Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6

Lena Braun
Lerninhalte
selbstständig erarbeiten
Mathematik 6
Teilbarkeit und Einführung in die
Bruchrechnung
Sekund
arstufe
I
aun
Le n a B r
rbeiten
a
r
e
g
i
tständ
s
b
l
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s
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Lerninh
k
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Math
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S
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t
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Mit Tip igen Lösung
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Originaltitel:
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6
Lerninhalte selbstständig erarbeiten
Mathematik 6
Teilbarkeit und Einführung in die
ng
Bruchrechnung
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Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort ...............................................................
3
3
4
5
6
7
8
9
11
12
13
14
15
Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung ....................................................................
Gemeinsame Teiler .........................................
Gemeinsame Vielfache ...................................
Rechenregel: Teilbarkeit durch 5 und 10 ........
Rechenregel: Teilbarkeit durch 4 ....................
Quersummenregel: Teilbarkeit durch
3 und 9 .............................................................
Brüche ablesen ...............................................
Brüche darstellen ............................................
Brüche am Zahlenstrahl ablesen ....................
Brüche und Maßeinheiten ...............................
Erweitern von Brüchen ....................................
Kürzen von Brüchen ........................................
Vergleichen und Ordnen von
beliebigen Brüchen .........................................
2
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
1
Vorwort
Das Schönste, was entdeckendes Lernen im Unterricht bewirken kann, sind mathematische Aha-Erlebnisse. Das
plötzliche Begreifen von etwas, was kurz vorher noch gedanklich undurchdringbar erschien, ruft in den Schülern1
nicht nur Stolz auf die eigene Leistung hervor, sondern bildet darüber hinaus eine wichtige Grundlage für das Vertrauen in den eigenen Verstand und in die eigene Urteilsfähigkeit.
„Die schönste Mathematik ist die selbst entdeckte“. – Diese Aussage von Prof. Dr. Henn (TU Dortmund) kann auch
als Leitsatz für Autorin und Herausgeber der vorliegenden Veröffentlichung gelten. Wir möchten ihn gerne noch
präzisieren durch „Die beim Schüler wirkungsvollste Mathematik ist die selbst entdeckte“, denn Inhalte, die den
Schülern einfach nur „eingetrichtert“ wurden, haben eine kurze Halbwertzeit und sind schon sehr bald nicht mehr
abrufbar. Der amerikanische Psychologe Burrhus Frederic Skinner schreibt dazu: „Bildung ist das, was überlebte,
wenn das Gelernte vergessen wurde“. Auch im Hinblick auf einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht
und auf eine sinnvolle und gewinnbringende Lebensvorbereitung ist selbstentdeckendes Lernen unabdingbar,
denn die Schüler entwickeln dabei selbst Strategien, erproben und verwerfen sie und suchen neue Lösungswege –
Fähigkeiten, die in Alltag und Berufsleben unabdingbar sind.
Wie geht man als Mathematiklehrer jedoch damit um, wenn ein Schüler nicht weiß, wie er an ein neues Problem
herangehen soll oder wenn seine Strategie so gar nicht zum Erfolg führen will? Jeder von uns ken
kennt dies aus seiner
nnvollen Einsa
tagtäglichen Arbeit. Wir haben im Unterricht hierzu sehr gute Erfahrungen mit dem sinnvollen
Einsatz von Tippkarten
gemacht.
Der Aufbau der Unterrichtshilfe ist klar und einfach:
ei Tip
rten, die gestaffelte
ges affelte Hinweise
Hinw
er AufZu jeder Aufgabenkarte gibt es eine, zwei oder drei
Tippkarten,
zur Lösung der
ten sow
hl auf der qua
titativ Ebene als auch auf der Ergaben geben. Sie bieten Differenzierungsmöglichkeiten
sowohl
quantitativen
h). Die Schüler wähle
ppkarten sie
schließungsebene (handelnd, bildlich oder symbolisch).
wählen individuell aus,, w
wie viele Tippkarten
benötigen, um zur Lösung zu gelangen – jederr arbeite
arbeitet dabei iin seinem eigenen Tempo.
ungskarte zur
zu Selbstkontrolle.
Selbst
Zu jeder Aufgabe gibt es jeweils eine Lösungskarte
ga ntiert ein optimales
opti
en:
Das übersichtliche Layout derr Karten garantiert
Zurechtfinden:
Aufgabenkarte
arte
1
ippkarte 1
Tippkarte
2
T
pkarte 2
Tippkarte
3
Tippkarte 3
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Lösungskarte
rte
Die Karten wer
werden
den (idealerwei
(idealerweise
e ver
vergrößert) kopiert und ggf. laminiert; so können die Schüler ihre Lösung mit
stift darau
Folienstift
darauff notieren. Die T
Tippkarten werden an einem fest vereinbarten Ort im Klassenzimmer abgelegt oder
den sich in der
er Hand d
befinden
des Lehrers, der sie dann entsprechend einzeln ausgibt.
Folgende Hauptth
Hauptthemen mit allen wesentlichen Unterthemen der Klasse 6 werden abgedeckt:
쎲 Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
쎲 Rechnen mit Brüchen
쎲 Einführung in die Dezimalbruchrechnung
쎲 Rechnen mit Dezimalbrüchen
쎲 Kreis, Winkel und Symmetrien
쎲 Flächeninhalt und Rauminhalt
쎲 Daten und Zufall
Viel Erfolg beim Einsatz der Materialien wünschen Herausgeber und Autorin
1 Aufgrund der besseren Lesbarkeit ist in diesem Buch mit Schüler auch immer Schülerin gemeint, ebenso verhält es sich mit Lehrer und
Lehrerin etc.
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
2
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
3
GEMEINSAME TEILER
2 ž 15 = 30
3 ž 10 = 30
2 ž 25 = 50
5 ž 10 = 50
Da 10 gemeinsamer Teiler von 50 und 30 ist, könntest du alle Kuchenstücke in 10 cm
Länge und 10 cm Breite schneiden, um das Blech in quadratische Stücke einzuteilen.
1 ž 30 = 30
1 ž 50 = 50
Ein Beispiel für ein Kuchenblech mit einer Länge von 50 cm und einer Breite von
30 cm soll dir dabei helfen:
Um die Aufgabe zu lösen, musst du die gemeinsamen Teiler von 144 und 120 finden.
hlen Teile
Löse durch Probieren. Lege dazu eine Tabelle an und überlege, welche Zahlen
Teiler
nd vervon 144 sind. Stelle anschließend eine weitere Tabelle für die Zahl 120 auf und
gleiche die gemeinsamen Teiler.
2
a) Wie groß ist ein Stück (mehrere Möglichkeiten)?
b) Wie wird der Bäcker den Kuchen teilen? Begründe deine Antwort
Ein großes Blech Apfelkuchen ist 144 cm
m lang und
hen iin
120 cm breit. Der Bäcker möchte den Kuchen
quadratische Stücke schneiden.
GEMEINSAME TEILER
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GEMEINSAME TEILER
GEEMEINSAME
MEINSAME
EINSAME TEILER
5 ž ? = 120
6 ž ? = 120
7 ž ? = 120
8 ž ? = 120
5 ž ? = 144
6 ž ? = 144
7 ž ? = 144
8 ž ? = 144
10 ž ? = 120
4 ž ? = 120
4 ž ? = 144
10 ž ? = 144
3 ž ? = 120
3 ž ? = 144
9 ž ? = 120
120
2 ž ? = 12
2 ž ? = 144
9 ž ? = 144
120
1 ž ? = 12
1 ž ? = 144
Wenn die erste Zahl kein
Teiler von 144 oder 120
ist, kannst du die Aufgabe
gleich wegstreichen!
Deine Tabellen
en für die T
Teiler von 144 und 120 sollten folgendermaßen aussehen:
3
Für den Verka
Verkauf dürfen die Kuchenstücke weder zu groß noch zu klein sein.
Bei mehreren Lösungsmöglichkeiten musst du dich also für die sinnvollere Größe
cheiden.
entscheiden.
Beispiel:
Wenn alle Kuchenstücke quadratisch sein sollen, müssen alle dieselbe Länge und
Breite haben. Es darf jedoch kein Kuchenrest übrig bleiben.
1
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
4
3 ž 48 = 144
4 ž 36 = 144
5ž
6 ž 24 = 144
7ž
3 ž 40 = 120
4 ž 30 = 120
5 ž 24 = 120
6 ž 20 = 120
7ž
GEMEINSAME VIELFACHE
äcker würde
würde d
b) Der Bäcker
das Kuchenblech in
2 cm gro
den,
12 cm mal 1
12
große Stücke schneiden,
n
da er so mehr Kuchens
Kuchenstücke verkaufen
ücke mit 24 c
d
könnte. Stücke
cm mal 24 cm sind
zu groß.
a) Die Tabel
Tabelle zeigt, dass die
e Zahlen 24 u
und
gemeins
44 und
d 120
12 gemeinsame
Teiler von 144
ch die
sind. Der Bäc
Bäcker könnte demnach
Kuc enstücke in 12 cm mal 12 cm oder in
Kuchenstücke
24 cm mal 24 cm große Stücke schneiden.
Die Geschwindigkeit der drei Tiere ist gleich.
durch
Der Hase muss zwar häufiger springen als der Fuchs und das Reh, er ist dadurch
aber nicht langsamer.
en
Nach einigen Sprüngen gibt es aber einen Punkt, an dem wieder alle Tiere nebeneinander gemeinsam abspringen.
1
12 ž 10 = 120
? = 144
12 ž 12 = 144
11 ž
11 ž
? = 120
10 ž
10 ž 12 = 120
? = 144
9 ž 16 = 144
9ž
? = 120
8 ž 18 = 144
? = 144
8 ž 15 = 120
? = 120
2 ž 72 = 144
2 ž 60 = 120
? = 144
1 ž 144 = 144
1 ž 120 = 120
GEMEINSAME TEILER
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4m
GEEMEINSAME
MEINSAME
EINSAME VIELFACHE
3m
Nach wie vielen Metern springen
alle drei Tiere wieder genau
nebeneinander ab?
Hase, Fuchs und Reh hüpfen
gleich schnell nebeneinander her.
Ein Sprung geht bei jedem Tier
unterschiedlich weit.
2 ž 5 = 10
3 ž 5 = 15
4 ž 5 = 20
2ž4= 8
3 ž 4 = 12
4 ž 4 = 16
5 ž 4 = 20
1ž5= 5
1ž4= 4
Das gemeinsame Vielfache der
Zahlen 4 und 5 ist demnach die
Zahl 20.
Ein Beis
n 4 und 5 soll dir d
Beispiel für die Zahlen
dabei helfen:
Um die Aufgabe
abe zu löse
lösen, musst du das gemeinsame Vielfache der Zahlen 2, 3 und 4
e
finden.
Le
ege dazu
d
Lege
für die drei Zahlen T
Tabellen an und multipliziere sie mit 1, 2, 3, …, bis du
für al
n ein gemeins
alle drei Zahlen
gemeinsames Ergebnis gefunden hast. Diese Zahl ist dann
d
elfache de
das gemeinsame Vielfache
der Zahlen 2, 3 und 4.
2
2m
GEMEINSAME VIELFACHE
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
5
2ž3= 6
3ž3= 9
4 ž 3 = 12
2ž2= 4
3ž2= 6
4ž2= 8
3 ž 4 = 12
2ž4= 8
1ž4= 4
RECHENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 5 UND 10
Kannst du eine Regel feststellen?
3. ob die Zahl durch 5 und 10 teilbar ist.
2. ob die Zahl durch 10 teilbar ist,
1. ob die Zahl durch 5 teilbar ist,
Schreibe einige dreistellige Zahlen auf.
Überprüfe jeweils durch Rechnung,
1
nder ab.
Die drei Tiere springen nach 12 m wieder genau nebeneinander
Das gemeinsame Vielfache für die Zahlen 2, 3 und 4 ist demnach die Zahl 12.
6 ž 2 = 12
5 ž 2 = 10
1ž3= 3
1ž2= 2
Deine Tabellen für die Vielfachen von 2, 3 und 4 sol
sollten
llten folgendermaßen aussehen:
ussehen:
GEMEINSAME VIELFACHE
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REECHENREGEL
HENREGE : TEILBARKEIT DURCH 5 UND 10
Was s
stellst du fest?
Betrac
Betrachte
jeweils die letzte Ziffer
Ziff der Zahlen, die durch 5, durch 10 oder durch 5 und
10 teilbar
e
sind.
2
Finde Regeln.
c
c) Welche Zahlen lassen sich durch 5 und 10 teilen?
b) Welche Zahlen lassen sich durch 10 teilen?
a) Welche Zahlen lassen sich durch 5 teilen?
RECHENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 5 UND 10
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
6
RECHENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 5 UND 10
Betrachte anschließend die letzten beiden Ziffern der Zahlen,
Betracht
die durch
teilbar sind.
urch 4 teilb
Welche dieser Zahlen
durch 4 teilbar? Berechne schriftlich.
W
en sind dur
516
926 ; 105 ; 248 ; 1050
5
6 ; 550
5 ; 612 ; 3020
020 ; 740 ; 92
Finde eine Regel.
REECHENREGEL
HENREGE : TEILBARKEIT DURCH 4
Betrachte folgende
gende Beis
Beispielzahlen:
1
Eine Zahl ist durch 5 und 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist.
RECHENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 5 UND 10
Welche Zahlen lassen sich durch 4 teilen?
RECHENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 4
Eine Zahl ist durch 5 und 10 teilbar, wenn …
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn …
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte
e Ziffer eine … oder … ist.
Die folgenden Formulierungen sollen dirr helfen:
3
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Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
7
RECHENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 4
b) Könnte man diesen Betrag auch unter 9 Personen aufteilen?
a) Franziska, Anna und Mark haben 17 028 beim Lotto gewonnen.
sonen
Mark fragt Franziska, ob man diesen Betrag denn überhaupt durch 3 Personen
teilen kann, ohne dass ein Rest entsteht.
QUERSUMMENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 3 UND 9
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn …
Die folgende Formulierung soll dir helfen:
n:
2
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QU
UERSUMMENREGEL
ERSUMMEN
RSUMME
: TEILBARKEIT DURCH 3 UND 9
Um zu überprüfen,
rüfen, ob di
die Zahl 17 028 durch 3 und 9 teilbar ist, bildest du die
er
s den
n einzelne
Quersumme
aus
einzelnen Ziffern. Was stellst du fest?
1
S
So sind die Zahlen 516 ; 612 ; 3020 ; 740 und 248 durch 4 teilbare Zahlen, da die aus
den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl eine durch 4
teilbare Zahl bilden.
RECHENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 4
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
8
Welcher Bruch ist dargestellt?
BRÜCHE ABLESEN
27 ist sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar. Somit ist die Zahl 99 522 sowoh
sowohl
durch 3 als auch durch 9 teilbar.
Die Quersumme der Zahl 99 522 ist 27.
9 + 9 + 5 + 2 + 2 = 27
BR
RÜCHE
CHE ABLE
ABLESEN
ABL
Wie vie
dest du essen?
viele Stücke würdest
Üb
erle
ele gleich gro
Überlege:
In wie viele
große Teile ist die Pizza geschnitten?
Stelle dir vor, die Abbild
Abbildung wäre eine Pizza und du möchtest die markierten Teile
en
essen.
1
17 028
1
h9
Ist die Quersumme durch 9 teilbar, dann ist die ursprüngliche Zahl auch durch
teilbar.
Beispiel: 99 522
18 ist durch 3 und durch 9 teilbar.
lassen sich deshalb sowohl durch 3 als auch durch 9 Personen aufteilen.
1 + 7 + 0 + 2 + 8 = 18.
Die Quersumme der Zahl 17 028 lautet 18, da
QUERSUMMENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 3 UND 9
urch 3
Ist die Quersumme durch 3 teilbar, dann ist die ursprüngl
ursprüngliche Zahl auch durch
teilbar.
QUERSUMMENREGEL: TEILBARKEIT DURCH 3 UND 9
Die Quersumme zu bilden bedeutet, dass
ss man die einz
einzelnen Ziffern einer
ner Zah
Zahl
zueinander addiert.
2
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Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
9
BRÜCHE ABLESEN
1
4
3
8
Der Bruch lautet demnach:
In der Abbildung sind 3 Teile von 8 Teilen grau markiert.
BRÜCHE ABLESEN
3
4
Die folgenden Beispiele sollen dir helfen:: Der grau ma
markierte Bruchteil istt unter
ter der
unge auf
uf dein
iehen.
jeweiligen Figur notiert. Versuche, die Lösungen
deine Aufgabe zu beziehen.
2
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BRÜCHE
ÜCHE DA
DARSTELLEN
BRÜCHE ABLESEN
Der Nenner gibt an, in
wie viele gleich große
Teile die Figur geteilt
wurde (gesamte Anzahl
der Teile).
Bei einem Bruch gibt
der Zähler an, wie
viele Teile der Figur
ausgewählt wurden.
a) Zeichne einen
nen Kreis u
und markiere den Bruch 1 .
4
b) Zeichne
ein Rechteck
markiere den Bruch 5 .
b
Zeic
chteck und m
6
3
markiere den Bruch .
c) Zeichne ein Dreieck
eck und ma
4
Zähler
Z
Ne
Nenner
3
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
10
BRÜCHE DARSTELLEN
BRÜCHE DARSTELLEN
Ein Beispiel soll dir helfen:
In allen drei Abbildungen ist der Bruch 3 dargestellt.
8
Um die Brüche zu markieren, ist es egal, welche Teile der Figur du markierst.
erst
3
Hier stimmt etwas nicht.
ei deine
arauf,
Erkennst du, was falsch gemacht wurde? Achte bei
deinen Zeichnungen darauf,
diese Fehler nicht zu machen.
1
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BRÜCHE DARSTELLEN
a)
a
1
4
b)
BRÜ
RÜCHE
CHE DAR
DARSTELLEN
ffalsch
5
6
richtig
c)
3
4
Achte darauf, dass die einzelnen Teile die gleiche Größe haben müssen.
2
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
11
BRÜCHE AM ZAHLENSTRAHL ABLESEN
e man einen Bruch
Beschreibe, wie
am Zahlenstrahl abliest.
Abbildung
du g 1 und A
Abbildung 2 zeigen
en Bru
denselben
Bruch.
쎲 Welcher Teil ist markiert?
쎲 In wie viele gleich große Teile ist der Zahlenstrahl eingeteilt?
Folgende Fragen sollen dir dabei helfen:
Beziehe deine Überlegungen, wie man den Bruch in Abbildung 2 abliest, nun
n auf den
Zahlenstrahl in Abbildung 1.
2
Abb. 2
0
Abb. 1
BRÜCHE AM ZAHLENSTRAHL ABLESEN
SE
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BRÜCHE AM ZAHLENSTRAHL ABLESEN
Der Zahlenstrahl ist
in 8 gleich große
Teile eingeteilt.
Der 5. Teil ist
markiert.
Brüche am Za
Zahlenstrahl werden
den genauso wie bei Abb. 2 abgelesen. Der Zähler gibt
n, welcher Teil
Te markiert ist. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile der
an,
lenstrahl eingetei
Zahlenstrahl
eingeteilt ist. In unserer Aufgabe ist der Bruch 5 angegeben.
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
BRÜ
RÜCHE
CHE AM ZAHLENSTRAHL ABLESEN
쎲 Was steht im Nenner?
쎲 Was steht im Zähler?
Überlege, wie man den Bruch in Abbildung 2 abliest.
1
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
12
0
1
4
1
2
3
4
1 kg
4
Mitte vo
von 1 und 1.
2
50 g ist die
di Hälfte von 500 g und liegt deshalb auf dem Zahlenstrahl genau in der
£ 250
Mitte von 0 und 1 .
2
50 g ist die Hälfte von 500 g und lieg
liegt deshalb auf dem Zahlenstrahl genau in der
£ 250
der Mitte
von 0 und 1.
M
und liegt deshalb auf dem Zahlenstrahl genau in
£ 500 g ist die Hälftee von 1000 g un
und 1.
älfte von 1000 g und liegt deshalb auf dem Zahlenstrahl zwischen 3
£ 500 g ist die Hälfte
BR
RÜCHE
CHE UND MASSEINHEITEN
Die Skala auf dem Messbecher ist wie ein Zahlenstrahl.
Markiere die 1000 g auf dem Zahlenstrahl.
3
Wenn du weißt,
ßt, wie viel kg 1000 g sind, dann überlege dir, welche Aussage stimmt.
BRÜCHE UND MASSEINHEITEN
BRÜCHE UND MASSEINHEITEN
Um die Aufgabe zu lösen, musst du wissen, was die Angaben auf dem Messbecher
bedeuten.
Wie viel kg sind 1000 g Mehl?
1
1 kg ist 1000 g.
2
en. Wie we
Auf dem Messbecher sind jedoch nur Brüche als Angaben zu finden.
weit wird
der Messbecher für den jeweiligen Kuchen mit Mehl gefüllt?
Lea möchte für ihren Geburtstag 3 Kuchen
en backen.
Für den ersten Kuchen benötigt sie 1000 g Meh
Mehl,
für den zweiten 500 g Mehl und für den
dritten 250 g Mehl.
BRÜCHE UND MASSEINHEITEN
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Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
13
1
6
2
6
1
3
ERWEITERN VON BRÜCHEN
1
2
1
4
1 kg
1000 g
Leon hat dasselbe Brett in 6 Teile
unterteilt, um 4 einzutragen.
Paul hat das Brett in 3 Teile unterteilt,
terteilt,
um 2 einzutragen.
3
3
4
Vervollständige die Bruchangaben und markiere 2 und 4 .
3
Was stellst du fest?
1
0
500 g
250 g
250 g ist wiederum die Hälfte von 500 g. Somit liegt
dem Zahlenstrahl geegt 250 g auf d
nau in der Mitte von 0 und 1 , also bei 1 .
2
4
500 g ist genau die Hälfte von 1 kg. Somit liegt
auch genau in der Mitte
egt 500 g auc
tte von 0
und 1 auf dem Zahlenstrahl, also bei 1 .
2
1000 g = 1 kg
BRÜCHE UND MASSEINHEITEN
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Kreuze an.
n.
multipliziert
£ mit 4 multipliziert?
multipliziert?
£ mit 3 multip
multipliziert?
£ mit 2 mult
en sowoh
s auch Nenner
Wurden
sowohl Zähler als
Betrachte
noch einmal
die Einteilung des Brettes.
Betrac
nmal genau d
n wie viele Teile
e hat Paul da
쎲 In
das Brett unterteilt?
쎲 In wie viele Teile hat Leon d
das Brett unterteilt?
hler des Bruch
쎲 Was ist mit dem Zähler
Bruchs passiert?
2
„erweitert“ – was bedeutet das?
„e
3
ER
RWEITERN
WEITERN
EITERN V
VON BRÜCHEN
Leon hat den Bruch
2
b) Erkläre,
was „Erweitern von Brüchen“ bedeutet.
Er
a) Was
W meint Paul damit?
D
Daraufhin
äußert Paul: „Dann sind wir uns ja einig!“
Paul möchte ein Regalbrett aufhängen. Er findet jedoch, dass es zu lang ist.
Er sagt zu Leon, dass 2 der Brettlänge reichen würden.
3
Leon hingegen meint, dass 4 besser aussehen würden.
ERWEITERN VON BRÜCHEN
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
14
ERWEITERN VON BRÜCHEN
=
Formuliere mithilfe der beiden Abbildungen eine Regel für das Kürzen von B
Brüchen.
rüchen.
KÜRZEN VON BRÜCHEN
Dabei ändert sich der Wert des Bruchs.
£ Zähler und Nenner werden mit unterschiedlichen Zahlen multipliziert.
Dabei ändert sich der Wert des Bruchs nicht.
en Zahlen multipliziert.
mul
£ Zähler und Nenner werden mit unterschiedlichen
ht.
Dabei ändert sich der Wert des Bruchs nicht.
multiplizie
£ Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert.
Dabei ändert sich der Wert des Bruchs.
en Zahl multipliziert.
multip
£ Zähler und Nenner werden mit derselben
Einen Bruch zu erweitern bedeutet (kreuze
ze an):
3
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KÜ
ÜRZEN
RZEN
ZEN VON BRÜCHEN
Einen B
Bruch zu erweitern,, bedeutet, dass Z
Zähler und Nenner mit derselben Zahl
pliziert wer
multipliziert
werden. Der Wert des Bruchs ä
ändert sich dabei nicht.
d noch ein
Lies dir anschließend
einmal die Regel für das Erweitern von Brüchen durch:
Um die Aufgabe
abe zu löse
lösen, schreibst du zuerst die Brüche auf, die in den beiden
bild
rgest
stellt sind. Fällt dir schon etwas auf?
Abbildungen
dargestellt
1
2⋅ 2 = 4
3⋅ 2
6
b)
b Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner mit derselben Zahl
multipliziert werden (in diesem Beispiel mit der Zahl 2). Der Wert des Bruchs
ändert
sich dabei nicht.
ä
2
4
a) Mit der Äußerung „Da sind wir uns ja einig!“ meint Paul, dass die Brüche und
3
6
denselben Wert besitzen. Das Beispiel mit dem Brett verdeutlicht, dass beide das
Brett in derselben Länge abschneiden würden.
ERWEITERN VON BRÜCHEN
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
15
KÜRZEN VON BRÜCHEN
Hat er recht?
Jan behauptet, dass der Bruch 2 größer sei als der Bruch 3 , da die 6 im Nenner
nne
6
4
größer sei als die 4.
VERGLEICHEN UND ORDNEN VON BELIEBIGEN BRÜCHEN
EN
N
che Zahlen d
dividiert.
£ Zähler und Nenner werden durch unterschiedliche
ahl dividiert.
£ Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl
enen Zahlen m
multipliziert.
£ Zähler und Nenner werden mit verschiedenen
en Zahl multi
multipliziert.
£ Zähler und Nenner werden mit derselben
Einen Bruch zu kürzen bedeutet (kreuze an):
2
Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
VEERGLEICHEN
GLEICHEN UND ORDNEN VON BELIEBIGEN BRÜCHEN
Um die Aufgabe zu lösen, mus
musst du dir also überlegen, wie du beide Brüche
erweite
ass sie anschli
erweitern kannst, sodass
anschließend denselben Nenner besitzen.
Brüche kann man nur ve
vergleichen, wenn man sie gleichnamig macht.
sb
ass s
ie dense
Das
bedeutet, dass
sie
denselben Nenner haben müssen.
1
6:2 = 3
8: 2 4
6
Beide
Brüche haben denselben Wert. Teilt man Zähler und Nenner von jeweils
B
8
3
d
durch 2, erhält man . Das nennt man „kürzen“. Der Wert des Bruchs ändert sich
4
dabe
dabei nicht.
In der 1. Abbildung ist der Bruch
6
dargestellt.
8
3
In der 2. Abbildung ist der Bruch dargestellt.
4
KÜRZEN VON BRÜCHEN
Rechnen mit Brüchen
Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung
16
VERGLEICHEN UND ORDNEN VON BELIEBIGEN
L
BRÜCHEN
CHEN
HEN
3⋅ 3 = 9
4⋅ 3 12
Jan hat also nicht recht.
9 ist größer als 4 . Deshalb ist auch 3 größer als 2 .
6
12
12
4
Nun kann man die Brüche 4 und 9 vergleichen.
12
12
2⋅ 2 = 4
6⋅ 2 12
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 6 und 4 ist die Zahl 12.
Folgendermaßen sind die Brüche erweitert worden:
VERGLEICHEN UND ORDNEN VON BELIEBIGEN BRÜCHEN
N
ahlen 6
Dazu musst du dir überlegen, was das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen
und 4 ist.
Du weißt: Damit die Brüche denselben Nenner
nner haben
ben (= gleichnamig sind),, musst du
sie erweitern.
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VERGLEICHEN UND ORDNEN VON BELIEBIGEN BRÜCHEN
1·6=
2·6=
.
.
.
1·4=
2·4=
.
.
.
Ergänze die Tabelle, um das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 6 und 4 zu
finden.
3
Impressum
6 Auer Ver
g
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Autorin: Lena Braun
Illustrationen: Corina Beurenmeister, Steffen Jähde, S. 3: Kuchen: Apfelkuchen © lichtbildmaster #36137394
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