Mathematik I für Physiker Lösungsvorschlag Blatt 6

Mathematik I für Physiker
Lösungsvorschlag Blatt 6
Prof. Dr. Andreas Nickel
Aufgabe 1
(i) Aus limn→∞ x2n = limn→∞ x2n+1 = x folgt, dass für jedes > 0 natürliche
Zahlen N1 und N2 existieren, so dass
|x2n − x| < ∀n ≥ N1
und
|x2n+1 − x| < ∀n ≥ N2 .
Sei nun N := 2 max {N1 , N2 } + 1. Dann ist
|xn − x| < ∀n ≥ N.
(ii) Setze a := limn→∞ x2n , b := limn→∞ x2n+1 und c := limn→∞ x3n . Die Folge
(x6n )n∈N ist sowohl eine Teilfolge von (x2n )n∈N als auch von (x3n )n∈N . Sie ist
nach Lemma (10.19) damit selbst konvergent, und der Grenzwert ist sowohl a
als auch c. Es gilt also a = c. Betrachtet man die Folge (x3(2n+1) )n∈N , so folgt
analog b = c. Die Behauptung folgt nun aus Teil (i).
Aufgabe 2
Sei zunächst p ≥ 1. Dann ist an :=
folgt nun
√
n
p − 1 ≥ 0. Aus der Bernoulli-Ungleichung
p = (1 + an )n ≥ 1 + nan > nan .
Damit gilt 0 ≤ an < p/n, also limn→∞ an = 0.
√
Sei nun p < 1. Dann ist an := ( n p)−1 − 1 > 0. Aus der Bernoulli-Ungleichung folgt
nun wieder
p−1 = (1 + an )n ≥ 1 + nan > nan .
Daraus folgt 0 ≤ an <
1
pn
, also wieder limn→∞ an = 0.
Aufgabe 3
(i) Nach Voraussetzung gilt a0 > 0. Per Induktion sehen wir an+1 = 12 (an + apn ) > 0
(da nach Induktionsvoraussetzung an > 0).
2
(ii) Für n ≥ 1 ist
1
p 2
1
p 2
a2n − p = (an−1 +
) − p = (an−1 −
) ≥ 0.
4
an−1
4
an−1
√
Aus (i) folgt an ≥ p.
(iii) Nach (ii) gilt
1
p
1
p
1 2
an − an+1 = an − (an + ) = (an − ) =
(a − p) ≥ 0.
2
an
2
an
2an n
Die Folge (an )n∈N ist also monoton fallend und nach unten beschränkt, also
konvergent nach Satz (10.13).
(iv) Sei a := limn→∞ an . Nehmen wir in der Gleichung
1
p
an+1 = (an + )
2
an
den Limes gegen ∞, so erhalten wir (unter Verwendung von Satz (10.7) und
Satz (10.10)) die Gleichung
1
p
a = (a + ),
2
a
√
also a2 = p. Wegen (ii) folgt a = p.
Aufgabe 4
Wir zeigen zunächst den Hinweis. Es folgt induktiv, dass |xn − x| ≤ ( 12 )n−1 |x1 − x|.
Also gilt limn→∞ |xn − x| = 0 oder limn→∞ xn = x.
√
Setze nun x0 := 1. Wir denieren eine Folge (xn )n∈N durch xn+1 = 1 + xn > 0.
Wir müssen zeigen, dass diese Folge konvergiert und den Grenzwert x berechnen.
Falls dieser exisitiert, so muss er die Gleichung
x2 = x + 1 erfüllen. Da er sicherlich
√
auch positiv sein muss, ist x := 12 (1 + 5) unser Kandidat. Wir berechnen
√
|1 + xn − x2 |
|xn − x|
1
|xn+1 − x| = | 1 + xn − x| = √
=√
≤ |xn − x|.
2
1 + xn + x
1 + xn + x
Hierbei folgt die letzte Ungleichung aus x > 1 und 1 + xn > 1. Aus dem Hinweis
folgt nun limn→∞ xn = x.