Quantenmechanik - Technische Universität Braunschweig

Institut für Theoretische Physik
der Technischen Universität Braunschweig
Quantenmechanik
Skriptum zur Vorlesung
Wintersemester 2011/2012
Prof. Dr. U. Motschmann
Dr. T. Bagdonat
Priv.-Doz. Dr. S. Simon
Dipl.-Phys. H. Kriegel
Braunschweig, 2011
Inhaltsverzeichnis
I
Verhalten der Quanten
9
1
Quanten sind anders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2
Doppelspalt-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1
Interferenzexperiment mit Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
Interferenzexperiment mit Wasserwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Interferenzexperiment mit Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Ein anderes Elektronenexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
II Grenzen der klassischen Physik
17
1
Etappen der Herausbildung der klassischen theoretischen Physik . . . . . . . . . . . . . .
17
2
Entdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3
Klassisch nicht erklärbare Erscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.1
Stabile Struktur der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2
Linienspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3
Exakte Gleichheit der Atome desselben Elementes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.4
Photoelektrischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.5
Schwarz-Körper-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.6
Spezifische Wärmekapazität fester Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.7
Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
III Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
29
1
Experimente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2
Brückenbau zwischen Teilchen- und Wellentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.1
Eikonalgleichung der geometrischen Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . .
31
4
INHALTSVERZEICHNIS
3
Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4
Konzept für die Materiefeldgleichung (Schrödinger-Gleichung) . . . . . . . . . . . . . . . .
37
IV Wellenmechanik
41
1
Grundgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2
Interpretation der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3
Operatoren und Kommutatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4
Das Ehrenfestsche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5
Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6
Die zeitfreie Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7
Grenzbedingungen für die Wellenfunktion ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
7.1
Übergangsbedingungen an einem Potentialsprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
7.2
Übergangsbedingung an einem δ-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
8.1
Ein Teilchen im Potentialkasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
8.2
Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
8.3
Das Wasserstoff-Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Der Bahndrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
9.1
Die Richtungsquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
9.2
Kommutatoren des Bahndrehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
8
9
V Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
79
1
Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2
Dirac-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.1
Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.2
Operatoren im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.3
Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.4
Messung einer Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Kompatible Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3
VI Darstellungen
1
93
Begriff der Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
1.1
93
Darstellung eines Zustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INHALTSVERZEICHNIS
5
1.2
Darstellung eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
1.3
Spektraldarstellung eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
1.4
Darstellung eines Erwartungswertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2
Darstellungswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3
Ortsdarstellung und Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.1
Eigenfunktionensystem des Ortsoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.2
Eigenfunktionensystem des Impulsoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.3
Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.4
Orts- und Impulsdarstellung der Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5
Translationsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4
5
Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1
Erzeugungsoperator, Vernichtungsoperator, Besetzungszahloperator . . . . . . . . 103
4.2
Orthonormalbasis des Besetzungszahloperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Wiederbesuch des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1
Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2
Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3
Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6
Transformation der Besetzungszahldarstellung in die Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . 110
7
Ergänzung: Umkehrtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
VII Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
115
1
Schrödinger-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2
Heisenberg-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3
Dirac-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
VIIIStörungstheorie
1
2
123
Stationäre Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.1
Rayleigh-Schrödinger-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.2
Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Zeitabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.1
Übergangswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.2
Wechselwirkung mit einer elektromagnetischen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6
IX
INHALTSVERZEICHNIS
2.3
Fermi’s Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.4
Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Drehimpuls und Spin
149
1
Eigenwerte von Jˆ2 und Jˆ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2
Eigenvektoren von Jˆ2 und Jˆ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3
Stern-Gerlach-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4
Paulische Spinmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5
Zur Theorie des Elektronenspins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6
Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
X
Quantenmechanischer Messprozess
1
2
XI
161
Präparation eines Quantensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1.1
Reine Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1.2
Gemischte Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
1.3
Statistischer Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1.4
Verträgliche Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.5
Nichtverträgliche Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Quanten-Zeno-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Verschränkung
169
1
Zusammengesetzte quantenmechanische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2
Verschränkte Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3
EPR-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
XII Dekohärenz (Decoherence)
175
1
Schrödingers Katze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2
Zerstörung von Überlagerungszuständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Satz:
OLAF
Zεlεsnik
@ LATEX2ε
(MiKTeX 1.20e & WinEdt 5.1)
Ergänzungen: Michael Dorn (MiKTeX 2.5 & WinShell 3.1.0.10)
Überarbeitung: Willi Fröhlke (TeXMakerX 2.1)
Fehler melden an: Hendrik Kriegel (h.kriegel(at)tu-bs.de)
INHALTSVERZEICHNIS
Bilder:
Thorsten Bagdonat
Michael Dorn
Willi Fröhlke
7
Kapitel I
Verhalten der Quanten
1
Quanten sind anders
In seinem Buch Sechs physikalische Fingerübungen widmet Richard P. Feyman einen Abschnitt
auch den Quanten [R. Feynman, Sechs physikalische Fingerübungen, Piper, 2002] Am DoppelspaltExperiment macht er deutlich, dass in der Quantenwelt Phänomene auftreten, die zunächst einmal in
krassem Widerspruch zu unserer Alltagserfahrung stehen. Das liegt aber nur daran, dass wir makroskopische Beschreibungsweisen und Gesetze einfach nur herunter skalieren, aber das geht schief. Die Quanten
haben eigene Gesetze, was aber nicht heißt, dass es keine Brücken zwischen der Makros- und Mikrowelt
gibt. Und diesen Brücken zu folgen ist ebenso interessant, wie die Quantenwelt selbst.
2
Doppelspalt-Experimente
Klassische Mechanik:
Verhalten makroskopischer Körper
Elektrodynamik:
Verhalten elektromagnetischer Wellen, Strahlung, Licht, insbesondere Interferenz
Quantenmechanik:
Verhalten von Materie, insbesondere auf atomarer Ebene,
ähnelt nichts von dem, was unmittelbarer Erfahrung zugänglich; z.B:
Licht verhält sich wie Teilchen - u.U.
Elektronen verhalten sich wie Wellen - u.U.
aber immerhin verhalten sich Elektronen wie Licht. . .
Schwierigkeit:
Verständnis für derartiges Problem
Problem:
alle unmittelbare Erfahrung durch große Gegenstände
Wesen der QT:
unergründlich, Geheimnis;
aber immerhin ist erstaunlich praktikabler Umgang möglich
Experimente:
. . . mit Gewehrkugeln,
. . . mit Wellen
. . . mit Elektronen
Interferenz:
P1 + P2 6= P12
10
2.1
I. Verhalten der Quanten
Interferenzexperiment mit Kugeln
Abb.: Interferenzexperiment mit Kugeln (Feynman)
• Kugeln mit breiter Winkeldivergenz
• Kugeln ideal, unzerstörbar, bleiben im Kugelfang oder Detektor stecken
• Detektor beweglich in x-Richung
• Experimentelle Beantwortung der Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel, die
durch die Öffnungen dringt, an einer Position x am Kugelfang ankommt?
• Wahrscheinlichkeit P (x) =
n(x)
N
in bestimmter Zeit
• P12 Kugeln entweder durch 1 oder durch 2
• P1 geschlossen, Kugeln nur durch 1
• P2 geschlossen, Kugeln nur durch 2
• P1 + P2 = P12
2.2 Interferenzexperiment mit Wasserwellen
2.2
Interferenzexperiment mit Wasserwellen
Abb.: Interferenzexperiment mit Wasserwellen (Feynman)
• Flaches Wasserbecken
• x-verschiebbarer Detektor am Absorber mit Intensität I (Quadrat der Amplitude h)
• Intensität ist kontinuierliche Größe, keine ’Klumpung’ wie Kugeln
• I12 : beide Löcher offen
• I1 : 1 offen, 2 geschlossen
• I2 : 2 offen, 1 offen
• I1 + I2 6= I12
• Interferenz: Maxima bei Phasengleichheit, Minima bei Phasendifferenz π
• I1 = |h1 |2
,
I2 = |h2 |2
,
I12 = |h1 + h2 |2
11
12
2.3
I. Verhalten der Quanten
Interferenzexperiment mit Elektronen
Abb.: Interferenzexperiment mit Elektronen (Feynman)
• Elektronenkanone aus Wolframdraht auf negativem Potential
• x-verschiebbarer Detektor wie Geigerzähler
• Zählung durch Ticks am Geigerzähler: Mittlere Rate n(x)
• Rate größer oder kleiner, Größe der Ticks (Latustärke) bleibt immer gleich
• Tick = Ankunft eines
Klumpen: Elektronen treffen immer in identischen Klumpen auf
• keine Halb-Ticks
• Experimentelle Beantwortung der Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ElektronenKlumpen auf den Detektor x trifft? Dazu zählen der durchschnittlichen Ticks bei x
• P12 : 1 und 2 offen
• P1 : 1 offen, 2 geschlossen,
P2 vice-versa
Analyse des Experimentes:
1. Elektronen treffen als Klumpen auf
2. These A
• Jedes Elektron kommt etweder durch 1 oder durch 2
• Unterteilung der Elektronen in zwei Klassen: Elektronen durch 1 bzw. Elektronen durch 2
2.4 Ein anderes Elektronenexperiment
13
• Elektronen durch 1 ? Dazu 2 schließen ⇒ Tick-Rate P1
• Elektronen durch 2 ? Dazu 1 schließen ⇒ Tick-Rate P2
• 1 und 2 offen: P12 offensichtlich nicht P1 + P2 sondern Interferenz
• folglich obige These falsch, denn dann müssten sich Wahrscheinlichkeiten addieren
3. These B
• Manche Elektronen gehen erst durch 1, dann auf ’verschlungenem’ Weg durch 2. Durch
Abdecken von 2 wird Wahrscheinlichkeit für ein ursprünglich durch 1 laufendes Elektron
geändert.
• Somit: Es gibt x, wo sehr wenige Elektronen auftreffen, wenn 1 und 2 offen sind. Abdecken
von 2 lässt durch 1 kommende Elektronen ansteigen
• Aber: Es gibt andere x, wo sehr viele Elektronen auftreffen, wenn 1 und 2 offen sind, z.B. x=0.
Abdecken von 2 lässt jetzt durch 1 kommende Elektronen abnehmen. These B somit auch
nicht erfolgreich, da Beliebigkeit in Absinken oder Ansteigen der Elektronenzahl bei Abdecken
einer Öffnung.
2.4
Ein anderes Elektronenexperiment
Abb.: Interferenzexperiment mit Elektronen und zusätzlicher Elektronenbeobachtung (Feynman)
• zusätzliche Prüfung von These A
• Ausnutzen der Streuung von Licht durch elektrische Ladung (Sichtbarmachen des Weges des
Elektrons)
• Platzieren einer Lichtquelle
14
I. Verhalten der Quanten
• Elektron durch 2, dann Lichtblitz bei A erwartet
Ergebnisse des Experimentes:
1. Bei jedem Tick im Detektor ist gleichzeitig ein Lichtblitz zu sehen - entweder nahe 1 oder nahe 2,
nie gleichzeitig - unabhängig von Detektorposition x.
• Schlussfolgerung:
Bei Beobachtung der Elektronen kommen diese entweder durch 1 oder 2. Experiment legt
nahe, dass These A wahr ist.
2. Variation für viele x ergibt P10 und P20 . P10 sehr ähnlich P1 , P20 sehr ähnlich P2
• Schlussfolgerung:
Keine verschlungenen Wege, da P1 durch Abdeckung von 2 und P2 durch Abdeckung von
1 erhalten wurde. Beobachtung der Elektronen bestätigt den erwarteten Weg. Elektronen
durch 1 verteilen sich gleich, unabhängig ob 2 offen oder geschlossen ist - wenn das Elektron
beobachtet wird.
3. Gesamtwahrscheinlichkeit unabhängig vom Weg durch 1 oder 2 : Ignorieren der Lichtblitze und
0
Zählen aller Ticks ergibt P12
= P10 + P20 6= P12
0
4. Wenn die Lichtquelle ausgeschaltet wird, gilt wieder P12 statt P12
.
• Schlussfolgerung:
Wenn Elektronen beobachtet werden, ist ihre Verteilung anders.
• Befürchtung:
Beobachtung stört Elektronen und führt zur beobachteten Veränderung.
Ergebnisse des Experimentes mit schwacher Lichtquelle
1. Wiederholung des Experimentes mit schwächerer Lichtquelle um Störung zu verringern.
2. Lichtblitze werden nicht schwächer, allerdings gibt es Ticks im Detektor ohne Lichtblitz, d.h. Elektronen sind vorbeigeflogen, ohne gesehen zu werden.
• Schlussfolgerung:
Licht ist auch klumpig ⇒ Photonen.
Abschwächung verringert nicht die Größe der Photonen, sondern ihre Anzahl (Emissionsrate).
0
3. P10 ,P20 , P12
= P10 + P20 s.o., zusätzlich P12 für unbeobachtete Elektronen (kein Lichtblitz registriert).
D.h. Interferenz nur für unbeobachtete Elektronen!
Ergebnisse des Experimentes mit röterem Licht
1. Wiederholung des Experimentes mit Photonen geringerer Energie (rötere Photonen, Mikrowellen,
Radiowellen, . . . )
2. zunächst keine Änderung bei Energieverringerung der Photonen
3. Wenn die Wellenlänge des Lichtes die Größenordnung des Abstandes 1-2 erreicht, wird Lichtblitz
so ausgedehnt, dass er nicht mehr 1 oder 2 zugeordnet werden kann. D.h. der Weg des Elektrons
0
kann nicht mehr beobachtet werden und P12
geht in P12 über
2.4 Ein anderes Elektronenexperiment
15
Zusammenfassung des Standpunktes zu These A und These B:
Frage: Stimmt es oder stimmt es nicht, dass das Elektron entweder durch 1 oder durch 2 kommt?
Antwort: Wird eine Vorrichtung benutzt, mit der bestimmt wird, ob das Elektron durch 1 oder durch 2
kommt, dann kann man sagen, es passiert 1 oder 2. Wird eine derartige Vorrichtung nicht benutzt, darf
man nicht sagen, das Elektron geht durch 1 oder 2 ; das Elektron nimmt alle Wege.
Wie weit lassen sich diese Überlegungen treiben?
Elektronen ⇒ Atome ⇒ Moleküle ⇒ Fullerene ⇒ Viren ⇒ . . . (⇒ Schrödis cat)???
16
I. Verhalten der Quanten
Kapitel II
Grenzen der klassischen Physik
1
Etappen der Herausbildung der klassischen theoretischen Physik
Mechanik:
Newtonsche Mechanik begründet im 17 Jh.
gelangte Ende 18. Jh, Anfang 19. Jh. zum Abschluß
Elektrodynamik :
1864: Maxwell-Gleichungen
1870: Theorie des Lichtes
T hermodynamik :
1842: 1. Hauptsatz von Mayer
1860: Statistische Thermodynamik von Maxwell
1867: 2. Hauptsatz von Clausius
1900: Statistische Thermodynamik von Gibbs
2
Entdeckungen
Chemie des 19. Jh.:
Materie besteht aus Atomen und Molekülen
1865: Loschmidtsche Zahl L = 6, 025 × 1023 mol−1
Elektron:
1886: Kanalstrahlen (Goldstein)
Radioaktivität:
1896: Becquerel
Strahlung des Schwarzen Körpers“:
”
1899: Messungen durch Lummer & Pringsheim
Atommodell:
1911: Rutherford
18
3
II. Grenzen der klassischen Physik
Klassisch nicht erklärbare Erscheinungen
An der Wende zum 20. Jh. waren folgende Erscheinungen im Rahmen der klassischen Theorie nicht zu
erklären.
1. Stabile Struktur der Atome
2. Emmission und Absorption atomarer Strahlung in Form von Linienspektren
3. Exakte Gleichheit aller Atome desselben Elements
4. Photoelektrischer Effekt
5. Frequenzspektrum der Schwarz-Körper-Strahlung
6. Spezifische Wärmekapazität von Gasen und Festkörpern und ihre Temperaturabhängigkeit bei tiefen
Temperaturen cV −→ 0.
T →0
7. Radioaktivität
Einige dieser Probleme sollen im folgenden noch genauer erklärt werden.
3.1
Stabile Struktur der Atome
Die Elektronen im Rutherfordschen Atommodell müssen auf ihren Bahnen um den Atomkern zentripetal
beschleunigt sein. Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt, daß jede beschleunigte Ladung Energie ausstrahlt. Die Elektronen würden also ständig Energie verlieren, sich auf spiralförmigen Bahnen dem Kern
nähern und in diesen stürzen, denn nach dem Larmorschen Theorem gilt:
dt U = −
2 1 e2 2
hv̇ i
3 4πε0 c3
(II.1)
Die charakteristische Zeit dafür wäre τ ∼ 10−10 s (vgl. ÜA).
3.2
Linienspektren
Die beobachtbare atomare Strahlung sollte ein kontinuierliches Spektrum darstellen, so wie es im Bereich
der Bremsstrahlung innerhalb des Röntgenspektrums vorzufinden ist. Linien sind klassisch unverständlich;
die kinetische Energie sollte proportional zur Lichtintensität sein.
3.3
Exakte Gleichheit der Atome desselben Elementes
Wenn die Elektronen auf Bahnen um den Kern kreisen wie die Planeten des Sonnensystems, sollte jedes
Atom individuell sein. Die exakte Gleichheit ist klassisch unverständlich.
3.4
Photoelektrischer Effekt
Läßt man Licht auf eine Metallplatte fallen, so werden aus dem Metall Elektronen ausgelöst. Die Anzahl
der austretenden Elektronen ist proportional zur Lichintensität, ihre kinetische Energie aber proportional
der Frequenz und unabhängig von seiner Intensität. Nach der Maxwellschen Theorie ist dies unverständlich.
3.5 Schwarz-Körper-Strahlung
3.5
19
Schwarz-Körper-Strahlung
Ein Schwarzer Körper hat ein Absorptionsvermögen a = 1. Ein solcher Körper läßt sich näherungsweise
als Hohlraum mit thermisch isolierten Wänden realisieren, in dessen Wand ein kleines Loch gebohrt
wurde.
Die Schwächung des Strahls infolge der bei jeder Reflexion auftretenden Absorption führt zu a = 1. Die Schwarz-Körper-Strahlung
wird deshalb auch Hohlraumstrahlung genannt. Die Strahlungsdichte der Hohlraumstrahlung ist unabhängig von der Art des
Materials und der Oberflächenbeschaffenheit der Wände. Die experimentell meßbare Strahlungsdichte muß daher eine universelle,
ω
abhängige
allein von der Temperatur T und der Frequenz f = 2π
Funktion sein, die aus allgemeinen physikalischen Prinzipien herzuleiten sein müßte.
T2 > T1
T1
Folgende experimentellen Befunde liegen vor:
u
• Wiensches Verschiebungsgesetz: Für das spektrale Maximum gilt Tω̂ = const.
R
• Stefan-Boltzmann-Gesetz: u = uω dω ∝ T 4
s
dabei ist u die Energiedichte [u] = W
m2
1
3.5.1
2
Klassische Theorie der Schwarz-Körper-Strahlung
In der klassischen Physik gilt der Gleichverteilungssatz. Demnach beträgt die mittlere kinetische Energie
je Freiheitsgrad 12 kB T , wenn das die Freiheitsgrade tragende System mit einem Reservoir der Temperatur
T gekoppelt ist.
Beispiel: Ideales Gas =
b System von N freien Teilchen; 3 Dimensionen; Gesamtenergie
U=
3
N kB T
2
(II.2)
Für Teilchen in einem Potential Vb trägt auch die mittlere potentielle Energie zur Gesamtenergie bei.
Insbesondere kommt beim harmonischen Oszillator noch einmal 12 kB T je Freiheitsgrad für die mittlere
potentielle Energie hinzu.
Beispiel: N eindimensionale Harmonische Oszillatoren; Gesamtenergie
1
1
U = hTbi + hVb i = N kB T + N kB T = N kB T
2
2
Hierin erkennen wir auch den Virialsatz für harmonische Schwingungen hTbi = hVb i wieder.
(II.3)
20
II. Grenzen der klassischen Physik
Welcher Zusammenhang besteht aber nun zur Hohlraumstrahlung? Wie zählt man deren Freiheitsgrade
und welche Relation ergibt sich für deren kinetische und potentielle Energie?
Das Strahlungsfeld besteht aus einer zu ermittelnden Zahl
von Wellentypen, die der Teilchenzahl vergleichbar ist. Jeder Wellentyp hat zwei unabhängige Polarisationsrichtungen, die den drei Translationen eines Teilchens vergleichbar
sind. Wir zerlegen das Strahlungsfeld in die einzelnen möglichen Wellentypen (=Wellenmoden); jeder Wellentyp kann
0
L
x
angeregt sein und entspricht einem Freiheitsgrad. In einer
Dimension ist etwa ein Wellentyp möglich, wie er in der nebenstehenden Abbildung dargestellt ist.
t0
t1
Wir nehmen die Wände des Hohlraums als ideal leitend an,
so daß dort immer Knoten des elektrischen Feldes vorliegen.
Ein Wellentyp ist dann eine stehende räumliche Struktur.
Allerdings kann die Amplitude zeitlich oszillieren, wie in
den nebenstehenden Abbildungen für die Zeitpunkte t0 , t1
und t2 skizziert.
Die Amplitude q(t) verhält sich gerade wie ein harmonischer
Oszillator (weitere Einzelheiten dazu s. ÜA). Jede Wellenmode ist deshalb wie ein einziger harmonischer Oszillator
beschreibbar. Insbesondere kann ihr die mittlere Energie
kB T zugeschrieben werden.
Für das Abzählen der Moden betrachten wir einen würfelförmigen Hohlraum als besonders einfache Geometrie. Die Wellenmoden sind dann analytisch einfach angebbar und damit
auch abzählbar. Die Wände des Hohlraums seien metallisch
0
L
x
und ideal leitend (σ → ∞). Als Randbedingung für das
elektrische Feld E ergibt sich dann Ek = 0. D. h. im Hohlraum gibt es nur stehende elektromagnetische
Wellen. Mit dieser Randbedingung sind die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum
t2
∂x × E
= −∂t B
(II.4)
∂x × H
= ∂t D
(II.5)
∂x E
=
0
(II.6)
∂x B
=
0
(II.7)
D
= ε0 E
(II.8)
B
= µ0 H
(II.9)
zu lösen. Es folgt
∂x × ∂x × E
∂x (∂x E) −∂x2 E
| {z }
= −ε0 µ0 ∂t2 E
= −
1 2
∂ E
c2 t
(II.10)
r
mit c =
1
ε0 µ0
(II.11)
=0
und schließlich die bekannte Vakuum-Wellen-Gleichung
1 2
2
∂x − 2 ∂t E = 0 .
c
(II.12)
Lösung sind ebene Wellen mit der Dispersionsrelation
k2 =
ω2
,
c2
k = (k1 , k2 , k3 ),
k = |k| =
q
k12 + k22 + k32
(II.13)
3.5 Schwarz-Körper-Strahlung
21
und der Polarisationsbedingung k · E = 0, k⊥E. Die Randbedingungen schränken nun die Lösungsvielfalt
ein. Nur transversale ebene Wellen von der Form
E(x, t) ∝ sin(kx)
(II.14)
π
k1 = m1 , m1 = 0, 1, 2, · · ·
L
π
k2 = m2 , m2 = 0, 1, 2, · · ·
L
π
k3 = m3 , m3 = 0, 1, 2, · · ·
L
(II.15)
mit
sind erlaubt. Da an den Hohlraumwänden Knoten auftreten, ist auch anschaulich klar, daß ganzzahlige
Vielfache der halben Wellenlänge die Gesamtausdehnung des Hohlraums ergeben; umgestellt folgt nun
wegen ki = 2π
λi
λ1
λ2
λ3
m1 = L; m2 = L; m3 = L
(II.16)
2
2
2
Die Dispersionsrelation geht über in
q
cπ
ω = ck =
m21 + m22 + m23
(II.17)
L
Jedem Tripel natürlicher Zahlen (m1 , m2 , m3 ) entsprechen zwei Wellenmoden (Freiheitsgrade); Zwei, da
es zu jedem erlaubten ω zwei unabhängige Polarisationsrichtungen gibt.
Für den Vergleich mit den experimentellen Befunden ist es nun notwendig, die Anzahl der Moden in
einem Frequenzintervall dω anzugeben. ω ist offensichtlich proportional zum Radius m im vom m1 , m2 , m3
aufgespannten Raum. Wir bezeichnen
m :=
q
m21 + m22 + m23
m2
(II.18)
cπ
cπ
m, dω =
dm
(II.19)
L
L
m ist natürlich i. A. keine ganze Zahl mehr. Liegen nun in einem Intervall dm genügend viele Moden, so spielt die diskrete Struktur des
m-Raumes keine wesentliche Rolle und die m1 , m2 , m3 können kontinuierlich betrachtet werden. Für nicht zu kleine m ist dies gewährleistet. Die kleinen m spielen aber in der Gesamtbilanz keine Rolle.
m
dm
ω=
ϕ
Die Anzahl der Moden in einem Volumenelement dm1 , dm2 , dm3 bei
m1 , m2 , m3 ist
N (m1 , m2 , m3 )dm1 dm2 dm3 = 2 dm1 dm2 dm3
.
m1
(II.20)
Die Zwei ergibt sich aus den zwei möglichen Polarisationen. Im m-Raum gehen wir von kartesischen zu
Kugelkoordinaten über; dann gilt
dm1 dm2 dm3 = m2 sin ϑ dm dϑ dϕ
.
(II.21)
Für alle Moden, die in einem Intervall dm liegen, ist über ϕ und θ abzuintegrieren:
π
π
Z2
Z2
N (m)dm = 2
dϕ
0
sinϑ dϑ m2 dm
,
(II.22)
0
π
N (m)dm = 2 m2 dm
2
.
(II.23)
22
II. Grenzen der klassischen Physik
Die Anzahl der Moden in einem Frequenzintervall dω ist dann
3
L
ω 2 dω
N (ω)dω = π
cπ
.
(II.24)
Auf jede Mode entfällt nun die mittlere Energie kB T . So ergibt sich die Gesamtenergie U im Hohlraum
zu
Z∞
Z∞
kB T
U = kB T N (ω)dω = L3 3 2 ω 2 dω
(II.25)
c π
0
0
3
bzw. die Energiedichte u = U/L zu
Z∞
u=
kB T 2
ω dω
c3 π 2
.
(II.26)
0
Unter Benutzung von
Rayleigh-Jeans-Gesetz
Z∞
uω dω
u=
(II.27)
0
u
lesen wir die spektrale Energiedichte uω zu
uω =
ω2
kB T
c3 π 2
ab (Rayleigh-Jeans-Gesetz). Der Faktor
dendichte n(ω) = N (ω)/V .
(II.28)
ω2
c3 π 2
entspricht der Mo-
Die klassisch berechnete spektrale Energiedichte stimmt nur
für kleine Frequenzen (ω) mit dem Experiment überein. Für
wachsende (ω) wächst (uω ) unbegrenzt an. Die Energiedichte
Z∞
uω dω → ∞
u=
(II.29)
0
divergiert. Die klassische Theorie bewirkt eine Ultraviolett-Katastrophe.
3.5.2
Plancksche Hypothese (1900)
Ein Vorschlag Plancks zur Beseitigung der UV-Katastrophe stellt die Geburtsstunde der Quantenmechanik dar.
Plancks Ansatzpunkt für eine Abänderung war der Gleichverteilungssatz; die Modendichte findet keine
Abänderung. Rufen wir uns den Gleichverteilungssatz für einen harmonischen Oszillator noch einmal in
Erinnerung. Seine mittlere Energie je Freiheitsgrad beträgt kB T , wenn er sich im thermodynamischen
Gleichgewicht mit einem Reservoir der Temperatur T befindet. Diese Formel kam folgendermaßen zustande. Die Energiezustände, die ein eindimensionaler (ein Freiheitsgrad) harmonischer Oszillator der
Frequenz ω einnehmen kann, sind
p2
ω2 2
ε(p, q) =
+
q .
(II.30)
2
2
Bei Kopplung mit einem Reservoir der Temperatur T ist die Wahrscheinlichkeit P , daß ein bestimmter
Wert ε eingenommen wird, proportional zum Boltzmann-Faktor, also
P ∝e
−
ε(p,q)
kB T
.
(II.31)
3.5 Schwarz-Körper-Strahlung
23
Das Reservoir sind die Wände des Hohlraums. Die mittlere Energie hεi des Oszillator ist dann
R
hεi =
Zum Ausrechnen ist es geschickt β =
1
kB T
−
ε(p,q)
ε(p, q)e kB T dpdq
R − ε(p,q)
e kB T dpdq
.
(II.32)
einzuführen und umzuschreiben zu
d
ln
hεi = −
dβ
Z
e−βε dpdq
.
(II.33)
Es folgt
hεi = −
d
ln
dβ
Z∞
e−β
p2
2
Z∞
dp
−∞
−∞
r
r
e−β
ω2
2
q2
dq
.
(II.34)
Mit
v=
und
β
p,
2
Z∞
x=
2
e−v dv =
β
√
ω2
q
2
(II.35)
π
(II.36)
−∞
läßt sich dies umschreiben zu


r
2
1
d
 = − d ln 1
q
ln 
hεi = −
dβ
β β ω2
dβ βω
(II.37)
2
hεi =
d
1
ln (βω) = = kB T
dβ
β
.
(II.38)
Plancks Abänderung besteht nun darin, daß die Oszillatoren ( =
b Wellenmoden) nur noch diskrete Energiewerte εl mit
εl = l~ω, l = 0, 1, 2, ..., ~ = const.
(II.39)
annehmen können. Das Strahlungsfeld tauscht mit den Wänden des Hohlraums Energie nur portioniert
aus. Die Portionen oder Quanten sind ~ω. Die Wahrscheinlichkeit P , daß ein Energiewert εl bei Kopplung
mit dem Reservoir angenommen wird, ist nach wie vor proportional zum Boltzmann-Faktor
P ∝e
−k
εl
BT
.
(II.40)
Die mittlere Energie hεi ist analog
ε
− k lT
B
l=0 εl e
P∞ − k εlT
B
l=0 e
P∞
hεi =
.
(II.41)
Zur Auswertung schreiben wir wiederum
∞
hεi = −
X
d
ln
e−βεl
dβ
l=0
.
(II.42)
24
II. Grenzen der klassischen Physik
Nun gilt
∞
X
e−βl~ω =
l=0
und somit
hεi = −
∞
X
e−β~ω
l
1
1 − e−β~ω
=
l=0
(II.43)
d
d
1
=
ln
ln 1 − e−β~ω
dβ 1 − e−β~ω
dβ
~ω
~ωe−β~ω
= β~ω
−β~ω
1−e
e
−1
~ω
.
hεi = ~ω
e kB T − 1
hεi =
(II.44)
(II.45)
(II.46)
Die spektrale Energiedichte uω erhält man durch Multiplikation mit der Modendichte ω 2 /c3 π 2 zu
uω =
ω2
~
ω3
hεi
=
~ω
c3 π 2
c3 π 2 e k B T − 1
.
(II.47)
Diese Funktion stimmt mit dem Experiment überein.
~ω
• Für ~ω kB T gilt e kB T ' 1 +
~ω
kB T
und somit
hεi =
~ω
1+
~ω
kB T
uω =
−1
= kB T
(II.48)
ω2
kB T
c3 π 2
(II.49)
• Das Wiensche Verschiebungsgesetz leitet sich aus dem Planckschen Strahlungsgesetz wie folgt ab.
Für das spektrale Maximum gilt
∂ω uω = 0
(II.50)
bzw.
∂x
x3
=0
ex − 1
mit
x = ~ω/kB T
,
(II.51)
also
3x2 (ex − 1) − x3 ex = 0
3 − 3e
−x
(II.52)
−x=0 .
(II.53)
~ω̂
= 2, 82 .
kB T
(II.54)
Die numerisch bestimmte Wurzel lautet
x̂ =
• Das Stefan-Boltzmann-Gesetz nimmt nun die Form
U
u=
=
V
Z∞
~
uω dω = 3 2
c π
0
~ (kB T )4
u= 3 2
c π
~4
Z∞
0
Z∞
0
e
dω
(II.55)
−1
4
x3 dx
π 2 kB
T4
=
ex − 1
15 c3 ~3
| {z }
=π 4 /15
an.
ω3
~ω
kB T
(II.56)
3.6 Spezifische Wärmekapazität fester Körper
25
Das Wiensche Verschiebungsgesetz und das Stefan-Boltzmann-Gesetz liefern zwei unabhängige Gleichungen für kB und ~; damit sind kB und ~ experimentell bestimmbar. Die heute gültigen Werte lauten:
2π~
=
h =
kB
3.6
=
6, 62606876(52) · 10−34 Js
J
1, 3806503(24) · 10−23
K
(II.57)
(II.58)
Spezifische Wärmekapazität fester Körper
Hier tritt ein ähnliches Problem auf wie bei der Hohlraumstrahlung. Die klassische Vorstellung gilt nur für hohe Temperaturen,
versagt aber für niedrige Temperaturen.
3.6.1
CV
Nebenstehende Abbildung zeigt den experimentellen Verlauf
(durchgezogene Linie) und das klassische Ergebnis (gestrichelte
Linie).
Die spezifische Wärme cV ist definiert durch cV = ∂U
∂T V .
T
Klassische Theorie
Die Atome führen Schwingungen um ihre Ruhelage aus. Die Temperatur ist ein Maß für die hiermit
verbundene kinetische Energie. Die mittlere kinetische Energie je Freiheitsgrad beträgt 12 kB T .
Wenn die Auslenkungen der Atome nicht zu groß sind, verhalten sie sich wie harmonische Oszillatoren.
Die potentielle Energie je Freiheitsgrad beträgt dann im Mittel ebenfalls 21 kB T .
Im realen Körper sind die Oszillationen miteinander verkoppelt. Die Entkopplung ist jedoch auf folgende
Art möglich:
Koordinatenzählung
Auslenkung aus Gleichgewicht
1. Oszillator
x1 x2 x3
Kinetische Energie
Tb =
3N
X
mi
i=1
Potentielle Energie
Vb (x1 , .., x3N ) = Vb0 +
2. Oszillator
x4 x5 x6
2
...
...
ẋ2i
(II.59)
3N
3N
X
1 X
(∂xi Vb )xi +
(∂xi ∂xj Vb )xi xj
2
i=1
i,j=1
(II.60)
Diese Reihenentwicklung wird um die Potentialminima ausgeführt, so daß ∂xi Vb = 0 gilt. Außerdem
schreiben wir aij = ∂xi ∂xj Vb und setzen Vb0 = 0.
Gesamtenergie
U=
3N
X
mi
i=1
Hauptachsentransformation
2
ẋ2i
xi =
3N
1 X
+
aij xi xj
2 i,j=1
3N
X
r=1
Sir qr
√
mi q̇i = pi
(II.61)
(II.62)
26
II. Grenzen der klassischen Physik
Folglich gilt
3N X
1
U=
2
i=1
p2i
ω2
+ i qi2
2
.
(II.63)
Der feste Körper aus N Atomen kann als 3N ungekoppelte harmonische Oszillatoren aufgefaßt werden.
Dann gilt
U = 3N hεi.
(II.64)
Wegen hεi = 12 kB T + 12 kB T folgt
U = 3N kB T
und
cV =
∂U
∂T
(II.65)
= 3N kB
.
(II.66)
V
Diese als Dulong-Petit-Gesetz bekannte Relation gilt aber nur für hohe Temperaturen.
3.6.2
Verbesserung des Modells durch Einstein (1907)
Einstein setzt in seinem Modell voraus, daß alle Oszillatoren die gleiche Frequenz ω haben. Die mittlere
Energie je Oszillator sei wie im Hohlraum gemäß (II.46)
~ω
hεi =
e
~ω
kB T
.
(II.67)
−1
Zugrunde liegen hier die gleichen Vorstellungen wie bei der Hohlraumstrahlung. Die Energie der Oszillatoren ist quantisiert:
εl = l~ω
(II.68)
Damit ergibt sich aus (II.64)
~ω
U = 3N
e
~ω
kB T
(II.69)
−1
und
cV =
∂U
∂T
V
cV = 3N kB
Sei D =
~ω
kB ,
~ω
− B~ωT 2 e kB T
= −3N ~ω k~ω
2
e kB T − 1
~ω
kB T
(II.70)
~ω
2
e kB T
~ω
e kB T − 1
2
.
(II.71)
dann ist
cV = 3N kB
D
T
2
h
cV = 3N kB
D
eT
D
e 2T
D
2T
2
D
D
e 2T − e− 2T
1
sinh2
i2
(II.72)
.
(II.73)
(Dulong-Petit)
(II.74)
D
2T
Als Grenzfälle folgen: D T
cV = 3N kB
3.7 Radioaktivität
DT
27
D
1 D
≈ e 2T
2T
2
2
D
D
cV = 3N kB
e− T → 0
T
(II.75)
sinh
(II.76)
Die Übereinstimmung mit dem Experiment ist qualitativ
gegeben, aber nicht sehr gut.
Eine befriedigende Theorie wurde 1912 durch Debye entwickelt. Der Quantisierungsgedanke blieb unverändert, aber
ω=const. wurde aufgegeben. Für verschiedene ω ergeben
sich dann verschiedene Modendichten ähnlich wie im Hohlraum.
CV
Experiment
Einstein
D
T
3.7
Radioaktivität
Der spontane Zerfall von Atomkernen, die eine gewisse Zeit stabil vorlagen ist klassisch nicht erklärbar.
Im Rahmen der Quantentheorie gab Gamow später eine Erklärung aufgrund des Tunneleffektes.
28
II. Grenzen der klassischen Physik
Kapitel III
Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
Bei einigen unter II.3 behandelten Phänomenen wurde offensichtlich, dass bis dahin sichere Wellenerscheinungen nun einer Teilchenbeschreibung bedurften, um die Ergebnisse verständlich machen zu können. Die
Schwarz-Körper-Strahlung und der Photoelektrische Effekt konnten im Bild elektromagnetischer Wellen
nicht erklärt werden. Erst eine Teilchenvorstellung - das Photon - schien brauchbar.
Umgekehrt gibt es Experimente mit Teilchen, die offensichtlich Wellencharakter hatten. Einige sollen
genannt sein.
1
Experimente
• 1927, Davisson u. Germer:
Bragg-Reflexion von Elektronen an Ni-Einkristalloberflächen
Θ
Θ
d
• 1928, Thomson u.a.:
Debye-Scherrer-Ringe durch Beugung von Elektronen an polykristallinem Material
• 1929, Stern
Kristallbeugungsexperimente mit monoenergetischen Strahlen von He-Atomen und H2 -Molekülen,
Bestätigung der de Broglie-Beziehung
• ähnliche Beugungsexperimente mit Protonenstrahlen, langsamen Neutronenstrahlen wie sie in heutigen Kernreaktoren erzeugt werden.
Die Experimente zeigen klar, dass die Wellenstruktur nicht auf Elektronen beschränkt ist, sondern dass
es sich um eine allgemeine Eigenschaft materieller Objekte handelt.
2
Brückenbau zwischen Teilchen- und Wellentheorie
Die dualistischen Ergebnisse sind im Rahmen der klassischen Theorien nicht geeignet beschreibbar. Bei
scheinbar offensichtlichen Teilchenexperimenten versagt die Teilchentheorie (Mechanik), und bei scheinbar
offensichtlichen Wellenexperimenten versagt die Wellentheorie (Elektrodynamik), während die jeweils
andere Theorie besser zur Interpretation geeignet scheint.
Eine neue Theorie, die beides umfaßt, muß erraten“ werden. Um dieses Erraten“ zu erleichtern, suchen
”
”
wir nach Ansätzen für Teilchenbeschreibungen in der Elektrodynamik sowie für Wellenbeschreibungen in
der Mechanik.
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
30
Innerhalb der Elektrodynamik ist es die geometrische Optik, die mit ihren Strahlen die Trajektorien
von Teilchen assoziiert. Innerhalb der Mechanik ist es die Hamilton-Jacobi-Beschreibung, die mit ihrer
Wirkungsfunktion eine Wellenfront assoziiert.
2.1
Eikonalgleichung der geometrischen Optik
Um die geometrische Optik anwenden und von der Ausbreitung eines Strahls sprechen zu können, ist
es notwendig, dass die Eigenschaften des optischen Mediums zeitunabhängig und räumlich nur schwach
veränderlich innerhalb einer Wellenlänge λ sind. Somit gilt
∂t ε = 0,
ε
,
λ
|∂x ε| ∂t µ = 0,
|∂x µ| µ
λ
.
(III.1)
Die Maxwell-Gleichungen im ladungs- und stromfreien Medium
∂x × H = ∂t D,
∂x × E = −∂t B,
∂x B = 0
(III.2)
∂x D = 0
(III.3)
und die Materialgleichungen
D = ε0 εE,
B = µ0 µH,
(isotrop)
(III.4)
ergeben
∂x2 E −
n2 2
∂ E = −∂x (E∂x ln ε) − ∂x ln µ × ∂x × E
c2 t
.
Die rechte Seite ist aber von der Ordnung O λ1 während die linke Seite O
Wellengleichung wie in homogenen und isotropen Isolatoren
∂x2 E −
n2 2
∂ E=0 .
c2 t
(III.5)
1
λ2
ist. Folglich gilt die
(III.6)
Es gilt aber trotzdem n = n(x) wegen n2 = ε(x)µ(x).
Im streng homogenen Medium folgt die gut bekannte Lösung
Ej = Ej0 ei(kx−ωt)
(III.7)
mit der Dispersionsbeziehung
k2 =
n2 2
ω
c2
und
k ≡ |k| =
(III.8)
2π
λ
.
k0 =
2π
;
λ0
Weiterhin schreiben wir
k = nk0 ,
(III.9)
(III.10)
k0 , λ0 stellen die Wellenzahl bzw. Wellenlänge dar, die die Welle im Vakuum annehmen würde. Jetzt
führen wir noch den Einheitsvektor der Ausbreitungsrichtung ŝ ein und können dann schreiben
k = kŝ = k0 nŝ
(III.11)
und
Ei = Ei0 eik0 (nŝ x−ct) ,
i = 1, 2, 3
(III.12)
2.2 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassischen Mechanik
31
Die Größe L = nŝ x ist die optische Weglänge oder das Eikonal .
Im schwach inhomogenen Medium wird nun für den optischen Weg allgemein L(x) angesetzt und die
Amplitude wird ebenfalls variabel zugelassen, so dass
Ei = Ei0 (x)eik0 (L(x)−ct)
(III.13)
zu schreiben ist. Die reelle Amplitude wird substituiert durch A = ln Ei0 , so dass
Ei = eA(x)+ik0 (L(x)−ct)
(III.14)
in die Wellengleichung einzusetzen ist. Es folgt
∂x Ei = ∂x A + ik0 ∂x L eA+ik0 (L−ct)
o
n
∂x2 Ei = ∂x2 A + ik0 ∂x2 L + (∂x A + ik0 ∂x L)2 eA+ik0 (L−ct)
(III.15)
(III.16)
und somit
∂x2 Ei −
n
o
n2 2
2
2
2
2
2
2 2
∂
E
=
∂
A
+
ik
∂
L
+
(∂
A)
+
2ik
∂
A∂
L
−
k
(∂
L)
+
k
n
eA+ik0 (L−ct) = 0
i
0
x
0
x
x
x
x
x
0
0
c2 t
(III.17)
Wir benutzen nun die schwache Abhängigkeit von A und L von x. Mathematisch wird dies durch λ0 → 0
beschrieben, was gerade dem Bild der geometrischen Optik entspricht. So folgt die Eikonalgleichung
der geometrischen Optik
2
∂ x L = n2 ,
(III.18)
bzw.
∂x L = n,
oder
∂x L = nŝ
ZP2
L=
(III.19)
ZP2
nŝ dx =
P1
n ds
.
(III.20)
P1
Die optische Weglänge L ist damit wie eine Trajektorie auffaßbar, entlang der sich die Photonen quasimechanisch ausbreiten.
Beweis: siehe M. Kline, J.W. Kay, Electromagnetic theory and geom. Opt., p. 70-72
2.2
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassischen Mechanik
Im Fokus der Hamilton-Jacobi-Theorie steht die Wirkungsfunktion S, auch Hamiltonsche Prinzipalfunktion oder Erzeugende 1 genannt. Diese Funktion ist über die Lage- und Impulskoordinaten eines
Teilchens hinaus interpretierbar, und man kann ihr z. B. Phasenflächen zuschreiben, die eine Assoziation
zum Wellenbild herstellen.
Wir rufen uns die wichtigen Schritte der Theorie in Erinnerung und setzen dazu bei den Hamiltonschen
Kanonischen Gleichungen
ṗk = −∂qk H,
q̇k = ∂pk H
(III.21)
mit
H(pk , qk , t) =
X
q̇k pk − L(qk , q̇k , t)
k
1 Erzeugende
bzgl. der kanonischen Transformationen, auf die hier nicht eingegangen werden soll.
(III.22)
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
32
an.
Zugrunde liegt diesen Gleichungen das Hamiltonsche Prinzip
Zt
δ
Zt
L dt = δ
t0
t0
!
X
dt0 = 0 .
q̇k pk − H
(III.23)
k
Der Integrand ist nicht eindeutig festgelegt; eine additive totale zeitliche Ableitung einer Funktion S ist
ohne Einflußauf das Extremum, solange die Variationen bei t0 , t verschwinden. Wir setzen
X
q̇k pk − H =
k
dS
dt
,
(III.24)
wobei S = S(qk , t, qk0 , t0 ) ist. Bei t0 und t verschwinden die Variationen der qk0 , qk beim Hamilton-Prinzip
immer. Ausführen der totalen Ableitung ergibt
X
X
q̇k pk − H(qk , pk , t) =
∂qk S · q̇k + ∂t S .
(III.25)
k
k
Vergleich der Koeffizienten von q̇k ergibt
pk = ∂qk S
(III.26)
und es verbleibt
∂t S + H(qk , pk , t) = 0
.
(III.27)
Zusammengefaßt folgt die Hamilton-Jacobi-Gleichung
∂t S + H(qk , ∂qk S, t) = 0 .
(III.28)
S hat die Dimension einer Wirkung; sie wird durch diese partielle Differentialgleichung 1. Ordnung bestimmt.
Bemerkung: Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung löst man mit der CharakteristikenMethode. Die Charakteristiken der Hamilton-Jacobi-Gleichung sind gerade die Hamiltonschen
Gleichungen.
Von besonderem Interesse ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung wenn die Hamiltonfunktion nicht explizit
von der Zeit abhängt, also
∂t S + H(qk , ∂qk S) = 0
(III.29)
gilt. Der Separationsansatz
S(qk , t) = W (qk ) − βt,
β = const.
(III.30)
führt auf
H(qk , ∂qk W ) = β
.
(III.31)
Wenn das System konservativ ist, ist eine der Integrationskonstanten die Energie U . Dann gilt U = β
und somit
H(qk , ∂qk W ) = U .
(III.32)
Soweit die Erinnerung an die Hamilton-Jacobi-Theorie.
2.2 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassischen Mechanik
33
S und W sollen nun interpretiert werden für ein System aus einem Teilchen, bei dem H nicht explizit
von der Zeit abhängt, also
S(x, t) = W (x) − U t .
(III.33)
S=const. beschreibt Flächen im R3 , die sich ausbreiten. Die Flächen können wir als Wellenfronten auffassen. W =const. beschreibt feststehende Flächen im R3
Ein Wert S=const. der Wirkungsfunktion wandert im
laufe der Zeit von einer W -Fläche zur anderen.
W=b+Udt
W=a+Udt
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfronten S=const.
folgt über dS = 0 aus
W=b
dS = ∂x Sdx + ∂t Sdt =
(III.34)
|∂x S|ds + ∂t Sdt = 0
zu
W=a
S(dt)=b
∂t S
U
ds
=−
=
,
vs =
dt
|∂x S|
∂x W
(III.35)
∂x S
ŝ =
|∂x S|
v s = vs ŝ,
S(dt)=a
(III.36)
S(0)=b
S(0)=a
Das Teilchen bewege sich im Potential Vb . Dann gilt
H=
und weiter
p2
+ Vb ,
2m
pi = ∂qi S = ∂xi W
1
2
(∂x W ) + Vb = U
2m
2
(∂x W ) = 2m(U − Vb ) = 2mTb = p2 ,
(III.37)
(III.38)
p = |p| .
(III.39)
Es folgt
vs = p
U
2mTb
=
U
U
=
,
p
mvT
vT = Teilchengeschwindigkeit.
(III.40)
Besonders beachten wollen wir hier die Analogie in den Gleichungen zur Wirkungsausbreitung und der
Eikonalgleichung der Geometrischen Optik, die die Strahlausbreitung beschreibt:
2
(∂x W ) = p2
,
(III.41)
2
.
(III.42)
(∂x L) = n2
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung wird mitunter auch als die Eikonalgleichung des Materiefeldes bezeichnet.
Zusammenfassend zu diesem Abschnitt ist festzustellen, dass die Hamilton-Jacobi-Theorie neben der
Teilchengeschwindigkeit vT eine weitere charakteristische Geschwindigkeit vS beinhaltet:
U
vS = q
2m(U − Vb )
r
vT =
2
(U − Vb )
m
(III.43)
(III.44)
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
34
Die Vermutung liegt nahe, dass diese Geschwindigkeiten mit der Phasen- bzw. Gruppengeschwindigkeit
ihr Gegenstück im Wellenbild finden.
Wir weisen noch auf folgenden interessanten Zusammenhang hin:
v S · vT =
U
m
bzw.
m vS vT = U
(III.45)
Man vergleiche mit m · c2 = U .
Insbesondere gilt für ein freies Teilchen (Vb ≡ 0)
r
p
U
=
,
vS =
2m
2m
also
vS =
3
r
vT =
1
vT
2
p
2U
=
m
m
.
(III.46)
(III.47)
Materiewellen
Nach den Vorbereitungen in den beiden vorhergehenden Abschnitten, in denen die Teilchentrajektorien in
Form der Eikonalgleichung aus den Maxwell-Gleichungen auf der einen Seite und Wellenfronten aus der
Hamilton-Jacobi-Gleichung für ein Teilchen auf der anderen Seite ableitet wurden, soll nun der nächste
Schritt zur Zusammenführung gegangen werden.
Wir betrachten dazu ein kräftefreies Teilchen (z.B. ein Elektron). Wir suchen nach einer Beschreibung,
die der Dualität gerecht wird, also sowohl der Korpuskel- als auch der Wellenvorstellung Rechnung trägt.
1. Versuch: Teilchen durch ebene Welle beschreiben:
Ψ(x, t) = A · ei(k x−ωt) ,
kkv T ,
A = const.
(III.48)
v T : Teilchengeschwindigkeit
(III.49)
2π
(III.50)
λ
Die ebene Welle ist jedoch unendlich ausgedehnt und eine äquivalenz zur Lokalität des Teilchens
ist nicht vorstellbar.
k = |k|
2. Versuch: Teilchen durch ein Wellenpaket beschreiben:
Z
0
0
Ψ(x, t) = A(k 0 )ei[k x−ω(k )t] d3 k 0
(III.51)
Die spezielle Struktur der räumlichen Verteilung wird durch die spezielle Wahl von A(k 0 ) bestimmt.
Für eine ebene Welle wäre A(k 0 ) eine δ-Funktion bei k. Wir betrachten jetzt ein A(k 0 ), das auch in
einer Umgebung von k nicht verschwindet.
3 Materiewellen
35
In der Umgebung von k kann ω(k 0 ) entwickelt werden:
ω(k 0 ) = ω(k) + ∂k ω(k 0 − k) .
Die Substitution k 00 = k 0 − k liefert
Z
00
00
Ψ(x, t) = A(k 00 +k)ei[(k +k)x−ω(k)t−∂k ωk t] d3 k 00 (III.53)
Z
Ψ(x, t) =
Ã(k 00 )eik
00
(x−∂k ωt) 3 00 i(k x−ω(k)t)
d k e
Ψ(x, t) = Ã(x, t)ei(k x−ω(k)t)
.
A(k’)
(III.52)
(III.54)
(III.55)
Wir führen noch folgende Umformung durch:
Mit k̂ := k/k und k̂ · k̂ = 1 folgt
ω k x − ω(k) t = k̂ k x − ω k̂ k̂ t = k̂ k x − k̂ t
k
ω = k x − k̂ t
.
(III.56)
k
vP h =
ω
· k̂,
k
k
(x,t)
Dieses Paket besteht aus einer Trägerwelle ei(k(x−vP h t)) mit
der Phasengeschwindigkeit
k’
(III.57)
und einer Amplitude A(x, t), die die Trägerwelle moduliert
und damit die räumliche Lokalisierung des Wellenpaketes
beschreibt.
x
Die Einhüllende A bewegt sich aber mit der Gruppengeschwindigkeit
v G = ∂k ω .
(III.58)
Nun stellen wir die Verbindung zu den Teilchenparametern
her.
Es ist naheliegend, die Gruppengeschwindigkeit mit der Teilchengeschwindigkeit v T zu identifizieren und
die Phasengeschwindigkeit mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v S der Wirkungsflächen S=const :
vG
= vT
(III.59)
vP h
= vS
(III.60)
vG
= vT
(III.61)
vP h
= vS
(III.62)
ω
k
und
Betragsbildung liefert
wobei
vPh =
vG = ∂k ω.
Die letzte Formel ergibt sich aus
vG =
∂ω
∂ω ∂k
∂ω
=
=
k̂
∂k
∂k ∂k
∂k
.
(III.63)
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
36
Setzen wir die aus der Mechanik bekannten Größen ein, so folgt
p
m
,
(III.64)
ω
p
=
k
2m
.
(III.65)
∂k ω =
Elimination von
p
m
ergibt eine Differentialgleichung für ω(k) zu
∂k ω = 2
ln ω = 2 ln k + ln
ω
k
(III.66)
dk
dω
=2
ω
k
1
ln
= Integrationskonstante.
2µ
1
,
2µ
(III.67)
(III.68)
mit der Lösung
ω(k) =
k2
2µ
(Dispersionsrelation kräftefreier Materiewellen).
(III.69)
Diese Beziehung oben wiederum eingesetzt liefert
p
k
=
µ
m
bzw.
p=
m
·k
µ
(III.70)
und wegen
U=
p2
2m
(III.71)
folgt
U=
m2 2 1
m
k
=
·ω
µ2 2m
µ
.
(III.72)
Hier erkennen wir schon die de Broglie-Beziehung
p = ~k,
wenn man
m
µ
U = ~ω
,
(III.73)
= ~ setzt.
Wir können jetzt wieder zu Vektoren übergehen und erhalten
ω(k) =
~ 2
k ,
2m
p = ~k,
U = ~ω =
p2
2m
.
(III.74)
Der Ansatz eines Wellenpaketes Ψ(x, t) zur Beschreibung der Dualität scheint erfolgversprechend. Der
tatsächliche Erfolg ist daran zu messen, ob eine Materiefeldgleichung für Ψ zu finden ist.
4 Konzept für die Materiefeldgleichung (Schrödinger-Gleichung)
4
37
Konzept für die Materiefeldgleichung (Schrödinger-Gleichung)
Für die Konstruktion der Schrödinger-Gleichung stehen folgende Anhaltspunkte zur Verfügung.
1. Linearität: Interferenzerscheinungen machen es notwendig, dass Ψ1 + Ψ2 eine Lösung ist, falls Ψ1
und Ψ2 Lösungen sind.
2. Homogenität: Materie hat keine Senken oder Quellen.
3. Einfachheit: Die Differentialgleichungen der Mechanik und Elektrodynamik sind von 2. Ordnung.
Es wird versucht, für die Schrödinger-Gleichung auch auf höhere Ordnungen zu verzichten.
4. Grenzfälle: Als gewisse Grenzfälle sollen die Hamilton-Jacobi-Gleichung als Eikonalgleichung des
Materiefeldes sowie die Erhaltung des Materieflusses enthalten sein.
Dies führt auf folgenden Ansatz:
a + ba ∂xa + b0 ∂t + cab ∂xa ∂xb + ck0 ∂xa ∂t + c00 ∂t2 Ψ = 0
(III.75)
Alle Koeffizienten sind Funktionen von x und t:
a = a(x, t),
b0 = b0 (x, t)
usw.
(III.76)
Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention. Wir zerlegen in Real- und Imaginärteile:
a = a0 + ia00 ,
b0 = b00 + ib000
Ψ(x, t) = A(x, t)eiG(x,t) ,
usw.
(III.77)
reell
(III.78)
A, G
Zwischenrechnungen:
∂xa ∂xb Ψ
∂t2 Ψ
∂xa ∂t Ψ
∂xa Ψ
=
(∂xa A + i∂xa G · A) eiG
(III.79)
∂t Ψ
=
(∂t A + i∂t G · A) eiG
(III.80)
(∂x ∂x A + i∂xa ∂xb G · A + i∂xa G∂xb A + i∂xa A∂xb G − ∂xa G∂xb G · A) eiG
a b
2
=
∂t2 A + i∂t2 G · A + 2i∂t G · ∂t A − (∂t G) A eiG
=
=
(∂xa ∂t A + i∂xa ∂t G · A + i∂xa G∂t A + i∂xa A∂t G − ∂xa G∂t G · A) eiG
(III.81)
(III.82)
(III.83)
Realteil:
1
1
1
∂x A − b00a ∂xa G + b00 ∂t A − b000 ∂t G + c0ab ∂xa ∂xb A − c0ab ∂xa G∂xb G
A a
A
A
1
1
1
− c00ab ∂xa ∂xb G − c00ab ∂xa G ∂xb A − c00ab ∂xa A∂xb G + c0k0 ∂xa ∂t A − c0k0 ∂xa G∂t G
A
A
A
1
1
1
2
− c00k0 ∂xa ∂t G − c00k0 ∂xa G ∂t A − c00k0 ∂xa A∂t G + c000 ∂t2 A − c000 (∂t G)
A
A
A
1
− c0000 ∂t2 G − 2c0000 ∂t G ∂t A = 0
A
a0 + b0a
(III.84)
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
38
Imaginärteil:
1
1
1
∂xa A + b0a ∂xa G + b00 ∂t G − b000 ∂t A + c0ab ∂xa ∂xb G + c0ab ∂xa G ∂xb A
A
A
A
1
00 1
00
0
0
0 1
+ cab ∂xa A∂xb G + cab ∂xa ∂xb A − cab ∂xa G∂xb G + ck0 ∂xa ∂t G + ck0 ∂xa G ∂t A
A
A
A
1
0 1
00 1
00
0
2
0
+ ck0 ∂xa A∂t G + ck0 ∂xa ∂t A − ck0 ∂xa G∂t G + c00 ∂t G − c00 2∂t G ∂t A
A
A
A
2
00 1 2
00
+ c00 ∂t A − c00 (∂t G) = 0
A
a00 + b00a
(III.85)
Die Anhaltspunkte (1.-3.) sind damit eingearbeitet.
Es ist nun der Vergleich mit den Grenzfällen vorzunehmen.
• Die dimensionslose Phase G soll im Grenzfall kleiner Wellenlängen mit dem Eikonal S des Materiefeldes, das der Hamilton-Jacobi-Gleichung genügt, verknüpft werden. Da S die Dimension einer
Wirkung hat, liegt im Grenzfall die Entsprechung
G(x, t) =
1
S(x, t)
~
(III.86)
nahe.
• Die Hamilton-Jacobi-Gleichung für ein Teilchen im Potential Vb (x) lautet
∂t S +
2
1
∂x S + Vb (x) = 0
2m
(III.87)
2
~2
∂x G + Vb = 0
2m
(III.88)
bzw.
~∂t G +
Diese Gleichung wird als ein Grenzfall erwartet.
• Die Erhaltung des Materieflusses wird durch eine Kontinuitätsgleichung für die Dichte ρ(x, t) und
die Flußdichte j(x, t) beschrieben. Sie lautet
∂t ρ + ∂x j = 0 .
Die Flußdichte ist wiederum
j = ρ · vT = ρ
p
ρ
= ∂x S
m
m
(III.89)
.
(III.90)
Die Kontinuitätsgleichung lautet damit
∂t ρ +
1
ρ
1
∂x (ρ∂x S) = ∂t ρ + ∂x2 S + ∂x ρ∂x S = 0 .
m
m
m
(III.91)
Als Zusammenhang zwischen der Dichte ρ und dem Materiefeld Ψ ist
Ψ∗ Ψ = A2 = const. · ρ
(III.92)
naheliegend. Dann sollte im Grenzfall
2A∂t A +
A2 2
~
~∂ G + 2A∂x A∂x G = 0
m x
m
(III.93)
4 Konzept für die Materiefeldgleichung (Schrödinger-Gleichung)
39
bzw.
~2 1
1
~2 2
− ~ ∂t A −
∂x G −
∂x A · ∂x G = 0
A
2m
mA
gelten. Diese Gleichung wird somit als zweite Grenzfallgleichung erwartet.
(III.94)
Wenn man nun die Koeffizienten des Ansatzes wie folgt wählt
a0 = V
b0k = 0
c0kl = −
~2
δkl
2m
b00k = 0
c00kl = 0
c000 = 0
c0000 = 0
b00 = 0
c0k0 = 0
b000 = −~
(III.95)
c00k0 = 0
(III.96)
a00 = 0
(III.97)
so reduziert sich der Realteil auf
~2
~∂t G −
2m
∂x2 A
− (∂x G)2
A
!
+V =0
(III.98)
und der Imaginärteil auf
−~
~2 2
~2 ∂x A
∂t A
−
∂x G −
∂x G = 0 .
A
2m
m A
Die Grenzfallgleichungen werden damit bereits weitgehend dargestellt bis auf den Term
ersten Gleichung. Im Grenzfall λ → 0 wird aber
∂2A 2
x ∂x G
A 2
da G = k x − ωt und ∂x G = k 2 =
Grenzfall konsistent.
2π 2
λ
(III.99)
1 2
A ∂x A
in der
(III.100)
→ ∞ gilt. Die obige Koeffizientenwahl ist also mit dem
Setzen wir die ermittelten Koeffizienten in den Ansatz ein, so folgt die Schrödinger-Gleichung
− i~∂t Ψ −
~2 2
∂ Ψ + Vb Ψ = 0
2m x
(III.101)
für das komplexe Materiefeld Ψ.
Bemerkungen:
• Die Überlegungen des Abschnitts sind keine Herleitung der Schrödinger-Gleichung. Unser
Konzept könnte falsch sein, insbesondere (3.) ist nicht scharf faßbar. Vielleicht ist obige
Gleichung doch zu einfach.
• Die Brauchbarkeit der Schrödinger-Gleichung hat sich bisher an einer Vielzahl von Anwendungen herausgestellt. Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung stimmen hochpräzise
mit experimentellen Aussagen überein.
• Unklar ist zunächst noch die Interpretation von Ψ.
40
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
Kapitel IV
Wellenmechanik
1
Grundgleichung
Als Grundgleichung der Wellenmechanik wird die Schrödinger-Gleichung postuliert:
HΨ = i~∂t Ψ .
(IV.1)
Sie ist das Axiom der Wellenmechanik. H ist der Hamilton-Operator des Systems. Ψ ist die Wellenfunktion.
2
Interpretation der Wellenfunktion
Die Interpretation von Ψ war lange Zeit ein Gegenstand heftiger Kontroversen. Heute vertreten die
Physiker mehrheitlich die unten angegebene Form der Interpretation. Die Auseinandersetzung über die
Interpretation der Quantentheorie generell ist nach wie vor in vollem Gange.
Die heutige Interpretation geht auf Max Born (1926) zurück, die durch die Kopenhagener-Schule um
Niels Bohr weiter ausgebaut wurde. Born schlug vor
2
|Ψ(x, t)| dV
(IV.2)
als Wahrscheinlichkeit zu betrachten, dass durch Ψ(x, t) beschriebene Teilchen zur Zeit t bei x im Volumen
dV = dx1 dx2 dx3 zu finden, also
2
P (x, t)dV = |Ψ(x, t)| dV .
(IV.3)
Damit diese Deutung stimmt, muss
Z
2
|Ψ(x, t)| dV = 1
(IV.4)
gelten, also das Teilchen mit Sicherheit irgendwo im Universum sein. Ψ muss eine quadratisch integrable
Funktion sein. Sie muss insbesondere für |x| → ∞ genügend schnell abfallen.
Die Phasen der komplexen Wellenfunktion Ψ scheinen in dieser Überlegung keine Rolle zu spielen. Dies
trifft allerdings nicht zu.
Wir betrachten zwei Lösungen Ψ1 (x, t) = R1 eiθ1 und Ψ2 (x, t) = R2 eiθ2 . Da die Schrödinger-Gleichung
linear ist, ist auch Ψ = Ψ1 + Ψ2 Lösung. Dann gilt
2
2
2
|Ψ(x, t)| = |Ψ1 (x, t) + Ψ2 (x, t)| = R1 (x, t)eiθ1 (x,t) + R2 (x, t)eiθ2 (x,t) (IV.5)
2
= eiθ1 R1 + R2 ei(θ2 −θ1 ) (IV.6)
42
IV. Wellenmechanik
= R12 + R22 + R1 R2 ei(θ2 −θ1 ) + R1 R2 e−i(θ2 −θ1 )
(IV.7)
= R12 + R22 + 2R1 R2 cos (θ2 − θ1 ) .
(IV.8)
Ein insgesamt wirkender Phasenfaktor geht nicht ein, jedoch die relative Phase θ2 − θ1 . Diese beschreibt
gerade die Interferenz.
Es ist noch zu zeigen, dass die Normierungsbedingungen für jeden Zeitpunkt erfüllt ist, wenn sie für t = 0
erfüllt ist.
Es ist
∂t P (x, t) = ∂t Ψ∗ · Ψ + Ψ∗ ∂t Ψ
~2 2
1
−
∂ + V̂ Ψ
∂t Ψ =
i~
2m x
1
~2 2
∂ t Ψ∗ = −
−
∂x + V̂ Ψ∗ (V̂ = V̂ ∗ )
i~
2m
2
1
~ 2 ∗
~2 2
∗ 1
∂t P = −
−
∂ Ψ ·Ψ +Ψ
−
∂ Ψ
i~
2m x
i~
2m x
~
∂x ∂x Ψ∗ · Ψ − Ψ∗ ∂x Ψ
=
i2m
(IV.9)
(IV.10)
(IV.11)
(IV.12)
(IV.13)
Wir definieren jetzt die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
j=
~
Ψ∗ ∂x Ψ − Ψ∂x Ψ∗
i2m
,
(IV.14)
woraus
∂t P = −∂x j
(IV.15)
∂t P + ∂x j = 0
(IV.16)
bzw.
folgt. Die Wahrscheinlichkeit genügt einer Kontinuitätsgleichung. Anwendung des Gaußschen Satzes liefert
Z
I
(IV.17)
∂t P dV + j dS = 0 .
V
S
S ist die Oberfläche von V und liegt im Unendlichen. Dort ist aber j = 0, so dass
Z
∂t |Ψ|2 dV = 0
(IV.18)
gilt. Diese Eigenschaft untermauert die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Ψ-Funktion.
Wenn die Schrödinger-Gleichung gelöst ist und somit auch P (x, t) bekannt ist, können Erwartungswerte
physikalischer Größen bestimmt werden. Für den Erwartungswert hf i einer Größe f (x) gilt allgemein
Z
hf i = f (x)P (x, t)dV.
(IV.19)
Im Vorgriff auf spätere Verallgemeinerungen schreiben wir um zu
Z
hf i = Ψ∗ (x, t)f (x)Ψ(x, t)dV
.
(IV.20)
Für die Berechnung des Erwartungswertes hpi des Impulses eines Teichens, kann diese Formel nicht
unmittelbar angewandt werden. Zunächst gilt
p = mv = m
dx
dt
.
(IV.21)
2 Interpretation der Wellenfunktion
43
Nun folgt
Z
Z
d
d
∗
Ψ xΨdV = m (∂t Ψ∗ · xΨ + Ψ∗ x∂t Ψ) dV
hpi = m hxi = m
dt
dt
Z ~2 2
~2 2
1
−
∂x + V Ψ∗ xΨ − Ψ∗ x −
∂x + V Ψ dV
= −m
i~
2m
2m
o
2 Z n
1 −~
= −m
∂x2 Ψ∗ · xΨ − Ψ∗ x∂x2 Ψ dV
i~ 2m
Z n
o
~
=
∂x2 Ψ∗ · xΨ − Ψ∗ x∂x2 Ψ dV .
2i
Der Integrand läßt sich umformen in
∂x2 Ψ∗ · xΨ − Ψ∗ x∂x2 Ψ = ∂x ∂x Ψ∗ Ψ ⊗ x − Ψ∗ ∂x Ψ ⊗ x − Ψ∗ Ψδ + 2Ψ∗ ∂x Ψ
mit

1
δ = δij = 0
0
0
1
0

0
0
1
.
(IV.22)
(IV.23)
(IV.24)
(IV.25)
(IV.26)
(IV.27)
Somit folgt unter Verwendung des Gaußschen Satzes und der gleichen Argumentation wie oben
Z
Z
~
~
hpi =
(IV.28)
2Ψ∗ ∂x ΨdV = Ψ∗ ∂x ΨdV .
2i
i
Dadurch wird nahegelegt, dass der Impuls durch den Operator
p=
~
∂x
i
(IV.29)
darzustellen ist. Dies läßt sich sofort verallgemeinern zu
Z
~
hf (p)i = Ψ∗ (x, t)f ( ∂x )Ψ(x, t)dV
i
z. B.
hp2 i =
Z
Ψ∗ (−~2 ∂x2 )ΨdV
,
.
Wir gehen noch weiter und definieren für einen beliebigen Operator A die Eigenschaft
Z
hAi = Ψ∗ AΨdV ,
(IV.30)
(IV.31)
(IV.32)
wobei A vom Ort, Impuls und ggf. weiteren Teilchen- oder Systemparametern abhängen kann.
Kommen wir noch einmal zum Impulsoperator p = ~i ∂x zurück. Die Schrödinger-Gleichung (III.101)
können wir damit auch schreiben als
!
p2
+ V̂ (x) Ψ(x, t) = i~∂t Ψ(x, t) .
(IV.33)
2m
Aufgrund der Analogie zur Hamilton-Funktion eines Teilchens liegt es nahe, die Größe
p2
H=
+ V̂ =
2m
2
~
i ∂x
2m
+ V̂ = −
~2 2
∂ + V̂
2m x
(IV.34)
44
IV. Wellenmechanik
als Hamilton-Operator zu bezeichnen und die Schrödinger-Gleichung in der Form
HΨ = i~∂t Ψ
(IV.35)
zu schreiben. Damit ist auch der Weg vorgezeichnet, die Schrödinger-Gleichung für Mehrteilchensysteme
und komplexere Systeme zu verallgemeinern. Sie gilt in der angegebenen Form mit dem entsprechenden
Hamilton-Operator des Systems. Ψ ist dann das Materiefeld des Gesamtsystems. Bei einem N-TeilchenSystem ersetzen wir die Teilchenkoordinaten
x → x1 , x2 , . . . , xN
N
N
= x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 , . . . , xN
1 , x2 , x3
= x1 , x2 , . . . , x3N = xk ,
1
dV → dV . . . dV
N
= dx1 . . . dx3N
k = 1, . . . , 3N
;
(IV.36)
.
Der Phasenraum“ umfaßt offensichtlich nur die Ortskoordinaten der Teilchen. Seine Dimension ist halb
”
so großwie die des klassischen Phasenraumes.
3
Operatoren und Kommutatoren
In der Quantenmechanik wird eine physikalische Größe durch einen Operator repräsentiert. Ein Operator
kann dabei durchaus eine Funktion wie in der klassischen Mechanik sein. Als Beispiel sind Ort x oder
das Potential Vb (x) zu nennen, in dem sich ein Teilchen bewegt. Der Impuls p hingegen ist wie in IV.2
dargelegt durch einen Differentialoperator in der Form
p=
~
∂x
i
(IV.37)
darzustellen. Der Hamilton-Operator für ein Teilchen der Masse m ergibt sich zu
H=−
~2 2 b
∂ + V (x)
2m x
(IV.38)
und ist eine Kombination der genannten Operatoren. Operatoren sind allgemeinere Abbildungen als
multiplikative Funktionen.
Einer der wichtigen Unterschiede ist, dass zwei Operatoren i. a. nicht mehr unabhängig von der Reihenfolge
ihrer Wirkung das gleiche Resultat erzeugen. Exemplarisch betrachten wir dazu zwei Operatoren A und
B, die wir speziell
A=x
(IV.39)
~
∂x
i
wählen, und nacheinander auf Ψ wirken lassen. Es folgt
B=p=
(IV.40)
~
~
ABΨ = x ∂x Ψ = x∂x Ψ ,
i
i
BAΨ =
~
~
∂x xΨ = ((∂x x)Ψ + x∂x Ψ)
i
i
(IV.41)
,
(IV.42)
somit (AB − BA)Ψ = i~Ψ
oder AB − BA = i~I
.
Definition:
Die Größe [A, B] := AB − BA heißt Kommutator der Operatoren A und B. I ist der
identische Operator .
4 Das Ehrenfestsche Theorem
45
Der Kommutator ist selbst wieder ein Operator; um dies zu unterstreichen wird ggf. der identische
Operator I angefügt.
Insbesondere gilt
[xa , xb ] = 0,
[pa , pb ] = 0,
~
Iδab ,
i
[pa , xb ] =
a, b = 1, 2, 3.
(IV.43)
Zur Beschreibung eines quantenmechanischen Vielteilchensystems benutzen wir die generalisierten Koordinaten qk und Impulse pk , die natürlich Operatoren darstellen. Dann gelten analog die Kommutatoroder Vertauschungsregeln
[qk , ql ] = 0,
[pk , pl ] = 0,
[pk , ql ] =
~
δkl I
i
,
(IV.44)
wobei k, l = 1, 2, ..., f für ein System mit f Freiheitsgraden. Ist A ein Operator, der funktional von den
p’s und q’s abhängt, also
A = A (p1 , · · · , pf , q1 , · · · , qf )
(IV.45)
oder kurz geschrieben
A = A(pk , ql ) ,
(IV.46)
dann gilt
[qk , A] = i~∂pk A
[pk , A] = −i~∂qk A
,
(IV.47)
.
(IV.48)
Beweisskizze:
A wird in eine Potenzreihe nach pk und qk entwickelt. Die Kommutatorregeln für die Potenzen
der pk und qk sind durch vollständig Induktion zu beweisen (üA).
Insbesondere gilt für A = H
[qk , H] = i~∂pk H
,
[pk , H] = −i~∂qk H
(IV.49)
.
(IV.50)
Hier bietet sich der Vergleich mit der klassischen Mechanik an. In Poisson-Klammern-Schreibweise lauten
die Hamiltonschen Gleichungen
{qk , H} = ∂pk H = q˙k ,
(IV.51)
{pk , H} = −∂qk H = p˙k
,
(IV.52)
wobei die Poisson-Klammern wie folgt definiert sind:
X
{A, B} :=
(∂qk A∂pk B − ∂pk A∂qk B)
(IV.53)
k
4
Das Ehrenfestsche Theorem
A sei der einer physikalischen Größe zugeordnete Operator. Dann gilt nach (IV.32) für den Mittelwert
Z
hAi = Ψ∗ AΨdV .
(IV.54)
Zeitliche Differentiation liefert
dhAi
=
dt
Z
∂t Ψ∗ AΨdV +
Z
Ψ∗ A∂t ΨdV +
Z
Ψ∗ ∂t AΨdV
.
(IV.55)
46
IV. Wellenmechanik
Einsetzen der Schrödinger-Gleichung
∂t Ψ∗ = −
1
HΨ∗ ,
i~
∂t Ψ =
1
HΨ
i~
(IV.56)
ergibt
dhAi
1
=−
dt
i~
Z
1
HΨ AΨdV +
i~
∗
Z
Ψ∗ AHΨdV + < ∂t A >
.
(IV.57)
Der erste Term der rechten Seite wird umgeformt zu
Z
HΨ∗ AΨdV = −
~2
2m
Z
∂x2 Ψ∗ AΨdV +
Z
V Ψ∗ AΨdV
Z
Z
~2
∗ 2
Ψ ∂x AΨdV + Ψ∗ V AΨdV
=−
2m
Z
= Ψ∗ HAΨdV (2× partiell integriert) .
(IV.58)
(IV.59)
(IV.60)
So folgt
1
dhAi
=
dt
i~
Z
Ψ∗ [A, H]ΨdV + h∂t Ai .
(IV.61)
Wir wenden diese Form jetzt auf A = qk und A = pk an, die nicht explizit zeitabhängig sind. Dann ergibt
sich
Z
dhqk i
1
=
Ψ∗ [qk , H]ΨdV
(IV.62)
dt
i~
Z
dhpk i
1
=
Ψ∗ [pk , H]ΨdV .
(IV.63)
dt
i~
Die Kommutatoren werden durch die in IV.3 ausgerechneten Ausdrücke (IV.49) und (IV.50) ersetzt mit
dem Ergebnis
Z
dhqk i
= Ψ∗ ∂pk HΨdV = h∂pk Hi
(IV.64)
dt
Z
dhpk i
= − Ψ∗ ∂qk HΨdV = −h∂qk Hi .
(IV.65)
dt
Diese Bewegungsgleichungen für die Mittelwerte der Koordinaten qk und der kanonisch konjugierten
Impulse pk eines Quantensystems stellen das Ehrenfestsche Theorem dar. Es ist allgemein nicht richtig
zu sagen, dass die Mittelwerte hqk i und hpk i den Gesetzen der klassischen Mechanik gehorchen. Die
Mittelwerte hqk i und hpk i genügen den klassischen Bewegungsgleichungen nur in dem Maße, wie man auf
der rechten Seite die Mittelwerte der Funktionen durch die Funktionen der Mittelwerte ersetzen kann,
d. h.
h∂pk H(ql , pm )i durch ∂hpk i H(hql i, hpm i)
(IV.66)
usw.
Das gilt streng aber nur, wenn H ein Polynom höchstens zweiten Grades in pk und qk ist. Näherungsweise
ist das Ersetzen gerechtfertigt, wenn die Schwankungen um die Mittelwerte hqk i und hpk i klein sind, d. h.
bei makroskopischen Systemen.
5 Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation
5
47
Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation
Bevor wir die wohl bekannteste Beziehung der Quantentheorie - die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation - ableiten, sollten einige Vorbetrachtungen vorangestellt werden.
Im Abschnitt III.3 haben wir ein Teilchen durch ein Wellenpaket dargestellt. Unser Ansatz (III.51) war
Z
0
0
(IV.67)
Ψ(x, t) = A(k 0 )ei[k x−ω(k )t] dk10 dk20 dk30 .
Wir interessieren uns jetzt für die räumliche Struktur und setzen deshalb t = 0. Außerdem ist eine
eindimensionale Betrachtung ausreichend, also
Z
0
Ψ(x) = A(k 0 )eik x dk 0 .
(IV.68)
Ψ ist die Fouriertransformierte von A. Wir wählen
0
2
A(k 0 ) = A0 e−α(k −k0 )
.
(IV.69)
Die Breite beim Abfall der spektralen Intensität |A|2 auf 1/e ergibt sich zu
2
∆k = √
2α
.
(IV.70)
1/e
Die Substitution k = k 0 − k0 liefert
Z
Ψ(x) = A0
2
e−αk eikx dk eik0 x
.
(IV.71)
k
Das k-Integral ergibt
Z
e−αk
2
+ikx
Z
dk
=
Z
x2
2
e−α(k−i 2α ) dk e− 4α
x
x2
002
e−αk dk 00 e− 4α
Z
0002
x2
1
= √
e−k dk 000 e− 4α
α
r
π − x2
=
e 4α .
α
=
(IV.72)
Somit folgt
r
Ψ(x) = A0
π − x2 ik0 x
e 4α e
α
.
(IV.73)
Damit ist
π x2
(IV.74)
|Ψ(x)|2 = A20 e− 2α
α
ein um x = 0 lokalisiertes Wellenpaket. Die Breite des Wellenpaketes messen wir dort, wo die Intensität
auf 1/e abgefallen ist:
√
∆x = 2 · 2α .
(IV.75)
Folglich gilt die Relation
∆k · ∆x = 4 .
(IV.76)
48
IV. Wellenmechanik
Der exakte Wert der rechten Seite ist nicht wichtig, da bei der Breitenmessung sowieso eine gewisse
Willkür gegeben ist. Wichtig ist die Größenordnung
∆k · ∆x = O(1)
.
(IV.77)
Für eine ebene Welle gilt insbesondere ∆k → 0. Somit ist ∆x → ∞; eine ebene Welle ist nicht lokalisierbar
und somit haben wir sie auch nicht zur Beschreibung eines lokalisierten Teilchens herangezogen.
2
| |
Betrachten wir noch die de Broglie-Beziehung
p = ~k
1/e
,
(IV.78)
so erhalten wir
∆p · ∆x = O(~) .
(IV.79)
x
Die Unschärfen
des Ortes und des Impulses eines ein Teilchen darstellende Wellenpaketes sind somit nicht
unabhängig, sondern beziehen sich aufeinander.
Extremfälle:
Ebene Welle:
δ-Impuls:
∆k → 0, ∆x → ∞
∆k → ∞, ∆x → 0
Wir leiten nun die Unbestimmtheitsrelationen für ein eindimensionales Ein-Teilchen-Problem aus der
Schrödinger-Gleichung ab. Dazu wird die Varianz des eindimensionalen Ortsoperators x bzw. des eindimensionalen Impulsoperators p eingeführt über
rD
rD
E
E
∆x :=
(x − hxiI)
2
,
2
(p − hpiI)
∆p :=
Fı̈¿œr einen beliebigen Operator A gilt entsprechend
D
E
2
∆A2 := (A − hAiI) ,
bzw:
∆A :=
rD
2
(A − hAiI)
E
.
(IV.80)
(IV.81)
.
(IV.82)
Es ergibt sich
∆x2
∆x2
=
=
hx2 − 2xhxi + hxi2 Ii
hx2 i − 2hxihxi + hxi2
∆x2
=
hx2 i − hxi2
2
∆p
=
2
hp i − hpi
2
(IV.83)
.
(IV.84)
Als Abkürzungen benutzen wir die Operatoren
A = x − hxiI,
B = p − hpiI
.
(IV.85)
Es gilt
~
[A, B] = [x, p] = − I, hA2 i = ∆x2 , hB 2 i = ∆p2
i
.
(IV.86)
5 Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation
49
Ψ sei die Wellenfunktion des Systems. Mit
Φ := AΨ + iλBΨ,
λ reell
(IV.87)
gilt
J(λ)
Z
dxΦ∗ Φ ≥ 0
Z
dx(AΨ + iλBΨ)∗ (AΨ + iλBΨ)
:=
=
Z
=
(IV.88)
dx (AΨ)∗ (AΨ) + λ2 (BΨ)∗ (BΨ) + iλ(AΨ)∗ (BΨ) − iλ(BΨ)∗ (AΨ) .
Ziel ist es nun, die Operatoren A und B so in ihren Positionen zu verändern, dass sie immer zwischen Ψ∗
und Ψ stehen. Multiplikative Operatoren sind einfach umzustellen, Differentialoperatoren werden durch
partielle Integration in Position gebracht.
Für die Summanden gilt dann
Z
dx(AΨ)∗ (AΨ)
Z
=
dxAΨ∗ AΨ
Z
dxΨ∗ A2 Ψ = hA2 i = ∆x2
Z
Z
~
~
dx(BΨ)∗ (BΨ) =
dx − ∂x − hpi Ψ∗
∂x − hpi Ψ
i
i
Z
~
~
∂x − hpi
∂x − hpi Ψ
=
dxΨ∗
i
i
Z
=
dxΨ∗ B 2 Ψ = hB 2 i = ∆p2
Z
Z
∗
dx(AΨ) (BΨ) =
dxΨ∗ ABΨ
Z
Z
dx(BΨ)∗ (AΨ) =
dxΨ∗ BAΨ .
=
(IV.89)
(IV.90)
(IV.91)
(IV.92)
Zusammengefasst folgt
J(λ) = ∆x2 + λ2 ∆p2 + iλh[A, B]i = ∆x2 + λ2 ∆p2 + iλh[x, p]i ≥ 0.
(IV.93)
Das Minimum von J wird angenommen bei
∂λ J = 0 = 2λ∆p2 + ih[x, p]i ,
d. h.
λ = −i
h[x, p]i
2∆p2
(IV.94)
.
(IV.95)
Eingesetzt ergibt sich
∆x2 −
h[x, p]i2
h[x, p]i2
+
≥0
2
4∆p
2∆p2
.
(IV.96)
Daraus folgt schließlich
1
∆x2 ∆p2 + h[x, p]i2 ≥ 0
4
(IV.97)
50
IV. Wellenmechanik
1
∆x2 ∆p2 ≥ − h[x, p]i2
4
∆x2 ∆p2 ≥
∆x∆p ≥
(IV.98)
1 2
~
4
(IV.99)
~
2
(IV.100)
Diese Beziehung ist wie folgt zu interpretieren: Bei der gleichzeitigen Bestimmung des Ortes x und des
Impulses p eines Teilchens existiert eine Genauigkeitsgrenze, die nicht unterschritten werden kann. Je
genauer der Ort x bestimmt wird, desto ungenauer ist der Impuls p bekannt und umgekehrt. Für ein
klassisches Teilchen sind natürlich Ort und Impuls bei gleichzeitiger Messung beliebig genau bestimmbar.
Die Genauigkeitsgrenze ist apparativ, aber nicht prinzipiell gegeben.
Die Unbestimmtheitsrelation trägt gerade dem Dualismus Rechnung. Ein quantenmechanisches ”Teilchen” erscheint in dem einen Experiment mehr als Welle, in dem anderen Experiment mehr als Teilchen.
Betrachten wir noch einmal die Beugungsexperimente mit freien Elektronen. Die Elektronen zeigen Welleneigenschaften und sind deshalb prinzipiell nicht lokalisierbar (∆x 6= 0). Ihr Impuls entspricht nicht
einem singulären Wert, da für ein Wellenpaket mehrere Wellenlängen und damit Impulsanteile überlagert sind. Würde im Grenzfall der Impuls tatsächlich scharf bestimmt werden können (∆p → 0), hätte
dies ∆x → ∞ zur Folge. Das Elektron würde sich in diesem Grenzfall wie eine ebene Welle verhalten,
diese hat gerade eine scharfe Wellenlänge und damit einen scharfen Impuls, ist aber nicht lokalisierbar.
6
Die zeitfreie Schrödinger-Gleichung
Wir betrachten ein Ein-Teilchen-System, das durch das stationäre Potential V̂ (x) und somit durch die
Schrödinger-Gleichung
(IV.101)
i~∂t Ψ(x, t) = HΨ(x, t)
mit
H=−
~2 2
∂ + V̂ (x)
2m x
(IV.102)
bestimmt ist.
Der Hamilton-Operator ist somit für ein stationäres Potential explizit zeitunabhängig. Wir lösen die
Schrödinger-Gleichung mit dem Separationsansatz
Ψ(x, t) = ϕ(x) · T (t)
(IV.103)
und erhalten
~2 2
∂x ϕ + V̂ · ϕ T
2m
∂t T
1
~2 2
i~
=
−
∂ ϕ + V̂ · ϕ = U (= const)
T
ϕ
2m x
−
i~ϕ∂t T =
(IV.104)
(IV.105)
woraus zum einen
i~
∂t T
=U
T
,
T = T0 e−i
Ut
~
= e−i
Ut
~
(IV.106)
(wir setzen T0 = 1, da konstante Faktoren zu ϕ geschlagen werden können) und zum anderen
~2 2
−
∂ + V̂
2m x
ϕ = Hϕ = U ϕ
(IV.107)
6 Die zeitfreie Schrödinger-Gleichung
51
folgt. Die Gleichung für ϕ ist die zeitfreie Schrödinger-Gleichung. Sie ist eine Eigenwert-Gleichung für den
Hamilton-Operator H. U ist ein Eigenwert und ϕ ist eine Eigenfunktion. I.a. hat H mehrere Eigenwerte
und Eigenfunktionen, also
Hϕn = Un ϕn , n = 1, 2, . . .
(IV.108)
Das Ausrechnen der Eigenwerte und Eigenfunktionen ist eine der Hauptaufgaben der Quantenmechanik.
Analytisch funktioniert die Lösung nur für relativ einfache Hamilton-Operatoren. Für komplexe H’s
sind zahlreiche Näherungsmethoden entwickelt worden. Wegen ∂t |ϕ|2 = ∂t |Ψ|2 = 0 heißen die Lösungen
stationär. Da
Z
Z
|ϕ|2 dV = |Ψ|2 dV = 1
(IV.109)
gilt, kommen für die ϕn quadratisch integrierbare Funktionen in Frage. Offensichtlich fügt sich das mathematische Problem bestens in das Kalkül des Hilbertraumes L2 (V ) ein. Da
Z
Z
∗
(Hϕ1 ) ϕ2 dV = ϕ∗1 Hϕ2 dV
(IV.110)
gilt, ist H ein hermitescher oder selbstadjungierter Operator, H = H + .
Beweis der Hermitezität von H:
• V̂ ist hermitesch, da dieser Operator als Faktor wirkt.
• Es verbleibt zu zeigen, dass der Laplace-Operator ∂x2 ≡ 4 hermitesch ist. Nach der
zweiten Greenschen Integralformel (vgl. Skript Mathematische Methoden (3.80)) gilt für
zwei beliebige skalare Funktionen Φ1 (x) und Φ2 (x)
Z
Z
(Φ1 4Φ2 − Φ2 4Φ1 ) dV = (Φ1 ∂n Φ2 − Φ2 ∂n Φ1 ) dS ,
(IV.111)
V
S
wobei ∂n Φ die Ableitung von Φ in Richtung der Normalen von dS bedeutet. Auf der
Oberfläche S des Volumens V , d.h. am Rand des Volumens, der auch im Unendlichen
liegen kann, verschwinden aber Φ1 und Φ2 . Somit gilt
Z
Z
Φ1 4Φ2 dV = 4Φ1 Φ2 dV
(IV.112)
V
bzw.
Z
V
Φ∗1 4Φ2 dV =
V
Z
(4Φ1 )∗ Φ2 dV
.
(IV.113)
V
q.e.d.
Wichtige Eigenschaften hermitescher Operatoren (und damit auch von H) sind:
1. Alle Eigenwerte Un sind reell. Die Menge der Un heißt Spektrum.
2. Die Eigenfunktionen ϕn bilden ein Orthogonalsystem. Sie sind normierbar und können als Orthonormalsystem betrachtet werden, also
Z
ϕ∗m ϕn dV = δmn .
(IV.114)
3. Das Orthonormalsystem der Eigenfunktionen ist vollständig. Eine beliebige Funktion Ψ(x, t) kann
nach den ϕn ‘s entwickelt werden:
X
i
Ψ(x, t) =
An ϕn (x) e− ~ Un t .
(IV.115)
n
52
IV. Wellenmechanik
Damit bildet das System der ϕn ’s eine Basis. Wir werden später bei der abstrakten Formulierung der
Quantenmechanik noch gewisse Erweiterungen vornehmen, die insbesondere das kontinuierliche Spektrum
der Eigenwerte einschließen.
7
Grenzbedingungen für die Wellenfunktion ψ
7.1
Übergangsbedingungen an einem Potentialsprung
F
R0
n
V̂ I
V̂ I 6= V̂ II
h
V̂ II
h
• Willkürliche Festlegung von n
• Quasi-Zylinder-Bereich
Frage: Wie verhält sich die Wellenfunktion ψ an einem Potentialsprung, d.h. wenn V̂ I 6= V̂ II ?
Ausgangspunkt sei die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte
∂t P + ∂x j = 0
mit
P = |ψ|2
(IV.116)
ψ ∗ ~i ∂x ψ
ψ ~i ∂x ψ ∗
−
1
m
2
1
∗
=
Re(ψ pψ) .
m
Integration über den Quasi-Zylinder ergibt
Z
Z
∂t P dV + jdS = 0
j=
∂t P F · 2h + jnI · F − jnII · F +
(IV.117)
(IV.118)
(IV.119)
Z
jdS = 0 .
(IV.120)
M antel
Lässt man nun Höhe und Radius des Quasi-Zylinders gegen Null gehen, so ergibt sich
h→0
:
jnI = jnII
(IV.121)
bzw.
R0 → 0
:
jnI = jnII
.
(IV.122)
Mit Gleichung (IV.118) folgt dann
ψ I = ψ II
(IV.123)
und
∂n ψ I = ∂n ψ II
.
Die Wellenfunktion und ihre Normalen-Ableitung sind stetig an Potentialsprüngen.
(IV.124)
7.2 Übergangsbedingung an einem δ-Potential
7.2
53
Übergangsbedingung an einem δ-Potential
V̂ (x) = V̂0 δ(x − x0 )
h
1
h
x0
2
x
Integration der SGL über die Unstetigkeitsstelle:
~2 2
ˆ
i~∂t ψ = −
∂ + V0 δ(x − x0 ) ψ
2m x
Z2
Z2
Z2
~2
2
∂x ψdx + Vˆ0 δ(x − x0 )ψdx
i~∂t ψdx = −
2m
1
1
1
~2
∂x ψ − ∂x ψ + Vˆ0 ψ(x0 )
=−
2m
1
2
!
2
~
+ Vˆ0 ψ(x0 )
lim :
0=−
− ∂x ψ ∂x ψ h→0
2m
x0 −0
x0 +0
(IV.125)
(IV.126)
(IV.127)
(IV.128)
Somit ergibt sich die Sprungbedingung
∂x ψ(x0 + 0) − ∂x ψ(x0 − 0) =
2m ˆ
V0 ψ(x0 ) .
~2
(IV.129)
V̂
ψ
ψ
x
x0
54
8
8.1
IV. Wellenmechanik
Anwendungen
Ein Teilchen im Potentialkasten
V
V̂ (x) =





0
x
∞
0
∞
x<0
0<x<a
x>a
(IV.130)
Wir sehen, dass ϕ(x) = 0 für x < 0 und x > a. Wegen der Stetigkeit
von ϕ gelten diese Werte als Randbedingungen
a
ϕ(0) = ϕ(a) = 0
.
(IV.131)
Im Kasten lautet die Schrödinger-Gleichung
−
~2 2
∂ ϕ = Uϕ
2m x
∂x2 ϕ +
Fall 1: U < 0, κ2 = − 2m
~2 U ,
(IV.132)
2m
Uϕ = 0 .
~2
(IV.133)
q
κ = + − 2m
~2 U
∂x2 ϕ − κ2 ϕ = 0
(IV.134)
ϕ = c1 eκx + c2 e−κx = ĉ1 sinh κx + ĉ2 cosh κx
(IV.135)
Es gibt keine nichttriviale Lösung, die die Randbedingungen erfüllt.
Fall 2: U ≥ 0, k 2 =
2m
~2 U
∂x2 ϕ + k 2 ϕ = 0
(IV.136)
ϕ = d1 sin kx + d2 cos kx
ϕ(0)
=
0 = d2
ϕ(a)
=
0 = d1 sin ka
y
ka
= nπ,
(IV.137)
(IV.138)
n = 1, 2, . . .
~2 π 2 2
n
2ma2
nπx
ϕn = d1 · sin
a
Un =
Za
2
|ϕn | dx = 1 =
0
d21
Za
sin2
nπ
x dx = |d1 |2
a
(IV.139)
(IV.140)
0
a
1 = |d1 |2
2
r
2
nπx
ϕn =
sin
a
a
x 1 a
nπ
−
sin 2 x
2 4 nπ
a
a
(IV.141)
0
(IV.142)
.
(IV.143)
8.1 Ein Teilchen im Potentialkasten
55
Die mögliche Phase von d1 wurde null gesetzt, da eine globale Phase ohne Bedeutung ist, vgl. dazu auch
(IV.5)–(IV.8).
Es ist leicht nachzuprüfen, dass
Za
ϕ∗m ϕn dx = δmn
(IV.144)
0
gilt. Damit bilden die ϕn ‘s ein Orthonormalsystem im L2 [0, a]. Das Orthonormalsystem ist vollständig,
so das es eine Orthonormalbasis bildet.
Aus den Eigenlösungen können wir folgende physikalische Information gewinnen:
1. Der Zustand niedrigster Energie, der Grundzustand, ist durch ϕ1 beschrieben und hat die Energie
U1 =
~2 π 2
2ma2
.
(IV.145)
2. Der Mittelwert des Impulses verschwindet, da
Za
hpn i =
~
dxϕ∗n ∂x ϕn
i
0
~2
=
ia
Za
dx sin
nπx nπ
nπx cos
·
=0 ,
a
a
a
(IV.146)
0
während
hp2n i = 2mUn =
~2 π 2 n 2
a2
.
(IV.147)
3. Die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung ergibt sich als überlagerung der Eigenlösungen
zu
X
iUn
Ψ(x, t) =
An ϕn (x)e− ~ t .
(IV.148)
n
Die An ‘s sind aus der Anfangsbedingung Ψ(x, 0) zu bestimmen:
Ψ(x, 0) =
X
An ϕn (x)
| · ϕ∗m (x)
(IV.149)
n
Za
Am =
ϕ∗m (x)Ψ(x, 0)dx
(IV.150)
|Ψ|2 dx = 1
(IV.151)
0
Wegen
Za
0
56
IV. Wellenmechanik
folgt
Za X X
0
m
A∗m ϕ∗m An ϕn dx
=
XX
n
m
A∗m An
n
Za
ϕ∗m ϕn dx =
XX
m
0
A∗m An δmn
(IV.152)
n
und somit
X
|An |2 = 1 .
(IV.153)
n
4. Der Erwartungswert für die Energie folgt aus
Za
hHi =
Ψ∗ (x, t)HΨ(x, t)dx
(IV.154)
0
=
XX
m
=
=
n
X
Za
0
XX
m
A∗m An
ϕ∗m Hϕn dxe−
| {z }
i(Un −Um )
t
~
(IV.155)
=Un ϕn
A∗m An Un δmn e−
i(Un −Um )
t
~
(IV.156)
n
A∗n Un An =
n
X
|An |2 Un
(IV.157)
n
Die Beziehung interpretieren wir wie folgt. Bei der Messung von H werden als einzelne Ereignisse
die Eigenwerte Un realisiert. |An |2 gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der allgemeine Zustand
Ψ(x, t) bei einer Energiemessung den Eigenwert Un hat. (Analoge Interpretation im Energieraum,
wie im Ortsraum.)
Wenn das System z. B. im Eigenzustand ϕk ist, dann wird die Energiemessung notwendigerweise
Uk liefern. Da eine wiederholte Messung das gleiche Ergebnis liefern muss, müssen wir daraus folgendes schließen: Sobald eine Energiemessung eines allgemeinen Zustandes Ψ durchgeführt worden
ist und den Wert Uk geliefert hat, verändert die Messung den Zustand in ϕk . Eine Messung in der
Quantenmechanik ist somit von der Wirkung her gesehen ein Sortierungsprozeß.
Diese Interpretation gilt nicht nur für dieses Beispiel, sondern allgemein.
8.2
Harmonischer Oszillator
Der eindimensionale harmonische Oszillator ist durch das Potential
V̂ (x) =
k 2
x
2
mit k=const. ( Federkonstante“) charakterisiert. Die zeitfreie Schrödinger-Gleichung lautet
”
~2 2 k 2
Hϕn = −
∂x + x ϕn = Un ϕn .
2m
2
(IV.158)
(IV.159)
Wir werden wieder eine Vielzahl von Lösungen erhalten, die durch den Index n unterschieden werden.
Substitution liefert
r
r
mk 2
mk
2
2
2
x , ∂x = ∂ξ
(IV.160)
ξ =
2
~
~2
!
r
r
~2 mk 2 k ~2 2
−
∂ +
ξ − Un ϕn = 0
(IV.161)
2m ~2 ξ
2 mk
8.2 Harmonischer Oszillator
2m
+ 2
~
∂ξ2
mit bn = 2Un
pm 1
k ~
57
q
n
= 2U
ω~ , ω =
r
~2
mk
Un − 2
mk
~
r
~2
mk
r
~2 2
ξ
mk
!
ϕn = 0
(IV.162)
∂ξ2 + bn − ξ 2 ϕn = 0
R∞ ∗
ϕ ϕ dx = 1.
−∞ n n
k
m,
(IV.163)
Als Randbedingung ist implizit enthalten, dass
|ϕn | −→ 0
|x|→∞
.
(IV.164)
Die zu lösende DGL ist zwar linear (klar, da Schrödinger-Gleichung linear), aber enthält nichtkonstante
Koeffizienten. Zur Lösung ist die Sommerfeldsche Polynom-Methode geeignet.
1. Schritt: Asymptotische Lösung
Ein reines Polynom kann nicht Lösung sein, da es im Unendlichen divergiert. Zur Sicherung der
Konvergenz der ϕn betrachten wir
ξ 2 bn ,
(IV.165)
∂ξ2 ϕn − ξ 2 ϕn = 0 .
Mit dem Ansatz ϕn ∝ e−ξ
2
/2
folgt
−ξe−ξ
∝
∂ξ ϕn
2
/2
(IV.167)
2
2
2
−e−ξ /2 + ξ 2 e−ξ /2 = (ξ 2 − 1)e−ξ /2
2
2
2
= (ξ − 1) − ξ 2 e−ξ /2 = −e−ξ /2 −→ 0
∂ξ2 ϕn
∂ξ2 ϕn
(IV.166)
∝
2
− ξ ϕn
(IV.168)
.
|ξ|→∞
(IV.169)
Asymptotisch ist Quadratintegrierbarkeit gegeben.
2. Schritt: Eigentlicher Lösungsansatz
ϕn (ξ)
=
e−ξ
2
∞
X
/2
cν ξ ν
(IV.170)
ν=0
∂ξ ϕ =
−ξe−ξ
2
/2
∞
X
cν ξ ν + e−ξ
ν=0
∂ξ2 ϕ =
(ξ 2 − 1)e−ξ
2
2
/2
∞
X
∞
X
cν ξ ν − 2ξe−ξ
ν=0
+ e−ξ
2
/2
(IV.171)
ν=0
/2
∞
X
cν νξ ν−1
2
/2
∞
X
cν νξ ν−1
ν=0
cν ν(ν − 1)ξ ν−2
(IV.172)
ν=0
Folglich gilt
0
(∂ξ2 + bn − ξ 2 )ϕn
∞
X
2
= e−ξ /2
ν(ν − 1)cν ξ ν−2 − 2νcν ξ ν + (ξ 2 − 1)cν ξ ν + (bn − ξ 2 )cν ξ ν .
=
(IV.173)
(IV.174)
ν=0
Zusammenfassung und Indextransformation ν − 2 → ν 0 → ν im ersten Term ergibt
0 = e−ξ
2
/2
∞
X
ν=0
{(ν + 2)(ν + 1)cν+2 + (−2ν + bn − 1)cν } ξ ν
.
(IV.175)
58
IV. Wellenmechanik
Für beliebige ξ muss jeder einzelne Term verschwinden, woraus die Rekursionsformel
cν+2
2ν + 1 − bn
=
cν
(ν + 2)(ν + 1)
(IV.176)
für die cν folgt.
3. Schritt: Untersuchung der Konvergenz der Potenzreihe
P∞
2
Für große ν verhält sich die Potenzreihe ν=0 cν ξ ν wie eξ , denn
2
cν+2
−→
cν ν→∞ ν
2
eξ =
(IV.177)
∞
∞
X
1 2 µ X 1 2µ
=
ξ
ξ
µ!
µ!
µ=0
µ=0
(IV.178)
2µ = ν
2
eξ =
P0
(IV.179)
∞
∞ 0
X
1 ν X0
aν ξ ν
ν ξ =
!
2
ν=0
ν=0
.
(IV.180)
summiert nur jedes zweite Glied.
aν+2
=
aν
ν
2!
ν+2
2 !
=
ν
2!
( ν2
+ 1)!
ν
2!
=
( ν2
+
−→
1)( ν2 )! ν→∞
2
ν
(IV.181)
Somit ergibt sich zunächst für ξ → ∞
ϕn → e−
ξ2
2
2
· eξ = e
ξ2
2
(IV.182)
und die Eigenfunktionen sind i.a. nicht quadratintegrierbar.
4. Schritt: Sicherung der Quadratintegrierbarkeit
Wenn die Potenzreihe bei endlich vielen ν abbricht, ist die Quadratintegrierbarkeit gesichert. Folglich ist zu fordern, dass bei
ν = n, cn+2 = 0
(IV.183)
und damit
2n + 1 − bn = 0
(IV.184)
bn = 2n + 1
(IV.185)
gelten muss. Die Freiheit dieser Wahl besteht, da die Separationskonstante Un bisher nicht festgelegt
ist. Jetzt folgt
~
~
Un = ωbn = ω(2n + 1)
(IV.186)
2
2
1
Un = ~ω(n + ), n = 0, 1, 2, . . .
(IV.187)
2
Die zugehörigen Eigenfunktionen lauten
ϕn (ξ) = Bn e−ξ
2
/2
n
X
cν ξ ν .
(IV.188)
ν=0
Ohne Beweis geben wir an, dass die Polynome gerade die Hermiteschen Polynome Hn ergeben:
ϕn (ξ) = Bn e−ξ
2
/2
Hn (ξ)
(IV.189)
8.2 Harmonischer Oszillator
2
59
2
mit Hn (ξ) = (−1)n eξ dnξ e−ξ .
Die Normierungskonstante Bn ergibt sich aus
Z∞
1=
r
ϕ2n dx
=
Bn2
~
mω
−∞
Z∞
2
dξe−ξ Hn2 (ξ)
.
(IV.190)
−∞
|
{z
√
=2n n! π
}
Die ϕn ‘s bilden eine Orthonormalbasis im L2 (−∞, ∞).
Die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator lautet dann
Ψ(x, t)
=
X
An ϕn (x)e−i
Un t
~
(IV.191)
n
mit
ϕn (x)
=
ξ
=
Bn
=
2
Bn e−ξ /2 Hn (ξ)
r
r
mω
4 mk
x=
x
~2
~
r
mω
1
4
p
.
√
n
~
2 n! π
(IV.192)
(IV.193)
(IV.194)
Die An ‘s folgen aus der Anfangsbedingung Ψ(x, 0) zu
Z∞
An =
Ψ(x, 0)ϕ∗n (x) dx
.
(IV.195)
−∞
Die Lösungsmethode für die obige DGL heißt Sommerfeldsche Polynom-Methode.
Die Energiestufen ∆Un = ~ω sind äquidistant. Der Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz
entspricht dem für die Moden eines Strahlungsfeldes, wie Planck ihn bereits benutzte. Im Rahmen
der Quantenelektrodynamik wird dafür die Erklärung gegeben. Demnach ist die Zerlegung des elektromagnetischen Feldes in seine Moden im wesentlichen eine Zerlegung in ungekoppelte harmonische
Oszillatoren.
Sehr bemerkenswert ist der tiefste Energiezustand (Grundzustand)
U0 = ~ω
1
2
(n = 0),
(IV.196)
die Nullpunktsenergie! Die Nullpunktsenergie ist rein quantenmechanisch; es gibt kein klassisches
Analogon. Sie hat eine äquivalenz zur Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation. Wir benutzen die
Schwingungsdauer T der harmonischen Oszillation (ω = 2π/T ) und erhalten
U0 T = ~π.
(IV.197)
Zwischen Energie und Zeit besteht eine ähnliche Unschärfe wie zwischen Ort und Impuls.
Die Nullpunktsenergie hält z. B. Helium auch nahe des Temperaturnullpunktes (≈ 10−3 K) flüssig.
Für schwere Atome sind ω bzw. U0 kleiner, weshalb man den Effekt z. B. für Stickstoff nicht beobachtet.
60
IV. Wellenmechanik
Bemerkung: Wir werden später im Rahmen der abstrakten Behandlung der Quantenmechanik noch einmal auf den harmonischen Oszillator zurückkommen und dann die Eigenwerte Un
wesentlich schneller ausrechnen.
Diskussion der Lösung des Harmonischen Oszillators:
1. Energiestufen ∆Un = ~ω sind äquidistant. Ziel sei die Messung der Energie des Systems. Welche Erwartung an die zu messende Energie wird gehegt? Aussage macht der Erwartungswert zur Messzeit
t:
Z
hHi = ψ ∗ (x, t)Hψ(x, t)dx
(IV.198)
mit
Ψ(x, t) =
∞
X
An ϕn (x)e−i
Un t
~
(IV.199)
,
(IV.200)
n=0
Z
ϕ∗n (ξ)ψ(ξ, 0)dξ
An =
wobei sich bei t = 0 das System im Zustand ψ(x, 0) befunden hat.
Dann folgt bekanntlich
Z X
∞
∞
X
Um t
Un t
An ϕn (x)e−i ~ dx
hHi =
Am ϕm (x)e+i ~ H
=
m=0
∞ X
∞
X
A∗m An
Z
m=0 n=0
∞
X
n=0
|An |2 Un
i
ϕ∗m Hϕn dx e ~ (Um −Un )t
| {z }
(IV.202)
=Un ϕn
|
hHi =
(IV.201)
n=0
{z
=Un δmn
}
(IV.203)
8.2 Harmonischer Oszillator
61
mit
∞
X
|An |2 = 1 .
n=0
Dieses Ergebnis interpretieren wir genau so wie das analoge Ergebnis beim Potentialkasten:
• Dem Erwartungswert liegen Einzelmessungen bzw. einzelne Realisierungen bei Energiemessungen zugrunde. Das sind gerade die Un ; bei einer konkreten Messung wird ein bestimmter
Eigenwert Un gemessen.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass gerade Un als Ergebnis der Messung erscheint ist |An |2 . Die Größe
von |An |2 hängt von der Vorgeschichte des Systems, also von ψ(x, 0), ab.
• Die Messung ist ein Eingriff in das System. Das System wird verändert und liegt unmittelbar
nach der Messung im Energie-Eigenzustand n mit der Energie Un vor.
• Für die weitere Entwicklung des Systems ist dieser Zustand ein neuer Ausgangszustand. Es
ist sinnvoll, den Zeitpunkt unmittelbar nach der Energie-Messung als neuen Zeit-Nullpunkt zu
wählen.
Beispiel:
Bei einer Energie-Messung wird die Energie-Messung wird die Energie U3 = ~ω 72 gemessen.
Danach liegt das System im Zustand 3 vor. Wir wählen diesen Zeitpunkt als neuen ZeitNullpunkt t = 0. Dann ist
ψ(x, 0) = ϕ3 (x) .
Im Weiteren entwickelt sich das System weiter (solange es nicht durch eine erneute Messung
gestört wird):
∞
X
Un t
An ϕn (x)e−i ~
Ψ(x, t) =
.
n=0
Im konkreten Fall sind die An ’s
Z
An =
Z
=
ϕ∗n (ξ)ψ(ξ, 0)dξ
(IV.204)
ϕ∗n (ξ)ϕ(3 ξ)dξ
(IV.205)
= δn3
,
(IV.206)
d.h.
A3 = 1 ,
An = 0 n 6= 3 .
(IV.207)
U3 t
~
(IV.208)
Folglich gilt
ψ(x, t) = ϕ3 (x)e−i
.
2. Grundzustand und Heisenberg’sche Unbestimmtheits-Relation (HUR)
Der endliche Grundzustand U0 > 0 ist eine Folge der HUR. Es ist nicht möglich, das System
gleichzeitig bei x = 0 und p = 0 und damit U = 0 vorzufinden. Stattdessen sind x und p mit
Varianzen ∆x und ∆p verbunden, so dass mindestens
U=
∆p2
mω 2
+
∆x2
2m
2
(IV.209)
gilt. Es soll nun das minimale U bestimmt werden unter der HUR als Nebenbedinung. Die HUR
wird im Grenzfall
~
(IV.210)
∆x∆p − = 0
2
62
IV. Wellenmechanik
betrachtet. Mit dem Lagrange-Multiplikator λ setzen wir an eine Funktion F (∆p, ∆x, λ) zu
∆p2
mω 2
~
(IV.211)
F (∆p, ∆x, λ) =
+
∆x2 − λ ∆x∆p −
2m
2
2
und variieren:
∆p
∂F
=
− λ∆x = 0
∂∆p
m
∂F
= mω 2 ∆x − λ∆p = 0
∂∆x
∂F
~
= −∆x∆p + = 0
∂λ
2
(IV.212)
(IV.213)
(IV.214)
Multiplikation der ersten Gleichung mit ∆p, der zweiten mit ∆x und Differenzbildung liefert
∆p2
= mω 2 ∆x2
m
.
(IV.215)
Einarbeitung der dritten Gleichung ergibt
∆p2 = m2 ω 2
~2 1
4 ∆p2
~
2
2
∆p
1 ~
∆x2 = 2 2 =
m ω
mω 2
∆p2 = mω
(IV.216)
(IV.217)
(IV.218)
und schließlich
1 ~ω 1 ~ω
~ω
+
=
.
(IV.219)
2 2
2 2
2
Beim so bestimmten extremalen U handelt es sich offensichtlich um ein Minimum. Die HUR erlaubt
∆x und ∆p beliebig groß, was U beliebig großwerden lässt.
U=
Somit kann die Energie den Wert ~ω/2 nicht unterschreiten:
~ω
2
U≥
.
(IV.220)
3. Wiederbesuch des Grundzustandes im Potentialkasten
Es liegt nahe, den Grundzustand der Energie im Potentialkasten
U1 =
π 2 ~2
2ma
ebenfalls als Folge der HUR zu diskutieren. Hier ist die Energie ausschließlich kinetisch:
U=
p2
2m
.
(IV.221)
Exakt bestimmt kann p nicht sein, insbesondere p = 0 ist nicht möglich. Mindestens muss also
U=
∆p2
2m
(IV.222)
gelten. Die minimale Impuls-Varianz ∆p wird bei maximaler Orts-Varianz ∆x und der HUR als
Nebenbedingung erreicht. Allerdings setzt die Endlichkeit des Potentialkastens eine weitere Randbedingung. Wir schätzen ab, dass ∆x maximal von der Skalenlänge a ist, also
∆x . a
.
(IV.223)
8.2 Harmonischer Oszillator
63
Wir betrachten wiederum die Grenzfälle und benutzen die Gleichungen statt der Ungleichungen.
Mit den Lagrange-Multiplikatoren λ und µ setzen wir
∆p2
~
F (∆p, ∆x, λ, µ) =
− λ ∆x∆p −
− µ (∆x − a)
(IV.224)
2m
2
und variieren:
∂F
∂∆p
∂F
∂∆x
∂F
∂λ
∂F
∂µ
∆p
− λ∆x = 0
m
(IV.225)
= −λ∆p − µ = 0
(IV.226)
=
= −∆x∆p +
~
=0
2
(IV.227)
= −∆x + a = 0 .
(IV.228)
Die letzten beiden Gleichungen liefern bereits
~
2a
∆x = a
∆p =
und somit
U=
(IV.229)
(IV.230)
1 π 2 ~2
~2
=
8ma2
4π 2 2ma2
.
(IV.231)
Bis auf den Faktor 1/4π 2 wurde die minimal mögliche Energie bereits getroffen. Offensichtlich haben
wir ∆x zu großzügig abgeschätzt. Setzen wir
∆x .
a
2π
(IV.232)
kommt als minimale Energie genau der Grundzustand U1 heraus.
4. Vergleich des quantisierten und des klassisches Harmonischen Oszillators
• Annahme: in beiden Fällen steht dem Harmonischen Oszillator eine bestimmte Gesamtenergie zur Verfügung. Im Falle des quantisierten Harmonischen Oszillators muss U mit einem
bestimmten Eigenwert Un zusammenfallen.
• klassisch: U begrenzt die maximale Elongation
V̂
U
xmax
V̂ = U
T̂ = 0
V̂ = 0
T̂ = U
V̂ = U
T̂ = 0
x
64
IV. Wellenmechanik
• quantisiert: Aufenthaltswahrscheinlichkeit verschwindet nicht jenseits des Ortes, der durch
U = V̂ festgelegt ist.
V̂
|ψ(x, t)|2 6= 0
|ψ|2
U0 (z. B.)
x
xmax
8.3
Das Wasserstoff-Atom
Das Wasserstoff-Atom ist einer der wichtigsten Spezialfälle des Zentralpotentials V̂ (x), das nur von r =
p
x21 + x22 + x23 abhängt. Es handelt sich um ein Zwei-Teilchen-System.
Der Hamilton-Operator nimmt die Form
H=
p21
2m1
+
p22
2m2
+ V̂ (|r1 − r2 |)
(IV.233)
an.
Es bietet sich nun an, Schwerpunkts- und Relativ-Koordinaten einzuführen:
-
r1 - r
2
RS =
+
r2
P S = p1 + p2 ,
r1
0
m1 r1 + m2 r2
,
m1 + m2
p=
r = r1 − r2
m1 p2 − m2 p1
m1 + m2
(IV.234)
.
(IV.235)
Es folgt
H=
p2
P 2S
+
+ V̂ (|r|) ,
2M
2µ
(IV.236)
mit der Gesamtmasse
M = m1 + m2
und der reduzierten Masse
µ=
m1 · m2
m1 + m2
(IV.237)
.
(IV.238)
Wir begeben uns nun ins Schwerpunktsystem, wo P s = 0 gilt. Dann verbleibt
H=
p2
+ V̂ (|r|) .
2µ
(IV.239)
Für das H-Atom gilt bekanntlich m1 m2 , so dass
M → m1 ,
µ → m2
und p → p2
(IV.240)
8.3 Das Wasserstoff-Atom
65
gilt. Das Schwerpunktsystem stimmt mit dem Kernsystem fast überein und wir können
r1 = 0,
r2 = −r
(IV.241)
setzen.
Es ist nun folgendes Eigenwertproblem zu lösen:
2
~
Hχ = − ∂r2 + V̂ (r) χ = U χ
2µ
mit
V̂ (r) = −
,
(IV.242)
1 e2
und den Eigenfunktionen χ(r) .
4πε0 r
(IV.243)
Es liegt nahe, die Differentialgleichung in Kugelkoordinaten zu lösen, d. h.
x1
= r sin θ cos ϕ
(IV.244)
x2
= r sin θ sin ϕ
(IV.245)
x3
= r cos θ
(IV.246)
Der Laplace-Operator ∂r2 lautet
1
1
∂r r2 ∂r + 2 Λ
2
r
r
1
1
∂θ sin θ∂θ +
Λ=
∂ϕ2
sin θ
sin2 θ
∂r2 = 4 =
(IV.247)
.
(IV.248)
Die Randbedingungen im Unendlichen fordern ein hinreichend schnelles Abklingen der Eigenfunktionen,
so dass die Normierung möglich ist. Wir beschränken uns zunächst auf die gebundenen Zustände.
1. Schritt: Separation
χ(r) = R(r)Y (θ, ϕ)
Hχ = −
~2 1
~2 1
∂r r2 ∂r R · Y −
RΛY + V̂ RY = U RY
2
2µ r
2µ r2
(IV.249)
.
(IV.250)
Division durch RY führt auf den alleinigen Winkelterm ΛY /Y , der absepariert werden kann und
deshalb konstant ist. Wir setzen
ΛY = −λY
(IV.251)
mit der Separationskonstanten −λ. Als Radialanteil verbleibt
1
2µ
λ
∂r r2 ∂r R + 2 (U − V̂ )R − 2 R = 0 .
r2
~
r
(IV.252)
2. Schritt: Winkelanteil
ΛY =
1
1
2
∂θ sin θ∂θ +
∂
ϕ Y = −λY
sin θ
sin2 θ
(IV.253)
Separation: Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ)
1
Θ 2
∂θ sin θ∂θ Θ · Φ +
∂ϕ Φ = −λΘΦ
sin θ
sin2 θ
(IV.254)
66
IV. Wellenmechanik
Die Differentialgleichung zerfällt bei Einführung einer weiteren Separationskonstanten −m2 in
∂ϕ2 Φ + m2 Φ = 0
1
m2
∂θ sin θ∂θ Θ + λ −
Θ=0 .
sin θ
sin2 θ
(IV.255)
(IV.256)
Die Lösung für Φ lautet
Φ = eimϕ
.
(IV.257)
Die Eindeutigkeitsbedingung Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π) fordert
m = 0, ±1, ±2, . . .
(IV.258)
m heißt magnetische Quantenzahl . Normieren wir noch, so folgt
1
Φm = √ eimϕ
2π
.
(IV.259)
Der Θ-Anteil wird mit der Substitution
ξ = cos θ
(IV.260)
∂θ = − sin θ∂ξ
(IV.261)
2
sin θ∂θ = −(1 − ξ )∂ξ
in
∂ξ (1 − ξ )∂ξ Θ + λ −
2
m2
1 − ξ2
(IV.262)
Θ=0
(IV.263)
transformiert. Diese Differentialgleichung ist gut bekannt. Es handelt sich um die zugeordnete Legendresche Differentialgleichung . Bei ξ = ±1 tritt offensichtlich eine Singularität in der Differentialgleichung auf. Reguläre Lösungen ergeben sich für
λ = l(l + 1),
l = 0, 1, 2, . . .
(IV.264)
und die Lösungen sind abgesehen von der Normierung die zugeordneten Legendreschen Funktionen Plm (ξ), d. h.
s
m+|m|
2l + 1 (l − |m|)! |m|
m
Θl (θ) = (−1) 2
·
P (cos θ) ,
(IV.265)
2
(l + |m|)! l
|m|
Pl
|m|
2
d|m|
Pl (ξ)
dξ |m|
(ξ)
=
(1 − ξ 2 )
Pl (ξ)
=
1 dl 2
(ξ − 1)l
2l l! dξ l
(zugeordnete Leg. Fkt.),
(Legendre Polynom).
(IV.266)
(IV.267)
Der ausführliche Beweis findet sich vielfach in der mathematischen Literatur. Wir beschränken uns
deshalb hier auf die Beweisidee. Die zugeordnete Legendresche Differentialgleichung wird dann mit
einem Potenzreihenansatz gelöst. Reguläre Lösungen ergeben sich nur, wenn die Potenzreihe nach
endlich vielen Gliedern abbricht. Abbruchkriterium ist gerade λ = l(l + 1).
Die l‘s heißen Nebenquantenzahlen oder Drehimpulsquantenzahlen. Die l‘s und m‘s sind nicht
beliebig frei wählbar. Wenn wir vereinbaren, dass
l = 0, 1, 2, . . .
(IV.268)
läuft, dann folgt aus der Konstruktion der zugeordneten Legendreschen Funktionen
|m|
Pl
∝
d|m|+l 2
(ξ − 1)l
dξ |m|+l
,
(IV.269)
8.3 Das Wasserstoff-Atom
|m|
dass für Pl
67
6≡ 0
|m| + l ≤ 2l
(IV.270)
gelten muss, also
m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l
.
(IV.271)
Auf die Drehimpuls- und magnetischen Quantenzahlen kommen wir noch einmal zurück,
wenn die Drehimpulsquantisierung besprochen wird.
Die Lösung für den gesamten Winkelanteil ergibt sich schließlich zu
s
m+|m|
2
2l + 1 (l − |m|)! imϕ |m|
(−1)
√
Ylm (θ, ϕ) =
e
Pl (cos θ) .
2 (l + |m|)!
2π
(IV.272)
Die Ylm (θ, ϕ) heißen Kugelflächenfunktionen. Sie bilden ein Orthonormalsystem auf der Einheitskugel des R3 , also im L2 (Ω):
Z2πZπ
0
0
Ylm∗ Ylm
sin θ dθ dϕ = δmm0 δll0
0
.
(IV.273)
0
3. Radialanteil:
2µ 1
2
∂
r
∂
R
+
U+
r
r
r2
~2
e2
4πε r
| {z0 }
~2 l(l + 1)
2µ r2
| {z }
−
Coulomb-Potential
R=0
(IV.274)
Zentrifugalpotential
Wir betrachten U < 0; dies fährt auf die sogenannten gebundenen Zustände. Als Abkürzungen
benutzen wir
2µ
2µ e2
1
2B = 2
(IV.275)
− 2 = 2 U,
r0
~
~ 4πε0
Folglich gilt
2
1
2B
l(l + 1)
∂r2 R + ∂r R + − 2 +
−
R=0 .
r
r0
r
r2
(IV.276)
Zunächst vereinfachen wir durch die Koordinatentransformation
r
r0
(IV.277)
∂r =
2
∂ρ
r0
(IV.278)
∂r2 =
4 2
∂
r02 ρ
(IV.279)
ρ=2
und erhalten
bzw.
4 2
2 2 2
1
2B 2
(l + 1)l 4
R=0
∂
R
+
∂
R
+
−
+
−
ρ
r02 ρ
ρ r0 r0
r02
ρ r0
ρ2 r02
(IV.280)
2
1 ε (l + 1)l
R=0
R00 + R0 + − + −
ρ
4 ρ
ρ2
(IV.281)
mit
µ e2
ε = Br0 = 2
~ 4πε0
s
~2 1
=
2µ −U
r
µ c
√
α
2 −U
,
(IV.282)
68
IV. Wellenmechanik
α=
1
e2
'
4πε0 ~c
137
.
(IV.283)
α ist die sogenannte Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante.
Wir betrachten diese Differentialgleichung jetzt für die Grenzfälle ρ → ∞ und ρ → 0 und interessieren uns insbesondere für die Lösungen, die nicht divergieren.
Für ρ → ∞ geht die Differentialgleichung über in
1
R00 − R = 0
4
(IV.284)
mit den Lösungen
ρ
R = e± 2
,
(IV.285)
wovon hier nur
ρ
R = e− 2
(IV.286)
brauchbar ist.
Für ρ → 0 geht die Differentialgleichung über in
2
l(l + 1)
R00 + R0 −
R=0 .
ρ
ρ2
(IV.287)
Dies ist die Eulersche Differentialgleichung , bei der der Ansatz
R = ργ
(IV.288)
2
l(l + 1) γ
γ(γ − 1)ργ−2 + γργ−1 −
ρ =0 ,
ρ
ρ2
(IV.289)
γ(γ − 1) + 2γ − l(l + 1) = γ(γ + 1) − l(l + 1) = 0
(IV.290)
zum Ziel führt. Eingesetzt folgt
woraus
folgt. Als Lösung für γ folgt
γ=l
und γ = −l − 1
,
(IV.291)
wovon die zweite divergent ist und für uns somit unbrauchbar; es verbleibt also
R = ρl
.
(IV.292)
Für die vollständige Differentialgleichung überlagern wir beide Grenzfall-Lösungen mit einem Potenzreihenansatz:
∞
ρ X
aν ρν
(IV.293)
R = ρl e− 2
ν=0
Dann folgt
R
0
∞ X
ρ
1
ν+l−1
ν+l
=
(l + ν)aν ρ
− aν ρ
e− 2
2
ν=0
∞ X
ρ
1
=
(l + ν + 1)aν+1 − aν ρl+ν e− 2
2
ν=−1
mit der Vereinbarung aν ≡ 0 für ν < 0.
(IV.294)
(IV.295)
8.3 Das Wasserstoff-Atom
69
Weiterhin folgt
R
00
R00
∞
X
(
1
=
(l + ν + 1)(l + ν)aν+1 − aν (l + ν) ρl+ν−1
2
ν=−1
)
ρ
1
1
+ − (l + ν + 1)aν+1 + aν ρl+ν e− 2
2
4
∞ X
ρ
1
=
(l + ν + 2)(l + ν + 1)aν+2 − aν+1 (l + ν + 1) + aν ρl+ν e− 2
4
ν=−2
Einsetzen in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich liefern
1
1
(l + ν + 2)(l + ν + 1)aν+2 −aν+1 (l + ν + 1) + aν + 2 (l + ν + 2)aν+2 − aν+1 −
4
2
1
aν + εaν+1 − l(l + 1)aν+2 = 0 ,
4
aν+2 =
(l + ν + 1) + 1 − ε
aν+1
(l + ν + 2)(l + ν + 1) + 2(l + ν + 2) − l(l + 1)
.
(IV.296)
.
(IV.297)
(IV.298)
(IV.299)
Indextransformiert ν + 1 → ν folgt die Rekursionsformel
aν+1
l+ν+1−ε
l+ν+1−ε
=
=
aν
(l + ν + 1)(l + ν) + 2(l + ν + 1) − l(l + 1)
(ν + 1)(ν + 2l + 2)
die sich im Limes wie
aν+1
1
−→
aν ν→∞ ν
,
(IV.300)
(IV.301)
verhält. Wir vergleichen dies mit
eρ =
∞
X
Cν ρν =
ν=0
∞
X
1 ν
ρ
ν!
ν=0
1
1
Cν+1
ν!
=
∼
=
Cν
(ν + 1)!
ν+1
ν
(IV.302)
.
(IV.303)
Die Potenzreihe verhält sich wie eρ und R(ρ) ist damit nicht quadratintegrierbar. Zur Gewährleistung der Quadratintegrierbarkeit muss die Potenzreihe abbrechen, so dass ein Polynom entsteht.
Es muss gelten
κ
ρ X
R(ρ) = ρl e− 2
a ν ρν
(IV.304)
ν=0
aκ+1 = 0 ,
(IV.305)
l+κ+1−ε=0
(IV.306)
bzw.
ε=l+κ+1=n
.
(IV.307)
Wegen κ = 0, 1, . . . gilt n = l + 1, l + 2, . . ..
Eingesetzt folgt mit
r
ε=
µ 1 e2
1
√
=
2 ~ 4πε0 −U
Un = −
r
µc2 α
√
=n
2
−U
µ 1
e4
1
µc2 α2
=
−
2 ~2 (4πε0 )2 n2
2 n2
.
(IV.308)
(IV.309)
70
IV. Wellenmechanik
Die Sommerfeldsche Polynom-Methode führt in beeindruckender Weise auf die Energieniveaus
des H-Atoms. n heißt Hauptquantenzahl .
Die Energieniveaus des H-Spektrums sind entartet, d. h. zu einem Niveau gehören mehrere Zustände.
Um die Entartung auszurechnen, sortieren wir die Zählweise um:
Bisherige Zählweise:
l
&
=
0, 1, 2, . . .
κ =
0, 1, 2, . . .
n
y
= l + 1, l + 2, . . .
Jetzt wird der Hauptquantenzahl n das Primat gegeben:
n =
1, 2, 3, . . .
Hauptquantenzahl
y
l
=
0, 1, . . . , n − 1
&
m
=
−l, −l + 1, . . . , l − 1, l
Drehimpulsquantenzahl
Magnetische Quantenzahl
Für ein festes l ergeben sich somit 2l + 1 magnetische Zustände. Für ein festes n gibt es 0, . . . , n − 1
Drehimpulszustände. Zusammen ergeben sich
n−1
X
(2l + 1) = n2
(IV.310)
l=0
Zustände für ein festes n. Die Entartung ist n2 -fach. Berücksichtigt man noch Elektronenspins, ist
die Entartung sogar 2n2 .
In der Spektroskopie sind folgende Bezeichnungen üblich:
n=
1
2
3
..
.
K-Schale des Atoms
L-Schale des Atoms
M-Schale des Atoms
..
.
l=
0
1
2
3
4
..
.
s (scharf)
p (prinzipal)
d (diffus)
f (fundamental)
g (alphabetisch)
..
.
m=
0
1
2
..
.
σ
π
δ
..
.
Da in die Energieniveaus die reduzierte Masse µ eingeht, ergibt sich ein geringer Effekt der Kernmasse auf die Spektren:
m1 · m2
m2
µ=
=
.
(IV.311)
m2
m1 + m2
1+ m
1
Auf diese Weise wurde 1932 das Deuterium von Urey u. a. entdeckt.
Die radialen Eigenfunktionen nehmen die Form
ρ
R(ρ) = e− 2 ρl
κ
X
ν=0
a ν ρν
(IV.312)
8.3 Das Wasserstoff-Atom
71
an.
Aus der Rekursionsformel entnehmen wir, dass die aν ‘s von n und l abhängen. Beim Polynom-Anteil
handelt es sich gerade um die verallgemeinerten Laguerre-Polynome L2l+1
n+l , so dass man schreibt
1 2
Rnl (ρ) = p 3 2
a0 n
s
(n − l − 1)! − ρ l 2l+1
e 2 ρ Ln+l (ρ)
[(n + l)!]3
(IV.313)
mit
=
4πε0
ρ
=
2
Lj (ρ)
=
di
dρi
(i)
r
r0
~2
µe2
Bohrscher Radius, µ → m2 ) ,
s
r
2µ
e4
1
2
2µ µ 1
=
= 2r −U 2 = 2r
r
2
2
2
2
~
~ 2 ~ (4πε0 ) n
na0
dj
eρ j (ρj e−ρ )
.
dρ
ao
('
(IV.314)
,
(IV.315)
(IV.316)
Die erste Radialfunktion lautet damit
r
2
R10 (r) = − p 3 e− a0
a0
.
(IV.317)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte
∗
P (r) = r2 R10
R10
hat ihr Maximum bei
r
∂r P = 0 = ∂r (r2 e−2 a0 ) = (2r − r2
(IV.318)
2 −2 ar
0
)e
a0
(IV.319)
d. h. bei r = a0 ; a0 entspricht gerade dem Bohrschen Radius, wenn µ = m2 .
Die Eigenwerte der gebundenen Zustände (U < 0) lassen sich im Energieniveau-Schema darstellen.
Betrachten wir nun den Fall U > 0 noch etwas genauer. In der Gleichung für den Radialanteil R
ist jetzt mit umgekehrten Vorzeichen zu substituieren:
+
1
2µ
= 2U
r02
~
.
(IV.320)
Dann folgt
2
∂r2 R + ∂r R +
r
1
2B
l(l + 1)
+
−
2
r0
r
r2
R=0 .
(IV.321)
Asymptotisch (r → ∞) gilt
∂r2 R +
Die asymptotischen Lösungen
1
R=0 .
r02
r
R = e±i r0
(IV.322)
(IV.323)
sind periodisch und damit im bisherigen Sinn nicht normierbar. Es erfolgt damit auch keine Selektion
diskreter Eigenwerte U , sondern dieser Anteil des Spektrums ist kontinuierlich; alle r0 und damit
alle U > 0 sind erlaubt. Offensichtlich ist R(U > 0) ∈
/ L2 (0, ∞).
Da erst durch die Hinzunahme der Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums das Eigenfunktionensystem des H-Atoms vollständig ist, können wir diese Anteile nicht einfach ignorieren.
Folgende Auswege sind möglich.
72
IV. Wellenmechanik
U >0
ungebundene Zustände, kontinuierliches Spektrum
n=∞
U =0
n=3
U <0
n=2
n=1
gebundene Zustände, diskretes Spektrum (nicht skalengerecht)
(a) Endlicher Raum
Jedes Experiment geht im endlichen Raum vor sich. Der Experimentierraum befindet sich
quasi in einem Potentialkasten. Das Eigenwertproblem liefert dann eine dichte Folge diskreter
Niveaus; die zugehörigen Eigenfunktionen sind normierbar. Dieses Quasi-Kontinuum ist aber
nur sehr umständlich handhabbar.
(b) Linearkombinationen
Es ist möglich, Linearkombinationen von oszillierenden Lösungen des kontinuierlichen Spektrums aus einem schmalen Energiebereich (U − 1/2∆U , U + 1/2∆U ) zu bilden, so dass die
Normierbarkeit möglich wird. Wir bilden
U + 21 ∆U
1
Ψ(x, t) ≈ √
∆U
Z
i
dU 0 χ (x, U 0 ) e− ~ U
0
t
.
(IV.324)
U − 12 ∆U
x steht hier für eine beliebige räumliche Koordinate. Nachteilig ist nun, dass keine echten
stationären Zustände χ(x, U, ∆U ) ableitbar sind; Stationarität gilt nur näherungsweise, denn
U + 12 ∆U
− ~i U t
Ψ(x, t) ≈ e
1
√
∆U
|
Z
dU 0 χ(x, U 0 )
U − 12 ∆U
{z
χ(x,U,∆U )
i
(IV.325)
Ψ(x, t) ≈ e− ~ U t χ(x, U, ∆U ) .
}
(IV.326)
χ(x, U, ∆U ) repräsentiert keine ebene Welle mit scharfer Energie U bzw. Frequenz ω mehr,
sondern ein Wellenpaket mit der Energiebreite ∆U bzw. der entsprechenden Frequenzbreite
∆ω. Ein Wellenpaket ist aber normierbar:
Z
χ∗ (x, U, ∆U )χ(x, U, ∆U )dx = 1 .
(IV.327)
(c) Uneigentliche Eigenfunktionen
8.3 Das Wasserstoff-Atom
73
Echte stationäre Zustände werden durch uneigentliche Eigenfunktionen χ(x, U ) beschrieben,
für die Dirac die Normierung auf δ-Funktionen einführte. Für uneigentliche Eigenfunktionen
gilt
Z
χ∗ (x, U 0 )χ(x, U 00 )dx = δ(U 0 − U 00 ) .
(IV.328)
Diese χ‘s gehören nicht zum L2 , sondern zu einem entsprechend erweiterten Hilbertraum. Hier
ist es zunächst ausreichend, die χ(x, U ) als Grenzwerte der χ(x, U, ∆U ) zu verstehen:
χ(x, U ) = lim √
∆U →0
1
χ(x, U, ∆U ) .
∆U
(IV.329)
Bei dieser Bildung ist klar, dass die Anwendung des Mittelwertsatzes folgendes liefert:
Z
1
1
1
√
χ(x, U 0 )dU 0 = lim
χ(x, Ũ )∆U = lim χ(x, Ũ ) .
χ(x, U ) = lim √
∆U →0 ∆U
∆U →0
∆U →0 ∆U
∆U
(IV.330)
Diese Konstruktion korrespondiert mit der Linearkombination (b), denn es gilt
Z
χ∗ (x, U, ∆U )χ(x, U, ∆U )dx
Z
=
U + 12 ∆U
1
dx √
∆U
Z
U − 21 ∆U
U + 12 ∆U
=
1
∆U
U + 21 ∆U
Z
dU
U − 12 ∆U
1
∆U
Z
U − 12 ∆U
Z
0
dU
U − 21 ∆U
U + 12 ∆U
=
U + 21 ∆U
1
χ∗ (x, U 0 )dU 0 √
∆U
00
Z
χ∗ (x, U 00 )dU 00
U − 21 ∆U
Z
dxχ∗ (x, U 0 )χ(x, U 00 )
|
{z
}
(IV.331)
δ(U 0 −U 00 )
U + 21 ∆U
Z
dU 0
dU 00 δ(U 0 − U 00 ) =
1
∆U = 1 .
∆U
U − 21 ∆U
|
{z
=1
}
Mit der Hinzunahme der uneigentlichen Eigenfunktionen betrachten wir das H-Atom als vollständig
beschrieben. Die detaillierte Struktur der Radialfunktionen für die ungebundenen Zustände bei
r < ∞ ist nicht sonderlich interessant.
74
9
9.1
IV. Wellenmechanik
Der Bahndrehimpuls
Die Richtungsquantisierung
Die Untersuchung des Wasserstoff-Atoms zeigte, dass der Winkelanteil (θ, ϕ) ein völliges Eigenleben führt.
Es gilt
ΛYlm (θ, ϕ) = −l(l + 1)Ylm (θ, ϕ), l = 0, 1, 2, · · ·
(IV.332)
Der Operator Λ erweist sich nun im wesentlichen als der Operator des Bahndrehimpuls-Betragsquadrates
L2 . Wir betrachten dazu den Drehimpuls-Operator
L=x×p=x×
~
∂x
i
(IV.333)
und berechnen seine Komponenten in kartesischen und sphärischen Koordinaten.
kartesisch:
L1 =
~
(x2 ∂x3 − x3 ∂x2 )
i
(IV.334)
L2 =
~
(x3 ∂x1 − x1 ∂x3 )
i
(IV.335)
L3 =
~
(x1 ∂x2 − x2 ∂x1 )
i
(IV.336)
Die Berechnung von L2 führt auf recht längliche Formeln, so dass es vorteilhaft ist, den Indexkalkül
einschließlich der Summenkonvention anzuwenden. Es gilt
~
εklm xl ∂xm
i
(IV.337)
= Lk Lk = −~2 εklm xl ∂xm εknp xn ∂xp
(IV.338)
Lk =
L2
2
= −~ (δln δmp − δlp δmn ) xl ∂xm xn ∂xp
= −~2 xn ∂xp xn ∂xp − xp ∂xn xn ∂xp
2
= −~
xn xn ∂xp ∂xp + xn δpn ∂xp − xp xn ∂xn ∂xp − xp δnn ∂xp
= −~2 x2 ∂x2 + x∂x − xp xn ∂xn ∂xp − 3x∂x
xp xn ∂xn ∂xp
xp ∂xp xn ∂xn − xp δpn ∂xn
2
= x∂x − x∂x
=
n
o
L2 = −~2 x2 ∂x2 − (x∂x )2 − x∂x
(IV.339)
(IV.340)
(IV.341)
(IV.342)
(IV.343)
(IV.344)
(IV.345)
Dies kann nun auch in der Form
~
xp
(IV.346)
i
geschrieben werden. Der äußerste rechte Term taucht im klassischen Drehimpuls-Quadrat nicht auf; er
entsteht gerade durch die Nichtkommutativität von x und p.
L2 = x2 p2 − (xp)2 −
Da dieses Ergebnis für beliebige orthogonale Koordinatensysteme gilt, kann elegant die Darstellung von
L2 in Kugelkoordinaten gefunden werden.
9.1 Die Richtungsquantisierung
75
sphärisch:
x = r · er
∂x2 = div
(IV.347)
1
1
∂x = grad = er ∂r + eθ ∂θ + eϕ
∂ϕ
r
r sin θ
1
1
1
grad = 4 = 2 ∂r r2 ∂r + 2
∂θ sin θ∂θ + 2 2 ∂ϕ2
r
r sin θ
r sin θ
(IV.348)
(IV.349)
Folglich gilt
x∂x = r∂r
x2 ∂x2 = r2 4 = ∂r r2 ∂r +
(IV.350)
1
1
∂θ sin θ∂θ +
∂ϕ2 = ∂r r2 ∂r + Λ
sin θ
sin2 θ
(IV.351)
und damit
L2
= −~2 {∂r r2 ∂r + Λ − r∂r r∂r − r∂r }
= −~2 {r2 ∂r2 + 2r∂r + Λ − r∂r − r2 ∂r2 − r∂r }
= −~2 Λ.
(IV.352)
Damit ist der Zusammenhang von L2 und Λ gefunden. Für L2 gilt die Eigenwertgleichung
L2 Ylm = ~2 l(l + 1)Ylm ,
l = 0, 1, 2, . . .
(IV.353)
Die Eigenwerte von L2 sind gerade ~2 l(l + 1) und die Eigenfunktionen die Kugelflächenfunktionen Ylm .
Ein Eigenwert von L2 zu einem festen l ist (2l + 1)-fach entartet, denn m kann die Werte −l, . . . , +l
annehmen. Es gibt also 2l + 1 durch m unterschiedene Eigenfunktionen zum gleichen Eigenwert.
Die Funktionen Ylm erweisen sich auch als Eigenfunktionen des Operators L3 (z-Komponente von L). Es
gilt
~
~
L3 = (x1 ∂x2 − x2 ∂x1 ) = ∂ϕ .
(IV.354)
i
i
Beweis:
x1
=
r sin θ cos ϕ
x2
=
r sin θ sin ϕ
x3
=
∂ϕ
=
∂ϕ
=
r cos θ
∂x1
∂x2
∂x3
∂x +
∂x +
∂x
∂ϕ 1
∂ϕ 2
∂ϕ 3
−x2 ∂x1 + x1 ∂x2 + 0
q.e.d.
Da bekanntlich Ylm ∝ eimϕ , gilt
L3 Ylm = ~mYlm ,
m = −l, . . . , l
(IV.355)
Die Eigenwert-Gleichungen
L2 Ylm = ~2 l(l + 1)Ylm
(IV.356)
L3 Ylm = ~mYlm
(IV.357)
bringen die sogenannte Richtungsquantisierung zum Ausdruck. Bei vorgegebenem l und damit festem
Betrag des Drehimpulses, kann die L3 -Komponente nur die Werte 0, ±~, ±2~, . . . annehmen.
76
9.2
IV. Wellenmechanik
Kommutatoren des Bahndrehimpulses
Aus den Vertauschungsregeln für x und p
[pi , xj ] =
~
δij
i
(IV.358)
ermitteln wir auf einfache Weise die Vertauschungsregeln für den Bahndrehimpuls. Zunächst gilt


x2 p3 −x3 p2
L = x × p = x3 p1 −x1 p3  = εklm xl pm ek
,
(IV.359)
x1 p2 −x2 p1
wobei εklm den total antisymmetrischen Tensor ( Levi-Civita-Symbol“) bezeichnet. In klassischer Auf”
fassung könnte auch geschrieben werden
L = −p × x
,
(IV.360)
9.2 Kommutatoren des Bahndrehimpulses
77
in der Quantenmechanik gilt dies aber nicht. In der Quantenmechanik bedeutet das Vektorprodukt nicht
mehr ein Produkt von Faktoren, sondern die Hintereinanderausführung von Operatoren, wobei die Kombination der Komponenten analog zum Vektorprodukt erfolgt.
Die Kommutatoren zwischen je zwei Komponenten von L können wir darstellen in der Form
 


L2 L3 −L3 L2
[L2 ,L3 ]
L × L = L3 L1 −L1 L3  = [L3 ,L1 ]  = εqrs Lr Ls ;
L1 L2 −L2 L1
q = 1, 2, 3
(IV.361)
[L1 ,L2 ]
Setzen wir Lr und Ls ein, so folgt
(L × L)q
= εqrs εrlm xl pm εskn xk pn
= εrlm xl pm εqrs εskn xk pn
= εrlm xl pm (δqk δrn − δqn δrk )xk pn
= εrlm xl pm (xq pr − xr pq )
|
{z
}
− ~i δqr
~
~
= − εqlm xl pm = − Lq
i
i
(IV.362)
Somit ergibt sich
~
L×L=− L
i
(IV.363)
bzw.
~
[L2 , L3 ] = − L1
i
~
[L3 , L1 ] = − L2
i
~
[L1 , L2 ] = − L3
i
,
(IV.364)
,
(IV.365)
.
(IV.366)
Diese Beziehungen enthalten das L2 mit allen drei Komponenten von L kommutiert, denn es gilt z.B.
[L3 , L2 ]
=
[L3 , L21 ] + [L3 , L22 ] + [L3 , L23 ]
| {z }
=
L3 L21 − L21 L3 + L3 L22 − L22 L3
=
L3 L21 − L1 L3 L1 + L1 L3 L1 − L21 L3 + L3 L22 − L2 L3 L2 + L2 L3 L2 − L22 L3
=0
=
[L3 , L1 ]L1 + L1 [L3 , L1 ] + [L3 , L2 ]L2 + L2 [L3 , L2 ]
~
~
~
~
= − L2 L1 − L1 L2 + L1 L2 + L2 L1
i
i
i
i
= 0 .
Analog gilt [L2 , L2 ] = 0 und [L1 , L2 ] = 0. (vgl. üA)
(IV.367)
78
IV. Wellenmechanik
Kapitel V
Axiomatischer Aufbau der
Quantenmechanik
1
Axiome
1. Der Zustand eines physikalischen Systems zu einem Zeitpunkt t0 wird beschrieben durch den normierten Quantenzustand |Ψ(t0 )i, wobei dieser Quantenzustand |Ψ(t0 )i Element eines Hilbertraumes
HR ist.
2. Eine meßbare physikalische Größe A wird beschrieben durch einen selbstadjungierten Operator Â.
A heißt Observable und  wirkt im Hilbertraum HR.
3. Die Messung von A kann nur einen Eigenwert von  ergeben.
4. an sei ein nichtentarteter Eigenwert des Operators  und |ni sei die zugehörige normierte Eigenfunktion. Das physikalische System befinde sich unmittelbar vor der Messung im Quantenzustand
|Ψi. Dann ist die Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte P (an ) den Eigenwert an bei
der Messung von A zu erhalten
P (an ) = |hn|Ψi|2 .
(V.1)
5. Die Dynamik des Systems wird durch die Schrödinger-Gleichung
Ĥ|Ψ(t)i = i~ dt |Ψ(t)i
(V.2)
beschrieben.
Bemerkungen:
1. Die physikalische Größe A kann skalaren, vektoriellen oder tensoriellen Charakter haben. Das gleiche
gilt für den zugehörigen Operator Â. Z. B. ist B̂ ein Vektoroperator.
2. Die Begriffe selbstadjungiert und hermitesch sind synonym.
3. Von jetzt an werden Operatoren durch ein Dachˆmarkiert.
4. P (an ) ist eine Wahrscheinlichkeit, wenn die an ’s diskret von n abhängen.
P (an ) ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn die an ’s kontinuierlich von n abhängen.
2
2.1
Dirac-Formalismus
Hilbertraum
Ein Hilbertraum ist ein linearer Vektorraum. Die Elemente dieses Raumes werden ket-Vektoren
genannt und mit
|Ψi, |ai, |ni, |mli, . . .
(V.3)
80
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
bezeichnet. Linearität bedeutet insbesondere
c (|Ψ1 i + |Ψ2 i)
=
(c1 + c2 )|Ψi =
c|Ψ1 i + c|Ψ2 i
(V.4)
c1 |Ψi + c2 |Ψi ,
(V.5)
wobei c, c1 , c2 komplexe Zahlen sind.
Zum Hilbertraum gehört immer ein dualer Hilbertraum, dessen Elemente bra-Vektoren genannt und
die mit
hΨ|, ha|, hn|, hml|, . . .
bezeichnet werden. Jedem ket |Ψi ist in eindeutiger Weise ein bra hΨ| zugeordnet. Die Zuordnungsoperation heißt Konjugation und wird mit
(|Ψi)+ = hΨ|
(V.6)
bezeichnet. Es gilt
((|Ψi)+ )+ = (hΨ|)+ = |Ψi
+
∗
(c|Ψi) = hΨ| · c
.
(V.7)
(V.8)
Zur Analogie werden oft Vektoren vorgeschlagen. So sei ein Bra ein Zeilen-, ein Ket ein Spaltenvektor.
Wendet man die Vektoren aufeinander an, ergeben sich zwei mögliche Varianten. Im Hilbertraum ist
ein Skalarprodukt definiert. Das Skalarprodukt ordnet jedem Paar von bra und ket, hΨ| und |χi, eine
komplexe Zahl c zu, geschrieben
c = hΨ|χi
(V.9)
und es gilt
c∗ = hΨ|χi∗ = hχ|Ψi ,
hΨ| c1 |χ1 i + c2 |χ2 i = c1 hΨ|χ1 i + c2 hΨ|χ2 i
(V.10)
(V.11)
sowie hΨ|Ψi ≥ 0. Falls hΨ|Ψi = 0, ist |Ψi = |nulli, d. h. das Null-Element im Hilbertraum.
Im Hilbertraum ist eine Norm existent und diese ist über das Skalarprodukt definiert:
p
k|Ψik = hΨ|Ψi
(V.12)
Statt k|Ψik schreibt man auch kΨk, also k|Ψik ≡ kΨk. Ein Hilbertraum ist somit ein normierter Raum.
Insbesondere gilt k|nullik = 0.
Das Skalarprodukt verknüpft einen Bra und einen Ket in der Reihenfolge Bra-Ket. Es besteht aber auch
die Möglichkeit einer Verknüpfung in der Reihenfolge Ket-Bra. Diese Bildung ist analog zum Dyadischen
Produkt, das aus der linearen Algebra bekannt ist. In der linearen Algebra ist die äußere Form einer
solchen Bildung eine Matrix und dementsprechend wirksam wie ein Operator. Das Dyadische Produkt
der Vektoren a und b schreibt sich als
a◦b
Die Anwendung auf einen Vektor c schreibt sich als
a ◦ b · c,
wobei zwangsläufig ein Skalarprodukt ergeben als Gesamtergebnis ein Vektor proportional zu a verbleibt.
Im Hilbertraum ist eine Ket-Bra-Konstruktion ebenfalls operator-wertig. Dazu betrachten wir die Dyade
|ψihφ|
Dieser Operator wird auf einen Ket |πi angewendet:
2.1 Hilbertraum
81
|ψihφ|πi
Diese Ket-Bra-Ket-Konstruktion ist wie folgt zu interpretieren: hφ|πi stellt ein Skalarprodukt da und der
verbleibende Gesamtausdruck ist ein mit dem Skalar multiplizierter Ket |ψi.
Ein Hilbertraum ist ein vollständiger Raum. Jede Cauchyfolge hat ihren Grenzwert in diesem Raum.
D. h. für eine Folge |Ψn i, die im Cauchy-Sinne konvergiert, also ∀ε > 0 ∃N (ε), so dass kΨm − Ψn k < ε
für m, n > N , und es existiert ein Grenzwert |Ψi, der wieder im Hilbertraum liegt.
Orthogonalität: |Ψi und |χi heißen orthogonal, wenn
hΨ|χi = 0
(V.13)
gilt, wobei |Ψi =
6 |nulli und |χi =
6 |nulli gelten soll.
Fassen wir die genannten Eigenschaften des Hilbertraumes zusammen, kommen wir zu folgender Definition.
Ein vollständiger, normierter, linearer Vektorraum, in dem die Norm durch ein Skalarprodukt erzeugt wird, heißt Hilbertraum.
Bemerkungen:
1. Der duale Hilbertraum wird auch dualer Kovektorraum oder konjugierter Raum genannt.
Dementsprechend sind bra-Vektoren die Kovektoren zu ket-Vektoren oder die konjugierten Vektoren.
2. Die Bezeichnungen bra und ket sind aus bracket abgeleitet.
3. Der bra-ket-Formalismus des Hilbertraumes ist besonders bei den Physikern in Gebrauch.
In der Mathematik werden die Elemente des Hilbertraumes (Vektoren) einfach Ψ, χ, ξ,
. . . bezeichnet und das Skalarprodukt mit (Ψ, χ). Diese Notation kommt ohne den dualen
Raum aus.
Beispiele für einen Hilbertraum
• L2 (G)
G ⊂ Rn , |f i = f (x), x ∈ G
L2 (G) = {f : f (x) : G → C1 , f messbar, L
Z
|f |2 dV < ∞}
(V.14)
G
Skalarprodukt: hg|f i = L
R
G
g ∗ (x)f (x)dV
• L2 (−∞, ∞)
G = R1 , |f i = f (x)
1
1
Z∞
L2 (−∞, ∞) = {f : f (x) : R → C , f messbar, L
|f |2 dx < ∞}
(V.15)
−∞
Skalarprodukt: hg|f i = L
R∞
−∞
g ∗ (x)f (x)dx.
Für die in der Physik auftretenden Funktionen kann häufig das Lebesgue-Integral durch das
Riemann-Integral ersetzt werden.
82
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
• l2
∞
xn ∈ C, |ξi = {xn }n=0
(
∞
{xn }n=0
l2 =
1
, xn ∈ C ,
∞
X
)
2
|xn | < ∞
(V.16)
n=0
Skalarprodukt: hη|ξi =
2.2
P∞
n=0
yn∗ xn
Operatoren im Hilbertraum
Operator: Wenn jedem |Ψi ∈ HR ein |χi ∈ HR zugeordnet ist, dann schreibt man die
Zuordnungsvorschrift
|χi = Â|Ψi
(V.17)
und nennt  Operator.
Im weiteren betrachten wir nur lineare Operatoren, für die
Â(c1 |Ψ1 i + c2 |Ψ2 i) = c1 Â|Ψ1 i + c2 Â|Ψ2 i
(V.18)
gilt. Es gelten folgende Eigenschaften (mit |nulli als neutrales Element der Addition):
• Â = 0̂ falls ∀|Ψi Â|Ψi = |nulli
• Â = B̂ falls hΨ|Â|Ψi = hΨ|B̂|Ψi
∀|Ψi ∈ HR
• Â + B̂ = B̂ + Â
• (Â + B̂) + Ĉ = Â + (B̂ + Ĉ)
• (ÂB̂)Ĉ = Â(B̂ Ĉ)
• Â(B̂ + Ĉ) = ÂB̂ + ÂĈ
• [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â 6= 0̂ i. a.
• Wenn |χi = Â|Ψi und B̂|χi = |Ψi
∀|χi, |Ψi, dann ist B̂ = Â−1 , ÂB̂ = B̂ Â = Iˆ
Ein Operator  kann gegebenenfalls auf eine Teilmenge des HR - den Definitionsbereich von  - eingeschränkt sein.
Formal kann Â, der angewendet auf |Ψi gerade |χi erzeugt, als
 = c|χihΨ| mit
c = kΨk−2
(V.19)
geschrieben werden, denn
|χi = Â|Ψi = c|χihΨ|Ψi = |χi .
(V.20)
Adjungierter Operator:
Â+ ist der adjungierte Operator zu Â, wenn gilt
hΨ|Â+ |χi = hχ|Â|Ψi∗
.
(V.21)
2.2 Operatoren im Hilbertraum
83
Die Zuordnung, die  im Hilbertraum beschreibt, wird von Â+ im dualen Hilbertraum beschrieben, denn
mit
|ξi = Â|Ψi
(V.22)
folgt
hΨ|Â+ |χi = hχ|ξi∗ = hξ|χi
(V.23)
hΨ|Â+ = hξ| .
(V.24)
und somit
Die Konjugation eines Vektors ist damit konsistent, da
+
|ξi+ = Â|Ψi
= hξ| = hΨ|Â+
also
+
Â|Ψi
= hΨ|Â+
,
.
(V.25)
(V.26)
Es gelten die Eigenschaften
(Â+ )+
= Â
+
∗
(cÂ)
(Â + B̂)+
+
(ÂB̂)
(V.27)
= c Â
+
(V.28)
= Â+ + B̂ +
(V.29)
+
(V.30)
= B̂ Â
+
Bemerkung:
Die Konjugation von Vektoren wird mitunter auch als Adjungation bezeichnet. Wir trennen
die Bezeichnungen hier und reservieren Adjungation für die Operatoren.
Selbstadjungierte Operatoren:
Wenn Â+ =  gilt, heißt  selbstadjungiert oder hermitesch.
Dynamische Variable:
Eine dynamische Variable ist eine physikalische Größe L, die durch einen Operator L̂ beschrieben wird. Für L̂ existiert eine Bewegungsgleichung der Form
L̂|Ψi = |Ψ0 i .
(V.31)
Observable:
Eine Observable ist eine dynamische Variable, die direkt beobachtbar ist, reelle Messwerte
liefert und durch einen hermiteschen Operator beschrieben wird (vgl. Axiom Nr. 2). Später
werden wir die Definition einer Observablen noch ergänzen. (Das Eigenvektorsystem einer
Observablen ist vollständig.)
Unitäre Operatoren:
Ein Operator Û heißt unitär, wenn bei Anwendung von Û auf |Ψ1 i und |Ψ2 i, also
Û |Ψ1 i = |χ1 i
(V.32)
Û |Ψ2 i = |χ2 i ,
(V.33)
hχ1 |χ2 i = hΨ1 |Ψ2 i .
(V.34)
das Skalarprodukt erhalten bleibt:
84
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
Für unitäre Operatoren gilt
Û + = Û −1
,
(V.35)
denn
hχ1 |χ2 i = hΨ1 |Û + Û |Ψ2 i = hΨ1 |Ψ2 i ;
(V.36)
Û + Û = Iˆ
(V.37)
also muß gelten
und somit
Û + = Û −1
2.3
.
(V.38)
Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren
Eine Zahl a ∈ C ist ein Eigenwert des Operators Â, wenn es einen ket |ei gibt, so daß
Â|ei = a|ei
(V.39)
gilt. |ei heißt Eigenvektor oder Eigenket. Mit |ei ist auch λ · |ei Eigenvektor, da
Â|e0 i = Â(λ|ei) = λÂ|ei = λa|ei = aλ|ei = a|e0 i ,
(V.40)
|e0 i := λ|ei .
(V.41)
mit
Ein selbstadjungierter Operator  = Â+ hat nur reelle Eigenwerte, denn aus
Â|ei = a|ei
(V.42)
folgt
a=
he|Â+ |ei
he|Â|ei∗
he|Â|ei
=
=
= a∗
he|ei
he|ei
he|ei
.
(V.43)
Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators Â, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind
orthogonal. Denn aus
Â|e1 i =
a1 |e1 i
Â|e2 i =
a2 |e2 i,
a1 6= a2
folgt
a1 he2 |e1 i = he2 |Â|e1 i = he2 |Â+ |e1 i = he1 |Â|e2 i∗ = a∗2 he1 |e2 i∗ = a2 he2 |e1 i
(a1 − a2 )he2 |e1 i =
he2 |e1 i =
(V.44)
0
(V.45)
0 .
(V.46)
Entartung eines Eigenwertes:
Gibt es zu einem Eigenwert a N linear unabhängige Eigenvektoren, so heißt a N -fach entartet.
Dann gilt
Â|ei i = a|ei i i = 1, . . . , N .
(V.47)
Eine Linearkombination der Eigenvektoren |ei i ist wieder Eigenvektor, denn für
X
|ẽi =
λi |ei i
, λi ∈ C
i
(V.48)
2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren
85
gilt
Â|ẽi = Â
X
λi |ei i =
i
X
λi Â|ei i =
i
X
λi a|ei i = a
X
i
λi |ei i = a|ẽi .
(V.49)
i
Die |ei i spannen den Eigenraum von a auf. Sie müssen nicht immer unmittelbar orthogonal sein; sie
sind aber per definitionem linear unabhängig und können damit mit dem Schmidtschen Verfahren orthonormiert werden. Dann gilt
hei |ei0 i = δii0 .
(V.50)
Für verschiedene an sind die Eigenvektoren sowieso orthonormal. Zusammenfassend gilt
heni |en0 i0 i = δnn0 δii0
.
(V.51)
Die Menge aller Eigenwerte eines Operators  heißt Spektrum von Â. Das Spektrum kann diskret sein,
die Mächtigkeit eines Kontinuums annehmen oder beide Anteile enthalten.
Projektionsoperatoren:
|ai sei ein normierter Eigenvektor von  zum nichtentarteten Eigenwert a, also
Â|ai = a|ai und ha|ai = 1 .
(V.52)
P̂a = |aiha|
(V.53)
Der Operator
heißt Projektionsoperator auf den Unterraum HRa des Hilbertraumes HR; HRa wird von
|ai aufgespannt. Anwendung von P̂a auf einen beliebigen Zustand |Ψi ergibt
P̂a |Ψi = |aiha|Ψi = c · |ai .
(V.54)
|Ψi wird auf |ai projiziert.
Projektionsoperatoren haben zwei charakteristische Eigenschaften.
1. P̂a ist selbstadjungiert; P̂a = P̂a+ , da
def
∗
hψ|P̂a+ |χi = hχ|P̂a |ψi∗ = (hχ|aiha|ψ) = hχ|ai∗ ha|ψ ∗
def
= ha|χiψ|ai = hψ|aiha|χi
⇒
P̂a+ = |aiha| = P̂a
(V.55)
(V.56)
.
(V.57)
Merkhilfe:
P̂a+ = |ai ha|aiha| = |aiha| = P̂a
| {z }
.
(V.58)
=1
P̂a+ = (|aiha|)+ = (ha|)+ (|ai)+ = |aiha| = P̂a
.
(V.59)
2. P̂a2 = P̂a , da
P̂a2 = |ai ha|aiha| = |aiha| = P̂a
| {z }
=1
.
(V.60)
86
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
Eigenwerte eines Projektionsoperators P̂ :
Sei p ein Eigenwert und |pi ein Eigenvektor von P̂ . Dann gilt
P̂ |pi = p|pi
.
(V.61)
Erneute Anwendung von P̂ ergibt
P̂ 2 |pi = pP̂ |pi = p2 |pi .
(V.62)
Die Differenz zur vorhergehenden Gleichung ergibt
(P̂ 2 − P̂ )|pi = |nulli = (p2 − p)|pi .
(V.63)
Somit muß gelten
p2 − p = p(p − 1) = 0
,
(V.64)
was die Eigenwerte
p1 = 1,
p2 = 0
(V.65)
ergibt.
Während der Projektionsoperator
P̂a = |aiha|
(V.66)
eine Projektion in einen eindimensionalen Unterraum vornimmt, lassen sich auch Projektionsoperatoren
konstruieren, die in mehrdimensionale Unterräume projizieren. Wir betrachten N orthonormierte kets
|e1 i, |e2 i, . . ., |eN i mit
hei |ej i = δij .
(V.67)
Die |ei i spannen einen N -dimensionalen Unterraum auf. Dann ist
P̂N =
N
X
|ei ihei |
(V.68)
i=1
ein Projektionsoperator, der in den N -dimensionalen Unterraum projiziert.
Basis:
Ein Satz von Vektoren |bi i, i = 1, 2, . . . , n, . . . heißt Basis des Hilbertraumes, wenn die |bi i
linear unabhängig sind und der Satz vollständig ist. D.h., jeder Vektor |Ψi muß sich darstellen
lassen in der Form
X
|Ψi =
ci |bi i .
(V.69)
i
Ein Satz von Vektoren |ei i, i = 1, 2, . . . , n, . . . heißt Orthonormalbasis, wenn die |ei i eine
Basis bilden und wenn gilt
hei |ej i = δij .
(V.70)
Mit Hilfe einer Orthonormalbasis läßt sich der Identische Operator Iˆ darstellen als
X
Iˆ =
|ei ihei | .
(V.71)
i
Es gilt
ˆ
|Ψi = I|Ψi
=
X
i
|ei ihei |Ψi =
X
i
ci |ei i
(V.72)
2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren
87
mit ci = hei |Ψi; ein beliebiger Vektor |Ψi wird nach der Basis |ei i entwickelt.
Wenn der Satz |ei i nicht vollständig ist, geht Iˆ über in einen Projektionsoperator auf den entsprechenden
Unterraum.
Ergänzung zur Definition einer Observablen:
Das System der Eigenvektoren einer Observablen ist vollständig. Damit kann dieses System
als Orthonormalbasis dargestellt werden.
Zur Verdeutlichung sei hier wiedereinmal die Analogie zur linearen Algebra im <3 angeführt. Mit einer
Orthonormalbasis {e1 , e2 , e3 } lässt sich ein beliebiger Vektor x darstellen als
x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3
Für die Komponenten xi gilt
xi = x · ei
wobei die Vektoren auf der rechten Seite über das Skalarprodukt verknüpft sind. Einsetzen liefert
3
X
(x · ei )ei
x=
i=1
Das lässt sich aber auch schreiben als
x=
3
X
ei (ei · x)
i=1
oder
x=
3
X
ei ◦ ei x
i=1
womit die Äquivalenz zum Hilbertraum offensichtlich ist.
Basiswechsel:
Seien |ei i und |fi i zwei verschiedene Orthonormalbasen im Hilbertraum. Dann gilt
X
X
Iˆ =
|ei ihei | =
|fj ihfj |.
i
Ein Vektor |Ψi kann nach beiden Orthonormalbasen entwickelt werden, also
X
X
ˆ
|Ψi = I|Ψi
=
hei |Ψi|ei i =
εi |ei i
i
ˆ
|Ψi = I|Ψi
=
(V.73)
j
X
j
hfj |Ψi|fj i =
(V.74)
i
X
j
ϕj |fj i .
(V.75)
88
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
Die Koeffizienten εi und ϕj können folgendermaßen ineinander umgerechnet werden:
ˆ
εi = hei |Ψi = hei |I|Ψi
= hei |
X
|fj ihfj |Ψi
(V.76)
j
εi =
X
j
hei |fj i ϕj =
| {z }
X
Uij ϕj
(V.77)
j
≡Uij
oder mit Einsteinscher Summenkonvention geschrieben
εi = Uij ϕj
.
(V.78)
Uij ist eine unitäre Matrix.
Beweis:
y
Uij = hei |fj i
(V.79)
+
T∗
∗
Ujk
= Ujk
= Ukj
= hek |fj i∗ = hfj |ek i
(V.80)
X
+
Uij Ujk
=
j
X
ˆ k i = δik
hei |fj ihfj |ek i = hei |I|e
(V.81)
j
Graphisch:
Die unitäre Matrix U entspricht einer Drehung.
ε2
|Ψi sei 2d Vektor (2-Tupel)
Ψ
φ1
φ2
U=
e2
f2
cos α
sin α
− sin α
cos α
(V.82)
f1
e1
ε1
Kontinuierliches Spektrum:
Für kontinuierlich verteilte Eigenwerte und Eigenvektoren können vorangegangene Überlegungen nicht
mehr unmittelbar gelten. Insbesondere wird die Orthonormalitätsrelation
hn|n0 i = δnn0
(V.83)
problematisch, wenn n und n0 nicht abzählbar sind, wie die folgenden Ausführungen zeigen. Es gibt zwei
Methoden, um das kontinuierliche Spektrum zu erfassen.
1. von Neumann-Methode
In der streng mathematischen Hilbertraum-Theorie gibt es zu den kontinuierlichen Eigenwerten
keine Eigenvektoren. Man kommt ohne die Eigenvektoren mit der sogenannten Spektraldarstellung
aus.
Diesen Weg verfolgen wir nicht.
2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren
89
2. Dirac-Methode
In dieser Beschreibung existieren Eigenvektoren |αi zu den kontinuierlichen Eigenwerten α; es gilt
die Eigenwertgleichung
Â|αi = α|αi .
(V.84)
Die Eigenvektoren sind auf Diracsche-δ-Funktionen zu orthonormieren:
hα|α0 i = δ(α − α0 ) .
Die Vollständigkeitsrelation schreibt sich nun als
Z
Iˆ = dα |αihα|.
(V.85)
(V.86)
Observable mit partiell diskretem und partiell kontinuierlichem Spektrum:
Hier gelten die vorangegangenen Überlegungen entsprechend; für die Teilspektren gilt
Â|ni = an |ni diskret
(V.87)
Â|αi = α|αi kontinuierlich
(V.88)
hn|n0 i = δnn0
(V.89)
hα|α0 i = δ(α − α0 )
(V.90)
hα|ni = 0
(V.91)
mit den Orthonormalitätsrelationen
und der Vollständigkeitsrelation
Iˆ =
X
Z
|nihn| +
dα|αihα| .
(V.92)
n
Um die Schreibweise zu vereinfachen, führt man mitunter eine übergreifende Symbolik ein:
Â|ai = a|ai.
a und |ai können sowohl diskret als auch kontinuierlich sein. Man schreibt
(
δa0 a00
diskret
0 00
0 00
ha |a i = δ(a , a ) ≡
0
00
δ(a − a ) kontinuierlich
Iˆ =
Z
Z
X
X
|aiha| ≡
|aiha| + da|aiha| .
(V.93)
(V.94)
(V.95)
a
a
Nichtentartetes diskretes Spektrum:
Wir betrachten nun einen Operator Â, der nur ein nichtentartetes diskretes Spektrum besitzt. Die Eigenvektoren |ni bilden dann ein Orthonormalsystem, von dem wir voraussetzen, daß es vollständig sei, also
eine Basis bildet. Dann gilt
X
Iˆ =
|nihn|, hn|mi = δnm .
(V.96)
n
Gemäß dem Axiom Nr. 4 beträgt die Wahrscheinlichkeit P (an ) bei der Messung den Meßwert an zu
erhalten
P (an ) = |hn|Ψi|2 .
(V.97)
90
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
Der Erwartungswert von  ist aber
hÂi =
X
an P (an ) .
(V.98)
n
Folglich gilt
hÂi =
X
=
X
an |hn|Ψi|2
n
an hΨ|nihn|Ψi
n
=
X
=
X
ˆ
hΨ|an I|nihn|Ψi
n
hΨ|Â|nihn|Ψi
n
= hΨ|Â
X
|nihn|Ψi
n
ˆ
= hΨ|ÂI|Ψi
= hΨ|Â|Ψi .
(V.99)
Die Bildung des Erwartungswertes korrespondiert mit der in Kapitel 2 benutzten Definition
Z
hÂi = Ψ∗ ÂΨdV ,
(V.100)
G
bei der das Skalarprodukt des L2 (G) Anwendung fand. Der Erwartungswert hÂi hängt somit nur vom
Systemzustand |Ψi vor der Messung ab.
2.4
Messung einer Observablen
Der Meßprozeß an einem quantenmechanischen System unterscheidet sich erheblich von einer Messung
an einem klassischen System. Beim klassischen System kann man davon ausgehen, daß der Meßprozeß
i. d. R. das System selbst nicht beeinflußt.
Beispiele klassischer Messungen:
• Wägung der Masse eines makroskopischen Körpers.
• Messung der Umlaufzeit der Planeten um die Sonne.
• Abstandsbestimmung zwischen zwei Spiegeln.
Ein quantenmechanisches System wird grundsätzlich durch den Meßvorgang beeinflußt. Die Messung ist
ein Prozeß der Wechselwirkung mit dem System, und diese Wechselwirkung kann nicht vernachlässigt
werden. Wenn sich das quantenmechanische System vor der Messung in einem beliebigen Zustand |Ψi
befunden hat, überführt der Meßprozeß das System in einen Eigenzustand |ni. Ergebnis der Messung ist
ein Eigenwert an des Operators  der meßbaren physikalischen Größe (Observablen) A (Axiom Nr. 3).
Axiom Nr. 2 sichert, daß der Eigenwert und damit die Meßgröße eine reelle Zahl ist.
|Ψi
↑
vor der Messung
−→
↑
Messung der Observablen Â
|ni
↑
nach der Messung:
Eigenzustand von Â
Meßwert an
3 Kompatible Observablen
91
Der Zustand |ni nach der Messung ist nicht sichtbar, aber aus dem Meßwert an kann geschlossen werden,
daß sich das System nach der Messung genau in diesem Zustand |ni befindet. Der Messprozess ist ein
Eingriff in die dynamische Entwicklung des Quanten-Systems. Die innere Dynamik des Quanten-Systems
beschrieben durch die SGL wird zur Messzeit gestoppt. Nach der Messung entwickelt sich das QuantenSystems wieder vermöge der SGL mit dem neuen Anfangszustand, der als Ergebnis der Messung vorliegt.
Der Meßprozeß kann auch als Projektion von |Ψi in einen durch den jeweiligen Eigenvektor |ni aufgespannten Unterraum verstanden werden. Der Projektionsoperator dafür ist
P̂n = |nihn|
.
(V.101)
Die Messung des Systems im Zustand |Ψi realisiert
P̂n |Ψi = |nihn|Ψi = cn |ni .
(V.102)
cn ist eine komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude mit
|cn |2 = P (an ) .
3
(V.103)
Kompatible Observablen
Zwei Observablen heißen kompatibel (verträglich), wenn ihre Operatoren (Â, B̂) vertauschbar sind, also
wenn gilt
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â = 0 .
(V.104)
Nicht vertauschbare Operatoren machen zwei Observablen inkompatibel (nicht verträglich).
Die (hermiteschen) Operatoren Â, B̂ zweier kompatibler Observablen besitzen die gleichen Eigenvektoren,
wie der folgende Beweis zeigt.
Beweis:
Es gilt [Â, B̂] = 0, Â = Â+ , B̂ = B̂ + .
Â|ai = a|ai
|ai ist Eigenvektor zu a
B̂ Â|ai = aB̂|ai
ÂB̂|ai = aB̂|ai
(V.105)
(V.106)
B̂|ai ist Eigenvektor zu a
(V.107)
1. Fall: a ist nicht entartet
y B̂|ai ist bis auf Normierung gleich |ai:
B̂|ai = c|ai
(V.108)
Â|ai i = a|ai i i = 1, . . . , N
(V.109)
y |ai ist auch Eigenvektor von B̂.
2. Fall: a ist N -fach entartet
{|ai i} kann mit dem Schmidtschen Verfahren in ein Orthonormalsystem gebracht werden.
92
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
Jede Linearkombination der Eigenvektoren aus dem Eigenraum von a ist wieder ein Eigenvektor (vgl. 2.2). Insbesondere ist das Orthonormalsystem {|ai i} eine Orthonormalbasis des
Eigenraumes. Diese Orthonormalbasis ist aber nicht eindeutig. Die unitäre Transformation U
vermöge (Summenkonvention!)
+
|αj i = Uji
|ai i
mit
+
∗
Uji
Uik = Uij
Uik = δik
.
(V.110)
|ai i = Uik |αk i
(V.111)
erzeugt eine äquivalente Orthonormalbasis {|αi i} im Eigenraum zu a. Es gilt also auch
Â|αi i = a|αi i .
(V.112)
B̂ Â|ai i = aB̂|ai i
(V.113)
ÂB̂|ai i = aB̂|ai i ,
(V.114)
Nun folgt aus
dass B̂|ai i irgendein Eigenvektor im Eigenraum ist. Er kann damit als Linearkombination der
Orthonormalbasis {|ai i} des Eigenraumes von a dargestellt werden:
B̂|ai i = βin |an i
(V.115)
Der Satz der Entwicklungskoeffizienten βin als Matrix aufgefasst ist hermitesch, da
∗
T∗
βin = han |B̂|ai i = hai |B̂ + |an i∗ = hai |B̂|an i∗ = βni
= βin
.
(V.116)
Nun wird versucht, die Orthonormalbasis im Eigenraum so zu wählen, daß die rechte Seite
diagonalisiert. Wir setzen nach (V.111)
B̂Uik |αk i = βin Unl |αl i
Uik B̂|αk i = βin Unl |αl i
B̂|αj i =
(V.117)
+
| Uji
+
Uji
βin Unl |αl i
(V.118)
(V.119)
Die unitäre Transformation U kann, wegen der Hermitezität von βin , immer so gewählt werden, daß die rechte Seite diagonalisiert, also
+
Uji
βin Unl
= γjl
(Diagonalmatrix)
= γ(j) δjl
( (j)“ verhindert Summenkonvention)
”
(V.120)
(V.121)
gilt. Die Klammer am Index j soll hier die Anwendung der Summenkonvention verhindern.
Dann folgt weiter
B̂|αj i = γj |αj i
(V.122)
und somit ist |αj i Eigenvektor von  und B̂.
Kapitel VI
Darstellungen
Im Dirac-Formalismus treten völlig abstrakte Zustände |Ψi auf, in denen sich das quantenmechanische
System befindet. Diese Zustände |Ψi sind Elemente eines abstrakten Hilbertraumes und mit einer Meßvorschrift im R3 zunächst nicht verbunden. Ganz ähnlich fehlt bisher auch ein Zusammenhang zwischen
|Ψi und der Wellenfunktion Ψ(x, t), die in Kapitel III erfolgreich berechnet und interpretiert wurde. Die
Verwendung einer Darstellung“ stellt diese Verbindung gerade her.
”
1
Begriff der Darstellung
Wir betrachten eine Orthonormalbasis {|ai}, die z. B. aus den Eigenvektoren des hermiteschen Operators
 gebildet wird. Die Orthonormalbasis kann aber auch auf andere Art erzeugt worden sein. Dann gilt
ha0 |ai = δ(a0 , a)
Z
X
Iˆ =
|aiha|
1.1
(VI.1)
(VI.2)
Darstellung eines Zustandes
Ein quantenmechanischer Zustand |Ψi kann mit Hilfe der gewählten Orthonormalbasis in der Form
Z
X
|Ψi =
|aiha|Ψi .
(VI.3)
dargestellt werden.
Wir schreiben
und somit
Ψ(a) ≡ ha|Ψi
(VI.4)
Z
X
|Ψi =
Ψ(a)|ai .
(VI.5)
Wenn a diskreter Index ist, schreiben wir auch
Ψa ≡ ha|Ψi .
(VI.6)
|Ψi ist mittels der Basis {|ai} dargestellt. Die Entwicklungskoeffizienten Ψ(a) sind komplexe Koeffizienten
bzw. Funktionen und damit bereits weit weniger abstrakt als die Hilbertraumelemente |Ψi.
Später werden wir sehen, daß die Entwicklungskoeffizienten Ψ(a) gerade in die bekannten Wellenfunktionen Ψ(x) übergehen, wenn als Orthonormalbasis die Eigenfunktionen des Ortsoperators x̂ gewählt
werden. Diese Darstellung heißt Ortsdarstellung . Diese Basis des Ortsoperators x̂ ist kontinuierlich.
94
1.2
VI. Darstellungen
Darstellung eines Operators
Unter der Darstellung eines Operators B̂ in der gewählten Orthonormalbasis versteht man die Gesamtheit
der Elemente
Ba0 a00 = ha0 |B̂|a00 i .
(VI.7)
Ist die Orthonormalbasis diskret, stellen die i.a. komplexen Koeffizienten Ba0 a00 eine Matrix dar. Die
ursprünglich Heisenbergsche Matrizenmechanik beruht auf einer bestimmten derartigen Darstellung
mittels einer diskreten Orthonormalbasis.
1.3
Spektraldarstellung eines Operators
Wird als Orthonormalbasis gerade die Eigenbasis {|bi} des Operators B̂ gewählt, gelangt man zur Spektraldarstellung . Dann gilt
Bb0 b00 = hb0 |B̂|b00 i = b00 hb0 |b00 i
(VI.8)
Bb0 b00 = b00 δ(b0 , b00 )
;
(VI.9)
nur die Diagonalelemente sind besetzt.
Der Operator selbst kann geschrieben werden als
Z
X
B̂ =
b |bihb| ,
(VI.10)
b
wobei b die Eigenwerte sind.
1.4
Darstellung eines Erwartungswertes
Wenn sich das quantenmechanische System im Zustand |Ψi befindet, ist der Erwartungswert einer Observablen B̂
hB̂i = hΨ|B̂|Ψi .
(VI.11)
Zur Darstellung des Zustandes und des Operators benutzen wir eine beliebige Orthonormalbasis {|ai}.
Dann gilt
Z
Z
X
X
hB̂i = hΨ|
|a0 iha0 |B̂|
|a00 iha00 |Ψi
(VI.12)
a0
a00
Z X
Z
X
hB̂i =
hΨ|a0 iha0 |B̂|a00 iha00 |Ψi
(VI.13)
a0 a00
hB̂i =
Z X
Z
X
Ψ∗ (a0 )Ba0 a00 Ψ(a00 ) .
(VI.14)
a0 a00
In der Ortsdarstellung werden wir das bekannte Resultat
Z
hB̂i = Ψ∗ (x)B(x)Ψ(x)dV
erhalten.
(VI.15)
2 Darstellungswechsel
2
95
Darstellungswechsel
Wir betrachten einen Operator Ĉ und zwei verschiedene Orthonormalbasen {|li} und {|λi}; die lateinische
bzw. griechische Basis. Beide Orthonormalbasen können zur Darstellung von Ĉ benutzt werden. Dann
gilt
C̃lk = hl|Ĉ|ki
(VI.16)
sowie
C̃˜λκ = hλ|Ĉ|κi .
(VI.17)
Beide Darstellungen können ineinander überführt werden. Dazu stellen wir die Zustände |λi der griechischen Orthonormalbasis mittels der Zustände |li der lateinischen Orthonormalbasis dar. Wegen
Z
Z
X
X
|kihk|
(VI.18)
|lihl| =
Iˆ =
folgt
C̃˜λκ
Z
Z X
X
hλ|lihl|Ĉ|kihk|κi
= hλ|Ĉ|κi =
l
=
Z X
Z
X
hλ|liC̃lk hk|κi
l
(VI.19)
k
(VI.20)
k
Die Koeffizienten hλ|li und hk|κi erweisen sich als die Elemente einer unitären Transformationsmatrix.
Wir bezeichnen (vgl. dazu auch (V.77))
+
Uλl
≡
hλ|li
(VI.21)
Ukκ
≡
hk|κi .
(VI.22)
Die Konsistenz dieser Bezeichnung folgt direkt aus
+
∗
T∗
Uλl
= hλ|li = hl|λi∗ = Ulλ
= Uλl
Dann können wir schreiben
.
Z
Z X
X
+
C̃lk Ukκ
Uλl
C̃˜λκ =
(VI.23)
(VI.24)
k
l
bzw. kompakt
C̃˜ = U + C̃ U
.
(VI.25)
Die oben behauptete Unitarität von U folgt aus
δ (λ, κ) = hλ|κi =
Z
Z
X
X
+
hλ|lihl|κi =
Uλl
Ulκ
l
(VI.26)
l
was im diskreten Fall auch
δ = U +U
(VI.27)
U + = U −1
(VI.28)
bzw.
geschrieben werden kann.
Somit gehen C̃˜ und C̃ durch eine unitäre Transformation auseinander hervor.
96
3
VI. Darstellungen
Ortsdarstellung und Impulsdarstellung
Ortsoperator x̂ und Impulsoperator p̂ eines quantenmechanischen Systems spielen eine hervorgehobene Rolle. Dies begründet auch die Bedeutung der Darstellung, die gerade die jeweiligen EigenfunktionenSysteme benutzen.
Wir entwickeln hier die Grundgedanken für ein eindimensionales Einteilchensystem mit den skalaren Operatoren x̂ und p̂. Verallgemeinerungen auf mehr Dimensionen und mehrere Teilchen sind leicht möglich.
3.1
Eigenfunktionensystem des Ortsoperators
Der Ortszustand des Systems wird durch |xi beschrieben, wenn sich das Teilchen am Ort x befindet; x
ist dann gerade der Eigenwert. Es gilt die Eigenwertgleichung
x̂|xi = x|xi .
(VI.29)
Das System der Eigenfunktionen {|xi} muß vollständig sein, d. h. die Gesamtheit aller Projektionswahrscheinlichkeiten muß das sichere Ergebnis ergeben, da das Teilchen ja irgendwo auf der x-Koordinate zu
finden sein muß. Folglich gilt
Z
Iˆ = dx|xihx| .
(VI.30)
Da die Eigenzustände kontinuierlich verteilt sind (ohne Beweis), normieren wir auf die δ-Funktionen:
hx0 |xi = δ(x0 − x) .
(VI.31)
Das System der Eigenfunktionen des Ortsoperators bildet somit eine Orthonormalbasis. Ein beliebiger
Zustand |Ψi kann nach dieser Basis entwickelt werden:
Z
|Ψi = dx|xihx|Ψi .
(VI.32)
Das Skalarprodukt schreiben wir als
hx|Ψi = Ψ(x) .
(VI.33)
Projizieren wir |Ψi nach |x0 i so folgt
hx0 |Ψi =
oder
Ψ(x0 ) =
Z
Z
dxhx0 |xihx|Ψi
(VI.34)
dxhx0 |xiΨ(x) .
(VI.35)
Diese Gleichung rechtfertigt die obige Normierung zu
hx0 |xi = δ(x0 − x) .
(VI.36)
Diese Notation bringt uns zurück zur wellenmechanischen Formulierung des Kapitels IV. So gilt
Z
Z
hΨ1 |Ψ2 i = dxhΨ1 |xihx|Ψ2 i = dxΨ∗1 (x)Ψ2 (x) .
(VI.37)
3.2 Eigenfunktionensystem des Impulsoperators
97
Die linke Seite stellt das Skalarprodukt in abstrakter Formulierung dar; die rechte Seite ist das entsprechende Skalarprodukt im L2 (G) - im Hilbertraum der quadratisch integrierbaren Funktionen.
Die Ortsdarstellung des Ortsoperators x̂ ergibt
hx0 |x̂|xi = xhx0 |xi = xδ(x0 − x)
;
(VI.38)
es handelt sich um eine verallgemeinerte Diagonalmatrix. Es liegt gerade die Spektraldarstellung des
Ortsoperators x̂ vor. Für Potenzen gilt analog
hx0 |x̂n |xi = xn δ(x0 − x) ,
(VI.39)
so daß man auch auf Funktionen  = A(x̂) verallgemeinern kann:
hx0 |A(x̂)|xi = A(x)δ(x0 − x) .
(VI.40)
In diesem Fall gilt für den Erwartungswert
Z
0
Z
hÂi = hΨ|Â|Ψi = dx
dxhΨ|x0 ihx0 |Â|xihx|Ψi
Z
Z
=
dx0 dxΨ∗ (x0 )A(x)δ(x0 − x)Ψ(x)
Z
=
dxΨ∗ (x)A(x)Ψ(x) .
(VI.41)
Das Matrix-Element von  = A(x̂) mit zwei beliebigen Elementen |gi und |f i des Hilbertraumes berechnet
sich zu
hg|Â|f i = hg|A(x̂)|f i
Z
Z
hg|Â|f i =
dx0 dx hg|x0 ihx0 |A(x̂)|xihx|f i
(VI.42)
Mit(VI.33) und (VI.40) folgt
Z
dx0
Z
dx g ∗ (x)A(x)f (x) .
hg|Â|f i =
hg|Â|f i =
3.2
Z
dx g ∗ (x0 )A(x)δ(x0 − x)f (x)
(VI.43)
Eigenfunktionensystem des Impulsoperators
Der Impulszustand des Systems wird durch |pi beschrieben, wenn das Teilchen den Impuls p einnimmt;
p ist dann der Eigenwert. Es gilt die Eigenwertgleichung
p̂|pi = p|pi .
(VI.44)
Die weitere Schlußweise ist analog zur Ortsdarstellung. Es gelten Vollständigkeits- und Normierungsrelation
Z
Iˆ = dp|pihp| ,
(VI.45)
hp0 |pi = δ(p0 − p) .
(VI.46)
98
VI. Darstellungen
Ein beliebiger Zustand |Ψi kann mit Hilfe dieser Orthonormalbasis dargestellt werden zu
Z
|Ψi = dp|pihp|Ψi ,
(VI.47)
wobei wir jetzt
hp|Ψi = Ψ(p)
(VI.48)
schreiben. Ψ(p) stellt eine andere Funktion dar als Ψ(x); wir verwenden trotzdem das gleiche Symbol und
markieren den Unterschied durch das Argument
Z
Z
hΨ1 |Ψ2 i = dphΨ1 |pihp|Ψ2 i = dpΨ∗1 (p)Ψ2 (p) .
(VI.49)
Die Impulsdarstellung des Impulsoperators führt auf die Spektraldarstellung
hp0 |p̂|pi = php0 |pi = pδ(p0 − p) .
(VI.50)
Analog zum Vorgehen in der Ortsdarstellung erhalten wir
hp0 |p̂n |pi = pn δ(p0 − p) ,
(VI.51)
hp0 |A(p̂)|pi = A(p)δ(p0 − p) .
(VI.52)
Um auch den Ortsoperator in Impulsdarstellung und den Impulsoperator in Ortsdarstellung konkret
angeben zu können, ist die Kenntnis des Zusammenhangs zwischen beiden Orthonormalbasen notwendig.
Der Erwartungswert von  ergibt sich nun zu
< Â > =
=
=
=
hΨ|Â|Ψi
Z
Z
0
dp
dp hΨ|p0 ihp0 |A(p̂)|pihp|Ψi
Z
Z
dp0 dp Ψ∗ (p0 )A(p)δ(p0 − p)Ψ(p)
Z
dp Ψ∗ (p)A(p)Ψ(p) .
(VI.53)
Das Matrixelement von  = A(p̂) mit zwei beliebigen Elementen |gi und |f i des Hilbertraumes berechnet
sich zu
hg|Â|f i = hg|A(p̂)|f i
Z
Z
0
hg|Â|f i =
dp
dp hg|p0 ihp0 |A(p̂)|pihp|f i
(VI.54)
Mit (VI.48) und (VI.52) folgt
Z
dp0
Z
dp g ∗ (p)A(p)f (p) .
hg|Â|f i =
hg|Â|f i =
3.3
Z
dp g ∗ (p0 )A(x)δ(p0 − p)f (p)
(VI.55)
Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung
Die Ortszustände |xi werden nach den Impulszuständen |pi entwickelt:
Z
|xi = dp|pihp|xi .
(VI.56)
3.3 Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung
99
Skalarproduktbildung ergibt
hx0 |xi = δ(x0 − x) =
Z
dphx0 |pihp|xi .
(VI.57)
Wir vergleichen diese Beziehung mit der bekannten Integraldarstellung der δ-Funktion in der Form
Z
0
1
0
δ(x − x) =
dk eik(x −x) .
(VI.58)
2π
Ausnutzung der de Broglie-Relation p = ~k liefert
Z
0
i
1
dp e ~ p(x −x)
δ(x0 − x) =
2π~
.
(VI.59)
Durch Vergleich liest man ab
hx0 |pihp|xi =
1 i p(x0 −x)
1 i px0 − i px
e~
=
e~ e ~
2π~
2π~
bzw.
hx|pi = √
i
1
e ~ px
2π~
.
(VI.60)
(VI.61)
hx|pi entspricht gerade der
kontinuierlichen)
unitären Transformationsmatrix Ulλ mit l = x und
n (linear
o
√
i/~ xp
. Somit gilt
λ = p oder U = {Uxp } = 1/ 2π~ e
|xi = √
sowie
|pi = √
1
2π~
1
2π~
Z
Z
i
dp|pie− ~ px
i
dx|xie ~ px
(VI.62)
.
(VI.63)
Die Darstellungen der Zustände gehen durch eine Fouriertransformation auseinander hervor.
Für einen beliebigen Zustand |Ψi folgt damit
hx|Ψi = √
bzw.
1
2π~
1
Ψ(x) = √
2π~
Z
Z
i
dphp|Ψie ~ px
i
dpΨ(p)e ~ px
(VI.64)
.
(VI.65)
Die Umkehrung lautet
Ψ(p) = √
1
2π~
Z
i
dxΨ(x)e− ~ px
.
(VI.66)
Mittels dieser Relation läßt sich der Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung eines Operators  herstellen.
Ortsdarstellung von Â:
Impulsdarstellung von Â:
hx0 |Â|xi
hp0 |Â|pi .
100
VI. Darstellungen
 kann sowohl von x̂ als auch p̂ abhängen. Doppeltes Einfügen der Vollständigkeitsrelation
Z
Iˆ = dp|pihp|
(VI.67)
ergibt
hx0 |Â|xi =
Z
dp0
=
dphx0 |p0 ihp0 |Â|pihp|xi
i
0
0
i
e~p x 0
e− ~ px
hp |Â|pi √
dp √
dp
2π~
2π~
Z
Z
0 0
i
1
0
0
(p
dp
dphp |Â|pie ~ x −px)
2π~
Z
=
Z
0
Z
(VI.68)
bzw. die Umkehrrelation
hp0 |Â|pi
=
1
2π~
Z
dx0
Z
i
0
0
dxhx0 |Â|xie− ~ (p x −px)
.
(VI.69)
Diese Zusammenhänge wenden wir an, um die Ortsdarstellung des Impulsoperators und die Impulsdarstellung des Ortsoperators zu berechnen.
Ortsdarstellung des Impulsoperators:
0
hx |p̂|xi =
=
=
=
=
Z
Z
0 0
i
1
0
dp
dphp0 |p̂|pie ~ (p x −px)
2π~
Z
Z
0 0
i
1
dp0 dppδ(p0 − p)e ~ (p x −px)
2π~
Z
0
i
1
dp p e ~ p(x −x)
2π~
Z
0
i
1 ~
∂x0 dp e ~ p(x −x)
2π~ i
−i~∂x0 δ(x0 − x) .
(VI.70)
Dies ist keine Diagonalmatrix. Das Ergebnis ist zu verallgemeinern für Potenzen und Funktionen von p̂:
n
~
∂x0
δ(x0 − x)
(VI.71)
hx0 |p̂n |xi =
i
~
0
∂x0 δ(x0 − x) .
(VI.72)
hx |A(p̂)|xi = A
i
Impulsdarstellung des Ortsoperators:
0
hp |x̂|pi =
=
=
=
=
Z
Z
0 0
i
1
0
dx
dxhx0 |x̂|xie− ~ (p x −px)
2π~
Z
Z
0 0
i
1
dx0 dx x δ(x0 − x)e ~ (px−p x )
2π~
Z
0
i
1
dx x e− ~ x(p −p)
2π~
Z
0
i
1
~
− ∂p0
dx e− ~ x(p −p)
2π~
i
i~∂p0 δ(p0 − p) .
(VI.73)
3.3 Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung
101
Ausdehnung auf Potenzen und Funktionen von x̂ liefert
hp0 |x̂n |pi = (i~∂p0 )n δ(p0 − p)
(VI.74)
hp0 |A (x̂) |pi = A(i~∂p0 )δ(p0 − p) .
(VI.75)
Die Kombination der Darstellung von Zuständen |Ψi und Operatoren  ergibt schließlich für
−Â = Â(x̂)
0
Z
dxhx0 |Â|xihx|Ψi
Z
dxÂ(x)δ(x0 − x)Ψ(x)
hx |Â|Ψi =
=
A(x0 )Ψ(x0 )
=
0
(VI.76)
Z
dphp0 |Â|pihp|Ψi
Z
dp{Â(i~∂p0 )δ(p0 − p)}Ψ(p)
hp |Â|Ψi =
=
(VI.77)
= A(i~∂p0 )Ψ(p0 )
−Â = Â(p̂)
hp0 |Â|Ψi =
=
Z
dphp0 |Â|pihp|Ψi
Z
dpA(p)δ(p0 − p)Ψ(p)
(VI.78)
= A(p0 )Ψ(p0 )
hx0 |Â|Ψi =
Z
dxhx0 |Â|xihx|Ψi
Z
~
∂x0 δ(x0 − x)Ψ(x)
=
dxA
i
~
∂x0 Ψ(x0 )
= A
i
(VI.79)
Das Matrix-Element von A(p̂) in Ortsdarstellung bzw. von A(x̂) in Impulsdarstellung, jeweils gebildet
mit beliebigen Elementen |gi und |f i des Hilbertraumes, berechnet sich zum einen zu
Z
Z
hg|A(p̂)|f i =
dx0 dx hg|x0 ihx0 |A(p̂)|xihx|f i
Z
Z
~
0
∗ 0
=
dx
dx g (x )A
∂x0 δ(x0 − x)f (x)
i
Z
~
∗
=
dx g (x)A
∂x0 f (x)
(VI.80)
i
und zum anderen zu
Z
hg|A(p̂)|f i =
dp
Z
dp hg|p0 ihp0 |A(p̂|pihp|f i
Z
dp g ∗ (p0 )A (i~ ∂p0 ) δ(p0 − p)f (p)
Z
dp0
Z
dp g ∗ (p)A (i~ ∂p0 ) f (p) .
=
=
0
(VI.81)
102
VI. Darstellungen
Für den Spezialfall
A(p̂) = p̂
(VI.82)
folgt insbesondere
Z
~
dx g ∗ (x) ∂x f (x) ,
i
hg|p̂|f i =
(VI.83)
was uns in den vorherigen Kapiteln, die vollständig in Ortsdarstellung verfasst sind, veranlasst hat, in
(IV.29) den Impulsoperator als ~i ∂x einzuführen. Analog folgt der Ortsoperator x̂ in Impulsdarstellung
wegen
Z
dp g ∗ (p)i~ ∂p f (p)
hg|x̂|f i =
(VI.84)
zu i~ ∂p .
3.4
Orts- und Impulsdarstellung der Schrödinger-Gleichung
Die zeitfreie Schrödinger-Gleichung in abstrakter Form
Ĥ|ϕi = U |ϕi,
Ĥ =
p̂2
+ V̂ (x̂)
2m
(VI.85)
ist in eine konkrete Darstellung zu überführen.
Ortsdarstellung:
Projektion auf |x0 i und Einfügen der Vollständigkeitsrelation ergibt
Z
dxhx0 |Ĥ|xihx|ϕi = U hx0 |ϕi
Z
dxhx0 |Ĥ|xiϕ(x) = U ϕ(x0 )
=
(
dx
1
2m
~
∂x0
i
2
(VI.87)
1
hx0 |p̂2 |xi + hx0 |V̂ (x̂)|xi
2m
2
1
~
∂x0 δ(x0 − x) + V̂ (x) δ(x0 − x)
2m i
hx0 |Ĥ|xi =
Z
(VI.86)
(VI.88)
(VI.89)
)
0
0
δ(x − x) + V̂ (x) δ(x − x) ϕ(x)
(
1
2m
~
∂x0
i
2
= U ϕ(x0 )
(VI.90)
= U ϕ(x0 )
(VI.91)
)
0
+ V̂ (x ) ϕ(x0 )
3.5 Translationsoperator
103
Impulsdarstellung:
Projektion auf |p0 i und Einfügen der Vollständigkeitsrelation ergibt
Z
dphp0 |Ĥ|pihp|ϕi = U hp0 |ϕi
Z
dphp0 |Ĥ|piϕ(p) = U ϕ(p0 )
hp0 |Ĥ|pi =
=
Z
dp
3.5
(VI.92)
(VI.93)
1 0 2
hp |p̂ |pi + hp0 |V̂ (x̂)|pi
2m
p2
δ(p0 − p) + V̂ (i~∂p0 ) δ(p0 − p)
2m
p2
δ(p0 − p) + V̂ (i~∂p0 ) δ(p0 − p) ϕ(p) =
2m
02
p
0
+ V̂ (i~∂p ) ϕ(p0 ) =
2m
(VI.94)
(VI.95)
U ϕ(p0 )
(VI.96)
U ϕ(p0 )
(VI.97)
Translationsoperator
Wir führen hier einen Operator ein – den Translationsoperator D̂(ξ) – mit dessen Hilfe das gesamte
System der Eigenvektoren des Ortsoperators x̂, also die Orthonormalbasis {|xi}, aus einem Eigenvektor
|x = 0i ≡ |0i aufgebaut werden kann. D̂(ξ) bewirkt folgendes:
D̂(ξ)|xi = |x + ξi
(VI.98)
D̂(ξ1 )D̂(ξ2 ) = D̂(ξ1 + ξ2 ) .
(VI.99)
Dann gilt
Die Lösung dieser Funktionalgleichung lautet
i
D̂(ξ) = e− ~ ξp̂
,
(VI.100)
wobei p̂ der Impulsoperator ist. Ein beliebiger Eigenvektor |xi ergibt sich damit aus
i
|xi = D̂(x)|0i = e− ~ xp̂ |0i .
(VI.101)
{Weiteres siehe ÜA}
4
4.1
Besetzungszahldarstellung
Erzeugungsoperator, Vernichtungsoperator, Besetzungszahloperator
Wir führen zunächst einen Operator â als Linearkombination von x̂ und p̂ ein:
r
mω
1
â =
x̂ + i √
p̂ .
2~
2m~ω
(VI.102)
â ist nicht hermitesch, denn es gilt
+
â =
r
mω
1
x̂ − i √
p̂
2~
2m~ω
.
(VI.103)
104
VI. Darstellungen
â+ heißt Erzeugungsoperator , â heißt Vernichtungsoperator . Das Produkt â+ â heißt Besetzungszahloperator N̂ . N̂ ist hermitesch. Es gilt
r
r
mω
mω
1
1
+
√
√
N̂ = â â =
x̂ − i
p̂
x̂ + i
p̂
(VI.104)
2~
2~
2m~ω
2m~ω
N̂ =
mω 2
1
1
x̂ +
p̂2 + i (x̂p̂ − p̂x̂) .
2~
2m~ω
2~
(VI.105)
Der letzte Term wird durch die Kommutatorrelation
[x̂, p̂] = i~Iˆ
(VI.106)
ersetzt. Als Basis für die Darstellung soll jetzt das System der Eigenvektoren von N̂ benutzt werden. Da
N̂ hermitesch ist, sind die Eigenvektoren orthogonal; im nächsten Abschnitt werden wir sehen, daß N̂
mit einer Observablen kompatibel und damit das Eigenvektorsystem vollständig ist.
4.2
Orthonormalbasis des Besetzungszahloperators
Zur Bestimmung der Orthonormalbasis aus den Eigenvektoren von N̂ betrachten wir jetzt das Eigenwertproblem
N̂ |ni = n|ni .
(VI.107)
n sind die Eigenwerte, |ni die normierten Eigenfunktionen. Es werden nun diverse Eigenschaften der n
und |ni abgeleitet.
Aus
n = n∗ = hn|N̂ |ni = hn|â+ â|ni = kâ|nik2
(VI.108)
n≥0
(VI.109)
folgt
da
kâ|nik2 ≥ 0
.
(VI.110)
Aus dem Kommutator [x̂, p̂] läßt sich der Kommutator [â, â+ ] berechnen zu
[â, â+ ]
= ââ+ − â+ â
r
r
1
1
mω
mω
x̂ + i √
p̂
x̂ − i √
p̂
=
2~
2~
2m~ω
2m~ω
r
r
mω
1
mω
1
−
x̂ − i √
p̂
x̂ + i √
p̂
2~
2~
2m~ω
2m~ω
i
i ~ˆ
=
(−x̂p̂ + p̂x̂ − x̂p̂ + p̂x̂) =
2 I
2~
2~ i
= Iˆ .
(VI.111)
ˆ = ââ+ â − â = â(â+ â − I)
ˆ = â(N̂ − I)
ˆ
N̂ â = â+ ââ = (ââ+ − I)â
(VI.112)
Damit ergibt sich
bzw.
N̂ â − âN̂ = −â = [N̂ , â]
.
(VI.113)
4.2 Orthonormalbasis des Besetzungszahloperators
105
Analog folgt
ˆ = â+ (N̂ + I)
ˆ
N̂ â+ = â+ ââ+ = â+ (â+ â + I)
(VI.114)
bzw.
[N̂ , â+ ] = â+
.
(VI.115)
Anwendung auf |ni ergibt
ˆ
ˆ = (n − 1)â|ni ,
N̂ â|ni = â(N̂ − I)|ni
= â(n − 1)I|ni
(VI.116)
d. h. â|ni ist Eigenvektor zum Eigenwert n − 1. Eigenvektor zum Eigenwert (n − 1) ist aber auch |n − 1i.
Also sind beide proportional
â|ni = c · |n − 1i .
(VI.117)
|ni und |n − 1i seien normiert, dann folgt
hn|â+ â|ni = hn − 1|c∗ c|n − 1i = |c|2 hn − 1|n − 1i = |c|2
= kâ|nik2 = n
Folglich gilt
|c| =
.
√
(VI.119)
n
.
(VI.120)
Von einem möglichen Phasenfaktor sehen wir ab und setzen
√
c= n
und somit
â|ni =
√
(VI.118)
n|n − 1i .
(VI.121)
(VI.122)
Wiederholte Anwendung von â ergibt
â2 |ni =
..
.
p
â |ni =
√
nâ|n − 1i =
p
n(n − 1)|n − 2i
(VI.123)
p
n(n − 1) · · · (n − p + 1)|n − pi .
Für p = n folgt
ân |ni =
√
n!|0i .
(VI.124)
|0i ist hier aber nicht der Nullvektor, sondern der normierte Eigenvektor zum Index n = 0. Es gilt hier
also
h0|0i = 1 .
(VI.125)
Er beschreibt einen physikalischen Systemzustand - das Quantenvakuum. Die weitere Anwendung von
â auf |0i führt dann tatsächlich zum Nullvektor, den wir mit |nulli kennzeichnen wollen und dessen Norm
verschwindet
hnull|nulli = knullk2 = 0 .
(VI.126)
Das dies so sein muß, folgt aus
kâ|nik2 = n
(VI.127)
für n = 0, also
kâ|0ik2 = 0
;
(VI.128)
106
VI. Darstellungen
der Vektor, dessen Norm verschwindet, ist aber der Nullvektor, also
â|0i = |nulli .
(VI.129)
Wir folgern, daß der Zustand |0i zum Eigenwert n = 0 der normierbare und damit physikalische Zustand
ist. Da die Eigenwerte aber um 1er-Schritte voneinander entfernt sind, gilt für die Eigenwerte von N̂
n = 0, 1, 2, . . .
(VI.130)
Analog ergibt die Anwendung von N̂ â+ auf |ni
ˆ
ˆ = (n + 1)â+ |ni .
N̂ â+ |ni = â+ (N̂ + I)|ni
= â+ (n + 1)I|ni
(VI.131)
N̂ |n + 1i = (n + 1)|n + 1i
(VI.132)
â+ |ni = d · |n + 1i .
(VI.133)
Wegen
folgt
|ni und |n + 1i sind wiederum normiert, was auf
hn|ââ+ |ni =
=
|d|2 hn + 1|n + 1i = |d|2
ˆ
hn|(â+ â + I)|ni
= hn|N̂ |ni + 1 = n + 1
also
|d| =
√
(VI.134)
,
(VI.135)
n+1
(VI.136)
n+1
(VI.137)
führt, und bei Außerachtlassen einer Phase
d=
ergibt. So erhält man
â+ |ni =
√
√
n + 1|n + 1i .
(VI.138)
Wiederholte Anwendung von â+ produziert
â+2 |ni =
..
.
+p
â
|ni =
p
(n + 1)(n + 2)|n + 2i
(VI.139)
p
(n + 1) · · · (n + p)|n + pi .
Für n = 0 ergibt sich insbesondere
â+p |0i =
bzw. umbenannt p → n
â+n |0i =
p
p!|pi
(VI.140)
n!|ni .
(VI.141)
√
Der n-te Eigenzustand läßt sich somit aus dem Grundzustand n = 0 (niedrigster Zustand) durch wiederholte Anwendung des Erzeugungsoperators â+ generieren:
1
|ni = √ â+n |0i .
n!
(VI.142)
Aus der Konstruktion der Eigenvektoren |ni ist klar, das ihre Gesamtheit ein Orthonormalsystem bildet.
Zum Test prüft man leicht, daß
hm|ni = δmn
(VI.143)
5 Wiederbesuch des harmonischen Oszillators
107
gilt (ÜA, Beweis mit vollständiger Induktion). Offen bleibt z. Zt. noch die Vollständigkeit.
Die Eigenwerte n und Eigenzustände |ni des Besetzungszahloperators N̂ können wir wie folgt symbolisieren.
a
a
null
a
a
0
1
2
n
0
1
2
n
a
a
a
Bemerkungen:
1. Die Eigenwerte des Besetzungszahloperators N̂ sind nicht entartet.
Beweis:
ˆ verN̂ ist mit dem Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators Ĥ = ~ω(N̂ + 21 I)
tauschbar (vgl. VI.5). Damit haben N̂ und Ĥ das gleiche Eigenfunktionensystem.
Die Eigenwerte von Ĥ sind bekanntlich nicht entartet. Die Eigenwerte von N̂ stimmen mit
den Eigenwerten von Ĥ bis auf eine multiplikative und eine additive Konstante überein.
Damit sind die Eigenwerte von N̂ ebenfalls nicht entartet.
Es ist auch ein Beweis ohne die Verwendung von Ĥ möglich. Vgl. dazu Nolting, Quantenmechanik.
2. Es gibt keine nichtganzzahligen Eigenwerte n + a (0 < a < 1) des Besetzungzahloperators N̂ . Zum
Beweis vgl. Nolting, Quantenmechanik.
5
Wiederbesuch des harmonischen Oszillators
Den in Abschnitt IV.8.2 behandelten eindimensionalen harmonischen Oszillator wollen wir noch einmal
im Lichte verschiedener Darstellungen betrachten.
Die abstrakte Formulierung des Problems lautet in zeitfreier SGL
Ĥ|ϕi = U |ϕi
(VI.144)
mit
Ĥ =
5.1
p̂2
mω 2 2
+
x̂
2m
2
.
(VI.145)
Ortsdarstellung
Die Projektion auf die Eigenvektoren |xi des Ortsoperators x̂ ergibt
Z
hx|Ĥ|ϕi =
dx0 hx|Ĥ|x0 i hx0 |ϕi = U hx|ϕi
| {z }
| {z }
ϕ(x0 )
Z
=
ϕ(x)
dx0 hx|Ĥ|x0 iϕ(x0 ) = U ϕ(x) .
(VI.146)
108
VI. Darstellungen
Wir benutzen
p̂2
mω 2 2
+
x̂ |x0 i
2m
2
1
mω 2
hx|p̂2 |x0 i +
hx|x̂2 |x0 i
2m | {z }
2 | {z }
2
x02 δ(x−x0 )
( ~i ∂x ) δ(x−x0 )
2
1
~
mω 2 02
∂x δ(x − x0 ) +
x δ(x − x0 ) ≡ Ĥxx0
2m i
2
hx|Ĥ|x0 i = hx|
=
=
(VI.147)
und erhalten
Z
hx|Ĥ|ϕi =
=
dx0 Ĥxx0 ϕ(x0 )
(
)
2
Z
mω 2 02
~
1
0
0
0
∂x δ(x − x ) +
x δ(x − x ) ϕ(x0 )
dx
2m i
2
(VI.148)
(VI.149)
woraus die bekannte Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators der Wellenmechanik zu
1 2 2 mω 2 2
~ ∂x +
x ϕ(x) = U ϕ(x)
(VI.150)
−
2m
2
folgt.
5.2
Impulsdarstellung
Die Projektion auf die Eigenvektoren |pi des Impulsoperators p̂ ergibt
Z
hp|Ĥ|ϕi =
dp0 hp|Ĥ|p0 i hp0 |ϕi = U hp|ϕi
| {z }
| {z }
ϕ(p0 )
Z
=
ϕ(p)
dp0 hp|Ĥ|p0 iϕ(p0 ) = U ϕ(p) .
(VI.151)
Hier benutzen wir
hp|Ĥ|p0 i =
=
p̂2
mω 2 2
+
x̂ |p0 i
2m
2
02
p
mω 2
2
δ(p − p0 ) +
(i~∂p ) δ(p − p0 ) ≡ Ĥpp0
2m
2
hp|
(VI.152)
und erhalten
Z
dp0 Ĥpp0 ϕ(p0 )
02
Z
p
mω 2
2
0
0
0
δ(p − p ) +
(i~∂p ) δ(p − p ) ϕ(p0 )
=
dp
2m
2
hp|Ĥ|ϕi =
woraus die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators in Impulsdarstellung zu
2
p
mω 2 2 2
−
~ ∂p ϕ(p) = U ϕ(p)
2m
2
(VI.153)
(VI.154)
(VI.155)
folgt. Der explizite Nachweis der Äquivalenz von Orts- und Impulsdarstellung ist an diesem Beispiel
besonders einfach, da der Hamiltonoperator in p̂ und x̂ bis auf einen Skalenfaktor symmetrisch ist.
5.3 Besetzungszahldarstellung
5.3
109
Besetzungszahldarstellung
Ausgehend von der abstrakten Darstellung
2
p̂
mω 2 2
Ĥ|ϕi =
+
x̂ |ϕi = U |ϕi
2m
2
(VI.156)
schreiben wir Ĥ um und stellen Ĥ mittels â und â+ bzw. N̂ dar.
Aus Abschnitt VI.4.1 übernehmen wir (VI.105)
N̂ =
mω 2
1
1
x̂ +
p̂2 + i (x̂p̂ − p̂x̂)
2~
2m~ω
2~
{z
}
|
(VI.157)
1
1
Ĥ − Iˆ
~ω
2
(VI.158)
− 12 Iˆ
und finden
N̂ =
bzw.
1ˆ
.
Ĥ = ~ω(N̂ + I)
2
(VI.159)
ω erweist sich hier als Oszillatorfrequenz. Als Basis für die Darstellung soll jetzt das System der Eigenvektoren von N̂ benutzt werden. Da [Ĥ, N̂ ] = 0, ist das Eigenvektorensystem von N̂ auch vollständig.
Die abstrakte Eigenwertgleichung wird nun nach |n0 i projiziert. Es folgt
X
hn0 |Ĥ|ϕi =
hn0 |Ĥ|nihn|ϕi = U hn0 |ϕi
(VI.160)
n
bzw.
X
Ĥn0 n ϕn = U ϕn0
(VI.161)
n
mit
1
Ĥn0 n = hn0 |Ĥ|ni = ~ω(n + )δn0 n
2
.
(VI.162)
Kompakt können wir schreiben
Ĥ ϕ = U ϕ ,
wobei die Matrix
1
2
0

Ĥ = ~ω  0

0
3
2
0
(VI.163)

0
0
5
2
..




(VI.164)
.
und der Spaltenvektor


ϕ0


ϕ =  ϕ1 
..
.
(VI.165)
eingeführt werden. Verschiedene Eigenwerte und Eigenvektoren markieren wir mit dem Index j in der
Form Uj und ϕj . Zu lösen ist somit das algebraische Problem
Ĥ − Uj Iˆ ϕj = 0 .
(VI.166)
110
VI. Darstellungen
Die Eigenwerte ergeben sich aus
det Ĥ − Uj Iˆ = 0 ,
Ĥ00 − Uj
(VI.167)
Ĥ11 − Uj · · · = 0
(VI.168)
zu
Uj = Ĥjj
1
= ~ω j +
2
Die Eigenvektoren in normierter Form lauten dann
 
0
0
 
 
ϕj = 1
0
 
..
.
.
,
(VI.169)
(VI.170)
wobei die 1 an der j-ten Position steht; Die Zählung beginnt mit der nullten Position. Konkret heißt das
 
 
1
0
0
1
 
 
ϕ0 = 0 ,
ϕ1 = 0 ,
usw.
(VI.171)
 
 
..
..
.
.
6
Transformation der Besetzungszahldarstellung in die Ortsdarstellung
Der in Abschnitt VI.2 beschriebene allgemeine Darstellungswechsel wird hier konkret durchgeführt, konkret in zweifacher Hinsicht: Zum einen wird speziell die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators betrachtet, und zum anderen werden die beiden genannten speziellen Darstellungen ineinander
überführt.
Wir starten mit der abstrakten zeitfreien Schrödinger-Gleichung
Ĥ|ϕi = U |ϕi
Ĥ =
1 2 m 2 2
1ˆ
p̂ + ω x̂ = ~ω(â+ â + I)
2m
2
2
(VI.172)
(VI.173)
und erzeugen zunächst die Besetzungszahldarstellung durch Projektion auf einen beliebigen Vektor |ni
aus der Orthonormalbasis des Besetzungszahloperators, woraus
hn|Ĥ|ϕi = U hn|ϕi
X
hn|Ĥ|n0 ihn0 |ϕi = U hn|ϕi
(VI.174)
(VI.175)
n0
X
Ĥnn0 ϕn0
= U ϕn
(VI.176)
n0
folgt. Wir markieren noch die verschiedenen Eigenwerte und Eigenvektoren in der vereinbarten Weise mit
einem oberen Vektor-Index:
X
Ĥnn0 ϕjn0 = Uj ϕjn
(VI.177)
n0
6 Transformation der Besetzungszahldarstellung in die Ortsdarstellung
111
Die Ortsdarstellung ergab sich analog durch Projektion der abstrakten Formulierung auf einen beliebigen
Vektor |xi aus der Orthonormalbasis des Ortsoperators, woraus
Z
Z
hx|Ĥ|ϕi =
U hx|ϕi
(VI.178)
dx0 hx|Ĥ|x0 ihx0 |ϕi =
U hx|ϕi
(VI.179)
U ϕ(x)
(VI.180)
dx0 Ĥ(x, x0 )ϕ(x0 )
=
folgte. Verschiedene Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren markieren wir in gleicher Weise wie bei
der Besetzungszahldarstellung:
Z
dx0 Ĥ(x, x0 )ϕj (x0 ) = Uj ϕj (x) .
(VI.181)
Entsprechend Abschnitt VI.2 entwickeln wir jetzt die Eigenvektoren ϕj (x) in Ortsdarstellung mit Hilfe
der Eigenvektoren ϕjn in Besetzungszahldarstellung, also
X
X
ϕj (x) = hx|ϕj i =
hx|nihn|ϕj i =
hx|niϕjn .
(VI.182)
n
n
Die ϕjn werden als bekannt angenommen, die ϕj (x) sind zu berechnen. Die gesuchten Koeffizienten hx|ni
entsprechen gerade den Elementen Ulλ = hl|λi der unitären Transformation aus Abschnitt VI.2 Im jetzigen
Fall ist der erste Index kontinuierlich (l → x) und der zweite diskret (λ → n).
Zur Bestimmung der hx|ni gehen wir sukzessiv vor und schreiben die ersten Eigenvektoren explizit auf.
X
ϕ0 (x) =
hx|niϕ0n = hx|0i
(VI.183)
n
1
ϕ (x)
=
X
hx|niϕ1n = hx|1i
(VI.184)
n
..
.
ϕj (x)
=
X
hx|niϕjn = hx|ji
(VI.185)
n
Wegen der speziellen Gestalt der Eigenvektoren ϕjn in Besetzungszahldarstellung sind die Transformationskoeffizienten hx|ji bereits unmittelbar die Eigenvektoren ϕj (x) in Ortsdarstellung.
Wir beginnen mit der Bestimmung von hx|0i und betrachten dazu das Element hx|â|0i. Wegen
â|0i = |nulli
(VI.186)
hx|â|0i = 0 .
(VI.187)
mω
1
x̂ + i √
p̂
2~
2mhω
(VI.188)
gilt
Mit
r
â =
liefert dies
r
mω
i
hx|x̂|0i + √
hx|p̂|0i = 0 .
2~
2mhω
(VI.189)
Einfügen von
Iˆ =
Z
dx0 |x0 ihx0 |
(VI.190)
112
VI. Darstellungen
ergibt weiter
r
mω
2~
Z
dx0 hx|x̂|x0 ihx0 |0i + √
i
2mhω
Z
dx0 hx|p̂|x0 ihx0 |0i = 0 .
(VI.191)
Aus Abschnitt VI.3.1 bzw. VI.3.3 übernehmen wir die Glg. (VI.38) und (VI.70)
hx|x̂|x0 i = x0 δ(x − x0 )
hx|p̂|x0 i =
(VI.192)
~
∂x δ(x − x0 )
i
(VI.193)
und erhalten mit
r
mω
2~
Z
dx0 x0 δ(x − x0 )hx0 |0i + √
r
~
2mhω
Z
dx0 ∂x δ(x − x0 )hx0 |0i = 0
~
mω
xhx|0i + √
∂x hx|0i = 0
2~
2mhω
(VI.194)
(VI.195)
eine äußerst einfache Differentialgleichung für hx|0i. Wie in Abschnitt IV.8.2 substituieren wir
r
r
mω
4 mk
ξ=
x=
x
(k = mω 2 )
(VI.196)
2
~
~
und erhalten
(ξ + ∂ξ ) hx|0i = 0 ,
(VI.197)
dhx|0i
= −ξdξ
hx|0i
(VI.198)
mit der Lösung
lnhx|0i =
−
ξ2
+c
2
hx|0i = B0 · e−
ξ2
2
(VI.199)
.
Die Integrationskonstante legen wir dadurch fest, daß ϕ0 (x) normiert sein muß, also
r
Z
Z
ξ2
~
0
2
2
dξe− 2 2 = 1 ,
dx|ϕ (x)| = B0
mω
r
mω
1
√
B02 =
,
~
π
r
mω 1 − ξ2
√ e 2 .
hx|0i = 4
~ 4π
(VI.200)
(VI.201)
(VI.202)
(VI.203)
Die Berechnung der weiteren Eigenvektoren ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . erfolgt mit Hilfe des Erzeugungsoperators
â+ . Wegen
|1i = â+ |0i
..
.
1
|ji = √ â+j |0i
j!
(VI.204)
(VI.205)
folgt
1
1
hx|ji = √ hx|â+j |0i = √
j!
j!
Z
dx0 hx|â+j |x0 ihx0 |0i .
(VI.206)
6 Transformation der Besetzungszahldarstellung in die Ortsdarstellung
113
Nun gilt aber
+
0
hx|â |x i =
hx|â+j |x0 i =
r
mω 0
~
∂x δ(x − x0 )
x −√
2~
2m~ω
j
r
mω 0
~
∂x δ(x − x0 )
x −√
2~
2m~ω
(VI.207)
(VI.208)
woraus
r
hx|1i =
hx|1i =
mω
~
x− √
∂x hx|0i
2~
2m~ω
(VI.209)
1
√ (ξ − ∂ξ ) hx|0i
2
(VI.210)
bzw.
hx|ji
=
1 1
√ √ (ξ − ∂ξ )j hx|0i
j! 2j
(VI.211)
folgt. Wir können damit die Eigenfunktionen ϕj (x) in Ortsdarstellung angeben zu
j
ϕ (x) = hx|ji = p
1
j
√ (ξ − ∂ξ ) e
π
2j j!
2
− ξ2
r
4
mω
~
.
(VI.212)
p
Bis auf den Faktor 4 mω
~ heißen diese Funktionen Hermitesche Funktionen. Mathematisch äquivalent
ist die Schreibweise
r
j
ϕ (x) = hx|ji =
4
r
=
4
ξ2
2
mω (−1)j
p
e 2 ∂ξj e−ξ
√
j
~
2 j! π
(VI.213)
mω (−1)j − ξ2
p
√ e 2 Hj (ξ) ,
~
2j j! π
(VI.214)
wobei Hj (ξ) die in Abschnitt IV.8.2 angegebenen Hermiteschen Polynome sind.
Die Lösung wurde jetzt auf einem völlig anderem Weg gefunden: Die recht einfache Lösung in Besetzungszahldarstellung wurde durch eine unitäre Transformation in Ortsdarstellung gebracht. Die Hermitesche
Funktionen wurden reproduziert, ohne die Sommerfeldsche Polynommethode zu bemühen.
Die Interpretation der Eigenvektoren in Orts- und Besetzungsdarstellung weichen natürlich voneinander
ab; die ϕ’s sind Wahrscheinlichkeitsamplituden in ihren jeweiligen Räumen. Somit ist ihre Interpretation
wie folgt vorzunehmen:
• |hx|ϕj i|2 dx = |ϕj (x)|2 dx ist die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Teilchen der Energie Uj im Intervall
[x, x + dx] anzutreffen.
• |hn|ϕj i|2 = |ϕjn |2 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Teilchen der Energie Uj im Besetzungszustand
|ni vorzufinden, d. h. im Zustand n angeregter Energiequanten. Diese Wahrscheinlichkeit ist 1, wenn
n = j Quanten angeregt sind, oder sie ist 0, wenn n 6= j Quanten angeregt sind.
114
7
VI. Darstellungen
Ergänzung: Umkehrtransformation
Transformation der Ortsdarstellung in die Besetzungszahldarstellung
Hier sind die Eigenfunktionen in Ortsdarstellung ϕj (x) gegeben und zu berechnen sind die Eigenfunktionen in Besetzungszahldarstellung ϕjn . Es ist zu bilden
Z
ϕjn = hn|ϕj i = dxhn|xihx|ϕj i
(VI.215)
Z
ϕjn =
dxhn|xiϕj (x) ,
(VI.216)
und die Koeffizienten hn|xi sind zu berechnen. Berücksichtigt man zum einen, daß
ϕjn = δjn
(VI.217)
gilt und zum anderen, daß die Hermiteschen Funktionen ein Orthonormalsystem bilden, also daß
Z
0
dxϕj (x)ϕj (x) = δj 0 j
(VI.218)
gilt, so folgt
hn|xi = ϕn (x) = hx|ni .
(VI.219)
Kapitel VII
Zeitliche Entwicklung von
quantenmechanischen Systemen
Bisher haben wir nur stationäre Quantenzustände untersucht, die durch die zeitfreie Schrödinger-Gleichung
Ĥ|ϕi = U |ϕi
(VII.1)
beschrieben werden. Jetzt sollen auch zeitlich veränderliche Quantensysteme untersucht werden, die durch
die allgemeine Schrödinger-Gleichung
Ĥ|ψi = i~dt |ψi
(VII.2)
erfaßt werden.
Die zeitliche Entwicklung wird durch zwei verschiedene Methoden beschrieben, die von zwei unterschiedlichen Vorstellungen ausgehen. Die erste Vorstellung - das sogenannte Schrödinger-Bild - geht davon
aus, daß sich die Zustandsvektoren im Hilbertraum zeitlich verändern können, also |Ψ(t)i. Die zweite
Vorstellung - das sogenannte Heisenberg-Bild - geht davon aus, daß die Zustandsvektoren zeitlich unveränderlich sind und die Dynamik des Systems durch die Operatoren getragen wird. Ein drittes Bild das sogenannte Dirac-Bild - kombiniert die beiden vorherigen Bilder.
1
Schrödinger-Bild
Die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems wird durch die Angabe des Zustandsvektors
zu jedem Zeitpunkt t beschrieben. Es gilt
|Ψi = |Ψ(t)i .
(VII.3)
Sei das System bei t1 durch |Ψ(t1 )i und bei t2 durch |Ψ(t2 )i charakterisiert, so nehmen wir an, es existiere
ein Operator Û (t2 , t1 ), der die beiden Vektoren ineinander überführt:
|Ψ(t2 )i = Û (t2 , t1 )|Ψ(t1 )i
(VII.4)
Û heißt Zeitentwicklungsoperator . Für Û muß offensichtlich gelten:
• Û (t, t) = Iˆ
• Û (t3 , t1 ) = Û (t3 , t2 )Û (t2 , t1 )
• Û ist unitär; Û + = Û −1
Die Unitarität ist zu fordern, damit ein normierter Zustand |Ψ(t1 )i während der Zeitentwicklung auch
normiert bleibt:
kΨ(t2 )k2
=
hΨ(t2 )|Ψ(t2 )i = hΨ(t1 )|Û + (t2 , t1 )Û (t2 , t1 )|Ψ(t1 )i
=
hΨ(t1 )|Ψ(t1 )i = kΨ(t1 )k2
.
(VII.5)
116
VII. Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
Für infinitesimale Zeitänderungen t2 = t1 + dt = t + dt gilt
|Ψ(t + dt)i = |Ψ(t)i + dt dt |Ψ(t)i + . . .
=
Û (t + dt, t)|Ψ(t)i = {Û (t, t) + dtk̂ + . . .}|Ψ(t)i
=
|Ψ(t)i + dt k̂|Ψ(t)i + . . .
(VII.6)
mit
k̂ = dt0 Û (t0 , t)|t0 =t
.
(VII.7)
dt |Ψ(t)i = k̂|Ψ(t)i .
(VII.8)
Koeffizientenvergleich liefert
Wegen der Unitarität von Û gilt
Iˆ =
Û (t + dt, t)Û + (t + dt, t)
= (Iˆ + dt k̂ + . . .)(Iˆ + dt k̂ + + . . .)
= Iˆ + dt (k̂ + + k̂) + . . . ,
(VII.9)
woraus
k̂ + = −k̂
(VII.10)
folgt; k̂ ist ein antihermitescher Operator. Vergleich mit der Schrödinger-Gleichung liefert
i
k̂ = − Ĥ
~
.
(VII.11)
Statt der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung kann man auch eine Bewegungsgleichung für Û betrachten. Einsetzen von
|Ψ(t)i = Û (t, t0 )|Ψ(t0 )i
(VII.12)
liefert
Ĥ Û (t, t0 )|Ψ(t0 )i = i~dt Û (t, t0 )|Ψ(t0 )i
(VII.13)
Ĥ Û (t, t0 ) = i~dt Û (t, t0 )
(VII.14)
Û (t0 , t0 ) = Iˆ .
(VII.15)
bzw. die Operatorgleichung
mit der Anfangsbedingung
Dieses Anfangswertproblem kann mit Hilfe der sukzessiven Approximation gelöst werden. Zunächst wird
die Differentialgleichung in eine Integralgleichung überführt:
i
Û (t, t0 ) = Iˆ −
~
Zt
dt1 Ĥ(t1 )Û (t1 , t0 ) .
(VII.16)
t0
Wiederholtes Einsetzen liefert
i
Û (t, t0 ) = Iˆ −
~
Zt
t0
i
dt1 Ĥ(t1 ) −
~
Zt
t0



 i Zt1
dt1 Ĥ(t1 ) −
dt2 Ĥ(t2 )Û (t2 , t0 )

 ~
t0
(VII.17)
1 Schrödinger-Bild
117
und schließlich
Û (t, t0 )
=
=
i
Iˆ −
~
Iˆ +
Zt
t0
i
dt1 Ĥ(t1 ) + −
~
n
∞ X
i
−
~
n=1
dt1
t0
t0
(VII.18)
t0
t0
t0
dtn Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) . . . Ĥ(tn ) .
dt2 . . .
dt1
3
i
dt2 Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) + −
...
~
tZ
n−1
Zt1
Zt
Zt1
2 Z t
Offensichtlich gilt für die Zeitargumente
t ≥ t1 ≥ t2 ≥ . . . ≥ tn ≥ t0
.
(VII.19)
Das Produkt der Hamilton-Operatoren muß gerade entsprechend dieser Zeitordnung ausgeführt werden.
Um dies sicherzustellen, führt man den Dysonschen Zeitordnungsoperator T̂D ein über
(
Â(t0 )B̂(t00 )
t0 > t00
0
00
(VII.20)
T̂D Â(t )B̂(t ) =
B̂(t00 )Â(t0 )
t00 > t0 .
Außerdem wollen wir alle oberen Zeitintegrationsgrenzen bis t ausdehnen, müssen den n-ten Summanden
1
dann aber um n!
korrigieren. Für n = 2 gilt z. B.
Zt1
Zt
dt1
t0
1
dt2 Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) =
2
Zt
dt1
t0
t0
Zt
dt2 Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) .
(VII.21)
t0
=
t2
t2
dt1
t0
1
dt2 (. . .) =
2
Zt
Zt
dt1
t0
t0
t1
Zt1
Zt
dt2 (. . .)
t0
t0
t
t1
Allerdings ist in dieser Gleichung die Zeitordnung von Ĥ(t1 ) und Ĥ(t2 ) z. T. verletzt. Wir schauen uns
die rechte Seite genauer an. Wir spalten die Integration auf in
Zt
Zt
dt1
t0
Zt1
Zt
dt2 Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) =
t0
dt1
t0
Zt
dt2 Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) +
t0
Zt
dt1
t0
dt2 Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) .
(VII.22)
t1
Im rechten Term ist die Zeitordnung verletzt, da dort t2 ≥ t1 gilt. Also muß es für die gesamte rechte
Seite heißen
Zt
Zt1
Zt
Zt
dt1 dt2 Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) + dt1 dt2 Ĥ(t2 )Ĥ(t1 ) .
(VII.23)
t0
t0
t0
t1
Unter Anwendung von T̂D lassen sich beide Teile wieder zusammenfassen zu
Zt
T̂D
Zt
dt1
t0
dt2 Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) .
t0
(VII.24)
118
VII. Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
Dann folgt weiter
n
Zt
Zt
∞ n
o
X
i
1
Û (t1 , t0 ) = Iˆ +
−
dt1 dt2 . . . dtn T̂D Ĥ(t1 ) . . . Ĥ(tn )
~
n!
n=1
t0
t0


t
Z
∞
n


X
i
1
= T̂D Iˆ +
dt0 Ĥ(t0 )
−
.


~
n!
n=1
(VII.25)
t0
Die Aufsummation liefert formal
− ~i
Û (t, t0 ) = T̂D e
Rt
t0
dt0 Ĥ(t0 )
.
(VII.26)
Die Konvergernz der Reihe ist damit natürlich nicht automatisch gesichert, sondern ist im konkreten Fall
gesondert zu betrachten. Wenn Ĥ nicht explizit von der Zeit abhängt, kann die Integration ausgeführt
werden, und es ergibt sich
i
Û (t, t0 ) = e− ~ (t−t0 )Ĥ .
(VII.27)
2
Heisenberg-Bild
Das Heisenberg-Bild betrachtet die Zustandsvektoren als zeitlich unveränderlich. Es gilt
|Ψi = |Ψ(t0 )i ,
(VII.28)
wobei t0 die Anfangszeit ist. Die Dynamik des Systems wird hier durch die Operatoren getragen. Grundidee ist, daß der im Schrödinger-Bild vom Zustandsvektor abgespaltene Zeitentwicklungsoperator Û (t, to )
jetzt den Operatoren zugeschlagen“ wird.
”
Um beim Übergang vom Schrödinger-Bild zum Heisenberg-Bild Klarheit in der Notation zu haben, wollen
wir sowohl die Zustände und ggf. auch die Operatoren mit einem Index S bzw. H versehen. Folgender
Zusammenhang wird eingeführt.
|ΨS (t)i = Û (t, t0 )|ΨS (t0 )i = Û (t, t0 )|ΨH i ,
(VII.29)
ÂS = Û (t, t0 )ÂH Û + (t, t0 )
(VII.30)
für beliebige Operatoren  und Zustände |Ψi. Wegen der Unitarität von Û gilt dann
|ΨH i = Û + (t, t0 )|ΨS i ,
(VII.31)
+
ÂH = Û (t, t0 )ÂS Û (t, t0 ) .
(VII.32)
Für ÂH findet man durch Zeitdifferentiation folgende Bewegungsgleichung:
dt (Û + ÂS Û )
dt ÂH
=
dt ÂH
= dt Û + ÂS Û + Û + ÂS dt Û + Û + ∂t ÂS Û
(VII.33)
.
(VII.34)
Da im Schrödinger-Bild die Dynamik des Systems durch die Zustände |ΨS (t)i getragen wird, kann eine
Zeitabhängigkeit des Operators ÂS nur eine explizite äußere Zeitabhängigkeit darstellen; um dies zu
markieren, haben wir ∂t statt dt benutzt. Aus dem Schrödinger-Bild übernehmen wir
dt Û
=
dt Û +
=
i
− ĤS Û
~
i +
Û ĤS
~
(VII.35)
(VII.36)
3 Dirac-Bild
119
und erhalten
dt ÂH
=
dt ÂH
=
dt ÂH
=
dt ÂH
=
i +
(Û ĤS ÂS Û − Û + ÂS ĤS Û ) + Û + ∂t ÂS Û
~
i +
(Û ĤS Û Û + ÂS Û − Û + ÂS Û Û + ĤS Û ) + Û + ∂t ÂS Û
~
i
(ĤH ÂH − ÂH ĤH ) + ∂t0 ÂH
~
i
[ĤH , ÂH ] + ∂t0 ÂH .
~
(VII.37)
(VII.38)
(VII.39)
(VII.40)
Wir vereinbaren, daß ∂t0 nur auf eine explizite Zeitabhängigkeit von ÂS wirkt. Für konservative Systeme
wurde im vorhergehenden Abschnitt wegen
∂t ĤS = 0
Û = e
(VII.41)
− ~i (t−t0 )ĤS
(VII.42)
gefunden. Dann folgt
i
i
ĤH = e ~ (t−t0 )ĤS ĤS e− ~ (t−t0 )ĤS = ĤS
.
(VII.43)
Somit gilt aber auch
dt ĤH =
i
[ĤH , ĤH ] = 0 .
~
(VII.44)
Die Gesamtenergie ist eine Konstante der Bewegung.
Die Erwartungswerte sind im Heisenberg-Bild natürlich gleich denen im Schrödinger-Bild, da
hÂS i =
3
hΨS (t)|ÂS |ΨS (t)i
+
(VII.45)
=
hΨH |Û ÂS Û |ΨH i
(VII.46)
=
hΨH |ÂH |ΨH i
(VII.47)
=
hÂH i .
(VII.48)
Dirac-Bild
Das Dirac-Bild wird auch Wechselwirkungs-Bild genannt und stellt eine zweckmäßige Kombination
aus Schrödinger- und Heisenberg-Bild dar.
Ausgangspunkt ist das Schrödinger-Bild, in dem gilt
i
dt |ΨS (t)i = − ĤS |ΨS (t)i
~
(VII.49)
|ΨS (t)i = Û (t, t0 )|ΨS (t0 )i ,
(VII.50)
woraus unmittelbar
i
dt Û = − ĤS Û
~
folgte. Der Hamilton-Operator wird nun in der Form
ĤS = ĤS0 + ĤSW
(VII.51)
(VII.52)
und der Zeitentwicklungsoperator in der Form
Û (t, t0 ) = Û 0 (t, t0 )Û W (t, t0 )
(VII.53)
120
VII. Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
angesetzt. Ziel des Ansatzes ist es, die Zeitentwicklung in Û 0 nur durch ĤS0 herbeizuführen und die in
Û W durch ĤSW . Als Anfangsbedingung ist festgelegt
Û 0 (t0 , t0 ) = Û W (t0 , t0 ) = Iˆ .
(VII.54)
Mit dem Ansatz für Û können wir jetzt schreiben
|ΨS (t)i = Û (t, t0 )|ΨS (t0 )i = Û 0 (t, t0 )Û W (t, t0 )|ΨS (t0 )i .
(VII.55)
Für den rechten Ausläufer führen wir den neuen Zustandsvektor
|ΨD (t)i = Û W (t, t0 )|ΨS (t0 )i
(VII.56)
ein. |ΨD i ist gerade charakteristisch für das Dirac-Bild. Wie man sieht, gilt
|ΨD (t0 )i = |ΨS (t0 )i .
(VII.57)
Nun sind die Operatoren Û 0 und Û W zu ermitteln. Es wird definiert, daß Û 0 der Gleichung
i
dt Û 0 = − ĤS0 Û 0
~
(VII.58)
gehorchen soll. Die Gleichung ist i. a. durch sukzessive Approximation zu lösen. Besonders einfach ist die
Lösung für ∂t ĤS0 = 0, wo gilt
0
i
Û 0 (t, t0 ) = e− ~ (t−t0 )ĤS .
(VII.59)
Z. B. ist das ein Zweckmäßigkeitsargument, wie ĤS0 von ĤS abgetrennt werden kann. Es vebleibt die
Bestimmungsgleichung für Û W abzuleiten. Aus
i
dt Û = − ĤS Û
~
(VII.60)
folgt
i 0
dt Û 0 Û W + Û 0 dt Û W = −
ĤS + ĤSW Û 0 Û W
~
i 0 0
i
0
W
0
Û dt Û = − dt Û + ĤS Û Û W − ĤSW Û 0 Û W
~
~
|
{z
}
(VII.61)
(VII.62)
=0
i
dt Û W = − Û 0+ ĤSW Û 0 Û W
~
.
(VII.63)
Mit der Definition
W
ĤD
= Û 0+ ĤSW Û 0 ,
0
ĤD
= Û 0+ ĤS0 Û 0
(VII.64)
folgt
bzw.
i W W
dt Û W = − ĤD
Û
~
(VII.65)
i W
dt |ΨD (t)i = − ĤD
|ΨD (t)i .
~
(VII.66)
W
Damit ist das Ziel erreicht: Die Dynamik von Û 0 wird durch ĤS0 bestimmt und die von Û W durch ĤD
.
Bemerkungen:
3 Dirac-Bild
121
W
• ĤD
ist i. d. R. explizit zeitabhängig, selbst wenn ĤSW nicht explizit zeitabhängig ist.
• Die Gleichung für Û W ist deshalb durch sukzessive Approximation zu lösen.
• Wenn ĤSW nicht explizit zeitabhängig ist, kann die Lösung für Û W durch sukzessive
Approximation umgangen werden. Im Schrödinger-Bild ist Û (t, t0 ) unmittelbar angebbar
und im Dirac-Bild ist Û 0 (t, t0 ) unmittelbar angebbar. Es folgt somit
Û W (t, t0 ) = Û 0+ (t, t0 )Û (t, t0 )
(VII.67)
als geschlossen angebbare Lösung.
Für einen allgemeinen Operator Â, der im Schrödinger-Bild höchstens eine explizite Zeitabhängigkeit
aufweisen darf, definieren wir jetzt völlig analog zum Heisenberg-Bild
ÂD = Û 0+ ÂS Û 0
.
(VII.68)
Als dynamische Gleichung für ÂD folgt dann
dt ÂD
dt ÂD
dt ÂD
dt ÂD
= dt Û 0+ ÂS Û 0 + Û 0+ ÂS dt Û 0 + Û 0+ ∂t ÂS Û 0
i
i 0+ 0
Û ĤS ÂS Û 0 − Û 0+ ÂS ĤS0 Û 0 + Û 0+ ∂t ÂS Û 0
=
~
~
i
i 0+ 0 0 0+
Û ĤS Û Û ÂS Û 0 − Û 0+ ÂS Û 0 Û 0+ ĤS0 Û 0 + Û 0+ ∂t ÂS Û 0
=
~
~
i 0
=
[Ĥ , ÂD ] + ∂t0 ÂD .
~ D
Die Zeitentwicklung im Dirac-Bild wird somit durch zwei Anteile getragen:
0
• ĤS0 bzw ĤD
bewirkt die Zeitentwicklung der Operatoren.
W
bewirkt die Zeitentwicklung der Zustandsvektoren.
• ĤSW bzw ĤD
(VII.69)
(VII.70)
(VII.71)
(VII.72)
122
VII. Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
Zusammenfassung der Bilder
Schrödinger
Heisenberg
Dirac
|ΨS (t)i = Û (t, t0 )|Ψ(t0 )i
|ΨH i = |Ψ(t0 )i
|ΨD (t)i = Û W (t, t0 )|Ψ(t0 )i
ĤS = ĤS0 + ĤSW
ĤH = Û + ĤS Û
0
W
ĤD
= Û 0+ ĤS0 Û 0 , ĤD
= Û 0+ ĤSW Û 0
ÂS
ÂH = Û + ÂS Û
ÂD = Û 0+ ÂS Û 0
dt ÂS = ∂t ÂS
dt ÂH = ~i [ĤH , ÂH ] + ∂t0 ÂH
0
dt ÂD = ~i [ĤD
, ÂD ] + ∂t0 ÂD
− ~i
Û (t, t0 ) = T̂D e
Rt
t0
ĤS dt0
Û 0 (t, t0 ) = T̂D e
− ~i
Rt
− ~i
Rt
Û W (t, t0 ) = T̂D e
t0
t0
Spezialisierung auf konservative Systeme:
Schrödinger
Heisenberg
Dirac
∂t ĤS = 0
ĤH = ĤS
0
W
ĤD
= ĤS0 , ĤD
6= ĤSW
i
i
Û = e− ~ (t−t0 )ĤS
Û W
0
Û 0 = e− ~ (t−t0 )ĤS
0
i
i
= Û 0+ Û = e ~ (t−t0 )ĤS e− ~ (t−t0 )ĤS
0
ĤS
dt0
W
ĤD
dt0
Kapitel VIII
Störungstheorie
Die Kenntnis der Eigenwerte Uj des Hamilton-Operators Ĥ ist von fundamentaler Bedeutung für das
Verständnis quantenmechanischer Systeme und für die Interpretation von Messungen an diesen Systemen.
Strenge analytische Lösungen des Eigenwert-Problems sind aber nur für einfache Hamilton-Operatoren,
die meist idealisierte Modellsysteme beschreiben, möglich. Bei realen quantenmechanischen Systemen
sind strenge Lösungen in der Regel nicht zu finden. Zu brauchbaren Lösungen führt dann ggf. folgendes
Verfahren: Der Hamilton-Operator Ĥ des realen Systems wird aufgespalten in einen Anteil Ĥ0 und einen
Anteil Ĥ1 , genannt Störung. Für Ĥ0 sei das Eigenwertproblem gelöst und Ĥ1 störe dieses Eigenwertproblem nur schwach. Dann ist es möglich, mit Näherungsverfahren das reale Problem Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1
zu lösen. Es gibt zahlreiche Näherungsverfahren; die Auswahl ist vom konkreten Problem abhängig zu
machen.
1
Stationäre Störungstheorie
Hier betrachten wir einen zeitunabhängigen Hamilton-Operator
∂t Ĥ = 0 .
(VIII.1)
∂t Ĥ1 = 0 .
(VIII.2)
Insbesondere gelte
1.1
Rayleigh-Schrödinger-Methode
Wir schreiben den Hamilton Operator in der Form
Ĥ = Ĥ0 + λĤ1
,
(VIII.3)
Ungestört
^
(H0 )
wobei der Parameter λ aus Zweckmäßigkeitsgründen eingefügt
wurde. Wir gehen davon aus, daß das ungestörte Problem (nullte Ordnung) gelöst ist, also
Ĥ0 |ϕj0 i = U0j |ϕj0 i
(VIII.4)
Gestört
^
^
( H = H0 + H1 )
^
Uj
ϕj
0
gilt. j zählt die Eigenwerte und Eigenfunktionen. Die |ϕj0 i bil- ϕ i
0
den eine Orthonormalbasis. Die Störung λĤ1 sei hinreichend
klein, so daß sich die Eigenwerte und Eigenfunktionen des gestörten
Problems nur wenig verändern.
U0j
U0i
Ui
ϕj
ϕi
Für die gestörten Eigenwerte und Eigenfunktionen wird nun eine Reihenentwicklung nach Potenzen von
λ vorgenommen. Dabei ist zu unterscheiden, ob das Problem nullter Ordnung Entartung aufweist oder
nicht.
124
VIII.
Störungstheorie
1. Nichtentartete Energie-Eigenwerte nullter Ordnung
Es wird angesetzt
Uj = U0j +
∞
X
λn Unj
(VIII.5)
n=1
|ϕj i = |ϕj0 i +
∞
X
λn |ϕjn i
(VIII.6)
n=1
und hϕjn |ϕj0 i = 0 für n = 1, 2, . . . gefordert. |ϕj i ist i. a. nicht normiert. Das Energie-EigenwertProblem stellt sich dann dar in der Form
∞
∞
∞
X
X
X
Ĥ0 + λĤ1
λn |ϕjn i =
λm Umj
λn |ϕjn i .
(VIII.7)
n=0
m=0
n=0
Nun wird ein Koeffizientenvergleich bzgl. gleicher λ-Potenzen durchgeführt. Es folgt
λ0 :
Ĥ0 − U0j Iˆ |ϕj0 i = |nulli
λ1 :
Ĥ0 − U0j Iˆ |ϕj1 i = −Ĥ1 |ϕj0 i + U1j |ϕj0 i
λ2 :
Ĥ0 − U0j Iˆ |ϕj2 i = −Ĥ1 |ϕj1 i + U1j |ϕj1 i + U2j |ϕj0 i
(VIII.8)
..
.
λn
:
n
X
Ĥ0 − U0j Iˆ |ϕjn i = −Ĥ1 |ϕjn−1 i +
Umj |ϕjn−m i
m=1
Jede Gleichung wird jetzt mit hϕj0 | multipliziert. Alle linken Seiten der Gleichung verschwinden, da
hϕj0 | Ĥ0 − U0j Iˆ |ϕjn i = hnull|ϕjn i = 0
(VIII.9)
gilt. Es verbleibt
:
0 = −hϕj0 |Ĥ1 |ϕj0 i + U1j
λ2 :
..
.
0 = −hϕj0 |Ĥ1 |ϕj1 i + U2j
λn
0 = −hϕj0 |Ĥ1 |ϕjn−1 i + Unj
λ1
:
(VIII.10)
bzw.
Unj = hϕj0 |Ĥ1 |ϕjn−1 i .
Unmittelbar ausrechnen läßt sich aus dieser Beziehung aber nur U1j zu
U1j = hϕj0 |Ĥ1 |ϕj0 i ,
(VIII.11)
da |ϕj0 i bekannt ist. Für n > 1 werden die noch nicht bekannten |ϕjn−1 i benötigt. Formal läßt sich
sogar Uj angeben. So folgt
Uj
=
∞
X
λn Unj = U0j + hϕj0 |Ĥ1
Uj
=
U0j + hϕj0 |λĤ1
= hϕj0 |Ĥ0 |ϕj i +
λn |ϕjn−1 i
n=1
n=0
Uj
∞
X
∞
X
λm |ϕjm i = U0j + hϕj0 |λĤ1 |ϕj i
m=0
hϕj0 |λĤ1 |ϕj i
= hϕj0 |Ĥ|ϕj i .
(VIII.12)
1.1 Rayleigh-Schrödinger-Methode
125
Benutzt wurde
hϕj0 |ϕj0 i = hϕj0 |ϕj i = 1 .
(VIII.13)
Die Beziehung (VIII.12) ist aber nur die Reproduktion des ursprünglichen gestörten Eigenwertproblems. Zum Ausrechnen von Uj wird das noch unbekannte |ϕj i benötigt.
Wir wenden uns jetzt der Berechnung der Eigenfunktionen |ϕj i bzw. deren Anteilen |ϕjn i zu. Wir
kehren noch einmal zu den aus dem Koeffizientenvergleich gewonnenen Gleichungen (VIII.8) zurück
und multiplizieren jetzt mit dem bra hϕi0 | aber nicht mit hϕj0 |. Somit folgt
n
X
hϕi0 | Ĥ0 − U0j Iˆ |ϕjn i = −hϕi0 |Ĥ1 |ϕjn−1 i +
Umj hϕi0 |ϕjn−m i
m=1
(U0i − U0j ) hϕi0 |ϕjn i
=
und weiter
hϕi0 |ϕjn i =
(VIII.14)
n
hϕi0 |Ĥ1 |ϕjn−1 i X
hϕi |ϕj
i
−
Umj 0 n−m
U0j − U0i
U
−
U
0j
0i
m=1
.
Multiplikation dieser Beziehung mit |ϕi0 i, Summation über i und Beachtung von
X
X
|ϕjn i =
|ϕi0 ihϕi0 |ϕjn i =
|ϕi0 ihϕi0 |ϕjn i
i
liefert
(
|ϕjn i =
X
i6=j
(VIII.15)
(VIII.16)
i6=j
n
hϕi0 |Ĥ1 |ϕjn−1 i X
hϕi |ϕj
i
−
Umj 0 n−m
U0j − U0i
U
−
U
0j
0i
m=1
)
|ϕi0 i .
(VIII.17)
Da auf der rechten Seite nur Terme bis maximal der Ordnung |ϕjn−1 i auftreten, können die |ϕjn i
rekursiv berechnet werden.
Exemplarisch anwenden wollen wir diese Rekursion für die Berechnung der Korrektur 2. Ordnung
des Energie-Eigenwertes. Wir übernehmen zunächst aus (VIII.10)
U2j = hϕj0 |Ĥ1 |ϕj1 i
(VIII.18)
und weiter aus (VIII.17)
(
|ϕj1 i
=
X
i6=j
und erhalten
U2j =
)
hϕi0 |Ĥ1 |ϕj0 i
− 0 |ϕi0 i
U0j − U0i
2
j
X hϕ0 |Ĥ1 |ϕi0 i
i6=j
U0j − U0i
.
(VIII.19)
(VIII.20)
Abschließend zu diesem Abschnitt soll die Normierung der gestörten Zustände untersucht werden.
Bereits beim Ansetzen der Potenzreihe für den gestörten Zustand
j
|ϕ i =
∞
X
λn |ϕjn i
(VIII.21)
n=0
stellten wir fest, daß |ϕj i nicht normiert ist. Die Zustände nullter Ordnung wurden als normiert
vorausgesetzt, also
kϕj0 k = 1
∀j ,
(VIII.22)
und außerdem sollte
hϕjn |ϕj0 i = 0
∀n>0
(VIII.23)
126
VIII.
Störungstheorie
gelten. Wir betrachten jetzt Störungen bis zur zweiten Ordnung in den Zuständen. Dann gilt
|ϕj i = |ϕj0 i + λ|ϕj1 i + λ2 |ϕj2 i .
(VIII.24)
Die Norm ebenfalls bis λ2 betrachtet folgt zu
kϕj k2 = hϕj |ϕj i = hϕj0 |ϕj0 i + λhϕj0 |ϕj1 i
+ λhϕj1 |ϕj0 i + λ2 hϕj1 |ϕj1 i
+ λ
2
hϕj0 |ϕj2 i
2
+λ
(VIII.25)
hϕj2 |ϕj0 i
bzw.
kϕj k2 = 1 + λ2 kϕj1 k2
.
(VIII.26)
Offensichtlich ist kϕj k2 6= 1 und eine Renormierung ist erforderlich. Wir führen die Renormierungskonstante Z ein durch
1
Z = kϕj k−2 = j j
.
(VIII.27)
hϕ |ϕ i
Den renormierten Eigenzustand nennen wir |ϕj i und es gilt
√
,
kϕj k = 1 .
|ϕj i = Z|ϕj i
(VIII.28)
Die Renormierungskonstante soll nun bis zur 2. Ordnung in λ genauer ausgewertet werden. Zunächst
gilt wegen
X hϕi |Ĥ1 |ϕj i
0
0
|ϕj1 i =
|ϕi i
(VIII.29)
U0j − U0i 0
i6=j
die Gleichung
hϕj1 |ϕj1 i
X X hϕi0 |Ĥ1 |ϕj i∗ hϕi |Ĥ1 |ϕj i 0
0
0
0
0
=
hϕi0 |ϕi0 i
0
U
−
U
U
0j
0i
0j − U0i
0
i6=j i 6=j
=
X |hϕi |Ĥ1 |ϕj i|2
0
i6=j
0
(VIII.30)
(U0j − U0i )2
bzw.
hϕj |ϕj i = 1 + λ2
X |hϕi |Ĥ1 |ϕj i|2
0
i6=j
0
(U0j − U0i )2
=
1
Z
.
(VIII.31)
Für angenommene kleine λ kann approximiert werden
1
Z=
1+
λ2
P
i6=j
|hϕi0 |Ĥ1 |ϕj0 i|2
(U0j −U0i )2
≈ 1 − λ2
X |hϕj |Ĥ1 |ϕj i|2
0
i6=j
0
(U0j − U0i )2
.
(VIII.32)
Die rechte Seite kann aber auch ausgedrückt werden in der Form ∂Uj /∂U0j , da


j
i 2
X
i|
|hϕ
|
Ĥ
|ϕ
∂Uj
∂ 
1 0
0
=
U0j + λhϕj0 |Ĥ1 |ϕj0 i + λ2
∂U0j
∂U0j 
U0j − U0i 
i6=j
=
1 − λ2
X |hϕj |Ĥ1 |ϕi i|2
0
i6=j
0
(U0j − U0i )2
.
(VIII.33)
.
(VIII.34)
Folglich gilt für die Renormierungskonstante
Z=
∂Uj
∂U0j
Ohne Beweis geben wir an, daß dieses Ergebnis sogar für beliebige Ordnungen der Störungsentwicklung gilt.
1.1 Rayleigh-Schrödinger-Methode
127
2. Entartete Energie-Eigenwerte in nullter Ordnung
Wir untersuchen nun den Fall der R-fachen Entartung des Eigenwertes U0j . Die gestörten Eigenwerte Uj brauchen dabei keinerlei Entartung zu zeigen. Aber zunächst gilt
jr
Ĥ0 |ϕjr
0 i = U0j |ϕ0 i
mit
, r = 1, . . . , R
(VIII.35)
0 0
hϕj0 r |ϕjr
0 i = δjj 0 δrr 0
.
(VIII.36)
n
o
Die |ϕjr
0 i, r = 1, . . . , R spannen den Eigenraum von U0j auf. Nun wissen wir allerdings aus Abo
n
i,
r
=
1,
.
.
.
,
R
schnitt V.2.3, daß eine Basis im Eigenraum nicht eindeutig bestimmt ist. Wenn |ϕjr
0
eine Orthonormalbasis
im
Eigenraum
zu
U
darstellt,
ist
jede
aus
einer
unitären
Transformation
0j
n
o
hervorgehende Basis
mes und es gilt
|ϕ̃jr
0 i, r = 1, . . . , R
ebenfalls wieder eine Orthonormalbasis des Eigenrau-
|ϕ̃jr
0 i=
R
X
0
0
cjr r |ϕjr
0 i ,
(VIII.37)
r 0 =1
0
wobei die cjr r die Koeffizienten der unitären Transformationsmatrix darstellen. Welche |ϕ̃jr
0 i die
geeignetsten sind, werden wir anschließend ermitteln. Weiterhin ist zu bemerken, daß es im Entartungsfall nicht mehr so leicht möglich ist, geschlossene Formeln für eine beliebige Ordnung anzugeben. Wir betrachten deshalb zunächst nur die 1. Ordnung. Wenn in 1. Ordnung die Entartung
aufgehoben ist, geht es weiter wie im nichtentarteten Fall. Die Überlegungen legen folgenden Ansatz
nahe
Ujr
= U0j + λU1jr + · · ·
jr
|ϕ i =
=
|ϕ̃jr
0 i
R
X
+
λ|ϕjr
1 i
(VIII.38)
+ ···
0
0
jr
cjr r |ϕjr
0 i + λ|ϕ1 i + · · ·
(VIII.39)
r 0 =1
Mit diesen Reihen gehen wir in das allgemeine Eigenwertproblem
Ĥ0 + λĤ1 |ϕjr i = Ujr |ϕjr i
(VIII.40)
ein und erhalten aus dem Koeffizientenvergleich bis zur 1. Ordnung
λ0 :
R
X
0
0
Ĥ0 − U0j Iˆ
cjr r |ϕjr
0 i = |nulli
(VIII.41)
r 0 =1
λ1 :
R
R
X
X
0
0
0
jr 0 r jr
Ĥ0 − U0j Iˆ |ϕjr
i
=
−
Ĥ
c
|ϕ
i
+
U
cjr r |ϕjr
1jr
1
1
0
0 i
(VIII.42)
r 0 =1
r 0 =1
00
Multiplikation mit hϕjr
0 | bringt die linken Seiten zum Verschwinden. Insbesondere für die 1. Ordnung erhalten wir jetzt
λ1 :
R n
o 0
X
00
jr 0
jr r
hϕjr
=0 .
0 |Ĥ1 |ϕ0 i − U1jr δr 00 r 0 c
(VIII.43)
r 0 =1
0
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem für die cjr r . Die Lösbarkeitsbedingung (Säkularn
o
0
gleichung) liefert die U1jr . Mit den cjr r ist dann auch die bevorzugte Orthonormalbasis |ϕ̃jr
0 i
128
VIII.
Störungstheorie
des Eigenraumes bekannt, die Ĥ1 diagonalisiert. Die Freiheit der Wahl einer Orthonormalbasis im
Eigenraum ist also offensichtlich genutzt worden, um die Darstellung von Ĥ1 in die Spektraldarstellung zu transformieren. Die Säkulargleichung
n
o
00
jr 0
det hϕjr
(VIII.44)
0 |Ĥ1 |ϕ0 i − U1jr δr 00 r 0 = 0
liefert R Lösungen für die Energiekorrekturen erster Ordnung U1jr . Tatsächlich verschiedene U1jr
heben damit die entsprechende Entartung von U0j auf.
Beispiel:
0. Ordnung
1. Ordnung
U0j + λ U 1j1
nicht entartet
U0j
R=3: 3-fach entartet
U0j + λ U 1j2 = U0j + λ U 1j3
2-fach entartet
Es folgen die Energie-Eigenwerte bis zur 1. Ordnung
Ujr = U0j + λU1jr
.
(VIII.45)
Für jeden Wert U1jr lassen sich aus dem oben angegebenen linearen Gleichungssystem die unitären
0
Transformationskoeffizienten cjrr berechnen. Damit ist auch die im Eigenraum von U0j transformierte Orthonormalbasis
R
X
0
0
|ϕ̃jr
i
=
cjr r |ϕjr
(VIII.46)
0
0 i
r 0 =1
bekannt. Ist die Entartung in 1. Ordnung vollständig aufgehoben, ist weiter vorzugehen, wie im
nichtentarteten Fall. Sind gewisse bis zur 1. Ordnung korrigierte Energieniveaus weiterhin entartet,
ist für diese das Verfahren zu wiederholen.
Bemerkungen:
1. Die Rayleigh-Schrödinger-Methode wird nur selten über die 2. Ordnung hinaus angewendet, da die Formeln zunehmend unhandlicher werden. Praktisch ist die Methode nur für
wirklich kleine Störungen λĤ1 geeignet.
2. Grundsätzlich muß λĤ1 nicht klein sein. Hauptsache, die Reihenentwicklungen konvergieren.
3. Es gibt andere Methoden, die der Rayleigh-Schrödinger-Methode ähnlich sind und jeweils
ihre eigenen Vorzüge haben. Beispiele sind die Wigner-Brillouin-Methode, die ResolventenMethode u. a.
1.1 Rayleigh-Schrödinger-Methode
129
Anwendungsbeispiel: Linearer Stark-Effekt
• H-Atom im äußeren elektrischen Feld
E = E 0 e3
e3
e2
Unter dem Einfluß des elektrischen Feldes verschieben sich die Energieeigenwerte des H-Atoms.
e1
E
• Aufstellen von λĤ1
Betrachtet wird das Ruhesystem des Protons. Die Kraft des äußeren elektrischen Feldes auf das
Elektron ist dann
K = qE = −eE = −eE0 e3
(e > 0) .
(VIII.47)
Über
K = −∂x λĤ1
(VIII.48)
λĤ1 = eE0 x3
(VIII.49)
folgt
.
Wir setzen nun
λ = eE0
,
Ĥ1 = x̂3
.
(VIII.50)
• Grundzustand (j = 1)
2
– 0. Ordnung: U01 = − µc2
α2
12 ,
nicht entartet (ohne Spin)
l=0
,
m=0
– 1. Ordnung: U11 = hϕ10 |Ĥ1 |ϕ10 i
Übergang zur Ortsdarstellung
hϕ10 |Ĥ1 |ϕ10 i
Z
=
dV
0
Z
dV hϕ10 |x0 ihx0 |Ĥ1 |xihx|ϕ10 i
(VIII.51)
hx0 |Ĥ1 |xi = x3 hx0 |xi = x3 δ(x0 − x)
= x3 δ(x01 − x1 )δ(x02 − x2 )δ(x03 − x3 )
Z
1
hϕ10 |Ĥ1 |ϕ10 i =
dV ϕ1∗
0 (x)x3 ϕ0 (x)
(VIII.52)
(VIII.53)
Erinnerung: ϕjlm (x) = Rjl (r)Ylm (ϑ, ϕ) (vgl. Abschnitt IV.8.3)
j
:
Hauptquantenzahl
l
:
Drehimpulsquantenzahl
m
:
magnetische Quantenzahl
r
1
−2
ϕ10 (x) ≡ ϕ100 (x) = R10 (r)Y00 (ϑ, ϕ) = p 3 e− a0 √
4π
a0
Z
2r
4 1
U11 = 3
e− a0 r cos ϑr2 sin ϑ drdϑdϕ = 0
a0 4π
(VIII.54)
(VIII.55)
130
VIII.
Störungstheorie
wegen
Zπ
cos ϑ sin ϑdϑ = 0
(VIII.56)
0
• Erster angeregter Zustand (j = 2)
– 0. Ordnung: U02 = 14 U01 , 4-fach entartet (ohne Spin)
Zählung:
r=1 =
b {l = 0, m = 0}
;
r=2 =
b {l = 1, m = 0} ;
r=3 =
b {l = 1, m = +1} ;
r=4 =
b {l = 1, m = −1}
n
o
00
2r 0
00 r 0
– 1. Ordnung: det hϕ2r
|
Ĥ
|ϕ
i
−
U
δ
=0
1
12r
r
0
0
00
0
2r
Abkürzung: σr00 r0 = hϕ2r
0 |Ĥ1 |ϕ0 i
Erinnerung:
ϕ21
0 (x)
200
≡ϕ
(x)
=
210
ϕ22
(x)
0 (x) ≡ ϕ
=
211
ϕ23
(x)
0 (x) ≡ ϕ
=
21−1
ϕ24
(x)
0 (x) ≡ ϕ
=
1
r
2−
a0
r
1
e− 2a0 √
4π
2a0
r
r
1
1
3
r
R21 (r)Y10 (ϑ, ϕ) = √ √ 3 e− 2a0
cos ϑ
a
4π
3 2a0 0
r !
1
1
3
r − 2ar
1
sin ϑeiϕ
R21 (r)Y1 (ϑ, ϕ) = √ √ 3 e 0 −
8π
3 2a0 a0
∗
R21 (r)Y1−1 (ϑ, ϕ) = ϕ23
0
R20 (r)Y00 (ϑ, ϕ)
=√
3
(VIII.57)
(VIII.58)
(VIII.59)
(VIII.60)
Die Mehrzahl der σ’s verschwindet:
σ11 =
21
hϕ21
0 |Ĥ1 |ϕ0 i
Zπ
∝
sin ϑ dϑ cos ϑ = 0
(VIII.61)
sin ϑ dϑ cos3 ϑ = 0
(VIII.62)
sin ϑ dϑ sin2 ϑ cos ϑ = 0
(VIII.63)
0
22
σ22 = hϕ22
0 |Ĥ1 |ϕ0 i
Zπ
∝
0
23
σ33 = hϕ23
0 |Ĥ1 |ϕ0 i
Zπ
∝
0
24
σ44 = hϕ24
0 |Ĥ1 |ϕ0 i =
23
σ13 = hϕ21
0 |Ĥ1 |ϕ0 i
0
Z2π
∝
(VIII.64)
dϕ eiϕ = 0
(VIII.65)
dϕ e−iϕ = 0
(VIII.66)
0
24
σ14 = hϕ21
0 |Ĥ1 |ϕ0 i
Z2π
∝
0
1.1 Rayleigh-Schrödinger-Methode
σ23 =
131
Z2π
23
hϕ22
0 |Ĥ1 |ϕ0 i
∝
dϕ e+iϕ = 0
(VIII.67)
dϕ e−iϕ = 0
(VIII.68)
dϕ e−2iϕ = 0
(VIII.69)
0
Z2π
24
σ24 = hϕ22
0 |Ĥ1 |ϕ0 i
∝
0
Z2π
24
σ34 = hϕ23
0 |Ĥ1 |ϕ0 i
∝
0
Wegen der Hermitizität von Ĥ1 folgt
σ31 = σ41 = σ32 = σ42 = σ43 = 0 .
(VIII.70)
Nicht verschwindend ist nur das Element σ12 bzw. σ21 :
Z 1 1 1
r − ar
r
22
σ12 = hϕ21
|
Ĥ
|ϕ
i
=
2
−
e 0 r cos2 ϑ r2 dr sin ϑ dϑ dϕ
1 0
0
3
a0 8 4π
a0 a0
4
Zπ
Z∞ r
1 2π
r
r
r
= a0
2−
e− a0 d
cos2 ϑ sin ϑ dϑ
8 4π
a0
a0
a0
0
0
{z
}|
{z
}
|
II
Zπ
I:
cos2 ϑ sin ϑ dϑ = −
Z
0
Z∞
II :
n −βr
r e
dr
dn
= (−1)
dβ n
n
Z∞
0
σ12
I
π
1
2
cos ϑ 2
= − (−1 − 1) =
cos ϑ d(cos ϑ) = −
3 0
3
3
3
e−βr dr = (−1)n
n!
dn 1
= n+1
dβ n β
β
0
1 2
48 − 120
22
= hϕ21
(2 · 4! − 5!) = a0
= −3a0
0 |Ĥ1 |ϕ0 i = a0
16 3
24
∗
σ21 = σ12
= −3a0
(VIII.71)
(VIII.72)
Säkulardeterminante:
−U12r
−3a0
0
0
−3a0
−U12r
0
0
0
0
−U12r
0
0
0
0
−U12r
2
2
= U12r
− 9a20 U12r
=0
(VIII.73)
Folglich:
U121 = −3a0
,
U122 = 3a0
,
U123 = 0
,
U124 = 0
(VIII.74)
Die Entartung wird teilweise aufgehoben:
0. Ordnung
1. Ordnung
- µ c2 α2 /8 +3a0 eE0
- µ c2 α2 /8 (2-fach entartet)
- µ c2 α2 /8 -3a 0 eE0
- µ c2 α /8
2
Korrespondierende Eigenfunktionen |ϕ̃jr
0 i=
4
X
r 0 =1
P
r0
0
0
cjr r |ϕjr
0 i:
0
(σr00 r0 − U1jr δr00 r0 ) cjr r = 0
(j = 2)
(VIII.75)
132
VIII.
Störungstheorie
r = 1:

3a0
−3a0

 0
0
U121 = −3a0
−3a0
3a0
0
0
0
0
3a0
0
  211 
c
0
c221 
0 
=0

0  c231 
3a0
c241
| {z }
(VIII.76)
≡c1
 
1
1 
1

c1 = √ 

2 0
0
(VIII.77)
1 21
|ϕ̃21
|ϕ0 i + |ϕ22
0 i= √
0 i
2
(VIII.78)
y
y
r = 2:

−3a0
−3a0

 0
0
U122 = +3a0
−3a0
−3a0
0
0
0
0
−3a0
0
  212 
0
c
c222 
0 

=0
0  c232 
−3a0
c242
| {z }
(VIII.79)
≡c2

1
1 −1

c1 = √ 
2 0 
0
(VIII.80)
1 21
|ϕ̃22
|ϕ0 i − |ϕ22
0 i= √
0 i
2
(VIII.81)

y
y
r = 3:

U123 = 0
0
−3a0

 0
0
−3a0
0
0
0
  213 
c
0 0
c223 
0 0

=0
0 0 c233 
0 0
c243
| {z }
(VIII.82)
≡c3
y
y
 
0
0

c3 = 
1
0
(VIII.83)
23
|ϕ̃23
0 i = |ϕ0 i
(VIII.84)
r = 4 analog:
 
0
0

c4 =  
0
1
y
24
|ϕ̃24
0 i = |ϕ0 i
(VIII.85)
(VIII.86)
1.2 Variationsverfahren
133
Rückübersetzung in die ursprünglichen ϕjlm :
1 √ |ϕ200 i + |ϕ210 i
2
1
√ |ϕ200 i − |ϕ210 i
|ϕ̃22
0 i =
2
211
|ϕ̃23
i
=
|ϕ
i
0
(VIII.89)
|ϕ̃24
0 i
(VIII.90)
|ϕ̃21
0 i =
21−1
= |ϕ
(VIII.87)
(VIII.88)
i
Energieniveaus mit den entsprechenden Zuständen:
0. Ordnung
|ϕ200 i, |ϕ210 i |ϕ211 i, |ϕ21−1 i
1. Ordnung
l=0 & l=1, m=0
l=1, m=+
- 1
j=2
l=0 & l=1, m=0
1.2
√1
2
|ϕ200 i − |ϕ210 i
|ϕ211 i, |ϕ21−1 i
√1
2
|ϕ200 i + |ϕ210 i
Variationsverfahren
Wenn vom Hamiltonoperator Ĥ des quantenmechanischen Systems kein Störanteil“ Ĥ1 in einfacher Wei”
se abgespalten werden kann, eignet sich ein Variationsverfahren i. a. besser zur näherungsweisen Lösung
des Energieeigenwertproblems.
Zunächst betrachten wir den Grundzustand des Systems mit der Energie Umin .
Satz:
Für einen beliebigen normierten Vektor |χi des Hilbertraumes gilt
hχ|Ĥ|χi ≥ Umin
.
(VIII.91)
Ĥ|ϕj i = Uj |ϕj i .
(VIII.92)
Beweis:
|ϕj i seien die Eigenvektoren von Ĥ. Es gilt
Die Gesammtheit der |ϕj i bildet eine Orthonormalbasis. Die Spektraldarstellung von Ĥ
lautet dann
Z
X
Ĥ =
Uj |ϕj ihϕj | .
(VIII.93)
Die Darstellung von |χi lautet
|χi =
Z
X
|ϕj ihϕj |χi .
(VIII.94)
Es folgt
1 = hχ|χi =
Z
X
|hχ|ϕj i|2
(VIII.95)
134
VIII.
Störungstheorie
weiter gilt
Ĥ|χi =
=
hχ|Ĥ|χi =
Z
X
hϕj |χiĤ|ϕj i
Z
X
hϕj |χiUj |ϕj i
Z X
Z
X
0
0
hχ|ϕj ihϕj |χiUj hϕj |ϕj i
| {z }
j
=
j0
(VIII.96)
(VIII.97)
(VIII.98)
=δ(j,j 0 )
Z
X
|hχ|ϕj i|2 Uj
(VIII.99)
j
≥
Z
X
|hχ|ϕj i|2 Umin = Umin
q. e. d.
(VIII.100)
j
Auf diesen Satz wird ein Variationsverfahren aufgebaut. Der Zustandsvektor des Grundzustandes wird
geschätzt, wobei in der Schätzung freie Parameter αi enthalten sind, also
|χ, α1 , . . . , αi , . . .i .
(VIII.101)
Diese freien Parameter werden so bestimmt, daß
hχ, αi |Ĥ|χ, αi i = minimal
(VIII.102)
wird. Notwendige Bedingung dafür ist, daß
∂αk hχ, αi |Ĥ|χ, αi i = 0 .
(VIII.103)
Das so gewonnene |χi ist dann näherungsweise der Grundzustand
|χi ≈ |ϕGrundzustand i .
(VIII.104)
Ein spezielles Verfahren ist das Ritzsche Variationsverfahren. Hier wird der lineare Ansatz
|χ, αi i =
q
X
αk |Ψk i
(VIII.105)
k=1
mit vorgegebenen |Ψk i gemacht. Die notwendige Bedingung für ein Minimum führt auf ein lineares
Gleichungssystem für die αk , da hχ, αi |Ĥ|χ, αi i eine Bilinearform darstellt.
Anwendung:
Berechnung der Energie des Grundzustandes des H-Atoms
Ĥ =
p̂2
e2 1
−
2µ 4πε0 r̂
(VIII.106)
Übergang zur Ortsdarstellung:
Z
Z
dV 0 hχ, αi |xihxĤx0 ihx0 |χ, αi i
2
Z
~ 2
e2 1
∗
=
dV χ (x, αi ) − ∂x −
χ(x, αi )
2µ
4πε0 r
F (αi ) ≡ hχ, αi |Ĥ|χ, αi i =
dV
(VIII.107)
(VIII.108)
1.2 Variationsverfahren
135
mit
∂x2 =
1
1
∂r r2 ∂r + 2 Λ
2
r
r
(VIII.109)
Annahme: Der Grundzustand ist radialsymmetrisch
y χ(x, αi ) = R(r, αi )Y
mit
Z
Es verbleibt
Z
F (αi ) =
Y ∗ Y sin ϑ dϑ dϕ = 1
,
(VIII.110)
ΛY = 0 .
2
e2 1
~ 1
2
∂
r
∂
−
R(r, αi )
r dr R∗ (r, αi ) −
r
r
2µ r2
4πε0 r
(VIII.111)
(VIII.112)
1. Ansatz
R = c · e−αr
(VIII.113)
Berechnung der Normierungskonstanten aus
Z∞
1=
2 2
R r dr = c
0
y
R
=
2
Z∞
r2 e−2αr = c2
√
2 α3 e−αr
(VIII.115)
2
= −α∂r r R = −2αrR + α r R
F (α)
=
=
2 2
2
~ 1
e2 1 −αr
2 2
r2 dr e−αr −
(−2αr
+
α
r
)
−
e
2µ r2
4πε0 r
∞
2 Z
4~
8α
re−2αr dr
2µ
4α3
(VIII.114)
0
2
∂r r ∂r R
2
(2α)3
(VIII.116)
Z
(VIII.117)
0
~2
−4α
2µ
5
Z∞
r2 e−2αr dr
(VIII.118)
0
2
e
−4α
4πε0
3
Z∞
re−2αr dr
0
F (α)
=
=
∂α F (α)
α
y
Umin
2
2
2!
1
~2 1
5~
3 e
−
4α
−
4α
8α4
2µ 4α2
2µ 8α3
4πε0 4α2
~2 2
e2
α −
α
2µ
4πε0
~2
e2
α−
=0
µ
4πε0
e2 µ
1
=
=
2
4πε0 ~
a0
2
2 2 2
1
~2
e µ
e
µ
= F( ) =
−
2
a0
2µ 4πε0 ~
4πε0
~2
2 2
µ
e
= − 2
2~
4πε0
=
(VIII.119)
(VIII.120)
(VIII.121)
(VIII.122)
(VIII.123)
(VIII.124)
136
VIII.
Störungstheorie
Der Vergleich mit
Uj = −
µ
2~2
e2
4πε0
2
1
j2
(VIII.125)
liefert exakte Übereinstimmung für j = 1.
2. Ansatz (zum Vergleich):
2 2
R = c · e−α
r
(VIII.126)
Bereitstellung einiger Integrale:
Z∞
e
0
Z∞
−βr 2
=
Z∞
e
−βr 2
√
p
π −1/2
d( βr) =
β
2
(VIII.127)
0
2 −βr 2
r e
0
Z∞
dr
1
√
β
∂
= −
∂β
dr
2
r4 e−βr dr
= −
∂
∂β
0
√
Z∞
e
0
Z∞
−βr 2
dr =
π 1 −3/2
β
2 2
(VIII.128)
√
π 1 3 −5/2
β
2 22
2
r2 e−βr dr =
(VIII.129)
0
Z∞
2
r e−βr dr
=
Z∞ p
Z∞
p
2
1
1
−βr 2
√
re−r dr
βre
d( βr) = √
β
β
0
0
(VIII.130)
0
Z∞
Z2π
=
1 1
β 2π
re−r dr
(VIII.131)
=
∞
2
Z

2
1
1 1
1 1 
π=
e−x dx
=

β 2π 
β 2π
2β
(VIII.132)
dϕ
0
2
0
∞
Berechnung der Normierungskonstanten aus
Z∞
1
=
2 2
2
R r dr = c
0
1
R
√
1
π
= c2 √
8 2 α3
s √
8 2α3 −α2 r2
√ e
=
π
∂r R
2
Z∞
∂r r ∂r R
√
2 −2α2 r 2
r e
0
2
=c
π1 1
√
2 2 23 α 3
(VIII.134)
(VIII.135)
= −2α2 rR
2
(VIII.136)
3
2 2
2 3
2
(VIII.137)
4 4
(VIII.138)
= −2α ∂r r R = −6α r R − 2α r (−2α rR)
2 2
(VIII.133)
4 4
2 2
= −6α r R + 4α r R = (−6α r + 4α r )R
1.2 Variationsverfahren
F (α)
137
=
√
2
Z∞
2 2
~
8 2α3
e2 1 −α2 r2
√
r2 dr e−α r − (−6α2 + 4α4 r2 ) −
e
2µ
4πε0 r
π
=
√
Z∞
2 2
48 2α5 ~2
√
r2 e−2α r dr
π 2µ
(VIII.139)
0
0
√
Z∞
2 2
32 2α7 ~2
r4 e−2α r dr
− √
π 2µ
(VIII.140)
0
√
Z∞
2 2
8 2α3 e2
− √
r e−2α r dr
π 4πε0
0
√
√ 5 2
32 2α7 ~2 π 3
48 2α ~ π 1
2 −3/2
√
√
=
(2α )
−
(2α2 )−5/2
π 2µ 2 2
π 2µ 2 4
√
8 2α3 e2
1
− √
π 4πε0 2 2α2
√
2
48 ~ 2 96 ~2 2 8 2 1 e2
=
α −
α −
α
8 2µ
32 2µ
4 π 4πε0
√
2 2 e2
~2
α
= 3 α2 − √
2µ
π 4πε0
Umin
=
=
=
Umin
=
∂α F (α)
=
α
=
√
~2
2 e2
6 α−
=0
2µ
π 4πε0
√
√
1 2 2
e2 µ 2 2
√
√
=
4πε0 ~2 3 π
a0 3 π
√ !
1 2 2
√
F
a0 3 π
√ 2 2
√
2 2 2
~2
e
µ 4·2 2 2
e
µ 2 2
√
3
− √
2µ 4πε0
~4 9π
~2 3 π
π 4πε0
2 2
e
µ
4
8
−
4πε0
~2 3π 3π
2 2
e
µ 4
−
4πε0
~2 3π
(VIII.141)
(VIII.142)
(VIII.143)
(VIII.144)
(VIII.145)
(VIII.146)
(VIII.147)
(VIII.148)
(VIII.149)
Beim exakten Minimalwert der Energie ist 4/3π durch 1/2 zu ersetzen; der approximierte Wert unterscheidet sich nur recht wenig davon.
Das Variationsprinzip kann auch auf die Berechnung angeregter Zustände angewendet werden. Es ist
dann sicherzustellen, daß der Ansatz für den angeregten Zustand auf dem Grundzustand senkrecht steht.
Sei |χ1 i der oben ermittelte normierte Grundzustand. |χ2 i sei zunächst ein von |χ1 i linear unabhängiger
Ansatz für den angeregten Zustand, der jedoch i. a. nicht orthogonal zu |χ1 i ist. Durch Anwendung des
Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens kommt man jedoch leicht zu einem Orthogonalen |χ0 2 i. Es
ergibt sich
|χ0 2 i = |χ2 i − hχ1 |χ2 i|χ1 i .
(VIII.150)
138
VIII.
Störungstheorie
Wie man leicht sieht gilt
hχ1 |χ0 2 i = 0 .
(VIII.151)
Nun ist |χ2 i bzw. |χ0 2 i so zu bestimmen, daß
hχ0 2 |Ĥ|χ0 2 i = minimal
(VIII.152)
wird.
Das Verfahren läßt sich beliebig fortsetzen. Sei |χ3 i zunächst ein von |χ1 i, |χ0 2 i linear unabhängiger
Vektor. Nun sichert
|χ0 3 i = |χ3 i − hχ0 2 |χ3 i|χ0 2 i − hχ1 |χ3 i|χ1 i ,
(VIII.153)
daß |χ0 3 i sowohl orthogonal zu |χ1 i als auch zu |χ0 2 i ist. Jetzt ist
hχ0 3 |Ĥ|χ0 3 i = minimal
(VIII.154)
zu erreichen usw.
2
2.1
Zeitabhängige Störungstheorie
Übergangswahrscheinlichkeiten
Wir betrachten nun quantenmechanische Systeme, die durch einen Hamiltonoperator von der Form
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 (t)
(VIII.155)
beschrieben werden, wobei
∂t Ĥ0 = 0
,
∂t Ĥ1 6= 0
(VIII.156)
gelte. Das ungestörte Problem sei gelöst, d. h. das Eigenwertproblem
Ĥ0 |ϕj0 i = U0j |ϕj0 i
(VIII.157)
liefert die Eigenwerte U0j und Eigenvektoren |ϕj0 i, die als bekannt angenommen werden können.
Die zeitabhängige Störung Ĥ1 (t) kann etwa durch ein zeitlich veränderliches elektromagnetisches Feld
hervorgerufen werden. Wir gehen davon aus, daß die Störung Ĥ1 (t) erst zur Zeit t0 eingeschaltet wird;
vorher wirke nur Ĥ0 . Nach einer gewissen Zeit wird die Störung wieder abgeschaltet. Es ergibt sich nun
folgendes Problem: Wenn bei t ≤ t0 das quantenmechanische System in einem Zustand |ϕi0 i vorliegt,
dann verändert Ĥ1 (t) diesen Zustand; es kommt zur Zeitentwicklung des Systems. Nach Abschalten der
Störung befindet sich das System i. a. in einem anderen Zustand. In diesem Abschnitt soll die Frage
beantwortet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit das System vom Zustand |ϕi0 i in einen Zustand |ϕf0 i
übergeht, wenn zunächst eine Störung wirkt und dann eine Messung erfolgt.
Ĥ0
↓
|ϕi0 i
Ĥ0 + Ĥ1 (t) Ĥ0
↓
−→
Pif =?
↓
|ϕf0 i
2.1 Übergangswahrscheinlichkeiten
139
Für die Behandlung dieses Problems ist das Dirac- oder Wechselwirkungsbild besonders geeignet (vgl.
Abschnitt VII.3). Wir identifizieren die Operatoren und Zustände wie folgt:
0
ĤD
=
ĤS0 ≡ Ĥ0
ĤSW
W
ĤD
=
Ĥ1
(VIII.159)
=
Û 0+ ĤSW Û 0 = Û 0+ Ĥ1 Û 0
(VIII.160)
Û 0
=
e− ~ (t−t0 )Ĥ0
=
− ~i
Û
W
|ΨD (t)i =
(VIII.158)
i
T̂D e
Û
W
Rt
t0
(VIII.161)
W
HD
dt0
(VIII.162)
(t, t0 )|ϕi0 i
(VIII.163)
Nach Axiom Nr. 4 ist die Wahrscheinlichkeit zur Zeit t bei einer Messung den Zustand |ϕf0 i zu erhalten
Pif = |hϕf0 |ΨD (t)i|2
.
(VIII.164)
Pif = |hϕf0 |Û W |ϕi0 i|2
.
(VIII.165)
Daraus ergibt sich
Die Aufgabe besteht offensichtlich in der Berechnung der Matrix-Elemente hϕf0 |Û W |ϕi0 i. Zunächst erhalten wir
R
− i t Ĥ W dt0
hϕf0 |Û W |ϕi0 i = hϕf0 |T̂D e ~ t0 D |ϕi0 i .
(VIII.166)
Nun wird gefordert, daß die Störung Ĥ1 gegenüber Ĥ0 hinreichend schwach ist, so daß Û W bzw. die eFunktion in eine Reihe entwickelt und nach endlich vielen Gliedern abgebrochen werden kann. Tatsächlich
betrachten wir nur das erste Glied und beschränken uns somit ähnlich wie im Abschnitt VIII.1 auf
Störungen 1. Ordnung. So sei die Approximation
Û
W
i
(t, t0 ) = Iˆ −
~
Zt
W 0
ĤD
dt
(VIII.167)
t0
möglich mit der Konsequenz
hϕf0 |Û W |ϕi0 i
i
=−
~
Zt
W
hϕf0 |ĤD
|ϕi0 idt0
.
(VIII.168)
t0
Wir setzen i 6= f voraus, damit der identische Operator keinen Beitrag leistet. Das Matrix-Element des
Integranden ergibt sich nun zu
W
|ϕi0 i =
hϕf0 |ĤD
=
=
=
hϕf0 |Û 0+ Ĥ1 Û 0 |ϕi0 i
(VIII.169)
i
i
hϕf0 |e ~ (t−t0 )Ĥ0 Ĥ1 e− ~ (t−t0 )Ĥ0 |ϕi0 i
i
i
hϕf0 |e ~ (t−t0 )Û0f Ĥ1 e− ~ (t−t0 )Û0i |ϕi0 i
i
e ~ (t−t0 )(U0f −U0i ) hϕf0 |Ĥ1 |ϕi0 i
(VIII.170)
(VIII.171)
(VIII.172)
Unter Benutzung von
1
(U0f − U0i )
~
folgt für die sogenannte Übergangswahrscheinlichkeit 1. Ordnung
2
t
Z
0
1 f
0
i iωf i (t −t0 ) 0 Pif = 2 hϕ0 |Ĥ1 (t )|ϕ0 ie
dt ~ ωf i =
t0
(VIII.173)
.
(VIII.174)
140
2.2
VIII.
Störungstheorie
Wechselwirkung mit einer elektromagnetischen Welle
Als Anwendungsbeispiel der zeitabhängigen Störungstheorie betrachten wir den äußerst wichtigen Fall
der Wechselwirkung eines quantenmechanischen Ein-Elektronen-Systems mit einer elektromagnetischen
Welle. Ein derartiges quantenmechanisches System ist z. B. das Wasserstoffatom.
E, B ∝ ei(kx−ωt) + cc.
e3
x
(cc. meint konjugiert komplex“)
”
e2
e1
Wir betrachten das Ruhesystem des Kerns. In nullter Ordnung sind die Eigenwerte und Eigenfunktionen
bekannt. Sie folgen aus dem ungestörten Problem
Ĥ0 =
1 2
p̂ + V̂
2m
.
(VIII.175)
Die Störung werde jetzt durch eine transversale elektromagnetische Welle verursacht. Sie wird dargestellt
durch ihr Vektorpotential A und es gilt
B = ∂x × A
,
E = −∂t A
,
∂x A = 0
(Coulomb-Eichung)
.
(VIII.176)
Ein skalares Potential, das ein longitudinales elektrisches Feld beschreiben würde, tritt nicht auf. Die
Hamiltonfunktion dieses Systems lautet dann
H=
2
1
p − qA + V̂
2m
.
(VIII.177)
Für eine Elektron gilt q = −e (e > 0). Das Potential V̂ hat mit der Welle nichts zu tun. Für schwache
Felder kann der quadratische Term (∝ A2 ) vernachläßigt werden und wir schreiben
H=
p2
q
+ V̂ − pA
2m
m
.
(VIII.178)
Die Welle wird klassisch betrachtet, so daß sich aus der Hamiltonfunktion H der Hamiltonoperator Ĥ in
der Form
p̂2
q
Ĥ =
+ V̂ − p̂A
(VIII.179)
2m
m
ergibt. So ist offensichtlich
q
Ĥ1 (t) = − p̂A(t) .
(VIII.180)
m
Für die Welle fordern wir lineare Polarisation mit dem Polarisationsvektor n, so daß gilt
n
o
A(t) = n A0 ei(k x−ωt) + A∗0 e−i(k x−ωt)
.
(VIII.181)
Aus der Eichgleichung folgt n⊥k. Da das Feld A am Ort des Elektrons interessiert, ist im weiteren für x
der Ortsoperator x̂ zu benutzen.
2.2 Wechselwirkung mit einer elektromagnetischen Welle
141
Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns nun der Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit Pif ,
verursacht durch die Einstrahlung der beschriebenen elektromagnetischen Welle zu. Zunächst gilt
Pif
=
1
~2
=
1
~2
=
1
~2
2
t
Z
hϕf |Ĥ1 (t0 )|ϕi0 ieiωf i t0 dt0 0
0
2
Zt n
o
q
0
0
0
f
f
ik x̂ i −iωt
∗ ik x̂ i iωt
iωf i t
0
hϕ0 |p̂nA0 e |ϕ0 ie
+ hϕ0 |p̂nA0 e |ϕ0 ie
e
dt m
0
Zt
q f
hϕ |p̂nA0 eik x̂ |ϕi0 i ei(ωf i −ω)t0 dt0
m 0
(VIII.182)
(VIII.183)
(VIII.184)
0
q
+ hϕf0 |p̂nA∗0 e−ik x̂ |ϕi0 i
m
Zt
ei(ωf i +ω)t
0
0
2
0
dt ,
(VIII.185)
wobei o. B. d. A. t0 = 0 gesetzt wurde. Die Zeitintegrale ergeben
Zt
ω
e
i(ωf i ∓ω)t0
0
∓ω
fi
ωf i ∓ω sin
t
ei(ωf i ∓ω)t − 1
2
dt =
= ei 2 t ωf i ∓ω
i(ωf i ∓ ω)
2
0
sin 1/2(ωf i − ω)t
1/2(ωf i − ω)
(VIII.186)
sin 1/2(ωf i + ω)t
1/2(ωf i + ω)
fi
fi-
fi+
Die beiden Zeitintegrale sind stark lokalisiert und überlappen sich nur äußerst schwach. Der bei der
Bildung des Betragsquadrates in Pif auftretende Produktterm aus beiden Zeitintegralen kann deshalb
vernachlässigt werden. So verbleibt
Pif
=
1
~2
q
2
f
hϕ0 |p̂nA0 eik x̂ |ϕi0 i
m
1
+ 2
~
(
ωf i −ω
t
2
ωf i −ω
2
sin
q
2
f
hϕ0 |p̂nA∗0 e−ik x̂ |ϕi0 i
m
(
)2
ωf i +ω
t
2
ωf i +ω
2
sin
)2
.
(VIII.187)
Die beiden Anteile in der Übergangswahrscheinlichkeit haben eine unterschiedliche Bedeutung. Der erst
Term
(
)
2 sin ωf i −ω t 2
1 q f
abs
ik x̂ i 2
Pif = 2 hϕ0 |p̂nA0 e |ϕ0 i
(VIII.188)
ωf i −ω
~ m
2
abs
beschreibt einen Absorptionsprozeß. Pif
ist offenbar besonders groß, wenn die Wellenfrequenz ω = ωf i =
U0f −U0i
~
erfüllt.
142
VIII.
Störungstheorie
Aus ω > 0 bzw. ωf i > 0 folgt U0f > U0i . Damit ist klar, daß es sich um einen Absorptionsprozeß handeln
muß. Der zweite Term
(
)
2 sin ωf i +ω t 2
1 q f
em
∗ −ik x̂ i 2
Pif = 2 hϕ0 |p̂nA0 e
|ϕ0 i
(VIII.189)
ωf i +ω
~ m
2
em
beschreibt einen Emissionsprozeß. Pif
wird maximal bei ω = −ωf i =
Absorption
U0f
U0i
Emission
U0i
U0f
U0i −U0f
~
.
Hier gilt ωf i < 0, wodurch wiederum ω > 0 erfüllt ist. Ein spontaner Emissionsprozeß wird durch diesen Term jedoch nicht beschrieben, sondern nur der durch
die eingestrahlte Welle stimulierte Emissionsprozeß.
Ein nachdrückliches Argument für die Interpretation der beiden Terme liefert die in
dieser Vorlesung nicht behandelte Quantenelektrodynamik. Innerhalb dieser wird
auch das hier noch klassisch betrachtete Strahlungsfeld quantisiert. A0 geht dann
über in einen Vernichtungsoperator Â0 für ein Photon und A∗0 entsprechend in
einen Erzeugungsoperator Â+
0.
Die weitere Aufgabe besteht nun darin, die Matrixelemente hϕf0 |p̂nA0 e+ik x̂ |ϕi0 i
und hϕf0 |p̂nA∗0 e−ik x̂ |ϕi0 i weiter zu vereinfachen. Zunächst kann A0 bzw. A∗0 vor
das Skalarprodukt gezogen werden, da es sich um konstante Faktoren handelt. Die
Terme e±ik x̂ werden in der sogenannten Dipol-Näherung berücksichtigt.
Dipolnäherung:
x̂ beschreibt den Ort des Elektrons. Damit ist |x̂| in der Größenordnung der Atomausdehnung,
also |x̂| ∼ 1 Å = 10−10 m. k beschreibt den Wellenzahlvektor der eingestrahlten Welle mit
|k| = 2π/λ. Betrachten wir den sichtbaren Spektralbereich, dann gilt die Größenordnung
λ ∼ 500 nm= 5 · 10−7 m. Somit gilt
k x̂ ∼ 2π
10−10
∼ 10−3
5 · 10−7
(VIII.190)
und es kann approximiert werden in der Form
e±ik x̂ = Iˆ ± ik x̂ ± . . .
(VIII.191)
Die 1“ beschreibt die elektrische Dipolstrahlung während ik x̂“ die magnetische Dipolstrah”
”
lung oder die elektrische Quadrupolstrahlung ergibt. Wir beschränken uns hier auf die elektrische Dipolstrahlung und setzen
e±ik x̂ ≈ Iˆ .
(VIII.192)
Weiter auszuwerten ist das verbleibende Element hϕf0 |p̂ n|ϕi0 i. Wir befinden uns im Dirac-Bild und benutzen deshalb
i
dx̂
p̂ = m
= m [Ĥ0 , x̂] .
(VIII.193)
dt
~
Den Index D“ zur Bezeichnung des Dirac-Bildes an p̂ und x̂ haben wir dabei unterdrückt; Ĥ0 ist sowieso
”
in allen Bildern gleich. Damit folgt
i
hϕf0 |p̂ n|ϕi0 i = m nhϕf0 |[Ĥ0 , x̂]|ϕi0 i
~
x
y
i
= m nhϕf0 |(Ĥ0 x̂ − x̂Ĥ0 )|ϕi0 i
~
U0f − U0i
= mi
nhϕf0 |x̂|ϕi0 i
~
= miωf i nhϕf0 |x̂|ϕi0 i .
(VIII.194)
(VIII.195)
(VIII.196)
(VIII.197)
2.2 Wechselwirkung mit einer elektromagnetischen Welle
143
Nun wird das Dipol-Matrixelement
df i = hϕf0 |qx̂|ϕi0 i
(VIII.198)
eingeführt. Diese Definition liegt nahe, denn in Ortsdarstellung folgt
Z
df i = dV ϕf0 ∗ (x)qxϕi0 (x) .
(VIII.199)
Man vergleiche dies mit der klassischen Definition des Dipolmomentes 1 . Somit ergibt sich
abs
Pif
em
Pif
(
=
2
ωf2 i
2
|A0 | n df i 2
~
(
=
2
ωf2 i
2
|A0 | n df i 2
~
ωf i −ω
t
2
ωf i −ω
2
)2
ωf i +ω
t
2
ωf i +ω
2
)2
sin
sin
(VIII.200)
.
(VIII.201)
2
Die Amplitude |A0 | wird im weiteren ersetzt durch die Strahlungsintensität I(ω) bei der Frequenz ω.
I(ω) ist identisch mit dem Betrag des zeitgemittelten Poyntingvektors |π(t)|. Die Elektrodynamik liefert
den Zusammenhang
1
1
π =E×H =
E × B = − ∂t A × ∂x × A
,
(VIII.202)
µ0
µ0
woraus mit
A =
A0 ei(k x−ωt) + A∗0 e−i(k x−ωt)
(VIII.203)
A =
2n |A0 | cos (k x − ωt + ϕ)
(VIII.204)
∂t A =
∂x × A =
2ωn |A0 | sin (k x − ωt + ϕ)
(VIII.205)
−2k × n |A0 | sin (k x − ωt + ϕ)
(VIII.206)
zunächst
π
=
=
1
2
ωn × (k × n) |A0 | sin (k x − ωt + ϕ)
µ0
1
2
4 ωk |A0 | sin (k x − ωt + ϕ)
µ0
4
(VIII.207)
(VIII.208)
folgt. Einarbeitung der Vakuum-Dispersionsrelation
k ≡ |k| =
ω √
= ε0 µ0 ω
c
(VIII.209)
ergibt
r
ε0 k 2
2
π=4
ω |A0 | sin (k x − ωt + ϕ) ,
µ0 k
(VIII.210)
woraus durch zeitliche Mittelung
r
ε0 k 2
2 1
π(t) = 4
ω |A0 |
µ0 k
2
(VIII.211)
r
ε0 2
2
I(ω) = 2
ω |A0 |
µ0
(VIII.212)
folgt. Wir erhalten
1 z. B.
im Skript Klassische Feldtheorie“, Gleichung IV.15
”
.
144
VIII.
Störungstheorie
2
Umstellen nach |A0 | und einsetzen in die Übergangswahrscheinlichkeit liefert
abs
Pif
em
Pif
2.3
r
=
1
2
r
=
1
2
2
ε0 1 ωf2 i n df i I(ω)
µ0 ~2 ω 2
(
2
ε0 1 ωf2 i I(ω)
n
d
f
i
µ0 ~2 ω 2
(
ωf i −ω
t
2
ωf i −ω
2
)2
ωf i +ω
t
2
ωf i +ω
2
)2
sin
sin
(VIII.213)
.
(VIII.214)
Fermi’s Goldene Regel
abs
Wir diskutieren nun die Zeit- und Frequenzabhängigkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten Pif
bzw.
em
abs
em
Pif . Die Formeln werden nur für Pif aufgeschrieben. Durch die Ersetzung ω → −ω folgt Pif .
Das Verhalten des zeitabhängigen Terms ist sehr selektiv. Er wird sogar δ-artig, denn eine Darstellung
der δ-Funktion hat die Form
2
1 sin xε
1
.
(VIII.215)
δ(x) = lim
x
π ε→0 ε
ε
Somit folgt mit ε =
2
t
(
ωf i −ω
t
2
ωf i −ω
2
sin
)2
(
=
t
2t
2
(
=
1
2t
ε
−→
t
1
2 = ε →∞
ωf i −ω
t
2
ωf i −ω
t
2
sin
ωf i −ω
ε
ωf i −ω
ε
sin
)2
(VIII.216)
)2
2tπδ(ωf i − ω) .
(VIII.217)
(VIII.218)
Folglich kommt es zu einem Übergang i → f nur, wenn ωf i ≈ ω erfüllt ist. Es ist dann von Vorteil, die
abs
Übergangsrate dPif
/dt einzuführen, und man erhält FermiŽs Goldene Regel
abs
dPif
=
dt
r
2
ε0 π n df i I(ωf i )δ(ωf i − ω) .
2
µ0 ~
(VIII.219)
2.4 Auswahlregeln
2.4
145
Auswahlregeln
Das in FermiŽs Goldener Regel auftretende Dipol-Matrixelement
df i = hϕf0 |qx̂|ϕi0 i ≡ qξ
(VIII.220)
kann für bestimmte Kombinationen von Ausgangs- und Endzuständen (i bzw. f ) verschwinden. Dann
gibt es derartige Übergänge nicht. Die erlaubten Übergänge, d. h. die Übergänge mit nichtverschwindendem Dipolmatrixelement bezeichnet man als ausgewählt. Sie folgen bestimmten Auswahlregeln. Einige
Auswahlregeln sollen für das Wasserstoffatom abgeleitet werden.
Anfangszustand |ϕi0 i =
b
Endzustand
|ϕf0 i
=
b
Quantenzahlen ni , li , mi
(VIII.221)
Quantenzahlen nf , lf , mf
(VIII.222)
In Ortsdarstellung ergibt sich nun
ξ ≡ hϕf0 |x̂|ϕi0 i =
Z∞
r2 dr
0
Zπ
Z2π
sin ϑdϑ
0
mf ∗
dϕ Rn∗ f lf Ylf
i
x Rni li Ylm
i
.
(VIII.223)
0
Mit


r sin ϑ cos ϕ
x =  r sin ϑ sin ϕ 
r cos ϑ
(VIII.224)
und den Ausdrücken für Ylm aus (IV.272) folgt
Z∞



Z2π
sin ϑ
cos ϕ
m
i 
sin ϑ  sin ϑdϑ ei(mi −mf )ϕ  sin ϕ  dϕ
ξ = Rnf lf Rni li r3 dr Plf f Plm
i
cos ϑ
1
0
0
0
{z
}|
{z
}|
{z
}
|

Zπ
≡ξr
≡ξ
≡ξ
ϑ
.
(VIII.225)
ϕ
Am einfachsten sind die Komponenten von ξ ϕ zu berechnen:
• ξ ϕ1 :
Z2π
ξ ϕ1
=
ei(mi −mf )ϕ cos ϕdϕ
0
=
1
2
Z2π
e
0
i(mi −mf +1)ϕ
1
dϕ +
2
Z2π
ei(mi −mf −1)ϕ dϕ
0
1
1
=
2πδmf mi +1 + 2πδmf mi −1
2
2
= π δmf mi +1 + δmf mi −1
;
(VIII.226)
es gilt die Auswahlregel
∆m = mf − mi = ±1
.
(VIII.227)
146
VIII.
Störungstheorie
• ξ ϕ2 :
Z2π
ξ ϕ2
=
ei(mi −mf )ϕ sin ϕdϕ
0
Z2π
=
1
2i
=
π
δmf mi +1 − δmf mi −1
i
e
i(mi −mf +1)ϕ
1
dϕ −
2i
0
Z2π
ei(mi −mf −1)ϕ dϕ
0
;
(VIII.228)
es gilt ebenfalls
∆m = mf − mi = ±1
.
(VIII.229)
• ξ ϕ3 :
Z2π
ξ ϕ3 =
ei(mi −mf )ϕ dϕ = 2πδmi mf
;
(VIII.230)
0
es gilt die Auswahlregel
∆m = mf − mi = 0 .
(VIII.231)
Für die Auswertung der Komponenten von ξ ϑ sind einige Eigenschaften der Legendre-Polynome auszunutzen. Ohne Rechnung geben wir an, daß die Auswahlregel
∆l = lf − li = ±1
(VIII.232)
folgt. Der Radialanteil ξr verschwindet nicht systematisch; es ergibt sich keine weitere Auswahlregel.
Alle anderen Übergänge, die den Auswahlregeln ∆l = ±1, ∆m = 0, ±1 nicht gehorchen, sind verboten.
2.4 Auswahlregeln
147
Bemerkungen:
• Die in Abschnitt VIII.2 behandelte zeitabhängige Störungstheorie in 1. Näherung beschreibt nur
Ein-Photonen-Prozesse in Absorption oder Emission.
Ein-Photon-Absorption
Ein-Photon-Emission
f
i
hω
hω
i
f
• Zur Beschreibung von Zwei-Photonen-Prozessen bedarf es der Näherung 2. Ordnung.
Zwei-Photonen-Absorption
h ω2
Zwei-Photonen-Emission
f
h ω2
h ω1
i
h ω1
i
f
Raman-Streuung
h ω2
f
h ω1
i
• Für Mehr-Photonen-Prozesse gilt entsprechendes.
148
VIII.
Störungstheorie
Kapitel IX
Drehimpuls und Spin
Im Abschnitt III.9 wurde der Bahndrehimpuls
L̂ = x̂ × p̂
(IX.1)
eines Teilchens untersucht und die Vertauschungsregeln
~
[L̂i , L̂j ] = − εijk L̂k
i
(IX.2)
[L̂2 , L̂] = 0
(IX.3)
gefunden, aus denen sich weiterhin
berechnet. Es galten die Eigenwertgleichungen
L̂2 |l, mi =
~2 l(l + 1)|l, mi
(IX.4)
L̂3 |l, mi =
~m|l, mi
(IX.5)
mit den Drehimpulsquantenzahlen l = 0, 1, 2, . . . und den magnetischen Quantenzahlen m = −l, . . . , +l.
Die Eigenfunktionen |l, mi ergaben in der in Abschnitt IV.9 benutzten Ortsdarstellung die Kugelflächenfunktionen Ylm .
Die abgeleiteten Vertauschungsregeln beruhen letztendlich auf der Isotropie des Raumes. Es sollen deshalb
im weiteren allein die Vertauschungsregeln zur Charakterisierung eines beliebigen Drehimpulses - also
nicht nur des Bahndrehimpulses - herangezogen werden. Zur Unterscheidung bezeichnen wir diesen mit
Ĵ. Es wird somit gefordert, daß
~
[Jˆ1 , Jˆ2 ] = − Jˆ3
i
~
[Jˆ2 , Jˆ3 ] = − Jˆ1
i
,
,
~
[Jˆ3 , Jˆ1 ] = − Jˆ2
i
(IX.6)
gilt und folglich auch
ˆ =0
[Jˆ2 , J]
1
.
(IX.7)
Eigenwerte von Jˆ2 und Jˆ3
Zunächst werden die beiden Operatoren
Jˆ+
Jˆ−
≡ Jˆ1 + iJˆ2
≡ Jˆ1 − iJˆ2
(IX.8)
(IX.9)
eingeführt. Dann gilt
Jˆ1
=
Jˆ2
=
1 ˆ
(J+ + Jˆ− )
2
1 ˆ
(J+ − Jˆ− )
2i
(IX.10)
(IX.11)
150
IX.
Drehimpuls und Spin
sowie
(Jˆ+ )+ = Jˆ−
,
(Jˆ− )+ = Jˆ+
.
(IX.12)
Für Jˆ+ und Jˆ− lassen sich folgende Kommutator-Relationen ableiten:
[Jˆ3 , Jˆ+ ]
= Jˆ3 (Jˆ1 + iJˆ2 ) − (Jˆ1 + iJˆ2 )Jˆ3 = [Jˆ3 , Jˆ1 ] + i[Jˆ3 , Jˆ2 ]
~
~
= − Jˆ2 + i Jˆ1 = ~Jˆ+
i
i
~
~
[Jˆ3 , Jˆ− ] = [Jˆ3 , Jˆ1 ] − i[Jˆ3 , Jˆ2 ] = − Jˆ2 − i Jˆ1 = −~Jˆ−
i
i
[Jˆ+ , Jˆ− ] = [Jˆ+ , Jˆ1 ] − i[Jˆ+ , Jˆ2 ] = i[Jˆ2 , Jˆ1 ] − i[Jˆ1 , Jˆ2 ] = 2~Jˆ3
[Jˆ2 , Jˆ+ ] = [Jˆ2 , Jˆ− ] = 0
(IX.13)
(IX.14)
(IX.15)
(IX.16)
Weiterhin berechnen wir
Jˆ2
Jˆ− Jˆ+
Jˆ+ Jˆ−
1
1
= Jˆ12 + Jˆ22 + Jˆ32 = (Jˆ+ Jˆ− + Jˆ− Jˆ+ ) − (−Jˆ+ Jˆ− − Jˆ− Jˆ+ ) + Jˆ32
4
4
1 ˆ ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(J+ J− + J− J+ ) + J3 = ~J3 + J− J+ + Jˆ32 = −~Jˆ3 + Jˆ+ Jˆ− + Jˆ32
=
2
ˆ
= Jˆ2 − Jˆ3 (Jˆ3 + ~I)
ˆ
= Jˆ2 − Jˆ3 (Jˆ3 − ~I)
(IX.17)
(IX.18)
(IX.19)
Wegen der Vertauschbarkeit von Jˆ2 und Jˆ3 haben beide Operatoren eine gemeinsame Eigenbasis. Die Ei2
genwerte von Jˆ zählen wir mit dem Index j und die von Jˆ3 mit m, so daß die gemeinsamen Eigenvektoren
sowohl von j als auch von m abhängen. Wir schreiben
Jˆ2 |j, mi = aj |j, mi
Jˆ3 |j, mi = bm |j, mi .
(IX.20)
(IX.21)
|j, mi sei normiert. Noch ist nicht klar, ob j und m diskret oder kontinuierliche Indizes darstellen. Wir
werden ihre Eigenschaften durch die Anwendung von Operatormethoden herauspräparieren.
Aus der Eigenwertgleichung für Jˆ2 folgt unmittelbar
aj
= hj, m|Jˆ2 |j, mi
= hj, m|Jˆ12 |j, mi + hj, m|Jˆ22 |j, mi + hj, m|Jˆ32 |j, mi
=
=
hj, m|Jˆ1+ Jˆ1 |j, mi + hj, m|Jˆ2+ Jˆ2 |j, mi + hj, m|Jˆ3+ Jˆ3 |j, mi
kJˆ1 |j, mik2 + kJˆ2 |j, mik2 + kJˆ3 |j, mik2 ≥ 0 .
(IX.22)
(IX.23)
(IX.24)
(IX.25)
Dann läßt sich aj immer in der Form
aj = ~2 j(j + 1)
mit
j≥0
(IX.26)
darstellen. Bisher ist j noch reell möglich. Da wir m auch als reell zulassen müssen, können wir den
reellen Eigenwert bm auch diskret in ~m umbenennen. Wir können also vorläufig schreiben
Jˆ2 |j, mi = ~2 j(j + 1)|j, mi
j ≥ 0, reell
Jˆ3 |j, mi = ~m|j, mi
m reell .
(IX.27)
(IX.28)
Wir stellen nun eine Relation zwischen j und m her. Dazu wird Jˆ+ Jˆ− und Jˆ− Jˆ+ auf |j, mi angewendet.
Es folgt
h
i
ˆ |j, mi = ~2 [j(j + 1) − m(m + 1)] |j, mi
Jˆ− Jˆ+ |j, mi = Jˆ2 − Jˆ3 (Jˆ3 + ~I)
(IX.29)
h
i
ˆ |j, mi = ~2 [j(j + 1) − m(m − 1)] |j, mi .
Jˆ+ Jˆ− |j, mi = Jˆ2 − Jˆ3 (Jˆ3 − ~I)
(IX.30)
1 Eigenwerte von Jˆ2 und Jˆ3
151
Projektion auf hj, m| und Beachtung der Adjungiertheit von Jˆ+ und Jˆ− zueinander liefert
hj, m|Jˆ− Jˆ+ |j, mi =
hj, m|(Jˆ+ )+ Jˆ+ |j, mi = kJˆ+ |j, mik2
~2 [j(j + 1) − m(m + 1)] ≥ 0
hj, m|Jˆ+ Jˆ− |j, mi = hj, m|(Jˆ− )+ Jˆ− |j, mi = kJˆ− |j, mik2
=
(IX.31)
= ~2 [j(j + 1) − m(m − 1)] ≥ 0
(IX.32)
Die gewonnenen Ungleichungen lassen sich auswerten und ergeben
j(j + 1) − m(m + 1)
j(j + 1) − m(m − 1)
=
j 2 + j − m2 − m = (j + m)(j − m) + j − m
=
(j − m)(j + m + 1) ≥ 0
2
(IX.33)
2
=
j + j − m + m = (j + m)(j − m) + j + m
=
(j + m)(j − m + 1) ≥ 0
(IX.34)
Die erste Ungleichung ist erfüllt, wenn
(a)
j−m≥0
y
&
m≤j
y
&
j+m+1≥0
(IX.35)
−j−1≤m
(IX.36)
−j − 1 ≤ m ≤ j
(IX.37)
oder
(b)
j−m≤0
y
&
j≤m
y
&
j+m+1≤0
(IX.38)
m ≤ −j − 1
(IX.39)
j ≤ m ≤ −j − 1
(IX.40)
Wegen j ≥ 0 ist (b) auszuschließen.
Die zweite Ungleichung ist erfüllt, wenn
(c)
j+m≥0
y
&
−j ≤ m
y
&
j−m+1≥0
(IX.41)
m≤j+1
(IX.42)
−j ≤ m ≤ j + 1
(IX.43)
oder
(d)
j+m≤0
y
&
m ≤ −j
y
Wegen j ≥ 0 ist (d) auszuschließen.
&
j−m+1≤0
(IX.44)
j+1≤m
(IX.45)
j + 1 ≤ m ≤ −j
(IX.46)
152
IX.
Drehimpuls und Spin
Der Durchschnitt aus (a) und (c) ergibt
−j ≤m≤j
.
(IX.47)
Damit ist eine Relation zwischen j und m gefunden. Im folgenden werden weitere Eigenschaften von j
untersucht.
Für m = j gilt
kJˆ+ |j, jik = 0 .
(IX.48)
Jˆ+ |j, ji = |nulli .
(IX.49)
kJˆ− |j, −jik = 0
(IX.50)
Jˆ− |j, −ji = |nulli .
(IX.51)
Folglich ist
Analog folgt für m = −j
und somit
Für m < j wenden wir auf Jˆ+ |j, mi die Operatoren Jˆ2 und Jˆ3 an und erhalten unter Beachtung der
Kommutatorregeln von (IX.16), (IX.27), (IX.13) und (IX.28)
Jˆ2 Jˆ+ |j, mi = Jˆ+ Jˆ2 |j, mi = ~2 j(j + 1)Jˆ+ |j, mi
Jˆ3 Jˆ+ |j, mi =
~Jˆ+ + Jˆ+ Jˆ3 |j, mi = ~(m + 1)Jˆ+ |j, mi .
(IX.52)
(IX.53)
Folglich ist Jˆ+ |j, mi Eigenvektor von Jˆ2 zum Eigenwert ~2 j(j + 1) und von Jˆ3 zum Eigenwert ~(m + 1).
Jˆ+ |j, mi beschreibt einen Drehimpulszustand zu den Quantenzahlen (j, m + 1). Jˆ+ |j, mi muß deshalb zu
|j, m + 1i proportional sein:
Jˆ+ |j, mi = cm |j, m + 1i .
(IX.54)
Für m = j − 1 und nochmalige Anwendung von Jˆ+ erhält man
2
Jˆ+
|j, j − 1i = cJˆ+ |j, ji = |nulli .
(IX.55)
p-fache Wiederholung liefert dann für m = j − p
p+1
Jˆ+
|j, j − pi = |nulli .
(IX.56)
p
Für m < j − p wenden wir auf Jˆ+
|j, mi die Operatoren Jˆ2 und Jˆ3 an und erhalten
p
Jˆ2 Jˆ+
|j, mi =
=
p
|j, mi =
Jˆ3 Jˆ+
=
=
p−1
Jˆ+ Jˆ2 Jˆ+
|j, mi = . . .
p ˆ2
p
ˆ
J+ J |j, mi = ~2 j(j + 1)Jˆ+
|j, mi
p−1
~Jˆ+ + Jˆ+ Jˆ3 Jˆ+
|j, mi
p−2
2
2 ˆ
~Jˆ+
+ Jˆ+
J3 + Jˆ+ ~Jˆ+ Jˆ+
|j, mi
p−2
2
2 ˆ
|j, mi
2~Jˆ+
+ Jˆ+
J3 Jˆ+
(IX.57)
..
.
=
=
p
p ˆ
p~Jˆ+
+ Jˆ+
J3 |j, mi
p
~(m + p)Jˆ+
|j, mi .
(IX.58)
1 Eigenwerte von Jˆ2 und Jˆ3
153
p
Somit ist Jˆ+
|j, mi Eigenvektor zu Jˆ2 zum Eigenwert ~2 j(j + 1) und Eigenvektor von Jˆ3 zum Eigenwert
~(m + p). p kann dabei den Bereich p = 0, 1, 2, . . . , j − m durchlaufen.
Nun gehen wir von
Jˆ− |j, −ji = |nulli
aus und betrachten m > −j. Auf Jˆ− |j, mi werden Jˆ2 und Jˆ3 angewendet und es folgt
Jˆ2 Jˆ− |j, mi =
Jˆ3 Jˆ− |j, mi =
Jˆ− Jˆ2 |j, mi = ~2 j(j + 1)Jˆ− |j, mi
Jˆ− Jˆ3 − ~Jˆ− |j, mi = ~(m − 1)Jˆ− |j, mi .
(IX.59)
(IX.60)
(IX.61)
Somit ist Jˆ− |j, mi Eigenvektor von Jˆ2 zum Eigenwert ~2 j(j + 1) und Eigenvektor von Jˆ3 zum Eigenwert
~(m − 1). Jˆ− |j, mi muß deshalb zu |j, m − 1i proportional sein:
Jˆ− |j, mi = dm |j, m − 1i .
(IX.62)
Für m = −j + q, wobei q = 1, 2, . . . ist, folgt
q
Jˆ2 Jˆ−
|j, mi =
q
ˆ
ˆ
J3 J− |j, mi =
q ˆ2
q
Jˆ−
J |j, mi = ~2 j(j + 1)Jˆ−
|j, mi
q
ˆ
~(m − q)J |j, mi .
−
(IX.63)
(IX.64)
q
Somit sind die Vektoren Jˆ−
|j, mi mit q = 1, 2, . . . , j + m Eigenvektoren von Jˆ2 zum Eigenwert ~2 j(j + 1)
und Eigenvektoren von Jˆ3 zu den Eigenwerten ~(m − q).
Zwischenbilanz:
Für m = j − p sind
p
p
Jˆ+
|j, mi = Jˆ+
|j, j − pi
;
p = 1, 2, . . .
(IX.65)
Eigenvektoren von Jˆ2 und Jˆ3 und
für m = −j + q sind
q
q
Jˆ−
|j, mi = Jˆ−
|j, −j + qi
;
q = 1, 2, . . .
(IX.66)
ebenfalls Eigenvektoren von Jˆ2 und Jˆ3 . Weitere Eigenvektoren gibt es nicht (ohne Beweis).
Jeder Eigenvektor von Jˆ2 und Jˆ3 korrespondiert damit zu einer Kombination
m=j−p
(IX.67)
oder
m = −j + q
.
(IX.68)
Substrahieren wir die beiden Gleichungen, so gilt
p + q = 2j
,
(IX.69)
q − p = 2m
.
(IX.70)
addieren wir sie, ergibt sich
Da p und q ganzzahlig sind und oben bereits j ≥ 0 und −j ≤ m ≤ j gezeigt wurde, erhält man für j und
m folgende möglichen Werte:
j
=
m
=
1
3
0, , 1, , 2, . . .
2
2
−j, −j + 1, . . . , j
(IX.71)
.
(IX.72)
154
IX.
Drehimpuls und Spin
Neben den ganzzahligen Quantenzahlen j und m, die bereits vom Bahndrehimpuls L̂2 , L̂3 bekannt sind,
gibt es offensichtlich halbzahlige Quantenzahlen.
Ob es quantenmechanische Systeme mit halbzahligen Drehimpulsquantenzahlen gibt und welche halbzahligen Quantenzahlen realisiert sind, muß das Experiment entscheiden. Die Überlegungen bisher erlauben
nur, daß es derartige Systeme geben könnte.
2
Eigenvektoren von Jˆ2 und Jˆ3
Wir betrachten einen Eigenvektor |j, mi als vorgegeben. Für festes j können aus
Jˆ+ |j, mi = cm |j, m + 1i
Jˆ− |j, mi = dm |j, m − 1i
Jˆ+ |j, ji = |nulli
(IX.73)
(IX.74)
(IX.75)
Jˆ− |j, −ji = |nulli
(IX.76)
alle 2j + 1 normierten Eigenvektoren des zugehörigen Unterraumes konstruiert werden. Imgrunde sind
nur noch die cm und dm zu berechnen. Normbildung liefert
kJˆ+ |j, mik = |cm | =
q
+ ˆ
hj, m|Jˆ+
J+ |j, mi =
q
hj, m|Jˆ− Jˆ+ |j, mi .
(IX.77)
Aus dem vorhergehenden Abschnitt übernehmen wir
hj, m|Jˆ− Jˆ+ |j, mi = ~2 (j − m)(j + m + 1)
.
(IX.78)
Es folgt
cm = ~
p
j−m
p
j+m+1
.
(IX.79)
Von einem Phasenfaktor sehen wir ab.
Analog gilt
kJˆ− |j, mik = |dm | =
q
hj, m|Jˆ+ Jˆ− |j, mi
(IX.80)
mit
hj, m|Jˆ+ Jˆ− |j, mi = ~2 (j + m)(j − m + 1)
(IX.81)
und somit
p
j + m j − m + 1 = cm−1
(IX.82)
p
p
j − m j + m + 1|j, m + 1i
(IX.83)
p
p
Jˆ− |j, mi = ~ j + m j − m + 1|j, m − 1i
(IX.84)
dm = ~
p
p-fache Iteration von
Jˆ+ |j, mi = ~
und q-fache Iteration von
liefern die p + q = 2j weiteren Eigenvektoren, um den 2j + 1-dimensionalen Unterraum für ein festes j
aufzuspannen.
3 Stern-Gerlach-Effekt
3
155
Stern-Gerlach-Effekt
Ein quantenmechanisches Ein-Teilchen-System der Ladung q und der Masse µ im Potential V̂ (x̂) und im
äußeren Magnetfeld B wird durch den Hamilton-Operator
Ĥ =
ˆ2
(p̂ − qAI)
+ V̂ (x̂)
2µ
(IX.85)
beschrieben. Für schwache Felder (Vernachlässigung von Termen ∝ A2 ) geht Ĥ über in
Ĥ =
p̂2
q
+ V̂ (x̂) −
L̂ B
2µ
2µ
(IX.86)
(vgl. ÜA, Normaler Zeemann-Effekt). Dem Bahndrehimpuls L̂ wird auf diese Weise ein magnetisches
Moment µ̂L über
q
µ̂L =
L̂
(IX.87)
2µ
zugeordnet. Da für die ausgezeichnete Komponente L̂3 die Eigenwert-Gleichung
L̂3 |l, mi = ~m|l, mi
gilt, folgt auch
µ̂L3 |l, mi =
,
m = −l, . . . , +l
(IX.88)
q
~m|l, mi ≡ µB m|l, mi .
2µ
Für Elektronen ist
µB = 927 · 10−26
(IX.89)
J
eV
= 5, 788 · 10−5
T
T
(IX.90)
und heißt Bohrsches Magneton.
In einem inhomogenen Magnetfeld B(x) = (0, 0, B(x)) wirkt auf das System die Kraft
K = ∂x (mµB B) .
(IX.91)
Bei einer Messung sind m = −l, . . . , +l Indikationen zu erwarten. Wenn kein Bahndrehimpuls (l = 0)
vorliegt, wirkt auch keine Kraft.
Beim Stern-Gerlach-Versuch wird ein Strahl von Alkali-, Wasserstoff-, Silber-, Kupfer-, oder Goldatomen
durch ein stark inhomogenes Magnetfeld geleitet. Alle genannten Atome haben ein Valenzelektron und
sind damit in guter Näherung Ein-Teilchen-Systeme. Im Grundzustand, in dem sich ein Valenzelektron
unter den gegebenen Bedingungen überwiegend befindet, gilt aber l = m = 0 (s-Zustand). Es liegt kein
Bahndrehimpuls und damit auch kein magnetisches Moment vor. Im Experiment kommt es jedoch zu
einer Aufspaltung in zwei Teilstrahlen.
monochromatischer
Ag-Strahl
inhomogenes Magnetfeld
Schirm
Vom Bahndrehimpuls kann das magnetische Moment nicht stammen. Es wurde experimentell nachgewiesen, daß das magnetische Moment auch nicht vom Atomrumpf (bzw. Atomkern beim Wasserstoffatom)
kommt: Bei Ag + u. a. Ionen tritt kein Stern-Gerlach-Effekt auf.
156
IX.
Drehimpuls und Spin
Schlußfolgerung:
Das Elektron besitzt ein magnetisches Eigenmoment - genannt Spin - vekoppelt mit einem
Eigendrehimpuls, der nichts mit der Bahnbewegung zu tun hat. Es gilt
j=
1
2
1 1
m = − ,+
2 2
;
.
(IX.92)
Um zum Ausdruck zu bringen, daß der Spin und nicht ein allgemeiner Drehimpuls betrachtet wird, ersetzt
man die allgemeine Drehimpulsquantenzahl j durch die Spinquantenzahl s
j→s=
1
2
,
(IX.93)
die magnetische Quantenzahl m durch die magnetische Spinquantenzahl ms
m → ms =
1 1
,−
2 2
,
(IX.94)
und die Operatoren entsprechend
Jˆ2 → Ŝ 2
4
,
Jˆ3 → Ŝ3
,
usw.
(IX.95)
Paulische Spinmatrizen
Die beiden Spinzustände s = 21 , ms =
1
2
bzw. s = 12 , ms = − 12 werden mit
1 1
1 1
| , i und | , − i
2 2
2 2
(IX.96)
markiert. Es gelten die Eigenwertgleichungen
1
1
3
1
1 1
Ŝ 2 | , ms i = ~2
+ 1 | , ms i = ~2 | , ms i
2
2 2
2
4
2
1
1
1 1
Ŝ3 | , ms i = ~m| , ms i = ± ~| , ms i ,
2
2
2 2
(IX.97)
(IX.98)
wobei h 21 , ms | 12 , ms i = 1, h 12 , 12 | 12 , − 12 i = 0 gilt. Die Vertauschungsregeln (IX.6) übertragen sich zu
h
h
h
i
i
i
~
~
~
Ŝ1 , Ŝ2 = − Ŝ3
,
Ŝ2 , Ŝ3 = − Ŝ1
,
Ŝ3 , Ŝ1 = − Ŝ2 .
(IX.99)
i
i
i
Für Ŝ+ und Ŝ− folgt aus Abschnitt IX.2
r
r
1
1
1
1
Ŝ+ | , ms i = ~
− ms
+ ms + 1| , ms + 1i
2
2
2
2
r
r
1
1
1
1
Ŝ− | , ms i = ~
+ ms
− ms + 1| , ms − 1i
2
2
2
2
1 1
Ŝ+ | , i = |nulli
2 2
1 1
1 1
Ŝ+ | , − i = ~| , i
2 2
2 2
1 1
1 1
Ŝ− | , i = ~| , − i
2 2
2 2
1 1
Ŝ− | , − i = |nulli
2 2
(IX.100)
(IX.101)
(IX.102)
(IX.103)
(IX.104)
(IX.105)
4 Paulische Spinmatrizen
157
Wie man sieht, gilt
2
2
Ŝ+
= Ŝ−
=0 .
(IX.106)
Die Spin-Eigenzustände | 12 , 12 i und | 21 , − 12 i spannen einen 2-dimensionalen Unteraum des Hilbertraumes
auf und bilden eine Orthonormalbasis. Unter Benutzung dieser Basis erhält man für die Operatoren
folgende Darstellungen:
S−
1
3
1
1 0
= h , ms |Ŝ 2 | , m0s i = ~2
0 1
2
2
4
1
1
0 1
= h , ms |Ŝ+ | , m0s i = ~
0 0
2
2
1
1
0 0
= h , ms |Ŝ− | , m0s i = ~
1 0
2
2
1
Ŝ+ + Ŝ− 1 0
~
= h , ms |
| , ms i =
2
2
2
2
S1
Ŝ+ − Ŝ− 1 0
1
| , ms i =
= h , ms |
2
2i
2
1
1
~ 1
= h , ms |Ŝ3 | , m0s i =
2
2
2 0
S2
S+
S2
S3
~
2
0
−1
0
1
0
i
(IX.107)
(IX.108)
(IX.109)
1
0
−i
0
(IX.110)
(IX.111)
(IX.112)
Die Paulischen Spin-Matrizen sind nun über
σi =
2
S
~ i
(IX.113)
zu
σ1 =
0
1
1
0
,
σ2 =
0
+i
−i
0
0
1
,
σ3 =
1
0
0
−1
(IX.114)
definiert. Zusammen mit
I=
1
0
(IX.115)
bilden die Paulischen Spin-Matrizen eine Basis im Raum der 2 × 2-Matrizen.
Analog zu den Matrizen definiert man die Paulischen Spin-Operatoren σ̂ zu
σ̂ =
2
Ŝ
~
.
(IX.116)
Die Operatoreigenschaften übertragen sich natürlich auf die Matrizen. So gilt z. B.
σ 2+ = σ 2− = 0 ,
(IX.117)
σ ± = σ 1 ± iσ 2
(IX.118)
wobei
ist, oder
h
i
2
σ1 , σ2 = − σ3
i
etc.
(IX.119)
158
5
IX.
Drehimpuls und Spin
Zur Theorie des Elektronenspins
Durch den Spin ist die Anzahl der unabhängigen Variablen, die das Elektron beschreiben, erhöht worden:
Neben Orts- und Impulsoperator x̂ bzw. p̂ tritt der Eigendrehimpulsoperator Ŝ, der sich im Unterschied zum Bahndrehimpulsoperator L̂ auch nicht auf x̂ und p̂ zurückführen läßt. Damit ist klar, daß die
Schrödinger-Gleichung in der bis jetzt benutzten Form den Spin nicht zu beschreiben vermag.
Es stellt sich heraus, daß der Spin in der relativistischen Verallgemeinerung der Schrödinger-Gleichung,
der sogenannten Dirac-Gleichung, streng beschrieben wird. Die Dirac-Gleichung wird im Rahmen der
Fortsetzungsvorlesung Quantenmechanik II“ behandelt. Hier soll sie nur angegeben, aber nicht ausge”
wertet werden. Die Dirac-Gleichung hat die Form
(γ j pj − mc)Ψ = 0.
.
(IX.120)
Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention. pj ist der vierdimensionale Impulsoperator
pj =
~
(∂x1 , ∂x2 , ∂x3 , ∂ct )
i
,
(IX.121)
γ j sind die 4 × 4-Dirac-Matrizen und Ψ ist die vierdimensionale Wellenfunktion
Ψ = (Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , )T
.
(IX.122)
Die Dirac-Gleichung liefert neben dem Spin selbst auch einen Wechselwirkungsterm zwischen dem Spin
und dem Bahndrehimpuls des Elektrons - die sogenannte Spin-Bahn-Kopplung . Die Spin-Bahn-Kopplung
macht die Energieniveaus des Wasserstoffatoms nicht nur von der Hauptquantenzahl n, sondern auch von
der Drehimpulsquantenzahl l abhängig. Die damit verbundene Aufspaltung der Energieniveaus führt auf
die Feinstruktur des Spektrums. Die Niveauaufspaltung wird maßgeblich durch die Sommerfeldsche
Feinstrukturkonstante α festgelegt.
Zwischen der Schrödinger-Gleichung und der Dirac-Gleichung ist die Pauli-Gleichung angesiedelt. Sie ist
eine nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung. Die Pauli-Gleichung hat die Form
Ĥ Ψ = i~∂t Ψ
(IX.123)
und sieht damit formal aus wie die Schrödinger-Gleichung. Allerdings ist der Pauli-Hamilton-Operator
kein skalarer Operator mehr sondern der 2 × 2-Matrizen-Operator
1
2
Ĥ =
(p̂ − qA) + V̂ (x̂) δ + µB σ B ,
(IX.124)
2µ
wobei σ ein dreidimensionaler Vektor“ ist, bei dem die 3 Komponenten die Paulischen Spinmatrizen
”
darstellen. Ψ ist zweikomponentig
Ψ+
Ψ=
(IX.125)
Ψ−
und erfaßt gerade die beiden Spinquantenzahlen ms = + 21 und ms = − 21 .
6
Pauli-Prinzip
Mit der Einführung des Spins kommt zu den bisherigen Quantenzahlen (Hauptquantenzahl n, Drehimpulsquantenzahl l, magnetische Quantenzahl m) noch die Spinquantenzahl ms hinzu. Die Anzahl der
möglichen Zustände und ggf. die Entartung von Energieniveaus erhöht sich damit um den Faktor 2.
Für eine bestimmte Kombination n, l, m, ms gilt das Pauli-Prinzip oder Ausschließungsprinzip:
6 Pauli-Prinzip
159
Zwei Elektronen eines quantenmechanischen Systems können nie in allen Quantenzahlen übereinstimmen.
Dieses Prinzip ist nicht näher begründbar; es ist eine Erfahrungstatsache und wird für Mehrelektronensysteme zum Axiom erhoben. Es gilt nicht nur für Elektronen, sondern für alle Teilchen mit halbzahligem
Spin - die sogenannten Fermionen. Für Teilchen mit ganzzahligem Spin - die sogenannten Bosonen - gilt
das Ausschließungsprinzip nicht. In Bosonen-Systemen können sich beliebig viele Teilchen (z. B. Photonen
oder Phononen) im gleichen Zustand befinden.
160
IX.
Drehimpuls und Spin
Kapitel X
Quantenmechanischer Messprozess
Zur Illustration der nachfolgenden Überlegungen wird ein Modellsystem herangezogen, das an das WasserstoffAtom angelehnt ist, wir nennen es “abgerüstetes H-Atom“. Es bestehe nur aus den beiden niedrigsten
Niveaus mit den Energie-Eigenwerten U1 und U2 .
U2
|200i, |21-1i, |210i, |211i
U1
|100i
U1 ist nicht entartet, U2 ist 4-fach entartet. Die Zustände |n l mi werden durch die Hauptquantenzahl n (n = 1, 2), die Drehimpulsquantenzahl l (l = 0, . . . , n − 1) und die magnetische Quantenzahl m
(m = −l, . . . , l) festgelegt. Der Spin wird nicht betrachtet. Der Hilbertraum des Modellsystems ist damit
5-dimensional. Der Eigenraum zum Energieeigenwert U1 ist 1-dimensional, der zu U2 4-dimensional.
1
1.1
Präparation eines Quantensystems
Reine Zustände
Axiom Nr. 4 besagt, dass bei der Messung einer Observablen A ein Eigenwert an mit der Wahrscheinlichkeit
P (an ) = |hn|Ψi|2
(X.1)
gemessen wird, wenn sich das System vor der Messung im Zustand |Ψi befand. Aber wie kann man den
Zustand |Ψi festlegen und das System damit präparieren?
Ein Messprozess selbst beinflusst das System und legt den Zustand des Systems fest. Ausgehend von
einem beliebigen Zustand |Ψi befindet sich das System nach der Messung im Zustand |ni, falls an als
Messgrösse angezeigt wird. Eine sofortige weitere Messung von A (“quasi-gleichzeitig“) muss natürlich
wieder an liefern; also ist zu fordern
P (an )
=
1
P (am )
=
0
(X.2)
für m 6= n .
(X.3)
Folglich muss nach der ersten Messung
|Ψi = |ni
(X.4)
gelten; |Ψi wurde durch die erste Messung auf |ni projiziert. Wenn an nicht entartet ist, ist das System
damit eindeutig präpariert. Es befindet sich im wohlbekannten Zustand |ni. Im Sinne des Axioms Nr. 4
ist also für eine weitere Messung nun |Ψi = |ni. In diesem nichtentarteten Fall ist |ni ein so genannter
reiner Zustand.
162
X.
|Ψi
Zustand:
Messwert:
1. Messung
−→
Quantenmechanischer Messprozess
|ni
an
2. Messung
−→
|ni
an
Energie-Messung am abgerüsteten H-Atom: Die Energiemessung ergebe als Messergebnis den Eigenwert U1 . Dann befindet sich das System im reinen Zustand |100i. Wenn die Energiemessung
allerdings den Eigenwert U2 ergibt, ist unklar in welchem Zustand sich das System befindet. Es
könnte |200i oder |21-1i oder |210i oder |211i oder eine beliebige normierte Linearkombination
sein. Sicher ist nur, dass der Zustand im Eigenraum von U2 liegt. Ein solcher nur teilweise bekannter Zustand heisst gemischter Zustand.
1.2
Gemischte Zustände
Wenn bei einer Messung ein entarteter Eigenwert ar angezeigt wird, befindet sich das System unmittelbar
nach der Messung im Eigenraum von ar und alle Zustände in diesem Eigenraum sind möglich. Das System
befindet sich dann in einem sog. gemischten Zustand. Auch sofortige wiederholte Messung der gleichen
Observablen liefert zwar wiederum den Messwert ar , aber zu einer eindeutigen Präparation des Systems
käme es dadurch nicht. Eine eindeutige Präparation ist dennoch möglich, nämlich durch die Messung
anderer kompatibler Observablen. Dies wird in nachfolgenden Abschnitten beschrieben.
Zunächst wird die Handhabung von Gemischen - d.h. Gemischen von Zuständen, nicht etwa Gemischen
von Systemen - untersucht. Wir nehmen an, das System kann sich in den Zuständen
|Ψ1 i, |Ψ2 i, . . . , |Ψα i, . . .
befinden. Die Zustände |Ψα i müssen nicht gleichberechtigt sein, sondern die Zahlen
p1 , p2 , . . . , pα , . . .
sollen die Zustände wichten. Es soll gelten
X
pα = 1
,
0 ≤ pα ≤ 1
.
α
Dann ist pα die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System im Zustand |Ψα i vorliegt. Weiterhin wird
angenommen
hΨα |Ψα i = 1 .
Orthogonalität wird i.a. nicht vorausgesetzt,
hΨα |Ψβ i =
6 0 .
Der Erwartungswert einer Observablen A beschrieben durch den hermiteschen Operator  ist für ein
Gemisch wie folgt zu konstruieren. Der quantenmechanische Erwartungswert im Zustand |Ψα i ist bekanntlich
hÂiα = hΨα |Â|Ψα i .
(X.5)
Diese Ergebnisse sind nun mit den Gewichten pα klassich zu mitteln, also
X
hÂi =
pα hÂiα
α
hÂi =
X
pα hΨα |Â|Ψα i .
(X.6)
α
Das Gemisch ist eine inkohärente Überlagerung reiner Zustände, die verschiedenen |Ψα i interferieren
nicht. Die quantenmechanische Erwartungswertbildung hingegen geschieht mittels Wahrscheinlichkeitsamplituden und führt zu Interferenztermen.
1.3 Statistischer Operator
163
Messung des entarteten Energieeigenwertes U2 am abgerüsteten H-Atom: Das System befindet sich
nach Messung von U2 in einem gemischten Zustand. Alle Zustände seien gleich gewichtet, also
p200 = p21−1 = p210 = p211 =
1
4
.
Folglich ist der Energie-Mittelwert
o
1n
h200|Ĥ|200i + h21 − 1|Ĥ|21 − 1i + h210|Ĥ|210i + h211|Ĥ|211i
4
1
= {U2 + U2 + U2 + U2 } = U2 .
4
Der Mittelwert des Drehimpuls-Quadrates ist
o
2
2
2
2
1n
h200|L̂ |200i + h21 − 1|L̂ |21 − 1i + h210|L̂ |210i + h211|L̂ |211i
4
3
1
.
= ~2 {0 + 1 · 2 + 1 · 2 + 1 · 2} = ~2
4
2
1.3
Statistischer Operator
Für eine einheitliche Handhabung von reinen und gemischten Zuständen ist es vorteilhaft, den statistischen Operator ςˆ einzuführen:
X
ςˆ :=
|Ψα ipα hΨα | .
(X.7)
α
Der statistische Operator des reinen Zustandes ist als Spezialfall in der Definition enthalten. Das Gemisch
wird zu einem reinen Zustand, wenn
p1 = 1,
p2 = p3 = . . . = 0
gilt. Der Superscript 1 ist dann überflüssig und es schreibt sich für den reinen Zustand
ςˆ = |ΨihΨ| .
(X.8)
Der Erwartungswert einer Observablen A berechnet sich dann aus
hÂi = Sp ςˆÂ
.
(X.9)
Beweis: {|bk i} sei ONB.
Sp ςˆÂ
=
=
Z
X
hbk |ˆ
ς Â|bk i
Zk X
X
k
=
X
=
X
=
hÂi
hbk |Ψα ipα hΨα |Â|bk i
α
pα
α
Z
X
hΨα |Â|bk ihbk |Ψα i
k
α
p hΨα |Â|Ψα i
α
Eigenschaften des statistischen Operators:
q.e.d.
164
X.
Quantenmechanischer Messprozess
• ςˆ = ςˆ+
• Sp(ˆ
ς ) = 1, denn
Z
Z X
X
X
hbk |ˆ
ς |bk i =
pα hbk |Ψα ihΨα |bk i
k
α
k
=
X
=
X
=
X
=
1
Z
X
p
hΨα |bk ihbk |Ψα i
α
α
k
pα hΨα |Ψα i
α
pα
α
q.e.d.
• Sp ςˆ2 ≤ 1, denn
Sp ςˆ2
=
=
Z
X
hbk |ˆ
ς 2 |bk i
Zk X X
X
α
k
β
=
XX
=
XX
=
XX
α
β
≤
X
α
α
pα pβ hΨα |Ψβ i
β
α
Z
X
hΨβ |bk ihbk |Ψα i
k
α β
α
β
p p hΨ |Ψ ihΨβ |Ψα i
β
p
α
=
pα pβ hbk |Ψα ihΨα |Ψβ ihΨβ |bk i
pα pβ |hΨα |Ψβ i|2
| {z }
≤1
X
β
p
β
1
q.e.d.
(X.10)
Die Matrixelemente ςik von ςˆ in der Darstellung mit einer ONB {|bi i} bilden die sog. Dichtematrix
ςik = hbi |ˆ
ς |bk i .
(X.11)
Die Diagonalelemente sind nichtnegativ, denn
ςii
=
=
hbi |ˆ
ς |bi i
X
pα hbi |Ψα ihΨα |bi i
α
=
X
pα |hbi |Ψα i|2 ≥ 0
q.e.d.
α
Wenn die Zustände |Ψα i zeitabhängig sind, also |Ψα (t)i, so wird auch ςˆ zeitabhängig. Im folgenden wird
die Bewegungsgleichung für ςˆ (t) abgeleitet. Die Betrachtung erfolgt im Schrödinger-Bild.
Voraussetzung: Im Zeitintervall (t0 , t) bleibt das System sich selbst überlassen und wird nicht gestört.
Dann gilt
dt pα
α
=
|Ψ (t)i =
0
Û (t, t0 ) |Ψα (t0 )i .
1.4 Verträgliche Messungen
165
Weiter gilt
ςˆ (t0 )
X
=
pα |Ψα (t0 )ihΨα (t0 ) |
,
α
=
X
ςˆ (t)
=
X
ςˆ (t)
= Û (t, t0 ) ςˆ (t0 ) Û + (t, t0 )
ςˆ (t)
pα |Ψα (t)ihΨα (t) |
α
pα Û (t, t0 ) |Ψα (t0 )ihΨα (t0 ) |Û + (t, t0 )
α
.
Differentiation liefert
dt ςˆ
=
dt Û
ςˆ (t0 ) Û + + Û ςˆ (t0 ) dt Û +
.
Bekanntlich gilt
i~dt Û = Ĥ Û
,
woraus folgt
i~dt ςˆ = Ĥ Û ςˆ (t0 ) Û + − Û ςˆ (t0 ) Û + Ĥ
i~dt ςˆ = Ĥ ςˆ (t) − ςˆ (t) Ĥ
h
i
i~dt ςˆ = Ĥ, ςˆ
.
(X.12)
Diese Gleichung heisst auch von-Neumann-Gleichung. Sie ist das quantenmechanische Analogon zur
Liouville-Gleichung.
1.4
Verträgliche Messungen
Es soll nun die Frage behandelt werden, wie ein sich in einem gemischten Zustand befindliches System
weiter zu behandeln ist, um es schliesslich eindeutig zu präparieren, d.h. in einen reinen Zustand zu
überführen.
Betrachten wir zunächst das abgerüstete H-Atom, das bei einer Messung der Energie den Eigenwert
U2 lieferte und damit in einem gemischten Zustand vorliegt. Die Entartung lässt sich reduzieren,
wenn Drehimpuls gemessen wird. Ist das Ergebnis der Drehimpuls-Messung l = 0, ist ein reiner
Zustand bereits erreicht, denn nur |200i ist möglich. Ist das Ergebnis der Drehimpuls-Messung aber
l = 1, liegt wiederum ein Gemisch aus |21 − 1i, |210i, |211i vor. Diese Entartung lässt sich nun
vollständig aufheben, wenn zusätzlich noch die Bahndrehimpuls-Komponente L̂3 gemessen wird.
Als Ergebnis ergibt sich |21 − 1i oder |210i oder |211i. In jedem Fall liegt dann ein reiner Zustand
vor und das System ist eindeutig präpariert. Wichtig ist, dass die drei nacheinander ausgeführten
Messungen verträglich sind, d.h. dass bei den Messungen überhaupt die gleichen Eigenvektoren
2
erreicht werden. Das ist aber der Fall, da Ĥ, L̂ und L̂3 miteinander kommutieren und damit
verträglich sind und ein gleiches Eigenvektor-System besitzen:
h
i
h
i
h 2
i
(X.13)
Ĥ, L̂2 = 0 ,
Ĥ, L̂3 = 0 ,
L̂ , L̂3 = 0 .
Um diese Vertauschbarkeit zu verdeutlichen, betrachten wir in Ortsdarstellung die Operatoren (vgl.
(IV.354), (IV.352) und (IV.250)):
L̂3
=
L̂2
=
Ĥ
=
~
∂ϕ
i
(X.14)
1
1
∂θ sin θ∂θ +
∂2
sin θ
sin 2 θ ϕ
~2 1
~2 1
2
−
∂
r
∂
+
V
(r)
−
Λ
r
r
2µ r2
2µ r2
−~2 Λ = −~2
(X.15)
(X.16)
166
X.
Quantenmechanischer Messprozess
Die Vertauschbarkeit ergibt sich unmittelbar aus dem Satz von Schwarz.
Präparation des abgerüsteten H-Atoms:
Ĥ
|100i
Ĥ
|2 . . .i
|Ψi −→
oder
|Ψi
−→
ist bereits reiner Zustand
Gemisch aus 4 Zuständen
L̂2
|2 . . .i
oder
−→
|2 . . .i
−→
L̂2
|200i
reiner Zustand
|21 . . .i
Gemisch aus 3 Zuständen
L̂3
|21 − 1i
rein
L̂
|210i
rein
L̂
|211i
rein
|21 . . .i
oder
−→
|21 . . .i
oder
3
−→
|21 . . .i
3
−→
Die Verallgemeinerung liegt nun auf der Hand. Für eine eindeutige Präparation eines Systems in einen
reinen Zustand sind hinreichend viele Observable in die Messung einzubeziehen, wobei diese Observable
untereinander verträglich sein müssen. Durch die Nacheinanderausführung der Messung aller verträglicher
Observablen wird die Entartung immer weiter eingeschränkt bis schliesslich ein reiner Zustand vorliegt.
Man sagt, dass ein vollständiger Satz von verträglichen Observablen notwendig ist, um ein System in
einen reinen Zustand zu präparieren.
1.5
Nichtverträgliche Messungen
Für zwei Observable, die nicht vertauschbar sind, gibt es kein gemeinsames Eigenvektorsystem. Es ist
somit nicht möglich, nicht vertauschbare Observablen gleichzeitig (oder quasi-gleichzeitig) zu messen.
Exemplarisch betrachten wir
h
i
~
L̂2 , L̂3 = − L̂1 .
(X.17)
i
Misst man L̂3 , dann wird ein Ausgangszustand |Ψi auf einen Eigenvektor von L̂3 projiziert. Für eine unmittelbar darauffolgende Messung von L̂2 kann man den sich einstellenden Messwert nur mit der
Wahrscheinlichkeit gemäss Axiom Nr. 4 erhalten. Der ursprüngliche Zustand (Eigenzustand von L̂3 ) wird
bei der Messung von L̂2 zunichte gemacht, denn es stellt sich ein Eigenzustand von L̂2 ein und der ist nicht
gleichzeitig ein Eigenzustand von L̂3 . L̂2 und L̂3 lassen sich nicht gleichzeitig messen - genauer gesagt,
nicht gleichzeitig scharf messen. Die Unschärfe wird gerade durch die Heisenberg’sche Unschärferelation
bestimmt, die in Gleichung (IV.100) für x̂ und p̂ forumuliert wurde und sich auf beliebige nichtkommutierende Observable verallgemeinern lässt.
2
Quanten-Zeno-Effekt
Betrachtet werde ein quantenmechanisches diskretes System, dass unmittelbar nach der Messung der
Observablen A zur Zeit t0 im nichtentarteten Eigenzustand |ai vorliegt. Das System ist somit eindeutig
präpariert. Der Eigenwert sei a.
Das quantenmechanische System wird als ein zeitabhängiges System betrachtet; es darf sogar eine explizite
(äussere) Zeitabhängigkeit Ĥ (t) vorliegen. Dann entwickelt sich das System zeitlich und die zeitliche
Entwicklung wird durch einen Zeitentwicklungsoperator Û (t, t0 ) beschrieben, wobei Û durch Ĥ bestimmt
2 Quanten-Zeno-Effekt
167
wird. Es gilt im Schrödinger-Bild
|Ψ (t)i = Û (t, t0 ) |ai .
(X.18)
Für t > t0 wird |Ψ (t)i i.a. kein Eigenzustand von  sein. Da Û (t, t0 ) stetig aus dem identischen Operator Iˆ
hervorgeht, bewegt sich |Ψ (t)i stetig von |ai weg. Wird nun  in kurzen Abständen wiederholt gemessen,
bevor sich |Ψ (t)i weit von |ai entfernt hat und nahe an andere Eigenzustände |a0 i gelangt, so ist die
Wahrscheinlichkeit hoch (nahe bei 1), wiederum a zu messen:
P (a) = |ha|Ψ (t) |2 ≤ 1
.
(X.19)
∼
Der Zustand |Ψ (t)i wird dann durch die Messung wieder auf |ai zurückprojiziert. Durch wiederholte
Messung kann somit die dynamische Entwicklung eines quantenmechanischen Systems vollständig unterbunden werden. Das Quantensystem wird in seinem Zustand |ai eingefroren“. Man nennt dies den
”
Quanten-Zeno-Effekt.
Zenon (490 - 430 BC), griechischer Philosoph, der das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte
formuliert hat, nachdem jegliche Bewegung logisch unmöglich sein sollte.
In der klassischen Mechanik ist der Zeno-Effekt unmöglich; der Quanten-Zeno-Effekt ist demgegenüber
keine Paradoxie. Er ist experimentell nachgewiesen und eine direkte Folge der Besonderheiten des Messprozesses in der Quantenphysik.
Beispiel:
Ein Quantensystem besitze die beiden Eigenzustände |ai und |a0 i.
|a0 i
|Ψ (t)i
α (t)
|ai
|Ψ (t)i dreht sich entsprechend α (t) stetig aus |ai heraus. Wenn t genügend klein ist, gilt
P (a)
0
P (a )
=
=
|ha|Ψ (t)i|2 = cos2 α (t) ,
0
(X.20)
2
2
|ha |Ψ (t)i| = sin α (t) ,
cos α (t) sin α (t),
wenn α π/2
(X.21)
,
P (a) P (a0 )
(X.23)
Die Gesamtdynamik des Systems wird damit durch zwei Anteile bestimmt:
Dynamik I:
Dynamik II:
Û (t, t0 ) bzw. Ĥ (t)
Messprozess
|Ψ (t)i
−→
Projizieren
oder Kollaps“
”
(X.22)
|ai
168
X.
Quantenmechanischer Messprozess
Kapitel XI
Verschränkung
1
Zusammengesetzte quantenmechanische Systeme
Betrachtet werde ein System, das aus zwei Untersystemen zusammengesetzt ist. Die Untersysteme werden
mit A und B bezeichnet. A und B stehen in Verbindung und wechselwirken miteinander. Beispiele:
A
B
• System aus zwei Teilchen
• System aus zwei Photonen
• System aus Atom und Photon
• System aus einem Atom mit einem Bahnfreiheitsgrad und einem Spinfreiheitsgrad
An den jeweiligen einzelnen Untersystemen können getrennt voneinander Messungen durchgeführt werden.
Der Einfachheit halber betrachten wir Modell-Untersysteme, die sich je nur in 2 nichtentarteten Zuständen
befinden können. Folgende Bezeichnungen werden eingeführt:
Untersystem A
|1i
|2i
Untersystem B
|ui
|vi
Am Untersystem A wird eine bestimmte Observable gemessen (die nicht weiter spezifiziert werden soll)
und als Eigenzustände ergeben sich |1i oder |2i. Am Untersystem B wird i.a. eine andere Observable
gemessen und als Eigenzustände ergeben sich |ui oder |vi. Alle Zustände sind normiert und es gilt
h1|2i =
0 ,
(XI.1)
hu|vi =
0 .
(XI.2)
Alle Zustände seien rein. Nun werden die beiden Untersysteme zusammen als ein System (Gesamtsystem)
betrachtet. Bei einer Doppelmessung sind folgende Kombinationen möglich:
(1 u), (1 v), (2 u), (2 v).
170
XI.
Verschränkung
Die Zustände des Gesamtsystems nach einer Doppelmessung werden nun folgendermassen definiert:
|1ui := |1i|ui
(XI.3)
|1vi := |1i|vi
(XI.4)
|2ui := |2i|ui
(XI.5)
|2vi := |2i|vi
(XI.6)
Die rechten Seiten stellen sog. Produktzustände dar. Konjugation wird definiert durch
|1ui+ := h1u| := hu|h1|
(XI.7)
h1u|2vi := h1|2ihu|vi
(XI.8)
usw.
Skalarprodukte werden definiert durch
usw., also untersystemweise“.
”
Der allgemeine Zustand des Gesamtsystems ergibt sich dann als Linearkombination (Superposition):
|Ψi = c1u |1ui + c1v |1vi + c2u |2ui + c2v |2vi .
(XI.9)
Die c’s sind komplexe Zahlen. Befindet sich das System in einem allgemeinen Zustand |Ψi, so ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Doppelmessung z.B. Untersystem A im Zustand |1i zu erhalten und Untersystem
B im Zustand |ui gegeben durch
P (1, u)
= |h1u|Ψi|2
(XI.10)
2
= |c1u h1u|1ui + c1v h1u|1vi + c2u h1u|2ui + c2v h1u|2vi|
(XI.11)
= |c1u h1|1ihu|ui + c1v h1|1ihu|vi + c2u h1|2ihu|ui + c2v h1|2ihu|vi|2
(XI.12)
= |c1u |2
(XI.13)
.
Das System geht in diesem konkreten Fall mit der angegebenenWahrscheinlichkeit in |1ui über:
|Ψi −→ |1ui .
(XI.14)
Wird nur am Untersystem A gemessen und stellt sich dort z.B. der Zustand |1i ein, dann gilt für den
Gesamtzustand:
|Ψi −→ |Ψ0 i =
=
c01u |1ui + c01v |1vi
|1i (c01u |ui
+
c01v |vi)
(XI.15)
.
(XI.16)
|Ψ0 i ist hier ein Produktzustand und muss natürlich normiert sein.
2
Verschränkte Zustände
Der allgemeine Zustand des Gesamtsystems wurde im Abschnitt XI.1 in der Form
|Ψi = c1u |1ui + c1v |1vi + c2u |2ui + c2v |2vi
(XI.17)
dargestellt. Hierin sind u.a. auch Zustände enthalten, die sich nicht als Produktzustände schreiben lassen,
z.B.
1
|Ψi = √ (|1ui + |2vi) .
(XI.18)
2
3 EPR-Paradoxon
Offensichtlich ist
171
1
|Ψi = √ (|1i|ui + |2i|vi)
2
(XI.19)
nicht faktorisierbar. Solche nicht faktorisierbaren Zustände heissen verschränkte Zustände. Man sagt dann
auch, die beiden Untersysteme sind verschränkt. Für einen solchen verschränkten Zustand kann man insbesondere nicht mehr sagen, das Untersystem A befindet sich im Zustand |1i (oder |2i) und das Untersystem B im Zustand |ui (oder |vi). Weder Untersystem A noch Untersystem B haben einen bestimmten
Zustand; ihre Zustände sind in bestimmter Weise überlagert und miteinander korreliert.
Nun werden Messungen am System ausgeführt, dass sich in einem verschränkten Zustand befindet. Exemplarisch betrachten wir
1
(XI.20)
|Ψi = √ (|1ui + |2vi) .
2
Zunächst wird die zugehörige Observable des Untersystems A gemessen. Das Untersystem A wird damit
auf |1i oder |2i projiziert. Das Gesamtsystem geht dann über in
(a) |Ψi −→ |1ui
oder
(b) |Ψi −→ |2vi .
Das Untersystem B befindet sich dann im Zustand |ui unter der Bedingung, dass Untersystem A im
Zustand |1i angelangt ist. Das Untersystem B kann sich aber auch im Zustand |vi befinden, unter der
Bedingung, dass Untersystem A im Zustand |2i angelangt ist.
Wir wollen nun der Einfachheit halber voraussetzen, dass die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von |1i oder |2i gleich sind, also 1/2 und ebenso die Wahrscheinlichkeiten für |ui oder |vi auch
gleich 1/2 sind. In einem klassischen System wäre dann die Wahrscheinlichkeit dafür, das System z.B.
in |1vi vorzufinden, 12 · 21 = 14 . Im o.g. Quanten-Fall ist jedoch die Wahrscheinlichkeit 0, das System bei |1vi vorzufinden, wenn es sich vor der Messung im verschränkten Zustand befand. Im Verschränkungs-Fall kommen bedingte Wahrscheinlicheiten zur Anwendung, im faktorisierbaren Fall kommen unabhängige Wahrscheinlichkeiten zur Anwendung. Diese Überlegung hat weitreichende Konsequenzen. Geht z.B. Untersystem B bei einer Messung an diesem Untersystem in Zustand |vi über, so geht
automatisch Untersystem A in Zustand |2i über, ohne dass dort direkt gemessen wird.
3
EPR-Paradoxon
EPR steht für Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen, die 1935 ein Gedankenexperiment
vorschlugen, das von den Autoren zuungunsten der Quantentheorie konzipiert wurde. Hier wird eine
modifizierte Version dieses Gedankenexperiments vorgestellt. Das Gedankenexperiment mutet zunächst
seltsam an und kann zunächst durchaus Zweifel an der Quantentheorie aufkommen lassen. Mittlerweile
ist das Gedankenepxeriment jedoch als reales Experiment verwirklicht worden - und die Quantentheorie
wurde bestens bestätigt.
Betrachtet wird ein Versuchsaufbau wie in der Abbildung dargestellt. Im Zentrum der Anordnung wird
ein Paar von Photonen erzeugt, die in entgegengesetzte Richtung entlang z davon fliegen. Dieses Photonenpaar stellt das quantenmechanische System dar. Jedes einzelne Photon ist ein Untersystem. Die
Photonenquelle ist so beschaffen, das sie über einen speziellen atomaren Prozess
172
XI.
Verschränkung
x
x
y
Quelle
Analysator I
y
Analysator II
Die Quelle erzeugt zwei verschränkte Photonen, die in positive und negative z-Richtung fliegen. Die
Analysatoren sind parallel ausgerichtet und messen die Polarisationsrichtung der Photonen. Die der Polarisationsrichtung entsprechende Observable sei PR und der zugehörige Operator P̂R . P̂R habe für das
Untersystem Linkes Photon“ zwei reine Eigenzustände: |xi und |yi. Für das Untersystem Rechtes
”
”
Photon“ gilt das gleiche. Der allgemeine Zustand des Gesamtsystems ist dann
|Ψi = cll |xxi + clr |xyi + crl |yxi + crr |yyi ,
(XI.21)
wobei entsprechend der Definition in Kapitel XI
|xxi = |xil |xir ,
|xyi = |xil |yir
etc.
(XI.22)
gilt.
die beiden Photonen verschränkt. Die Verschränkung besteht darin, dass die Polarisationen der beiden
Photonen im gleichen quantenmechanischen Zustand sind. Es werden mit gleicher Häufigkeit immer nur
die Messwertpaare (x, x) oder (y, y) registriert. x und y bezeichnen die jeweils gemessenen Polarisationsrichtungen. Der verschränkte Zustand ist
1
|Ψi = √ (|xxi + |yyi)
2
.
(XI.23)
In |xxi steht das linke x für das nach links fliegende Photon, das auf den Analyator I trifft und das rechte
x für das nach rechts fliegende Photon, das auf Analysator II trifft. Für |yyi gilt entsprechendes. Wir
können weder für das linke noch für das rechte Photon sagen, das es in x- oder in y-Richtung polarisiert
ist. Wären beide Photonen x-polarisiert, dann würde
|Ψi = |xxi
(XI.24)
gelten. So ist es aber nicht; die Photonen werden in keinem bestimmten Polarisationszustand x oder y
erzeugt, sondern in dem verschränkten Zustand. Dafür sorgt der atomare Prozess in der Quelle.
Die Projektion in eine bestimmte Polarisationsrichtung erfolgt beim Messprozess, d.h. wenn ein Photon
auf einen Analysator trifft. Wenn das linke Photon beim Messprozess am Analysator I in x projiziert
wird, wird auch das rechte Photon in x projiziert. Nun stellen wir uns vor, der Abstand des rechten
Analysators II von der Quelle sei geringfügig grösser als der des linken. Ausserdem seien die Abstände
gross, z.B. einige Km. Das linke Photon wird dann zuerst gemessen, also in x oder y projiziert. Das rechte
Photon zeigt dann unmittelbar danach den gleichen Messwert.
Paradoxon: Wie kann das rechte Photon so schnell (also mit Überlichtgeschwindigkeit) von der Projektion des linken Photons erfahren haben?
Einstein sprach von spukhafter Fernwirkung“ und zweifelte die Vollständigkeit der Quantentheorie an.
”
3 EPR-Paradoxon
173
Die Antwort ist aber: Die verschränkten Photonen bilden bis zur Messung ein gemeinsames Gesamtsystem
korrelierter Untersysteme, auch wenn sie weit voneinander entfernt sind, und wissen immer voneinan”
der“. Solche Quantensysteme sind nicht lokal!
Nun ja: Man könnte den Verdacht hegen, vielleicht wird den Photonen bei ihrer Erzeugung doch schon eine
gemeinsame Polarisationsrichtung aufgeprägt, die uns aber verborgen bleibt. Die Polarisation wäre dann
eine sog. verborgene Variable. Mit ausgeklügelten Experimenten konnte aber widerlegt werden, dass es
verborgene Variable gibt. Bei Existenz verborgener Variable müsste die sog. Bell’sche Ungleichung gelten.
Für die Situation der verschränkten Photonen ist die Bell’sche Ungleichung aber verletzt.
174
XI.
Verschränkung
Kapitel XII
Dekohärenz (Decoherence)
In diesem Kapitel soll die Frage erörtert werden, warum zwischen Quantenobjekten und klassischen Objekten (Makroobjekten) unterschieden wird und zwei unterschiedliche Theorien zur Anwendung kommen.
Wann und wie gehen denn Quantenobjekte in Makroobjekte (und vice versa) über? Gibt es eine Schnittstelle? Ist sie eine Frage der Ausdehnung; sind Quanten eben klein und klassische Objekte groß? Die Größe
kann es aber nicht wirklich sein, denn das Quantenobjekt Supraleiter“ hat makroskopische Ausdehnung!
”
Also woran liegt es, dass z.B. Katzen oder die Orbits von Planeten nicht durch eine Schrödinger-Gleichung
beschrieben werden?
Zum Begriff Dekohärenz:
Kohärenz := Interferenz-Fähigkeit eines Systems in einer Superposition.
Dekohärenz := keine Interferenz-Fähigkeit bei Superposition.
1
Schrödingers Katze
Schrödinger hat Mitte der dreißiger Jahre die Frage nach dem Verhältnis von Quantenobjekten und
Makroobjekten in einem Gedankenexperiment auf die Spitze getrieben, dass den Namen Schrödingers
”
Katze“ erhielt. In diesem Gedankenexperiment verbindet er Zustände von Quantenobjekten unmittelbar
mit Zuständen von Makroobjekten (z.B. einer Katze). Die typische Eigenschaft von Quanten ist bekanntlich, dass sie sich in beliebigen Zuständen befinden können. Auf Eigenzustände werden diese allgemeinen
Zustände erst bei einer Messung projiziert. Die Übertragung der allgemeinen Zustände von Quantenobjekten auf Makroobjekte führt zu seltsamen Erscheinungen.
Gedankenexperiment:
• Radioaktive Substanz + Geiger-Zähler + Hammer + Giftampulle + Katze in einer isolierten Box
• Radioaktive Substanz sei so beschaffen, dass im Mittel ein Zerfall pro Stunde
• Bei einem Zerfall spricht Geigerzähler an und löst einen Mechanismus aus, über den der Hammer
die Giftampulle zerschlägt und die Katze stirbt.
Problem:
• Radioaktive Substanz ist ein Quantensystem, z.B. Atom
• Als Observable wird Zerfallszustand ẑ betrachtet
• ẑ hat zwei nichtentartete Eigenzustände
176
XII. Dekohärenz (Decoherence)
|2i
|1i Atom ist nicht zerfallen (1 Teilchen)
|2i Atom ist zerfallen (2 Teilchen)
|1i
• Als Observable der Katze wird K̂ betrachtet
• K̂ hat ebenfalls zwei Eigenzustände
|ti
|ti tot
|li lebend
|li
• |1i und |li korrespondieren unmittelbar miteinander, ebenso wie |2i und |ti
• Zeitentwicklung des Quantensystems wird durch den Zeitentwicklungsoperator Û beschrieben
• Bei t = 1 h gilt für den Atom-Zustand |ΨA (t)i des Quantensystems im Schrödinger-Bild
|ΨA (t)i = Û (t, 0) |1i ,
wenn zur Startzeit t = 0 das Atom als nicht zerfallen präpariert wurde
|2i
• Nun sei z.B. bei t = 1h
|Ψ (t)i
|1i
|ti
• Zustand der Katze bei t = 1h
|Ψk (t)i
|li
• Überlagerungszustände einer gleichzeitig lebenden und toten Katze sind nicht bekannt
2
Zerstörung von Überlagerungszuständen
Auf das Paradoxon mit Schrödingers Katze gibt es zwei Versionen der Erklärung.
Ältere Version (Kopenhagener Schule):
(XII.1)
2 Zerstörung von Überlagerungszuständen
177
• Grundidee: Allgemeine Quantenzustände werden bei einer Messung einer Observablen des Systems
auf einen Eigenzustand projiziert; Sprachgebrauch nach der Kopenhagener Schule ist Reduktion
auf einen Eigenzustand oder Kollaps in einen Eigenzustand hinein.
• Messung von ẑ liefert entweder |1i oder |2i mit den angenommenen Wahrscheinlichkeiten von je
1/2
• Messung von K̂ liefert entweder |li oder |ti ebenfalls mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2
• Messung von K̂ bedeutet aber, man muss in der Box nachschauen
• Erlösung“ der Katze aus ihrem Überlagerungszustand wird damit vom Beobachter(!) abhängig
”
• Erklärung ist nicht für jedermann befriedigend
Neuere Version (Dekohärenz):
• Grundidee: Makroobjekte sind nicht wirklich von ihrer Umgebung isolierbar, Quantenobjekte schon;
die unvermeidbare Wechselwirkung von Makroobjekten mit ihrer Umgebung wirkt wie eine Vielzahl
von Messungen, die die Interferenz-Fähigkeit zerstört
• Für Modellsysteme bestehend aus einem Quantenobjekt + Umgebung kann eine Zeit ausgerechnet
werden, ab der die Interferierbarkeit von Überlagerungszuständen verloren geht
• Zeit heißt Dekohärenz-Zeit
tD ∼
wobei
T Temperatur des Systems,
m Masse des Systems
• Für Makrosysteme ist tD extrem kurz.
1
T ·m
,
(XII.2)