1. Eindimensionale Bewegung - Prof. Dr.

1. Eindimensionale Bewegung
●
●
Die Gesamtheit aller Orte, die ein Massenpunkt während
seiner Bewegung einnimmt, wird als Bahnkurve oder
Bahn bezeichnet.
Bei einer eindimensionalen Bewegung ist die Bahn vorgegeben:
–
Schienenfahrzeuge
–
Schlitten von Werkzeugmaschinen
–
Magnetschwebebahn
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-1
1. Eindimensionale Bewegung
1.1 Grundbegriffe
1.2 Gleichförmige Bewegung
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
1.5 Ortsabhängige Geschwindigkeit
1.6 Ortsabhängige Beschleunigung
1.7 Geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-2
1.1 Grundbegriffe
●
Ort:
–
–
–
Bei vorgegebener Bahn ist
die Lage eines Punktes durch
die Angabe der von einem
festen Punkt P0 aus gemessenen Bogenlänge s eindeutig festgelegt.
Die Bogenlänge s ist die
Ortskoordinate des Punktes.
Die Orientierung der Bahn
legt das Vorzeichen der Ortskoordinate fest.
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1. Kinematik des Massenpunkts
Bahn
s2
s1
P1
P0
P2
s 10
s 2 0
Dynamik 1.1-3
1.1 Grundbegriffe
●
Bewegung:
–
–
Zum Zeitpunkt ti befindet sich
der Massenpunkt am Ort P(ti )
mit der Ortskoordinate s(ti ).
Der Bewegungsablauf ist vollständig beschrieben, wenn die
Ortskoordinate s in Abhängigkeit von der Zeit t bekannt ist.
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1. Kinematik des Massenpunkts
P(t4 )
P(t3 )
P(t2 )
P(t1 )
Dynamik 1.1-4
1.1 Grundbegriffe
●
Bahngeschwindigkeit:
–
Der Differenzenquotient
v m=
s t i1 −s t i 
t i1−t i
=
 si
ti
ist ein Maß für die Schnelligkeit der Bewegung zwischen
den Punkten P(ti ) und P(ti+1 ).
–
Er wird als mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen den
Punkten P(ti ) und P(ti+1 ) bezeichnet.
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-5
1.1 Grundbegriffe
–
Je kleiner der Abstand der Zeiten ti und ti+1 gewählt wird, desto genauer gibt die mittlere Geschwindigkeit die Schnelligkeit der Bewegung am Ort P(ti ) an.
–
Der Grenzwert
 si
ds
v t i = lim
= t i = ṡ t i 
dt
t t  t i
i1
i
definiert die Bahngeschwindigkeit im Punkt P(ti ).
–
Die Bahngeschwindigkeit ist die Ableitung der Ortskoordinate s nach der Zeit.
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-6
1.1 Grundbegriffe
–
Einheiten:
●
●
–
Die Einheit der Bahngeschwindigkeit ist Längeneinheit pro
Zeiteinheit.
Gängige Einheiten sind m/s und km/h:
Vorzeichen:
●
●
1
km 1000 m 1 m
m
km
=
=
, 1 =3,6
h
3600 s 3,6 s
s
h
Ein positiver Wert der Bahngeschwindigkeit gibt an, dass sich
der Massenpunkt in Richtung zunehmender Ortskoordinate,
d.h. entsprechend der Orientierung der Bahn bewegt.
Ein negativer Wert der Bahngeschwindigkeit gibt an, dass
sich der Massenpunkt entgegen der Orientierung der Bahn
bewegt.
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-7
1.1 Grundbegriffe
●
Bahnbeschleunigung:
–
Die Bahnbeschleunigung ist ein Maß für die Änderung der
Bahngeschwindigkeit.
–
Der Differenzenquotient
a m=
v t i1 −v t i 
t i1 −t i
=
 vi
 ti
wird als mittlere Bahnbeschleunigung zwischen den Punkten P(ti ) und P(ti+1 ) bezeichnet.
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-8
1.1 Grundbegriffe
–
Der Grenzwert
 vi
dv
at i = lim
= t i = v̇ t i = s̈  t i 
dt
t t  t i
i1
i
definiert die Bahnbeschleunigung im Punkt P(ti ).
–
Die Bahnbeschleunigung ist die erste Ableitung der Bahngeschwindigkeit nach der Zeit oder die zweite Ableitung der
Ortskoordinate nach der Zeit.
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-9
1.1 Grundbegriffe
–
Einheiten:
●
●
Die Einheit der Bahnbeschleunigung ist Länge pro Zeit zum
Quadrat.
Gängige Einheiten sind m/s2 und g (Erdbeschleunigung):
1 g=9,81 m / s
–
2
Vorzeichen:
●
●
Haben Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung das
gleiche Vorzeichen, so nimmt der Betrag der Bahngeschwindigkeit zu. Die Bewegung wird beschleunigt.
Haben Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung entgegengesetzte Vorzeichen, so nimmt der Betrag der Bahngeschwindigkeit ab. Die Bewegung wird verzögert.
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-10
1.1 Grundbegriffe
s(t)
s2
s1
d/dt
∫
∫
v(t)
a(t)
v2
s2-s1
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v1
v2-v1
d/dt
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-11
1.2 Gleichförmige Bewegung
●
Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Bahngeschwindigkeit konstant: v t =v 0=const.
●
Dann gilt für die Bahnbeschleunigung:
●
Ortskoordinate:
–
Aus der Definition der Geschwindigkeit,
folgt durch Trennung der Veränderlichen:
–
dv
a= =0
dt
ds
dt
ds=v t  dt
v=
Die Ortskoordinate ergibt sich durch Integration:
s t
t
t
∫ ds=∫ v  d =v 0 ∫ d =v 0  t−t 0 
s0
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t0
t0
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-12
1.2 Gleichförmige Bewegung
–
Ergebnis: Ort-Zeit-Gesetz
s t =s 0 v 0  t−t 0 
s t −s 0 =v 0  t−t 0 
–
s0 ist die Ortskoordinate zum Zeitpunkt t0 (Anfangsbedingung).
v
s
s(t)
v0(t-t0)
v0
s0
t0
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t
t
1. Kinematik des Massenpunkts
t0
t
t
Dynamik 1.1-13
1.2 Gleichförmige Bewegung
●
Beispiel:
–
Fahrzeug A befindet sich zum Zeitpunkt tA am Ort PA mit der
Ortskoordinate sA0 und fährt mit der konstanten Bahngeschwindigkeit vA.
–
Fahrzeug B befindet sich zum Zeitpunkt tB am Ort PB mit der
Ortskoordinate sB0 und fährt mit der konstanten Bahngeschwindigkeit vB.
–
Wo treffen sich die beiden Fahrzeuge?
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-14
1.2 Gleichförmige Bewegung
–
Ort-Zeit-Diagramm:
s
B
A
sT
sA0
sB0
tA
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tB
tT
1. Kinematik des Massenpunkts
t
Dynamik 1.1-15
1.2 Gleichförmige Bewegung
–
–
Ort-Zeit-Gesetze:
●
Fahrzeug A:
s A t =s A 0 v A  t −t A 
●
Fahrzeug B:
s B t =s B 0 v B  t−t B 
Bedingung für Treffen:
●
s A t T =s B t T =sT
Bestimmung von tT :
s A 0 v A  t T −t A  =s B 0 v B  t T −t B 
s A 0 −s B 0 −v A t Av B t B = v B −v A  t T
 t T=
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s A 0 −s B 0 −v A t A v B t B
v B −v A
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-16
1.2 Gleichförmige Bewegung
●
Bestimmung von sT aus Ort-Zeit-Gesetz für Fahrzeug A:
sT =s A 0 v A
=s A 0 
=
=
●

s A 0 −s B 0 −v A t A v B t B
v B −v A
vA
v B −v A
−t A

 s A 0 −s B 0−v A t A vB t B −v B t A v A t A 
1
s A 0 v B −s A 0 v A s A 0 v A −s B 0 v A v A v B  t B −t A  

v B −v A
s A 0 v B −s B 0 v A v A v B  t B −t A 
v B −v A
Aus dem Ort-Zeit-Gesetz für Fahrzeug B folgt das gleiche Ergebnis (Übung).
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-17
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
●
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die
Bahnbeschleunigung konstant:
a t =a0 =const.
●
Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = t0:
–
Ort: s(t0 ) = s0
–
Geschwindigkeit: v(t0 ) = v0
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-18
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
●
Bahngeschwindigkeit:
–
dv
Aus der Definition der Bahnbeschleunigung, a=
dt
folgt durch Trennung der Veränderlichen:
–
dv=a t  dt
Integration von t0 bis t ergibt
v t 
t
t
∫ dv=∫ a  d =a 0 ∫ d =a 0  t−t 0 
v0
–
t0
t0
Ergebnis: Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v t −v 0 =a 0  t−t 0 
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v t =v 0 a 0  t−t 0 
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-19
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
●
Ortskoordinate:
–
Integration von ds=v t  dt ergibt:
s t
t
t
t
t
∫ ds=∫ v  d =∫  v 0 a0  −t 0   d =v 0 ∫ d a 0 ∫  −t 0  d 
s0
t0
t0
t0
t0
a0
2
 s t −s 0 =v 0  t −t 0    t−t 0 
2
–
Ergebnis: Ort-Zeit-Gesetz
1
2
s t =s 0 v 0  t−t 0   a 0  t −t 0 
2
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-20
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
a
s
a0
a0 (t - t0)2 / 2
t
v
v0 (t - t0)
a0 (t - t0) s0
v0
t0
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t
t
t0
1. Kinematik des Massenpunkts
t
t
Dynamik 1.1-21
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
●
Bahngeschwindigkeit als Funktion des Orts:
–
Aus dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz folgt:
–
Einsetzen in das Ort-Zeit-Gesetz führt auf
2
     
  
s−s 0 =v 0
=
v−v 0
a0

a 0 v−v 0
2
v−v 0
vv 0
a0
2
2
2
a0
=
2 a 0  s−s 0  =v −v 0 
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=
v−v 0
a0
v0
t−t 0 =
v−v 0
2
v−v 0
a0

v 2−v20
2 a0

v s= v 20 2 a 0  s−s 0 
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-22
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
●
Beispiel: Senkrechter Wurf
–
Aufgabenstellung: Ein Körper wird zum Zeitpunkt t0 = 0 von
der Erdoberfläche mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 nach
oben geworfen.
–
Gesucht:
●
Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf
●
Ort-Zeit-Verlauf
●
Steigzeit T
●
Steighöhe H
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-23
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
–
Wahl des Koordinatensystem:
●
●
–
–
Die Ortskoordinate s beginnt am Erdboden und ist nach oben
positiv.
Die Zeit wird ab Abwurf des Körpers gemessen, d.h. t0 = 0.
Anfangsbedingungen:
●
s(0) = s0 = 0
●
v(0) = v0
s
v0
Die Beschleunigung ist gleich der Erdbeschleunigung. Sie
wirkt entgegen der positiven Ortskoordinate:
at =a 0 =−g
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-24
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
v t =v 0 −g t
–
Ort-Zeit-Gesetz:
1 2
s t =v 0 t− g t
2
–
Geschwindigkeit-Ort-Gesetz:
v s=  v 20 −2 g s
–
Steigzeit:
–
●
Bei Erreichen des höchsten Punktes ist die Geschwindigkeit
null:
v0
0=v T =v 0 −g T  T =
g
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-25
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
–
Steighöhe:
–
Zahlenwerte:
–
2
v0
2
0=v  H =  v 0 −2 g H  H =
2g
●
Erdbeschleunigung: g = 9,81m/s2
●
Anfangsgeschwindigkeit: v0 = 10m/s
Daraus:
●
Steigzeit:
10 m/ s
T=
=1,019 s
2
9,81 m/ s
Steighöhe:
1 10 m / s
H= ⋅
=5,097 m
2 9,81 m/ s2
2
●
Prof. Dr. Wandinger
2
2
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-26
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-27
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
●
●
Vorgegeben:
–
Allgemeine zeitabhängige Beschleunigung a(t)
–
Anfangsbedingungen: v(t0 ) = v0 , s(t0 ) = s0
Bahngeschwindigkeit:
–
Integration von dv=a t  dt führt auf die Geschwindigkeit:
v t 
t
t
∫ dv=∫ a  d 
v0
Prof. Dr. Wandinger

v t =v 0 ∫ a d 
t0
1. Kinematik des Massenpunkts
t0
Dynamik 1.1-28
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
a
v
dv = a dt
v0
a dt
dt
Prof. Dr. Wandinger
t
1. Kinematik des Massenpunkts
dt
t
Dynamik 1.1-29
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
●
Ortskoordinate:
–
v
Integration von ds=v t  dt
führt auf den Ort:
s t
t
∫ ds=∫ v  d 
s0
v dt
v0
t0
t
dt
s
ds = v dt
t
s t =s 0 ∫ v  d 
t0
s0
dt
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
t
Dynamik 1.1-30
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
●
Beispiel:
–
Ein Fahrzeug hat zum Zeitpunkt t1 = 0s die Geschwindigkeit
v1 = 50km/h.
–
Vom Zeitpunkt t1 bis zum Zeitpunkt t2 = 7s erfährt es die Beschleunigung

at =a 0 sin 
–
t −t 1
t 2 −t 1

, t 1≤t≤t 2
Zum Zeitpunkt t2 erreicht es die Geschwindigkeit
v2 = 100km/h.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-31
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
–
Gesucht ist das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz und das OrtZeit-Gesetz während der Beschleunigung, der Wert der
Konstanten a0 sowie der während der Beschleunigung zurückgelegte Weg s12.
–
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
t


 
[

t 2 −t 1
−t 1
v t =v1 ∫ a 0 sin 
d =v1 a 0 −
cos 

t 2 −t 1
t 2 −t 1
t
1
−t 1
t 2 −t 1
t−t 1
=v 1a 0
1−cos 

t 2 −t 1
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=t
]
=t 1

1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-32
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
–
Ort-Zeit-Gesetz:
  
 [  ] 
t 2 −t 1 t
−t 1
s t =s 1v 1  t−t 1  a 0
1−cos 
d
∫
 t
t 2 −t 1
1
t 2−t 1
t 2−t 1
−t 1
=s1 v1  t−t 1  a 0
t−t 1−
sin 


t 2 −t 1
2
  
=t
 =t 1
a0
t 2 −t 1
t−t 1
=s1 v1  t−t 1    t 2 −t 1  t−t 1  −a0
sin 


t 2 −t 1
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1. Kinematik des Massenpunkts

Dynamik 1.1-33
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
–
Wert der Konstanten a0:
  
t 2 −t 1
t 2 −t 1
t 2−t 1
v 2=v t 2 =v 1a0
1−cos 
=v 12 a 0


t 2 −t 1
 a0 =
–
  v 2 −v1 
2  t 2 −t 1 
Zurückgelegter Weg s12:
a0
v2 −v1
2
s12 =s t 2 −s 1=v 1  t 2 −t 1    t 2 −t 1  =v1  t 2 −t 1  
t 2 −t 1 


2
1
=  v 1v 2  t 2 −t 1 
2
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-34
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
–
Zahlenwerte:
●
Geschwindigkeiten:
v 1=50 km/ h=13,89 m/ s , v 2 =100 km /h=27,78 m/ s
●
Konstante a0:
 27,78 m/ s−13,89 m/ s
2
a0=
=3, 117 m / s
2
7s
●
Zurückgelegter Weg s12:
s12 =
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1
 13,89 m/ s27,78 m /s ⋅7 s=145,8 m
2
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-35
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
–
Diagramme:
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-36
1.4 Allgemeine beschleunigte Bewegung
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-37
1.1 – 1.4 Zusammenfassung
t
Allgemein:
s t 
s t =s 0 ∫ v  d 
t0
1
2
a=a0 =const. : s t =s 0 v 0  t−t 0  a0  t−t 0 
2
st =s 0 v 0  t−t 0 
a=0 :
t
Allgemein:
v t 
v t =v 0 ∫ a  d 
v t = ṡ t 
t0
a=a0 =const. : v t =v 0 a 0  t−t 0 
a=0 :
v t =v 0 =const.
a t 
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a t = v̇ t = s̈ t 
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-38
1.5 Ortsabhängige Geschwindigkeit
●
●
Vorgegeben:
–
Ortsabhängige Geschwindigkeit v(s)
–
Anfangsbedingung: s(t0 ) = s0
Bahnbeschleunigung:
–
Nach der Kettenregel gilt:
dv dv ds dv
a= =
= v 
dt ds dt ds
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dv
1 d 2
as=v s  s=
v s 

ds
2 ds
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-39
1.5 Ortsabhängige Geschwindigkeit
●
Zeit als Funktion des Orts:
–
Aus der Definition der Geschwindigkeit,
ds
=v s 
dt
folgt durch Trennung der Veränderlichen:
ds
=dt
v s
s
–
d s
∫ v  s  = ∫ dt=t s−t 0
s
t
Integration von t0 bis t ergibt:
0
–
Ergebnis:
t  s
0
s
d s
t s=t 0 ∫
s
s v 
0
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1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-40
1.5 Ortsabhängige Geschwindigkeit
●
Beispiel:
–
Geschwindigkeit: v s=  2 a 0 s
–
a0
dv
=a 0
Beschleunigung: as=v =  2 a 0 s
ds
 2 a0 s
oder einfacher:
–
–
[
Zeit für t0 = 0:
Ortskoordinate:
Prof. Dr. Wandinger
2
1
dv
v 2 s=2 a 0 s  as=
=a 0
2 ds
s =s
s
2 a 0 s
2 a0 s
d s
2s


t s=∫
=
=
=
a0 s =0
a0
a0
s
0  2 a0 
2s
1
2
t =
 s t = a 0 t
a0
2
]

2
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-41
1.5 Ortsabhängige Geschwindigkeit
●
Beispiel:
Die Fahrt eines Motorrades wird durch das folgende v-sDiagramm beschrieben:
–
v
v0 = 3m/s
v1 = 15m/s
t0 = 0s
v1
s0 = 0m
s1 = 60m
s2 = 120m
v0
s1
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s2
s
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-42
1.5 Ortsabhängige Geschwindigkeit
–
Gesucht:
●
●
–
a-s-Diagramm
Zeiten t1 und t2, bei denen das Motorrad die Wege s1 und s2 zurückgelegt hat
Wegabschnitt 1: 0 ≤ s ≤ s1
●
●
Funktionsgleichung für die Geschwindigkeit:
v 1−v 0
v 1 −v 0
v=v 0 
s=v 0 k s mit k=
s1
s1
Beschleunigung:
dv
2
a s=v s s= v 0 k s ⋅k =k v 0 k s
ds
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-43
1.5 Ortsabhängige Geschwindigkeit
●
Zahlenwerte:
v 1−v 0 15 m/ s−3 m/ s
1
k=
=
=0,2
s1
60 m
s
2
 
1
1
m
1
a s=0,2 ⋅3 m/ s 0,2 ⋅s=0,6 2 0,04 2⋅s
s
s
s
s
●
Zeit:
s1
[
]
s1
ds
1
1
t 1=∫
= ln  v 0 k s  = [ ln  v 0 k s1  −ln v 0 ]
k
k
0
0 v 0 k s

 
v 0 k s1 1
k s1
1
 t 1= ln
= ln 1
k
v0
k
v0
Prof. Dr. Wandinger

1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-44
1.5 Ortsabhängige Geschwindigkeit
●
Zahlenwert:


1
0,2 ⋅60 m
1
s
t 1=
⋅ln 1 
= 5 s⋅ln  10,2⋅20  =8,05 s
1
3 m /s
0,2
s
–
Wegabschnitt 2: s1 ≤ s ≤ s2
●
●
Die Geschwindigkeit ist konstant: v(s) = v1
Beschleunigung:
Prof. Dr. Wandinger
d
a s=v 1  v 1  =0
ds
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-45
1.5 Ortsabhängige Geschwindigkeit
●
Zeit:
s2
t 2 =t 1∫
s1
●
–
s2
ds
1
1
=t 1 ∫ ds=t 1  s2 −s 1 
v1
v1 s
v1
1
120 m−60 m
t 2 =8,05 s
=8,05 s4 s=12,05 s
15 m /s
Zahlenwert:
a-s-Diagramm:
a [m/s2]
3
0,6
s [m]
60
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
120
Dynamik 1.1-46
1.6 Ortsabhängige Beschleunigung
●
●
Vorgegeben:
–
Ortsabhängige Beschleunigung a(s)
–
Anfangsbedingungen: v(t0 ) = v0 , s(t0 ) = s0
Bahngeschwindigkeit:
–
dv
Aus as=v
ds
folgt durch Trennung der Veränderlichen: as ds=v dv
–
Integration von s0 bis s ergibt:
s
v s
∫ a s  d s = ∫
s0
Prof. Dr. Wandinger
v0
1 2
v dv=  v s−v 20 
2
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-47
1.6 Ortsabhängige Beschleunigung
–
Ergebnis:

s
v s=± v 0 2 ∫ a s  d s
●
2
s0
Zeit als Funktion des Orts:
–
Die Zeit wird wie in Abschnitt 1.5 aus der ortsabhängigen
Geschwindigkeit berechnet:
s
d s
t s=t 0 ∫
s
s v 
0
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-48
1.6 Ortsabhängige Beschleunigung
●
Beispiel:
–
–
Wird eine an einer Feder aufgehängte Masse aus ihrer
Gleichgewichtslage ausgelenkt, so tritt eine zur Auslenkung
proportionale Beschleunigung auf, die entgegen der Auslenkung gerichtet ist:
as=−2 s
Anfangsbedingungen:
●
–
t0 = 0, s(t0 ) = s0, v(t0 ) = 0
Gesucht:
●
Geschwindigkeit-Ort-Diagramm
●
Ort-Zeit-Diagramm
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-49
1.6 Ortsabhängige Beschleunigung
–
Geschwindigkeit als Funktion des Orts:

[
s
2
v s=± 2 ∫ − s  d s =± 2
●
–
s0
−s
2
2 s
]
s0
=±  s 0 −s
2
2
Das Geschwindigkeit-Ort-Diagramm wird als Phasenkurve
bezeichnet.
Ort als Funktion der Zeit:
●
Integration:
s
t s=∫
s0
s
Prof. Dr. Wandinger
[  ]
d s
1 d s
1
s
=±∫
=±
arcsin
2

v s 
s0
s2
s   s 0 −
0
=±
s=s
s=s 0
  
1
s

arcsin
−

s0
2
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-50
1.6 Ortsabhängige Beschleunigung
●
Auflösen nach s(t):
 
s t

± t=arcsin
2
s0
●
–
s t

 sin ± t =cos   t  =
2
s0


st=s0 cos   t  , v t = ṡ t =− s 0 sin   t 
Ergebnis:
Untersuchung der Phasenkurve:
v =  s 0 −s
2
●
2
2
2

2
2
v
v
2
2
2
2

=s
−s

s
=s
0
0 ⇒
2
2


v
2
2
s

=1
2
2
  s0  s 0
Das ist eine Ellipse mit den Halbachsen s0 und ωs0 .
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-51
1.6 Ortsabhängige Beschleunigung
s
s0
ωt
v
t = π/ω
v
t = 3π/(2ω)
ωs0
s
s0
ωt
π/2
π
Prof. Dr. Wandinger
3π/2
t=0
t = π/(2ω)
2π
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-52
1.7 Geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung
●
●
Vorgegeben:
–
Geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung a(v)
–
Anfangsbedingungen: v(t0 ) = v0 , s(t0 ) = s0
Zeit als Funktion der Geschwindigkeit:
–
dv
Aus av=
folgt durch Trennung der Veränderlichen:
dt
dv
dt=
a v
t v
–
Integration von t0 bis t ergibt:
Prof. Dr. Wandinger
∫
t0
v
d v
dt=t v−t 0 =∫
v
v a 
1. Kinematik des Massenpunkts
0
Dynamik 1.1-53
1.7 Geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung
–
Ergebnis:
v
d v
t v=t 0 ∫
v
v a 
0
●
Ort als Funktion der Geschwindigkeit:
–
–
dv
Aus a=v
folgt durch Trennung der Veränderlichen:
ds
v dv
ds=
av s v
v
v d v
Integration von v0 bis v ergibt: ∫ ds=s v−s 0 =∫
v
s
v a 
0
–
Ergebnis:
0
v
v d v
s v=s 0 ∫
v
v a 
0
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-54
1.7 Geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung
●
Beispiel:
–
Ein Körper, der in einer zähen Flüssigkeit fällt, wird durch
die Erdbeschleunigung beschleunigt und durch eine geschwindigkeitsproportionale Verzögerung gebremst.
–
Gesucht: Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz und Ort-Zeit-Gesetz,
wenn der Körper aus der Ruhe fallen gelassen wird.
–
Wahl des Koordinatensystems:
●
●
Die Ortskoordinate s beginnt am Ausgangspunkt des Körpers
und ist nach unten positiv.
Die Zeit wird ab Loslassen des Körpers gemessen, d.h. t0 = 0.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-55
1.7 Geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung
–
Anfangsbedingungen:
●
s(0) = s0 = 0
●
v(0) = v0 = 0
av=g−k v
–
Beschleunigung:
–
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
v t 
t= ∫
0
[
dv
1
= − ln  g−k v 
g−k v
k
 −k t =ln
Prof. Dr. Wandinger

 
]
v t 
=−
0
s
1
ln  g−k v t   −ln g ]
[
k
g−k v t 
k v t 
=ln 1−
g
g

1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-56
1.7 Geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung
e
k v t
k vt 
−k t
=1−

=1−e
g
g
Ergebnis:
g
−k t
−k t
v t =  1−e  =v E  1−e 
k
−k t
●
●
Für t →∞ strebt die Geschwindigkeit asymptotisch gegen die
Endfallgeschwindigkeit
g
v E=
k
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
Dynamik 1.1-57
1.7 Geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung
–
Ort-Zeit-Gesetz:
●
Integration des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes:
t
t
[
1 −k 
−k 
s t=∫ v d =v E ∫  1−e  d =v E  e
k
0
0
v E −k t
=v E t  e −1 
k
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Massenpunkts
=t
]
=0
Dynamik 1.1-58