Löbner Semantik

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44
10. Prädikatenlogik (1): Prädikate, Funktionen, Individuen
10.1 Syntax der Prädikatenlogik (1)
[1]
DEFINITION: Zeicheninventar einer Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe (PL1)
S0.
Das Zeicheninventar einer PL1-Sprache besteht aus mehreren Kategorien von Grundausdrücken (eine Kategorie ist eine Menge von Ausdrücken mit denselben syntaktischen
Eigenschaften, s.u. S1–S3), sowie aus dem Gleichheitszeichen, Junktoren, Quantoren und
Klammern.
Kategorie
(Meta-)Variablen f. Ausdr. d. Kategorie
Individuenkonstanten
k, ...
Individuenvariablen
x, ...
1-stellige Prädikatskonstanten
p¢, ...
n-stellige Prädikatskonstanten (n=2,3, ...)
p¤, ...
1-stellige Funktionskonstanten
f¢, ...
n-stellige Funktionskonstanten (n=2,3, ...)
f ¤, ...
Junktoren
‘ŏ’ ‘ʼn’ ‘Ŋ’ ‘Ō’ ‘ō’
Gleichheitszeichen
‘=’
Quantoren
[2]
‘ŕ’ ‘Ŗ’
Klammern
‘(’ ‘)’ ...
DEFINITION syntaktische Regeln und Kategorien prädikatenlogischer Sprachen
S1.
Terme
a.
Individuenkonstanten und Individuenvariablen sind (Individuen-)Terme.
b.
Wenn f¢ eine 1-stellige Funktionskonstante ist und t ein Term,
ist þf¢(t)ÿ ein Term.
Wenn f¤ eine n-stellige Funktionskonstante ist und t¥,...,t® Terme,
ist þf ¤(t¥,...,t®)ÿ ein Term.
S2. Primformeln
þ(t¥=t§)ÿ Aussagen. 3
a.
Wenn t¥ und t§ Terme sind, sind þ t¥=t§ÿ und
b.
Wenn p¢ eine 1-stellige Prädikatskonstante ist und t ein Term,
ist þp¢(t)ÿ eine Aussage.
Wenn p¤ eine n-stellige Prädikatskonstante ist und t¥, ..., t® Terme,
ist þp¤(t¥,...,t®)ÿ eine Aussage.
S3. Zusammengesetzte Aussagen
a.
3
Wenn A und B Aussagen sind, dann auch
þŏAÿ
þ(AʼnB)ÿ
þ(AŊB)ÿ
þ(AŌB)ÿ
þ(AōB)ÿ
Die Klammern sind eigentlich überflüssig; man kann festlegen, dass ‘=’ stärker bindet als die
aussagenlogischen Junktoren. Wir setzen sie in Verbindung mit der Negation.
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10.2 Zur Interpretation prädikatenlogischer Sprachen
In der Aussagenlogik wurde eine feste Sprache zugrundegelegt, die – auf der Basis der allgemeingültigen Syntaxregeln für die AL – durch die Festlegung der Aussagenzeichen ‘a’,…, ‘z’ determiniert war. Prinzipiell hätte in Abschnitt 3, Def. [1] die Wahl der Basisausdrücke einer AL-Sprache
auch offengelassen werden können: jede Sprache, die den in Def. [1] und [2] formulierten syntaktischen Regeln gehorcht, ist eine AL-Sprache.
Im Gegensatz zu AL-Sprachen werden PL1-Sprachen meistens anwendungsbezogen benutzt. Man
definiert passende Individuen-, Prädikats- und Funktionskonstanten, um in der sich daraus ergebenden PL1-Sprache Aussagen über den Anwendungsbereich als logische Formeln (PL1-Aussagen)
formulieren zu können. Das ermöglicht dann z.B. die genaue Überprüfung von logischen Zusammenhängen wie Implikationen und Äquivalenzen zwischen den Aussagen dieser Sprache.
Anders als im Falle der Aussagenlogik sollen die Aussagen solcher PL1-Sprachen also einen bestimmten „Sinn“ haben. Für sich genommen haben Aussagen der PL1 jedoch zwar eine bestimmte
logische Form, aber keinen festen Sinn, auch wenn ein solcher intendiert ist. Einen Sinn erhalten sie
erst durch eine präzise anzugebende Interpretation (entsprechend einer Bewertung für einer ALSprache), aus der sich für jede Aussage der Sprache eine Wahrheitswert ergibt. Solche Interpretationen für PL1-Sprachen heißen „Modelle“ und werden formal erst später (Abschnitt 12) eingeführt.
An dieser Stelle sei über die Interpretationen nur so viel gesagt:
Eine Interpretation legt im Wesentlichen zwei Dinge fest:
1.
die zugrundegelegte Menge von Individuen, das Universum U. Als Universum kann im
Prinzip jede Menge festgelegt werden. Je nach dem Anwendungszweck der PL1-Sprache
können als Individuen Personen, Zahlen, Zeitpunkte oder beliebige andere, auch komplexe
Gegenstände gewählt werden. Nichts ist als „Individuum“ prädestiniert oder von vornherein
ausgeschlossen.
2.
die Bewertung aller Grundausdrücke (Individuenkonstanten und -variablen,
Prädikatskonstanten und Funktionskonstanten) der betreffenden Sprache.
§
Individuenkonstanten und Individuenvariablen wird als Wert ein Individuum aus dem
Universum zugeordnet.
§
1-stelligen Prädikatskonstanten wird ein 1-stelliges Prädikat über U zugeordnet,
2-stelligen Prädikatskonstanten ein 2-stelliges Prädikat über U£ zugeordnet, usw.
§
1-stelligen Funktionskonstanten wird eine 1-stellige Funktion UěU zugeordnet,
2-stelligen Funktionskonstanten eine 2-stellige Funktion U£ěU, usw.
Sei ‘a’ eine Individuenkonstante, die als Wert das Individuum AłU erhält,
die 1-stellige Funktionskonstante ‘f’ werde durch die Funktion F:UěU interpretiert,
die 1-stellige Prädikatskonstante ‘p’ durch das Prädikat P:Uě2.
Dann ergibt sich daraus folgende Interpretation für zusammengesetzte Ausdrücke:
‘f(a)’
steht für/bezeichnet
F(A)
(Beachte: F(A) ist wiederum ein IndividuumłU,
da AłU und F:UěU. Auf diese Weise ist ‘f(a)’ ein
Term, nämlich eine Individuenbezeichnung)
‘p(a)’
‘ŏp(a)’
steht für/drückt aus
steht für/drückt aus
P(A) = 1
P(A) = 0
(Beachte: P(A) ist ein WW, da AłU und P:Uě2.
Auf diese Weise sind ‘p(a)’ und ‘ŏp(a)’ Aussagen,
nämlich wahrheitswertige Ausdrücke.)
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10.3 Die Sprache PL1-S
Der Stammbaum
Alexander Š Berta
Christiane Š Friedrich
Inge Š Norbert
Oskar
Dieter Š Gertrud
Jürgen Š Renate
Pauline
Klaus
Sven
Erich Š Hannelore
Leo Š Thea
Martina
Ulrike
Das Zeicheninventar (Lexikon) der Sprache PL1-S
Individuenkonstanten:
‘a’, ‘b’, ‘c’, . . ., ‘u’
Individuenvariablen:
‘v’, ‘w’, ‘x’, ‘y’, ‘z’
1-stellige Funktionskonstanten:
‘mut’, ‘vat’
1-stellige Prädikatskonstanten:
‘V’, ‘W’, ‘M’
2-stellige Prädikatskonstanten:
‘Ki’, ‘Sw’, ‘Br’, ‘Ta’, ‘On’, ‘Vh’, ‘Vw’
Universum
Das Universum U ist die Menge der Personen Alexander, … Ulrike und aller ihrer Vorfahren.
Interpretation der Konstanten
Individuenkonstanten
1-stellige Prädikatskonstanten
‘a’
‘b’
...
‘u’
‘W’
‘M’
‘V’
Alexander
Berta
...
Ulrike
ist weiblich
ist männlich
ist verheiratet (= ist nicht ledig)
1-stellige Funktionskonstanten
2-stellige Prädikatskonstanten
‘mut’ die Mutter von
‘Ki’ ist ein Kind von
z.B. ‘Ki(c,b)’ : Christiane ist ein Kind von Berta
‘Sw’ ist eine Schwester von
‘Br’ ist ein Bruder von
‘Ta’ ist eine Tante von
‘On’ ist ein Onkel von
‘Vh’ ist verheiratet mit
‘Vw’ ist verwandt mit
‘vat’
der Vater von
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10.4 Beispiele
Leseweisen: F = formal , I = interpretierend (auf der Basis der intendierten Interpretation)
Typ
(1)
Individuenkonstante
F
I
i
„i“
„Inge“
komplexer Term nach S1.b
F
I
mut(k)
„mut von k“
„die Mutter von Klaus“ / „Klaus’ Mutter“
komplexer Term nach S1.b
F
I
vat(mut(vat(x)))
„vat von mut von vat von x“
„der Vater der Mutter des Vaters von x“
Primformel nach S2.a
F
I
y=o
„y gleich o“
„y ist Oskar.“
(2)
(3)
(4)
(5)
Individuum (Gertrud)
Individuum
Aussage (wahr oder falsch4)
vat(vat(e))=vat(mut(i))
„vat von vat von e gleich vat von mut von i“
„Der Vater von Erichs Vater ist [auch]
der Vater von Inges Mutter.“
Primformel nach S2.a, S1.b
Primformel nach S2.b
F
I
M(v)
„M v“ (ohne ‘von’ !)
„v ist männlich“
Primformel nach S2.b, S1.b
F
I
V(mut(m))
„V mut von m“
„Die Mutter von Martina ist verheiratet.“
F
I
On(e,t)
„On e (Komma) t“
„Erich ist ein Onkel von Thea“
F
I
Br(vat(l),h)
„Br vat von l (Komma) h“
„Leos Vater ist ein Bruder von Hannelore.“
F
I
(6)
(7)
(8)
(9)
4
Individuum
Aussage (falsch)
Aussage (wahr oder falsch)
Aussage (wahr)
Primformel nach S2.b
Aussage (falsch)
Primformel nach S2.b, S1.b
Aussage (falsch)
In der angegebenen Interpretation liegt der WW nicht fest, da wir die Interpretation der Individuenvariablen nicht
festgelegt haben.
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(10)
48
Vh(vat(mut(mut(o))),mut(vat(j)))
Primformel nach S2.b, S1.b
F
„Vh vat von mut von mut von o (Komma)
mut von mut von j“
I
„Der Vater der Mutter von Oskars Mutter ist mit der
Mutter von Jürgens Vater verheiratet.“
Aussage (falsch)
(y=vat(c)Ŋy=mut(c))
Aussage nach S3a., S2.a, S1.b
(11)
F
„y gleich vat von c und/oder y gleich mut von c“
I
„y ist der Vater [von Christiane]
und/oder die Mutter von Christiane.“
Aussage (wahr oder falsch)
ŏVw(a,mut(p))
Aussage nach S3a., S2.b, S1.b
(12)
F
„non Vw a (Komma) mut von p“
I
„Alexander ist nicht mit der Mutter von p verwandt.“
Aussage (falsch)
(mut(x)=bŌ((Br(x,d)ŊSw(x,d))Ŋx=d))
Aussage nach S3a., S2.b, S2.a,
S1.b
(13)
F
„mut von x gleich b Pfeil Br x (Komma) d und/oder
Sw x (Komma) d und/oder x gleich d“
I
„Wenn die Mutter von x Berta ist, dann ist x ein
Bruder von Dieter oder eine Schwester von Dieter
oder Dieter.“
Aussage (wahr)
((mut(y)=rʼnvat(y)=j) ō y=u)
Aussage nach S3a., S2.b, S2.a,
S1.b
(14)
F
„mut von y gleich r und vat von y gleich j
Doppelpfeil y gleich u“
I
„Es ist genau dann die Mutter von y Renate und der
Vater von y Jürgen, wenn y Ulrike ist.“
Aussage (falsch)
Beispiel für eine syntaktische Analyse: (13)
( mut(x) =b Ō (( Br (x, d) ŊSw(x,d )) Ŋ x= d))
f¢ t
t
p£ t t
p£ t t
t t
S1b
S2b
S2b
S2a
t
a
a
a
S2a
S3Ŋ
a
a
S3Ŋ
a
S3Ō
a
vgl. S0
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10.5 Das Identitätsprädikat ‘=‘
Obwohl Identitätsaussagen nicht in der Form þp£(t¥,t§)ÿ geschrieben werden, ist das Gleichheitszeichen eine 2-stellige Prädikatskonstante, da es mit zwei Termen eine Aussage ergibt. Die abweichende Schreibweise ist eine Konzession an den üblichen Gebrauch dieses Zeichens. (In anderen
Varianten der PL werden 2-stellige Prädikatskonstanten generell nach diesem Muster gebraucht:
þt¥ p£ t§ÿ statt þp£(t¥,t§)ÿ.
Im Gegensatz zu allen anderen Prädikatskonstanten einer PL1-Sprache, wird das Gleichheitszeichen
immer gleich (als Gleichheit) interpretiert. Es ist daher ebenso wie die Junktoren und Quantoren
eine „logische Konstante“.
[3]
SATZ Eigenschaften des Identitätsprädikats
t sei ein beliebiger Term einer PL1-Sprache. Dann gilt:
a.
þt=tÿ ist tautologisch (in jeder zulässigen Interpretation wahr).
b.
þŏ(t=t)ÿ ist kontradiktorisch (in jeder zulässigen Interpretation falsch).
(Der Begriff der zulässigen Interpretation und die logischen Begriffe wie „Tautologie“ etc. werden
in Abschnitt 12.4 formal definiert. Im Wesentlichen ist eine zulässige Interpretation durch die Beschreibung in Abschnitt 10.2 definiert. Die logischen Begriffe lassen sich auf die PL1 übertragen,
indem man in den Definitionen „Bewertung“ durch „Interpretation“ bzw. "Modell" ersetzt.)
SATZ5 Leibniz‘ Gesetz 6
[4]
t¥ und t§ seien beliebige Terme und A¥ eine beliebige Aussage derselben PL1-Sprache.
A§ werde aus A¥ gebildet, indem man in A¥ freie Vorkommen7 von t¥ durch t§ (oder
umgekehrt) ersetzt. Dann gelten die folgenden Schlüsse:
a.
A¥
t¥=t§
b.
A§
A¥
ŏ A§
ŏ t¥=t§
Beweis (informell)
(a) Wenn in einer gegebenen Interpretation der Sprache þt¥=t§ÿ wahr ist, werden beide Terme
gleich interpretiert. Wenn nun A¥ wahr ist und sich A§ von A¥ nur dadurch unterscheidet, dass es
den Term t§ enthält, wo in A¥ der Term t¥ steht (oder umgekehrt), dann muss A§ ebenfalls wahr
sein. Denn der Wahrheitswert einer Aussage ergibt sich aus der Interpretation ihrer Bestandteile,
und die Bestandteile von A¥ und A§ sind entweder gleich oder werden aufgrund der Voraussetzung, dass þt¥=t§ÿ wahr ist, gleich interpretiert.
(b) Ist ein Umkehrschluss von (a): Wenn (a) gilt, A¥ wahr und A§ falsch ist, kann þ t¥=t§ÿ nicht
wahr sein, weil daraus mit A¥ die Wahrheit von A§ folgen würde.
Beispiel
(15)
Ki(c,b)
mut(e)=b
Ki(c,mut(e))
5
6
7
Der Satz gilt nur unter der Einschränkung, dass A¥,t¥,t§ die Ersetzungsbedingung erfüllen (vgl. Abschnitt 11.11
unten). Quantorenfreie Formeln erfüllen die Bedingung immer.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Philosoph und Mathematiker.
„Freie“ Vorkommen werden in Abschnitt 11.6, Def. [9] definiert. In quantorenfreien Formeln sind alle
Termvorkommen frei.
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10.6 Baumregeln für die Identitätskonstante
Regel=
:
t¥=t§
:
A¥
:
A§
Wenn ein offener Pfad als ganzen Knoten eine Aussage der
Form þt¥=t§ÿ enthält und eine Aussage A¥ [und wenn A¥,t¥,t§
die Ersetzungsbedingung erfüllen, s.u.], dann darf an jeden
offenen Tochterpfad eine Aussage A§ angefügt werden, die
man aus A¥ erhält, indem man darin ein oder mehrere freie
Vorkommen von t¥ durch t§ (oder umgekehrt) ersetzt. Die
Anfügung ist nur erlaubt, wenn die so gebildete Aussage nicht
bereits in dem Pfad vorhanden ist und wenn sie nicht die Form
þt=tÿ hat. Keine Zeile wird gestrichen.
Regelĥ
:
ŏ(t=t)
:
Ų
Wenn ein Pfad eine Aussage der Form þŏ(t=t)ÿ bzw. þŏt=tÿ
enthält, wird er geschlossen.
Erläuterung
R= beruht auf Leibniz’ Gesetz. Wenn ein Pfad bereits þt¥=t§ÿ und A¥ enthält und A§ hinzugefügt
wird, ändert das den WW des Pfades nicht (als Teil eines Baumes bildet jeder Pfad einen
Baum für sich und hat damit einen WW, nämlich den WW der Konjunktion aller seiner
Knoten). Wenn der Pfad falsch ist, bleibt er es, wenn man beliebige Knoten hinzufügt. Wenn
er wahr ist, bleibt er es auch, wenn man A§ hinzufügt, denn aufgrund von Leibniz’ Gesetz ist
dann A§ ebenfalls wahr. Mithin führt die Anwendung der Regel zu einem äquivalenten Baum.
Rĥ beruht unmittelbar auf Satz [3b]. Da þŏ(t=t)ÿ immer falsch ist, ist jeder Pfad, der diese
Aussage enthält, unerfüllbar und daher zu schließen.
Die Einschränkung, dass A§ nicht bereits in dem Pfad vorhanden sein darf, verhindert, dass der
Baumtest in eine Endlosschleife gerät: Da keine Aussage gestrichen wird, könnte die
Anfügung von A§ sonst beliebig wiederholt werden. Sie impliziert im übrigen, dass t¥ und t§
verschiedene Terme sein müssen.
Die Einschränkung, dass A§ nicht die Form þt=tÿ haben darf, verhindert die Anfügung von Knoten,
die keinen Einfluss auf das Ergebnis haben können. Da solche Aussagen tautologisch sind
(Satz [3a], würde ihre Hinzufügung nicht den WW des Pfades ändern. Sie können nicht
aufgrund von Rń zu einem Widerspruch führen, weil die Negation dazu þŏ(t=t)ÿ ist, was
wegen Rĥ in einem offenen Pfad nicht mehr vorkommen könnte.
Im Gegensatz zu allen aussagenlogischen Regeln wird kein Knoten gestrichen, weil der
bearbeitete Knoten nach der Anfügung von A§ (a) nicht „verbraucht“ ist: er könnte noch nach
anderen oder derselben Regel weiter verarbeitet werden, und (b) nicht durch etwas logisch
Äquivalentes ersetzt wird, wie es bei den aussagenlogischen Regeln stets der Fall ist.
Im Gegensatz zu den aussagenlogischen Regeln, darf an jeden offenen Tochterpfad angefügt
werden, muss aber nicht: man kann sich auf die Pfade beschränken, wo die Anfügung benötigt
wird. Allerdings müssen alle Möglichkeiten ausgeschöpft worden sein, um feststellen zu
können, dass sich der Baum nicht schließen lässt.
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Beispiele
(16)
Leibniz’ Gesetz (an einem Beispiel)
M(x)
ŏ M(y)
ŏ (x=y)
(17)
1
2
3
4
5
M(x)
ŏM(y)
ŏŏ(x=y)
x=y
M(y)
Ų
?
1
ŏ (x=x)
Ų
y=x
gültig
ŏK
Rĥ
?
1
x=y
2
ŏ (y=x)
ŏK
3
ŏ (y=y)
R=
Ų
gültig
P
2(x/y) wg 1
Rĥ
gültig
Transitivität der Gleichheitsrelation
x=y
1
x=y
P
y=z
2
y=z
P
x=z
?
3
ŏ (x=z)
ŏK
4
ŏ (y=z)
R=
3(x/y) wg 1
Rĥ
2,4
Ų
(20)
3
1(x/y) wg 4
Symmetrie der Gleichheitsrelation
x=y
(19)
„in Zeile 1 wird ‘x’ durch ‘y’
ersetzt, wegen Zeile 4“
Reflexivität der Gleichheitsrelation
~ ‘x=x’
(18)
P
P
ŏK
Rŏŏ
R=
Rx
gültig
(Nicht-)Transitivität der Ungleichheitsrelation
ŏ(x=y)
1
ŏ (x=y)
P
ŏ(y=z)
2
ŏ (y=z)
P
ŏ(x=z)
?
3 ŏ ŏ (x=z)
ŏK
4
Rŏŏ
3
x=z
5
ŏ (z=y)
R=
1(x/z) wg 4
6
ŏ (y=x)
R=
2(z/x) wg 4
ų
ungültig