Biostatistik, Sommer 2017 Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 02.06.2017 1/52 Inhalt 1 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel 2 Verteilungen Diskrete Stetige 2/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel Wir werfen einen fairen sechsseitigen Würfel, nennen das Ergebnis X und betrachten die Ereignisse A := {X ≤ 3} = Augenzahl Drei oder kleiner“, ” B := {X ∈ {2, 4, 6}} = Augenzahl gerade“. ” Offenbar ist P[A] = 21 und P[B] = 12 . Wie groß ist aber die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, wenn wir schon wissen, dass A eintritt? Wenn A eintritt, nimmt X die Werte 1,2,3 mit gleicher Wahrscheinlichkeit an. Also: gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 1/3. 3/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition Seien A und B Ereignisse. Wir definieren die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, gegeben, dass A eintritt, durch P[A ∩ B] , falls P[A] > 0, P[A] P[B |A] = 0, sonst. 4/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel (Fortsetzung) A := {X ≤ 3} = Augenzahl Drei oder kleiner“, ” B := {X ∈ {2, 4, 6}} = Augenzahl gerade“. ” Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass B eintritt, gegeben, dass A eintritt, ist P[B |A] = P[A ∩ B] P[X = 2] 1/6 1 = = = . P[A] P[X ∈ {1, 2, 3}] 1/2 3 5/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel 2: Zweifacher Würfelwurf X1 = Augenzahl erster Wurf, X2 = Augenzahl zweiter Wurf, S = X1 + X2 = Augensumme. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Wurf höchstens eine Drei ist, wenn die Augensumme genau Acht ist? A := {S = 8} = (X1 , X2 ) ∈ {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} , B := X1 ∈ {1, 2, 3} . P[B |A] = P[A ∩ B] P[(X1 , X2 ) ∈ {(2, 6), (3, 5)}] 2/36 2 = = = . P[A] P[S = 8] 5/36 5 6/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Totale Wahrscheinlichkeit Beispiel Der Lehrer lässt heute einen Englischtest schreiben und wählt zufällig aus, ob es ein Aufsatz (20%) wird, ein Diktat (70%) oder eine Inhaltsangabe (10%). Ihre Chancen für eine Eins sind unterschiedlich: 90% bei einem Aufsatz, 10% bei einem Diktat und 30% bei einer Inhaltsangabe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Eins schreiben? Angenommen, Sie haben eine Eins, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Aufsatz geschrieben wurde? 7/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Totale Wahrscheinlichkeit Beispiel (Fortsetzung) A1 = Aufsatz“, A2 = Diktat“, A3 = Inhaltsangabe“ ” ” ” B = Sie haben eine Eins“. ” i P[Ai ] P[B |Ai ] P[B ∩ Ai ] P[Ai |B] 1 2 3 0.2 0.7 0.1 Summe 1 0.9 0.1 0.3 0.18 0.07 0.03 P[B] = 0.28 0.18/0.28 = 0.64 0.07/0.28 = 0.25 0.03/0.28 = 0.11 1 Die W’keit, eine Eins zu schreiben ist P[B] = 0.28. Die W’keit, dass der Test ein Aufsatz war, gegeben, dass Sie eine Eins haben, ist P[A1 |B] = 0.64. 8/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Bayes’sche Formel Satz (Bayes’sche Formel) Seien A1 , . . . , An Alternativen und B ein Ereignis. Dann gilt P[B |Ak ] P[Ak ] P[Ak |B] = Pn . i=1 P[B |Ai ] P[Ai ] Speziell ist P[A|B] = P[B |A] P[A] . P[B |A] P[A] + P[B |Ac ] P[Ac ] 9/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Bayes’sche Formel Beispiel Es sind 0.5% der Bevölkerung mit HIV infiziert (Prävalenz). Ein Test erkennt eine HIV Infektion mit 95% Wahrscheinlichkeit (Sensitivität). Bei einer nicht-infizierten Person schlägt der Test mit Wahrscheinlichkeit 6% dennoch an (Spezifität 94%). (i) Bei wie viel Prozent aller getesteten Personen schlägt der Test an (korrekt oder fehlerhaft)? (ii) Bei einer zufällig gewählten Person schlägt der Test an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person tatsächlich krank ist? 10/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Bayes’sche Formel Beispiel (Fortsetzung) A = Person infiziert“, B = Test schlägt an“, ” ” Prävalenz: P[A] = 0.005 Sensitivität: P[B |A] = 0.95 Spezifität: P[B c |Ac ] = 0.94, also P[B |Ac ] = 0.06. (i) Totale Wahrscheinlichkeit: P[B] = P[B |A] P[A] + P[B |Ac ] P[Ac ] = 0.95 · 0.005 + 0.06 · 0.995 = 0.064 = 6.4%. 11/52 Wahrscheinlichkeit Bayes’sche Formel Bayes’sche Formel Beispiel (Fortsetzung) A = Person infiziert“, B = Test schlägt an“, ” ” Prävalenz: P[A] = 0.005 Sensitivität: P[B |A] = 0.95 Spezifität: P[B c |Ac ] = 0.94, also P[B |Ac ] = 0.06. (ii) Bayes’sche Formel: Gesuchte Wahrscheinlichkeit ist P[A|B] = = P[B |A] P[A] P[B |A] P[A] + P[B |Ac ] P[Ac ] 0.95 · 0.005 = 0.074 = 7.4%. 0.95 · 0.005 + 0.06 · 0.995 12/52 Verteilungen Diskrete Anzahl der Erfolge Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale 100 Samenkörner. Wie viele keimen nach zwei Tagen? Modellannahme: Das Keimen ist unabhängig voneinander und mit Wahrscheinlichkeit p der Fall. Mathematische Formulierung: X1 , X2 , . . . , X100 Zufallsvariablen mit Wertebereich W = {0, 1}. 1, falls i-ter Samen gekeimt hat, Xi = 0, sonst. Modellannahme liefert: Zufallsvariablen sind unabhängig und P[Xi = 1] = p für jedes i = 1, . . . , 100. (Bernoulli-Verteilung). S := 100 X Xi = Anzahl gekeimte Samen. i=1 Welche Verteilung hat die Zufallsvariable S? 13/52 Verteilungen Diskrete Anzahl der Erfolge Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (2) Zufallsvariablen sind unabhängig und P[Xi = 1] = p für jedes i = 1, . . . , 100. S := 100 X Xi = Anzahl gekeimte Samen. i=1 P[S = 0] = P[X1 = 0 und X2 = 0 und ... und X100 = 0] "100 # \ {Xi = 0} =P i=1 = P[X1 = 0]100 = (1 − p)100 . 14/52 Verteilungen Diskrete Anzahl der Erfolge Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (3) P[S = 1] = P[X1 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1] + P[X2 = 1 und Xi = 0 für i 6= 2] .. . + P[X100 = 1 und Xi = 0 für i 6= 100] =100 P[X1 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1] =100 p(1 − p)99 . 15/52 Verteilungen Diskrete Anzahl der Erfolge Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (4) P[S = 2] = P[X1 = X2 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1, 2] + P[X1 = X3 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1, 3] .. . + P[X99 = X100 = 1 und Xi = 0 für i 6= 99, 100] 1 =100 · 99 · P[X1 = X2 = 1 und Xi = 0 für i 6= 1, 2] 2 100 · 99 2 = p (1 − p)98 . 2 16/52 Verteilungen Diskrete Anzahl der Erfolge Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (5) 100 · 99 · 98 P[S = 3] = P X1 = X2 = X3 = 1 und 2·3 Xi = 0 für i 6= 1, 2, 3 100 · 99 · 98 3 p (1 − p)97 . = 2·3 17/52 Verteilungen Diskrete Anzahl der Erfolge Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (6) Für jedes k = 0, . . . , 100 gilt P[S = k] = b100,p (k) 100 · 99 · · · (100 − k + 1) k := p (1 − p)100−k . 2 · 3··· · k b100,p heißt Binomialverteilung mit Parametern 100 und p. 18/52 Verteilungen Diskrete 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Binomialverteilung b100,0.2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 19/52 Verteilungen Diskrete 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Binomialverteilung b100,0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 20/52 Verteilungen Diskrete 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Binomialverteilung b100,0.8 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 21/52 Verteilungen Diskrete 0.00 0.10 0.20 0.30 Binomialverteilung b100,0.98 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 22/52 Verteilungen Diskrete Allgemeine Form der Binomialverteilung Sei S die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Zufallsexperimenten, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit p einen Erfolg zeigen. Dann gilt für k = 0, . . . , n n k P[S = k] = bn,p (k) := p (1 − p)n−k , k wobei der Binomialkoeffizient n n! = k!(n − k )! k die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, k Objekte aus n Objekten auszuwählen (ohne Beachtung der Reihenfolge). bn,p heißt Binomialverteilung mit Parametern n und p. 23/52 Verteilungen Diskrete Seltene Ereignisse Beispiel In Deutschland werden pro Jahr im Mittel 8 Blitztote registriert. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit dafür, dass es in diesem Jahr genau 5 Blitztote gibt? Annahme: Für jeden der n = 80 000 000 Bundesbürger besteht die gleiche Wahrscheinlichkeit p, dieses Jahr vom Blitz getroffen zu werden. Die Ereignisse sind unabhängig. Im Mittel werden also np = 8 Menschen vom Blitz getroffen. Es folgt p = 8/80 000 000 = 10−7 . Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit b80 000 000,10−7 (5) = 0.0916. 24/52 Verteilungen Diskrete Poissonverteilung Bezeichnet S die Anzahl von Erfolgen bei sehr kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit p und sehr großer Anzahl von Versuchen n, und ist λ := pn, so gilt (approximativ) λk für k = 0, 1, 2, . . . . k! Diese Verteilung heißt Poissonverteilung Poiλ mit Parameter λ. Der Parameter λ gibt die mittlere Anzahl von Erfolgen an. P[S = k] = e−λ Beispiel Blitztote Anzahl der Blitztoten ist etwa Poisson-verteilt mit λ = 8. Wahrscheinlichkeit für genau 5 Blitztote ist also etwa Poi8 (5) = e−8 85 = 0.0916. 5! Vergleich mit exakter Rechnung: sehr gute Näherung. 25/52 Verteilungen Diskrete Poissonverteilung Beispiel: Radioaktiver Zerfall Pro Sekunde misst ein Geigerzähler im Mittel 3 radioaktive Zerfälle. Anzahl X der Zerfälle in einer gegebenen Sekunde ist zufällig. Verteilung von X ? Zerlegung in Mikrosekunden: in jeder Mikrosekunde mit Wahrscheinlichkeit 3/1 000 000 ein Zerfall. Seltene Ereignisse, unabhängig nach dem Paradigma der Physik Atome altern ” nicht“. Also ist X Poisson-verteilt mit Parameter 3. 26/52 Verteilungen Diskrete Poissonverteilung Beispiel: Morde in New York In den ersten 320 Tagen des Jahres 2012 wurden in New York City 400 Tote durch Gewaltverbrechen registriert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem zufälligen Tag exakt k Tote registriert werden? Modellierung: Poissonverteilung mit Parameter λ = 400 = 1.25. Also 320 P[ exakt k Tote ] = e−1.25 1.25k . k! Speziell ist P[ kein Toter ] = e−1.25 = 0.287. Die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass ein ganzes Jahr lang an jedem Tag mindestens ein Toter registriert wird, ist demnach p = (1 − e−1.25 )365 = 3.07 × 10−54 . 27/52 Verteilungen Diskrete Hypergeometrische Verteilung Definition In einer Population der Größe N tragen K Individuen ein bestimmtes Merkmal. Nacheinander werden n Individuen (ohne Rücklegen) untersucht. Sei X die Anzahl der Beobachtungen des Merkmals unter diesen n Individuen. Dann ist K N −K k n−k P[X = k] = HypK ,N−K ,n (k) := . N n HypK ,N−K ,n heißt hypergeometrische Verteilung mit Parametern K , N − K und n. 28/52 Verteilungen Diskrete Hypergeometrische Verteilung Beispiel Wie groß ist beim Skat die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Geber genau drei Asse erhält? N = 32, K = 4, n = 10. Wahrscheinlichkeit ist 4 28 66 3 7 Hyp4,28,10 (3) = = . . . = = 0.0734. 32 899 10 29/52 Verteilungen Diskrete Zusammenfassung wichtiger diskreter Verteilungen Wartezeit auf ersten Erfolg: geometrische Verteilung γp (k) = (1 − p)k p, für k = 0, 1, 2, . . . . Anzahl der Erfolge unabhängiger Versuche: Binomialverteilung n k p (1 − p)n−k für k = 0, . . . , n. bn,p (k) = k Anzahl der Erfolge seltener Ereignisse mit Mittel λ: Poissonverteilung Poiλ (k) = e−λ λk , k! für k = 0, 1, 2, . . . . Anzahl gezogener markierter Objekte (ohne Rücklegen): Hypergeometrische Verteilung K N −K k n−k HypK ,N−K ,n (k ) := . N n 30/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte 1 2 f (t) = √ e−t /2 , 2π t ∈ R, heißt Standardnormalverteilung N0,1 . 31/52 Verteilungen Stetige 0.3 0.4 Dichte der Standardnormalverteilung 0.0 0.1 0.2 1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 32/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte 1 2 f (t) = √ e−t /2 , 2π t ∈ R, heißt Standardnormalverteilung N0,1 . Ist Z standardnormalverteilt, dann ist 1 P[Z ≤ x] = Φ(x) := √ 2π Z x e−t 2 /2 dt. −∞ Die Werte der Verteilungsfunktion Φ(x) = P[Z ≤ x], x ∈ R, sind tabelliert für x ≥ 0. Z.B. im Tabellenwerk, das online steht. Für x < 0 benutzt man Φ(x) = 1 − Φ(−x). 33/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Sei Z standardnormalverteilt. Satz P[Z ≤ x] = Φ(x) = 1 − Φ(−x). P[Z ≥ x] = 1 − Φ(x) = Φ(−x). P[x1 ≤ Z ≤ x2 ] = Φ(x2 ) − Φ(x1 ) für x1 < x2 . 34/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[Z ≤ 1.55] = Φ(1.55) = 35/52 Tabelle Normalverteilung Φ x 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0 .5000 .5398 .5793 .6179 .6554 1 .5040 .5438 .5832 .6217 .6591 2 .5080 .5478 .5871 .6255 .6628 3 .5120 .5517 .5910 .6293 .6664 4 .5160 .5557 .5948 .6331 .6700 5 .5199 .5596 .5987 .6368 .6736 6 .5239 .5636 .6026 .6406 .6772 7 .5279 .5675 .6064 .6443 .6808 8 .5319 .5714 .6103 .6480 .6844 9 .5359 .5753 .6141 .6517 .6879 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 .6915 .7257 .7580 .7881 .8159 .6950 .7291 .7611 .7910 .8186 .6985 .7324 .7642 .7939 .8212 .7019 .7357 .7673 .7967 .8238 .7054 .7389 .7704 .7995 .8264 .7088 .7422 .7734 .8023 .8289 .7123 .7454 .7764 .8051 .8315 .7157 .7486 .7794 .8079 .8340 .7190 .7517 .7823 .8106 .8365 .7224 .7549 .7852 .8133 .8389 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9370 .9485 .9582 .9664 .9732 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9429 .9535 .9625 .9699 .9762 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 .9773 .9821 .9861 .9893 .9918 .9778 .9826 .9865 .9896 .9920 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 2.50 2.60 2.70 .9938 .9953 .9965 .9940 .9955 .9966 .9941 .9956 .9967 .9943 .9957 .9968 .9945 .9959 .9969 .9946 .9960 .9970 .9948 .9961 .9971 .9949 .9962 .9972 .9951 .9963 .9973 .9952 .9964 .9974 Verteilungen Stetige Tabelle Normalverteilung Φ x 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 0 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 1 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 2 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 3 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 4 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 5 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 6 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 7 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 8 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 9 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9370 .9485 .9582 .9664 .9732 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9429 .9535 .9625 .9699 .9762 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 .9773 .9821 .9861 .9893 .9918 .9778 .9826 .9865 .9896 .9920 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982 .9941 .9956 .9967 .9976 .9983 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985 .9949 .9962 .9972 .9980 .9985 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986 Also: Φ(1.55) = 0.9394. 37/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[Z ≤ 1.55] = Φ(1.55) = 0.9394. 38/52 Verteilungen Stetige 0.3 0.4 Standardnormalverteilung P[Z ≤ 1.55] = 0.9394 0.0 0.1 0.2 1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 39/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[−1.23 ≤ Z ≤ 2.04] = Φ(2.04) − Φ(−1.23). Φ(2.04) = Φ(−1.23) = 1 − Φ(1.23) = 40/52 Verteilungen Stetige Tabelle Normalverteilung Φ x 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 0 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 1 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 2 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 3 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 4 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 5 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 6 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 7 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 8 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 9 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9370 .9485 .9582 .9664 .9732 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9429 .9535 .9625 .9699 .9762 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 .9773 .9821 .9861 .9893 .9918 .9778 .9826 .9865 .9896 .9920 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982 .9941 .9956 .9967 .9976 .9983 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985 .9949 .9962 .9972 .9980 .9985 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986 Also: Φ(2.04) = 0.9793. 41/52 Verteilungen Stetige Tabelle Normalverteilung Φ x 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 0 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 1 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 2 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 3 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 4 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 5 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 6 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 7 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 8 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 9 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9370 .9485 .9582 .9664 .9732 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9429 .9535 .9625 .9699 .9762 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 .9773 .9821 .9861 .9893 .9918 .9778 .9826 .9865 .9896 .9920 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982 .9941 .9956 .9967 .9976 .9983 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985 .9949 .9962 .9972 .9980 .9985 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986 Also: Φ(1.23) = 0.8907. 42/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[−1.23 ≤ Z ≤ 2.04] = Φ(2.04) − Φ(−1.23). Φ(2.04) = 0.9793 Φ(−1.23) = 1 − Φ(1.23) = 1 − 0.8907 = 0.1093. Und damit P[−1.23 ≤ Z ≤ 2.04] = 0.9793 − 0.1093 = 0.87. 43/52 Verteilungen Stetige 0.3 0.4 Standardnormalverteilung P[−1.23 ≤ Z ≤ 2.04] = 0.87 0.0 0.1 0.2 1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 44/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[Z ≥ 2] = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9773 = 0.0227. 45/52 Verteilungen Stetige 0.3 0.4 Standardnormalverteilung P[Z ≥ 2] = 0.0227 0.0 0.1 0.2 1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 46/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte 1 2 f (x) = √ e−x /2 , 2π x ∈ R, heißt Standardnormalverteilung N0,1 . Ist Z standardnormalverteilt und µ ∈ R, σ > 0, so hat X := µ + σZ die Dichte 1 2 2 e−(x−µ) /2σ . fX (x) = √ 2πσ 2 Die Verteilung von X heißt Normalverteilung Nµ,σ2 . 47/52 Verteilungen Stetige 0.08 0.10 Dichte der Normalverteilung 110 + 4Z 0.00 0.02 0.04 0.06 4 94 98 102 106 110 114 118 122 126 48/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Sei X ∼ Nµ,σ2 . Dann ist X = µ + σZ mit Z standardnormalverteilt. Also ist X ≤ x ⇐⇒ µ + σZ ≤ x ⇐⇒ Z ≤ x −µ . σ Satz P[X ≤ x] = Φ((x − µ)/σ) = 1 − Φ(−(x − µ)/σ). P[X ≥ x] = 1 − Φ((x − µ)/σ) = Φ(−(x − µ)/σ). P[x1 ≤ X ≤ x2 ] = Φ((x2 − µ)/σ) − Φ((x1 − µ)/σ) für x1 < x2 . 49/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Beispiel Die Größe von fünfjährigen Mädchen ist im Mittel 110cm mit einer Standardabweichung von 4cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mädchen mindestens 103cm aber höchstens 120cm groß ist? Annahme: Größe ist normalverteilt, also X ∼ Nµ,σ2 mit µ = 110 und σ = 4. P[103 ≤ X ≤ 120] = Φ((120 − 110)/4) − Φ((103 − 110)/4) = Φ(2.5) − Φ(−1.75) = Φ(2.5) − 1 + Φ(1.75) = 0.9938 − 1 + 0.9599 = 0.9537. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 95%. 50/52 Verteilungen Stetige Verteilungen mit Dichte Normalverteilung Beispiel (Fortsetzung) X ∼ Nµ,σ2 mit µ = 110 und σ = 4. Alternative Berechnung mit R: P[103 ≤ X ≤ 120] = P[X ≤ 120] − P[X ≤ 103] = 0.954. > pnorm( q=120, mean=110, sd=4 ) - pnorm( q=103, mean=110, sd=4 ) [1] 0.9537312 51/52 Verteilungen Stetige 0.08 0.10 Normalverteilung P[103 ≤ 110 + 4Z ≤ 120] = 0.9537 0.00 0.02 0.04 0.06 4 94 98 102 106 110 114 118 122 126 52/52