Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie Blatt 3/4 Dr. T. Krämer

Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie
Dr. T. Krämer
Blatt 3/4
Abgabe: 16. Mai
Anbei einige Tipps für das Übungsblatt 3:
Aufgabe 8. (a) Für d < 0 quadratfrei und
mindestens
√ durch
√
√ zwei Primzahlen teilbar
√
betrachte man die Faktorisierung d = d · d in R = Z[ d]. Man zeige, dass d in
dem Ring R irreduzibel ist, finde aber andererseits einen nicht hierzu assoziierten
irreduziblen Teiler von d in R.
(b) Für d = 6 betrachte man das Gebiet D = {(x, y) ∈ R2 | |x2 − 6y 2 | < 1}, mache
sich mithilfe einer Skizze klar, dass die Translate dieses Gebietes um ganzzahlige
Vektoren (m, n) ∈ Z2 alle Punkte mit rationalen Koordinaten in R2 überdecken
und folgere die für Euklidische Ringe benötigte Approximationseigenschaft.
Aufgabe 9. Zur Erinnerung: Ein Integritätsring R heißt ganz abgeschlossen, wenn
jedes Element seines Quotientenkörpers, welches ganz über R ist, bereits in R liegen
muß. Der Quotientenkörper ist für alle Ringe R 6= Z in dieser Aufgabe derselbe.
Aufgabe 10. Per Definition ist dK/k (α) = dK/k (1, α, α2 , . . . , αn−1 ). Man drücke die
rechts stehende Diskriminante mithilfe der Vandermonde-Determinante aus!
Und hier noch einige Hinweise für das Übungsblatt 4:
√
√
√
Aufgabe 11. Man setze α ∈ oK als α = a+b 2+c 3+d 6 mit a, b, c, d ∈ Q an und
überlege sich zunächst, wie die vier verschiedenen Einbettungen des Zahlkörpers
K
√
in die komplexen Zahlen aussehen. Man folgere trK/Q(√2) (α) = 2a + 2b 2, gebe
analoge Ausdrücke für trK/Q(√3) , trK/Q(√6) an und erhalte aus der Ganzzahligkeit
dieser Spuren
2a, 2b, 2c, 2d ∈ Z.
√ √
Indem man α modulo Z[ 2, 3] betrachtet, kann man das Problem nun auf den
Fall
a, b, c, d ∈ {0, 1/2} und nicht alle Null
(∗)
reduzieren. Man finde andererseits NK/Q(√3) (α) und folgere a2 +2b2 +3c2 +6d2 ∈ Z,
sodass in (∗) insbesondere
a = c und b = d
folgt. Durch erneutes Betrachten der Norm bleibt dann nur noch der Fall a = c = 0
und b = d = 1/2 übrig, dieser tritt allerdings
√ tatsächlich auf und dies war ein
√
Tippfehler in der Aufgabe: Für α = ( 2 + 6)/2 zeige man (α2 − 2)2 = 3 und
somit α ∈ oK . Wie sieht die korrekte Ganzheitsbasis aus?
Aufgabe 12. Man nutze dK/Q (α) =
Q
i<j (αi
− αj )2 und f (x) =
Q
i (x
− αi ).
Aufgabe 13. Für Teil (b) schreibe man f 0 (x) = 3f (x)+···
und nutze f (αi ) = 0. Für
x
Teil (c) benutze man
Y
Y
αi = NK/Q (α) und
(x − αi ) = f (x).
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