Geometrie-Topologie

Geometrie-Topologie
HS 2012
Prof. Dr. Camillo de Lellis
Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger
Geometrie/Topologie I
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Geometrie/Topologie I
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Inhaltsverzeichnis
Teil I: Allgemeine Topologie .......................................................................................................... 5
1 Metrische Räume ............................................................................................................................. 6
1.2 Konvergenz in metrischen Räumen......................................................................................... 10
1.3 Das Produkt metrischer Räume............................................................................................... 12
1.4 Kompaktheit ............................................................................................................................ 14
1.5 Stetigkeit.................................................................................................................................. 21
2 Topologische Räume ...................................................................................................................... 24
2.2 Unterraumtopologie................................................................................................................ 24
2.3 Stetigkeit.................................................................................................................................. 25
2.4 Die Basis einer Topologie ........................................................................................................ 26
2.5 Kompaktheit / lokale Kompaktheit ......................................................................................... 29
2.6 Produkte .................................................................................................................................. 34
2.7 Quotienten .............................................................................................................................. 38
Teil II: „Klassische“ Flächen in
................................................................................................ 43
Teil III: Mannigfaltigkeiten .......................................................................................................... 61
1. Mannigfaltigkeiten ........................................................................................................................ 62
2. Tangential- und Kotangentialvektoren.......................................................................................... 67
3. Vektorfelder .................................................................................................................................. 72
3.1 Tangentialbündel ..................................................................................................................... 72
3.2 Vektorfelder als Ableitungen ................................................................................................... 74
3.3 Die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen.................................................................. 75
3.4 Das Lie-Klammer-Produkt........................................................................................................ 77
4. Das Tensorprodukt ........................................................................................................................ 78
4.1 Äussere Algebra ....................................................................................................................... 79
5. Differentialformen......................................................................................................................... 82
5.1 Zerlegung der Einheit .............................................................................................................. 83
5.2 Das äussere Differential .......................................................................................................... 84
6. Integration von Formen................................................................................................................. 86
6.1 Orientierung ............................................................................................................................ 86
6.2 Satz von Stokes ........................................................................................................................ 89
Geometrie/Topologie I
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Geometrie/Topologie I
Teil I:
Allgemeine Topologie
Skript: Gameline-Greene, introduction to topology
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Geometrie/Topologie I
Seite |6
18.09.2012
1 Metrische Räume
Def.:
Metrischer Raum: X Menge und
-
(
)
-
(
)
(
)
-
(
)
(
)
(
)
(Metrik oder Abstandfunktion), s.d.:
,
(
)
(Dreiecksungsleichung)
Bsp.:
|
|
)
√∑(
(
)
(
)
Dreiecksungsleichung folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung!
(
)
| )
(∑|
(
)
|
|
- der triviale metrische Raum:
(
)
{
Bem.: { } ist offen (und auch abgeschlossen), da { }
(
)
offen
- Die „französische Bahn“ Metrik.
X Menge,
Paris
𝑥
𝑥4
𝑥5
P
𝑥
𝑥
(
(
(
{ (
Def.:
)
)
)
)
Seien (
) ein metrischer Raum,
, dann ist die offene Kugel mit Radius
Mittelpunkt x die Menge:
(
)
{
∣ (
)
}
Bsp.:
- im
: alle Punkte mit Abstand
von (
- im
: alle Punkte mit Abstand
von (
- im (
) (Kugel)
) (Kreis)
): ein Quadrat mit Mittelpunkt (
) und Seitenlänge 2
und
Geometrie/Topologie I
Def.:
{| | | |}
) )
((
Sei
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. Ein Element
(
Bem.: Der Mittelpunkt gehört immer zu der Kugel:
Def.:
ist offen, falls
(
)
)
gilt: x ist ein innerer Punkt.
Lem.: Die offene Kugel (
Bew.: z.z.:
, s.d.: (
heisst innerer Punkt, falls
) ist eine offene Menge.
)
, s.d.: (
)
(
)
Bsp.: in
y
x
|
Sei
(
Sei
(
Beh.:
ρ
)
)
(
(weil
(
(
Bew.: sei
|, dann (
)
(
)
), d.h.: (
)
)
(
)
)
). Dann: (
)
⇒ (
)
stimmt wegen Dreiecksungleichung:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⇒ (
)
Bem.: zum Begriff „Dreiecksungleichung“. Für
z
y
x
(
)
Thm.: Sei (
i)
(
)
(
)
Länge
Länge + Länge!
) ein Metrischer Raum.
sind offene Mengen.
ii) die Vereinigung offener Mengen ist offen.
iii) der endliche Schnitt offener Mengen ist offen.
Bew.:
i)
X ist trivial,
ii)
⋃
auch
⇒
iii)
⇒ da
s.d.
offen ist
(
)
offene Mengen.
⇒
s.d.: (
⇒ (
)
(
)
{
. Sei
)
⇒ (
}
)
Bem.: der Schnitt muss endlich sein!
⋂
(
)
(
)
mit der euklidischen Metrik
{ }
{ }
⋃
.
Geometrie/Topologie I
{ }
ist keine offene Menge
Bem.: Wenn
die Menge { } ist offen, denn:
der „triviale metrische Raum“ ist, dann ist
gilt: (
Kor.:
Seite |8
Eine Menge
{ }
)
{ }.
ist offen genau dann, wenn
die Vereinigung offener Kugeln ist.
Bew.: „⇐“ folgt aus Theorem ii)
„⇒“ Sei
Sei
( ))
, s.d.: (
( ))
(
⋃
Deswegen:
Def.:
( )
offen:
eine Menge.
(
heisst Häufungspunkt von E, falls
)
.
E heisst abgeschlossen, falls jeder Häufungspunkt von E zu E gehört.
Bem.:
ist immer Häufungspunkt.
Lem.: Eine Menge ist abgeschlossen genau dann, wenn ihr Komplement offen ist.
Bew.: „⇒“: E abgeschlossen,
s.d.: (
⇒
. Dann ist x kein Häufungspunkt von E!
)
⇒ (
)
⇒
offen: Sei x ein Häufungspunkt von E ⇒ x kann nicht zu
„⇐“:
(
⇒
)
⇒ (
)
Sei (
i)
gehören, denn:
⇒ nicht möglich, weil x Häufungspunkt
von E! Deswegen: x Häufungspunkt von E ⇒
Kor.:
ist offen.
.
) ein metrischer Raum.
sind abgeschlossen.
ii) der Schnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
iii) die endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Def.:



Sei
eine Menge. Dann:
Der innere Kern ( ) von E ist:
o
die Menge der inneren Punkten von E
o
die grösste offene Menge, die in E enthalten ist
die abgeschlossene Hülle ( ) von E ist:
o
die Menge aller Häufungspunkte von E
o
die kleinste abgeschlossene Menge, die E enthält
der Rand (
) von E ist:
o
die Menge der Häufungspunkte von beiden
o
der Schnitt von
und
und
.
Bem.: zur Äquivalenz der obigen Definitionen:

für den Rand trivial.

Innerer Kern:
{
}
Die grösste offene Menge

, dann
(
) offen) ⇒ (
)
: Sei
(weil (
Beh.:
⇒
:
ist die Vereinigung der offenen Mengen
(
)
⇒
)
⇒
HP von
⇒
kein innerer Punkt von
) besteht aus inneren Punkten von E
ist offen
⇒
ist ein Häufungspunkt von
Bew.: „⇒“:
und (
im Inneren von E ⇒
kein innerer Punkt von
(
)
.
⇒
.
(
)
Geometrie/Topologie I
„⇐“:
Seite |9
(
⇒
)
(
Deswegen:
⇒
)
(
⇒
kein innerer Punkt von
)
Häufungspunkt von E
Menge aller Häufungspunkte von E ⇒ das Komplement der
, d.h. (
grössten offenen Menge in
) ist gleich der kleinsten abgeschlos-
⋃
senen Menge, die E enthält:
⋃
⋂
⋂
gilt wegen den Regeln von de Morgan: (⋃ )
⋂
und wegen:
-
offen
abgeschlossen
(
-
)
20.09.2012
Def.:
Sei (
) ein metrischer Raum. Sei
. Dann:
ist die Einschränkung
der Abstandsfunktion auf Y.
(
Bsp.:
) ist ein metrischer Unterraum.
All: Abstandsfunktion (
Erde
{| |
All:
)
}. (
|
| in
)
(
)
|
|
aber Abstand auf Erde kann nicht so gemessen werden!
von (
Bem.: In einem Unterraum
) haben wir die entsprechenden offenen und abgeschlosse-
nen Mengen
Satz:
a) Eine Menge
ist offen
offen mit
b) Eine Menge
ist abgeschlossen
abgeschlossen mit
Bew.:
- „
“:
abg.
offen
(
)
offen mit
)
abg.
- Bew. von ):
„⇒“
offen:
⋃
Vereinigung von Kugeln
( )
⋃{
∣ (
}
)
{⋃{
⏟
∣ (
)
( )
( ) = Vereinigung von offenen Kugeln in X, d.h. eine offene Menge V (in X)!
„⇐“: Sei
⇒ (
Bem.: Eine Kugel in
offen,
)
. Sei
. (
= (Eine Kugeln in )
)
.
{
(
offen ⇒
∣ (
)
}
)
offene Kugel in
}}
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 10
1.2 Konvergenz in metrischen Räumen
Def.:
Sei {
}
) ein metrischer Raum).
((
(
Wir sagen, dass
), falls
(
)
Bem.:
-
Der Limes existiert nicht immer.
-
Wenn der Limes existiert, ist er eindeutig.
Nehmen wir an:
(
Lem.:
)
, d.h.:
⏟(
)
)⇒ (
)
⇒
ist abgeschlossen genau dann, wenn:
{
}
, die gegen ein
Bew.: Behauptung: sei
{ }
(
Es gilt:
„⇐“: {
}
und
(
)
. Dann ist
( )
)
. Sei
}
( )
⇒{
}
)
mit
.
⇒
( ) mit
mit (
. Wähle
)
(möglich, weil
( )
⇒
ist ein Häufungspunkt.
abgeschlossen ⇔
Damit:
⇒ (
{
Häufungspunkt
⇒
( )
)⇒
beliebig ⇒
Da
konvergiert, gilt:
und
„⇒“: x HP ⇒
Def.:
⏟(
Häufungspunkt von
{
gilt:
} mit
Cauchy-Folge
{
}
s.d.: (
ist eine Cauchy-Folge, falls
)
Lem.: Eine konvergente Folge ist immer eine Cauchy-Folge.
Bew.: Sei
Sei
Def.:
, s.d.: (
)
. Dann: (
)
.
(
)
(
)
Ein metrischer Raum heisst vollständig, falls jede Cauchy-Folge eine konvergente Folge ist.
Lem.:
a) Falls (
) ein vollständiger metrischer Raum ist, dann ist jede abgeschlossene Menge
ein vollständiger metrischer (Unter-)Raum.
b) Falls (
) ein (beliebiger) metrischer Raum ist, dann ist jeder vollständige metrische Unter-
raum
eine abgeschlossene Menge in .
Bew.:
a) Sei
abgeschlossen. Sei {
b) Sei
. Sei {
Sei
und
Cauchy-Folge ⇒
⇒
mit
⇒
. Die abgeschlossene Kugel mit Radius
}
)
∣ (
Bem.: Die abgeschlossene Kugel ist abgeschlossen:
(
)
Sei { }
{
(
) eine Folge, die gegen
⇒
mit
konvergiert. Konvergenz ⇒ {
eine Folge, die gegen ein
⇒ Cauchy in
Cauchy in
Def.:
}
}
konvergiert.
⇒
.
und Mittelpunkt
ist:
.
}
Geometrie/Topologie I
(
Def.:
)
(
)
{
Sphäre
(
∣ (
S e i t e | 11
)
⏟(
)⇒ (
)
⇒
(
)
}
)
ist die Sphäre der Rand der offenen (und abgeschlossenen) Kugel (
Bem.: im
)
muss aber nicht sein (z.B. metrischer Raum mit einem/zwei Punkten)
Def.:
Eine Menge
heisst dicht, wenn
Ue.:
{
-
}
, s.d.:
(
-
)
Lem.: Bairesche Kategoriensatz
ein vollständiger metrischer Raum und { }
Sei
eine abzählbare Familie von dichten,
offenen Mengen. Dann gilt:
⋂
ist eine dichte Menge in .
Bew.: Sei
.
(
Ziel: finde
) mit
dicht ist ⇒
Da
offen ⇒
(
(
, dann
(
)
.
mit (
Radius
. (Falls
)
)
(
)⇒
(
(
)
(
))
)
𝑈
𝑥
𝑥
(
𝑈
)
(
)
(
)
(
)
Bemerkung:
rekursiv: finden Folge {
} mit
(
)
(
)
⇒
(
)
(
(
(
)
(
)
)
)
).
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 12
wähle N, s.d.:
(
⇒ Da {
{
⇒ Die Folge ist eine Cauchy-Folge mit
)
}
(
}
)⇒
(
(
)⇒
(
)
(
)
)
⇒
Def.:
⋂
Das Komplement einer offenen dichten Menge heisst dünn.
Kor.:
Falls
ein vollständiger metrischer Raum ist und { } eine abzählbare Familie dünner Men-
gen, dann:
⋃
(
⋂
⋃
Bew.:
)
dicht in
25.09.2012
1.3 Das Produkt metrischer Räume
Def.:
Seien (
)
(
). Das Produkt ist:
)(
((
Bsp.:
Im Fall (
)
(
| |) mit |
)(
((
))
))
|
(
√∑
)
⇒
Abstand zwischen
:
|
√∑|
Bem.: Es ist möglich, auch andere metrische Strukturen einzuführen:
((
)(
))
((
)(
))
( (
∑
))
(
)
Übungsblatt: Die offenen Mengen in (
)(
) und (
)
sind gleich.
Thm.: Eine Menge
Bew.: „⇐“: Seien
mit
offene Mengen. Wollen zeigen: Dann ist
Sei (
)
, s.d.: (
(
)
(
}. Dann gilt für
)
Deshalb:
)
) ∣∣ √∑
{(
{
Sei
)
, s.d.: (
Wir wollen zeigen
(
(
⇒
)
(
)
⇒
(
}
):
)
)
also:
(
)
offen
(
offen
offen.
beliebig, d.h.:
offen ⇒
(
⋃
ist offen
)
Geometrie/Topologie I
„⇒“: Sei
S e i t e | 13
offen.
Idee:
mit
offen und mit
.
Dann:
⋃
(
Sei
). Wir suchen
ist offen und (
(
)
)
(
für ein
√
(
).
. Wir suchen deswegen , s.d.:
{(
)
)∣
∣
) ∣ √∑
∣
{(
Sei
der Form (
(
}
)
(
(
)
) }
. Dann:
)
(
⇒ √∑
√∑
)
√
also:
(
Bsp.:
)
(
(
| |)
(
)
{(
) ∣∣ √(
(
{(
)∣|
{(
) gilt:
)
| |)
)
|
(
|
)∣
(
)
}
}
|
(
)
)}
(
(
)
Konvergenz in einem Produktraum:
Def.:
(
()
)
⏟
Folge
()
(
()
()
)
(
()
(
()
)
(
()
()
)
(
Lem.:
a) (
()
()
)
b) Eine Folge (
()
{
in
)
}
ist eine Cauchy-Folge
Cauchy-Folge
Bew.:
()
)
b) „⇒“: (
()
a)
(
√∑
)
(
)
Cauchy Folge:
, s.d.: (
(
()
()
( )
)
()
( )
√∑ (
)
()
( )
)
)
)
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 14
()
Cauchy-Bedingung für (
()
„⇐“: Seien (
)
Sei
( )
Kor.:
( )
()
{
()
)
. Seien
}
√∑
)
(
()
)
)
⇒
(
()
)
()
). Sei
gesucht!
. Dann:
( )
()
√∑
)
()
(
()
)
⇒
Cauchy
(
Definiere
()
vollständig
()
Cauchy,
(
√
vollständig
Bew.: „⇐“: (
()
Cauchy-Folgen,
mit (
(
)
)
)⇒
()
mit
()
.
.
1.4 Kompaktheit
Bem.: Schon bekannt: beschränkte, abgeschlossene Mengen
Bolzano-Weierstrass (bzw. Heine-Borel):
(
()
sind (folgen-)kompakt, d.h.:
)
(
( )
) Teilfolge, die gegen
konvergiert.
Def.:
heisst kompakt, wenn jede offene Überdeckung {
Ein metrischer Raum
}
von
eine
endliche Teilüberdeckung besitzt.
Bem.:
-
ist offen und ⋃
offene Überdeckung heisst:
-
Allgemein:
eine offene Überdeckung von
Teilüberdeckung
{
Def.:
}
, s.d.: {
}
bedeutet: ⋃
{
ist eine (endliche) Überdeckung.
}
heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung von
(d.h. für jede Überdeckung {
mit (
Lem.: Sei
}
mit
die Kompaktheit als Teilmenge
ii)
die Kompaktheit als metrischer Raum (
Bew.: Entscheidend:
offen
|
mit
)).
offen mit
⇒
Sei
}
⋃
{
}
)
offen.
kompakt als Teilmenge. Sei { }
offen (Als Teilmenge von (
⇒⋃
{
offen
) metrischer Raum. Dann sind äquivalent:
i)
- „ ) ⇒ )“:
eine Teilüberdeckung besitzt.
⋃⏟
endliche Teilüberdeckung {
{
}
{
}
}
{
{ }
}
.
eine Überdeckung von
mit
)
Geometrie/Topologie I
⋃
{
S e i t e | 15
(⋃
⏟
⋃
}
)⋂
- „ ) ⇒ )“: UE
Lem.:
kompakt ⇒ jede abgeschlossene Menge
Bew.: Sei {
}
ist kompakt.
offene Überdeckung von .
ist offen:
{ }
⏟
{
⏟
Sei {
}
Lem.: Sei (
Bew.:
{
}
offene Überdeckung von X
{
}
} Teilüberdeckung von
) ein metrischer Raum.
nicht abgeschlossen ⇒
kompakt ⇒
({ }
}
{
}
Überdeckung von
abgeschlossen.
nicht kompakt.
nicht abgeschlossen bedeutet: ( )
Sei
⇒{
{ }
, die gegen
konvergiert.
)
Beh.:
- {
}
-
ist offen,
ist eine Überdeckung von E
- Es gibt keine Teilüberdeckung, die endlich ist
Bew.:
{ }
- ⋃
-
offen
{ }
- {
}
}
{
wegen { }
}
Überdeckung
{ } abgeschlossen.
endlich
({ }
⋃
⇒{
in
{ }
)
⇒ keine Überdeckung
eine Folge, die gegen konvergiert. Dann ist { }
Lem.: Sei ( )
{ } abgeschlossen.
27.09.2012
Bem.:

Folgenkompaktheit (FK)
{

}
eine konvergente Teilfolge, die gegen
konvergiert.
Kompaktheit (K)
Für jede offene Überdeckung von
gibt es eine endliche Teilüberdeckung
Bem.: Folgenkompaktheit ⇒ Vollständigkeit
Bew.: Sei {
}
(folgenkompakt) eine Cauchy-Folge. FK ⇒ {
Beh.:
Bew.: Sei
⇒
, s.d.:
Cauchy-Bed.: ̃, s.d.:
setze:
Sei
{
, wähle
⇒ (
)
̃⇒ (
)
̃ }.
. Deswegen:
} Teilfolge und
mit
Geometrie/Topologie I
(
)
S e i t e | 16
(
)
(
)
Bem.: Der obige Beweis ist „verbatim“ wie der in Analysis I.
Def.:
(
) metrischer Raum.
heisst beschränkt, falls
und
( ).
mit
(z.B. die Erde als metrischer Raum ist beschränkt).
Frage: Vollständigkeit + Beschränktheit ⇒ Folgenkompaktheit
Bem.: Im
ist eine abgeschlossene (
vollständige), beschränkte Teilmenge folgenkom-
pakt (Heine-Borel/Bolzano-Weierstrass).
(
Bem.: im
{|
)
| }⇒(
) ist ein metrischer Raum ⇒ beschränkt,
aber nicht folgenkompakt (Bsp natürliche Zahlen)
Def.:
(
) heisst totalbeschränkt, falls
⋃ (
, s.d:
)
endliche Überdeckung von
mit (offenen) Kugeln mit Radius
.
Bem.: Kompaktheit ⇒ totalbeschränkt
: nehmen { (
Bew.: Sei
)}
⇒
Teilüberdeckung, d.h. eine Überdeckung mit
endlich vielen solchen Kugeln.
Haupttheorem: Die folgenden Sätze sind äquivalent:
) (metrischer Raum) ist kompakt.
( )
ii) (
) ist folgenkompakt.
(
)
iii) (
) ist vollständig und totalbeschränkt.
(
)
i)
(
Bew.:
-
„ ⇒
“:
Widerspruchsbeweis: Sei {
Beh.:
{
}
eine Folge, s.d.
konvergente Teilfolge.
} besitzt eine konvergente Teilfolge
{
)}
(
∣
, s.d.:
.
Bew.:
„⇒“: Sei {
Sei
} eine konvergente Teilfolge und sei
: Konvergenz ⇒
(
⇒
)
„⇐“: Sei , s.d.: {
: {
[{
( )
( )
( )
( )
}, s.d.: {
∣∣ (
{
{
)
)}
(
} Teilfolge von {
}
(
, s.d.:
(unendlich viele!)
∣
( )
ihr Grenzwert.
∣
∣
)
(
ist eine Teilfolge von
}
( )
(
}
{
(
∣
) }]
)}
( )
!
: die Glieder der ursprünglichen Folge, die in
Cantorsches Diagonalargument:
)
(
) enthalten sind.
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 17
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
ist eine Teilfolge von {
(
( )
)
( )
⇒
}
konvergente Teilfolge
[zweites Argument:
, s.d. (
sei
Sei {
⇒{
)
{
}
} s.d. keine Teilfolge konvergiert ⇒
} s.d.:
( ), s.d.: (
]
( )) nur
endlich viele Glieder der Folge enthält.
( ))}
Sei dann: { (
Beh.:
eine Überdeckung
keine Teilüberdeckung, die endlich ist.
( ))}
Bew.: { (
{
}
Glieder der Folge {
-
„
⇒
⇒⋃
( )) enthält nur endlich viele
(
} ⇒ keine Überdeckung
“:
⇒ Vollständigkeit: schon gezeigt.
. Gesucht: { (
Sei
( )
⇒⏟
sei
)}
{
}
Überdeckung
( )
⏟
( )
( )
(1) ⇒ fertig
( )
(2) ⇒
( )
falls
( ) ⇒ fertig
( ( )
sonst:
( ))
( ( )
⇒
( ))
Das Verfahren endet ⇒ Überdeckung gefunden.
Das Verfahren endet nicht:
{
}
⇒{
}
(
( )⇒ (
⋃
Folge mit
)
(gilt auch für jede Teilfolge) ⇒ keine Teilfolge erfüllt
)
die Cauchy-Bedingung ⇒ keine Teilfolge konvergiert
-
„
⇒ “:
Lem.: Eine Teilmenge
eines totalbeschränkten Raumes ist totalbeschränkt.
. Sei { (
Bew.: Sei
⇒
(
)}
{
⇒ (
)
(
)
keine Kugel in E).
(
)
(
)
}
eine Überdeckung. Falls
)
(
ist eine Kugel in ! (wäre
)
, dann wäre
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 18
)⇒ (
(
)
⇒ (
)
(
)
(
)
also:
⏞
{ (
} (endlich viele):
)
⋃ (
Lem.: Sei
)
(⋃ (
))
ein totalbeschränkter Raum. Dann besitzt jede Folge in
Bem.: mit diesem Lemma haben wir
⇒
eine Cauchy-Teilfolge.
(da wegen der Vollständigkeit jede
Cauchy-Teilfolge auch konvergent ist)
Bew.: Folge {
}
Sei
(
Totalbeschränktheit ⇒
⇒
Teilfolge {
⇒
( )
(
)
}, die in einer Kugel mit Radius 1 enthalten ist.
Überdeckung mit endlich vielen Kugeln mit Radius
(
{
( )
)
)
(
} Teilfolge mit {
( )
)
} in einer Kugel mit Radius .
Cantorsches Diagonalargument:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
( )
( )
}
Teilfolge von {
⇒
(
Wähle also
(
( )
( )
( )
( )
( )
. Sei
)
)
( )
}
Kugel mit Radius
Cauchy-Bedingung
so, dass
. Dann für
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 19
02.10.2012
-
⇒ “:
bleibt zu zeigen: „
Abzählbarkeitsaxiome:
1) Ein metrischer Raum (
) heisst separabel, falls
dicht und abz. ⇒
(Beispiel:
ist separabel)
Eine Basis für einen metrischen Raum (
2) Def.:
dichte, abzählbare Menge
) ist eine Familie
offener Men-
gen, s.d. jede offene Menge die Vereinigung von Elementen von
{ (
Bem.:
ist.
} ist immer eine Basis für .
)∣
(jede offene Menge ist die Vereinigung von offenen Kugeln)
Def.:
Ein metrischer Raum erfüllt das 2te Abzählbarkeitsaxiom (2AA), wenn er eine
abzählbare Basis besitzt.
(Beispiel:
Thm.: Jede Teilmenge
{ (
mit
})
)∣
eines separablen metrischen Raumes ist separabel.
abzählbar und dicht (
Bew.: Separabilität ⇒
(
(
eine Teilmenge:
Vorsicht: kann sein dass
). Sei
)
.
{ }
Sei
)
Betrachte {(
(
)
)
wählen wir
Beh.:
(
)
(
) ⇒ { }(
⏟
}
)
ist dicht
Bew.: z.z.:
{ }
o.B.d.A.: (
⇒
wissen wir: { } s.d.
)
(
)⇒
⇒
⏟
⇒ (
)
(
(
)
(
)
)
(
)
. Totalbeschränktheit ⇒
⋃
⇒
{
⇒
) ein totalbeschränkter metrischer Raum ist, dann ist
Bew.: Sei
Sei
)
mit
Wegen der Dichtheit von
Lem.: Falls (
(
so dass
( )
( )
∣∣
∣
ist abzählbar!
(
( )
mit (
{
( )
( )
( )
separabel.
s.d.
)
( )
)
( )} }
⋃{
( )
∣∣
∣
{
( )} }
Geometrie/Topologie I
Beh.:
S e i t e | 20
ist dicht.
Bew.: Sei
. Wähle
( )
(
( )
⇒
mit
mit
)
Vorgehen:
-
Thm.: Ein metrischer Raum erfüllt das 2te Abzählbarkeitsaxiom
-
Bem.: Mit dem letzten Lemma und dem Theorem folgt: Falls
dann erfüllt
-
ist separabel.
totalbeschränkt ist,
das 2te Abzählbarkeitsaxiom.
Thm.: Ein , das das 2te Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, hat die Lindelöf-Eigenschaft.
Bem.: Lindelöf-Eigenschaft: Jede offene Überdeckung besitzt eine abzählbare Teilüberdeckung.
Lindelöf ⇒ Komaktheit
-
Bem.:
-
zusammenfassend:
( )
⇒
o
( )
Thm.: Sei (
( )
⇒ separabel ⇒ 2AA ⇒ Lindelöf
o
( )⇒
) ein metrischer Raum.
ist separabel
erfüllt das 2te AA.
Bew.:
-
„⇐“: Sei
eine abzählbare Basis der Topologie (Menge von offenen Mengen) von ,
{ }
d.h.:
⇒
und
offen
offen,
⋃
so dass
mit
und
.
: { } ist dicht, denn:
(
-
{ }
„⇒“: Sei
{ (
). (
} ist abzählbar, da alle
offen,
(
(
(
)
(
)
(
)
usw.
. Wegen der Dichtheit von { }
mit
{
}
(
⇒
), aber ⏟(
(
)
(
)
)
⏟(
)
⏟(
(
abzählbar.
)
)
also: Sei
und
( )
mit
⇒
Bew.: Sei
(
mit
dicht.
)∣
Beh.:
) ist offen! ⇒
)
)
(
⇒
)
(
, denn:
)
⇒Beh.
wegen
Bem.: ( ) ⇒ Basis:
⋃
„ “:
⇒
⋃
√ „ “:
⋃
⇒
√
mit
).
Geometrie/Topologie I
Thm.: Sei
S e i t e | 21
ein metrischer Raum mit abzählbarer Basis . Dann gilt
Lindelöf-Eigenschaft:
Sei {
}
eine Familie offener Mengen. Dann {
}
abzählbare Teilüberde-
ckung mit
⋃
Bew.: {
⋃
}
.
⋃
mit
{
ist abzählbar. Sei { }
}
⇒⋃
Beh.:
⋃
eine Nummerierung ⇒ wähle
⋃
Folgenkompaktheit + Lindelöf ⇒ Kompaktheit
Bew.: durch Widerspruch:
(
offene Überdeckung von
), aber
endliche Teilü-
berdeckung.
Lindelöf ⇒ Sei { }
⇒
{
abz. Teilüberdeckung ohne endliche Teilüberdeckung
(
).
} Teilfolge, die gegen ein
konvergiert.
⇒
überdeckt nicht
}
aber:
Folge:
⇒ {
mit
⇒
⇒ wähle
mit
(
)
. Für
(
gross genug ist
)
und
⇒
⇒
04.10.2012
1.5 Stetigkeit
-
durch Folgen
-
mit und
-
mit offenen Mengen
Def.:
Seien (
(
)
)(
) zwei metrische Räume und
( )
ist stetig in
))
( ( ) )
, falls:
.
ist stetig, falls
Lem.: (Folgenkriterium
.
stetig für jedes
.
- )
stetig auf
, s.d.: ( (
Bew.:
-
„⇒“:
(
stetig an der Stelle , aber
)
( ( ) )
, s.d.
(
) aber so dass
Geometrie/Topologie I
(
)
aber ( ( ) ( ))
⇒
( )
( )
-
S e i t e | 22
. Zu zeigen: (
„⇐“: - (Annahme). Sei
: Suchen , s.d. ( (
Sei
s.d.: ( (
Wissen:
⇒ ( (
)
( )
) ( ))
))
( ( ) ), d.h. (
)
⇒ ( ( ) ( ))
) ( ))
⇒ die Folge (
) konvergiert gegen ( )
Bem.: Stetigkeit in einem kleineren Definitionsbereich
-
1. Möglichkeit:
Schränke
ein: (
auf
Benutze die Def. mit
statt :
, falls {
ist stetig an der Stelle
-
}, die gegen
konvergieren gilt: (
)
( ).
2. Möglichkeit:
mit (⏟(
Def.:
) ist ein metrischer Raum („metrischer Unterraum“)
)
( ( ) )
)
Gleichmässige Stetigkeit
heisst gleichmässig stetig, falls:
, s.d. ( (
Thm.: Falls
))
( ( ) )
gleichmässig stetig ist und
ein vollständiger metrischer Raum, dann:
stetige Fortsetzung.
{
Bew.: Ue. Hinweis:
Dann { (
}
mit
)} ist eine Cauchy-Folge
Thm.: Falls
stetig ist und
kompakt, dann ist
gleichmässig stetig.
s.d. (
Bew.: Gleichmässig stetig (GS)
)
⇒ ( ( ) ( ))
Angenommen, dass (GS) falsch ist, d.h.:
s.d. (
Sei
⇒
s.d. ( (
Stetigkeit ⇒
(
gross:
)⇒
Dreiecksungleichung: ( (
Thm.:
) ( ))
.
4)
Kompaktheit:
Für
, aber ( (
. Sei
(
Sei
)
( (
) (
( ) ist abg.
( ( )
) ( ))
))
( ) ist offen
stetig
))
).
( (
5
offen
abg. (
(
s.d. (
)
)
( ))
Bew.:
-
„⇒“
offen,
stetig.
( ): suchen
Da ( )
und
offen:
( ), d.h. ( (
s.d. ( ( ) )
))
) ( ))
Geometrie/Topologie I
s.d. ( (
Stetigkeit:
-
„⇐“:
S e i t e | 23
( ) offen
s.d.
))
))
Bem.:
stetig und
Lem.:
(
kompakt,
Sei {
{
(⏟( ( ) ))
⏟
. ( ) muss nicht offen sein
kompakt. Dann ist ( ) kompakt.
stetig ⇒ ( ) kompakt.
( )⇒
⇒
stetig ⇒
)
( ) offen! z.B.
offen
}
}
(
)
stetig und
Bew.:
s.d.
( ( ) )
⇒
⇒
offen.
suchen ein
( (
( ( ) )
s.d. (
{
(
)
.
} Teilfolge, die gegen
)
( )
( )
Bem.: andere Richtung gilt nicht:
( )
{
ist nicht stetig, aber ( ) kompakt
konvergiert.
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 24
2 Topologische Räume
Def.:
Ein topologischer Raum ist

eine Menge

zusammen mit einer Familie
von Teilmengen von
(
wird Topologie genannt, und die
entsprechenden Elemente sind die offenen Mengen), s.d.:
o
Def.:
o
eine beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen
o
jeder endliche Schnitt offener Mengen ist offen
Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heisst abgeschlossen, falls ihr Komplement offen ist.
Bem.:
-
abgeschlossen
-
Ein beliebiger Schnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
-
Jede endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Def.:
Sei
eine Teilmenge eines topologischen Raumes:
-
ist im Innern von , falls
-
ist ein Häufungspunkt von , falls
{
-
}
}
(
Def.:
{
}
ist dann eine Umgebung von .
Umgebung (Folgenkriterium i.A. falsch)
⋃
{
∣
konvergiert gegen , wenn
-
.
⋂
{
-
offen mit
)
}
Umgebung
von
mit
⇒
Bem.: Existenz einer dichten abzählbaren Menge heisst „der Raum ist separabel“
Def.:
ist dicht, wenn
09.10.2012
2.2 Unterraumtopologie
(
Def.:
Bem.:
)
{
Sei
∣
} ist die Unterraumtopologie.
ist tatsächlich eine Topologie!
z.B.: seien { }
, s.d.
(⋃
⏟
⏟
dann: ⋃
)
endlich:
⋂
(⋂
⏟
⏟
deswegen ist (
)
) ein topologischer Raum.
Geometrie/Topologie I
zur Erinnerung: Lemma: Sei (
) ein metrischer Raum. Sei (
offenen Mengen in
ist abgeschlossen
Bew.:
abg.
Kor.:
abg. mit
offen
offen mit
)
(
Seien
) ein metrischer Unterraum. Die
sind die Unterraumtopologie!
Bem.:
(
S e i t e | 25
)
abg. mit
(
)
. Dann gilt:
(die abgeschlossene Hülle von
Bew.: abg. Hülle von
in )
(die abgeschlossene Hülle von
in
⋂ (
⋂
(
)
)
⋂
(
⏟
)
Bem.: Mit dem offenen Kern ist die Aussage falsch, d.h. für
(offener Kern von
-
in )
der offene Kern von
in )
in
enthält keinen internen Punkt
ist leer, denn
⇒
aber betrachten wir
gilt i.A.:
(offener Kern von
(
-
in )
.
ist ein Häufungspunkt von
)
als topologischen Raum mit der Unterraumtopologie, dann ist
offen für diese Topologie ⇒
ist sein innerer Kern in
2.3 Stetigkeit
Def.:
Sei (
) ein topologischer Raum,
(
s.d.
Def.:
Eine Umgebung von
(
)(
ist eine Teilmenge
)
) topologische Räume,
.
( ) ist eine Umgebung von
, falls:
Umgebung von ( ).
𝑌
nicht stetig
𝑋
ist stetig an der Stelle
𝑓
𝑦
𝑓(𝑥)
𝑥
Bem.: Wenn
und
metrische Räume sind: diese Definition ist eine „Übersetzung“ der „metri-
schen“ Definition der Stetigkeit.
Def.:
Bem.:
( ) ist offen
heisst stetig, falls
stetig
stetig auf jedem
offen.
.
Bew.:
-
„⇒“:
Sei
, sei
eine Umgebung von ( ) ⇒
ist offen. Wegen
⏟ ( )
( )⇒
offen mit ( )
⇒
( ) ist eine Umgebung von
( )
Geometrie/Topologie I
⇒
-
„⇐“:
stetig an der Stelle .
Bemerkung:
Sei
ist eine Umgebung von jedem
, sei
.
( )⇒ ( )
offen, und
ist eine Umgebung von ( ) ⇒
( ) ist eine Umgebung von
( ) ist offen.
⇒
Seien
offen
stetig für jedes
⇒
Def.:
S e i t e | 26
und
zwei topologische Räume und

ist umkehrbar

und ihre Umkehrfunktion
.
ist ein Homöomorphismus, falls:
sind stetig
Bem.: anschaulich: jedes Objekt, das man aus Knete formen kann; aber nicht homöomorph, wenn
man ein Loch bohrt oder die Knete in zwei Teile aufteilt.
Bsp.:
Kugel im
{| |
:
homöomorph, d.h.
} und Würfel im
{
:
} sind
Homöomorphismus
Hinweis: Zeigen, dass
und
homöomorph, und dass
und
homöomorph
Bem.: homöomorph = Äquivalenzrelation
Lem.:
topologische Räume,
offen ⇒ (
Bew.:
stetig. Dann ist
) ( )
( )) offen, da
(
Kor.:
ist ein Homöomorphismus, wenn
Bew.:
ist umkehrbar und (
stetig!
( ) offen (g stetig)
Homöomorphismen
)
Bsp.:
-
und
sind homöomorph
Vorsicht:
-
surjektiv und stetig (Peano-Kurve)
{ } sind nicht homöomorph
und
]
Bem.:
]
und
Bew.: Sei
]
sind nicht homöomorph
stetig.
ist stetig: sei
Falls
⇒
.
offen:
s.d. ( )
und
) ist offen in
s.d. ( )
auch surjektiv ist, dann
zwischen
⏞
(
( )
und
s.d. ( )
5
⇒
, aber
2.4 Die Basis einer Topologie
Def.:
Sei (
) ein topologischer Raum. Eine Basis der Topologie ist eine Teilfamilie
jedes
die Vereinigung (kann auch überabzählbar sein) von Elementen
{
Satz:
}
s.d.
Basis
Bew.: „⇒“: Sei
„⇐“:
offen,
offen,
⋃
und
⋃
⇒
mit
mit
s.d.
⇒
.
mit
. Dann:
⋃
s.d.
ist, d.h.:
Geometrie/Topologie I
Thm.: Sei
S e i t e | 27
{
( ),
eine Menge und
}
ist eine Topologie
1)
mit
2)
s.d.
Bew.: UE
Def.:
Ein topologischer Raum erfüllt das 2te Abzählbarkeitsaxiom, wenn er eine abzählbare Basis
der Topologie besitzt.
Thm.: Ein topologischer Raum, der das 2te AA erfüllt, besitzt die Lindelöf-Eigenschaft:
und für jede offene Überdeckung von
gibt es eine abzählbare Überdeckung.
11.10.2012
(
{
)
Def.:
}
Punkte nicht topologisch trennbar, Topologie zu grob
Trennungsaxiome:
Ein topologischer Raum

heisst:
-Raum, falls es für jedes Paar
aber
mit
eine offene Menge gibt, die
enthält,
nicht.
Bem.:
-Raum
alle Punkte abgeschlossen:
Bew.: „⇒“:
( ) offen s.d.
mit
{ }
( )⇒
⋃
( )
ist offen ⇒ { } abgeschlossen.
„⇐“: Sei { } abgeschlossen ⇒

{ } offen und enthält alle
-Raum (Hausdorff-Raum), falls für jedes Paar
Mengen
mit
existieren disjunkte offene
s.d.
gewährleistet, dass konvergente Folgen eindeutige Grenzwerte haben:
, falls
( )
( )
, falls
( )
( )
( )
⇒ in

( ) mit ( )
-Raum, wenn er regulär ist und
Def.:
Def.:
disjunkte offene Mengen
Ein topologischer Raum heisst normal, wenn
⇒
⇒
⋂
existieren, so dass:
abgeschlossen und disjunkt
und , s.d.
.
⇒
Ein metrischer Raum ist
Bew.: { }
.
erfüllt.
existieren disjunkte offene Mengen
Satz:
, dann
erfüllt.
-Raum, wenn er normal ist und
Bem.:
⇒ falls
Ein topologischer Raum heisst regulär, wenn für jede abgeschlossene Menge
und jeden Punkt

( )
(
.
) abgeschlossen ⇒
abgeschlossen ⇒
⋃{
(
( )
, s.d. (
( ))
( )
, s.d. (
( ))
( ) ∣
) ∣∣
∣
}
⋃{
(
( ) ∣
) ∣∣
∣
}
Geometrie/Topologie I
und
S e i t e | 28
sind offen, und
Beh.:
sind disjunkt
Bew.: durch Widerspruch: Angenommen
s.d. (
⇒
(
)
(
)
(
⇒ entweder
( )
(
( )
)
( )
)
( )
( )) oder
(
Lem.: Ein topologischer Raum
)
{ ( ) ( )}
( ))
(
ist normal
abgeschlossen und
offen gibt es
eine offene Menge , s.d.
Bew.:
„⇒“: Angenommen,
⇒
ist normal,
sind abgeschlossen und disjunkt ⇒
und
offen, disjunkt, s.d.
(
⇒
⏟
. Dann gilt:
Nach Annahme
offen:
und
und
)
abgeschlossen, disjunkt ⇒
„⇐“: Seien
⇒
wie oben
ist eine offene Menge, die
enthält.
.
⇒
sind disjunkte offene Mengen mit:
normal
Lem.: Urysohn
disjunkte, abg. Mengen in einem normalen topologischen Raum. Dann gibt es eine steti], so dass
ge Funktion
Bew.:
offen,
auf
und
auf .
abg.,
dyadische rationale Zahlen sind rationale Zahlen der Form
⇒
abg.,
⇒
, die dicht sind in .
s.d.
offen, s.d.:
⇒
offen, usw.
Für jede dyadische Zahl
(
) konstruieren wir
, s.d.
1)
2)
3)
]
Definieren:
Dann gilt:
Beh.:
( )
{
auf
{ ∣
auf .
}
ist stetig
Bew.: Sei
. Angenommen
( )
( )
( )
⇒
{
für
⇒
Sei
∣
. Sei
( )
}
( )⇒
nach 1)
offene Umgebung von
⇒
( )
⇒| ( )
( )|
( )
( )
( )
Geometrie/Topologie I
Satz:
S e i t e | 29
Tietze
normaler top. Raum.
Dann
∣ ( )
∣
abg. ⇒
⏟
mit (
Funktion
)
(
)
( )
(
)
|
( )
⇒|
Nach Induktion: {
1) |
)}
} abgeschlossen
( )
ist stetig,
{(⏟
} abgeschlossen, da
∣ ( )
∣
{
auf .
}
| ( )| ∣
{
|
beschränkte, stetige, reellwertige Funktion auf .
stetig, beschränkt, reellwertig auf , s.d.
{
Bew.:
abg. und
|
auf
}
|
2) |
|
Analog haben wir
{| ( )
|
( )
}
( )| ∣
|
|
|
auf
⇒ ( ) und ( ) für
stetig
|
|
|
|
(( )
( ) )
( )
Cauchy-Folge von stetigen Funktionen und konvergieren gleichmässig
∑
⇒ Grenzfunktion auch stetig ⇒
stetig
2.5 Kompaktheit / lokale Kompaktheit
Def.:
Sei
ein topologischer Raum.
heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung von
eine
endliche Teilüberdeckung besitzt.
Bem.:
heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung von
eine endliche Teilüberdeckung
besitzt.
Lem.:
kompakt und
Bew.: Sei
⇒
abgeschlossen ⇒
offene Überdeckung von
kompakt.
⇒
endliche Teilüberdeckung von
{
(weil
Teilüberdeckung von .
Bem.: normalerweise:
kompakt
abgeschlossen
} ist offene Überdeckung von
kompakt) ⇒
ist eine offene
Geometrie/Topologie I
aber wenn
S e i t e | 30
Hausdorff ist (d.h. das Trennungsaxiom
Thm.: Seien
gilt!)
zwei kompakte, disjunkte Teilmengen, und
fen, getrennt mit
Hausdorff. Dann
of-
.
Bew.:
-
{ }
Schritt 1:
offen und
offen mit
.
⋃
{
}
{
ist eine offene Überdeckung ⇒
} endliche Teilüberdeckung
von
{ }
-
Schritt 2:
allgemeine kompakte Mengen.
⇒
{
{ } offen mit
offen,
}
{
⇒
ist eine offene Überdeckung von
} offene endliche
Teilüberdeckung:
⇒
und
offen!
Kor.:
kompakt ⇒
a)
Hausdorff und
b)
Hausdorff und kompakt ⇒
abgeschlossen
erfüllt
4
(ist ein normaler Raum)
Bew.:
a)
kompakt: ist
.⇒
d.h.
suchen offene Menge
kompakt ⇒
mit
,
und
kompakt ⇒ ( ) kompakt.
( )∣
eine offene Überdeckung von ( ). Sei ̃ {
Sei
mit
existiert.
disjunkt, abg. ⇒
b)
Satz:
offen?
eine stetige Abbildung.
Bew.: Sei
} ⇒ ̃ ist eine offene
Überdeckung von .
{
⇒
(
)
(
)} Überdeckung von
⇒{
mit
}
{
}
ist eine
Überdeckung von ( ).
Kor.:
stetig mit
kompakt und
a) falls
bijektiv ist: ( ) ist offen,
b) falls
injektiv ist, dann ist
Hausdorff. Dann:
offen ( heisst offene Abbildung)
ein Homöomorphismus zwischen
und ( ).
Bew.:
a) Sei
eine offene Menge in
) kompakt ⇒ (
( )
b)
⇒
ist abgeschlossen und (wegen der Kompaktheit von
) ist kompakt ⇒
(
)⇒
ist ein Homöomorphismus. Sei
offen ⇒
( ) offen ⇒
( )
) abgeschlossen:
( ) abg. ⇒ ( ) offen
bijektiv ⇒
injektiv: setze
(
die Umkehrabbildung:
( )
stetig.
ist bijektiv ⇒
( )
ist Hausdorff
( ).
Geometrie/Topologie I
Def.:
Ein topologischer Raum
S e i t e | 31
heisst lokal kompakt, falls
Umgebung von , die kom-
pakt ist.
(
offen,
Lem.: Sei
kompakt mit
.
Hausdorff und kompakt, und
Dann ist
eine abgeschlossene Teilmenge.
lokal kompakt.
Bew.: Wissen: Hausdorff + kompakt ⇒
Seien
4.
Sei
getrennte offene Mengen von
eine Umgebung von
⇒
⇒
ist dann eine kompakte Umgebung von )
(in
⏟
mit
). Sei
. Dann:
⇒
in
⇒
ist offen und
ist kompakt!
.
ist eine kompakte Umgebung von
in
!
Thm.: Alexandroff Kompaktifizierung
Sei
ein lokal kompakter Hausdorff topologischer Raum. Dann
und
kompakt und Hausdorff
mit:
( ) ist höchstens ein Punkt. Notation: ( )
a)
ist ein Homöomorphismus mit ( )
b)
Veranschaulichung:
{| |
}
∣
topologischer Unterraum
{ } ist ein Homöomorphismus
]
Bsp.:
Def.:
ist keine kompakte Menge
Eine Kompaktifizierung ist durch einen topologischen Raum
und eine Abbildung
gege-
ben, s.d.:

( )

ist kompakt

( )
ist ein Homöomorphismus
] und ]
Bsp.:
]
Sei
-
] ist eine Kompaktifizierung.
( )
,
( )
(
)
ist kompakt
ist ein Homöomorphismus zwischen ]
-
und
{(
)}
18.10.2012
Bem.:
]
]
]
In der Tat haben wir bewiesen, dass
sind nicht homöomorph.
stetig und surjektiv.
Geometrie/Topologie I
Def.:
Ein topologischer Raum
S e i t e | 32
heisst zusammenhängend, falls jede Menge
abgeschlossen ist, trivial ist (entweder
nichtzusammenhängend ⇒
Bem.:
⇒
⏟
Lem.: Sei
nichttriviale Teilmenge
, die offen und abg. ist
ein Intervall (offen, abg,…). Dann ist zusammenhängend.
OBdA:
.
̃
⇒
⇒
⇒
⋃
, dann ist ⋃
und seien
.
zusammenhängend.
mit
.
.
ist gleichzeitig offen und abgeschlossen
.
zusammenhängend ⇒
.
⇒
:
⇒
⇒
⋃
) ∣∣
}
Ein topologischer Raum
stetig mit ( )
{(
}. Übung:
)∣
ist zusammenhängend
heisst wegweise zusammenhängend, falls
und ( )
(muss nicht injektiv sein).
existiert, sagen wir, dass
und
𝑦
𝑥
und
offen, s.d.
ist dann offen und abgeschlossen in
⇒
Falls
und
nicht leer. Dann
in ! ⇒
{(
.
eine beliebige Familie von zusammenhängenden Teilmengen eines topologi-
OBdA sei
Bsp.:
.
⇒ fertig.
offen. Falls
mit
̃ !
̃ ⇒ , da
und
schen Raums. Falls
⇒
mit
. OBdA:
⇒
mit ]
⇒
Bew.: Sei
und
}. ̃ ist nicht leer!
∣
offen ⇒
}
zwei offene Mengen, s.d.
einen Punkt:
⇒
Sei {
und
ist abgeschlossen, da
Sonst enthält
{
Sei ̃
Def.:
oder ).
⏟
Bew.: Sei abgeschlossen. Seien
Satz:
, die offen und
𝑋
äquivalent sind (
).
]
Geometrie/Topologie I
Lem.:
ist eine Äquivalenzrelation.
Bew.: Symmetrie: verbindet
( )
{
( (
]
⇒
) ist stetig und verbindet
( )
))
[
]
[
]
stetig und verbindet
mit .
ein topologischer Raum. Die Äquivalenzrelation
Äquivalenzklassen (wegweise zusammenhängend ⇒
Die Äquivalenzklassen von
Bem.: Die Äquivalenzklasse von
die
induziert eine Zerlegung von
in
Äquivalenzklasse).
heissen „wegweise zusammenhängende Komponenten“ von .
ist die grösste wegweise zusammenhängende Teilmenge von ,
enthält.
Bem.: Sei
.
Sei
{
⇒
⋃
die grösste zusammenhängende Teilmenge von , die
ist zusammenhängend,
ist die grösste Menge in .
ist die „zusammenhängende Komponente“ von , die
( ) die zusammenhängende Komponente von
Bem.: Falls
enthält.
}.
⋃
Def.:
mit .
stetig.
( )
( )
( )
(
]
⇒
( )
Sei
⇒ ( )
mit
Transitivität:
Def.:
S e i t e | 33
ist, die
enthält.
( ) enthält, dann:
Fall 1:
⇒
Fall 2:
ist zusammenhängend ⇒
⇒
Def.:
⇒
und
, also:
Äquivalenzrelation:
, falls die zusammenhängende Komponente, die
enthält, auch
enthält.
Lem.:
wegweise zusammenhängend ⇒
Bew.:
nichtzusammenhängend ⇒
]
. Falls
⇒
Bsp.:
offen mit
( )
( )
:
].
⇒
⇒ Widerspruch, da
] zusammenhängend ist.
(von vorher): zusammenhängend, aber nicht wegweise zusammenhängend:
{ }
]
{(
∣
)∣
∣
.
] offen
( )
, aber
⇒
und
stetig ist und ( )
] offen,
( )
( )
zusammenhängend
]
}
Geometrie/Topologie I
(
)
]
Falls
S e i t e | 34
stetig mit ( )
]
existiert, dann:
( )
) und ( )
(
( ( )
(
).
( ))
( )
{ ∣
}
( )
( )
( )
⇒
(
( )
Wegen der Stetigkeit von
|
)
ist auch
stetig.
( )
(
( )
)
( )
Aber der Limes existiert nicht ⇒ Widerspruch.
Thm.: Seien
zwei topologische Räume und
i)
zusamm. ⇒ ( ) zusamm.
ii)
weg. zusamm. ⇒ ( ) weg. zusamm.
stetig. Dann:
Bew.:
i)
( ) nichtzusamm. ⇒ ( )
( )
⇒
( )
nichttriviale Zerlegung von .
( )⇒
ii)
]
nichttriviale Zerlegung mit offenen Mengen
mit ( )
stetig, ( )
]
( )
( )
( ) stetig, ( )
( )
( )
( )
2.6 Produkte
Def.:
Seien
topologische Räume. Die Produkttopologie auf
{
Topologie mit der Basis
{
Bem.:
}
1)
∣∣
{⋃
mit
2)
}.
∣
ist die Basis einer Topologie
ist die
} ist eine Topologie
.
mit
Bew.:
-
⇒
-
offen! ⇒
„⇒“:
s.d. ⋃
s.d.
„⇐“: Wegen der Definition ist die Vereinigung beliebiger Elemente aus wieder in . Zu zeigen:
, dann ist
⋃
⇒
⋃
zu zeigen:
. Allgemein:
)
⇒
Sei
)
⇒
mit
.
⋃
.
⇒
mit
Bleibt noch zu zeigen:
Sei
. Es genügt:
⋃
. Für die leere Menge offensichtlich. Für :
⇒
⋃
.
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 35
Produkttopologie:
Lem.:
{
top. Räume. Dann ist
} eine Basis von
∣
.
Bew.:
! 2) ist klar. Noch zu zeigen:
Seien
und
(
Sei
)
mit
:
.
(
)
(
)
, aber
ist of-
fen
(⏟
⇒
)
(
)
(
)
(
)
Bsp.:
𝑈
𝑈
𝑈
Bem.: (
𝑈
) metrische Räume.
induziert von
{
(„Produktmetrik“):
}
̃
Produkt-
̃.
topologie. Dann gilt:
Bew.:
̃
-
̃
jede offene Kugel
(
)
(
) s.d.
⏟ (
)
(
)
(
)
̃
̃
-
jede (offene) Menge
̃ ist die Vereinigung von Kugeln:
Kugel mit
.
⏟ (
Zusammenfassung: (
)
(
)
(
)
) metrischer Raum. Die „Topologie“ auf
Basen: {
} und {
hat zwei wichtige
}.
Thm.:

Hausdorff ⇒

(wegweise) zusammenhängend ⇒

kompakt ⇒
Hausdorff.
(wegweise) zusammenhängend.
kompakt (Spezialfall von Tychonoff).
Bew.:

Hausdorff.
⇒
⇒
mit
⇒
offen mit
Geometrie/Topologie I

z.z.:
weg. zusam. ⇒
Seien
. Gesucht:
sei
S e i t e | 36
weg. zusam.
]
( ) s.d. ( )
stetig, so dass ( )
( ( )
( )
.
( )).
Lem.: Die Produkttopologie ist die kleinste Topologie, für welche die Projektionen
sind (
(
)
( )
Satz:
).
( ) offen
offen ⇒
Bew.: Stetigkeit von
stetig
⏟
Sei ̃ eine Topologie, s.d.
stetig ist. Dann
⇒
̃
⏟
Seien
offen ⇒ Produkttopologie
top. Räume. Sei
̃
und
die Projektionen.
Dann:
stetig
Bem.:
( )
-
„⇒“:
stetig ⇒
-
„⇐“:
(
stetig,
( )
(
( ))
Bew.:
stetig
). Sei
{
}
∣
( )
⇒
⋃
( ) offen.
offen, z.z.:
Basis der Topologie,
.
( )
⋃
Sei
⏟ (
{
)
}
∣ ( )
{
∣
}
( )
( )
⋂{
]
weg. zusam. ⇒
⇒
stetig, ( )
∣
stetig mit
( ( )
}
( )
( ))
⋂ (⏟
⏟
( )
) ( )
( )
( )
( ( )
( ))
25.10.2012

zusammenhängend ⇒
z.z.:
Satz:
Seien
top. Räume,
Seien ̃
̃
̃
(̃
̃
Bew.:
zusammenhängend.
{ (̃
̃ . Dann ist die Abb.
̃
̃
(mit der Produkttopologie!)
̃ ) ein Homöomorphismus zwischen
̃
̃
̃ )∣
}, d.h. zwischen
ist injektiv und surjektiv auf ( ). Z.z.: ist stetig. Sei dazu
⋃
Zu zeigen:
Als
mit
( ) ist offen
wählen wir: ⏟
Basis ⇒
( )
⋃
( )
und
und ( ).
eine offene Menge:
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 37
( ): Zwei Fälle:
{
̃
-
̃
-
} { }⇒
( )
⇒
( )
offen ⇒
( ) offen
offen
zusammenhängend ⇒
zusammenhängend. Wir beweisen das für
(⇒ allgemein).
,
Sei ̃
̃
,
⇒
{ (̃
( )
} stetig ⇒
)∣
( )
( )
( )
⇒ entweder
̃
⇒
offen. OBdA:
̃
( )
̃
⇒
Sind ̃ und ̃ offen? Wissen:
( )
⇒
oder
̃ und ̃
( ) offen
( )
̃
offen (wegen Annahme)
{̃ }
( ) ⇒ ̃ ist offen, ̃
zusammenhängend ⇒ ̃
Sei ̃
̃
( ) ⇒ ̃ ist offen
(da wegen Ann. ̃
)
⇒

kompakt ⇒
Sei {
}
kompakt ⇒
kompakt. Es reicht:
eine offene Überdeckung von
kompakt.
. Ziel: endliche Teilüberdeckung.
𝑋
𝑡
𝑋
{(
}
)∣
( )
{
}
⇒{
)
) kompakt
überdeckt
( )
( )(
) } ist
Teilüberdeckung von
Annahme: Die Überdeckung {
( )
( )
}
) ist derart:
( )
( )
⇒{
(
kopmakt. ⇒
ist Homöomorphismus.
(
( )(
)
ist offen in
ist eine offene Überdeckung von
ein Überdeckung von
.
kompakt ⇒
ist.
ist eine Überdeckung von
( )
(
( )
( )
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
s.d.:
Geometrie/Topologie I
also bis jetzt: Falls {
S e i t e | 38
}
eine offene Überdeckung ist, dann
endliche Teilüberde-
ckung.
Sei {
}
⇒
und
{
}
(
)
ist kompakt
) } ist
(
ein top. Raum und
( )
offen mit
( )
( )
ist eine offene Überdeckung ⇒
Überdeckung ⇒ {
Lem.: Sei
⇒
eine allgemeine Überdeckung.
s.d. {
} eine
auch eine Überdeckung.
eine Basis der Topologie. Dann gilt:
offene Überdeckung
endliche Teilüberdeckung.
Bew.: (Konsequenz aus dem vorherigen Beweis)
Def.:
eine Menge und {
Sei
∏
{
}
eine Familie topologischer Räume. Das Produkt ist
∣
∣ ( )
∣
∣
⋃
}
{( )
}
Bsp.:
{(
∏
}
)∣
Bem.: Die Produkttopologie auf ∏
hat die Basis:
∣∣
∣
{( )
{
{
}}
Bsp.:
{
}
∏
Thm.: Tychonoff
⇒∏
kompakt
kompakt.
2.7 Quotienten
Bem.: anschaulich: Blatt falten ⇒ zwei Punkte am Rand, die vorher verschieden waren, sind äquivalent.
Def.:
Sei
ein top. Raum und
⁄
{ ]}
⁄
]
eine Äquivalenzrelation
{
∣
}
]
( )
Die Quotiententopologie ist die grösste Topologie auf ⁄ , für welche
eine stetige Funk-
tion ist.
⁄ ∣∣
( )
} ist eine Topologie.
Bew.: z.z.: Der endliche Schnitt offener Mengen ist offen, und die Vereinigung offener Mengen ist
{
Lem.:
offen. z.B.:
{
}
⇒⋃
. Dann
ist offen!
(
) ist offen! ⏟ (⋃
)
⋃
(
) ist offen in
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 39
( ) ( offen!)
( ⁄ ) ( ⁄ offen)
] mit der euklidischen Topologie
Bsp.:
(
)
(
)
{
Zylinder
𝑆⏟
𝑌
𝑋⁄
⁄
Beh.:
(Homöomorphismus)
]
zu beweisen: ̃
(
)
(
)
. ̃ ist ein Homöomorphismus zwischen ⁄ und ̃( ⁄ )
⁄
.
01.11.2012
]
Bsp.:
(
)
] mit der Unterraumtopologie
(
), wenn {
]
)∣
{(
⁄
(
)
]
(
stetig, deswegen
̃
)
stetig.
⁄
̃ ist wohldefiniert, weil (
(
}
)
(
)⇒
)
(
)⇒ (
)
und:
̃ ist stetig, umkehrbar, und ̃

]⁄
Mögliche Lösung: ⁄
{

andere Lösung: ̃ ist
ist stetig.
:
], wobei:
(
)
Geometrie/Topologie I
rot: ⏟ ((
))
]
Falls
und
, dann
S e i t e | 40
̃
.
( ) ist eine offene Umgebung von (
beschränkt und abgeschlossen ⇒
:
zur Erinnerung:
⁄
(
)
(
)
)])
(
)
(
)
̃( (
)])
̃(
])
oder
(
{ (
)]
(
(
)] ∣ ̃( (
(
)
)∣ (
( )
( ) ist offen.
{ (
}
)
)] ∣ (
{ (
(
)
(
)
(
)⇒ (
)⇒(
eine Äquivalenzrelation auf , s.d.:
]
( )
⁄
Bem.: Übung: Sei
)∣(
( )}
)
(
( ))
( )) ist offen genau dann, wenn:
(
)
)
(
zwei topologische Räume und
⁄
}
)
( ) ist offen in
( )
stimmt, denn (
}
)])
stetig ⇒
)
Lem.: Seien
)
offen. Zu zeigen: ̃
ist offen in
Deswegen: ̃
]
und
{ (
Sei
)]
oder
( )
] so dass
)
)])
̃
̃
(
̃( (
̃( (
̃ ist stetig: Sei
-
)])
)] (
)]
stetig.
. Wähle
̃ ist injektiv: Seien (
(
kompakt.
]
⇒ ̃( (
⇒
)]
̃ stetig und umkehrbar ⇒ ̃
kompakt
̃ ist surjektiv: Seien
-
offen.
⁄ Projektion:
Sei
-
]
))
((
( )
)
stetige Abbildung.
⇒ ( )
( ). Dann:
ist wohldefiniert und stetig.
stetig und sei
( ]). Dann ist
definiert als ( )
ste-
tig.
Einblick in die algebraische Topologie (kein Prüfungsstoff)
Beh.:
und
sind nicht homöomorph.
Bew.: Beweis durch Widerspruch: Sei
{ }
{ }
ein Homöomorphismus. Sei
{ ( )}
]
]
offen ⇒
{ } nicht zusammenhängend.
{ ( )} ist zusammenhängend, da wegweise zusammenhängend
{ ( )}
{ } stetig ⇒ Widerspruch (da das Bild einer zshg. Teilmenge nicht-
zshg. ist)
Frage:
und
homöomorph?
Die erste Fundamentalgruppe:
Def.:
Sei
ein top. Raum. Eine Schlinge ist eine stetige Abb.
Bem.: Äquivalent dazu: Eine Schlinge ist eine stetige Abb. ̃
]
.
s.d. ( )
( ).
Geometrie/Topologie I
]⁄
mit
{
mit ( )
Bem.: Triviale Schlinge:
Def.:
S e i t e | 41
Eine Homotopie zwischen zwei Schlingen
s.d.: (
)
( )
(
)
( )
und
.
sind äquivalent, falls sie homotop sind (
Def.:
und
Lem.:
ist eine Äquivalenzrelation.
]
ist eine stetige Abb.
).
Bew.:
-
: (
-
⇒
-
und
(
)
: Sei eine Homotopie zwischen
)
Bem.: Sei
( )
⇒
{
(
: Sei Hom. zwischen und
)
(
)
[
]
[
]
(
und :
)
und
(
)
zwischen und .
top. Raum. Sei ( ) die Familie der Schlingen in .
{
Betrachte ( ) ⁄
]∣
}
Sei
Homöomorphismus:
Sei
Schlinge ⇒
umgekehrt:
Schlinge ⇒
Ausserdem:
]
( ).
( )
induziert eine Abbildung ̃
( )
Schlinge
Homotopie
]
Bem.: Sei
. Dann
]
( )
stetig s.d. ( )
( )
Homotopie zwischen und :
]
]
(
)
( )
(
)
(
( )
( )⁄
.
stetig
(
𝛾 𝛾
( )
] habe
]
)
]
( ) ist eine Gruppe
Inverses Element von
)
]
( )
{
( )
(
)
[
]
[
]
], wobei
mit
]
]
( ):
𝑠
]
]
( )
(
𝜂
)
𝑝
06.11.2012
Bem.: Korrektur zu 1.11.:
Geometrie/Topologie I
Auf [
] haben wir (
. ̃
S e i t e | 42
)
⁄
̃
(
), wenn (
)
(
) oder {
}
{
} und
]
(
)]
(
)
stetig, bijektiv.
Umkehrabb. stetig, da eine surjektive Abb. von kompaktem Raum auf Hausdorff ist eine offene Abbildung. Wir brauchen also: ̃ kompakt, Hausdorff.
̃ kompakt, da
̃ ist stetig und surjektiv.
Hausdorff, da z.B. ein metrisches Raum.
Geometrie/Topologie I
Teil II:
„Klassische“ Flachen in
Skript: N. Hitchin, Chapter 4: Surfaces in
S e i t e | 43
Geometrie/Topologie I
Def.:
Eine glatte/reguläre Fläche in
Umgebung
(
)



ist eine Teilmenge
, s.d. zu jedem Punkt
existiert (induzierte Topologie), und eine Abb.
( (
) (
) (
eine
offen,
)), s.d.:
ist ein Homöomorphismus
(
) besitzt alle Ableitungen
in jedem Punkt von
sind
und
heisst Parameterdarstellung;
Bem.:
und
𝑋
heissen Parameter von .
linear unabhängig heisst:
(
)
hat maximalen Rang
(
)
( )) maximal
(
linear unabhängig.
𝑈
𝑟
𝑉
Def.:
S e i t e | 44
)
(
)
( )
𝑟𝑣
𝑟
𝑣
(
s.d.
𝑟𝑢
𝑢
Bem.: äquivalent zur obigen Definition:
Für jeden Punkt
(
(
Umgebung
von
in
und eine offene Menge
in
), sowie ein Diffeomorphismus
)
(
{ })
{ }
.
Bew.: mit implizitem Funktionensatz
𝑊
𝜓
𝑊
Def.:
Eine glatte Fläche ist eine Fläche mit einer Klasse von Homöomorphismen
bildung
ein glatter, invertierbarer Homöomorphismus ist.
, s.d. jede Ab-
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 45
𝑈
𝑈
𝜑𝑈′
𝜑𝑈
𝜑𝑈′ 𝜑𝑈
Def.:
Eine glatte Abbildung zwischen glatten Flächen
für jedes glatte Koordinatensystem
und
auf , das
ist eine stetige Abb.
enthält, und
, s.d.
definiert in einer
Umgebung von ( ) auf , die folgende Komposition glatt ist:
.
𝑓
𝜓
𝜑
𝜓 𝑓 𝜑
Bsp.:
(für Flächen in
)
1) Kugel: (
(
) in
)
2) Torus:
(
)
(
)(
)
3) Ebene:
(
Def.:
)
für konstante Vektoren
(
) Ebene: (
(
)
( (
)
besitzt eine andere Parametrisierung in Polarkoordinaten:
) (
(
) und (
) :
)), dann folgt mit der Kettenregel:
(
also:
(
)
(
)
(
)
Da
ein
alle Ableitungen besitzen).
linear unabhängig sind, dann auch (
und
Falls (
(
)
, wobei
)
Bem.: Wenn
Def.:
und linear unabhängig.
Eine Änderung der Parametrisierung ist die Komposition
Diffeomorphismus ist (invertiere Abb., sodass
Bsp.:
mit
)
)( )
eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt, ist die Jacobimatrix invertierbar.
Die Tangentialebene einer Fläche im Punkt
( )
ist der Vektorraum aufgespannt durch
( ).
Bem.: Die Tangentialebene ist unabhängig von der Parametrisierung.
Def.:
Eine glatte Kurve, die auf einer Fläche liegt, ist eine Abb.
gen, s.d. ( )
( ( ) ( )) eine parametrisierte Kurve in
( ( ) ( )) mit allen Ableitunist.
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 46
Bem.: Das bedeutet: ( ) ( ) besitzen alle Abl. und
(
)(
( )
)
( )
(
Bem.: Bogenlänge von zwischen
∫ | ( )|
Def.:
und
(
)
:
∫ √
)
∫ √(
∫ √
)
Die erste Fundamentalform einer Fläche in
ist:
Bem.: Die erste FF ist eine quadratische Form (
)
auf den Tangentialraum. Eine Mat-
rix-Darstellung dieser quadratischen Form bezgl. Basisvektoren
ist (
).
Bem.: Ausrechnen der Bogenlänge einer Kurve ( ( ) ( )) auf der Fläche:
∫√ (
)
(
)
Dies ergibt sich durch Division der FF durch
und Multiplikation der Quadratwurzel mit
.
08.11.2012
( )
Bsp.:
(
Tangentialebene
)
Bem.: Jede Kurve einer Fläche
( )
(
) lässt sich in der Form
( )
( ) darstellen, d.h.:
( ( ) ( )) ist eine Darstellung der Kurve in
𝑣
(𝑢(𝑡) 𝑣(𝑡))
𝑟(𝑢(𝑡) 𝑣(𝑡))
(𝑢(𝑡) 𝑣(𝑡))
𝑡
Bsp.:
𝑢
Ebene
𝑧
𝑣
𝑟
𝑗
𝑖
𝑥
𝑢
𝑦
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
Geometrie/Topologie I
Zylinder (
Bsp.:
S e i t e | 47
)
𝑧
𝑣
𝑟
𝑢
𝑢
𝑥
𝑣
𝑦
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
⇒
Bsp.:
Kugel
𝑧
𝑣
𝑟
𝑝
𝑎
𝑣
𝑥
𝑢
𝑢
𝑦
(
)
(
)
(
)
(
⏟
(
)
)
(
⏟
)
⇒
Def.:
Eine Fläche, die durch räumliche Drehung einer Kurve
um eine fixe Gerade
erzeugt wer-
den kann, heisst eine Rotationsfläche.
𝐴
𝒞
𝑢
Bsp.:
(
)
( ( )
( ( )
( )
( )
)
)
(
( )
( )
)
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 48
( )
(
⇒
( )
( ) )
( )
Bem.: Die erste Fundamentalform wurde eingeführt, um die Länge einer Kurve auf
Aber sie hat noch einen weiteren Nutzen: Seien
und
zu berechnen.
zwei Kurven auf der Fläche , die
sich schneiden. Der Winkel, den sie bilden, wird so gegeben:
| || |
𝛾
𝛾
𝛾
𝛾
(
Darstellung für ,
( )
( )
( (
(
( )
( )) (
)
( )
( ))
( )
( (
(
( )) (
) (
( )
) (
(
( )
( ))
( )))
))
)
⏟
⏟
(
)
(
)
( )
berechnen:
(
) (
)
⏟
⏟
(
)
⏟
Der Winkel also nur von der ersten Fundamentalform und von den Kurven ab.
Def.:
Der Flächeninhalt von dem Bereich ( )
∫|
auf einer Fläche
wird wie folgt definiert:
|
𝑟𝑢
𝑟𝑣
𝑋
𝑈
𝑝
𝑢
Bem.: Die Länge von
ren
⃗
𝑟𝑣 (𝑝)
𝑟
𝑣
und
aufgespannt wird:
(
Bem.:
∫|
|
𝑟𝑢 (𝑝)
entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vekto-
) ⃗⃗
(
𝑟(𝑈)
∫√
)⇒ ⃗
⃗⃗
(
)
Geometrie/Topologie I
Bew.: |
( ) ( )
|(( ) ( )
( ) ( )
|
( ) ( ) )
S e i t e | 49
( ) ( )
( ) ( ) )|
( ) ( )
(( ) ( )
( ) ( ) )
(
(( ) ( )
( ) ( ) )
)(
)
(( ) ( )
(
)
Bem.: Die Definition vom Flächeninhalt ist unabhängig von der Darstellung.
Bew.:
(
)
( (
) (
(
⇒
))
)
zu zeigen:
∫|
|
∫|
|
|
∫|
|⏟
|
Es gilt:
∫|
|
( )
(
) (
Bem.: Wir betrachten zwei Flächenstücke
(
)
|
)
und
(
∫|
, die durch je eine Darstellung
)
gegeben sein mögen, und eine Abbildung von
auf
. Wir wollen diese Abbildung
durch
Funktionen der Form
(
)
(
(
)
(
))
angeben.
kann man neue Koordinaten (
Auf
) einführen, indem man die Abbildungsfunktionen
zu einer Koordinatentransformation benützt, d.h. wir wählen (
und
(
Dann hat die Abbildung
)
von
auf
(
(
)
(
) so, dass
))
in diesen neuen Koordinaten die einfache Gestalt:
Das heisst: Die Werte der Koordinaten jedes Bildpunktes stimmen mit denjenigen des zugehörigen Urbildpunktes überein.
und
haben die gleichen Koordinatensysteme.
𝑔
𝑋
𝑋
𝑟
𝑟
𝑣
Zwei Flächen
𝑢
𝑣
𝑢
Def.:
𝑣
𝑟
𝑢
und
existiert, der Kurven in
𝑢
𝑣
𝑢
𝑣
heissen isometrisch, falls ein regulärer Homöomorphismus
auf Kurven in
der gleichen Länge abbildet.
Geometrie/Topologie I
Def.:
S e i t e | 50
Eine Abbildung eines Fächenstückes
Länge jedes Kurvenstückes in
auf ein Flächenstück
heisst isometrisch, wenn die
mit der des zugehörigen Bildkurvenstückes in
überein-
stimmt.
Bsp.:
-
Wir nehmen ein Blatt und biegen es: die Länge bleibt gleich!
-
Der Kegel und eine Teilmenge der Ebene sind isometrisch:
Bem.: Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Längentreue einer Abbildung gibt folgender Satz:
Satz:
Eine Abbildung eines Flächenstückes
auf ein Flächenstück
wenn bei Vorliegen gleicher Koordinatensysteme auf
Koeffizienten der ersten Fundamentalform auf
mentalform auf
Bew.: „⇐“: Sind
in dem zu
und
( )
auf
( )
von
die
übereinstimmen.
diejenigen auf
ten vorliegen sollen) die Abbildung von
Ist weiter
für jeden Punkt
mit den Koeffizienten der ersten Funda-
gehörigen Bildpunkt
die Koordinaten auf
und
ist genau dann isometrisch,
, so ist (da gleiche Koordina-
gegeben durch:
.
ein beliebiges Kurvenstück
auf . Das Bild
( ( )) kann wegen der Gleichheit der Koordinaten in der Form
( )
( )
dargestellt werden.
𝑃
𝑃
𝒞
𝒞
𝑓
𝑟
𝑟
𝑣
𝑣
(𝑡)
(
(𝑡))
𝑢
Ein Teil ̃ (
𝑢
)
(
( )
( ))
( )
von
hat die Länge:
∫ √
und das zugehörige Bild hat die Länge:
( )
∫ √
( )
( )( )
( )
wobei der Strich die Ableitung nach kennzeichnet. Stimmen für jeden Punkt von
fizienten
( )
mit den Koeffizienten
( ).
die Koef-
des zugehörigen Bildpunktes überein, so ist
Geometrie/Topologie I
„⇒“: Sollen umgekehrt
zugehörige Teil von
S e i t e | 51
und
dieselbe Länge haben, sowie auch jeder Teil von
und der
, so müssen die Integranden beider Integrale übereinstimmen.
Soll die Länge jedes beliebigen Kurvenstückes auf
mit derjenigen des Bildkurvenstückes auf
übereinstimmen, so müssen die Integranden für jedes beliebige Funktionenpaar
für jeden Wert von gleich sein, d.h.:
( ) und
für jeden Punkt.
Bem.: Wir betrachten nun die grundlegende Frage nach der geometrischen Gestalt einer Fläche in
der Umgebung eines beliebigen Punktes dieser Fläche.
Wir betrachten eine Fläche (
) und wir schieben sie in Richtung des Normalenvektors ⃗⃗
um den Betrag nach innen. Damit erhalten wir eine Familie von Flächen, die von abhängen: (
)
(
)
).
⃗⃗(
𝑛⃗⃗
𝑣
𝑟
𝑢
Bem.: Für
haben wir eine von abhängige Fundamentalform:
(
)
Jetzt berechnen wir Folgendes:
|
(
)|
(
(
(
)
)|
)
2. Fundamentalform
Bem.:

Während die erste Fundamentalform die innere Geometrie einer Fläche beschreibt, hängt
die zweite Fundamentalform von der Lage der Fläche im umgebenden Raum ab.

Die zweite Fundamentalform ist eine quadratische Form auf der Tangentialebene.

Für den durch die Parameterwerte
und
bestimmten Punkt der Fläche ist der Einheits-
normalvektor ⃗⃗ gegeben durch:
|
𝑛⃗⃗
|
𝑟𝑣
𝑟𝑢
Tangentialebene
Geometrie/Topologie I
(
⇒
(
(
Def.:
S e i t e | 52
)
⇒
)
)
}⇒
Die zweite Fundamentalform ist folgende quadratische Form:
mit den Koeffizienten:
Bem.: Die zweite Fundamentalform ist dann die quadratische Form:
(
)
Prop.: Falls die zweite Fundamentalform einer Fläche
verschwindet ist, dann ist
eine Teilmenge
einer Ebene.
⇒
Bew.:
(
⇒
⇒
(
(
)
)
)
⇒
(
(
)
}⇒
)
Konstante ⇒ Gleichung einer Ebene.
13.11.2012
Wiederholung: II. Fundamentalform einer Fläche:
Sei
eine glatte 2D-Fläche, d.h.
( ), wobei
, so dass
offen und
linear unabhängig
Umgebung von
eine
injektive Abbildung ist mit
.
𝑛
𝑟( 𝑣)
𝑟𝑣
Σ
𝑣
𝑟𝑢
𝑉
𝑢
𝑟(𝑢 )
𝑅(
𝑟(
Tangentialebene: durch
)
)
𝑛(
)
und
aufgespannt. Normalenvektor:
(
)
(
𝑅(𝑢 𝑣 𝑡) 𝑡
𝜀
]
)
(
|
|
)
⇒
𝑟(𝑢 𝑣)
𝑅(𝑢 𝑣 )
fixiert
Zweite Fundamentalform:
s.d.
: Erste Fundamentalform der „ -Fläche“.
Geometrie/Topologie I
(
|
Bemerkung:
S e i t e | 53
|
, aber
|
)
|
ist schon genug!
Satz.:
(
Damit:
(
(
)|
Bew.:
)
(
)
(
(
)
(
)
(
(
))|
(
) (
((
)|
Bem.:
(
⏟
)
)
)( )
Bem.: Ähnlich zur Hess’schen Form: (
Satz:
)
(
(
Graph von
mit
Falls
(
, dann hat die zweite Fundamentalform folgende Gestalt:
)
(
[
. Sei
)).
Sei
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
]
𝑧
𝑓(𝑥 𝑦)
𝑛
𝑝
𝑗
𝑖
𝑥
𝑉
𝑦
Bew.: Sei (
)
(
(
(
(
)
(
)
Thm.: Wenn
√
)
|
(
(
⇒
(
)
(
(
)
)
)
)
Es gilt: (
(
) sind linear unabhängig
(
(
⇒
))
)
(
(
)
|
(
(
)
)
(
(
)
(
)
)
)) (
)
)
Graph von
(
, dann:
)
(
)
))|
Geometrie/Topologie I
(
Bew.:
)
(
(
(
Kor.:
))
)
(
S e i t e | 54
(
)
)
(
)
(
)
|(
)
(
)|
(
)
√
)
, dann ist
mit
Ebene.
von : die Fläche ist der Graph einer Funktion.
⇒
in
)
(
Wenn zusammenhängend und
Bew.: In einer Umgebung
(
⇒
ist eine lineare Funktion. In einer Umgebung
von
ist
.
Sei
und
{
so, dass
in einer Umgebung von
. Sei
}.
∣
-
ist offen wegen Definition.
-
ist abgeschlossen in : Sei {
⇒
}
so, dass
s.d.
Ebene
𝑥𝑘
𝑈𝑘 s.d. Σ
Für 𝑘
und Σ
𝜋
𝑥
.
𝑈𝑘
𝜋
𝑈𝑘 𝑈 ist offen
𝑈𝑘 𝑈 nichtleer
⇒
⇒
offen und abgeschlossen, nichtleer! ⇒
zusammenhängend
Bem.: Die Fundamentalformen als „geometrische Objekte“:
⏟
(⏟
⏟
)
-Diffeomorphismus
( ( )
(
)
(
)
( (
( ( (
-
) (
) (
( ))
))
)))
⏟
⏟
linear unabhängig ⇒
linear unabhängig, falls (
) invertierbar ist
Dif-
feomorphismus
⏟
⏟
′
Lem.: (
)
(
′
)(
(
Bew.:
⏟
′
)(
) (
)
(
(
)(
Bem.:
:
(
)
)
)(
)
)
(
(
)
)(
. Dann:
)
(
)
Geometrie/Topologie I
Bew.:
(
)
(
)
S e i t e | 55
(
)
(
(
(
)
(
)( )
)
)(
(
(
)( )
)(
)( )
)(
)(
)
Beh.:
(
Bew.:
(
)
(
)
(
)
⇒{
)
15.11.2012
Rep.:
(
)
(
⟨
Bem.:
)(
⟨
⟩
(
⇒
Lem.:
|
(
)
(
)
(
)⇒
|
|
|
(
|
′
| ′
(
Im Fall B:
)
′
Bem.: Also im Fall A:
)
⟩
|
|
)(
′|
′
′
′
′|
|
|
)
)
(
(
( )
|
( )
|
)
)
(
(
)
[ (
)
( (
))]
)
Kor.:
Im Fall ( ): (
)
Im Fall ( ): (
)
(
)(
(
Bew.: (Fall A) Es gilt: (
⏟
)
)(
)(
)(
(
⏟
)(
)
)
)(
( )
( )
weil gleich der ersten Fundamentalform
Für klein genug ist (
(
Def.:
)
(
( )|
)
{(
der Fläche
) in
( )|
⇒
′
′
′
′ ′
′
(
)
(
)
(
(
(
) (
(
) (
)
(
)}.
eine Parametrisierung einer Fläche.
)(
)(
Die Gauss’sche Krümmung K ist:
Bem.:
)
)
)
)
)
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 56
Bem.:
-
ist positiv deviniert! (weil
(
-
)
( (
) (
lin. unabh.)
)) ist Diffeo.
Thm.: Theorema Egregium
Die Gauss’sche Krümmung hängt nur von
ab (d.h. zwei isometrische Flächen haben die
gleiche Gauss’sche Krümmung).
Bsp.:
]
(
)
(
]
(
)
(
)
Fläche
)
Zylinder
Bem.: Die Länge einer Kurve bleibt gleich!
( )
( )
(
)
(
)⇒
Bem.: Die zweite Fundamentalform einer Ebene ist 0. Wenn die zweite FF 0 ist, dann ist die
Fläche ein Teil der Ebene:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
( )
Bsp.:
(
)
(
)
)⇒
(
)⇒
(
)⇒
( )
(
)
(
)
)∣(
und { (
(
)
}
} sind nicht isometrisch, d.h.:
)
(1FF von ( )
s.d.
Bew:
)∣
{(
Sphäre und Ebene sind nicht isometrisch, d.h.
(
(UE)
)
(1FF der Ebene)
)
Bew.: des Theorema Egregium
Bem.: Sei
eine Fläche und
(
auf
)
eine Parametrisierung.
⏟( (
))
(
)
Projektion auf die Tangentialebene von
(
)
Bem.: Wenn
Bew.:
:
(„kovariante Ableitung“)
tangential ist, dann hängt
(
)
(
⏟
⏟
ein Vektorfeld
(
nur von
)
)
(
)
und von
ab.
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 57
⇒(
)
(
⇒( )
)( ) ⇒ ( )
(
⇒
(
(
)
)(
(
)
(
)
)
)
(
)
Damit:
(
(
)
)
(
(
Wichtig:
(
(
)
(
))
))
( )
( ): Eine Funktion von
( )
(
)(
)
Behauptung: sind alles Ableitungen von der 1FF:
-
(
)
-
(
)
(
-
)
(
)
Also sind (
) usw. alles lineare Kombinationen von
.
( ) und ( ) heissen Christoffel Koeffizienten.
Def.:
Die Riemann’sche Krümmung ( ist Tangentialvektorfeld):
(
)
Bem.: Schritt 1: Beh.: (
)
: Drehung von
Folgerung: ist eine Funktion der
( )
⇒
Bsp.:
(( )
mit Winkel
und ihrer Ableitungen
( )
( ) )
Schritt 2: (Die Riemann’sche Krümmung ist fast die Gauss’sche Krümmung)
√
⇒
Damit: Funktion von
√
und ihrer Ableitung.
20.11.2012
Schritt 1:
(
)
|
|
Wenn
(
Beh.:
)
(
⏞
)
Länge: | |
„Drehung von “ ( )
Geometrie/Topologie I
𝑅(𝑢 𝑣 𝑎)
S e i t e | 58
𝑎
𝜋
Σ
Schritt 2:
√
Schritt 1 + Schritt + letzte Vorlesung: ⇒
(
ist eine Funktion von
hängt von
Schritt 2 ⇒
⇒
√
und ihrer Ableitungen.
und Abl. ab)
(
)
Bew.:

Schritt 1:
Lem.1: (
)
(
)
(
)
Bew.: HA
Lem.2: (
) (
)
(
)(
Bew.: (
) (
)
( (
Lem.3: |
|
√| | | |
)
)
(
(
)(
)
)
mit Lem.1 berechnen
)
Damit:
(
[Bem.:
(
)
Vektorfeld mit | |, dann
]
)
(
)
(
(
)
) ⏟
(
]
)
(
(
(
)
(
)
)
)
(
(
(
(
(
)
]
⏟
)
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
⏟
(⏟
)
(
)
(
)
(
𝑛
𝑛𝑢
𝑛𝑣
𝑇𝑝 Σ
)
(
)
Geometrie/Topologie I
, falls
(
und
S e i t e | 59
linear abhängig sind.
)
𝑛
𝑛
𝜋
𝑎
𝜋
𝑎
|

|
| |
Schritt 2:
gesucht:
(
)
(
(
)
(
) (
|
|
(
)(
)
√
√| | | |
) (
) (
)
(
)
)(
)
√
√
Also hängt die Gauss’sche Krümmung
von
ab.
Gauss-Bonnet: (kein Prüfungsstoff)
-
geodätische Krümmung einer Kurve
-
Geodäte („Gerade“)
-
∫
(
)
in der Ebene: die Summe der Winkel eines Dreiecks ist
Kugel:
| |
4
, aber:
⇒
Betrachte den Kreis als eine Gerade, dann haben wir ein Dreieck
Summe der Winkel ist hier
𝜋⁄
𝜋⁄
𝜋⁄
]
Bem.: Eine glatte Kurve:
⇒ ̇ : Geschwindigkeit, ̈ : Beschleunigung
Parametrisierung nach Bogenlänge: | ̇ |
Wenn eine Parametrisierung nach Bogenlänge ist, dann heisst ̈ die Krümmung.
| ̇|
Kor.:
⇒
| ̇|
̇
̇
̇
̈
Die Krümmung ist orthogonal zur Kurve.
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 60
Bem.: Krümmung ist unabhängig von Parametrisierung: Falls andere Parametrisierung: ( )
(
Def.:
), dann: ̇ ( )
̇(
)
̈( )
̈(
Die geodätische Krümmung einer Kurve
).
auf ist die Projektion von ̈ auf ( Parametri-
sierung nach Bodenlänge).
Def.:
Die Geodäte ist eine Kurve mit geodätischer Krümmung
.
Bem.: Die Geodäte ist der kürzeste Weg!
Def.:
Sei
eine Fläche,
das normale Einheitsvektorfeld,
̈ (
einer Kurve nach Bogenlänge.
( ̈)
Bem.:
(
̇ )]
̈ (
)
( )
̇( )
eine Parametrisierung
̇)
̇
̇(
)
̈( )
̈(
)
Thm.: Gauss Bonnet
Parametrisierung einer Fläche mit
.
|
|
Behauptung:
∫
∫
𝑟
Ω
𝑅
Kurve 𝜂
̇
⇒ ̇
𝑟(𝑅)
𝛾
𝐶
(da ̇
mit
̇
̇
)
Bem.: Zusammenhang mit Winkel in Dreiecken
𝛾
𝛾 𝛾 𝛾 Geodäten
𝛾
𝛾
nicht „genug differenzierbar“, deshalb Theorem falsch (sonst in einer Ebene
∫
⇒
(
∫
(
∫
∫
)
∫
)
‼)
Geometrie/Topologie I
Teil III:
Mannigfaltigkeiten
Skript: N. Hitchin, Differentiable Manifolds
S e i t e | 61
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 62
1. Mannigfaltigkeiten
22.11.2012
Zwei Definitionen für Mannigfaltigkeiten:

„übliche“ Def.

moderne Def. (Skript) (M)
Def.:
Karte
(T)
Sei
ein topologischer Raum. Eine Karte ist ein Paar (
1)
), s.d.:
ist offen
2)
(M)
(T)
und ( ).
ist ein Homöomorphismus zwischen
Sei
eine Menge:
( )
1)
ist offen
( ) ist eine bijektive Abb.
2)
Bsp.:
(
Parametrisierung eines Teils von :
|
( ). Dann ist (
( )
)
(
(
))
) eine Karte.
Bsp.:
𝜑
𝑟
Def.:
(
)(

entweder

oder: falls
ZH
) sind kompatibel, falls:
⏟(
, dann
)
⏟(
) ist ein Homöomorphismus.
Bsp.:
𝜑
𝜑(𝑈
𝑈
𝑉)
𝜑
𝜓
𝑉
𝑋
Bem.: auch (
Def.:
Ein Atlas von
1) ⋃
)
ist Homöomorphismus.
ist eine Familie von Karten {(
({
2)
{ } s.d.
3)
sind (
}
𝜓 𝜑
)
ist eine Überdeckung von )
) und (
) kompatibel.
} s.d.
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 63
Bsp.:
(𝑈 𝜑 )
𝜑 (𝑈
𝑈)
𝑥
(𝑈 𝜑 )
𝜑 (𝑥)
(
)
(
)
Übung: Beweis der Kompatibilität von (
Def.:
) und (
).
Mannigfaltigkeit
(T) Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum , der einen Atlas besitzt. Die Zahl
in 2)
der Def. eines Atlas ist die Dimension der Mannigfaltigkeit.
(M) Eine Mannigfaltigkeit ist ein Paar (
Paare (
te in
)(
), wobei
eine Menge und
) sind die gleiche Mannigfaltigkeit, falls
ein Atlas ist. Aber zwei
( Bijektion), und jede Kar-
ist kompatibel zu jeder Karte in .
zusätzlich:

ist ein Hausdorff Raum (

besitzt eine abzählbare Basis.
).
Bem.: Im Fall ( ) sind zwei Karten immer kompatibel:
𝜑
(
𝑈
)
𝑉
𝜓
ist ein Homöomorphismus
(
) ist ein Homöomorphismus
(
)
(
(
)
im
(
)
im
)
Es gibt ein Theorem, das besagt, dass
.
Kor.:
Die Struktur der Mannigfaltigkeit im Fall ( ) hängt nur von der Topologie ab.
Def.:
Im Fall ( ) definieren wir wie folgt eine Topologie auf :
Eine Menge
ist offen, falls
Karte (
)
(
ist
) eine offene Menge in
.
Bem.: Mit dieser Topologie ist
eine Mannigfaltigkeit gemäss ( ).
Def.:
Für
schreiben wir:
Def.:
Sei (
) eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas.
{ }
{ }), falls (
und
)(
.
, falls
)
ist
analytisch ist.
definiert eine
ein
Struktur (wobei
-Diffeomorphismus: i.e.
Geometrie/Topologie I
Def.:
-Strukturen (
Zwei
(
)
) und (
gilt:
Bem.: Wenn zwei
S e i t e | 64
) sind
und
Strukturen
-äquivalent (
-äquivalent sind, dann sind sie auch
-Äquivalenz ⇒
-äquivalent.
-Äquivalenz.
-Mannigfaltigkeiten (das spart uns einige Probleme).
Lem.: Falls
ein Diffeomorphismus ist, dann muss
Bew.:
diffbar, so dass
(
)
.
Für Mannigfaltigkeiten mit Dim. 1,2,3 gilt:
Bem.: Ab jetzt nur noch
), falls (
, mit
sein.
.
)
Kettenregel:
|
|
( )
|
Deshalb:
(
( )
)|
ist die Umkehrung der linearen Abb.
Thm.1: Sei
eine
rer Wert (d.h.
| hat Rang
({ })
, dann hat
Falls
.
(
-Abbildung mit
(= maximalen Rang)
({ }) eine Struktur als
| ⇒
{ })
.
{ }. Sei
ein regulä-
({ })).
-Mannigfaltigkeit mit Dimension
.
Thm.2: Implizites Funktionentheorem
Sei
. Sei
( )
( ) linear unabhängig sind.
(
Dann: Für
)
Umgebung von
({ })
𝑚
s.d.
Umgebung von
(
{(
und
)
s.d.:
(
))
𝑛
(𝑥 𝑥 𝑓(𝑥 𝑥 ))
linear unabhängig ⇒
Bem.:
|
𝑉
linear unabhängige Zeilen ⇒ Rang von
(
| ist
.
)
27.11.2012
Bew.: von Theorem 1:
-
Schritt 1: Sei

⏟ ({ }). Wir suchen eine Karte, d.h. eine Abbildung
ist eine offene Umgebung von
bung von

( ) ist ein Homöomorphismus
Dann ist (
) eine Karte.
mit
, so dass:
offene Umge-
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 65
( )
|
(
( )
(
| )
⇒
( )
( )
)
linear unabhängige Spalten, z.B. die letzten
( )
( )
(
( )
.
( ))
| ist invertierbar (kommt im Beweis zum Impliziten Funktionentheorem vor)
Mit dem inversen Funktionentheorem folgt:
( ) ist ein
Dann ist
offene Umgebung von
-Diffeomorphismus.
eine offene Umgebung von
: ( )
Falls
so dass:
(
⏟( )
in .
( )
({ })
)
( )
⇒ |
{ }
⏟
(
)
(
Deswegen: ⏟
)
{(
( )
)
Wenn (
)
( )
Also:
∣(
( ), und
{(
( )
Wenn (
)
(
)
| und
Ausserdem:
))
((
( ))
(
( )}
)
)⇒ ( )
∣(
stetig ⇒
( ), dann
:
)
⇒
( )}
stetig
(
)
)) (
((
stetig ⇒
stetig)
-
) ∣∣
Schritt 2: { (
} ist ein Atlas, d.h.:
(
Seien (
) und (
)
(
) ist ein
-Diffeomorphismus.
) zwei verschiedene Karten mit
.
𝐺𝑝
𝐺𝑞
𝜑𝑞
𝑝
𝑞
{(𝑦
𝑦𝑛 𝑐)}
𝜑𝑝
𝑛
|
{ }
⇒ ihre Umkehrung ist
Deswegen:
ist ein
.
-Diffeomorphismus!
Noch zu kontrollieren:

Abzählbare Basis für die offenen Mengen?
Ja: wir haben die traditionelle Definition von Mannigfaltigkeit benutzt: die Topologie auf
ist die Unterraumtopologie

Ist Hausdorff?
Ja: wieder weil
Bsp.:
{| |
}
.
hat eine abzählbare Basis ⇒
auch!
Geometrie/Topologie I
( )
| |
({ }). Ist ein regulärer Wert?
⇒
|
S e i t e | 66
(
(
)
(
)
) hat Rang
Es gilt: ( )
⇒ mindestens eine Zahl ist
({ })
Theorem ⇒
Bsp.:
Für
s.d.
.
! ⇒ regulärer Wert
ist eine Mannigfaltigkeit.
:
𝑥
(
𝑝
)
𝑉
𝑉
𝑥
𝑥
( )
( )
(
)
(
(
)
(
|
(
( )
(
))
(
) ⏟(
))
)
ist die Projektion auf die ersten zwei Koordinaten.
(
Bem.: Für
) haben wir
(
)
( ( )
(
)
(
𝜑𝑞
( )
( )
( )
)!
)
𝑉
Bem.: Für nicht auf Achse:
⇒
⇒
( )
( )
könnte (
Bem.: mit dem Beweis ist
) (
( )
) (
) sein!
immer eine Projektion auf eine Ebenen (
) wenn diese Ebene das
normale Vektorfeld nicht enthält.
Def.:
Seien
ist
und
-Mannigfaltigkeiten. Sei
, falls für jede Karte (
(⏟ ( )
Bem.:
(
( )
)
)
, wobei
) in
eine stetige Abbildung. Sei
und jede Karte (
( ) eine
-Abbildung.
) in
ist
. Dann
Geometrie/Topologie I
( )
S e i t e | 67
, wobei
bedeutet:
besitzt alle Ableitungen mit Ordnung
, und sie sind stetig.
Bem.: müssen zeigen, dass die Definition nicht vom Atlas abhängt!
Sei (
) eine Karte von einem anderen Atlas, der mit unserem Atlas von
-kompatibel
ist:
(⏟
⏟
)
2. Tangential- und Kotangentialvektoren
Def.:
Eine Abbildung
ist
Bem.: Was ist die Ableitung einer
Karte (
, falls
)
-Funktion?
partielle Ableitung meiner Karte
𝜓
𝜑
(𝑥
𝑥𝑛 )
(𝑥
(
) (
)]
∑
𝑥𝑛 )
(
)
(
)
⇒ partiellen Ableitungen müssen nicht gleich sein (ausser, wenn die Ableitungen einer Karte
)
Def.:
Ein kritischer Punkt
von
(
und [
mit
ist ein Punkt
{
)] ( ( ))
s.d.
Karte (
) mit
}.
29.11.2012
Bem.: Ab heute:
Def.:
Sei
-Mannigfaltigkeiten
eine Mannigfaltigkeit mit Dimension
und
. Der Kotangentialraum an der Stelle
ist:
( )
⁄
{
( )
Bem.: Vektorraum
}
Idee:
{
( ).
ist Untervektorraum von
( ) an der Stelle .
ist der Raum der Ableitungen von
z.B. in
:
ist die „lineare Approximation“ an der Stelle
d.h.:
( )
Also:
ist linear und
( )
(
(
)
)
(|
|)
⏟
⏟
(
)
(
, d.h.
( )
( ):
Bem.:
}
( )∣
linear s.d. ( )
(
(
) mit
( ))
linear
( )
)
⏟( )
(|
|)
Geometrie/Topologie I
und so dass
𝜌
𝜌
( ) und
Falls
Bem.: Sei (
( )
auf
𝑟
Def.:
S e i t e | 68
𝑟
, dann bezeichnet
) eine Karte auf
die Äquivalenzklasse von
in
.
:
𝑛
(𝜓 𝜓 )
𝜓
𝑈
𝑥
𝑥
( )
( )
(
)
Für ( )
-te Koordinate von ( )
( )
( ( )) s.d.
( ( )) s.d.
( ( ))
( )
( ( ))
auf
𝜓(𝑈)
𝛼
( )
( )
( )
( )⇒
(
Sei
( )
𝜌
𝛼
( ) ( ( ))
Wir setzen fort
( )
auf
Zusammenfassung:
in einer Umgebung von
und
( )
( ) ist nicht trivial!
Bem.:
Idee:
in einer Umgebung von
⇒
Def.:
⇒
ist ein kritischer Punkt von
( )
Träger
{
(
)∣
}
( )
kleinste abgeschlossene Menge
, in dessen Komplement die Funktion verschwin-
det: |
Lem.: Seien
Seien
zwei Funkionen in
( )
( ) ( ( ))
Bew.:
( ) und
Bem.: Statt
oder
( ) mit
in einer Umgebung von ( ).
( )
( ) ( ( )). Dann:
in einer Umgebung von :
schreiben wir:
(
( ), weil sie ist nun auf
definiert!)
Geometrie/Topologie I
Thm.: Der Kotangentialraum
(
S e i t e | 69
hat Dimension
(die Dim. von
) ist, dann sind
). Falls
eine Basis für
eine Karte,
.
In der Tat:
( ( ))
∑
( )
(𝑥
𝑓(𝜓
𝑥𝑛 ))
𝜓
Im
(𝑥
𝜓(𝑈)
𝑥𝑛 )
ist eine lineare Abbildung.
∑
Bew.:
sind Elemente von
.
Wir beweisen zuerst die Formel (die sagt uns, dass
⟨
⟩)
Die Formel behauptet:
( )
( )
∑
( ( )) ( )
hat einen kritischen Punkt in ( ).
hat einen kritischen Punkt in , d.h.
( )
( )
⏟
∑
( ( ))
( )
(
⇒
)( )
(
( )
( ( ))
)( ( ))
hat in ( ) einen kritischen Punkt.
Schritt 2:
sind linear unabhängig:
Sei ∑
( )
∑
Insgesamt: ⇒
Not.:
Def.:
∑(
, d.h.
( ) hat einen kritischen Punkt an der Stelle
)
hat einen kritischen Punkt an der Stelle ( )
⇒
sind linear unabhängig.
∑
Der Tangentialraum
(d.h. lineare Abbildungen
ist der Dual des Kotangentialraumes.
)
⏟
( ( ))
Geometrie/Topologie I
Bem.: Wenn wir eine Karte (
wir
Idee:
S e i t e | 70
) fixiert haben, ist
für die Dualbasis auf
eine Basis für
. Dann schreiben
.
Die Vektoren in unserem Tangentialraum sind die Vektoren, die wir benutzen können, um
Funktionen abzuleiten, die nur auf der Fläche definiert sind.
( )
Bem.:
⇒ (
)
(
)
( )
( ) (
∑
, dann: (
Falls
Def.:
∑
.
)
( )
( )
)
( ), weil:
{
(zweite Definition für Tangentialraum)
Sei
. Ein Element
( )
ist eine lineare Abbildung
mit folgender
Eigenschaft:
(
)
( )
( )
( )
( )
(Leibniz-Regel)
Thm.: Beide Definitionen des Tangentialraumes sind gleich:
Bew.: In der ersten Def. ist
eine Basis von
( ) ∑
⏟
( )
.
( ( ))
∑
( ) ist eine lineare Abbildung
(
)
(
∑
( )
)( ( ))
( ( ))
∑
( ( ))
⏟
.
(
( )
)( ( ))
( )
(
∑
)
( )
( )
Damit:
∑
ist eine lineare Abbildung. Zu zeigen: es ist ein Isomorphismus.
-
„injektiv“: Sei
-
„surjektiv“:
. Dann:
( ) und
Lem.: Sei
( )
ein kritischer Punkt von . Dann gilt
Leibnizregel an der Stelle , dass ( )
Damit:
⏟
(
( )
⇒
. Also:
( )
mit der
.
)
04.12.2012
Bem:
von den 3 ausgeteilten Blättern (Bew. des Theorems):
∑
( ( ))
Geometrie/Topologie I
∑
(
( )
)
( )
∑
( )
( ), dann ist
Bem.:
Def.:
S e i t e | 71
Die Ableitung in
( ).
von
ist der Homomorphismus von Tangentialräumen:
( )
definiert durch
(
)( )
(
)
Bem.: Diese Definition ist koordinatenunabhängig.
Bem.:
1) Falls
, dann ist
bei
( ), wo-
genau die Differentialabbildung d.h.
die Jacobimatrix ist.
) )( )
((
) (
(
)
(
)( )
( )
⏟
( )
-
2)
und
(
)
(
) (
(
(
Prop.:
( )
)( )
)( )
[⇒
-Mannigfaltigkeiten
)
((
) ,
)
(
)
{(
( )
) )
)(
( )
)
(
bezüglich
) } und
(
( )
)
( )
}
, d.h.:
)( ( )) (
∑ (
)
∑
(
( )
Bew.:
⏟
]
)( )
um ( ).
( )
genau die Jacobische Matrix von
((
(
(
) lokale Karte von
Dann ist die Matrixdarstellung von
{(
)
-Mannigfaltigkeiten,
(
um ,
)(
Karte]
bzw. -dimensionale
Karte von
(
)
)
( )
( )
( )
-te Spalte von ( ) ist [
((
) )]
((
. Daher möchten wir
( )
{(
)
(
( )
( ( ))
(
Sei
((
) )
)
)
( )
} schreiben.
( )(
)( ( ))
((
)
)
( )
)( ( )). Dann:
(
) ( ))
(
(
( )
)
( ( ))
)
) ) in der Basis
)
Geometrie/Topologie I
∑
(
( )
∑
)
(
)|
(
)
∑
)
( )
(
Kor.:
S e i t e | 72
(
)
)( ( )) (
(
)
Bew.: wie oben mit
Satz.:
Sei
,
( ) eine
Dann ist
( ) die Ableitung
, s.d. in jedem Punkt
-Mannigfaltigkeit der Dimension
surjektiv ist.
.
Bew.: analog zu früher
Def.:
Eingebettete Mannigfaltigkeit
Eine Mannigfaltigkeit
dung
1)
ist eine Untermannigfaltigkeit von , wenn es eine Inkusionsabbil-
gibt mit
ist
2)
ist injektiv,
3) Die Topologie der Mannigfaltigkeit auf
ist die induzierte Topologie auf .
Bem.: warum braucht man 3)?
z.B. ( )
(
(
offene Umgebung von .
(
))
für
(
).
schneidet die Karte in (
) ist nicht offen in der induzierten Topologie (da
) und in (
)⇒
auch (
) ent-
hält).
3. Vektorfelder
3.1 Tangentialbündel
Bem.:
∐
ist
Sei (
⋃{ }
-dimensionale Mannigfaltigkeit.
) lokale Karte für
kriegen eine Bijektion:
definiert durch:
um . Dann bilden (
)
(
) eine Basis für
. Wir
Geometrie/Topologie I
(
)
S e i t e | 73
∑
(
)
Damit:
(
)
( )
∐
06.12.2012
Bem.:
⋃{ }
∐
(
∐
(
)
)
∑
(
)
( )
∐
ist offensichtlich eine Bijektion.
⋃{ }
Sei
⇒
⋃
Karte auf
Für
.
gilt:
(
(
)
(
)
) Koordinaten auf
offen (in
(̃
(
(
), da
̃ ) Koordinaten auf
) offen
, dann:
)
Wegen vorhergehendem Korollar:
(
)
∑
(
)
⏟
(
)
̃
̃
Damit:
(
Die Jacobi-Matrix ist
Inverse und (
Def.:
)
, linear in
(̃
̃ ∑
̃
∑
̃
)
und invertierbar. Deshalb ist auch
mit
-
) definiert also einen Atlas.
Das Tangentialbündel von
ist die
-dimensionale differenzierbare Struktur auf
, defi-
niert durch obigen Atlas.
Bem.: Falls
Hausdorff und
, dann auch
Bem.: Die Projektionsabbildung
.
, die einem Vektor
glatt mit surjektiver Ableitung. In lokalen Koordinaten:
̃(
Damit:
)
(
)
den Punkt
zuordnet, ist
Geometrie/Topologie I
( )
S e i t e | 74
(
̃
)
( ) ist der Vektorraum
Die inverse Abbildung
, und wird als Faser von der Projektion
bezeichnet.
Def.:
Ein Vektorfeld auf
ist die
-Abbildung:
s.d.
Bem.: Da
, gilt in lokalen Koordinaten:
(
)
( )
(
( ))
( ) glatt sind. Damit ist der Tangentialvektor ( ) gegeben durch:
wobei
( )
( )(
∑
)
Bem.:
1)
Projektion
Dann heisst die
-Abb.
mit
ein Schnitt (falls
, das ist
2) Natürlich kann man die analoge Konstruktion mit dem Kotangentialraum
machen, indem man als Basis (
)
(
) anstatt der Dualbasis (
z.B.)
statt mit
)
(
) be-
nutzt.
Prop.: Folgende Aussagensind äquivalent:
i)
ist ein Vektorfeld
( )
ii) Für jedes
iii) Für jede Karte (
( )
( )
) auf
(
)):
∑
( )(
ist
(
,
) haben wir in der lokalen Repräsentation (mit
)
3.2 Vektorfelder als Ableitungen
( ) und
Bem.: Sei
( )( )
Satz:
(
( )
( )
Sei
)
ein Vektorfeld.
(
( )( ))
(
( ) eine lineare Abbildung, die die Leibnizregel erfüllt: (
). Dann ist
ein Vektorfeld. Umgekehrt stellt jedes Vektorfeld eine solche
Abbildung dar.
Bew.:
-
„⇐“: Sei
( )( )
ein Vektorfeld. In lokalen Koordinaten:
∑
( )(
)
) ( )
( )
∑
( )
(
)
( )
Geometrie/Topologie I
( )
Da
S e i t e | 75
sind, ist ( )
und erfüllt die Leibnizregel: (
bei ( ) die Leibnizregel für Tangentialvektoren (
-
„⇒“: Für jedes
( )
erfüllt
also definiert
(
)
(
)
(
) (wende
) an).
)( ) die Bedingungen für den Tangentialvektor,
eine Abbildung
mit
, die lokal geschrieben werden
kann als:
( )(
∑
)
( ) sind glatt. Nehme die Koordinatenfunktion
Noch zu zeigen:
( ) und multipli-
ziere mit einer Testfunktion (glatte Funktion mit kompaktem Träger). So erweitert man
( ) (wieder mit
einer Funktion aus
( )
Bem.: Seien
zu
bezeichnet). Mit der Leibnizregel erhält man:
( ).
und
zwei Vektorfelder. Dann kann man die Komposition
( ( ))
( )
( ( ))
( )
bilden:
( ).
(
)
( (
)
(
))
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
( (
)
(
))
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
]
Lie-Klammer:
( )
](
⇒ Leibnizregel:
)
( ) linear
] )
(
] )
(
] ist ein Vektorfeld.
⇒
3.3 Die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen
( ))
(
Def.:
-Mannigfaltigkeit. Die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen von
Abbildung
ist eine
-
s.d.:
( )
a)
(
) ist ein Diffeomorphismus
b)
c)
11.12.2012
(
Bem.:
)
Die Abbildung (
(
)
( )) ist
(
( ))|
( )( )
( ) ist eine Ableitung. In der Tat:
-
Linearität: (
)
( )
-
|
(
)
|
( )
Leibnizregel:
(
)
|
(
)
|
(
)
(
)
Geometrie/Topologie I
( |
S e i t e | 76
)⏟
( )
|
( )
ist dann auch ein Vektorfeld!
In Koordinaten: Sei (
( )
( )
(
|
) eine Karte,
)
( ))
( ))
(
(
|
( )
(
( ))
(⏟ ( )
∑
( ))
( )
( )
( )
∑
( )
( )( )
Seien
( )
( )
Umkehrung: Sei
s.d. ( )
gegeben. Wir suchen eine Ein-Parameterfamilie von Diffeomorphismen
|
.
Bem.: Was passiert, wenn wir
|
( ))
(
(
⇒
( ))
(
berechnen?
( )
( )
( ))
(
( )
|
|
schon kennen und
∑
)
( )
⇒
∑
(
|
)
(
(
( (
))
∑
Bem.: Damit: Sei
( )
{
( ))
(
ein gegebenes Vektorfeld.
( ) s.d.
Ich suche dann
( )))
(
( )
(
( )
( ))
( ))
( )
fixiert. Wir definieren: ( )
Sei
( ( ))
{
{
( )
(
}
( )), dann:
( )
( )
System von GDG mit Anfangswert . Analysis III ⇒
card-Lindelöf:
und
]
s.d. ( ) gilt. Pi-
lokal lipschitz genügt für die Existenz
Bem.: Mehr über Picard Lindelöf:
-
Die Lösung
-
Wenn
]
( ) ist eindeutig.
eine kompakte Menge,
existiert.
( )
s.d. die Lösung auf dem Intervall
Geometrie/Topologie I
(
Thm.: Wenn
S e i t e | 77
]
)
( )
kompakt ist,
(
(
) ist eine
-Vektorfeld auf
)
-Abbildung, wenn
]
,
.
, s.d.
,
∑
und in jeder Karte , wobei
(
)
( (
, haben wir:
{
))
}
Bew.: durch die Kompaktheit
Kor.:
Gleiche Voraussetzungen:
Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen
s.d.
( )
|
(Deswegen:
)
Bew.: Wir behaupten:
( )
(
(
)
a) jede
( )
b)
) ist ein Diffeomorphismus
]
c)
b) folgt aus c): Setze
( )
, dann:
(
( )) ⇒
(
( ))
c) ist Konsequenz der DGL ( ) und Eindeutigkeit der Lösung:
(
)
( ) ist die Lösung von
{
(
( ( ))
( )
)
(
{
) ist die Lösung von
( ( ))
( )
(
)
Wegen der Eindeutigkeit der Lösungen von GDG:
(
)
(
Sei
]
)
(
(
))
:
sei
(
s.d.
)
]
( )
( )
⏟
-
] (
)
]
]
:
( )
( )
⏟
-
3.4 Das Lie-Klammer-Produkt
Seien
zwei Vektorfelder.
] ist das einzige Vektorfeld s.d. ( )
Bem.: Sei
( ( ))
die Ein-Parametergruppe von Diffeomorphismen s.d.
( ( ))
|
( ).
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 78
̃ ist das folgende Vektorfeld: ( ̃ )
Bem.: (
)
)
( )
deshalb: ( ̃ )
( )(
( ))
( )
(
)
̃
|
Satz:
(
)
( )
(
Bem.: ( ̃ )
(
)
( )(
|
( )(
( ))
( ))
]
Bew.: Im Skript gibt es eine „geometrische“ Erklärung. In Koordinaten: eine „algebraische“ Erklärung.
4. Das Tensorprodukt
Def.:
Seien
endlich-dimensionale Vektorräume auf . Wir definieren das Tensorprodukt
wie folgt:
a)
b)
ist bilinear:
(
)
(
)
⁄ , wobei:
Bem.: Das heisst:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Satz:
hat die folgende universelle Eigenschaft:
Falls
(
eine bilineare Funktion ist, dann
)
(
).
Bem.: Praktisch: Falls
eine Basis für
Ein Element
linear, so dass
Basis für
und
Basis für
, dann ist {
}
{
{
}
}
.
kann dann geschrieben werden als:
∑
Bem.: Falls
, dann haben wir
, und wir können auch das dreifache Tensorprodukt bil-
den:
∑
weiter:
∑
Bem.: Tensoralgebra:
( )
⨁
deswegen sieht ein Element
( ) wie folgt aus:
Geometrie/Topologie I
∑
S e i t e | 79
∑
Bem.: Das Tensorprodukt von
∑
erhalte ich als:
(
)
+ Distributivgesetz
4.1 Äussere Algebra
Def.:
( )
das kleinste Ideal, das {
( )
⁄( )
} enthält. Die äussere Algebra ist der Quotient
∣
( )
13.12.2012
Def.:
äussere Algebra (alternative Definition)
Sei
sein Dual (
ein endlich-dimensionaler, reeller Vektorraum und sei
{
).
}
{ ⏟
}
-
Bem.: multilinear: (
)
alternierend: (
(
(
)
(
)
(
)
(
)
) (
)
( ) (
( ))
( )
Bem.: Falls
)
)
, dann ist jede multilineare, alternierende Funktion von
{ }
null:
Def.:
(
Seien
!
, d.h.
ist linear,
.
( )
(
)
Variablen
(
(
( ))
( )
(
)
(
)
)
Lem.:
(
Bew.:
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
)
(
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
)
(
( )
(
)
(
( )
⏞(
( )
⏟ (
( )
( )
)
(
)
)
(
)
)
( )
Geometrie/Topologie I
( )
S e i t e | 80
( )
(
)
(
)
)
(
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
)
(
(
)
(
)
Bem.:
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
))
( )
( )
( )
( )
(
(
Bew.:
)
(
(
)
)
(
( )
(
)
( )
(
))
(
Thm.: Wenn
eine Basis für
ist, dann:
∣∣
{
} ist eine Basis für
{
⇒
Bem.:
)
}
∣
(
{
}).
hat Dimension 1
die Determinante ist die „einzige“ (bis auf Produkt mit einem Skalar) multilineare Abbildung von
Variablen auf einen -dimensionalen Vektorraum.
( )
Kor.:
{
Def.:
} mit
{
}
, dann:
.
Bew.: des Theorems
-
{
„linear unabhängig“: Sei
Sei ∑
Für
}
.
die Dualbasis zu
{
}
∑
⏟
(
{
}
(
Falls
}
. Zu zeigen:
Sei
Sei
{
)
:
(
, d.h.
. Dann:
)
haben wir:
(
)
(
(
)
(
(
)
(
)
)
)
)
( )
{
Geometrie/Topologie I
(
:
(
)
)
aber ist beliebig ⇒ {
⇒
-
S e i t e | 81
„erzeugend“:
} sind linear unabhängig!
∣
: Suchen
s.d.:
∑
Sei
(
die Dualbasis.
(
)
(∑
∑
∑
{
(
:
)
⇒
Def.:
∑
)
(
∑
)
⏟(
∑
(
∑
)
)
}
(
Sei
)
∑
(
)
(
)
)
∑
(
⇒
)
∑
Das allgemeine Keilprodukt (Dachprodukt, äusseres Produkt):
∑
∑
∑
Bsp.:
Basis für
(
)
(
)
⏟
⏟
Satz:
a) (
b)
)
(
)
(
c)
)
⋀
für
⋀
Bew.: a),b): UE
c)
{
}
{
}
∑
∑
(
)
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 82
(
(
)
(
)
Def.:
Äussere Algebra von
Def.:
Sei
)
:
eine lineare Abbildung.
Wir definieren die lineare Abbildung
(∑
Thm.:
)
wie folgt:
∑
ist wohldefiniert, d.h. unabhängig von der gewählten Basis.
Bem.: Sei
mit Basis
∑
rixdarstellung, d.h.:
(
. Sei
( ))
die entsprechende Mat-
.
(∑
(
linear und
(
( ))
)
(
( ))
)
⇒(
deshalb:
)(
)
(
)
18.12.2012
5. Differentialformen
Sei
eine glatte (
) Mannigfaltigkeit mit Dimension .
∣∣
: Kotangentialraum: {
∣∣
: Tangentialraum {
Aber:
( )}
-
}
ist der Dual von
( )
( )
In Koordinaten: (
{
{
die Ableitung von
durch .
(
)
) Karte,
} ist eine Basis für
} ist die Dualbasis für
ist die äussere Algebra, erzeugt von
{
Deswegen,
∣
{
{
}, sei
}
Deshalb:
Def.:
∑
ist
und
} ist eine Basis für
, dann
Eine Differentialform
Lokal: (
.
) Karte
.
∑
s.d.
ist eine Abbildung
Funktionen, so dass
( )
, falls die Abbildungen
( )
sind.
.
.
Geometrie/Topologie I
( )
(
Bem.: Sei (
S e i t e | 83
( )
( )))
(
) eine andere Karte mit
( )
(
)
∑̃( )
(
)
∑
( )
So:
Mit
.
(
)( )
(⏟
)( )
(
)
∑
( )
∑
( ( ))
∑
( ( ))
∑
(
)
:
Mit
∑
( ( ))
:
∑
Damit:
Kor.:
Für
( )
:
( )
Bew.:
( )
Bem.:
̃( )
̃( ( ))
(
)
5.1 Zerlegung der Einheit
Thm.: Sei {(
)} ein Atlas für die
Familie { }
i)
ii)
iii)
Bem.: Sei
. Eine Zerlegung der Einheit ist eine
von glatten Funktionen so dass:
( ) s.d.
( )
Umgebung
:∑
mit Träger( )
()
und kompakt
und eine Zahl ( ) s.d.
( )
( )
( )
Bem.: Wir beweisen den Fall
Not.:
-Mannigfaltigkeit
kompakt.
: k-Form
eine Differentialform ( -Form).
∑
hat Träger in
( ),
((
)|
d.h. (
)
Bew.: Existenz der Zerlegung der Einheit, wenn
( )
)
( )
kompakt ist.
Geometrie/Topologie I
-
Schritt 1:
Karte
S e i t e | 84
im Atlas und
( ), Träger
s.d.
und
in einer Umgebung von .
𝜑(𝑈𝑝 )
𝜑 (Homöomorphismus)
𝑈𝑝
𝑛
𝐵
𝑊𝑝 𝑝
𝛽
𝜑
𝛽
𝑀
( ) ist offen, Umgebung von
und
auf
𝛽
.
{
( ( )),
-
Schritt 2: {
}
( )
⇒
kompakt. Stetigkeit von
ist eine offene Überdeckung von
.
kompakt ⇒
Teilüberdeckung.
{
}
{
}
( ), Träger(
:
ist im Atlas ⇒ )
)
) ist trivial
∑
∑
Ist ∑
Ja!
s.d.
( )
.
zusammenfassend: ∑
:

)

( ), Träger(
∑
Def.:
glatte Abbildung,
⏟
( )
( )
( )
( )
multilineare, alternierende Abbildung
(
)
|
( )(
|
)
5.2 Das äussere Differential
-Formen:
( )
das Differential
Thm:
Für alle
(
( )
( )
-Mannigfaltigkeiten
mit folgenden Eigenschaften: (für
( ) ist
1) Für
2)
(
3)
(
)
( ))
( )
∑
( )
und
:
( )
( )
{ })
( ) das übliche Diff.
( )
)
(
)
, wenn
( ).
( ) kompakt.
endliche
Geometrie/Topologie I
Def.:
( )
Sei
(
S e i t e | 85
) Karte mit
( )
∑
.
∑
Bem.: Das Differential ist wohldefiniert.
Bew.: des Theorems
1) „
( )!
“, wenn
∑
3)
∑
∑
∑ (
∑
∑
)
(∑
⏟
)
(
( )
(
Zus.: (
∑
(∑
)
( )
)
) ∑
)
(
)
2) OBdA: Träger( )
(
(
∑
⏟
)
(
)
(
]
)
)
eine Karte (Bem.: (
)
)
∑
∑
∑
⏟
(
(
)
)
(
)
⏟
∑ (
)
(
)∑
⏟(
)
∑ (
⏟ )
( )
( ):
(
)
(∑
)
∑ (
)
∑
∑∑
∑
⏟
∑
⏟
(
∑
Bem.:
,
(
∑
)
„
(
“
)
(
also erhalten wir:
)
(
)
)
Geometrie/Topologie I
(
S e i t e | 86
)
(
)
(
(
)
(
)
)
( )
(
(
)
)
20.12.2012
6. Integration von Formen
6.1 Orientierung
( )
𝜑
𝜑(𝑈)
(𝜔)
𝑈
𝑓
𝑀
(
𝑛
)
∫
(
∫
)
Sei
∫
∫
]
s.d.
(
∫
(
∫
)
( )
)
Frage: Integral unabhängig von Karte?
Φ(Ω)
Ω
𝑦(Ω)
𝑛
𝑛
Φ
( )
(
(
)
𝜓 𝜑
(
))
( ( )) ⏟ ( )
(
( ( ))
(
( ))
)
( )
(
( )
( ))
Geometrie/Topologie I
∫
∫
(
)
∫
∫
(
)
S e i t e | 87
( ( ))
∫
(
)
Aus der Analysis:
Satz:
Variablenwechsel des Integrals in einer Dimension:
∫ ( ( ))|
( )|
∫ ( )
Variablenwechsel in mehreren Dimensionen:
∫
( ( )) |
(
( ( )) und
Satz:
∫ ( ( )) |
(
( )
∫
)|
( ) Diffeomorphismus. Dann gilt:
∫
)|
( )
( )
Deshalb sind beide Integrale gleich.
Def.:
Eine orientierte
(
-Mannigfaltigkeit
) s.d.:
mit
Def.:
ist eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas
, ist
ein Diffeomorphismus mit
(
))
(
.
ist ein orientierter Atlas.
Bem.: Falls
und
entweder
(
oder
zwei orientierte Atlas sind, und
(
(
(
) )
(
) )
(
zusammenhängend ist, dann:
)
)
(
(
)
)
.
Bem.:
-
orientierte Mannigfaltigkeit: Mannigfaltigkeit
(Ein zweiter orientierter Atlas
und orientierter Atlas
ist kompatibel mit
, wenn
-
orientierbare Mannigfaltigkeit: Mannigfaltigkeit
-
nichtorientierbare Mannigfaltigkeit: Mannigfaltigkeit
Def.:
Sei
eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Atlas
, die orientierten Atlas besitzt
∫
∫ (
)
Falls
kompakten Träger hat, wählen wir
und {
} Zerlegung der Einheit:
∑
(
∫
, die keinen orientierten Atlas besitzt
und Dimension .
( ) Träger in einer Karte hat, d.h. (
Falls
ein orientierter Atlas ist)
)
mit
( )
, dann:
)
im Atlas mit
( ) und ∑
. Dann:
∑∫
⏟
( )
( ) definiert im ersten Teil der Def., weil
( ).
Bem.: Das Integral ist wohldefiniert:
Wähle {(
)}
{
Auf dem Träger von :
}
und {(
)}
{
′}
offene Überdeckung des Trägers von .
( )
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 88
′
( )
Mit der Karte
∫
Mit der Karte
∑
∑
( )
:
∑∫
:
′
∫
∑∫
′
∫ ( ( )) ( )
∫∑
⏟
( ( )) ( ( )) ( )
( ( )) ( ( )) ( )
∑∫
Deshalb:
′
∑∫
∑∫
Fall 1:
∑∫
∑∫
:
⇒
( )
⇒∫
auf
( )
,
⇒
auf
∫
Fall 2: ⏟
(⏟
)
( )
mit (
∫
∫
( )
( )
( )
mit (
∫
∫
(
) Karte
( )
( )
( )
und
) Karte
( ) ist ein Diffeomorphismus und ( )
)
Deshalb im ersten Fall:
∫
∫
( )
( ( ))
(
)
im zweiten Fall (Variablenwechsel im Integral):
∫
∫
( )
( )
( )
(
)
Geometrie/Topologie I
S e i t e | 89
6.2 Satz von Stokes
Def.:
Eine Form
Thm.: Sei
heisst exakt, falls
für eine Form , und geschlossen, falls
eine orientierte, kompakte Mannigfaltigkeit mit Dim. , und
.
eine exakte -Form mit
kompaktem Träger. Dann:
∫
Bew.: exakt
Sei {
}
-
mit kompaktem Träger
{
}
eine Zerlegung der Einheit:
∑
-
(
∫
) Karte mit
∫ ∑
(
(
)
.
∫ ∑
)
( )]
∫ ∑ (
)
∫ (∑
⏟
∑∫ (
)
)
∑
⏟
Sei (
) eine Karte mit
( (
))
. (⏟)
in der Karte:
̂
∑⏟
(
)
(
)
mit
Damit:
∫ (
)
∫
) ∫
⏟
∑(
]
∫
∫
∭
∫
Satz.:
( )
(
)
∫
∫
4
)
)
̂
)
(Theorem von Gauss)
Satz von Stokes:
∫
(
auf
∭[ (
(
∫
∫
Prüfungsstoff: so weit wie die Übungsserien gehen
(
)]