Gruppenarbeit Felder Abzugeben bis zur Woche

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Gruppenarbeit Felder
Abzugeben bis zur Woche vom 20. März
Der geschätzte Zeitaufwand wird bei jeder Teilaufgabe mit Sternen ⊛ angegeben. Je mehr Sterne eine Aufgabe besitzt, desto grösser ist der geschätzte
Zeitaufwand. Dabei wird angenommen, dass man die früheren Aufgaben gelöst
hat und die dort erhaltenen Programme resp. Methoden beherrscht.
1. Methan Molekül
Wir betrachten ein Methan Molekül und nehmen an, dass das C Atom
viel schwerer ist, als die H−Atome. Die H-Atom spüren aufgrund interatomerer Kräfte die Lennard Jones Kraft. Diese Kraft ist in reduzierten
(x6 −2)
Einheiten durch F = −24 x13 gegeben. Dabei ist x der Abstand der
beiden involvierten Atome.
Hinweis: Dies sind reduzierte Einheiten in denen ist die Masse
gleich 1.
Wir nehmen nun an, dass das C−Atom an der Stelle x = 0 fixiert sei.
(a) Berechne mithilfe des Eulerverfahrens die Bahnen des Abstandes der
Atome im ṙ − r Diagramm. Benutze dazu immer eine Anfangsgeschwindigkeit von ṙ = 0m/s und verschiedene Anfangsauslenkungen
r zwischen r0 = 1.1 bis die Bindung aufbricht.(⊛)
(b) Berechne nun das Taylorpolynom bis und mit Grad 2 der Kraft um
die Auslenkung x = 1 und mache die äquivalente Rechnung zu Aufgabe (a) und vergleiche die Resultate am besten grafisch. (Nach Einarbeitung in die Theorie der Taylorreihe ⊛⊛)
(c) Bestimme mithilfe des Programmes aus Aufgabe (a) die Periodendauer einer Schwingung für eine kleine Amplitude. Berechne nun mithilfe
dieser Grösse die Federkonstante der Bindung aus. Berechne nun mithilfe der Winkelgschwindigkeit ω und dem aus der Quantenmechanik
bekannten Relation für so einen Oszillator E = ~ω n + 12 bei welcher Wellenzahl man eine Bande erwarten würde.
Hinweis: Bei einer Reskalierung kann man die Grössen folgendermassen berechnen, dabei werden die skalierten Grössen mit einem Stern
angegeben.
x
x∗ =
Länge
σ
∗
t = t µσε 2
Zeit
Kraf t F ∗ = F σε
E
Energie E ∗ =
σ
m1 ·m2
) und bei
Bei µ handelt es sich um die reduzierte Masse (µ = m
1 +m2
−19
−12
ε = 1 · 10 J und σ = 100 · 10 m um Modellkonstanten.
⊛⊛
2
(d) Energieerhaltung
Die potentielle Energie aufgrund
der zwischenmolekularen Kraft ist
durch Epot = 4 x112 − x16 gegeben. Berechnen sie für einen der Fälle
(sehr stark verzogene Ellipse im ṙ − r Diagramm) aus Aufgabe (a)
ob der erhaltene Wert der Geschwindigkeit bei x = 1.6 stimmt. (⊛)
2. Gravitationsfelder
Aus der Vorlesung kennen Sie bereits die ’Newtonsche Form’ der Gravi~ r) = −G · M ~r3 (’-’ weil Massen sich anziehen’). Der Koordinatation: G(~
r
tensystem wurde so gewählt, dass der Ursprung
mit dem Mittelpunkt der
x
(und wie immer r = |~r|)
Erde zusammenfällt. Es ist dann ~r =
y
(a) Das Gravitationsfeld der Sonne (Mittelpinukt im Koordinatenursprung)
ist im inneren der Sonne näherungsweise durch
x p
2 + y 2 + 1844(x2 + y 2 ) − 1630(x2 + y 2 ) 23 + 519(x2 + y 2 )2
x
− 4000
Gπ
156
−
−889
3
y
gegeben. Dabei sind die Koordinaten so gewählt, dass die Sonne den
Radius 1 besitzt. Berechne in einem ersten Schritt den Betrag des
Feldes und zeichne danach den Graphen des Betrages des Feldes in
Abhängigkeit des Abstandes (Benutze für G den Wert 1). Ist der
Betrag des Feldes proportional zu r12 ? (⊛)
(b) Berechnen sie die Gravitationsfeldstärke der Erde m = 5.9736·1024 kg
auf dem Zugerberg r = 6378.1km + 1039m. Berechnen sie anschliessend die Linearisierung der Gravitationsfeldstärke bezüglich vom
Zugerberg und berechnen sie die Abweichung der Näherung der Gravitationsfeldstärke der Linearisierung zum ’exakten’ Wert auf Meereshöhe. (⊛)
(c) Betrachte
m1 = 3und m
 2 Massen

2 = 5 die sich an den Positionen
1
−1
~r1 =  −2  und ~r2 =  1  befinden. Berechne das Gravi0
0
 
1
~ 2 der beiden Massen an den Punkten r~′ 1 =  1 ,
tationsfeld G
1
 


0
0
r~′ 2 =  1  und r~′ 3 =  0 . (⊛⊛)
0
−1
~ 2 in der
(d) Zeichnet mithilfe des Programms gnuplot das Vektorfeld G
x − y Ebene aus der vorherigen Aufgabe. (⊛⊛)
 
4
(e) Berechnet für den Startpunkt r~′ 1 =  5  einer Feldlinie 4 Schritte.
0
Nehmt dazu an, dass die Schrittweite 0.1 betragen soll. Schreibt dazu
jeden einzelnen Schritt explizit auf.(⊛⊛)
3
(f) Zeichnet mit Hilfe eines Programms einige Feldlinien des Vektorfeldes
~ 2 in der x − y Ebene. Berücksichtigt dabei aber nicht, dass die
G
Feldliniendichte durch die Stärke des Vektorfeldes gegeben ist.(⊛⊛)
Nicht Abzugeben, aber Prüfungsstoff
Taylorreihe (⊛⊛)
Falls man eine komplizierte Funktion besitzt und man diese nur für einen
kleinen Bereich um den Punkt x0 benutzen muss, kann die Funktion durch eine
Polynomfunktion, dem Taylorpolynom, angenähert werden. Das Taylorpolynom
p(x) vom Grade n wird mittels der folgenden Beziehung berechnet.
n
P
d(k) f p(x) =
dx(k) x
0
k=0
(x−x0 )n
d(n) f n!
dx(n) (x−x0 )k
k!
= f (x0 )+
df dx x0
(x−x0 )+
d(2) f dx(2) x
0
(x−x0 )2
2!
+. . .+
x0
Beim Taylorpolynom berechnet man dasjenige Polynom, welches an einem
Punkt des Graphen, die identischen Ableitungen bis zum Grade n besitzt. Damit ist das Taylorpolynom eine lokale Näherung an eine Funktion.
1. Berechnen sie Taylorpolynoms bis und mit Grad 4 von der Funktion
f (x) = 2x2 − 3x + 2 um x0 = 0 und x0 = 1 und vergleichen sie die
beiden Resultate der Polynome vom 1 Grad und vom 3. Grad.
2. Berechnen sie das Taylorpolynoms bis und mit Grad 3 von der Funkti1
um x0 = 1 und x0 = 0 und vergleichen sie die beiden
on f (x) = x+1
Resultate.
3. Berechnen sie das Taylorpolynom bis und mit Grad 4 von der Funktion
2
f (x) = x2 e−x um den Punkt x0 = 0 und skizziert mithilfe der Asymptoten diese Funktion.
4. Berechnen sie das Taylorpolynom bis und mit Grad 5 von der Funktion
f (x) = |x| − |x − 1| um den Punkt x0 = −2, x0 = 0 und x0 = 2.
5. Berechne das Taylorpolynoms der 3. Ordnung der Funktion f (x) = sin(x)
und zeichne die Funktion und die Taylorpolynome auf.
6. Berechne die Linearisierung der folgenden Funktionen:
f1
f2
f3
f4
= ln(x) um x0 = 1
= ecos(x) um x0 = π2
1
= 1−cos(x)
um x0 = π2
√
= x um x0 = 1
Anmerkung
4
Falls die Funktion ’nur’ als Gerade angenähert wird so nennt man dies die
Linearisierung der Funktion.
Lösung zum Taylorpolynom
4
2
1. Das Taylorpolynom bei x0 = 0 ist p(x) = 2 + −4
1! (x − 0) + 2! (x − 0) +
1
4
0
3
2
3! (x − 0) und bei x0 = 1 ist dies p(x) = 1 + 1! (x − 1) + 2! (x − 1) .
Multipliziert man dies für das Taylorpolynom vom Grade 1 aus so ergibt
sich für x0 = 0 p(x) = 2 − 4x und für das Polynom um x0 = 1 ergibt sich
p(x) = 1 + (x − 1) = x. Multipliziert man die Polynome vom Grad 3 aus so
ergibt sich, dass beide Polynome vom 3. Grad genau gleich sind. Dies ist
aber nicht verwunderlich, da man ja ein Polynom vom Grad 2 mit einem
Polynom vom Grad 3 annähert.
2. Das Taylorpolynom vom Grade 2 bei x0 = 1 ist gegeben durch p(x)1 =
1
− 14
1
−1
2
4
2 + 1! (x − 1) + 2! (x − 1) und bei x0 = 0 erhält man p(x)0 = 1 + 1! (x −
2
2
0) + 2! (x − 0) . Nach dem Ausmultiplizieren von erhält man p(x)1 =
x
7
x2
2
8 − 2 + 8 und p(x)0 = 1 − x + x . Somit sieht man, dass die Polynome
verschieden sind. Dies ist aber sicher nicht verwunderlich, da man ja eine
gebrochenrationale Funktion durch eine rationale Funktion nähert.
3. Man erhält die Näherung p(x) = x2 −x4 . Die Asymptoten sind a0 (x) = x2
2
und a∞ (x) = e−x (Siehe Mathübungsblatt 1 Aufgabe 5).
4. Man erhält folgende Polynome p(x)−2 = −1 + 0(x − (−2)) + 0(x − (−2))2 ,
p(x)0 geht nicht Ableitung nicht definiert und p(x)2 = 1 + 0. Hier sieht
man die Lokalität sehr gut.
5. Es gilt, dass p(x) =
6. f1
f2
f3
f4
1
1! x
+
−1 3
3! x .
= ln(x) um x0 = 1 =⇒ p(x) = (x − 1)
= ecos(x) um x0 = π2 =⇒ p(x) = 1 − x − π2 )
1
= 1−cos(x)
um x0 = π2 =⇒ p(x) = 1 − x − π2 )
√
= x um x0 = 1 =⇒ p(x) = 1 + 12 (x − 1)