Hochfrequenztechnik I

Hochfrequenztechnik I
Vorlesungsskript
2013
Fachgebiet Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.-Ing. Klaus Petermann
überarbeitet unter Mitarbeit von
Dr.-Ing. Christian-Alexander Bunge
Die Vorlesung beinhaltet die folgenden Abschnitte:
EIN
LEI
WEL
SMI
STR
IMP
EB
LA
GR
AP
Einführung
Leitungsgleichungen
Wellenausbreitung auf Leitungen
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
Streumatrix
Impulse auf Leitungen
Ebene Wellen, Polarisation
Lineare Antennen
Antennen in der Nähe von Grenzflächen
Aperturantennen
HO
HS
ONT
S
L
P
HLD
BPT
FET
RAU
Hohlleiter
Hohlleitersysteme
Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich
Lineare, zeitinvariante, elektronische Netzwerke
Passive Komponenten
Halbleiterdioden
Bipolarer Transistor
Feldeffekttransistoren
Rauschen
Literaturhinweise
Der gesamte Bereich der Hochfrequenztechnik wird recht umfassend dargestellt in:
Zinke, O., Brunswig, H., (Hrsg. Von A. Vlcek , H.L. Hartnagel und K. Mayer):
Lehrbuch der Hochfrequenztechnik, Band 1 und Band 2,
Springer-Verlag Berlin, 6. Auflage bzw. 5. Auflage, 2000 bzw. 1999
Umfassendes Handbuch über die gesamte Hochfrequenztechnik:
Meinke, Gundlach:
Taschenbuch der Hochfrequenztechnik,
Springer-Verlag Berlin, 5. Auflage 1992
Für das Selbststudium eignen sich:
Abschnitte EIN bis IMP,
Unger, H.G.:
Elektromagnetische Wellen auf Leitungen,
Hüthig Verlag, Heidelberg, 4. Auflage 1996,
geeignet zur selbständigen Erarbeitung feldtheoretischer Grundlagen (Abschnitte EB
bis HS),
Unger, H.G.:
Elektromagnetische Theorie für die Hochfrequenztechnik, Teil 1 und Teil 2,
Hüthig Verlag, Heidelberg, 2. Auflage 1988/1989,
sonstige Abschnitte,
Voges, E.:
Hochfrequenztechnik
Hüthig Verlag, Heidelberg, 3. Auflage 2004
Sonstige empfehlenswerte Literatur:
Balanis, C.A.:
Antenna Theory, Analysis and Design,
John Wiley, 3rd edition 2005
Detlefsen, J., Siart, U.:
Grundlagen der Hochfrequenztechnik,
Oldenbourg Verlag, überarb. Auflage 2012
Hoffmann, M.:
Hochfrequenztechnik, ein systemtheoretischer Zugang,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1997
Landstorfer, F., Graf, H.:
Rauschprobleme der Nachrichtentechnik,
Oldenbourg Verlag, München 1981
Nibler, F.:
Hochfrequenzschaltungstechnik,
Expert Verlag, 3. Auflage 1998
Unger, H.G.:
Hochfrequenztechnik in Funk und Radar,
Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart, 4. Auflage 1994
Zimmer, G.:
Hochfrequenztechnik, Lineare Modelle (mit Windows Software),
Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 2000
Hochfrequenztechnik I
Einführung
EIN/1
Die Hochfrequenztechnik behandelt die Probleme hoher Frequenzen oberhalb der Frequenzen des technischen Wechselstroms. Damit umfasst die Hochfrequenztechnik einen sehr groÿen Frequenzbereich,
der von Frequenzen im 10 kHz-Bereich (VLF-Very Low Frequency) für die weltweite Funknavigation
über den Millimeterwellenbereich (EHF-Extremely High Frequency) bis zu Frequenzen des optischen
Spektralbereichs reicht. Diese Frequenzbereiche sind in Abb. 1 dargestellt. Der weiteren Illustrati-
Abb. 1: Frequenzbereiche der Hochfrequenztechnik
on dient Abb. 2, in der den einzelnen Frequenzbereichen konkrete Anwendungen zugeordnet sind.
Im Alltag sind wir ständig mit hochfrequenztechnischen Anwendungen in Berührung, wie in Abb. 3
Abb. 2: Frequenzbereiche der Hochfrequenztechnik mit beispielhaften Anwendungen
dargestellt ist. Man erkennt dort beispielsweise einen Satelliten, über den Nachrichtenverbindungen
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Hochfrequenztechnik I
Einführung
EIN/2
zwischen Erdfunkstellen abgewickelt werden. Andererseits gibt es Rundfunktechnik sowohl im Bereich
des Hör- als auch im Bereich des Fernsehrundfunks sowohl über Direktsendesatelliten als auch über
stationäre Rundfunksender. Die Hochfrequenztechnik hat auch eine Bedeutung für die Funkortung
(z.B. GPS). Ein weiteres Arbeitsfeld erönet sich für die Hochfrequenztechnik im Bereich der mobilen
Kommunikation.
Abb. 3: Anwendungen der Hochfrequenztechnik
Die Nachrichtenübertragung umfasst dabei nicht nur drahtlose Verbindungen, sondern auch leitungsgebundene Verbindungen z.B. über Kupfer- oder Glasfaserkabel. Eine wichtige Anwendung der Hochfrequenztechnik stellen auch Radaranlagen dar, die neben der Ortung z.B. bekannt sind als Verkehrsradar
oder auch als Bewegungsmelder zum Schutz vor Einbruch. Ein weites Anwendungsfeld ndet die Hochfrequenztechnik in der Medizintechnik, z.B. der Kernspintomographie (auch NMR, nuclear magnetic
resonance) oder der Hyperthermie. Bei der Hyperthermie handelt es sich um eine Wärmebehandlung,
wobei die Wärmewirkung der Hochfrequenzbestrahlung auch ausgenutzt wird z.B. im Rahmen der
Werkstobearbeitung (z.B. Aushärten von Werkstoen) oder auch im Konsumbereich in Gestalt des
Mikrowellenherdes.
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Hochfrequenztechnik I
Leitungsgleichungen
LEI/1
1 Vorbetrachtung
Eine Gleichspannungsquelle U0 soll über einen Schalter S an einen reellen Lastwiderstand
R angeschlossen werden. Dieser ist mit einer Leitung der Länge L mit der Spannungsquelle
verbunden.
Problem:
Abb. 1: Einschaltvorgang bei einer Leitung der Länge L und einem reellen Abschlusswiderstand R.
Der Schalter S wird zur Zeit t = 0 geschlossen. Wie groÿ ist der Strom I (t = 0) an der Stelle z = 0
unmittelbar nach Schlieÿen des Schalters S ?
Da der Strom zu diesem Zeitpunkt vom Widerstand R noch nichts merkt, hängt die Gröÿe dieses
Stromes oenbar nur von der Leitung ab und wird nicht durch den Widerstand am Ende der Leitung
beeinusst. Man muss daher den Einuss der Leitung beschreiben.
Abb. 2: Konstruktive Auslegung gängiger Leitungen.
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Hochfrequenztechnik I
"r
LEI/2
Leitungsgleichungen
Tabelle 1: Isoliermaterialien
Luft Polyethylen Teon Polyvinylchlorid (PVC) Nylon
1
2,28
2,1
4-5
3,5
1.1 Leitungsstrukturen
In Abb. 2 sind unterschiedliche Leitungsstrukturen dargestellt. Leitungen ndet man damit in Nachrichtenkabeln, aber z.B. auch bei Leiterplatten oder auf Computerchips.
2 Herleitung der Leitungsgleichungen
Zunächst betrachten wir in Abb. 3 ein Leitungsstück der innitesimalen Länge dz : Die an der Leitung
liegende Spannung u (z ) führt im Abschnitt dz zu einer gespeicherten Ladung dQ (Kapazität). Der
ieÿende Strom i (z ) führt im Abschnitt dz zu einem magnetischen Fluss d (Induktivität).
Mit diesen Betrachtungen lässt sich für den Leitungsabschnitt dz ein Ersatzschaltbild nach Abb. 3
herleiten. Hierbei gelten folgende Bezeichnungen:
Abb. 3: Leitungsersatzschaltbild für einen innitesimal kleinen Leitungsabschnitt dz .
L'
C'
R'
Induktivitätsbelag mit der Dimension Induktivität pro Länge : L0 dz
Kapazitätsbelag mit der Dimension Kapazität pro Länge : C 0 dz
= id
(z ) .
= ud(Qz ) .
Widerstandsbelag mit der Dimension Widerstand pro Länge. Er berücksichtigt die Ohm'schen
Verluste der Leitung.
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Hochfrequenztechnik I
G'
LEI/3
Leitungsgleichungen
Leitwertsbelag mit der Dimension Leitwert pro Länge. Er berücksichtigt die dielektrischen Verluste
der Leitung.
Aus Abb. 3 lassen sich die folgenden Beziehungen für Spannung und Strom ableiten:
@i
@u
u (z + dz ) = u (z ) + @z dz = u (z ) L0 dz @t R0 dz i (z )
@i
@u
i (z + dz ) = i (z ) + @z dz = i (z ) C 0 dz @t G 0 dz u (z )
(1)
(2)
Aus Gl. (1) und (2) folgen die Leitungsgleichungen:
@u
@z =
@i
@z =
@i
R0 i (z ) L0 @t
@u
G 0 u (z ) C 0 @t
(3)
(4)
2.1 Herleitung der Wellengleichung
Die Gleichungen (1) bis (4) gelten für allgemeine zeit- und ortsabhängige Signale. Für die weitere
Betrachtung ist es jedoch zunächst einfacher, eine harmonische Zeitabhängigkeit anzunehmen. So
ergibt sich
u (z; t ) = U^(z ) cos(!t + (z )) = <fU (z ) exp(j!t )g
(5)
mit einem ortsabhängigen Zeiger U (z ) = U^(z ) exp(j(z )), wobei U^(z ) die ortsabhängige Spannungsamplitude und (z ) die Phase darstellen.
Die Ableitung nach der Zeit berechnet sich dann folgendermaÿen:
@u
^
@t = !U (z ) sin(!t + (t )) = <fj!U (z ) exp(j!t )g
(6)
beziehungsweise in Zeigerdarstellung:
u (z; t )
@u
@t
d
t
d
t
U (z ); i (z; t )
@i
j! U (z ); @t
d
t
d
t
I (z )
j! I (z )
Aus den Leitungsgleichungen Gl. (3), (4) folgt dann:
dU =
dz
dI =
dz
I (z ) (R0 + j!L0 )
(7)
U (z ) (G 0 + j!C 0 )
(8)
Gl. (7) wird nach z dierenziert, und der Ausdruck ddzI wird dann mit Gl. (8) ersetzt:
d2 U = (R0 + j!L0 ) dI = (R0 + j!L0 )(G 0 + j!C 0 ) U
dz 2
dz
beziehungsweise
d2 U = 2 U mit = q(R0 + j!L0 )(G 0 + j!C 0 )
dz 2
mit der Ausbreitungskonstanten .
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(9)
(10)
Hochfrequenztechnik I
LEI/4
Leitungsgleichungen
2.2 Wellenausbreitung auf Leitungen
Die obige Gl. (10) stellt die Wellengleichung dar mit den zwei folgenden Lösungen:
U h = U 1 exp( z );
U r = U 2 exp( z )
(11)
Wie wir später noch sehen werden, beschreiben die beiden Lösungen in (11) jeweils die hin- bzw.
rücklaufende Welle. U 1 und U 2 stellen die Spannungszeiger der hin- und der rücklaufenden Welle auf
der Leitung an der Stelle z = 0 dar. Die allgemeine Lösung ist die Überlagerung beider Wellen:
U (z ) = U h (z ) + U r (z )
(12)
Daraus lässt sich mit Gl. (7) der Stromverlauf I (z ) bestimmen:
I (z ) = R0 + j!L0 (U 1 exp( z ) U 2 exp(+z ))
|
oder in Kurzschreibweise:
{z
1
ZL
(13)
}
U (z )
I (z ) = I h (z ) + I r (z ) = Zh
L
Hier steht Z L für den Leitungswellenwiderstand mit
U r (z )
ZL :
R0 + j!L0
Ur
R0 + j!L0 U h
ZL =
=
=
=
0
0
G + j!C I h
Ir :
s
(14)
(15)
Die Ausbreitungskonstante lässt sich in Realteil und Imaginärteil aufteilen
= + j;
wobei der Realteil die Dämpfungskonstante und der Imaginärteil die Phasenkonstante darstellen.
Für die hinlaufende Welle ergibt sich dann z.B.:
U h = U 1 exp( z ) = U 1 exp( z ) exp( jz );
(16)
wobei exp( z ) die Dämpfung, und exp( jz ) die Phasendrehung beschreiben.
Das Argument der ersten Exponentialfunktion ergibt sich folgendermaÿen:
jU (z )j
z = ln jU (0)j
!
(17)
Die Dimension der Dämpfungskonstante ist gegeben als Np
m (Neper pro Meter).
h i
Häug wird das Dämpfungsmaÿ 0 in dB
m angegeben. Es wird folgendermaÿen deniert:
h
0 z
) 0 dB
"
m
#
=
=
i
z )j
20 lg jjUU ((0)
j dB
! "
#
"
#
20 Np = 8; 69 Np
ln(10)
m
m
!
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(18)
Hochfrequenztechnik I
LEI/5
Leitungsgleichungen
3 Verlustarme Kabel
Verlustarme Kabel weisen sehr geringe ohm'sche Verluste auf, so dass R0 !L0 und G 0 !C 0 gelten.
Damit kann man für den Wellenwiderstand Z L aus Gleichung (15) folgende Vereinfachung einführen:
s
s
j!L0
L0
ZL j!C 0 = C 0
(19)
Man beachte, dass der Wellenwiderstand unter diesen Bedingungen reell wird. Die Ausbreitungskonstante ergibt sich dann mit Gl. (10) näherungsweise:
= j!
p
v
u
u
0
0
LCt
R0
1 + j!L
0
!
p 0 0
G0
R0
G0
1 + j!C
j!
L
C
1
+
+
0
2j!L0 2j!C 0
!
!
Mit = + j heiÿt das für die Dämpfungs- und Phasenkonstante:
R0
G0 Z
R0 C 0 G 0 L0
= 2 L0 + 2 C 0 = 2 Z + 2 L
L
p 0 0
= ! LC
s
s
(20)
(21)
4 Anwendung auf eine Koaxialleitung
Als Beispiel für eine Leitung wird ein Koaxialkabel betrachtet. Der schematische Aufbau einer solchen
Abb. 4: Schematischer Aufbau (links) und Feldverteilungen (rechts) in einer Koaxialleitung.
Koaxialleitung ist in Abb. 4 dargestellt. Hierbei hat der Innenleiter den Durchmesser d , der Auÿenleiter
den Durchmesser D.
Auf Grund des Skin-Eekts ieÿt der Strom nur an der Oberäche des Innen- bzw. Auÿenleiters. Daher
bilden sich das elektrische und magnetische Feld im Wesentlichen nur im Dielektrikum mit = 0
und " = "0 "r aus.
Das magnetische Feld hat nur eine -Komponente H :
I
H = 2r
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(22)
Hochfrequenztechnik I
LEI/6
Leitungsgleichungen
Das elektrische Feld besitzt nur eine radiale Komponente Er :
U
Er =
r ln
D
d
wegen
D
Z2
d
Er dr = U
(23)
2
Da E~ und H~ nur in der transversalen Ebene (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) liegen, bezeichnet
man die Welle als TEM-Welle (transversal elektromagnetisch).
Der Induktivitätsbelag L0 dz
= dI errechnet sich folgendermaÿen:
D
Z2
d = dz
d
D I
0 ( H ) dr = dz 0 ln d 2
(24)
) L0 = 20 ln Dd
(25)
!
2
Der Kapazitätsbelag C 0 dz
!
= dUQ errechnet sich folgendermaÿen:
= dz 2"0 "r UD ln d
) C 0 = 2" D0"r
ln d
D
D
dQ = dz 2 2 "0 "r Er r = 2
!
(26)
Der Widerstandsbelag R0 setzt sich aus den Widerständen am Innen- und Auÿenleiter zusammen.
Diese Widerstände berechnen sich mit der spezischen Leitfähigkeit und der Skin-Eindringtiefe z0 :
s
2
z0 = ! :
0
Als Zahlenwertgleichung ergibt sich beispielsweise für Kupfer (Cu): z0;Cu 2; 1 pfm
.
=
GHz
1 + 1 Voraussetzung : z d
(27)
0
z0 D d
Der Ausdruck ( z0 ) 1 wird gelegentlich auch als Wandwiderstand RW = ( z0 ) 1 bezeichnet. Für
p
Kupfer ergibt sich RW 8; 3 10 3 f =GHz.
) R0 =
1
Der Leitwertsbelag G 0 ergibt sich auf Grund der dielektrischen Verluste im Isolator:
G 0 = !C 0 tan (28)
Mit Kenntnis dieser Werte lässt sich der Leitungswellenwiderstand ZL berechnen:
L0
ZL = C 0 =
s
60 ln
0 1
D
ln
=
p
p"
"
2
"
d
0
r
r
| {z }
r
!
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D
d
Hochfrequenztechnik I
Leitungsgleichungen
LEI/7
Für Polyethylen ("r = 2; 28) und einem Verhältnis zwischen Auÿen- zu Innenleiter von Dd = 3; 6 erhält
man einen Leitungswellenwiderstand von ZL 50 .
p
p p
Die Phasenkonstante = ! L0 C 0 = ! "r 0 "0 lässt sich wegen c0 = p10 "0 durch die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c0 ausdrücken:
!p"r
= c
0
(29)
Dieser Zusammenhang gilt allgemein bei TEM-Wellen.
Anmerkung: Mit Gl. (29) folgt allgemein aus den Gleichungen (19) und (20):
ZL p"r
= c 250 nH
m
p"0
pF
C 0 = Z rc 100 m :
L 0
Die Zahlenwerte gelten für "r = 2; 28 und ZL = 50 .
L0
(30)
(31)
Die Dämpfungskonstante ergibt sich unter den obigen Annahmen verlustarmer Kabel entsprechend
Gl. (20) zu:
1
1
1
= 2 z Z D + d +
tan (32)
0 L {z
|2 {z }
}
|
/!
ohm sche Verluste: / p!
0
dielektrische Verluste:
Ohm'sche Verluste sind umso kleiner, je gröÿer die Durchmesser von Innen- und Auÿenleiter sind. Die
minimale Dämpfung bei gegebenem Auÿendurchmesser D = const wird errreicht für Dd = 3; 6. Im
Gegensatz zu den ohm'schen Verlusten hängen die dielektrischen Verluste nicht von der Wellenleitergeometrie ab.
Abb. 5 zeigt konkrete Beispiele für die Dämpfung von Koaxialkabeln.
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Hochfrequenztechnik I
Leitungsgleichungen
LEI/8
Abb. 5: Dämpfung von Koaxialkabeln mit ZL = 50 mit Polyethylen-Isolation (entnommen aus dem
Katalog der Firma Huber und Suhner).
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Hochfrequenztechnik I
WEL/1
Wellenausbreitung auf Leitungen
1 Vorbetrachtung
Die hinlaufende Welle auf einer Leitung kann man gemäÿ Kapitel LEI folgendermaÿen darstellen:
U h = U exp( z ) exp( j z )
U = U^ exp(j )
(1)
(2)
1
1
1
1
Abb. 1: Die Spannung u (z; t ) für feste Zeitpunkte t = t0 und t = t0 + t entlang der Leitung für
eine hinlaufende Welle.
Daraus ergibt sich die Spannungsverteilung im Zeitbereich:
uh (z; t ) = <fU h exp(j!t )g
= U^ exp( z ) cos(!t z +
1
(3)
1
)
Die sich so ergebende Spannungsverteilung entlang der Leitung ist in Abb. 1 für zwei Zeitpunkte t = t0
und t = t0 + t dargestellt. Sie repräsentiert eine gedämpfte Schwingung. In Ausbreitungsrichtung
hat die Welle ein periodisches Verhalten, wobei die Periode der Wellenlänge entspricht mit:
= 2
bzw: = 2
(4)
1.1 Ausbreitungsgeschwindigkeit
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle muss man zwei Geschwindigkeiten unterscheiden:
1.
Phasengeschwindigkeit:
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Phase = !t z + 1 kann man ohne Beschränkung der
Allgemeinheit annehmen als die Geschwindigkeit der Phase = =2. Diese Annahme entspricht
der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Nulldurchgänge des Signals in Abb. 1 entsprechend vph =
z=t . Zunächst gilt:
!
= = !t z + 1
(5)
2
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Hochfrequenztechnik I
WEL/2
Wellenausbreitung auf Leitungen
Aus der Ableitung von Gl. 5 nach der Zeit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit vph =
dz
! dt = 0 = ! vph ;
woraus:
!
vph = (6)
(7)
folgt. Für verlustlarme Wellenleiter gilt mit Gl. (LEI 29) vph =
2.
dz :
dt
pc0
"r
.
Gruppengeschwindigkeit:
Die Ausbreitung von Pulsen auf einer Leitung wird durch die Gruppengeschwindigkeit beschrieben. Pulse sind keine harmonischen Signale mehr, sondern bestehen aus mehreren Frequenzkomponenten. Sie lassen sich allerdings aus einer Überlagerung von harmonischen Signalen zusammensetzen.
Betrachtet man im einfachsten Fall die Überlagerung zweier harmonischer Signale mit den Frequenzen !1 und !2 mit gleicher Amplitude U^1 und der Annahme verschwindender Verluste
( = 0), gilt:
u (z; t ) = U^ fcos(!" t z ) + cos(! t # z )"g
= 2U^ cos ! 2 ! t 2 z cos ! +2 ! t
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
+
2 z
1
2
1
|
{z
#
2
(8)
}
Einh
ullende
Für einen festen Zeitpunktt ist u (z; t )jt =konst in Abb. 2 dargestellt.
Die Gruppengeschwindigkeit entspricht der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Einhüllenden:
!
vgr = !
1
1
(9)
2
2
! ! ; ! wird daraus:
Für den Übergang zu sehr kleinen Frequenzabständen !1
2
d!
vgr = d
1
2
(10)
Die Gruppengeschwindigkeit vgr gibt auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der transportierten
Leistung an und ist somit i.A. kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Wenn sich die Gruppen- und
Phasengeschwindigkeit unterscheiden, sprechen wir von dispersiver Wellenausbreitung, d.h.:
Dispersion =
^ vph 6= vgr
(11)
1.2 Beispiele
1.
Verlustarme Leitung mit
nach Gl. (LEI 28):
1
vgr =
d
p ! "r
c0
d!
p
p
= c"r + c! dd!"r
| {z }
| {z }
0
1
vph
0
Dispersionsanteil
Der Dispersionsanteil ist bei einer verlustarmen Leitung i.A. sehr klein.
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(12)
Hochfrequenztechnik I
WEL/3
Wellenausbreitung auf Leitungen
t=konst.
4π
β1 − β2
u(z , t)
z
vgr
vph
Abb. 2: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit bei der Ausbreitung einer Schwingung.
2.
Leitung bei kleinen Frequenzen
R0 !L0 und G 0 = 0:
Es ergibt sich dann mit Gl. (LEI 10) für
= R0 j!C 0
p
und damit
= =
) vph
) vgr
np
j!C 0 R0 =
o
s
!R0 C 0
2
= ! = R20!C 0
s
d!
= d = R80!C 0 = 2 vph
s
Die Gruppengeschwindigkeit ist dann doppelt so groÿ wie die Phasengeschwindigkeit.
Wegen vgr 6= vph erhalten wir eine hohe Dispersion.
2 Reexion am Leitungsende
Wir betrachten eine Leitung mit einem Abschlusswiderstand Z e . Anschaulich kann man sich vorstellen,
dass die hinlaufende Welle am Abschlusswiderstand reektiert wird und z.T. wieder zum Anfang der
Leitung zurückläuft, wie Abb. 3 für einen festen Zeitpunkt zeigt.
Der Spannungs- und Stromverlauf auf der Leitung ist darstellbar durch die Gl. (LEI 12) und (LEI 13):
U (z ) = U h (z ) + U r (z )
U (z )
I (z ) = I h (z ) + I r (z ) = Zh
L
U r (z )
ZL
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(13)
(14)
Hochfrequenztechnik I
Wellenausbreitung auf Leitungen
WEL/4
Abb. 3: Ausbreitung einer Wechselspannung auf einer Leitung mit beliebigem Abschlusswiderstand:
Die hin- und rücklaufende Welle bestimmen Strom- und Spannungsverlauf entlang der Leitung.
Das Verhältnis von Spannung zu Strom am Ende der Leitung (z = L) ist durch den Abschlusswiderstand festgelegt. Es gilt:
U (L)
= Z e = Z L U h (L) + U r (L)
(15)
I (L)
U h (L) U r (L)
Man kann nun einen Reexionsfaktor einführen, der diese reektierte Wellenamplitude am Leitungsende
zu der hinlaufenden Wellenamplitude in Beziehung setzt:
U (L)
r (L) = U r (L)
(16)
1 + r (L)
Z e = Z L 1 r (L) ;
(17)
h
Gl. 16 lässt sich nun in Gl. 15 einsetzen:
woraus man den Reexionsfaktor erhält:
) r = r (L) = ZZ e + ZZ L
e
L
(18)
Der Reexionsfaktor kann sowohl durch das Verhältnis der Spannungen von hin- und rücklaufender
Welle als auch durch deren Ströme beschrieben werden:
U r (L)
U h (L) = r ;
I r (L)
I h (L) = r
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(19)
Hochfrequenztechnik I
WEL/5
Wellenausbreitung auf Leitungen
2.1 Beispiele
1.
Anpassung:
Ze = ZL
Es ergibt sich
r =0
(20)
Die hinlaufende Welle läuft somit in den Abschlusswiderstand hinein, ohne dass eine reektierte
Welle entsteht.
2.
Kurzschluss:
Ze = 0
Es ergibt sich mit Gl. 18:
Z
r = Z L = 1:
L
(21)
r = +1
(22)
Die Spannung am Ende der Leitung wird zu Null erzwungen. Die hinlaufende Welle wird damit
vollständig am Leitungsende reektiert, d.h. die gesamte Energie der Welle läuft wieder zurück.
3.
Leerlauf:
Ze ! 1
Es ergibt sich mit Gl. 18:
Der Strom wird am Ende der Leitung wird zu Null erzwungen. Die Welle wird auch vollständig
reektiert, so dass die gesamte Energie der Welle wieder zurückläuft.
4.
reaktiver Abschluss:
Z e = jX , z.B. jX = j!L oder jX = j!C
1
Mit Gl. 18 ergibt sich:
jX Z
r = jX + Z L
(23)
L
Für reellen Leitungswellenwiderstand ZL gilt dann: r = exp(j ) mit = 2 arctan ZXL .
D.h. die Welle wird auch dann vollständig reektiert: jr j = 1, aber mit einer Phasendrehung .
3 Reexionsfaktor an beliebiger Stelle z auf der Leitung
Die hinlaufende Wellenamplitude lässt sich auch auf das Leitungsende beziehen:
U h (z ) = U exp( z ) = U h (L) exp[ (L z )]
1
(24)
In derselben Art kann man die rücklaufende Welle beschreiben:
U r (z ) = U exp(z ) = U r (L) exp[ (L z )]
2
(25)
Damit ergibt sich der eektive Reexionsfaktor an der Stelle z (nicht mehr am Leitungsende):
U (z ) U (L)
r (z ) = U r (z ) = U r (L) exp[ 2 (L z )] = r (L) exp[ 2 (L z )]
h
h
(26)
Der Reexionsfaktor an einer beliebigen Stelle z hängt damit in einfacher Weise mit dem Reexionsfaktor am Ende der Leitung zusammen.
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Hochfrequenztechnik I
Wellenausbreitung auf Leitungen
WEL/6
Wenn man in der Ausbreitungskonstanten = + j die Dämpfungs- und die Phasenkonstante jeweils
getrennt berücksichtigt, erhält man für den Spannungsverlauf:
U (z ) = U h (L) exp[(L z )] exp[j (L z )] + U r (L) exp[ (L z )] exp[ j (L z )]
(27)
In gleicher Art und Weise beschreibt man den Stromverlauf:
Z L I (z ) = U h (L) exp[(L z )] exp[j (L z )] U r (L) exp[ (L z )] exp[ j (L z )]
(28)
In Abb. 4 ist der Verlauf der Strom- und Spannungsamplituden jI j und jU j einer verlustbehafteten
Leitung im Falle eines Kurzschlusses am Ende der Leitung dargestellt.
I
I
Abb. 4: Die Beträge des Spannungs- und Stromzeigers schwanken entlang der Leitung zwischen zwei
Hüllkurven.
j
nennt man Stehwellenverhältnis s (engl. standing
Das Verhältis aus den beiden Einhüllenden s = jjUUmax
min j
wave ratio, SWR ) oder Welligkeit.
U max ergibt sich bei Übereinstimmung der Phase von hin- und rücklaufender Welle U h und U r :
jU max j = jU h j + jU r j = jU h j(1 + jr (z )j)
(29)
U min ergibt sich bei entgegengesetzter Phase:
jU min j = jU h j jU r j = jU h j(1 jr (z )j)
(30)
Somit kann man für das Stehwellenverhältnis allgemein schreiben:
1 + jr (z )j
s = 1 j r (z )j
(31)
D.h. bei reexionsfreiem Abschluss r = 0 erhält man eine Welligkeit von s = 1, ist die Reexion jedoch
maximal, also z.B. r = 1, ergibt sich eine Welligkeit von s ! 1.
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Hochfrequenztechnik I
Wellenausbreitung auf Leitungen
WEL/7
Der Betrag des Reexionsfaktors hängt nur vom Betrag des Reexionsfaktors am Ende der Leitung
r (L) und der Dämpfungskonstanten der Leitung ab (siehe auch Gl. 26):
jr (z )j = jr (L)j exp[ 2(L z )]
(32)
Daraus ergibt sich, dass bei verlustbehafteten Leitungen zum Generator hin (z ! 0) der Betrag des
Reexionsfaktors jr (z )j kleiner wird, und die Welligkeit dem Wert s ! 1 entgegenstrebt.
Bei verlustfreien Leitungen ( = 0) wird jr (z )j und damit die Welligkeit unabhängig vom Ort z .
3.1 Beispiele
1.
Annahme
r (L) =
1
2
, verlustbehaftete Leitung mit
6= 0:
Die Gl. (27) und (28) lassen sich grasch veranschaulichen, siehe dazu Abb. 5. Hier ist der
Spannungszeiger entlang einer Leitung mit L = dargestellt.
Abb. 5: Wellenausbreitung entlang einer verlustbehafteten Leitung mit L = und r (L) =
2.
1
2
.
r (L) = +1, keine Verluste, = 0, und damit Z L = ZL reell:
Es ergibt sich unter o.g. Annahmen gemäÿ Gl. 27 folgender Spannungsverlauf U (z ):
Leerlauf am Ende der Leitung,
U (z ) = U h (z = L)[exp[j (L z )] + exp[ j (L z )]]
U (z ) = 2U h (z = L) cos[ (L z )]
Für (L z ) 2 f0; ; 2; 3:::g, ergeben sich Spannungsmaxima bzw. -bäuche.
Spannungsknoten (U (z ) = 0) ergeben sich für (L z ) 2 f 2 ; 32 ; 52 ; 72 :::g.
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(33)
(34)
Hochfrequenztechnik I
Wellenausbreitung auf Leitungen
WEL/8
Dieser Spannungsverlauf ist in Abb. 6 dargestellt. Den Stromverlauf kann man analog beschreiben:
Z h (z = L) exp[
j
(
L
z
)]
exp[
j
(
L
z
)]
ZL
2jU h (z = L) sin[ (L z )]
I (z ) =
Z
I (z ) =
L
ˆ Strom und Spannung sind um
(35)
(36)
90 gegeneinander zeitlich verschoben (siehe Abb. 6).
ˆ An der Stelle der Spannungsbäuche entstehen Stromknoten, und bei den Spannungsknoten
entstehen Strombäuche.
|U|
|U|
Abb. 6: Bei einem Leerlauf am Ende der verlustlosen Leitung bilden sich stehende Wellen. Strom und
Spannung sind gegeneinander um 90 oder z = 2 = 4 phasenverschoben.
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Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
SMI/1
1 Spannungs- und Stromtransformation
Wir wollen die Leitung in Abb. 1 als Vierpol betrachten. Dann können wir Beziehungen zwischen den
Spannungen und Strömen am Anfang U a , I a und am Ende U e und I e herstellen:
U a = U h (0) + U r (0) = U 1 + U 2
U (0) U r (0) U 1 U 2
I a = Zh
ZL = ZL ZL
L
U e = U h (L) + U r (L) = U 1 exp( L) + U 2 exp(+L)
U (L) U r (L) 1
I e = Zh
Z L = Z L (U 1 exp( L) U 2 exp(+L))
L
(1)
(2)
(3)
(4)
Abb. 1: Betrachtung der Leitung als Vierpol.
Nun kann man Gl. (3) und (4) nach
U 1 und U 2 auösen:
Ue + ZL Ie
U1 =
2
Ue ZL Ie
U2 =
2
exp(+L)
(5)
exp( L)
(6)
Gl. (5) und (6) lassen sich nun in Gl. (1) und (2) einsetzen, so dass man einen Ausdruck für U a erhält:
1
1
U a = U e 2 fexp(L) + exp( L)g +Z L I e 2 fexp(L) exp( L)g
|
{z
}
|
{z
}
cosh(L)
sinh(L)
) U a = U e cosh(L) + Z L I e sinh(L)
(7)
Wenn entsprechend Gl. (5) und (6) in Gl. (2) eingesetzt werden, ergibt sich für den Strom am Anfang
der Leitung:
U
I a = Z e sinh(L) + I e cosh(L)
(8)
L
Zusammengefasst kann man obige Gleichungen als Kettenmatrix schreiben:
U
 a


Ia
=  cosh(L) Z L sinh(L)
sinh(L)=Z L cosh(L)

U
  e


Ie
(9)
Mit solch einer Kettenmatrix lassen sich auch Hintereinanderschaltungen von Leitungen beschreiben.
Dann müssen die Matrizen, die die einzelnen Leitungen beschreiben, miteinander multipliziert werden.
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Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
SMI/2
2 Widerstandstransformation
Der Abschlusswiderstand Z e
Ua
Ia
= UI
e
e
sei bekannt. Gesucht ist dann der transformierte Widerstand Z a
=
am Anfang der Leitung. Zur Bestimmung des transformierten Widerstands muss man nur das
Verhältnis von Spannung zu Strom am Anfang der Leitung bilden. Aus Gl. (7) und (8) folgt dann mit
Ue = Ze Ie :
Z e cosh(L) + Z L sinh(L)
Ua
=
Z
a = ZL
Ia
Z e sinh(L) + Z L cosh(L)
(10)
L)
) Z a = Z L ZZ e ++ ZZL tanh(
tanh(L)
(11)
und damit
L
e
2.1 Spezialfälle
1. Anpassung: Z e = Z L
Der Abschlusswiderstand transformiert sich unverändert an den Anfang der Leitung:
2. Sehr lange, verlustbehaftete Leitung mit
Za = ZL.
z 1:
) sinh(L) 21 exp(L) cosh(L) ) tanh(L) 1
) Za = ZL
D.h. die Welle sieht den Abschlusswiderstand am Ende der Leitung nicht mehr und wird nur
durch die Leitung selbst beeinusst.
3. Verlustfreie Leitung mit = 0:
Der Leitungswellenwiderstand einer solchen Leitung ist rein reell: Z L
tungskonstante gilt = j , so dass sich ergibt:
= ZL , und für die Ausbrei-
sinh(L) = sinh(jL) = j sin(L)  tanh(jL) = j tan(L);
cosh(L) = cosh(jL) = cos (L) 

(12)
woraus dann aus Gl. (11) folgt:
tan(L)
) Z a = ZL ZZ e ++ jj ZZL tan(
L)
L
e
(13)
2.2 Spezialfälle einer verlustfreien Leitung
1.
-Leitung:
4
Damit gilt
Eine
-Leitung
4
ist durch eine Leitungslänge
L=
4
bzw.
tan( L) ! 1;
L =
2
charakterisiert.
(14)
und aus Gl. (13) folgt für die Impedanz am Anfang der Leitung:
) Z a = ZZL
2
e
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(15)
Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
SMI/3
Entsprechend Gl. (15) führt damit eine 4 -Leitung zu einer Impedanzinversion. Eine 4 -Leitung
lässt sich auch zur Impedanzanpassung verwenden. Wenn z.B. Z e = Re und Z a = Ra vorgegeben
sind, lässt sich die Forderung erfüllen, wenn ZL als geometrischer Mittelwert beider Widerstände
gewählt wird:
p
ZL = Ra Re
(16)
2.
-Leitung:
Eine 2 -Leitung wird durch
aus Gl. (13) folgt einfach:
2
L = charakterisiert. Daher ist tan( L) = 0, und
Za = Ze
(17)
3. Kurzschluss: Bei einem Kurzschluss am Leitungsende wird Z a rein reaktiv und aus Gl. (13) folgt:
Z a = j ZL tan( L)
(18)
Der Verlauf der Impedanz Z a ist in Abb. 2a als Funktion von L dargestellt. Da (zumindest für
TEM-Wellen) gemäÿ Gl. (LEI 25) proportional zur Frequenz ! ist, lässt sich die L-Achse
in Abb. 2 auch als Frequenzachse interpretieren.
Für kleine Frequenzen ( L < 2 ) ist danach das Verhalten der kurzgeschlossenen Leitung
induktiv während für L 2 das Impedanzverhalten dem eines Parallelschwingkreises entspricht
(eine genauere Betrachtung erfolgt in Abschnitt 2.3). Für gröÿere Frequenzen wird das Verhalten
dann kapazitiv, und für L ergibt sich dann das Verhalten eines Serienschwingkreises. Dieses
Verhalten setzt sich dann zu höheren Frequenzen hin periodisch fort.
4. Leerlauf: Für
Z e ! 1 folgt aus Gl. (13)
Z a = j ZL cot( L);
(19)
wobei dieser Verlauf in Abb. 2b dargestellt ist. Hier ergibt sich für kleine Frequenzen zunächst
ein kapazitives Verhalten, während sich bei L 2 ; 32 ; 52 : : : ein Serienschwingkreis und für
L ; 2; 3 : : : ein Parallelschwingkreis ergibt.
Abb. 2: Eingangsimpedanz einer verlustlosen Leitung bei a) Kurzschluss- bzw. b) Leerlauf am Ende
der Leitung.
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Hochfrequenztechnik I
2.3 Vergleich zwischen
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
4
SMI/4
-Leitung und Schwingkreis
Als Beispiel für einen Schwingkreis wird eine kurzgeschlossene 4 -Leitung betrachtet. In der Umgebung
von L = 2 entspricht dann das Impedanzverhalten dem eines Parallelschwingkreises entsprechend
Abb. 3:
Abb. 3: Vergleich zwischen kurzgeschlossener Leitung und einem Parallelschwingkreis.
Im Folgenden haben wir das Ziel, die Ersatzelemente L1 ; C1 ; R des Parallelschwingkreises so zu bestimmen, dass Z a für L 2 korrekt beschrieben wird.
2.3.1 Betrachtung der kurzgeschlossenen Leitung
Die Verluste der Leitung sollen jetzt mit berücksichtigt werden, so dass aus Gl. (11) für Z e
Z a = ZL tanh(L)
Für die Extraktion der Ersatzelemente
mit
bzw.
ergibt zu:
(20)
L1 ; C1 ; R ist es zweckmäÿiger, die Admittanz zu betrachten:
1
1
Y a = Z = Z coth(L)
L
a
Wir wollen uns auf kleine Verluste L 1 beschränken, so dass mit
sich
= 0 folgt:
(21)
L = L + jL
(22)
L) + exp( L)
coth(L) = exp(
exp(L) exp( L)
(23)
exp(L) exp(jL)(1 + L)
exp( L) exp( jL)(1 L)
jL) + exp( jL) + L[exp(jL) exp( jL)]
coth(L) = exp(
exp(jL) exp( jL) + L[exp(jL) + exp( jL)]
L) + jL sin(L)
= jcos(
sin(L) + L cos(L)
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(24)
Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
Da wir den Schwingkreis in der Nähe von L 2 betrachten, wird
Admittanz Y a folgt aus Gl. (21) mit (24) für L 1 und L 2 :
1
Ya = Z
L
p
cos(L) sehr klein, und für die
cos(L)
j sin(L) + L
#
(25)
= !=Vph und der Resonanzfrequenz !0 für L = 2
Mit = ! "r =c0 bzw.
aus Gl. (25):
= Z1 [ j cot(L) + L] = Z1
Ya
L
= Z1
L
was sich für
"
SMI/5
L


(d.h.
!0 L
vph
= 2 ) folgt
!L
j cot v + L
ph

!


(! !0 )L + + L ;
j cot
v
2

!
ph
(26)
(! !0 ) vL 1 näherungsweise schreiben lässt als:
ph
1 (! ! )L
Y a Z j v 0 + L
!
L
ph
(27)
2.3.2 Vergleich mit diskretem Schwingkreis
Der Gesamtleitwert des Parallelschwingkreises in Abb. 3 kann folgendermaÿen dargestellt werden:
Y a = j !C1
1
1
+
!L1
R
Wenn man nun die Resonanzfrequenz !0 = pL1 C einführt und Frequenzen in ihrer Nähe (j!
1 1
!0 ) betrachtet, erhält man folgenden Ausdruck:
1
Y a j (! !0 ) 2C1 + R
(28)
!0 j (29)
Durch Koezientenvergleich mit Gl. (27) erkennt man, dass sich der Leitungsresonator in der Nähe
der Resonanzfrequenz !0 durch einen äquivalenten Schwingkreis ersetzen lässt, dessen äquivalente
diskrete Bauelemente folgende Gröÿen haben:
L
C
C1 = 2 Z v = 2 L;
L ph
0
wobei von
ZL = L =C
p
0
0
und
p
vph = 1= L C
0
0
Gebrauch gemacht wurde. Weiterhin ergibt sich
Z
L 1
R = LL = C L
8L
L1 = 2 L:
s
0
0
0
Die Güte
(30)
(31)
(32)
Q des Schwingkreises ergibt sich zu:
!
Q = !0 C1 R = 2 0v
ph
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(33)
Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
SMI/6
2.3.3 Beispiel
Für f0 = 2!0 = 1000 MHz und vph = 2 108 ms , sowie = 0; 1 dB
m ergibt sich eine Güte von Q = 1370.
Die Länge L des Leitungsschwingkreises wird dann zu L = 5 cm. Es lassen sich umso höhere Güten
erreichen, je geringer die Dämpfung und je höher die Resonanzfrequenz wird.
3 Smith-Diagramm
Eine Impedanztransformation ist auch mit Hilfe des sog. Smith-Diagramms möglich. Dazu wird die
Gl. (WEL 18) zunächst auf den Leitungswellenwiderstand normiert:
Z =Z 1 z 1
r = Z e =Z L + 1 = z + 1
e
L
(34)
Hierbei ist z die normierte Impedanz am Ende der Leitung nicht zu verwechseln mit der Ortskoordinate z !
Gl. (34) beschreibt eine konforme Abbildung von der z -Ebene (z = u + jv ) in die r -Ebene. Physikalisch realisierbar als passive Abschlüsse sind nur Impedanzen mit <(z ) > 0 (nur positive ohm'sche
Widerstände). Die rechte z -Halbebene mit <(z ) > 0 wird in das Innere des Einheitskreises abgebildet.
Abb. 4: Das Smith-Diagramm ist die Abbildung der rechten z -Halbebene in den Einheitskreis in der
r -Ebene.
3.1 Abbildung ausgezeichneter Punkte
Die imaginäre Achse in der z -Ebene wird auf den Einheitskreis in der r -Ebene abgebildet:
jv 1
z = j v ) r = jv + 1 = exp(j) mit = 2 arctan(v )
Die reelle Achse in der z -Ebene wird wiederum auf die reelle Achse der r -Ebene abgebildet:
u 1
z =u )r = u+1 )
rein reeller Bruch,
wobei sich für den Bereich u > 0 reelle Werte r zwischen
(Leerlauf, u ! 1) innerhalb des Einheitskreises ergeben.
r = 1 (Kurzschluss, u = 0) und r = +1
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Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
SMI/7
Abb. 5: Smithdiagramm als konforme Abbildung der rechten z -Halbebene in den Einheitskreis jr j 1
in der r -Ebene gemäÿ r = (z 1)=(z + 1): a) Abbildung der imaginären Achse und der reellen
Achse (u > 0) in die r -Ebene, b) Abbildung von Geraden mit u = <(z ) = const , c) Abbildung von
Geraden mit v = =(z ) = konst .
Weitere ausgezeichnete Punkte:
ˆ Anpassung:
z =1
ˆ Kurzschluss:
z =0
ˆ Leerlauf:
z !1
)
)
)
r =0
r= 1
r = +1
ˆ Impedanzwerte mit konstantem Realteil werden in Kreise abgebildet, deren Mittelpunkte auf der
reellen Achse der r -Ebene liegen und durch r = 1 gehen.
ˆ Impedanzwerte mit konstantem Imaginärteil werden ebenfalls in Kreise abgebildet, die durch
r = 1 gehen, deren Mittelpunkte aber auf der mit A bezeichneten Achse liegen.
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Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
SMI/8
=(r ) > 0 , =(z ) > 0.
Die untere Halbebene der r -Ebene zeigt kapazitives Verhalten: =(r ) < 0 , =(z ) < 0.
ˆ Die obere Halbebene der r -Ebene zeigt induktives Verhalten:
ˆ
Das Innere des Einheitskreises in der r -Ebene wird auch als Smith-Diagramm bezeichnet und ist
nochmals in Abb. 6 dargestellt. Die Parameter im Smith-Diagramm bezeichnen jeweils u und v aus
der z -Ebene.
Abb. 6: Smith-Diagramm.
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Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
SMI/9
4 Impedanztransformation mit dem Smith-Diagramm
Mit dem Smith-Diagramm lässt sich in sehr einfacher Form die Impedanztransformation entlang einer
Leitung beschreiben. Die Transformation des Reexionsfaktors vom Leitungsende an den Leitungsanfang erfolgt gemäÿ Gl. (WEL 26):
r (0) = r (L) exp( 2L)
= r (L) |exp( {z2L})
exp(
2j L})
|
{z
(35)
(36)
Dämpfung Phasendrehung zum Generator
Z =Z 1 z (L) 1
r (L) = Z e =Z L + 1 = z (L) + 1
e
L
Z a =Z L 1 z (0) 1
r (0) = Z =Z + 1 = z (0) + 1
a
(37)
(38)
L
Somit ist die Vorgehensweise folgendermaÿen:
Z e sei vorgegeben, dann ergibt sich die normierte Impedanz am Leitungsende zu:
Z
z (L) = Z e
(39)
L
z (L) wird nun im Smith-Diagramm eingetragen, so dass r (L) vorliegt. Im Smith-Diagramm wird dann
r (L) gemäÿ Gl. (36) in r (0) umgewandelt. Aus r (0) folgt dann die normierte Impedanz z (0), woraus
dann schlieÿlich nach Entnormierung die gesuchte Impedanz am Anfang der Leitung entsteht.
4.1 Beispiel:
Z e = 25 (1 j ); ZL = 50 ; L = =8.
1
Z e = 25 (1 j ) ) z (L) = 2 (1 j )
Aus z (L) ergibt sich r (L) in Abb. 7. Mit der Annahme, dass die Verluste exp( 2L) = 12 betragen,
folgt aus Gl. (36) ein jr (0)j = 21 jr (L)j.
Die Leitungslänge L = 8 führt zu einer Phasendrehung 2 L = 2 , so dass sich dann r (0) in Abb. 7
ergibt. Aus dem Smith-Diagramm lässt sich dann z (0) = 0; 65+ j 0; 15 ablesen, woraus sich schlieÿlich
ein Z a = 32; 5 + j 7; 5 ergibt.
4.2 weitere Beispiele
1. verlustlose, am Ende kurzgeschlossene Leitung mit
2. verlustlose, am Ende oene Leitung mit
L
L
= 0; 199 ) Z a = 3j ZL
= 0; 1 ) Z a = 1; 4j ZL
4.3 Vorgehensweise bei komplexeren Fragestellungen
Wenn man z.B. eine Impedanztransformation an den Anfang einer verketteten Leitung mit unterschiedlichen Leitungswellenwiderständen vornehmen möchte (siehe Abb. 8), muss man folgendermaÿen
vorgehen:
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Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
Abb. 7: Smith-Diagramm zum Beispiel 4.1.
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SMI/10
Hochfrequenztechnik I
1.
Ze
bezüglich
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
Z L2 normieren
2. Mit Smith-Diagramm die Impedanz
3. Die Impedanz
4.
SMI/11
Z a2 am Anfang von Leitung 2 ermitteln
Z e 1 am Ende von Leitung 1 ist gegeben durch Z e 1 = Z a2 + Z 0
Z e 1 bezüglich des Leitungswellenwiderstands der Leitung 1, Z L1 normieren
5. Mit Smith-Diagramm die Impedanz
Z a bestimmen
Abb. 8: Leitungsanordnung mit zwei seriell verschalteten Elementen
Z 0 und Z e .
5 Transformation von Admittanzen mit dem Smith-Diagramm
In den letzten Abschnitten wurde der Reexionsfaktor r immer bezüglich der normierten Impedanz z
betrachtet. Nun soll beschrieben werden, wie das Smith-Diagramm bezüglich der normierten Admittanz
y verwendet werden kann. Dazu soll noch einmal die Abbildungsvorschrift für z und analog dazu von
y angegeben werden:
z 1
Z Z
r = Ze + ZL = z + 1
e
L
ZL Ze y 1
r = Z +Z = y +1
L
e
mit
mit
Z
z = Ze
L
ZL 1
y=Z =z
e
Daraus ist ersichtlich, dass sich r zu z verhält, wie r zu y .
Graphisch lässt sich dieser Zusammenhang durch eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung darstellen.
) Im Smith-Diagramm ist y bei bekannter Impedanz z durch Spiegelung am Ursprung bestimmbar.
5.1 Beispiel
Die normierte Impedanz am Ende der Leitung sei
z = 0; 15 + j 0; 55:
z = 0; 15 + j 0; 55
) y = 0; 5 j 1; 7
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
SMI/12
Abb. 9: Smith-Diagramm Spiegelung am Ursprung zur Transformation von Impedanzen zu Admittanzen und umgekehrt.
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Hochfrequenztechnik I
Impedanztransformation, Smith-Diagramm
SMI/13
Der Vorgang der Spiegelung ist in Abb. 9 dargestellt.
5.2 Vorgehensweise bei komplexeren Fragestellungen
Die Transformation von y mit dem Smith-Diagramm erfolgt völlig analog zur Transformation von z .
Die Betrachtung der Admittanzen ist zweckmäÿig bei Leitungsanordnungen, die parallelgeschaltete
Elemente beinhalten, weil sich dann ihre Admittanzen addieren.
5.2.1 Beispiel für Analyse mit Admittanzen
Abb. 10: Leitungsanordnung mit parallelgeschalteten Elementen.
Ein Beispiel für eine Anordnung mit parallel verschalteten Elementen ist in Abb. 10 dargestellt. Wir
wollen folgende Annahmen machen. Sie sollten dieses Beispiel selbst bearbeiten.
L1 = 0; 176 ; L2 = 0; 125 ; verlustfreie Leitungen
Z L1 = Z L2 = Z L ; Y e = 0 (Leerlauf); Z 0 = ZL
) y a = Y a ZL = ZZL = 1 j
a
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Hochfrequenztechnik I
Streumatrix
STR/1
In den letzten Abschnitten wurden die Hochfrequenzsignale mit Strom- und Spannungsamplituden
beschrieben. Da diese Signale elektromagnetische Wellen darstellen, die sich auf Leitungen ausbreiten,
kann man sie auch allgemeiner mit Wellenamplituden beschreiben. In dieser Darstellung ist es dann
sinnvoller, die Wellenamplituden nicht auf Strom oder Spannung, sondern auf die von der Welle geführte Leistung zu beziehen. Bauelemente lassen sich dann in Form von Streumatrizen charakterisieren,
die durch die hinein- und herauslaufenden Wellenamplituden deniert werden, die relativ einfach zu
messen sind.
1 Normierte Wellenamplituden
Zuerst wollen wir, ausgehend von Strom- und Spannungsamplituden, das Konzept der normierten
Wellenamplituden einführen. Diese normierten Wellenamplituden sollen auf die transportierte Leistung
bezogen werden. Um die transportierte Leistung auf einer Leitung berechnen zu können, gehen wir
von Strom und Spannung auf der Leitung aus:
U (z )
I (z )
=
=
U (z ) + U (z )
U (z ) U (z )
;
Z
h
r
h
r
(1)
(2)
L
mit U h (z ) = U 1 exp( z ) und U r (z ) = U 2 exp(z ) für die hin- bzw. rücklaufende Welle. Im
Folgenden wollen wir eine verlustfreie Leitung annehmen, so dass der Leitungswellenwiderstand ZL
reell wird:
)
=0
Z
L
=
Z
L
Abb. 1: Beschreibung einer Leitung mit Strom- und Spannungszeigern
Aus den Gl. (1) und (2) lässt sich die transportierte Leitung
berechnen:
P (z )
=
=
) P (z )
=
1
2
2
P
in
z -Richtung
+
an der Stelle
z
<fU (z )I (z )g
2
2
Z <fjU (z )j jU (z )j + U| U {z U U }g
1
h
r
r
L
jU (z )j2
h
Z
{z
2
L
|
}
hinlaufende Leistung
jU (z )j2
r
h
Z
{z
2
h
r
2j =fU r U h g
L
|
}
rücklaufende Leistung
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(3)
Hochfrequenztechnik I
Streumatrix
STR/2
Solange der Leitungswellenwiderstand reell ist, besteht die auf der Leitung geführte Leistung also
aus einem hinlaufenden Teil, der proportional zu jU h j2 ist, und einem rücklaufenden Teil proportional
zu jU r j2 . Daher ist es sinnvoll, normierte, leistungsbezogene Wellenamplituden einzuführen, die die
hinlaufende und rücklaufende Welle repräsentieren:
U (z )
a(z ) = p ;
Z
U (z )
b(z ) = p :
Z
h
r
L
L
Die Beschreibung der Leistung vereinfacht sich dann folgendermaÿen:
P (z ) = 2 fja(z )j2 jb(z )j2 g:
1
(4)
Spannung und Strom ergeben sich dann aus den Überlagerungen der hin- und rücklaufenden Wellen:
U (z )
I (z )
=
=
Z fa(z ) + b(z )g
pZ fa(z ) b(z )g
(5)
p
L
1
(6)
L
Die Gröÿen ja(z )j und jb(z )j lassen sich einfach aus Leistungsmessungen bestimmen.
Der Reexionsfaktor ergibt sich wie gehabt als Verhältnis der rück- zur hinlaufenden Welle:
U (z ) b (z )
r (z ) = U (z ) = a(z )
(7)
r
h
2 Beschreibung eines Zweitores mit der Streumatrix
Wir wollen nun basierend auf den normierten Wellenamplituden ein lineares Netzwerk in Form eines
Zweitors mit der sog. Streumatrix beschreiben.
Abb. 2: Beschreibung eines Zweitors.
Die in Abb. 2 dargestellten Gröÿen sind wie folgt deniert:
a1 ; a2
b1 ; b2
Wellenamplituden, die in das Netzwerk hineinlaufen
Wellenamplituden, die aus dem Netzwerk herauslaufen
Die herauslaufenden Wellenamplituden b1 und b2 lassen sich durch die Streumatrix S mit den hineinlaufenden Wellenamplituden a1 und a2 verknüpfen:


b1
b2


=
|
S 11 S 12
S 21 S 22
 
 
a1
a2


{z
}
Streumatrix S
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(8)
Hochfrequenztechnik I
Streumatrix
STR/3
Hierbei entsprechen die beiden Komponenten S 11 und S 22 den Reexionsfaktoren bei ausgangs- bzw.
eingangsseitiger Anpassung. Die beiden anderen Komponenten S 21 und S 12 beschreiben die Transmission in Hin- bzw. in Rückrichtung.
2.1 Beispiele
Zwei Beispiele sollen die Eigenschaften von Streumatrizen verdeutlichen.
1.
Leitung mit Wellenwiderstand
Z
L
und Länge
L:
Wenn wir die hin- und rücklaufenden Wellen betrachten, ergibt sich eine Phasendrehung (und
Dämpfung) gemäÿ der Länge der Leitung:
b2 = a1 exp( L)
b1 = a2 exp( L)
(9)
(10)
Damit ergibt sich die Streumatrix zu:

)S=
2.
0
exp(
L)
exp(
L)

:
0
(11)
Serienwiderstand in einer Leitung:
Abb. 3: Serienwiderstand in einer Leitung.
Zuerst betrachten wir den Streuparameter S 11 : Bei reexionsfreiem Abschluss am Tor 2 ergibt
sich dort ein Ausgangswiderstand ZL , womit sich in Abb. 3 ein Eingangswiderstand Z 0 + ZL
ergibt. Gemäÿ Gl. (8) lässt sich schreiben:
S 11 =
b1 a1 =
a2
=0
Z
Z
( 0+
( 0+
Z
Z
L
L
Z
)+Z
)
L
L
=
Z
2
Z0
L
+
Z0
Die Schaltung weist eine Symmetrie auf: Sie ist spiegelsymmetrisch, so dass das Verhalten
der Schaltung unabhängig davon ist, ob sich die Welle von links nach rechts oder umgekehrt
ausbreitet. Der Reexionsfaktor muss also an beiden Toren gleich sein:
S 11 = S 22 :
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Hochfrequenztechnik I
Streumatrix
Nun betrachten wir die Transmission:
S 21 =
STR/4
b2 a1 a2
=0
Dei reexionsfreiem Abschluss am Tor 2 (ausgedrückt durch
Spannungsteiler:
U2
U1
a2 = 0) ergibt sich in Abb. 3 ein
Z
(12)
L
=
Z0 + Z
mit a1 und
L
beinhaltet dabei die hinlaufende Welle
die rücklaufende Welle mit b1 , so dass
sich U 1 = U h;1 (1 + S 11 ) schreiben lässt (U h1 Spannung der hinlaufenden Welle am Tor 1). Es
ergibt sich damit
U1
S 21 =
b2 a1 =
a2
=0
U2
U1
h
=
U2 U1
U1 U 1
h
=
Z
L
Z0 + Z
L
(1 +
S 11 ) = Z
2
Z
0+2
L
Z
(13)
L
Auÿerdem gilt Reziprozität: Die Richtung der Ausbreitung hat keine Auswirkung auf die Ausbreitungseigenschaften. Eine Welle, die sich von Tor 1 nach 2 ausbreitet, erfährt die gleiche
Übertragung, wie eine Welle, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreitet. Für die Streumatrix ergibt sich somit:
S 21 = S 12 :
Die Beziehung
S 21 = S 12 gilt bei allen reziproken, auch unsymmetrischen Netzwerken!
3 Signalussdiagramm
Eine einfache Beschreibung der Wellen ist mit dem Signalussdiagramm möglich. Darin stellt jeder
Knoten die Summe der in ihn hineinlaufenden Wellenamplituden dar. Jeder Pfad fordert die Multiplikation mit dem Wert, der dem Pfad zugeordnet ist. Solch ein Signalussdiagramm ist in Abb. 4 dargestellt.
Wir stellen einen Vierpol mit bekannten Streuparametern im Signalussdiagramm dar:
Abb. 4: Signalussdiagramm eines Zweitors.
Für die beiden herauslaufenden Wellenamplituden des Zweitors bzw. Vierpols ergeben sich demnach
folgende Beziehungen:
b2 = S 21 a1 + S 22 a2 ;
b1 = S 11 a1 + S 12 a2
Das Signalussdiagramm für zwei hintereinandergeschaltete Vierpole ist in Abb. 5 dargestellt.
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Hochfrequenztechnik I
Streumatrix
3.1 Beispiel: Beschreibung der Transmission
S 0021
STR/5
durch zwei Vierpole
b Wir betrachten beispielhaft die Transmission S 0021 = a2 in Abb. 5. Als Hilfsgröÿe führen wir hier
1 a2 =0
die Wellenamplitude
b
x
b
Es ergibt sich dann für
woraus dann für
S 0021 =
ein:
x
a S 21 + b S 011 S 22
= 1
b2 :
b2
a1
b2 = S 021 b
a2
=0
)
x
x
a
= 1
b
x
a
= 1
1
S 21
S 011 S 22
S 21 S 021
;
1 S 011 S 22
folgt:
S S0
S 0021 = 1 21S 0 21S
11 22
Abb. 5: Signalussdiagramm zwei hinter einander geschalteter Zweitore.
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Hochfrequenztechnik I
IMP/1
Impulse auf Leitungen
1 Vorüberlegung
Bisher wurde nur die Übertragung harmonischer Signale einer bestimmten Frequenz betrachtet. Allerdings werden auch pulsförmige Vorgänge mit Leitungen übertragen. Um diese Vorgänge beschreiben
zu können, hat man grundsätzlich die Möglichkeit, die Pulse mittels der Fourier-Transformation in
seine Spektralanteile zu zerlegen und dann die Übertragung dieser Anteile getrennt von einander zu
betrachten. Schlieÿlich müssen die übertragenen Spektralanteile wieder überlagert werden, indem man
eine Fourier-Rücktransformation vornimmt. Diese allgemeine Vorgehensweise ist immer möglich, jedoch ist sie sehr aufwändig und wird insbesondere bei verlustbehafteten oder dispersiven Leitungen
angewandt.
2 Pulsausbreitung auf verlustfreien, nicht dispersiven Leitungen
Wir wollen im Folgenden die Pulsausbreitung in verlustfreien und nicht dispersiven (vph = vgr = v )
Leitungen betrachten. Der Ausgangspunkt sind die bereits bekannten Leitungsgleichungen (LEI 3 und
LEI 4), wobei die Komponenten, die die Verluste beschreiben, vernachlässigt werden (R = G = 0)
und die Induktivitäts- und Kapazitätsbelege L und C frequenzunabhängig werden:
0
0
0
0
@i
@t
@u
C0 :
@t
@u
=
@z
@i
=
@z
(1)
L0
(2)
Wenn man nun die Gl. (1) partiell nach z und Gl. (2) partiell nach t ableitet, erhält man eine Wellengleichung:
)
@2i
@2i
@2u
@2u
0
0
=
L
;
=
C
@z 2
@t@z
@t@z
@t 2
2
2
1 @ u
1
@ u
= 2
mit v = p 0 0
2
2
@z
v @t
LC
(3)
Gl. (3) beschreibt eine allgemeine Wellengleichung, die durch folgenden Ansatz gelöst wird:
u (z ; t ) = fh t
z
v
+ fr
t+
z
v
(4)
;
bei der die beliebigen Funktionen fh () und fr () jeweils eine hin- und rücklaufende Welle beschreiben.
Sie sind durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Die Stromverteilung ergibt sich analog:
ZL i (z ; t ) = fh t
z
v
fr t +
z
v
(5)
;
2.1 Beispiel: Blitzeinschlag in eine Leitung
Durch atmosphärische Felder wird eine Ladungsverteilung Q (z ) mit der Gesamtladung Q = Q (z ) dz
auf der Leitung inuenziert, die nach dem Blitzeinschlag zur Zeit t = 0 auf der Leitung plötzlich
abieÿt. Es ergeben sich für Strom und Spannung zum Zeitpunkt t = 0:
R
0
Q0 (z ) dz
Q0 (z )
=
f
(
z
)
=
= fh
C 0 dz
C0
z
z
ZL i (z ; 0) = 0 = fh
fr
:
v
v
u (z ; 0) =
z
v
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+ fr
z
v
0
(6)
(7)
Hochfrequenztechnik I
IMP/2
Impulse auf Leitungen
Aus Gl. (7) ergibt sich sofort:
fr
Damit folgt dann mit Gl. (6)
f (z )
2
z
v
z
v
= fr
z
v
= fh
= fh
(8)
z
v
(9)
Wenn man nun Zeiten t > 0 betrachtet, geht die Ortskoordinate z für die hinlaufende Welle in
z ! z v t und für die rücklaufende Welle in z ! z + v t über. Man kann somit schreiben:
u (z ; t ) =
i (z ; t ) =
ur =
1
2
f (z
1
2ZL
f (z
v t)
f (z + v t )
1
f(z + v t)
2
uh =
ir = −
(10)
v t ) + f (z + v t )
1
r
f(z + v t)
2ZL
ih =
(11)
1
f(z − v t)
2
1
f(z − v t)
2ZL
Abb. 1: Wanderwellen bei plötzlicher Entladung nach Blitzeinschlag.
2.2 Beispiel: Einschalten einer Leitung
Wir wollen den Fall betrachten, dass zum Zeitpunkt t = 0 eine eine Spannung U0 auf eine Leitung
geschaltet wird (siehe Abb. 2). Im ersten Moment nach dem Schlieÿen des Schalters kann auf der
Leitung nur eine hinlaufende Welle existieren. Wir können also folgenden Ansatz machen:
z
v
u = uh = fh t
i = ih =
1
ZL
fh t
z
v
(12)
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(13)
Hochfrequenztechnik I
IMP/3
Impulse auf Leitungen
z
Abb. 2: Einschalten einer Leitung.
Betrachten wir nun den den Ort z
= 0,
dann erhalten wir:


0
fh (z = 0; t ) =

U0 ZL
R+ZL
für t < 0
für t
(14)
0
Für beliebige Orte z auf der Leitung lässt sich allgemeiner schreiben (siehe Abb. 3):
u (z ; t ) = fh t
z
v
=


0
für t

U0 ZL
für t
R+ZL
z
v <0
z
v 0
(15)
Abb. 3: Strom- und Spannungsverteilung beim Einschalten einer Leitung.
3 Einschalten einer beidseitig fehlangepassten Leitung
Wir wollen im Folgenden den Einschaltvorgang bei einer Leitung betrachten, deren beide Enden nicht
reexionsfrei angepasst sind. Dazu wird als Beispiel ein Generator mit einem Generatorinnenwiderstand
von Ri = ZL =2 und am Leitungsende ein Lastwiderstand Re = ZL =2 angenommen.
Zuerst wird der Reexionsfaktor an beiden Abschlüssen berechnet:
ZL Z
L
r1 = r2 = Z2
=
L +Z
L
2
1
3
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(16)
Hochfrequenztechnik I
Impulse auf Leitungen
IMP/4
An beiden Enden ergeben sich somit Reexionsfaktoren von 13 . Die eingeschaltete Welle wird am
Leitungsende reektiert und überlagert sich mit der hinlaufenden Welle. Diese zurücklaufende Welle
wird dann am Leitungsanfang auch mit einem Reexionsfaktor von r1 = 31 reektiert. Dieser Vorgang
wiederholt sich immer wieder und ist in Abb. 4 dargestellt.
Abb. 4: Strom- und Spannungsverteilung beim Einschalten einer beidseitig fehlangepassten Leitung
mit Ri = Re = Z2L .
3.1 Systematische Untersuchung des Einschaltverhaltens: Bergeron-Diagramm
Der oben beschriebene Vorgang lässt sich in systematischer Art und Weise mit dem BergeronDiagramm beschreiben. Dazu betrachtet man den Leitungsanfang und das Leitungsende separat. Aus
Gründen der Einfachheit wollen wir uns nur auf ohm'sche Widerstände Ri und Re beschränken. Am
Leitungsanfang in Abb. 5a) ergibt sich zunächst die Generatorkennlinie :
ua = ui
Ri i a :
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(17)
Hochfrequenztechnik I
Impulse auf Leitungen
IMP/5
Die Spannung am Leitungsende beschreibt die Lastkennlinie :
ue = Re ie :
(18)
Die Leitung sei weiterhin charakterisiert durch die Laufzeit der Welle entlang der Leitung = Lv .
Die sich ergebenden Spannungen ua , ue bzw. Ströme ia , ie am Anfang bzw. Ende der Leitung sollen nun
zu verschiedenen Zeiten betrachtet werden. Der Schalter in Abb. 5a) wird zur Zeit t = 0 geschlossen.
Abb. 5: Beschreibung des Einschaltens einer Leitung durch das Bergeron-Diagramm.
3.2 Zeitraum 1:
0<t<
Für diese Zeitraum bildet sich nur eine hinlaufende Welle aus (vgl. auch Abb. 4). Die Spannung ua
und der Strom ia am Anfang werden für diesen Zeitraum 1 mit ua1 , ia1 bezeichnet, und es gilt einmal
der Zusammenhang für die hinlaufende Welle
ua1 = ZL ia1
(19)
sowie auch die Generatorkennlinie (17):
ua1 = ui
Ri i a 1 :
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(20)
Hochfrequenztechnik I
Impulse auf Leitungen
IMP/6
Eine graphische Lösung von Gl. (19) ist einfach im Bergeron-Diagramm gemäÿ Abb. 5b) möglich, wo
sich ua1 , ia1 als Schnittpunkt der Geraden nach Gl. (19) und (20) ergibt.
3.3 Zeitraum 2:
< t < 2
Für diesen Zeitraum hat die hinlaufende Welle das Leitungsende erreicht und wird reektiert. Die
Spannung am Ende der Leitung in diesem Zeitraum ue = ue 2 ergibt sich damit
(21)
ue 2 = ua1 + ur 2
als Überlagerung der hinlaufenden Welle von Zeitraum 1 und einer neu entstehenden reektierten
Welle mit ur 2 . Entsprechend gilt für die Ströme
(22)
ie 2 = ia 1 + ir 2
Für die reektierte Welle muss gelten:
ur 2 =
ZL ir 2
ua1 ) =
ZL (ie 2
(23)
und damit aus Gl. (21), (22)
(ue 2
i a 1 ):
(24)
Gl. (24) beschreibt für ue 2 , ie 2 eine Gerade mit der Steigung ZL durch den Punkt (ua1 ; ia1 ), wie sie
auch in Abb. 5b) eingezeichnet ist. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Lastkennlinie
ue 2 = Re ie 2
(25)
führt dann auf das gesuchte Wertepaar ue 2 , ie 2 .
3.4 Zeitraum 3:
2 < t < 3
Für t = 2 hat die reektierte Welle wieder den Leitungsanfang erreicht, so dass sich für den Zeitraum
3 am Anfang der Leitung wieder eine neue hinlaufende Welle ergibt. Die Spannung ua = ua3 und der
Strom ia = ia3 für diesen Zeitraum 3 ergeben sich als Überlagerung von ue 2 , ie 2 mit dieser neuen
hinlaufenden Welle (vgl. auch Abb. 4):
mit
ua3 = ue 2 + uh3
(26)
ia 3 = ie 2 + ih 3
(27)
uh3 = ZL ih3 ;
(28)
so dass sich mit Gl. (28) und (26), (27) ergibt:
(ua3
ue 2 ) = ZL (ia3
ie 2 ):
(29)
Gl. (29) beschreibt für ua3 , ia3 eine Gerade mit der Steigung ZL durch (ue 2 ; ie 2 ), die auch in Abb. 5b)
mit eingetragen ist. ua3 und ia3 ergeben sich dann als Schnittpunkt dieser Geraden mit der Generatorkennlinie
ua3 = ui Ri ia3 :
(30)
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Hochfrequenztechnik I
Impulse auf Leitungen
IMP/7
Dieses Verhalten setzt sich entsprechend fort, bis für t ! 1 der Schnittpunkt zwischen Generatorund Lastkennlinie erreicht wird.
Das sich schlieÿlich ergebende Zeitverhalten ist in Abb. 5c) sowohl für die Spannung am Anfang der
Leitung ua als auch am Ende der Leitung ue dargestellt.
Für ein kurzes Einschwingverhalten sollte Ri und/oder Ra nicht zu stark vom Wellenwiderstand ZL
abweichen.
3.5 Anwendung auf nichtlineare Generator- und Lastkennlinien
Das Bergeron-Diagramm ist im obigen Beispiel für sehr einfache Last- und Generatorkennlinien angewandt worden. Es lässt sich auch auf nichtlineare Generator- und Lastkennlinien übertragen, bei
denen man grasch in gleicher Weise vorgeht wie oben beschrieben. Beispiele dafür sind Eingangsund Ausgangskennlinien von digitalen Schaltkreisen.
4 Schlussbemerkung
In diesem Kapitel wurde die Ausbreitung von Impulsen auf Leitungen betrachtet und das BergeronDiagramm als einfaches Hilfsmittel zur Beschreibung der Impulsausbreitung mit Reexionen an den
Leitungsenden eingeführt. Die an den Enden der Leitungen auftretenden Reexionen können insbesondere bei sehr kurzen Pulsen, deren Breite im Bereich der Laufzeit der Leitung liegt, zu starken
Störungen und fehlerhafter Übertragung führen, da in diesem Falle die Pulse nicht nur verzerren, sondern auch noch Signalanteile sich mit benachbarten Pulsen überlagern können. Um diese Störungen
zu vermeiden, sollte die Signalquelle und/oder die Last möglichst reexionsfrei abgeschlossen werden.
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Hochfrequenztechnik I
Ebene Wellen Polarisation
EB/ 1
1 Vorbetrachtung
Bevor wir die Wellenausbreitung im freien Raum betrachten, wollen wir noch einmal die Koaxialleitung
analysieren:
Die geführte Leistung einer Koaxialleitung (siehe Abschnitt STR) lässt sich folgendermaÿen beschreiben:
1
(1)
Ph = < U I 2
Anstelle einer Beschreibung mit Strom- und Spannungsamplituden lässt sich die Leistungsdichte auch
mit Feldkomponenten in Form des Poynting-Vektors ausdrücken:
~=
S
1 E~ H~ 2
(2)
Die gesamte geführte Leistung erhält man dann mittels einer Integration über den Leitungsquerschnitt
A senkrecht zur Ausbreitungsrichtung z :
Ph =
ZZ
A
<
S~ d~A =
ZZ
A
<
Sz
dA
(3)
Nun wollen wir die Feldkomponenten aus Gl. (LEI 21) und (LEI 22) in einer Koaxialleitung in Gleichung
(3) einsetzen, um einen Ausdruck für die geführte Leistung in Abhängigkeit von der Geometrie der
Leitung zu erhalten:
Sz
= 12 E r H'


!
U 
I
1
1 U I 

= 2
=
2r
2 2r 2 ln Dd
r ln Dd


) Ph = 12 <




D=
Z 2


1
 2r dr 
UI



2r 2 ln Dd


d=
2

|
{z
}
(4)
=1
Gl. (4) ist damit auch in Übereinstimmung mit Gl. (1). Mit dieser Abschätzung lässt sich erkennen,
dass sich die Leistungsübertragung entlang der Leitung sowohl mit Strom und Spannung als auch mit
elektromagnetischen Feldern beschreiben lässt. Da die Integration über den Querschnitt der Leitung
oensichtlich die gesamte Leistung berücksichtigt, kann man Folgendes feststellen:
ˆ Die geführte Leistung bendet sich ausschlieÿlich im Dielektrikum zwischen Innen- und Auÿenleiter dies gilt zumindest für eine Skin-Eindringtiefe z0 d; D
ˆ Innen- und Auÿenleiter übernehmen nur die Führung der elektromagnetischen Welle. Sie tragen
nicht zum Energietransport bei!
ˆ Ohne diese Wellenführung lässt sich die Energie oenbar auch im freien Raum übertragen.
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Hochfrequenztechnik I
Ebene Wellen Polarisation
EB/ 2
2 Maxwell'sche Gleichungen
Da wir gesehen haben, dass die Leistungsübertragung in einer Leitung mit Hilfe elektromagnetischer
Wellen beschreibbar ist, wollen wir im Folgenden die Eigenschaften solcher Wellen ausgehend von den
Maxwell'schen Gleichungen analysieren.
Durchutungsgesetz: Die Wirbel des magnetischen Feldes H~ werden bestimmt durch die elektrische
~
Stromdichte J~ einschlieÿlich des Verschiebungsstroms @@tD . Dieser Zusammenhang wird durch
das Durchutungsgesetz beschrieben:
I
A
H~ d~s =
ZZ A
J~ + @@tD~
~
dA;
(5)
~ die dielektrische Verschiebung darstellt. Wenn in Gl. (5) die Fläche A innitesimal klein
wobei D
wird, lässt sich dieser integrale Zusammenhang auch als Dierentialgleichung ausdrücken (siehe
Abb. 1):
~
rot H
Hierbei bezeichnet
~
= r H~ = J~ + @@tD
(6)
r den Nabla-Operator:
@
 @x 
@ 
r=
 @y
:
 
@
@z


(7)
Abb. 1: Durchutungsgesetz.
Induktionsgesetz: Die Wirbel des elektrischen Feldes E~ werden bestimmt durch die Änderung der ma~ . Dieser Zusammenhang wird durch das Induktionsgesetz beschrieben
gnetischen Flussdichte B
(siehe Abb. 2):
I
A
E~ d~s =
ZZ A
@ B~
@t
dA~
(8)
Ähnlich wie oben, lässt sich auch dieser integrale Zusammenhang als Dierentialgleichung ausdrücken:
~
rot E
~
= r E~ = @@tB
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(9)
Hochfrequenztechnik I
Ebene Wellen Polarisation
EB/ 3
Abb. 2: Induktionsgesetz.
Feldprobleme der Hochfrequenztechnik lassen sich bereits mit den beiden Maxwell'schen Gleichungen (5) und (9) (Durchutungs- und Induktionsgesetz) vollständig beschreiben.
Insgesamt gibt es aber vier Maxwell'sche Gleichungen, so dass noch hinzukommen:
Magnetische Flusslinien sind grundsätzlich geschlossen (siehe Abb. 3):
I
F
~ dF~
B
= 0;
(10)
wobei F die Oberäche eines geschlossenen Volumens beschreibt. Als Dierentialgleichung stellt
sich der Zusammenhang folgendermaÿen dar:
~
div B
= r B~ = 0
(11)
Abb. 3: Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen.
Die Linien der dielektrischen Verschiebung beginnen und enden auf Ladungen (siehe Abb. 4):
I
F
~ dF~
D
=Q
(12)
wobei Q die elektrische Ladung innerhalb des durch F eingeschlossenen Volumens beschreibt.
Als Dierentialgleichung lässt sich der Zusammenhang folgendermaÿen ausdrücken:
~ =rD
~ = ;
div D
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(13)
Hochfrequenztechnik I
Ebene Wellen Polarisation
EB/ 4
mit der Raumladungsdichte .
Abb. 4: Linien der dielektrischen Verschiebung.
~ (t ) bzw. B
~ (t )) folgen Gl. (11) und (13) autoBei hochfrequenten Problemen (zeitveränderlichen D
matisch aus Gl. (5) und (9).
Die Maxwell'schen Gleichungen lassen sich deutlich vereinfachen, wenn man die Feldgröÿen im Frequenzbereich als Zeigergröÿen darstellt. Nimmt man z.B. für die magnetische Feldstärke ein harmonisches Signal der Kreisfrequenz ! an, kann man das Signal folgendermaÿen in Zeigerdarstellung
schreiben:
~ exp(j!t )
H~ (t ) = < H
Wie man leicht sieht, ist die Ableitung nach der Zeit in Zeigerdarstellung durch eine einfache Multiplikation mit j! beschreibbar, wodurch sich die Maxwell'schen Gleichungen vereinfachen:
~ + ~J
= r H~ = j!D
~ = rE
~ = j!B
~
rot E
~
rot H
(14)
(15)
Für ! 6= 0 folgt aus Gl. (14) und (15) unmittelbar auch Gl. (11) und (13), so dass die Maxwell'schen
Gleichungen Gl. (14) und (15) die Basis für die folgende Betrachtung darstellen.
2.1 Materialgleichungen
Im letzten Abschnitt wurden die Feldgröÿen behandelt, als ob sie voneinander unabhängig wären. In
~ und B
~ sowie E~ und D
~ meist miteinander in folgender Weise verknüpft:
realen Materialien sind jedoch H
~ = "0 "r E
~
D
~ = 0 r H
~
B
(16)
(17)
Hierbei beschreiben "0 und 0 die Dielektrizitätskonstante und die Permeabilitätskonstante im freien
Raum, die jeweils Naturkonstanten darstellen. "r und r sind dagegen die relative Dielektrizitätskonstante bzw. die relative Permeabililitätskonstante, die somit Materialeigenschaften beschreiben. Für
Vakuum gilt z.B. "r = r = 1, während das häug für Dielektrika verwendete Polethylen ein "r = 2; 28
und r 1 aufweist.
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Hochfrequenztechnik I
Ebene Wellen Polarisation
EB/ 5
2.2 Stromdichte
Die Stromdichte J~ kann man in die drei Komponenten Leitungsstromdichte J~L , Konvektionsstromdichte J~K und eingeprägte Stromdichte J~E aufteilen:
J~ = J~L + J~K + J~E
(18)
Die drei Gröÿen haben die folgende Bedeutung:
ˆ J~L
= E~ ist die Leitungsstromdichte mit der spezischen Leitfähigkeit des Materials .
ˆ J~K = ~v berücksichtigt die Bewegung freier Ladungsträger durch äuÿere Kräfte (z.B. im
Plasma), wobei ~v die Geschwindigkeit beschreibt, mit der sich die Raumladungsdichte bewegt.
ˆ J~E beschreibt die von auÿen erzwungene Stromdichte, wie sie z.B. bei Antennen vorkommt.
Setzen wir nun Gleichung (18) in die Maxwell'sche Gleichung Gl. (15) ein, so folgt:
r H~ = j!"0"r E~ + E~ + J~K + J~E
(19)
Die ersten beiden Terme lassen sich zusammenfassen zu:
r H~ = j!" E~ + J~K + J~E
mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten " = "0 "r
(20)
j ! .
In ähnlicher Weise kann man auch die andere Maxwell'sche Gleichung mit einer komplexen Materialkonstante beschreiben:
r E~ = j!H~
(21)
mit der komplexen Permeabilitätskonstanten = 0 r , wobei der Imaginärteil von die magnetischen
Verluste berücksichtigt.
3 Ebene Wellen
Die Gleichungen (20) und (21) beschreiben elektromagenetische Wellen in allgemeiner Weise. Im Folgenden wollen wir uns jedoch auf die meist zutreende Annahme beschränken, dass keine eingeprägten
Ströme und keine Konvektionsströme vorliegen: ~J E = ~J K = 0.
In diesem Fall vereinfachen sich Gl. (20) und (21) zu:
r H~ = j!" E~
r E~ = j!H~
(22)
(23)
Die einfachsten Lösungen für die Gl. (22) und (23) erhält man für homogenes, also ortsunabhängiges
", . Setzt man beide Gleichungen ineinander ein, ergibt sich:
r r E~ + !2" E~ = 0
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(24)
Hochfrequenztechnik I
Ebene Wellen Polarisation
EB/ 6
Mit der folgenden Identität aus der Vektoranalysis
r r E~ = r r E~
|
{z
E~
}
rE~ =0
=0 wegen
ergibt sich die Wellengleichung für die elektrische Feldstärke:
E~ + !2 "E~ = 0
(25)
Hierbei beschreibt den Laplace-Operator, der deniert ist als ^
= @x@ 2 + @y@ 2 + @z@ 2 für jede kartesische
~.
Komponente von E
Analog kann man die Wellengleichung auch für die magnetische Feldstärke herleiten
2
2
2
H~ + !2 "H~ = 0
(26)
Ein einfaches Beispiel für eine Lösung von Gl. (25) ist die ebene Welle:
~ =E
~ 0 exp
E
j ~k ~r
= E~ 0 exp j (kx x + ky y + kz z )
Hierbei beschreibt ~r den Ortsvektor
(27)
 
~r =
und ~k den Wellenvektor
x 
 
y 
 
(28)
z


kx 

~k = 
ky  ;
 
kz
(29)
in dessen Richtung sich die ebene Welle in Gleichung (27) ausbreitet.
Gl. (27) löst Gl. (25) mit:
2
~k
= kx2 + ky2 + kz2 = !2 "
(30)
Obige Gl. (27) beschreibt eine ebene Welle, da Flächen mit konstanter Phase ' = ~k ~r Ebenen
darstellen. Diese Phasenächen stehen senkrecht auf ~k und damit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Weiterhin führt Gl. (27) in Gl. (23) eingesetzt auf:
~ ~
~ = k E
H
!
= H~ 0 exp
~0 =
j ~k ~r mit H
~k E
~0
!
Analog folgt aus Gl. (22):
(31)
~k H
~
(32)
!"
~ und ~k bei ebenen Wellen jeweils senkrecht
~, H
Aus den Gleichungen (31) und (32) folgt, dass E
~=
E
aufeinander stehen.
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Hochfrequenztechnik I
Ebene Wellen Polarisation
EB/ 7
4 Polarisation
Wir wollen im Folgenden eine sich in z -Richtung ausbreitende ebene Welle betrachten und deren Eigenschaften genauer analysieren. Bei Ausbreitung in z -Richtung besitzt der Wellenvektor ~k ausschlieÿlich
eine z -Komponente, so dass man schreiben kann:
j ~k
= ~ez
mit ~ez Einheitsvektor in z -Richtung
Mit dieser Schreibweise ergibt sich für die in z -Richtung ausbreitende ebene Welle:
~ 0 exp( z ) mit =
E~ = E
q
!2 "
Man erkennt, dass dann, wenn das Argument der Exponentialfunktion rein imaginär wird, sich eine
ungedämpfte Wellenausbreitung ergibt. Das Argument der Exponentialfunktion wird rein imaginär,
wenn und " positiv und reell sind.
~ und H
~ in der xy -Ebene und stehen dort senkrecht
Da der Wellenvektor ~k in z -Richtung zeigt, liegen E
aufeinander. Dieser Sachverhalt lässt sich folgendermaÿen beschreiben:


a
E~ =  x  E0 exp( z )
ay

H~ = 
(33)

ay 
E
H0 exp( z ) mit H0 = 0
ZF
ax
(34)
Hierbei steht Z F = =" für den Feldwellenwiderstand, der das Verhältnis zwischen elektrischer und
magnetischer Feldstärke beschreibt. Im freien Raum ist der Feldwellenwiderstand rein reell:
q
Z F = ZF 0 = " 0 = 120 r
Freiraum
(35)
0
Anmerkung: Streng genommen gilt der Zahlenwert in Gl. (35) nur, wenn für die Lichtgeschwindigkeit
Vs
c0 = 3 108 ms zugrunde gelegt wird. Exakt gilt ZF 0 = p00"0 = 0 c0 mit 0 = 4 10 7 Am
und der
m
Lichtgeschwindigkeit
im Vakuum c0 = 299792458 s .
 
a
Der Jones-Vektor  x  ist ein Einheitsvektor der Länge
ay
1 ) j ax j2 + j ay j2 = 1.
Er beschreibt den Polarisationszustand der Welle.
4.1 Polarisationszustände im Zeitbereich
Im Folgenden wollen wir einige spezielle Polarisationszustände und ihren zeitlichen Verlauf betrachten.
Dabei wollen wir aus Vereinfachungsgründen von der Annahme ausgehen, dass eine ungedämpfte
Wellenausbreitung mit = j mit rein reell vorliegt. Dann ergibt sich folgender zeitlicher Verlauf:
< a exp(
E~ (z; t ) = E0  x
< ay exp(

jz ) exp(j!t )
jz ) exp(j!t )

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(36)
Hochfrequenztechnik I
Ebene Wellen Polarisation
EB/ 8
Wenn wir in Gl. (36) ax und ay nach Betrag und Phase schreiben:
= jax j exp(j'x )
ay = jay j exp(j'y );
ax
ergibt sich:
ja j cos[!t
E~ (z; t ) = E0  x
jay j cos[!t

(37)
(38)
z + 'x ]
:
z + 'y ]

(39)
Der elektrische Feldvektor in Gl. (36) bzw. Gl. (39) bewegt sich in Abhängigkeit von (!t z ) auf
einer Ellipse, weshalb man im Allgemeinen auch von einem elliptischen Polarisationszustand spricht.
Spezialfälle stellen die lineare bzw. die zirkulare Polarisation dar, die in Folgenden detaillierter betrachtet
werden sollen.
4.2 Lineare Polarisation
~ (z; t ) in Gl. (39) auf einer Linie, so dass man dann von
Für 'x = 'y bewegt sich der Feldvektor E
linearer Polarisation spricht. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lässt sich dann 'x = 'y = 0 und
jax j = cos ' sowie jay j = sin ' setzen, so dass dann aus Gl. (39) folgt:
cos '
E~ (z; t ) = E0 
cos(!t z )
sin '


(40)
Der elektrische Feldvektor liegt in der xy -Ebene auf einer Geraden (siehe Abb. 5) im Winkel ' zur
x -Achse.
Abb. 5: Elektrischer Feldvektor bei linearer Polarisation.
4.3 Zirkulare Polarisation
Bei zirkularer Polarisation beschreibt der Vektor der elektrischen Feldstärke einen Kreis. Dabei weisen
p
die x - und y -Komponenten des Jones-Vektors jeweils die gleiche Länge von jax j = jay j = 1= 2 auf
und sind um =2 zueinander phasenverschoben, d. h. beispielsweise:
ax
= p1
2
und ay
j
=p
2
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(41)
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Ebene Wellen Polarisation
EB/ 9
Mit Gl. (36) und (39) kann man dann den zeitlichen Verlauf folgendermaÿen beschreiben:
1 cos(!t z ) 
E~ (z; t ) = E0 p 
2 sin(!t z )


Das Vorzeichen der y -Komponente bzw. die Phasenverschiebung von
es sich um rechtszirkulare oder linkszirkulare Polarisation handelt:
(42)
=2 oder +=2 bestimmt, ob
rechtszirkular:
~ bei konstantem Ort z in Uhrzeigerrichtung. Dieser
In Ausbreitungsrichtung gesehen dreht sich E
Polarisationszustand entspricht Gl. (42) mit positivem Vorzeichen (+) bzw. negativem Vorzeichen in Gl. (41).
linkszirkular:
~ bei konstantem Ort z entgegengesetzt zum UhrIn Ausbreitungsrichtung gesehen dreht sich E
zeiger. Dieser Polarisationszustand entspricht Gl. (42) mit negativem Vorzeichen ( ) bzw. positivem Vorzeichen in Gl. (41).
Abb. 6 zeigt beispielhaft den Verlauf des elektrischen Feldvektors bei linkszirkularer Polarisation.
Abb. 6: Elektrischer Feldvektor bei linkszirkularer Polarisation.
4.4 Poincaré-Kugel
Alle möglichen Polarisationszustände lassen sich sehr elegant auf der sog. Poincaré-Kugel (Poincaré
französischer Mathematiker) darstellen, wie Abb. 7 zeigt. Die Pole repräsentieren dabei die linksbzw. rechtszirkulare Polarisation, während sich die linearen Polarisationszustände auf dem Äquator
benden. Ansonsten handelt es sich um elliptische Polarisationszustände.
Alternativ zum Jones-Vektor in Gl. (33) wird der Polarisationszustand häug auch durch die StokesParameter beschrieben. Wenn man wie in Abb. 8 die Poincaré-Kugel mit einem kartesischen Koordinatensystem versieht, ergeben sich die Stokes-Parameter S1 , S2 , S3 als die jeweiligen Achsenabschnitte
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Ebene Wellen Polarisation
EB/ 10
eines Polarisationszustands P auf der Poincaré-Kugel Zusätzlich zu S1 , S2 , S3 gibt es noch einen vierten Stokes-Parameter S0 , der die Intensität der Welle beschreibt. Wenn man S0 = 1 setzt (Normierung), ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den Stokes-Parametern und dem Jones-Vektor:
S1 = jax j2
j a y j2
S2 = 2jax jjay j cos('y
S3 = 2jax jjay j sin('y
(43)
'x )
(44)
'x )
(45)
Linkszirkular
Breitengrad
beschreibt
Achsenverhältnis
Obere Hemisphäre
links-elliptisch
Äquator:
lin.Pol.
45° Lineare
Polarisation
Längengrad
beschreibt den
Verkippungswinkel
Rechtszirkular
Abb. 7: Beispiele für Polarisationszustände auf der Poincaré-Kugel.
4.5 Lineare Doppelbrechung
Eine zirkulare Polarisation lässt sich beispielsweise aus linearer Polarisation gewinnen, indem man zwischen der x - und y -Feldkomponente eine Phasenverschiebung von 2 einführt. Das erreicht man nach
Durchgang durch ein doppelbrechendes Medium. Wir betrachten ein Material mit linearer Doppelbrechung und x; y als Hauptachsen d.h. die x - und y -Polarisation haben unterschiedliche Phasenkonstanten x und y mit
y = x + :
(46)
Aus Gl. (33) folgt dann sinngemäÿ:
~ (z ) = E0 ax (z
E
ay (z

= 0) exp( jx z )
a (z = 0)
 exp( jx z )
= E0  x
= 0) exp( jy z )
ay (z = 0) exp( j z )


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
(47)
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Ebene Wellen Polarisation
EB/ 11
S3
L
P
V
-45°
+45°
S2
H
S1
R
Abb. 8: Stokes-Parameter auf der Poincaré-Kugel.
Gehen wir nun bei z = 0 von einer linearen Doppelbrechung mit ' = 45 aus, erhalten wir für den
Jones-Vektor vor dem doppelbrechenden Material (z = 0, vgl. Gl. (40)):
a x (z
= 0) = ay (z = 0) = p1 :
2
Nach der Ausbreitung durch das doppelbrechende Material erhalten wir an der Stelle z :
a x (z ) =
p1 ;
2
ay (z ) =
p1 exp( j z )
2
1. Bei einer Phasenverschiebung um =2 erhalten wir rechtszirkulare Polarisation:
z = 2
(entspricht
4
-Platte in der Optik)
) ay = pj 2
2. Bei einer Phasenverschiebung um spiegelt sich der Polarisationszustand an der x -Achse, da
die y -Komponente nun das umgekehrte Vorzeichen aufweist:
z = (entspricht
p1
2 -Platte in der Optik) ) ay = 2
3. Bei einer Phasenverschiebung um 3=2 (entspricht
on:
z = 32
=2) erhalten wir linkszirkulare Polarisati-
) ay = pj 2
4. Bei einer Phasenverschiebung um 2 erhalten wir wieder den ursprünglichen Polarisationszustand:
z = 2 ) ay = p1
2
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Hochfrequenztechnik I
Ebene Wellen Polarisation
EB/ 12
Diese Transformation des Polarisationszustands lässt sich mit Hilfe der Poicaré-Kugel einfach veranschaulichen, indem man zunächst die beiden Eigenzustände des doppelbrechenden Mediums auf der
Poincaré-Kugel markiert (für das obige Beispiel wäre das die x - bzw. y -Polarisation oder in Abb. 8
die Punkte H und V ). Diese beiden Eigen-Polarisationszustände denieren eine Drehachse, um die der
Eingangspolarisationszustand (im obigen Beispiel lineare Polarisation mit ' = 45 ) um den Winkel
z auf der Poincaré-Kugel gedreht wird.
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Lineare Antennen
LA/1
1 Vorbetrachtung
Lineare Antennen basieren auf der Tatsache, dass aufgrund von Leiterströmen elektromagnetische
Energie abgestrahlt wird. Man kann diese Leiterströme als eingeprägte Ströme ansehen, jedoch ieÿt
kein Konvektionsstrom. Aus Gl. (EB 20) folgt dann:
r H~ = j!"E~ + J~E
mit der eingeprägten Stromverteilung
magnetische Stromdichte
J~m
(1)
J~E . Zusätzlich zur Betrachtung in Abschnitt EB wird noch eine
eingeführt, so dass sich aus Gl. (EB 21) ergibt:
r E~ = j!H~ + J~m
(2)
Die physikalische Bedeutung dieses magnetischen Stromes wird später erläutert.
"
Wenn man nun Materialien mit homogenem
und
annimmt, kann man die beiden Gleichungen
(1) und (2) folgendermaÿen auswerten, wobei wir zunächst den Fall ohne magnetische Stromdichte
J~
( m
= 0) betrachten:
1.1 Annahme: keine magnetischen Ströme (J~m = 0)
Mit dieser Annahme ergibt sich mit der Identität
Magnetfeld:
Somit ist
H~
r (r E~ ) = 0
r H~ = 0:
aus einem Vektorpotential
Aus Gl. (2) folgt dann:
(3)
A~ ableitbar, das folgendermaÿen deniert wird.
auch als Gradienten eines Skalars
E~
r (E~ + j!A~) = 0:
(5)
' schreiben:
(E~ + j!A~) ergibt, kann man diesen Vektor
r'
!2 "A~ = j!"r' + J~E :
r (r A~) = r(r A~) A~
1
k , entsprechend
(7)
ergibt sich:
A~ + k 2 A~ = r(j!"' + r A~) J~E
mit der Wellenzahl
(6)
aus Gl. (6) kann man nun in Gl. (1) einsetzen und erhält:
r (r A~)
Mit der Identität
:
(4)
E~ + j!A~ =
aus Gl. (4) und
1
H~ = r A~
Da sich aus obiger Gl. (5) die Wirbelfreiheit des Ausdrucks
H~
aus Gl. (2) ein quellenfreies
k 2 = !2 ":
(8)
(9)
~ eingeführt. Häug wird das Vektorpotential auch auf
Das Vektorpotential A~ wird hier bezüglich des Magnetfeldes H
~
die magnetische Flussdichte B bezogen, aber in der Hochfrequenztechnik ist die hier gewählte Form üblicher
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Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/2
Physikalische Bedeutung haben nur die Wirbel des Vektorpotentials
die Quellen von
A~ aus Gl. (4). Man kann also über
A~ (d.h. über r A~) beliebig verfügen, so dass wir nun die Lorentz-Konvention
r A~ =
j!"'
(10)
anwenden, woraus sich für Gl. (8) folgender Ausdruck als Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential
A~ ergibt:
A~ + k 2 A~ = J~E :
Mit Kenntnis des Vektorpotentials
(11)
A~ lassen sich die Felder mittels
H~ = r A~
E~ =
1
j!"
(12)
r r A~
J~E
(13)
berechnen.
1.2 Annahme: keine eingeprägten elektrischen Ströme (J~E = 0)
Mit dieser Annahme ergibt sich analog zu Abschnitt 1.1 mit der Identität
quellenfreies elektrisches Feld:
Somit ist
E~
r (r H~ ) = 0
r E~ = 0:
aus einem Vektorpotential
F~
ein
(14)
ableitbar, das folgendermaÿen deniert wird:
r F~ :
E~ =
(15)
In analoger Weise zur Betrachtung in Abschnitt 1.1 folgt hier:
F~ + k 2 F~ = J~m :
Die Felder lassen sich dann aus dem Vektorpotential
F~
(16)
folgendermaÿen berechnen:
r F~
1
~
H=
r
r
F~
j!
E~ =
(17)
J~m
(18)
1.3 Allgemeiner Fall mit magnetischen und elektrischen Strömen
Sind sowohl eingeprägte elektrische als auch magnetische Ströme vorhanden, lassen sich die entstehenden Felder als Überlagerung der beiden oben beschriebenen Fälle der Abschnitte 1.1 und 1.2 darstellen.
Die Felder berechnen sich dann aus den Vektorpotentialen
E~ =
A~ und F~
1 r r A~
r F~ + j!"
H~ = r A~ +
1
j!
r r F~
gemäÿ den Gl. (11) und (16) zu:
J~E
J~m
(19)
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(20)
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/3
2 Anwendung auf Hertzschen Dipol am Koordinatenursprung
= y = z = 0 und Stromuss in z -Richtung
angenommen. Die Abstrahlung soll in den freien Raum mit " = "0 und = 0 erfolgen.
Es wird ein Hertzscher Dipol am Koordinatenursprung
x
Wir haben damit keine eingeprägten magnetischen Ströme wie in Abschnitt 1.1:
J~m = 0:
Die eingeprägte elektrische Stromdichte
(21)
J~E ist nur im Koordinatenursprung ungleich Null, im sonstigen
Raum verschwindet sie auch, so dass man schreiben kann:
= ~ez (I l ) (x ) (y ) (z )
J~E
mit der Dirac-Funktion
(x )
1



für
0
für
(x ) = 
wobei
Zb
(x ) dx
=1
für
(22)
=0
;
x 6= 0
x
a; b > 0:
a
Der Strom ieÿt also nur in
z -Richtung, weshalb das Vektorpotential A~ gemäÿ Gl. (11) auch nur eine
z -Komponente aufweist. Wir können somit Gl. (11) folgendermaÿen schreiben:
wobei
Az + k02 Az = (I l ) (x ) (y ) (z );
p
k0 = ! 0 "0 = !=c0
(23)
die Wellenzahl im freien Raum darstellt.
Da in Gl. (23) alle Koordinatenrichtungen gleichberechtigt sind, wird sich ein punktsymmetrisches
Verhalten ergeben, das nur vom Radius
r
= x 2 + y 2 + z 2 abhängt. Wir können somit den Laplacep
Operator in Gl. (23) in Kugelkoordinaten und mit ausschlieÿlicher Radiusabhängigkeit aufstellen:
Az = r12  ddr r 2 ddArz

Mit diesem Ansatz ergibt sich aus Gl. (23) für
1
d r 2 dAz

2
r
dr
dr
A z (r ) =
Der noch freie Parameter
A0
:
(24)
r > 0 die homogene Gleichung:

welche folgende Lösung besitzt:
!
!
 + k 2 Az
0
= 0;
A0
exp( jk0 r ):
r
muss nun so bestimmt werden, dass Gl. (23) für
ergibt sich damit
A0 =
(I l ) :
4
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(25)
(26)
r
!0
erfüllt wird. Es
(27)
Hochfrequenztechnik I
Anmerkung:
Lineare Antennen
LA/4
Die Lösung zu Gl. (27) kann man sich analog zum Coulomb-Potential der
Elektrostatik vorstellen. Für die Elektrostatik folgt aus Gl. (EB 13)
r E~ = " ;
wobei die Raumladungsdichte
(28)
bei einer Punktladung Q in Koordinatenursprung durch
= Q (x ) (y ) (z )
gegeben ist. Das elektrostatische Potential
r'
' gemäÿ E~ =
"
r(r') = ' =
(29)
= Q" (x )(y )(z );
wobei diese Gleichung formal identisch ist zu Gl. (23) für
k0
I l=
^ Q=". Entsprechend dem bekannten Coulomb-Potential
'=
folgt dann
A0
führt dann auf
(30)
= 0 und der Entsprechung
Q
4" r
(31)
gemäÿ Gl. (27).
2.1 Verallgemeinerung auf beliebige Stromverteilungen
Eine beliebige Stromverteilung kann man als Überlagerung einzelner Hertzscher Dipole ansehen. So
lassen sich die Ergebnisse aus Abschnitt 2 auch auf beliebige Stromverteilungen ausweiten.
Dazu betrachtet man die Stromdichte
J~E
im Volumenelement
dV
an der Stelle
r~0 .
! r)
A(!
(!r −
!r
r!!)
r!!
Abb. 1: Stromdichte
Das Dipolmoment
J~E
im Volumenelement
dV .
(I l ) kann man mit der Stromdichte in diesem Volumenelement dV
(I l ) )
J~E dA
dl = J~E dV
| {z }
gesamter Strom
durch das
Volumenelement
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darstellen:
(32)
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/5
Damit lässt sich der Anteil des Vektorpotentials aus dem Volumenelement
dV
am Ort
r~0
~
dA~(~r) = JE dV 0 exp jk0 ~r r~0 ;
4 ~r r~ bestimmen:
(33)
bzw. das gesamte Vektorpotential ergibt sich durch Integration über alle Stromelemente:
A~(~r) =
1 ZZZ J~E exp jk ~r r~0 dV:
0
4
r r~0 ~
Analog gilt bei eingeprägten magnetischen Strömen für das Vektorpotential
F~ (~r) =
(34)
F~ :
1 ZZZ J~m exp jk ~r r~0 dV:
0
4
r r~0 ~
(35)
3 Anwendung auf Dipolantennen
Die elektromagnetischen Felder sind nur berechenbar, wenn die Stromverteilung auf der Antenne bekannt ist. Dann lässt sich die oben beschriebene Methodik anwenden. Wie Abb. 2 am Beispiel einer
=4-Leitung zeigt, lassen sich lineare Antennen wie aufgeklappte Leitungen auassen. Die Stromverteilung entlang der Antenne kann somit in guter Näherung als sinusförmig wie auf Leitungen angenommen werden.
Die durch das Aufklappen der Leitung entstehenden Feldverteilungen sind schematisch
Abb. 2: Spreizung einer oenen Zweidrahtleitung mit sinusförmiger Stromverteilung zu einer Dipolantenne (aus Unger,
Elektromagnetische Theorie für die Hochfrequenztechnik,
Teil I).
in Abb. 3 dargestellt.
3.1 Feldberechnung
Im Folgenden wird angenommen, dass die Antenne in
dass man von einem Strom mit ausschlieÿlich
z -Richtung
z -Komponenten
orientiert und beliebig dünn ist, so
ausgehen kann, der sich nur auf der
z -Achse ausbreitet. Abb. 4 zeigt die Anordnung der im Folgenden betrachteten Antenne.
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Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/6
Abb. 3: Das elektrische Feld der oenen Zweidrahtleitung wird bei der Spreizung zu ungefähr kreisbogenförmigen Linien aus einander gezogen. Bei der Dipolstrahlung lösen sich die halbkreisförmigen
Feldlinien und schlieÿen sich zu nierenförmigen Schleifen (aus Unger,
für die Hochfrequenztechnik,
Elektromagnetische Theorie
Teil I).
Abb. 4: Anordnung der betrachteten Antenne.
Wir betrachten nun eine in
z -Richtung orientierte und beliebig dünne Antenne. Den Strom I (z 0 ) entlang
der Antenne kann man nun durch Integration der Stromdichte über den Querschnitt der Antenne
erhalten:
I (z 0 ) =
ZZ
J E;z dx dy
Somit ergibt sich für das gesamte Vektorpotential nur eine
1
Az (~r) =
4
Zl=2
l=2
(36)
z -Komponente mit:
0)
I
(
z
exp
jk
r
~
0
r r~0 ~
r~0 dz 0
(37)
Schematisch ist eine derartige lineare Antenne in Abb. 4 dargestellt, wobei das Vektorpotential im
Punkt
P
mit den Kugelkoordinaten
(r; ; ') bestimmt wird. Da bei dieser Anordnung keine magneti-
schen Ströme ieÿen, ergibt sich auch kein Vektorpotential
Den vektoriellen Ausdruck
r
~
r~0 F~ .
kann man entsprechend Abb. 4 mit dem
dermaÿen vereinfachen:
r
~
r~0 =
r 2 + z 02
p
2rz 0 cos ;
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Kosinus-Lehrsatz
folgen-
(38)
Hochfrequenztechnik I
wobei
0
und z
r
Lineare Antennen
= j~rj sich auf den Aufpunkt P
LA/7
bezieht, an dem man das Vektorpotential auswerten möchte,
die Lage des betrachteten Stromelements auf der Antenne darstellt. Der Winkel
z -Achse bezogen und in Abb.4 dargestellt.
ist auf die
Im Folgenden soll insbesondere das Fernfeld der Antenne betrachtet werden. Dann gilt:
r
jz 0j
In Gl. (37) lässt sich der Vorfaktor
r~0 r
r
~
und damit
1=j~r r~0 j 1=r
z 0 cos :
(39)
noch stärker vereinfachen als das Argument
der Exponentialfunktion, das die Phasenlage (nur im Bereich
[ : : : ]) der zu überlagernden Anteile
beeinusst und somit empndlicher auf Approximationsfehler reagiert. Somit folgt aus Gl. (37) im
Fernfeld:
Zl=2
exp( jk0 r )
Az (~r) =
4r
I (z 0 ) exp(+jk0 z 0 cos ) dz 0
l=2
r
Mit dieser Gleichung lassen sich nun die Feldkomponenten im Fernfeld (
berechnen. Wenn man in Gl. (40)
!1
(40)
) in Kugelkoordinaten
k0 cos als Orts-Frequenz auasst, enstpricht Gl. (40) genau einer
Fouriertransformation. Das Vektorpotential im Fernfeld ergibt sich damit aus der Fouriertransformierten der Stromverteilung. Das magnetische Feld ergibt sich durch die Rotation des Vektorpotentials
A~:
~
H~ = r A;
wodurch sich lediglich eine
(41)
'-Komponente ergibt:
@Az
@y
H ' = H x sin ' + H y cos ' =
z
sin ' @A
cos ':
@x
(42)
Die beiden partiellen Ableitungen beschreiben im Fernfeld sehr einfache Ausdrücke:
@ Az
@y
1 cos ' @ Az
= sin sin ' @@rAz + 1r cos sin ' @@Az + r sin
{z @'}
|
{z
} |
=0
@ Az
@x
= sin cos ' @@rAz
für
r
!1
+ 1 cos cos ' @ Az
|r
@
=0
{z
für
r
!1
}
(43)
=0
1 sin ' @ Az
@'
|r sin {z
}
(44)
=0
Die beiden Gl. (43) und (44) eingesetzt in Gl. (42) ergeben:
H' =
z
sin @A
jk0 sin Az :
@r
(45)
Die anderen beiden Komponenten des magnetischen Feldes verschwinden im Fernfeld:
Hr
= H = 0.
Das elektrische Feld weist im Fernfeld im Wesentlichen auch nur noch eine Feldkomponente
E = H ' ZF 0 ;
ZF 0
wobei
jE r j jE j;
ist dabei wieder der Feldwiderstand im freien Raum
ZF 0 =
E
E' = 0
p
0 ="0
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gemäÿ Gl. (EB 35).
auf:
(46)
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/8
3.2 Abstrahlung einer linearen Antenne
~
Poynting-Vektor S
Die abgestrahlte Leistungsdichte wird durch den
beschrieben. Im Fernfeld der
linearen Antenne ergibt sich eine radiale Komponente des Poynting-Vektors, die eine Abstrahlung von
der Antenne in den freien Raum beschreibt:
Sr
= 21 E H' :
(47)
Nach Einsetzen der berechneten Feldgröÿen aus Gl. (45) und (46) erhält man:
Sr
= 21
2
l=2
Z
2
0
0
0
2 k0 ZF 0 sin (4r )2 I (z ) exp(+jk0 z cos ) dz l=2
(48)
Die Stromverteilung auf einer linearen Antenne entspricht näherungsweise dem Stromverlauf auf einer
Leitung:

I (z 0 ) = I0 sin k0
"
l
0
2 jz j
#
(49)

Diese Stromverteilung ist in Abb. 5 für unterschiedliche Antennenlängen dargestellt. Mit Gl. (49)
Strom I
l
l
l
l
l
= λ0 /4
= λ0 /2
= λ0
= 3λ0 /2
= 2λ0
Abb. 5: Stromverteilung auf der linearen Antenne für verschiedene Längen
l
2 [ 4 ; 2 ; 0; 32 ; 20
0
0
0
].
ergibt sich für den Integralausdruck in Gl. (48):
Zl=2
l=2
I (z 0 ) exp(+jk0 z 0 cos ) dz 0 = 2
Zl=2
I0 sin(k0 [l=2
jz 0j]) cos(k0z 0 cos ) dz 0
0
= 2I0 cos([k0 l=2] cos )2 cos(k0 l=2) :
k0 sin TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(50)
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/9
Für den Poynting-Vektor ergibt sich dann durch Einsetzen in Gl. (48):
Sr
wobei
F ( )
0 I0 2
= 2 Z(4Fr
)2 F ();
2
(51)
die Winkelverteilung der Abstrahlung, also die Abstrahlcharakteristik der Antenne, be-
schreibt:
F () =
cos([k0 l=2] cos ) cos(k0 l=2)
sin (52)
3.2.1 Abstrahlung einer kurzen lineare Antenne
Eine kurze lineare Antenne ist charakterisiert durch die Bedingung
l
0
= 2=k0 .
Bei kurzen
linearen Antennen kann man die sinusförmige Stromverteilung in Gl. (49) durch einen dreiecksförmigen
Stromverlauf annähern (s. Abb. 6). Der Speisestrom ergibt sich dann aus G. (49) zu:
I (z 0 = 0) = I0 k0
l
2
(53)
Die Abstrahlcharakteristik einer kurzen linearen Antenne entspricht genau der Abstrahlcharakteristik
eines Hertzschen Dipols mit dem Dipolmoment:
Il
2
= I (z 0 = 0) (l=2) = I0 k40 l :
I(z ! = 0) = I0
l
−
2
k0 l
2
l
2
0
(54)
z!
Abb. 6: Stromverteilung einer kurzen linearen Antenne: Ausläufer der sinusförmigen Verteilung mit
sin x x
für
x
1
.
Die Abstrahlcharakteristik Gl. (52) ergibt für
k0 l
F 2 ( ) =
1
(kurze lineare Antenne):
1 (k l=2)4 sin2 :
4 0
(55)
Die gesamte Abstrahlung errechnet sich dann mit Gl. (51) zu:
2
I0 k0 l 2 =4 k02 2
1
1 Z jI l j2 k02 sin2 Sr = ZF 0
sin
=
2
(4r )2
2 F 0 (4r
)2
|
{z
}
Formel f. Hertzschen Dipol
Schematisch ist diese Abstrahlcharakteristik in Abb. 7 dargestellt.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(56)
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/10
Abstrahlcharakteristik
F 2 (θ) ∝ sin2 θ
θ
kurze lineare
Antenne
ϕ
Abb. 7: Dreidimensionale Verteilung der Abstrahlung einer kurzen linearen Antenne.
4 Richtdiagramm
Die Funktion
F ( )
nach Gl. (52) beschreibt die Winkelabhängigkeit der Abstrahlung einer Anten-
ne. Diese Winkelabhängigkeit der Abstrahlung wird grasch durch das
Richtdiagramm
beschrieben.
Beispiele für Richtdiagramme unterschiedlich langer Antennen sind in Abb. 8 dargestellt.
Alle in Abb. 8 dargestellten Abstrahlcharakteristiken beziehen sich auf Antennen, deren Länge kleiner
oder gleich der Wellenlänge ist (
l < 0 ).
Für längere Antennen ergeben sich weitere Nullstellen der
Stromverteilung auf der Antenne und damit eine Aufzipfelung des Richtdiagramms. Abb. 9 zeigt
beispielsweise das Richtdiagramm einer Antenne mit der Länge
l
= 50 =4. Die Richtcharakteristik für
50 =4 ist bereits sehr ausgeprägt im Vergleich zu den Richtdiagrammen in Abb. 8. Für noch längere
Antennen nimmt der Leistungsanteil in den Nebenzipfeln zu, wobei beispielsweise für l = 20 die
abgestrahlte Leistung in der ursprünglichen Hauptstrahlrichtung senkrecht zur Antenne ( = 90 )
verschwindet. Dieses Verhalten lässt isich auch mit den Stromverteilungen in Abb. 5 erklären; für
l > 0
erkennt man die zusätzlichen Nulldurchgänge, und z. B. für
und negativen Stromanteile in Gl. (48) für = 90
l
= 20 heben sich die positiven
gerade auf.
5 Richtfaktor und Gewinn einer linearen Antenne
Das oben beschriebene Richtdiagramm zeigt die Winkelabhängigkeit der Abstrahlung einer Antenne.
Häug möchte man Antennen bauen, die besonders gerichtet in eine spezielle Winkelrichtung abstrahlen. Die Richtwirkung solch einer Antenne wird mit dem
Richtfaktor D
(englisch
directivity )
beschrieben. Der Richtfaktor ergibt sich aus dem Verhältnis der maximalen Strahlungsdichte der An-
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/11
θ
0◦
30◦
30◦
60◦
60◦
−30 dB
90◦
−20 dB
−10 dB
90◦
120◦
l
l
l
l
l
" λ0
= λ0 /4
= λ0 /2
= 3λ0 /4
= λ0
120◦
150◦
150◦
180◦
relative Leistung [dB]
in Bezug auf die abgestrahlte
Leistung in Hauptstrahlrichtung
Abb. 8: Richtdiagramme für dünne lineare Antennen mit sinusförmiger Stromverteilung und verschiedenen Längen
l
2 [0=4; 0=2; 30=4; 0]
(C. A. Balanis, Antenna Theory).
θ
0◦
30◦
30◦
60◦
60◦
−30 dB
◦
90
−20 dB
−10 dB
120◦
90◦
120◦
150◦
150◦
180◦
relative Leistung [dB]
in Bezug auf die abgestrahlte
Leistung in Hauptstrahlrichtung
Abb. 9: Aufzipfelung im Richtdiagramm für Antennenlänge
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
l
= 54 0 .
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/12
tenne in der Hauptstrahlrichtung bezogen auf eine Referenzantenne, die die gleiche Gesamtleistung
gleichmäÿig in alle Richtungen abstrahlt (isotroper Kugelstrahler).
D=
Leistungsdichte der Antenne in Hauptstrahlrichtung Leistungsdichte eines isotropen Kugelstrahlers
(57)
gleiche abgestr. Gesamtleistung
Die Leistungsdichte eines isotropen Kugelstrahlers ist in allen Richtungen
P
= 4r
2;
Sr
(58)
wobei die gesamte abgestrahlte Leistung der zu beschreibenden Antenne allgemein durch Integration
über alle Raumrichtungen berechnet werden kann:
P
=
Z2Z
Sr (; ')r 2 sin d d'
(59)
0 0
Für eine lineare Antenne ist die abgestrahlte Leistungsdichte unabhängig vom Winkel
dann Gl. (59) reduziert zu:
P
', so dass sich
Z
= Sr () 2r 2 sin d
(60)
0
Somit ergibt sich für den Richtfaktor einer linearen Antenne:
2 F 2 ()max
D = R 2
0 F ( ) sin d
Die von der Antenne abgestrahlte Leistung
P
(61)
unterscheidet sich von der Eingangsleistung
Pe
in die
Antenne auf Grund eventueller Antennenverluste (z. B. durch die endliche Leitfähigkeit des Antennenstabes), was sich durch den Antennenwirkungsgrad
P
Pe
A =
beschreiben lässt. Man kann nun auch einen sog.
(62)
Antennengewinn Giso
einführen, der die maxima-
le abgestrahlte Leistungsdichte der realen (verlustbehafteten) Antenne auf die Leistungsdichte des
verlustfreien isotropen Kugelstrahlers bezieht.
Giso
Giso
hängt mit dem Richtfaktor
D
gemäÿ
= A D
zusammen, so dass für verlustfreie Antennen ( A
= 1) Giso
(63)
und
D
übereinstimmen.
5.1 Abhängigkeit des Richtfaktors von der Antennenlänge
Kurze lineare Antennen weisen die Abstrahlcharakteristik eines Hertzschen Dipols auf. Der Richtfaktor
einer solchen Antenne ergibt sich mit Gl. (55) und (61) zu:
D=
3
2
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(64)
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
Längere Antennen mit einer Länge
=k0
l
LA/13
= 0 =2 haben eine etwas höhere Richtwirkung. Für l = 0 =2 =
eingesetzt in Gl. (52) ergibt sich:
F 2 ( ) =
wodurch sich ein Richtfaktor von
cos2
D = 1; 64 ergibt.
2 cos ;
sin2 (65)
Noch längere Antennen weisen eine noch höhere Richtwirkung auf. Ein maximaler Richtfaktor der
Dipolantenne ist für Längen von ca.
l
45 0
möglich, bei der sich ein Richtfaktor von etwa
D 3; 3
ergibt. Für noch längere Antennen ergibt sich keine signikante Erhöhung des Richtfaktors, da sich
das Fernfeld zu sehr aufzipfelt (siehe Abb. 10).
3.5
3.0
D
2.5
D
2.0
1.5
1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
l /λ0
2.0
2.5
3.0
Abb. 10: Längenabhängigkeit des Richtfaktors einer linearen Antenne. Die Längen sind bezogen auf
die Wellenlänge
0 .
6 Ersatzschaltbild einer linearen Antenne
6.1 Strahlungswiderstand
Der in die Antenne ieÿende Strom führt zu einer abgestrahlten Leistung. Man kann die durch Abstrahlung verlorene Leistung in einem Ersatzschaltbild durch einen Strahlungswiderstand
z0
tennenfuÿpunkt (
= 0) beschreiben. Eine Denition des Strahlungswiderstandes RS
RS
am An-
ist durch den
am Fuÿpunkt in die Antenne ieÿenden Strom und die abgestrahlte Leistung möglich:
P
= 12 I (z 0 = 0) RS
2
)
RS
= 02P 2 ;
I (z = 0)
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(66)
Hochfrequenztechnik I
wobei
P
Lineare Antennen
die abgestrahlte Leistung gemäÿ Gl. (60) und
LA/14
I (z 0 = 0) den Strom am Fuÿpunkt der Antenne
gemäÿ Gl. (49) darstellen. Setzt man diese Gleichungen in Gl. (66) ein, erhält man:
RS
=
ZF 0
2 sin2 (k0 l=2)
Z
F 2 () sin d
(67)
0
solange die Stromverteilung auf der Antenne der einer verlustfreien Leitung entspricht.
Da reale Antennen Leistung abstrahlen, ist die Leitungsnäherung nicht mehr im strengen Sinne gültig.
Gl. (67) gilt,
Dennoch stellt Gl. (67) eine gute Näherung für kürzere Antennen mit
l
0=2
dar.
6.1.1 Beispiele von Strahlungswiderständen
1. Kurze lineare Antenne (l
0=2):
Mit der Abstrahlcharakteristik
F 2 ( )
kurzer linearer Anten-
nen gemäÿ Gl. (55) und der Denition des Strahlungswiderstands nach Gl. (67) ergibt sich ein
Strahlungswiderstand von:
RS
=
l
ZF 0
k0
6
2
Für sehr kleine Antennenlängen
l
!2
0
l
= 20 k0 2
!2
= 20 2
l
0
!2
(68)
RS
ergeben sich wegen der Abhängigkeit (
)
= 100 MHz, l = 30 cm) ergibt
sich ein noch sehr kleiner RS 2 , der sich nur schwer an z. B. eine 50 -Leitung anpassen
u. U. sehr kleine Strahlungswiderstände. Für
l=0 = 0; 1 (z. B. f
/ (l=0)2
lässt. Allein aus diesem Grund sind etwas längere Antennen wünschenswert, auch wenn sich der
Richtfaktor gemäÿ Abb. 10 noch kaum ändert.
2. 2 -Dipol:
Der
=2-Dipol stellt die wichtigste Dipolantenne dar. Mit l
= 0 =2 = =k0 folgt aus Gl.
(52) bzw. (65) eingesetzt in Gl. (67):
RS
0; 194 ZF 0 73; 2 (69)
Die Gröÿe dieses Strahlungswiderstandes liegt sehr nah an den Wellenwiderständen typischer
Leitungen, so dass eine Anpassung in der Regel einfach möglich ist.
6.2 Fuÿpunktimpedanz
Das komplette Ersatzschaltbild einer linearen Antenne ist in Abb. 11 dargestellt. Dabei gilt die Annahme, dass die gesamte von der Antenne aufgenommene Leistung im Strahlungswiderstand
RS absorbiert
und somit abgestrahlt wird. Das entspricht dem Bild einer verlustfreien Antenne. Evtl. auftretende Verluste müssten mit einem weiteren Widerstand berücksichtigt werden.
Nach Bild 11 ist die gesamte Fuÿpunktimpedanz der verlustfreien Antenne
Z a = RS + jX
(70)
und lässt sich auassen als die Eingangsimpedanz einer verlustbehafteten, am Ende leerlaufenden
Leitung. Die Verluste haben ihren Ursprung dabei in der Leistungsabstrahlung der Antenne.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
I(z ! = 0)
LA/15
RS
jX
I(z ! = 0)
Abb. 11: Ersatzschaltbild einer verlustlosen linearen Antenne.
Bei einer solchen verlustbehafteten Leitung verschwindet
=2; ; 3=2
X
für Leitungslängen entsprechend
ähnlich zu Abb. 2 im Abschnitt SMI. Die Länge des Dipols
Leitungslänge, so dass
jX = 0
für
l
l=d (d
Impedanz bei variierendem
Für sehr kleine
l
=
entspricht der doppelten
20 ; 0; 32 0 : : :
sein sollte. Abb. 12 zeigt Ortskurven für die Antennenimpedanz
Schlankheitsgrade
l
l
(71)
Z a = RS + jX
für zwei verschiedene
ist der Durchmesser des Antennenstabes). Die Ortskurven zeigen nun die
l
bzw. variierender Frequenz.
ergibt sich gemäÿ Gl. 67 ein sehr kleiner
RS
und kapazitives Verhalten (wie bei einer
= 0 =2 gemäÿ Gl. (69) ein RS 73 und gemäÿ
Gl. (71) ein X 0 (Resonanzverhalten wie bei einem Serienschwingkreis) erhalten. Für l > 0 =2
wird X > 0 (induktives Verhalten), bis die nächste Resonanz X 0 für l 0 (Resonanzverhalten
kurzen leerlaufenden Leitung), während wir für
l
2
eines Parallelschwingkreises) bei maximalem
RS
für
l
0
RS erreicht wird.
3
In Abb. 12 wird weiterhin deutlich, dass
sehr stark von der Antennendicke abhängt und damit Gl. (67) nicht mehr anwendbar
RS ! 1 gehen für l = 0 , da in der einfachen Leitungsnäherung
0
dann I (z = 0) = 0 wird (vgl. auch Abb. 5). Tatsächlich ist aber wegen der Leistungsabstrahlung die
wäre. In Gl. (66) und (67) würde
Stromverteilung nicht mehr wie in einer verlustfreien Leitung beschreibbar, wodurch die Unterschiede
erklärt werden können.
Die Antennendicke beeinusst in erheblicher Weise den Imaginärteil
X
der Antennenimpedanz, was
man einfach mit der geringeren gespeicherten elektrischen und magnetischen Energie bei einer dickeren
Antenne erklären kann, was dann auch zu einem kleineren
jX j
führt. Alternativ kann man sich auch
klarmachen, dass ein dickerer Leiter zu einem kleineren Induktivitätsbelag (und zu einem höheren
Kapazitätsbelag) führt, womit sich ebenfalls ein kleines
Beim
=2-Dipol
jX j
erklären lässt.
ergibt sich der wichtige Spezialfall, dass die Fuÿpunktimpedanz nahezu unabhängig
von der Dicke des Antennenstabes fast ausschlieÿlich durch den Strahlungswiderstand
RS
nach Gl.
(67) gegeben ist.
2
3
Tatsächlich ergibt sich diese Resonanz nicht genau bei l = 0 =2, sondern bei etwas kürzeren Antennenlängen.
Bei genauerer Betrachtung tritt auch diese Resonanz bei etwas kürzeren Dipollängen auf.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
l≈
LA/16
λ0
2
l ≈ λ0
RS
Abb. 12: Eingangswiderstand von linearen Antennen verschiedenen Schlankheitsgrades.
7 Betrieb als Empfangsantenne
Bisher wurde die Antenne als Sendeantenne betrachtet. Antennen werden jedoch auch zum Empfang
elektromagnetischer Wellen eingesetzt. Solche Empfangsantennen lassen sich gemäÿ Abb. 13 durch
eine Leerlaufspannung
U
mit der Antennenimpedanz
Za
nach Gl. (70) darstellen.
Abb. 13: Darstellung einer Empfangsantenne durch Leerlaufspannung
U
Za.
und Antennenimpedanz
7.1 Eektive Höhe
Die Antenne sei optimal auf das zu empfangende Feld ausgerichtet. Dann ergibt sich aus dem empfangenen Feld folgende Leerlaufspannung:
U = he E;
wobei
E
(72)
jE j = 2jS~ jZF 0
q
die elektrische Feldstärke des zu empfangenden Feldes ist (mit
eektive Höhe der Antenne darstellt.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
) und
he
die
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
Ohne Beweis gilt, dass für kurze lineare Antennen mit
tennenlänge
he
LA/17
0
l
die eektive Höhe durch die halbe An-
= l=2 gegeben ist, was unter Berücksichtigung der dreiecksförmigen Stromverteilung
in Abb. 6 auch plausibel erscheint.
7.2 Maximal abgebbare Leistung
Die maximal an der Impedanz
Z E abgebbare Leistung PE erhält man für Leistungsanpassung Z E
= Z a .
Wenn man weiterhin eine verlustfreie Antenne voraussetzt, ergibt sich dann:
PE
= 8<jU(Zj ) = 8jURj
S
a
2
2
(73)
Mit Gl. (68) und (72) folgt:
PE
mit der Leistungsdichte
S
2
jE j2
= jhe E j = 1
8RS
und
Aw ,
2 2ZF 0
2
l
2
3
wobei
Aw
l
0
die sog.
2
2
2
= 12 jZE j 380
| {zF 0} |{z}
Aw
S
Wirkäche
(74)
der Antenne beschreibt. Das ist
die Fläche, in der der ankommenden Welle Leistung entzogen wird. Für kurze lineare Antennen ist
Aw
unabhängig von der Dipollänge und nur von der Wellenlänge der ankommenden Welle beeinusst,
zumindest solange de Antenne verlustfrei ist.
Für zu kurze Längen ist jedoch der Strahlungswiderstand
RS
auÿerordentlich klein, so dass einerseits
Ohmsche Verluste zu berücksichtigen sind und andererseits die Anpassung schwierig wird.
Das Verhältnis zwischen Wirkäche und Gewinn also zwischen Empfangs- und Sendeeigenschaften
der Antenne lässt sich für verlustfreie kurze lineare Antennen mit
Aw
Giso
Giso
= D = 32
schreiben:
2
= 40 :
(75)
Auch wenn Gl. (75) für verlustfreie Antennen abgeleitet wurde, gilt sie auch für verlustbehaftete
Antennen, da der Antennenwirkungsgrad
A
mit
Giso
= A D
auch auf die Antennenwirkäche
anwendbar ist.
8 System aus Sende- und Empfangsantenne
Bisher wurden die Antennen jeweils nur als Sende- oder als Empfangsantenne betrachtet. Nun soll
das Gesamtsystem wie in Abb. 14 betrachtet werden. Die beiden Antennen 1 und 2 seien an den
Generator bzw. an die Last angepasst. Die von Antenne 1 abgestrahlte Leistung sei
Antenne 2 empfangene Leistung
PE :
PE
= Aw 2 S2
mit
G
S2 = PS iso12 :
4r
PS ,
die von
(76)
Die Übertragungsezienz als Verhältnis zwischen empfangener und gesendeter Leistung ist somit
gegeben als:
PE
PS
= Giso1 4Arw 22 :
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(77)
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/18
Abb. 14: Übertragungssystem bestehend aus Sende- und Empfangsantenne.
Wird hingegen Antenne 2 als Sender und Antenne 1 als Empfänger genutzt, ergibt sich analog folgender
Ausdruck:
PE
PS
Reziprozität
Auf Grund der
= Giso2 4Arw 12 :
der Anordnung muss
(mit Streuparametern würde man
S 12 = S 21
PE
PS unabhängig von der Übertragungsrichtung sein
schreiben), so dass gilt:
Giso2 Aw 1 = Giso1 Aw 2
oder auch
Aw 1
Giso1
(78)
(79)
2
= GAw 2 = 40 GAw
iso2
iso
(80)
Das Verhältnis zwischen Wirkäche und Gewinn einer Antenne nach Gl. (75) gilt also nicht nur für
kurze lineare Antennen, sondern ist universell für alle Antennen gültig. Damit lässt sich beispielsweise
in Gl. (79)
Aw1
gemäÿ Gl. (80) durch
Giso1
PE
PS
oder beschrieben als
10 log
Beispiel:
Übertragungsmaÿ
PE
PS
Zwei identische
!
0
4r
!2
Giso1 Giso2
(81)
in Dezibel (dB):
dB = 20 log
2 -Dipole
=
ersetzen:
0
4r
!
dB
+ 10 log Giso1 dB + 10 log Giso2 dB
mit der Wellenlänge
0
(82)
= 3 m (entspricht einer Betriebsfrequenz
100 MHz) und einem Abstand von r = 30 km von einander mit jeweils einem Gewinn von
Giso1 =2 = 2; 15 dB (=
^ Giso = 1; 64) weisen folgendes Übertragungsmaÿ auf:
von
10 log
PE
PS
!
= 97; 7 dB:
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(83)
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/19
Abb. 15: 1. Fresnelzone.
8.1 Fresnelzone
Die oben genannten Gleichungen gelten nur für eine ideale Übertragung im freien Raum. Diese Bedingung entspricht näherungsweise der Annahme, dass sich innerhalb der sog.
1. Fresnelzone
keine
Hindernisse benden dürfen.
Die 1. Fresnelzone ist in Abb. 15 skizziert und entspricht einem Rotationsellipsoiden, in dessen Brenn-
p r
punkten sich jeweils Sender und Empfänger benden. Dieses Ellipsoid hat an der breitesten Stelle einen
Durchmesser von
0
, was für das obige Beispiel (
0
= 3 m, r = 30 km) einem Durchmesser von
300 m entspricht.
9 Alternative Antennenformen
Lineare Antennen gibt es auch in modizierten Ausführungsformen. Im Folgenden sollen einige Beispiele
vorgestellt werden.
9.1 Faltdipol
Den prinzipiellen Aufbau eines Faltdipols zeigt Abb. 16. Durch die gefaltete Form und die zwei dadurch
entstehenden parallelen Leitungselemente ieÿt gegenüber einem normalen Dipol in jedem der beiden
Leiter nur der halbe Strom. Somit ergibt sich als Strahlungswiderstand
P
= 12
I (z 0 =
2
0) 2
RF
RF = 21 jI (z 0 = 0)j2 RS
) RF = 4RS = 293 des Faltdipols:
(84)
(85)
λ0
l=
2
I(z ! = 0)/2
I(z ! = 0)/2
Abb. 16:
2 -Faltdipol.
Eine solche Antenne lässt sich vorteilhaft mit einer symmetrischen Leitung mit einem Leitungswellenwiderstand
ZL 300 speisen, wobei derartige Wellenwiderstände bei symmetrischen Leitungen gut
zu realisieren sind.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/20
9.2 Rahmen- und Ferritantenne
Als Empfangsantennen werden häug auch Rahmen- oder Ferritantennen eingesetzt. Eine Rahmenantenne ist im Wesentlichen eine Spule mit typischerweise rundem oder rechteckigem Querschnitt, wie
in Abb. 17a) skizziert ist.
Wenn man sich zunächst eine solche Rahmenantenne als Sendeantenne vorstellt, führt ein Strom
in dieser Antenne zu einer eingeprägten magnetischen Flussdichte bzw. bei einem Wechselstrom zu
einer eingeprägten zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte und damit zu einem eingeprägten
magnetischen Strom
J~m
in Gl. (2). Wenn die Abmessungen der Rahmenantenne klein gegenüber der
Wellenlänge sind, ist auch die Ausdehnung des Stromelements
J~m entsprechend klein, und wir erhalten
eine Abstrahlcharakteristik genau wie beim Hertzschen Dipol, jedoch mit dualem Verhalten: Statt der
beiden Feldkomponenten
E
und
H'
im Fernfeld erhalten wir hier
a)
H
und
E'.
b)
Abb. 17: Runde Rahmenantenne mit
n
= 2 Windungen der Fläche F = a2
(a) und Konzentration
des magnetischen Flusses in einer Ferritantenne (b).
Der Strahlungswiderstand einer solchen Antenne ist sehr klein, so dass unter Berücksichtigung der
Leiterverluste eine Rahmenantenne nur einen geringen Antennenwirkungsgrad aufweist (ähnlich wie
auch eine kurze lineare Antenne). Deshalb werden Rahmenantennen in der Regel nur als Empfangsantennen verwendet. Zur Erhöhung der Empndlichkeit kann die Spule der Rahmenantenne auch mit
einem Ferrit versehen werden, so dass man dann die Ferritantenne gemäÿ Abb. 17b) erhält.
Die Leerlaufspannung der Antenne ergibt sich durch:
jU j = !re 0n F jHj = !c re n F jE j;
0
wobei hier
n
die Windungszahl,
F
die Spulenäche und
re
(86)
die eektive relative Permeabilität der
Ferritantenne darstellen.
Vorteilhafterweise wird man nach der Antenne eine Empfangsschaltung mit kapazitivem Eingang wählen, so dass diese Kapazität zusammen mit der Induktivität der Rahmen- bzw. Ferritantenne einen
Schwingkreis bildet und man so eine resonante Überhöhung der Antennenspannung erhält.
Rahmen- und Ferritantennen werden bevorzugt verwendet in tragbaren Rundfunkempfängern und auch
als Peilantennen.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/21
10 Gruppenstrahler, Mehrfachantennen
Die Richtwirkung einer linearen Antenne ist begrenzt, wie beispielsweise Abb. 10 zeigt. Um höhere
Richtfaktoren zu erhalten, können mehrere lineare Antennen zu Antennengruppen zusammengefasst
werden.
10.1 Querstrahler
Wie wollen zuerst mit Abb. 18 annehmen, dass
n
lineare Antennen jeweils im Abstand
d
zu einer
Gruppenantenne zusammengefasst sind. Alle Einzelantennen sollen gleichphasig angeregt werden, so
dass sich dann als Hauptstrahlrichtung die
sog.
x -Richtung in Abb. 18 ergibt; man spricht dann von einem
Querstrahler.
ψ
x
Abb. 18: Querstrahler mit
n
Strahlelementen.
Das gesamte abgestrahlte Feld dieses Querstrahlers im Fernfeld lässt sich darstellen als Produkt des
Feldes des Einzelstrahlers multipliziert mit einem sog.
sich beispielsweise für
H'
Gruppenfaktor
AF
(engl.
array factor ), so dass
im Fernfeld ergibt:
H ' = AF
H ' (87)
Einzelstrahler
wobei der Gruppenfaktor für gleiche Anregung aller Antennenelemente (gleiche Amplitude und Phase)
durch (ohne Beweis, siehe z. B. C. A. Balanis,
Antenna Theory,
rd
3
ed. 2005, S. 290 ):
sin d0 n sin
sin n k0 d sin
=
(88)
AF = 21
sin 2 k0 d sin
sin d0 sin
gegeben ist, woraus man den maximalen AF und damit die Hauptstrahlrichtung mit AF = n für
=0
erhält.
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Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/22
Es interessiert nun der durch die Gruppenantenne erreichbare Richtfaktor. Wir nehmen dazu als Einzelelemente zunächst isotrope Kugelstrahler an, so dass dann die Fernfeldverteilung genau dem Gruppenfaktor
AF
in Gl (88) entspricht. Ähnlich zu Gl. (61) ergibt sich dann
D=
2
2 (AF ) R =2
=2
D
für unseren Querstrahler:
2n2
:
2
d
=2 AF ( ) cos
= R =2
max
AF 2 ( ) cos d
(89)
= 5; 10; 20 Elementen als Funktion von
d=0 . Den maximalen Richtfaktor erhält man für d=0 0; 9 mit D 1; 8n, wobei man dann aber
bereits erhebliche Nebenzipfel erhält. Zweckmäÿig sind Elementabstände von d=0 0; 5, wobei sich
für d=0 = 0; 5 gerade ein Richtfaktor von D n ergibt.
Abb. 19 zeigt
D
als Beispiel für einen Querstrahler mit
n
35
30
25
20
n = 20
D
D
15
10
n = 10
5
n=5
0
0.0
0.5
1.0
1.5
d /λ0
Abb. 19: Richtfaktor für Mehrfachantennen mit
keit vom Abstand der Einzelelemente
d=0
n
2.0
2.5
3.0
= 5; 10; 20 isotropen Kugelstrahlern in Abhängig-
untereinander (Querstrahler, gleiche Anregung aller
Einzelelemente).
Im Grenzfall
d
0
und
nd
0
folgt aus Gl. (89) näherungsweise:
D 2n
d
0
(90)
Gl. (89) und (90) sowie Abb. 19 gelten für ein array aus isotropen Kugelstrahlern, so dass
den Faktor zur Erhöhung des Richtfaktors angibt (Richtfaktor
D
auch
D = 1 für ein isotropes Kugelstrahler-
Element). Einen solchen Faktor, der die Erhöhung des Richtfaktors (oder Gewinns) gegenüber dem
Richtfaktor (Gewinn) des Einzelstrahlers angibt, lässt sich auch für Einzelstrahler mit höherem Richt-
=2-Dipol) angeben. Je nach Richtwirkung des Einzelstrahlers ist dieser Faktor dann bis
zu =2 gröÿer als D in Gl. (89) und (90).
faktor (z. B.
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Lineare Antennen
LA/23
10.2 Längsstrahler
Im Gegensatz zum Querstrahler ist auch ein Längsstrahler gemäÿ Abb. 20 möglich, dessen Hauptstrahl-
x -Richtung zeigt, wenn die Speisung benachbarter Antennenelemente jeweils phasenverzögert
mit ' = k0 d erfolgt, so dass bei der Abstrahlung eine phasenrichtige Addition in x -Richtung erfolgt.
keule in
Abb. 20: Längsstrahler mit
n
Strahlelementen.
Wenn man für die Einzelstrahler wieder isotrope Kugelstrahler zugrunde legt, erhält man ähnlich zu
Gl (90) im Grenzfall
d
0
und
nd
0
:
D A 2n
mit
A
d
0
(91)
= 2. Bei noch geschickterer Speisung der Einzelelemente lässt sich A noch bis auf A 3; 6
erhöhen (Hansen-Woodyard-Design). Man erhält damit für einen Längsstrahler noch einen deutlich
höheren Richtfaktor als beim Querstrahler, was im Wesentlichen daran liegt, dass der Querstrahler in
Abb. 18 nicht nur in positive
x -Richtung, sondern auch in negative x -Richtung abstrahlt.
Eine spezielle Bauform eines Längsstrahlers stellt die
dabei nur ein
=2-Dipol
Yagi-Uda-Antenne
gemäÿ Abb.21 dar. Es wird
erregt (in Abb. 21 ein Faltdipol), wobei in Abstrahlrichtung leitende Stäbe
angeordnet sind (die sog.
Direktoren),
wobei durch das primäre Feld des Faltdipols in den Direktoren
Ströme erregt werden., die wieder selbst zur Abstrahlung führen. Da die Ströme in den Direktoren
entsprechend der Laufzeit des Feldes phasenrichtig angeregt werden, ergibt sich schlieÿlich eine konstruktive Überlagerung der Felder wie beim Längsstrahler. Die Länge der Direktoren ist dabei etwas
kürzer als
0 =2.
Abb. 21: Yagi-Uda-Antenne mit Faltdipol als Erreger, Reektorwand und sechs Direktoren. Der Abstand der Direktoren beträgt typisch einige
Für beispielsweise 10 Direktoren und
dem
0 =10.
d=0 = 0; 2 erhält man eine Erhöhung des Richtfaktors gegenüber
=2-Speisedipol von ca. 16 : : : 17 (s. C. A. Balanis, Antenna Theory), was sogar etwas höher ist
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Hochfrequenztechnik I
Lineare Antennen
LA/24
als Gl. (91) erwarten lässt, da die Ströme auf den Direktoren sich sehr ähnlich zum Hansen-WoodyardDesign ergeben.
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Hochfrequenztechnik I
Antennen an Grenzächen
GR/1
In den letzten Kapiteln wurde die Wellenausbreitung im freien Raum und die lineare Antenne betrachtet.
Hier soll nun genauer untersucht werden, wie sich Wellen an Grenzächen zwischen zwei Medien
verhalten und welche Auswirkungen das auf Antennen hat, die sich in der Nähe solcher Grenzächen
benden.
1 Stetigkeitsbedingungen an Grenzächen
In Abb. 1 ist eine Grenzäche zwischen zwei Medien 1 und 2 skizziert, und wir wollen nun Aussagen
machen über die Stetigkeit der tangetialen und normalen Feldkomponenten.
a)
b)
~t und H~ t sowie b) normale Feldkomponenten B~ n und D
~ n.
Abb. 1: a) Tangentiale Feldkomponenten E
Wir wollen zunächst annehmen, dass in der Grenzäche keine magnetischen Flächenströme ieÿen,
also in der Grenzäche J~f m = 0 gilt:
1.1 Keine magnetischen Flächenströme
J~f m = 0
Unter dieser Annahme müssen beim Übergang zwischen zwei Medien 1 und 2 mit unterschiedlichem
, " die Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärke stetig übergehen:
~
Et 1 =
Grenzäche
Wegen
~
Et 2 (1)
Grenzäche
r E~ = j!B~
(2)
folgt aus Gl. (1) unmittelbar auch die Stetigkeit der Normalkomponente der magnetischen Flussdichte
B~ :
B~ n1 Grenzäche
= B~ n2 (3)
Grenzäche
Im nächsten Schritt wollen wir annehmen, dass in der Grenzäche keine elektrischen Flächenströme
ieÿen, also in der Grenzäche J~f = 0 gilt.
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Hochfrequenztechnik I
Antennen an Grenzächen
1.2 Keine elektrischen Flächenströme
GR/2
J~f = 0
In diesem Fall müssen die Tangentialkomponenten der magnetischen Feldstärke stetig sein
~
Ht 1 =
Grenzäche
Wegen
~
Ht 2 (4)
Grenzäche
r H~ = j!D~
(5)
~:
folgt aus Gl (3) dann auch die Stetigkeit der Normalkomponente von D
~ n1 D
=
Grenzäche
~ n2 D
(6)
Grenzäche
Bei Grenzächen, bei denen sowohl J~f = 0 und J~f m = 0 gelten (z. B. Übergänge zwischen zwei
Dielektrika), müssen sowohl Gl. (1) und Gl. (4) und damit auch Gl. (3) und (6) erfüllt sein.
1.3 Randbedingungen an ideal elektrisch leitender Wand
Wenn man nun annimmt, dass das Medium 2 ein ideal elektrisch leitendes Metall sei, ergibt sich für
den Bereich 2 eine unendlich gute Leitfähigkeit und damit eine unendlich hohe komplexe Dielektrizitätskonstante ":
!1 ) "!1
(7)
An der Oberäche eines solchen idealen elektrischen Leiters können Ströme ieÿen, so dass dann
J~f 6= 0 wird. Es ieÿen aber keine magnetischen Flächenströme, es gilt also J~f m = 0.
Damit gelten die Randbedingungen (1) und (3), aber nicht (4) und (6).
In einem idealen elektrischen Leiter muss das elektrische Feld verschwinden (ansonsten würde sich
wegen ! 1 ein unendlich hoher Strom ergeben), so dass aus Gl (1)
~
Et 1 und damit aus Gl. (3)
und damit auch
=0
(8)
=0
(9)
=0
(10)
Grenzäche
~
Bn1 Grenzäche
~
Hn1 Grenzäche
folgt.
D. h. bei einer ideal elektrisch leitenden Wand verschwinden die Tangentialkomponenten der elektrischen und die Normalkomponenten der magnetischen Feldstärke.
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Hochfrequenztechnik I
Antennen an Grenzächen
GR/3
2 Spiegelung von Strömen an ideal leitenden Wänden
Da an ideal elektrisch leitenden Wänden die Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärke verschwinden, kann man Ersatzanordnungen mit Spiegelströmen angeben, die im Bereich 1 (also in dem
Bereich, der nicht unendlich gut leitet) die gleiche Feldverteilung aufweisen wie die ursprünglichen
Anordnungen.
2.1 Ideal elektrisch leitende Wand
Zuerst sollen ideal elektrische leitende Wände untersucht werden, wie sie schon oben beschrieben
wurden. Es müssen also Ersatzanordnungen gefunden werden, bei denen an der Grenzäche die tangentialen Komponenten des elektrischen und die normalen Komponenten des magnetischen Feldes
verschwinden.
2.1.1 Stromuss parallel zur Grenzäche
Abb. 2: Spiegelung eines parallel zur Grenzäche ieÿenden elektrischen Stromes an einer ideal elektrisch leitenden Wand.
Abb. 2 zeigt den Fall eines elektrischen Stromes, der parallel zur ideal elektrisch leitenden Wand
ieÿt. Eine solche Anordnung kann durch Spiegelung des Stromes an der Grenzäche nachgebildet
werden, wodurch sich die Tangentialkomponenten des magnetischen Feldes direkt an der Grenzäche vorzeichenrichtig addieren und somit verdoppeln, während die Normalkomponenten verschwinden.
Gleichzeitig verschwinden die elektrischen Tangentialkomponenten.
Analog dazu kann man die Ersatzanordnung für magnetische Ströme gemäÿ Abb. 3 angeben. Während
elektrische Ströme mit umgekehrtem Vorzeichen gespiegelt werden müssen, zeigen die magnetischen
Spiegelströme in dieselbe Richtung. Dadurch löschen sich die Tangentialkomponenten des elektrischen
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Hochfrequenztechnik I
Antennen an Grenzächen
GR/4
Abb. 3: Spiegelung eines parallel zur Grenzäche ieÿenden magnetischen Stromes an einer ideal elektrisch leitenden Wand.
Feldes, das sich in geschlossenen Feldlinien um die magnetischen Ströme bildet, an der Grenzäche
aus, da diese an der Grenzäche gleich groÿ, aber entgegengesetzt orientiert sind.
2.1.2 Stromuss senkrecht zur Grenzäche
Ist der Stromuss nicht parallel, sondern senkrecht zur ideal elektrisch leitenden Wand, ergeben sich
Spiegelströme gemäÿ Abb. 4 und 5.
Abb. 4: Spiegelung eines senkrecht zur Grenzäche ieÿenden elektrischen Stromes an einer ideal
elektrisch leitenden Wand.
Elektrisch leitende Wände mit senkrecht dazu ieÿenden elektrischen Strömen können mit Spiegelströmen nachgebildet werden, die in dieselbe Richtung ieÿen wie die ursprünglichen Ströme (s. Abb.
4). Dadurch ergeben sich auf beiden Seiten der Grenzäche gleiche tangentiale magnetische Feldstärken, während sich die tangentialen Komponenten des elektrischen Feldes an der Grenzäche gerade
auslöschen.
Abb. 5: Spiegelung eines senkrecht zur Grenzäche ieÿenden magnetischen Stromes an einer ideal
elektrisch leitenden Wand.
Bei magnetischen Strömen wird die ideal elektrisch leitende Wand durch entgegengesetzte magnetische Spiegelströme nachgebildet, wie Abb. 5 zeigt. Das ist nötig, damit die sich ringförmig um den
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Antennen an Grenzächen
GR/5
magnetischen Strom ausbildenden elektrischen Feldstärken tangential zur Grenzäche sich gegenseitig
auslöschen.
2.2 Ideal magnetisch leitende Wand
Bei ideal magnetisch leitenden Wänden mit über alle Maÿen wachsendem ! 1 im Bereich 2 gilt
zwar J~f = 0, aber es können sich an der Grenzäche magnetische Oberächenströme ausbilden, d. h.
dass dann J~f m 6= 0 wird.
Es gelten damit die Randbedingungen Gl. (4) und (6). Wegen ! 1 verschwinden im Bereich 2 die
magnetischen Felder, so dass aus Gl. (1) folgt:
~
H t 1 =0
(11)
~
Dn1 =0
(12)
=0
(13)
Grenzäche
und damit gilt in Gl. (6)
und damit auch
~
E n1 Grenzäche
Grenzäche
Daher können analog zu ideal elektrisch leitenden Wänden auch ideal magnetisch leitende Wände
durch Spiegelströme nachgebildet werden. Abb. 6 und 7 zeigen die Ersatzanordnungen für elektrische
und magnetische Ströme.
2.2.1 Elektrische Ströme
Abb. 6: Spiegelung von elektrischen Strömen an einer ideal magnetisch leitenden Wand.
Abb. 7 zeigt die Spiegelströme für parallel und senkrecht zur Wand ieÿende elektrische Ströme.
Elektrische Ströme parallel zur ideal magnetisch leitenden Wand führen zu Spiegelströmen des gleichen Vorzeichens, während senkrecht zur Wand orientierte elektrische Ströme zu entgegengesetzt
orientierten Spiegelströmen führen.
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Hochfrequenztechnik I
GR/6
Antennen an Grenzächen
Abb. 7: Spiegelung von magnetischen Strömen an einer ideal magnetisch leitenden Wand.
2.2.2 Magnetische Ströme
Magnetische Ströme an ideal magnetisch leitenden Wänden sind in Abb. 7 dargestellt. Bei magnetischen Strömen parallel zur ideal magnetisch leitenden Wand ergeben sich Spiegelströme, die entgegengesetzt zu den Strömen im Bereich 1 sind, wodurch Normalkomponenten des elektrischen Feldes an
der Grenzäche vermieden werden. Bei senkrecht zur Wand ieÿenden magnetischen Strömen ergeben
sich Spiegelströme mit derselben Ausrichtung.
Damit verhalten sich elektrische (magnetische) Ströme an ideal magnetisch leitenden Wänden genau
so wie magnetische (elektrische) Ströme an ideal elektrische leitenden Wänden.
2.3 Beispiel
=4-Monopol über ideal elektrisch leitender Erde
Mit den gewonnen Erkenntnissen können wir nun z. B. die Ersatzanordnung für einen =4-Monopol an
einer ideal elektrisch leitenden Wand bestimmen. Da es sich hier um einen elektrischen Strom handelt,
der rechtwinklig zur Wand ieÿt, kann diese Anordnung durch einen Spiegelstrom nachgebildet werden,
der in dieselbe Richtung ieÿt (s. Abb. 4). Das kann durch einen Dipol erreicht werden, dessen obere
Hälfte genauso mit der Spannung U angesteuert wird wie der zu ersetzende Monopol, dessen untere
Hälfte jedoch mit der negativen Spannung U , damit hier der Strom auch nach oben ieÿt. Es ergibt
sich als Ersatzschaltung ein =2-Dipol, der mit 2U angesteuert wird (s. Abb. 8).
λ/4 − Monopol
λ/2 − Dipol
Abb. 8: Ersatzanordnung eines =4-Monopols über ideal elektrisch leitender Erde.
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Hochfrequenztechnik I
GR/7
Antennen an Grenzächen
Die Fuÿpunktimpedanz des =4-Monopols ergibt sich zu
1 2U = 37 Za = = 2 |{z}
I
U
I
Z a 2
mit
Z a 2
= 73; 2 (14)
Dipol
Dipol
Die Fuÿpunktimpedanz eines =4-Monopols an einer ideal elektrisch leitenden Wand (wie z. B. in erster
Näherung die Erde) weist nur die Hälfte der Fuÿpunktimpedanz eines =2-Dipols auf, der bezüglich
des oberen Halbraumes die gleiche Abstrahlcharakteristik hat.
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Hochfrequenztechnik I
Aperturantennen
AP/1
1 Grundprinzip
Im Kapitel über lineare Antennen (LA) wurde gezeigt, dass man durch eingeprägte Ströme auf einer
Antenne Leistungsabstrahlung erreichen kann. Diese linearen Antennen haben idealer Weise keine Ausdehnung auÿer in der Höhe und weisen eine rotationssymmetrische Abstrahlung auf. Aperturantennen
hingegen haben eine zweidimensionale Ausdehnung und gestatten eine gezieltere Abstrahlung in eine
bestimmte Raumrichtung. Die Beschreibung derartiger Aperturantennen erfolgt mit dem Huygensschen Prinzip.
2 Huygens'sches Prinzip
Das Huygens'sche Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront wieder als Quelle neuer Elementarwellen angesehen werden kann (siehe Abb. 1). Daher genügt es, die elektrische und magnetische
Feldstärke auf einer vorgegebenen Fläche F zu kennen, um die Wellenausbreitung beschreiben zu
können.
Abb. 1: Huygens'sches Prinzip: Bildung einer Kugelwelle aus einzelnen Elementarwellen.
Wir betrachten dazu in Abb. 2 ein geschlossenes Volumen der Oberäche F , wobei die Felder E~ und
~ entlang dieser Oberäche bekannt seien (z. B. durch Messungen). Die Felder E
~ und H
~ entstehen
H
beispielsweise durch Antennen oder sonstige Primärstrahler innerhalb des Volumens, wobei aber die
Quellen nicht unbedingt bekannt sind.
Entsprechend des Huygensschen Prinzips besteht nun die Aufgabe darin, entlang der Oberäche F
äquivalente Ersatzquellen (elektrische und magnetische Strombeläge) derart anzugeben, dass die Felder
~, H
~ entlang der Oberäche korrekt wiedergegeben werden, aber das Innere des Volumens feldfrei
E
bleibt.
Die Bestimmung der elektrischen und magnetischen Strombeläge J~f und J~fm erfolgt in Anlehnung an
Abb. 3.
Abb. 3 illustriert die Stetigkeitsbedingungen in Form eines Umlauntegrals entlang der Oberäche. Im
Falle des magnetischen Feldes ergibt sich:
jH~ j jH~ i j l = jJ~f j l
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(1)
Hochfrequenztechnik I
Aperturantennen
AP/2
Oberfläche F
Abb. 2: Ersatzanordnung für die Berechnung der elektrischen und magnetischen Strombeläge J~f bzw.
J~fm bei vorgegebenen elektrischen und magnetischen Feldstärken auf der Oberäche F mit Normalenvektor ~n senkrecht zur Oberäche.
Abb. 3: Umlauntegral über elektrische und magnetische Feldstärke an der Oberäche des Gebiets.
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Hochfrequenztechnik I
Aperturantennen
Auf Grund der Feldfreiheit im Inneren ist H~ i
= 0.
AP/3
Analog dazu ergibt sich für die elektrische Feldstärke:
jE~ j jE~ i j l = jJ~fm j l
(2)
Daher kann man bei gegebener Feldverteilung E~ und H~ entlang der Oberäche F einen elektrischen
J~f und einen magnetischen Strombelag J~fm einführen mit:
J~f = ~
n
J~fm =
H~ mit der Dimension A/m
~ mit der Dimension V/m;
~
nE
(3)
(4)
wobei ~n der Einheitsnormalenvektor der Oberäche F ist.
Die Strombeläge J~f und J~fm lassen sich nun als die neuen Quellen für die Wellenausbreitung auassen. Da das Innere des Gebiets mit der Oberäche F ansatzgemäÿ feldfrei ist, kann innerhalb dieses
Volumens ein Medium mit beliebigem "; angenommen werden.
3 Abstrahlung einer rechteckigen Apertur
Wir nehmen in Abb. 4 als einfaches Beispiel eine rechteckige Apertur mit der Breite a und der Höhe
b an. Diese Apertur fassen wir als Teil der Oberäche F in Abb. 2 auf, so dass wir die Felder in dieser
Apertur durch äquivalente Quellen J~f und J~fm auf dieser Apertur beschreiben wollen.
Abb. 4: Ebene Welle in rechteckiger Apertur der Breite a und der Höhe b.
Die Felder auf der Apertur seien durch
~ =~
ez E z (y 0 ; z 0 )
E
~ =~
H
ey H y (y 0 ; z 0 )
(5)
(6)
gegeben.
Der Normalenvektor ~n in Abb. 2 zeigt in Abb. 4 in x -Richtung:
~
n=~
ex ;
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(7)
Hochfrequenztechnik I
AP/4
Aperturantennen
so dass sich dann die äquivalenten Strombeläge J~f , J~fm in Gl. (3) und (4) ergeben zu:
J~f = ~
n
J~fm =
H~ = (~ex ~ey )Hy (y 0; z 0) = ~ez Hy (y 0; z 0)
~ = (~
~
nE
ex ~
ez )E z (y 0 ; z 0 ) = ~
ey E z (y 0 ; z 0 )
(8)
(9)
In Analogie zu den Gl. (LA 30) und (LA 31) lassen sich dann daraus die Vektorpotentiale A~ und F~ mit
~=
A
~=
F
1
4
z
1
y
0
0
Z Z
4
z0 y0
J~f
j k0 ~
r
r~0
j
dy dz
0
0
(10)
J~f m
exp
j k0 ~
r
~
r r~0
r~0
j
dy dz
0
0
(11)
Z Z
j~r
j
r~0
j
exp
j
j
j
und damit mit Gl. (LA 19) und (LA 20) auch E~ und H~ im gesamten Raum vor der Apertur in Abb. 4
für x > 0 bestimmen.
Die Lösung gemäÿ Gl. (10) und (11) setzt ein homogenes Medium mit " = "0 und = 0 voraus.
Da das Innere des Volumens in Abb. 2 bzw. der Bereich hinter der Apertur in Abb. 4 denitionsgemäÿ
feldfrei ist, kann dort ein beliebiges Medium angenommen werden, also z. B. der freie Raum mit " = "0 ,
= 0 , so dass die Lösungen (10), (11) gerechtfertigt sind.
3.1 Einführung einer magnetisch leitenden Wand
Auf Grund der Feldfreiheit hinter der Apertur kann dort auch ein beliebiges anderes Material angenommen werden, z. B. eine ideal magnetisch leitende Wand an der Stelle x = 0. Dadurch wird der
magnetische Strombelag J~fm kurzgeschlossen, und man muss nur noch den elektrischen Strombelag
J~f für das Feldproblem betrachten.
Als weitere Annahme gehen wir davon aus, dass die magnetisch leitende Wand bei x = 0 in y 0 - und z 0 Richtung unendlich ausgedehnt ist. Diese Annahme ist zulässig, wenn in der Ebene x = 0 für jy 0 j > a=2
und jz 0 j > b=2 die Feldkomponenten vernachlässigbar werden. Für diese Annahme beschränken wir
uns deshalb auf groÿe Aperturen mit a; b 0 , wenn die Abstrahlung im Wesentlichen in x -Richtung
erfolgt und in der Apertur H y = E z =ZF 0 gilt.
Nach der Spiegelung an der magnetisch leitenden Wand entspricht das Feldproblem einem Strombelag
von:
(12)
J~f ;gesamt = 2J~f im freien Raum
Das Vektorpotential A~ ist für x
~=
A
>0
ähnlich zu Gl. (10) anzugeben:
Z Z ~
J f ;gesamt
exp
j
k
r
0 ~
0
4
~
r r ~
1
z
0
y
r~0 dy 0 dz 0
(13)
0
nur das jetzt F~ nach Gl. (11) entfällt und der Strombelag J~f ;gesamt doppelt so groÿ geworden ist.
Wegen Gl. (3) weist das Vektorpotential A~ ausschlieÿlich eine z -Komponente auf:
Z Z
H y (y 0 ; z 0 )
1
0
~
Az =
j k0 ~
r r dy 0 dz 0
(14)
exp
0
2
~
r r ~
z0 y0
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Hochfrequenztechnik I
AP/5
Aperturantennen
Ähnlich wie in Kapitel LA lässt sich für das Fernfeld r a; b eine Vereinfachung einführen:
r r~0 = r y 0 sin ' sin z 0 cos ;
~
(15)
so dass aus Gl. (14) folgt:
Az =
exp( j k0 r )
2r
Z
z0


Z

0
0
0 0
0
0
 H y (y ; z ) exp(j k0 y sin ' sin ) dy  exp(+j k0 z cos ) dz
(16)
y0
Für die beiden nicht verschwindenden Feldkomponenten gilt wie bei den linearen Antennen:
j k0Az sin E H ' ZF 0
(17)
(18)
H'
Für Aperturen mit a; b 0 erfolgt die Abstrahlung im Wesentlichen in x -Richtung, so dass das
Fernfeld hauptsächlich für Winkel j'j 1 und =2, bzw. j j 1 mit = =2 , existiert.
Damit kann man weiter vereinfachen:
sin 1;
sin '
';
cos Es ergibt sich somit aus Gl. (16) und (17) im Fernfeld für das magnetische Feld:
Z Z
j k0 exp( j k0 r )
H ('; ) H (y 0 ; z 0 ) exp(j k0 'y 0 + j k0 z 0 ) dy 0 dz 0
'
y
2r
(19)
z0 y0
Gl. (19) entspricht einer zweidimensionalen Fouriertransformation, d. h. das magnetische Fernfeld H '
lässt sich bis auf einen von ' und
unabhängigen Faktor als Fouriertransformierte des Nahfeldes
auassen.
3.2 Beispiel: Aperturantenne mit rechteckiger Apertur (a; b
Belegung
) und konstanter
0
Wir wollen eine rechteckige Apertur wie in Abb. 4 betrachten mit konstanter Belegung, also konstanter Feldverteilung auf der gesamten Apertur. Die Abmessungen sollen groÿ sein verglichen mit der
Wellenlänge (a; b 0 ). Die Verteilung des magnetischen Feldes auf der Apertur ist dann:


0 a
0 b
H
0 für jy j 2 und jz j 2
0
0
H y (y ; z ) =
(20)

0 sonst
Nach Gl.19 ergibt sich für das Fernfeld:
H ' ('; ) =
mit
F' (') =
j k0 H 0 exp( j k0 r )
F' (') F ( )
2r
Za=2
0
0
cos(k0 'y ) dy = a
(21)
sin(k0 'a=2)
(22)
k 'a=2
}
| 0 {z
a=2
Spaltfunktion
z
}|
{
Zb=2
sin(
k
b=
2)
0
0 0
F ( ) =
cos(k0 z ) dz = b
k0 b=2
b=2
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(23)
Hochfrequenztechnik I
AP/6
Aperturantennen
Der Richtfaktor einer solchen Antenne berechnet sich analog zu Kapitel LA:
2
4 F' (' = 0) F ( = 0)
D=
R =2 2
R
2
F' d'
=2 F d
=
4 a b
20
(24)
Die Wirkäche ergibt sich dann bei Vernachlässigung der Verluste (D = Giso ) zu
Aw =
Giso 2
0 = a b = A;
4
(25)
d. h. für den Spezialfall einer konstanten Antennenbelegung ist die Antennenwirkäche gleich der
geometrischen Fläche. Bei nicht konstanter Belegung wird die Antennenwirkäche jedoch kleiner als
die geometrische Fläche. Typische Gröÿen sind Aw = [0; 5 : : : 0; 8] A.
Für eine Antennenwirkäche Aw = 0; 5 m2 und eine Wellenlänge 0 = 3 cm oder f
weist die Aperturantenne einen Gewinn von Giso 7000 (=38
^ ; 5 dBi ) auf.
Beispiel:
= 10 GHz
4 Ausführungsformen
Aperturantennen werden i. A. mit Parabolspiegeln wie in Abb. 5 realisiert. Für Parabeln gilt, dass die
Entfernungen 0A, 0B, 0C, 0D vom Brennpunkt auf die Gerade EE0 gleich groÿ sind. Es bildet sich so
eine Phasenfront entlang EE0 aus. Die Felder entlang EE 0 führen dann, wie oben beschrieben, zu den
äquivalenten Strombelägen J~f und J~fm .
Abb. 5: Aperturantenne als Parabolspiegel.
Aperturantennen sind mit nahezu konstanter Belegung realisierbar. Allerdings werden häug die Randbereiche der Apertur etwas weniger angeregt, um die Aufzipfelung des Fernfeldes (als Fouriertransformierte des Nahfeldes) zu verhindern.
Abb. 6 zeigt verschiedene technische Ausführungen von Aperturantennen.
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Hochfrequenztechnik I
Aperturantennen
AP/7
ebene Phasenfront
Parabol
e
Abb. 6: Ausführungsformen von Aperturantennen: a) Parabolantenne, b) Cassegrain-Antenne mit hyperbolischem Subreektor, c) Hornparabol, d) Muschelantenne, e) Oset-Parabolantenne.
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Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/1
1 Einleitung
Bisher haben wir als Wellenleiter nur die Zweidrahtleitung (z.B. Koaxialleitung) kennengelernt. Elektromagnetische Wellen können sich aber auch in anderen Leitungsstrukturen ausbreiten. So kann man
sich beispielsweise die Frage stellen, inwieweit sich elektromagnetische Wellen auch innerhalb einer
Koaxialleitung ausbreiten können, wenn der Innenleiter entfernt worden ist (man gelangt dann zum
sogenannten Rundhohlleiter). Wir wollen uns hier zunächst auf den sogenannten Rechteckhohlleiter
beschränken, wie er in Abb. 1 skizziert ist. Der Rechteckhohlleiter hat eine Breite a und eine Höhe
Abb. 1: Prinzip eines Rechteckhohlleiters
b und ist mit einer metallischen Berandung versehen. Wenn man sich am Beginn des Hohlleiters eine
anregende Feldverteilung (oder eine Antenne) vorstellt, so könnte man die Wellenausbreitung im Hohlleiter ähnlich beschreiben wie im freien Raum, nur müsste zusätzlich die Reexion an den metallischen
Grenzächen berücksichtigt werden. Dies wäre zwar prinzipiell möglich, ist aber doch recht aufwändig,
so dass eine alternative Darstellung des Feldproblems gesucht werden soll.
2 Prinzipielle Darstellung des Feldproblems mit Eigenwellen
Falls sich der Querschnitt des Hohlleiters in z-Richtung nicht ändert, ist eine relativ elegante Lösung des Feldproblems mit Eigenwellen möglich. Wenn zunächst eine harmonische Zeitabhängigkeit
vorausgesetzt wird, so dass das orts- und zeitabhängige Feld
E~ (~r; t ) geschrieben wird als
E~ (~r; t ) = < E~ (x; y; z ) exp(j!t )
n
mit dem komplexen Vektor-Zeiger
o
(1)
E~ (x; y; z ), so suchen wir bei einem Eigenwellen- (oder allgemeiner
Eigenwert-) Problem nach Feldverteilungen im Hohlleiter, deren Form sich in z-Richtung nicht ändert.
Diese Eigenwellen lassen sich im allgemeinen abzählen (z.B. Zählindex
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),
so dass sich dann die
Hochfrequenztechnik I
Feldverteilung für die
Hohlleiter
HO/2
-te Eigenwelle schreiben lässt
~E (x; y; z )
H~ (x; y; z )
= a E~ (x; y ) exp(j z )
te Eigenwelle
= a H~ (x; y ) exp(j z )
(2)
te Eigenwelle
E~ (x; y ); H~ (x; y )
für die -te
Eigenwelle. Für einen verlustfreien Hohlleiter (verlustfreie metallische Berandung) ist entweder reell
oder rein imaginär (=
^ aperiodische Dämpfung). Das negative Vorzeichen vor in Gl. (2) steht dabei
mit der transversalen Feldverteilung
und der Phasenkonstanten
für eine Ausbreitung in positiver z-Richtung, während das positive Vorzeichen für Wellenausbreitung
in negativer z-Richtung steht.
Eine wichtige Eigenschaft von Eigenwellen stellt deren
elektrischen Feldes der Eigenwelle
und des magnetischen Feldes der Eigenwelle gilt (ohne Beweis):
ZZ A
Orthogonalität dar. Bei Verknüpfung des
E~ H~ dA~ = 0
für
6= (3)
Die doppelte Integration in Gl. (3) erstreckt sich über die Querschnittsäche A des Wellenleiters. Gl.
(3) gilt für verlustfreie Wellenleiter. Für verlustbehaftete Wellenleiter lässt sich auch eine Orthogonalitätsbeziehung aufstellen, bei der aber
konjugiert komplex bei
H~ in Gl. (3) entfällt.
2.1 Spezielle Eigenwellen
Als eine Eigenwelle haben wir die Grundwelle der Koaxialleitung im Abschnitt LEI kennengelernt. Das
magnetische Feld hat dort nur eine
'-Komponente und das elektrische Feld hat nur eine r-Komponente.
Sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld steht damit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
= k0 p".
(z-Richtung) und man spricht von einer TEM-(transversal elektro-magnetischen) Welle. Für die Phasenkonstante der TEM-Welle gilt:
Wie wir später sehen werden, gibt es im Hohlleiter keine TEM-Wellen, sondern statt dessen H-Wellen
(auch bezeichnet als TE-Wellen, TE = transversal elektrisch) oder E-Wellen (auch bezeichnet als TMWellen, TM = transversal magnetisch). Bei einer H-Welle gibt es in z-Richtung nur eine Komponente
des magnetischen Feldes (Hz ), während es bei einer E-Welle in z-Richtung nur eine Komponente des
elektrischen Feldes (Ez ) gibt.
2.2 Prinzipielle Lösung des Feldproblems mit Eigenwellen
Mit Eigenwellen ist tatsächlich eine besonders elegante Lösung des Feldproblems in Wellenleitern
möglich. Nehmen wir an, an der Stelle z=0 am Anfang des Wellenleiters sei eine Feldverteilung
E~ (x; y; z = 0) vorgegeben. Diese Feldverteilung wird im allgemeinen mit keiner der Feldverteilungen E~ ~ (x; y; z = 0)
der einzelnen Eigenwellen des Wellenleiters übereinstimmen, so dass die Feldverteilung E
~ verschiedener Eigenwellen darstellen lässt:
sich nur als Überlagerung der Felder E
E~ (x; y; z = 0) =
X
a E~ (x; y )
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(4)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/3
a lassen sich in eleganter Weise unter Verwendung
~ das Kreuzprodukt bildet
der Orthogonalitätsbeziehung (3) bestimmen. Wenn man in Gl. (4) mit H
Die zunächst unbekannten Anregungskoezienten
und über die Querschnittsäche integriert, ergibt sich (Annahme: verlustfreier Wellenleiter)
ZZ A
E~ (x; y; z = 0) H~ dA~ =
X
a
ZZ E~ H~ dA~ = a
ZZ E~ H~ dA~
(5)
und damit für den Anregungskoezient:
a =
RR E~ (x; y; z = 0) H~ dA~
RR E~ H~ dA~
(6)
Bei Kenntnis des anregenden Feldes, der Eigenwellen sowie der Anregungskoezienten ist dann das
Feldproblem allgemein gelöst gemäÿ:
E~ (x; y; z ) =
X
a E~ (x; y ) exp( j z )
(7)
Die Darstellung ist noch insofern vereinfacht, dass in Gl. (7) nur das elektrische Feld und nur Eigenwellen mit Ausbreitung in positiver z-Richtung einbezogen wurden. Streng genommen muss auch
das magnetische Feld mit einbezogen werden, wobei sich dann auch Eigenwellen mit Ausbreitung in
negativer z-Richtung ergeben. Die grundsätzliche Vorgehensweise bleibt aber wie oben beschrieben.
3 Grundgleichungen zur Beschreibung der elektromagnetischen Felder
im Hohlleiter
Da sich innerhalb des Hohlleiters keine Quellen benden sollen, gelten die Maxwell'schen Gleichungen
für den quellenfreien Fall (
J~m = 0; J~E = 0, vergl. Abschnnitt LA, Gl. (1), (2)).
r H~ = j!" E~
r E~ = j!H~
(8)
(9)
"; betrachtet werden, so
~ F~ abgeleitet werden kann:
dass das elektrische bzw. magnetische Feld von den Vektorpotentialen A;
Weiterhin sollen nur Hohlleiter mit homogenem (d. h. ortsunabhängigen)
H~ = r A~
(10)
bzw.
E~ = r F~
(11)
~ als auch F~ vorhanden ist, ergibt sich mit Gl. (8), (9) (vgl.
oder, wenn sowohl das Vektorpotential A
Abschnitt LA, Gl. (19), (20)):
E~ =
1 r (r A~)
r F~ + j!"
1
H~ = r A~ + j! r (r F~ )
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(12)
(13)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
wobei für die Vektorpotentiale
~ F~
A;
HO/4
die Wellengleichungen
A~ + k 2 A~ = 0
F~ + k 2 F~ = 0
mit
(14)
(15)
k 2 = !2 " gelten (vgl. Abschnitt LA, Gl. (8), (10)).
Es ist zunächst nicht oensichtlich, warum die Behandlung des Feldproblems durch die Einführung
~ F~ jeweils 3 Komponenten, also
~ F~ vereinfacht wird. Im allgemeinen hätten A;
A;
Ax ; Ay ; Az bzw. F x ; F y ; F z , d.h. insgesamt gibt es für die Vektorpotentiale 6 Komponenten. Die Verder Vektorpotentiale
einfachung durch die Einführung der Vektorpotentiale besteht nun darin, dass ein allgemeines quellenfreies Feldproblem mit homogenem Dielektrikum mit nur 2 dieser 6 Komponenten beschrieben werden
A~ und F~ können dann zu Null gesetzt werden. Damit kann das vollständige Feldproblem für die 6 Feldkomponenten E x ; E y ; E z ; H x ; H y ; H z
kann (ohne Beweis). Die verbleibenden 4 Komponenten von
mit nur 2 Komponenten der Vektorpotentiale beschrieben werden. Es können 2 beliebige kartesische
Komponenten von
~ F~ gewählt werden, wobei die Wahl von der spezischen Problemstellung abhänA;
gig gemacht werden kann. Für einen in z-Richtung ausgerichteten Hohlleiter wie z.B. in Abb. 1 ist es
üblich, die z-Komponenten der Vektorpotentiale
~ F~
A;
für die Feldberechnung heranzuziehen.
3.1 Feldbeschreibung mit der Komponente Az
Wir wollen zunächst untersuchen, welche Feldverteilungen sich nur mit der Komponente
Az
des Vek-
torpotentials beschreiben lassen. Dazu wird angesetzt
F~ = 0
A~ = ~ez
mit dem Einheitsvektor in z-Richtung
(16)
~ez . Für das verbleibende skalare Potential
gleichung
E
+ k2
E
E
gilt die Wellen-
=0
Die elektrischen und magnetischen Felder ergeben sich aus
H~ = r A~ = ~ez r
und damit
(17)
E
(18)
E
wie folgt:
(19)
E
@
@
Hx = @yE ; Hy = @xE ; Hz = 0
(20)
Das elektrische Feld ergibt sich dann mit Gl. (8) zu
1
1
E~ = j!" r H~ = j!" (r H~ )
E
E~ t =  x
Ey

Ex
Ey


Das transversale elektrische Feld

E~ t = 


(21)
lässt sich dann in eleganter Weise schreiben
1 @ r
= j!"
@z t
E
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(22)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
bzw.
HO/5
1 @2
1 @2
E x = j!" @x@zE ; E y = j!" @y@zE
und für
@2
1 @2
E z = j!" @y 2E + @x 2E
(23)
!
(24)
was sich mit Gl. (18) auch schreiben lässt als
1 @2
E z = j!" @z 2 + k 2
Damit lassen sich mit dem skalaren Potential
z-Komponente des magnetischen Feldes
beschreibbar, bei denen ja
Hz =0 ist.
E
!
(25)
E
nur Feldverteilungen beschreiben, bei denen für die
Hz = 0 gilt. Damit sind mit
E
bereits E- (bzw. TM-) Wellen
3.2 Feldbeschreibung mit der Komponente Fz
Wenn man den zu Gl. (16), (17) dualen Ansatz macht
A~ = 0
F~ = ~ez
gilt in Analogie zu Gl. (18) auch
H
+ k2
H
(26)
H
(27)
=0
(28)
und als Feldkomponenten ergeben sich
E~ = r F~ = ~ez r
bzw.
(29)
H
@ H
@ H
=
;
E
y
@y
@x ; E z = 0
Ex =
(30)
Das magnetische Feld ergibt sich in dualer Weise zu Gl. (21) als
1
1 H~ = j! r E~ = j! r E~
(31)
und damit für das transversale magnetische Feld

H~ t = 
bzw.
Hz
Hx
Hy


1 @ r
= j!
@z t
H
(32)
@2 H
@2 H
1
1
Hx = j! @x@z ; Hy = j! @y@z
(33)
ergibt sich analog zu Gl. (25):
1 @2
Hz = j! @z 2 + k 2
Mit dem skalaren Potential
H
!
(34)
H
lassen sich somit Feldverteilungen mit
E z = 0 und damit zum Beispiel
auch H- (bzw. TE-) Wellen darstellen.
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Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/6
4 Eigenwellen des Rechteckhohlleiters
Es sollen nun Eigenwellen des Rechteckhohlleiters gesucht werden, d.h. wir suchen nur Feldlösungen
entsprechend Gl. (2). Wir nehmen dabei ein verlustfreies Dielektrikum mit reellen
" ! " und ! und ideal elektrisch leitenden Wänden an.
4.1 H-Wellen
Zunächst suchen wir nach H-Wellen, d.h. nach Eigenwellen, bei denen
der skalaren Potentialfunktion
H
E z = 0 ist und die deshalb mit
(vgl. Gl. (27)) beschrieben werden können:
H (x; y; z ) = a H; (x; y ) exp(j z )
wobei
die
-te
Eigenwelle kennzeichnet. Der einfachste Ansatz für
(35)
H; (x; y )
besteht in einem
Produktansatz:
H; (x; y ) = X (x )Y (y )
Wenn man die Wellengleichung für
H
(36)
aus Gl. (28) etwas anders schreibt
H
H
+ k2 = 0
(37)
und Gl. (35), (36) einsetzt, ergibt sich
1 d2 X + 1 d2 Y
X dx 2 Y dy 2
2 + k 2 = 0
Da die Funktionen X(x) und Y(y) nur von x bzw. nur von y abhängen, müssen die Terme
1 d2 Y
Y dy 2 jeweils konstant sein. D.h.
1 d2 X = k 2
x
X dx 2
(38)
1 d2 X
X dx 2
und
(39)
und
1 d2 Y = k 2
(40)
y
Y dy 2
wobei die Konstanten (zunächst willkürlich) als
kx2 und ky2 bezeichnet werden. Zur Lösung von Gl.
(38) müssen noch die Randbedingungen berücksichtigt werden, nämlich dass das tangentiale elektrische Feld an der Hohlleiterberandung (ideal elektrisch leitend) verschwinden muss. Dazu muss gelten:
Ey = 0 bzw: ddXx = 0
Ex = 0 bzw: ddYy
mit
mit
x = 0; a
y = 0; b
(41)
(42)
Allgemeiner lassen sich diese beiden Randbedingungen ausdrücken durch
@ H
@n = 0
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(43)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/7
wobei n die Normalenrichtung charakterisiert. Gl. (43) wird auch als
Neumann-Randbedingung
be-
zeichnet. Gl. (39) mit der Randbedingung (41) wird gelöst durch
X (x ) = cos(kx x )
mit
kx = m a ; m = 0; 1; 2; (44)
ky = n b ; n = 0; 1; 2; (45)
und aus Gl. (40), (42) ergibt sich
Y (y ) = cos(ky y )
mit
Weiterhin folgt aus Gl. (38)-(40) die sogenannte Separationsbedingung
k 2 = kx2 + ky2 + 2
kx ; ky
und
(46)
können dabei interpretiert werden als die Komponenten des Wellenvektors in x-, y- bzw.
z-Richtung (ähnlich wie bei ebenen Wellen, s. EB/6) Durch Kombination von Gl. (35), (36), (44),
(45) sind damit H-Wellen im Rechteckhohlleiter charakterisiert durch die Potentialfunktion
wobei die Eigenwelle
x
y
=
a
cos
m
cos
n
H
a
b exp(j z )
(47)
durch die Ordnungszahlen m, n mit m = 0, 1, 2, 3 ... und n = 0, 1, 2, 3 ...
charakterisiert wird. Dabei ist allerdings die Kombination m=n=0 ausgeschlossen, da dann gemäÿ Gl.
(29)-(39) alle Feldkomponenten verschwinden würden. Die Eigenwellen werden im folgenden durch
die beiden Ordnungszahlen m, n charakterisiert, so dass wir die hier diskutierten H-Wellen als
(bzw.
T Emn -) Wellen bezeichnen und die Phasenkonstante =^ mn sich ergibt gemäÿ
m;n = k 2 kc2
q
mit der sogenannten Grenzwellenzahl
kc
Hmn -
(48)
mit
2 2
kc2 = kx2 + ky2 = m a + n b
(49)
p
Da die Wellenzahl k gegeben ist als k = ! " = !=v (v-Phasengeschwidnigkeit einer ebenen Welle
im Dielektrikum mit "; ), lässt sich k auch als eine normierte Frequenz auassen, so dass sich die
Phasenkonstante mn auch schreiben lässt gemäÿ
1q
mn = v !2 !c2
(50)
1
!c = p" kc = vkc
(51)
mit der Grenzfrequenz
Für Frequenzen oberhalb dieser Grenzfrequenz
tungsfähig, während für
!c
ist
mn reell, die Eigenwelle ist also normal ausbrei-
! < !c mn imaginär wird, was einer in z-Richtung aperiodisch gedämpften
Welle entspricht. Man kann nun die einzelnen Eigenwellen mit ihren Ordnungszahlen m, n bezüglich
ihrer Grenzfrequenzen sortieren. Wir setzen dazu wie in Abb. 1 a
> b voraus. Explizit ergibt sich für
die Grenzfrequenz von Gl. (51) mit Gl. (49):
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Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
!c = v
bzw.
s
fc = !c =2
HO/8
2 2
ma + nb
(52)
m 2 n 2
2a + 2b
Alternativ lässt sich auch die Grenzwellenlänge c = v=fc angeben:
fc = v
s
c = 1=
s
(53)
m 2 n 2
2a + 2b
(54)
Da die Ordnungszahlkombination m=n=0 ausgeschlossen ist, ergibt sich die kleinste Grenzfrequenz
für die
H10 -Welle (m=1, n=0) gemäÿ Gl. (53) zu
fc 10
= 2va
(55)
Die Wellen mit den nächst höheren Grenzfrequenzen sind die
H20 -Welle bzw. die H01 -Welle mit den
Grenzfrequenzen
fc 20
= va = 2 fc (56)
10
und
fc 01
= 2vb
(57)
Für den praktischen Einsatz eines Hohlleiters ist es wichtig, dass er für einen möglichst groÿen Frequenzbereich einwellig ist, d.h. dass für einen möglichst groÿen Frequenzbereich nur eine Eigenwelle
mit einer reellen Phasenkonstanten existiert. Da alle anderen Eigenwellen dann exponentiell gedämpft
werden, wird bei einem längeren Hohlleiter nur diese eine Eigenwelle
überleben
mit ihrer eindeutig
denierten Feldverteilung.
Die
H20 -Welle hat gemäÿ Gl. (56) immer die doppelte Grenzfrequenz der H10 -Welle, so dass bestenfalls
ein Rechteckhohlleiter mit einem Einwelligkeitsbereich über eine Oktave realisierbar ist. Um diesen
Einwelligkeitsbereich auch wirklich zu realisieren, muss die Grenzfrequenz der
gleich) sein als die Grenzfrequenz der
H20 -Welle, also:
fc 01
= 2vb fc 20
= va
H01 -Welle gröÿer (oder
(58)
bzw.
a 2b
d.h. der Hohlleiter muss mindestens doppelt so breit wie hoch sein.
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(59)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
Beispiel: Für das X-Band (Frequenzbereich 8.2 GHz
HO/9
< f < 12.4 GHz) wird der sogenannte
R100-Hohlleiter (R100 = 10 GHz Mittenfrequenz) verwendet mit den Dimensionen
a = 22,860
mm
b = 10,160
mm
v = c = 3 108 m=s ) die Grenzfrequenzen:
Dieser Hohlleiter besitzt bei Luftfüllung (
fc = 6; 56 GHz;
fc = 13; 12 GHz;
20
10
fc = 14; 76 GHz;
01
so dass für Frequenzen
6; 56 GHz < f < 13; 12 GHz
nur die
H10 -Welle ausbreitungsfähig ist.
4.2 Dispersionsdiagramm
In einem Dispersionsdiagramm wird der Zusammenhang zwischen der Phasenkonstanten
und der
! (bzw. Wellenzahl k) dargestellt, woraus sich dann auch die Phasengeschwindigkeit vph =
!= bzw. die Gruppengeschwindigkeit vgr = d!= d und damit die Dispersion ermitteln lässt.
Der Zusammenhang zwischen und k ist gemäÿ Gl. (48) gegeben und in Abb. 2 für den Fall a = 2; 25b
Frequenz
dargestellt.
Abb. 2: Dispersionsdiagramm für die
Hmn -Wellen im Rechteckhohlleiter
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Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/10
! = !0 betreibt, so lassen sich aus
Abb. 2 anschaulich sowohl die Gruppen- als auch die Phasengeschwindigkeit der H10 -Welle erkennen.
Formal ergeben sich Gruppen- und Phasengeschwindigkeit der Hmn -Welle aus Gl. (50) (Annahme
v = 1=p" frequenzunabhängig):
Wenn man beispielsweise den Hohlleiter in Abb. 2 bei der Frequenz
!
v
vph = = p
1 (!c =!)2
mn
q
d!
vgr = d = v 1 (!c =!)2
(60)
(61)
mn
Das Produkt von Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ist konstant:
vph vgr = v 2
Nahe der Grenzfrequenz (
! ! !c )
wird die Phasengeschwindigkeit unendlich , während die Grup-
pengeschwindigkeit gegen 0 geht. Für
v
Phasengeschwindigkeit dem Wert
(62)
!!1
hingegen nähern sich sowohl die Gruppen- als auch
an. Unterschiedliche Eigenwellen besitzen damit unterschiedliche
Gruppengeschwindigkeiten und damit unterschiedliche Signallaufzeiten durch den Hohlleiter. Auch um
diese unterschiedlichen Signallaufzeiten zu vermeiden, ist der Betrieb des Hohlleiters im einwelligen
Bereich erforderlich.
4.3 E-Wellen
Bisher haben wir nur die H-Wellen des Rechteckhohlleiters diskutiert. Mit den H-Wellen allein ist aber
noch keine vollständige Beschreibung des Feldproblems im Hohlleiter möglich. Dazu werden noch die
E-Wellen benötigt, bei denen in z-Richtung nur die
Ez -Komponente exisitiert und Hz = 0 ist. Diese
E-Wellen lassen sich ableiten aus der skalaren Potentialfunktion
zu Gl. (35) für die
-te Eigenwelle schreiben lässt:
E
(vgl. Gl. (17)), wobei sich ähnlich
E (x; y; z ) = a E; (x; y ) exp(j z )
(63)
E; (x; y ) = X (x )Y (y )
(64)
wieder mit einem Produktansatz
wobei für X(x), Y(y) auch die Gl. (38)-(40) gelten. Auch bei E-Wellen muss das tangentiale elektrische
Feld an der Hohlleiterberandung verschwinden:
Ey = 0 für x = 0; a
Ex = 0 für y = 0; b
Ez = 0 für x = 0; a und y = 0; b
Diese Randbedingungen führen auf
E
=0
Dirichlet-Problem).
entlang der Hohlleiterberandung (
Konkret bedeutet dies
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(65)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
X (x ) = 0
Y (y ) = 0
mit
mit
HO/11
x = 0; a
y = 0; b
(66)
(67)
und damit für die Lösung von Gl. (39), (40):
X (x ) = sin(kx x )
kx = m a ; m = 1; 2; 3; :::
ky = n b ; n = 1; 2; 3; :::
für
Y (y ) = sin(ky y )
für
(68)
(69)
wobei auch die Separationsbedingung Gl. (46) gelten muss. Die E-Wellen werden ähnlich wie die H-
Emn - (bzw. T Mmn -) Wellen bezeichnet mit den Ordnungszahlen m, n. Der Unterschied zu
den Hmn -Wellen besteht darin, dass die Ordnungszahlen m, n > 1 sein müssen, da für m=0 oder n=0
E und damit auch die Felder überall verschwinden würden. E für die Emn -Welle lautet dann mit Gl.
(63), (64), (68), (69) und ! mn
Wellen als
x y
(70)
E = amn sin m a sin n b exp (jmn z )
mit dem Anregungskoezient amn . Die Phasenkonstante mn der Emn -Welle ist identisch zur Phasenkonstante der Hmn -Welle in Gl. (48). Damit sind auch die Grenzfrequenzen der Emn -Wellen mit
den Grenzfrequenzen der Hmn -Wellen identisch, wobei allerdings E0n -Wellen bzw. Em0 -Wellen nicht
existieren. Die kleinste Grenzfrequenz hat deshalb die E11 -Welle mit
fc =v
s
11
1 2 + 1 2
2a
2b
(71)
In einem Dispersionsdiagramm wie in Abb. 2 lassen sich auch die E-Wellen mit eintragen, wobei das
Dispersionsdiagramm der
entsprechende
E11 -Welle
genau der
H11 -Welle
entspricht. Da aber zur
H10 -Welle
keine
E10 -Welle existiert, bleibt der oben diskutierte Einwelligkeitsbereich durch die E-Wellen
unbeeinusst.
Die
Emn -Wellen besitzen die gleiche Phasenkonstante wie die Hmn -Wellen. Derartige Wellen mit glei-
cher Phasenkonstante bezeichnet man auch als
entartete Eigenwellen,
wobei eine beliebige Überlage-
rung entarteter Eigenwellen auch wieder einer Eigenwelle entspricht.
Die E- und H-Wellen des Rechteckleiters bilden ein vollständiges System, so dass durch Überlagerung
der Eigenwellen wie z.B. in Gl. (4) sich jede beliebige Feldverteilung darstellen lässt. Damit ist mit den
oben diskutierten Eigenwellen eine allgemeine Lösung des Feldproblems möglich.
4.4 Feldverteilungen im Rechteckhohlleiter
Mit den Potentialfunktionen
E
bzw.
H
lassen sich gemäÿ Gl. (20)-(25) bzw. Gl. (30)-(34) alle
Feldkomponenten angeben, so dass damit das Feldproblem vollständig gelöst ist.
In Abb. 3 sind für einige Eigenwellen Feldbilder angegeben. Am wichtigsten ist die
in einem einwelligen Hohlleiter nur die
H10 -Welle,
da
H10 -Welle ausbreitungsfähig ist. Interessant ist aber auch die
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Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/12
2
Abb. 3: Feldbilder von Eigenwellen niedriger Ordnung in Rechteckhohlleiter
E11 -Welle, deren Feldbild an das Feldbild der Koaxialleitung erinnert, nur dass der Innenleiter fehlt. Tatsächlich gibt es aber bei der E11 -Welle im Zentrum des Hohlleiters eine relativ starke Ez -Komponente,
so dass der Leitungsstrom des Innenleiters der Koaxialleitung bei der E11 -Welle durch den Verschiebungsstrom ersetzt wird.
Am wichtigsten ist aber die
H10 -Welle. Die Potentialfunktion
H
ergibt sich dann mit Gl. (47) mit
m=1, n=0, wobei wir eine sich in + z-Richtung ausbreitende Welle betrachten wollen:
a
x
(72)
H = E o cos a exp( jz )
wobei die Konstante a in (47) willkürlich zu
(a=)E 0 gewählt und die Indizierung bei der Phasenkonstante weggelassen wurde. Mit Gl. (30)-(34) ergeben sich dann
E x = E z = 0;
Hy = 0
x @
H
E y = @x = E 0 sin a exp( jz )
1
r"
@2 H
Hx = j! @x @z = ! E y = k E y
1
x
kc2
kc r "
Hz = j! (k 2 2 ) H = j!
=
j
E
0 cos( ) exp( jz )
H
k a
mit
(73)
(74)
(75)
(76)
k = !p" und kc = =a für die H10 -Welle. Ähnlich wie bei ebenen Wellen lassen sich auch bei
den Eigenwellen des Hohlleiters Wellenwiderstände angeben, indem die transversalen Feldkomponenten
miteinander verknüpft werden, so dass sich für die
wobei
ZF =
H10 -Welle ergibt
r
E
k
ZF
Z (FH) = Hy = " = p
1 (!c =!)2
x
p
="
(77)
den Feldwellenwiderstand einer ebenen Welle darstellt und von Gl. (48)-(51)
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Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/13
Abb. 4: Felder der H10 -Welle im Rechteckhohlleiter
Gebrauch gemacht wurde. Gl. (77) gilt dabei nicht nur für die
H-Wellen. Die Feldbilder für die
H10 -Welle, sondern ganz allgemein für
H10 -Welle in verschiedenen Schnittebenen sind in Abb. 4 dargestellt.
5 Dämpfung der H10 -Welle im Rechteckhohlleiter
Bisher wurde der Hohlleiter als verlustfrei angenommen. Wie auch schon beispielsweise bei der Koaxialleitung sind die Eigenwellen auch im Hohlleiter gedämpft, wobei grundsätzlich sowohl dielektrische
Verluste als auch ohm'sche Verluste auftreten. Die dielektrischen Verluste können im Hohlleiter sehr
klein gehalten werden, aber die ohm'schen Verluste aufgrund der endlichen Leitfähigkeit der Hohlleiterberandung müssen berücksichtigt werden. Dazu werden die in der Hohlleiterberandung ieÿenden
Wandströme benötigt.
!t
H
!
n
Abb. 5: Wandströme an metallischer Grenzäche
Wenn wie in Abb. 5 ein tangentiales Magnetfeld an einer metallischen Grenzäche anliegt, ieÿt in
der metallischen Wand ein Strom I (
=^ Wirbelstrom), der gegeben ist als
I =j H~ t j l
bzw. ein Strombelag (oder Flächenstrom)
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(78)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/14
j J~f j= Il =j H~ t j
(79)
J~f = ~n H~ t
(80)
oder in vektorieller Darstellung
mit dem Normalvektor
~n aus Abb. 5.
z0
Abb. 6: Skizze eines Hohlleitersegments der Länge
dz
Zur Berechnung der Verlustleistung aufgrund der Wandströme sei wie in Abb. 6 ein Hohlleitersegment
der Länge
dz
betrachtet, von dem wiederum ein Umfangssegment der Länge ds betrachtet wird. Die
@ P in dem so denierten schraerten Bereich (Länge dz , Breite ds und Höhe z0 =^ Skin
Eindringtiefe, z0 a; b ) in Abb. 6 ergibt sich zu:
Verlustleistung
1 1 dz
1
1
@P = 2 R j I j2 = 2 z ds j H~ t j2 (ds )2 = 2 Rw dz j Ht j2 ds
0
(81)
wobei ein Wandwiderstand
1
Rw = z
0
eingeführt wurde (
(82)
=^ spezische Leitfähigkeit).
Anmerkung: Der Wandwiderstand lässt sich auch interpretieren als der Realteil des Feld-
wellenwiderstandes im Metall
ZF =
" = j !;
0
"
mit
und
Rw = <(Z F ) =
s
woraus sich ergibt
j0 !
ZF =
s
r
0 !
2
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Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/15
in Übereinstimmung mit Gl. (82).
Als Zahlenwert gilt für die Skin-Eindringtiefe bei Kupfer:
z0 = 2; 1 p
m
f =GHz
(83)
und damit für den Wandwiderstand
Rw = 8; 3 10 3 f =GHz
q
(84)
@P
in Gl. (81), integriert über den
I
1
dP = @P = 2 Rw dz j H~ t j2 ds
(85)
Die gesamte Verlustleistung dP im Wegelement dz ergibt sich aus
Umfang des Hohlleiters
I
Diese Verlustleistung ist zu beziehen auf die geführte Leistung P im Hohlleiter:
ZZ
1
P = 2 < E~ H~ dA~
(86)
A
Die Dämpfungskonstante
ergibt sich als Realteil der Ausbreitungskonstante entsprechend
E~ exp( jz z )
~ j2 folgt:
woraus für die transportierte Leistung P(z)j E
(87)
P (z ) = P0 exp( 2z )
(88)
d P = 2P
dz
(89)
dP
1
= 2 dPz
(90)
woraus sich ergibt
und damit:
Mit dP/dz aus Gl. (85) und P aus Gl. (86) folgt schlieÿlich
H
1
j H~ j2 ds
= 2 Rw RR t ~ ~
A < E H dA
Wenn man Gl. (91) für die
(91)
H10 -Welle mit den Feldkomponenten gemäÿ Gl. (73)-(76) auswertet, ergibt
sich schlieÿlich
I
j H~t j2 ds = 2
Za 0
Zb
j Hx j2 + j Hz j2 dx + 2 j
0
= Z12 j E 0 j2
F
Hz 2 j
dy
x =0;a !
2b!c2
a+
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!2
(92)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/16
sowie
ZZ
A
<(E~ H~ )d A~ = ab 4jZE 0 j 1 (!c =!)2
2q
(93)
F
woraus schlieÿlich folgt:
R 1=b + (2=a)(!c =!)2
= Zw p
1 (!c =!)2
F
(94)
hat die Dimension 1/m . Um die Dämpfung in dB/m zu erhalten, ist der Wert mit 8,69 (=20/ln(10))
zu multiplizieren.
Beispiel:
ZF = 0 ="0 = 120
) mit a=2b und ! = 1:5!c
p
Für einen luftgefüllten Hohlleiter (
(Betrieb in der
Mitte des Einwelligkeitsbereichs) folgt aus (93):
R
R
= 3; 88 aZw =^ 33; 7dB aZw
F
(95)
F
woraus beispielsweise für einen luftgefüllten R58-Hohlleiter (a=40.386 mm) mit Cu-Berandung und
damit
Rw
von Gl. (84) folgt
(f = 1; 5 fc = 5; 57 GHz) = 0; 044 m
dB
(96)
Im Vergleich zu normalen Koaxialleitungen ist dieser Wert relativ gering, wobei allerdings die Koaxialleitung normalerweise einen sehr viel geringeren Querschnitt aufweist. Die Ohm'schen Verluste einer
Koaxialleitung gemäÿ S. LEI/8 können in ähnlicher Form wie in Gl. (94) geschrieben werden
1
2
1
1
1
= 2z D + d
0 ZF ln D
d
wobei die Verluste minimal werden für
(97)
D=d = 3; 6 mit
R
= 3; 6 D wZ
(98)
F
mit dem Auÿendurchmesser D der Koaxialleitung. Bei gleicher Dimension sind damit die Verluste
von Koaxialleitung und Hohlleiter ähnlich. Tatsächlich kann aber bei gegebener Arbeitsfrequenz der
Hohlleiter erheblich gröÿer sein als die Koaxialleitung (siehe auch die folgende Diskussion der Grenzfrequenzen der Koaxialleitung) und weiterhin entfallen die dielektrischen Verluste, so dass praktisch
die Hohlleiterdämpfung deutlich niedriger als die Dämpfung von Koaxialkabeln bei jeweils der gleichen
Arbeitsfrequenz ist.
Anmerkung:
Die obige Methodik zur Berechnung der Leitungsverluste ist nur gültig, solange nicht
verschiedene Eigenwellen mit der gleichen Phasenkonstante existieren (Entartungsfall).
Die obige Methodik kann daher angewandt werden für
Hm0 - oder H0n -Wellen, nicht aber
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Hochfrequenztechnik I
für sonstige
Hohlleiter
HO/17
Hmn -Wellen, da dort eine Entartung zu den Emn -Wellen vorliegt. Es würden
sich dann aufgrund der Wandstromverluste neue Eigenwellen ergeben, die sich für die
Hmn - und Emn -Welle darstellen. Im übrigen
handelt es sich oben um eine Störungsrechnung, in der vorausgesetzt ist.
Ordnung (mn) als Überlagerung der jeweiligen
6 Rundhohlleiter
Neben dem Rechteckhohlleiter sind auch andere Querschnitte denkbar, wobei der Rundhohlleiter von
besonderer Bedeutung ist, da er auch drehbare Durchführungen erlaubt.
Auch beim Rundhohlleiter gibt es E- und H-Wellen, die als
Elp - bzw. Hlp -Wellen bezeichnet werden (l
- Umfangsordnung, p - radiale Ordnung), die auch aus den Potentialfunktionen
E
bzw.
H
abgeleitet
werden können. Der Ansatz ist ähnlich wie in Gl. (35), (36) bzw. (63), (64), nur dass der Produktansatz
eine Funktion in radialer sowie in Umfangsrichtung beinhaltet, wozu Zylinderkoordinaten verwendet
werden. Für einen Rundhohlleiter mit dem Radius a (bzw. Durchmesser 2a) ergeben sich folgende
Feldbilder für einige Eigenwellen niedriger Ordnung:
Abb. 7: Feldbilder von Eigenwellen niedriger Ordnung im Rundhohlleiter
Die Phasenkonstante
für die einzelnen Eigenwellen lässt sich schreiben wie beim Rechteckhohlleiter:
2 = k 2 kc2
mit der Grenzwellenzahl
Grenzwellenzahl
kc
kc
(bzw. Grenzfrequenz
!c = vkc
(99)
oder Grenzwellenlänge
c = 2=kc ). Die
für die in Abb. 7 dargestellten Eigenwellen lässt sich Tabelle 1 entnehmen.
Die Grundwelle im Rundhohlleiter ist die
H11 -Welle, deren Feldbild der H10 -Welle im Rechteckhohllei-
ter sehr ähnlich ist.
Ein gewisses historisches Interesse verdient noch die
gentiale magnetische Feldkomponente
H~ t
H01 -Welle
im Rundhohlleiter, da dort als tan-
an der metallischen Berandung nur die z-Komponente
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Hz
Hochfrequenztechnik I
HO/18
H11
E01
H21
E11
H01
E21
1,841
2,405
3,054
3,832
3,832
5,136
Eigenwelle
kc a
Hohlleiter
Tabelle 1: Grenzwellenzahl einiger Eigenwellen im Rundhohlleiter
verbleibt. Bei hohen Frequenzen gilt näherungsweise
für die Dämpfung
Rw j H z j !
2
3=2
Hz 1=!
(vergl. Gl. (76)), so dass sich dann
ergibt. Damit besitzt die
H01 -Welle das ungewöhnliche
Verhalten einer abnehmenden Dämpfung mit zunehmender Frequenz.
Bis Anfang der 70er Jahre wurde ernsthaft die Einführung breitbandiger Nachrichtenübertragungsstrecken auf der Basis der
H01 -Welle
im Rundhohlleiter erwogen. Statt dessen wurden dann aber
faseroptische Übertragungssysteme eingeführt.
6.1 Hohlleiterwellen der Koaxialleitung
Auch bei Koaxialleitungen können sich bei genügend hohen Frequenzen neben der TEM-Grundwelle
auch Hohlleiterwellen ausbreiten. Die Ausbreitung der Hohlleiterwellen in der Koaxialleitung ist jedoch
unerwünscht, so dass die Koaxialleitung nur bei Frequenzen unterhalb der ersten Grenzfrequenz einer
Hohlleiter-Eigenwelle betrieben werden sollte.
Wie beim Rundhohlleiter hat auch die
H11 -Welle bei der Koaxialleitung die niedrigste Grenzfrequenz
aller Hohlleiterwellen (Die Grenzfrequenz der TEM-Welle ist natürlich = 0). Die Feldverteilung der
H11 -Welle der Koaxialleitung ist in Abb. 8 skizziert. Sie ist sehr ähnlich zur
Abb. 8: Feldbild der
H11 -Welle der Koaxialleitung
Feldverteilung im Rundhohlleiter in Abb. 7. Die Grenzwellenlängen
c
dieser Hohlleiterwellen sind in
Abb. 9 als Funktion des Verhältnisses von Innen- und Auÿendurchmesser d/D dargestellt.
Die Werte für d=0 entsprechen dabei dem normalen Rundhohlleiter in Tabelle 1. Für die
H11 -Welle
(niedrigste Grenzfrequenz der Hohlleiterwellen) gilt näherungsweise für die Grenzwellenlänge
c 2 ( d + D )
bzw. für die Grenzwellenzahl
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(100)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleiter
HO/19
Abb. 9: Grenzwellenlängen der Koaxialleitung
2
4
kc = d + D
c
(101)
Damit ergibt sich für die Koaxialleitung minimaler Dämpfung mit D/d=3.6:
kc D 3:13
und damit für die Grenzfrequenz
v
fc jH11 = !c =2 = v kc =2 2 D
(102)
Eine Koaxialleitung sollte deshalb immer unterhalb der durch Gl. (102) gegebenen Grenzfrequenz
betrieben werden
Beispiel:
D = 9; 5 mm und v = 2 108 m/s (^= "r = 2; 25) führt auf eine Grenzfrequenz
fc jH11 10; 5 GHz. Um eine Koaxialleitung beispielsweise noch bei 40 GHz zu betreiben, sollte D 2; 5
Eine Koaxialleitung mit
mm sein.
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Hochfrequenztechnik I
Hohlleitersysteme und Wellenleiterverzeigungen
HS/1
1 Normierte Wellenamplituden in Hohlleitern
Auch bei Hohlleitern ist es zweckmäÿig, normierte leistungsbezogene Wellenamplituden
wie bei den Zweidrahtleitungen einzuführen. Es wird der Rechteckhohlleiter mit der
den transversalen Feldkomponenten
+z -Richtung) geführte Leistung P +
Ey
Hx
und
a, b
ähnlich
H10 -Welle und
betrachtet. Die von der Welle (mit Ausbreitung in
ergibt sich aus der Integration des Poynting-Vektors über die
Querschnittsäche des Hohlleiters als
b
P
+
Ey
Wenn man nun die Feldkomponenten
a
Z Z
1
=2
y =0 x =0
und
Hx
will, so sind die Feldkomponenten proportional zu
magnetische Feld der
E y H x dx dy
p
(1)
als Funktion der geführten Leistung
P
P+
darstellen
+ , so dass sich das transversale elektrische und
H10 -Welle darstellen lässt mit normierten Feldern ey
p
E y = 2P + ey exp( jz )
p
H x = 2P + hx exp( jz )
und
hx
als:
(2)
(3)
mit
(H )
= 2ZabF sin x
a
s
ey
hx
wobei
=
v
u
u
t
2
abZF(H)
sin
(4)
x
;
a
(5)
ZF(H) den Feldwellenwiderstand der H10 -Welle mit ZF(H) = E y =H x
bezeichnet. Die Vorfaktoren
in Gl. (4) und (5) sind so gewählt worden, dass einerseits Gl. (1) erfüllt ist und andererseits auch
ZF(H) = ey=hx . Die Normierung der Feldkomponenten ey
Zb Za
ey hx dx dy
und
hx
drückt sich darin aus, dass
=1
(6)
y =0 x =0
gilt. Die hinlaufende Welle lässt sich auch durch die leistungsbezogene Wellenamplitude
a (z ) =
p +
2P exp(
jz )
(7)
beschreiben, dass sich statt Gl. (2) und (3) ergibt:
= a(z )ey
H x = a(z )hx
Ey
Entsprechend lässt sich die rücklaufende Welle (Ausbreitungsrichtung in
ten Leistung
P
durch die Wellenamplitude
b(z )
b (z ) =
p
2P exp(+jz )
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(8)
(9)
z -Richtung) mit der geführ-
(10)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleitersysteme und Wellenleiterverzeigungen
HS/2
beschreiben, gemäÿ
= b(z )ey
H x = b(z )hx ;
Ey
wobei das negative Vorzeichen für
Welle auch in negativer
Hx
(11)
(12)
eingeführt werden muss, damit die Leistung der rücklaufenden
z -Richtung transportiert wird. Ist gleichzeitig eine hin-und rücklaufende Welle
vorhanden, so ergibt sich als Überlagerung
= a(z ) + b(z ) ey
H x = a(z ) b(z ) hx
Ey
(13)
(14)
Die netto transportierte Wirkleistung unter der Annahme verlustfreier Wellenleiter ergibt sich zu:
P
= 21 <
ZZ
E y H x dx dy
= 21 ja(z )j2 jb(z )j2 = P +
h
i
P
(15)
Diese Beziehungen entsprechen genau den Beziehungen der Zweidrahtleitung (Kapitel STR), so dass es
naheliegt, auch den Hohlleiter wie die Zweidrahtleitung mit Strömen und Spannungen zu beschreiben.
Abb. 1: Querschnitt eines Hohlleiters mit
H10 -Welle und Stromverteilung.
Den Gl. (13) und (14) entsprechen bei der Zweidrahtleitung:
U (z ) =
ZL a(z ) + b(z )
I (z ) =
Es liegt deshalb nahe, dem elektrischen Feld
p
p1Z
Ey
(16)
b (z )
(17)
eine Spannung
U (z ) und dem magnetischen Feld H x
L
a (z )
I (z ) zuzuordnen. Die geeignete Wahl des dem Hohlleiter zuzuordnenden Leitungswellen(H )
widerstandes ZL ! ZL
ist zunächst noch oen. Aus Gl. (13) folgt:
einen Strom
q
ZL(H) E y
=
q
ZL(H) a(z ) + b(z ) ey
= U (z )ey ;
(18)
U (z ) mit dem elektrischen Feld E y gegeben ist.
Für die Zuordnung zwischen Strom I (z ) und dem magnetischen Feld H x gilt entsprechend:
womit eine Beziehung der zuzuordnenden Spannung
1
ZL(H)
q
Hx
= I (z )hx
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(19)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleitersysteme und Wellenleiterverzeigungen
Auf diese Weise lassen sich die transversalen Felder der
HS/3
H10 -Welle durch Ströme und Spannungen
ersetzen, wobei durch die hier gewählte Systematik sichergestellt ist, dass die transportierte Leistung
P gemäÿ Gl. (15) durch P = 1=2 <(UI ) beschrieben wird. Der eektive Leitungswellenwiderstand
ZL(H) wird nun so festgelegt, dass I (z ) gerade dem in den Hohlleiterbreitseiten ieÿenden Strom in
axialer Richtung entspricht, d. h.
I (z ) =
Za
H x dx
= I (z )
q
(H )
ZL
0
Za
hx dx:
(20)
0
Mit Gl. (5) ergibt sich dann:
(H )
ZL
=
2 b (H) 2 b
ZF
p
ZF =
8a
8a 1 (fc =f )2
mit
=
ZF
r
:
"
(21)
H10-Welle in einem Rechteckwellenleiter mit a = 2b, = 0 und " = "0 wird betrieben
= 1; 5fc . Es ergibt sich dann ein Leitungswellenwiderstand von ZL(H) = 312 .
Beispiel: Die
bei
f
Da wir nun einen Hohlleiter genauso beschreiben können wie eine Zweidrahtleitung, lässt sich auch für
den Hohlleiter ein Leitungsersatzschaltbild (Kapitel LEI) angeben. Ein innitesimal langes Leitungsstück der Länge
!L0
(
dz
lässt sich prinzipiell beschreiben gemäÿ Abb. 2 mit dem Längsreaktanzbelag
bei der Zweidrahtleitung) und dem Queradmittanzbelag
Y 0 (!C 0
X0
bei der Zweidrahtleitung).
Abb. 2: Allgemeines Ersatzschaltbild eines innitesimal kurzen Leitungsstücks.
Es gelten
ZL(H) =
so dass sich mit
ZL(H)
nach Gl. (21) und
s
X0
Y0
p
= " !2
q
X 0 = ZL(H) = !
Y0 =
= 8"a
2b
(H )
ZL
Damit lässt sich das Leitungsersatzschaltbild für die
Abb. 3
Die Resonanzfrequenz des Schwingkreises
H10 -Welle.
p
= X 0Y 0;
und
!c2
2 b
8a
!
(22)
ergibt:
(23)
!c2
!
!
(24)
H10 -Welle des Rechteckhohlleiters angeben gemäÿ
Lp , C 0 dz
entspricht dabei gerade der Grenzfrequenz
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fc
der
Hochfrequenztechnik I
Hohlleitersysteme und Wellenleiterverzeigungen
Abb. 3: Ersatzschaltbild der
HS/4
H10 -Welle eines innitesimal kurzen Hohlleiterstücks.
Wenn man ohne Kenntnis des Hohlleiters einen Wellenleiter entwerfen sollte, dessen Leitungsersatzschaltbild Abb. 3 entspricht, so könnte man folgendermaÿen vorgehen:
Abb. 4: Übergang von einer Zweidrahtleitung bestehend aus den zwei Platten 1 und 2 zu einem Hohlleiter.
Die Platten 1,2 in Abb. 4 repräsentieren eine normale Zweidrahtleitung mit
L
L0 , C 0 . Um die Induktivität
nachzubilden, müssen die Platten leitend miteinander verbunder werden, was zweckmäÿig durch
Schlieÿen der Zweiplattenleitung zu einem Hohlleiter geschieht.
Abb. 5: Übergang zwischen einer Koaxialleitung und einem Hohlleiter.
Der Übergang zwischen einer Koaxialleitung und einem Hohlleiter kann prinzipiell wie in Abb. 5 geschehen. Allerdings hat die Koaxialleitung im Allgemeinen einen sehr viel kleineren Leitungswellenwiderstand
als der Hohlleiter. Für eine breitbandige Anpassung ist es deshalb zweckmäÿig, durch Reduzierung von
b
oder durch Stege den Leitungswellenwiderstand des Hohlleiters zu reduzieren (siehe Gl. (21)).
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Hochfrequenztechnik I
Hohlleitersysteme und Wellenleiterverzeigungen
HS/5
2 Wellenleiterverzweigungen
Abb. 6: Mehrtor mit
Es werden Mehrtore mit
n
n
Toren.
Toren betrachtet. Die Tore können beispielsweise mit Zweidrahtleitungen
oder mit Hohlleitern realisiert sein. Bei Hohlleitern mit mehreren ausbreitungsfähigen Eigenwellen wird
dann jeder Eigenwelle ein eigenes Tor zugeordnet. Die Tore werden durch die jeweils hineinlaufende
Wellenamplitude
ai
bi
und die hinauslaufende Wellenamplitude
durch eine Streumatrix
charakterisiert. Ein Mehrtor kann dann
S beschrieben werden (siehe auch Kapitel STR):






. 
= S
 .. 
 
b
 1
.
.
.



bn

a
 1
(25)
an
Netzwerke können häug als weitgehend verlustfrei angesehen werden. Für ein verlustfreies Netzwerk
stellt
S eine unitäre Matrix
dar.
P
Beweis: Für ein verlustfreies Netzwerk ist die hineinlaufende Leistung (
P
herauslaufenden Leistung(
jbi j
2
jai j2
) gleich der
), d.h.
n
X
i =1
jai j2 =
n
X
i =1
jbi j2
(26)
Mit der Einführung der Vektoren


a
 1
. 
a~ = 
 .. 
 
an

und
beziehungsweise der transponierten Vektoren
a~T

b
 1
. 
~b = 
 .. 
 
bn
(27)
= (a1 ; : : : ; an ) und ~bT = (b1 ; : : : ; bn )
lässt sich obige Beziehung (26) formulieren als:
T
a~T a~ = ~b ~b;
wobei
(28)
`komplex konjugiert' darstellt. Mit Gl. (25) folgt daraus:
a~T a~ = S a~ T S a~ = a~T ST S a~
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(29)
Hochfrequenztechnik I
Hohlleitersysteme und Wellenleiterverzeigungen
HS/6
Die rechte und die linke Seite sind nur dann für beliebige hineinlaufende Wellenamplituden
identisch, wenn
wobei
SST = E;
E die Einheitsmatrix
(30)
1 0 

0 1 
E=





.
.
.
.
.
.
..
(31)
.
darstellt, so dass Gl. (30) auch wie folgt geschrieben werden kann:
S
1
= ST
Gleichung (32) beschreibt eine unitäre Matrix.
(32)
q.e.d.
Ein verlustfreies Netzwerk wird damit durch eine unitäre Matrix charakterisiert, d. h. die invertierte
Streumatrix muss gleich sein der konjugiert komplexen transponierten Streumatrix. Gl. (32) stellt ein
wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Streuparametern dar.
Weiterhin gilt (ohne Beweis), dass passive Netzwerke reziprok sind. Voraussetzung dafür ist, dass
Dielektrikum und Permeabilität durch Skalare oder zumindest durch symmetrische Tensoren
(") und
() charakterisiert werden. Eine Ausnahme davon ist z. B. der Ferrit im Gleichmagnetfeld. Reziproke
Netzwerke werden durch symmetrische Streumatrizen beschrieben, für die gilt:
S ij
= Sji
(33)
2.1 Magisches T
Magic T
oder E-H-
Im Folgenden soll das Magische T als verlustfrei und reziprok angenommen werden. Da die
H10-Welle
Beispiel für eine Hohlleiterverzweigung mit vier Toren ist das Magische T (Auch
Verzweigung) gemäÿ Abb. 7.
Abb. 7: Magisches T.
an Tor 1 im Tor 2 auf Grund der anderen Feldverteilung keine
H10 -Welle anregen kann, gilt zunächst
S 12 = S 21 = 0
(34)
weiterhin kann durch geeignete Anpasselemente in den Wellenleitern 1 und 2 (die Bausymmetrie
bezüglich der Tore 3 und 4 darf dabei nicht gestört werden) Eigenreexionsfreiheit mit
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S 11 = S 22 = 0
Hochfrequenztechnik I
Hohlleitersysteme und Wellenleiterverzeigungen
erreicht werden. Mit der Reziprozität gilt
und
S ij
HS/7
= Sji und wegen der Bausymmetrie ergibt sich S13 = S14
S 24 = S 23 , so dass man für die Streumatrix zunächst schreiben kann:

S=
0
0




S
 13
S 13
0
0
S 23
S 23
S 13
S 23
S 33
S 34
S 13

S 23 


S 34 

S 44

In verlustfreien Netzwerken ist die Streumatrix unitär, so dass aus
ˆ
1. Zeile
ˆ
2. Zeile
ˆ
2. Zeile
ˆ
1. Zeile
1. Spalte ergibt
2jS13 j2 = 1
2. Spalte ergibt
2jS23 j2 = 1
3. Spalte ergibt
3. Spalte ergibt
S 23 (S 33
(35)
SST = E folgt:
S 34 ) = 0 und damit auch S 33 = 0 sowie S 34 = 0
S 13 (S 34 + S 44 ) = 0 und damit auch S 44 = 0
Durch geeignete Wahl der Bezugsebenen an den Toren 1 und 2 werden
S 13 = S 23 =
S 13
und
p1 ;
2
S 23
reel mit
(36)
so dass sich für die gesamte Streumatrix des Magischen T's schlieÿlich ergibt:
0 0 1 1


1 0 0 1 1

S= p 


2
1
1
0
0


1 1 0 0


(37)
Mit Hilfe eines Magischen T' s ist eine Überlagerung einfallender Wellen der Tore 1 und 2 an den Toren
3 und 4 möglich, und zwar am Tor 3 in Phase und am Tor 4 in Gegenphase. Derartige Verzweigungen
sind beispielsweise für Gegentaktanordnungen zweckmäÿig. Eine derartige Überlagerung ist auch mit
Richtkopplern möglich, die im Folgenden behandelt werden.
2.2 Richtkoppler
Abb. 8: Richtkoppler als Viertor.
Das Grundprinzip eines Richtkopplers ist folgendes: Eine am Tor 1 eingespeiste Welle wird an die Tore
3 und 4 gekoppelt, nicht aber an Tor 2 (isoliertes Tor). Entsprechend erfolgt eine Kopplung vom Tor
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Hohlleitersysteme und Wellenleiterverzeigungen
HS/8
3 zu den Toren 1 und 2, jedoch nicht zum Tor 4 usw. Wir wollen einen eigenreexionsfreien und
bausymmetrischen Aufbau voraussetzen, d.h.:
S 11 = S 22 = S 33 = S 44 = 0
(38)
S 21 = 0 (und damit
S 12 = 0 wegen Reziprozität). Wegen der Bausymmetrle gilt dann auch S 34 = 0 = S 43 und S 13 = S 24
sowie S 14 = S 23 , so dass sich die Streumatrix (Reziprozität vorausgesetzt) mit nur noch 2 unbekannten
Bei Einkopplung am Tor 1 soll an Tor 2 keine Leistung gekoppelt werden, d.h.
Streuparametern ergibt zu:

S=
0
0




S
 13
S 14
0
0
S 13 S 14

S 14 S 13 


0
0
S 14
S 13
0
0



(39)
Für einen verlustfreien Richtkoppler muss die Streumatrix unitär sein, was bedeutet:
ˆ
1. Zeile
ˆ
1. Zeile
1. Spalte ergibt
2. Spalte ergibt
jS13j2 + jS14j2 = 1
S 13 S 14 + S 14 S 13 = 0
Diese Bedingung lässt sich so interpretieren, dass
bzw.
S 13
und
<
S 13 S 14 = 0
S 14
in der komplexen Ebene aufeinander
senkrecht stehen müssen. Für eine geeignete Wahl der Bezugsebenen an den Toren 1-4 wird
S 13 reell,
so dass sich schreiben lässt
S 13 =
p
1
S 14 = j;
2
(40)
(41)
den Koppelfaktor angibt. Der Ausdruck 20 log wird als Koppeldämpfung (in dB) bezeichp
net. Einen Koppler mit beispielsweise = 1= 2 bezeichnet man deshalb als 3-dB-Koppler.
wobei
2.3 Beispiel: Richtkoppler mit TEM-Wellen
Eine einfache Kopplung beabsichtigt oder auch unbeabsichtigt ist möglich zwischen zwei parallel
verlaufenden TEM-Leitungen (Zweidrahtleitungen). Damit lässt sich ein Richtkoppler gemäÿ Abb. 9
entwerfen.
Abb. 9: Realisierung eines Richtkopplers mit Streifenleitungen.
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HS/9
Bei Anpassung der Tore (Eigenreexionsfreiheit) erfolgt nur ein Nahnebensprechen zwischen den
Toren 1 und 4 bzw. Tor 2 und Tor 3, aber kein Fernnebensprechen zwischen den Toren 1 und 2 bzw.
Tor 3 und Tor 4.
Zur Erläuterung werde ein symmetrischer Richtkoppler, bestehend aus 2 parallelen Leitungen der Länge
l
=4
betrachtet (s. Abb. 10).
l!
I1 =
λ
4
U1
ZL
Abb. 10: Richtkoppler.
Die Leitungen seien schwach gekoppelt und jeweils mit ihrem Wellenwiderstand
U 1 und Strom I 1 ),
U4
und S 41 =
U1 .
das Tor 1 laufe eine Welle hinein (Spannung
2 und 4 werde betrachtet, wobei
S 21 =
U2
U1
ZL
abgeschlossen. In
und die Überkopplung zu den Toren
Für die Kopplung muss sowohl die kapazitive als auch die induktive Kopplung betrachtet werden. Für
l
=4
lässt sich die Kopplung in Form diskreter Elemente angeben wie in Abb. 11 dargestellt.
Abb. 11: Beschreibung der Kopplung innerhalb eines Richtkopplers in Form diskreter Elemente.
Die Koppelkapazität zwischen den Leitern drückt sich aus durch
durch
L12
C12 , während die induktive Kopplung
berücksichtigt wird.
Die folgende Rechnung beschränkt sich auf schwache Kopplung (
!L12
Einspeisung einer Welle am Tor 1.
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ZL;
!C12
1=ZL
) und
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I 1 = U 1 =ZL
Auf Grund des Stromes
HS/10
wird in der Leitung II eine Spannung
U L = j!L12 I 1 = j!L12
U1
ZL
(42)
induziert. Auf Grund der kapazitiven (schwachen) Kopplung ergeben sich die Ströme
I a = j!
C12
I b = j!
C12
2
U1
(43)
2
U3
(44)
Damit ergeben sich schlieÿlich die Spannungen an den Toren 2 und 4:

U 2 = (I a + I b )
ZL
UL
U1 
U 4 = (I a + I b )
ZL
UL
U1 
2
2 = 2
2 + 2 = 2
wobei wegen der kurzen Leitung noch von
U1 U3

L12
ZL
#
L
j! C12 ZL + 12
ZL
#
"
j! C12 ZL
"
(45)

(46)

Gebrauch gemacht wurde.
Die kapazitive und die induktive Kopplung sind voneinander abhängig. Insbesondere gilt bei TEMLeitungen mit homogenem Dielektrikum um die Leiter in Abb. 10(ohne Beweis):
L12
C12
und damit
U 2 =U 1
=0
= ZL2
(47)
(kein Fernnebensprechen), was auch bei längeren Leitungen und stärkerer
Kopplung gilt. Für das Nahnebensprechen gilt damit
U4
U1
= S41 = j!C12 ZL
(48)
Gl. (48) gilt nur bei schwacher Kopplung zwischen kurzen Leitungen. Der allgemeinere Fall lässt sich
behandeln mit der Theorie der
S 41 =
Mehrfachleitungen.
1
q
jL sin(l )
2
L cos(l ) + j sin(l )
mit
C0
L = 0 12 0 ;
C1 + C12
(49)
0 den Belag der Koppelkapazität und C 0 den normalen Kapazitätsbelag der Leitung I bezeichC12
1
net. Die maximale Überkopplung ergibt sich zu S 41 = L für l = =2 (entspricht einer Koppellänge
0
von l = =4). Für kleine Koppellängen und geringe Kopplung reduziert sich Gl. (49) mit C12 = C12 l
wobei
zu Gl. (48).
Andere Leitungsrealisierungsmöglichkeiten speziell für 3-dB-Koppler (auch bezeichnet als 90 -Hybride)
sind beispielsweise der
Branchline-Koppler
(s. Abb. 12a)) und der
Lange-Koppler
(s. Abb. 12b)).
Mit Leitungen können auch Strukturen aufgebaut werden, deren Streumatrix einem Magischen T
entspricht (180 -Hybrid, s. Abb. 13).
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a)
HS/11
b)
Abb. 12: Ausführungsformen von 3 dB-Richtkopplern. a) Branchline-Koppler, b) Lange-Koppler.
Abb. 13: Realisierung eines 180 -Hybrids (Magisches T) als Ring-Koppler.
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HS/12
3 Einwegleitungen und Zirkulatoren
Für gewisse Anwendungen sind auch nichtreziproke Netzwerke von Interesse, bei denen also
ist. Wie auf S. HS/6 ausgeführt, sind passive Netzwerke immer reziprok, es sei denn, der
()-Tensor ist unsymmetrisch.
S ij 6= S ji
(")- bzw.
Für die Realisierung von passiven nichtreziproken Netzwerken müssen deshalb Materialien mit unsymmetrischen
(")- bzw. ()-Tensor eingesetzt werden. Ein Beispiel für ein derartiges Material stellt ein
vormagnetisierter Ferrit dar. Wird ein Ferrit mit einem Gleichmagnetfeld in
z -Richtung gesättigt, erhält
man mit dem Zusammenhang des Zeigers der (hochfrequenten) Flussdichte und dem Magnetfeld
~ = ()H~
B
einen Tensor (ohne Beweis):

() =
Dabei sind
11 , 22
und
33
11

21

0
12
22
0
(50)
0
0
33





im Wesentlichen reell, während
12
(51)
=
21
1
imaginär wird.
Der
()-
Tensor in Gl. (51) ist damit unsymmetrisch und ermöglicht nichtreziproke Bauelemente.
Ein einfach zu verstehender nichtreziproker Eekt in einem vormagnetisierten Ferrit stellt der
Eekt dar. Wenn man in einem in
Faraday -
z -Richtung vormagnetisierten Ferriten eine linear polarisierte ebene
z -Richtung einstrahlt, wird abhängig von der Gröÿe des Gleichmagnetfelds der
Polarisationszustand um einen Winkel F gedreht (F ist die Faraday-Drehung).
Welle ebenfalls in
Die Drehrichtung hängt dabei nur von der Richtung des Gleichmagnetfeldes und nicht von der Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle ab. Wie wir gleich sehen werden, lässt sich dieser Eekt zu Realisierung
eines nichtreziproken Bauelements ausnutzen.
3.1 Einwegleitungen
Das einfachste nichtreziproke Bauelement ist eine Einwegleitung mit der Streumatrix:
0 0
S=
1 0


Abb. 14: Prinzip einer Einwegleitung.
1
Man spricht auch von einem
gyrotropen
Medium.
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(52)
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D. h. eine am Tor 1 einfallende Welle wird verlustfrei zum Tor 2 übertragen. Hingegen wird eine am
Tor 2 einfallende Welle vollständig absorbiert. Abb. 14 zeigt schematisch das Grundprinzip einer solchen Einwegleitung. Viele verschiedene Realisierungsmöglichkeiten für Einwegleitungen sind möglich.
Anschaulich ist die Wirkungsweise gemäÿ Abb. 15, die auf dem Faraday-Eekt beruht.
Abb. 15: Einwegleitung beruhend auf dem Faraday-Eekt.
Eine am Tor 1 einfallende Welle wird in ihrer Polarisation entsprechend dem Faraday-Prinzip um 45
wird mit Hilfe des axialen Gleichmagnetfeldes eingestellt, so dass
gedreht. Der Faraday-Winkel von 45
die Welle verlustfrei das entsprechend verdrehte Tor 2 passieren kann. Eine am Tor 2 eingekoppelte
Welle jedoch wird um weitere 45
gedreht, so dass sie Tor 1 nicht passieren kann und statt dessen in
der Dämpfungsfolie absorbiert wird.
3.2 Zirkulator
Abb. 16: Prinzip eines Zirkulators.
Das Prinzip eines Zirkulators besteht darin, dass die in Tor 1 einfallende Leistung nach Tor 2 und von
Tor 2 nach 3 und von Tor 3 nach 1 übertragen wird, nicht aber in der entgegengesetzten Richtung
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HS/14
(s. Abb. 16). Die Streumatrix lautet damit
0 0 1
S = 1 0 0


0 1 0






(53)
Schematisch ist die Arbeitsweise eines Zirkulators in Abb. 17 am Beispiel eines Hohlleiterzirkulators
dargestellt.
Abb. 17: Hohlleiterzirkulator ohne angelegtes Magnetfeld (links) und mit Magnetgleichfeld (rechts).
Im Zentrum einer Hohlleiterverzweigung bendet sich ein Ferrit. Ohne angelegtes Gleichmagnetfeld
ergibt sich in Abb. 17 eine symmetrische Aufteilung der im Tor 1 eingespeisten Leistung ohne Richtwirkung. Mit Gleichmagnetfeld (senkrecht zur Zeichenebene) ergibt sich eine Drehung der Felder, so
dass sich resultierend eine Richtwirkung vom Tor 1 zum Tor 2 ergibt. Eine Bauform für Zirkulatoren
mit Streifenleitungen zeigt Abb. 18.
Abb. 18: Streifenzirkulator.
Zirkulatoren werden beispielsweise in Sende-/Empfangs-(Duplex)-Systemen verwendet, die einen schematischen Aufbau gemäÿ Abb. 19 haben
Aus Zirkulatoren lassen sich auch Einwegleitungen gewinnen, wenn ein Tor des Zirkulators reexionsfrei
abgeschlossen wird.
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Hohlleitersysteme und Wellenleiterverzeigungen
Abb. 19: Schematischer Aufbau eines Sende-/Empfangs-(Duplex)-Systems.
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HS/15
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Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
ONT/1
Bisher haben wir nur Wellenleiter behandelt, die metallische Leiter beinhalten. Wie wir gesehen haben,
steigen bei derartigen Wellenleitern i. A. die Verluste mit der Frequenz an, so dass es vorteilhaft ist,
bei sehr hohen Frequenzen (z.B.
Man gelangt so zu den
> 100 GHz) Wellenleiter ohne metallische Leiter zu verwenden.
dielektrischen Wellenleitern, die insbesondere im optischen Spektralbereich eine
sehr groÿe Bedeutung erlangt haben (Lichtwellenleiter, Glasfasern). Diese Lichtwellenleiter stellen das
Rückgrat der Optischen Nachrichtentechnik dar.
1 Dielektrische Wellenleiter
Dielektrische Wellenleiter zeichnen sich dadurch aus, dass die Wellenführung durch eine radiale Variation der relativen Dielektrizitätskonstanten
"r
erreicht wird. In der einfachsten Form ist damit ein
dielektrischer Wellenleiter wie folgt gegeben:
εr2
εr1
εr1 > εr2
Abb. 1: Prinzip eines dielektrischen Wellenleiters.
Bei dielektrischen Materialien gilt überall
= 0 .
Dielektrische Wellenleiter werden bevorzugt im
optischen Spektralbereich verwendet (oder im nahen Infrarot), wobei sich beispielsweise sichtbares
Licht durch den Wellenlängenbereich
bzw. den Frequenzbereich
o = 0; 4 : : : 0; 8 µm
(1)
c
fo = 0 = 750 : : : 375 THz
(2)
o
auszeichnet (Anmerkung:
1 THz = 1012 Hz = 1000 GHz).
SiO2 ), und Abb. 2 zeigt den
Lichtwellenleiter oder Glasfasern bestehen überwiegend aus Quarzglas (
typischen Dämpfungsverlauf einer derartigen Quarzglasfaser.
Wichtig ist dabei insbesondere die Rayleigh-Streuung
Glaspartikeln entsteht und mit
1=
4
0
S , die durch Streuung des Lichts an kleinen
mit zunehmender Wellenlänge abnimmt. Mit zunehmender Wel-
lenlänge nimmt die Dämpfung schlieÿlich durch die Infrarot-Absorption
IR
wieder zu, die durch die
Anregung molekularer Schwingungen im Glas entsteht. Die minimale Dämpfung ergibt sich für Wellenlängen im Bereich
ca.
0; 2 dB/km.
o 1; 5 : : : 1; 6 µm (oder f 200 THz), also im nahen Infrarot, zu Werten von
Diese Dämpfung ist um ca. 3 Gröÿenordnungen niedriger als wir es von Koaxialkabeln oder Hohlleitern
im GHz-Bereich gewohnt sind. Damit stellt die Quarzglasfaser einen hervorragenden Wellenleiter dar,
der eine extrem niedrige Dämpfung (bei
0; 2 dB/km ist noch nach 15 km Faserlänge die Hälfte des
eingekoppelten Lichts vorhanden) mit einer hohen Bandbreite verbindet (allein der Wellenlängenbereich
o = 1; 5 µm bis o = 1; 55 µm entspricht schon einer Bandbreite von 6 THz = 6000 GHz).
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Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
ONT/2
0
Abb. 2: Typischer Dämpfungsverlauf einer Quarzglasfaser (
Absorption,
UV
Ultraviolett-Absorption,
OH
S
Rayleigh-Streuung,
IR
Infrarot-
Absorption durch OH-Verunreinigungen) (aus:
Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik, Springer 2002).
1.1 Totalreexion
Am einfachsten kann man sich die Wellenausbreitung in einem dielektrischen Wellenleiter vorstellen,
wenn man die Reexion einer ebenen Welle an der Grenzäche zwischen 2 Dielektrika betrachtet (Abb.
3):
εr1=n12
εr2=n22
reflektierte Welle
θ1
transmittierte Welle
θ2
φ
2
φ
εr1 > εr2
1
einfallende Welle
θ1
bzw. n2 < n1
Abb. 3: Reexion und Transmission an dielektrischen Grenzächen.
Zwischen den Einfallswinkeln der einfallenden Welle und der transmittierten Welle gilt das Snellius'sche
Brechungsgesetz:
cos 2 = sin '2 = n1
cos 1 sin '1 n2
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(3)
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Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
ONT/3
n1 , n2 stellen dabei die Brechzahlen, n1 = p"r 1 , n2 = p"r 2 dar. Bei gegebenem 1 und n1 < n2 ergibt
sich aus Gl. (3) nur dann eine Lösung für 2 , wenn 1 > 1g mit
cos 1g = nn2
(4)
1
ist. 1g stellt den Grenzwinkel der Totalreexion dar, für 1 < 1g wird die einfallende Welle total
reektiert.
2 Stufenfasern
Die einfachste Form eines Lichtwellenleiters besteht aus einem lichtführenden Faserkern mit der Brechzahl
n1
und einem Fasermantel mit der Brechzahl
n2 < n1 ,
wobei der Unterschied im Prozentbe-
reich oder sogar darunter liegt. Der Faserkerndurchmesser liegt typischerweise in der Gröÿenordnung
2a 10 100 µm
und der Durchmesser vom Mantel bei
D 125 µm.
n 0= 1
Abb. 4: Schematische Darstellung einer Stufenfaser.
Die Stufenfaser weist folgendes Brechzahlprol auf



 n1
für

 n2
für
n (r ) = 
r a
D
a<r 2
(5)
1 sei nun der Winkel der eingekoppelten Welle zur Faserachse und 1 der Winkel, unter dem die Welle
aus dem freien Raum (n0 = 1) in die Faser eingekoppelt wird. Die Welle wird dann im Kern geführt,
wenn 1 < 1g ist. Es gilt
q
q
sin(1g ) = 1 cos2 (1g ) = n1 n12 n22
(6)
1
Mit dem Brechungsgesetz von Snellius folgt
sin(1g ) = n1 sin(1g ) = n12 n22 = AN
q
AN
(7)
1 an, für den die Welle
nur im Kern geführt wird. Wenn man eine Quarzglasfaser mit n1 = 1; 46 und n2 = 1; 45 annimmt,
ergibt sich AN = 0; 17, was auf einen maximalen Einfallswinkel 1g = 9; 8 führt.
wird als
numerische Apertur
bezeichnet und gibt den maximalen Winkel
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Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
ONT/4
2.1 Eigenwellen in schwach führenden Stufenfasern
Die Strahlenbetrachtung in Abb. 4 gilt eigentlich nur im Grenzfall
o ! 0. Zur genaueren Analyse
der Wellenausbreitung in dielektrischen Wellenleitern ist es ähnlich wie beim Hohlleiter erforderlich, die
ausbreitungsfähigen Eigenwellen zu bestimmen.
Die Brechzahlunterschiede zwischen Faserkern und -mantel sind in Glasfasern in der Regel sehr gering,
so dass
n1 n2
n1 1
gilt. Man spricht dann von einer
schwach führenden
(8)
Faser. Bei Gültigkeit von Gl. (8) lassen sich dann
die Eigenwellen näherungsweise als so genannte LP-Wellen (linear polarisierte Wellen) beschreiben.
So lässt sich dann beispielsweise eine in transversaler Richtung linear polarisierte Welle annehmen mit
einer elektrischen Feldverteilung:
E x = (r; ') exp( jz )
(9)
(Annahme: verlustfreier Wellenleiter) und E y 0.
Zunächst soll die Gröÿenordnung von abgeschätzt werden. Aus der Strahlenbetrachtung in Abb. 4
mit der Phasenkonstanten
folgt
= k0 n1 cos(1 )
Für die geführte Welle ist
(10)
0 < 1 < 1g , daher ist
k0 n2 < < k0 n1
Für die Feldkomponente
Ex
gilt die Wellengleichung (vgl. Gl. EB (25)) sowohl im Kern als auch im
Mantel.
mit
(11)
4E x + k02ni2E x = 0
(12)
@2Ex
2
@z 2 = E x
(13)
i = 1; 2 . Es folgt aus Gl. (9)
und damit erhält man aus Gl. (12) die Wellengleichung
4t E x + k02ni2 2 E x = 0
(14)
mit dem transversalen Laplace-Operator
2
2
@2
4t = @x@ 2 + @y@ 2 = 1r @r@ r @r@ + r12 @'
(15)
2
Wenn man die skalare Feldfunktion
(r; ') aus Gl. (9) im Faserkern und -mantel jeweils schreibt als

 1 (r; ') für r a
(r; ') = 
(16)
2 (r; ') für r > a ;
!
ergibt sich dann für die Wellengleichung (14):
4t 1 + k02n12 2
4t 2 2 k02n22
= 0;
2 = 0;
1
r a
r >a
(17)
Die Lösung von Gl. (17) führt zu den Eigenwellen der Stufenfaser, wobei noch die Randbedingungen
berücksichtigt werden müssen.
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Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
ONT/5
2.2 Randbedingungen
An der Grenzäche zwischen Faserkern und Fasermantel müssen die tangentialen Feldkomponenten
stetig übergehen, d.h.
E ' , E z , H' und Hz
müssen bei
r = a stetig sein.
Ex
formulieren. Für eine schwach führende Faser (Gl. (8)) führt die geforderte Stetigkeit von E ' und H '
näherungsweise auf eine Stetigkeit auch von E x , wie mit Abb. 5 erläutert wird.
Aufgrund des Ansatzes entsprechend Gl. (9) müssen wir nun die Randbedingungen bezüglich
y
F a se rm a n te l
+ a
E j, H
j
E z, H
F a se rk e rn
z
r
j
z
-a
+ a x
-a
Abb. 5: Skizze zur Erläuterung der Randbedingungen.
' = 90 ist in Abb. 5 oensichtlich, dass die geforderte Stetigkeit von E ' dort auch der Stetigkeit
von E x entspricht. Für ander eWinkel ' ist die nicht so oensichtlich. So ist beispielsweise für ' = 0 die
2
Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung stetig (d.h. n E x muss dort stetig sein), wenn sich
aber n1 und n2 nur geringfügung von einander unterscheiden, ist auch bei ' = 0 E x näherungsweise
stetig, d.h. die erste Randbedingung für E x lautet näherungsweise:
Für
E x (Faserkern)
=
r =a
E x (Fasermantel)
für alle
'
r =a
Es fehlt noch die Berücksichtigung der Forderung nach stetigem Verlauf von
Maxwell'sche Gleichung
woraus für
Hz
folgt (mit
(18)
Hz
bzw.
E z . Es gilt die
~
r E~ = j!µ0H;
(19)
1 @E
Hz = j!µ @yx :
0
(20)
E y 0):
@=@y beinhaltet in Zylinderkooordinaten sowohl die Ableitung @=@' als auch @=@r . Da
Gl. (18) für alle ' gilt, folgt aus Gl. (18) trivialerweise auch die Stetigkeit von @E x =@'. Zusätzlich
muss allerdings noch die Stetigkeit von @E x =@r sichergestellt werden. D.h., es muss gelten:
Die Ableitung
@E x (Faserkern) @r
=
r =a
@E x (Fasermantel) @r
r =a
für alle
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'
(21)
Hochfrequenztechnik I
Damit sind
Hz
(und
Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
E z , wie auch leicht gezeigt werden kann) an der Grenzäche zwischen Faserkern
und -mantel stetig.
Damit stellen Gl. (18) und (21) die bezüglich
Feldfunktion
ONT/6
Ex
zu erfüllenden Randbedingungen dar. Für die skalare
(r; ') aus Gl. (9) und (16) heiÿt das:
1
@ 1 @r =
r =a
=
r =a
2
(22)
r =a
@ 2 @r r =a
:
(23)
2.3 Berechnung der Eigenwellen
Zunächst werden folgende Normierungen eingeführt:
V = k0 a n12 n22 = k0 a AN
2
n22
n2 k0 + n2
n2
k02
k0
B = 2 2 = (n n ) (n + n ) nk0 n
n1 n2
1
2
1
2
1
2
q
p
u = V 1 B = a k02 n12 2
q
Faserparameter:
Normierte Ausbreitungskonstante:
Kernparameter:
p
v = V B = a 2 k02 n22
V 2 = u2 + v 2
Mantelparameter:
(24)
(25)
(26)
q
(27)
(28)
Setzt man diese Normierungen in Gl. (17) ein, so erhält man
a2 4t
a2 4t
+ u2
v2
2
1
r a
für r a
=0
2=0
1
für
(29)
(30)
Die Lösungen von Gl. (29) führen zu einem oszillierenden Verhalten im Faserkern, während die Lösungen von Gl. (30) zu exponentiell abklingenden Feldern im Fasermantel führen. Konkret ergibt sich:
u cos(l ')
r
(
r;
'
)
=
A
J
1
1 l
a sin(l ')
(
)
(31)
v cos(l ')
2 (r; ') = A2 Kl r
a sin(l ')
Dabei ist
Jl
eine Besselfunktion und
Kl
(
)
(32)
eine modizierte Hankelfunktion ganzzahliger Ordnung.
Aus den Randbedingungen Gl. (22) und (23) folgt:
A1 Jl (u ) = A2 Kl (v )
(33)
u
v
A1 a Jl0 (u ) = A2 a Kl0 (v );
(34)
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
ONT/7
Jn
J0
J1
J2
J3
x
Abb. 6: Besselfunktionen ganzzahliger Ordnung.
Kn
K2
K1
K0
x
Abb. 7: Modizierte Hankelfunktionen 0. bis 2. Ordnung.
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Hochfrequenztechnik I
wobei
Jl0 = dJl (x )= dx
Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
und
Kl0 = dKl (x )= dx
ONT/8
bezeichnen.
Dividiert man nun beide Gleichungen durcheinander, so erhält man die charakteristische Gleichung zur
Bestimmung der Phasenkonstanten
Für vorgegebenes
V
(u und v
und vorgegebene
enthalten nur
als Unbekannte).
u Jl0 (u ) v Kl0 (v )
Jl (u ) = Kl (v )
Umfangsordnung l kann
(35)
die Ausbreitungskonstante aus Gl.
(35) numerisch bestimmt werden. Die Gleichung hat im allgemeinen mehrere Lösungen, die mit
p=
1; 2; 3::: nummeriert werden. p bezeichnet dabei die Anzahl der Feldextrema in radialer Richtung. Daher
wird die Bezeichnung LPlp -Welle mit der Umfangsordnung l und der radialen Ordnung p gewählt.
(Feldverteilungen einiger LPl p -Wellen sind in Abb. 8 dargestellt.)
Mit vorgegebener Dimensionierung (a; 0 ; n1 ; n2 ) der Faser folgt V , damit kann aus Gl. (35) u und v
bestimmt werden. Daraus ergibt sich mit Gl. (26) und Gl. (27) und mit Gl. (31) und Gl. (32) auch
die Feldverteilung
(r; '). Die Lösung von Gl. (35) ist in Abb. 9 dargestellt. Sie zeigt die normierte
Phasenkonstante B ( vergl. Gl. (25)) als Funktion von V .
Wie man aus Abb. 9 erkennt, ist für genügend kleine V < 2; 405 nur noch die LP01 -Welle ausbreitungsfähig.
Das bedeutet, dass für einen Faserparameter
V < 2; 405
(36)
eine einmodige Faser vorliegt (allerdings ist die dann verbleibende LP01 -Welle noch in 2 Polarisationen
(
Ex
und
Ey )
ausbreitungsfähig). Normalerweise wird ein Faserparameter
V > 1; 5
gewählt, da die
Welle sonst zu schwach auf den Faserkern konzentriert ist.
Als Beispiel sei eine Faser folgendermaÿen dimensioniert:
Faserdurchmesser:
Relative Brechzahldierenz:
Numerische Apertur:
Faserparameter:
2a = 8 µm
= n1 n n2 = 3 10
1
AN = 0; 116
µm
V = 2; 9 Mit dieser Faser wäre ein einwelliger Betrieb also für Wellenlängen
1; 2 µm < < 1; 9 µm
(r ) des LP01 -Grundmodes wird häug durch eine Gauÿverteilung angenähert:
(r ) = A0 exp
3
r2
w2 :
möglich.
!
(37)
2;879
w entspricht hierbei dem Fleckradius. Bei einer Stufenfaser mit V > 1; 2 ist wa 0; 65+ 1V;619
3=2 + V 6 .
Mit steigendem V nimmt also der Fleckradius ab. Dies entspricht einer zunehmenden Konzentration
des Feldes auf den Faserkern.
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Hochfrequenztechnik I
Abb. 8: Feldverteilungen
Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
einiger
LP-Moden.
Von
oben:
LP01 ,
LP11 ,
LP25
ONT/9
und
ges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik, Springer 2002).
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LP73
(aus:
Vo-
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Abb. 9: Normierte Phasenkonstante
ONT/10
B von LPlp -Wellen in schwach führenden Stufenfasern (aus: Vo-
ges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik, Springer 2002).
2.4 Chromatische Dispersion
Auch bei einer einwelligen Faser ist zu berücksichtigen, dass die Gruppenlaufzeit der LP01 -Welle wellenlängenabhängig ist (chromatische Dispersion), was die Übertragungseigenschaften beeinusst. Die
Gruppenlaufzeit der Grundwelle pro Länge ist:
d
= d!
Die Phasenkonstante
(38)
kann mit Gl. (25) ausgedrückt werden als
= k0 [B(n1 n2 ) + n2 ]
) = dfk0[B(n1 d!n2) + n2]g
Zur Vereinfachung wird die Annahme getroen, dass die Abhängigkeit der Brechzahlen
! gleich ist:
dn1 = dn2
d! d!
d(
) n1d! n2) = 0
q
2
2
d n1 n2
) ddA!N =
0
d!
(39)
(40)
n1 und n2 von
(41)
(42)
(43)
Dadurch vereinfacht sich die Gleichung der Laufzeit Gl. (40) zu:
d(k B) d(k n ) n n d(V B) 1 d(! n )
= (n1 n2 ) d!0 + d0! 2 = 1 c 2 dV + c d! 2
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(44)
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Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
ONT/11
Die chromatische Dispersion ist die Ableitung der Laufzeit nach der Wellenlänge:
d = n1 n2 V d2 (V B)
d2 n2
d | c {z dV 2 } | c {zd2}
^
^
DW =Wellenleiterdispersion DM =Materialdispersion
(45)
Die chromatische Dispersion besteht damit im wesentlichen aus zwei Anteilen (Abb. 11)
1. der Wellenleiterdispersion
2. der Materialdispersion
DW
und
DM .
Abb. 10: Dispersionsgröÿen der LP01 -Grundwelle bei schwach führenden Stufenfasern (aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik, Springer 2002).
Während die Materialdispersion durch das verwendete Quarzglas vorgegeben ist, ergibt sich die Wellen-
B(V )-Charakteristik. Zur Veranschaulichung
B, der Term ddVVB , sowie der Term V d2dVV 2B als
leiterdispersion im wesentlichen aus der Krümmung der
sind in Abb. 10 die normierte Phasenkonstante
V
für die LP01 -Welle einer Stufenfasern dargestellt.
d2 V B
Für einwellige Fasern mit einem Faserparameter
ist
dV 2 positiv und damit die Wellenlei-
Funktion von
terdispersion negativ. Bei Wellenlängen von
V < 2; 4 V > 1; 3 µm wird die Materialdispersion DM bei Quarzglas
SiO2 ) positiv, wie in Abb. 11 dargestellt. Dies kann dafür genutzt werden, die Faser so zu dimensionieren, dass die Nullstelle der Gesamtdispersion zu Wellenlängen > 1; 3 µm verschoben wird.
Insbesondere kann die Nullstelle der gesamten chromatischen Dispersion zu 1; 55 µm verschoben
(
werden, wo die minimale Dämpfung erzielt wird.
Beispiele:
1. Standard-Einmodenfaser
Eine Standard-Einmodenfaser hat beispielsweise die folgenden Dimensionierungen:
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a = 4 µm ,
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Abb. 11: Wellenleiterdispersion
DW
und Materialdispersion
DM
ONT/12
einer Standard-Einmodenfaser (aus:
Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik, Springer 2002).
= n1n1n2 = 3 10 3 , bzw. n1 n2 = 4; 5 10 3 . Damit ergibt sich bei einer Wellenlänge
= 1; 55 µm ein V = 1; 88 und damit gemäÿ Abb. 9 ein V d2 (V B)= dV 2 = 0; 58 , woraus sich
aus Gl. (45) eine Wellenleiterdispersion DW =
5; 6 kmpsnm ergibt, was nur zu einer teilweisen
Kompensation der Materialdispersion führt. Zur Illustration zeigt Abb. 11 für eine solche Faser
die einzelnen Anteile der chromatischen Dispersion.
2. Dispersionsverschobene Einmodenfaser
Durch Variation der Faserparameter lassen sich auch höhere Wellenleiterdispersionswerte erzielen, um z.B. die Materialdispersion
DM = 20 kmpsnm
bei
= 1; 55 µm
vollständig zu kompensie-
ren oder sogar zu überkompensieren (z.B. für eine sogenannte dispersionskompensierende Faser).
Gemäÿ Gl. (45) lassen sich höhere Werte der Wellenleiterdispersion für gröÿere Brechzahlunter-
V -Werte erreichen. So erhält man beispielsweise für eine Faserdimension1 n2 = 5 10 3 , bzw. n
3 bei = 1; 55 µm ein
nierung mit a = 2; 4 µm , =
1 n2 = 7; 5 10
n1
V = 1; 46 und V d2 (V B)= dV 2 = 1; 13 , so dass sich dann eine betragsmäÿig deutlich gröÿere
Wellenleiterdispersion von DW =
18; 2 kmpsnm ergibt, mit der sich die Materialdispersion bei
= 1; 55 µm im wesentlichen kompensieren lässt.
schiede sowie kleinere
Anmerkung: Wie oben erwähnt, stellen die oben diskutierten
LPlp -Wellen nur Näherungslösungen für
schwach führende Fasern dar. Bei der genauen Berechnung von dielektrischen Wellenleitern ergeben
sich ähnlich wie beim Hohlleiter E- und H-Wellen und darüber hinaus noch hybride HE- und EH-Wellen
Hz - als auch eine Ez -Komponente). Abb. 12 zeigt, wie sich
beispielsweise eine LP11 -Welle als Überlagerung von HE21 -, E01 - und H01 -Wellen darstellen lässt.
Am wichtigsten ist die LP01 -Grundwelle, die genau der HE11 -Welle der exakten Lösung entspricht.
(diese hybriden Wellen haben sowohl eine
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ONT/13
Abb. 12: Transversales elektrisches Feld von LP11 -Wellen und ihre Überlagerung aus den eigentlichen
Wellen HE21 , E01 und H01 [D. Gloge, Appl. Opt., Vol. 10, S. 2252 (1971)].
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ONT/14
3 Gradientenfaser
Eine Einmodenfaser stellt ein nahezu ideales Übertragungsmedium dar, wegen der Forderung nach
kleinem
V
entsprechend Gl. (36) entspricht dies aber der Forderung nach kleinem Kerndurchmesser
a und/oder einer kleinen numerischen Apertur AN . Dies erschwert die Licht-Einkopplung in derartige
2
Fasern sowie die Realisierung von Fasersteckern bzw. -spleiÿen.
Insbesondere für Kurzstreckensysteme oder die Gebäudeverkabelung ist es deshalb wünschenswert,
Vielmodenfasern mit gröÿerem Kerndurchmesser und/oder höherer numerischer Apertur zu verwenden.
Abb. 3 zeigt noch einmal den Strahlenverlauf in einer Stufenfaser. Es ist oensichtlich, dass die Laufzeit
1 zunimmt. Wenn man die Laufzeitdierenz zwischen
dem schnellsten (1 = 0) und dem langsamsten (1 = g ) Strahl einer Faser der Länge L berechnet,
der Wellen (bzw. Strahlen) mit zunehmendem
ergibt sich näherungsweise
(46)
t = 2cLn A2N :
0 1
Für eine typische Faser mit AN = 0; 2 und n1 = 1; 46 ergibt sich ein t=L = 45 ns/km, was bei
einer Übertragungslänge von L = 1 km und binärer Übertragung nur noch eine Übertragung von ca.
20 Mb/s zulässt.
Gradientenprol
Ein Trick besteht darin, statt eines Stufenprols ein sog.
für den Brechzahlverlauf
wie in Abb. 3 zu verwenden:
n
1
q
1
1
n
2
n
q
n
2
1
n (r)
n (r)
n
1
n
n
2
2
S tu fe n fa s e r
G r a d ie n te n fa s e r
Abb. 13: Strahlverlauf in a) einer Stufenfaser und b) einer Gradientenfaser.
In der Gradientenfaser gelangen die Strahlen mit höherem
1
in Bereiche mit kleinerer Brechzahl
und werden damit schneller. Durch geeignete Wahl eines Brechzahlprols
n(r ) können sich gröÿere
Weglänge und die erreichte höhere Geschwindigkeit entlang des Strahlweges gerade aufheben. Der
Brechzahlverlauf einer Gradientenfaser wird häug beschrieben durch das sog.
law prole)




 n12
g !
r
1 2 a


 n12 (1 2) = n22
mit dem Prolexponenten g . Beispielsweise wird mit g = 2
g ! 1 das Stufenprol beschrieben.
n2 (r ) = 
für
für
r a
Potenzprol
(power-
(47)
r >a
das parabolische Brechzahlprol und mit
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Der optimale Prolexponent
ONT/15
g = gopt hängt davon ab, mit welcher Materialvariation die Brechzahl der
Gradientenfaser variiert wird. Häug wird die Brechzahlvariation dadurch erreicht, dass beim Quarzglas
GeO2 ersetzt wird; bei einer derartigen Gradientenfaser zeigt. Abb. 3 den
optimalen Prolexponenten gopt als Funktion der Wellenlänge. Abb. 3 zeigt schlieÿlich die erreichbare
ein Teil des
SiO2
durch
Abb. 14: Optimaler Prolexponent
gopt
in Abhängigkeit von der Wellenlänge
0
für mit Germanium
dotiertes Quarzglas.
Bandbreite einer Gradientenfaser in Abhängigkeit davon, wie stark der realisierte Prolexponent
gopt
abweicht. Man sieht, dass für hohe Bandbreiten
praktische Bandbreiten bis ca.
Kerndurchmesser von
3 GHz km
gopt
g von
sehr genau getroen werden muss, wobei
erreicht werden. Derartige Fasern haben typischerweise
2a = 50 µm und eine numerische Apertur AN 0; 2.
Für Kurzstreckensysteme lassen sich derartige Gradientenfasern vorteilhaft einsetzen. Für 10-Gigabit-
300 m möglich, während sich für 100-Gigabit-Ethernet
immer noch eine Übertragungslänge von ca. 100 m ergibt (Wellenlängen-Multiplex mit 4 Wellenlängen
à 25 Gb/s).
Ethernet damit ist eine Übertragung über
4 Signalübertragung in Einmodenfasern
Im Vergleich zu Gradientenfasern weisen Einmodenfasern ein sehr viel besseres Signalübertragungsverhalten auf. Aufgrund der chromatischen Dispersion gibt es aber auch in Einmodenfasern u.U. eine
Signaldegradation, die hier genauer analysiert werden soll.
E lässt sich schreiben als
E (z; t ) = A(z; t ) exp( j0 z + j!0 t )
Das orts- und zeitabhängige elektrische Feld
(48)
A(z; t ) bezeichnet dabei eine im Vergleich zur optischen Frequenz langsam variierende komplexe Amplitude für ein monochromatisches optisches Feld mit der optischen Frequenz !0 und der dazugehörigen
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ONT/16
Abb. 15: 6-dB-Bandbreite des übertragenen elektrischen Signals einer vielwelligen Gradientenfaser mit
numerischer Apertur
Phasenkonstanten
AN = 0; 24.
0 . Das reale elektrische Feld in der Faser (z.B. Ex für die LP01 - Welle) entspricht
dabei dem Realteil von (48).
Die Signalausbreitung entlang der Faser lässt sich sehr einfach im Frequenzbereich mit der FourierTransformierten von
E (z; t ) beschreiben (zur Vereinfachung wird für die Dämpfung = 0 angenom-
men):
E (z; t ) gemäÿ
(49)
E (z; j!) = E (z = 0; j!) exp( j (!)z )
Die Phasenkonstante
mit
E (z; j!)
(50)
(!) wird um ! = !0 in eine Taylor-Reihe entwickelt:
1
(!) = 0 + (! !0 ) + 2 2 (! !0 )2 + :::
0 = (!0 ) wie bereits in (48), der Gruppenlaufzeit pro Länge
d
= d! ;
(51)
(52)
und der chromatischen Dispersion
d2 d
d 2
2 = d!2 = d! = d 2c0
0
0
!
(53)
Gl. (50) führt mit (51) auf:
E (z; j!) = E (z = 0; j!) exp( j0 z ) exp[ jz (! !0 )] exp
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1
j 2 2 z (! !0 )2
(54)
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ONT/17
Mit Gl. (54) ist die Signalausbreitung prinzipiell vollständig beschrieben. Uns interessiert jedoch die
Signalausbreitung bezüglich der Amplitudenfunktion
Zeitachse
z
(t 0 = t
z)
A(z; t ), wobei es zweckmäÿig ist, eine retardierte
einzuführen, da die Gruppenlaufzeit des Signals im wesentlichen durch
gegeben ist. Für die Amplitudenfunktion wird nun eine Fouriertransformierte mit
eingeführt:
A(z; t 0 + z ) wobei die Frequenz
A(z; j )
t = t0 + z
(55)
der Dierenz zwischen ! des Feldes in Gl. (49)-(51) und !0 , d.h. = ! !0 ,
entspricht.
Ähnlich zu Gl. (54) ergibt sich:
A(z; j ) = A(z = 0; j ) exp
1
2
j 2 2 z (56)
Gl. (56) lässt sich als Dierentialgleichung schreiben,
@A(z; j )
1
2
(57)
@z = A(z; j ) j 2 2 Mit der retardierten Zeitachse t t
z und @=@t = j lässt sich (57) in den Zeitbereich transformieren:
@A(z; t ) 2 @ 2 A(z; t )
@z = j 2 @t 2
Die Kenntnis der Signalform
z + z ).
(58)
A(z; t ) an der Stelle z ermöglicht damit die Berechnung der Signalform
an der Stelle (
Im Prinzip ist bereits mit der Gl. (56) die Signalübertragung entlang der Faser mit chromatischer
z = 0) das Signal bekannt ist, ist auch
dessen Fourier-Transformation A(z = 0; j ) bekannt, woraus sich dann A(z; j ) bei beliebigem z
ergibt. Daraus ergibt sich dann durch Fourier-Rücktransformation A(z; t ).
Dispersion vollständig beschrieben. Wenn am Faseranfang (
4.1 Übertragung eines Gauÿ'schen Pulses
Die Gauÿfunktion hat die Eigenschaft, dass auch deren Fourier-Transformierte wieder eine Gauÿfunktion darstellt (vgl. Abschnitt S). Bei einem Gauÿförmigen Spektrum
A(z = 0; j ) ergibt sich wegen
z wieder ein Gauÿförmiges Spektrum, so dass es naheliegend ist, die Ausbreitung eines
Gauÿförmigen Pulses entlang einer dispersiven Faser zu analysieren. Die komplexe Amplitude A(z; t )
sei so normiert, dass für die optische Leistung P in der Faser
Gl. (57) für alle
P (z; t ) = jA(z; t )j2
gilt. Für
z = 0 sei
P (z = 0; t ) = P0 exp
(59)
[t=t0 ]2
(60)
und damit für die komplexe Amplitude
A(z = 0; t ) = P0 exp
p
1 t 2 exp j'(t )
2 t0
!
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(61)
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mit einer eventuellen zusätzlichen Phasenmodulation
ONT/18
'(t ). Beispielsweise führt die Modulation eines
Halbleiterlasers (aber auch von sonstigen externen Modulatoren) nicht nur zu einer Leistungsmodulation, sondern auch zu einer Modulation der optischen Frequenz (chirp). Dies liegt daran, dass sich
bei einer Modulation der optischen Verstärkung auch die Brechzahl innerhalb des Halbleiterlasers und
damit die optische Emissionsfrequenz ändert. Dies lässt sich durch einen Parameter
n0
ch = n00
(62)
beschreiben, der die Kopplung zwischen einer Variation des Imaginärteils und des Realteils der Brechzahl beschreibt. Für eine Lasermodulation gilt (siehe z.B. K. Petermann, Laser diode modulation and
noise, Kluwer Academic 1991):
d' = 2( (t ) ) = ch 1 dP
0
dt
2 P dt
!
(63)
woraus für den Gauÿförmigen Puls von Gl.(60) folgt:
d' =
dt
bzw.
ch =t02 t
(64)
ch
2
2 (t=t0 )
(65)
'(t ) =
so dass sich die komplexe Amplitude gemäÿ Gl.(61) ergibt zu
A(z = 0; t ) = P0 exp
p
1 (t=t )2 (1 + j )
ch
2 0
(66)
A(z; t ) ergibt sich dann gemäÿ Gl.(57),(58).
Wie oben diskutiert bleibt die Gauÿ'sche Pulsform bei Ausbreitung entlang der Faser erhalten:
P (z; t ) exp
[t=t1 (z )]2 ;
(67)
wobei die Fourier-Transformation von Gl (66) mit Gl. (56) schlieÿlich auf
t1 (z ) = t0
v
u
u
t
1 ch t22z
0
führt. Abb. 16 zeigt den Verlauf der Pulsbreite für
!2
+ t22z
0
2 < 0
!2
(wie bei einer Standardfaser mit
1; 55 µm, dort ist 2 20 ps =km). LD bezeichnet dabei die sog. Dispersionslänge :
2
LD = t02 =j2 j:
Ohne Chirp
(68)
=
(69)
(ch = 0) ergibt sich eine monotone Pulsverbreiterung, während sich für ch 2 > 0
auch eine Pulsverschmälerung ergeben kann. Aufgrund der Pulsverbreiterung eines Gauÿ-Pulses lässt
sich die maximal mögliche Übertragungsrate abschätzen.
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4.0
b2<0
3.5
3.0
ach=2
2.5
t 1/t 0
ONT/19
ach=-2
2.0
1.5
ach=0
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
z/LD
1.5
2.0
Abb. 16: Pulsbreite als Funktion der Faserlänge.
4.2 Maximale Übertragungsrate ohne Chirp (ch = 0)
Ohne chirp (
ch = 0) ergibt sich die minimale Impulsbreite am Ausgang (z = L) für t02 = j2 Lj zu
t12 = 2j2 Lj;
was bei binärer Modulation ungefähr eine maximale Bitrate
p
B L < 1= 8j2 j =
q
p
s
was beispielsweise für eine Standard-Einmodenfaser mit
auf eine maximales Bitraten-
(70)
B < 1=(2t1 ) ermöglicht und damit
(2=8) c0 ;
j d= dj20
(71)
d= d = 17 ps=(nm km) und 0 = 1; 55 µm
Längen-Produkt von
p
Gb p
B L = 75 s km
führt.
Damit lässt sich ein binäres
10 Gb/s-Signal immerhin über eine Strecke von ca. 50 km übertragen, was
damit die Überlegenheit einer Einmodenfaser gegenüber einer Gradientenfaser unterstreicht.
Auch deutlich längere Übertragungsstrecken sind möglich, wenn die chromatische Dispersion der Übertragungsfaser durch dispersionskompensierende Fasern (DCF dispersion-compensating bre )
kom-
pensiert wird.
4.3 Nichtlineare Schrödingergleichung
Aufgrund des kleineren Faserquerschnitts sind die Leistungsdichten sehr hoch, so dass u.U. auch
nichtlineare Eekte berücksichtigt werden müssen. Gl. (58) wird dazu erweitert einmal um einen Term,
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der die Dämpfung
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in der Faser beschreibt sowie eine nichtlineare Phasenverschiebung (Kerr-Eekt).
Es ergibt sich dann die sog.
wobei die
nichtlineare Schrödingergleichung :
@A(z; t ) 2 @ 2 A(z; t )
A(z; t ) j j A j2 A(z; t );
@z = j 2 @t 2
nichtlineare Phasenverschiebung durch den Parameter beschrieben
Quarzglasfaser den Wert
annimmt.
Aef f
ONT/20
1:31 80 µm2
= W km A
e
bezeichnet die eektive wirksame Fläche der
dardfaser typischerweise den Wert
für
Ae = 80
µm2
Z
(72)
wird, der bei einer
(73)
LP01 -Grundwelle,
die bei einer Stan-
aufweist. Die nichtlineare Phasenverschiebung kann
P (z ) dz 1
(74)
vernachlässigt werden, wobei das Integral in Gl. (74) über die gesamte Faserstrecke (einschlieÿlich der
optischen Verstärker) zu erstrecken ist. So spielt die nichtlineare Phasenverschiebung für
und eine Streckenlänge
P (z ) 1 mW
L = 100 km beispielsweise noch keine Rolle, für L = 1000 km jedoch muss
sie mit berücksichtigt werden. Die nichtlineare Phasenverschiebung in Gl. (72) führt insbesondere zu
folgenden Eekten:
1. Selbstphasenmodulation
Aufgrund der intensitätsabhängigen Phasenverschiebung des Kerr-Eekts wird die Phase des
Signals selbst moduliert, was unter Umständen zu einer erheblichen spektralen Verbreiterung
führen kann.
2. Kreuzphasenmodulation
Bei einem Wellenlängenmultiplexsystem wird die Phase eines Kanals auch durch die Intensitätsschwankungen der Nachbarkanäle moduliert. Dies führt zu einem Übersprechen zwischen den
verschiedenen Kanälen.
3. Vierwellenmischung
3 vorhandenen Signalen der optischen Frequenzen !i , !j , !k ergibt sich z.B. ein viertes Signal
bei der Frequenz !i (!j
!k ). Auch dies führt zu einem Übersprechen zwischen verschiedenen
Bei
Kanälen.
Eine Analyse der Signalausbreitung mit den obigen Eekten ist im Allgemeinen nur durch numerische
Auswertung von Gl. (72) möglich. Wichtig ist dabei auch die Gröÿe der chromatischen Dispersion. Im
allgemeinen ist es vorteilhaft, wenn die lokale Dispersion
j2(z )j
möglichst groÿ ist.
5 Ausblick
Moderne optische Übertragungssysteme übertragen die Datensignale in der Regel nicht nur bei einer,
sondern bei vielen Wellenlängen parallel über eine Glasfaser. Ein derartiges
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1 : : : N -Übertragungssystem
Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
YOSHIKANE AND MORITA: 1.14 b/s/Hz SPECTRALLY EFFICIENT 50
Data
In
XMTR
In
XMTR
In
XMTR
l1
l2
lN
O
O
M
U
X
OA
ONT/21
85.4-Gb/s TRANSMISSION OVER 300 km
D
M
U
X
OA
OA
l A ~90-150km
Er-Doped Fiber
l 1,l 2... lN
113
l1
l2
lN
RCVR
Data
Out
RCVR
Out
RCVR
Out
Fig. 10.
-factor and OSNR after 300-km transmission. (Open circles:
In-phase component; filled dots: Quadrature component).
Small-Signal
...l N
l 1in,la2single
tically
polarization and leads to 4-Tb/s capacity trans35 nm
mission with only the 27.6-nm bandwidth.
S P ~ N mW
0
S Pi ~ N m W
Pump laser (0.98 m m)
Gain
Hochfrequenztechnik I
Saturated
ACKNOWLEDGMENT
The authors would like to thank T. Asami, M. Suzuki, Y.
Nagao, and N. Edagawa of KDDI R&D Laboratories for their
l
continued encouragement.
1550nm
REFERENCES
Abb. 17: WDM-Übertragungssystem mit Faserverstärkern.
[1] T. Ito, T. Ono, Y. Yano, K. Fukuchi, H. Yamazaki, M. Yamaguchi, and
K. Emura, “Feasibility study on over 1 bit/s/Hz high spectral efficiency
WDM with optical duobinary coding and polarization interleave multiplexing,” in Proc. 1997 Optical Fiber Conf. (OFC’97), Dallas, TX, 1997,
Paper TuJ1, pp. 43–45.
[2]17
H. Sotobayashi,
W.Die
Chujo,einzelnen
and K. Kitayama,
“1.6 bit/s/Hz, 6.4 Tbit/s
(WDM ) ist in Abb.
skizziert.
Wellenlängenkanäle
OCDM/WDM (4 OCDM 40 WDM 40 Gbit/s) transmission experiment,”
in Proc. ECOC 2001, Amsterdam,
The Netherlands,
Sep. 2001,
zusammengeführt.
Im sog.
optischen
Ver1
N werden zunächst in einem Multiplexer (MUX)
PD.M.1.3, pp. 6–7.
[3] S. Bigo, Y. Frignac,
G. Charlet,
W. Idler, S. Borne,
H. Gross, R. Dischler,
stärker (OA ) können diese Wellenlängenkanäle
dann
gemeinsam
verstärkt
werden,
W. Poehlmann, P. Tran, C. Simonneau, D. Bayart, G. Veith, A. Jourdan,
andBei
J. P. Hamaide,
“10.2 Tbit/s
(256 42.7 Gbit/s PDM/WDM)werden
transum dann in der Übertragungsfaser übertragen zu werden.
sehr groÿen
Übertragungslängen
mission over 100 km TeraLight™ fiber with 1.28 bit/s/Hz spectral efficiency,” presented at the 2001 Optical Fiber Conf. (OFC’01), Anaheim,
entlang der Strecke weitere optische Verstärker eingefügt. Auf diese Weise können Strecken bis zu
CA, Mar. 2001, PD25-1.
[4] C. Davidson, L. Liu, A. Lucero, B. Bakhshi, P. Corbett, H. Zhang, Y.
mehreren
km überbrückt werden (z.B. Trans-Antlantik, Trans-Pazik).
Cai, M. Nissov, A. Pilipetskii, and N. Bergano, “Polarization tracking
receiver demonstration over transoceanic distance,” in Proc. 2003 OpDie optischen Verstärker bestehen z.B. aus Er-dotierten
die optisch
gepumpt
werden
und
ticalFasern,
Fiber Conf. (OFC’03),
Atlanta, GA,
Mar. 2003, TuF3,
pp. 179–180.
YOSHIKANE
ANDSignal
MORITA:
1.14 b/s/Hz
EFFICIENT
50 85.4-Gb/s
TRANSMISSION
OVER 300H.kmTaga, Y. Kurosawa, and K. Goto, “Transmission exper113
Fig. 8.
waveforms
of SPECTRALLY
ch26 after 300-km
transmission.
(a) Before
[5] Y. Yamada,
eine
Verstärkung
z.B.
zwischen
nm und
nmspectral
ermöglichen.
MZDI,
(b) constructive port,
(c) destructive
port, and0(d) after double-balanced
0 iment of 106%
efficiency over 2276 km utilizing polarization
receiver.
and sideband interleaved VSB (PSI-VSB),” in Proc. ECOC 2003, Rimini, Italy, Sep. 2003, Th2.3.2, pp. 964–965.
[6] C. Wree, N. Hecker-Denschlag, E. Gottwald, P. Krummrich, J. Leibrich, E. Schmidt, B. Lankl, and W. Rosenkranz, “High spectral efficiency
1.6-b/s/Hz transmission (8 40-Gb/s with a 25-GHz Grid) over 200-km
SSMF using RZ-DQPSK and polarization multiplexing,” IEEE Photon.
Technol. Lett., vol. 15, pp. 1303–1305, Sep. 2003.
[7] P. S. Cho, G. Harston, C. J. Kerr, A. S. Greenblatt, A. Kaplan, Y. Achiam,
G. Levy-Yurista, M. Margalit, Y. Gross, and J. B. Khurgin, “Investigation
of 2-b/s/Hz 40-Gb/s DWDM transmission over 4 100-km SMF-28
fiber using RZ-DQPSK and polarization multiplexing,” IEEE Photon.
Technol. Lett., vol. 16, pp. 656–658, Feb. 2004.
[8] Y. Zhu, K. Cordina, N. Jolley, R. Feced, H. Kee, R. Rickard, and A. Hadjifotiou, “1.6 bit/s/Hz orthogonally polarized CSRZ-DQPSK transmission of 8 40 Gbit/s over 320 km NDSF,” presented at the OFC 2004,
Los Angeles, CA, Feb. 2004, TuF1.
[9] T. Ito, K. Fukuchi, K. Sekiya, D. Ogasawara, R. Ohhira, and T. Ono, “6.4
Tb/s (160 40 Gb/s) WDM transmission experiment with 0.8 bit/s/Hz
spectral efficiency,” presented at the ECOC 2000, Munich, Germany,
Fig. 9. Optical spectrum after 300-km transmission (CW light).
Fig. 10. Sep.-factor
OSNR after 300-km transmission. (Open circles:
2000, and
PD1.1.
[10] component;
A. H. Gnauck,
G. dots:
Raybon,
S. Chandrasekhar,
J. Leuthold, C. Doerr, L.
Abb. 18: Optisches Spektrum (links) und Übertragungsqualität
der
einzelnen
Wellenlängenkanäle
In-phase
filled
Quadrature
component).
Stulz, and E. Burrows, “25 40-Gb/s copolarized DPSK transmission
EDFA repeaters. In this experiment, the optically prefiltered
12 100-km NZDF
50-GHz channel
(rechts) eines
Gb/s-WDM-Systems [aus: N.over
Yoshikane
and with
I. Morita,
spacing,” IEEE Photon.
RZ-DQPSK signal can improve the spectral efficiency drasTechnol. Lett., vol. 15, pp. 467–469, Mar. 2003.
:::
wavelength-division multiplexing
optical amplier
1000
= 1530
= 1565
50 85; 4
1:14 b/s/Hz Spectrally Ecient 50 85:4-Gb/s Transmission Over 300 km Using Copolarized RZ-DQPSK Signals,
tically in a single polarization and leads to 4-Tb/s capacity transJ. of Lightwave Technol., Vol. 23, No. 1, pp. 108114 (2005)].
mission with only the 27.6-nm bandwidth.
In diesem Wellenlängenbereich lassen sich bereits sehr viele Wellenlängenkanäle unterbringen. Als Bei-
ACKNOWLEDGMENT
The authors would like to thank T. Asami, M. Suzuki, Y.
Nagao, and N. Edagawa of KDDI R&D Laboratories for their
TU Berlin Prof. Dr.-Ing.
Petermann
continued K.
encouragement.
REFERENCES
Hochfrequenztechnik I
Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik
85; 4 Gb/s. Damit ist die
Machbarkeit der Übertragung von hohen Datenraten > 1 Tb/s (1 Tb=s = 1000 Gb=s) über Einmospiel zeigt Abb. 18 die Übertragung von
50
ONT/22
Wellenlängenkanälen mit je
denfasern gezeigt.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich
S/1
1 Harmonische Signale
Zeitabhängige Gröÿen, wie z. B. Spannung, Strom oder Feld, sind häug harmonische Gröÿen. Solche
sinus- oder kosinusförmigen Signale lassen sich auch durch komplexe Zeiger darstellen. Ein harmonisches Spannungssignal lässt sich beispielsweise folgendermaÿen schreiben:
u (t ) = U0 cos(!t + ') = <(U exp(j!t ))
(1)
U = U0 exp(j')
(2)
mit dem komplexen Zeiger
Sind die zu untersuchenden Signale nicht harmonisch, so lassen sich diese durch eine Überlagerung
mehrerer harmonischer Signale gemäÿ der Fourieranalyse darstellen.
2 Periodische, nicht harmonische Signale
Periodische Signale wiederholen sich nach einer bestimmten Zeit, der Periode
u (t ) = u (t )
(3)
Ein Beispiel für ein derartiges Signal zeigt Abb. 1. Solche Signale lassen sich in Form einer Fourierreihe
darstellen:
u (t ) =
Hierbei sind die Koezienten
von Gl. (4) mit
exp(
=2
Z
U
1
+
X
=
1
U exp(j !0 t )
!0 =
mit
2
(4)
die zunächst unbekannten Fourierkoezienten. Nach Multiplikation
j!0 t ) und anschlieÿender Integration von t = =2 bis t = =2 ergibt sich:
u (t ) exp( j!0 t ) dt =
=2
1
+
X
=
1
U
=2
Z
)!0 t ) dt = U exp(j (
=2
|
{z
6= = für = =0
(5)
}
für
aus Gl. (5) folgt
U =
Für reelle Signale
1
=2
Z
u (t ) exp( j!0 t ) dt
(6)
=2
u (t ) folgt aus Gl. (6), dass U = U v , so dass man auch schreiben kann:

1
X
u (t ) = < 
=1
2U exp(j!0 t )
Für ein harmonisches Signal wie in Gl. (1) verbleibt nur
U


+ U0
(7)

mit
= 1, so dass dann U = 2U 1
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
gilt.
Hochfrequenztechnik I
Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich
S/2
u(t)
t
τ
Abb. 1: Beispiel eines periodischen, nicht harmonischen Signals.
3 Nichtperiodische Signale
Ist das Signal nichtperiodisch, wie z. B. ein einzelner Puls mit der Zeitabhängigkeit
u (t ),
kann man
ähnlich vorgehen wie in Abschnitt 2, allerdings mit der Annahme, dass die Periode des Signals
unendlich geht:
! 1; !0 ! d! ) = d2!
Wenn man diese Beziehungen nun in Gl. (4) einsetzt mit
und
! = d! erhält man:
u (t ) =
wobei
Z1
1
2
1
U (j!) = U bzw.
U
=
U (j!) exp(j!t ) d!;
gegen
U (j!) d!=2
(8)
U (j!) die Fouriertransformierte von u (t ), U (j!) = F [u (t )], darstellt und sich analog zu Gl. (6)
berechnet:
U (j!) = F [u (t )] =
Z1
1
u (t ) exp( j!t ) dt
(9)
Formal kann man schreiben:
u (t )
wobei
d
t
U (j!);
U (j!) auch als Fourierspektrum oder Spektraldichte
von
(10)
u (t ) bezeichnet wird.
4 Eigenschaften der Fouriertransformierten
Die Fouriertransformierte existiert für
+
Z
1
1
ju (t )j dt < 1
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(11)
Hochfrequenztechnik I
Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich
S/3
Diese Bedingung ist hinreichend, jedoch nicht notwendig. Eine weitere Bedingung ist
1
+
Z
1
was eine endliche Energie des Signals
ju (t )j2 dt < 1;
(12)
u (t ) impliziert.
Die Fouriertransformation ist der Laplace-Transformation ähnlich:
Z1
L[u (t )] = u (t ) exp( s t ) dt
mit
s = + j!
(13)
0
Im Gegensatz zur Fouriertransformation berücksichtigt die Laplace-Transformation das Signal nur für
positive Zeitpunkte
t 0, konvergiert aber wegen > 0 unter weniger einschränkenden Bedingungen.
Beide Transformationen werden in der Hochfrequenztechnik verwendet:
Laplace-Transformation ist zweckmäÿig für die Berechnung von Einschaltvorgängen.
Fouriertransformation ist zweckmäÿig für Signale, die für negative Zeitpunkte
t < 0 nicht verschwin-
den.
Wir wollen im Folgenden nur die Fouriertransformation betrachten. Wenn das Signal die Bedingungen
u (t ) oder im Frequenzbereich als U (j!)
Gl. (11) und (12) erfüllt, ist es wahlweise im Zeitbereich als
darstellbar. Dann gelten u. a. folgende Beziehungen:
Linearität
u (t )
v (t )
d
t
d
t
U (j!)
V (j!)
Maÿstabsänderung
) a u (t ) + b v (t )
d
=
u (a t )
t
d
!
U j
jaj a
1
d
t
t
mit
a U (j!) + b V (j!)
a 2 R; a 6= 0
(14)
(15)
zeitliche Verschiebung
u (t
t0 )
U (j!) exp( j!t0 )
(16)
U [j (! !0 )]
(17)
Frequenzverschiebung
u (t ) exp(j!0 t )
d
t
Amplitudenmodulation
u (t ) cos(!0 t )
Ableitung
d
d u (t )
dt
n-fache Ableitung
t 1 U [j (!
dn u (t )
dt n
2
d
d
t
!0 )] + U [j (! + !0 )]
j! U (j!)
t (j! )n
U (j!)
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(18)
(19)
(20)
Hochfrequenztechnik I
Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich
S/4
Unter Verwendung von Gl. (20) lässt sich eine Dierentialgleichung im Zeitbereich in eine algebraische
Gleichung im Frequenzbereich transformieren:
Ableitung im Frequenzbereich
t u (t )
Faltung
u (t ) v (t ) =
Hierbei beschreibt
Z1
1
j
t
d
u ( )v (t
d U (j! )
) d
(21)
d!
d
t
U (j!)V (j!)
(22)
das Symbol für die Faltung. Gl. (22) lässt sich durch direkte Anwendung
der Denition der Fouriertransformation beweisen:
F [u (t ) v (t )] =
Z1
1



Z1
1

u ( )v (t
) d  exp( j!t ) dt
Nach Vertauschung der Reihenfolge der Integration erhält man:
F [u (t ) v (t )] =
Z1
1



Z1
1

v (t
) exp( j!t ) dt  u ( ) d
bzw. dt 0 = dt :


Z1 Z1
F [u (t ) v (t )] =  v (t 0) exp( j!t 0) exp( j! ) dt 0 u ( ) d
1 1

 

Z1
Z1

=
v (t 0 ) exp( j!t 0 ) dt 0   u ( ) exp( j! ) d 
1
1
Nun substituiert man
t0 = t
|
=
} |
{z
V (j!)
{z
U (j!)
V (j!) U (j!)
}
5 Autokorrelationsfunktion (AKF)
Die Autokorrelationsfunktion beschreibt die Korrelation zwischen dem Signal zum Zeitpunkt
0
und zum Zeitpunkt t = t0
=
t , ausgedrückt durch das Produkt u ( ) u ( t ).
Bei starker Korrelation ist u ( ) u (
t ) u 2 ( ) u 2 ( t ), bei geringer Korrelation verschwindet
u ( ) u ( t ) im Mittel. Die Korrelation ist abhängig von t .
Die Autokorrelationsfunktion ist folgendermaÿen deniert:
Z1
u ( ) u (
1
= u (t ) u ( t )
Ru ( t ) =
t ) d
d
t
(23)
U (j!)U ( j!) = |jU ({z
j!)j2}
für reelles u (t )
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(24)
Hochfrequenztechnik I
Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich
S/5
Die Fouriertransformierte der AKF entspricht somit der spektralen Energiedichte des Signals
t = 0:
Z1
u 2 ( ) d
1
u (t ). Aus
Gl. (8) und (24) folgt für
Ru (t = 0) =
Gl. (25) entspricht dem
Die Gesamtenergie
R
2
Z1
1
jU (j!)j d! =
2
Z1
1
jU (j!)j2 df
mit
f
=
!
2
(25)
Parsevalschen Theorem.
u (t ) dt
2
=
1
eines Signals lässt sich somit sowohl im Zeitbereich als auch im Fre-
quenzbereich darstellen. Daher bezeichnet man
jU (j!)j2
auch als spektrale Energiedichte .
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Lineare, zeitinvariante elektronische Netzwerke
L/1
1 Vorbetrachtung: Linearität und Zeitinvarianz
Hochfrequente Signale sollen mit Hilfe von elektronischen Schaltungen verstärkt werden. Für die kompakte Beschreibung der Signale in solchen Schaltungen eignen sich lineare, zeitinvariante Netzwerke.
Wir wollen zunächst die Eigenschaften der Linearität und der Zeitinvarianz betrachten und die sich
daraus ergebenen Konsequenzen beleuchten.
b(t)
a(t)
Abb. 1: Allgemeine Darstellung eines Zweitors.
Allgemein lässt sich eine Schaltung als ein Zweitor annehmen, in das die Eingangsgröÿe a(t ) hineingeht
und aus dem die Ausgangsgröÿe b(t ) herauskommt:
a(t ) =) b(t )
Ein Netzwerk ist
linear,
(1)
wenn für beliebige a1 (t ) und b1 (t ) aus
a1 (t ) =) b1 (t )
a2 (t ) =) b2 (t )
folgt, dass
c1 a1 (t ) c2 a2 (t )
=)
c1 b1 (t ) c2 b2 (t )
(2)
mit beliebigen Konstanten c1 und c2 .
Ein lineares System kann dann angenommen werden, wenn a1 (t ) und b1 (t ) genügend klein sind und
die Übertragungskennlinie des Systems um den Arbeitspunkt herum linearisiert werden kann (Kleinsignalverstärkung).
Es werden zunächst nur zeitinvariante Netzwerke betrachte, d. h. aus
a(t ) =) b(t )
folgt dann
a(t
) =) b(t
)
(3)
Mit Gl. (2) und (3) gilt ebenfalls, dass aus
a(t ) =) b(t )
auch
folgt.
d a(t ) =) d b(t )
dt
dt
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(4)
Hochfrequenztechnik I
Lineare, zeitinvariante elektronische Netzwerke
L/2
Gl. (4) ist sofort ersichtlich aus folgendem Zusammenhang:
d a(t ) = a(t + dt )
dt
dt
a(t )
=) b(t + ddtt)
Wenn wir als Eingangsgröÿe ein harmonisches Signal mit a(t )
daraus:
a(t ) =
1 d2 a(t ) =) b(t ) =
! 2 dt 2
b(t )
=<
= d bd(tt )
(5)
A exp(j!t ) annehmen, folgt
1 d2 b(t )
! 2 dt 2
(6)
Die Dierentialgleichung für b(t ) führt damit wieder auf ein harmonisches Signal
b(t ) = < B exp(j!t ) ;
(7)
weshalb sich eine Übertragungsfunktion G (j! ) im Frequenzbereich denieren lässt
G (j! ) =
B
A
(8)
und die Übertragungseigenschaften eines linearen, zeitinvarianten Netzwerkes im Frequenzbereich mit
Hilfe der Fourieranalyse betrachtet werden können:
a(t )
b(t )
d
d
t A(j! )
t B (j! )
Für die Übertragungsfunktion ergibt sich somit
G (j! ) =
B (j! )
A(j! )
(9)
2 Zweitor- und Vierpoldarstellung
Bisher wurden allgemeine Eingangs- und Ausgangsgröÿen betrachtet. Nun wollen wir an Ein- und
Ausgang Spannungen und Ströme annehmen.
Ströme I und Spannungen U setzen sich im Allgemeinen zusammen aus einem Gleich- und einem
Wechselanteil:
I (t ) = I0 + i (t )
U (t ) = U0 + u (t )
(10)
(11)
Solange i (t ) und u (t ) genügend klein sind, kann man einen linearen Zusammenhang zwischen beiden
Gröÿen annehmen (Linearisierung der Kennlinie um den Arbeitspunkt U0 , I0 ).
Da wir im Folgenden nur die Wechselanteile betrachten wollen, beschreiben wir diese Gröÿen mit den
komplexen Zeigern I und U wie in Abb. 2.
Harmonische Signale lassen sich direkt mit komplexen Zeigern beschreiben. Bei allgemeiner Zeitabhängigkeit entsprechen die Zeiger den Fouriertransformierten von Strom und Spannung. Für die
Beschreibung eines Zweitors mit Zeigern gibt es verschiedene Darstellungsformen, von denen einige
im Folgenden vergestellt werden sollen.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Lineare, zeitinvariante elektronische Netzwerke
I1
L/3
I2
U2
U1
Abb. 2: Beschreibung der Ein- und Ausgangsspannungen/-strömen mit komplexen Zeigern.
2.1 y-Parameter
Eine gängige Darstellungsform von Zweitoren sind die y-Parameter, bei denen die Ströme über eine
Leitwertmatrix mit den Spannungen verknüpft werden:
= y 11 U 1 + y 12 U 2
I 2 = y 21 U 1 + y 22 U 2
I1
(12)
Da bei einem Verstärker Ein- und Ausgang nicht vertauschbar sind, gilt y 12
also nicht reziprok.
Für einen guten Verstärker ist Folgendes erwünscht:
6= y 21. Der Verstärker ist
ˆ geringe Rückkopplung, also y 12 klein
ˆ hohe Verstärkung, also y 21 groÿ: jy 21 j jy 12 j
I1
U1
I2
1
y 11
y 12 U 2
y 21 U 1
1
y 22
U2
Abb. 3: Ersatzschaltbild für y-Parameter-Darstellung.
Die Leitwertmatrix in Gl. (12) lässt sich durch ein Ersatzschaltbild gemäÿ Abb. 3 darstellen, wobei
sich die vier y-Parameter durch zwei einfache Messungen bestimmen lassen:
Es ergibt sich U 2 = 0, wodurch der Leitwert y 22 kurzgeschlossen wird
und die Rückwirkung y 12 unterdrückt wird. Das erlaubt die Bestimmung von y 11 und y 21 .
Kurzschluss am Ausgang:
Es ergibt sich U 1 = 0, wodurch der Leitwert y 11 kurzgeschlossen wird und
unterdrückt wird. Das erlaubt die Bestimmung von y 12 und y 22 .
Kurzschluss am Eingang:
die Verstärkung y 21
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Lineare, zeitinvariante elektronische Netzwerke
ZG
UG
I1
L/4
I2
U2
U1
ZL
Abb. 4: Beschaltung des Verstärkers mit Lastwiderstand Z L .
2.1.1 Gröÿe der Verstärkung
Gegeben sei ein Aufbau gemäÿ Abb. 4. Wir wollen die Gröÿe der Verstärkung des Zweitors beschreiben.
Dazu betrachten wir zunächst gemäÿ Abb. 5 die Wirkleistung, die von einem Generator an einen
Lastwiderstand Z abgegeben wird.
I
ZG
Z
UG
Abb. 5: Lastwiderstand Z an einem Generator mit Innenwiderstand Z G .
Die aufgenommene Wirkleistung in Z PE ergibt sich dann über die anteilig am Lastwiderstand Z abfallende Spannung und den Strom, der durch Generator- und Lastimpedanz Z G bzw. Z hindurchieÿt:
Z
1
I mit I = Z +U GZ
PE = < U G
2
Z + ZG
G
!
2
jU G j <(Z )
1
Z
PE = < jU G j2
=
2
2
jZ + Z G j
2 j Z + Z G j2
!
(13)
Die aufgenommene Wirkleistung PE wird maximal für Z = Z . Man spricht dann von Leistungsanpassung. Im Falle der Leistungsanpassung kann man die maximal verfügbare Wirkleistung des
Generators PGm denieren:
jU G j2
PGm =
(14)
8<(Z G )
Wir wollen nun die Leistung am Ausgang des Verstärkers betrachten. Wir führen dazu PA und PAm
mit den folgenden Denitionen ein:
ˆ PA die an die Lastimpedanz Z L abgegebene Wirkleistung (nach Verstärkung)
ˆ PAm die maximal abgegebene Wirkleistung (bei Leistungsanpassung am Ausgang des Verstärkers)
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Hochfrequenztechnik I
Lineare, zeitinvariante elektronische Netzwerke
L/5
Mit diesen Denitionen lassen sich folgende Verstärkungen beschreiben:
G
= PPA
Gm
=
0
Gm
=
Gm
PAm
PGm
PAm
PE
(Übertragungsleistungsverstärkung) (15)
(verfügbare Leistungsverstärkung bei Anpassung am Ausgang) (16)
für PE
= PGm
(max. Leistungsverst. bei Anpassung an Ein- und Ausgang) (17)
wobei gilt:
0
Gm
> Gm > G
Für einen rückwirkungsfreien Vierpol
G
(y 12
(18)
= 0) gilt bei Leistungsanpassung an Ein- und Ausgang:
jy j2
= Gm0 = 4<(y 21)<(y )
11
22
(19)
2.2 h-Parameter
Eine andere Darstellungsform für Vierpole sind die Hybrid-Parameter (h-Parameter), bei denen die
Eingangsspannung U 1 und der Ausgangsstrom I 2 über Hybridparameter (in Form von Leitwerten und
Impedanzen) mit dem Eingangsstrom I 1 und der Ausgangsspannung U 2 verknüpft werden:
= h11 I 1 + h12 U 2
I 2 = h21 I 1 + h22 U 2
U1
(20)
Das dazu gehörende Ersatzschaltbild ist in Abb. 6 dargestellt.
I1
U1
I2
h11
h12 U 2
h21 I 1
1
h22
U2
Abb. 6: Ersatzschaltbild für h-Parameter-Darstellung.
Die Hybrid-Parameter-Darstellung wird bevorzugt bei niedrigeren Frequenzen verwendet, da bei höheren Frequenzen die beiden Parameter h12 und h22 schlecht messbar sind. Der Leerlauf am Eingang
(I 1 = 0) für die messtechnische Bestimmung der Parameter ist schlecht realisierbar.
2.3 S-Parameter
Abb 7 zeigt die Darstellung eines Zweitors mit Streu-Parametern (S-Parameter). Die Eingangs- und
Ausgangsgröÿen werden hier nicht wie bei y- und h-Parametern mittels Spannung und Strom
beschrieben, sondern in Form von normierten hinein- und herauslaufenden Wellenamplituden a bzw.
b. Diese normierten Wellenamplituden können unter Annahme einer Leitung mit Wellenwiderstand ZL
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Hochfrequenztechnik I
Lineare, zeitinvariante elektronische Netzwerke
L/6
Abb. 7: Vierpolbeschreibung mit S-Parametern.
mit Spannungen und Ströme verknüpft werden:
1
a=
2
1
b=
2
1 U
ZL I + p
Z
!
(21)
p
L
1 U
ZL I + p
Z
!
p
L
(22)
Die herauslaufenden Wellenamplituden an Ein- und Ausgang werden über eine Streumatrix mit den
hineinlaufenden Wellenamplituden verknüpft:
= S 11 a1 + S 12 a2
b2 = S 21 a1 + S 22 a2
b1
(23)
Die Bestimmung der einzelnen Streuparameter ist möglich mittels Messung der Wellenamplituden über
einen Richtkoppler, wie Abb. 8 zeigt.
Abb. 8: Messung der Wellenamplituden mit Richtkopplern.
S-Parameter werden im Allgemeinen bei sehr hohen Frequenzen verwendet (typischerweise f
1 GHz).
2.4 Maximale Leistungsverstärkung
0 , wie in Gl. (17) deniert, lässt sich auch durch S-Parameter
Die maximale Leistungsverstärkung Gm
ausdrücken. Unter der Annahme einer rückwirkungsfreien Vierpols (S 12 = 0) ergibt sich:
0
Gm
= 1 jS jjS2 211j jS j2 11
22
2
(24)
Diese Verstärkung lässt sich durch verlustfreie Anpassungsnetzwerke an Ein- und Ausgang erreichen,
so dass die Reexionen ein- und ausgangsseitig verschwinden.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Lineare, zeitinvariante elektronische Netzwerke
L/7
Tabelle 1: Zusammenhang zwischen y-, h- und S-Parametern folgende Abkürzungen werden verwendet: d = d 11 d 22 d 12 d 21 , sowie S 0 = 1+ ZL (y 11 + y 22 +y ZL ) und Z 0 = ZL (1+ S 11 + S 22 S )
y
h
1=h11
y 11
y 12
h21 =h11
y 22
h11
S 21
S 22
(1 + S 11
y 12 =y 11
y 21 =y 11
h11
S 12
S =h11
1=y 11
h11
S 11
S 11 + S 22
h12 =h11
y 21
h11
(1
(1
y =y 11
y 11 ZL + y 22 ZL
(1 + y 11 ZL
2y 12 ZL =S 0
2y 21 ZL =S 0
y 22 ZL
y ZL2 )=S 0
y ZL2 )=S 0
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S
2S 12 =Z 0
2S 21 =Z 0
S 22
S )=Z 0
S )=Z 0
Hochfrequenztechnik I
Passive Komponenten der Hochfrequenztechnik
Passive Komponenten
der Hochfrequenztechnik
P/1
Wirkwiderstände
1 Wirkwiderstände
Die Realisierung eines Wirkwiderstandes wird immer durch
sitäre Kapazitäten und Induktivitäten beeinflußt. Um eine
Die Realisierung eines Wirkwiderstandes wird immer durch parasitäre Kapazitäten und Induktivitäten
stellung über die Größe der parasitären Elemente zu erhalte
beeinusst. Um eine Vorstellung über die Gröÿe der parasitären Elemente zu erhalten, wie man sie im
man sie im Idealfall erhält, wird ein Widerstand (z.B. Met
Idealfall
erhält,
wird ein Widerstand (z.B.
Metalllm
oderleitenden
Kohleschicht) über
einer leitenden
Ebene
oder
Kohleschicht)
über
einer
Ebene
betrachtet.
betrachtet.
[ ~
Bild 1
////7/7////////
Abb. 1: Wirkwiderstand
Aufgrund des Stromflusses
durch den Widerstand entstehe
gnetische Felder (führt zu einer parasitären Induktivitä
Felder
(führt entstehen
zu einer
parasitären
Aufelektrische
Gund des Stromusses
durch den Widerstand
magnetische
Felder (führt zu Kapazität),
einer pasichInduktivität)
der Wirkwiderstand
auszu einer
Bild
1 näherungsweise
fol
rasitären
und elektrische Felder (führt
parasitären
Kapazität), so dass sich durch
der
Ersatzschaltbild
beschreiben
läßt:
Wirkwiderstand aus Bild 1 näherungsweise durch das Ersatzschaltbild in Abb. 2 beschreiben lässt.
L
R
L
bzw.
~---
R
Bild 2
c
2: Hochfrequenz-Ersatzschaltbild eines Widerstands.
Wenn man Abb.
Frequenzen
w «
1/JLC betrachtet, zeigt der Wid
kapazitives Verhalten
für R > JL/C und induktives Verhalten
p
Wenn
man
Frequenzen
!die
1
= unteren
LC betrachtet,
zeigt der Widerstand
für R >
<
JL/C.
Um
Grenzen
für L kapazitives
und CVerhalten
abzuschätzen,
w
p
p
Widerstand
in Bild
als
kurze
mit der Länge
L=C
und induktives Verhalten
für R <1 L=C
. Umeine
die unteren
GrenzenLeitung
für L und C abzuschätzen,
dem
Leitungswellenwiderstand
Zo
aufgefaßt.
wird der Widerstand in Bild 1 als eine kurze Leitung mit der Länge l und dem Leitungswellenwiderstand
ZL
aufgefasst.
Der Induktivitätsbelag L' bzw. der Kapazitätsbelag C' ergib
bzw. der Kapazitätsbelag C ergibt sich als (Kapitel LEI):
als (HF I, LAbschnitt
LEI): p
Der Induktivitätsbelag
0
0
"
=
ZL r
L' = Zo J!r/ c
p"c0
r
C =
ZL c0
C' = J!r/(Zo . c)
L
0
0
"r
(1)
(2)
bezeichnet dabei die relative Dielektrizitätskonstante zwischen dem Widerstand und der leitenden
!r bezeichnet dabei die relative Dielektrizitätskonstante zw
ZL hängt vomund
Abstand des Widerstandes von der leitenden Fläche ab. Mit der
dem Widerstand
der leitenden Fläche in Bild 1. Zo hän
beispielhaften Annahme "r = 1, ZL = 300 ergibt sich
Abstand des Widerstandes von der leitenden Fläche ab. Mit de
spielhaften Annahme !rnH = 1, Zo = pF300 n ergibt sich
Fläche in Bild 1.
= 1 mm ; C = 0; 011 mm
C' = 0,011 pF/mm
nH/mm
L
0
L'
=
1
0
so daß sich bei
einer
Bauteillänge
I = 1 cm eine par
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K. Petermann
Induktivität L = L' . I = 10 nH ergeben würde. Diese par
Induktivität hat bei einer Frequenz von 1 GHz einen
widerstand von immerhin ungefähr 60 n. Aus Bild 2 würde sic
Hochfrequenztechnik I
Passive Komponenten der Hochfrequenztechnik
P/2
= 1 cm eine parasitäre Induktivität L = L l = 10 nH ergeben
würde. Diese parasitäre Induktivität hat bei einer Frequenz von 1 GHz einen Blindwiderstand von
immerhin ungefähr 60 . Aus Bild 2 würde sich eine parasitäre Kapazität C = C l=4 ergeben, was
allerdings unrealistisch kleine Werte ergibt. Erreichbar sind parasitäre Kapazitäten C 0; 1 : : : 0; 5 pF.
p
so dass sich bei einer Bauteillänge
l
0
0
Je mehr sich der gewünschte Widerstand
R
von
L=C
unterscheidet, desto schwieriger ist seine
Realisierung bei hohen Frequenzen. Widerstände in der Gröÿenordnung von
p
L=C
(typischerweise
R 50 ) lassen sich ohne gröÿere Probleme bis ca. 1 GHz realisieren, darüber hinaus geschieht die
Realisierung mit geeigneten verlustbehafteten Leitungselementen. Da allein ein Zuleitungsdraht eine
Induktivität von ca. 1 nH pro mm Zuleitungslänge bewirkt, sind Montagetechniken ohne Zuleitungsdrähte vorteilhaft (z.B. SMD Surface Mounting Device).
2 Kondensatoren
Auch Kondensatoren sind nicht ideal realisierbar. Auch hier ist (unter anderem) die unvermeidliche
Zuleitungsinduktivität zu berücksichtigen, so dass man statt des Kondensators eigentlich einen Serienschwingkreis erhält.
p
= 1=(2 LC ) = 50 MHz. Der Kon-
Beispiel: Ein Kondensator mit einer Kapazität von 1 nF und einer Zuleitungsinduktivität von 10 nH
(z.B. 10 mm Zuleitungsdraht) besitzt eine Resonanzfrequenz
fr
densator wirkt also nur unterhalb dieser Frequenz als Kapazität.
3 Induktivitäten
Wird eine Induktivität in Form einer Spule realisiert, so ist neben der Induktivität auch die Kapazität
zu berücksichtigen, die sich zwischen den einzelnen Windungen ergibt. Damit stellt eine Spule eigentlich einen Parallelschwingkreis dar. Die sich ergebende, unerwünschte Kapazität hängt stark von der
gewählten Wickeltechnik ab. Es ist besonders schädlich, wenn Leiter nach mehreren Windungen (oder
auch als Zuleitungen) eng benachbart verlaufen.
4 Piezoelektrische Resonatoren, insbesondere Schwingquarze
Bendet sich zwischen zwei Elektroden ein piezoelektrisches Material, können durch Anlegen einer
Wechselspannung an die Elektroden mechanische Schwingungen angeregt werden. Das bekannteste
Si02 ), deshalb auch die Bezeichnung
piezoelektrische Material für derartige Anwendungen ist Quarz (
Schwingquarz.
Im Allgemeinen können verschiedene mechanische Schwingungen mit ihrer jeweiligen Resonanzfrequenz angeregt werden. Verschiedene Schwingungsformen sind dabei denkbar, z.B. Biegeschwingungen, Längsschwingungen, Flächenscherschwingungen, Dickenscherschwingungen.
Für Schwingquarze mit höheren Schwingfrequenzen werden die Dickenscherschwingungen ausgenutzt.
Für die Grundwelle entspricht dann
d
in Bild 3 ungefähr der halben akustischen Wellenlänge, so dass
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Hochfrequenztechnik I
Passive Komponenten der Hochfrequenztechnik
P/3
Abb. 3: Schwingquarz.
die Schwingfrequenz gegeben ist gemäÿ:
fr
a
nv
2d
mit der akustischen Ausbreitungsgeschwindigkeit
va
für den betrachteten Schwingungszustand (
(3)
va 3000 : : : 5000 m/s) und n = 1 für die Grundwelle. Eine Dicke von nur d = 100 m führt damit zu
(n = 1):
fr 15 25 MHz
Ein Quarz, der auf der Frequenz fr mit n = 1 schwingt, wird auch als Grundwellenquarz bezeichnet.
Für höhere Frequenzen nutzt man die Schwingungen höherer Ordnung n , z. B. n = 3 oder n = 5, aus
(Oberwellenquarz).
Im Allgemeinen treten bei einem Quarz mehrere Resonanzfrequenzen auf. In der Nähe einer Resonanzfrequenz lässt sich ein Ersatzschaltbild gemäÿ Abb. 4 angeben.
Abb. 4: Ersatzschaltbild eines Schwingquarzes.
C0 stellt dabei die statische Kapazität dar, die allein auf Grund des Dielektrikums zwischen den Elektroden entsteht. Die mechanische Resonanz wird ausgedrückt durch den Serienschwingkreis, bestehend
aus
L 1 , C1
und
R1 . Die konkreten Gröÿen der Elemente erhält man durch eine Impedanzmessung in
der Nähe der Resonanzfrequenz und nachfolgendem Vergleich mit dem Ersatzschaltbild derart, dass
die gemessene Impedanz durch das Ersatzschaltbild (Bild 4) möglichst gut wiedergegeben wird.
Typische Ersatzgröÿen
R1 , C1
sind der folgenden Tabelle zu entnehmen (Zinke-Brunswig, Band 2):
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Hochfrequenztechnik I
Passive Komponenten der Hochfrequenztechnik
Frequenzbereich
Schwingertyp
P/4
R1
C1
k
fF
in kHz
0,8 . . . 4
Duplexbiegeschwinger
750 . . . 250
250 . . . 50
4 . . . 15
X-Y-Biegeschwinger
200 . . . 80
50 . . . 15
15 . . . 50
H-Biegeschwinger
20 . . . 8
35 . . . 20
50 . . . 200
X-Längsscherschwinger
4
60 . . . 30
200 . . . 800
Flächenscherschwinger
1 ...5
30 . . . 7
800 . . . 30.000
AT-Dickenscherschwinger
0,1 . . . 0,5
8 . . . 20
(Grundton)
Die Ersatzinduktivität
100
L1
ergibt sich dann mit
f
p
= 1=(2 L1 C1 ) zu sehr groÿen Werten zwischen
H und 10000 H. Mit Schwingquarzen lassen sich sehr hohe Güten
Q=
p
erzielen. Weiterhin ist die Resonanzfrequenz
L1 =C1
R1
fr
104 : : : 106
(4)
sehr temperaturstabil, so dass sich mit Schwingquarzen
hochgenaue Oszillatoren realisieren lassen. Die statische Kapazität
C0 liegt typischerweise im Bereich
C0 10 : : : 100 pF, so dass sich ein Verhältnis C0 =C1 100 : : : 1000 ergibt.
Wenn man die Admittanz des Schwingquarzes gemäÿ Bild 4 für den vereinfachten Fall mit
darstellt, ergibt sich für die Admittanz
Y:
R1
=0
= jB = j!C0 + j!L + 11=(j!C ) = j!C0 !p2 !2
(5)
1
1
r
2
mit der Serienresonanzfrequenz !r mit !r = 1=(L1 C1 ) und der Parallelresonanzfrequenz !p (auch
2
2
Antiresonanzfrequenz) mit !p = !r (1 + C1 =C0 ). Schematisch lässt sich dann der Blindleitwert B wie
Y
!2
!2
in Abb. 5 darstellen.
Abb. 5: Frequenzverhalten des Blindwiderstands eines Schwingquarzes.
Der Schwingquarz ist damit induktiv nur in dem kleinen Frequenzintervall zwischen
sten ist er kapazitiv.
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!r
und
!p , anson-
Hochfrequenztechnik I
Passive Komponenten der Hochfrequenztechnik
P/5
5 Transformatoren
Wenn Impedanzen bei Frequenzen
f
1
GHz breitbandig transformiert werden sollen, werden auch in
der Hochfrequenztechnik Wicklungstransformatoren eingesetzt (s. Abb. 6).
Abb. 6: Wicklungstransformator.
L1
und
L2
sind dabei die jeweiligen Eigeninduktivitäten und
p
M = k L1 L2
ist die Gegeninduktivität
k 1. k bezeichnet die Überlappung der magnetischen Flüsse von Primär- und Sekundärwicklung,
wobei k = 1 einer vollständigen Überlappung der magnetischen Flüsse entspricht.
mit
Der Transformator in Bild 6 kann durch die folgenden Zweitorgleichungen beschrieben werden:
U 1 = j!L1 I 1 + j!MI 2
U 2 = j!MI 1 + j!L2 I 2
(6)
(7)
In den Gl. (6) und (7) wird der Transformator als verlustfrei angenommen. Statt Bild 6 ist für den
Transformator auch ein Ersatzschaltbild gemäÿ Abb. 7 möglich:
Abb. 7: Alternatives Ersatzschaltbild eines Transformators.
Bei diesem Ersatzschaltbild ist ein idealer Übertrager eingefügt, bei dem Strom und Spannung in idealer
Weise nach Maÿgabe des Übersetzungsverhältnisses
u =
p
L2 =L1
transformiert werden. Bei einem
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Hochfrequenztechnik I
Passive Komponenten der Hochfrequenztechnik
idealen Übertrager würde sich der Widerstand
Auf Grund der Eigeninduktivität
L2
P/6
RA am Ausgang zu RA =u2 am Eingang transformieren.
sowie den Streuinduktivitäten ergeben sich jedoch untere und
obere Frequenzgrenzen.
RA und L2 gegeben als !u = RA =L2 ,
während die obere Frequenzgrenze durch die Serienschaltung von RA mit 2(1
k )L2 gegeben ist als
!0 = RA =[2(1 k )L2 ]. Eine Transformation von RA zu RA =t ndet damit nur für Frequenzen w mit
Die untere Frequenzgrenze ist auf Grund der Parallelschaltung von
RA
L2
= !u ! !o = 2(1 RAk )L
(8)
2
statt.
Für eine geringe untere Grenzfrequenz
!u
sollte also
während für eine hohe obere Grenzfrequenz
!0
L2
(und damit auch
L1 )
möglichst groÿ sein,
eine möglichst hohe Flussüberlappung (entspricht
1). Für Transformatoren
mit geschlossenem Eisen- oder Ferritkern lässt sich eine gute Flussüberlappung mit (1
k ) < 0; 01
geringem Streufaktor) angestrebt werden sollte (d.h.
k
möglichst nahe an
erreichen.
Abb. 8: Impedanztransformation mit konzentrierten Bauelementen.
Eine schmalbandige Impedanztransformation ist auch möglich mit Leitungen oder mit konzentrierten
L- oder C-Elementen, siehe z. B. Bild 8. Hier ergibt sich für ein gewünschtes Transformationsverhältnis
t = RE =RA < 1:
1
!C =
R
A
s
1 t ; !L = R qt (1 t )
A
t
(9)
6 Leitungsübertrager
Leitungsübertrager stellen eine spezielle Form von Wicklungstransformatoren dar. Sie werden beispielsweise als Symmetrierglieder eingesetzt. Um die Problematik der Symmetrierung zu verstehen, sei Bild
9 betrachtet.
Wir haben in Bild 9 einen Generator mit (bezüglich Masse) unsymmetrischem Ausgang, der über eine
Leitung mit einer (bezüglich Masse) symmetrischen Last verbunden ist. Normalerweise erwartet man,
dass Hin- und Rückstrom
I1
bzw.
einer Unsymmetrie, da ein Strom
I2
auf der Leitung gleich groÿ sind, aber in Bild 9 kommt es zu
I 0 = I 1 I 2 über die Masseleitung zurückieÿt. Dieser Strom I 0 ist
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Hochfrequenztechnik I
Passive Komponenten der Hochfrequenztechnik
P/7
Abb. 9: Leitungsübertrager.
im Allgemeinen unerwünscht, da er zu einem Ringstrom führt und so faktisch einer Rahmenantenne
entspricht. Damit würde die Anordnung in Bild 9 zu einer unerwünschten elektromagnetischen Abstrahlung oder auch zu einem unerwünschten Empfang von Störstrahlung führen. Um diese Probleme
der sogenannten Elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV) zu reduzieren, sollte der Strom
I0
so
klein wie möglich sein. Zu diesem Zweck werden Symmetrierglieder eingesetzt. Mit dem Prinzip eines
Wicklungstransformators sind breitbandige Symmetrierglieder möglich, z. B. lässt sich die Anordnung
von Abb. 9 wie in Abb. 10 dargestellt symmetrieren.
Abb. 10: Symmetrierter Leitungsübertrager.
Der Transformator wird durch
L
= L1 = L2 = M
charakterisiert (Übersetzungsverhältnis
u
= 1,
= 1). Wenn man in Bild 10 die Umlaufspannung für den oberen Leiter bildet,
erhält man mit der Annahme l 0 =4:
Flussüberlappung
k
U
0
= j!L(I 1 I 2 ) + I 1 Z2L
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(10)
Hochfrequenztechnik I
Passive Komponenten der Hochfrequenztechnik
P/8
Für den Spannungsumlauf mit dem unteren Leiter ergibt sich:
0 = j!L(I 1 I 2 ) I 2 Z2L
(11)
Wenn man die Summe der Gl. (10) und (11) bildet und nach dem Dierenzstrom
ergibt sich
I0 = I1
I2 =
U
I 0 = I 1 I 2 auöst,
0
2j!L + ZL =2
Die Symmetrierung ist damit um so besser, je gröÿer die Eigeninduktivität
(12)
L
ist. Um die Leitungs-
eigenschaften bei der Übertragung von Tor 1 zum Tor 2 möglichst wenig zu beeinträchtigen, ist es
zweckmäÿig, den Wicklungstransformator direkt mit der Leitung zu wickeln (Leitungsübertrager, siehe
Abb. 11).
Abb. 11: Wicklungstransformator.
In Bild 11a wird die Leitung einfach durch einen Ferritkern geführt, während in Bild 11b zur Erhöhung
der Eigeninduktivität die Leitung mehrfach um einen Ferritring gewickelt wird.
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Hochfrequenztechnik I
Halbleiterdioden
HLD/1
Aus der Vorlesung Werkstoe und Bauelemente der Elektrotechnik sind pn- und pin-Dioden bekannt. Daneben sind für die Hochfrequenztechnik auch Schottky-Dioden von Bedeutung, die aus
einem Metall-Halbleiter-Übergang bestehen.
1 Schottky-Dioden
Schottky-Dioden sind ausführlich dargestellt z. B. in S. M. Sze, Physics of semiconductor devices, J.
rd
Wiley, New York, 3
edition 2006.
Die Eigenschaften eines Metall-Halbleiterkontaktes sind durch folgende Eekte gekennzeichnet:
ˆ
Oberächenladungen an der Halbleiteroberäche
ˆ
unterschiedliche Elektronen-Austrittsenergien für Metall und Halbleiter
Wenn man zunächst annimmt, dass Metall und Halbleiter einen kleinen Abstand
sen, ergibt sich im thermodynamischen Gleichgewicht (Ferminiveau
WF
d voneinander aufwei-
konstant) ein Bändermodell
(W-Energie) nach Abb. 1.
Abb. 1: Bändermodell des Metalls und des Halbleiters mit Abstand
W
d
voneinander.
bezeichnet dabei die Austrittsenergie (auch bezeichnet als Austrittsarbeit), die ein Elektron besitzen
muss, um aus dem Metall austreten zu können.
Abb. 2: Bändermodell der Schottky-Diode ohne angelegte Spannung.
Für einen Metall-Halbleiterkontakt wird der Abstand
d
= 0, und es ergeben sich für einen n- bzw.
p-Halbleiter im thermodynamischen Gleichgewicht die Bändermodelle nach Abb. 2.
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Hochfrequenztechnik I
Halbleiterdioden
HLD/2
Der Verlauf der Energiebänder im Halbleiter ist ähnlich dem Energiebandverlauf in einem pn-Übergang,
was dazu führt, dass Metall-Halbleiter-Übergänge auch eine Diodenkennlinie aufweisen. Für die meisten
Metall-Halbleiterübergänge (zumindest bei Si) ist die Schottky-Barriere für Elektronen
als die für Löcher
e 'Bp
e 'Bn
höher
(e-Elementarladung). Aus diesem Grund und auch wegen der höheren
Elektronenbeweglichkeit bestehen Schottky-Dioden überwiegend aus einem Übergang zwischen Metall
und n-Halbleiter. Eine derartige Schottky-Diode wird im Folgenden näher betrachtet. Während Bild
2a den Energiebandverlauf im thermodynamischen Gleichgewicht (ohne angelegte Spannung) zeigt,
ergeben sich in Sperr-bzw. Durchlassrichtung Bänder wie in Abb. 3.
Abb. 3: Bändermodell der Schottky-Diode in Sperrrichtung.
Die im spannungslosen Zustand (Abb. 2a) vorhandene Bandaufwölbung im Halbleiter von
e UD
wird
U < 0 (Bild 3) erhöht. Für einen Stromuss müssen die Elektronen
im Metall erst die Schottky-Barriere e 'Bn überwinden. Ist diese Schottky-Barriere genügend hoch,
bei Anlegen einer Sperrspannung
kann nur ein sehr kleiner Sperrstrom ieÿen.
Abb. 4: Bändermodell der Schottky-Diode in Flussrichtung.
In Flussrichtung (Abb. 4) wird die Barriere für Elektronen vom Halbleiter aus abgebaut, und es kann
ein Elektronenstrom ieÿen. Die Strom-Spannungs-Kennlinie ergibt sich näherungsweise ähnlich wie
bei einer pn-Diode:

I = I0 exp
mit dem Idealitätsfaktor
U
nUT
!

1
n 1 und der Temperaturspannung
kT
UT = :
e
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(1)
(2)
Hochfrequenztechnik I
Hierbei stehen
k
Halbleiterdioden
für Boltzmann-Ronstante,
T
HLD/3
für die absolute Temperatur,
UT = 25 mV bei Raumtemperatur T = 290 K).
I0 ergibt sich ähnlich wie bei einer Elektronenemission
mit der Energiebarriere e 'Bn zu
e für die Elementarladung
(
vom Metall ins Vakuum (Richardson Gesetz)
I0 = C AT 2 exp
mit der Diodenäche
'Bn
UT
!
(3)
A und der modizierten Richardson-Konstante C 110 A=cm2 K2
für n-Si.
Der Vorteil von Schottky-Dioden besteht darin, dass praktisch kein Minoritätsträgerstrom ieÿt (wenn
die Dotierung des n-Halbleiters nicht zu gering ist) und auch in Flussrichtung (Bild 4) im Gegensatz zur
pn-Diode keine Ladungsträgerspeicherung (und damit keine Diusionskapazität) auftritt. Die gemäÿ
Bild 4 in das Metall injizierten Elektronen relaxieren mit einer Zeitkonstante von nur
0; 1 : : : 1 ps, so
dass eventuell damit verbundene Ladungsspeichereekte vernachlässigt werden können.
1.1 Ersatzschaltbild einer Schottky-Diode
Auf Grund der fehlenden Diusionskapazität haben Schottky-Dioden auch in Flussrichtung ein fast
ideales resistives Verhalten und können als Varistoren (steuerbare Widerstände) eingesetzt werden.
Bei einer Wechselstromaussteuerung um den Arbeitspunkt
U1 , I1
herum
U = U1 + d U
I = I1 + d I
(4)
(5)
rD = dU= dI mit Gl. (1):
I1 + I0
mit
n 1;
n UT
ergibt sich für den dierentiellen Diodenwiderstand
1 = dI =
rD dU
(6)
so dass sich durch Wahl einer geeigneten Vorspannung (bzw. Vorstrom) der dierentielle Widerstand
in weiten Grenzen (zum Beispiel
1 rD 1 M
) einstellen lässt.
Abb. 5: Ersatzschaltbild einer Schottky-Diode.
Praktisch sind noch die Sperrschichtkapazität
csp
und ein Serienwiderstand
RS
(wenige
durch Wi-
derstände in Halbleiterschichten und Kontaktwiderstände) zu berücksichtigen, so dass sich ein Kleinsignalersatzschaltbild einer Schottky-Diode nach Abb. 5 ergibt.
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Hochfrequenztechnik I
Halbleiterdioden
Die Güte einer Schottky-Diode wird durch die Zeitkonstante
mit kleinächigen Schottky-Dioden Werte von
HLD/4
= csp RS
charakterisiert, wobei sich
= 0; 1 : : : 1 ps erreichen lassen. Die Grenzfrequenz
derartiger Dioden liegt oberhalb einiger 100 GHz. Um die guten Hochfrequenzeigenschaften auch nach
dem Aufbau der Diode aufrechtzuerhalten, wird häug ein Aufbau als beam-lead-Diode gewählt (s.
Abb. 6).
Abb. 6: Gehäuselose Beam Lead-Schottky-Diode.
2 Ohm'sche Kontakte
Die meisten Halbleiter-Metall-Kontakte führen ideale Halbleitergrenzächen vorausgesetzt zu einer
Schottky-Barriere. Um trotzdem zu ohm'schen Kontakten zu gelangen, wird der Halbleiter an der
1020 cm
/ 1=p
Oberäche hoch dotiert (
3 ). Die in Abb. 2 zu erkennende Sperrschicht (Sperrschichtweite
Dotierung) wird dann sehr dünn, so dass ein Durchtunneln der Sperrschicht möglich wird und
der Metall-Halbleiterkontakt sich wie ein ohm'scher Kontakt verhält.
3 Varaktoren
Wird eine pn-Diode oder eine Schottky-Diode in Sperrrichtung betrieben, ergibt sich eine Sperrschichtkapazität, die sich für Kleinsignalaussteuerung ähnlich wie beim Plattenkondensator ergibt zu
csp =
dQ = " A
dU w (U )
(7)
", der Diodenäche A und der spannungsabhängigen Sperrschichtweite w (U ). Mit zunehmender Sperrspannung (U < 0) weitet sich die Sperrschicht aus, was zu einer
+
abnehmenden Sperrschichtkapazität führt. Für einen abrupten p n-Übergang oder eine SchottkyOiode mit homogen dotiertem n-Halbleiter der Donatorkonzentration ND ergibt sich (vergleiche auch
mit der Dielektrizitätskonstanten
Werkstoe der Elektrotechnik):
" e ND
(8)
2(UD U )
mit e Elementarladung, UD Diusionsspannung und U < 0. Durch geeignete Wahl des Dotierungsprocsp = A
s
ls lassen sich auch andere Kapazitäts-Spannungsverläufe erzielen. Man hat damit eine spannungsgesteuerte Kapazität, die auch bezeichnet wird als Varaktor oder Kapazitätsdiode.
Die obere Frequenzgrenze für den Einsatz derartiger Varaktoren wird bestimmt durch die Zeitkonstante, gebildet aus der Kapazität zusammen mit dem immer vorhandenen unvermeidlichen Serienwiderstand
RS
(ähnlich wie oben bei der Schottky-Diode).
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Hochfrequenztechnik I
Halbleiterdioden
HLD/5
4 pin-Dioden
Abb. 7: Aufbau einer pin-Diode in Mesa-Technik mit groÿer Weite
w
der i-Zone.
Der Aufbau einer pin-Diode ist in Bild 7 skizziert. Idealerweise besteht eine pin-Diode aus hoch-
p+ - bzw. n+ -Bereichen, zwischen denen sich eine undotierte (intrisisch = i) Zone der Weite
w bendet. Praktisch ist auch die i-Zone immer leicht n-oder p-dotiert ( 1013 cm 3 ), die dann als
dotierten
-
bzw.
-Zone
bezeichnet wird. Schematisch lässt sich der Aufbau einer pin-Diode wie in Abb. 8
darstellen.
Abb. 8: Schematische Abbildung einer pin-Diode.
Ähnlich wie eine pn- oder Schottky-Diode wird die Diode in Flussrichtung für
tung für
U < 0 betrieben.
U > 0 und in Sperrrich-
4.1 Sperrrichtung
U < 0) betrieben, bildet sich eine Sperrschicht aus, innerhalb
derer für das elektrische Feld gilt: dE= dx / Dotierung, so dass sich in Sperrrichtung ein Feldverlauf
Wird die pin-Diode in Sperrrichtung (
wie in Abb. 9 ergibt.
Die Sperrschichtweite
durch die Weite
w
wsp ist damit in guter Näherung weitgehend unabhängig von der Sperrspannung
der i-Zone gegeben. Man erhält dann eine im Wesentlichen sperrspannungsunab-
hängige Sperrschichtkapazität
A
w
die insbesondere für groÿe Weiten der i-Zone w (z. B. w
csp = "
(9)
einige
10 m) sehr klein wird.
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Hochfrequenztechnik I
Halbleiterdioden
HLD/6
Abb. 9: Feldverlauf bei Anlegen einer Sperrspannung an die pin-Diode.
4.2 Flussrichtung
Wird die pin-Diode in Flussrichtung betrieben (
U > 0), so werden vom p+ - bzw. n+ -Bereich Löcher
bzw. Elektronen in die i-Zone injiziert.
Die Löcherinjektion entspricht der Elektroneninjektion, so dass sich in der i-Zone
n
= p und damit
ein neutrales Plasma ergibt. Je mehr Ladungsträger in die i-Zone injiziert werden, desto höher wird
die Leitfähigkeit der i-Zone und damit der Leitwert der Diode. Ähnlich wie die Schottky-Diode lässt
sich damit die pin-Diode in Flussrichtung als ein steuerbarer Widerstand (Varistor) betreiben. Bei
Vernachlässigung des Serienwiderstandes
RS
ist der Diodenleitwert
+
G = I p 2 n;
w
wobei
I
p
einfach gegeben als:
(10)
1 s
n 1500 cm2
die Ladungsträgerlebensdauer in der i-Zone (
n die Löcher- bzw. Elektronenbeweglichkeit bezeichnen (
2
450 cm /Vs für Si). Wenn man diese Parameter in Gl. (10) einsetzt,
Si) und
p
den Strom in Flussrichtung,
G
bzw.
Zahlenwertgleichung:
G=
I
5; 1 V
für
/Vs und
ergibt sich folgende
m 2
;
w
(11)
so dass sich ähnlich wie bei der Schottky-Diode ein dem Injektionsstrom proportionaler Leitwert ergibt
mit allerdings unterschiedlichem Proportionalitätsfaktor. Im Gegensatz zur Schottky-Diode treten jedoch in pn- und damit auch in pin-Dioden Diusionskapazitäten auf. Tatsächlich besteht die pin-Diode
p+ i-Übergang, der i-Zone und dem in+ -Übergang.
+
+
Sowohl der p i- als auch der in -Übergang ist mit einer Diusionskapazität behaftet. Diese Kapazität
aus dem
ist jedoch so hoch, dass sie bei hohen Frequenzen einen Kurzschluss darstellt und dann nur der Leitwert
der i-Zone gemäÿ Gl. (10) verbleibt. Explizit ist der Leitwert einer pin-Diode resistiv gemäÿ Gl. (10),
wenn gilt (siehe Zinke-Brunswig, Band 2):
w
mit
D
(p + n )
wkrit = UT p
D!
Diusionskonstante. Dieser Zusammenhang gilt zumindest solange, bis die zu
parallelgeschaltete Sperrschichtkapazität gemäÿ Gl. (9) keine Rolle spielt.
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(12)
G
in Gl. (10)
Hochfrequenztechnik I
Halbleiterdioden
HLD/7
5 Vergleich zwischen einer pin- und einer Schottky-Diode für
Varistoranwendungen
Wenn man nun Schottky-Dioden und pin-Dioden für Varistoranwendungen vergleicht, ergibt sich:
ˆ
Eine Änderung des Diodenussstroms führt bei der Schottky-Diode zu einer praktisch sofortigen Änderung des dierentiellen Leitwerts, während sich bei der pin-Diode eine Änderung des
Leitwerts erst mit einer Zeitkonstante entsprechend der Ladungsträgerlebensdauer
bemerkbar
macht.
ˆ
Wird eine Schottky-Diode mit hohem HF-Signalpegel angesteuert, macht sich sofort die nichtlineare
U -I -Kennlinie
bemerkbar, so dass sich dann ein nichtlinearer Leitwert ergibt. Bei der
pin-Diode hingegen führen auch hohe HF-Pegel bei entsprechend hoher Frequenz nur zu einer
geringen Änderung der Ladungsträgerdichte in der i-Zone, so dass damit der Diodenleitwert
G
nach Gl. (10) auch für hohe HF-Pegel praktisch konstant bleibt.
Damit ist die Schottky-Diode gut geeignet für Gleichrichter- oder Mischer-Anordnungen, während pinDioden als elektronisch einstellbare Abschwächer (bzw. Dämpfungsglieder) auch für hohe HF-Pegel
eingesetzt werden.
6 pin-Dioden-Abschwächer
Abb. 10: Abschwächer.
Da PIN-Dioden in Flussrichtung als steuerbare lineare Widerstände auch für hohe HF-Pegel verwendet
werden können, lassen sich damit auch Abschwächer für HF-Signale realisieren. Ein Abschwächer, der
in eine Leitung mit dem Wellenwiderstand
Abb. 10 aussehen, wobei
R1
und
R2
ZL
mit den Toren 1, 2 eingefügt wird, könnte z.B. wie in
variable, durch pin-Dioden realisierte Widerstände (Varistoren)
darstellen.
R1 = 0, R2 ! 1 würde das HF-Signal ungedämpft durch den Abschwächer hindurchgehen, während für R1 ! 1, R2 = 0 eine unendlich hohe Dämpfung entsteht. Für die Zwischenbereiche sind R1 ,
R2 so aufeinander abzustimmen, dass das durch die Tore 1, 2 gegebene Netzwerk möglichst eigenreexionsfrei bleibt (S11 0, S22 0). Eine konkrete Realisierung eines pin-Dioden-Abschwächers
Für
gemäÿ Abb. 10 ist in Abb. 11 dargestellt.
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Hochfrequenztechnik I
Halbleiterdioden
HLD/8
Abb. 11: Konkrete Realisierung eines Abschwächers.
-Bereich sind dabei HF-mäÿig als Leerläufe zu verstehen,
Die Induktivität und die Widerstände im k
während die Kapazitäten HF-mäÿig Kurzschlüsse darstellen. Eine Erhöhung des Steuerstroms
dabei zu einer Erhöhung des Stroms durch
Stroms durch
D2
(Erhöhung von
R2 ).
D1
(Verringerung von
Ist führt
R1 ) und zu einer Verringerung des
7 HF-Schalter mit pin-Dioden
pin-Dioden lassen sich vorteilhaft auch als HF-Schalter einsetzen, die zwischen Sperrrichtung (Leerlauf
csp ) und Flussrichtung (Kurzschluss, begrenzt durch den unverKontaktwiderstand RS ) geschaltet werden. Mit pin-Dioden lassen sich hohe
mit der kleinen Sperrschichtkapazität
meidlichen Serien- und
HF-Leistungen schalten, da einerseits in Sperrrichtung die Sperrschichtkapazität weitgehend spannungsunabhängig und der Leitwert in Flussrichtung auch von hohen HF-Strömen kaum beeinusst
wird.
Anwendungen: Schalter in der Funktechnik für die Ansteuerung von Antennen und Sende-Empfangs-
Weichen. Digitale Phasenschieber für phased-array-Antennen, indem beispielsweise die Phase einer
transmittierten oder reektierten Welle geschaltet wird.
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Hochfrequenztechnik I
Bipolare Transistoren
BPT/1
1 Grundprinzip eines Bipolartransistors
Ein bipolarer Transistor besteht aus einer pnp-Schichtenfolge (pnp-Transistor) bzw. einer npn-Schichtenfolge
(npn-Transistor). Bipolare Transistoren für hochfrequenztechnische Anwendungen werden überwiegend
in Silizium realisiert. Die folgende Betrachtung bezieht sich auf npn-Transistoren (wegen der besseren
Hochfrequenzeigenschaften), sie lässt sich sinngemäÿ aber auch auf pnp-Transistoren anwenden.
Abb. 1: Schematische Darstellung und Schaltbild eines bipolaren npn-Transistors.
Ein npn-Transistor ist schematisch in Abb. 1 dargestellt. Beim Normalbetrieb eines bipolaren Transistors ist die Basis-Emitter-Diode in Flussrichtung (UBE > 0) und die Kollektor-Basis-Biode in Sperrrichtung (UCB > 0) gepolt.
Es werden dann vom Emitter Elektronen in die Basis injiziert, die durch die Basis hindurch diundieren
und so zum Kollektorstrom beitragen. Auf diese Weise kann der Emitterstrom IE den Kollektorstrom
IC steuern.
Ein geeignetes Modell (Ebers-Moll) zur Beschreibung des statischen Groÿsignal-Verhaltens eines bipolaren Transistors zeigt Abb. 2.
Abb. 2: Statisches Ersatzschaltbild eines npn-Transistors nach Ebers-Moll.
Im Normalbetrieb (UCB > 0, UBE > 0) ist IrC sehr klein, so dass die Stromsteuerung gemäÿ Af If E
erfolgt und Ar IrC vernachlässigt werden kann. In Bild 2 ist noch der Basisbahnwiderstand rb enthalten.
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Hochfrequenztechnik I
BPT/2
Bipolare Transistoren
2 Stromverstärkung eines Bipolartransistors
Die Hochfrequenzeigenschaften sollen nun für den Normalbetrieb (UCB > 0, UBE > 0) betrachtet
werden. Wir beschränken uns hier auf das Kleinsignalverhalten, beschreiben also z. B. den Emitterstrom
IE = IE 0 + < I e exp(j!t )
(1)
mit dem Zeiger I e , wobei I e nur so groÿ sein darf, dass der Transistor im linearen Kennlinienteil
ausgesteuert wird.
Für eine erste Einschätzung des Hochfrequenzverhaltens machen wir eine recht pauschale Betrachtung
gemäÿ Abb. 3.
Abb. 3: Bipolarer Transistor mit Stromzeigern I e , I b und I c .
Die Steuerung des Kollektorstroms durch den Emitterstrom ist in Abb. 3 durch die Stromverstärkung
(jj < 1) ausgedrückt. Näherungsweise lässt sich wie ein Tiefpass erster Ordnung beschreiben
I
0
= I c = 1 + j!=!
e
(2)
mit der Gleichstromverstärkung 0 (0 nahe 1, aber 0 < 1) und der -Grenzfrequenz ! . Da
jj < 1, kann man aber von einer Stromverstärkung im eigentlichen Sinn nicht sprechen. Es ist
deshalb im allgemeinen zweckmäÿiger, den kleineren Basisstrom I b als Steuerstrom zur Steuerung von
I c zu verwenden. Wenn man den Transistor in Abb. 3 als groÿen Knoten auasst, muss gelten:
Ie + Ib + Ic = 0
und damit wegen I e
= I c =:
so dass schlieÿlich gilt:
mit
und
(3)
1
Ie = 1 Ic ;
(4)
Ic
0
I b = = 1 = 1 + j!=!
(5)
0 = 1 0
0
(6)
!
! = (1 0 )! 0
(7)
Ib = Ic
!
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Hochfrequenztechnik I
Bipolare Transistoren
BPT/3
Normalerweise ist 0 nahe 1, z. B. 0 0; 99 und damit die Gleichstromverstärkung z. B. 0 100.
Andererseits ist aber die Grenzfrequenz ! und diesen Faktor 0 kleiner als ! , so dass sich ein
konstantes Verstärkungs-Bandbreite-Produkt ergibt:
0 ! = 0 ! :
(8)
Wichtig ist noch die Transitfrequenz !T = 2 fT , bei der die Stromverstärkung zu j j = 1 wird.
Für ! ! wird aus Gl. (5)
!
!
= j 0! j ! für ! ! ;
(9)
so dass j j = 1 für ! ! und damit die Transitfrequenz (die i. A. in Datenblätten angegeben ist)
!T ! wird.
3 Kleinsignal-Ersatzschaltbild
Ausgehend von Abb. 2 mit der Basis-Emitter-Diode in Flussrichtung und der Basis-Kollektor-Diode in
Sperrrichtung ergibt sich ein Kleinsignal-Ersatzschaltbild gemäÿ Abb. 4.
Abb. 4: Physikalisches HF-Kleinsignal-Ersatzschaltbild eines bipolaren Transistors mit Basisbahnwiderstand rb , Kollektorsperrschichtkapazität ccsp und Emittersperrschichtkapazität cesp .
Hierbei bezeichnet re den dierentiellen Emitterwiderstand, der wie bei einer Diode (vgl. auch Gl.
(HLD 6)) gegeben ist als
U
re T
(10)
IE 0
mit dem Emittergleichstrom IE 0 und der Temperaturspannung UT = kTe . Durch die Ladungsträgerinjektion in die Basis erhält man eine Ladungsspeicherung, die durch die Diusionskapazität ceD
ausgedrückt wird. Für die Zeitkonstante eD = re ceD gilt näherungsweise
re ceD b ;
(11)
wobei b die Ladungsträgerlaufzeit durch die Basis bezeichnet. Der in die Basis injizierte Strom I 0e
steuert auch den Kollektorstrom gemäÿ 0 I 0e , wobei 0 näherungsweise durch ein einfaches Tiefpassverhalten beschrieben werden kann:
0
0 =
(12)
1 + j!=!
0
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Hochfrequenztechnik I
Bipolare Transistoren
BPT/4
mit der Grenzfrequenz ! , die im Wesentlichen durch die Basislaufzeit b gemäÿ
0
1
! b
0
(13)
gegeben ist. Ohne Feldunterstützung ist b durch die Diusionszeit der Minoritätsladungsträger durch
die Basis der Weite db (vgl. Abb. 1) gegeben entsprechend:
db = 2Db b
(14)
d2
b = 2Db
(15)
p
und damit
b
mit der Diusionskonstanten Db der Minoritätsladungsträger in der Basis.
Abb. 5: Transitfrequenz eines Bipolartransistors (BF 775, Inneon) als Funktion des Emittergleichstroms (UCE = 6 V, Messfrequenz 200 MHz).
Da die Diusionskonstante D = UT proportional zur Ladungsträgerbeweglichkeit ist, haben npnTransistoren gegenüber pnp-Transistoren wegen der im Vergleich zur Löcherbeweglichkeit p höheren
Elektronenbeweglichkeit n kürzere Basislaufzeiten und damit höhere Grenzfrequenzen.
Durch geeignete Basisdotierung ist es möglich, ein Driftfeld zu erzeugen (Drifttransistor ), das die
Basislaufzeit gegenüber Gl. (15) noch erheblich reduziert.
Um die Stromverstärkung in Basisschaltung bezüglich des äuÿeren Emitterstromes I e zu formulieren, muss noch die Emitterladezeitkonstante zur Ladung von cesp berücksichtigt werden, so dass
die Grenzfrequenz ! in Gl. (2) tatsächlich kleiner als ! 1=b wird. Mit zunehmendem Emittergleichstrom IE und dem damit verbundenen kleinen re spielt cesp eine geringere Rolle, so dass mit
zunehmendem I E ! sich ! nähert. In Abb. 5 ist die Transitfrequenz fT !2 eines bipolaren Transistors (BF 775) dargestellt. Bei sehr hohen Emittergleichströmen (Stromdichte J 1000 cmA 2 ) führen
die sich dann ergebenden hohen injizierten Ladungsträgerdichten jedoch wieder zu einer Reduzierung
0
0
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Hochfrequenztechnik I
BPT/5
Bipolare Transistoren
der Transitfrequenz. Für die Grenzfrequenz ! ist im Allgemeinen auch noch die endliche Laufzeit
durch die Kollektor-Basis-Sperrschicht zu berücksichtigen.
3.1 Maximale Schwingfrequenz
Neben den bisher diskutierten Stromverstärkungen ist auch die Leistungsverstärkung von Interesse.
Dazu wird hier die maximale Leistungsverstärkung in Emitterschaltung betrachtet. Aus Abb. 4 ergibt
sich mit
1
1
(16)
y e = + j!(ceD + cesp ) und y c = + j!ccsp
re
rc
Abb. 6: Betrachtete Emitterschaltung.
In Abb. 6 ist die innere Basis mit B 0 bezeichnet, so dass sich die gesteuerte Stromquelle I e auch
ausdrücken lässen als
Ib
(17)
Ie = y e Ub e 0
1 (vgl. dazu auch Gl. (5)). Die gesteuerte Stromquelle I e in Bild 6 wird zweckmäÿigerweise in zwei
Stromquellen zerlegt (Abb. 7).
Abb. 7: Aufteilung der gesteuerten Stromquelle I e in zwei Stromquellen.
Eine Stromquelle, die durch die Spannung an ihren Klemmen gesteuert wird, kann durch eine Impedanz
ersetzt werden, so dass man aus Abb. 7 schlieÿlich Abb. 8 erhält.
Aus Abb. 8 soll die maximale Leistungsverstärkung Gm0 bei hohen Frequenzen mit den Annahmen
ˆ
y c j!ccsp ,
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BPT/6
Bipolare Transistoren
Abb. 8: Endgültige Schaltung zur Bestimmung der maximalen Leistungsverstärkung Gm0 .
ˆ hoher Emittergleichstrom, so dass y e
! 1,
bestimmt werden. Es gilt dann
y 12 =
und Gm0 kann gemäÿ
bestimmt werden. Für y e
! 1 gilt:
I y 11 = U b be =0
(18)
jy j2
Gm0 = 4<(y 21)<(y )
11
22
(19)
y 22 =
U
(20)
= 1 UI b = r (1 )
b
be
(21)
csp
= y c + y e UUb e = j!c
1 ce
=0
(22)
=0
ce
I c U be U =0
ce
I c U ce U be
U be =0
= r1
y 21 =
I b U ce b
0
Es ergibt sich so mit gemäÿ Gl. (2) und 0 1 für die maximale Leistungsverstärkung
!
Gm0 = 4r c !2
b csp
(23)
Die maximale Leistungsverstärkung nimmt damit für wachsende Frequenzen mit !2 ab (20 dB pro
Dekade bzw. 6 dB pro Oktave). Die Frequenz, bei der gerade noch eine Leistungsverstärkung von
Gm0 = 1 erreicht wird, wird als maximale Schwingfrequenz bezeichnet. Sie ergibt sich aus G. (23) als
1 !
!max = 2 r c
b csp
s
Für einen Bipolartransistor mit einer Transitfrequenz fT
20 , ccsp = 0; 5 pF ergibt sich fmax = !2max
= 4; 46 GHz.
Beispiel:
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(24)
=
!
2
= 5 GHz, rb =
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Bipolare Transistoren
4 Giacoletto-Ersatzschaltbild
Für die Beschreibung eines Bipolartransistors in Emitterschaltung ist Abb. 8 bereits recht gut geeignet.
Dieses Ersatzschaltbild dient als Grundlage zur Herleitung des Giacoletto-Ersatzschaltbildes.
Mit der Annahme
1
1
!
1+j
(25)
y e = + j!(ceD + cesp ) ergibt sich
und
re
re
ye r 0
e
(26)
1
y e (1 ) = r + j!ce
e
mit
!
0
0
r
re = 1 e re 0
0
0
und
1
1
ce = r ! = r !
e e 0
0
(27)
(28)
(29)
Um den Early-Eekt zu berücksichtigen, muss zusätzlich zu Abb. 8 zwischen Kollektor und Emitter
noch ein Widerstand rce (und zusätzlich gegebenenfalls noch eine Kapazität cce ) eingefügt werden,
so dass sich schlieÿlich das Giacoletto-Ersatzschaltbild nach Abb. 9 ergibt.
Abb. 9: Giacoletto-Ersatzschaltbild eines Bipolartransistors.
Typischerweise liegt rce im k
-Bereich. Für die Abschätzung der übrigen Parameter werde ein Transistor mit fT = 5 GHz betrachtet, dessen Arbeitspunkt bei einem
Emittergleichstrom IE = 10 mA liegt. Darüber hinaus habe der Transistor eine Gleichstromverstärkung 0 = 100.
Beispiel:
Es folgt dann:
mV
1
re = UIET = 25
10 mA = 2; 5 , so dass sich eine innere Steilheit re = 400 mS ergibt.
re = re 0 = 250 ce = re 1! = 12; 7 pF
Typische Werte für rb liegen bei rb = 10 : : : 20 und für ccsp 0; 5 pF.
0
0
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BPT/8
Bipolare Transistoren
Bei kleinen Frequenzen ist der Eingangswiderstand durch rb + re gegeben, während bei hohen Frequenzen die Serienschaltung von rb und ce wirksam wird und bei sehr hohen Frequenzen als Eingangswiderstand nur rb verbleibt.
Als Ausgangswiderstand (= 1=<(y22 )) ergibt sich bei kleinen Frequenzen rce und bei hohen Frequenzen
1
! ccsp (vgl. Gl. (22)).
0
0
5 Realisierungsbeispiel eines bipolaren Transistors
Abb. 10 zeigt die Realisierung eines hochfrequenztauglichen Bipolartransistors. Zur Erzielung eines
hohen Emitterwirkungsgrades ist der Emitter sehr viel höher dotiert (n 1020 cm 3 ) als die Basis
(p 1017 : : : 1018 cm 3 ). Damit sich die Kollektor-Basis-Sperrschicht überwiegend in den Kollektor
und nicht in die Basis erstreckt, ist der Kollektor wiederum sehr viel schwächer dotiert (n 1015 cm 3 )
als die Basis.
Abb. 10: Planarer Bipolartransistor (fT
6 GHz, d 2 m) mit Oxid (SiO2)-Isolation.
Damit bei geringer Basisweite db der Basisbahnwiderstand rb nicht zu groÿ wird, darf die Emitterstreifenbreite (in Abb. 10 beträgt die Streifenbreite 2; 5 m) nicht zu groÿ werden. Die erforderliche
Emitteräche ist bei gegebenem Emitterstrom durch die maximale Stromdichte vorgegeben. So ergibt
sich beispielsweise für IE = 25 mA und JE = 1000 cmA 2 eine Emitteräche von 2500 m2 , was in Abb.
10 eine Länge des Emitterngers von t = 1 mm erfordern würde.
Zur Realisierung groÿer Emitterächen bei gleichzeitig geringer Strukturbreite werden auch Kamm-,
Maschen-und Gitterstrukturen verwendet.
6 Ausblick
Höhere Grenzfrequenzen sind möglich mit Heterobipolartransistoren, bei denen die Basis einen kleineren
Bandabstand als der Emitter aufweist (z.B. GaAs gegenüber GaAIAs oder SiGe gegenüber Si). In
solchen Transistoren kann die Basis höher dotiert werden, was geringere Basisweiten db und kleinere
Basisbahnwiderstände rb ermöglicht. So werden für SiGe-Heterobipolartransistoren Transitfrequenzen
bis weit oberhalb von 100 GHz erreicht.
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Feldeekttransistoren
FET/1
1 Grundprinzip
Bei Feldeekttransistoren wird der Stromuss durch ein elektrisches Feld, das von der Gate-Elektrode
ausgeht, gesteuert. Man unterscheidet zwischen Feldeekttransistoren mit isoliertem Gate (z. B.
MOSFET) und Sperrschicht-Feldeekttransistoren (auch JFET, J steht dabei für junction).
Ei-
ne spezielle Ausführung eines Sperrschicht-Feldeekttransistors stellt der MESFET dar, bei dem die
Sperrschicht am Gate-Kontakt durch eine Schottky-Diode in Sperrrichtung realisiert ist. Die Kennlinien
der verschiedenen FET-Typen sind in Abb. 1 (aus Zinke-Brunswig, Band 2) dargestellt.
Abb. 1: Kennlinien verschiedener FET-Typen.
Man unterscheidet dabei sowohl zwischen dem Leitungstyp des Kanals (n oder p) sowie zwischen
enhancement type, ID
selbstsperrenden (
für
= 0 für UGS = 0) und selbstleitenden (depletion type, ID 6= 0
UGS = 0) FETs. JFETs und MESFETs sind daher im Allgemeinen selbstleitend.
Für Anwendungen in der Hochfrequenztechnik werden FETs sowohl auf der Basis von Si als auch auf
der Basis von III/V-Halbleitern, insbesondere GaAs, eingesetzt. Für FETs auf der Basis des III/VHalbleiters GaAs verwendet man MESFETs oder HEMTs (
high electron-mobility transistors ).
Das
Hochfrequenzverhalten von FETs soll hier am Beispiel von GaAs-MESFETs näher beschrieben werden,
wobei die grundsätzlichen Betrachtungen sich auch auf Si-JFETs oder Si-MOSFETs übertragen lassen.
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Hochfrequenztechnik I
Feldeekttransistoren
FET/2
Hochfrequenztechnik I
FET/2
Si-JFETs
und GaAs-MESFETs
1.1 VergleichVergleich
zwischenzwischen
Si-JFETs
und GaAs-MESFETs
In Bild 2 ist der prinzipielle Aufbau eines MESFETs einem JFET
In Abb. 2 ist dergegenübergestellt.
prinzipielle Aufbau eines MESFETs einem JFET gegenübergestellt.
Metallelektroden
S / \ G \
0
o
G
Ka"nal
semi - isolierendes GaAs
a
Ka~nal
-=-
b
Bild 2: a) schematischer Aufbau eines n-Kanal GaAs MESFETs
Abb. 2: Schematischer
eines a) Aufbau
n-Kanal-GaAs-MESFETs
b) n-Kanal-Si-JFETs.
b) Aufbau
schematischer
eines n-Kanal si und
JFETs
Sowohl beim JFET als auch beim MESFET wird durch ein an der Gate-
G
Elektrode
G anliegendes
elektrisches
der
zwischenanliegendes
Sowohl beim JFET
als auch
beim MESFET
wird durch Feld
ein an
derKanalstrom
Gate-Elektrode
dem Drain-(D) und dem Source-(S) Kontakt gesteuert. Der Kanal kann
entweder
n-dem
oder
p-dotiert
wegen der
höheren gesteuert.
elektrisches Feldprinzipiell
der Kanalstrom
zwischen
Drain( ) undsein;
dem Source( ) Kontakt
Beweglichkeit und der höheren Sättigungsdriftgeschwindigkeit von
Der Kanal kann Elektronen
prinzipiell entweder
n-oder p-dotiert
sein; wegen
der höheren
und der
im Vergleich
zu Löchern
besitzen
n-Kanal Beweglichkeit
FETs die
besseren Hochfrequenzeigenschaften. Die folgenden Betrachtungen
höheren Sättigungsdriftgeschwindigkeit
Elektronen
Vergleich
beziehen sich deshalb von
vorwiegend
auf im
n-Kanal
FETs.zu Löchern besitzen n-Kanal-
D
S
FETs die besseren
Betrachtungen
beziehenein
sich deshalb
Im Hochfrequenzeigenschaften.
Vergleich zwischen Si-JFETDie
undfolgenden
GaAs-MESFET
besitzt wiederum
GaAs-MESFET die besseren HF-Eigenschaften wegen
vorwiegend auf n-Kanal FETs.
1) der höheren
Elek~ronenbeweglichkeit (bei
kleinen
Fel~stärken
Im Vergleich zwischen Si-JFET
GaAs-MESFET
wiederum
ist ~n ~und
1500
cm /(Vs) bei besitzt
si gegenüber
~nein
~ GaAs-MESFET
8000 cm /(Vs) die besseren
bei GaAs).
HF-Eigenschaften wegen
ˆ
ˆ
ˆ
2) der höheren Sättigungsdriftgeschwindigkeiten V s der
Elektronen (v s ~ 100
~m/ns
beiFeldstärken
si und V s ist
~ 200
der höheren Elektronenbeweglichkeit
(bei
kleinen
n ~m/ns
GaAs)
2
cm
bei GaAs).
n
8000
1500bei
2
cm
Vs
bei Si, jedoch
Vs
3) der Möglichkeit, in GaAs ein semi-isolierendes (p~ 10 8 n cm)
Substrat (vergi. Bild 2a) zu realisieren. Deshalb ergeben
m bei Si und
der höheren Sättigungsdriftgeschwindigkeiten
Elektronen
( s
sich beim GaAs-MESFET sehr viel
parasitäre
Kapazis der kleinere
ns
täten als beim Si-JfET.
m
200
v
ns
v
100
vs
bei GaAs)
Trotz der gegenüber si sehr viel komplizierteren GaAs-Technologie
werden deshalb bei sehr hohen Frequenzen GaAs-MESFETs
eingesetzt.
8
der Möglichkeit, in GaAs ein semi-isolierendes (
p
10 cm
) Substrat (vergl. Abb. 2a) zu
realisieren. Deshalb ergeben sich beim GaAs-MESFET sehr viel kleinere parasitäre Kapazitäten
als beim Si-JFET.
Trotz der gegenüber Si sehr viel komplizierteren GaAs-Technologie werden deshalb bei hohen Anforderungen GaAs-MESFETs eingesetzt.
2 Wirkungsweise eines GaAs-MESFETs
Ein GaAs-MESFET beinhaltet einen n-dotierten Kanal (n-Dotierung
d
0; 1 : : : 0; 3 ND
10 cm
17
3
) der Dicke
m. Drain- und Source-Anschlüsse sind ohmsche Kontakte, während es sich beim
Gate-Anschluss um einen Schottky-Kontakt handelt. Der Transistor wird mit
UGS < 0 und UDS > 0
betrieben, so dass der Schottky-Kontakt in Sperrrichtung betrieben wird mit der Sperrschichtweite
w (x ) (s. Abb. 3).
Der Drainstrom ID
änderung von UGS
UGS gesteuert, wobei eine Verw (x ) führt. Die Sperrschichtweite
wird durch die negative Gate-Source-Spannung
zu einer Veränderung der Sperrschichtweite
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Hochfrequenztechnik I
Feldeekttransistoren
FET/3
Abb. 3: Prinzipielle Darstellung eines n-Kanal-GaAs-MESFETs.
w (x ) nimmt für UDS > 0 mit zunehmendem x zu, bis sich schlieÿlich bei genügend groÿem UDS die
Sperrschichtweite w (x ) = d ergibt und damit der Kanal wie in Abb. 3 abgeschnürt wird. Unter dem
Gate-Kontakt in Abb. 3 ergibt sich ein Driftfeld, das zum Drainstrom ID führt, wobei die Elektronen durch den abgeschnürten Bereich hindurch driften. Für den Fall des abgeschnürten Kanals wird
der Drainstrom nahezu unabhängig von
UDS
und hängt somit fast nur noch von
UGS
ab. Die sich
ergebenden Kennlinien sind schematisch in Abb. 1 eingetragen.
Für
UGS < US (US
Schwellenspannung mit
US <
0)
ieÿt kein Drainstrom, da dann bereits die
w (x = 0) d führt.
Zu einer Abschnürung wie in Abb. 3 und damit zu einem von UDS unabhängigen Drainstrom ID kommt
es dagegen für UDG = UDS
UGS > US . Die (negative) Schwellenspannung US liegt typischerweise
Gate-Source-Spannung allein zu einer Sperrschichtweite
im Bereich von wenigen Volt.
3 Kleinsignalverhalten
Hochfrequenztechnik I
FET/4
Aus Abb. 3 lässt sich bereits ein einfaches Hochfrequenz-Kleinsignal-Ersatzschaltbild ableiten, wie es
in Abb. 4 dargestellt ist.
Ig
Id
Cgd
-0
G~
I
!Jgs
t
5
I
~ 1 , .L. Cgs •
r gs
5·.!:}, ~
Cds
!Jds
t
5
Vereinfachtes Hochfrequenz-Kleinsignal-Ersatzschaltbild
eines FETs.
BildAbb.
4: 4:
Vereinfachtes
Hochfrequenz-Kleinsignal-Ersatzschaltbild
eines FETs
die Zeiger der Kleinsignalgröÿen dar (ähnlich wie beim Bigs , U ds , I g Uund
In Bild 4 Ustellen
s' I d!Io.s
' I , .!(j die Zeiger der Kleinsignalgrößen dar
(ähnlich=gwie
beim ~olartransistor)
bei einem
polartransistor)
bei einem
festen Arbeitspunkt,
der z. B. durch die Gleichspannungen
UDS festen
und UGS
Arbeitspunkt,
der z.B.
durch die Gleichspannungen UGS '
UDS
eingestellt wird.
eingestellt wird.
In Abb. 4 stellen
Der Gate-Source-Eingangskreis ist durch eine Reihenschaltung der Sperrschichtkapazität
cgs
und dem
Der Gate-source-Eingangskreis ist durch eine Reihenschaltung der
Widerstand im Kanalbereich rgs gegeben. Zusätzlich ergeben sich Kapazitäten zwischen Gate und
Sperrschichtkapazität c gs und dem Widerstand im Kanalbereich r qS
gegeben.
ergeben
Kapazitäten
Gate und
Drain
sowie DrainZusätzlich
und Source. Die
Steuerungsich
des Drainstromes
durch zwischen
die Gate-Source-Spannung
Drain sowie Drain und Source. Die Steuerung des Drainstromes durch
die Gate-Source-Spannung wird durch die Steilheit S beschrieben,
wobei die eigentliche Steuerung durch die Spannung an der
Sperrschicht und damit durch ~1 erfolgt. Wenn man in Bild loben
einen parabolischen
zwischen
UGS und 1 0 voraussetzt,
TU Zusammenhang
Berlin Prof. Dr.-Ing.
K. Petermann
ergibt sich für die steilheit:
S
=
2
-
.j'--=---
Der Gate-source-Eingangskreis ist durch eine Reihenschaltung der
Sperrschichtkapazität c gs und dem Widerstand im Kanalbereich r qS
gegeben. Zusätzlich ergeben sich Kapazitäten zwischen Gate und
Drain sowie Drain und Source. Die Steuerung des Drainstromes durch
Hochfrequenztechnik
I
Feldeekttransistoren
FET/4
die Gate-Source-Spannung
wird durch die Steilheit S beschrieben,
wobei die eigentliche Steuerung durch die Spannung an der
Sperrschicht und damit durch ~1 erfolgt. Wenn man in Bild loben
einendieparabolischen
Zusammenhang
zwischenSteuerung
UGS unddurch
1 0 die
voraussetzt,
wird durch
Steilheit S beschrieben,
wobei die eigentliche
Spannung an der
ergibt sich für die steilheit:
Sperrschicht und damit durch
zwischen
U
1
erfolgt. Wenn man in Abb. 1 einen parabolischen Zusammenhang
US GS= - ID .j'--=--voraussetzt, ergibt sich für die Steilheit
DSS 0
2
und
(1)
2 pI I
S=
DSS D
Schwellenspannung US'jUS jdem Drain-Gleichstrom
IUsl
I
1
I
(1)
mit der
1 0 und dem
= 0) I DSS • Feldeffekttransistoren
Drain-Sättigungsstrom (für UGS
mit der
Schwellenspannung
US , dem Drain-Gleichstrom
dem Drain-Sättigungsstrom
(für UGS =
kleinereID und
Steilheiten
als
Bipolarbesitzen
im
allgemeinen
transistoren.
0) IDSS
. Feldeekttransistoren besitzen im Allgemeinen kleinere Steilheiten als Bipolartransistoren.
inneren
Das Kleinsignal-Ersatzschaltbild
nach Abb. 4 stellt bereits
eine recht
gute Beschreibung
Das Kleinsignal-Ersatzschaltbild
nach Bild
4 stellt
bereits des
eine
gute Beschreibung des inneren FETs dar. Eine verbesserte HFFETs recht
dar. Eine verbesserte HF-Beschreibung zeigt Abb. 5.
Beschreibung ergibt Bild 5:
Rn
LD ld 0
!J.gs
!J.ds
5
5
Bild 5: Kleinsignal-Ersatzschaltbild eines MESFET
Abb. 5: Hochfrequenz-Kleinsignal-Ersatzschaltbild eines MESFETs.
Gegenüber Abb. 4 ist in Abb. 5 für den inneren FET noch berücksichtigt, dass die Stromsteuerung
eine Verzögerung
0
aufweist. Bei genügend hohen Feldern im Kanal besitzen die Ladungsträger die
Sättigungsdriftgeschwindigkeit
vs , so dass gemäÿ
l
l
= 5 ps vs
m
0
in n-GaAs
(2)
RG , RS und RD auf Grund von Widerständen im Halbleiter oder in den Kontakten. Die Induktivitäten LG , LD und LS berücksichtigen die
Zuleitungsinduktivitäten der Bonddränte. Bei guter HF-Aufbautechnik lassen sich LG LD 0; 3 nH
und LS 0; 05 nH erreichen, wobei insbesondere ein kleines LS wichtig ist, um die Gegenkopplung bei
gegeben ist. Zusätzlich beinhaltet Abb. 5 die Serienwiderstände
hohen Frequenzen gering zu halten.
Ein beispielhafter GaAs-MESFET mit einer Gatelänge
t
l = 0; 25 m und einer Gateweite
= 200 m hat etwa die folgenden Parameter (M. Feng e al., GaAs MESFET: Discrete,
Power and MMIC Devices,
in M. R. Brozel et al., INSPEC, IEE, 1996):
S = 47 mS cgs = 50 fF
= 1; 3 ps cgd = 29 fF
0
rgs
rds
= 1
= 130 RG = 6; 8 RD = 3 RS = 1; 4 TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Feldeekttransistoren
FET/5
4 Grenzfrequenzen
4.1 Transitfrequenz
Wie beim Bipolartransistor gibt es auch beim FET eine Transitfrequenz, bei der die Stromverstärkung
zu 1 wird. Für die Kurzschluss-Stromverstärkung
Id
I g jU ds =0
gilt bei Vernachlässigung von
cgd
nach Bild
4 (bzw. auch näherungsweise nach Bild 5)
I d
Ig U ds =0
= !cS ;
wobei die Stromverstärkung bei der Transitfrequenz
!T
=
(3)
gs
! = !T
S
cgs
mit
(4)
zu Eins wird.
= !T 150 GHz,
was einen typischen Wert für GaAs-MESFETs mit einer Gatelänge l = 0; 25 m darstellt.
x mit x 1 für kurze Gatelängen 1
Für kürzere Gatelängen lassen sich gemäÿ fT / l
Beispielsweise ergibt sich für den oben angegebenen Transistor ein
fT
2
noch höhere Transitfrequenzen erreichen.
4.2 Grenzfrequenz der Leistungsverstärkung
Bei kleinen Frequenzen erfolgt die Steuerung eines FETs leistungslos, bei höheren Frequenzen jedoch
spielt der Leistungsverbrauch z. B. in
rgs
eine zunehmende Rolle, so dass die erreichbare Leistungsver-
stärkung mit zunehmender Frequenz abnimmt.
Wenn man zunächst vom vereinfachten Ersatzschaltbild (Bild 4) ausgeht und die Rückwirkungskapazität
G
cgd
und
vernachlässigt bzw. kompensiert (erreichbar durch Parallelschalung einer Induktivität zwischen
D, auch unilateraler oder rückwirkungsfreier Gewinn), ergeben sich die y-Parameter:
y
y
11
21
=
I g U gs =
I d U gs y
22
=
y
12
=
U ds =0
gs
= 1 +j!c
j!c r
(5)
S
= SU U = 1 + j!c
gs rgs
gs
(6)
gs gs
1
U
ds
I d U ds U =0
gs
I g U ds =0
U gs =0
= r1 + j!cds
=0
Gm0
und damit die maximale Leistungsverstärkung
rückwirkungsfreier Gewinn)
x
cgd
=0
!
(8)
nach Gl. (L 16) (hier eigentlich unilateraler oder
2
!2
21
11
Für gröÿere Gatelängen ist
wegen
jy j
fmax
m = 4<(y )<(y ) =
f
G0
1
(7)
ds
22
2
.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(9)
2
:;10 8
~
CI)
~
CI)
mit
so dass
fmax
0
4
2
C1'
:::J
2
1\
~
Feldeekttransistoren
~
18
t
§
~
6
Hochfrequenztechnik IC1'
c
\
\,
fmax
=
s
•
fT
S
rds
4cgs rgs
s
FET/6
.~
rds
rgs
\
,
=2
.!!.
• GaAs-MESFET
Si - Bi polar-
(10)
-
CI)
die Frequenz
bezeichnet, bei der die Leistungsverstärkung
auf 1 zurückgeht. Bei voll.6
fmax (LS vernachlässigt,
's!.;i-tf~fsistoren
I
I
<:(
ständiger Berücksichtigung
des Ersatzschaltbildes nach Bild 5 ergibt sich für
1
siehe Zinke-Brunswig, Bd. 2):
o
10- 1
10-
fmax
2 4
681
21 4
6810
2 46
-
(11)
Frequenz c[gdGHz] cgs RG RS rgs
4 RS cgd + S RG cgs + S
rds
Bild 6: Erreichbare Ausgangsleistungen für Si-FETs, siMit den beispielhaften Daten des oben angegebenen MESFET ergibt sich fmax 135 GHz. Für kürzere
Bipolartransistoren und GaAs-MESFETs in Abhängigkeit der
Gatelängen l lässt sich ein noch höheres fmax erreichen.
Frequenz (Stand 1984, Zinke-Brunswig, Band 2)
r
2
+
0
+
HEMTs
5 HEMTs
Noch bessere Eigenschaften im GHz-Bereich als GaAs-MESFETs weise
Noch bessere Eigenschaften im GHz-Bereich als GaAs-MESFETs weisen HEMTs (high electronHEMTs
(high glectron mobility :transistors) auf. Ein HEMT - auc
mobility transistors)
Ein HEMT auch
bezeichnet als MODFET
) oder
bezeichnet
alsauf. MODFET
(modulation
goped (modulation-doped
FET) oderFET
TEGFET
(:two
dimensional
glectron
gas FET)
- inist
Bild 7 skizziert:
TEGFET (two-dimensional
electron-gas
FET ) ist
Abb. in
6 skizziert.
Elektronen-Energie W
, I
undatiertes Ga As
semi - iso I ierendes
GaAs -Substrat
-
I
~ "Lei!ungsFermi· - N°·Iveau
Y band
x
a
b
Bild
High
electron
mobility
(HEMT)
Abb. 7:
6: High
electron-mobility
transistor
(HEMT) transistor
a) prinzipieller Aufbau
und b) Verlauf des Leia)
prinzipielle
struktur
tungsbandes unterhalb des Gate-Kontakts.
b) Verlauf des Leitungsbandes unterhalb des Gate-Kontaktes
Die Funktionsweise eines HEMTs beruht auf der sehr abrupten Heterogrenzäche zwischen den Halb-
Die Funktionsweise eines HEMTs beruht auf der sehr abrupte
leitern AIGaAs und GaAs. Solche abrupten Grenzächen sind mit modernen Epitaxieverfahren, z. B.
Heterogrenzfläche
zwischen den Halbleitern AIGaAs und GaAs. Solch
der MBE (
molecular beam epitaxy
= Molekularstrahlepitaxie) realisierbar.
Der Kanal im HEMT bildet sich nur an der Heterogrenzäche zwischen den Halbleitern AIGaAs und
GaAs aus, wobei AlGaAs einen höheren Bandabstand als GaAs besitzt und sich so eine Diskontinuität
im Verlauf des Leitungsbandes an der AlGaAs-GaAsGrenzäche (vgl. Abb. 6b) herausbildet. Unmittelbar an der Grenzäche bildet sich so ein Graben im Leitungsbandverlauf (Abb. 6b) aus, wobei die
Zustände unterhalb des Fermi-Niveaus im wesentlichen mit Elektronen gefüllt sind. Es entsteht so
der sehr schmale (einige nm breit) Kanal. Auf Grund der sehr geringen Grabenweite in
kann sich im quantenmechanischen Sinne bezüglich der
x -Richtung
x -Richtung (Abb. 6b) im Wesentlichen nur ein
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I
Feldeekttransistoren
FET/7
Elektronenzustand ausbilden, so dass man statt des normalerweise drei-dimensionalen Elektronengases nur ein zwei-dimensionales Elektronengas im Kanal erhält. Dieses zwei-dimensionale Elektronengas
zeichnet sich durch hohe Beweglichkeit und hohe Sättigungsdriftgeschwindigkeiten aus.
Die sich ergebende Transitfrequenz
fT
ist beim HEMT ungefähr doppelt so groÿ wie beim GaAs-
fmax für die LeistungsverGatelänge l = 0; 25 m Werte von
MESFET gleicher Gatelänge. Es werden auch sehr hohe Grenzfrequenzen
stärkung erzielt. Mit speziellen HEMT-Strukturen sind für eine
fmax
350
GHz erzielt worden.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
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