Lehrstuhl für Technische Elektrophysik TU München

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
TU München
Tutorübungen zu “Elektromagnetische Feldtheorie 1”, Prof. Wachutka, WS0809, Blatt 2
1. Aufgabe (Geladene Kugel)
Gegeben sei eine geladene Kugel mit Radius a und der Gesamtladung Q. Berechnen Sie
das Potential und das elektrische Feld sowohl innerhalb als auch außerhalb der Kugel für
den Fall
a) einer ideal leitenden Kugel.
b) einer Kugel mit sphärischer Ladungsverteilung (r) ∼ r n mit n > −3. Skizzieren
Sie die Fälle n = −1 und n = +1.
2. Aufgabe (Hohlkugel)
Gegeben Sie eine Ladungverteilung
⎧
⎪
⎨
0 für 0 ≤ r ≤ R
(r) = (r) = o für R < r ≤ R
⎪
⎩
0 sonst
(o = konstant)
a) Berechnen Sie die Gesamtladung Q.
b) Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(r).
c) Zeigen Sie, dass das elektrostatische Potential in zwei Anteile zerlegt werden kann
gemäß
φ = φ1 − φ2
mit ∆φ1/2
1/2
=−
εo
und
1 = o , 0 ≤ r ≤ R
2 = o , 0 ≤ r ≤ R
Begründen Sie die Gültigkeit dieser Zerlegung.
d) Skizzieren Sie das elektrostatische Potential φ(r).
e) Berechnen Sie φ(r) für den Grenzfall R − R → 0 mit Q = konst. und bestimmen Sie
die Diskontinuität des elektrischen Feldes. Stimmt dieses Ergebnis mit dem Gesetz
von Gauß überein?
f) Bilden Sie den Grenzübergang R → 0 und berechnen Sie anschließend die Kraft auf
eine Probeladung q bei
(1) r < R
(2) r > R
Unterscheiden Sie dabei mögliche Vorzeichen der Ladungen.
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Tutorübungen zu “Elektromagnetische Feldtheorie 1”, Prof. Wachutka, WS0809, Blatt 2
3. Aufgabe (Divergenz und Koordinatensysteme)
Gegeben sei in kartesischen Koordinaten ein elektrisches Feld der Form
=
E
1
· (xex + yey + zez )
x2 + y 2 + z 2
Berechnen Sie die Divergenz des elektrischen Feldes sowohl in kartesischen als auch in
Zylinder- und in Kugelkoordinaten.
4. Aufgabe (Plattenkondensator)
Es werde eine Anordnung aus zwei ideal leitenden Platten untersucht. Die Ebene z = 0
trägt die Oberflächenladung σ1 > 0, wohingegen die Ebene z = d die Oberflächenladung
σ2 < 0 besitzt.
a) Bestimmen Sie Größe und Richtung des elektrischen Feldes in allen Raumgebieten
unter der Annahme, dass |σ1 | = |σ2 | gilt.
Im Weiteren wird angenommen, dass σ := σ1 = −σ2 gilt. Die beiden Platten haben zudem
jeweils die Fläche A und einen so geringen Abstand d voneinander, dass Streufelder zu vernachlässigen sind. Der so entstehende Kondensator sei mit zwei verschiedenen Dielektrika
(ε1 = 1 und ε2 = 1) gefüllt (siehe Skizze).
Es gelte
ε = εo εr =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εo
d
4
3d
d
<z≤
4
4
3d
<z<d
4
für 0 < z ≤
εo ε1 für
εo ε2 für
in allen Raumgebieten.
b) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D
in allen Raumgebieten.
c) Berechnen Sie das elektrische Feld E
1. Aufgabe (Geladene Kugel)
a) Elektrostatisches Potential einer ideal leitenden Kugel:
⎧
⎪
⎪
⎨
1
für 0 ≤ r < a
Q
· a
φ(r) =
⎪ 1
4πε0 ⎪
⎩
für r ≥ a
r
Berechnung des elektrischen Feldes über den Gradienten des Potentials
E(r) =
⎧
⎪
⎪
⎨
0
⎪
⎪
⎩
Q
1
· 2 für r ≥ a
4πε0 r
für 0 ≤ r < a
b) Berechnung der Gesamtladung Q der Anordnung durch Volumenintegration. Mit
dem Ansatz (r) = C · r n folgt
Q=
V
(r)dV = 4πC ·
an+3
n+3
⇒
C=
Q(n + 3)
4π · an+3
Für das elektrostatische Potential einer beliebigen Ladungsverteilung gilt:
1
φ(x) =
4πε0
(y )
dy
|y − x|
Im Fall eines sphärischen Problems folgt:
φ(r) =
1
·
ε0
∞
r
(ξ)ξdξ +
1
r
r
0
(ξ)ξ 2dξ
Potential außerhalb der Kugel (r ≥ a):
1
·
φ(r) =
ε0 r
a
0
ξ n+3
Q(n + 3)
·
(ξ)ξ dξ =
4πε0 · an+3 · r n + 3
2
Potential innerhalb der Kugel (0 ≤ r < a):
φ(r) =
1
·
ε0
a
r
(ξ)ξdξ +
1 r
(ξ)ξ 2 dξ =
r 0
a
r Q(n + 3)
1 ξ n+3 ξ n+2 =
·
+
·
=
4πε0 · an+3
n + 2 r r n + 3 0
r n+2
r n+2
an+2
Q(n + 3)
−
+
·
=
4πε0 · an+3 n + 2 n + 2 n + 3
Elektrisches Feld außerhalb der Kugel (r ≥ a):
= −∇φ(r) = E(r)er
E
a
=
0
Q
4πε0 r
E(r) =
Q
4πε0r 2
Elektrisches Feld innerhalb der Kugel (0 ≤ r < a):
Q(n + 3)
(n + 2) · r n+1 (n + 2) · r n+1
Q · r n+1
+
E(r) = −
·
−
=
4πε0 · an+3
n+2
n+3
4πε0 · an+3
Skizze der elektrischen Felder für n = −1 und n = 1:
2. Aufgabe (Hohlkugel)
a) Gesamtladung
Q =
V
dV =
r3
= 4π0 ·
3
R π 2π
R
0
0
R
= 4π
R
(r)r 2 sin ϑdrdϑdϕ =
0 3
R − R3
3
b) Auch bei dieser Aufgabenstellung gilt für das elektrostatische Potential
φ(r) =
1
·
ε0
∞
r
(ξ)ξdξ +
1
r
r
0
(ξ)ξ 2dξ
Fallunterscheidung:
(1) 0 ≤ r < R:
φ(r) =
1
·
ε0
R
R
0 ξdξ =
0 2
R − R2
2ε0
(2) R ≤ r < R :
1 r 2
0 2
0 3
0 R
·
ξdξ +
ξ dξ =
R − r2 +
r − R3
φ(r) =
ε0
r R
2ε0
3ε0 r
r
(3) r ≥ R :
φ(r) =
0
·
ε0 r
R
R
ξ 2 dξ =
0 3
R − R3
3ε0 r
c) Die Hohlkugel wird durch zwei Vollkugeln mit den Radien R bzw. R ersetzt. Die
Differenz der beiden Ladungsdichten entspricht dabei der Gesamtladungsdichte der
Hohlkugel. Die elektrostatischen Potentiale der beiden Teilprobleme folgen aus
∆φ1 = −
1
ε0
und
∆φ2 = −
2
ε0
Es gilt
∆φ = −
1 − 2
ε0
mit
φ = φ1 − φ2
da das Superpositionsprinzip bei linearen Differentialgleichungen erfüllt ist.
d) Skizze des elektrostatischen Potentials
e) Grenzübergang R = R + mit → 0
Es ist sinnvoll die Ladung Q anstelle der Ladungsdichte 0 zu verwenden. So folgt
durch Einsetzen der Annahme R = R + Q=
4π0 3
4π0 2
R − R3 =
3R + 3R
2 + 3 = 4π0 · R2 + O 2
3
3
Damit folgt
0 =
Q
+
O
2
2
4πR
Potential im Innenraum der Kugel (0 ≤ r < R):
φ(r) =
0 2
Q
+ O 2
R − R2 =
2ε0
4πε0 R
lim φ(r) =
→0
Q
= konst.
4πε0 R
Potential im Außenraum der Kugel (r ≥ R):
φ(r) =
0 3
Q
R − R3 =
3ε0 r
4πε0r
= −∇φ:
Elektrisches Feld aus E
= E(r) · er =
E
⎧
⎪
⎨
0
⎪
⎩
Q
· er für r ≥ R
4πε0 r 2
für 0 ≤ r < R
gilt damit
Für die Diskontinuität des elektrischen Feldes E
δE = E(r = R+ ) − E(r = R− ) =
Q
4πε0 R2
Dieses Ergebnis steht im Einklang mit dem Gesetz von Gauß, da
δD = ε0 · E(r = R+ ) − E(r = R− ) = σ =
Q
4πR2
mit der Grenzflächenladungsdichte σ.
f) Grenzübergang R → 0 Elektrostatisches Potential:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
3Q
Q
r2
−
·
für 0 ≤ r < R
3
8πε
R
8πε
R
0
0
φ(r) = ⎪
1
Q
⎪
⎪
⎩
für r ≥ R
·
4πε0 r
= −∇φ:
Elektrisches Feld aus E
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
Q
r
· 3 · er für 0 ≤ r < R
4πε0 R
= E(r) · er =
E
⎪
Q
⎪
⎪
· er
für r ≥ R
⎩
4πε0 r 2
Elektrische Kraft auf Testladung q:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
q·Q r
· 3 · er für 0 ≤ r < R
4πε
R
0
= q · E(r) · er =
F = q · E
⎪
q
·
Q
⎪
⎪
· er
für r ≥ R
⎩
4πε0r 2
Anmerkungen:
Im Fall gleichen Vorzeichens (sgn(q) = sgn(Q)) wird der freie Ladungsträger
nach außen beschleunigt. Sind die beiden Vorzeichen jedoch nicht identisch handelt
es sich um ein Kepler-Problem, das sowohl hyperbolische als auch elliptische
Bewegungen ermöglicht. Im Innenraum kann zudem eine harmonische Oszillation
des Teilchens auftreten. Die Anfangswerte des Systems müssen in jedem Fall
adäquat berücksichtigt werden.
3. Aufgabe (Divergenz und Koordinatensysteme)
Für kartesische Koordinaten gilt
=
E
x2
1
· (xex + yey + zez )
+ y2 + z2
partielle Ableitung des elektrischen Feldes liefert
∂x Ex =
y 2 + z 2 − x2
(x2 + y 2 + z 2 )2
und damit ergibt sich für die Divergenz des elektrischen Feldes
=
divE
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
·
−x
+
y
+
z
+
x
−
y
+
z
+
x
+
y
−
z
= 2
2
2
2
2
(x + y + z )
x + y2 + z2
Für Kugelkoordinaten gilt
= 1 · r · (sin ϑ cos ϕ) ex + (sin ϑ sin ϕ) ey + (cos ϑ) ez = 1 · er
E
r2
r
und damit ergibt sich für die Divergenz des elektrischen Feldes
=
divE
1
·
r2
∂ r2 ·
∂r
1
r
=
1
r2
Für Zylinderkoordinaten gilt
1
·
(r
·
cos
ϕ)
e
+
(r
·
sin
ϕ)
e
+
z
·
e
x
y
z =
r2 + z2
r · cos ϕ
r sin ϕ
z
=
·
(cos
ϕ
e
−
sin
ϕ
e
)
+
·
(cos
ϕ
e
−
sin
ϕ
e
)
+
ez =
r
ϕ
r
ϕ
r2 + z2
r2 + z2
r2 + z2
1
· (rer + zez )
= 2
r + z2
=
E
und damit ergibt sich für die Divergenz des elektrischen Feldes
r2
= 1 · ∂r
divE
r
r2 + z2
+ ∂z
2r(r 2 + z 2 ) − 2r 3
1
·
=
r
(r 2 + z 2 )2
=
z
2
r + z2
+
=
r 2 + z 2 − 2z 2
=
(r 2 + z 2 )2
r2 − z2
2r 2 + 2z 2 − 2r 2
1
+
= 2
2
2
2
2
2
2
(r + z )
(r + z )
r + z2