Algorithmische Graphentheorie (SS2013)

Algorithmische Graphentheorie (SS2013)
Kapitel 1
Grundlagen
Walter Unger
Lehrstuhl für Informatik 1
08.05.2013 09:42
Einleitende Definitionen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:2)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Inhalt I
1
Einleitende Definitionen
Graphen
Spezielle Graphen
2
Zusammenhang von Graphen
Definitionen
Aussagen
Gerichteter Graph
3
Flüsse
Einleitung
4
Matchings
Definition
Matching auf bipatiten Graphen
Anwendungen
Probleme
5
Faktoren in Graphen
Einleitung
Aussagen
6
Posets
Definition und Aussagen
SS2013
Z
Posets
x
Einleitende Definitionen
Graphen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:1)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Definition: Graph
v2
v9
Definition (ungerichteter Graphen)
v4
Sei V (G) = {v1 , ..., vn } eine
nicht-leere Knotenmenge und
E (G) eine Menge oder Multimenge
von Paaren aus V (G)
(Kantenmenge).
Die Mengen V (G) und E (G)
definieren den Graphen
G = (V (G), E (G)).
Falls G eindeutig ist schreiben wir
vereinfacht: V b.z.w. E .
D.h. G = (V , E ).
Standardmäßig:
n = |V | und m = |E |.
v6
v1
v8
v5
v0
v3
v7
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Graphen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:2)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Sprechweisen zu Graphen
v2
v9
Definition (Sprechweisen)
v4
Sei G = (V (G), E (G)) und
e = (v , w ) ∈ E (G).
v6
v1
Die Knoten v , w heißen verbunden
(adjazent) durch die Kante e.
Eine Kante e heißt Schleife (loop),
falls v = w gilt.
Zwei Kanten heißen parallel, falls sie
gleich sind.
Ein Graph ohne parallele Kanten heißt
einfach (simple).
Falls nicht anders erwähnt, behandeln
wir im Folgenden nur einfache
Graphen ohne Schleifen.
v8
v5
v0
v3
v7
SS2013
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Graphen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:3)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Knotengrad
Definition (Knotengrad)
Sei v ∈ V (G).
Mit
deg(v ) = |{e ∈ E (G) e = (v , v 0 ), v 0 ∈ V (G) \ {v }}|
bezeichnen wir den Knotengrad (degree) von v .
v2
deg(v0 ) = 4.
v9
v4
deg(v1 ) = 3.
deg(v4 ) = 6.
v6
v1
v8
deg(v5 ) = 6.
v5
v0
v3
v7
SS2013
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Graphen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:4)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Handshake Theorem
Theorem
X
deg(v ) = 2|E (G)|.
v ∈V (G)
Beweis: Jede Kante verbindet zwei Knoten.
Theorem
Die Anzahl der Knoten von ungeradem Grad ist gerade.
Beweis:
X
deg(v ) +
X
v ∈V (G)
v ∈V (G)
deg(v ) mod 2=0
deg(v ) mod 2=1
deg(v ) = 2|E (G)|
SS2013
Z
Posets
i
Einleitende Definitionen
Spezielle Graphen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:5)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Regulär und vollständig
Z
Definition (Regulär)
Ein Graph G heißt k-regulär, falls für alle v ∈ V (G) gilt: d(v ) = k.
e
d
a
e
f
d
c
a
b
b
e
f
d
c
a
f
c
b
Definition (Vollständig)
Ein Graph G heißt vollständig (complete), falls für alle Knotenpaare a, b aus V
gilt: (a, b) ∈ E .
Schreibweise: Kn .
Posets
g
Einleitende Definitionen
Spezielle Graphen
Zusammenhang von Graphen
(1:6)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Spezielle Graphen
Z
Definition (Bipartit)
Ein Graph G heißt bipartit, falls sich V disjunkt in V 0 , V 00 aufteilen läßt, so dass
jede Kante nur Knoten aus den beiden verschiedenen Partitionen verbindet.
Schreibweise: G = (V 0 , V 00 , E )
Definition (Vollständig bipartit)
Ein Graph G heißt
vollständig bipartit,
falls sich V disjunkt in V 0 , V 00 aufteilen läßt und
0
E = {(a, b) a ∈ V , b ∈ V 00 }.
Schreibweise: Kp,q mit p = |V 0 | und q = |V 00 |,
Stern (star), falls Sn = K1,n−1 .
Posets
g
Einleitende Definitionen
Spezielle Graphen
Zusammenhang von Graphen
(1:7)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Beispiele
a4
b4
a3
b3
a3
b3
a2
b2
a2
b2
a1
b1
a1
b1
a0
b0
a0
b0
b4
SS2013
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Spezielle Graphen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:8)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
v2
v9
Teilgraphen
Definition (Teilgraph)
Ein Graph H = (V (H), E (H)) ist
ein Teilgraph von
G = (V (G), E (G)),
falls V (H) ⊆ V (G) und
E (H) ⊆ E (G).
v4
v6
v1
v8
v5
v0
v3
v7
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Spezielle Graphen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:9)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
v2
v9
Teilgraphen
Definition (knoteninduzierter Teilgraph)
Ein Graph H = (V (H), E (H)) ist
ein knoteninduzierter Teilgraph
von G = (V (G), E (G)),
falls V (H) ⊆ V (G)
und E (H) =
{(a, b) ∈ E (G) a, b ∈ V (H)}.
v4
v6
v1
v8
v5
v0
v3
v7
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Spezielle Graphen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:10)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Isomorphe Graphen
Definition (Isomorph)
Zwei Graphen G und H sind isomorph,
falls es eine bijektive Abbildung f : V (G) 7→ V (H) gibt,
so dass für alle v , w ∈ V (G) gilt:
(v , w ) ∈ E (G) genau dann, wenn (f (v ), f (w )) ∈ E (H).
v2
v3
a2
b2
v1
v4
a1
b1
v0
v5
a0
b0
SS2013
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Definitionen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:11)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Zusammenhang
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt zusammenhängend, falls es zwischen je zwei
verschiedenen Knoten a, b einen Weg von a nach b gibt.
v2
v9
v4
v6
v1
v8
v5
v0
v3
v7
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Definitionen
Zusammenhang von Graphen
(1:12)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Knotenseparator
Definition
Sei G = (V , E ), V 0 ⊂ V heißt Knoten-Separator (vertex cut), falls G − V 0
nicht zusammenhängend ist.
Schreibweise: G − V 0 := (V \ V 0 , {(a, b) ∈ E | a, b ∈ V \ V 0 })
Definition
Falls {v } ein Knoten-Separator ist, dann heißt v Artikulationspunkt.
Theorem
Nur Cliquen Kn haben keinen Knoten-Separator.
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Definitionen
Zusammenhang von Graphen
(1:13)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Beispiel
v2
v9
v2
v9
v4
v4
v6
v6
v1
v1
v8
v8
v5
v5
v0
v0
v3
v7
v2
v3
v9
v7
v2
v9
v4
v4
v6
v6
v1
v1
v8
v8
v5
v5
v0
v0
v3
v7
v3
v7
SS2013
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Definitionen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:14)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Kantenseperator
Definition
Sei G = (V , E ), E 0 ⊂ E heißt Kanten-Separator (edge cut), falls G − E 0 nicht
zusammenhängend ist.
Schreibweise: G − E 0 := (V , E \ E 0 )
Definition
Falls {v , w } ein Kanten-Separator ist, dann heißt {v , w } Brücke.
Theorem
Ein minimaler Kanten-Separator E 0 von G = (V , E ) induziert einen 2-partiten
Graphen. D.h. G = (V , E 0 ) ist 2-patiter Graph.
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Definitionen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:15)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Beispiel
v2
v9
v4
v6
v1
v8
v5
v0
v3
v7
SS2013
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Definitionen
Zusammenhang von Graphen
(1:16)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Zusammenhang
Z
Definition
G = (V , E ) ist k-fach zusammenhängend, falls: ∀V 0 ⊂ V : |V 0 | = k − 1 gilt
G − V 0 ist zusammenhängend.
Fall G k-fach zusammenhängend ist, dann auch (k − 1)-fach.
Schreibweise: κ(G) = max{k | G ist k-fach zusammenhängend}
Definition
G = (V , E ) ist k-fach Kanten zusammenhängend, falls: ∀E 0 ⊂ E : |E 0 | = k − 1
gilt G − E 0 ist zusammenhängend.
Fall G k-fach Kanten zusammenhängend ist, dann auch (k − 1)-fach.
Schreibweise: λ(G) = max{k | G ist k-fach Kanten zusammenhängend}
Posets
g
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:17)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Aussagen zum Zusammenhang
Theorem
Für jeden Graphen G = (V , E ) gilt:
κ(G) 6 λ(G) 6 δ(G)
Schreibweise: δ(G) := min{deg(v ) | v ∈ V }
Theorem
Für alle nat. Zahlen 0 < a 6 b 6 c gibt es einen Graphen G mit:
κ(G) = a, λ(G) = b, δ(G) = c
Theorem
Sei G = (V , E ) mit: |V | = n und δ(G) > n/2. Dann gilt:
λ(G) = δ(G)
SS2013
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:18)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Aussagen zum Knoten Zusammenhang
Z
Theorem
Sei G = (V , E ) mit: |V | = n und |E | = e. Dann ist der maximale
Zusammenhang (maximale k mit G ist k-fach zusammenhängend) von G:
0
2 · e/n
falls
falls
e <n−1
e >n−1
Theorem
Sei G = (V , E ) zusammenhängend. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1
v ∈ V ist ein Knoten-Separator.
2
∃a, b ∈ V : a, b 6= v : Jeder Weg von a nach b geht über v .
3
˙ = V \ {v } und jeder Weg von a ∈ A nach b ∈ B geht über v .
∃A, B: A∪B
Posets
g
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:19)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Aussagen zum Kanten Zusammenhang
Theorem
Sei G = (V , E ) zusammenhängend. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1
e ∈ E ist ein Kanten-Separator.
2
e ist in keinem einfachen Kreis von G
3
∃a, b ∈ E : jeder Weg von a nach b geht über e
4
˙ = V und jeder Weg von a ∈ A nach b ∈ B geht über e
∃A, B: A∪B
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:20)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Definitionen
Z
Definition
Sei G = (V , E ) und (a, b) = e ∈ E . Die Aufteilung (subdivision) der Kante e
˙ }, E ∪ {(a, v ), (v , b)} \ {e})
ergibt den Graphen G = (V ∪{v
b
c
d
a
f
e
Definition
Eine Menge von Wegen von G = (V , E ) heißt intern-knotendisjunkt, falls keine
zwei Wege einen inneren Knoten gemeinsam haben. Die inneren Knoten sind
alle außer Start- und Endknoten.
Posets
g
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:21)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Z
Theorem
Sei G = (V , E ) mit |V | > 3. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1
G ist 2-fach zusammenhängend.
2
Jedes Knotenpaar ist mit zwei intern-knotendisjunkten Wegen verbunden.
3
Jedes Knotenpaar liegt auf einem gemeinsamen einfachen Kreis.
4
Es gibt eine Kante. Und jeder Knoten zusammen mit dieser Kante liegt
auf einem gemeinsamen einfachen Kreis.
5
Es gibt zwei Kanten. Und jedes Kantenpaar liegt auf einem gemeinsamen
einfachen Kreis.
6
Zu einem Knotenpaar a, b und einer Kante e gibt es einen einfachen Weg
von a nach b über e.
7
Zu drei Knoten a, b, c gibt es einen Weg von a nach b über c.
8
Zu drei Knoten a, b, c gibt es einen Weg von a nach b, ohne über c zu
gehen.
Posets
g
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
(1:22)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Aussagen
Z
Theorem
Sei G = (V , E ) k-fach zusammenhängend, dann liegen je k Knoten auf einem
gemeinsamen einfachen Kreis.
Schreibweise: Seien (G = V , E ) und (H = W , F ) Graphen
˙ , E ∪ F ∪ {(a, b) | a ∈ V , b ∈ W })
G + W = (V ∪W
Theorem
Ein Graph G ist 3-fach zusammenhängend genau dann, wenn G aus einem Rad
Wi = K1 + Ci (i > 4) durch die folgenden Operationen aufbaubar ist:
1
Hinzufügen einer neuen Kante.
2
Aufspalten eines Knotens vom Grad > 4 in zwei verbundenen Knoten vom
Grad > 3.
Posets
g
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
(1:23)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Aussagen zu k-fach Zusammenhang
Theorem (Menger’s Theorem)
G ist k-fach zusammenhängend genau dann, wenn es zwischen je zwei Knoten
k intern-knotendisjunkte Wege gibt.
Theorem (Menger’s Theorem)
G ist k-fach-Kanten zusammenhängend genau dann, wenn es zwischen je zwei
Knoten k kanten-disjunkte Wege gibt.
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Aussagen
(1:24)
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Bestimmung des Zusammenhangs
Theorem
Der 1-fache Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden.
Theorem
Der 1-fache Kanten-Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden.
Theorem
Der 2-fache Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden.
Theorem
Der k-fache Zusammenhang kann mit Flussalgorithmen bestimmt werden.
Theorem
Der k-fache Kanten-Zusammenhang kann mit Flussalgorithmen bestimmt
werden.
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Gerichteter Graph
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:25)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Definition: Graph
v2
v9
Definition (gerichteter Graphen)
v4
Sei V (G) = {v1 , ..., vn } eine
nicht-leere Knotenmenge und
E (G) eine Menge oder Multimenge
von Paaren aus V × V
(Kantenmenge).
Die Mengen V (G) und E (G)
definieren den Graphen
G = (V (G), E (G)).
Falls G eindeutig ist, schreiben wir
vereinfacht: V b.z.w. E .
D.h. G = (V , E ).
Standardmäßig:
n = |V | und m = |E |.
v6
v1
v8
v5
v0
v3
v7
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Gerichteter Graph
Zusammenhang von Graphen
(1:26)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Starker Zusammenhang
Definition
Ein gerichteter Graph G = (V , E ) heißt stark zusammenhängend, falls es
zwischen je zwei verschiedenen Knoten a, b einen Weg von a nach b gibt.
Theorem
Der starke Zusammenhang kann mit DFS/BFS bestimmt werden.
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Einleitung
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:27)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Das Fluss Problem
Definition (Fluss)
Sei G = (V , E ) ein gerichteter Graph mit Kostenfunktion c : E 7→ N.
Seien s, t ∈ V Quelle und Senke.
Eine Funktion f : E 7→ N ist eine Flussfunktion gdw.:
∀e ∈ E : 0 6 f (e) 6 c(e)
P
P
∀v ∈ V \ {s, t} : e=(v ,w )∈E f (e) = e=(w ,v )∈E f (e)
Der Wert des Flusses ist:
P
e=(s,w )∈E
f (e) −
P
e=(w ,s)∈E
Definition (Maximaler Fluss Problem)
Gegeben: Graph G = (V , E ), s, t ∈ V and c : E 7→ N
Bestimme: Maximale Flussfunktion f .
Theorem (Maximaler Fluss Problem)
Das Problem den maximalen Fluss zu bestimmen ist in P.
f (e)
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Einleitung
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:28)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Der Minimale Schnitt
Definition (Schnitt)
Sei G = (V , E ) ein gerichteter Graph mit Kostenfunktion c : E 7→ N.
Seien s, t ∈ V Quelle und Senke.
A, B ⊂ V wird Schnitt genannt, falls
s ∈ A und t ∈ B
A ∩ B = ∅ und A ∪ B = V
Die Kapazität vom Schnitt A, B ist:
P
e=(v ,w )∈E ,v ∈A,w ∈B
Theorem (Min-Cut-Max-Flow)
Der Minimale Schnitt ist gleich dem maximalen Fluss.
c(e)
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Definition
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:29)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Das Maximal Matching Problem
Z
Definition
Sei G = (V , E ) ein Graph. Die Kanten e, e 0 ∈ E sind unabhängig, wenn sie
keinen gemeinsamen Knoten haben.
Definition (Matching)
Sei G = (V , E ) ein Graph.
M ⊆ E heißt Matching, falls ∀e, f ∈ M, e 6= f : e ∩ f = ∅.
D.h. M ist Menge von unabhängigen Kanten.
Definition
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph, und es existiert eine Menge M von
|V1 | unabhängigen Kanten. Dann heißt M vollständiges Matching von V1 nach
V2 .
Posets
g
Einleitende Definitionen
Zusammenhang von Graphen
Matching auf bipatiten Graphen
Flüsse
Matchings
(1:30)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Theorem von Hall
Z
Definition
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph und A ⊆ V1 . Wir bezeichnen:
Γ(A) = {v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}.
Theorem (Hall)
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching
von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt
|Γ(A)| > |A|.
Corollary
Jeder reguläre bipartite Graph G = (V1 , V2 , E ) mit |V1 | = |V2 | enthält ein
vollständiges Matching.
Posets
i
Einleitende Definitionen
Zusammenhang von Graphen
Matching auf bipatiten Graphen
Flüsse
Matchings
(1:31)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis (Hall)
Z
Theorem (Hall)
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching
von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt
|Γ(A)| > |A|.
=⇒ einfach:
Sei M Matching mit
|M| = |V1 | und sei A ⊂ V1 beliebig.
|Γ(A)| = |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}|.
|Γ(A)| > |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ M, w ∈ A}|.
|Γ(A)| > |A|.
Posets
i
Einleitende Definitionen
Zusammenhang von Graphen
Matching auf bipatiten Graphen
Flüsse
Matchings
(1:32)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis (Hall)
Z
Theorem (Hall)
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph. Es existiert ein vollständiges Matching
von V1 nach V2 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt
|Γ(A)| > |A|.
⇐= durch Widerspruch:
Sei M größtes Matching mit |M| < |V1 |.
Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}.
Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}.
Sei a ∈ V1 \ A1 .
Γ(a) ⊂ A2 , da M größtes Matching.
Jeder alternierende Weg von a kann nur Knoten aus
A01 ∪ A02 erreichen mit A0i ⊂ Ai und |A01 | = |A02 |.
Damit Γ(A01 ∪ {a}) ⊂ A02 .
|A01 ∪ {a}| > |A02 |.
Posets
i
Einleitende Definitionen
Anwendungen
Zusammenhang von Graphen
(1:33)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Anwendungen I
Z
Corollary
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph und |Γ(A)| > |A| − d für jedes A ⊆ V1 .
Dann hat G mindestens |V1 | − d unabhängige Kanten.
=⇒ durch Widerspruch:
Sei M größtes Matching mit m = |M| < |V1 | − d.
Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ M}.
Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ M}.
Sei a0 , a1 , · · · , ad ∈ V1 \ A1 .
Γ(ai ) ⊂ A2 , da M größtes Matching.
Jeder alternierende Weg von ai kann nur Knoten aus
A1 ∪ A2 erreichen.
Damit Γ(A1 ∪ {ai }) ⊂ A2 .
m + d + 1 = |A1 ∪ {ai | 0 6 i 6 d}| > |A2 | = m.
Posets
n
Einleitende Definitionen
Anwendungen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:34)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Anwendungen II
Corollary
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph mit V1 = (x1 , ..., xm ) und
V2 = (y1 , ..., yn ). Dann enthält G einen Spanngraph H mit degH (xi ) = di und
0 6 degH (yi ) 6 1 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt
|Γ(A)| >
X
di .
xi ∈A
=⇒ einfach:
Sei S Spanngraph mit |S| = |V1 |.
Sei A ⊂ V1 beliebig.
|Γ(A)| = |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ E , w ∈ A}|.
|Γ(A)| > |{v ∈ V2 (v , w ) ∈ S, w ∈ A}|.
P
|Γ(A)| > xi ∈A di .
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Anwendungen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:35)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Anwendungen III
Corollary
Sei G = (V1 , V2 , E ) ein bipartiter Graph mit V1 = (x1 , ..., xm ) und
V2 = (y1 , ..., yn ). Dann enthält G einen Spanngraph H mit degH (xi ) = di und
0 6 degH (yi ) 6 1 genau dann, wenn für jedes A ⊆ V1 gilt
|Γ(A)| >
X
di .
xi ∈A
⇐= durch Widerspruch:
Sei S größter Spanngraph mit |S| < |V1 |.
Sei A1 = {v ∈ V1 | ∃b ∈ V2 : {v , b} ∈ S}.
Sei A2 = {v ∈ V2 | ∃b ∈ V1 : {v , b} ∈ S}.
Sei a ∈ V1 \ A1 .
N(a) ∩ A2 6= ∅, da S größter
P Spanngraph.
Damit |Γ(A1 ∪ {a})| < xi ∈A1 ∪{a} di .
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Anwendungen
Zusammenhang von Graphen
(1:36)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Anwendungen IV
Z
Definition
Sei A = (aij ) eine Matrix, i = 1, ..., r , j = 1, ..., n, mit aij ∈ {1, ..., n}. Die
Matrix A heißt lateinisches Rechteck, wenn keine zwei Elemente einer Zeile
oder einer Spalte gleich sind.
Theorem
Sei A ein r × n lateinisches Rechteck. Dann kann A zu einem n × n lateinischen
Quadrat erweitert werden.
Beweis: Übung.
Posets
n
Einleitende Definitionen
Probleme
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:37)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Matchingprobleme
Definition (Maximal Matching Problem)
Gegeben: Graph G = (V , E )
Bestimme: Matching M mit: ∀e ∈ E : M ∪ {e} ist kein Matching.
Definition (Maximum Matching Problem)
Gegeben: Graph G = (V , E )
Bestimme: Matching M mit: ∀M 0 : M 0 ist ein Matching =⇒ |M 0 | 6 |M|.
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Probleme
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:38)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Das Maximal Matching Problem
Theorem (Maximal Matching Problem)
Das Maximal Matching Problem ist in P für bipartite Graphen.
Algorithmus:
Eingabe G = (V , E ) bipartiter Graph
Setze M = ∅
Solange E 6= ∅, mache
Wähle e ∈ E
Setze M = M ∪ {e}
Setze E := E \ {f ∈ E | e ∩ f 6= ∅}
SS2013
Z
Posets
g
Einleitende Definitionen
Probleme
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:39)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Alternierende Pfade
Z
Posets
g
A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Sei G = (V , E ) ein Graph und M ⊂ E ein Matching.
Ein Knoten v ∈ V heißt frei, falls v 6∈ ∪e∈M e.
Ein Pfad v0 , {v0 , v1 }, v1 , {v1 , v2 }, v2 , {v2 , v3 }, v3 , . . . , vl−1 , {vl−1 , vl }, vl
heißt alternierend, falls {vi−1 , vi } ∈ M ⇔ {vi , vi+1 } 6∈ M (0 < i < l).
v0
v1
v2
v3
v4
v5
v6
Ein alterniernder Pfad
v0 , {v0 , v1 }, v1 , {v1 , v2 }, v2 , {v2 , v3 }, v3 , . . . , vl−1 , {vl−1 , vl }, vl heißt
erweiternd, falls v0 , vl frei sind.
v0
v1
v2
v3
v4
v5
Bemerkung: Eine Kante zwischen freien Knoten ist ein verbessernder
Pfad.
Damit arbeitet der Algorithmus wie folgt:
1
2
Setze M = ∅.
Solange es erweiternden Pfad P gibt, mache:
1 Erweitere M, d.h. M = M ⊕ E (P).
Einleitende Definitionen
Probleme
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:40)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Beispiel allgemeiner Graph
SS2013
Z
Posets
g
A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Versuch mit verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:
a1
b1
b2
c1
c2
d1
a0
b0
b3
c0
c3
d0
a2
b4
c4
Ungerade Kreise können Probleme machen
d2
Einleitende Definitionen
Probleme
Zusammenhang von Graphen
(1:41)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Satz von Berge
Z
Posets
i
A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Theorem (Berge)
Ein Matching M 0 in einem Graphen G ist genau dann kardinalitätsmaximal
(maximum), wenn es keinen erweiternden alternierenden Weg gibt.
Beweis:
=⇒ trivial.
⇐= durch Widerspruch.
Sei M Matching mit |M| > |M 0 |. Weiterhin gebe es
keinen erweiternden alternierenden Weg für M 0 .
Betrachte Graph H mit Kanten die nur aus
M ∪ M 0 \ (M ∩ M 0 ).
Dieser besteht aus Wegen und Kreisen.
Damit gibt es einen erweiternden alternierende Weg für
M 0.
Einleitende Definitionen
Probleme
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:42)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
The Maximum Matching Problem
Z
Posets
g
A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Theorem (Maximum Matching Problem)
The Maximum Matching Problem ist in P.
Algorithmus:
Eingabe G = (V , E ) [bipartiter] Graph
Setze M = ∅.
Solange es einen alternierenden Pfad (a0 , a1 , a2 , · · · al ) in G gibt, mit l
ungerade, {a2·i , a2·i+1 } 6∈ M und {a2·i+1 , a2·i } ∈ M mache
Vertausche Kanten in P:
Füge Kanten aus {a2·i , a2·i+1 } zu M und
lösche Kanten der Form {a2·i+1 , a2·i } von M
Falls G = (V , E ) kein bipartiter Graph, dann löse ungerade Kreise
rekursiv auf.
Einleitende Definitionen
Einleitung
(1:43)
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Faktoren
Definition
Sei G ein Graph. Ein k-regulärer Spanngraph H von G heißt k-Faktor.
Theorem
Der Graph K2t ist die Summe von 2t − 1 1-Faktoren.
Theorem
Der Graph K2t+1 ist die Summe von t Spannkreisen.
SS2013
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Einleitung
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:44)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Beispiel I
a3
a2
a1
a4
a10
a9
a5
a8
a6
a7
SS2013
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Einleitung
Zusammenhang von Graphen
(1:45)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis I
Theorem
Der Graph K2t ist die Summe von 2t − 1 1-Faktoren.
Zeichne 2t − 1 Knoten a1 , a2 , · · · , a2t−1 , als reguläres (2t − 1)-Eck.
Zeichne a2t als Spitze einer Pyramide auf die Knoten a1 , a2 , · · · , a2t−1 .
Wähle 1-Faktor:
Kante des (2t − 1)-Ecks.
Alle parallelen Diagonalen in dem (2t − 1)-Ecks.
Eine verbleibende Kante von einzigen verbleibenden freien Knoten
zur Spitze.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Einleitung
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:46)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Beispiel II
a3
a2
a4
a1
a11
a5
a10
a6
a9
a7
a8
SS2013
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Einleitung
Zusammenhang von Graphen
(1:47)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis II
Theorem
Der Graph K2t+1 ist die Summe von t Spannkreisen.
Zeichne 2t Knoten a1 , a2 , · · · , a2t , als reguläres (2t)-Eck.
Zeichne a2t+1 als Spitze einer Pyramide auf die Knoten a1 , a2 , · · · , a2t .
Wähle 2-Faktor:
Verbinde genau gegenüberliegende Knoten wie folgt:
Gehe im Zick-Zack über alle Knoten des (2t)-Ecks.
D.h.zuerst zum direkten rechten Nachbarn,
dann zum direkten linken Nachbarn (d.h. zwei Knoten zurück).
usw.
Verbinde dann die genau gegenüberliegende Knoten nochmal über
a2t+1
Nun kann man zu jeder Kante genau einen Kreis identifizieren.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
(1:48)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Aussagen
Z
Definition
Sei G ein Graph. Ein Spanngraph H von G heißt [k, k 0 ]-Faktor, falls für alle
Knoten v vom H gilt: k 6 deg(v ) 6 k 0 .Der k, k 0 -Faktor heißt perfekt, falls jede
Zusammenhangskomponente regulär ist.
Theorem (Tutte 1953)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen perfekten [1,2]-Faktor genau dann, wenn
für jedes S ⊂ V gilt: |S| 6 |Γ(S)|.
Beweis (=⇒)
Sei S perfekter [1,2]-Faktor.
S1 = {x ∈ S | degS (x ) = 1} und S2 = {x ∈ S | degS (x ) = 2}.
Damit |S1 | = |ΓH (S1 )| und |S2 | 6 |ΓH (S2 )|.
Da ΓH (S2 ) und ΓH (S1 ) disjunkt sind, gilt:
|S| = |S1 | + |S2 | 6 |ΓH (S1 )| + |ΓH (S2 )| = |ΓH (S)| 6 |ΓG (S)|.
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:49)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis (Teil 2)
Theorem (Tutte 1953)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen perfekten [1,2]-Faktor genau dann, wenn
für jedes S ⊂ V gilt: |S| 6 |Γ(S)|.
Beweis (⇐=):
Sei V = {x1 , x2 , · · · , xn }, setze: V1 = {x10 , x20 , · · · , xn0 } und
V2 = {x100 , x200 , · · · , xn00 }.
Damit G 0 = (V1 , V2 , {(xi0 , xj00 ) | (xi , xj ) ∈ E ) bipartiter Graph.
Setze S 0 = {xi0 | xi ∈ S}.
Dann gilt: Γ(S 0 ) = {xi00 | xi ∈ Γ(S)}
Damit gilt weiter: |S 0 | = |S| 6 |Γ(S)| = |Γ(S 0 )|.
Damit enthällt G 0 einen 1-Faktor M (Matching).
Setze H = {(xi , xj ) | (xi0 , xj00 ) ∈ M}.
Damit ist H ein [1,2]-Faktor.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:50)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Beweis (Teil 3)
Beweis (⇐=):
Sei V = {x1 , x2 , · · · , xn }, setze: V1 = {x10 , x20 , · · · , xn0 } und
V2 = {x100 , x200 , · · · , xn00 }.
Damit G 0 = (V1 , V2 , {(xi0 , xj00 ) | (xi , xj ) ∈ E ) bipartiter Graph.
Setze S 0 = {xi0 | xi ∈ S}.
Dann gilt: Γ(S 0 ) = {xi00 | xi ∈ Γ(S)}.
Damit gilt weiter: |S 0 | = |S| 6 |Γ(S)| = |Γ(S 0 )|.
Damit enthällt G 0 einen 1-Faktor M (Matching).
Setze H = {(xi , xj ) | (xi0 , xj00 ) ∈ M}.
Damit ist H ein [1,2]-Faktor.
Zeige: degH (xi ) = 1 und {xi , xj } ∈ H dann gilt degH (xj ) = 1:
Es gibt k, l: (xi0 , xk00 ), (xl0 , xi00 ) ∈ M.
Damit gilt k = l und degH (xj ) = 1.
SS2013
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
(1:51)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Aussagen
Definition
Eine Zusammenhangskomponente von einen G heißt ungerade (bzw. gerade),
wenn sie ein ungerade (bzw. gerade) Anzahl von Knoten enthält. Sei q(G) die
Anzahl der ungeraden Zusammenhangskomponenten von G.
Theorem (Tutte 1947)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes
S ⊂ V gilt: q(G − S) 6 |S|.
Theorem (Petersen 1891)
Sei G ein 3-regulärer 2-fach-Kanten zusammenhängender Graph. Dann ist G
die Summe von einem 1-Faktor und einem 2-Faktor.
Theorem (Petersen 1891)
Ein Graph G = (V , E ) ist die Summe von k 2-Faktoren genau dann, wenn G
2k-regulär ist.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:52)
Matchings
Faktoren in Graphen
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SS2013
Beweis I (Teil 1)
Theorem (Tutte 1947)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes
S ⊂ V gilt: q(G − S) 6 |S|.
Beweis (=⇒)
Sei S ⊂ V und G habe 1-Faktor.
Seien U1 , U2 , · · · Up die ungeraden Komponenten von G − S.
Von jedem Ui muss ein Kante des Faktors nach S gehen.
Sei {ui , si } diese Kante.
Damit: q(G − S) = p = |{s1 , s2 , · · · , sp }| 6 |S|.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:53)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis I (Teil 2)
Theorem (Tutte 1947)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes
S ⊂ V gilt: q(G − S) 6 |S|.
Beweis (⇐=) durch Induktion über n = |V |:
Bemerkung: Für alle ungeraden n gilt die Behauptung.
Beachte dazu: S = ∅.
Induktionsanfang n = 2:
Wegen S = ∅ gibt es eine Kante.
Damit gilt der Induktionsanfang.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:54)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis I (Teil 3)
Z
Theorem (Tutte 1947)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes
S ⊂ V gilt: q(G − S) 6 |S|.
Beweis (⇐=) Induktionsschritt n > 4:
Wähle S maximal mit q(G − S) = |S|.
Wir zeigen, dann G − S enthält keine geraden Komponenten.
Seien nun U1 , U2 , · · · Up die ungeraden Komponenten von G − S.
Wir zeigen dann, dass für xi ∈ V (Ui ) der Graph Ui − {xi } einen 1-Faktor
hat.
Danach finden wir einen 1-Faktor in G.
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:55)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis I (Teil 3a)
Theorem (Tutte 1947)
Ein Graph G = (V , E ) enthält einen 1-Faktor genau dann, wenn für jedes
S ⊂ V gilt: q(G − S) 6 |S|.
Zeige: G − S enthält keine geraden Komponenten:
Annahme: Es gibt gerade Komponente V 0 und a ∈ V 0 , Dann gilt:
|S| + 1 = 1 + q(G − S) 6 q(G − (S ∪ {a})) 6 |S ∪ {a}| = |S| + 1
Widerspruch zur Maximalität von S.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:56)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Beweis I (Teil 3b)
Zeige: Für xi ∈ V (Ui ) hat der Graph Ui − {xi } einen 1-Faktor.
Annahme: H = Ui − {xi } hat keinen 1-Faktor.
Nach IV existiert nun S 0 ⊂ V (H) mit q(H − S 0 ) > |S 0 |.
Zwischenüberlegung:
|V (H)| ist gerade und q(H − S 0 ) − |S 0 | ist auch gerade.
Ist |S 0 | ungerade so auch |V (H) − S 0 | und damit q(H − S 0 ).
Ist |S 0 | gerade so auch |V (H) − S 0 | und damit q(H − S 0 ).
Damit gilt: q(H − S 0 ) > |S 0 | + 2.
|S| + |S 0 | + 1 = |S ∪ S 0 ∪ {xi }| > q(G − (S ∪ S 0 ∪ {xi }))
q(G − (S ∪ S 0 ∪ {xi })) = q(G − S) − 1 + q(H − S 0 )
q(G − S) − 1 + q(H − S 0 ) > |S| − 1 + |S 0 | + 2 = |S| + |S 0 | + 1
Widerspruch zur Maximalität von S.
SS2013
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:57)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis I (Teil 3c)
Zeige: es gibt 1-Faktor in G.
Finde Matching M mit |M| = p zwischen S und den U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Up .
Setze: U = {U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Up }.
Setze: B = (U, S, {{Ui , s} | ∃ui ∈ V (Ui ) : {ui , s} ∈ E (G)}).
Zeige nun, B hat perfektes Matching.
Sei nun X ⊂ U und Y = ΓB (X ), dann gilt:
|X | 6 q(G − Y ).
Zusammengefasst: |X | 6 q(G − Y ) 6 |Y | = |ΓB (X )|.
Damit hat B ein perfektes Matching.
Damit hat G einen 1-Faktor.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
(1:58)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis II
Z
Theorem (Petersen 1891)
Ein Graph G = (V , E ) ist die Summe von k 2-Faktoren genau dann, wenn G
2k-regulär ist.
=⇒ trivial.
⇐= Über Eulergrapheigenschaft und Induktion
Falls k = 1, so besteht G aus disjunkten Kreisen.
G besitzt o.E.d.A. einen Eulerkreis.
Richte die Kanten nach dem Eulerkreis aus
(Knotenmenge F ).
Sei V = {x1 , x2 , · · · , xn }, setze: V1 = {x10 , x20 , · · · , xn0 } und
V2 = {x100 , x200 , · · · , xn00 }.
Damit G 0 = (V1 , V2 , {{xi0 , xj00 } | (xi0 , xj00 ) ∈ F ) regulärer
bipartiter Graph vom Grad k.
Dieser hat k perfekte Matchings.
Diese Matchings definieren k 2-Faktoren in G.
Posets
n
Einleitende Definitionen
Aussagen
Zusammenhang von Graphen
(1:59)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Beweis III
Z
Theorem (Petersen 1891)
Sei G ein 3-regulärer 2-fach-Kanten zusammenhängender Graph. Dann ist G
die Summe von einem 1-Faktor und einem 2-Faktor.
Sei A ⊂ V .
Seien U1 , U2 , · · · , Up die ungeraden Komponenten in G − A.
Zu jeder Komponente in Ui gibt es mindestens 2 Kanten in G, die Ui und
A verbinden.
Wegen der 3-Regularität sind es sogar mindestens 3 Kanten.
Damit gibt es mindestens 3 · q(G − A) Kanten von G − A nach A.
3|A| = dG (A) :=
P
x ∈A
dG (x ) > 3 · q(G − A).
q(G − A) 6 |A|.
Wende Satz von Tutte an.
Posets
n
Einleitende Definitionen
Definition und Aussagen
Zusammenhang von Graphen
(1:60)
Flüsse
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Posets
Z
Definition
Sei P eine finite Menge und < eine transitive anti-reflexible Relation.
Das Paar (P, <) heißt teilweise geordnete Menge (Poset).
Eine Teilmenge A ⊂ P heißt Antikette, wenn x < y impliziert {x , y } 6∈ A.
Weiterhin, heißt C ⊂ P Kette, wenn für alle x , y ∈ C entweder x 6 y oder
x > y gilt.
Theorem (Dilworth)
Sei P eine Poset und m ist die maximale Kardinalität der Antikette in P. Dann
ist P eine Vereinigung von m Ketten.
Theorem (Sperner)
Die Kardinalität der maximalen Antikette in Q n ist
n
bn/2c
.
Posets
n
Einleitende Definitionen
Definition und Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
Matchings
(1:61)
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Posets
Theorem (Leader 1995)
Sei A, B ⊆ Q n mit |A| =
gilt:
Es gibt
n
k
Es gibt
n
k
Pk
i=1
n
i
, |B| =
Pl
i=1
n
i
und k 6 l < n/2. Dann
Kanten, die A mit Q n \ A verbinden.
Knoten-disjunkte Wege von A nach B.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Definition und Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:62)
Matchings
Faktoren in Graphen
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
SS2013
Literatur
1
Golumbic M.C. Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs
2
Harary F.: Graphentheorie, 1974.
3
Oré O.: Graphen und ihre Anwendungen, 1974.
4
Bollobás B.: Graph theory - an introductory course, 1985.
5
Bollobás B.: Extremal Graph Theory, 1976
6
Wilson R.J.: Einführung in die Graphentheorie, 1972
7
Bondy J.A., Murty U.S.: Graph theory with Applications, 1976
8
Beineke L.W., Wilson R.J., eds. : Selected topics in graph theory, 1978
9
Brandstädt A.: Special graph classes - a survey.
Z
Posets
n
Einleitende Definitionen
Definition und Aussagen
Zusammenhang von Graphen
Flüsse
(1:63)
Matchings
<> Walter Unger 8.5.2013 10:26
Legende
n Nicht relevant
g Grundlagen, die implizit genutzt werden
i Idee des Beweises oder des Vorgehens
s Struktur des Beweises oder des Vorgehens
w Vollständiges Wissen
Faktoren in Graphen
SS2013
Z
Posets
x