (x)), S(c)
f (1)
g (2)
Prädikate
Formeln Atome, Quantoren, Junktoren
∃y(R(x, y) ∧ P(y))
P (1)
R(2)
Sätze Formeln ohne freie Variablen
∀x∃yR(x, y)
Quantoren ∀, ∃
Junktoren ∧, ∨, ¬
→, ↔
Grund. . . Terme/Atome ohne Variablen
f (c), g(c, d); R(c, g(c, d))
Im Folgenden betrachten wir nur Sätze, keine offenen Formeln.
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60 / 138
Vorrang der Operatoren
f
P
∀, ∃
¬
∧
∨
→
↔
Quantoren binden stärker als alle Junktoren
∀xR(x, y) ∧ S(x) bedeutet (∀xR(x, y)) ∧ S(x)
Funktionssymbole und Prädikate binden stärker als Quantoren
∀x∀yx + y = y + x bedeutet ∀x∀y(x + y = y + x)
Funktionssymbole binden stärker als Prädikate
x + y > c + d bedeutet (x + y) > (c + d)
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61 / 138
Gefahren der PL-Syntax
Stelligkeit von Funktionssymbolen und Prädikaten
f einstellig ; f (x, y) ist nicht korrekt
Nullstellige Funktionssymbole sind Konstantensymbole
Nullstellige Prädikate sind Aussagenvariablen
Quantoren binden nur nächstes Atom
∀xP(x) → Q(x) ist eine offene Formel
Keine Prädikate in Prädikaten
∃xHat(anna, Katze(x)) ist nicht korrekt
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Sommersemester 2017
62 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
4
Beschreibungslogiken
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63 / 138
Semantik in der Prädikatenlogik: Interpretationen
Erinnerung: Interpretation in der Aussagenlogik
weist Aussagenvariablen Wert 1 oder 0 zu
macht Formel wahr oder falsch
Interpretation in der Prädikatenlogik
bestimmt das Universum (auch Domäne genannt)
weist jedem n-stelligen Funktionssymbol f eine n-stellige Funktion f I
über dem Universum zu
weist jedem n-stelligen Prädikat R eine n-stellige Relation RI über
dem Universum zu
macht Formel wahr oder falsch
der Einfachheit halber: nur Sätze ; keine freien Variablen
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64 / 138
Interpretation 1
ϕ = ∀xR(x, f (x))
Beispiel (Interpretation I mit Menschen als Domäne)
Universum ∆I : M = {Anna,Bob,Clara,Dirk}
Funktion f I : ehepartnerM = {Anna 7→ Bob, Bob 7→ Anna,
Clara 7→ Dirk, Dirk 7→ Clara}
Relation RI : MagM = {(Anna,Bob), (Anna,Clara), (Bob,Anna),
(Bob,Dirk), (Clara,Dirk), (Dirk,Anna), (Dirk,Bob)}
I macht ϕ falsch (weil Dirk Clara nicht mag)
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
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65 / 138
Interpretation 2
ϕ = ∀xR(x, f (x))
Beispiel (Interpretation J mit Zahlen als Domäne)
Universum ∆J : N = {0, 1, 2, . . .}
Funktion f J : sN (Nachfolger) = {0 7→ 1, 1 7→ 2, . . .}
Relation RJ : <N (kleiner als) = {(0, 1), (0, 2), . . . , (1, 2), (1, 3), . . .}
J macht ϕ wahr (weil jede Zahl kleiner ist als ihr Nachfolger)
Wahrheitswert hängt von der Interpretation ab
der Interpretation der Funktionssymbole und Prädikate
0
Wenn J 0 R als >N interpretiert, ist ϕJ falsch
dem Universum
∀x∃y(y < x) ist wahr in Z, aber falsch in N.
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Sommersemester 2017
66 / 138
Interpretation: Formale Definition
Definition (Interpretation in der Prädikatenlogik)
Für einen Satz ϕ mit Funktionssymbolen F und Prädikaten P ist eine
Interpretation I ein Paar (∆I , ·I ) mit
∆I ist eine nichtleere Menge,
·I weist
jedem n-stelligen f ∈ F eine n-stellige Funktion f I über ∆I zu,
jedem n-stelligen R ∈ P eine n-stellige Relation RI über ∆I zu.
Domäne darf nicht leer sein.
Nullstellige Funktionssymbole (Konstantensymbole) werden auf
Elemente der Domäne abgebildet.
Nullstellige Prädikate werden auf {2} oder ∅ abgebildet.
Aussagenvariablen: {2} ; 1; ∅ ; 0
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
67 / 138
Interpretation komplexer Formeln
Der Wahrheitswert komplexer Formeln wird rekursiv bestimmt:
Für einen komplexen Term t = f (t1 , . . . , tn ), t I werden
die Terme t1 , . . . , tn rekursiv ausgewertet als (t1 )I , . . . , (tn )I ;
die Funktion f I für diese Ergebnisse ausgewertet
t I = f I ((t1 )I , . . . , (tn )I ).
Für ein Atom ϕ = P(t1 , . . . , tn ) werden
die Terme t1 , . . . , tn rekursiv ausgewertet;
geprüft, ob das sich ergebende Tupel in P I enthalten ist.
Für gebundene Variablen ∀xϕ(x)/∃xϕ(x) wird geprüft, ob ϕ(x) für
jedes/ein Element der Domäne wahr ist.
Formeln mit Junktoren werden wie in der Aussagenlogik ausgewertet.
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
68 / 138
Beispiel: Interpretation komplexer Formeln
ϕ = ¬P(c) ∧ ∃yR(c, f (y))
∆I
= N
Bestimmung von ϕI :
Funktionssymbole
Prädikate
Quantor: Wähle y = 20N
Funktion auswerten
Relationen auswerten
Junktoren auswerten
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PI
RI
= PrimN
= ≤N
fI
cI
= nachfolgerN
= 15N
¬P I (15N ) ∧ ∃yRI (15N , nachfolgerN (y))
¬PrimN (15N ) ∧ ∃y ≤N (15N , nachfolgerN (y))
¬PrimN (15N ) ∧ ≤N (15N , nachfolgerN (20N ))
¬PrimN (15N ) ∧ ≤N (15N , 21N )
¬0B ∧ 1B
1B
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
69 / 138
Modelle in der Prädikatenlogik
Definition (Modell)
Eine Interpretation I = (∆I , ·I ) erfüllt eine Formel ϕ (ist ein Modell für ϕ,
I |= ϕ), wenn
ϕ = P(t1 , . . . , tn ) ein Atom ist und ((t1 )I , . . . , (tn )I ) ∈ P I gilt;
ϕ = ∀xψ(x) gilt und für jedes x ∈ ∆I ψ(x) gilt;
ϕ = ∃xψ(x) gilt und für ein x ∈ ∆I ψ(x) gilt;
ϕ einen Junktor enthält (z. B., ϕ = ¬ϕ1 , ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 ) und
entsprechend der Wahrheitstabelle als wahr ausgewertet wird.
Definition (Logische Implikation)
Eine Formelmenge Φ impliziert logisch eine Formel ϕ (Φ |= ϕ), wenn jedes
Modell von Φ auch Modell von ϕ ist.
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
70 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
Resolution
Tableaus
4
Beschreibungslogiken
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Sommersemester 2017
71 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
Resolution
Tableaus
4
Beschreibungslogiken
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72 / 138
Resolution in der Prädikatenlogik
Wie kann das Resolutionsprinzip auf PL übertragen werden?
Beispiel (naive Resolution in PL)
∀x(H (x) → ∃yM (x, y))
H (c)
?
Probleme:
Interaktion von Quantoren:
∀xϕ(x), ∀x¬ϕ(x) vs. ∃xϕ(x), ∃x¬ϕ(x)
Interaktion von Variablen und Konstanten
Erzeugung von KNF in Formeln mit Quantoren
Ansatz:
Elimination des Existenz-Quantors
Ersetzung von Variablen durch Terme, um Atome gleich zu machen
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
73 / 138
Schritt 1: Negations-Normalform
Ähnlich wie in AL: Negation nur vor Atomen
1
Elimination von → und ↔
ϕ→ψ
ϕ↔ψ
2
3
¬ϕ ∨ ψ
(ϕ ∧ ψ) ∨ (¬ϕ ∧ ¬ψ)
;
;
Anwendung der de-Morgan-Gesetze und ihrer Entsprechungen für
Quantoren
¬(ϕ ∧ ψ) ; ¬ϕ ∨ ¬ψ
¬(ϕ ∨ ψ) ; ¬ϕ ∧ ¬ψ
¬∀xϕ ; ∃x¬ϕ
¬∃xϕ ; ∀x¬ϕ
Elimination doppelter Negation
¬¬ϕ
;
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ϕ
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74 / 138
Schritt 2: Pränex-Normalform
Definition (Pränex-Normalform)
Eine Formel ist in PNF, wenn sie die Gestalt Q1 x1 . . . Qn xn ϕ(x1 , . . . , xn )
hat, wobei die Teile der Formel wie folgt benannt werden:
Präfix Q1 x1 . . . Qn xn mit Qi ∈ {∀, ∃}
Matrix Quantoren-freie Formel ϕ mit Variablen x1 . . . xn .
Algorithmus zur Transformation in PNF:
1 benenne mehrfach quantifizierte Variablen um
2 ziehe Quantoren nach vorne (unter Beibehaltung der Reihenfolge)
Beispiel (PNF)
„Jeder Mensch hat Mutter und Vater.“
Transformiere in NNF
Ersetze zweites y durch z
Ziehe Quantoren nach vorne
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
∀x(H (x) → ∃yM (x, y) ∧ ∃yF (x, y))
∀x(¬H (x) ∨ ∃yM (x, y) ∧ ∃yF (x, y))
∀x(¬H (x) ∨ ∃yM (x, y) ∧ ∃zF (x, z))
∀x∃y∃z(¬H (x) ∨ M (x, y) ∧ F (x, z))
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
75 / 138
Schritt 3: Skolem-Normalform
Definition (Skolem-Normalform)
Eine prädikatenlogische Formel ϕ ist in
Skolem-Normalform (SNF), wenn sie in PNF ist und das
Präfix keine Existenzquantoren enthält.
Transformation in SNF:
Ersetze existentiell quantifizierte Variablen durch Terme
Thoralf Skolem
(1887–1963)
Beispiel (Skolemisierung)
„Es gibt einen Präsidenten.“
∃xP(x) ; P(c)
„Jeder Mensch hat eine Mutter.“
∀x∃y(H (x) → M (x, y)) ; ∀x(H (x) → M (x, f (x)))
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
c ist neu!
f ist neu!
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76 / 138
Skolemisierungs-Algorithmus
Eingabe: Formel ϕ = ∀x1 . . . ∀xn ∃yψ(x1 , . . . , xn , y) in PNF
Ausgabe: Skolemisierte Formel snf(ϕ)
1 ersetze y durch durch ein neues n-stelliges Funktionssymbol f :
∀x1 . . . ∀xn ψ(x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn ))
2 fahre mit Existenzquantoren in ψ fort, bis alle existentiell
quantifizierten Variablen ersetzt sind
Beachte:
Bearbeite Existenzquantoren von vorne nach hinten
Das neue Funktionssymbol f heißt Skolem-Funktionssymbol
Existentiell quantifizierte Variablen, die nicht im Gültigkeitsbereich
eines Allquantors stehen, werden durch Konstanten ersetzt.
Optimierungspotential durch Umformung der Ausgangsformel
Eine Formel ϕ und ihre SNF sind nicht äquivalent, aber
erfüllbarkeitsäquivalent.
Alle verbleibenden Variablen sind universell quantifiziert
; ∀x wird nicht mehr benötigt.
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
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77 / 138
Übung: Skolem-Normalform
Transformieren Sie die folgenden Formeln in SNF:
a) ∀x(∃yR(x, y) ∧ ∃y¬R(x, y)) ∧ ∀xR(x, x) ∧ ∃y∃z¬R(y, z)
b) ∃x∀y(R(x, y)∨R(y, x))∧¬∀y¬(R(y, y)∧¬R(y, f (y)))∨¬(∀xR(x, x) →
∃xR(x, x))
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78 / 138
Resolution und Variablen
Beispiel (PL-Resolution)
Formel ∃zH (z) ∧ ∀x(H (x) → ∃yM (x, y))
NNF ∃zH (z) ∧ ∀x(¬H (x) ∨ ∃yM (x, y))
→ eliminiert
SNF ∀x(H (c) ∧ (¬H (x) ∨ M (x, f (x))))
∃ eliminiert
KNF H (c) ∧ (¬H (x) ∨ M (x, f (x)))
PL-Atome statt Aussagenvariablen
¬H (x), M (x, f (x))
H (c)
M (c, f (c))
[x/c]
Finde Variablenbelegung, die zwei Atome syntaktisch gleich macht
Ersetze Variablen in gesamter Klausel
Erzeuge Resolvente
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79 / 138
Substitutionen
Definition (Substitution)
Eine Substition ist eine Abbildung von Variablen auf Terme.
Beispiel (Substitution)
Die Substitution
σ = ([x/f (y)], [y/m(c, d)])
bildet x auf f (y) und y auf m(c, d) ab.
Reihenfolge ist wichtig:
([x/y], [y/z]) ist nicht gleich ([y/z], [x/y])
σ(g(x)) = g(f (m(c, d)))
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
80 / 138
Unifikatoren
Definition (Unifikator)
Ein Unifikator ist eine Substitution, die zwei Formeln auf dieselbe Formel
abbildet.
Beispiel (Unifikator von R(a, y) und R(x, f (a)))
ϕ = R(a, y)
ψ = R(x, f (a))
σ(ϕ) = R(a, f (a)) = σ(ψ)
σ = ([x/a], [y/f (a)])
Resolution von C1 und C2 ist möglich, wenn es zwei Atome ϕ, ψ und eine
Substitution σ gibt mit
ϕ ∈ C1 und ¬ψ ∈ C2
σ ist Unifikator von ϕ und ψ.
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81 / 138
Unifikation: Variablenumbenennung und Occurs-Check
Beispiel (gleiche Variable in mehreren Klauseln)
Problem Unifikator für P(x, c) und P(d, x) wird nicht gefunden
Lösung Disjunkte Umbenennung der Variablen
P(x, c), P(d, y), σ = ([x/d], [y/c])
Beispiel (Abbildung von x auf f (x))
Problem Unifikation von P(x) und P(f (x)) resultiert in σ = [x/f (x)]
Lösung Occurs-Check: x kann nicht auf Term abgebildet werden, der
x enthält
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Sommersemester 2017
82 / 138
Allgemeinste Unifikatoren
Beispiel (Mehrere mögliche Unifikatoren)
¬P(y)
P(x), R(x)
[x/d]
R(x)
¬R(c)
[y/d]
[y/x]
R(d)
[x/c]
2
Problem manche Unifikatoren verhindern Resolution
Lösung Allgemeinster Unifikator (MGU): ersetze so wenig wie
möglich
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83 / 138
Unifikations-Algorithmus
Input: Atome s, t
Output: au(s, t), wenn s und t unifizierbar sind;
„nicht unifizierbar“, sonst
1: σ := ()
2: while σ(s) 6= σ(t) do
3:
sei i die erste Position, an der sich σ(s) und σ(t) unterscheiden
4:
if σ(s)|i oder σ(t)|i ist Prädikat then
5:
return „nicht unifizierbar“
6:
else if weder σ(s)|i noch σ(t)|i ist Variable then
7:
return „nicht unifizierbar“
8:
else
9:
sei x die Variable, y der andere Term
10:
if x ist echter Subterm von y then
11:
return „nicht unifizierbar“
12:
else
13:
σ := σ · ([x/y])
14: return σ
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
84 / 138
Unifikation: Beispiel
Beispiel
ϕ = R(f (c), z, g(f (c), f (g(z, f (c)))))
ψ = R(f (c), z, g(f (c), f (g(z, f (c)))))
x
u
w
y
/
/
/
/
f (c)
z
f (c)
g(z, f (c))
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Occurs-Check
AU
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Sommersemester 2017
85 / 138
Übung: Unifikations-Algorithmus
Seien
x, y, z Variablen,
c, d Konstanten,
f einstelliges, g ein zweistelliges und h ein dreistelliges
Funktionssymbol,
S und T dreistellige Prädikate.
Wenden Sie den Unifikations-Algorithmus an, um allgemeinste Unifikatoren
für die folgenden Paare von Termen zu finden:
a) S(x, f (y), g(z, d)) und S(c, f (x), g(f (z), z))
b) T (x, f (x), h(f (y), z, d)) und T (c, f (y), h(z, f (x), c))
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86 / 138
Beispiel: Halloween
1
Tim kauft einen Kürbis.
∃x(Kauft(tim, x) ∧ Kürbis(x))
2
Wer einen Kürbis kauft, isst ihn oder schnitzt eine Laterne daraus.
∀x∀y(Kauft(x, y) ∧ Kürbis(y) → Isst(x, y) ∨ Schnitzt(x, y))
3
Kinder essen keine Kürbisse.
∀x(Kind(x) → ∀y(Kürbis(y) → ¬Isst(x, y)))
4
Konklusion: Wenn Tim ein Kind ist, schnitzt er eine Laterne.
Kind(tim) → ∃xSchnitzt(tim, x)
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87 / 138
Schritt 1: Syntaktische Vorverarbeitung
1
Konjunktion der Prämissen und der Negation der Konklusion
2
Variablen-Umbenennung
3
Ersetzung von ϕ → ψ durch ¬ϕ ∨ ψ
4
Gesetze von De Morgan
5
Entfernung doppelter Negation
6
Pränex-Normalform . . .
(∃x(Kauft(tim, x) ∧ Kürbis(x)) ∧
(∀y∀z(¬(¬Kauft(y, z) ∨ ¬Kürbis(z)) ∨ Isst(y, z) ∨ Schnitzt(y, z)))
(∀u(¬Kind(u) ∨ ∀w(¬Kürbis(w) ∨ ¬Isst(u, w)))) ∧
¬(¬¬Kind(tim) ∧ ¬∀t¬Schnitzt(tim, t))
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∧
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Schritt 2: Skolem-Normalform und KNF
1
Pränex-Normalform
2
Skolem-Normalform
3
Entfernung der Allquantoren
4
Konjunktive Normalform
∃x∀y∀z∀u∀w∀t
(Kauft(tim, k) ∧
Kürbis(k) ∧
(¬Kauft(y, z) ∨ ¬Kürbis(z) ∨ Isst(y, z) ∨ Schnitzt(y, z)) ∧
(¬Kind(u) ∨ ¬Kürbis(w) ∨ ¬Isst(u, w)) ∧
Kind(tim) ∧
¬Schnitzt(tim, t))
¬Schnitzt(tim, t)
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89 / 138
Schritt 3: Resolution
¬Kind(u), ¬Kürbis(w), ¬Isst(u, w)
Kind(tim)
¬Kürbis(w), ¬Isst(tim, w)
Kürbis(k)
¬Isst(tim, k)
¬Kauft(y, z), ¬Kürbis(z), Isst(y, z), Schnitzt(y, z)
¬Kauft(tim, k), ¬Kürbis(k), Schnitzt(tim, k)
¬Kauft(tim, k), Schnitzt(tim, k)
Kauft(tim, k)
¬Schnitzt(tim, t)
Schnitzt(tim, k)
2
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Sommersemester 2017
90 / 138
Übung: Resolution in der Prädikatenlogik
Zeigen Sie mittels Resolution die Folgerung:
1
Jeder Junge und jedes Mädchen ist ein Kind.
2
Jedes Kind erhält ein Auto, eine Puppe oder eine Rute.
3
Kein Junge erhält eine Puppe.
4
Kein braves Kind erhält eine Rute.
5
Kein Kind erhält ein Auto.
6
Konklusion: Kein Junge ist brav.
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91 / 138
Eigenschaften der PL-Resolution
Satz (Korrektheit der PL-Resolution)
K(ϕ) `∗ 2 impliziert Unerfüllbarkeit von ϕ.
Satz (Widerlegungsvollständigkeit der PL-Resolution)
Wenn ϕ unerfüllbar ist, gilt K(ϕ) `∗ 2.
Terminierung?
Terminiert der Resolutionsalgorithmus für jede Eingabe?
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92 / 138
PL-Resolution und Terminierung
Beispiel
P(x), ¬Q(f (x))
¬P(f (y)), Q(f (y))
[x/f(y)]
¬Q(f (f (y))), Q(f (y))
[y/x]
P(x), ¬Q(f (f (x)))
[y/x]
[x/f(y)]
¬Q(f (f (f (y)))), Q(f (y))
P(x), ¬Q(f (f (f (x))))
..
.
PL-Erfüllbarkeit unentscheidbar ; Terminierung nicht erreichbar.
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93 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsverfahren
Resolution
Tableaus
4
Beschreibungslogiken
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94 / 138
Tableau-Algorithmus für PL
Gleiches Grundprinzip
Regeln
Clashes
Vorverarbeitung: NNF
Negation nur vor Atomen
Zusätzliche Regeln für Quantoren
∀-Regel
∃-Regel
Definition von Clash auf PL-Formeln erweitert
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95 / 138
Zusätzliche Regeln für PL
∃ Wenn ∃xϕ(x) ∈ S gilt
und kein Grundterm t existiert mit ϕ(t) ∈ S
dann S := S ∪ ϕ(c) für ein neues Konstantensymbol c
eliminiere ∃ durch Skolemisierung
Konstanten können immer verwendet werden
∀-werden vorher durch ∀-Regel bearbeitet
keine komplexen Skolem-Funktionen nötig
∀ Wenn ∀xϕ(x) ∈ S gilt
und t ein beliebiger Grundterm ist
dann S := S ∪ ϕ(t)
t kann auch neues Konstantensymbol sein
anwendbar auf unendliche Menge von Termen
Keine Anwendbarkeitsbedingung ; immer anwendbar!
Terminierung ist nicht garantiert
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96 / 138
Beispiel: Halloween-Tableau
ϕ
=
∃x(Kauft(tim, x) ∧ Kürbis(x))
∧
∀x∀y(¬Kauft(x, y) ∨ ¬Kürbis(y) ∨ Isst(x, y) ∨ Schnitzt(x, y))
∀x(¬Kind(x) ∨ ∀y(¬Kürbis(y) ∨ ¬Isst(x, y)))
∧
∧
Kind(tim) ∧ ∀x¬Schnitzt(tim, x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ϕ
∃x(Kauft(tim, x) ∧ Kürbis(x))
∀x∀y(¬Kauft(x, y) ∨ ¬Kürbis(y) ∨ Isst(x, y) ∨ Schnitzt(x, y))
∀x(¬Kind(x) ∨ ∀y(¬Kürbis(y) ∨ ¬Isst(x, y)))
Kind(tim)
∀x¬Schnitzt(tim, x))
Kauft(tim, k) ∧ Kürbis(k)
Kauft(tim, k)
Kürbis(k)
¬Schnitzt(tim, k)
¬Kauft(tim, k) ∨ ¬Kürbis(k) ∨ Isst(tim, k) ∨ Schnitzt(tim, k)
¬Kind(tim) ∨ ∀y(¬Kürbis(y) ∨ ¬Isst(tim, y))
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
1: ∧
2: ∃(x/k)
7: ∧
6: ∀(x/k)
3: ∀(x/tim, y/k)
4: ∀(x/tim)
Sommersemester 2017
97 / 138
Beispiel: Halloween-Tableau (Fortsetzung)
5
8
9
10
11
12
13
14
15
16
¬Kind(tim)
5
Kind(tim)
Kauft(tim, k)
Kürbis(k)
¬Schnitzt(tim, k)
¬Kauft(tim, k) ∨ ¬Kürbis(k) ∨ Isst(tim, k) ∨ Schnitzt(tim, k)
¬Kind(tim) ∨ ∀y(¬Kürbis(y) ∨ ¬Isst(tim, y))
∀y(¬Kürbis(y) ∨ ¬Isst(tim, y))
¬Kürbis(k) ∨ ¬Isst(tim, k)
¬Kürbis(k)
¬Isst(tim, k)
9
¬Kauft(tim, k)
¬Kürbis(k)
Isst(tim, k)
8
9
15
Schnitzt(tim, k)
10
12:
13:
14:
11:
∨
∀(y/k)
∨
∨
Jede Spalte enthält einen Clash
ϕ ist unerfüllbar
Prämissen implizieren Konklusion
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Sommersemester 2017
98 / 138
Übung: Tableau in der Prädikatenlogik
Verwenden Sie ein Tableau, um zu zeigen, dass kein Junge brav ist.
ϕ = ∀x(¬J (x) ∧ ¬M (x) ∨ K (x))
∧
∀x(¬K (x) ∨ ∃y(E(x, y) ∧ (A(y) ∨ P(y) ∨ R(y))))
∀x(¬J (x) ∨ ∀y(¬E(x, y) ∨ ¬P(y)))
∧
∀x(¬K (x) ∨ ¬B(x) ∨ ∀y(¬E(x, y) ∨ ¬R(y)))
∀x(¬K (x) ∨ ∀y(¬E(x, y) ∨ ¬A(y)))
∧
∧
∧
∃z(J (z) ∧ B(z))
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Sommersemester 2017
99 / 138
Zusammenfassung: Prädikatenlogik
Syntax Variablen, Prädikate, Funktionssymbole, Quantoren
Terme, Atome, komplexe Formeln
Modellierung der inneren Struktur von Aussagen
Interpretation Domäne, Funktionen, Relationen
Schlussfolgerung korrekt, vollständig
nicht terminierend ; unentscheidbar
Resolution PNF, SNF, Unifikation
Tableau ∃/∀-Regel, Anwendbarkeit
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Sommersemester 2017
100 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
Wissensrepräsentation
Frühe Wissensrepräsentations-Systeme
Eigenschaften von Beschreibungslogiken
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsprobleme
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Sommersemester 2017
101 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
Wissensrepräsentation
Frühe Wissensrepräsentations-Systeme
Eigenschaften von Beschreibungslogiken
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsprobleme
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Sommersemester 2017
102 / 138
Wissensrepräsentations-Systeme
Wissensrepräsentations-Hypothese (Smith, 1982):
1
Wissen ist in einer Form gespeichert, die für
äußeren Beobachter verständlich ist.
2
Gespeichertes Wissen spielt wesentliche kausale
Rolle im Verhalten des Systems.
Brian C. Smith
ohne 1: Jedes Programm ist WR-System
Wissen zum Erfüllen der Aufgabe implizit enthalten
ohne 2: Gespeichertes Wissen ist nur Dekoration
Mind-Map
Kommentare
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Sommersemester 2017
103 / 138
WR-Systeme und Datenbanken
Datenbank
1
speichert Informationen in verständlicher Form
2
beantwortet Anfragen abhängig vom Inhalt
Zusätzliche Forderung für WRS (Baader, 1999):
3
System macht implizites Wissen explizit.
nicht nur zuvor gespeicherte Fakten
sondern alles, was aus den Axiomen folgt
Logisch: {ϕ | Ax |= ϕ}
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104 / 138
Komponenten von WR-Systemen
Wissensbank speichert formalisiertes Wissen (knowledge base, KB)
WR-Sprache mit Syntax und Semantik
Inferenzmaschine leitet implizites Wissen ab (inference engine, IE)
Schlussfolgerungsverfahren
Ziele für Wissensrepräsentation:
Ausdrucksstärke ausreichend für Domäne
Schlussfolgerungsprobleme (effizient) entscheidbar
Syntax leicht erlernbar
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Sommersemester 2017
105 / 138
Logik als WR-System
Bisher behandelte Systeme:
Aussagen-/ Prädikatenlogik
Wissensbank: Formel in Syntax der AL/PL
Inferenzmaschine: Erfüllbarkeitstest mit Resolution / Tableau
Prolog
Wissensbank: Prolog-KB
Inferenzmaschine: Prolog-Interpreter mit Horn-Resolution
Nachteile:
AL kann innere Struktur von Aussagen nicht abbilden
Erfüllbarkeit für PL/Prolog ist unentscheidbar
Syntax ungeeignet für Anwender ohne mathematische Vorkenntnisse
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Sommersemester 2017
106 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
Wissensrepräsentation
Frühe Wissensrepräsentations-Systeme
Eigenschaften von Beschreibungslogiken
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsprobleme
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Sommersemester 2017
107 / 138
Semantische Netze
früher Ansatz zur grafischen Wissensrepräsentation
entwickelt 1960 von M. Ross Quillian
WR-Sprache: beschrifteter Graph
Knoten: Individuen, Klassen, Eigenschaften
Kanten: is-a, has-prop
Schlussfolgerungsverfahren
Vererbung entlang is-a-Kanten
ererbte Eigenschaften sind Default
Default kann überschrieben werden
Spreading Activation: Pfad zwischen Knoten
interpretiert als Beziehung zwischen Entitäten
(„semantischer Abstand“)
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
M. Ross Quillian
Sommersemester 2017
108 / 138
Beispiel: Semantisches Netz
Lebewesen
Schlussfolgerungen
is-a
is-a
Mensch
Fleisch
hat
isst
Tier
is-a
Tom ist ein Tier
Tom isst eine Maus
is-a
Katze
Maus
is-a
is-a
Tom
isst
Jerry
Katzen und Mäuse haben
gemeinsam, dass sie Tiere sind
Menschen und Mäuse haben
gemeinsam, dass sie Lebewesen sind
Fragen
Ist Jerry Fleisch?
Hat jeder Mensch eine Katze?
Gehört jede Katze einem Menschen?
Essen Katzen nur Fleisch, auch Fleisch, normalerweise Fleisch?
Was bedeutet „is-a“?
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
109 / 138
Probleme Semantischer Netze
Mehrdeutigkeit von is-a
Individuum → Klasse: Element
Klasse → Klasse: Teilmenge
Vererbung als Default
Jede Eigenschaft kann überschrieben werden
„Viereck ist Dreieck mit vier Ecken“
keine terminologische Information
„Semantischer Abstand“ abhängig von syntaktischen Details
Tom → Katze → Tier: Tom ist eng verwandt mit Tier
Tom → Perserkatze → Katze → Katzenartige → Raubtier →
Wirbeltier → Tier: Tom ist entfernt verwandt mit Tier
keine formale Semantik!
Netzwerk bedeutet, was der Ersteller meint
Konflikte zwischen Benutzer und Programmierer nicht entscheidbar
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
110 / 138
Frames - Ursprung und Intention
WR-Formalismus zur Beschreibung von Entitäten
entwickelt 1975 von Marvin Minsky
Ziel: Imitation von menschlichem Kategorisieren
Ablehnung von logischem Schließen
„nicht vital und kreativ“
„nicht flexibel“
keine Möglichkeit, „normalerweise“ auszudrücken
„Monotonität“: Einmal ableitbare Folgerungen
können nicht durch neue Informationen verhindert
werden
Trennung von repräsentiertem Wissen und
Schlussfolgerungsverfahren „zu radikal“
Bestehen auf Korrektheit (Verhinderung falscher
Folgerungen) „unglaublich zerstörerisch“
Marvin Minsky
(1927-2016)
KI als „Sammlung von Heuristiken“
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
111 / 138
Frames - Syntax und Inferenzen
Syntax:
Class Frame beschreibt Klasse von Entitäten
Instance Frame beschreibt spezifische Entität
Frame enthält slots für bestimmte Attribute
Wert eines slots wird filler genannt
Defaults für filler sind möglich
Sub-frames für Spezialisierung (; is-a)
Schlussfolgerungsverfahren
Vererbung: Sub-frames ererben Default-Filler
Kriterialität: Wenn ein Instance Frame I für alle Slots eines Class
Frame C passende Filler hat, ist I eine Instanz C
Matching: Test, ob Instanz eines Frames C1 auch Instanz eines anderen
Frames C2 ist
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
112 / 138
Frames - Probleme
Frame-Inferenzen lassen sich in PL ausdrücken (Hayes 1979)
Wie bei Semantischen Netzen
Keine Taxonomie, wenn alle Eigenschaften nur Defaults sind
Ohne formale Semantik kein „richtig“ und „falsch“
KI als Sammlung von Heuristiken
keine Wissenschaft, nur Programmiertechnik
Frames wichtiger für Objekt-orientiertes Programmieren als für WBS
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Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
113 / 138
Probleme früher WR-Systeme
fehlende formale Semantik unklare Bedeutung des Netzwerks
unzuverlässige Schlussfolgerungsverfahren
Inkompatibilität
Graph-basierte Algorithmen Ergebnis abhängig von irrelevanter Information
Konsequenz: Logik-basierte WR-Systeme
formale Semantik angelehnt an mathematische Logik
entscheidbare Fragmente der PL
einfachere, intuitiv verständliche Syntax, z.B. keine Variablen
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
114 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
Wissensrepräsentation
Frühe Wissensrepräsentations-Systeme
Eigenschaften von Beschreibungslogiken
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsprobleme
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
115 / 138
Beschreibungslogiken: Ursprung
Familie von WR-Sprachen (Logiken)
entscheidbare Schlussfolgerungsprobleme
Komplexität von P bis 2-NExpTime
auch ausdrucksstarke Logiken effizient „in der
Praxis“
Ursprung: KL-One (Brachman et al., 1985)
Ron Brachman
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
116 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
Wissensrepräsentation
Frühe Wissensrepräsentations-Systeme
Eigenschaften von Beschreibungslogiken
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsprobleme
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
117 / 138
BL-Bausteine
Konzeptnamen Mensch, Universität, Stadt, usw.
; einstellige Prädikate in PL
Rollennamen hatMutter, besucht, arbeitetMit, usw.
; zweistellige Prädikate in PL
Individuen john, dhbw, stuttgart, usw.
; Konstanten in PL
nicht immer Teil der Sprache
Die Menge aller Konzeptnamen, Rollennamen und Individuen eines
Systems heißt Signatur oder Vokabular.
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
118 / 138
Konzept-Konstruktoren
Konstruktion komplexer Konzepte aus Konzept- und Rollennamen
jeder Konzeptname ist ein Konzept;
> und ⊥ sind Konzepte;
Boole’sche Operatoren:
Für Konzepte C und D
sind auch ¬C , C u D, und C t D Konzepte;
Quantoren:
Für einen Rollennamen r und ein Konzept C
sind auch ∃r.C und ∀r.C Konzepte.
Vorrang:
(, )
∀, ∃
¬
u
t
Weitere Konstruktoren für komplexe Konzepte und Rollen existieren.
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
119 / 138
Beschreibungslogiken und Konstruktoren
Quelle: http://www.cs.man.ac.uk/~ezolin/dl/
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
120 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
Wissensrepräsentation
Frühe Wissensrepräsentations-Systeme
Eigenschaften von Beschreibungslogiken
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsprobleme
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
121 / 138
Die Beschreibungslogik ALC
„Attributive Language with Complement“
Boole’sche Operatoren ¬, u, t
Quantoren ∀, ∃
Name hat historische Gründe:
AL erlaubt ∀, u und eingeschränkt ¬ und ∃
C Uneingeschränkt ¬, damit auch t und ∃ uneingeschränkt
Beispiel (ALC-Konzept)
Student u ∀besucht.BachelorVorlesung
Klasse der Studenten, die nur Bachelor-Vorlesungen besuchen
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
122 / 138
Semantik von ALC
Definition (Interpretation für ALC)
Sei C ein ALC-Konzept mit Konzeptnamen N und und Rollennamen R.
Eine Interpretation I ist ein Paar (∆I , ·I ) mit
∆I ist eine nichtleere Menge;
die Funktion ·I weist
jedem Konzeptnamen n ∈ N eine einstellige Relation n I über ∆I und
jedem Rollennamen r ∈ R eine zweistellige Relation r I über ∆I zu.
Beispiel (ALC-Interpretation)
Student u ∀besucht.BachelorVorlesung
I = ({Peter, Paul, Maria, Logik, WBS},
{Student 7→ {Peter, Maria},
Bachelorvorlesung 7→ {Logik},
besucht 7→ {(Peter, Logik), (Peter, WBS), (Maria, Logik)}})
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
123 / 138
Schematische Darstellung einer Interpretation
Konzeptnamen
...C ...
Rollennamen
...r ...
·I
∆I
CI
rI
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
124 / 138
Interpretation komplexer Konzepte
Die Interpretation komplexer Konzepte ist induktiv definiert:
Name
Top
Bottom
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Allquantor
Existenzquantor
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Syntax
>
⊥
¬C
C uD
C tD
∀r.C
∃r.C
Semantik
∆I
∅
∆I \ C I
C I ∩ DI
C I ∪ DI
{x ∈ ∆I | (x, y) ∈ r I impliziert y ∈ C I }
{x ∈ ∆I | es gibt ein y ∈ ∆I , so dass
(x, y) ∈ r I und y ∈ C I gilt }
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
125 / 138
Übung: ALC-Konzepte
Verwenden Sie
die Konzeptnamen Mensch, Weiblich, Architekt, Ingenieur
und
den Rollennamen hat-kind,
um Konzepte für die folgenden Klassen zu formulieren:
1
Ein Mensch, der nicht weiblich ist.
2
Jemand, der nur weibliche Kinder hat.
3
Ein Mensch, der ein Kind hat, das Architekt oder Ingenieur ist.
4
Großeltern.
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
126 / 138
Inhalt
1
Einführung
2
Aussagenlogik
3
Prädikatenlogik
4
Beschreibungslogiken
Wissensrepräsentation
Frühe Wissensrepräsentations-Systeme
Eigenschaften von Beschreibungslogiken
Syntax
Semantik
Schlussfolgerungsprobleme
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
127 / 138
Grundlegende BL-Schlussfolgerungsprobleme
Konsistenz Ist ein Konzept C widersprüchlich?
; Ist C erfüllbar?
Subsumtion Ist jede Instanz von C auch Instanz von D?
; Ist C u ¬D erfüllbar?
liefert Konzepthierarchie
englisch: subsumption
Erfüllbarkeitstest kann beide Schlussfolgerungsprobleme entscheiden.
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
128 / 138
Tableau-Algorithmus für ALC-Konzepte
arbeitet auf ALC-Konzepten in Negations-Normalform (NNF)
Negation nur direkt vor Konzeptnamen
¬(C u D) ; ¬C t ¬D
¬∀r.C ; ∃r.¬C
¬¬C ; C
¬(C t D) ; ¬C u ¬D
¬∃r.C ; ∀r.¬C
erzeugt Tableau für Konzept C
Baum, der Modell für C repräsentiert (wenn Clash-frei und vollständig)
Knoten beschriftet mit Mengen von Subkonzepten von C
Kanten beschriftet mit Rollennamen
Wurzel beschriftet mit C
Weitere Knoten von ∃-Regel erzeugt
Keine Tabellenstruktur für Disjunktionen, sondern depth-first-Expansion
mit Backtracking
Jan Hladik (DHBW Stuttgart)
Wissensbasierte Systeme – Logik –
Sommersemester 2017
129 / 138
ALC-Tableau: Formale Definition
Definition (ALC-Tableau)
Sei
C ein ALC-Konzept,
SC(C ) die Menge aller Subkonzepte von C und
Rol(C ) die Menge aller in C vorkommenden Rollennamen.
Ein Tableau für C ist ein Baum G = (V , E, L) mit
einer Knotenmenge V ,
einer Kantenmenge E ⊆ V × V und
einer Beschriftungsfunktion L mit
L : V → 2SC(C ) und
L : V × V → Rol(C ).
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ALC-Tableau-Algorithmus
4 Regeln (wegen NNF)
brechen komplexe Formeln in einfachere auf
Anwendungsreihenfolge don’t-care-nichtdeterministisch
t-Regel don’t-know-nichtdeterministisch
Wenn keine Regel anwendbar ist, heißt das Tableau vollständig.
Clash: Knotenlabel enthält C und ¬C für ein Konzept C
Wenn kein Knoten einen Clash enthält, heißt das Tableau Clash-frei.
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Tableau-Regeln für ALC-Konzepte
Definition (r-Nachfolger)
Wenn (v, v 0 ) ∈ E und L(v, v 0 ) = r gelten, heißt v 0 r-Nachfolger von v.
u Wenn es ein v ∈ V gibt mit C u D ∈ L(v) und
{C , D} 6⊆ L(v), dann
L(v) := L(v) ∪ {C , D}.
t Wenn es ein v ∈ V gibt mit C t D ∈ L(v) und
{C , D} ∩ L(v) = ∅, dann
wähle X ∈ {C , D} und setze L(v) := L(v) ∪ {X }.
∃ Wenn es ein v ∈ V gibt mit ∃r.C ∈ L(v) und
kein r-Nachfolger v 0 von v existiert mit C ∈ L(v), dann
V := V ∪ {v 0 }, E := E ∪ {(v, v 0 )},
L(v 0 ) := {C } und L(v, v 0 ) := r für einen neuen Knoten v 0 .
∀ Wenn es ein v ∈ V gibt mit ∀r.C ∈ L(v) und
ein r-Nachfolger v 0 von v existiert mit C ∈
/ L(v 0 ), dann
L(v 0 ) := L(v 0 ) ∪ {C }.
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Beispiel: ALC-Tableau-Algorithmus
C = ∃r.(A t ∃r.B) u ∃r.¬A u ∀r.(¬A u ∀r.(¬B t A))
u
r
v
L(u) = {C }, ∃r.(A t ∃r.B),
r
w
∃r.¬A, ∀r.(¬A u ∀r.(¬B t A))}
L(v) = {A t ∃r.B}, ¬A, ∀r.(¬B t A)}, A}, ∃r.B}
r
L(w) = {¬A}, ∀r.(¬B t A)}
x
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L(x) = {B}, ¬B t A}, ¬B}, A}
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ALC-Tableau und Modell
Das vollständige und Clash-freie Tableau liefert ein Modell I:
∆I
AI
BI
rI
= {u, v, w, x}
(alle Knoten)
= {x}
(alle Knoten, deren Beschriftung A enthält)
= {x}
(alle Knoten, deren Beschriftung B enthält)
= {(u, v), (u, w), (v, x)}
(alle Kanten, die mit r beschriftet sind)
Aus der Semantik von ALC folgt u ∈ C I , also ist C erfüllbar.
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Übung: ALC-Tableaualgorithmus
Testen Sie die Erfüllbarkeit des Konzepts
∃r.C u ∃r.¬C u ∀r.(¬C t D) u ∀r.(¬D t ∃s.C )
mit Hilfe des ALC-Tableau-Algorithmus.
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Korrektheit und Vollständigkeit
Satz (Korrektheit des ALC-Tableau-Algorithmus)
Wenn der Algorithmus für ein Konzept C ein Clash-freies und vollständiges
Tableau erzeugt, ist C erfüllbar.
Beweis.
Aus dem Tableau kann ein Modell abgeleitet werden.
Satz (Vollständigkeit des ALC-Tableau-Algorithmus)
Wenn das Konzept C erfüllbar ist, kann die t-Regel so angewendet werden,
dass der Algorithmus ein Clash-freies und vollständiges Tableau erzeugt.
Beweis.
Das Modell kann genutzt werden, um eine erfolgreiche Folge von
Regelanwendungen zu finden.
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Terminierung
Satz (Terminierung des ALC-Tableau-Algorithmus)
Der Algorithmus terminiert für jedes Eingabekonzept C .
Beweis.
Quantorentiefe sinkt mit jeder Ebene des Baums.
Jeder Knoten ist nur mit Subkonzepten von C beschriftet.
C hat endlich viele Subkonzepte.
Die ∃-Regel ist in jedem Knoten für jedes Konzept höchstens einmal
anwendbar.
Satz (Modelleigenschaft von ALC)
Für ALC-Konzepte gilt die Endliches-Baum-Modell-Eigenschaft: Jedes
erfüllbare Konzept C hat ein endliches Baum-Modell.
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Zusammenfassung: ALC
ausdrucksstärker als Aussagenlogik
ausdrucksschwächer als Prädikatenlogik
∀ und ∃ nur eingeschränkt
nur ein- und zweistellige Prädikate
keine Funktionen
keine Variablen
Tableau-Algorithmus
erzeugt endliches Baum-Modell
korrekt, vollständig, terminierend
Schlussfolgerungsprobleme entscheidbar
Konsistenz
Subsumtion
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