Serie 10 - D-MATH

Analysis II
MATH, PHYS, CHAB
Prof. D. Salamon
FS 2015
Serie 10
1. Sei B ⊂ Rn eine beschränkte Teilmenge und h > 0 eine positive reelle Zahl. Der Kegel über
B der Höhe h ist definiert als
n
y o
B .
Kh (B) := (x, y) ∈ Rn × R 0 ≤ y ≤ h, x ∈ 1 −
h
Zeigen Sie, dass ∂Kh (B) = Kh (∂B) ∪ (B × {0}) gilt.
2. (a) Konstruieren Sie eine offene Menge U für welche der Rand ∂U keine Jordan Nullmenge
ist.
Tipp: Sei {a1 , a2 , . . .} eine Abzählung der rationalen Zahlen in [0, 1]. Für 0 < < 21
S∞
definiere In := (an − 2−(n+1) , an + 2−(n+1) ) und U := n=1 In . Zeigen Sie, dass
[0, 1]\U ⊂ ∂U gilt und ∂U keine Jordan Nullmenge ist.
(b) Konstruieren Sie eine zusammenhängende offene Menge W ⊂ R2 für welche ∂W keine
Jordan Nullmenge ist.
Tipp: Sei U ⊂ (−1, 2) ⊂ R die Menge aus dem Tipp zu Teil (a). Betrachten Sie dann
den Kamm W := (U × [0, 1)) ∪ ((−1, 2) × (−1, 0)).
3. Sei B ⊂ Rn eine beliebige Teilmenge und K ⊂ Rn eine konvexe Teilmenge mit K 6⊂ B und
K ∩ B 6= ∅. Zeigen Sie, dass dann K ∩ ∂B ebenfalls nicht leer ist.
4. Bestimmen Sie das Volumen
(a) der Einheitskreisscheibe K = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}.
(b) des Rotationskörpers
Rf := (x, y, z) ∈ R3 | a ≤ z ≤ b, x2 + y 2 ≤ f (z)2 .
welcher zu einer stetigen Funktion f : [a, b] → [0, ∞) gehört.
(c) des Gebiets G := {x ∈ R4 | x21 + x22 ≤ x23 + x24 ≤ 1} im R4 .
5. (a) Berechnen Sie das Integral
Z
sin(x + y + z) dx dy dz.
[0,π]3
(b) Sei A1 := {(x, y) ∈ R2 | |x| + |y| < 1}. Berechnen Sie das Integral
Z
x2 dx dy.
A1
(c) Sei A2 := {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1}. Berechnen Sie das Integral
Z
xyz dx dy dz.
A2
1
(d) Sei A3 := {(x, y) | |x| ≤ |y| ≤ 1}. Berechnen Sie das Integral
Z
2
ey dx dy.
A3
(e) Berechnen Sie das Integral
Z
[0,1]2
y
p
dx dy.
4 − x2 y 2
6. Kehren Sie in den folgenden Beispielen die Integrationsreihenfolge um:
Z 2 Z 2−x2
f (x, y) dy dx.
(a)
−1
Z
2
Z
−x
√
4 2y
f (x, y) dx dy.
(b)
y3
0
Z
4
Z √4−|z| Z √4−y2 −|z|
(c)
−4
−
√
4−|z|
−
√
f (x, y, z) dx dy dz.
4−y 2 −|z|
Abgabe: Montag, den 4. Mai 2015.
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